Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 0 24027 881150 816418 2022-08-07T09:54:30Z Zetud 1978 Orth. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définitions - Éléments de Topologie/]] | suivant = [[../Compacité/]] |page_liée=Exercices/Applications linéaires continues | numéro = 2 | niveau = 15 }} L'objectif de ce chapitre est d'étendre les définitions de limites et de continuité vues en [[Fonctions d'une variable réelle|analyse réelle]] aux espaces vectoriels normés (e.v.n.). Les définitions et les propriétés seront similaires à celles vues dans <math>\R</math>, mis à part qu'on remplace la valeur absolue par la norme. Nous allons mettre en application les notions topologiques vues dans le chapitre précédent pour définir les notions de limites et de continuité. Dans toute la suite, <math>E</math> et <math>F</math> sont deux e.v.n., <math>\mathcal D</math> est une partie de <math>E</math>, et <math>f</math> est une application de <math>\mathcal D</math> dans <math>F</math>. {{clr}} ==Limite d'une suite dans un e.v.n.== ===Définition=== Dans un premier temps, voyons la définition de limite d'une suite dans un e.v.n.. De manière similaire aux limites d'une suite dans <math>\R</math>, on définit la limite d'une suite en termes de proximité à un point à partir d'un certain rang, mais ici la valeur absolue est remplacée par la norme. {{Définition | titre = Définition : [[Topologie générale/Suites#Limite d'une suite|limite d'une suite]] |contenu= On dit qu'une suite <math>(u_n)</math> à valeurs dans <math>E</math> converge vers un élément <math>\ell</math> de <math>E</math>, et l'on note <math>\lim_{n\to\infty}u_n=\ell</math>, si<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist N\in\N\quad\forall n\ge N\quad\|u_n-\ell\|<\varepsilon</math>.</div> }} La propriété suivante, qui peut paraître évidente pour le lecteur habitué au cas réel, est fondamentale. {{Propriété |titre=Propriété : [[Topologie générale/Suites#Limite d'une suite|unicité de la limite]] |contenu= La limite d'une suite de <math>E</math>, si elle existe, est unique. }} {{Démonstration déroulante |contenu= Supposons donc que <math>(u_n)</math> soit une suite convergente et que <math>\ell,\ \ell'</math> sont deux limites de <math>(u_n)</math>. On a alors, pour <math>\epsilon >0</math> : *<math>\exists N_1 \in \N,\ \forall n>N_1,\ \|u_n-\ell\|<\epsilon</math>. *<math>\exists N_2 \in \N,\ \forall n>N_2,\ \|u_n-\ell'\|<\epsilon</math>. Posons alors <math>N=\max(N_1,N_2)</math>, et l'on a donc : <math>\forall n>N,\ \|\ell-\ell'\|\leq \|u_n-\ell\|+\|u_n-\ell'\|<2\epsilon</math>. Ceci étant vrai pour tout <math>\epsilon>0</math>, on a <math>\|\ell-\ell'\|=0</math>, d'où <math>\ell=\ell'</math>. }} ;Remarque :Pour information, ce résultat n'est pas toujours vrai pour des espaces plus généraux, comme les [[Topologie générale/Espace topologique#Définitions fondamentales|espaces non séparés]]. {{Remarque |contenu =[[Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence#Exercice 3|De même que pour les suites numériques]], on a : :Une suite <math>(u_n)</math> de <math>E</math> converge vers <math>\ell</math> si et seulement si les suites <math>\left(u_{2n}\right)</math> et <math>\left(u_{2n+1}\right)</math> convergent vers <math>\ell</math>. }} L'introduction de la notion de voisinage dans le chapitre précédent va nous permettre de donner une caractérisation équivalente de la limite qui est utilisée dans les généralisations de cette notion, et qui permet de simplifier parfois les raisonnements. {{Propriété |titre= Propriété : caractérisation de la limite par les voisinages |contenu = Soient <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>, et <math>\ell\in E</math>. <math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math> si et seulement si pour tout voisinage <math>\mathcal V</math> de <math>\ell</math>, <math>\exists N\in \N,\ \forall n>N,\ u_n\in\mathcal V</math>. }} {{Démonstration déroulante |contenu = La preuve découle directement des définitions de voisinage et de limite. :Supposons tout d'abord que <math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math>. :Soit <math>\mathcal V</math> un voisinage de <math>\ell</math> alors il existe <math>\epsilon >0</math> tel que <math>B(\ell,\epsilon)\subset\mathcal V</math> :On a donc, par définition de la limite : <math>\exists N \in \N,\ \forall n>N,\ \|u_n-\ell\|<\epsilon</math>, ce qui revient à dire que <math>\exists N \in \N,\ \forall n>N,\ u_n\in B(\ell,\epsilon)</math>, ou encore <math> \forall n>N,\ u_n \in\mathcal V</math>. :Réciproquement, si pour tout voisinage <math>\mathcal V</math> de <math>\ell\, \exists N\in \N,\ \forall n>N,\ u_n\in\mathcal V</math>. :Soit <math>\epsilon>0</math>. Alors, comme <math>B(\ell,\epsilon)</math> est un voisinage de <math>\ell,\ \exists N\in \N,\ \forall n>N,\ u_n \in B(\ell,\epsilon)</math>. :Ceci revient exactement à dire que <math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math>. }} Comme nous sommes dans un espace vectoriel, il est important de connaître le comportement de la notion de limite vis-à-vis de la structure algébrique, et ici tout se passe bien car on constate la linéarité de la limite. La démonstration de ce résultat repose essentiellement sur l'inégalité triangulaire aussi elle est laissée en exercice pour le lecteur. {{Propriété |titre= Propriété : linéarité de la limite |contenu = Soient <math>(u_n)\ (v_n)</math> deux suites de <math>E</math> et <math>\forall \lambda\in \mathbb{K}</math>. Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> convergent, alors la suite <math>(\lambda u_n +v_n)</math> converge, et on a : <math>\lim_{n\to +\infty} (\lambda u_n + v_n) = \lambda \lim_{n\to+\infty} u_n + \lim_{n\to+\infty} v_n</math>. }} ===Applications à la topologie=== La propriété suivante est une caractérisation séquentielle (c.-à-d. avec des suites) de certaines notions de topologie, et va permettre de déterminer l'adhérence d'une partie de <math>E</math>. {{Propriété|titre=Propriété : [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Caractérisation séquentielle|caractérisation séquentielle de l'adhérence]]|contenu= *<math>a\in\overline{\mathcal D}</math> si et seulement si <math>a</math> est limite d'une suite d'éléments de <math>\mathcal D</math>. *En particulier, <math>\mathcal D</math> est fermé si et seulement si toute suite de <math>\mathcal D</math> qui converge dans <math>E</math> converge vers un élément de <math>\mathcal D</math>.}} {{Démonstration déroulante |contenu = *Soient <math>a\in\overline{\mathcal D}</math>, et <math>\epsilon>0</math>. :Par définition, tout voisinage de <math>a</math> rencontre <math>\mathcal D</math>. En particulier, <math>\forall n\in \N,\ B(a,\frac{1}{n})\cup\mathcal D\ne\varnothing</math>. :Choisissons alors <math>\forall n\in \N,\ u_n \in B(a,\frac1n)\cap\mathcal D</math>. La suite <math>(u_n)</math> ainsi créée converge alors vers <math>a</math> car <math>\frac{1}{n}\to 0</math>. :Réciproquement, si <math>a</math> est limite d'une suite d'éléments de <math>\mathcal D</math>, alors tout voisinage <math>\mathcal V</math> de <math>a</math> contient des éléments de la suite et donc : <math>\mathcal V\cap\mathcal D\ne\varnothing</math>. *La deuxième partie est évidente en se rappelant que si <math>\mathcal D</math> est fermée alors <math>\overline{\mathcal D}=\mathcal D</math>. }} Concernant la densité, le corollaire direct suivant fournit le principal outil pour montrer qu'une partie est dense dans <math>E</math>. {{Corollaire |titre=Corollaire : [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Caractérisation séquentielle|caractérisation séquentielle de la densité]] |contenu= Soit <math>\mathcal D\subset E</math>. <math>\mathcal D</math> est dense dans <math>E</math> si et seulement si pour tout point <math>x\in E</math>, il existe une suite <math>(u_n)</math> de <math>\mathcal D</math> tel que <math>\lim_{n\to+\infty}u_n=x</math>. }} ;Remarque :Cela confirme la remarque faite lors de la définition de la densité : une partie <math>\mathcal D</math> est dense dans <math>E</math> si tous les points de <math>E</math> peuvent être approchés par des points de <math>\mathcal D</math>. ==Limite et continuité d'une fonction dans un e.v.n.== ===Définitions=== {{Définition | titre = Définitions : limite et continuité d'une fonction |contenu= Soient <math>a\in\overline{\mathcal D}</math> et <math>\ell\in F</math>. On dit que [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Limite|<math>f</math> a pour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math>]], et l'on note <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=\ell</math>, ou <math>\lim_af=\ell</math>, si<div style="text-align: center;"><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist\delta>0\quad\forall x\in\mathcal D\quad(\|x-a\|_E<\delta\ \Longrightarrow\quad \|f(x)-\ell\|_F<\varepsilon)</math>.</div> On dit que <math>f</math> est : *[[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes|continue en un point <math>a</math>]] de <math>\mathcal D</math> si <math>\lim_a f(x)=f(a)</math> ; *[[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Continuité globale|continue]] sur <math>\mathcal D</math> si elle est continue en tout point de <math>\mathcal{D}</math>. *un homéomorphisme de <math>\mathcal D\subset E</math> dans <math>\mathcal D'\subset F</math> si <math>f:\mathcal D\to \mathcal D'</math> est une bijection continue dont la réciproque <math>f^{-1}</math> est également continue. }} ;Remarques : *Tout comme pour les fonctions définies sur <math>\R</math>, on peut se représenter la notion de limite en imaginant que l'on se rapproche d'un point. Cependant, sur <math>\R</math>, il n'y a que deux possibilités pour approcher un point : par valeurs supérieures ou inférieures. Ce n'est plus le cas dans les espaces de dimension (réelle) strictement plus grande que <math>1</math>. On ne peut donc plus scinder un problème de limite en deux cas. *On peut également trouver le terme application bicontinue au lieu d'homéomorphisme dans certains textes. Voyons maintenant d'autres caractérisations importantes de la continuité. {{Propriété |titre = Propriété : caractérisations de la continuité |contenu = Soient <math>f:\mathcal D\to F</math> une application. On a équivalence entre les propriétés suivantes : *<math>f</math> est continue en <math>a\in \mathcal{D}</math>, *Pour tout voisinage <math>\mathcal{V}</math> de <math>f(a)</math>, <math>f^{-1}(\mathcal{V})</math> est un voisinage de <math>a</math>. On a équivalence entre les propriétés suivantes : *<math>f</math> est continue sur <math>\mathcal D</math>, *l'image réciproque par <math>f</math> de tout ouvert de <math>F</math> est un ouvert de <math>\mathcal D</math>, *l'image réciproque par <math>f</math> de tout fermé de <math>F</math> est un fermé de <math>\mathcal D</math>. }} ;Remarque : *En pratique ce résultat est très utile pour montrer que des parties sont ouvertes ou fermées. On a également la caractérisation séquentielle suivante pour la limite et la continuité d'une fonction qui est très utile en pratique, en particulier pour montrer qu'une application n'est pas continue. {{Propriété |titre = Propriété : [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Caractérisation séquentielle|caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction]] |contenu = Soient <math>f:\mathcal D\to F</math> une application et <math>a\in \bar{\mathcal D}</math>. :<math>\lim_{x\to a}f(x)=\ell</math> si et seulement si pour toute suite <math>(u_n)</math> de <math>\mathcal D</math> convergeant vers <math>a</math>, on a <math>\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=\ell</math>. En particulier, si <math>a \in \mathcal{D}</math>, <math>f</math> est continue en <math>a</math> si et seulement si pour toute suite <math>(u_n)</math> de <math>\mathcal D</math> convergeant vers <math>a</math>, on a <math>\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f(a)</math>. }} ;Remarque : *On déduit immédiatement de ce résultat l'unicité de la limite des fonctions, ainsi que la linéarité de la limite de fonction et de la continuité en utilisant la linéarité de la limite des suites. Plus précisément, si <math>f,\ g</math> sont deux fonctions continues en un point <math>a\in \mathcal{D}</math>, alors <math>\forall \lambda \in \mathbb{K}</math> la fonction <math>\lambda f+g</math> est continue. *Pour montrer qu'une application n'est pas continue en <math>a</math>, il suffit de trouver une suite <math>(u_n)</math> qui converge vers <math>a</math> et telle que la suite <math>(f(u_n))</math> ne converge pas vers <math>f(a)</math>. Une des opérations fondamentales sur les fonctions est la composition de deux fonctions, il est donc important de savoir si la composée de deux fonctions continues est encore continue. La propriété suivante nous assure que c'est bien le cas, et elle sera très pratique pour savoir si des fonctions sont continues en un point, ou sur une partie de <math>E</math>. {{Propriété|titre=Propriété : composition|contenu= Soient <math>E,\ F,\ G</math> trois e.v.n. Soient <math>a\in E</math>, <math>f:E\to F</math> une fonction continue en <math>a</math>, et <math>g:F\to G</math> une fonction continue en <math>f(a)</math>. Alors <math>g \circ f</math> est continue en <math>a</math>. En particulier, si <math>f</math> est continue sur une partie <math>A \subset E</math> et si <math>g</math> est continue sur <math>f(A)</math>, alors <math>g \circ f</math> est continue sur <math>A</math>. }} Nous avons introduit dans le chapitre précédent la notion de normes équivalentes, et nous allons maintenant voir l'utilité de cette notion. En effet, les limites de suites et la continuité dépendent de la norme choisie, aussi nous devons savoir si la continuité est conservée si l'on change de norme par une norme équivalente sur l'espace d'arrivée et/ou de départ. La proposition suivante va nous assurer que la continuité est préservée. {{Propriété |contenu = Considérons <math>\| \cdot \|_E,\ N_E</math> deux normes équivalentes sur <math>E</math>, et <math>\| \cdot \|_F,\ N_F</math> deux normes équivalentes sur <math>F</math>. *Soit <math>(u_n)</math> une suite convergente dans <math>(E,\| \cdot \|_E)</math>, alors <math>(u_n)</math> converge dans <math>(E,N_E)</math>. *Soit <math>f\ :\ (E,\| \cdot \|_E)\ \to \ (F,\| \cdot \|_F) </math> une application continue, alors <math>f\ :\ (E,N_E)\ \to \ (F,N_F) </math> est encore continue. }} {{Démonstration déroulante |contenu = :Démontrons le premier point, le second se démontrant de façon similaire. :Soit <math>(u_n)</math> une suite convergente dans <math>(E,\| \cdot \|_E)</math>, notons <math>\ell</math> sa limite. :Comme <math>\| \cdot\|_E</math> et <math>N_E</math> sont équivalentes, <math>\exists C>0,\ \forall x \in E,\ N_E(x)<C\|x\|_E</math>. Ainsi, <math>N_E(x_n-\ell)<C\|x_n-\ell\|_E \to 0</math>, ce qui termine la preuve. }} ;Remarque : *Cette propriété est particulièrement utile en pratique car pour montrer la continuité d'une application, on peut choisir la norme qui nous arrange le plus parmi toutes les normes équivalentes à celle de départ. En particulier, nous allons voir qu'en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, ce qui nous permettra de travailler avec la norme de notre choix. *Cette propriété est également valable pour la continuité uniforme ou le fait d'être lipschitzienne, qui sont des notions que nous allons introduire dès maintenant mais que nous n'avons pas intégrées à l'énoncé pour ne pas alourdir outre mesure. ===Continuité uniforme=== Voyons maintenant une notion plus subtile que la continuité simple : la continuité uniforme. Encore une fois, la définition est similaire à celle donnée pour les fonctions réelles à condition de remplacer les valeurs absolues par la normes. {{Définition | titre = Définition : [[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|continuité uniforme]] | contenu = On dit que <math>f</math> est uniformément continue sur <math>\mathcal D</math> si : <div style="text-align: center;"><math>\forall \varepsilon>0\quad\exist\delta>0\quad\forall x,y\in\mathcal D\quad\|x-y\|<\delta\Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \varepsilon</math>.</div>}} ;Remarque : *On attire le lecteur sur l'inversion des quantificateurs par rapport à la définition de la continuité qui fait la subtilité de cette notion. Ici, le réel <math>\delta</math> est valable pour tout <math>x,\ y \in \mathcal D</math> contrairement à la continuité. *On voit ici que la continuité uniforme est une notion globale, alors que la continuité possède deux facettes : l'une locale et l'autre globale. *La continuité uniforme n'est pas une notion topologique : il n'existe pas de caractérisation à l'aide d'ouverts ou de voisinages. La proposition suivante, qui découle immédiatement de la définition, justifie en quelque sorte le vocabulaire utilisé. Il faut retenir que la continuité uniforme est plus forte que la continuité. {{Propriété|contenu=Toute fonction uniformément sur <math>\mathcal D</math> continue est continue sur <math>\mathcal D</math>. }} Pour terminer, on introduit une nouvelle classe de fonctions que l'on appelle les fonctions lipschitziennes. Nous verrons qu'elles sont un cas particulier de fonctions uniformément continues dont la caractérisation est souvent plus simple. {{Définition | titre = Définition : [[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|fonctions lipschitziennes]] | contenu = Soit <math>k\in \R^+</math>. On dit que <math>f</math> est <math>k</math>-lipschitzienne sur <math>\mathcal D</math> si <div style="text-align: center;"> <math>\forall x,y \in \mathcal D\quad\|f(x)-f(y)\|_F\le k\|x-y\|_E</math>. </div>}} L'intérêt des fonctions lipschitziennes est que l'on a une idée de comment elle transforme les distances au sein de nos espaces comme nous l'assure la définition. En comparant les définitions, le lecteur devrait être convaincu qu'il est plus facile de démontrer qu'une fonction est lipschitzienne qu'uniformément continue, ce qui va être pratique au vu de la proposition suivante, dont la démonstration sera également laissée en exercice. {{Propriété | Toute fonction lipschitzienne sur <math>\mathcal D</math> est uniformément continue sur <math> \mathcal D</math> (et donc continue). }} ==Cas particulier des applications linéaires== En algèbre linéaire, les [[Application linéaire|applications linéaires]] jouent un rôle fondamental. Il est donc logique de se demander comment elles se comportent vis-à-vis de la norme, c'est-à-dire si elles sont continues ou non. Il se trouve que pour les applications linéaires la continuité et le fait d'être K-lipschitzienne sont équivalentes, ce qui simplifie l'étude. Nous verrons dans un chapitre ultérieur qu'en dimension finie toutes les applications linéaires sont continues, ce qui est faux en dimension infinie. Les différentes propriétés que nous allons voir s'utiliseront constamment en analyse fonctionnelle en particulier. {{Théorème | titre = Théorème : continuité des applications linéaires|contenu = Soit <math>f:E\to F</math> une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes : #<math>f</math> est continue ; #<math>f</math> est continue en <math>0</math> ; #l'image par <math>f</math> de toute de toute boule de centre <math>0</math> (donc de toute partie bornée) est bornée ; #l'image par <math>f</math> de la boule unité fermée est bornée (autrement dit : <math>\sup_{\|x\|\le1}\|f(x)\|<\infty</math>) ; #<math>\exist K\ge0\quad\forall x\in E\quad\|f(x)\|\le K\|x\|</math> ; #<math>f</math> est lipschitzienne ; #<math>f</math> est uniformément continue.}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède de manière « circulaire » (<math>1\Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow \dots \Rightarrow 7 \Rightarrow 1</math>). Les implications (1⇒2), (3⇒4), (6⇒7) et (7⇒1) sont immédiates. Les implications restantes utilisent la linéarité de <math>f</math> et l'homogénéité de la norme : *(2⇒3) : soit η > 0 tel que ║''z''║ ≤ η ⇒ ║''f''(''z'')║ ≤ 1. Si ║''x''║ ≤ ''R'', en posant ''z'' = (η/''R'')''x'' on obtient : ║''f''(''x'')║ = (''R''/η)║''f''(''z'')║ ≤ ''R''/η. *(4⇒5) : Soit <math>K</math> un majorant de <math>\{\|f(x)\|\mid\|x\|\le1\}</math>. Pour tout vecteur <math>x\ne0</math> de <math>E</math>, en posant <math>u=x/\|x\|</math>, on a donc <math>\|f(u)\|\le K</math>, et <math>\|f(x)\|=\left\|f(\|x\|u)\right\|=\|x\|\,\|f(u)\|\le K\|x\|</math>. L'inégalité est aussi vérifiée pour <math>x=0</math>. *(5⇒6) : <math>\forall z\in E\quad\|f(z)\|\le K\|z\|\Rightarrow\forall x,y\in E\quad\|f(x)-f(y)\|=\|f(x-y)\|\le K\|x-y\|</math>. }} D'après cette démonstration, la [[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|constante de Lipschitz]] de <math>f</math> est alors égale à <math>\sup_{x\ne0}\frac{\|f(x)\|}{\|x\|}<\infty</math> (le plus petit <math>K\ge0</math> vérifiant la propriété 5) ainsi qu'à <math>\sup_{\|x\|\le1}\|f(x)\|</math>. On va ainsi pouvoir construire une norme sur l'espace vectoriel des applications linéaires continues comme le montre le théorème suivant. {{Théorème | titre = Théorème et définition : e.v.n. des applications linéaires continues|contenu ={{Wikipédia|Norme d'opérateur}} L'ensemble <math>\mathcal L(E,F)</math> des applications linéaires continues de <math>E</math> dans <math>F</math> est un e.v.n. pour la norme : <div style="text-align: center;"><math>|\!|\!|\cdot|\!|\!|: f\mapsto\sup_{\|x\|\le 1} \|f(x)\| = \sup_{x\in E} \frac{\|f(x)\|}{\|x\|}</math>,</div> dite '''norme subordonnée''' (aux normes choisies sur <math>E</math> et <math>F</math>). On la note aussi parfois <math>\|.\|_{\mathcal L (E,F)}</math>, s'il est nécessaire de préciser les espaces de départ et d'arrivée}} {{Démonstration déroulante|contenu = * Montrons que <math>\mathcal L(E,F)</math> est un <math>\R</math>-espace vectoriel. Pour cela, on va montrer qu’il s'agit d'un sous-espace vectoriel de <math>\mathrm L(E,F)</math> : ** l’application nulle <math>0</math> appartient à <math>\mathcal L(E,F)</math> : elle est continue car constante ; ** soient <math>f,g\in\mathcal L(E,F)</math> et <math>\lambda\in\R</math>. Alors l'application (linéaire) <math>\lambda f + g</math> est continue (par [[#Linéarité de la limite|linéarité de la limite]]). On en conclut bien que <math>\mathcal L(E,F)</math> est un (sous-)espace vectoriel (de <math>\mathrm L(E,F)</math>). * Montrons maintenant que <math>|\!|\!|\cdot|\!|\!|: f \mapsto\sup_{\|x\|\le 1} \|f(x)\|</math> définit bien une norme sur <math>\mathcal L(E,F)</math> : ** il est clair que <math>|\!|\!|f|\!|\!|\ge 0\;\forall f\in\mathcal L(E,F)</math> et que <math>|\!|\!|f|\!|\!|= 0 \Rightarrow f = 0</math> (si <math>\sup_{\|x\| \le 1} \|f(x)\| = 0</math> alors <math>f</math> est nulle sur la boule unité de <math>E</math> et est donc nulle sur <math>E</math> entier par linéarité) ; ** <math>\forall \lambda\in \R\quad|\!|\!|\lambda f|\!|\!|= \sup_{\|x\| \le 1} \|\lambda f(x)\| = \sup_{\|x\| \le 1} |\lambda|\|f(x)\| = |\lambda|\sup_{\|x\| \le 1} \|f(x)\| = |\lambda||\!|\!|f|\!|\!|</math> ; ** on procède de même pour l'inégalité triangulaire.}} ;Remarques : :*Ne pas confondre <math>L(E,F)</math> (l'espace des applications linéaires) et <math>\mathcal{L}(E,F)</math> (le sous-espace des applications linéaires continues). :*Nous avons vu que lors d'un changement de norme par une norme équivalente, l'espace des fonctions continues était inchangé. Cependant, la nouvelle norme subordonnée ainsi obtenue sera alors différente de la première mais malgré tout équivalente. Voyons maintenant comment cette norme se comporte vis-à-vis de la composition des applications linéaires : {{Propriété |contenu = Soient <math>(E,\|.\|_E)</math>, <math>(F,\|.\|_F)</math> et <math>(G,\|.\|_G)</math> trois e.v.n., et <math>f\in \mathcal{L}(E,F),g\in \mathcal{L}(F,G) </math>. Alors, <math>g\circ f \in \mathcal{L}(E,G)</math> et <math>\|g\circ f\|_{\mathcal{L}(E,G)}\leq \|g\|_{\mathcal{L}(F,G)}\|f\|_{\mathcal{L}(E,F)}</math>. }} {{Démonstration déroulante |contenu = On sait déjà que la composée de deux applications linéaires est linéaire. Il reste donc à démontrer l'inégalité sur les normes (qui prouvera la continuité de <math>g\circ f</math>). Soit <math>x\in E</math>. Par définition des normes subordonnées, on a : :<math>\|g\circ f (x)\|_G\leq \|g\|_{\mathcal{L}(F,G)}\|f(x)\|_F \leq \|g\|_{\mathcal{L}(F,G)}\|f\|_{\mathcal{L}(E,F)}\|x\|_E</math>, ce qui prouve l'inégalité voulue, par définition de la borne supérieure. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Définitions - Éléments de Topologie/]] | suivant = [[../Compacité/]] }} sl1227k4l65wrzpradj7tpgmivdwoso 104 80749 881151 881144 2022-08-07T10:49:34Z Psychoslave 2753 -oise wikitext text/x-wiki <blockquote>🚧 À faire&nbsp;: * lister les suffixes féminin/masculin usuels, les réifier par des diacritiques * aller au-delà dans les alternatives sexuées&nbsp;: commun, mixte, non-binaire, etc. (pour les noms communs de personnes uniquement) * analyse des suffixes communs en français, cf https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&pagefrom=gate%0A-gate#mw-pages *analyser les propositions dans https://lavieenqueer.wordpress.com/2018/07/26/petit-dico-de-francais-neutre-inclusif/ *analyser l’existant de suffixes comme -us, -um, -ul -os pour former des dérivés marquant un genre manifeste (masculin, neutre…), en considérant -euse/-esse comme le modèle protypique à suivre *trouver une copie de Khaznadar, Edwige (2000) "La suffixation du masculin et du féminin dans l’alternance en genre en français : de la réalité contemporaine et de quelques vieilles lunes » *décrire la méthodologie retenue : croiser les suffixes documentés aux terminaisons phonologiques en usage pour prioriser sans limiter les morphes suffixaux envisagés sous le prisme statistique de l'existant </blockquote>L’objectif de cette section est de faire un relevé des pratiques existantes et de proposer une liste de suffixes utilisables pour exprimer de manière ostentatoire tout ou partie des catégories de genre décrites dans les sections précédentes, en limitant autant que possible les collisions conflictuels avec les usages déjà plus ou moins bien ancrés. Outre le genre, les notions connexes comme la dénomination d’un groupe indéterminant seront intégrés à la recherche. Pour le formuler par un exemple concret les cas tels que ''lectorat'' comparativement à ''lecteur'' et ''lectrice'' seront pris en compte comme prototype à calquer et étendre pour y adjoindre des formes ostantoirement marqués pour d’autres catégories de genre. Les sections précédentes ont permis d’établir que dans une majeure partie des cas, les morphologies suffixales ne suffisent pas à déterminer la valeur d'un genre flou. En prenant en compte aussi bien l’oral que l’écrit, seul ''-çonne'' et ''-sion'' fourni un ensemble de termes associés au genre ambigu. Cependant de nombreux suffixes démontrent un taux de corrélation à un genre flou, qui empiriquement est également associé à une sémantique sexuante dans le cas où ils désignent des entités vivantes. Ainsi, dans la plupart des cas, ''-euse'' et ''-esse'' permettent de rajouter le trait sémantique ''féminin'' ou ''femelle'' sur une base de genre flou, ce qui en fait un suffixe de genre quasi-complètement ostentatoire. Par exemple ''une ânesse'' porte sans conteste la supposition du trait ''femelle'', tandis qu’''un âne'' demeure équivoque tant que n’y est pas adjoint un épithète ''femelle'' ou ''mâle''. Par ailleurs, si l'usage emploi bien ''ânon'' pour désigné un représentant juvénile de l’espèce, il ne semble pas retenir ''ânanonne'' pour stipuler l'âne ''impubère femelle''. Pourtant le suffixe -onne est pleinement actif dans l'usage, et se retrouve avec cette sémantique dans des termes comme ''aiglonne'', ou ''oursonne''. Au passage le terme ''ânonne'' est usuel comme flexion du verbe ''ânonner'' : mettre bas un ânon. Il existe également ''baudet'', qui s'appuie donc sur une base lexicale totalement distinct, et qui parfois désigne plus spécifiquement le mâle, bien que au moins par extension il puisse être employé comme simple synonyme d’âne. De même pour bourrique qui s’emploie selon les contextes plutôt pour désigner spécifiquement une femelle, ou comme synonyme générique d'''âne''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=le|prénom1=Par Damien|titre=Âne, mulet, mulet, bardot, bardote ou baudet|url=https://omnilogie.fr/O/Âne,_mulet,_mulet,_bardot,_bardote_ou_baudet|site=Omnilogie|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Même lorsqu’une base produit d'avantage de dérivés, l'usage n'est pas nécessairement uniforme. Ainsi sur à partir de ''zèbre'' les locuteurs construisent spontanément aussi bien ''zèbresse'' que ''zèbrelle'' pour désigner la femelle, zébreau, zébrion et zébron pour le membre juvénile, ''zèbrette'' ou ''zébronne'' pour la femelle juvénile<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une nouvelle zèbrelle dans la jungle ; rouge et jaune à petits pois ...|url=https://www.zebrascrossing.net/t18706-une-nouvelle-zebrelle-dans-la-jungle-rouge-et-jaune-a-petits-pois|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref> – ''zébrionne'' connaît au moins une attestation mais pour référer à une jeune fille [[w:surdoué|haut potentiel intellectuel]]<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Quels sont vos rapports avec vous même ?|url=https://www.zebrascrossing.net/t30580-quels-sont-vos-rapports-avec-vous-meme|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À cela s'ajoute l’appellation de ''poulain,'' voir ''pouliche'' s'il s'agit d'une femelle – auquel il faudrait probablement ajouter l’alternative ''pouline''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Un poulain zèbre rare à pois repéré au Kenya {{!}} Mont Blanc|url=https://montblanczone.com/fr/un-poulain-zebre-rare-a-pois-repere-au-kenya/|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=par|titre=Comment appelle-t-on un bébé zèbre ? - Spiegato|url=https://spiegato.com/fr/comment-appelle-t-on-un-bebe-zebre|date=2021-06-10|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À noter que pouliche sous-entend parfois le trait ''nullipare''<ref>{{Lien web|titre=POULICHE : Définition de POULICHE|url=https://www.cnrtl.fr/lexicographie/pouliche|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Ce calque du vocabulaire épique se prolonge pour les adultes avec l’usage d’''étalon'' pour les mâles et ''juments'' pour les femelles<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on un zèbre mâle?|url=https://www.reponserapide.com/comment-appelle-t-on-un-zebre-male-15801.php|site=www.reponserapide.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Dans certains cadres, les sémantiques attachées à chaque terme basé sur ''zèbr/'' sont plus précises : par exemple ''zébreau'' désignera exclusivement le juvénile mâle, et zébrelle exclusivement la juvénile femelle<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le zèbre : description, lieu de vie, alimentation, reproduction des zèbres|url=https://www.jaitoutcompris.com/animaux/le-zebre-20.php|site=www.jaitoutcompris.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Le constat d'adoption de stratégie variées par les locuteurs vaut tout autant quand le terme de base est de genre ambigu plutôt qu'équivoque. Ainsi pour ''girafe'', il existe des emplois des termes ''taureau'' pour le mâle et ''vache'' pour la femelle<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on une girafe mâle ?|url=https://fr.411answers.com/a/comment-appelle-t-on-une-girafe-male.html|site=fr.411answers.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Pour les juvéniles, ''girafon'' et ''girafeau'' sont courants, ''tandis que girafonne'' plus rare perce parfois dans la presse quotidienne<ref>{{Lien web|langue=FR-fr|titre=Histoire. Le périple de la girafe qui remplit actuellement les salles obscures est lié à la Bourgogne.. La grande marche de Zarafa|url=https://www.bienpublic.com/cote-d-or/2012/02/26/la-grande-marche-de-zarafa|site=www.bienpublic.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>, là où girafette relève plus de la littérature jeunesse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Girafette va en classe|url=https://kedemoseducation.com/fr/produit/girafette-va-en-classe/|site=Kedemos Education|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Girafon et Girafette|url=https://www.ricochet-jeunes.org/livres/girafon-et-girafette|site=www.ricochet-jeunes.org|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Quand à ''girafelle'', il semble principalement employé comme pseudonyme, et relève donc plutôt de la construction particularisante<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Sculptures Buissonnières|url=https://fr-fr.facebook.com/sculpturesbuissonnieres/posts/pfbid0AGR2CFmogRE6y1sNfzzwNrPsA8ix26nrFHPabJWBkzcimap6HGK7z14JGofE2Zkgl|site=fr-fr.facebook.com|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Inc|prénom1=Depositphotos|titre=Girafelle images vectorielles, Girafelle vecteurs libres de droits|url=https://fr.depositphotos.com/vector-images/girafelle.html|site=Depositphotos|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Certains vocables des sexués peuvent être considéré à des degrés divers comme dépourvu de tout alternative lexicale en genre. Ainsi dans certains cadres ''moineau'' est considéré exempt de déclinaison en genre, bien que ''moinelle'' soit couvert dans plusieurs dictionnaires<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Barbara|prénom1=Rahma|titre=Cours de morphologie|url=https://elc.hypotheses.org/155|site=Études linguistiques|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|titre=MOINELLE : Définition de MOINELLE|url=https://www.cnrtl.fr/definition/moinelle|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=moinelle|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-13|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=moinelle&oldid=30376651|consulté le=2022-08-04}}</ref>. D'autres termes, comme ''mésange'', n’ont aucun pendant pour désigner spécifiquement un individu femelle ou mâle : les seuls dérivés tel ''mésangeai'' et ''mésangère'' désignent des espèces, quand à ''mésangette'' il s’emploie tout autant pour désigner une cage, une espèce qu’à une fin hypocoristique. Dans certains cas le terme usuel s’emploie aussi bien au genre flou qu’au genre équivoque. Le flou sémantique est moindre si un genre prévaut dans l’usage pour désigner l’espèce en général : ''une aigle'', ''une hippopotame'', indiquera assurément le trait femelle. Dans le cas où l'usage général hésite, comme ''orque'', le flou est maintenu si le contexte ne précise rien d’avantage. Statistiquement, sur une annexe spécifique de quelques 257 termes pour désigner des animaux, le Wiktionnaire présente 135 termes correspondant pour désigner plus spécifiquement des individus juvéniles – soit 58&nbsp;%, 81 pour désigner les femelles – soit 35&nbsp;% et 47 termes pour désigner les mâles – soit 20&nbsp;%<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Listes des noms d’animaux|url=https://vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca/24425/la-grammaire/le-nom/genre-des-noms/listes-des-noms-danimaux|site=vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Les autres collections du même genre ne semblent pas fournir de listes plus exhaustives<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Animaux communs en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-03|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Animaux_communs_en_fran%C3%A7ais&oldid=30334042|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les animaux : le mâle, la femelle, le petit et leur cri|url=https://www.espacefrancais.com/les-animaux-le-male-la-femelle-le-petit-et-leur-cri/|site=EspaceFrancais.com|date=2012-06-29|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Amandine|titre=Les animaux : le mâle, la femelle et le petit|url=http://blog.jolicours.com/les-femelles-petits-animaux-male/|site=Le blog de Jolicours.|date=2017-05-03|consulté le=2022-08-04}}</ref>. De fait, il n'existe pas de mécanisme systématique uniforme et univoque pré-existant pour la construction de lexies dérivant un nom de sexué générale vers des variantes désignant spécifiquement femelle ou mâle, encore moins conjugué aux considérations d'age, de nubilité ou d'''arithmoparité'' – nombre de mise bas déjà réalisées. Pour rappel, les formes de noms flous pour des entités sexuées, comme ''âne'', laissent évasif jusqu’à l’intention exact du locuteur qui les emploi&nbsp;: * le sexe n’est pas spécifié parce que dans la perspective du locuteur il est sans importance pour le propos&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce qu’il importe pour le locuteur de ne pas le révéler&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce que le locuteur l’ignore. {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |Suffixe ! colspan="4" |Nombre d’emploi correspondant dans le flou du français usuel ! rowspan="2" |Remarques |- !Graphie !Prononciation !Total !Ambigü !Équivoque !Ambigü-équivoque |- | -os |/ɔs/ |74 |4 |60 |10 |À ''hardos'' pourrait répondre ''hardesse'' qui semble sans emploi actuellement. Distinguer donc l’appairage à -esse de celui fait à -euse. En effet ''hardeuse'' répond à ''hardeur'' qui sont des termes de tout autre sens. |- | -euf | | | | | |à évaluer comme complément à -euse |- | -or | | | | | | |- | -yphe | | | | | |Voir hyphe |- | -aire | | | | | | |- | -ure | | | | | | |- | -ir | | | | | | |- | -us | | | | | | |- | -um | | | | | | |- | -öm |/øm/ | | | | | |- | -ab | | | | | | |- | -acque |/ak/ | | | | | |- | -ade | | | | | | |- | -aphe |/af/ | | | | | |- | -ague |/ag/ | | | | | |- | -age |/aʒ/ | | | | | |- | -alle |/al/ | | | | | |- | -ame | | | | | | |- | -ane |/ane/ | | | | | |- | -eux | | | | | | |- | -oïde | | | | | | |- | -erie | | | | | | |- | -eur | | | | | | |- | -ité | | | | | | |- | -tude | | | | | | |- | -isme | | | | | | |- | -tique | | | | | | |- | -esque | | | | | | |- | -vore | | | | | | |- | -phile | | | | | | |- | -âtre | | | | | | |- | -ment | | | | | | |- | -o | | | | | | |- | -voque |/vɔk/ |2 |0 |2 |0 | |- | -ura |/y.ʁa/ |14 |5 |9 |0 |Parmi les 14 noms inventoriés, 3 réfèrent à des vivants sexués : ''datura'', ''sakura'' et ''singapura''. Les deux premiers sont des végétaux et le dernier une espèce de chat – également nommé ''singapour''. Le latin emploie ''-ura'' comme suffixe de mots féminins abstraits à partir de la base du supin ou du parfait de verbes. Les termes français en -ura n'ont cependant pas une origine uniforme, par exemples ''mura'' et ''sakura'' viennent du japonais, ''datura'' et ''singapura'' du sanskrit, ''pandura'' et ''purpura'' du latin. Les dérivés français des mots latins en ''-ura'' opèrent majoritairement un glissement vers le suffixe -ure. |- | -ois |/wa/ |344 | | | |Comme pour les autres statistiques de ce tableau, ces nombres exclus les gentilés. Pour cette entrée cependant il faut noter que gentilés inclus, le répertoire passe à 11&nbsp;402 noms. |- | | | | | | | |} {| class="wikitable" |+Proposition d'équivalences suffixales coordonnées ! colspan="3" |Équivalences flous ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! rowspan="2" |Remarques |- !Ambigu !Équivoque !Amibgu- équivoque !Alter-sexualisant<ref group="N">Colonne construite autours de ''-iel-''.</ref> !Féminin<ref group="N">Colonne counstruite autours de la lettre ''u''. Emploi de -u- ou -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. Solution de repli sur -ul- en certains cas.</ref> !Générique<ref>Colonne construite autours de -a-, -al- en première solution de repli, et -ial- en seconde solution de repli par analogie avec -iel-.</ref> !Inanimé<ref group="N">Colonne construite autours de ''-o-'' en priorité, avec ogonek lorsque l'évitement d'une homographie le justifie ; puis utilisation de ''-ol-'' en première solution de repli.</ref> !Masculin<ref group="N">Construit sur -i- en priorité. Ajout d'un accent grave au besoin.</ref> |- | -oise | -ois | -ense -isque | -iel | -ière | -isaire | -ior | -ier |Le suffixe -ois dérive de l’ancien bas vieux-francique ''-isk'' ou du latin -ensis<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ois|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-15|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ois&oldid=30386049|consulté le=2022-08-07}}</ref>. En espagnol, en italien et portugais ''-ense'' permet de construire des gentilés épicènes<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ense|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-05-22|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ense&oldid=27967619|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Le suffixe -isaire se retrouvent dans garnisaire et indivisaire et leurs dérivés, tous employables de manière identique quel que soit le genre, contrairement à ''isaire'' attesté uniquement en<ref>{{Lien web|titre=*isaire - Graphies|url=https://anagrimes.toolforge.org/chercher_graphie.php?graphie=*isaire&langue=fr&type=&genre=&liste=table&liste=table#liste|site=anagrimes.toolforge.org|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Des attestations de ''villagier''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Mis à part l’homme, quel est le prédateur le plus dangereux ?|url=https://fr.quora.com/Mis-à-part-l-homme-quel-est-le-prédateur-le-plus-dangereux|site=Quora|consulté le=2022-08-05}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Nicolas|prénom1=Bonnal|titre=L’exception américaine|url=https://www.les4verites.com/international/lexception-americaine|site=Les 4 Vérités Hebdo - La publication anti bourrage de crâne|date=2008-09-15|consulté le=2022-08-05}}</ref> en nom, ou villagière<ref>{{Lien web|titre=Legend (REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier)|url=https://maps.natureconservancy.ca/arcpub/rest/services/REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier/MapServer/legend|site=maps.natureconservancy.ca|consulté le=2022-08-05}}</ref> en adjectif se trouvent déjà sur la toile. |- | -aise | -ais | | | | | | | |- | -esse -euresse -euse | -eur | | -ieũr* | -ures* | -aire* | -or | -ir |Les extensions ostentatoires sont ici largement calées sur les entrées pour ''leur'' dans la section dédiée aux mots grammaticaux. |- | -trice | -teur | | | | | | | |- | colspan="8" | -voque |Si les deux substantifs connus que sont ''univoque'' et ''multivoque'' sont équivoques, l'ensemble des adjectifs en -voque, dont eux-mêmes dérivent, sont identiques pour tous les accords en genre. |} Pour aller plus loin dans l’exploration des suffixes nominaux, il sera opportun de consulter les références afférentes<ref>{{Lien web|nom1=Camus|prénom1=Laurent|titre=Suffixes|url=https://www.francaisfacile.com/cgi2/myexam/voir2.php?id=95684|site=www.francaisfacile.com|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Gaston|nom1=Zink|titre=Noms et adjectifs suffixés dans le Testament de Villon (éd. A. Longnon - L. Foulet, Paris, Champion)|périodique=L'information grammaticale|volume=56|numéro=1|date=1993|doi=10.3406/igram.1993.3170|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1993_num_56_1_3170|consulté le=2021-12-24|pages=42–45}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Catégorie:Suffixes en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-01-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&oldid=29089207|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref name=":33" /><ref name=":34">{{Article|prénom1=Edwige|nom1=Khaznadar|titre=Apport de la francophonie dans la dénomination de la femme et de l'homme|périodique=Nouvelles Études Francophones|volume=24|numéro=1|date=2009|issn=1552-3152|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25702188|consulté le=2021-12-24|pages=100–111}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Antoine|nom1=Di-Lillo|titre=Il n’y a pas de suffixe -ateur en français. Voyons ! (I)|périodique=Meta : journal des traducteurs / Meta: Translators' Journal|volume=27|numéro=3|date=1982|issn=0026-0452|issn2=1492-1421|doi=10.7202/002569ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/meta/1982-v27-n3-meta297/002569ar/|consulté le=2021-12-24|pages=319–330}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Christian|nom1=Devos|titre=André (Jacques). Emprunts et suffixes nominaux en latin|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=56|numéro=2|date=1978|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1978_num_56_2_5516_t1_0453_0000_1|consulté le=2022-08-02|pages=453–454}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Louis|nom1=Deroy|titre=E. Benveniste, Noms d'agent et noms d'action en Paris|périodique=L'Antiquité Classique|volume=19|numéro=1|date=1950|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1950_num_19_1_2914_t1_0217_0000_2|consulté le=2022-08-02|pages=217–221}}</ref><ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Winther|titre=Un point de morpho-syntaxe : la formation des adjectifs substantivés en français|périodique=L'information grammaticale|volume=68|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/igram.1996.3023|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1996_num_68_1_3023|consulté le=2022-08-02|pages=42–46}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Michèle|nom1=Verdelhan-Bourgade|titre=Procédés sémantiques et lexicaux en français branché|périodique=Langue française|volume=90|numéro=1|date=1991|doi=10.3406/lfr.1991.6196|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1991_num_90_1_6196|consulté le=2022-08-02|pages=65–79}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=John|nom1=Reighard|titre=Contraintes sur le changement syntaxique|périodique=Cahier de linguistique|numéro=8|date=1978|issn=0315-4025|issn2=1920-1346|doi=10.7202/800073ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/cl/1978-n8-cl3102/800073ar/|consulté le=2022-08-02|pages=407–436}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Margit|nom1=Köski|prénom2=Láslò|nom2=Garaï|prénom3=Paul|nom3=Wald|titre=Les débuts de la catégorisation sociale et les manifestations verbales : une étude longitudinale|périodique=Langage & société|volume=4|numéro=1|date=1978|doi=10.3406/lsoc.1978.1068|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lsoc_0181-4095_1978_num_4_1_1068|consulté le=2022-08-02|pages=3–30}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Pierre|nom1=Hamblenne|titre=Vocabulaire latin (mots en ...eus) et analyse linguistique. 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