Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 0 953 881021 854684 2022-08-02T11:47:47Z Zetud 1978 /* Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance */ Orth. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | page_liée = Exercices/Ensembles | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Opérations/]] }} == Ensembles == === Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance === {{Wikipédia|Appartenance (mathématiques)|Appartenance}} Un ensemble est une '''collection''' ou un ''groupement'' d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. Soit <math>E</math> un ensemble. Quand <math>a</math> est un élément de <math>E</math>, nous disons que <math>a</math> est dans <math>E</math> ou que <math>a</math> appartient à <math>E</math> et nous écrivons <math>a \in E</math>, ce qui se lit « <math>a</math> appartient à <math>E</math> ». Quand au contraire <math>a</math> n’est pas élément de <math>E</math>, nous disons que <math>a</math> n'appartient pas à <math>E</math> et nous écrivons <math>a \not\in E</math>, ce qui se lit « <math>a</math> n'appartient pas à <math>E</math> ». === Définition/Notation : ensemble vide === {{Wikipédia|Ensemble vide}} Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l<nowiki>'</nowiki>'''ensemble vide''' <math>\left\{\right\}</math> ou plus souvent <math>\varnothing</math>. ;Remarque :Retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose. === Exemples d'ensembles === # Les [[Nombre entier naturel|entiers naturels]] <math>0, 1, 2, 3, ...</math> forment un ensemble qui se note <math>\N</math>. # Les [[Nombre entier relatif|entiers relatifs]] <math>..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...</math> forment un ensemble qui se note <math>\Z</math>. # Les [[w:Nombre rationnel|nombres rationnels]] (de la forme <math>\frac pq</math> où <math>p \in \Z</math> et <math>q \in \N^*</math>) forment un ensemble noté <math>\Q</math>. # Les points du plan forment un ensemble. === Définition d’un ensemble en extension et en compréhension === {{Wikipédia|Singleton}}{{Wikipédia|Paire}} Un ensemble peut être défini '''en extension''', c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou '''en compréhension''' c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments. La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2. * L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}. * La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}. Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : <math>\N</math> = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique ''P'' qui dépend de ''x''. L'ensemble est alors constitué de tous les objets ''x'' pour lesquels la condition ''P'' est vraie. Cet ensemble se note {''x'' | ''P''(''x'')}. Par exemple, {''x'' | ''x'' est un nombre réel} désigne l’ensemble <math>\R</math> des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont : * {''x'' ∈ ''A'' | ''P''(''x'')} désigne l’ensemble des ''x'' qui sont déjà éléments de ''A'' tels que la condition ''P'' soit vérifiée pour ces ''x''. Par exemple, si <math>\Z</math> est l’ensemble des entiers, alors {''x'' ∈ <math>\Z</math> | ''x'' est pair} est l’ensemble de tous les entiers pairs. * {''F''(''x'') | ''x'' ∈ ''A''} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble ''A'' dans la formule ''F''. Par exemple, {2''x'' | ''x'' ∈ <math>\Z</math>.} est encore l’ensemble de tous les entiers pairs. * {''F''(''x'') | ''P''(''x'')} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. === Définition : égalité de deux ensembles === {{Wikipédia|Axiome d'extensionnalité}} Deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math> sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. <math>E = F</math> signifie donc : <math>\forall x\ \left(x\in E \Leftrightarrow x\in F\right)</math>. ===Prédicat collectivisant=== {{Définition|contenu= Un prédicat <math>\mathcal A(x)</math> est dit collectivisant s'il existe un ensemble <math>A</math> tel que : <math>\forall x(\mathcal A(x)\Leftrightarrow x\in A)</math>. }} {{Remarque|contenu=Par extensionalité {{supra|Définition : égalité de deux ensembles}}, un tel ensemble <math>A</math> est alors unique.}} {{Exemple|titre=Exemples|contenu={{CfExo | idfaculté =mathématiques | exercice =[[../Exercices/Ensembles#Exercice 1-5|Exercice 1-5]] }} *Pour tout ensemble <math>A</math>, le prédicat <math>x\in A</math> est [[w:Trivial (mathématiques)|trivialement]] collectivisant. *Le prédicat <math>x\notin x</math> n'est pas collectivisant : c'est le {{w|paradoxe de Russell}}. }} Référence : {{Ouvrage|auteur=E. Ramis|prénom2=C.|nom2=Deschamps|prénom3=J.|nom3=Odoux|titre=Cours de [[Mathématiques en MP|mathématiques spéciales]]|titre volume=Algèbre|passage=7}} == Sous-ensemble, partie d’un ensemble == === Inclusion === {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-ensemble}}{{Wikipédia|Ensemble des parties d'un ensemble}} Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles quelconques. <math>E</math> est dit '''inclus''' dans <math>F</math> si tout élément de <math>E</math> est un élément de <math>F</math>. On dit aussi que <math>E</math> est un '''sous-ensemble''' de <math>F</math> ou encore que <math>E</math> est une '''partie''' de <math>F</math>. On note <math>E\subset F</math>. Soit : <math>(E \subset F) \Leftrightarrow\left(\forall x \in E\quad x \in F\right)</math>. On note <math>\mathcal P(E)</math> l’'''ensemble des parties''' de <math>E</math>. }} {{Exemple | contenu = L'[[Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale#Schéma d'inclusions successives|ensemble des entiers relatifs est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels]] : <math>\Z\subset\Q</math>. }} {{Proposition | contenu = Pour tout ensembles <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math>, on a : * <math>E\subset F</math> et <math>F\subset G</math> implique <math>E\subset G</math> ; c’est la [[Relation (mathématiques)/Définition#Relation sur un ensemble|transitivité]] de la relation « est inclus dans ». * <math>E\subset F</math> et <math>F\subset E</math> est équivalent à <math>E = F</math> ; c’est l'[[Relation (mathématiques)/Définition#Relation sur un ensemble|antisymétrie]] de la relation « est inclus dans ». }} {{Démonstration déroulante | contenu = * Soient <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math> trois ensembles. :Supposons <math>E \subset F</math> et <math>F \subset G</math> :Soit <math>x \in E</math>, on a <math>x \in F </math> (car <math>E \subset F</math>) :De même comme <math>x \in F</math> et <math>F \subset G</math> on a <math>x \in G</math> :Donc <math>\forall x \in E, x \in G</math> d'où <math>E \subset G</math> * Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles. :Notons <math>G=\{x\;|\;x \in E \mbox{ et } x \in F\}</math>. <math>G</math> est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à <math>E</math> et à <math>F</math> (en fait <math>G=(F \bigcap E)</math>). :Remarquons que : :<math>(E \subset F) \Leftrightarrow \mbox{tout élément de E appartient a F} \Leftrightarrow (G = E)</math> :De même on a : :<math>(F \subset E) \Leftrightarrow (G = F)</math> :On a ainsi montré : :<math>((E \subset F) \wedge (F \subset E))\Leftrightarrow((G = E) \wedge (G = F))</math> :Or, comme d’autre part : :<math>\mbox{(E = F)} \Leftrightarrow \mbox{(tout élément de E appartient a G)} \wedge \mbox{(tout élément de F appartient a G)}</math> :<math>\Leftrightarrow ((G = E) \wedge (G = F))</math> :On obtient : :<math>((E \subset F) \wedge (F \subset E))\Leftrightarrow((G = E) \wedge (G = F))\Leftrightarrow(E = F)</math> }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Opérations/]] }} c9ew5hbmxx9x96v6yzd3ddpla02a9cj 881022 881021 2022-08-02T11:57:14Z Zetud 1978 Orth., typo. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | page_liée = Exercices/Ensembles | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Opérations/]] }} == Ensembles == === Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance === {{Wikipédia|Appartenance (mathématiques)|Appartenance}} Un ensemble est une '''collection''' ou un ''groupement'' d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. Soit <math>E</math> un ensemble. Quand <math>a</math> est un élément de <math>E</math>, nous disons que <math>a</math> est dans <math>E</math> ou que <math>a</math> appartient à <math>E</math> et nous écrivons <math>a \in E</math>, ce qui se lit « <math>a</math> appartient à <math>E</math> ». Quand, au contraire, <math>a</math> n’est pas élément de <math>E</math>, nous disons que <math>a</math> n'appartient pas à <math>E</math> et nous écrivons <math>a \not\in E</math>, ce qui se lit « <math>a</math> n'appartient pas à <math>E</math> ». === Définition/Notation : ensemble vide === {{Wikipédia|Ensemble vide}} Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l<nowiki>'</nowiki>'''ensemble vide''' <math>\left\{\right\}</math> ou plus souvent <math>\varnothing</math>. ;Remarque :Retenons qu'une chose est un ensemble si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide, nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose. === Exemples d'ensembles === # Les [[Nombre entier naturel|entiers naturels]] <math>0, 1, 2, 3, ...</math> forment un ensemble qui se note <math>\N</math>. # Les [[Nombre entier relatif|entiers relatifs]] <math>..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...</math> forment un ensemble qui se note <math>\Z</math>. # Les [[w:Nombre rationnel|nombres rationnels]] (de la forme <math>\frac pq</math> où <math>p \in \Z</math> et <math>q \in \N^*</math>) forment un ensemble noté <math>\Q</math>. # Les points du plan forment un ensemble. === Définition d’un ensemble en extension et en compréhension === {{Wikipédia|Singleton}}{{Wikipédia|Paire}} Un ensemble peut être défini '''en extension''', c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou '''en compréhension''' c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments. La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2. * L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}. * La répétition d'éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}. Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : <math>\N</math> = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique ''P'' qui dépend de ''x''. L'ensemble est alors constitué de tous les objets ''x'' pour lesquels la condition ''P'' est vraie. Cet ensemble se note {''x'' | ''P''(''x'')}. Par exemple, {''x'' | ''x'' est un nombre réel} désigne l’ensemble <math>\R</math> des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont : * {''x'' ∈ ''A'' | ''P''(''x'')} désigne l’ensemble des ''x'' qui sont déjà éléments de ''A'' tels que la condition ''P'' soit vérifiée pour ces ''x''. Par exemple, si <math>\Z</math> est l’ensemble des entiers, alors {''x'' ∈ <math>\Z</math> | ''x'' est pair} est l’ensemble de tous les entiers pairs. * {''F''(''x'') | ''x'' ∈ ''A''} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble ''A'' dans la formule ''F''. Par exemple, {2''x'' | ''x'' ∈ <math>\Z</math>.} est encore l’ensemble de tous les entiers pairs. * {''F''(''x'') | ''P''(''x'')} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, {propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens. === Définition : égalité de deux ensembles === {{Wikipédia|Axiome d'extensionnalité}} Deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math> sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. <math>E = F</math> signifie donc : <math>\forall x\ \left(x\in E \Leftrightarrow x\in F\right)</math>. ===Prédicat collectivisant=== {{Définition|contenu= Un prédicat <math>\mathcal A(x)</math> est dit collectivisant s'il existe un ensemble <math>A</math> tel que : <math>\forall x(\mathcal A(x)\Leftrightarrow x\in A)</math>. }} {{Remarque|contenu=Par extensionalité {{supra|Définition : égalité de deux ensembles}}, un tel ensemble <math>A</math> est alors unique.}} {{Exemple|titre=Exemples|contenu={{CfExo | idfaculté =mathématiques | exercice =[[../Exercices/Ensembles#Exercice 1-5|Exercice 1-5]] }} *Pour tout ensemble <math>A</math>, le prédicat <math>x\in A</math> est [[w:Trivial (mathématiques)|trivialement]] collectivisant. *Le prédicat <math>x\notin x</math> n'est pas collectivisant : c'est le {{w|paradoxe de Russell}}. }} Référence : {{Ouvrage|auteur=E. Ramis|prénom2=C.|nom2=Deschamps|prénom3=J.|nom3=Odoux|titre=Cours de [[Mathématiques en MP|mathématiques spéciales]]|titre volume=Algèbre|passage=7}} == Sous-ensemble, partie d’un ensemble == === Inclusion === {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-ensemble}}{{Wikipédia|Ensemble des parties d'un ensemble}} Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles quelconques. <math>E</math> est dit '''inclus''' dans <math>F</math> si tout élément de <math>E</math> est un élément de <math>F</math>. On dit aussi que <math>E</math> est un '''sous-ensemble''' de <math>F</math> ou encore que <math>E</math> est une '''partie''' de <math>F</math>. On note <math>E\subset F</math>. Soit : <math>(E \subset F) \Leftrightarrow\left(\forall x \in E\quad x \in F\right)</math>. On note <math>\mathcal P(E)</math> l’'''ensemble des parties''' de <math>E</math>. }} {{Exemple | contenu = L'[[Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale#Schéma d'inclusions successives|ensemble des entiers relatifs est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels]] : <math>\Z\subset\Q</math>. }} {{Proposition | contenu = Pour tous ensembles <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math>, on a : * <math>E\subset F</math> et <math>F\subset G</math> implique <math>E\subset G</math> ; c’est la [[Relation (mathématiques)/Définition#Relation sur un ensemble|transitivité]] de la relation « est inclus dans ». * <math>E\subset F</math> et <math>F\subset E</math> est équivalent à <math>E = F</math> ; c’est l'[[Relation (mathématiques)/Définition#Relation sur un ensemble|antisymétrie]] de la relation « est inclus dans ». }} {{Démonstration déroulante | contenu = * Soient <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math> trois ensembles. :Supposons <math>E \subset F</math> et <math>F \subset G</math> :Soit <math>x \in E</math>, on a <math>x \in F </math> (car <math>E \subset F</math>) :De même comme <math>x \in F</math> et <math>F \subset G</math> on a <math>x \in G</math> :Donc <math>\forall x \in E, x \in G</math> d'où <math>E \subset G</math> * Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles. :Notons <math>G=\{x\;|\;x \in E \mbox{ et } x \in F\}</math>. <math>G</math> est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à <math>E</math> et à <math>F</math> (en fait <math>G=(F \bigcap E)</math>). :Remarquons que : :<math>(E \subset F) \Leftrightarrow \mbox{tout élément de E appartient a F} \Leftrightarrow (G = E)</math> :De même on a : :<math>(F \subset E) \Leftrightarrow (G = F)</math> :On a ainsi montré : :<math>((E \subset F) \wedge (F \subset E))\Leftrightarrow((G = E) \wedge (G = F))</math> :Or, comme d’autre part : :<math>\mbox{(E = F)} \Leftrightarrow \mbox{(tout élément de E appartient a G)} \wedge \mbox{(tout élément de F appartient a G)}</math> :<math>\Leftrightarrow ((G = E) \wedge (G = F))</math> :On obtient : :<math>((E \subset F) \wedge (F \subset E))\Leftrightarrow((G = E) \wedge (G = F))\Leftrightarrow(E = F)</math> }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Opérations/]] }} 74tyh2szwe5nu1pzrso7e5n2im40pju 104 56672 881024 878955 2022-08-02T11:58:57Z Psychoslave 2753 /* Le cas des noms communs */ déplacement en sous-page wikitext text/x-wiki Au-delà du stéréotype phallocratique du puissant – assimilé au viril – ayant un droit naturel de domination, sur le vulnérable – assimilé au féminin – la question du genre biologique et sociologique a fait l’objet d’une large couverture dans [[w:sciences humaines|les humanités]], notamment à travers les [[w:Études de genre|études de genre]]. Dans cette mouvance, ce projet de recherche vise à fournir une analyse grammaticale du genre en français dans une perspective principalement synchronique, sous le spectre de ses implications représentationelles. Cette recherche souhaite notamment éclairer les usages et les descriptions linguistiques des usages au regard de l’influence qu’elles exercent sur la représentation du monde pour ses usagers. Après un exposé des genres grammaticaux existants ne se bornant pas au français, et une analyse critique des grammaires usuels du français plus particulièrement, elle proposera des champs de pratiques alternatives possiblement utiles aux sociétés qui, dans un souci de justice, porterait le principe d’équité citoyenne jusque dans les prémisses tacitement intégrés dans la langue qu’elle emploi. D’un autre côté, cette recherche ne se borne pas au seul cas du genre grammatical lorsqu’il interfère avec les logiques de stéréotype sexuel, qui alimente grandement cette thématique et souvent en limite la perspective<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=M.-L.|nom1=Bourgeois|titre=La différenciation des sexes et des genres. II – Aspects psychosociaux. Débats et polémiques actuelles|périodique=Annales Médico-psychologiques, revue psychiatrique|volume=168|numéro=6|date=2010-07|doi=10.1016/j.amp.2010.05.006|lire en ligne=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S000344871000154X|consulté le=2021-06-21|pages=471–477}}</ref>. Loin de se caler sur cette considération sexualisante du monde, le traitement du genre grammatical varie déjà amplement d’une langue à l’autre dans le temps et l’espace, aussi bien dans son étendu (genre commun, genre neutre…) que dans sa logique (genre animé, genre inanimé…). Cette recherche vise donc au contraire à élargir le plus possible l’exploration des genres grammaticaux employés ou absents à travers les cultures&nbsp;; et de cette horizon élargie au besoin d’idées originales, traiter les sujets plus spécifiques au regard d’un spectre plus variée de considérations. Les commentaires et autres critiques de cette recherche pourront se faire sur [[Discussion Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français|la page de discussion associée]]. == Contexte de rédaction == [[Fichier:ContextFree SpiralTree.png|alt=Image de synthèse d’une fractale pseudoflorale|vignette|Cette [[w:Fractale|fractale]] pseudoflorale générée à l’aide du logiciel Context Free, évoquant les [[w:Vrille (botanique)|vrilles]] des [[w:Plante grimpante|plantes grimpantes]], n’est pas sans lien avec la notion de [[w:Grammaire non contextuelle|grammaire hors-contexte]].]] Le français contemporain, tel que pratiqué dans la [[w:Francophonie|francophonie]] de ce début du troisième millénaire de l’[[w:Ère commune|ère commune]], connaît essentiellement deux genres grammaticaux&nbsp;: le féminin et le masculin. Historiquement, comme pour beaucoup de langue romanes, cette situation résulte de la disparition d’un neutre qui était pleinement assumé parmi ses langues ascendantes il y a quelques siècles. Et bien en amont encore à rebours de quelques millénaires, les théories linguistiques contemporaines admettent généralement une famille linguistique indo-européenne en tant qu’ancêtres communs, et qui auraient entre autres caractéristiques les genres animé et inanimé comme mécanisme de première articulation, complété par d’autres catégories dont le féminin, le neutre et le masculin, en seconde articulation. Même en français contemporain se trouve d’ailleurs encore des composants vestigiaux de cette articulation complémentaire originelle comme dans ''ceci, cela, ça'', ''en'' et ''y'' qui ne servent qu'aux inanimés. Les théories dominantes finissent donc par acter l’abrogation du neutre et du couple animé/inanimé. Dans la foulé, les catégories de féminin et de masculin se sont vues réaffecter des connotations préalablement imputées à celles évanouis. Ces changements opérés dans un contexte fortement patriarcal aboutissent dans de nombreuses langues romanes à une réassignation qui globalement dissipe l’animé dans le masculin et l’inanimé dans le féminin, à travers le prisme convenu d’une idéologie dominante faisant de la femme un objet tout au plus participant à la vie comme utilitaire procréatif et libidinal. Dans le même temps du côté des prépositions, le masculin se voit attribuer un primat pour désigner les groupes de référés<ref group="N">Dans cette recherche le terme ''référé'' est sans lien avec son acceptation juridique. Il renvoie, tout comme ''dénoté'' et ''connoté'', à la substantivation du verbe homophone en sa forme infinitive, et signifie donc ''ce à quoi l’on se réfère'', et notamment du statut ontologique de la topique. Pour des exemples d’antécédents d’une telle pratique, voir par exemple ''[[doi:10.7202/027105ar|Analyse critique de quelques modèles sémiotiques de l’idéologie (première partie)]]'' de Robert Tremblay et ''[[doi:10.4000/germanica.2472|Quelques aspects de la philosophie du langage]] ([[w:Gottlob Frege|Frege]], [[w:Edmund Husserl|Husserl]], [[w:Ludwig Wittgenstein|Wittgenstein]]) et leur incidence en linguistique'' (1990) d’André Rousseau, ce dernier pointant lui-même à ''Linguistique générale'' (1972) de [[w:John Lyons|John Lyons]].</ref> au genre hétérogène, d’où sera tiré l’adage ''le masculin l’emporte toujours sur le féminin''. Depuis un peu moins d’un siècle, les femmes ont dans de nombreux pays francophones conquit un statut social bien moins avilissant<ref group="N">C’est évidement l’ampleur générale du phénomène au niveau social qui est pointé ici. Même dans les systèmes patriarcaux les plus extrêmes, des femmes peuvent occuper des positions sociales remarquables ou prestigieuses en marge de la sujétion générale.</ref>. Encore plus proche de nous se trouve des personnes qui, s’étant vu administrativement attribuer un genre femme à la naissance, veulent socialement se sexuer homme et inversement, et d’autres personnes qui naviguent dans un flou entre ou en dehors de ces catégories, et qui s’épanouissent ainsi là où tous les « ''traitements à leurs déviances'' » ne saurait que les noyer dans le désespoir. Voilà qui dresse une cinématique en avance rapide, ne s’encombrant pas trop de détails ou nuances, des enjeux socio-linguistiques qui alimentent les débats sur le genre grammatical en francophonie. La suite de cette recherche pourra être guidée par la thèse suivante, qu’il s’agira de confronter à des faits empiriques et statistiques : <blockquote>Historiquement, les grammaires officielles ont pris le parti d’amalgamer, dans leurs propositions d’analyse de la langue française, des notions qui restent tacitement actives sur le plan connotatif et donc sémantique. Généralement<ref group="N">Évidemment, les exceptions ne manquent pas, comme dans la majorité des heuristiques grammaticales.</ref>, le féminin est chargé entre autres des genres connotatifs du délicat/raffiné, du fragile, de l’inactif, de l’inanimé, de l’injurieux et du passif, tandis que le masculin se voit attribué entre autres des genres connotatifs du brutal, du puissant, de l’actif, de l’animé, du neutre et du prestigieux.</blockquote>Cette thèse peut notamment s’appuyer sur les conclusions de Michel Roché en 1992, qui au terme de son analyse statistique de la répartition du nom par genre en fonction de son mode de production conclue<ref name=":2">{{Article|prénom1=Michel|nom1=Roché|titre=Le masculin est-il plus productif que le féminin ?|périodique=Langue française|volume=96|numéro=1|date=1992|doi=10.3406/lfr.1992.5785|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1992_num_96_1_5785|consulté le=2021-07-01|pages=113–124}}</ref>&nbsp;:<blockquote>''Le masculin est donc non seulement plus productif que le féminin, mais le lexique qu'il constitue est plus varié, plus valorisé que le lexique féminin. Celui-ci apparaît comme plus archaïque, ou plus marginal : langue savante d'un côté, registre familier de l'autre. Alors que la sexuisemblance se trouve rarement à l'origine de l'attribution du genre, une sexuisemblance a posteriori entretient un cercle vicieux entre la répartition des genres dans la langue d'une part, les stéréotypes et les préjugés sexistes d'autre part. Moins visibles que ceux qui concernent les noms de personnes, les déséquilibres qui caractérisent le genre des noms /-humain/ ont peut-être un impact aussi important.'' </blockquote> == Réflexions sur la grammaire == Puisqu’il s’agit de traiter ici le genre grammatical, il ne sera sans doute pas superflu de formuler quelques rappels et remarques sur la grammaire. ''Grammaire'' dérive de latin ''grammatica'', qui provient lui-même du grec ancien ''<code>grammatikế/γραμματική</code>''&nbsp;: ''art de lire et d’écrire''. Ce dernier procède de <code>grammatikos/γραμματικός</code>&nbsp;: ''lettré, grammatical'' ou ''grammairien''. Ce dernier dérivé dérive lui-même de <code>grámma/γράμμα</code>&nbsp;: ''lettre'', avec le suffixe adjectival <code>-ikós/-ικός</code>. Cette dernière racine provient de <code>gráphô/γράφω</code> : ''écrire, graver'' avec le suffixe suffixe des noms neutres abstraits <code>-ma/-μα</code>. Enfin ce dernier radical proviendrait de l’indo-européen commun <code>*gerbʰ-</code>&nbsp;: ''égratigner''. Même si elle ne s’y limite pas, il est clair que la grammaire porte en son nom même un biais vers la représentation scripturale de l’expression. D’ailleurs même si l’avènement de la linguistique à partir du début du vingtième siècle opère un revirement de posture en mettant l’oral plus à l’honneur, cette perspective n’en introduit pas moins une fondation mutilée des phénomènes communicationnels. La langue ne désigne pas avant tout l’organe emblématique de la phonation de manière fortuite, et si la linguistique s’aventure parfois à analyser d’autres mode d’énonciation<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=Sign languages evolve just like spoken languages|url=https://www.zmescience.com/science/sign-language-evolution-21012020/|site=ZME Science|date=2020-01-22|consulté le=2022-01-15}}</ref>, il n’empêche qu’elle conçois ses modèles en premier lieu sur des modalités plus spécifiques à la phonématique, là où la grammaire prend plus volontier l’écrit comme référence principale. Il ne s’agit pas tant de critiquer ces biais que de les exposer explicitement&nbsp;:toute volonté d’analyse discursive nécessite d’opérer des choix, conscients ou irréfléchis, pour délimiter plus ou moins formellement le domaine d’étude. Autrement dit, ni grammaire ni linguistique, pas plus qu'aucun champ d'étude, ne sauraient fournir des modèles qu’il serait avisé de prendre pour des descriptions neutres et absolument objectives. Par ailleurs Hugo Blanchet dresse dans un billet de 2021 l’itinéraire du terme glamour<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Glamour|url=https://dictionnaire.lerobert.com/dis-moi-robert/raconte-moi-robert/so-british-ou-pas/glamour.html|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2022-01-15}}</ref>, qui entérine la réputation de sensuelle science occulte attachée à la grammaire. Il y explique notament comment il est lié au mot ''grimoire,'' livre de magie'','' en supposant une ''déformation de gramaire, probablement par croisement avec un mot de la famille de grimace, qui remonte au francique *grima « masque, grimage »''. Il indique par ailleurs plus directement le lien sémantique qui unie grammaire et envoûtements, stipulant&nbsp;:<blockquote>''En ancien français comme en moyen anglais, le mot'' gramaire ''a plusieurs sens : il désigne aussi bien l’étude des lettres (latines) que les arts occultes ! En ancien français, la forme masculine gramaire peut ainsi signifier « grammairien » ou « sorcier ».''</blockquote>Il sera intéressant d’ajouter à cela les méconceptions courantes sur la grammaire en s’inspirant par exemple de Charles Ernest Bazell et ses ''Trois conceptions erronées de la notion de grammaticalité'' ou de Noureddine Guella qui en dresse une liste dans ''La grammaire dans tous ces états''<ref>{{Article|prénom1=Charles Ernest|nom1=Bazell|titre=Trois conceptions erronées de la notion de grammaticalité|périodique=Langages|volume=8|numéro=34|date=1974|doi=10.3406/lgge.1974.2255|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1974_num_8_34_2255|consulté le=2022-01-15|pages=11–16}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Revue Al Daawah No. 96, La `Grammaire` dans tous ses états, quelques conceptions erronées|url=https://studylibfr.com/doc/2402082/-grammaire--dans-tous-ses-états|site=studylibfr.com|date=2009-08|consulté le=2022-01-15}}</ref>&nbsp;: * seules les langues écrites sont pourvu d’une grammaire&nbsp;; * pour un corpus linguistique donnée, il n’existe qu’une seule grammaire * les ouvrages de grammaires n’ont que des divergences de présentation didactique et les personnes qui les conçoivent ont l’un dans l’autre des représentations consensuelles dénués de différences structurelles profondes&nbsp;; * une grammaire à force prescriptive et régie la correction d’un énoncé et jouit d’une force d’autorité irrécusable&nbsp;; * un énoncé est grammatical seulement s’il a une valeur ontologique probante&nbsp;; * tout énoncé grammaticalement correct est susceptible d’être employé de façon non-autonyme dans une situation idoine&nbsp;; * la grammaire est une pratique principalement consciente et seules les personnes ayant acquis les compétences d’analyser discursivement les discours dans un vocabulaire consacré ont des compétences grammaticales&nbsp;: * une grammaire est un objet statique et immuable capable de rendre compte de toutes les dynamiques influant les énoncés et toute évolution de la langue qui mettent en défaut une grammaire sont à imputer à la corruption des emplois qui s’écarte de la langue dans sa réalité idéelle. Ces considérations faites sur la grammaire, ce projet pourra donc mieux s’inscrire dans son champ d’étude en connaissance au moins partielle de ses causes, limites, méprises communes et portés effectives. Pour aller plus loin il sera possible de consulter des références annexes<ref>{{Article|prénom1=Françoise|nom1=Armengaud|titre=Modèles et interprétation|périodique=Revue de Métaphysique et de Morale|volume=86|numéro=3|date=1981|issn=0035-1571|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/40902277|consulté le=2022-01-15|pages=389–396}}</ref>. == Étymologie de ''genre'' == [[Fichier:Jean-Léon Gérôme - Diogenes - Walters 37131.jpg|alt=Diogène dépeint par Jean-Léon Gérôme|vignette|''[[w:Diogène|Diogène]]'' dérive de , <bdi>''<code>Diós/Διός</code>''</bdi>&nbsp;: génitif de <code>Zeus/<bdi>Ζεύς</bdi></code> et de <code><bdi>''gígnomai''</bdi>/<bdi>γίγνομαι</bdi></code>&nbsp;: ''naître'', ce qui donne donc littéralement&nbsp;: ''né de Zeus''.]] Bien que l’étymologie ne conduise jamais en soit à une vérité absolue sur les termes concernés, contrairement à ce que l’étymologie du mot étymologie stipule, elle apporte souvent des éclairages intéressant sur le sujet en question. Aussi il paraît intéressant d’exposer ici le réseau étymologique du genre, à commencer par celui du terme ''genre'' lui-même. Le mot genre est apparenté au grec ancien <code>''génos/γένος''</code>, qui entre autres sens convoie les sémantiques suivantes<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=γένος|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-08-29|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B3%CE%AD%CE%BD%CE%BF%CF%82&oldid=28425584|consulté le=2021-12-11}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=gigno|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-03-22|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=gigno&oldid=29309004|consulté le=2021-12-11}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=genus|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-09-20|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=genus&oldid=29794256|consulté le=2021-12-11}}</ref>&nbsp;: naissance, origine, descendance, race, genre, espèce, classe, corporation, nation, peuple, tribu. <code>Génos</code> renvoie à <code>''gígnomai/<bdi>γίγνομαι</bdi>''</code>, qui au sens littéral signifie ''devenir'', ce que complète des sens figurés tel&nbsp;: ''naître, se produire, s’élever, paraître, arriver, s’écouler, avoir lieu, se manifester, atteindre, avoir son effet, s’accomplir''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=γίγνομαι|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-05-22|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B3%CE%AF%CE%B3%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B1%CE%B9&oldid=27965176|consulté le=2021-12-11}}</ref>. Ce dernier est lui-même apparenté au latin ''<code>gigno</code>''&nbsp;: donner naissance. <code>Génos</code> s’apparente aussi au latin ''<bdi><code>genus</code></bdi>'', au sanskrit <code>''jánas''/जनस्</code>, à l’arménien ancien <code>cin/ծին</code>, ''<code>kin</code>'' en anglais, et en grec ancien <code>gaîa/γαῖα</code>&nbsp;: la terre. <code>Gigno</code> dériverait de l’indo-européen commun <code><abbr>*</abbr>''g^en''</code>&nbsp;: porter. De ce dernier serait aussi issu le latin <code>''gens''</code>, ''<code>genus</code>'' et ''<code>nascor</code>''&nbsp;:naître, le grec ancien <code>''gennao/''<bdi>γεννάω</bdi></code>&nbsp;: enfanter, <code>''genomai''/<bdi>γείνομαι</bdi></code>&nbsp;: naître, <code>''gignomai''/<bdi>γίγνομαι</bdi></code>&nbsp;: naître. En dérivent également en français ''genèse'', ''gène'', ''gens'' et le suffixe ''-gène'', en anglais <code>''kin''</code>&nbsp;: ''famille, parent, proche'' et ''<code>kind</code>''&nbsp;: espèce ; en allemand ''<code>Kind</code>''&nbsp;: enfant. <code>Genus</code> est apparenté à ''<code>genesis</code>'' : naissance, genèse, et signifie notamment ''naissance, origine, famille, lignée, sang, nation, peuple, sorte, manière, rejeton, fils, enfant.'' En latin il signifie ''naissance, origine, famille, lignée, sang, nation, peuple, sorte, manière, rejeton, fils, enfant''. Il y est également synonyme de ''<code>gens</code>'' et ''<code>natio</code>''. À ''<code>gigno</code>'' est rattaché les sens d’''engendrer, créer, mettre au monde, enfanter, mettre bas, pondre, faire naître, générer, causer, provoquer, occasionner, produire''. Du côté de <code>''jánas''</code> '', il'' serait issue du proto-indo-européen <code>*ǵénh₁os</code>&nbsp;: race, et signifie lui-même ''race, espèce, classe d’être''<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=जनस्|titre ouvrage=Wiktionary|date=2021-04-26|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=%E0%A4%9C%E0%A4%A8%E0%A4%B8%E0%A5%8D&oldid=62428208|consulté le=2021-12-11}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Message: "Re: Correct etymology of Geneviève/Genovefa" - Behind the Name|url=https://www.behindthename.com/bb/fact/5159916|site=www.behindthename.com|consulté le=2021-12-11}}</ref>. Pour sa part <code>''cin''</code> signifie en arménien ancien&nbsp;: ''naissance, accouchement, origine, source, montée, base d'une montagne, matrice, utérus, tache, signe''. Il dériverait de proto-indo-européen ''<code>*ǵénh₁os</code>''<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=ծին|titre ouvrage=Wiktionary|date=2020-09-11|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/w/index.php?title=%D5%AE%D5%AB%D5%B6&oldid=60374391|consulté le=2021-12-11}}</ref> ayant lui-même les sens de ''race'', ''filiation,'' ''lignée.'' Ces quelques considérations permettent probablement de se faire une meilleur idée des notions qui parsèment le champ sémantique de celle de genre. == Typologie préliminaire de genres grammaticaux == Cette partie vise à distinguer les cas qui sont susceptibles d’être rendu par un appareillage linguistique de genre. Avant de détailler ces différentes catégories, cette section fait le point sur quelques précisions typologiques. D’abord il convient de rappeler que le genre grammatical porte principalement sur le nom, par opposition à d’autres classes grammaticales comme l’adverbe qui lui est généralement invariable en genre et en nombre<ref group="N">Avec comme souvent quelques notables exceptions comme <nowiki>''toutes''</nowiki>.</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Michaut,|nom1=Gustave|titre=Question de grammaire. Les adjectifs qualificatifs et les... autres|périodique=Revue internationale de l'enseignement|volume=87|numéro=1|date=1933|lire en ligne=http://education.persee.fr/doc/revin_1775-6014_1933_num_87_1_8330|consulté le=2021-07-09}}</ref>. Aussi si c’est le nom qui est porteur intrinsèque du genre grammatical, sa présence dans une phrase influe sur d’autres éléments. Dans un énoncée comme «&nbsp;sa majesté s’est dite lumineuse&nbsp;», le nom majesté détermine la forme de l’article ''sa'', du verbe ''dite'' et de l’adjectif ''lumineuse''. De plus, si majesté est toujours de genre grammaticale féminin, il n’informe pas avec certitude du sexe du référé. C’est un titre qui peut s’employer en principe indépendamment de cet attribut. Cependant tant sur un plan historique que du [[w:Stéréotype|stéréotype]] social, l’usage l’associe majoritairement à une figure mâle. À l’inverse, un mot potentiellement tout aussi ambivalent sur le référé comme ''pute'' ou ''sage-femme'', sont dans l’imaginaire connotatif collectif avant tout attaché à la femme. La grammaire du français affecte donc toujours au moins un ''genre énonciatif''<ref group="N">Abstraction faite des quelques cas ou l’usage hésite, tel ''bretzel'', ou le genre fluctue en fonction du nombre, tel ''délice,'' où de la position syntaxique, tel ''gens''.</ref> à chaque nom, à l’influence morpho-syntaxique manifeste&nbsp;; mais s’y adjoint généralement un second ''genre connotatif'', dont l’influence purement sémantique reste tacite. Les deux pouvant se dissocier. De surcroît, lorsque le référé lui-même est supposé genré, notamment via une correspondance à un sexe biologique, un troisième type de genre se superpose, un genre référentiel. Celui-ci peut tout à fait influer sur le genre énonciatif, par exemple les pronoms, bien que cette influence peut tout à fait être outrepassé par l’interférence du genre énonciatif d’un référant pointant vers le même référé. Ainsi dans ''Dominique est si affectueuse, qu’elle en est charmante'' et ''Dominique est si affectueux, qu’il est en charmant'', c’est directement le sexe attribué au référé Dominique qui détermine la forme de l’adjectif. Alors que dans ''Dominique, cette personne si affectueuse, qu’elle en est charmante'', ça n’est plus le cas&nbsp;: c’est le genre énonciatif du référant ''personne'' qui détermine la forme des termes [[w:Anaphore (grammaire)|anaphoriques]] subséquents et le sexe de ''Dominique'' n’influe plus son charme. Au passage, il peut être remarqué qu’en français les pronoms personnels ne sont eux même directement marqués par le genre qu’à la troisième personne&nbsp;:''elle'' et ''elles'' ou ''il'' et ''ils'' selon le nombre, mais ''je'', ''tu'', ''vous'' quel que soit le genre. Cela contraste avec ce qui se pratique en [[w:Khasi|khasi]], [[w:Koasiti|koasiti]] ou [[w:Thaï|thaï]]<ref name=":0" />. Le genre grammatical est parfois également nommé [[w:Classe nominale|classe nominale]]. Mais en fonction des approches linguistiques, la classe nominale peut être présentée comme un système de catégorisation pleinement distinct. Notamment parce que dans les langues non-indoeuropéennes, la classe des catégories associées est nettement plus variée. Le [[w:Peul|peul]] à lui seul possède 26 classes nominales, et les [[w:Langues nigéro-congolaises|langues nigéro-congolaises]] dont il fait partie ont généralement une dizaine de classes ou plus, définies selon des critères non liées au sexe. Cette richesse est également présente dans les [[w:Langues bantoues|langues bantoues]] où les oppositions sémantiques comme liquide/solide, grand/petit, plat/en relief, rond comme une bague/rond comme une balle sont exprimées par des classes nominales<ref name=":4">{{Article|prénom1=Patrizia|nom1=Violi|titre=Les origines du genre grammatical|périodique=Langages|volume=21|numéro=85|date=1987|doi=10.3406/lgge.1987.1526|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1987_num_21_85_1526|consulté le=2021-07-01|pages=15–34}}</ref>. À l’extrême inverse, les [[w:Langues finno-ougriennes|langues finno-ougriennes]], comme le finlandais et le hongrois, se caractérisent par l'absence totale de genre grammatical, même dans le cas du pronom personnel. Et dans une perspective plus large, une typologie segmentant des classes de mots tel que nom, verbe, etc. n’est pas toujours aisément applicable, comme en mandarin ou malgache, voir complètement inopérante dans certaines langues amérindienne<ref name=":0">{{Article|prénom1=Michel|nom1=Arrivé|titre=Coup d'œil sur les conceptions du genre grammatical|périodique=Comptes rendus des séances de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres|volume=141|numéro=1|date=1997|doi=10.3406/crai.1997.15705|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/crai_0065-0536_1997_num_141_1_15705|consulté le=2021-07-03|pages=81–96}}</ref>. Il importe donc de garder à l’esprit que le genre grammaticale, ni même le fait qu’elle soit présente et porté par le nom ne tiens l’épreuve d’une confrontation aux us et coutumes divers. Et quand il est présent, il ne diffère pas fondamentalement d’autres procès de variation morphologique. Ainsi en français les verbes se conjuguent selon des caractéristiques comme leur appartenance à un groupe paradigmatique, le mode, le temps, la personne. Les modalités influençant la variation diffèrent par rapport au nom, mais les mécanismes en jeu ne sont pas radicalement divergents. En commun il y a une typologie métalinguistique des mots sur laquelle se greffent des catégories permettant d’en discriminer l’emploi selon des considérations hétéroclites&nbsp;: concordance morpho-syntaxique de l’énoncé bien évidemment, mais également contexte d’énonciation, connaissances et croyances sur la situation et les différentes personnes qui y sont considérées, contraintes axiologiques et stratégies visant l’ostentation d’adoubement ou d’insoumission à une prérogative sociale, etc. Cette section à déjà permis d’affiner plusieurs types de genres grammaticaux&nbsp;: * énonciatif, qui se rattache avant tout au mot indépendamment de ce à quoi il réfère, et qui constitue la principale influence morpho-syntaxique du genre&nbsp;; * connotatif, qui se rattache avant tout à la catégorie stéréotypique de la classe des référés désignables par le terme concerné, et qui est essentiellement sans effet morpho-syntaxique mais joue pleinement sur le champ sémantique&nbsp;; *métalinguistique, qui caractérise les typologies dont les usagers tiennent compte – fut-ce inconsciemment – pour produire et interpréter des énoncés considérés comme grammaticaux dans leurs propres compétences au maniement des us et coutumes de leur communauté linguistique&nbsp;; * référentiel, qui se rattache avant tout aux préjugés culturelles par lequel le référé spécifique est catégorisé. [[Fichier:Typologie de genres grammaticaux.svg|centré|vignette|alt=Deux personnages en costume, le premier une femme qui pointe le second du doigt en disant l’énoncé <nowiki>''Il porte un costume''</nowiki>.|800x800px|Illustration d’une répartition des représentations en lien avec un énoncé comme ''Il porte un costume''.]] [[Fichier:Biseksueel Transgender Symbool.png|alt=Symbole du genre transsexuel et de la bisexualité|vignette|Symbole pour représenter une autre catégorie dans la même veine de typologie&nbsp;: genre transsexuel, ici conjugué à la notion de bisexualité par la symbolique des couleurs.]] Il n’aura probablement pas échappé au lectorat que relativement au traitement du sujet sur le plan de la typologie sexualisante, la précédente illustration se focalise sur une représentation binaire. Cela s’explique d’abord par le fait que l’image a été composé sur la base des médias disponibles sur Wikimedia Commons. Force est de constater que l’iconographie hors du féminin ou masculin y est moins abondante : trouver une illustration qui représenterait un personnage stéréotypant une personne transgenre dans le même style graphique n’a pas été possible. Par ailleurs une illustration statique doit composer avec ses propres limites : celles-ci ne représente pas tous les stéréotypiques sociaux, pas plus qu’elle n’est exhaustive sur les types lexicaux en se bornant à mettre en avant un pronom et un verbe. Pour aller plus loin sur des notions connexes, il sera possible de consulter des ressources afférentes à des sujets connexes<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Anne-Marie van|nom1=Bockstaele|titre=Traduction ou réécriture des genres ? Le cas de Lucie Delarue-Mardrus (1874-1945)|périodique=Palimpsestes. Revue de traduction|numéro=22|date=2009-10-09|issn=1148-8158|doi=10.4000/palimpsestes.199|lire en ligne=https://journals.openedition.org/palimpsestes/199|consulté le=2021-12-23|pages=149–167}}</ref>. == Les genres du genre == {{/genres}} == Lemme grammatical sur le genre == [[Fichier:Gorges de la Lemme 014.jpg|alt=Photographie des gorges de la Lemme, gorges du massif du Jura, où coule la rivière Lemme|vignette|Dans les Gorges de la Lemme, un flux fait son chemin]] Les catégorie exposées ci après offre très nettement les distinctions observables qui existent entre nomenclature grammaticale et les différents niveaux de catégorisation qui ont été proposé dans la typologie linguistique précédemment exposée distinguant genre énonciatif, connotatif et référentiel. Si une dichotomie sémantique plus ou moins nettement définissable peut être supposé à l’origine des effets syntaxiques observables dans les énoncés, ces deux plans linguistiques se montrent à tout le moins propres à une dissociation pragmatique que la plupart des grammaires n’explicitent pas par une autonomisation terminologique, préférant un maintien de l’ambiguïté qui ont l’avantage de les inscrire dans la continuité d’autres analyses historiques. Sans aller jusqu’à mettre en doute l’interférence entre des plans qui peuvent assurément se recouper de manière plus ou moins prégnante en fonction des situations, il paraît ici approprié d’affirmer que&nbsp;:<blockquote> toute grammaire usant d’une notion de genre sans en préciser les modalités superpositionnelles introduit plus d’équivoque que de clarification.</blockquote> == Catégories de genres grammaticaux == Cette section vise à répertorier les termes de catégorisation qui ont un usage plus ou moins répandu en tant que valeur possible affectable au genre grammaticale. Elle vise plus à fournir un tour d’horizon des pratiques qu’une description exhaustive de chacune de ces catégories. === Ambigène === [[Fichier:Epepeotes ambigenus Chevrolat, 1841 (2869513251).jpg|alt=Photo d’un Epepeotes ambigenus|vignette|''Epepeotes ambigenus'' s’est vu assigné ce nom pour une raison qui paraissait sûrement pleinement valable à [[w:Louis Alexandre Auguste Chevrolat|Louis Alexandre Auguste Chevrolat]] quand il l’a choisi en 1841<ref>{{Lien web|nom1=ondrej.zicha(at)gmail.com|prénom1=Ondrej Zicha;|titre=BioLib: Biological library|url=https://www.biolib.cz/en/taxon/id230993/|site=www.biolib.cz|consulté le=2021-12-15}}</ref>.]] Timoc-Bardy Romana emploi le terme de genre ambigène dans ''Pluralité et catégorisation'' en qualifiant de ''substantifs ambigènes du roumain'' les noms passant d’un masculin singulier à un féminin pluriel, sémantique qui se retrouve dans d’autres emplois similaires<ref>{{Article|prénom1=Romana|nom1=Timoc-Bardy|titre=Pluralité et catégorisation. Les substantifs ambigènes du roumain|périodique=Faits de langues|volume=7|numéro=14|date=1999|doi=10.3406/flang.1999.1284|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/flang_1244-5460_1999_num_7_14_1284|consulté le=2021-08-08|pages=207–215}}</ref><ref>{{Article|titre=Chronique|périodique=Romania|volume=76|numéro=303|date=1955|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/roma_0035-8029_1955_num_76_303_3476|consulté le=2021-08-24|pages=418–432}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Valeriu|nom1=Rusu|titre=Lombard (Alf), La langue roumaine. Une présentation|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=57|numéro=4|date=1979|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1979_num_57_4_5622_t1_1066_0000_4|consulté le=2021-08-24|pages=1066–1073}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Chambon|titre=Notes de toponymie auvergnate|périodique=Nouvelle revue d'onomastique|volume=54|numéro=1|date=2012|doi=10.3406/onoma.2012.1749|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/onoma_0755-7752_2012_num_54_1_1749|consulté le=2021-08-24|pages=75–87}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Laurent|nom1=Danon-Boileau|prénom2=Mary-Annick|nom2=Morel|titre=Présentation générale|périodique=Faits de langues|volume=7|numéro=14|date=1999|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/flang_1244-5460_1999_num_7_14_1259|consulté le=2021-08-24|pages=5–10}}</ref>. Cette catégorie peut donc ce définir comme&nbsp;: <blockquote>👉 genre grammatical qui suit une variation par l’interférence de considérations sémantico-syntaxiques tierces, comme la variation en nombre dans le contexte d’emploi.</blockquote>[[w:Marina Yaguello|Marina Yaguello]] pour sa part l’emploi pour qualifier des proposition de pronoms alternatifs en anglais visant à couvrir les deux genres exprimé usuellement par ''he'' et ''she,'' comme le ''thon'' de Charles Converse proposé en 1889, les triplets nominatif, accusatif et génitif ''she, herm, heris'' de Dana Densmore en 1970, précédent celui de Miller et Swift ''tey, tem, ter'' en 1972<ref>{{Article|prénom1=Marina|nom1=Yaguello|titre=Pronoun envy ou la querelle du masculin générique|périodique=Cahiers Charles V|volume=1|numéro=1|date=1979|doi=10.3406/cchav.1979.899|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/cchav_0184-1025_1979_num_1_1_899|consulté le=2021-08-24|pages=151–159}}</ref>. En ce sens le terme recouvre donc le même sens que celui de genre hybride décrit ci-après. Le terme et ses pendants allemands et latin ''ambigen'' et ''ambigens'' trouve par ailleurs des emplois plus ou moins proche des précédents dans la littérature spécialisée<ref>{{Article|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Chambon|prénom2=Emmanuel|nom2=Grélois|titre=Renouvellement formel et resémantisation en microtoponymie : trois exemples clermontois (Les Neuf Soleils, Les Rivaux, Champcourbe)|périodique=Nouvelle revue d'onomastique|volume=45|numéro=1|date=2005|doi=10.3406/onoma.2005.1564|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/onoma_0755-7752_2005_num_45_1_1564|consulté le=2021-08-24|pages=83–92}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Charles|nom1=Guignebert|titre=Remarques sur quelques conceptions chrétiennes antiques touchant l'origine et la nature de l'âme|périodique=Revue d'Histoire et de Philosophie religieuses|volume=9|numéro=6|date=1929|doi=10.3406/rhpr.1929.2745|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rhpr_0035-2403_1929_num_9_6_2745|consulté le=2021-08-24|pages=428–450}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Ferdinand|nom1=Lot|titre=Mélanges d'histoire bretonne (suite)|périodique=Annales de Bretagne et des pays de l'Ouest|volume=23|numéro=4|date=1907|doi=10.3406/abpo.1907.1283|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/abpo_0003-391x_1907_num_23_4_1283|consulté le=2021-08-24|pages=553–579}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Herbert|nom1=Pütz|titre=Über die Syntax der Pronominalform es im modernen Deutsch|périodique=DRLAV. Documentation et Recherche en Linguistique Allemande Vincennes|volume=6|numéro=1|date=1973|doi=10.3406/drlav.1973.883|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/drlav_0754-9296_1973_num_6_1_883|consulté le=2021-08-24|pages=1–237}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Arnold|nom1=Fayen|titre=L'Antigraphum Petri et les lettres concernant Lambert le Bègue conservées dans le manuscrit de Glasgow|périodique=Bulletin de la Commission royale d'Histoire|volume=68|numéro=9|date=1899|doi=10.3406/bcrh.1899.2284|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/bcrh_0770-6707_1899_num_68_9_2284|consulté le=2021-08-24|pages=255–356}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Jeannine|nom1=Cossé-Durlin|titre=Cartulaire de Saint-Nicaise de Reims (XIIIe siècle)|volume=46|éditeur=Persée - Portail des revues scientifiques en SHS|date=1991|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/dirht_0073-8212_1991_cat_46_1|consulté le=2021-08-24}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Charles|nom1=Pietri|titre=Roma christiana. Recherches sur l'Église de Rome, son organisation, sa politique, son idéologie, de Miltiade à Sixte III (311-440)|volume=224|éditeur=Persée - Portail des revues scientifiques en SHS|date=1976|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/befar_0257-4101_1976_mon_224_1|consulté le=2021-08-24}}</ref><ref name=":23">{{Article|prénom1=Nicole|nom1=Pradalier|titre=L'homme et son genre|périodique=La linguistique|volume=48|numéro=2|date=2012|issn=0075-966X|issn2=2101-0234|doi=10.3917/ling.482.0109|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ling.482.0109|consulté le=2021-08-24|pages=109}}</ref><ref>Demoulin Christian, « 7. Homosexualité et sexuation », dans : , ''Se passer du père ?''sous la direction de Demoulin Christian. Toulouse, Érès, « Humus - subjectivité et lien social », 2009, p. 131-145. URL : https://www.cairn.info/se-passer-du-pere--9782749211428-page-131.htm </ref>. === Ambigu === [[Fichier:Ambigram Ambiguity (animated).gif|alt= Ambigramme Ambiguity (ambiguïté en anglais), symétrie par rotation de 180 degrés.|vignette|Parfois retourner un problème en sens inverse peut laisser dans le même état de perplexité…]] [[w:Léon Fleuriot|Léon Fleuriot]] en 1985 dans son ''Essai d’interprétation analytique'' décrit le mot gaulois ''ualentos'' comme un ''génitif d’anthroponyme de genre ambigu''<ref>{{Article|prénom1=Léon|nom1=Fleuriot|titre=Essai d’interprétation analytique|périodique=Études celtiques|volume=22|numéro=1|date=1985|doi=10.3406/ecelt.1985.1791|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ecelt_0373-1928_1985_num_22_1_1791|consulté le=2021-08-24|pages=138–155}}</ref>. [[w:Michel Lejeune (linguiste)|Michel Lejeune]] lui emploi ''genre ambigu'' pour qualifier le [[w:Cognomen|cognomen]] ''Gemma'' et le suffixe -āti-<ref>{{Article|prénom1=Michel|nom1=Lejeune|titre=Approche du texte|périodique=Études celtiques|volume=22|numéro=1|date=1985|doi=10.3406/ecelt.1985.1790|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ecelt_0373-1928_1985_num_22_1_1790|consulté le=2021-08-24|pages=118–138}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Michel|nom1=Lejeune|titre=Inscriptions lapidaires de Narbonnaise (I-VII)|périodique=Études celtiques|volume=12|numéro=1|date=1968|doi=10.3406/ecelt.1968.1418|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ecelt_0373-1928_1968_num_12_1_1418|consulté le=2021-08-24|pages=21–91}}</ref>. [[w:Jacques Chaurand|Jacques Chaurand]] pour sa part indique que ''le'' en picard est d’un genre ambigu<ref>{{Article|prénom1=Jacques|nom1=Chaurand|titre=Caractères originaux de la microtoponymie du Pas-de-Calais|périodique=Actes des colloques de la Société française d'onomastique|volume=14|numéro=1|date=2014|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/acsfo_0000-0000_2014_act_14_1_1188|consulté le=2021-08-24|pages=17–35}}</ref>. Corinne Jouanno nous rappelle en 2009 que [[w:Michel Psellos|Michel Psellos]] désigne [[w:Favorinus d'Arles|Favorinus d'Arles]] comme ''sophiste au genre ambigu'', par ''allusion voilée à son androgynie''<ref>{{Article|prénom1=Corinne|nom1=Jouanno|titre=Les Byzantins et la seconde sophistique : étude sur Michel Psellos|périodique=Revue des Études Grecques|volume=122|numéro=1|date=2009|doi=10.3406/reg.2009.7945|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_2009_num_122_1_7945|consulté le=2021-08-24|pages=113–143}}</ref>. Certains n’hésitent pas à utiliser la qualificatif d’''ambigu'' pour définir le genre épicène sans autre forme de précision<ref>Mariani Joseph, Francopoulo Gil, Paroubek Patrick, « Le corpus NLP4NLP pour l’analyse bibliométrique de 50 années de recherches en traitement automatique de la parole et du langage naturel », ''Document numérique'', 2017/2-3 (Vol. 20), p. 31-78. DOI : 10.3166/dn.2017.00012. URL : https://www.cairn.info/revue-document-numerique-2017-2-page-31.htm </ref>. Martha Keil pour sa part précise qu’il permet de qualifier des noms qui ''ont été vraiment portés par des hommes comme par des femmes''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Martha|nom1=Keil|titre=Hendl, Suessel, Putzlein. Les noms des femmes dans les communautés ashkénazes (xive-xve siècle)|périodique=Clio. Femmes, Genre, Histoire|numéro=45|date=2017-05-01|issn=1252-7017|doi=10.4000/clio.13504|lire en ligne=http://journals.openedition.org/clio/13504|consulté le=2021-08-24|pages=85–105}}</ref> et en ce sens en fait un simple homonyme d’épicène. D’autres explorent des approches nettement plus sociologiques qui l’associent au résultat de diverses formes de transgression des catégories de genre stéréotypiques, par exemple dans les représentations de figures divines<ref>{{Chapitre-B|prénom1=Grégory|nom1=Dessart|prénom2=Zhargalma|nom2=Dandarova-Robert|prénom3=Pierre-Yves|nom3=Brandt|titre chapitre=Construction et transgression des catégories de genre dans les représentations de figures divines : comparaison interculturelle de dessins d’enfants et adolescents|titre ouvrage=Imaginaires queers|éditeur=BSN Press|date=2020-10-29|doi=10.3917/bsn.becci.2020.01.0093|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/bsn.becci.2020.01.0093|consulté le=2021-08-24|passage=93–112}}</ref>. Où dans des enjeux sociétaux plus directs comme qualificatif de l’identité des veuves&nbsp;: ''leur autorité étant respectée quand elles adoptent légitimement des rôles masculins, tout en étant limitée par des règles qui défavorisent systématiquement les femmes''<ref>{{Article|titre=Comptes rendus|périodique=Annales de démographie historique|volume=116|numéro=2|date=2008|issn=0066-2062|issn2=1776-2774|doi=10.3917/adh.116.0281|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/adh.116.0281|consulté le=2021-08-24|pages=281}}</ref>. Rachel Baker généralise un peu plus en le mettant en lien avec ''la manière dont l’identité se construit à partir de clichés et d’instantanés renvoyés par l’entourage immédiat et la société''<ref>{{Lien web|nom1=Baker|prénom1=Rachel|titre=« Le désir d’être soi » : fragmentation et identités dans Kuessipan de Naomi Fontaine suivi du texte de création sois qui peux|url=https://escholarship.mcgill.ca/concern/theses/c247dv667|site=escholarship.mcgill.ca|consulté le=2021-08-24}}</ref>. Et Luca Paltrinieri enfonce le clou en l’utilisant pour qualifier la société elle même comme concept oscillant entre système machinal et organisme vivant<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Luca|nom1=Paltrinieri|titre=Gouverner le choix procréatif : biopolitique, libéralisme, normalisation|périodique=Cultures & Conflits|numéro=78|date=2010-12-15|issn=1157-996X|doi=10.4000/conflits.17963|lire en ligne=http://journals.openedition.org/conflits/17963|consulté le=2021-08-24|pages=55–79}}</ref>. Ces quelques attestations éparses ne permettent pas de dresser un portrait clair des invariants pouvant décrire un ''genre ambigu'' nettement identifié et homogène, ou pour reprendre les mots de Paul Delbouille sortir celui-ci d’un ''genre ambigu dont la définition est encore aujourd'hui vague et incertaine''<ref>{{Article|titre=Chronique —Kroniek|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=49|numéro=4|date=1971|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1971_num_49_4_2895|consulté le=2021-08-24|pages=1302–1421}}</ref>&nbsp;: il se révèle tout au moins autologique. Le terme de ''genre ambigu'' est de fait très majoritairement plutôt employé en dehors de tout sens de catégorie grammaticale, pour désigner notamment des styles littéraires ou autre à la frontière de deux canons établis. Pour aller plus loin, sur des plans qui excèdent les frontières de la présente section il sera possible de consulter d’autres ressources afférentes au genre ambigu dans divers emploi<ref>{{Lien web|nom1=Pedneault-Deslauriers|prénom1=Julie|titre=Music on the fault line: Gender, sexuality, and the Second Viennese School, 1899-1925|url=https://escholarship.mcgill.ca/concern/theses/x633f158x|site=escholarship.mcgill.ca|consulté le=2021-08-24}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Kim|nom1=Raymond|titre=Autobiographie et engagement : l’ambiguïté du genre et le discours politique de L’Amérique au jour le jour comme laboratoire scripturaire dans l’œuvre de Simone de Beauvoir|date=2012-04-05|lire en ligne=https://papyrus.bib.umontreal.ca/xmlui/handle/1866/7005|consulté le=2021-08-24}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Coco|nom1=Riot|titre=L’art queer face au sexe|périodique=Inter : art actuel|numéro=112|date=2012|issn=0825-8708|issn2=1923-2764|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/inter/2012-n112-inter0343/67680ac/|consulté le=2021-08-24|pages=20–22}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Alexandra|nom1=Arvisais|titre=Andrea Oberhuber, avec des accompagnements de Catherine Mavrikakis, Nicole Brossard et Verena Stefan, Corps de papier. Résonances, Québec, Nota bene, coll. « Nouveaux essais Spirale », 2012, 238 p.|périodique=Recherches féministes|volume=27|numéro=1|date=2014|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/1025427ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/2014-v27-n1-rf01435/1025427ar/|consulté le=2021-08-24|pages=261–265}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Andrew|nom1=Gayed|titre=Islamicate Sexualities: The Artworks of Ebrin Bagheri / Islamité et sexualités : l’art d’Ebrin Bagheri|périodique=esse arts + opinions|numéro=91|date=2017|issn=0831-859X|issn2=1929-3577|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/esse/2017-n91-esse03176/86084ac/|consulté le=2021-08-24|pages=16–25}}</ref>. === Animéité === Les théories linguistiques contemporaines présentent l’animéité comme le critère originel de discrimination par genre grammatical, tout au moins pour les langues indo-européennes<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Antoine|nom1=Meillet|titre=Les formes nominales en slave|périodique=Revue des études slaves|volume=3|numéro=3|date=1923|issn=0080-2557|doi=10.3406/slave.1923.7284|lire en ligne=https://doi.org/10.3406/slave.1923.7284|consulté le=2021-07-09|pages=193–204}}</ref>. Toujours selon cette vue consensuelle, cette structuration du genre distingue donc l’animé et l’inanimé. L’animé comprenant lui-même les sous genre féminin et masculin, et l’inanimé portant le sous-genre neutre.[[Fichier:Heart and Soul nebulae.jpg|alt=Nébuleuse du cœur et nébuleuse de l'âme|vignette|Le cosmos est-il une entité animée douée d'une raison consciente et soucieuse d’esthétique ?]] Étymologiquement, ''animé'' dérive du latin ''<code>ănĭma</code>''&nbsp;: ''souffle, vent, exhalaison'', provenant lui-même de l’indo-européen commun <code><abbr>*</abbr>''anə-''</code>&nbsp;'':'' ''respirer''<ref>{{Lien web|auteur1=Julius Pokorny|titre=Indo-European Etymological Dictionary - Indogermanisches Etymologisches Woerterbuch|url=https://academiaprisca.org/indoeuropean.html|site=academiaprisca.org|consulté le=2021-07-09}}</ref>. Ce dernier donne aussi en latin ''<code>animus</code>''&nbsp;: ''esprit, âme'', et ''<code>halo</code>''&nbsp;: exhaler une odeur&nbsp;; le grec ancien <code>''anemos/''ἄνεμος</code>&nbsp;: ''vent, agitation de l’âme''&nbsp;; le protoslave <code><abbr>*</abbr>''vonja''</code>&nbsp;; le tchèque ''<code>vůně</code>''&nbsp;: odeur&nbsp;; le russe <code>vonʹ/вонь</code>&nbsp;: ''odeur forte.'' Par ailleurs le français ''animal'' vient du latin homographe <code>''animal''</code>&nbsp;: ''être vivant, être animé, créature, animal'', qui dérive lui aussi de ''<code>anima</code>''.<blockquote>ℹ️ Toute spéculation sur une manière exogène de concevoir le monde, et de l’impact d’une telle représentation sur le langage et sa grammaire sera de toute évidence au mieux à accueillir avec un scepticisme bienveillant. Même pour une personne, tel [[w:Ahmadou Kourouma|Ahmadou Kourouma]], qui s’est vue bercée dans une culture animiste et francophone contemporaine, le lexique francophone ne peut retranscrire qu’improprement les représentations mentales correspondantes<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Ahmadou|nom1=Kourouma|titre=Écrire en français, penser dans sa langue maternelle|périodique=Études françaises|volume=33|numéro=1|date=1997|issn=0014-2085|issn2=1492-1405|doi=10.7202/036057ar|lire en ligne=http://id.erudit.org/iderudit/036057ar|consulté le=2021-07-09|pages=115}}</ref>. Le lectorat est donc invité à user de son esprit critique et à évaluer avec circonspection les idées présentées ci-après&nbsp;: indépendamment du sérieux de leurs expressions, elles ne saurait établir une correspondance certaine aux croyances et pratiques effectives, et de surcroît à la conscience représentationelle qui s’y rapporte, de peuples depuis longtemps disparus et n’ayant laissé aucune trace écrite. </blockquote>Bien sûr en synchronie le terme ''animé'' peut évoquer l’aptitude autonome pour un objet d’impulser des mouvements, dont son notamment les êtres vivants. En terme de catégorie de genre grammatical il découle cependant assurément d’un terme qui renvoie à l’âme de cet objet plus que d’une manifeste motilité. Sous une perspective animiste, paradigme métaphysique qui à eu court dans les cultures qui ont forgé les langues indo-européennes, le fait de distinguer ce qui à une âme de ce qui n’en a pas, n’offre pas une correspondance forte entre genre énonciatif et genre référentiel. Si, pour l’anisme, tout objet désignable porte une âme<ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Iwao,|nom1=Seiichi|prénom2=Sakamato,|nom2=Tarō|prénom3=Hōgetsu,|nom3=Keigo|prénom4=Yoshikawa,|nom4=Itsuji|titre=149. Animisme|périodique=Dictionnaire historique du Japon|volume=1|numéro=1|date=1963|lire en ligne=http://www.persee.fr/doc/dhjap_0000-0000_1963_dic_1_1_987_t2_0043_0000_2|consulté le=2021-07-09}}</ref>, alors une correspondance grammaticale dans un paradigme de l’animéité devrait classer tout référant à des objets concrets comme animé. Poussée dans leurs degrés les plus totaux, une perspective moniste —&nbsp;l’un de l’âme du monde est partout diffuse — ou omniste —&nbsp;chaque objet appréhendable est doué de son âme propre&nbsp;— les catégories dualistes sont infondables. [[Fichier:Judean desert030.jpg|alt=Photo prise depuis le désert de Judée, en contre-plongé, au pied d’une falaise rocheuse, avec un ciel de jour dégagé laissant apparaître la lune|vignette|Dans une représentation pananimiste, même la roche, les nuages, le ciel et la lune relèvent de l’''ánemos'' sacralisé.]] La littérature utilise aussi bien le terme inanimé que non-animé comme nom s’opposant à l’animé. Si cette diversité de nom peut paraître anodine, la synonymie est en fait bien loin de se recouper dans des correspondances sémantiques équivoques. Le premier, ''inanimé'', lexicalise de manière intégré, plus propre à conféré une autonomie sémantique. Le second, ''non-animé'', construit par composition, renforce morphologiquement l’explicitation sémantique d’un lien d’interdépendance et de subordination à l’animé. Ces remarque sont évidemment tout aussi valables pour les autres noms de catégorie construits via ces différents moyens d’opposition morphologique. Si l’animisme, ou tout moins la notion d’âme, ne fournie pas le critère discriminant de l’animéité, il reste à chercher dans une analyse comparative comment en contre partie de fournir à l’animé ses bornes fondatrices, l’inanimé se voit pourvut d’une existence propre pourvu de son évolution autonome bien qu’inextricablement liée. De là il n’est pas étonnant de constater une répartition du genre qui ne suive pas de logique unique claire. Ainsi en algonquin, le genre animé concerne toutes les vies animales, ce qui suit directement la logique déjà explicitée se calquant sur l’aspect biologique. Les Algonquins emploi ce même genre pour ce qui a de l'importance dans leur système de valeur culturel. Cela comprends par exemple arbres, arcs, astres, avirons, certains fruits, la glace, la neige, peaux, pipes et tonnerre. Les hommes entrent également dans cette catégorie. Quant au genre inanimé, il concerne tout ce qui considéré sans vie ou de peu d'importance pour le peuple autochtone algonquien comme un avion, un canon, un château<ref name="Dico">G. Lemoine, Prêtre O.M.I., ''Dictionnaire français-algonquin'', [[Chicoutimi]], Imprimeur G. Delisle, Bureau de journal « Le travailleur », 1909 (Conférence au Congrès des Américanistes à Québec le 10 septembre 1906). Le père oblat Georges Lemoine (1860-1912) est l'auteur de plusieurs ouvrages, notamment le ''Dictionnaire français-montagnais'' (1901), une ''Histoire sainte'' en [[Innu-aimun|montagnais]], et un ''Dictionnaire français-algonquin'' (1909).</ref>. Il y a donc via l’animéité de l’algonquin infusion d’un prestige qui dépasse le cadre — supposé originel — de la dignité accordé initialement aux animaux. Ce glissement sémantique, ou en mettant de côté l’idée d’originelité, cette flexibilité conceptuelle, est également pleinement opérante en français contemporain. Par exemple dans une métaphore telle ''transformer une œuvre au point de la vider de son âme'', ce qui est signifié c’est que l’œuvre est vidé de la cohérence constitutive de l’affection qui lui est porté et d’un potentiel prestige social qui lui correspond. === Binaire === [[Fichier:Planet Lost in the Glare of Binary Stars.jpg|alt=Une planète perdue dans l'éclat d’une étoile binaire|vignette|Au milieu de l’éblouissante lumière d’une étoile binaire, une planète entière peut facilement passé inaperçu…]] Une classification binaire du genre advient lorsque son système n’admet plus que deux catégories&nbsp;: en ce sens il ne s’agit donc pas d’une catégorie de genre, mais d’un qualificatif qui s’applique au système de genre lui-même. C’est pas exemple le cas du Danois ou seul le commun et le neutre sont considérés comme de mise dans les grammaires classiques<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=apprendre le danois|url=https://kittyindk.wordpress.com/category/apprendre-le-danois-2/|site=Kitty in Denmark|consulté le=2021-08-26}}</ref>. C’est également le cas en français pour les grammaires qui ne retiennent que le féminin et le masculin. Il faut noter que l’appellation de genre binaire, même quand elle reste dans le champ linguistique, n’est pas nécessairement en lien avec le genre grammatical des substantifs qui sont analysés ici. Ainsi Jean-Blaise Grize en 1982 fait appel à la notion de genre binaire dans une analyse classificatoire des verbes, qu’il distingue du genre ternaire<ref>Grize Jean-Blaise, « 9. La schématisation et ses problèmes [1] », dans : , ''De la logique à l'argumentation.'' sous la direction de Grize Jean-Blaise. Genève, Librairie Droz, « Travaux de Sciences Sociales », 1982, p. 151-170. URL : https://www.cairn.info/de-la-logique-a-l-argumentation--9782600041003-page-151.htm</ref>. Il s’agit en fait d’un glissement catégoriel depuis l’analyse des systèmes où ces termes se développent plutôt dans le domaine de la logique sous le plan sériel unaire, binaire, ternaire, quaternaire, quinaire, [[wiktionary:unaire#Vocabulaire%20apparent%C3%A9%20par%20le%20sens|et ainsi de suite]]. Le terme binaire est aussi largement employé pour référer aux systèmes ayant rapport aux traits sexuels où il s’oppose volontiers au non-binaire ou multiple qui intègre des altérités comme les identités socio-psychologiques agenre et transgenre<ref>{{Chapitre-B|prénom1=Fanny|nom1=Chevalier|titre chapitre=Genre et psychanalyse : la différence des sexes en question|titre ouvrage=Genre et psychanalyse|éditeur=ERES|date=2016|doi=10.3917/eres.rassi.2016.01.0011|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/eres.rassi.2016.01.0011|consulté le=2021-08-26|passage=11}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Daniel|nom1=Welzer-Lang|titre=Les nouvelles hétérosexualités : hétéroqueers, caudaulisme, polyamour, libertinage, exhibe, asexualité, pansexualité, hétéronorme, BDSM, non-genre, bi-genre, cis-genre, bisexualités, travestis, aromantisme|date=DL 2018|isbn=978-2-7492-5791-4|isbn2=2-7492-5791-3|oclc=1031116688|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/1031116688|consulté le=2021-08-26}}</ref><ref>Porchat Patricia, « Transidentité, non-binarité et parentalité. De quoi parle-t-on ? », ''Recherches en psychanalyse'', 2020/2 (N° 30), p. 122-130. URL : https://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2020-2-page-122.htm</ref><ref>{{Article|prénom1=Mélanie|nom1=Lallet|prénom2=Lucie|nom2=Delias|titre=Les réseaux sociaux numériques et le développement controversé de savoirs d’expérience sur les transidentités|périodique=Le Temps des médias|volume=31|numéro=2|date=2018|issn=1764-2507|issn2=2104-3671|doi=10.3917/tdm.031.0137|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/tdm.031.0137|consulté le=2021-08-26|pages=137}}</ref><ref>Bourcier Marie-Hélène, « Sexorcismes : Baise-moi, Charcot, l’Exorciste et les porn stars », dans : , ''Sexpolitiques. Queer Zones 2'', sous la direction de Bourcier Marie-Hélène. Paris, La Fabrique Éditions, « Hors collection », 2005, p. 157-186. URL : https://www.cairn.info/sexpolitiques--9782913372443-page-157.htm</ref><ref>{{Chapitre-B|prénom1=Vulca|nom1=Fidolini|titre chapitre=L’hétéronormativité|titre ouvrage=Manuel indocile de sciences sociales|éditeur=La Découverte|date=2019-11-04|doi=10.3917/dec.coper.2019.01.0798|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/dec.coper.2019.01.0798|consulté le=2021-08-26|passage=798–804}}</ref><ref>Giami Alain, Nayak Lucie, « Controverses dans les prises en charge des situations trans : une ethnographie des conférences médico-scientifiques », ''Sciences sociales et santé'', 2019/3 (Vol. 37), p. 39-64. DOI : 10.1684/sss.2019.0147. URL : https://www.cairn.info/revue-sciences-sociales-et-sante-2019-3-page-39.htm</ref><ref>Ducourneau Gérard, « Chapitre 4. La mise en place », dans : , ''Éléments de musicothérapie.'' sous la direction de Ducourneau Gérard. Paris, Dunod, « Psychothérapies », 2021, p. 107-128. URL : https://www.cairn.info/elements-de-musicotherapie--9782100793334-page-107.htm</ref>. Certains textes précises d’ailleurs en utilisant le terme de ''système sexe-genre binaire,'' qui se retrouve aussi sous la graphie ''système sexe/genre binaire''<ref>Thomas Maud-Yeuse, Espineira Karine, « Qu’est-ce qu’un corps ? », ''Recherches en psychanalyse'', 2020/1 (N° 29), p. 9-20. URL : https://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2020-1-page-9.htm</ref><ref>{{Article|prénom1=Marie-Hélène|nom1=Bourcier|titre=L'homosexus normaticus entre mariage unidimensionnel et droits sexuels|périodique=Mouvements|volume=49|numéro=1|date=2007|issn=1291-6412|issn2=1776-2995|doi=10.3917/mouv.049.0008|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/mouv.049.0008|consulté le=2021-08-26|pages=8}}</ref>. D’autres le mettent en parallèle de la notion de genre bispirituel<ref name=":20">{{Article|prénom1=Mireille|nom1=Elchacar|prénom2=Ada|nom2=Luna Salita|titre=Les appellations des identités de genre non traditionnelles. Une approche lexicologique|périodique=Langage et société|volume=165|numéro=3|date=2018|issn=0181-4095|issn2=2101-0382|doi=10.3917/ls.165.0139|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ls.165.0139|consulté le=2021-08-26|pages=139}}</ref>. Ces acceptations sont traités dans la [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français#Sexuant, sexué, sexualisant et sexualisé|section dédiée aux genres sexuant, sexué, sexualisant et sexualisé]].<blockquote>ℹ️ Une revue de l’état de l’art en 2021 ne semble donc pas dégager de ''genre binaire'' en tant que catégorie grammaticale telle qu’analysé ici.</blockquote> === Biotique === {{/biotique}} === Caractérisant === {{/caractérisant}} === Culturel === {{/culturel}} === Classifiant === [[Fichier:Share your struggle draft logo version 2.svg|alt=Une des propositions de logo pour le concours photographique wikimédien « partage ta lutte »|vignette|Un symbole pour la classe de toutes les luttes humaines en partage&nbsp;?]] Raoul de La Grasserie propose également un genre classifiant, en se référant expressément à ce que font les langues bantous<ref name=":1" />, à savoir répartir les référents, ici les noms, selon des propriétés attribuées aux référés, ici les objets désignés&nbsp;: aspect, utilité, etc. Ce genre fournie donc un complémentaire au genre caractérisant précédemment exposé sur le plan de l’analyse référentiel. Bien que pour rester proche de l’usage, cette recherche maintien une section dédiée pour les genres faisant référence au trait de la sexualité dans un catégorie de premier niveau, il est évident que le genre classifiant pourrait répertorier un sous-genre ''sexuel'', dont le ''commun'', l’''épicène'', le ''féminin'', le ''masculin'' et le ''mixte'' formeraient des sous-sous-genre. Et parmi ces genres de troisième niveau, à la suite de Louise-Laurence Larivière il faudrait encore distinguer<ref name=":6" /><ref>{{Lien web|titre=La féminisation linguistique|url=http://www.cybersolidaires.org/luttes/langue.html|site=www.cybersolidaires.org|consulté le=2021-08-04}}</ref>&nbsp;: * les noms monosexués, eux-mêmes à subdiviser entre&nbsp;: ** noms monogenrés à formes distinctes lorsqu’ils pourvoient une forme distincte pour chacun des sexes&nbsp;: une femme et un homme&nbsp;; ** noms monogenrés à suffixes distincts, lorsqu’ils sont formés sur une base commune à laquelle est adjointe un suffixe distinct pour chacun des sexes&nbsp;: une amoureuse et un amoureux&nbsp;; * les noms bisexués ou polysexués dont la forme représente deux ou plusieurs sexes, eux-mêmes à subdiviser entre&nbsp;: ** les noms multigenrés absolutifs<ref group="N">Ici la terminologie s’écarte de celle employée de Louise-Laurence qui parle de ''noms epicènes bigenrés'' et de ''noms épicènes monogenrés''. Par soucis de généricité et de traitement séparé des cas épicène, ces termes n’ont pas été repris ici.</ref>, lorsqu’ils qui ont une seule forme susceptible de ne prendre qu'un seul genre&nbsp;: un individu, une personne&nbsp;; ** les noms multigenrés relatifs, lorsqu’ils qui ont une seule forme susceptible de prendre divers genres selon les circonstances&nbsp;: la pianiste ou le pianiste. L’analyse qu’elle fournie propose un degré de finesse et de classification qui va même encore au-delà en explicitant pas moins de neuf classes sémantiques distinctes pour les noms s’appliquant à des personnes&nbsp;: {| class="wikitable" |+Représentation des noms communs de personnes à l'intérieur de classes sémantiques !Classe sémantique !Typologie morphologique !Description !Caractérisation !Exemples |- | rowspan="5" |Sexualisante | rowspan="4" |Noms monogenrés absolutifs |Noms connotativement neutres ou positifs qui ne s'adressent qu'à des femmes. | rowspan="2" |Ces noms sont coutumièrement<ref group="N">Dans cette recherche le terme ''coutumièrement'' est préféré à ''uniquement'', car en pratique il est rare que des exceptions n’existe aucunement, furent-elles des hapax issus de lapsus.</ref> propres à un sexe, généralement par le fait qu’ils soient par définition liés à des caractéristiques biologiques ou excluant socialement sur cette base. |'''féminin'''&nbsp;:amazone, lesbienne, nonne, nourrice, parturiente '''masculin'''&nbsp;: contralto |- |Noms connotativement neutres ou positifs qui ne s'adressent qu'à des hommes. |'''féminin'''&nbsp;: basse chantante '''masculin'''&nbsp;: archevêque, baryton, cardinal, castrat, curé, eunuque, évêque, pédéraste, ténor, vicaire |- |Noms péjoratifs qui ne s'adressent qu'à des femmes. | rowspan="2" |Ces termes dénotent péjorativement un trait jugé méprisable vis à vis du stéréotype normatif qui le sous-tend. Ils se construisent donc sur une idée de déviance vis-à-vis d’un individu idéal au regard de cette norme sur divers plans&nbsp;: croyance, esthétique, tempérament, religion, sexualité… |'''féminin'''&nbsp;: cahba, charmouta, garce, gaupe, gouine, gourgandine, morue, putain, sorcière, truie '''masculin'''&nbsp;: bas-bleu, laideron, lorpidon, souillon, tendron, thon, trottin |- |Noms péjoratifs qui ne s'adressent  qu'à des hommes |'''féminin'''&nbsp;: frappe, gestapette, gouape, lopette, tantouzeta, pette '''masculin'''&nbsp;: pédé, zemel |- | rowspan="2" |Noms monogenrés par bases distinctes |Noms inhérents au sexe. |Termes pour lesquels il existe un correspondant pour chaque genre, sans que ceux-ci soient morphologiquement associables en synchronie. |commère et compère, confrère et consœur, dame et seigneur, femelle et mâle, femme et homme, fille et garçon, fillette et garçonnet, jeune fille et jeune homme, madame et monsieur |- | rowspan="2" |Parentélaire | rowspan="2" |Noms relatifs aux liens de parenté ou de lignage. |Termes pour lesquels il existe un correspondant pour chaque genre, sans que ceux-ci soient morphologiquement associables en synchronie. |bru et gendre, femme et mari, fille et fils, frère et sœur, grand-mère et grand-père maman et papa, marraine et parrain, mère et père, neveu et nièce, oncle et tante |- |Noms monogenrés par suffixes distincts |Déclinable dans chaque genre par une alternance morphologique manifeste. |aïeul et aïeule, cousin et cousine, épouse et époux, orphelin et orpheline |- | rowspan="3" |Occupationnelle |Noms monogenrés à suffixes distincts | rowspan="3" |Noms qualifiant les personnes exerçant un métier ou une profession. |Déclinable dans chaque genre par une alternance morphologique manifeste. |abatteur et abatteuse, avocat et avocate, banquier et banquière, barman et barmaid, habilleur et habilleuse, jazzman et jazzwoman<ref group="N">Le fait de classer ce type d’alternance dans la simple suffixation est discutable, dans la mesure ou ''man'' et ''woman'' représentent des mots autonomes, tout au moins en anglais, contrairement aux autres morphes utilisés pour ce type d’alternance.</ref>, laborantin et laborantine, recteur et rectrice, zootechnicien et zootechnicienne |- |Noms multigenrés relatifs |Seule les éléments satellites employé conjointement à ces noms, comme un déterminant ou un adjectif, peuvent potentiellement en expliciter le genre référentiel sexualisant. |architecte, bibliothécaire, cinéaste, diplomate, ecclésiastique, flexographe, géologue, héroïnomane, interne, jockey, juge, kinésithérapeute, lad, logopède, ministre, naturopathe, orfèvre, peintre, philosophe, pilote, queux<ref>{{Lien web|titre=Lexique des métiers anciens - lettre Q — Geneawiki|url=https://fr.geneawiki.com/index.php/Lexique_des_m%C3%A9tiers_anciens_-_lettre_Q|site=fr.geneawiki.com|consulté le=2021-08-08}}</ref>, reporter<ref group="N">Le terme ''reportrice'', strictement féminin, est cependant également en usage. Le même phénomène s’observe sur la plupart des emprunts à l’anglais avec suffixe en ''-er'' qui sont ''a priori'' utilisable aussi bien au féminin qu’au masculin. Des variantes avec des suffixes féminisant variés sont cependant souvent employés par example ''hacker'' est alterné en ''hackeuse''. L’alternance peut aller plus loins, comme dans le cas de ''webmaster'' alterné en ''webmistress''.</ref>, responsable, styliste, topographe, ventriloque, vétérinaire, vigile, webmestre, xylophoniste, yogi, zoologue<ref group="N">Cette liste non exhaustive démontre que cette classe sémantique couvre un emploi varié, avec des termes de A à Z et des terminaisons hétérogènes.</ref> |- |Noms monogenrés par bases distinctes |Cas le plus rare pour cette classe sémantique. Elle comprend notamment les noms composés où l’un des termes est porteur du trait sémantique femelle ou mâle. |femme de chambre et vallet de chambre<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Liste de 2000 noms au masculin et au féminin {{!}} VD.CH|url=https://www.vd.ch/guide-typo3/les-principes-de-redaction/redaction-egalitaire/2000-noms-au-masculin-et-au-feminin/|site=www.vd.ch|consulté le=2021-08-08}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=VALET/FEMME DE CHAMBRE chez Mercure Luxembourg Kikuoka à Canach|url=https://www.moovijob.com/offres-emploi/mercure-luxembourg-kikuoka/valetfemme-de-chambre|site=Moovijob.com|consulté le=2021-08-08}}</ref>, fille de salle et garçon de salle<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=FILLE ET GARCON DE SALLE|url=https://webiforas.wixsite.com/accueil/fille-et-garcon-de-salle|site=accueil|consulté le=2021-08-08}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Offre d'emploi Burkina Faso : Garçon ou une Fille de salle - Banfora|url=https://www.emploiburkina.com/offre-emploi-burkina/garcon-ou-fille-salle-30032|site=www.emploiburkina.com|consulté le=2021-08-08}}</ref> |- | rowspan="2" |Rangique |Noms monogenrés à suffixes distincts |Noms relatifs à des grades ou titres employés dans des domaines sociaux divers&nbsp;: de fonctions, de noblesse, honorifiques, religieux, militaires^g, universitaires^g<ref group="N">Les ''g'' en exposant indique les cas où des grades sont opérants, dans les exemples ci-après en exposant est donné l’initiale de chacune des catégories correspondantes</ref> |Déclinable dans chaque genre par une alternance morphologique manifeste. |doyen et doyenne^f, comte et comtesseⁿ, chevalier et chevalière^h, moine et moniale^r, amiral et amirale^m,g, bachelier et bachelière^u,g |- |Noms multigenrés relatifs |Comme précédemment, en notant qu’il n’existe pas de titres de noblesse ni de titres religieux qui soit ainsi multigenrés. |Seule les éléments satellites employé conjointement à ces noms, comme un déterminant ou un adjectif, peuvent potentiellement en expliciter le genre référentiel sexualisant. |capitaine, chef<ref group="N">L’emploi de ''cheffe'' et ''cheffesse'' est cependant attesté.</ref>, maître ès arts |- | rowspan="2" |Gentiléenne |Noms monogenrés à suffixes distincts | rowspan="2" |Noms désignants des gentilés<ref group="N">L’étude précise que ''même si ces noms sont considérés comme des noms propres dans les grammaires, parce que, contrairement aux autres noms propres, ces noms connaissent la variation en genre et font partie de la nomenclature des dictionnaires généraux de langue''.</ref>. |Déclinable dans chaque genre par une alternance morphologique manifeste. |Danois et Danoise |- |Noms multigenrés relatifs |Seule les éléments satellites employé conjointement à ces noms, comme un déterminant ou un adjectif, peuvent potentiellement en expliciter le genre référentiel sexualisant. |Belge |- | rowspan="2" |Qualitativo-statutaire |Noms monogenrés à suffixes distincts |noms de qualité, bonnes et mauvaises, ou d'état |Déclinable dans chaque genre par une alternance morphologique manifeste. |sain, saine |- |Noms multigenrés relatifs |Comme précédemment, y compris les sacres substantivés. |Seule les éléments satellites employé conjointement à ces noms, comme un déterminant ou un adjectif, peuvent potentiellement en expliciter le genre référentiel sexualisant. |sans-abri, tabarnac |- |Générique | rowspan="3" |Noms multigenrés absolutifs |Noms qui réfèrent à des personnes indépendamment du sexe sous un unique genre entier. | rowspan="3" |Aucune distinction morphologique dans l’emploi coutumier des termes, même lorsque des syntagmes juxtaposés renseignent sur l’attribution d’un genre quelconque. |'''Coutumièrement''' '''féminin&nbsp;:''' autorité, connaissance, caution, créature, dupe, notabilité, ouailles, personnalité, personne, relation, victime '''Coutumièrement masculin&nbsp;:''' ange, ascendant, descendant, être, individu, gens, parent |- |Métonymique |Noms qui ont changé de désignation, référant initialement à une chose, pour en venir à référer à une personne. |'''Coutumièrement féminin&nbsp;:''' estafette, étoile, figure, ordonnance, recrue, sentinelle, star, vedette, vigie, Son Altesse, Son Éminence, Son Excellence, Sa Grâce, Sa Grandeur, Sa Majesté, Sa Sainteté '''Coutumièrement masculin&nbsp;:''' as, génie, modèle, phénix, quartier-maître, Son Honneur, Votre Honneur; |- |Péjorative |Noms qui constituent généralement des insultes et tout au moins connotant un trait dépréciatif ou négatif dans leur désignation initiale<ref group="N">Ce trait peut éventuellement s’estomper ou se renverser. Ainsi un ''monstre sacré'' désigne une ''personne dont l’immense talent peut paraître presque anormal, et que peu de gens oseraient critiquer'', et l’aspect péjoratif y sert seulement à figurer une éloge d’autant plus révérencieuse qu’elle contraste avec la profonde aversion dont elle se démarque.</ref>. |'''Coutumièrement''' '''féminin&nbsp;:''' andouille, brute, canaille, crapule, fripouille, mauviette, sainte nitouche '''Coutumièrement masculin&nbsp;:''' assassin, bandit, brigand, charlatan, despote, escroc, filou, goinfre, monstre, saligaud, voyou |} Pour aller plus loin, il sera pertinent de consulter les références afférentes notamment sur le sujet du genre dans les noms de métiers<ref>{{Article|prénom1=Marie-Anne|nom1=Paveau|titre=La féminisation des noms de métiers : résistances sociales et solutions linguistiques|périodique=Le français aujourd'hui|volume=136|numéro=1|date=2002|issn=0184-7732|issn2=2107-0857|doi=10.3917/lfa.136.0121|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/lfa.136.0121|consulté le=2021-08-08|pages=121}}</ref><ref>[https://pedagogie.ac-montpellier.fr/sites/default/files/ressources/F%C3%A9minisation%20des%20noms%20de%20m%C3%A9tiers_0.pdf La féminisation des noms de métiers], Académie de Montpellier — Cercle d’études Langue, 1 février 2021</ref><ref>{{Article|prénom1=Michèle|nom1=LENOBLE-PINSON|titre=Mettre au féminin les noms de métier : résistances culturelles et sociolinguistiques|périodique=Le français aujourd'hui|volume=163|numéro=4|date=2008|issn=0184-7732|issn2=2107-0857|doi=10.3917/lfa.163.0073|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/lfa.163.0073|consulté le=2021-08-08|pages=73}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Banque de dépannage linguistique - Les noms épicènes|url=http://bdl.oqlf.gouv.qc.ca/bdl/gabarit_bdl.asp?id=3936|site=bdl.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2021-08-08}}</ref><ref>[https://www.vie-publique.fr/sites/default/files/rapport/pdf/994001174.pdf Femme, j’écris ton nom… – Guide d’aide à la féminisation des noms de métiers, titres, grades et fonctions], 1999, Bernard CERQUIGLINI, Anne-Marie BECQUER, Nicole CHOLEWKA, Martine COUTIER, Marie-Josèphe MATHIEU, Josette FRÉCHER, centre national de la recherche scientifique institut national de la langue française</ref><ref>[http://www.languefrancaise.cfwb.be/index.php?eID=tx_nawsecuredl&u=0&g=0&hash=ba73a928942b8eddaa12271d0f76165f4b539531&file=fileadmin/sites/sgll/upload/lf_super_editor/publicat/collection-guide/interieur_FWB_brochure_Fem_light.pdf Mettre au fémininguide de féminisation des noms de métier, fonction, grade ou titre, 3e édition], Marie-Louise Moreau et Anne Dister, 2014</ref><ref>{{Article|prénom1=Colette|nom1=Grinevald|titre=Typologie des systèmes de classification nominale|périodique=Faits de langues|volume=7|numéro=14|date=1999|doi=10.3406/flang.1999.1271|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/flang_1244-5460_1999_num_7_14_1271|consulté le=2021-12-14|pages=101–122}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Alexandre|nom1=François|titre=L'illusion des classificateurs|périodique=Faits de langues|volume=7|numéro=14|date=1999|doi=10.3406/flang.1999.1278|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/flang_1244-5460_1999_num_7_14_1278|consulté le=2021-12-14|pages=165–175}}</ref>. === Commun === [[Fichier:Blue Marble Eastern Hemisphere.jpg|alt=Terre vue de l'espace|vignette|Outre une hypothétique nature humaine, le monde qui nous est commun.]] Le commun se place traditionnellement comme une réunion de plusieurs autres genres présents en synchronie, typiquement pour désigner un groupe hétérogène dont les référents en contexte sont féminin et masculin. Cependant Nicolas Durnovo, dans le cadre de son étude sur ''la catégorie du genre en russe moderne'', défini le genre commun comme celui des ''substantifs qui ne sont pas des noms de personnes du sexe masculin''<ref>{{Article|prénom1=Nicolas|nom1=Durnovo|titre=La catégorie du genre en russe moderne|périodique=Revue des Études Slaves|volume=4|numéro=3|date=1924|doi=10.3406/slave.1924.7315|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/slave_0080-2557_1924_num_4_3_7315|consulté le=2021-07-23|pages=208–221}}</ref>. Et dans certaines langue comme le danois, le commun à pleinement absorbé féminin et masculin, aussi il s’y oppose uniquement au neutre. Ces exemples montrent que si le commun émerge dans une approche explicitant l’hétérogénéité des référents en dépendance complète de l’existence d’autres genres, elle s’autonomise plus au moins de ce cadre. À noter que le commun est la première catégorie de genre traité ici issue de l'exposé classique généralement attribué à [[w:Denys le Thrace|Denys le Thrace]]&nbsp;:<blockquote>''Il y a trois genres : le masculin (<code>arsenikón/ἀρσενικόν</code>), le féminin (<code>thēlukón/θηλυκόν</code>) et le neutre (<code>oudéteron/οὐδέτερον</code>). Certains en ajoutent deux autres : le commun (<code>koinón/κοινόν</code>) et l'épicène (<code>epíkoinon/ἐπίκοινον</code>).''</blockquote>Le commun rivalise évidement avec l’individuel, mais plus précisément dans le cas du genre grammatical, sur la distinction d’inspiration sexuelle. Et ce, même quand par ailleurs cette distinction est globalement absente dans le genre énonciatif d’une langue sous un plan synchronique. Patrizia Violi présente pour sa part une analyse en double articulation<ref name=":4" />&nbsp;: * d’une part la construction de négation d’un classifiant ; * et d’autre par la superposition de plusieurs genres en un seul. Cette analyse est reprise et complété ci-dessous par un attribut ''origine'' évalué à l’aune des catégories grammaticales exposées par ailleurs dans la présente recherche&nbsp;: {| class="wikitable" style="margin:auto;" |+Relation entre commun, féminin, masculin et neutre dans l’analyse de Patrizia Violi !origine ! colspan="2" |genre |- |caractérisant superposant directement les classifiants | colspan="2" |commun |- |classifiant sexuel |féminin |masculin |- |négation du classifiant |non-féminin |non-masculin |- |caractérisant superposant les négations des classifiants | colspan="2" |neutre |} La principale leçon qui peut être tirée de cette analyse c’est l’éclairage original qu’apporte une perspective ajoutant une dimension supplémentaire à l’analyse du sujet. La proposition originale n’intègre pas le cas de l’épicène, dont le sujet est traité ci-après. === Double === <blockquote>[[Fichier:Double pendulum predicting dynamics.gif|vignette|La trajectoire dessinée par un pendule à '''double''' articulation peut être parfaitement modélisée par des équations linéaires, mais la position exacte du point du tracé pour un moment futur diverge rapidement de toute formulation spéculative connue.]]</blockquote>Sur le plan étymologique, double vient du latin ''<code>dūplus</code>,'' de même sens, construit par juxtaposition ''<code>duo</code>''&nbsp;'': deux'' et ''<code>plus</code>''&nbsp;: au même sens, une quantité accrue en tant que comparatif de ''<code>multus</code>''. [[w:Boris Ottokar Unbegaun|Boris Ottokar Unbegaun]] en 1947 dans ''Les substantifs indéclinables en russe'' indique constater un accroissement des noms de '''''genre double''''', par exemple féminin et neutre, dans la langue russe d’alors<ref>{{Article|prénom1=Boris Ottokar|nom1=Unbegaun|titre=Les substantifs indéclinables en russe|périodique=Revue des Études Slaves|volume=23|numéro=1|date=1947|doi=10.3406/slave.1947.1454|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/slave_0080-2557_1947_num_23_1_1454|consulté le=2021-08-26|pages=130–145}}</ref>. Ivan Hryhorovyč Matvijas<ref>{{Lien web|titre=Hryhorovych-Barsky, Ivan|url=http://www.encyclopediaofukraine.com/display.asp?linkPath=pagesHRHryhorovych6BarskyIvan.htm|site=www.encyclopediaofukraine.com|consulté le=2021-09-03}}</ref> en 1965 fournie une étude des substantifs qui apparaissent sous un '''''genre double''''' ou qui offrent différentes formes pour le même genre en ukrainien dans Досл. з укр. та рос. мов<ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Vaillant|prénom2=André|nom2=Mazon|prénom3=André|nom3=Frolow|prénom4=Jean|nom4=Gouillard|titre=Publications|périodique=Revue des Études Slaves|volume=44|numéro=1|date=1965|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/slave_0080-2557_1965_num_44_1_7769|consulté le=2021-08-26|pages=163–363}}</ref>. [[w:Nina Catach|Nina Catach]] en 1973 dans ''Que faut-il entendre par système graphique du français?'' qualifie de '''''genre double''''' les adjectifs finissant en ''é, i, u, c, d, f, g, l, n, t, s, t'' et ''x qui utilisent l'e final comme forme canonique du féminin''<ref>{{Article|prénom1=Nina|nom1=Catach|titre=Que faut-il entendre par système graphique du français?|périodique=Langue française|volume=20|numéro=1|date=1973|doi=10.3406/lfr.1973.5652|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1973_num_20_1_5652|consulté le=2021-08-26|pages=30–44}}</ref>''.'' La même année Hubert Séguin, dans ''Le genre des adjectifs en français'', indique que sous son analyse, nonobstant quelques exceptions tels les syntagmes figés, tous les adjectifs ont le '''''genre double'''''<ref>{{Article|prénom1=Hubert|nom1=Séguin|titre=Le genre des adjectifs en français|périodique=Langue française|volume=20|numéro=1|date=1973|doi=10.3406/lfr.1973.5654|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1973_num_20_1_5654|consulté le=2021-08-26|pages=52–74}}</ref>. En cela il faut entendre que la quasi-totalité de ces adjectifs sont disponibles simultanément sous genre féminin et masculin, avec ou sans variation dans les formes écrites et orales. Si dans le cas de l’adjectif, le fait que le genre lui soit extrinsèque et imputé contextuellement par un nom plus ou moins explicite, cette possibilité de genre multiple se trouve de fait également dans les noms eux-mêmes, bien que plus rarement. Pour les noms concernés, il y a certes plusieurs cas à préciser. Si le doublet peut potentiellement relever de l’usage arbitraire, comme dans ''après-midi,'' il peut aussi apporter des variations sémantiques allant de la simple nuance, comme dans ''amour'', jusqu’à un changement complet de sens, comme dans ''espace'' ou ''œuvre''. Certainement aussi, pour les termes épicènes, en particulier pour les cas où ils réfèrent à des personnes, les stéréotypes peuvent interférer avec le sens, alors que par ailleurs la même définition devrait suffire à préciser la sémantique indépendamment du genre lexicale ou référentiel. Dans de rares cas, la syntaxe aussi peut être mêler à la détermination d’un ''genre double'', comme le rappel Suzanne Pons-Ridler dans sa synthèse ''Orthographe: pourquoi être plus royaliste que le roi&nbsp;!'', où elle synthétise entre autre André Casteilla et Jean-Louis Bouttaz<ref>{{Article|prénom1=Suzanne|nom1=Pons-Ridler|titre=Orthographe: pourquoi être plus royaliste que le roi!|périodique=The French Review|volume=61|numéro=2|date=1987|issn=0016-111X|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/393911|consulté le=2021-09-03|pages=229–238}}</ref>. Louis Basset dans son analyse de 1994 intitulée ''Platon et la distinction nom/verbe'' propose une traduction original du philosophe grec où, plutôt que celle employant la formule ''deux genres de signes'', il donne ''un '''genre double''' de ce qui sert à signifier la réalité''<ref>{{Article|prénom1=Louis|nom1=Basset|titre=Platon et la distinction nom/verbe|périodique=MOM Éditions|volume=32|numéro=1|date=2004|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/mom_0184-1785_2004_mon_32_1_2828|consulté le=2021-08-26|pages=295–314}}</ref>. Ici le genre est utilisé pour qualifier une distinction entre types de mot dans le discours dans une granularité moins fine que le substantif, et faire le pont entre classe nominale et verbale. Par ailleurs ces deux classes se retrouvent encore couramment amalgamés dans certains emploi du mot ''verbe'' lui-même, dans des énoncés tel «&nbsp;''Nous cherchons ici à passionner par le ressac de la redite et non à convaincre par le verbe''&nbsp;»<ref>{{Lien web|langue=en-US|titre=Jean Rondeau official website - Dynastie the new Album|url=http://www.jean-rondeau.com/|site=Jean Rondeau|consulté le=2021-09-03}}</ref>. Nicole Pradalier, dans ''l’homme et son genre'' publié en 2012, utilise le terme de '''''genre double''''' qui frise l’allusion au terme d’''agent double'' en indiquant que ''sous la pression du genre référentiel, la dynamique de l'épicénie permet de passer du genre unique et arbitraire au genre double et motivé''<ref name=":23" />. Cette section ne tiens pas compte du genre double compris dans la série des genres qualifiant une métrique, , c’est à dire qui sont utilisés dans l’analyse de la versification, dont d’autres membres égal, où le genre double accompagne ceux dit dactylique, épitrite, péonique ou sesquialtère. Ils ne font évidemment pas référence à un genre grammatical<ref>{{Article|prénom1=François|nom1=Duysinx|titre=Les passages lyriques dans l'« Alceste» d'Euripide|périodique=L'Antiquité Classique|volume=31|numéro=1|date=1962|doi=10.3406/antiq.1962.3659|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1962_num_31_1_3659|consulté le=2021-08-26|pages=189–233}}</ref>. === Douteux === [[Fichier:Trifolium dubium kz1.jpg|alt=Photo d’un Trèfle douteux|vignette|Il s’agit là probablement d’un Trèfle douteux, bien que celui-ci soit souvent confondu avec la Luzerne jaune qui se différencie par une petite pointe au bout des folioles.]] Jacques Chomarat emploi le terme de '''''genre douteux''''', à la suite de [[w:Laurent Valla|Laurent Valla]], qui l’utilise pour référer aux noms pour lequel l’usage hésite<ref name=":5">{{Article|prénom1=Jacques|nom1=Chomarat|titre=Deux opuscules grammaticaux de Valla|périodique=Histoire Épistémologie Langage|volume=4|numéro=2|date=1982|doi=10.3406/hel.1982.1125|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hel_0750-8069_1982_num_4_2_1125|consulté le=2021-07-23|pages=21–40}}</ref>. Le terme est également employé de façon plus ou moins persistante à travers la littérature philologique<ref>{{Article|prénom1=Édouard|nom1=Galletier|titre=Ladislaus Strzelecki, De Flavio Capro Nonii auctore. Mémoires de la section philologique, t. LXV, 1936|périodique=Revue des Études Anciennes|volume=43|numéro=3|date=1941|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rea_0035-2004_1941_num_43_3_3190_t1_0309_0000_2|consulté le=2021-08-01|pages=309–309}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Yves|nom1=Millet|titre=Tchèque et slovaque|périodique=Revue des Études Slaves|volume=50|numéro=3|date=1977|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/slave_0080-2557_1977_num_50_3_2071|consulté le=2021-08-01|pages=487–508}}</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|titre=Histoire Épistémologie Langage, tome 14, fascicule 1, 1992. L'Adjectif : Perspectives historique et typologique.|volume=14|numéro=1|date=1992|lire en ligne=https://www.persee.fr/issue/hel_0750-8069_1992_num_14_1|consulté le=2021-08-01}}</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|titre=Histoire Épistémologie Langage, tome 4, fascicule 2, 1982. Statut des langues / Approche des langues à la Renaissance.|volume=4|numéro=2|date=1982|lire en ligne=https://www.persee.fr/issue/hel_0750-8069_1982_num_4_2|consulté le=2021-08-20}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Colombat|titre=L'adjectif dans la tradition latine : vers l'autonomisation d'une classe|périodique=Histoire Épistémologie Langage|volume=14|numéro=1|date=1992|doi=10.3406/hel.1992.2343|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hel_0750-8069_1992_num_14_1_2343|consulté le=2021-08-01|pages=101–122}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Maria|nom1=Colombo Timelli|titre=Manuels français de syntaxe latine du XVe siècle : répertoire et typologie|périodique=Histoire Épistémologie Langage|volume=19|numéro=2|date=1997|doi=10.3406/hel.1997.2681|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hel_0750-8069_1997_num_19_2_2681|consulté le=2021-08-20|pages=133–153}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Pierre-Yves|nom1=Lambert|titre=Essai d’interprétation suivie|périodique=Études celtiques|volume=22|numéro=1|date=1985|doi=10.3406/ecelt.1985.1792|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ecelt_0373-1928_1985_num_22_1_1792|consulté le=2021-08-20|pages=155–177}}</ref>. Il rejoint donc le terme de genre double, en insistant sur une double incertitude plutôt qu’en établissant une double acceptation. D’autant qu’étymologiquement, douteux dérive du latin ''<code>duo</code>''&nbsp;: deux et <code>''habeō''</code>&nbsp;: posséder, contenir. Évidemment dans les langues ayant plus de deux genres, rien n’empêche l’emploi du terme ''genre douteux'' sur plus de deux catégorisations possibles. === Épicène === [[Fichier:Epicene symbol.png|alt=Symbole de l'épicénie|vignette|Tous les genres ne bénéficient pas d'une symbolique dédiée à l'instar de l'épicénie.]] Clerico Geneviève, dans son ''Ellipse et syntaxe de concordance chez quelques grammairiens classiques'' de 1983, rappel l’étymologie <code>epíkoinos/ἐπίκοινος</code>&nbsp;: sur-commun, et rapporte la définition suivante<ref>{{Article|prénom1=Geneviève|nom1=Clerico|titre=Ellipse et syntaxe de concordance chez quelques grammairiens classiques|périodique=Histoire Épistémologie Langage|volume=5|numéro=1|date=1983|doi=10.3406/hel.1983.1141|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hel_0750-8069_1983_num_5_1_1141|consulté le=2021-07-23|pages=43–56}}</ref>&nbsp;:<blockquote>Sous un seul genre, qui est celui de la terminaison, un mot épicène comprend les deux espèces soit qu’on parle du mâle ou de la femelle sans toutefois les déterminer [ex. ''agricola'' ; en fr. professeur]. C’est le genre commun dans lequel l’un des deux l’emporte.</blockquote>Autrement dit, en ce sens l’épicène part de la même problématique que le commun de désignation d’un groupe de désignants hétérogènes sur le plan du genre, mais au lieu d’introduire un nouveau genre grammatical pour ce cas, il réemploi l’un des genres existants. La pratique de l’épicène est donc possible dès lors qu’il existe au moins deux genres, et il paraît donc envisageable d’avoir une telle pratique dans une langue ayant par exemple uniquement le genre commun et neutre. Cela peut notamment en ce sens qualifier la pratique en français d’employer le genre couramment dit masculin pour regrouper des genres hétérogènes comme dans la phrase ''les éléphants et les girafes se rejoignirent et ensemble'' ils ''se dirigèrent vers la savane.'' En français il est commun de qualifier un nom d’épicène lorsque celui-ci peut s’employer sous la même forme aussi bien au féminin qu’au masculin. Par exemple ''philosophe'' peut s’employer sans variation morphologique aussi bien dans ''[[w:Hannah Arendt|Hannah Arendt]] est une philosophe'' que dans ''[[w:Épicure|Épicure]] est un philosophe'', contrairement à des noms variant en genre comme ''penseur'' et ''penseuse'' ou ''théoricien'' et ''théoricienne''. Ces deux acceptations se rejoignent donc dans l’absence d’introduction de formes différenciées. === Équivoque === Étymologiquement le terme dérive du latin ''<bdi>aequivocus</bdi>'', de même sens, composé de <bdi>''<code>aequus</code>''</bdi>&nbsp;: ''égal, juste, plat, uni'' et de <bdi>''<code>vox</code>''</bdi> &nbsp;: ''voix, son, modulation de la voix, accent, bruit, parole, mot, discours, sentence, maxime, langue, idiome''. Les dictionnaires usuels donnent les définitions suivantes, bien qu’aucune ne soit indiquée spécifique au genre grammatical&nbsp;:<blockquote>''Qui peut revêtir plusieurs significations. […] Qui est de nature incertaine et peut s'expliquer ou s'interpréter de diverses façons. Quasi-synonyme indéterminable, mystérieux, secret. […] Qui appartiennent à plusieurs affections et dont la présence ne suffit pas à établir un diagnostic […] Double sens ou sens multiples d'un mot choisi en raison ou en dépit de son aptitude à prêter à des interprétations diverses<ref>{{Lien web|titre=ÉQUIVOQUE : Définition de ÉQUIVOQUE|url=https://www.cnrtl.fr/definition/%C3%A9quivoque|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2021-12-23}}</ref>.'' ''Qui peut s'interpréter de plusieurs manières, et n'est pas clair. […] Qui peut s'expliquer de diverses façons. Caractère de ce qui prête à des interprétations diverses<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=équivoque - Définitions, synonymes, conjugaison, exemples {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/definition/equivoque|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2021-12-23}}</ref>.'' ''Se dit d'un signe, d'un énoncé susceptible de plusieurs interprétations […] Se dit d'un fait, d'un phénomène malaisément définissable ou explicable, d'une nature douteuse […] Possibilité d'interpréter diversement un énoncé, un mot […] Ce qui manque de clarté, est susceptible d'appréciations diverses, de créer la confusion<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Larousse|prénom1=Éditions|titre=Définitions : équivoque - Dictionnaire de français Larousse|url=https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/%C3%A9quivoque/30718|site=www.larousse.fr|consulté le=2021-12-23}}</ref>.'' ''Entropie conditionnelle de la réalisation de messages déterminés par une source de messages lorsque l'on connaît les messages reçus par un collecteur de messages relié à la source par une voie spécifiée.  […] L'équivoque est la moyenne par message de la quantité d'information supplémentaire qui doit être fournie à la source de messages pour corriger les messages reçus après leur altération par une voie affectée de bruit''<ref>{{Lien web|langue=fr-ca|titre=Le Grand dictionnaire terminologique - équivoque|url=https://gdt.oqlf.gouv.qc.ca/ficheOqlf.aspx?Id_Fiche=2070853|site=gdt.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2021-12-23}}</ref>.</blockquote>Au passage, le bon mot de [[w:en:Willem de Clercq|Willem de Clercq]] en 1811 mérite d’être cité ici&nbsp;:<blockquote>''C'était fort gai mais selon la gaieté des Français qui dégénère vite dans le genre équivoque ou profane''<ref>{{Lien web|url=http://resources.huygens.knaw.nl/retroboeken/declercq/whole_transcription?source=2|site=resources.huygens.knaw.nl|consulté le=2021-12-23}}</ref>''.''</blockquote>Dans l’œuvre collective ''Grammaire des langues romanes'', publié en 1890, ses auteurs emploi ce qualificatif comme suit&nbsp;:<blockquote>''La langue maintient donc avec rigueur la distinction des genres; et comme, au plu- riel, on trouvait -e dans beaucoup de masculins de II, -url dans d'autres masc. de II, III, -J dans quelques-uns de II, III, puis -e dans la plupart des fém. de I, -î dans quelques-uns de I et dans tous ceux de III, il était tout naturel d'accorder aussi peu à peu (42) à -/, désinence unique des fém. de III, la prédominance pour les fém. de I, ce qui s'effectua dans la mesure où V-e, de genre équivoque, gagna la préséance parmi les masculins<ref>{{Ouvrage|prénom1=Wilhelm|nom1=PIMS - University of Toronto|prénom2=Eugène|nom2=Rabiet|prénom3=Auguste|nom3=Doutrepont|prénom4=Georges|nom4=Doutrepont|titre=Grammaire des langues romanes|éditeur=Paris, H. Welter; [etc., etc.]|date=1890|lire en ligne=http://archive.org/details/grammairedesla02meye|consulté le=2021-12-23}}</ref>.''</blockquote>Avec un peu de recul, il paraît assez flagrant que le terme de ''genre équivoque'' à jusque là été très peu utilisé par les grammairiens, qui pourtant se déchirent régulièrement dans des interprétations les plus diverses sur ce qui circonscie son réseau sémantique, sur ce qui constitue ses origines et son rôle dans la langue et sur l’importance qui peut lui être imputé d’un point du vue linguistique dans les relations interpersonnelles et sociétales. Pour aller plus loin dans l’équivoque, les ressources suivantes qui en font également usage pourront être consultées<ref>{{Ouvrage|nom1=Marie-Nathalie Jauffret, Vanessa Landaverde-Kastberg|titre=PORTRAIT DU PERSONNAGE BIODIGITAL|éditeur=CNRS Editions|date=2018|isbn=978-2-271-12258-2|isbn2=2-271-12258-9|oclc=1079233629|lire en ligne=https://recherche.inseec.com/app/uploads/2019/11/portrait-du-personnage-biodigital-jauffret-landaverde.pdf|consulté le=2021-12-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Assumer son prénom, même quand on est binaire.|url=https://betolerant.fr/forum/15753/assumer-son-prenom-meme-quand-on-est-binaire|site=betolerant|consulté le=2021-12-23}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Lucile|nom1=Ruault|titre=La force de l’âge du sexe faible. Gynécologie médicale et construction d’unevie féminine|périodique=Nouvelles Questions Féministes|volume=34|numéro=1|date=2015|issn=0248-4951|issn2=2297-3850|doi=10.3917/nqf.341.0035|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/nqf.341.0035|consulté le=2021-12-23|pages=35}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Anne-Marie van|nom1=Bockstaele|titre=Traduction ou réécriture des genres ? Le cas de Lucie Delarue-Mardrus (1874-1945)|périodique=Palimpsestes. Revue de traduction|numéro=22|date=2009-10-09|issn=1148-8158|doi=10.4000/palimpsestes.199|lire en ligne=https://journals.openedition.org/palimpsestes/199|consulté le=2021-12-23|pages=149–167}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Dou|prénom1=Enki|titre=Trouble dans le genre|url=https://enkidoublog.fr/2020/01/28/trouble-dans-lidentite/|site=de paysage en paysage|date=2020-01-28|consulté le=2021-12-23}}</ref>. {{/féminin}} === Flou === [[Fichier:Munich - Two dancers captured in blurred movement - 7773.jpg|alt=Deux personnes qui dansent, capturées en mouvement flou dans une production de ballet moderne.|vignette|La folle vitesse à laquelle se danse la vie humaine laisse souvent à contempler des [[w:Quantité de mouvement|momentums]] flous.]] En 2011, dans ''Négocier le genre ? Une ethnologue dans une société d’hommes apprentis séducteurs'', [[w:Mélanie Gourarier|Mélanie Gourarier]] évoque le genre flou en ces termes<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Mélanie|nom1=Gourarier|titre=Négocier le genre ?|périodique=Journal des anthropologues. Association française des anthropologues|numéro=124-125|date=2011-05-01|issn=1156-0428|doi=10.4000/jda.5314|lire en ligne=https://journals.openedition.org/jda/5314|consulté le=2021-12-16|pages=159–178}}</ref> :<blockquote>''J’étais initiée à la connaissance masculine et cela suffisait à faire de moi une « femme pas comme les autres », produisant un'' '''genre flou''' ''mais non moins incorporé au réseau social « communautaire ».''</blockquote>Madeleine Pastinelli et Caroline Déry, dans leur article ''Se retrouver entre soi pour se reconnaître Conceptions du genre et régulation des échanges dans un forum de personnes trans'', publié en 2016, présente le '''''genre flou''''' comme un idéal performatif des échanges dans le milieu considéré, à l’instar du genre mixte<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Madeleine|nom1=Pastinelli|prénom2=Caroline|nom2=Déry|titre=Se retrouver entre soi pour se reconnaître : conceptions du genre et régulation des échanges dans un forum de personnes trans|périodique=Anthropologie et Sociétés|volume=40|numéro=1|date=2016|issn=0702-8997|issn2=1703-7921|doi=10.7202/1036375ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/as/2016-v40-n1-as02502/1036375ar/|consulté le=2021-09-03|pages=153–172}}</ref>. Le terme de genre flou est également employé ici et là dans les sciences sociales pour pour désigner des catégories aux définitions imprécises ou aux frontières évanescentes<ref>[https://www.cairn.info/resultats_recherche.php?searchTerm=%22genre+flou%22 Résultats de recherche pour "genre flou" | Cairn.info], 27 résultats au 3 septembre 2021, majoritairement liés à la citation en bibliographie de Clifford Geertz, 1980, Genres flous : les refigurations de la pensée sociale, in ''Savoir local, savoir global,'' trad. franç., PUF, 1986.</ref><ref>[https://www.uqar.ca/uqar/universite/a-propos-de-luqar/departements/psychosociologie_et_travail_social/presences-vol9-2-dube-lautoethnographie-une-methode-de-recherche-inclusive.pdf L’autoethonographie, une méthode de recherche inclusive], Gabrielle Dubé, mercredi 19 octobre 2016</ref><ref>{{Article|prénom1=Sophie|nom1=Arborio|prénom2=Jean-Pierre|nom2=Dozon|titre=L'identification de l'épilepsie en milieu rural bambara (Mali)|périodique=Sciences Sociales et Santé|volume=19|numéro=4|date=2001|doi=10.3406/sosan.2001.1537|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/sosan_0294-0337_2001_num_19_4_1537|consulté le=2021-12-16|pages=79–100}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Fanny|nom1=Oudin|titre chapitre=Les temps nouveaux (xiie-xiiie siècles) : Dire par escriptures : la pratique épistolaire vernaculaire, entre la lettre et la voix|titre ouvrage=Epistola 1. Écriture et genre épistolaires|éditeur=Casa de Velázquez|collection=Collection de la Casa de Velázquez|date=2018-07-16|isbn=978-84-9096-167-4|lire en ligne=http://books.openedition.org/cvz/5024|consulté le=2021-12-16|passage=287–300}}</ref>. La particularité du genre flou semble donc notamment de brouiller les frontières conceptuelles qui entendent départager nettement des classes ontologiques par les critères qu'ils prodiguent. Là où par exemple l'''usage hésite'' sur le genre attribué à un mot, il n'y a pas encore nécessairement de genre flou, seulement dissensus sur le choix à effectuer. Cela le distingue également d'un genre variable, où simplement le mot adopte des genres différents selon le contexte, mais où des genres sont clairement établis et ne sont pas troublés par une telle variabilité. Cela étant, le flou ne peut que se faire que sur une attente préexistente qu'il déjoue, il ne peut prétendre ordonner un amas informe de données sans quoi il s'agirait t'introduire de la netteté dans ce qui en est encore pleinement dépourvu. === Fluide, mouvant ou tiers-inclus === {{/fluide}} === Générique === Le terme de genre générique est abondamment employé dans la littérature, mais rarement préalablement défini. Quelques fragments de textes permettent d’ébaucher une idée des conceptions en circulation&nbsp;:<blockquote>…le genre générique, c’est-à-dire le genre grammatical utilisé pour désigner les personnes sans distinction de sexe<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Comment (et pourquoi) rédiger de manière inclusive?|url=https://communpro.ca/2021/03/08/comment-et-pourquoi-rediger-de-maniere-inclusive/|site=Comm'un pro|date=2021-03-08|consulté le=2021-12-10}}</ref>… En anglais, ''he'' (il) peut tout à fait être utilisé comme genre générique, pour évoquer un individu typique masculin ou féminin<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=L'écriture inclusive : parlons faits et science|url=https://www.bunkerd.fr/ecriture-inclusive/|site=Bunker D|date=2018-10-17|consulté le=2021-12-10}}</ref>. Et le genre masculin est devenu le genre générique susceptible d’englober le genre féminin<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Politique - Rencontre Surdoué 🦓|url=https://rencontre-surdoue.com/groupes/politique/forum/topic/lecriture-inclusive-langage-inclusif/|site=rencontre-surdoue.com|consulté le=2021-12-10}}</ref>.</blockquote>En s’appuyant sur ces bribes définitionnelles et en les abstrayant un peu de l’aspect strictement sexuel, un définition possible serait donc <blockquote>👉 Le ''genre'' ''générique'' désigne une catégorie grammaticale qui laisse indéterminée un attribut servant de critère de distinction d’autres genres, dits ''genres'' ''connus''<ref>Munseu Alida HOUMEGA, [https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:http%3A%2F%2Fwww.comenquestion.com%2FCom%2520en%2520question%252012%2FFINAL%2520FEV%25202020%2FARTICLES%2520PDF%2520FEVRIER%25202020%2F4-%2520HOUMEGA%2520p.62-78.pdf Approche syntaxique et sémantique du genre : cas du Yacouba]. Communication en Question nº 12, Novembre / Décembre 2019 ISSN : 2306 - 5184 </ref>, explicitant l’englobement de ces derniers dans sa portée sémantique.</blockquote>Ainsi en Yacouba le générique fourni un genre autonome duquel de plus les genres connus féminin et masculin peuvent être dérivés par des mécanismes morphologiques. [[Fichier:Face recto de la carte des règles du jeu Diamoniak.jpg|alt=Règles du jeu |gauche|vignette|Exemple d’un usage de féminin générique dans les règles du jeu Diamoniak&nbsp;: le terme joueuse est employé pour désigner toute personne prenant part à une partie. Le même éditeur à part ailleurs diffusé [https://www.djeco.com/data/rules/DJ05117_FR.pdf les mêmes règles où c’est ''joueur'' qui était employé], ce qui ne laisse donc aucun doute sur le caractère générique de cet emploi. ]] La littérature véhicule souvent la thèse que le masculin aurait en français l’exclusive prérogative d’être confondu à un genre générique, en particulier dans le cas des groupes de personnes<ref>{{Article|prénom1=Claire|nom1=Michard|titre=Genre et sexe en linguistique : les analyses du masculin générique|périodique=Mots. Les langages du politique|volume=49|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/mots.1996.2120|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/mots_0243-6450_1996_num_49_1_2120|consulté le=2021-08-20|pages=29–47}}</ref><ref>Vachon-L’Heureux, Pierrette. « Louise-L. Larivière : ''Pourquoi en finir avec la féminisation linguistique ou à la recherche des mots perdus''. » ''Recherches féministes'', volume 14, numéro 1, 2001, p. 125–127. https://doi.org/10.7202/058132ar</ref>. Si l’existence de cette surcharge du genre est indéniable, de nombreux noms d’espèces vivantes pour lesquels seule un féminin existe invalident pleinement le postulat de son exclusivité au masculin. Par exemple&nbsp;: ''les girafes et les hyènes, aussi bien femelles que mâles, sont merveilleuses à étudier et elles nous offrent à mieux comprendre le monde''. Autrement dit en français ni la femelle ni le mâle ne l’emporte dans la syntaxe, car ils constituent des traits sémantiques d’influence tout au plus marginaux dans les structures morphologiques de la langue, contrairement au système de genre qui lui est inhérent indépendamment des termes utilisés pour la décrire. Par ailleurs l’emploi d’un féminin générique pour désigner des humains est de fait également employé, bien que plus rarement, et offre un niveau de flou sémantique équivalent. Cette pratique est plutôt à la hausse, y compris dans d’autres langues comme l’allemand<ref>{{Article|prénom1=Daniel|nom1=Elmiger|titre=Les genres récrits : chronique n° 7: Le féminin générique ou : une généricité peut en cacher une autre|périodique=GLAD!|numéro=09|date=2020-12-20|issn=2551-0819|doi=10.4000/glad.2346|lire en ligne=http://journals.openedition.org/glad/2346|consulté le=2022-02-23}}</ref>. Comme pour toute pratique langagière nouvelle, avant-gardiste disent même certaines<ref>{{Lien web|nom1=Gouvernement du Canada|prénom1=Travaux publics et Services gouvernementaux Canada|titre=9.1.9 Emploi du féminin dit générique - 9.1 La féminisation des textes - 9 La féminisation - Le guide du rédacteur - TERMIUM Plus® - Bureau de la traduction|url=https://www.btb.termiumplus.gc.ca/redac-chap?lang=fra&lettr=chapsect9&info0=9.1.9|site=www.btb.termiumplus.gc.ca|date=2009-10-08|consulté le=2022-02-23}}</ref>, une partie des locuteurs est dans une position de circonspection, voir de rejet, et l’éventualité de sa popularisation perenne est incertaine<ref>{{Lien web|nom1=Gouvernement du Canada|prénom1=Travaux publics et Services gouvernementaux Canada|titre=9.1.9 Emploi du féminin dit générique - 9.1 La féminisation des textes - 9 La féminisation - Le guide du rédacteur - TERMIUM Plus® - Bureau de la traduction|url=https://www.btb.termiumplus.gc.ca/redac-chap?lang=fra&lettr=chapsect9&info0=9.1.9|site=www.btb.termiumplus.gc.ca|date=2009-10-08|consulté le=2022-02-23}}</ref>. Son emploi reste suffisamment inaccoutumé pour que des justifications soient souvent sentie nécessaire<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=dit|prénom1=Pierre Rahier|titre=Pourquoi nous utilisons le féminin générique {{!}} Sinplástico|url=https://blog.sinplastico.com/fr/feminin-generique/|consulté le=2022-02-23}}</ref>. D’autres en revanche pensent à faire remarquer que si excentricité il y a, elle est parfois bien coutumière, comme pour l’adjectif ''chauve''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=féminin générique|url=https://www.lemonde.fr/blog/correcteurs/tag/feminin-generique/|site=Langue sauce piquante|consulté le=2022-02-23}}</ref>. Aussi lorsqu’une des formes est privilégiée dans les groupes aux genres énonciatifs hétérogènes, cela ne saurait se faire sans introduire une homonymie généralisée dans l’ensemble des termes concernés. Superposer ainsi un genre supplémentaire sur un genre initiale, comme il est souvent clamé pour le masculin, ne saurait se faire sans renoncer dans le même temps à l’existence d’un genre proprement masculin. Bien plus qu'une simple adjonction de rôle en marge, cela implique une transformation résultant en une totale ambiguïté<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Jacqueline|nom1=Lamothe|prénom2=Céline|nom2=Labrosse|titre=Un fragment de féminisme québécois des années 1980 : la féminisation linguistique|périodique=Recherches féministes|volume=5|numéro=1|date=1992|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/057676ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/2001-v14-n2-rf1645/057676ar/|consulté le=2021-12-10|pages=143–151}}</ref>. Cela vaut de même pour ce qui est usuellement qualifié de féminin qui est tout autant sujet d’une telle surcharge comme vu précédemment. Cela disqualifie donc la pertinence de ces appellations de féminin et masculin pour toute pratique langagière intégrant cet usage ambiguë. [[Fichier:Errata de la collection « il était une fois la vie ».jpg|alt=Photographie d’un feuillet d’errata. La retranscription du texte est consultable sur Commons.|vignette|Exemple de deux utilisations consécutives du mot ''lecteurs'', manifestement dans deux sens différents. Le premier à valeur générique de ''lectorat'', c’est à dire de prise en compte sous forme d’un unique groupe '''commun'''. Le second s’oppose à ''lectrice'' avec donc une valeur restreinte aux personnes sexualisées en mâle.]] Si ''lecteurs'' est promut synonyme de ''lectorat'', donc ''ensemble des personnes femelles et mâles qui lisent'', alors ''lecteurs'' devient au mieux un homonyme ambiguë, impropre à une distinction aisé du signifié ''ensemble des personnes mâles qui lisent''. Il en va de même de l’interprétation qui voudrait dans une formulation comme ''cher lecteur'' attacher le sens ''cher individu femelle ou mâle lisant ceci''. Une telle requalification sémantique ne saurait s’opérer valablement sans opérer dans le même temps à un changement de nom de la catégorie grammaticale. De fait tant ''lecteurs'' que ''lectrices'' se voit employé dans une telle intention de généricité ambiguïsante<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Julie|nom1=Abbou|titre=La langue est-elle toujours un lieu de lutte féministe? De la contrefaçon sémiotique à la libéralisation|périodique=Recherches féministes|volume=32|numéro=2|date=2019|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/1068348ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/2019-v32-n2-rf05199/1068348ar/|consulté le=2021-12-10|pages=235–258}}</ref>, et leur sémantique effective précise dépend dès lors entièrement du contexte :  qui énonce, pour désigner quelles personnes sous quelles intentions connotatives. Assurément, le mot ''lectrices'' aura toutes les chances de désigner des topiques différentes dans un discours féministe ou phallocrate, pour prendre deux pôles distincts du spectre politico-culturel<ref>{{Article|prénom1=Claudie|nom1=Baudino|titre=La cause des femmes à l'épreuve de son institutionnalisation|périodique=Politix. Revue des sciences sociales du politique|volume=13|numéro=51|date=2000|doi=10.3406/polix.2000.1105|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/polix_0295-2319_2000_num_13_51_1105|consulté le=2021-12-10|pages=81–112}}</ref>. Ceci étant, le féminin générique est déjà explicitement reconnu pour la rédaction de textes de loi au Canada, ce qui lui confère une légitimité aussi incontestable que celle du masculin – tout au moins dans ce cadre<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Michaël|nom1=Lessard|prénom2=Suzanne|nom2=Zaccour|titre=QUEL GENRE DE DROIT? AUTOPSIE DU SEXISME DANS LA LANGUE JURIDIQUE|périodique=Revue de droit de l'Université de Sherbrooke|volume=47|numéro=2-3|date=2017|issn=0317-9656|issn2=2561-7087|doi=10.7202/1065183ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rdus/2017-v47-n2-3-rdus04919/1065183ar/|consulté le=2021-12-10|pages=227–298}}</ref>. Par ailleurs, des néologismes comme ''lecteurice'' sont introduits par les personnes tentant d’expliciter les deux sexes qu’elles perçoivent comme attachés à ''lecteur'' et ''lectrice''&nbsp;; vraisemblablement dans un souci de parité. Cette solution reste cependant dans une démarche d’imprégnation sexuelle, strictement binaire qui plus est, donc bien moins générique que ''lectorat'' qui est nettement plus ancien et d’usage bien moins confidentiel<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Google Books Ngram Viewer|url=https://books.google.com/ngrams/graph?content=lectorat%2Clecteurice%2Clectaire%2Clectrice%2Clecteur&year_start=1800&year_end=2019&corpus=30&smoothing=0&direct_url=t1%3B%2Clectorat%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Clectrice%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Clecteur%3B%2Cc0t1|site=books.google.com|consulté le=2021-12-26}}</ref>. Cela étant, globalement c’est bien ''lecteur'' qui prédomine et de loin dans l’usage<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Google Books Ngram Viewer|url=https://books.google.com/ngrams/graph?content=lectorat%2Clecteurice%2Clectaire%2Clectrice%2Clecteur&year_start=1800&year_end=2019&corpus=30&smoothing=0&direct_url=t1%3B%2Clectorat%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Clectrice%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Clecteur%3B%2Cc0t1|site=books.google.com|consulté le=2021-12-26}}</ref>. Enfin pour compléter la revue des variations sur la base ''lect/'', il faut signaler le terme néologique de ''lectaire''. Celui-ci permet de désigner une personne en particulier, contrairement à ''lectorat'', en explicitant l’indétermination du sexe. En tous les cas, en français comme en d’autres langue se constate l’absence d’un genre commun propre et d’un genre générique propre. Cela introduit des difficultés pour rendre compte énonciativement d’une hétérogénéité dans un groupe. En résultante, au moins l’un des genres reconnus pour les substantifs dans les grammaires scolaires se voit attribué ce rôle dans ces situations. Dans ces cas ces rôles supplétifs sont attribués avant tout relativement aux genres des syntagmes, et non des référés qu'ils désignent : <blockquote>''Ces araignées villeuses sont douces, surtout les mâles''. ''Ce sont des animaux ovipares, ils peuvent pondre des œufs s’ils sont femelles.'' </blockquote>Il faut noter que ces génériques supplétifs ne peuvent pleinement compenser l’absence d’un générique autonome&nbsp;: générique féminin, générique épicène et générique masculin engendre chacun des représentations aux différences présentant des écarts statistiques significatives<ref>{{Article|prénom1=Markus|nom1=Brauer|titre=Un ministre peut-il tomber enceinte ? L’impact du générique masculin sur les représentations mentales|périodique=L'Année psychologique|volume=108|numéro=2|date=2008|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/psy_0003-5033_2008_num_108_2_30971|consulté le=2021-12-10|pages=243–272}}</ref>. Pour aller plus loin sur ce thème, les références correspondantes pourront être consultées<ref>{{Article|prénom1=Edwige|nom1=Khaznadar|titre=L'homme générique... dans les savanes de la préhistoire|périodique=Langage et société|volume=119|numéro=1|date=2007|issn=0181-4095|issn2=2101-0382|doi=10.3917/ls.119.0131|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ls.119.0131|consulté le=2021-08-25|pages=131}}</ref><ref>González-Rey, Mª Isabel. “[https://www.academia.edu/6956077/Les_identit%C3%A9s_de_genre_dans_les_expressions_idiomatiques_du_fran%C3%A7ais Les Identités De Genre Dans Les Expressions Idiomatiques Du Français.]” Interculturalidad y lenguaje, T. I, El significado como corolario cultural (2007).</ref><ref>{{Ouvrage|nom1=DARCY CARVALHO|titre=TRAITÉ DE LA FORMATION DE LA LANGUE FRANÇAISE PAR ADOLPHE HATZFELD, ARSENE DARMESTETER ET ANTOINE THOMAS.648 PAGES. PUBLIÉ DANS L'INTRODUCTION AU GRAND DICTIONNAIRE DE LA LANGUE FRANÇAISE PAR LES AUTEURS. PARIS, 1871. TREATESE ON THE FORMATION OF THE FRENCH LANGUAGE. PROF. DR. DARCY CARVALHO. STUDIES ON THE ROMANCE LANGUAGES AND THEIR RELATIONS WITH MEDIEVAL LATIN.|date=2016-10-09|lire en ligne=http://archive.org/details/TRAITEDELAFORMATIONDELALANGUEFRANAISEHATZFELDDARMESTETERTHOMAS|consulté le=2021-12-10}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=BAnQ numérique|url=http://numerique.banq.qc.ca/|site=numerique.banq.qc.ca|consulté le=2021-12-10}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Yumpu.com|titre=LE FÉMININ GÉNÉRIQUE A|url=https://www.yumpu.com/fr/document/view/16853901/is-legalite-linguistique-uqac/82|site=yumpu.com|consulté le=2022-02-23}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Rédaction inclusive|url=https://www.antidote.info/fr/blogue/enquetes/redaction-inclusive|site=www.antidote.info|consulté le=2022-02-23}}</ref>. === Humain === {{/humain}} === Hybride === [[Fichier:Zeedonk_800.jpg|lien=https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Zeedonk_800.jpg|vignette|Biologiquement le [[w:Zébrâne|zébrâne]] est un hybride de zèbre femelle et d'âne mâle. Lexicalement, ''zébrâne'' est un [[w:Mot valise|mot valise]] et non un ''mot hybride''. Il est classiquement catalogué en genre masculin. Bien qu'évidente, l'emploi de la dérivation féminine et femellisante ''zébrânesse'' ne semble faire ni des mules ni d'émules et ne compter qu'un seul emploi non-autonyme sur le web<ref>{{Lien web|nom1=Isa-de-namaspamoos|titre=Intermezzo|url=https://ca-frise-la-passion.blogspot.com/2009/02/intermezzo.html|site=Ça frise la passion !|date=2009-02-10|consulté le=2021-12-15}}</ref>. Une dérivation mâlifiante, qu’elle soit féminine ou masculine, resterait à inventer, d’autant que le français ne propose pas de suffixe consensuel équivalent au ''-esse'' femelle pour le mâle. Tout au plus le suffixe ''-andre'' convoit le sens de ''mâle'', mais non sans convoyer celui d’''humain''. ]] Si l’emploi du terme genre hybride se montre fort répandue dans la littérature, c’est à fin 2021 uniquement dans des considérations sur des styles artistiques, comme par exemple pour qualifier un roman-historique qui se veut à la croisé du récit imaginaire et du témoignage mémoriel<ref>{{Lien web|titre=Résultats des recherches - Persée|url=https://www.persee.fr/search?ta=article&q=%22genre+hybride%22|site=www.persee.fr|consulté le=2021-12-12}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-CA|titre=Résultats de recherche – Érudit|url=https://www.erudit.org/fr/recherche/?funds=%C3%89rudit&funds=UNB&basic_search_term=+%22genre+hybride%22+|site=Érudit|consulté le=2021-12-12}}</ref>. Le terme hybride vient du latin <code>''hibrida''</code> : ''bâtard, de sang mêlé'', devenu <code>''hybrida''</code> par rapprochement avec le grec ''<code>húbris/ὕβρις</code>''&nbsp;: ''excès —'' ce qui peut s’entendre au sens de ce ''qui dépasse les bornes des catégories préexistantes en les combinant''. Entre autre définitions, les suivantes lui sont usuellement rattachées<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=hybride|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-03-10|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=hybride&oldid=29282724|consulté le=2021-12-12}}</ref>&nbsp;: * sur le plan biologique, désigne ce qui provient de deux espèces différentes, ou parfois de deux races ou variétés différentes&nbsp;; * sur le plan grammatical, désigne des mots formés de radicaux pris dans deux langues différentes. À noter qu’en ce dernier sens, en considérant l’étymologie sus-cité, ''hybride'' est un terme autologique puisqu’il découle lui-même d’un mixe de grec et de latin. Un usage pour ''genre grammatical hybride'' serait facilement transposable, et pourrait alors être par exemple être défini comme&nbsp;:<blockquote>👉 forme de genre grammatical issue du croisement d’au moins deux catégories préexistantes.</blockquote>Dans une certaine mesure, les écritures tentant de fusionner des variantes féminines et masculines par des artefacts tels des parenthèses ou des points médians, relève d’une hybridation des genres. Mais il s’agirait alors d’une hybridation partielle, car elle ne fournie pas de nouveau terme autonome aisément transposable à l’oral. Elle se présente d’ailleurs souvent comme une simple abréviation purement graphique qu’il s’agirait pour le lectorat de restituer par une formulation plus longue explicitant les deux genres scripturalement hybridés<ref name=":16" />. Il y a par ailleurs des néologismes qui sont qualifiés d'hybrides, comme l'exemplifie Isabelle LeBlanc<ref name=":27">{{Article|langue=fr|prénom1=Isabelle|nom1=LeBlanc|titre=Sans distinction d’identité de genre? Les enjeux d’un langage neutre/indifférencié au Nouveau-Brunswick|périodique=Recherches féministes|volume=31|numéro=2|date=2018|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/1056247ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/2018-v31-n2-rf04300/1056247ar/|consulté le=2021-12-15|pages=159–175}}</ref> avec ''frœur'' et ''freure'' qui fusionnent frère et sœur. Un emploi distinct est également fait du terme ''genre hybride'' pour désigner des lexies dont le genre grammaticale est en conflit avec le genre biologique attaché à sa classe de référés stéréotypiques<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Coudurier|prénom1=Perrine|titre=Arbitraire et motivation du genre grammatical|url=https://www.fabula.org/actualites/journee-d-etude-arbitraire-et-motivation-du-genre-grammatical-lyon-2-ens-de-lyon-15-mai-2015_65443.php|site=Yannick Chevalier|consulté le=2021-12-14}}</ref>. === Indéterminable, indéterminant, indéterminé === Sur le plan étymologique, l’ensemble de ces termes dérivent du préfixe privatif ''in-'' servant à former les antonymes appliqué sur la base ''terme,'' du latin ''<code>terminus</code>''&nbsp;'': borne,'' dérivant lui-même du latin ''<code>termen, termini</code>''&nbsp;'': borne, limite'', eux même construis avec avec le suffixe substantivant ''-men'' sur la racine ''<code>tĕro</code>'' &nbsp;: ''fouler, fréquenter, frotter, broyer, triturer, piler, polir, lisser, user souvent, façonner par le frottement, user par le frotement, rendre banal'' entre autres sens.[[Fichier:Schroedingers cat film.svg|alt=Visualisation de la séparation de l'univers due à deux états mécaniques quantiques superposés et intriqués.|vignette|Le principe d'indétermination, aussi dit [[w:Principe d'incertitude|principe d'incertitude]] est souvent illustré par l'expérience de pensée du [[w:Chat de Schrödinger|chat de Schrödinger]]. Elle illustre qu’il existe des situations où la théorie autorise plusieurs scénarios qui ont chacun une probabilité de plausibilité, qui ne peut se résoudre que par une observation effective.]] Le terme de genre indéterminé se trouve effectivement employé dans la littérature, entre autres exemples<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Brigitte|nom1=Lion|titre chapitre=10 - Prophètes et prophétesses en Mésopotamie|titre ouvrage=Femmes médiatrices et ambivalentes|éditeur=Armand Colin|date=2012|isbn=978-2-200-27281-4|doi=10.3917/arco.caioz.2012.01.0145.|lire en ligne=http://www.cairn.info/femmes-mediatrices-et-ambivalentes--9782200272814-page-145.htm|consulté le=2021-12-17|passage=145}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Christian|nom1=Mormont|prénom2=Frédéric|nom2=Burdot|prénom3=Aude|nom3=Michel|titre=Rorschach et identité sexuelle. Apports du Rorschach|périodique=Bulletin de psychologie|volume=Numéro 482|numéro=2|date=2006|issn=0007-4403|issn2=1968-3766|doi=10.3917/bupsy.482.0195|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/bupsy.482.0195|consulté le=2021-12-17|pages=195}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Anne|nom1=Dister|prénom2=Marie-Louise|nom2=Moreau|titre=« Dis-moi comment tu féminises, je te dirai pour qui tu votes. » Les dénominations des candidates dans les élections européennes de 1989 et de 2004 en Belgique et en France|périodique=Langage et société|volume=n° 115|numéro=1|date=2006-03-01|issn=0181-4095|doi=10.3917/ls.115.0005|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ls.115.0005|consulté le=2021-12-17|pages=5–45}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Ant�nio Pedro|nom1=Mesquita|titre=?? ?????. Des hypoth�ses d�existence chez Aristote�?|périodique=Revue de philosophie ancienne|volume=XXXIII|numéro=2|date=2015|issn=0771-5420|doi=10.3917/rpha.332.0129|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-de-philosophie-ancienne-2015-2-page-129.htm?ref=doi|consulté le=2021-12-17|pages=129}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=Comptes rendus|périodique=Le Moyen Age|volume=CXIV|numéro=3|date=2008|issn=0027-2841|issn2=1782-1436|doi=10.3917/rma.143.0647|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-le-moyen-age-2008-3-page-647.htm|consulté le=2021-12-17|pages=647}}</ref><ref>Quilliou-Rioual Mikaël, « [https://www.cairn.info/identites-de-genre-et-intervention-sociale--9782100702428-page-235.htm Les violences faites aux personnes trans et intersexes] », dans : , ''Identités de genre et intervention sociale.'' sous la direction de Quilliou-Rioual Mikaël. Paris, Dunod, « Santé Social », 2014, p. 235-242. </ref><ref>{{Article|prénom1=Anne|nom1=Dister|prénom2=Marie-Louise|nom2=Moreau|titre=« Dis-moi comment tu féminises, je te dirai pour qui tu votes. » Les dénominations des candidates dans les élections européennes de 1989 et de 2004 en Belgique et en France:|périodique=Langage et société|volume=n° 115|numéro=1|date=2006-03-01|issn=0181-4095|doi=10.3917/ls.115.0005|lire en ligne=https://www.cairn.info/revue-langage-et-societe-2006-1-page-5.htm?ref=doi|consulté le=2021-12-19|pages=5–45}}</ref><ref>Jumel Bernard, « 6. [https://www.cairn.info/dessin-d-enfant--9782100720422-page-81.htm Analyser le dessin d’une fille de cinq ans à l’orée de l’écriture] », dans : , ''Dessin d'enfant. En 20 études'', sous la direction de Jumel Bernard. Paris, Dunod, « Aide-Mémoire », 2015, p. 81-90. URL : <nowiki>https://www.cairn.info/---page-81.htm</nowiki> </ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Agnès|nom1=Condat|titre=Sexe d’un autre genre… genre d’un autre sexe, quand la boussole s’affole|périodique=La revue lacanienne|volume=18|numéro=1|date=2017|issn=1967-2055|issn2=2109-9553|doi=10.3917/lrl.171.0107|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-la-revue-lacanienne-2017-1-page-107.htm|consulté le=2021-12-19|pages=107}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Alain-Gérard|nom1=Slama|titre=Contre la discrimination positive: La liberté insupportable|périodique=Pouvoirs|volume=111|numéro=4|date=2004|issn=0152-0768|issn2=2101-0390|doi=10.3917/pouv.111.0133|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-pouvoirs-2004-4-page-133.htm|consulté le=2021-12-19|pages=133}}</ref><ref>Nouhet-Roseman Joëlle, « 5. [https://www.cairn.info/les-mangas-pour-jeunes-filles-figures-du-sexuel-a--9782749213583-page-137.htm Caractéristiques, thématiques et fantasmes récurrents] », dans : , ''Les mangas pour jeunes filles, figures du sexuel à l'adolescence.'' sous la direction de Nouhet-Roseman Joëlle. Toulouse, Érès, « La vie devant eux », 2011, p. 137-266.</ref><ref>Coulmont Baptiste, « III. [https://www.cairn.info/sociologie-des-prenoms--9782707183231-page-57.htm Les usages sociologiques] », dans : Baptiste Coulmont éd., ''Sociologie des prénoms.'' Paris, La Découverte, « Repères », 2014, p. 57-86.</ref> :<blockquote>''La réflexion sur les désignations de genre dans le roman de Dorsey découle de Blou, l’alien au genre indéterminé, qui personnifie en quelque sorte le novum<ref>{{Article|prénom1=Mathieu|nom1=Arès|titre=A paradigm of Earth : traduction performative et science-fiction queer|date=2017|lire en ligne=https://savoirs.usherbrooke.ca/handle/11143/11595|consulté le=2021-12-17}}</ref>.'' ''De la même façon, ne peut-on envisager la voix narrative masculine ou de genre indéterminé chez [[w:George Sand|George Sand]] comme un refus des déterminations liées non pas à la classe sociale, mais au genre sexuel<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Cynthia|nom1=Harvey|titre=Les règles du jeu au féminin. Indiana ou la conquête d’un espace de liberté|périodique=Tangence|numéro=94|date=2010|issn=1189-4563|issn2=1710-0305|doi=10.7202/1003487ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/tce/2000-n62-tce1521340/1003487ar/|consulté le=2021-12-17|pages=11–22}}</ref> ?'' ''En effet, encore plus qu’un genre indéterminé, le roman est pour eux un genre « libre » et plus exactement « le genre le plus libre qui soit 3 », selon l’expression qu’emploie René Boylesve dans une chronique de 1912<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Jolianne|nom1=Gaudreault-Bourgeois|titre=« Le roman vit selon ses propres lois », ou comment les romanciers font du roman « le genre le plus libre qui soit »|périodique=Tangence|numéro=118|date=2018|issn=1189-4563|issn2=1710-0305|doi=10.7202/1060191ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/tce/2018-n118-tce04635/1060191ar/|consulté le=2021-12-17|pages=103–118}}</ref>.'' ''Dans le premier volet de notre dossier, nous avons exploré les 118 livres mettant en vedette des personnages féminins seulement, des personnages masculins seulement ou encore des personnages, ou des concepts, au genre indéterminé, comme des objets<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Rachel|nom1=DeRoy-Ringuette|prénom2=Danièle|nom2=Courchesne|titre=Filles et garçons 2 : égaux ou pas?|périodique=Lurelu|volume=41|numéro=1|date=2018|issn=0705-6567|issn2=1923-2330|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/lurelu/2018-v41-n1-lurelu03758/88293ac/|consulté le=2021-12-17|pages=17–22}}</ref>.'' ''Il y a dans l'héritage de la Révolution française une contradiction fondamentale pour les femmes, celle de l'incarnation de l'individu universel, abstrait, porteur des droits, comme de l'unité de la souveraineté nationale, dans un homme. C'est pourtant l'abstraction même d'un sujet politique au genre indéterminé qui a permis aux femmes de réclamer les droits politiques au nom des principes fondateurs de la république<ref>{{Article|titre=History Workshop. A Journal of Socialist and Feminist Historians, n° 28, automne 1989 : « Cultures of conflict : the French Revolution »|périodique=L'Homme et la société|volume=94|numéro=4|date=1989|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/homso_0018-4306_1989_num_94_4_2451_t1_0121_0000_2|consulté le=2021-12-17|pages=121–122}}</ref>.'' ''quand je m’aperçois qu’un objet tombe sous un certain genre (que, ex hypothesi, je ne connais pas), je détermine tout simplement que cet objet est quelque chose (c’est-à-dire, qu’il est une instance d’un certain genre indéterminé) ; or, c’est parce que j’ai fait cette observation que je me demande ce que c’est que ce quelque chose (ce que c’est que ce genre)''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Ant�nio Pedro|nom1=Mesquita|titre=?? ?????. Des hypoth�ses d�existence chez Aristote�?|périodique=Revue de philosophie ancienne|volume=XXXIII|numéro=2|date=2015|issn=0771-5420|doi=10.3917/rpha.332.0129|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-de-philosophie-ancienne-2015-2-page-129.htm?ref=doi|consulté le=2021-12-19|pages=129}}</ref>''.'' ''Au-delà de ce dialogue des sexes, J.F.K.T. montre l’existence d’une voix au genre indéterminé qu’il nomme « voix androgyne »''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Comptes rendus|périodique=Le Moyen Age|volume=CXIV|numéro=3|date=2008|issn=0027-2841|issn2=1782-1436|doi=10.3917/rma.143.0647|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-le-moyen-age-2008-3-page-647.htm|consulté le=2021-12-19|pages=647}}</ref>''.''</blockquote>Certains emplois touchent plus directement au genre grammatical, se trouve notamment en plus d'autres qui ne seront pas cités explicitement ici<ref>{{Article|prénom1=Olivier|nom1=Naudeau|titre=Observations sur la langue de Aigar et Maurin|périodique=Romania|volume=115|numéro=459|date=1997|doi=10.3406/roma.1997.2244|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/roma_0035-8029_1997_num_115_459_2244|consulté le=2021-12-17|pages=337–367}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Michel|nom1=Tamine|titre=Le saule dans la toponymie des Ardennes|périodique=Nouvelle revue d'onomastique|volume=49|numéro=1|date=2008|doi=10.3406/onoma.2008.1491|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/onoma_0755-7752_2008_num_49_1_1491|consulté le=2021-12-17|pages=141–178}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Laurent|nom1=Dubois|prénom2=Michel|nom2=Sève|prénom3=Christophe|nom3=Feyel|prénom4=Pierre|nom4=Fröhlich|titre=Bulletin épigraphique|périodique=Revue des Études Grecques|volume=123|numéro=2|date=2010|doi=10.3406/reg.2010.8169|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_2010_num_123_2_8169|consulté le=2021-12-17|pages=661–875}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Hervé|nom1=Joubeaux|titre=Un type particulier de monuments funéraires : les «pyramidions » des nécropoles gallo-romaines de Dijon|périodique=Gallia|volume=46|numéro=1|date=1989|doi=10.3406/galia.1989.2896|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/galia_0016-4119_1989_num_46_1_2896|consulté le=2021-12-17|pages=213–244}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jacques|nom1=Blois|titre=Les néologismes dans l'hebdomadaire «L'Express» II, 1er trimestre de 1979, n°1434 à 1446|périodique=Equivalences|volume=10|numéro=3|date=1979|doi=10.3406/equiv.1979.1033|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/equiv_0751-9532_1979_num_10_3_1033|consulté le=2021-12-17|pages=23–69}}</ref> :<blockquote>''Mme Mulon, devant les adjectifs masculins épithètes de noms féminins, comme'' Calm ''ou'' Comba'', se demande si on ne pourrait penser que certains mots prélatins étaient de genre indéterminé<ref>{{Article|titre=La Société Française d’Onomastique. Compte rendu de la séance de la Société tenue le samedi 27 janvier 1962|périodique=Revue internationale d'onomastique|volume=14|numéro=2|date=1962|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rio_0048-8151_1962_num_14_2_1768|consulté le=2021-12-17|pages=128–132}}</ref>.'' ''Considérer que'' Confinis ''désignerait la défunte conduirait à trop d'invraisemblances. D'abord il faudrait admettre que c'est un nom de genre indéterminé, ce que rien ne prouve, attendu que le seul autre exemple connu de ce nom (cf. les deux inscriptions de Bingen) est masculin<ref>{{Article|prénom1=Marcel|nom1=Renard|titre=Inscription latine de Nivelles|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=33|numéro=2|date=1955|doi=10.3406/rbph.1955.1948|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1955_num_33_2_1948|consulté le=2021-12-17|pages=320–326}}</ref>.'' ''Dans les phrases indiquant une attitude ou un mouvement, le vieux polonais se servait volontiers, pour marquer le genre d'attitude ou le mode de mouvement, d'un mot, à valeur le plus souvent comparative, qui était régulièrement, soit un substantif masculin au singulier, toujours avec désinence -a, soit un adjectif de genre indéterminé, toujours avec désinence -ego<ref>{{Article|prénom1=Henri|nom1=Grappin|titre=Comment, en polonais, des génitifs sont devenus et deviennent des accusatifs|périodique=Revue des Études Slaves|volume=28|numéro=1|date=1951|doi=10.3406/slave.1951.1559|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/slave_0080-2557_1951_num_28_1_1559|consulté le=2021-12-17|pages=50–67}}</ref>.'' Flach '': n., ne s'emploie qu'au sing. ; genre indéterminé<ref>{{Article|prénom1=Charles|nom1=Le Gall|titre=Le Vocabulaire breton de l'Hôpital-Camfrout|périodique=Annales de Bretagne et des pays de l'Ouest|volume=64|numéro=4|date=1957|doi=10.3406/abpo.1957.2032|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/abpo_0003-391x_1957_num_64_4_2032|consulté le=2021-12-17|pages=445–473}}</ref>.'' ''Les objets sont du genre masculin ou féminin, mais le masculin est souvent employé comme genre indéterminé : on peut opposer cheval, masculin, à jument, féminin, mais cheval, au sens large, peut désigner aussi bien le mâle que la femelle ; même chose pour rat, chien, chat, chameau, etc<ref>{{Article|titre=Chronique — Kroniek|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=42|numéro=1|date=1964|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1964_num_42_1_2513|consulté le=2021-12-17|pages=205–379}}</ref>.'' ''II en resulte qu'au total nous avons onze emplois au féminin, quatre au masculin et quatre indéterminables<ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Nougué|titre=Le genre du mot « estratagema »|périodique=Bulletin hispanique|volume=68|numéro=3|date=1966|doi=10.3406/hispa.1966.3883|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hispa_0007-4640_1966_num_68_3_3883|consulté le=2021-12-17|pages=365–369}}</ref>.'' ''Une quarantaine sont exploitables : 11 noms masculins, gaulois, tous connus ; 15 noms féminins majoritairement gaulois ; 7 noms de genre indéterminé''<ref>{{Article|langue=fr|titre=Gaules|périodique=L'Année épigraphique|volume=année 2015|numéro=1|date=2018|issn=0066-2348|issn2=2492-0509|doi=10.3917/aep.2015.0329|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-annee-epigraphique-2018-1-page-329.htm?ref=doi|consulté le=2021-12-19|pages=329}}</ref>''.''</blockquote>L'ensemble des ressources considérées permet de profiler une forme qui s'emploie où un genre plus spécifique serait possiblement applicable, mais où les informations en présences s'avèrent insuffisantes pour se prononcer d'une manière satisfaisante pour l’énonciateur. D'où une variation terminologique qui permet en plus de précisé le degré d'indéterminisme :  * indéterminable : aucune source d'information complémentaire n’est envisagée pour lever l'incertitude ; * indéterminé : une source d'information complémentaire est envisageable pour lever l'incertitude ; * indéterminant : l'incertitude est introduite à dessein dans l'énoncé, bien que l'énonciateur possède éventuellement l'information qui pourrait la dissiper. Comme d’autres catégories ici décrites, celle-ci désigne un groupe d'individus sexués, mais dans un cadre qui ne se préoccupe pas des sexes représentés. Il désigne un groupe abstrait de personnes, mixte ou non. Ici le français comprend déjà le pronom ''on'' pour exprimer ce genre, bien que celui-ci prends nécessairement à partie l'allocutaire. Dans le cas général, c’est le genre établit par le dernier substantif topique qui est employé pour désigner le groupe : ''Le groupe était arrivé à destination, il se reposa. La coterie repartie le lendemain à l'aube, elle avait pris du retard.'' === Indifférencié === [[Fichier:Feather stages diagram.svg|alt=Diagramme montrant les étapes de l'évolution des plumes telles que décrites par Xu & Gou 2009. |vignette|L'évolution d'une plume en huit étapes clés qui se conclut par une vanne '''''indifférenciée''''' avec rachis central, indicé 8 sur ce schéma.]] Sous la plume tétrachirale<ref group="N">Autrement l'écriture à quatre mains soit deux personnes à l'anatomie médiane.</ref> d'André Goosse et Maurice Grevisse, ''Le bon usage'' indique<ref name=":25" /><ref name=":26" />'' : Peut-être y a-t-il parfois des raisons sociales, mais d’une manière générale le genre masculin est le'' genre indifférencié'', asexué.'' Mais avant de conclure trop hâtivement sur cette seule sentence, un rapide tour d'horizon des propos accessibles dans humanités numériques permettra d'en appréhender une vision plus large. En 1946 Jodogne Omer pour l’utilise dans le propos suivant<ref>{{Article|prénom1=Omer|nom1=Jodogne|titre=Brandt (G.). La concurrence entre soi et lui, eux, elle(s). Étude de syntaxe historique française|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=25|numéro=3|date=1946|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1946_num_25_3_1761_t1_0668_0000_2|consulté le=2021-12-15|pages=668–671}}</ref> :<blockquote>''Le pronom'' soi ''est senti comme appartenant au'' '''genre indifférencié''''', lui, disposant d'une forme particulière pour le féminin et pour le pluriel, est considéré comme marqué plus nettement par le genre et dès lors plus apte à représenter des personnes déterminées.''</blockquote>En 1989 Christiane Marchello-Nizia, à la suite de Jacqueline Pinchon et [[w:Robert-Léon Wagner|Robert-Léon Wagner]] l'évoque en ces termes<ref name=":30">{{Article|prénom1=Christiane|nom1=Marchello-Nizia|titre=Le neutre et l'impersonnel|périodique=LINX|volume=21|numéro=1|date=1989|doi=10.3406/linx.1989.1139|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/linx_0246-8743_1989_num_21_1_1139|consulté le=2021-12-15|pages=173–179}}</ref> :<blockquote>''H.L. Wagner et J. Pinchon, on l'a vu, sont les plus cohérents dans le refus (non explicité cependant) de la catégorie du neutre ; ils réutilisent en revanche la catégorie du "'''''genre indifférencié'''''", ou du "genre non marqué" (à propos du pronom personne par exemple) ; mais l'on peut se demander quel est le statut de cette catégorie par rapport au masculin et au féminin (ceux- ci appartiennent-ils à une catégorie "genre marqué" qui les dominerait ?).''</blockquote>En 1996 André Winther fait usage du terme dans ''Un point de morpho-syntaxe : la formation des adjectifs substantivés en français''<ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Winther|titre=Un point de morpho-syntaxe : la formation des adjectifs substantivés en français|périodique=L'information grammaticale|volume=68|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/igram.1996.3023|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1996_num_68_1_3023|consulté le=2021-12-15|pages=42–46}}</ref>'' :''<blockquote>''Nous avons parlé, jusqu'à présent, indistinctement « d'adjectifs » substantives, mais il est patent que cette construction concerne tout autant les participes passés (les élus, le passé, le fait...), les formes en -ant (les votants, une passante, l'étant -vs l'être- ...) et les formes en -eur, fondamentalement adjectivales ('''''indifférenciées en genre'''''), même si elles sont fréquemment lexicalisées comme noms, c'est à dire comme adjectifs substantives (un aspirateur, mais aussi un dispositif aspirateur de copeaux).'' ''Un nom est nécessairement masculin ou féminin. Ce genre fixe et nécessaire le construit et le détermine comme nom. On analysera donc: table: «tabl-» (lexeme) + « GeF » (morphème de genre féminin); homme: « om- » (lexeme) + « GeM » (morphème de genre masculin) ; etc. – Au contraire, un adjectif est nécessairement'' '''indifférencié en genre'''''[…]''</blockquote>En 2005 [[w:Pierrette Vachon-L’Heureux|Pierrette Vachon-L’Heureux]] dans sa synthèse ''Quinze ans de féminisation au Québec : de 1976 à 1991'' explique<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Pierrette|nom1=Vachon-L’Heureux|titre=Quinze ans de féminisation au Québec : de 1976 à 1991|périodique=Recherches féministes|volume=5|numéro=1|date=1992|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/057675ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/1992-v5-n1-rf1645/057675ar/|consulté le=2021-12-15|pages=139–142}}</ref> :<blockquote>''Le recours au pluriel pour les appellations d'emploi épicènes, ou au'' '''genre indifférencié''' ''(masculin) appliqué qu poste plutôt qu'à la personne.''</blockquote>Également en 2005 Olivette Genest prend appui sur cette notion pour énoncer<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Olivette|nom1=Genest|titre=Langage religieux chrétien et différenciation sexuelle. De quelques évidences|périodique=Recherches féministes|volume=3|numéro=2|date=1990|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/057604ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/1990-v3-n2-rf1642/057604ar/|consulté le=2021-12-15|pages=11–30}}</ref> : <blockquote>''Le français n'a pas non plus un éventail de mots neutres, sauf peut-être quelques rarissimes exceptions au'' '''genre indifférencié''' ''comme personne et victime.''</blockquote>En 2009 Montserrat Planelles Iváñez y recourt comme suit pour décrire le cas du mot ''auteur'', seul retenu parmi ses 23 exemples selon ses propres critères <ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Montserrat|nom1=Iváñez|titre=L’influence de la planification linguistique dans la féminisation des titres en France et au Québec : deux résultats différents en ce qui a trait à l’usage|périodique=Revue québécoise de linguistique|volume=24|numéro=2|date=1996|issn=0710-0167|issn2=1705-4591|doi=10.7202/603115ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rql/1996-v24-n2-rql2943/603115ar/|consulté le=2021-12-15|pages=71–106}}</ref> :<blockquote>''En raison de sa forme, quand'' auteur ''est accompagné du déterminant défini, son'' '''genre reste indifférencié''''', car la voyelle s'élide. On a encore repéré 13 exemples où auteur a le'' '''genre indifférencié''' ''rapporté à une femme.''</blockquote> En 2018 Isabelle LeBlanc dans ''Sans distinction d’identité de genre?'' emploi le terme par exemple dans les passages suivants<ref name=":27">{{Article|langue=fr|prénom1=Isabelle|nom1=LeBlanc|titre=Sans distinction d’identité de genre? Les enjeux d’un langage neutre/indifférencié au Nouveau-Brunswick|périodique=Recherches féministes|volume=31|numéro=2|date=2018|issn=0838-4479|issn2=1705-9240|doi=10.7202/1056247ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/rf/2018-v31-n2-rf04300/1056247ar/|consulté le=2021-12-15|pages=159–175}}</ref> : <blockquote>''La neutralisation linguistique en anglais se présente comme une'' indifférenciation ''sémantique.'' ''L’idée que le masculin serait un'' '''genre indifférencié''' ''en français est démentie par Anne Abeillé, linguiste française, qui considère que « le masculin n’est pas un genre neutre, mais un genre par défaut »'' ''Le débat a bel et bien eu lieu et divise un certain nombre de Canadiennes et de Canadiens sur la question suivante : faut-il neutraliser/''indifférencier ''la langue afin d’intégrer tous les genres?''</blockquote>De ces multiples échantillons d'usage, peut se dégager une définition comme la suivante pour le genre indifférencié : <blockquote>👉 forme de genre grammatical qui dénote une suspension de jugement sur des traits sémantiques, comme le sexe, auquel tout ou partie des genres de la langue peut par ailleurs renvoyer.</blockquote>Cette définition n'exclue pas qu'un genre donnée puisse, sans qu'aucune variation morphologique n'intervienne, agir selon le contexte d'emploi parfois comme indifférencié, parfois comme différencié. Elle n'exige pas non plus d'un tel genre qu'il soit strictement rattaché à une unique classe morphologique de genre. Rien n'empêche donc de concevoir un genre indifférencié qui prenne les traits tantôt d'un féminin, tantôt d'un masculin, ou encore d'un neutre. Aussi une telle définition fait d'autant mieux resortir que ce qui est usuellement présenté comme ''genre indifférencié'' en français propose surtout un genre affecté d’une valeur ''indifférenciant''e. C'est à dire inhibant un trait sémantique sexualisant, qui n'opère pas dans le cas général, sans en abroger la possibilité virtuelle d'activation ubiquitaire. Et ce mécanisme d'inhibition est de fait utilisable et utilisé tant au féminin qu'au masculin :<blockquote>L'humanité est ainsi faite qu'''elle'' nous donne à contempler les plus affables personnes et les plus sordides individus, probablement dans d'égales distributions entre ''tous'' les sexes que compte ''le'' genre humain, entre ''toutes'' les âmes qui peuplent notre espèce.  ''Celles-ci'' sont les modèles des vertus à suivre, ''ceux-là'' sont les spécimens des déviances à fuir. Qui parmi nous autres, mortelles créatures, seront de ''celles'' à ne pas capituler face aux attraits des vices les plus abjects ?</blockquote>Dans cet exemple construit pour l'occasion, dans tous les mots mis en emphase, la sémantique implique une indifférence au sexe des référés, bien que s'y trouve une alternance de féminin et masculin. Et évidemment si dans la phrase précédentes il est stipulé ''référés'', utiliser ''référées'' serait tout aussi grammaticalement justifiable en tant qu'ellipses respectives de ''individus référés'' et ''personnes référées''. Enfin il convient d'expliciter que le genre indifférencié ne peut en aucun cas prétendre qualifier le pronom ''il'' dans ''il pleut'', ''il faut.'' Ces cas relève du genre impersonnel. === Indistinct === Au premier siècle avant notre ère Varron évoque le genre indistinct, ou plus exactement emploi le terme ''<code>promiscuum</code>''&nbsp;: ''mêlé, indistinct, pêle-mêle, confondu, indifférent'', pour décrire le terme latin ''<code>aquila</code>''&nbsp;: ''aigle, rapace''<ref name=":32">{{Article|prénom1=Jacques|nom1=André|prénom2=Pierre|nom2=Flobert|titre=Philologie latine|périodique=Annuaires de l'École pratique des hautes études|volume=111|numéro=1|date=1982|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ephe_0000-0001_1978_num_1_1_6537|consulté le=2021-12-22|pages=363–373}}</ref>, ce que la tradition grammaticale traduit cependant plus souvent par les appellations d’''indifférencié'', ou d’''épicène'', au sens ''de sexe indistinct''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=promiscuus|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-08-30|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=promiscuus&oldid=28489347|consulté le=2021-12-22}}</ref>. Cela dit, l’ouvrage de [[w:Nonius Marcellus|Nonius Marcellus]] sur les noms épicènes s’intitule ''<code>De indiscretis generibus</code>''&nbsp;: Sur les noms de genre confondu/indistinct<ref>{{Lien web|titre=Les doublets en latin : variantes de genre et de suffixe - Forum latin - Forum Babel|url=http://projetbabel.org/forum/viewtopic.php?t=14839|site=projetbabel.org|consulté le=2021-12-22}}</ref>. Le terme en français apparaît au moins dès 1868 dans les ''Mémoires'' de la Société de linguistique de Paris<ref>{{Ouvrage|nom1=Robarts - University of Toronto|titre=Mémoires|éditeur=Paris|date=1868|lire en ligne=http://archive.org/details/mmoiresling15soci|consulté le=2021-12-22}}</ref>. En 1994 Francis Corblin avance que ''ça'', ''cela'' et ''ceci'' sont employés en français contemporain pour désigner un sujet indistinct, qu’il oppose au sujet impersonnel rendu par ''il''<ref>{{Article|prénom1=Francis|nom1=Corblin|titre=Existe-t-il un « ça » impersonnel en français ?|périodique=L'information grammaticale|volume=62|numéro=1|date=1994|doi=10.3406/igram.1994.3100|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1994_num_62_1_3100|consulté le=2021-12-22|pages=45–47}}</ref>. Le terme apparaît aussi post 2017 dans ''La catégorie linguistique du genre en japonais : terminologie actuelle''<ref>{{Lien web|titre=La catégorie linguistique du genre en japonais : terminologie actuelle.|url=https://web.archive.org/web/20210227053957/https://journal.hass.tsukuba.ac.jp/interfaculty/article/download/130/242?inline=1|site=web.archive.org|consulté le=2021-12-22}}</ref>. En 2016 Nassima Metahri, dans le registre de la psychologie, emploi ''genre indistinct'' pour désigner des dessins d’enfants où le sexe des personnages demeure inconnu<ref>{{Article|prénom1=Nassima|nom1=Metahri|titre=De la production imagée chez l’enfant en souffrance psychique|périodique=NAQD|volume=N° 33-34|numéro=1|date=2016|issn=1111-4371|doi=10.3917/naqd.033.0067|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/naqd.033.0067|consulté le=2021-12-22|pages=67}}</ref>. Aussi l’indistinct, en terme de genre grammatical spécifique pourrait-il se définir comme suit&nbsp;:<blockquote>👉 forme de genre grammatical qui dénote une sémantique résolument confuse et vague, tout au plus évasivement définie.</blockquote>En cela, contrairement à l’indéterminable, l’indéterminant et l’indéterminé, le genre indistinct n’est pas une indétermination de circonstance où c’est l’absence d’informations complémentaires qui prévient une spécification plus précise du sujet, c’est la nature même du référé qui y constitue la source de nébulosité définitionnelle. === Logistique === [[Fichier:Arbeit-auschwitz04.jpg|alt=Porte principale du camp de la mort nazi allemand d'Auschwitz I (1940-1945) en Pologne.|vignette|Il faut sans conteste des summums d'intelligence pour concevoir une logistique aussi hideusement frénétique qu'un camp d'extermination.]] Raoul de La Grasserie propose également un genre logistique, dont le critère supposé de discrimination repose sur l’intelligence, qui sépare les êtres qui en sont doués de ceux qui en sont privés<ref name=":1" />. Il précise en indiquant la première comme anthropique et la seconde comme métanthropique<ref name=":21" />. Le terme est par ailleurs employé, vraisemblablement de manière indépendante, dans d’autres domaines comme les mathématiques<ref>{{Article|prénom1=Nourredine|nom1=Akroune|prénom2=Danièle|nom2=Fournier-Prunaret|titre=Dimension fractale d'attracteurs : cas du modèle de Hogg-Huberman|périodique=Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin|volume=15|numéro=1|date=2008-02-01|issn=1370-1444|doi=10.36045/bbms/1203692444|lire en ligne=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-belgian-mathematical-society-simon-stevin/volume-15/issue-1/Dimension-fractale-dattracteurs---cas-du-mod%c3%a8le-de-Hogg/10.36045/bbms/1203692444.full|consulté le=2021-12-17}}</ref> === Masculin === {{/masculin}} === Mixte === [[Fichier:WikiCamp L'Escandille WC mixte.jpg|alt=Pancarte devant des toilettes avec une représentation iconographique de trois personnes femelle, mâle et handicapé|vignette|Le mixte peut brasser au-delà des genres pour des sujets de première importance.]] C'est le genre qui correspond à la désignation d'un groupe de personnes, donc sexuées, et de sexes variés. Sur le plan étymologique ''mixte'' vient du latin ''mixtus'', lui même issue de ''miscĕo'' : mêler, mélanger. Dans la littérature, le terme genre mixte est principalement employé en dehors de tout considération grammaticale<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Max|nom1=Roy|titre=La doctrine et le droit à l’erreur / Maurice Lemire, La littérature québécoise en projet au milieu du XIXe siècle, Montréal, Fides, 1993, 280 p., 18,95 $. / Janusz Przychodzen, Un projet de liberté : l’essai littéraire au Québec, 1970-1990, Québec, Institut québécois de recherche sur la culture (IQRC), 1993, coll. « Edmond-de-Nevers », no 12, 216 p, 25 $|périodique=Lettres québécoises : la revue de l’actualité littéraire|numéro=74|date=1994|issn=0382-084X|issn2=1923-239X|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/lq/1994-n74-lq1179753/38163ac/|consulté le=2021-12-16|pages=48–49}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Nicolas|nom1=Martin-Granel|titre=Femmes dans la guerre sur les deux rives du Congo (Bill Kouélany, Lieve Joris)|périodique=Études littéraires africaines|numéro=26|date=2008|issn=0769-4563|issn2=2270-0374|doi=10.7202/1035122ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/ela/2008-n26-ela02362/1035122ar/|consulté le=2021-12-16|pages=42–51}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Marie-Pierre|nom1=Bussières|prénom2=Serge|nom2=Cazelais|prénom3=Eric|nom3=Crégheur|prénom4=Lucian|nom4=Dîncă|titre=Littérature et histoire du christianisme ancien|périodique=Laval théologique et philosophique|volume=63|numéro=1|date=2007|issn=0023-9054|issn2=1703-8804|doi=10.7202/016681ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/ltp/2007-v63-n1-ltp1886/016681ar/|consulté le=2021-12-16|pages=121–162}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Dan|nom1=Savatovsky|titre=Le Vocabulaire philosophique de Lalande (1902-1923) : lexicographie spécialisée ou prototerminographie ?:|périodique=Langages|volume=n° 168|numéro=4|date=2007-12-01|issn=0458-726X|doi=10.3917/lang.168.0039|lire en ligne=https://www.cairn.info/revue-langages-2007-4-page-39.htm?ref=doi|consulté le=2021-12-16|pages=39–52}}</ref><ref>{{Article|langue=en|prénom1=R. Howard|nom1=Bloch|titre=Étymologies et généalogies : théories de la langue, liens de parenté et genre littéraire au XIIIe siècle|périodique=Annales. Histoire, Sciences Sociales|volume=36|numéro=5|date=1981-10|issn=0395-2649|issn2=1953-8146|doi=10.3406/ahess.1981.282795|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/journals/annales-histoire-sciences-sociales/article/abs/etymologies-et-genealogies-theories-de-la-langue-liens-de-parente-et-genre-litteraire-au-xiiie-siecle/8C8B8FEEA26C367078D5EE53C0110F75|consulté le=2021-12-16|pages=946–962}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Sonia|nom1=Branca-Rosoff|titre=Normes et genres de discours: Le cas des émissions de libre antenne sur les radios jeunes|périodique=Langage et société|volume=119|numéro=1|date=2007|issn=0181-4095|issn2=2101-0382|doi=10.3917/ls.119.0111|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-langage-et-societe-2007-1-page-111.htm|consulté le=2021-12-16|pages=111}}</ref>, dans des formulations qui sont cependant parfois suffisamment éclairante pour servir d'inspiration à un genre ainsi qualifié :<blockquote>''Or, traditionnellement dans la théorie des genres, le lyrique se donne comme le subjectif par excellence, l'épique comme le genre objectif alors que le dramatique se constitue comme genre mixte, à la fois objectif et subjectif''<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Claude|nom1=Lévesque|titre=Dissonance|périodique=Études françaises|volume=17|numéro=3-4|date=1981|issn=0014-2085|issn2=1492-1405|doi=10.7202/036741ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/etudfr/1981-v17-n3-4-etudfr1674/036741ar/|consulté le=2021-12-16|pages=53–66}}</ref>.</blockquote>Il se trouve tout de même quelques emplois dans un contexte topique pour la présente recherche<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=L’écriture inclusive, entre passions et crispations : entretien avec Laurence Rosier|url=https://www.axellemag.be/ecriture-inclusive-entretien-avec-laurence-rosier/|site=Axelle Mag|date=2020-09-25|consulté le=2021-12-17}}</ref>, par exemple dans les extraits suivants de textes de Pierre Fiala et Gabrielle Varro en 2007 pour le premier et de Nicole Pradalier en 2012 pour le second : <blockquote>''Couple lexical apparemment sans histoire, mixte/mixité, de souche bien latine, partage les multiples traits sémantiques du mélange, de l’assemblage, de la combinaison, de la fusion, de l’union, avec son doublet métis/métissage, passé par le portugais, marqué ethniquement, et avec la paire gréco-latine hybride/hybridité, à connotation biologique et technique. […] Nulle trace de la notion de mixte dans ces approches diachroniques. La communauté ou l’indifférenciation de genre sont analysées sous l’espèce du masculin […] Il sert à marquer expressivement dans le discours, de façon optionnelle, qu’un syntagme nominal animé humain adjectival, pronominal réfère à une entité mixte, c’est-à-dire composée d’individus des deux sexes.''<ref name=":28" /></blockquote> <blockquote> ''C’est pourquoi l’idée de penser un « genre mixte » selon l’expression de P. Fiala qui fonctionnerait en alternance et en complémentarité avec les genres masculin et féminin dans l’accord grammatical semble une nécessité pour permettre la reconnaissance de la diversité sexuée en harmonie avec le fonctionnement du système de la langue. Ce « genre mixte » peut correspondre à ce qui a été énoncé plus haut et dit « genre épicène »''<ref name=":23" />''.''</blockquote> Le mixte serait donc à la croisée du commun et de l'indifférencié, tout en incorporant possiblement une valeur épicène. D'où la proposition de définition suivante :<blockquote>👉 forme de genre grammaticale ou le référé est apostrophé dans une formulation visant à faire fi d'un trait sémantique distinctif, comme le sexe, qui le démarquerait sinon d'un groupe à l'aune duquel il est concerné par l'énoncé.</blockquote> === Neutre === {{/neutre}} === Personnel et impersonnel === {{/personnel}} === Psychologique === {{/psychologique}} === Sexiste, sexuant, sexualisant, sexualisé, sexualiste, sexué, sexuel, sexuisemblance === {{/sexe}} === Sociologique === {{/sociologique}} == Détours hors du genre == === Réflexion sur le dualisme cognitif === La revue des catégorie de genre dont ont pu user les grammairiens, et notamment celles qui s’articule en sémantisation bipartite, amène à la thèse qu’aucun couple de conceptualisation dichotomique de structure linguistique ne correspond pleinement à une représentation psychologique effective. L’humain use certes de tels catégorisations duels, mais la multitude de représentations occupant simultanément les psychés individuelles et collectives ne peut en aucun cas être qualifiée de strictement et pleinement cohérente. La résolution des dissonances cognitives de tout ordre est même assurément l’une des fonctions les plus consommatrice parmi les activités cérébrales. En conséquence, il serait illusoire d’escompter voir apparaître dans la grammaire une cohérence de l’attribution des genres en fonction de catégories à des objets considérés extra-linguistiques et porteurs de caractéristiques inhérents autonomes. Les objets extra-mentaux ne sont accessibles à la conscience que dans les typologies que ces objets imprime avec le monde mental par interaction au sein d’un contexte socio-culturel en perpétuelle évolution. Le dépassement du solipsisme ne saurait s’opérer par un appel à la cohérence, et relève de l’acte de foi&nbsp;: il existe un monde en dehors de la présente consciente, et le langage permet d’y référer. Des couples antagonistes comme animé et inanimé, femelle et mâle, féminin et masculin, révèle assurément de phénomènes mentaux mesurables, d’une pratique transculturelle qu’ont les humains de séparer le fond de la forme. Autrement dit l’objet circoncis, de son complément, qui constitue simultanément son antithèse et sa limite fondatrice. Mais si la pratique est invariante, sa mise en œuvre est éminemment variable, changeant dans le temps et l’espace, aussi bien pour l’individu que le collectif. <blockquote>Il pourra être utile ici de passer passer par une comparaison avec une perspective mathématique pour apporter à ce sujet la précision sémantique accordé à ce dernier domaine. En arithmétique se distingue entre autres&nbsp;: * [[w:Inverse|inverse]], comme un demi, souvent noté 1/2&nbsp;; * contraire, comme moins deux, souvent noté -2&nbsp;; * [[w:Conjugué|conjugué]], comme le conjugué de l’unité deutéromense doublée<ref group="N">Autrement dit, le ''nombre imaginaire doublé''. Ici le terme deutéromense est à comprendre comme quantification dans la ''seconde di''mens''ion''. Cette appelation un brin orginal suit un raisonnement largement enterriné en pratique, considérant un nombre complexe comme un vecteur bidimensionnel. </ref>, souvent noté <math> \overline{2i}</math>. D’autres sous-domaines mathématiques, comme l’algèbre, aborde également la notion de [[w:Complémentaire|complémentaire]]. En logique, la converse d’une proposition se distingue du contraire&nbsp;: par conversion ''Bob aime Ada'', donne ''Ada aime Bob.'' Ce qui se distingue du contraire ''Bob n’aime pas Ada''. Ce contraire est lui-même à distinguer de sa négation&nbsp;''«''&nbsp;''Il est faux que “''Bob aime Ada''”''&nbsp;». Cette dernière proposition peut tout aussi bien opérer lorsque l’existence de Ada n’a même jamais effleuré l’esprit de Bob. Sans détailler plus avant ces notions discernantes, il faut remarquer qu’elles sont très nettes, et bien que toutes appellent à une notion de rivalité, elles se placent chacune sur des rives distincts des fleuves qui modèlent le paysage mathématique.</blockquote>Comme l’eau qui scinde les berges des fleuves, une notion discriminante ne saurait être attachée de manière inhérente à un lit unique. Son contraire n’est pas son inverse ou sa négation. Ce constat se généralise aisément à toutes les discriminations conceptuelles. Un concept peut toujours être analysé dans des perspectives multidimensionnelles plutôt que sous un axe unitaire et sous un prisme spectrale plutôt qu’une bipartition polaire. Entre autres hypothèses pour expliquer la prégnance de cette forme de conceptualisation dualiste sur la cognition humaine, se dégage celle reposant sur la physionomie des corps. Latéralisation, symétrie axiale approximative des visages, chiralité des mains, sont autant d’expériences qui paraissent indissociable de l’expérience humaine, vécue en sa chair. Certaines personnes comme [[w:Michel Serres|Michel Serres]] n’hésitent pas, en emboîtant le pas à des postulats linguistiques comme ceux d’[[w:André Martinet|André Martinet]], à lier explicitement latéralisation d'origine génétique avec binarisation conceptuelle affirmant «''&nbsp;que la division du corps en gauche et droite favorisait un langage fonctionnant sur des oppositions<ref>[https://www.furet.com/revues/philosophie-magazine-hors-serie-n-39-le-monde-selon-michel-serres-sven-ortoli-3663322099489.html Philosophie Magazine Hors-série n°39] - Le monde selon Michel Serres, [http://palimpsestes.fr/textes_philo/serres/philomag-itv2.pdf ENTRETIEN AVEC MICHEL SERRES Propos recueillis par Sven Ortol], 13/10/2018, ISBN&nbsp;: 366-3-322-09948-9 </ref>''&nbsp;». Ces thèses peuvent être modérés par les réflexions et études de l’acquisition de notions liés à la psychomotricité et à la didactique qui mettent en avant le rôle actif de l’éducation sur la conceptualisation de l’espace<ref>[http://www.ac-grenoble.fr/ecole/74/eps74/IMG/pdf/henart_dehondt_orientation_dans_lespace.pdf La structuration de l'espace chez l'enfant], Présentation de N. Dehondt et I. Hénard à partir de l'ouvrage « La psychomotricité au service de l'enfant » de B. Le Lièvre et L. Staes chez De Boeck. 14 novembre 2016</ref>. D’autres thèses, comme celle de la [[w:Bicaméralité|bicaméralité]] de [[w:Julian Jaynes|Julian Jaynes]], viennent aussi nuancer un distinction entre conscience et conception, tout en se modelant elle même pleinement sur un paradigme dualiste<ref>{{Ouvrage|prénom1=Julian|nom1=Jaynes|titre=The origin of consciousness in the breakdown of the bicameral mind|éditeur=Houghton Mifflin|date=1990|isbn=0-395-56472-7|isbn2=978-0-395-56472-1|isbn3=0-395-56352-6|oclc=22600464|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/22600464|consulté le=2021-07-22}}</ref>. === Premières personnes du pluriel === Le français possède plusieurs pronoms pour la première personne du pluriel, ''on'' et ''nous''. Il fait par ailleurs usage de cette personne sous plusieurs aspects&nbsp;: * [[w:Nous de majesté|nous de majesté]], comme dans «&nbsp;nous'', gros ignare ès monde et merveille, déclarons performativement cet énoncé imprédicatif''&nbsp;»&nbsp;; * [[w:Nous de modestie|nous de modestie]]<ref>{{Article|prénom1=Michele|nom1=Lenoble-Pinson|titre=Use of some pronouns: the "nous" of majesty or modesty, the "vous" of politeness, the "on", competitor of "nous" and "je"|périodique=XLinguae|volume=11|numéro=1XL|date=2018|issn=1337-8384|issn2=2453-711X|doi=10.18355/xl.2018.11.01xl.01|lire en ligne=http://dx.doi.org/10.18355/xl.2018.11.01xl.01|consulté le=2021-07-12|pages=3–7}}</ref>, comme dans ''«''&nbsp;''par cet énoncé nous démontrons un cas pratique''&nbsp;»&nbsp;; * nous de subrogation, comme dans «&nbsp;a''lors, aimable anagnoste, comment comprenons-''nous ''cet énoncé ?''&nbsp;». Cependant il ne couvre pas le distinguo entre [[w:Nous exclusif et inclusif|nous exclusif et nous inclusif]]. == Distributions des genres grammaticaux == Avant de s’attarder plus précisément au cas du français lui-même, cette section propose d’explorer d’abord la distribution des genres grammaticaux dans ses langues mères. Pour cela, la première étape indispensable est bien évidemment d’évaluer la proportion du lexique venant de chaque fond identifiés. Bernard Bouillon<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Bernard Bouillon|url=https://www.babelio.com/auteur/Bernard-Bouillon/272284|site=Babelio|consulté le=2021-07-03}}</ref>, et d’autres qui vraisemblablement reprennent ses quantifications, donne la répartition suivante&nbsp;: {| class="wikitable sortable" style="margin:auto" |+Composition du lexique français !Origine !Bernard Bouillon<ref>{{Lien web|titre=Histoire du lexique français|url=http://bbouillon.free.fr/univ/hl/Fichiers/Cours/lex.htm|site=bbouillon.free.fr|consulté le=2021-07-03}}</ref> !Dieter Messner<ref>{{Lien web|titre=Composition du lexique français (Page 1) – Histoire de la langue française – forum abclf|url=http://www.languefrancaise.net/forum/viewtopic.php?id=11343|site=www.languefrancaise.net|consulté le=2021-07-03}}</ref> !Christiane Marchello-Nizia<ref>{{Ouvrage|prénom1=Joëlle|nom1=Busuttil|prénom2=Alain|nom2=Peyraube|prénom3=Emilio|nom3=Bonvini|titre=Dictionnaire des langues|éditeur=Presses universitaires de France|date=2011|isbn=978-2-13-056914-5|isbn2=2-13-056914-5|oclc=718115468|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/718115468|consulté le=2021-07-03}}</ref> |- |préceltique |0,00001 % |n/a |n/a |- |celtique/gauloise |0,08 % |0,08 % |0,08 % |- |scandinave |n/a |0,12 % |0,12 % |- |francique/germanique |1,35 % |1,35 % |n/a |- |latin |86,53 % |86,53 % |>85 % (supposé 86,53 %) |- |reste lié aux emprunts |10 % |11.92 % |13.26 % |} Si cette analyse manque assurément de granularités pour la catégorie autres, elle a le mérite de dresser un portrait où domine largement un fond latin. Ces études ne précisent pas la proportion de mots grecs, bien que Bernard Bouillon mentionne la grande quantité de doublets entre latins présents en français. Du reste le latin à lui-même abondamment emprunté au grec, rendant ce compte rendu d’autant plus imprécis. À noter par ailleurs que la somme des taux données par Bernard Bouillon donne 97.96001&nbsp;%, ce qui ajoute à ces problèmes d’imprécision, une incomplétude manifeste. À sa défense, il est le seul à fournir un nombre pour ''le reste'', quand les autres se contentent que celui-ci est à imputer aux emprunts – les nombres apparaissant dans les cellules ci-avant ont donc été calculés pour compléter le tableau. S’il faut souligner la partialité de ces chiffres lorsqu’ils mentionnant un fond préceltique qui se compterait sur les doigts d’une main tout en néglige de donner un taux spécifique pour l’arabe et l’italien, le constat de la primauté globalement incontesté du fond latin n’étonnera guère. Il n’empêche qu’un tel résultat suffit à faire considérer le latin comme principal langue à analyser pour évaluer la tendance majeure de l’évolution du genre du lexique, depuis les pratiques des fonds auxquels emprunte le français, jusqu’à leur intégration dans son système contemporain, promu strictement bivalent. Au passage il pourra être noté que les noms, principales porteurs du genre, représente 54 % du stock lexical du français<ref name=":2" />. {| class="wikitable" style="margin:auto" |+Évolution de la répartition du nom par genre en fonction des langues et de l’origine de production !Langue !Analyse !féminin !masculin |- | rowspan="17" |français |lexique hériditaire<ref name=":2" /> |54 % |46 % |- |lexique ancien français<ref name=":2" /> |53 % |47 % |- |tendance au dix-septième siècle |39 % |61 % |- |Séguin 1969<ref name=":7" /> |41,6 % |58,4 % |- |Petit Robert 1988, sous-ensemble restreint à oui-humain et non-épicène<ref name=":2" /> |6 % |40 % |- |français Petit Robert 1988, échantillon A à Cri- et Sou- à -Z<ref name=":2" /> |44 % |56 % |- |emprunts en ancien français |64 % |36 % |- |nouveau emprunts exogènes de langues agenres ou à genre allomorphes<ref name=":2" /> |15 % |85 % |- |nouveau emprunts en général<ref name=":2" /> |19 % |81 % |- |adjectifs substantivés<ref name=":2" /> |[28-34] % |[66-72] % |- |participes passés substantivés issus de l’ancien français<ref name=":2" /> |74 % |26 % |- |participes passés substantivés en français contemporain<ref name=":2" /> |15 %<ref name=":0" group="N">Productif uniquement dans le registre familier</ref> |85 % |- |déverbaux radicaux<ref name=":2" /> |50 %<ref name=":0" group="N" /> |50 % |- |compositions traditionnelles<ref name=":2" /> |17 % |83 % |- |compositions allogènes |57 % |43 % |- |compositions endocentriques |74 % |26 % |- |compositions exocentriques |6% |94 % |} Bien que les points suivants aient été envisagés, ils n’ont pu aboutir faute de trouver des statistiques préexistantes sur le sujet et de temps pour les réaliser de manière indépendante&nbsp;: * quantification de la distribution des genres dans chacune des grandes langues source du lexique français * analyser de la distribution des féminin et masculin en français contemporain, par rapport aux genres des termes dont ils sont issues dans les langues d’emprunt. En particulier le dernier point aurait visé à résoudre l’interrogation suivante&nbsp;: le français porte-t-il un fond d’origine majoritairement de genre neutre dans l’un des deux genres subsistant ? Si une telle hypothèse s’avérait probante, cela tendrait à conforter une analyse du français la décrivant comme langue où ce n’est pas le neutre qui a disparu, mais plutôt le genre auquel il a été majoritairement fusionné. Pour aller plus loin sur cette thématique par analyse statistique, il sera profitable de consulter les ressources afférentes<ref>{{Article|prénom1=Marie-Dominique|nom1=Joffre|titre=Les racines du pronominal français en latin|périodique=L'information grammaticale|volume=26|numéro=1|date=1985|doi=10.3406/igram.1985.2178|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1985_num_26_1_2178|consulté le=2021-07-03|pages=9–13}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jean-Paul|nom1=Colin|titre=A propos de « Structures étymologiques du lexique français » de Pierre Guiraud|périodique=Langue française|volume=4|numéro=1|date=1969|doi=10.3406/lfr.1969.5463|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1969_num_4_1_5463|consulté le=2021-07-03|pages=120–123}}</ref><ref>{{Article|prénom1=J.|nom1=Storm|titre=Mélanges étymologiques|périodique=Romania|volume=5|numéro=18|date=1876|doi=10.3406/roma.1876.6763|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/roma_0035-8029_1876_num_5_18_6763|consulté le=2021-07-03|pages=165–188}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Les grandes familles de mots par Jean-Claude Rolland|url=http://projetbabel.org/mots/index.php|site=projetbabel.org|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Henri|nom1=Stappers|titre=Dictionnaire synoptique d'étymologie française : donnant la dérivation des mots usuels, classés sous leur racine commune et en divers groupes|éditeur=Paris : Larousse|date=1900|lire en ligne=http://archive.org/details/dictionnairesyno00stap|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Bernard|nom1=Jullien|titre=Les principales étymologies de la langue française|éditeur=Librairie de L. Hachette et Cie|date=1862|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=8-0IAAAAQAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Etymologie - dictionnaire étymologique, origine des mots dans toutes les langues LEXILOGOS|url=https://www.lexilogos.com/etymologie.htm|site=www.lexilogos.com|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Gilles|nom1=Ménage|titre=Les origines de la langue françoise|éditeur=Chez Augustin Courbé|date=1650|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=orIWAAAAQAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Colette|nom1=Demaizière|titre=La langue à la recherche de ses origines : la mode des étymologies grecques|périodique=Réforme, Humanisme, Renaissance|volume=15|numéro=1|date=1982|doi=10.3406/rhren.1982.1294|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rhren_0181-6799_1982_num_15_1_1294|consulté le=2021-07-03|pages=65–78}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Éloi|nom1=Johanneau|titre=Mélanges d'origines étymologiques et de questions grammaticales|éditeur=Paris : A. Johanneau|date=1818|lire en ligne=http://archive.org/details/mlangesdorigin00joha|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Joseph|nom1=Denooz|titre=La banque de données du laboratoire d’analyse statistiques des langues anciennes (LASLA)|périodique=Le médiéviste et l'ordinateur|volume=33|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/medio.1996.1440|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/medio_0223-3843_1996_num_33_1_1440|consulté le=2022-02-15|pages=14–20}}</ref><ref>{{Lien web|titre=UMR 7320 : Bases, Corpus, Langage - Le laboratoire BCL|url=https://bcl.cnrs.fr/rubrique1|site=bcl.cnrs.fr|consulté le=2022-02-15}}</ref><ref>{{Lien web|titre=UMR 7320 : Bases, Corpus, Langage - Mass/count and grammatical gender in Romance|url=https://bcl.cnrs.fr/article1498|site=bcl.cnrs.fr|consulté le=2022-02-15}}</ref><ref>{{Article|langue=en|prénom1=Juan E.|nom1=Jiménez|prénom2=Claudia García|nom2=de la Cadena|prénom3=Linda S.|nom3=Siegel|prénom4=Isabel|nom4=O’Shanahan|titre=Gender ratio and cognitive profiles in dyslexia: a cross-national study|périodique=Reading and Writing|volume=24|numéro=7|date=2011-08|issn=0922-4777|issn2=1573-0905|doi=10.1007/s11145-009-9222-6|lire en ligne=http://link.springer.com/10.1007/s11145-009-9222-6|consulté le=2022-02-15|pages=729–747}}</ref>. == Chronologie des propositions d’évolutions graphiques et grammaticales du français == {{/chronologie}} == Propositions de perspectives grammaticales nouvelles == === Requalification de ''féminin'' et ''masculin'' en ''ambigu'' et ''équivoque'' === {{/requalification}} === Genre subreptice dans les mots grammaticaux : les cas du féminin et masculin === {{/diacritiques}} === Genre subreptice dans les mots grammaticaux : extensibilité et exemples === {{/diacritiques+}} === Genre ostentatoire dans les mots grammaticaux === {{/ostentatoire}} === Alternative typologique au genre sur une inspiration taxonomique === {{/taxonomie}} === L’accord en genre libéré === En français, comme il a été rappelé dans la section ''Typologie de genres grammaticaux,'' la grammaire stipule une concordance du genre qui, sous l’influence d’un substantif qui intègre intrinsèquement cet attribut, fléchie plusieurs classes de mots qui se rapportent à ce même référant pour déterminer leur forme exacte. Cette approche à elle seule laisse entière la résolution de l’accord en cas d’énonciation explicite de plusieurs noms de genre distinct dans une même conjonction nominale, ou pour leur regroupement pronominal. Une première approche possible, qui est notamment celle retenue dans la plupart des enseignements scolaires depuis le dix-huitième siècle, est de retenir le pluriel d’un des genres comme ayant primauté en tel cas. En français, c’est le genre qui a été ci-avant qualifié d’équivoque qui se voit conféré ce statut prépondérant. Ainsi, dans un énoncé comme l''es bronzes et les rondes-bosses, tous ces chefs-d’œuvres sont beaux'', c’est uniquement le genre de ''chef-d’œuvre'' qui s’applique à l’adjectif indépendamment des genres des noms précédemment listés. De même ''ces philosophe sont sages'', ne gage en rien du genre grammaticale des individus composant les philosophes en question, et encore moins de leur sexe biologique'', ils'' pouvant tout à fait référer à ''[[w:Hypatie|Hypatie]] et [[w:Zénon d'Élée|Zénon]]''. Cela explique la formation d’énoncés comme «''&nbsp;chez les éléphants,'' ''les adultes sont grands''&nbsp;» et «''&nbsp;chez les girafes,'' ''les adultes sont grands''&nbsp;». Une seconde approche utilisé est l’[[w:Règle_de_proximité|accord de proximité]]. Cette pratique constitue même l'accord prépondérant en grec ancien, en latin, ainsi que dans le français oral jusqu'au {{s-|XVIII|e}}. Dans cette pratique, le verbe prends la marque, d'abord en cas, genre et nombre, puis seulement en genre, du substantif le plus proche. Ainsi au {{s-|XVII|e}}, un énoncé comme «'' Le chat et la souris sont belles'' » est plus courant que «'' le chat et la souris sont beaux'' »<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Éliane Viennot]]|titre=Non, le masculin ne l'emporte pas sur le féminin !|sous-titre=petite histoire des résistances de la langue française|lieu=Donnemarie-Dontilly|éditeur=[[Éditions iXe]]|année=2014|pages totales=118|isbn=979-10-90062-20-7}}.</ref>. Par soucis d’intégrité, il importe de remarquer ici que le tableau dressé pour ces deux premières approches ne s’embarrasse pas trop de détails. Plus de nuances pourraient de toute évidence être précisées, par exemple en distinguant l’adjectif épithète et qualificatif, les variations diatopiques, les fréquences de tournure selon qui les formule, et même au niveau individuel la pratique retenue selon le contexte d’expression&nbsp;: privé ou public, institutionnel ou informel, allocutaires<ref group="N">Au sens de ''personne à qui s’adresse un énoncé''.</ref> supposés… L’examen de ces variations, tout intéressant et éclairant pourrait-il être, est considéré hors champ de cette étude. Une troisième approche possible, dont la mise en lumière est rare, voir relève de la description originale, permet de concilier les deux pratiques pour ces pluriels de groupes plurigenrés. Cette troisième approche suppose globalement de régir l’accord sur des termes implicites. Autrement dit, c’est un groupe nominal virtuel qui fourni l’unique genre spécifique du référant sur lequel réaliser l’accord au sein d’un syntagme. Cette approche peut par exemple s’analyser comme rémanence syntaxique d’une [[w:Ellipse (rhétorique)|ellipse]], approche déjà explorée par ailleurs pour d’autres cas particuliers comme le rappel Georges Kleiber à la suite de Gaston Gross<ref name=":11" /><ref>{{Article|prénom1=Robert|nom1=Vivès|titre=Les composés nominaux par juxtaposition|périodique=Langue française|volume=87|numéro=1|date=1990|doi=10.3406/lfr.1990.6331|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1990_num_87_1_6331|consulté le=2021-08-20|pages=98–103}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Anne|nom1=Daladier|titre=Aspects constructifs des grammaires de Zellig Harris|périodique=Langages|volume=25|numéro=99|date=1990|doi=10.3406/lgge.1990.1592|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1990_num_25_99_1592|consulté le=2021-08-20|pages=57–84}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Michel|nom1=Mathieu-Colas|titre=Essai de typologie des noms composés français|périodique=Cahiers de Lexicologie|numéro=69|date=1996|lire en ligne=https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00433841|consulté le=2021-08-20|pages=71}}</ref>. Ainsi, «&nbsp;''nous sommes toutes très curieuse, nous autres personnes qui lisons cet article''&nbsp;» s’élidera en «&nbsp;''nous sommes toutes très curieuses''&nbsp;». Par ce biais tandis que «&nbsp;''les adultes sont tous grands''&nbsp;» pourra être analysé comme figurant l’élision de l’énoncé «&nbsp;''les adultes, ces '''individus''' femelles et mâles, sont tous '''grands'''''&nbsp;''»,'' un énoncé comme «&nbsp;''les enfants, ces '''personnes''' femelles et mâles, étaient toutes '''malicieuses'''''&nbsp;» pourra s’élider en «''&nbsp;les enfants étaient toutes malicieuses''&nbsp;». Et puisqu’en pratique l’élément ellipsé n’a généralement pas vocation à être explicité, cette analyse permet un emploi virtuellement arbitraire du genre au sein d’un [[w:Syntagme|syntagme]] sans déroger au cadre d’une grammaire scolaire traditionnelle. Cette dernière approche ne justifie pas pour autant un emploi hétérogène arbitraire au sein d’un même syntagme. La tournure syntagmatique fréquente de conjonction dissociative ''agent femelle '''et''' agent mâle'', comme dans «&nbsp;nous sommes ''amoureuses et amoureux du français''&nbsp;», rends toute collocation de ce type trop suggestive d’une division référentielle, même sur des adjectifs distincts comme «&nbsp;nous sommes ''amoureuses et adorateurs de toutes les langues''&nbsp;» {| class="wikitable" style="margin:auto;" |+La liberté d’accord et ses limites fondatrices par l’exemple !Forme pleine !Abréviation par élipses !Remarque |- | rowspan="2" |''Nous sommes toutes merveilleuses, nous autres personnes, nous sommes tous éblouissants, nous autres individus.'' |''Nous sommes toutes merveilleuses, nous sommes tous éblouissants.'' |Préservation de la cohésion syntagmatique de genre. D’où libre interprétation d’une scission lié à des référents lexicaux virtuels distincts sur chaque syntagme, bien que tout deux désignant les mêmes référés extra-linguistiques. |- |''Nous sommes merveilleuses et éblouissants.'' |Rupture de la cohésion syntagmatique de genre par énonciation [[w:Collocation (linguistique)|collocative]] d’accords hétérogènes. D’où stimulation d’une interprétation connotative divisant ontologiquement les référés présents, par suggestion d’un regroupement grammaticale fortuit sous un même référant, privilégiant donc plutôt une réexpension comme&nbsp;: ''Nous sommes, '''respectivement''', merveilleuses et éblouissants, nous autres femelles et mâles.'' |} En revanche, cette analyse par le prisme de l’ellipse permet totalement de s’affranchir des modèles qui imposent l’intrication entre pronoms personnels et stéréotype sexuel. En effet, un énoncé comme ''je suis radieuse'' peut tout à fait s’interpréter comme ''moi, personne humaine, je suis radieuse'', et s’avère donc tout aussi valable dans les cas où l’ellipse vaut pour ''moi, personne humaine femelle'', ''moi, personne humaine hermaphrodite'' ou ''moi, personne humaine mâle'' ou tout autre implicite à la discrétion des interprétations. Autrement dit, une telle pratique ne saurait être contesté sur des motifs grammaticaux. Par contre sur le plan pragmatique, en l’état des us, si un humain mâle énonce ''je suis radieuse'', cela pourra être interprété comme incongru ou tout au moins emphatique. Il en va de même évidemment pour un humain femelle qui énoncerait ''je suis radieux'', sous-entendu par ellipse de ''moi, individu humain femelle'' ou de tout autre syntagme apte à en justifier la cohérence grammaticale. === Le cas des noms communs === {{/substantifs}} == L’association versatile de genre == En français l’extrême majorité des noms ont certes généralement un genre nettement privilégié par l’usage, ce qui n’empêche l’abondance de cas de versatilité persistante du genre par ailleurs. Le Wikitionnaire par exemple répertorie près de 1000 entrées de [[wiktionary:Catégorie:Mots parfois masculins ou féminins en français|mots parfois masculins ou féminins]] et [[wiktionary:Catégorie:Mots parfois féminins ou masculins en français|parfois féminins ou masculins]]. Cela sans compter la majorité de termes épicènes dans le cas des noms référant à des humains. Ceux-ci se distinguent évidemment nettement des [[wiktionary:Catégorie:Noms multigenres en français|homographes de genre distinct]] pour lesquels existent des sens distincts, et possiblement des étymologies séparées, dont le même ouvrage référence près de 300 cas. Cela atteste sans équivoque la capacité des locuteurs à s’accommoder de tels variations sans que la clarté de leur échanges en pâtisse. Aussi n’existe-t-il aucune barrière pragmatique à la généralisation de cette liberté d’expression. Sans remettre en cause la primauté d’un genre déterminé pour une majorité de nom, rien n’empêche d’autoriser cette flexibilité à tous les mots à des fins d’emphase ou de possibilité de distinction syntagmatique, notamment en prévision de l’emploi anaphorique de pronoms&nbsp;:<blockquote> Un philosophe et une philosophe discutent&nbsp;: celui-ci fait part de ses doutes à celle-là et en retour elle lui apporte de nouveaux éclairages.</blockquote>De même<blockquote>Un fille et une fille discutent&nbsp;: celui-ci fait part de ses doutes à celle-là et en retour elle lui apporte de nouveaux éclairages. </blockquote>Pour un francophone contemporain, cette dernière phrase sera certainement tout aussi interpellante sur sa pratique inacoutumièrement souple de l’emploi du genre sur un terme connotativement sexué, que parfaitement compréhensible parce qu’incontestablement alignée sur l’emploi usuel du genre énonciatif. Il fait cependant écho aux alternances morphologiques employées dans les déictiques comme ''ici'' et ''là'' ou ''ceci'' et ''cela'' qui initialement dénotent un distinguo de proximité spatial qui a tendance à s’estomper voir devenir caduc selon les emplois, pour ne préserver qu’une utilité de distinction ontologique&nbsp;: ''ce premier objet spécifique distinct de ce second objet spécifique''<ref>{{Article|prénom1=Michèle|nom1=Perret|titre=Le système d'opposition ici, là, là-bas en référence situationnelle|périodique=LINX|volume=3|numéro=1|date=1991|doi=10.3406/linx.1991.1170|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/linx_0246-8743_1991_hos_3_1_1170|consulté le=2021-08-04|pages=141–159}}</ref><ref>{{Article|prénom1=John Charles|nom1=Smith|titre=L'évolution sémantique et pragmatique des adverbes déictiques ici, là et là-bas|périodique=Langue française|volume=107|numéro=1|date=1995|doi=10.3406/lfr.1995.5304|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1995_num_107_1_5304|consulté le=2021-08-04|pages=43–57}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Marie-Noëlle|nom1=Chamoux|titre=L'égocentrage spatial, les cultures et les situations|périodique=Histoire Épistémologie Langage|volume=26|numéro=1|date=2004|doi=10.3406/hel.2004.2188|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/hel_0750-8069_2004_num_26_1_2188|consulté le=2021-08-04|pages=111–135}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Perron|titre=Au-delà du hors-champ : le hors-scène|périodique=Communication. Information Médias Théories|volume=13|numéro=2|date=1992|doi=10.3406/comin.1992.1595|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/comin_1189-3788_1992_num_13_2_1595|consulté le=2021-08-04|pages=84–97}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Pottier|titre=Rafael Lapesa, Historia de la lengua española, 1950|périodique=Romania|volume=73|numéro=291|date=1952|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/roma_0035-8029_1952_num_73_291_3331_t1_0410_0000_1|consulté le=2021-08-04|pages=410–411}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jeanne-Marie|nom1=Barbéris|titre=Identité, ipséité dans la deixis spatiale : Ici et là, deux appréhensions concurrentes de l'espace ?|périodique=L'information grammaticale|volume=77|numéro=1|date=1998|doi=10.3406/igram.1998.2872|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1998_num_77_1_2872|consulté le=2021-08-04|pages=28–32}}</ref>. La situation spatiale, pour ce type d’emploi, importe peu voir s’avère hors de propos&nbsp;: ''ce nombre ci est un entier unidimensionnel, celui-là est octonion''. Ce qui n’empêche en rien le maintien simultané de déictique maintenant l’importance de la sémantique spatiale quand les contextes qui s’y prêtent&nbsp;: ''je préfère être ici près de toi où se forge notre intimité que là-bas loin de toi au sommet de la gloire.'' De même un emploi modéré de genre énonciatif adventice peut servir l’emphase du propos de façon générique&nbsp;: <blockquote>C’est ma grande amour, le passion de ma vie. </blockquote> == Sur l’ordre d'énonciation des personnes == Loin de la discrimination stéréotypique de l'adage ''les femmes et le enfants d’abord'', il sera recommandé ici d'énumérer les protagonistes d'une phrase dans l’ordre alphabétique, sauf évidemment si un impératif contextuel rendrait un autre ordre plus approprié, par exemple présenter des enfants du cadet à l’aîné ou inversement. Quelques exemples : * le féminin, le masculin et le neutre ; * la femme, la fille, le garçon et l'homme ; * mesdames, messieurs ; * un mec et une nana ; * un cheval et une jument ; * Ada, Bob, Chloé, Dominique, Ève, etc. == De la notion de genre à l’onomatypie == Au regard de la confusion qu’entraîne le terme genre pour désigner le phénomène grammatical, il pourrait s’avérer propice de se munir d’un terme dédié distinct. Par un acte [[wiktionary:onomaturge|onomaturgique]], c’est le terme d’'''''onomatypie''''' qui est ici proposé, qui signifie littéralement ''trace liée aux noms'' et à rapprocher de termes comme ''homotypie'' et ''sérotypie''. == Notes == <references group="N" /> == Références == Bien qu’elles n’aient pas été reliées à une section en particulier, les références suivantes ont aussi alimenter le chemin parcouru dans ce projet de recherche<ref>{{Lien web|titre=Sexisme et grammaires scolaires - Langue-fr.net|url=https://www.langue-fr.net/Sexisme-et-grammaires-scolaires|site=www.langue-fr.net|consulté le=2021-06-28}}, mai 2000, Edwige Khaznadar, </ref><ref>{{Lien web|titre=Le genre grammatical: réprésentation et traitements cognitifs|url=http://theses.univ-lyon2.fr/documents/lyon2/2005/chevaux_f#p=0&a=title|site=theses.univ-lyon2.fr|consulté le=2021-07-01}}</ref><ref>{{Ouvrage|langue=FR|prénom1=Jacques (1873-1943) Auteur du texte|nom1=Damourette|prénom2=Édouard (1890-1940) Auteur du texte|nom2=Pichon|titre=Essai de grammaire de la langue française : des mots à la pensée. Tome 1 / Jacques Damourette et Edouard Pichon|date=1930-1956|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62820045|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Cécile|nom1=Mathieu|titre=La sexuisemblance : théorie, discours et actualité|périodique=Semen. Revue de sémio-linguistique des textes et discours|numéro=43|date=2017-06-30|issn=0761-2990|doi=10.4000/semen.10723|lire en ligne=http://journals.openedition.org/semen/10723|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Christine|nom1=Klein-Lataud|titre=« Le soleil a rendez-vous avec la lune… » ou des problèmes posés par le genre dans la traduction vers le français|périodique=TTR : traduction, terminologie, rédaction|volume=9|numéro=2|date=1996|issn=0835-8443|issn2=1708-2188|doi=10.7202/037262ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/ttr/1996-v9-n2-ttr1485/037262ar/|consulté le=2021-07-03|pages=147–164}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=William|nom1=Mackey|titre=La mortalité des langues et le bilinguisme des peuples|périodique=Anthropologie et Sociétés|volume=7|numéro=3|date=1983|issn=0702-8997|issn2=1703-7921|doi=10.7202/006151ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/as/1983-v7-n3-as502/006151ar/|consulté le=2021-07-03|pages=3–23}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Masculin, féminin : et le neutre ? {{!}} Implications philosophiques|url=https://web.archive.org/web/20210508170838/http://www.implications-philosophiques.org/actualite/une/masculin-feminin-et-le-neutre/|site=web.archive.org|date=2021-05-08|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Éliane|nom1=Viennot|titre=Langage égalitaire : vers une rationalisation des procédés et des approches|périodique=Cahiers d’histoire. Revue d’histoire critique|numéro=146|date=2020-09-01|issn=1271-6669|doi=10.4000/chrhc.14838|lire en ligne=http://journals.openedition.org/chrhc/14838|consulté le=2021-07-03|pages=149–160}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Daniel|nom1=Marcelli|prénom2=Elizabeth|nom2=Kelly-Penot|prénom3=Ruth|nom3=de la Vega|titre=Garçons/filles. La différence des sexes, une question de physiologie ou de culture ?|périodique=Adolescence|volume=60|numéro=2|date=2007|issn=0751-7696|issn2=1969-6736|doi=10.3917/ado.060.0321|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ado.060.0321|consulté le=2021-07-03|pages=321}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Harribey *|prénom1=Jean-Marie|titre=Le genre des choses et les choses de genre|url=https://france.attac.org/nos-publications/les-possibles/numero-16-printemps-2018/dossier-le-s-feminisme-s-aujourd-hui/article/le-genre-des-choses-et-les-choses-de-genre|site=Attac France|consulté le=2021-07-03}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Jacques Poitou|titre=Accord en genre de l'adjectif|url=http://j.poitou.free.fr/pro/html/typ/fem-accord.html|site=j.poitou.free.fr|date=27 février 2021|consulté le=2021-07-08}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Jacques Poitou|titre=Aux origines du féminin en proto-indo-européen|url=http://j.poitou.free.fr/pro/html/typ/fem-origine.html|site=j.poitou.free.fr|date=3 juillet 2021|consulté le=2021-07-08}}</ref><ref>{{Lien web|auteur1=Jacques Poitou|titre=Féminisation, écriture inclusive, etc.|url=http://j.poitou.free.fr/pro/html/typ/fem-lex.html|site=j.poitou.free.fr|consulté le=2021-07-08}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Maurice|nom1=Leroy|titre=Benveniste (Emile), Origines de la formation des noms en indoeuropéen|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=18|numéro=2|date=1939|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1939_num_18_2_1307_t1_0512_0000_3|consulté le=2021-07-09|pages=512–515}}</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|prénom1=Albert|nom1=Cuny|titre=Évolution préhistorique de l'indoeuropéen|périodique=Revue des Études Anciennes|volume=38|numéro=1|date=1936|issn=0035-2004|doi=10.3406/rea.1936.2872|lire en ligne=https://doi.org/10.3406/rea.1936.2872|consulté le=2021-07-09|pages=69–77}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=David|nom1=Paternotte|prénom2=Bruno|nom2=Perreau|titre=Sexualité et politique en francophonie : état des lieux et perspectives de recherche|périodique=Politique et Sociétés|volume=31|numéro=2|date=2012|issn=1203-9438|issn2=1703-8480|doi=10.7202/1014349ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/ps/2012-v31-n2-ps0459/1014349ar/|consulté le=2021-07-13|pages=3–30}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Régis|nom1=Boyer|titre=La vie [lif], neutre pris comme substantif féminin, la mort [daudi], substantif masculin : comment justifier ces genres grammaticaux ?|périodique=Cahiers slaves|volume=3|numéro=1|date=2001|doi=10.3406/casla.2001.906|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/casla_1283-3878_2001_num_3_1_906|consulté le=2021-07-23|pages=211–226}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Gross, Gaston - Persée|url=https://www.persee.fr/authority/11347|site=www.persee.fr|consulté le=2021-08-20}}</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|titre=Langages, 38ᵉ année, n°153, 2004. Les genres de la parole, sous la direction de Simon Bouquet.|volume=38|numéro=153|date=2004|lire en ligne=https://www.persee.fr/issue/lgge_0458-726x_2004_num_38_153|consulté le=2021-08-20}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Louise, 1 janv.-|nom1=Guénette|nom2=Office québécois de la langue française. Direction des services linguistiques|titre=Avoir bon genre à l'écrit : guide de rédaction épicène|éditeur=Publications du Québec|date=2006|isbn=978-2-551-19782-8|isbn2=2-551-19782-1|oclc=393339960|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/393339960|consulté le=2021-08-20}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jean-Pol|nom1=Caput|titre=Naissance et évolution de la notion de norme en français|périodique=Langue française|volume=16|numéro=1|date=1972|doi=10.3406/lfr.1972.5704|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1972_num_16_1_5704|consulté le=2021-08-21|pages=63–73}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Victorri|titre=Le sens grammatical|périodique=Langages|volume=33|numéro=136|date=1999|doi=10.3406/lgge.1999.2214|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1999_num_33_136_2214|consulté le=2021-08-21|pages=85–105}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Alain|nom1=Rey|prénom2=Frédéric|nom2=Duval|prénom3=Gilles|nom3=Siouffi|titre=Mille ans de langue française, histoire d’une passion|éditeur=Éditions Perrin (programme ReLIRE)|date=2013|isbn=978-2-262-04202-8|doi=10.3917/perri.duval.2013.02|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/perri.duval.2013.02|consulté le=2021-08-25}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Tim|nom1=Pooley|titre=Vers une norme pluricentrique ou une pluralité de normes en francophonie du nord ?|périodique=Langage et société|volume=n° 140|numéro=2|date=2012|issn=0181-4095|issn2=2101-0382|doi=10.3917/ls.140.0117|lire en ligne=https://doi.org/10.3917/ls.140.0117|consulté le=2021-08-25|pages=117}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Guillaume|nom1=Jeanmaire|titre=Vox populi vox Dei ? L'identification du genre grammatical en français|périodique=Langue française|volume=168|numéro=4|date=2010|issn=0023-8368|issn2=1957-7982|doi=10.3917/lf.168.0071|lire en ligne=http://www.cairn.info/revue-langue-francaise-2010-4-page-71.htm|consulté le=2021-08-26|pages=71}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Azize|nom1=Günes|titre=Le développement du genre grammatical en français: étude longitudinale et comparative sur l’attribution du genre chez deux enfants bilingues successifs et un enfant bilingue simultané âgés de 4 à 6 ans|date=2014|lire en ligne=http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/4446713|consulté le=2021-08-26}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Jacques|nom1=Francois|titre=SYNTAXE ET SÉMANTIQUE DU FRANÇAIS|périodique=SYNTAXE ET SEMANTIQUE DU FRANCAIS|date=2020-01-01|lire en ligne=https://www.academia.edu/45234034/SYNTAXE_ET_S%C3%89MANTIQUE_DU_FRAN%C3%87AIS|consulté le=2021-12-21}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Georges|nom1=Mounin|titre=Dictionnaire encyclopédique des sciences du langage|périodique=Lingua|volume=33|numéro=2|date=1974|issn=0024-3841|lire en ligne=https://www.academia.edu/42274186/Dictionnaire_encyclop%C3%A9dique_des_sciences_du_langage|consulté le=2021-12-21|pages=163–165}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Yves|nom1=Lecerf|titre=Des sous-univers du discours, qui seraient dégagés à la fois du sens et de la forme. Applications en syntaxe|périodique=Langages|volume=12|numéro=55|date=1979|doi=10.3406/lgge.1979.1824|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1979_num_12_55_1824|consulté le=2021-12-22|pages=89–123}}</ref><ref>Brassier Ray, « Chapitre 1. [https://www.cairn.info/le-neant-dechaine--9782130595076-page-23.htm L'Apoptose de la croyance] », dans : , ''Le néant déchaîné. Lumières et extinction'', sous la direction de Brassier Ray. Paris cedex 14, Presses Universitaires de France, « MétaphysiqueS », 2017, p. 23-67.</ref><ref>{{Article|langue=fr-FR|titre=Linx, n°21, 1989. Genre et langage. Actes du colloque tenu à Paris X-Nanterre les 14-15-16 décembre 1988.|volume=21|numéro=1|date=1989|lire en ligne=https://www.persee.fr/issue/linx_0246-8743_1989_num_21_1|consulté le=2021-12-23}}</ref>.<references/> :* http://genre.francophonie.org/spip.php?article106 :* [http://feministesentousgenres.blogs.nouvelobs.com/apps/m/archive/2014/01/31/titre-de-la-note-521222.html A bas le binarisme : le sexe est flou et le genre est construit ! entretien avec le philosophe Thierry Hoquet, spécialiste de Darwin et de Donna Haraway] :* [https://www.lalutineduweb.fr/ecriture-inclusive-accessibilite-numerique-jetdv2020/ Écriture inclusive et accessibilité numérique, table ronde lors des Journées d'étude technologies et déficience visuelle - La Lutine du Web] :* [https://www.fabula.org/revue/document12491.php Et al ? La grammaire inclusive, le genre neutre et leur usage (Acta Fabula)] :*[https://simonae.fr/articles/nommer-exister-alpheratz-troisieme-genre Simonæ | Nommer, c’est exister : Alpheratz et le troisième genre] :*[[w:Les Cinq Sexes|Les Cinq Sexes]] sur Wikipédia :*[[w:Corps en tous genres|Corps en tous genres]] sur Wikipédia :* [https://www.motscles.net/blog/comment-ecrire-en-ecriture-inclusive Nombreux, tous... : les mots difficiles en écriture inclusive] :* [[:File:Ĉu latinidaj lingvoj iĝas pli genroneŭtralaj - scivolemo.webm|Ĉu latinidaj lingvoj iĝas pli genroneŭtralaj]] - scivolemo :*[[w:Morphologie du nom en français|Morphologie du nom en français]] :*[[w:Genre grammatical|Genre grammatical]] :*[[w:Langage épicène|Langage épicène]] :*[[w:Virago|Virago]] sur Wikipédia :*Tout ou partie de cette page est issue de cette [http://culture-libre.org/wiki/Sur_l%27extension_des_genres_grammaticaux_en_français publication initiale], du même auteur principal. == Recueil de bibliographies afférentes == <ref group="B">{{Lien web|titre=Féminisation, etc. : références bibliographiques|url=http://j.poitou.free.fr/pro/html/typ/fem-bib.html|site=j.poitou.free.fr|date=3 juillet 2021|consulté le=2021-07-08}}</ref> <references group="B" /> {{Travail de recherche | idfaculté = linguistique | parent = [[Recherche:Département:Linguistique|Département de recherche en linguistique]] }} <!-- == Propositions de nouvelles règles de grammaire palliant les manques et le sexisme de la grammaire française == Nous allons maintenant, pour chacun des genres précédemment exposés : * proposer des articles et pronoms ; * expliciter les recherches qui ont conduit à ces propositions ; * expliciter les règles de grammaire associées ; * donner des exemples d'usages. === Le neutre asexué === ==== L'article indéfini asexué singulier uno ==== Le choix de ''uno'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les articles indéfinis féminin et masculin du français : ''une'' et ''un'' ; * étymologiquement, ''uno''<ref>Sauf précision, les comparaison proposé se base sur l’orthographe commune, et non sur la prononciation</ref> correspond à l’ablatif singulier '''neutre''' (et masculin) du latin ''unus'' (ceci, celui-ci) ; * ''uno'' est l’article défini du masculin singulier en espagnol. Ici le mot est bien entendu à prononcer à la française : /yno/, comme dans ''une eau''. Exemple qui nous amène à une critique possible de cette proposition, à savoir que ''uno eau'' peut paraître pour le moins étrange, de même que pour tout les mots commençants par /o/ ou /ɔ/, voir par /no/ et /nɔ/. Ce à quoi on répondra que ce n'est qu'une question d'habitude, et qu'on peut déjà dire en français des phrases aux consonnances alambiqués : * ''il était en première page, il a fait une une'', ''une unanimité'', etc. ; * ''hein, un Hun humble ?''. Ceci étant, tout comme pour ''le'' et ''la'', rien n’empêche de prévoir une élision pour des motifs euphoniques et de contournement de hiatus. Ce qui donnera donc ''un’eau'', à prononcer /yn o/, soit exactement comme ''une eau''. Pour ce qui est des accords des adjectifs, il serait bien sûr possible de marquer le neutre à l'instar du féminin, mais il semble préférable de limiter l'adjonction de règles à la grammaire déjà fort complexe du français. C'est pourquoi ce projet proposera plutôt de calquer les accords sur l'actuel masculin. Il pourrait d’ailleurs être suggéré que ce soit le masculin qui soit marqué à l'instar du féminin si l’on souhaitait réellement faire un tel type d’adjonction en visant une parité sous la forme d'une symétrie grammaticale. Quelques exemples : * un’idée brillant ; * uno table blanc ; * uno stylo noir ; * uno nouvel ordinateur. Notons que pour l’article indéfini pluriel, on pourra utiliser ''des'', tout comme pour le masculin et le féminin. ==== L'article défini lo ==== Le choix de ''lo'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les articles définis féminin et masculin du français : ''la'' et ''le'' ; * on utilise la même lettre ''o'' que précédemment avec ''uno'' pour marquer le même genre ; * ''lo'' est l’article défini du neutre en espagnol et en italien, c’est également un article défini (masculin) singulier en latin. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Quelques exemples : * lo beau soleil ; * lo long journée ; * lo sombre nuit ; * l'espoir (l'élision reste valable). Notons que pour l’article défini pluriel, on pourra utiliser ''les'', tout comme pour le masculin et le féminin. ==== Les pronoms personnels ol et ols ==== Le choix de ''ol'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les pronoms personnels féminin et masculin du français : ''elle'' et ''il'' ; * on utilise la même lettre ''o'' que précédemment avec ''uno'' et ''lo'' pour marquer le même genre ; * ''ol'' est pronom de la troisième personne du pluriel (elles, eux, ils) en bichlamar ; * ''ol'' est l'abréviation d’''olu'' en ido, pronom personnel singulier (elle, il, lui) ; * ''ol'' est pronom personnel de la troisième personne singulier en turkmène (elle, il). Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Pour le pronom personnel de la troisième personne du pluriel neutre asexué, on pourra utiliser ''ols'', calqué sur ''ils'', les verbes étant à conjuguer classiquement, tout en appliquant la règle qui a été avancée pour l'accord des adjectifs. Quelques exemples : * ''ol pleut'' ; * ''les nuages sont poussés par uno léger brise, ols avancent lentement''. === Le pangenre === ''Note : dans le reste de cet article on emploi le terme ''pangenre'' pour l’ensemble des types rentrant dans les cas décrit dans la section [[Sur l'extension des genres grammaticaux en français#L.27agenre.2C l.27intergenre.2C le pangenre.2C le genre androgyne.2C etc.|L'agenre, l'intergenre, le pangenre, le genre androgyne, etc.]].'' ==== Les pronoms pangenre personnels ul et uls ==== Le choix de ''ul'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les pronoms personnels féminin et masculin du français : ''elle'' et ''il'' ; * la lettre ''u'' permet de forger également un article défini et indéfini en plus des pronoms personnels comme il a été précédemment fait avec ''o'' pour le neutre asexué, tandis que les autres voyelles de l'alphabet latin amène toute à au moins un mot existant lorsqu'on utilise cette méthode de proximité lexicale pour forger de nouveau mots ; * en roumain, le suffixe ''-ul'' est utilisé comme article défini (la, le, les en français classique) et pour les substantifs masculins et neutres qui ne se terminent pas par ''-e''. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Pour ce qui est des accords des adjectifs, on se contentera de calquer ce qui correspond classiquement à la forme non-marquée pour le même nombre, pour les mêmes raisons de simplicité qu'évoquées jusque là. Dans l'usage ici proposé c’est la spécificité grammaticale du genre féminin qui fait figure d'exception superfétatoire<ref>Ce propos porte sur le genre féminin '''grammatical'', soyons clair, nul misogynie ou dénie de spécificité pour les personnes qui ''se sentent femme''.</ref> et absolument pas le genre masculin qui est considéré comme la figure normative dont tout écart relèverait de l'anomalie. Il serait plus simple de s'approcher d'une cohérence linguistique en supprimant une majorité des spécificités du genre féminin, qu'en ajoutant des accords spécifiques pour chaque genre. Pour ceux qui souhaiteraientt explorer cet piste, que nous ne présenterons pas plus en avant ici, il serait par exemple possible d’utiliser le pronom ''èl'' – voir carrément ''el'' – et son pendant avec s pour le pluriel ''els''. Pour le pronom personnel de la troisième personne du pluriel pangenre, on pourra utiliser ''uls'', calqué sur ''ils'', les verbes étant à conjuguer classiquement, tout en appliquant la règle qui a été avancée pour l'accord des adjectifs. Quelques exemples : * ''ul est super sympa'' ; * ''uls sont ponctuels''. ==== L'article indéfini pangenre singulier unu ==== Le choix de ''unu'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les articles indéfinis féminin et masculin du français : ''une'' et ''un'' ; * en ido, ''unu'' est un pronom désignant un ou une personne ; * on emploi la lettre ''u'' comme dans ''ul'' et ''uls''. Ici le mot est bien entendu à prononcer à la française : /yny/, comme dans ''une nue''. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Pour l’article indéfini pluriel, on pourra utiliser ''des'', tout comme pour le masculin et le féminin. Quelques exemples : * ''unu androgyne'' est unu de mes camarades de classe ; * ''unu ami''. ==== L'article pangenre défini lu ==== Le choix de ''lu'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les articles définis féminin et masculin du français : ''la'' et ''le'' ; * en ido ''lu'' est un pronom personnel pour les personnes qui ne souhaitent pas spécifier un genre<ref>Du moins c’est ce qu’y m’est donné de comprendre du [http://io.wiktionary.org/wiki/lu wikvortaro] : ''Se on ne volas uzar ula genro, on povas uzar neutrale la formo lu, qua esas personala pronomo por''</ref> ; * on emploi la lettre ''u'' comme dans ''ul'', ''uls'' et ''unu''. Bien évidemment ''lu'' à l’inconvénient d’être un homonyme du participe passé du verbe lire, mais gageons que le contexte de son emploi suffit probablement à systématiquement à les distinguer, et pour les éventuels cas tordus, on pourra faire disparaître toute ambiguïté en complétant la phrase comme pour n’importe quel autre événement du genre. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Quelques exemples : * lu boulanger ; * lu bel inconnu. Notons que pour l’article défini pluriel, on pourra utiliser ''les'', tout comme pour le masculin et le féminin. === Le groupe mixte === ==== Le pronom personnel mixte ''als'' ==== Le choix de ''als'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les pronoms personnels féminin et masculin du français : ''elles'' et ''ils'' ; * la lettre ''a'' est la seule lettre de l’alphabet latin encore inemployé dans l’emploi d’une construction du type ''lettre + ls'' ne crée pas de conflit avec d’autres mots existant ou fait par ailleurs dans cet article ; * en breton ''al'' est un article définie pouvant signifier le, la ou les. Même remarque que précédemment pour la conjugaison et les accords des adjectifs. Quelques exemples : * ''Une femme, un homme, uno coup de foudre : als s’aiment'' ; * ''Une petite fille et un petit garçon jouent dans uno bac à sable, ensemble als baptisent uno ville de sable.'' === Le groupe sexué indéterminé === ==== L'article défini et sexué indéterminé ''li'' ==== Le choix de ''li'' est motivé par : * la proximité lexicale avec les articles définis féminin et masculin du français : ''la'' et ''le'' ; * la lettre ''i'' est la seule lettre de l’alphabet latin encore inemployé dans une construction du type ''l + lettre'' qui ne crée pas de conflit avec d’autres mots existant ou utilisé par ailleurs dans cet article ; * en ancien français, ''li'' est un article défini ; * en francoprovençal ''li'' est un article défini masculin pluriel, équivalent de ''les''. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Quelques exemples : * Li groupe de musique. Notons que pour l’article défini pluriel, on pourra utiliser ''les'', tout comme pour le masculin et le féminin. ==== Le pronom personnel sexué indéterminé ''al'' ==== Le choix de ''al'' est motivé par : * les mêmes motifs que pour ''als''. Même remarque que précédemment pour les accords des adjectifs. Quelques exemples : * ''Li groupe était arrivé à destination, al se reposa. Li coterie repartie lo lendemain à l'aube, al avait pris du retard.'' --> 308k4aq7yuk1fq8m2sx7twmibu75ig1 0 63482 881012 881011 2022-08-01T15:34:27Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse {{Nobr|<math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" />}} de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse [ou 2^ème relation de conjugaison (approchée)] de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée, <br>{{Al|3}}mais on vérifie, dans le paragraphe suivant, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, * <math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <center>d'où <math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = -1</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}</math>, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}</math>, on retrouve effectivement <math>\;G_t(C) = -1\;</math> <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>. {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math> <ref> Le sommet (et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique) est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 0bvr9qvlca6q1j27ccndds23h7hvftu 881013 881012 2022-08-01T16:09:46Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse [ou 2^ème relation de conjugaison (approchée)] de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée, <br>{{Al|3}}mais on vérifie, dans le paragraphe suivant, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, * <math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <center>d'où <math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = -1</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}</math>, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}</math>, on retrouve effectivement <math>\;G_t(C) = -1\;</math> <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>. {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math> <ref> Le sommet (et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique) est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} iw9twkd36yjypze8pu9qgp86oju9z2o 881014 881013 2022-08-01T18:26:13Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}</math>, * <math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <center>d'où <math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = -1</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}</math>, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}</math>, on retrouve effectivement <math>\;G_t(C) = -1\;</math> <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>. {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math> <ref> Le sommet (et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique) est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 9ypnsrwwso2wwxohfd7xgafaeo6adcm 881017 881014 2022-08-02T01:35:34Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <center>d'où <math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = -1</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}</math>, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}</math>, on retrouve effectivement <math>\;G_t(C) = -1\;</math> <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>. {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math> <ref> Le sommet (et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique) est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 4303wlcy0kjmc1emk52xapqqsi8rub7 881018 881017 2022-08-02T01:39:54Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal <center>d'où <math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = -1</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}</math>, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}</math>, on retrouve effectivement <math>\;G_t(C) = -1\;</math> <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>. {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math> <ref> Le sommet (et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique) est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 0i14xs6y9s54vr30gksrxjm0fgeyvqo 881020 881018 2022-08-02T08:25:03Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens (on parle encore de l'égalité des produits en croix).</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> }} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en C pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = -(-1) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math> <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au centre)</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec <math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un miroir sphérique concave]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{(-f_i) \left( 1 - \dfrac{\sigma_o}{f_i} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2 \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 - \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}</math> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un miroir sphérique (concave) <ref name="indépendance de la nature" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine en S) pour un miroir sphérique concave]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>.</ref> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math> <ref> Cette relation est différente de celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, pour une lentille mince dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz sera <math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center><math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> (centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref>), * son rayon de courbure (non algébrisé) <math>\;R\;</math> (rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique), * l'axe optique principal dont la partie incidente (ou son prolongement) passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> (point objet dont on étudiera l'image éventuelle), * son sommet <math>\;S\;</math> (intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique) et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> <ref name="orientation axe opt. princ. dioptre" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>.</center> === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que C et S]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} = \omega\;</math> soit petit en valeur absolue <math>\;\big(|\omega| \ll 1\big)\;</math> <ref name="paraxial" />. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\big(\;|\theta_o| \ll 1\;</math> et <math>\;|\omega| \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une première relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une deuxième relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> : <center> <math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, <math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, <math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math> <ref name="relation dans un triangle" /> <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}en utilisation la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence (et donc aussi de l'angle de réfraction en valeur absolue) <math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i</math> ; <br>{{Al|5}}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math> soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <math>\;(\mathfrak{a}) \qquad \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}</math>.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math> <ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega|\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}|\theta_o| \ll 1\\ |\omega| \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> d'où <math>\;|\theta_i| \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, |\theta_o| + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, |\omega| \ll 1\;</math> c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_o| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0\;</math> ou, <math>\;|\theta_i| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0\;</math> ou, <math>\;|\omega| \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} =</math> <math>\dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, on obtient la relation <math>\;(\mathfrak{b})\qquad \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}</math>.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> <ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient : <math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> <math>\big(</math>revoir la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#D.C3.A9veloppements_limit.C3.A9s_.C3.A0_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big)\;</math> d'où <math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, soit encore <math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math> ou finalement <center><math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega</math> ;</center> {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center><math>\;(\mathfrak{b})\; \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math> <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre"> Nous admettrons que cette relation (ou propriété) établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math> dans la mesure où les abscisses le sont en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>, exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math> puisque, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <center><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les abscisses de Descartes (avec origine au sommet) du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, la relation de conjugaison (approchée) de position [ou 1^ère relation de conjugaison (approchée)] de Descartes du dioptre sphérique se réécrit <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus (relation approchée de Kepler).</ref> <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math> <ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} d6x1we0n7uiudtcj869qtir9pdszhx5 104 76768 881015 880965 2022-08-01T20:21:44Z Ambre Troizat 8860 /* 1894 */ 894 - Pierre-Thomas Lanbert, Gaston Léopold Vincent Beuvain de Beauséjour (dir.) et Société d'histoire contemporaine (dir.), Mémoires de famille de l'abbé Lambert, dernier confesseur du duc de Penthièvre wikitext text/x-wiki == 1850 - 1859 == === 1850 === * 1850 - {{bibliographie|Q28790530}} <!-- Révolution de février 1848 --> * 1850 - {{bibliographie|Q27698593}} <!-- Alphonse de Lamartine, Tousaint Louverture, --> * 1850 - {{bibliographie|Q28361506}} <!-- Daniel Defoe et Ange-Louis Janet (dir.), La vie et les aventures de Robinson Crusoé --> * 1850 - {{bibliographie|Q72414955}} <!-- Guillaume de Félice, Histoire des protestants de France --> * 1850 - {{bibliographie|Q96384630}} <!-- François-André Isambert, Lettre de M. Isambert contenant le rétablissement de faits importants --> * 1850 - {{bibliographie|Q108633302}} <!-- Histoire du droit des gens et des relations internationales ** 1850 - {{bibliographie|Q108633441}} <!-- Histoire du droit des gens et des relations internationales, Tome 1--> ** 1850 - {{bibliographie|Q108633834}} <!-- Histoire du droit des gens et des relations internationales, Tome 2--> * 1850 - {{bibliographie|Q108762377}} <!-- Toussaint Louverture, poême dramatique, 1850 --> * *1857 - {{bibliographie|Q108762438}} <!-- Toussaint Louverture, poême dramatique, 1857 --> === 1852 === * 1852-1856 - {{bibliographie|Q26845760}} <!-- Alexandre Dumas, Mes mémoires --> * 1852 - {{bibliographie|Q28464762}} <!-- George Dubourg, The Violin --> * 1852 - {{bibliographie|Q66817543}} <!-- Alexandre Dumas, Conscience l'innocent, 1852 --> ** 1861 - {{bibliographie|Q66817572}} <!-- Alexandre Dumas, Conscience l'innocent : suivi de Marianna, 1861 --> * 1852 - {{bibliographie|Q77593795}} <!-- France et Deuxième République, Bulletin annoté des lois, ordonnances, décrets, arrêtés, etc. Tome VI, Années 1848, 1849 et 1850 --> * 1852 - {{bibliographie|Q56480161}} <!-- Les Noirs libres et les noirs esclaves aux Antilles, aux Etats-Unis et à Liberia (Les anti-slavistes) --> * 1852 - {{bibliographie|Q81403274}} <!-- Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre --> ** 1852 - {{bibliographie|Q81403619}} <!-- Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre, Volume I --> ** 1852 - {{bibliographie|Q81931897}} <!-- Victor Schœlcher, Histoire des crimes du 2 décembre, Volume II --> * 1852 - {{bibliographie|Q56480161}} <!-- Henry Charles Carey, Les Noirs libres et les noirs esclaves aux Antilles, aux Etats-Unis et à Liberia --> === 1853 === ; Twelve Years a Slave, 1853 * 1853 - {{bibliographie|Q15912314}}, première édition <!-- Twelve Years a Slave --> ** 1853 - {{bibliographie|Q7857661}} <!-- Twelve Years a Slave --> ** 1859 - {{bibliographie|Q60447823}} <!-- Twelve Years a Slave --> ** 1869 - {{bibliographie|Q56535188}} <!-- Twelve Years a Slave, review --> ** 30 août 2013 - {{bibliographie|Q3023357}} film <!-- Twelve Years a Slave, film --> ** 30 août 2013 - {{bibliographie|Q15982571}} album<!-- Twelve Years a Slave, album --> ; Ingénue, roman de Dumas père * 1853 - {{bibliographie|Q61451190}} * 1855 - {{bibliographie|Q61451751}} * [[d:Q61454982|1864]] - {{bibliographie|Q61454982}} * 1873 - {{bibliographie|Q61451454}} === 1854 === * 1854 - {{bibliographie|Q27928959}} <!-- --> * [[d:Q27978422|1854-1856]] - {{bibliographie|Q27978422}} * 1854 - {{bibliographie|Q28050418}} <!-- --> * 1854 - {{bibliographie|Q28153327}} <!-- --> === 1855 === * Février 1855 - [[w:Léon de Laborde|Léon Emmanuel Simon Joseph de Laborde]] dit {{bibliographie|Q80341311}} ** [[d:Q1765935|Château de Madrid]], [[w:Château de Madrid|Château de Madrid]] : [[w:Château de Madrid|château de Boulogne]], Château du Bois de Boulogne, Boulongne dit Madrid * 1855-1857 - {{bibliographie|Q62068127}} <!-- Catalogues de la Bibliothèque Impériale, série --> ** 1855 - {{bibliographie|Q62067845}} <!-- Catalogues de la Bibliothèque Impériale, Vol. II --> ** 1857 - {{bibliographie|Q34655661}} <!-- Catalogues de la Bibliothèque Impériale, Vol. IV --> * 1855 - {{bibliographie|Q73658645}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe --> ** 1855 - {{bibliographie|Q26237285}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, I --> ** 1855 - {{bibliographie|Q26237437}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, II --> ** 1855 - {{bibliographie|Q26245371}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, III --> ** 1855 - {{bibliographie|Q26245907}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, IV --> ** 1995 - {{bibliographie|Q73653735}} <!-- Alain Buffon et Auguste Lacour, Regard d’un historien créole sur la révolution. Auguste Lacour, 1805-1869 --> * 1855 - {{bibliographie|Q28153200}}, ''MAYER (Brantz), littérateur américain, né à Baltimore en 1809. — Le Capitaine Canot ; illustré par Pauquet. [https://books.google.fr/books?id=uEEfIseFyeMC&hl=fr&pg=PA428#v=onepage&q=MAYER%20Brantz%20&f=false Traduction Raoul Bourdier''. In-4°. 1855]. Barba. 1 fr. 30 c. * 1855 - {{bibliographie|Q66236581}} <!--Achille Guillard, Eléments de statistique humaine ou démographie comparée --> * 1855-1860 - {{bibliographie|Q28919997}} ** 1856 - {{bibliographie|Q28920225}} <!-- --> * 1855 - {{bibliographie|Q66622291}} <!-- Annuaire musical : ou Guide des compositeurs, professeurs, artistes, amateurs --> === 1856 === * 1856 - {{bibliographie|Q28799617}} <!-- Louis Prosper Auguste Eschbach, Introduction générale à l'étude du droit --> * [[d:Q63391335|1856-1872]] - {{bibliographie|Q63391335}} <!-- Émile Carrey, L'Amazone --> ** [[d:Q63391367|1856]] - {{bibliographie|Q63391367}} <!-- Émile Carrey, L'Amazone, Volume I : Huit jours sous l'Equateur --> ** [[d:Q63396708|1857]] - {{bibliographie|Q63396708}} <!-- Émile Carrey, L'Amazone, Volume II : Les métis de la Savane --> ** [[d:Q63397236|1857]] - {{bibliographie|Q63397236}} <!-- Émile Carrey, L'Amazone, Volume III : Les révoltés du Parà --> ** [[d:Q63400240|1872]] - {{bibliographie|Q63400240}} <!-- Émile Carrey, L'Amazone, Volume IV : La derniere des N'hambahs --> * 1856 - {{bibliographie|Q26905829}} <!-- --> * 1856 - {{bibliographie|Q28020135}} <!-- --> * 1856-1881 - {{bibliographie|Q55713665}} <!-- Table alphabétique des noms propres cités dans les Mémoires relatifs à l'histoire de France pendant le XVIIIe siècle --> === 1857 === * 1857 - {{bibliographie|Q26237437}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe --> * 1857 - {{bibliographie|Q26904537}} <!-- Société internationale des études pratiques d'économie sociale, Frédéric Le Play, Les Ouvriers des deux mondes --> * 1857 - {{bibliographie|Q34655661}} <!-- Catalogues de la Bibliothèque Impériale --> * 1857 - {{bibliographie|Q66826963}} <!-- Xavier Eyma, Les peaux noires : scènes de la vie des esclaves --> * 1857 - {{bibliographie|Q108762438}} <!-- Toussaint Louverture, poême dramatique, 1857 --> === 1858 === * 1858 - {{bibliographie|Q26245371}} <!--Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, Volume troisième --> * 1858 - {{bibliographie|Q26245907}} <!-- Auguste Lacour, Histoire de la Guadeloupe, Volume quatrième --> * 1858 - {{bibliographie|Q27978467}} <!-- Le droit de traduction, Extrait de la Chronique du Journal général de l'imprimerie et de la librairie --> * 1858 - {{bibliographie|Q19209416}} <!-- Romuald Le Pelletier de Saint-Rémy, Les Colonies françaises depuis l’abolition de l’Esclavage --> * 1858 - {{bibliographie|Q84080782}} <!-- Mary Seacole (trad. Victorine Rilliet de Constant), Aventures et voyages d'une créole, Mme Seacole --> * 1858 - {{bibliographie|Q104876174}} <!-- Procès de M. le comte de Montalembert --> === 1859 === * 1859-1868 - {{bibliographie|Q29512514}} <!-- Affranchissement des communes, Tiers-état --> * [[d:Q43989853|1859]] - {{bibliographie|Q43989853}} <!-- La propriété littéraire au XVIIIe siècle --> ** [[d:Q44744027|1859]] - {{bibliographie|Q44744027}} <!-- Rapport de Lakanal sur la propriété littéraire --> * 1859 - {{bibliographie|Q67316119}} <!-- Pierre Émile Levasseur, Histoire des classes ouvrières en France, 2 volumes --> ** 1859 - {{bibliographie|Q67316478}} <!-- Pierre Émile Levasseur, Histoire des classes ouvrières en France, tome premier --> ** 1859 - {{bibliographie|Q67317296}} <!-- Pierre Émile Levasseur, Histoire des classes ouvrières en France, tome second --> * 1859 - {{bibliographie|Q51462394}} <!-- Dominique Alexandre Godron, De l'espèce et des races dans les êtres organisés et spécialement de l'unité de l'espèce humaine --> * 1859 - {{bibliographie|Q106626677}}, œuvre littéraire <!-- Essai sur l'histoire du droit français depuis les temps anciens jusqu'à nos jours --> ** 1859 - {{bibliographie|Q106626693}} <!-- Essai sur l'histoire du droit français, volume I --> ** 1859 - {{bibliographie|Q106626728}} <!-- Essai sur l'histoire du droit français, volume II --> * 1859 - {{bibliographie|Q112306044}} <!-- La France aux colonies --> === Articles === * 1858 - {{bibliographie|Q19230568}}, Cf. {{bibliographie|Q28472796}}, 1645 === 1860 - 1869 === ==== 1860 ==== * 1860 - {{bibliographie|Q28798174}}}} <!-- Jean-Baptiste Duvergier, Du droit international en matière de propriété littéraire --> * 1860 - {{bibliographie|Q3227726}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages --> * 1860 - {{bibliographie|Q67027298}} <!-- Jean Yanoski, De l'abolition de l'esclavage ancien au Moyen âge --> ==== 1861 ==== * 1861 - {{bibliographie|Q60646338}} <!-- Émile Laurent, Histoire anecdotique du duel, dans tous les temps et dans tous les pays --> * 1861 - {{bibliographie|Q30108774}} <!-- Augustin Cochin, L'abolition de l'esclavage --> * 1861 - {{bibliographie|Q28917822}} <!-- Lettres, instructions et mémoires de Colbert --> ** 1863 - {{bibliographie|Q28918461}}, 1679, publié dans {{bibliographie|Q28918236}} }} <!-- Instruction de Louis XIV (roi de France) à Pierre, marquis de Villars (ambassadeur en Espagne) datée du 15 mai 1679, --> * 1861 - {{bibliographie|Q19221676}} <!-- Jean-Jacques Rousseau et George Streckeisen-Moultou (dir.), Œuvres et Correspondance inédites de J. J. Rousseau --> * 1861 - {{bibliographie|Q87182541}} <!--Jules Barbier, Cora, ou L'esclavage --> ==== 1862 ==== * 1862 - {{bibliographie|Q28375590}} <!-- Nouvelle biographie générale depuis les temps les plus reculés jusqu'à nos jours, --> * [[d:Q63453769|1862-1868]] - {{bibliographie|Q63453769}} <!-- Carlos Calvo, Recueil complet des traités, conventions, capitulations, armistices, autres actes diplomatiques de tous les états de l'Amérique latine --> * 1862 - {{bibliographie|Q80553917}} <!-- Clément Juglar, Des crises commerciales et de leur retour périodique, œuvre littéraire --> ** 1862 - {{bibliographie|Q80552359}} <!-- Clément Juglar, Des crises commerciales et de leur retour périodique --> ** 1889 - {{bibliographie|Q80557699}} <!-- Clément Juglar, Des crises commerciales et de leur retour périodique --> ==== 1863 ==== * 1863 - {{bibliographie|Q110710077}} <!-- Bulletin officiel de la Guadeloupe contenant les actes du Gouvernement de la colonie et de ses dépendances & les tables --> ** 1863 - {{bibliographie|Q110710225}} <!-- Table générale des actes administratifs de la Guadeloupe de 1814 à 1827 --> * 1863 - {{bibliographie|Q26905787}}, [https://archive.org/details/cataloguedelhist08bibl/page/660 Internet Archive : Section II, France Coloniale], [https://books.google.fr/books?id=6PJZptS7B5gC&hl=fr&pg=PP11#v=onepage&q=coloniale&f=false Google Books : France Coloniale] <!-- BNF, Napoléon III, Catalogue de l'histoire de France --> * 1863-1869 - {{bibliographie|Q3212308}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1863 - {{bibliographie|Q77967576}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1864 - {{bibliographie|Q77967205}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1869 - {{bibliographie|Q77967296}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> - * 1863 - Édouard Polydore Vanéechout (Pseudonyme : Edouard du Hailly), (1824 – 1871), officier de marine et écrivain :[[s:Les Antilles françaises/01|Les Antilles françaises/01]] ; [[s:Les Antilles françaises/02|Les Antilles françaises/02]] dans [[s:Livre:Revue des Deux Mondes - 1863 - tome 48.djvu|Revue des Deux Mondes, tome 48, 1863]] ==== 1864 ==== * 1864 - {{bibliographie|Q109836178}} <!-- Chronique musicale -->, publié dans {{bibliographie|Q591512}} <!-- Le Correspondant --> ==== 1865 ==== * 1865 - {{bibliographie|Q61989871}} <!-- Saint-René Taillandier, Maurice de Saxe: étude historique d'après les documents des archives de Dresde --> * 1865 - {{bibliographie|Q59861779}} <!-- Charles Expilly, La traite l'émigration et la colonisation au Brésil --> * 1865 - {{bibliographie|Q60694087}} <!-- histoire de la Banque de Saint-Georges de Gênes --> * 1865 - {{bibliographie|Q71832944}} <!-- Guillaume de Félice, Appel en faveur des noirs émancipés dans les Etats-Unis --> * 1865 - {{bibliographie|Q96211626}} [https://core.ac.uk/display/64558786 Depending on the edition], may contains two lectures only ; another edition may contain six lectures and 538 pages ; another edition has one lecture and 75 pages.<br>See (Philippe Fortin, « Les sources de renseignement du journal Le Pays lors de la guerre de Sécession (1861-1865) », Communication [Online], vol. 20/2 | 2001, Online since 12 August 2016, connection on 11 June 2020. URL : http://journals.openedition.org/communication/6572 ; DOI : https://doi.org/10.4000/communication.6572 <!-- --> 1865 - Louis-Antoine Dessaulles, La guerre américaine, son origine et ses vraies causes. Lecture publique faite à l'Institut-Canadien, le 14 décembre 1864, Montréal, Le Pays (OCLC 3022818, lire sur Wikisource, lire en ligne)Voir et modifier les données sur Wikidata Depending on the edition, may contains two lectures only ; another edition may contain six lectures and 538 pages ; another edition has one lecture and 75 pages. See (Philippe Fortin, « Les sources de renseignement du journal Le Pays lors de la guerre de Sécession (1861-1865) », Communication [Online], vol. 20/2 | 2001, Online since 12 August 2016, connection on 11 June 2020. URL : http://journals.openedition.org/communication/6572 ; DOI : https://doi.org/10.4000/communication.6572 * 1865 - {{bibliographie|Q106781910}} <!-- 1865 - Revue critique de législation et de jurisprudence --> * 1865 - {{bibliographie|Q109756280}} <!-- Jean-François Robinet, Georges Jacques Danton, mémoire sur sa vie privée -->. Signale la présence et l'activité de Saint-Georges à Lille. Le prêt de chevaux à [[w:Georges Jacques Danton|Georges Jacques Danton]]. ==== 1866 ==== * 1866 - {{bibliographie|Q29045060}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> ** 1866 - {{bibliographie|Q29045086}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> * 1866 - {{bibliographie|Q102145785}}, œuvre littéraire <!-- Alexandre Dumas, Louis XV et sa cour --> ** 1866 - {{bibliographie|Q102226525}}, œuvre littéraire <!-- Alexandre Dumas, Louis XV et sa cour, I --> ** 1866 - {{bibliographie|Q102226054}}, œuvre littéraire <!-- Alexandre Dumas, Louis XV et sa cour, II --> * 1866 - {{bibliographie|Q110967498}} <!-- Notice biographique sur Jean-Louis et son école --> ==== 1867 ==== * 1867 - {{bibliographie|Q60298262}} <!-- Maurice, comte de Saxe et Marie-Josephe de Saxe, dauphine de France --> * 1867-1871 - {{bibliographie|Q65475139}} <!-- Wilhelm Adolf Schmidt, Tableaux de la Révolution Française --> ** 1867 - {{bibliographie|Q65475471}} <!-- Wilhelm Adolf Schmidt, Tableaux de la Révolution Française, volume I --> * 1867 - {{bibliographie|Q82507975}} <!-- André de Bellecombe et Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Polygénisme et Monogénisme --> ==== 1868 ==== * 1868 - {{bibliographie|Q634447}} <!-- --> * 1868-1873-1878 - {{bibliographie|Q27950242}} <!-- --> === Articles === * 1860 - {{bibliographie|Q28610078}} == 1870 - 1879 == == 1870 == * 1870 - {{bibliographie|Q28168270}}<!-- Catalogue de l'histoire de France publié par ordre de l'Empereur, tome dixième --> * 1870 - {{bibliographie|Q19197016}}<!-- Auguste-Jean-Marie Vermorel, Le Parti socialiste --> * 1870 - {{bibliographie|Q29477542}}<!-- Alexandre Hesse, L'Administration provinciale et communale en France et en Europe, 1785-1870 --> * 1870 - {{bibliographie|Q95387808}}<!-- Edmond Poullet, Histoire du droit pénal dans le duché de Brabant --> === 1871 === * 1871 - {{bibliographie|Q28167749}} === 1872 === * 1872 - {{bibliographie|Q27777556}} <!-- Karl Marx (trad. Joseph Roy), Le Capital --> * 1872-1979 - {{bibliographie|Q29050644}} <!-- Histoire des états-généraux --> * 1872-1989 - {{bibliographie|Q60582869}} <!-- André Chénier et Becq de Fouquières (dir.), De l'Utopie à la Terreur : 1789-1793 --> * 1872 - {{bibliographie|Q83969221}} <!-- Thomas Balch, Les Français en Amérique pendant la guerre de l'indépendance des États-Unis 1777-1783 --> * 1872 - {{bibliographie|Q97353558}} <!-- Frédéric Passy, L'histoire du travail --> ;1872-1887 - Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) * 1872 - {{bibliographie|Q110280556}}, œuvre littéraire <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> ** 1872 - {{bibliographie|Q110280592}} <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> ** 1872 - {{bibliographie|Q110316130}} <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> ** 1881 - {{bibliographie|Q110316200}} <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> ** 1881 - {{bibliographie|Q110316366}} <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> ** 1887 - {{bibliographie|Q110280114}} <!-- Ludovic Sciout.- Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801) --> === 1873 === * 1873 - {{bibliographie|Q65028671}} <!-- Grand dictionnaire de cuisine par Alexandre Dumas (& D.-J. Vuillemot) --> * 1873 - {{bibliographie|Q28019732}} <!-- Alexandre Dumas, Le Collier de la Reine --> * 1873 - {{bibliographie|Q81808585}} <!-- Juliette Adam, Le siège de Paris --> * 1873 - {{bibliographie|Q99903533}} <!-- Jean Demesvar Delorme, La Misère au sein des richesses, réflexions diverses sur Haïti --> * 1873 - {{bibliographie|Q109750930}} <!-- Procès des Dantoniens, 1873 -->, publié dans 1873 - {{bibliographie|Q109750203}} <!-- La politique positive, Revue occidentale, 1873 --> ** Première lettre de Delacroix à Danton de Lille le mars 1793, {{Google Livres|id=PTmToZJTkUsC|titre= La politique positive, Revue occidentale, 1873|page= 255|surligne=Première lettre de Delacroix à Danton de Lille le mars 1793}}, [https://www.google.fr/books/edition/La_politique_positive/PTmToZJTkUsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Premi%C3%A8re%20lettre%20de%20Delacroix%20%C3%A0%20Danton%20de%20Lille%20le%20%2025%20mars%201793%20&pg=PA255&printsec=frontcover p. 255] ** Deuxième lettre de Delacroix à Danton de Lille le 28 mars 1793, {{Google Livres|id=PTmToZJTkUsC|titre= La politique positive, Revue occidentale, 1873|page= 255|surligne=Deuxième lettre de Delacroix à Danton de Lille le 28 mars 1793}}, [https://www.google.fr/books/edition/La_politique_positive/PTmToZJTkUsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Deuxi%C3%A8me%20lettre%20de%20Delacroix%20%C3%A0%20Danton%20de%20Lille%20le%2028%20mars%201793%20&pg=PA256&printsec=frontcover p. 256] === 1874 === * 1874 - {{bibliographie|Q20165012}} <!-- --> * 1874 - {{bibliographie|Q66494317}} <!-- Pierre-Victor Malouet et Victor Malouet (dir.), Mémoires de Malouet publiées par son petit-fils --> === 1875 === * 1875-1876 - {{bibliographie|Q30015069}} <!-- The lost continent or slavery and the slave-trade in Africa --> === 1876 === * 1876 - {{bibliographie|Q28216728}} <!-- --> ** 1876 - {{bibliographie|Q28217209}}, [https://books.google.fr/books?id=wG_NAAAAMAAJ&hl=fr&pg=RA2-PA259-IA2#v=onepage&q=Fran%C3%A7ois-Joseph%20Gossé&f=false page 265] * 1878 - {{bibliographie|Q27996719}} <!-- --> * 1876 - {{bibliographie|Q66831321}} <!-- Paul Allard, Les Esclaves chrétiens --> === 1877 === * 1877 - {{bibliographie|Q84768893}} <!-- Maurice Block, Dictionnaire de l’administration française --> ** 1877 - {{bibliographie|Q84768919}} <!-- Maurice Block, Dictionnaire de l’administration française, Deuxième édition, volume I --> ** 1877 - {{bibliographie|Q84769539}} <!-- Maurice Block, Dictionnaire de l’administration française, Deuxième édition, volume II --> * <b>1877-1889 - {{bibliographie|Q84850013}} Œuvre écrite</b>. <!-- Edme Rameau de Saint-Père, Une colonie féodale en Amerique --> ** 1877 - {{bibliographie|Q84954792}} <!-- Edme Rameau de Saint-Père, Une colonie féodale en Amerique --> ** 1889 - {{bibliographie|Q84850639}} <!-- Edme Rameau de Saint-Père, Une colonie féodale en Amerique, volume 1 --> ** 1889 - {{bibliographie|Q84850659}} <!-- Edme Rameau de Saint-Père, Une colonie féodale en Amerique, volume 2 --> * 1877 - {{bibliographie|Q110714741}} <!-- Louis Guibert.- Une page de l'histoire du clergé français au XVIIIe siècle --> ** 1877 - {{bibliographie|Q110715252}} <!-- Une page de l'histoire du clergé français au XVIIIe siècle, compte-rendu de lecture --> === 1878 === * 1878 - {{bibliographie|Q98108041}}</b> [https://catalog.hathitrust.org/Record/001167862?type%5B%5D=title&lookfor%5B%5D=A%20dictionary%20of%20books%20relating%20to%20America&ft= Œuvre écrite]. <!-- A dictionary of books relating to America --> ** 1878 - {{bibliographie|Q98073260}} <!-- A Dictionary of Books Relating to America, from Its Discovery to the Present Time, Volume 10 --> === 1879 === Loménie, Louis de, 1815-1878.- Les Mirabeau : nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle, Continué, à partir du tome III, par son fils Charles de Loménie * 1879-1891 - {{bibliographie|Q110483597}}, Œuvre littéraire <!-- Les Mirabeau : nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle --> ** 1879 - {{bibliographie|Q110483804}}, [https://archive.org/details/lesmirabeaunouve01lomuoft/page/n9/mode/2up Tome Premier] ** 1879 - {{bibliographie|Q113086453}}, [https://archive.org/details/lesmirabeaunouve02lomuoft/page/n11/mode/2up Tome Second] <!-- Les Mirabeau; nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle --> ** 1879 - {{bibliographie|Q113087389}}, [https://archive.org/details/lesmirabeaunouve03lomuoft/page/n11/mode/2up Tome Troisième] <!-- Louis & Charles de Loménie.- Les Mirabeau; nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle--> ** 1879 - {{bibliographie|Q113087555}}, [https://archive.org/details/lesmirabeaunouve04lomuoft/page/n9/mode/2up Tome Quatrième], <!-- Louis & Charles de Loménie.- Les Mirabeau; nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle --> ** 1879 - {{bibliographie|Q113088138}}, [https://archive.org/details/lesmirabeaunouve05lomuoft/page/n7/mode/2up Tome Cinquième], <!-- Louis & Charles de Loménie.- Les Mirabeau; nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle --> === Articles === * 1870 - {{bibliographie|Q17362972}} * 1873 - {{bibliographie|Q19210776}} <!-- Les États-généraux avant 1789 --> * 1877 - {{bibliographie|Q66314341}} <!-- La traite des Nègres par Louis Delgeur (Asiento) --> === Œuvres romanesques === * 1872 - {{bibliographie|Q26923751}} == 1880 - 1889 == === 1880 === * 1880 - {{bibliographie|Q64787991}} In: Archives Parlementaires de 1787 à 1860 - Première série (1787-1799) Tome XI - Du 24 décembre 1789 au 1er mars 1790. <!-- Joseph-Michel Pellerin, Discours non prononcé de M. Pellerin sur la traite des noirs, lors de la séance du 1er mars 1790 --> * 1880 - {{bibliographie|Q106625141}}, œuvre littéraire <!-- Bonaparte et son temps --> ** 1880 - {{bibliographie|Q106625180}} <!-- Bonaparte et son temps, volume I --> === 1881 === * 1881 - {{bibliographie|Q107110690}} <!-- Inventaire sommaire de la collection Joly de Fleury --> === 1882 === * 1882 - {{bibliographie|Q68484852}} <!-- Arsène Vigeant, La bibliographie de l'escrime ancienne et moderne --> === 1883 === * 1883 - {{bibliographie|Q59308885}} <!-- G. Souquet-Basiège, Le Préjugé de race aux Antilles françaises. Etude historique --> * [[d:Q113355305|1883]] - {{bibliographie|Q113355305}} <!-- Collection complète des œuvres de Grétry --> ** 1883 - {{bibliographie|Q113355829}} <!-- Collection complète des œuvres de Grétry, XVIIème livraison : Le jugement de Midas, 1778 --> === 1884 === * 1884-1889 - {{bibliographie|Q28858836}} <!-- Justin Winsor, Narrative and critical history of America --> * 1884 - {{bibliographie|Q27863555}} <!-- texte de tous les traités intéressant les étrangers --> * 1884 - {{bibliographie|Q3058688}} <!-- Arthur de Gobineau, Essai sur l'inégalité des races humaines--> * 1884 - {{bibliographie|Q28192936}} <!-- Vie et aventures d'un entrepreneur de spectacles au XVIIIe siècle --> * 1884 - {{bibliographie|Q99371974}}, [[w:Traités de Westphalie|Traités de Westphalie]] <!-- A.M. Ourousov, Résumé historique des principaux traités de paix conclus entre les puissances européennes--> === 1885 === * 1885-1905 - {{bibliographie|Q27908763}}, [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&collapsing=disabled&query=dc.relation%20all%20%22cb341004873%22 Lire en ligne] * 1885 - {{bibliographie|Q3020385}} <!-- --> ** [[d:Q23978369|2012]] - {{bibliographie|Q23978369}} <!-- --> * 1885 - {{bibliographie|Q66004512}} <!-- Bertrand du Pouget de Nadaillac, Catalogue d'une collection de livres --> * 1885 - {{bibliographie|Q69028614}} <!-- Salles et Maîtres d'armes. De l'époque médiévale au XVIIIème siècle, trois éditions 1885, 1910, 1969 --> ** 1969 - {{bibliographie|Q68559595}} <!-- Salles et Maîtres d'armes. De l'époque médiévale au XVIIIème siècle, trois éditions 1885, 1910, 1969 --> * 1885 - {{bibliographie|Q69573809}} <!-- Alphonse Gourd, Les chartes coloniales et les constitutions des États-Unis de l'Amérique du Nord --> ** 1885 - {{bibliographie|Q69573809}} <!-- Alphonse Gourd, Les chartes coloniales et les constitutions des États-Unis de l'Amérique du Nord, Volume I --> * 1885 - {{bibliographie|Q75730711}} <!-- John Buchan Telfer, The strange career of the Chevalier d'Eon de Beaumon --> * 1885 - {{bibliographie|Q104512615}}, [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Atipa.djvu&page=9 Wikimedia Commons] <!-- Alfred Parépou, Atipa --> * 1885 - {{bibliographie|Q110161281}} <!-- Léon Remi Pilatte.- Édits, déclarations et arrests concernans la religion prétendue réformée, 1662-1751 --> === 1886 === * 1886-1888 - {{bibliographie|Q28022312}} * 1886 - {{bibliographie|Q29790544}} <!-- Arthur Chuquet, Les guerres de la Révolution --> * 1886 - {{bibliographie|Q64398412}} <!-- Jules de Lahondès et Société archéologique du Midi de la France (dir.), Un procès d'esclave au quinzième siècle --> * 1886 - {{bibliographie|Q78361792}} <!-- Paul Leroy-Beaulieu, De la colonisation chez les peuples modernes --> === 1887 === * 1887 - {{bibliographie|Q17359204}} <!-- --> ;Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801), 4 volumes et un abrégé * 1872 - Histoire de la Constitution civile du clergé (1790-1801), volume I (Q110280592) * 1887 - {{bibliographie|Q110280114}} <!-- Abrégé de l'Histoire de la constitution civile du clergé et de la persécution révolutionnaire (1790-1801) en 4 volumes --> === 1888 === * 1888 - {{bibliographie|Q28097131}} <!-- Henri Daressy, Archives des Maitres d'Armes de Paris --> * 1888-1893 - {{bibliographie|Q78857150}}, Revue trimestrielle - Société antiesclavagiste de France {{BNF|cb328692271}} <!-- Bulletin de la Société antiesclavagiste de France, 1888-1893 --> === 1889 === * 1889 - {{bibliographie|Q27638778}} <!-- Miranda dans la Révolution française (Etats-Unis du Vénézuela) --> * 1889 - {{bibliographie|Q78863088}} <!-- Alexis-Marie Gochet et Charles Martial Lavigerie, La barbarie africaine et l'action civilisatrice des missions catholiques au Congo --> * 1889 - {{bibliographie|Q78900516}} <!-- Alexis-Marie Gochet et Charles Martial Lavigerie, La Traite des nègres et la croisade africaine --> * 1889 - {{bibliographie|Q109774200}} <!-- Jean-François Robinet, Danton homme d'État --> * 1889 - {{bibliographie|Q110271698}} <!-- Bertrand Robidou, Histoire du clergé pendant la Révolution française --> * 1889 - {{bibliographie|Q110534983}} <!-- Les conventionnels --> == 1890 - 1899 == === 1890 === * 1890 - {{bibliographie|Q19189637}} <!-- Victor Du Bled, La Société dans les prisons de Paris pendant la terreur --> * 1890 - {{bibliographie|Q28843389}} <!-- George Péries, La Faculté de droit dans l'ancienne Université de Paris, (1160-1793) --> * 1890 - {{bibliographie|Q110072005}} <!-- Léon Lefebvre, Un chapitre de l'histoire du théâtre de Lille. Du siège de Lille en 1708 au 14 août 1872 --> * 1890-1902 - {{bibliographie|Q112999900}} <!-- Nos Créoles --> === 1891 === === 1892 === * 1892 - {{bibliographie|Q92596799}} <!-- Joachim Ambert, Les généraux de la Révolution (1792-1804) --> * 1892 - {{bibliographie|Q17358035}} <!-- Jacques-Victor-Albert de Broglie, Fin de la Guerre de la succession d’Autriche - Paix d’Aix-la-Chapelle --> ** 1892 - {{bibliographie|Q17358036}} <!-- Jacques-Victor-Albert de Broglie, Etudes diplomatiques – Fin de la guerre de la succession d’Autriche – Paix d’Aix-La-Chapelle (1746) - I. Les Préliminaires du congrès--> ** 1892 - {{bibliographie|Q17358038}} <!-- acques-Victor-Albert de Broglie, « Etudes diplomatiques – Fin de la guerre de la succession d’Autriche – Paix d’Aix-La-Chapelle (1746) - II. Signature des préliminaires de paix --> ** 1892 - {{bibliographie|Q17358039}} <!-- Etudes diplomatiques – Fin de la guerre de la succession d’Autriche – Traité d’Aix-la-Chapelle (1748) - III. Dernières négociations - Le traité » --> * 1892 - {{bibliographie|Q112232739}} <!-- Le Gallicanisme au XVIIIe siècle : La France et Rome de 1700 à 1715 --> === 1893 === * 1893 - {{bibliographie|Q64785151}} <!-- Henri Castonnet des Fossés, La perte d'une colonie : La Révolution de Saint-Domingue --> * 1893-1904 - {{bibliographie|Q79085680}} <!-- Église catholique, Lettres apostoliques de S. S. Léon XIII --> ** 1893 - {{bibliographie|Q79123180}} <!-- Église catholique, Lettres apostoliques de S. S. Léon XIII, tome 2 --> *** [[d:Q600619|5 mai 1888]] -{{bibliographie|Q600619}} <!-- 5 mai 1888 -Léon XIII, Léon XIII, Encyclique In Plurimis, Lettre de N. S. P. Léon XIII aux évêques brésiliens, --> * 1893 - {{bibliographie|Q109647703}} <!-- Dictionnaire de la Révolution française, institutions, hommes et faits --> ** 1893 - {{bibliographie|Q109796458}} <!-- Légions. Légion des Américains --> === 1894 === * 1894-1942 - {{bibliographie|Q26933732}} ** [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb344836924_date%22%20and%20%28gallica%20adj%20%22Gratien%20Candace%22%29 "Gratien Candace", 2 résultats] ** [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb344836924_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22Gratien%20Candace%22%29 Gratien Candace, 13 résultats] ** [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb344836924_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22Guadeloupe%22%29 Guadeloupe, 37 résultats] * 1894 - {{bibliographie|Q28320927}} <!-- --> * 1894 - {{bibliographie|Q28658886}} <!-- --> * 1894 - {{bibliographie|Q28939099}} <!-- --> * 1894 - {{bibliographie|Q30119097}} <!-- Histoire des caciques de Haïti --> * 1894 - {{bibliographie|Q37490557}} <!--Augustin Challamel, Les Clubs contre-révolutionnaires --> * 1894 - {{bibliographie|Q111247790}} <!--1894 - Jules Ballet, La Guadeloupe --> * 1894 - {{bibliographie|Q113378446}} <!--Mémoires de famille de l'abbé Lambert sur la Révolution & l'Émigration, 1791-1799 --> === 1895 === * 1895 - {{bibliographie|Q37490557}} <!-- Augustin Challamel, Les Clubs contre-révolutionnaires --> * 1895 - {{bibliographie|Q66371218}} <!-- Élie Berger, Histoire de Blanche de Castille, reine de France, thèse pour le doctorat --> * 1895 - {{bibliographie|Q109817315}} <!-- Ernest Lavisse.- Histoire générale du IVe siècle à nos jours --> * 1895-1902 - {{bibliographie|Q111279086}} <!-- Montalembert , biographie, ouvrage en 3 volumes publiés entre 1895 et 1902 --> * 1895 - {{bibliographie|Q112282627}} <!-- Bibliographie générale de l'escrime --> === 1896 === * 1896 - {{bibliographie|Q26951493}} <!-- Émile-Ambroise Thirion, La politique au village --> * 1896 - {{bibliographie|Q52338884}} <!-- Auguste Lacaussade, Le Siège de Paris --> * 1896 - {{bibliographie|Q110315876}} <!-- Henry de Poyen-Bellisle.- Les guerres des Antilles de 1793 à 1815 --> * 1896 - {{bibliographie|Q110525632}} <!-- Paris en 1790, voyage de Halem --> * 1896 - {{bibliographie|Q113005211}} <!-- La vie à Paris pendant une année de la Révolution, 1791-1792 --> === 1897 === * 1897 - {{bibliographie|Q23636265}} <!-- L'esclavage aux Antilles françaises avant 1789 --> * 1897 - {{bibliographie|Q113005694}} <!-- Une loge maçonnique d'avant 1789 --> === 1898 === * 1898 - {{bibliographie|Q73018271}} <!-- Léon Deschamps, Les Colonies pendant la Révolution. La Constituante et la réforme coloniale --> * 1898 - {{bibliographie|Q110966096}} <!-- L'escrime à travers les âges --> === 1899 === 1899 - {{bibliographie|Q84703595}} <!-- F.-Pierre Clément, (notice BnF no FRBNF104304148).- La Corvée des chemins en France et spécialement en Poitou --> == Notes & Références == {{Références}} fi4unmn1wvegof70fo9cg8iffb47p74 4 80610 881016 878697 2022-08-01T21:21:53Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n°&#x202f;2022-31 */ nouvelle section wikitext text/x-wiki <noinclude>{{SC|2022|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n°&#x202f;2022-31 == <section begin="technews-2022-W31"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/31|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Des [[m:Special:MyLanguage/Help:Displaying_a_formula#Phantom|capacités LaTeX améliorées pour le rendu des mathématiques]] sont maintenant disponibles dans les wikis grâce à la prise en charge des balises <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code>Phantom</code></bdi>. Ceci complète une partie du [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Editing/Missing_LaTeX_capabilities_for_math_rendering|souhait nº&#x202f;59]] de l'enquête sur les souhaits de la communauté 2022. '''Changements à venir cette semaine''' * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|alt=|Sujet récurrent]] La [[mw:MediaWiki 1.39/wmf.23|nouvelle version]] de MediaWiki sera installée sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du {{#time:j xg|2022-08-02|fr}}. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le {{#time:j xg|2022-08-03|fr}} et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le {{#time:j xg|2022-08-04|fr}} ([[mw:MediaWiki 1.39/Roadmap|calendrier]]). * L'[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:WikiEditor/Realtime_Preview|aperçu en temps réel]] sera disponible en tant que fonctionnalité bêta sur les wikis du [https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists%2Fgroup0.dblist groupe&nbsp;0]. Cette fonctionnalité a été construite afin de répondre à l'[[m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist_Survey_2021/Real_Time_Preview_for_Wikitext|une des propositions de l'enquête sur les souhaits de la communauté]]. '''Changements à venir''' * La fonctionnalité bêta des [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools|Outils de discussion]] va être mise à jour pendant le mois d’août. L'apparence des discussions va changer. Vous pouvez voir [[mw:Special:MyLanguage/Talk pages project/Usability/Prototype|certains des changements proposés]]. '''Prochaines réunions''' * Cette semaine, trois réunions sur l’[[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements|habillage Vector (nouvelle version&nbsp;2022)]] avec interprétation en direct auront lieu. Le mardi, l'interprétation en russe sera assurée. Le jeudi, des réunions pour les arabophones et les hispanophones auront lieu. [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Voir comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/31|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div><section end="technews-2022-W31"/> 1 août 2022 à 21:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=23615613 --> 3k91cn7rmyzxx9i8r5pmk3js2ofnoqt 4 80727 881019 880776 2022-08-02T07:24:26Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2022-07-31T22:52:57Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul|5000}} résultat{{PLURAL:5000||s}} au maximum {{PLURAL:5000|est|sont}} disponible{{PLURAL:5000||s}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d'utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 22 || 0 |- |AdvancedContribs || 42 || 0 |- |AncreTitres || 27 || 1 |- |Barre de luxe || 44 || 2 |- |CoinsArrondis || 91 || 0 |- |DeluxeHistory || 113 || 4 |- |EditZeroth || 2 || 0 |- |FastRevert || 30 || 3 |- |FlecheHaut || 47 || 2 |- |HotCats || 88 || 1 |- |JavascriptHeadings || 17 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 2 || 1 |- |LiveRC || 26 || 0 |- |OngletGoogle || 23 || 2 |- |OngletPurge || 97 || 6 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 36 || 0 |- |RenommageCategorie || 26 || 2 |- |ResizeGalleries || 78 || 1 |- |RestaurationDeluxe || 45 || 1 |- |ResumeDeluxe || 107 || 0 |- |RevertDiff || 25 || 1 |- |SisterProjects || 25 || 0 |- |Smart patrol || 4 || 2 |- |ZoomOnThumb || 28 || 1 |- |monBrouillon || 37 || 2 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 16 || 0 |- |searchbox || 27 || 1 |- |social-networks || 10 || 2 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,22,0 AdvancedContribs,42,0 AncreTitres,27,1 Barre de luxe,44,2 CoinsArrondis,91,0 DeluxeHistory,113,4 EditZeroth,2,0 FastRevert,30,3 FlecheHaut,47,2 HotCats,88,1 JavascriptHeadings,17,1 LeftPaneSwitch,2,1 LiveRC,26,0 OngletGoogle,23,2 OngletPurge,97,6 OptimizedSuivi,16,0 Popups,36,0 RenommageCategorie,26,2 ResizeGalleries,78,1 RestaurationDeluxe,45,1 ResumeDeluxe,107,0 RevertDiff,25,1 SisterProjects,25,0 Smart patrol,4,2 ZoomOnThumb,28,1 monBrouillon,37,2 recentchangesbox,9,0 searchFocus,16,0 searchbox,27,1 social-networks,10,2 --> g35hlngqds5xp8iyozsmchgdlef3vm2 104 80749 881023 2022-08-02T11:58:04Z Psychoslave 2753 déplacement depuis la page principale wikitext text/x-wiki <blockquote>🚧 À faire&nbsp;: * lister les suffixes féminin/masculin usuels, les réifier par des diacritiques * aller au-delà dans les alternatives sexuées&nbsp;: commun, mixte, non-binaire, etc. (pour les noms communs de personnes uniquement) * analyse des suffixes communs en français, cf https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&pagefrom=gate%0A-gate#mw-pages *analyser les propositions dans https://lavieenqueer.wordpress.com/2018/07/26/petit-dico-de-francais-neutre-inclusif/ *analyser l’existant de suffixes comme -us, -um, -ul -os pour former des dérivés marquant un genre manifeste (masculin, neutre…), en considérant -euse/-esse comme le modèle protypique à suivre *trouver une copie de Khaznadar, Edwige (2000) "La suffixation du masculin et du féminin dans l’alternance en genre en français : de la réalité contemporaine et de quelques vieilles lunes » *décrire la méthodologie retenue : croiser les suffixes documentés aux terminaisons phonologiques en usage pour prioriser sans limiter les morphes suffixaux envisagés sous le prisme statistique de l'existant </blockquote>Les suffixes -euse et -esse permetent de rajouter le trait sémantique ''féminin'' ou ''femelle'' sur une base qui, en reprenant la terminologie précédement exposée, relève d’un genre strictement ambigü ou équivoque basculé vers un genre ostentatoire. ''Une ânesse'' porte sans conteste la supposition du trait ''femelle'', tandis qu’''un âne'' demeure équivoque tant que n’y est pas adjoint un épithète ''femelle'' ou ''mâle''. Cette forme pousse même, comme il a déjà était dit, jusqu’à laisser évasif l’intention exact du locuteur&nbsp;: * le sexe n’est pas spécifié parce que dans la perspective du locuteur il est sans importance pour le propos&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce qu’il importe pour le locuteur de ne pas le revéler&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce que le locuteur l’ignore. L’objectif de cette section est de faire un relevé des pratiques existantes et de proposer une liste de suffixes utilisables pour exprimer de manière ostentatoire tout ou partie des catégories de genre décrites dans les sections précédentes, en limitant autant que possible les collisions conflictuels avec les usages déjà plus ou moins bien ancrés. Outre le genre, les notions connexes comme la dénomination d’un groupe indéterminant seront intégrés à la recherche. Pour le formule par un exemple concret les cas tels que ''lectorat'' comparativement à ''lecteur'' et ''lectrice'' seront pris en compte comme prototype à calquer et étendre pour y adjoindre des formes ostantoirement marqués pour d’autres catégories de genre. {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |Suffixe ! colspan="4" |Nombre d’emploi correspondant dans le flou du français usuel ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! |- !Graphie !Prononciation !Total !Ambigü !Équivoque !Ambigü-équivoque !Altersexualisant<ref group="N">Colonne construite autours de ''-iel-''.</ref> !Féminin<ref group="N">Colonne counstruite autours de la lettre ''u''. Emploi de -u- ou -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. Solution de repli sur -ul- en certains cas.</ref> !Générique<ref>Colonne construite autours de -a-, -al- en première solution de repli, et -ial- en seconde solution de repli par analogie avec -iel-.</ref> !Inanimé<ref group="N">Colonne construite autours de ''-o-'' en priorité, avec ogonek lorsque l'évitement d'une homographie le justifie ; puis utilisation de ''-ol-'' en première solution de repli.</ref> !Masculin<ref group="N">Construit sur -i- en priorité. Ajout d'un accent grave au besoin.</ref> !Remarque |- | -os |/ɔs/ |74 |4 |60 |10 | | | | | |À ''hardos'' pourrait répondre ''hardesse'' qui semble sans emploi actuellement. Distinguer donc l’appairage à -esse de celui fait à -euse. En effet ''hardeuse'' répond à ''hardeur'' qui sont des termes de tout autre sens. |- | -euf | | | | | | | | | | |à évaluer comme complément à -euse |- | -or | | | | | | | | | | | |- | -yphe | | | | | | | | | | |Voir hyphe |- | -aire | | | | | | | | | | | |- | -ure | | | | | | | | | | | |- | -ir | | | | | | | | | | | |- | -us | | | | | | | | | | | |- | -um | | | | | | | | | | | |- | -öm |/øm/ | | | | | | | | | | |- | -ab | | | | | | | | | | | |- | -acque |/ak/ | | | | | | | | | | |- | -ade | | | | | | | | | | | |- | -aphe |/af/ | | | | | | | | | | |- | -ague |/ag/ | | | | | | | | | | |- | -age |/aʒ/ | | | | | | | | | | |- | -alle |/al/ | | | | | | | | | | |- | -ame | | | | | | | | | | | |- | -ane |/ane/ | | | | | | | | | | |- | | | | | | | | | | | | |- | | | | | | | | | | | | |- | | | | | | | | | | | | |- | | | | | | | | | | | | |- | | | | | | | | | | | | |} Pour aller plus loin dans l’exploration des suffixes nominaux, il sera opportun de consulter les références afférentes<ref>{{Lien web|nom1=Camus|prénom1=Laurent|titre=Suffixes|url=https://www.francaisfacile.com/cgi2/myexam/voir2.php?id=95684|site=www.francaisfacile.com|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Gaston|nom1=Zink|titre=Noms et adjectifs suffixés dans le Testament de Villon (éd. A. Longnon - L. Foulet, Paris, Champion)|périodique=L'information grammaticale|volume=56|numéro=1|date=1993|doi=10.3406/igram.1993.3170|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1993_num_56_1_3170|consulté le=2021-12-24|pages=42–45}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Catégorie:Suffixes en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-01-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&oldid=29089207|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref name=":33" /><ref name=":34">{{Article|prénom1=Edwige|nom1=Khaznadar|titre=Apport de la francophonie dans la dénomination de la femme et de l'homme|périodique=Nouvelles Études Francophones|volume=24|numéro=1|date=2009|issn=1552-3152|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25702188|consulté le=2021-12-24|pages=100–111}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Antoine|nom1=Di-Lillo|titre=Il n’y a pas de suffixe -ateur en français. Voyons ! (I)|périodique=Meta : journal des traducteurs / Meta: Translators' Journal|volume=27|numéro=3|date=1982|issn=0026-0452|issn2=1492-1421|doi=10.7202/002569ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/meta/1982-v27-n3-meta297/002569ar/|consulté le=2021-12-24|pages=319–330}}</ref>. r7x0lxuimttaojifqkyj61rlt5jw9hm