Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 108 1078 881237 881232 2022-08-12T13:11:36Z JackPotte 2411 Révocation des modifications de [[Special:Contributions/41.140.15.25|41.140.15.25]] ([[User talk:41.140.15.25|discussion]]) vers la dernière version créée par [[User:Crochet.david.bot|Crochet.david.bot]] wikitext text/x-wiki [[Fichier:Gnome-terminal.svg|175px|left]]La programmation dans le domaine informatique est l’ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C’est une étape importante de la conception de logiciel (voire de matériel). Pour écrire le résultat de cette activité, on utilise un langage de programmation. La programmation représente usuellement le codage, c'est-à-dire la rédaction du code source d’un logiciel. On utilise plutôt le terme développement pour dénoter l’ensemble des activités lié à la création d’un logiciel. Attention, cela est difficile. Il faut étudier ce département intensivement et souvent. {{Autocat}} evq7mbl1djsuylp464uebwc5yk3k4e7 0 24407 881238 785154 2022-08-12T13:22:51Z 78.115.16.110 /* Introduction */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre citrique de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{esp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{esp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,06 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}}''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66056x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * x K = x {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F -32)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 09obhquhkxscxti32sgzvlwjud140tu 881240 881238 2022-08-12T14:20:24Z 78.115.16.110 /* Introduction */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. 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L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au 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background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #FFCC33; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. 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À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left: 5%;"> <p style="color:#444444; font-weight: bold; font-size: 116%; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l'anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background: #FFCC33; padding: .3em; margin: 10px 5% 0 65%; text-align: center; border-radius: 10px;">[[Spécial:Créer un compte|'''Créer un compte''' →]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue positivement et semble connaître les principes de base de l'encyclopédie : précisez votre pseudo et signez. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP méritante|Pseudo|sign=~~~~|message=}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue IP}} * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} * {{m|Bienvenue nouveau}} * [[Wikiversité:Vandalisme en cours|Vandalisme en cours]], [[Aide:Vandalisme|que faire en cas de vandalisme]] }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP méritante]] </noinclude> pmr6ijkryzkw11t13axndo39qftr8x1 881250 881246 2022-08-12T15:44:58Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #FFCC33; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vous contacte à propos de vos apports à Wikiversité, qui sont de qualité. Merci ! ❤️ Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : invisibilisation de votre adresse IP, identité fixe, possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent·e]], possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left: 5%;"> <p style="color:#444444; font-weight: bold; font-size: 116%; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l'anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background: #FFCC33; padding: .3em; margin: 10px 5% 0 65%; text-align: center; border-radius: 10px;">[[Spécial:Créer un compte|'''Créer un compte''' →]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue positivement et semble connaître les principes de base de l'encyclopédie : précisez votre pseudo et signez. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP méritante|Pseudo|sign=~~~~|message=}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue IP}} * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} * {{m|Bienvenue nouveau}} * [[Wikiversité:Vandalisme en cours|Vandalisme en cours]], [[Aide:Vandalisme|que faire en cas de vandalisme]] }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP méritante]] </noinclude> 71mcgyfd8j38bocmcs8leumpfvhn1a9 881251 881250 2022-08-12T15:48:53Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #FFCC33; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vous contacte à propos de vos apports à Wikiversité, qui sont de qualité. Merci ! ❤️ Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : invisibilisation de votre adresse IP, identité fixe, possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent·e]], possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM #noNATU) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left: 5%;"> <p style="color:#444444; font-weight: bold; font-size: 116%; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l'anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444444; font-weight: bold; border-bottom: 1px dotted #FFCC33; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background: #FFCC33; padding: .3em; margin: 10px 5% 0 65%; text-align: center; border-radius: 10px;">[[Spécial:Créer un compte|'''Créer un compte''' →]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue positivement et semble connaître les principes de base de l'encyclopédie : précisez votre pseudo et signez. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP méritante|Pseudo|sign=~~~~|message=}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue IP}} * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} * {{m|Bienvenue nouveau}} * [[Wikiversité:Vandalisme en cours|Vandalisme en cours]], [[Aide:Vandalisme|que faire en cas de vandalisme]] }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP méritante]] </noinclude> q1e8ak4paydbunt4erb5bmdibr6yv8f 10 47684 881243 881174 2022-08-12T15:35:08Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #00af89; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vois que vous faites vos premiers pas avec enthousiasme ; je vous en félicite. 👍 Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un compte utilisateur poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : * invisibilisation de votre adresse IP * identité fixe * suivi des pages * possibilité de s'inscrire comme [[Aide:Référent|référent(e)]] * brouillon personnel * possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left:5%;"> <p style="color:#444; font-weight: bold; font-size: 100%;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] * [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]] ou [[Aide:Comment créer un travail de recherche|un travail de recherche]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l’anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background:#00af89;padding:.3em;margin:10px 5% 0 65%;text-align:center; border-radius:10px;">[[Special:CreateAccount|<span style="color:#FFFFFF"> '''Créer un compte''' → </span>]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP|sign=~~~~|message="Blablabla"}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue nouveau}}, pour accueillir un nouvel inscrit. * {{m|Bienvenue IP méritante}} pour inviter à s’inscrire. * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP]] [[Catégorie:Modèle à subster]] [[Catégorie:Modèle message bienvenue]] </noinclude> 6ih8i5olravxkl3bz7qrucrb35xeawh 881244 881243 2022-08-12T15:36:10Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #00af89; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vois que vous faites vos premiers pas avec enthousiasme ; je vous en félicite. 👍 Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : * invisibilisation de votre adresse IP ; * identité fixe ; * suivi des pages ; * possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent(e)]] ; * possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left:5%;"> <p style="color:#444; font-weight: bold; font-size: 100%;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] * [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]] ou [[Aide:Comment créer un travail de recherche|un travail de recherche]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l’anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background:#00af89;padding:.3em;margin:10px 5% 0 65%;text-align:center; border-radius:10px;">[[Special:CreateAccount|<span style="color:#FFFFFF"> '''Créer un compte''' → </span>]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP|sign=~~~~|message="Blablabla"}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue nouveau}}, pour accueillir un nouvel inscrit. * {{m|Bienvenue IP méritante}} pour inviter à s’inscrire. * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP]] [[Catégorie:Modèle à subster]] [[Catégorie:Modèle message bienvenue]] </noinclude> 7ygofuf0eth62h1lwgn47q6ft8ku3rv 881245 881244 2022-08-12T15:36:34Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #00af89; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vois que vous faites vos premiers pas avec enthousiasme ; je vous en félicite. 👍 Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : * invisibilisation de votre adresse IP ; * identité fixe ; * suivi des pages ; * possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent·e]] ; * possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left:5%;"> <p style="color:#444; font-weight: bold; font-size: 100%;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] * [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]] ou [[Aide:Comment créer un travail de recherche|un travail de recherche]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l’anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background:#00af89;padding:.3em;margin:10px 5% 0 65%;text-align:center; border-radius:10px;">[[Special:CreateAccount|<span style="color:#FFFFFF"> '''Créer un compte''' → </span>]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP|sign=~~~~|message="Blablabla"}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue nouveau}}, pour accueillir un nouvel inscrit. * {{m|Bienvenue IP méritante}} pour inviter à s’inscrire. * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP]] [[Catégorie:Modèle à subster]] [[Catégorie:Modèle message bienvenue]] </noinclude> c974q09v5putw9nucstwcvqz7r5f88o 881249 881245 2022-08-12T15:44:53Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #00af89; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vois que vous faites vos premiers pas avec enthousiasme ; je vous en félicite. 👍 Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : invisibilisation de votre adresse IP, identité fixe, possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent·e]], possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left:5%;"> <p style="color:#444; font-weight: bold; font-size: 100%;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] * [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]] ou [[Aide:Comment créer un travail de recherche|un travail de recherche]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l’anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background:#00af89;padding:.3em;margin:10px 5% 0 65%;text-align:center; border-radius:10px;">[[Special:CreateAccount|<span style="color:#FFFFFF"> '''Créer un compte''' → </span>]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP|sign=~~~~|message="Blablabla"}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue nouveau}}, pour accueillir un nouvel inscrit. * {{m|Bienvenue IP méritante}} pour inviter à s’inscrire. * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP]] [[Catégorie:Modèle à subster]] [[Catégorie:Modèle message bienvenue]] </noinclude> g8etc59j4ntgsirgowuoub9nh8kwzxz 881252 881249 2022-08-12T15:49:06Z Hérisson grognon 50100 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; height: auto; border-right: 1px solid #FFCC33; vertical-align: top; border-radius: 10px; padding: 5px 5px 0 0; background-repeat: no-repeat; background-position: 105% -15px;"> <div style="padding: 0; width: 60%; float: left; font-size: 1em;"> <p style="display: block; padding: 5px; margin: 2% 0 0 0; border: none; border-left: 5px solid #00af89; font-size: 132%;">'''Bonjour et bienvenue sur Wikiversité !'''</p> <div style="padding-left: 5%;margin : 10px 0 0 0"> Je suis {{#if:{{{1|}}}|[[Utilisateur:{{{1|}}}{{!}}{{{1|}}}]],|}} bénévole sur Wikiversité pour l'accueil et l'aide aux débutant·e·s. Je vois que vous faites vos premiers pas avec enthousiasme ; je vous en félicite. 👍 Actuellement, vous contribuez à Wikiversité depuis votre '''[[w:Adresse IP|adresse IP]]''', qui peut permettre de remonter à l'endroit d'où vous vous connectez : entreprise, école, maison, cybercafé, etc. Avec un [[Spécial:Créer un compte|compte utilisateur]], vous pourrez poursuivre vos contributions dans de '''meilleures conditions''' : invisibilisation de votre adresse IP, identité fixe, possibilité de vous inscrire comme [[Aide:Référent|référent·e]], possibilité de participer à la vie communautaire et notamment aux votes et élections... Je vous propose donc de '''[[Spécial:Créer un compte|vous créer un compte]]'''. Cela se fait '''gratuitement''', et '''sans fournir de données personnelles''' (#noGAFAM #noNATU) : en quelques clics, devenez membre de notre super communauté ! 😉{{#if:{{{message}}}| {{clr|left}} {{{message|}}}}} Si vous avez besoin d'aide, n'hésitez pas à me contacter. À bientôt !{{#if:{{{sign|}}}|<nowiki/> {{{sign}}}}} </div> </div> <div style="width:30%; float: left; padding-left:5%;"> <p style="color:#444; font-weight: bold; font-size: 100%;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">L'indispensable</p> * [[Wikiversité:Ce que Wikiversité n'est pas|Ce que Wikiversité n'est pas]] * [[Wikiversité:Organisation des enseignements|Organisation des enseignements]] * [[Aide:Créer une leçon|Créer une leçon]] ou [[Aide:Comment créer un travail de recherche|un travail de recherche]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Rejoindre la communauté ?</p> * [[Aide:Compte utilisateur#Avantages|Pourquoi avoir un compte ?]] * [[meta:Privacy policy/fr|Politique Wikiversité sur l’anonymat]] * [[w:Wikipédia:Informations rendues publiques|Informations rendues publiques]] <p style="color:#444; font-weight: bold;border-bottom: 1px dotted #00af89; padding-top: 0.55em;">Pour vous aider</p> * [[Wikiversité:Accueil de la communauté|Accueil de la communauté]] * [[Wikiversité:La salle café/{{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}}|La salle café]] </div> {{clr}} <div style="background:#00af89;padding:.3em;margin:10px 5% 0 65%;text-align:center; border-radius:10px;">[[Special:CreateAccount|<span style="color:#FFFFFF"> '''Créer un compte''' → </span>]]</div> {{clr}} </div><noinclude> {{Documentation|contenu= == Utilisation == Se place sur la page de discussion d'un utilisateur anonyme qui contribue. == Syntaxe == <code><nowiki>{{Bienvenue IP|sign=~~~~|message="Blablabla"}}</nowiki></code> == Voir aussi == * {{m|Bienvenue nouveau}}, pour accueillir un nouvel inscrit. * {{m|Bienvenue IP méritante}} pour inviter à s’inscrire. * {{m|Merci IP}} * {{m|Récompense IP}} * {{m|Maladresse}} }}<!-- fin contenu --> [[Catégorie:Modèle de message de bienvenue pour utilisateur sous IP|Bienvenue IP]] [[Catégorie:Modèle à subster]] [[Catégorie:Modèle message bienvenue]] </noinclude> dat9balvx8ticjbxd6td1rhwo0yl8y0 0 51262 881259 873086 2022-08-12T20:23:14Z Geoleplubo 7999 + wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 7 | précédent = [[../Monnaie électronique/]] | suivant = [[../Système de monnaie de compte/]] | page_liée = Quiz/QCM Cybermonnaie | niveau = 13 }} <div style="font-size:30px; text-align:center;"> Crypto-actifs , cyber-monnaies , crypto-monnaies ou monnaie numérique</div> == Introduction == Diverses tentatives ont été faites pour créer des monnaies non conventionnelles sur Internet. Ces systèmes de monnaie "virtuelle" ou "cryptée" sont indépendants des États et veulent donner de la liberté et de la confidentialité aux transactions. Ces '''crypto-actifs''' (souvent appelés « ''crypto-monnaies'' » , « ''cybermonnaies'' » ou encore ''crypto-devises'' et ''monnaies cryptographiques'') utilisent des techniques dites « peer to peer » ( ''de pair à pair'' ) sur le Web. Ces monnaies virtuelles sont sans support physique (pas de pièces et pas de billets) et il n'est pas possible d'utiliser un chèque ou une carte bancaire. En 2018, toutes les cryptomonnaies sont des monnaies alternatives qui n'ont de cours légal dans aucun pays. La première cryptomonnaie, créée en 2008, est le Bitcoin. En 2017, on avait plus de 900 cryptomonnaies et en 2021, on en compte plus de 5 500. Parmi les plus connues en 2021, on peut citer Bitcoin, Ethereum, Ripple, Tether, Cardano ou DogeCoin. En 2021, le système le plus achevé est le Bitcoin qui a plusieurs millions d'utilisateurs et qui est aussi la première des crypto-monnaies en termes de capitalisation. À présent, les fonds spéculatifs et grandes banques d’affaires sont intéressés par le marché des crypto-monnaies et par exemple, JP Morgan a créé sa propre cryptomonnaie. Les prestataires de services sur actifs numériques (PSAN) offrent des services sur des crypto-monnaies. En 2022, le Vietnam est le pays qui compte le plus d’utilisateurs de cryptomonnaies au monde, devant l' Inde. == Le système Bitcoin == [[File:Bitcoin.svg|left]] Bitcoin est la première implémentation complète de cryptomonnaie. En effet, il a été conçu en 2009 par un développeur utilisant le pseudonyme de Satoshi Nakamoto. Sur internet, le système est décentralisé car tous les nœuds sont dotés des mêmes fonctionnalités et aucun ne joue un rôle privilégié. Le principe de ce système est de tenir à jour sur tous les nœuds du réseau un registre à la fois public et infalsifiable de toutes les transactions. Les bitcoins constituent une monnaie cryptographique qui a vocation à être utilisée en tant que devise monétaire et comme moyen de paiement dans cette devise. Les bitcoins sont émis lentement et régulièrement, de façon dégressive, jusqu'à atteindre un montant maximal d' environ 21 millions de bitcoins vers 2033 ( ''création de monnaie exogène'' ). {| |[[File:Total bitcoins over time.png|thumb|right|500px|Evolution du nombre de bitcoin au cours du temps]] |[[File:Bitcoin exchange BTC-e log scale.png|center|thumb|600px|Evolution des échanges de bitcoins en 2012 et 2013 <br> log(échanges) = f(t)]] |} {| | |[[File:Bitcoin-usd-900-600.svg|thumb|600px|Evolution de la valeur des bitcoins (année 2017) <br> USD = f(t)]] |} Chaque transaction comporte une trace signée par un algorithme. Ce travail est fait par des « mineurs » ( i.e. par des nœuds du réseau qui sont rémunérés en bitcoins ). En avril 2014, en France, il y avait une quarantaine de commerces qui acceptent les bitcoins comme paiement. == Quelques exemples de Cybermonnaies == Voici une liste non exaustive de cybermonnaies = * '''Bitcoin • Ethereum • Ripple • Litecoin • Dash''' (ex-Darkcoin)''' • Dogecoin • BitShares • Factom • FunFair • Lisk • MaidSafeCoin • Melonport • OmiseGO • Peercoin • Polkadot Qtum • RChain • Simple Token • etc ... ''' * La Chine possède sa propre monnaie numérique, le '''e-yuan''' (''e-CNY'' ou ''Renminbi digital'') , démarré en avril 2020. Le e-yuan est une monnaie officielle créée par la Banque centrale (''monnaie digitale de banque centrale'' - MDBC). D'autres banques centrales pensent aussi créer leur propre monnaie digitale. {| class="wikitable sortable" |- ! Monnaie !! Code !! Date de création !! Site web !! scope="col" style="width:130px;" | Valeur de la masse monétaire !Quantité de monnaie émise !Quantité maximum <br> pouvant être émise!! Note |- ! Bitcoin | BTC, XBT | style="text-align: center;" | 2009 || [http://bitcoin.org bitcoin.org] | style="text-align: center;" | 329,1 milliards USD <br>au 17/12/2017 | style="text-align: center;" | 16,7 millions <br>au 17/12/2017 | style="text-align: center;" | 21 millions|| La première cryptomonnaie décentralisée. |- ! Litecoin | LTC | style="text-align: center;" | 2011 || [http://litecoin.org litecoin.org] | style="text-align: center;" | 2,27 milliards USD <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 52,3 millions <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 84 millions|| |- !Ether (Ethereum) |ETH | style="text-align: center;" | 2015 || | style="text-align: center;" | 20,92 milliards USD <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 93,7 millions <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | | |- ! Ripple | XRP | style="text-align: center;" | 2012 || | style="text-align: center;" | 6,67 milliards USD <br> au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 100 milliards <br> (limite atteinte) | style="text-align: center;" | 100 milliards|| transactions vérifiées par consensus, <br>plutôt que par le processus de minage utilisé par bitcoin. |- ! Dash | DASH | style="text-align: center;" | 2012 / 2014 || | style="text-align: center;" | 1,39 milliard USD <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 7,4 millions <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 18,9 millions ||Son nom initial, « Darkcoin », a été changé le 25 mars 2015 <br> première cryptomonnaie anonyme. |- ! Dogecoin | DOGE | style="text-align: center;" | 2013 || [http://dogecoin.com/ dogecoin.com] | style="text-align: center;" | 200,8 millions USD <br>au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 110,5 milliards<br> au 04/08/2017 | style="text-align: center;" | 5,2 milliards/an <br> sans limite || |- ! etc. |...|| || || || || || |} == Prestataire de services sur actifs numériques == Le prestataire de services sur actifs numériques (PSAN) offre des services sur des crypto-monnaies ou des jetons issus d’une offre au public (« ''initial coin offering'' » (ICO)). <br> Dans une offre au public de jetons (ICO), une société fait une levée de fonds en se finançant par l'émission de jetons (ou « ''tokens'' »). Les investisseurs souscrivent principalement avec des crypto-monnaies. L'activité des PSAN concerne donc: * la conservation d’actifs numériques ; * l'achat ou vente d’actifs numériques en monnaie ayant cours légal ; * l'échange d'actifs numériques contre d'autres actifs numériques ; * l'exploitation d'une plateforme de négociation d'actifs numériques. Les PSAN sont agréés par l’AMF (''Autorité des Marchés Financiers'') après avis de l’''Autorité de contrôle prudentiel et de résolution'' (ACPR). == Mixeur de crypto-monnaie == Le [[:w:fr:mixeur de crypto-monnaie|mixeur de crypto-monnaie]] ou le service de mixage de crypto-monnaies est un service offert dans le but de mélanger des fonds de crypto-monnaie potentiellement identifiables ou « contaminés » avec d'autres, afin d'obscurcir la piste jusqu'à la source d'origine du fonds. Cela se fait généralement en mettant en commun des fonds provenant de plusieurs entrées pendant une période de temps longue et/ou aléatoire, puis en les redistribuant vers les adresses de destination. Comme tous les jetons sont regroupés puis distribués à des moments aléatoires, il est très difficile de retracer leurs origines exacts. Ces mixeurs sont apparus pour améliorer l'anonymat des crypto-monnaies, car les devises fournissent un registre public de toutes les transactions. En 2022, le mixeur « Tornado Cash » a été placé sur liste noire par les États-Unis car il est soupçonné d’avoir aidé à blanchir plusieurs milliards d’euros issus de vols et de rackets. == Les menaces sur les cryptomonnaies == * Certains pays ont interdit les bitcoins. Par exemple, en 2021, la Chine a déclaré illégales toutes les transactions en cryptomonnaies, après avoir créée sa propre monnaie numérique, le '''e-yuan'''. * Les cybermonnaies sont devenues un nouveau type de placement financier. Il y a un risque de bulle financière et d' assèchement des transactions car les investisseurs ne sont pas des consommateurs. * Les attaques informatiques peuvent aboutir au vol des bitcoins des particuliers. La plateforme d' échange MTgox qui était la principale plateforme d' échange de bitcoins a fait faillite en février 2014 suite à une attaque informatique. * Des pirates informatiques de Corée du Nord ont attaqué des plates-formes d’échange de cybermonnaies et auraient volé, entre 2019 et novembre 2020, environ 260 millions d’euros de biens virtuels. En 2021, les attaques des pirates Nord Coréen leur auraient rapporté jusqu’à 400 millions de dollars. == Notes == * Louis Raffestin, Le point sur: ''Le bitcoin, ses perspectives et ses risques'', Cahiers français, n° 382, La documentation française, sept-oct 2014 * voir [https://www.lemediatv.fr/video/stupid-economics-le-bitcoin-revolution-economique-feat-micode-01162018-1757 une vidéo sur le bitcoin] sur la chaine LeMedia * ''L'argent 2.0'' , L'économie politique, n°75 , juillet 2017 * Sophia Aït Kaci, ''Le bitcoin, actif spéculatif ou monnaie d'avenir ? '', Cahier français, n° 404, p 101-107, mai-juin 2018 == Voir aussi == * [[Recherche:Monnaie_cup]] {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Monnaie électronique/]] | suivant = [[../Système de monnaie de compte/]] }} eo49crkt17t8uc3ql1xciysy8jddq68 104 62282 881255 880911 2022-08-12T18:12:13Z Ambre Troizat 8860 /* 1998 */ Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) wikitext text/x-wiki {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 6 | niveau = 9 | précédent = [[../Bibliographie/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} __TOC__ {{Clr}} == Bibliographies {{S|XX}} == <br /> <br /> <Center> <span style="font-size:20px;">'''<strong>Bibliographies {{S|XX-XXI}}</strong>'''</span> <br /> <br /> <gallery> File:Aime Cesaire 2003.jpg|Aimé Césaire File:Martin Luther King Jr NYWTS 5.jpg|Martin Luther King, Jr. & Coretta Scott King. File:Nelson Mandela 1998.JPG|Nelson Mandela au Brésil, juillet 1998 File:Drawing of Michael Jackson.jpg|Hanna Asfours.- Portrait de Michaël Jackson, 2010 File:Barack & Michelle Obama at Washington DC public charter school 2-3-09 2.jpg|Barack & Michelle Obama at Washington DC public charter school, 2 février 2009 </gallery> </Center> == Ouvrages, {{S|XX}} : 1900 - 1909 == === 1900 === * 1900 - {{Bibliographie|Q64167129}} <!-- Marie Bobillier, Les concerts en France sous l'ancien régime --> * 1900 - {{Bibliographie|Q15892011}} <!-- Louis Ducros, Les encyclopédistes --> * 1900 - {{Bibliographie|Q68820156}} <!-- Hannibal Price, De la réhabilitation de la race noire par la République d'Haïti --> * 1900 - {{Bibliographie|Q109603194}} <!-- Henri de Bouillé, Historique du 13e régiment de hussards --> * 1917-1900-1932 - {{Bibliographie|Q111435436}} <!-- La société des nations de l'Abbé de Saint-Pierre --> === 1901 === * 1901 - {{Bibliographie|Q26951154}} <!-- Comité général du Parti Socialiste français (1901-1905) --> * 1901 - {{Bibliographie|Q28584829}} <!-- Charles Seignobos, La méthode historique appliquée aux sciences sociales --> ** 2014 - {{Bibliographie|Q28586817}} <!-- compte-rendu de lecture --> * 1901 - {{Bibliographie|Q28790886}} <!-- oeuvre écrite, Tahiti --> * [[d:Q28790991|1901]] - {{Bibliographie|Q28790991}} lire en ligne sur Wikisource : [[s:Les_ancêtres_du_violon_et_du_violoncelle|Les ancêtres du violon et du violoncelle]] <!-- Laurent Grillet, Les Ancêtres du violon et du violoncelle --> * 1901 - {{Bibliographie|Q28872314}}<!-- Premier Congrès international d'histoire des religions, I - séances générales --> ** 1902 - {{Bibliographie|Q28872419}}<!-- Premier Congrès international d'histoire des religions, II - séances des sections --> ** 2010 - {{bibliographie|Q28872471}}<!-- Article de synthèse, 2010 --> * 1901 - {{Bibliographie|Q63974963}} <!-- Pierre-Paul Fabre.- Des servitudes dans le droit international public --> * 1901 - {{Bibliographie|Q78457872}} <!-- Jean Jaurès, Les radicaux et la propriété individuelle --> * 1901 - {{Bibliographie|Q94132424}} <!-- Charles Huit, La philosophie de la nature chez les anciens --> * 1901 - {{Bibliographie|Q19173662}} <!-- Alphonse Aulard, Histoire politique de la Révolution française --> * 1901 - {{bibliographie|Q113001379}} <!-- les États-Unis d’Europe --> === 1902 === * 1902 - {{Bibliographie|Q26197111}} <!-- --> * 1902 - {{Bibliographie|Q26933687}} <!-- --> * 1902 - {{Bibliographie|Q28872419}} <!-- Premier Congrès international d'histoire des religions, II - séances des sections --> * 1902 - {{Bibliographie|Q78860189}} <!-- Louis Durand, Le Mouvement antiesclavagiste (1876-1900) --> === 1903 === * 1903 - {{Bibliographie|Q98930772}} <!--Catalogue méthodique des livres imprimés concernant l'histoire de l'Amérique --> ** 1903 - {{Bibliographie|Q98930881}} <!--Catalogue méthodique des livres imprimés concernant l'histoire de l'Amérique --> * 1903 - {{Bibliographie|Q78475823}} Chapitre de {{Bibliographie|Q78474338}} <!-- Émile Faguet, Du droit de propriété --> * 1903 - {{Bibliographie|Q97616894}} Publié dans {{Bibliographie|Q97617282}} <!-- Georges Blondel.- Note sur les origines de la propriété --> * 1903 - {{Bibliographie|Q111033890}} Ouvrage en vente [https://www.lot-art.com/auction-lots/SAINT-DOMINGUE-GUETROT-Maixent-Etude/582-saint_domingue-05.11.20-rossini ici] au 28 février 2022. <!--Étude sur l’histoire politique et sociale de Saint-Domingue, 1789-1792 --> === 1904 === * 1904 - {{Bibliographie|Q55752883}} <!-- Jacob Léon, « Mission de M. Léon Jacob en Angleterre --> * [[d:Q51422846|1904]] - {{Bibliographie|Q51422846}} <!-- Julien Thoulet, L'océan : ses lois et ses problèmes --> * 1904 - {{Bibliographie|Q60502403}} <!-- thèse à créer --> ** 1906 - {{Bibliographie|Q60502403}} <!-- publication de la thèse --> * 1904 - {{Bibliographie|Q85626641}} publié dans {{Bibliographie|Q85621652}} 23 avril 1904 <!-- --> === 1905 === * 1905 - {{Bibliographie|Q26898254}} <!-- Joseph Anténor Firmin, M. Roosevelt, président des États-Unis et la République d'Haïti --> * 1905 - {{Bibliographie|Q19192690}} <!-- Paul Louis, Le Colonialisme --> * 1905 - {{Bibliographie|Q111488156}} <!-- Les Joueurs d'épée à travers les siècles --> === 1906 === * 1906 - {{bibliographie|Q24113070}} <!-- Prosper Boissonnade, Saint-Domingue à la veille de la révolution et la question de la représentation coloniale aux états généraux (janvier 1788-7 juillet 1789) --> * 1906 - {{bibliographie|Q28020605}} <!-- Émile-Louis-Bruno Bruneau de Laborie, Les lois du duel --> * 1906 - {{bibliographie|Q63994878}} <!-- Albert Cazaux, Décadence progressive et abolition du servage de la glèbe en France --> <br> ;Georges Scelle (1878-1961) - [https://data.bnf.fr/fr/documents-by-rdt/12305536/te/page1 Œuvres textuelles de cet auteur, Data.bnf.fr] * 1906 - {{bibliographie|Q64569394}}La traite négrière aux Indes de Castille, contrats et traités d'assiento --> * [[d:Q64212386|1906]] - {{bibliographie|Q64212386}} <!-- Œuvre : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> * [[d:Q64212475|1906]] - {{bibliographie|Q64212475}} <!-- Édition : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> * 1906 - {{bibliographie|Q64212386}} thèse de doctorat en deux volumes. Lire sur Internet Archive [https://archive.org/details/histoirepolitiq00scelgoog/page/n7/mode/2up Tome premier] ; [https://archive.org/details/histoirepolitiq00scelgoog/page/n7/mode/2up Tome deuxième]<!-- Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille, contrats et traités d'assiento --> * [[d:Q64347007|1906]] - {{bibliographie|Q64347007}} <!-- Une institution internationale disparue : l'assiento des nègres --> === 1907 === * 1907 - {{bibliographie|Q28361348}} <!-- Henri Cordier, La partie de chasse de Henri IV, comédie de Collé --> * 1907 - {{Bibliographie|Q60769199}} <!-- Paul Permezel, université de Bourgogne, Les Idées des physiocrates en matière de commerce international. --> * 1907 - {{bibliographie|Q98344939}} publié dans {{bibliographie|Q98345598}} <!-- Auguste Deschamps, Sur l'expression "locare operas" et le travail comme objet de contrat à Rome --> === 1908 === * 1908 - {{bibliographie|Q31525986}} <!-- Daniel Zolla, La grève, les salaires et le contrat de travail --> * 1908 - {{bibliographie|Q37720133}} <!-- Ernest Hamy, "Charles Arthaud, de Pont-à-Mousson (1748-1791)"... --> * 1908 - {{bibliographie|Q19165272}} <!-- Jean Jaurès Discours pour l'abolition de la peine de mort --> * 1908 - {{bibliographie|Q113340288}} <!--Musiciens d'autrefois, 2e édition --> === 1909 === * 1909 - {{bibliographie|Q27922024}} <!-- --> * [[d:Q69548953|1909]] - {{bibliographie|Q69548953}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions --> ** 1909 - {{bibliographie|Q69540656}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions, Vol. V --> * 1909 - {{bibliographie|Q111234457}} <!-- Élie Garnier, L'île d'Aix à travers les temps --> == 1910 - 1919 == === 1910 === * 1910-1913 - {{Bibliographie|Q95628670}} <!-- Le club des Cordeliers pendant la crise de Varennes et le massacre du Champ-de-Mars --> ** 1910 - {{Bibliographie|Q95628467}} <!-- Le club des Cordeliers pendant la crise de Varennes et le massacre du Champ-de-Mars --> ** 1913 - {{Bibliographie|Q95628691}} <!-- Le club des Cordeliers pendant la crise de Varennes et le massacre du Champ-de-Mars --> * 1910-1978 - {{Bibliographie|Q27166448}} <!-- Paris pendant la Terreur ː rapports des agents secrets du Ministre de l'intérieur --> ** 1910-1978 - {{Bibliographie|Q112183821}} <!-- Paris pendant la Terreur, Tome Premier (Q112183821) ==== 1911 ==== * 1911 - {{Bibliographie|Q25997677}} <!-- Sur la philosophie et sa méthode --> * 1911 - {{bibliographie|Q63871868}} <!-- Russell Parsons Jameson, Montesquieu et l'esclavage --> ** 1911 - {{bibliographie|Q67207093}} <!-- Girard René. 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Contient des récits à propos de la Révolution, de l’émigration et des séjours à l’étranger * 1921 - {{bibliographie|Q26944517}} <!-- --> * 1921 - {{bibliographie|Q28018752}} <!-- --> ==== 1922 ==== * 1922 - {{bibliographie|Q26944353}} <!-- --> * 1922 - {{bibliographie|Q28854733}} <!-- --> * 1922 - {{bibliographie|Q99801629}}, œuvre écrite <!--La Laurencie, L'école française de violon, de Lully a Viotti --> ** 1922 - {{bibliographie|Q99803770}} <!-- La Laurencie, L'école française de violon, de Lully a Viotti, Vol. II --> ** 1922 - {{bibliographie|Q99806038}} <!-- La Laurencie.- Le Chevalier de Saint-Georges --> ==== 1923 ==== * 1923 - {{bibliographie|Q29654446}} <!-- La tentative de Dumouriez sur Lille en 1793 --> * 1923 - {{bibliographie|Q30001840}} <!-- La Civilisation. 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Une biographie politique --> * 1999 - {{bibliographie|Q86205908}} <!-- Jean-Marie Pelt, La cannelle et le panda : les naturalistes explorateurs autour du monde --> == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../Bibliographie/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} m9criqu6zoew4uilkrx89oaedtuia3c 0 63482 881261 881146 2022-08-13T07:55:51Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi {{Nobr|Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points * pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et * dont l'image est confondue avec l'objet (c.-à-d. que ce sont des points doubles). {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse <math>\big[</math>mais évidemment pas sous cette forme qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle<math>\big]</math>, évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> et vérifier, sur cette dernière forme, * que <math>\;S\;</math> est effectivement un point double et * qu'il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|Schémas de vérification du fait que, pour C et S, le dioptre sphérique (concave convergent) est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les constructions prouvant les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}</math>, nous obtenons, en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;p_i(C_i) = \overline{R} = \overline{SC}</math> prouvant que <math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que <math>\;C\;</math> est un point double. <center>De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit <math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}</math> ;</center> {{Al|5}}sous cette forme on vérifie qu'un point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(S) = 0\;</math> a une image d'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. une image confondue avec <math>\;S\;</math> prouvant que <math>\;S\;</math> est bien un point double ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes (avec origine au sommet) s'écrivant <math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math> avec <math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> obéissent à l'équation <math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math> qui se décompose en <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> point double et la 2^ème équation conduisant à <math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math> c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} b626vb7xs2tvrshmgxybfckjohc2o71 2 73723 881236 881222 2022-08-12T12:24:06Z Ambre Troizat 8860 François Claude de Bouillé sous Louis XV et Louis XVI wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV == == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} 24iivkgh2ujbcgxzd77p0dfmwgbexz1 881248 881236 2022-08-12T15:43:22Z Ambre Troizat 8860 /* Claude de Bouillé sous Louis XV */ Claude de Bouillé cite Jean de Boullongne wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], comte de Nogent, né le 11 novembre 1726 à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1767 : gouverneur de Montereau Jean Nicolas de BOULLONGNE * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} nbbwh772rz440jz296llbfj50xeixlv 881253 881248 2022-08-12T16:44:35Z Ambre Troizat 8860 /* Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans */ boullogne wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], comte de Nogent-sur-Seine en 1762, né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} 6n22mq90xyr5jhk0gsm2kxbrr4wsdht 881254 881253 2022-08-12T17:57:36Z Ambre Troizat 8860 /* Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans */ Boullongne wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == === Jean de Boullongne, 1690-1769 === Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. : Conseiller d'Etat 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} mlglc3zzussj5t7b44eve2n0emfaxu7 881256 881254 2022-08-12T18:54:27Z Ambre Troizat 8860 /* Jean de Boullongne, 1690-1769 */ Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : === Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 === * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. * : Conseiller d'Etat Jean de Boullongne * 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit<ref>* 1998 - {{bibliographie|Q113501926}} <!-- Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) --><br>Selon Généanet, Jean de Boullongne (1690-1769) aurait élevé [[w:Alexis Piron]], Poète (1689-1773). Cf. [https://gw.geneanet.org/garric?n=de+boullongne&oc=0&p=jean sur Généanet]</ref> === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} b460e1fajxpamjvlytkuljfc4qiafw3 881257 881256 2022-08-12T19:12:16Z Ambre Troizat 8860 /* Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 */ Jean Nicolas de Boullongne bibliophile wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : === Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 === * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. * : Conseiller d'Etat Jean de Boullongne<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_Assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/yGmizhA1S1UC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover 1]</ref> * 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit<ref>* 1998 - {{bibliographie|Q113501926}} <!-- Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) --><br>Selon Généanet, Jean de Boullongne (1690-1769) aurait élevé [[w:Alexis Piron]], Poète (1689-1773). Cf. [https://gw.geneanet.org/garric?n=de+boullongne&oc=0&p=jean sur Généanet]</ref> {{Citation bloc|Fig 59 BOULLONGNE Jean Nicolas de conseiller d État intendant des finances honoraire et associé libre de l Académie de peinture et de sculpture de Paris C est le fils de l ardent amateur Jean de Boullongne comte de Nogent mentionné dans l Armorial du bibliophile t I p 114 col 1 Le fils se montra digne du père et sa collection égalait la sienne Elle fut vendue après la mort du propriétaire mais le catalogue n en mentionna qu une partie Le reste fut acheté en bloc par des libraires Né le 1 novembre 1726 Jean Nicolas de Boullongne mourut en 1787 Catalogue des livres de la bibliothèque de feu de M de Boullongne conseiller d État Paris né de la Rochelle 1787 In 8 de 55 pp comprenant 880 numéros|Le Livre, revue du monde littéraire--archives des écrits de ce temps ..., 1880<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_Livre/OM89AQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA341&printsec=frontcover ref 2]</ref>}} === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} 0h16oqrtnqh7oc1lymi5qx1z06icy6k 881258 881257 2022-08-12T19:37:21Z Ambre Troizat 8860 /* Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 */ Bibliothèque des Boullongne wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : === Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 === * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. * : Conseiller d'Etat Jean de Boullongne<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_Assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/yGmizhA1S1UC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover 1]</ref> * 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit<ref>* 1998 - {{bibliographie|Q113501926}} <!-- Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) --><br>Selon Généanet, Jean de Boullongne (1690-1769) aurait élevé [[w:Alexis Piron]], Poète (1689-1773). Cf. [https://gw.geneanet.org/garric?n=de+boullongne&oc=0&p=jean sur Généanet]</ref> {{Citation bloc|Fig 59 BOULLONGNE Jean Nicolas de conseiller d État intendant des finances honoraire et associé libre de l Académie de peinture et de sculpture de Paris C est le fils de l ardent amateur Jean de Boullongne comte de Nogent mentionné dans l Armorial du bibliophile t I p 114 col 1 Le fils se montra digne du père et sa collection égalait la sienne Elle fut vendue après la mort du propriétaire mais le catalogue n en mentionna qu une partie Le reste fut acheté en bloc par des libraires Né le 1 novembre 1726 Jean Nicolas de Boullongne mourut en 1787 Catalogue des livres de la bibliothèque de feu de M de Boullongne conseiller d État Paris né de la Rochelle 1787 In 8 de 55 pp comprenant 880 numéros|Le Livre, revue du monde littéraire--archives des écrits de ce temps ..., 1880<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_Livre/OM89AQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA341&printsec=frontcover ref 2]</ref>}} Par ailleurs, nous connaissons partiellement le [https://www.google.fr/books/edition/Nouvel_armorial_du_bibliophile/QWw_q0KtBA0C?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA80&printsec=frontcover catalogue des bibliothèques de Jean & Jean Nicolas de Boullongne]. Voir également [https://www.google.fr/books/edition/L_%CC%81_Etat_de_la_France/PWBAAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA310&printsec=frontcover Etat de la France en 1749,Tome 4, pp. 306-311] Monfeigneur Jean de Boullongne , Conseiller d'Etat au Conseil … Dans Pierre Chapelle de Jumilhac de Cubjac.- [https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/FDxd-oLILjsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover Procès-verbal de l'assemblée générale extraordinaire du clergé de France tenue à Paris en 1758] - Page 283, 1765 === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} c0yy7q012891u90yw0z7e2q43th9e62 2 80607 881239 878730 2022-08-12T13:23:09Z Solstag 13856 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] Je suis <<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:TomBourgeoisDauphine</nowiki>> dans le réseau consolidé. == '''Enrichir le réseau''' == Les items que je partage avec d'autres participants : https://www.wikidata.org/wiki/Q128309 https://www.wikidata.org/wiki/Q20034 https://www.wikidata.org/wiki/Q208239 <nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q3437730</nowiki> <nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q8418</nowiki> <nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q44</nowiki> <nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q847</nowiki> Pour obtenir une similarité de 3, je choisis ainsi d'identifier l'item <https://www.wikidata.org/wiki/Q20034>, avec l'item <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q1081491</nowiki>> qui, dans un niveau d'abstraction plus élevé est aussi un sport d'équipe ou il s'agit de marquer de mettre un ballon dans une cage. == '''Calcul de la recommandation''' == similarité '''s(p, q) :''' {| class="wikitable" |+ !Participant !Items communs !similarité |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Chloé_Sangiorgio</nowiki>> | ==== <https://www.wikidata.org/wiki/Q128309>, ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q847</nowiki>> |2 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Sophie</nowiki> pinier> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q128309</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Nawel_Bourmani</nowiki>> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q20034</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> | ==== <https://www.wikidata.org/wiki/Q20034>, ==== ==== <https://www.wikidata.org/wiki/Q8418>, <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q1081491</nowiki>> ==== |3 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Anna_Simonn</nowiki>> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q208239</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Mathildecomte603</nowiki>> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q208239</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Ninaloufresnil</nowiki>> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q208239</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Alice</nowiki> Joie Dauphine> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q8418</nowiki>> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Amina</nowiki> Shangereyeva> | ====== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q44</nowiki>> ====== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:CléaDesitter</nowiki>> | ==== <nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q3437730</nowiki> ==== |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Félix_Rougier</nowiki>> | ==== <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q3437730</nowiki> ==== |1 |- |<[[Utilisateur:Leafournier31|https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Leafournier31]]> | ==== <https://www.wikidata.org/wiki/Q3437730>, <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q847</nowiki>> ==== |2 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Shouissa98</nowiki>> |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q847</nowiki>> |1 |- |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Capucinechappey</nowiki>> |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q847</nowiki>> |1 |} == score '''r(p, a)''' == {| class="wikitable" |+ !Item !Participants liés !Similarités !Score |- |<https://www.wikidata.org/wiki/Q1081491&#x3E; |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> |3 |3 |- |<https://www.wikidata.org/wiki/Q108429&#x3E; |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> |3 |3 |- |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q169737</nowiki>> |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> |3 |3 |- |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q20034</nowiki>> |Déjà lié | | |- |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q20748</nowiki>> |<<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> |3 |3 |- |[https://www.wikidata.org/wiki/Q244475&#x3E; <https://www.wikidata.org/wiki/Q244475>] |<[[Utilisateur:Alexercices|https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Alexercices]]>, <<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Oscar</nowiki> Perrin> <<nowiki>https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Victor_Simandoux</nowiki>> |0 1 3 |4 |- |<https://www.wikidata.org/wiki/Q5994&#x3E; |déjà lié | | |- |<<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Q8418</nowiki>> |déjà lié | | |} Mon score maximum correspond à [https://www.wikidata.org/wiki/Q244475&#x3E; <https://www.wikidata.org/wiki/Q244475>]. Il m'est donc recommandé d'essayer le tap dance et je suis prêt à essayer car je suis fan de la scène de tap dance dans le film La La Land. pvsqdgk2gyxllko0ijshzjqxr6f3h44 104 80749 881260 881234 2022-08-12T22:44:10Z Psychoslave 2753 -euf, -ère wikitext text/x-wiki <blockquote>🚧 À faire&nbsp;: * lister les suffixes féminin/masculin usuels, les réifier par des diacritiques * aller au-delà dans les alternatives sexuées&nbsp;: commun, mixte, non-binaire, etc. (pour les noms communs de personnes uniquement) * analyse des suffixes communs en français, cf https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&pagefrom=gate%0A-gate#mw-pages *analyser les propositions dans https://lavieenqueer.wordpress.com/2018/07/26/petit-dico-de-francais-neutre-inclusif/ *analyser l’existant de suffixes comme -us, -um, -ul -os pour former des dérivés marquant un genre manifeste (masculin, neutre…), en considérant -euse/-esse comme le modèle protypique à suivre *trouver une copie de Khaznadar, Edwige (2000) "La suffixation du masculin et du féminin dans l’alternance en genre en français : de la réalité contemporaine et de quelques vieilles lunes » *décrire la méthodologie retenue : croiser les suffixes documentés aux terminaisons phonologiques en usage pour prioriser sans limiter les morphes suffixaux envisagés sous le prisme statistique de l'existant </blockquote>L’objectif de cette section est de faire un relevé des pratiques existantes et de proposer une liste de suffixes utilisables pour exprimer de manière ostentatoire tout ou partie des catégories de genre décrites dans les sections précédentes, en limitant autant que possible les collisions conflictuels avec les usages déjà plus ou moins bien ancrés. Outre le genre, les notions connexes comme la dénomination d’un groupe indéterminant seront intégrés à la recherche. Pour le formuler par un exemple concret les cas tels que ''lectorat'' comparativement à ''lecteur'' et ''lectrice'' seront pris en compte comme prototype à calquer et étendre pour y adjoindre des formes ostantoirement marqués pour d’autres catégories de genre. Les sections précédentes ont permis d’établir que dans une majeure partie des cas, les morphologies suffixales ne suffisent pas à déterminer la valeur d'un genre flou. En prenant en compte aussi bien l’oral que l’écrit, seul ''-çonne'' et ''-sion'' fourni un ensemble de termes associés au genre ambigu. Cependant de nombreux suffixes démontrent un taux de corrélation à un genre flou, qui empiriquement est également associé à une sémantique sexuante dans le cas où ils désignent des entités vivantes. Ainsi, dans la plupart des cas, ''-euse'' et ''-esse'' permettent de rajouter le trait sémantique ''féminin'' ou ''femelle'' sur une base de genre flou, ce qui en fait un suffixe de genre quasi-complètement ostentatoire. Par exemple ''une ânesse'' porte sans conteste la supposition du trait ''femelle'', tandis qu’''un âne'' demeure équivoque tant que n’y est pas adjoint un épithète ''femelle'' ou ''mâle''. Par ailleurs, si l'usage emploi bien ''ânon'' pour désigné un représentant juvénile de l’espèce, il ne semble pas retenir ''ânanonne'' pour stipuler l'âne ''impubère femelle''. Pourtant le suffixe -onne est pleinement actif dans l'usage, et se retrouve avec cette sémantique dans des termes comme ''aiglonne'', ou ''oursonne''. Au passage le terme ''ânonne'' est usuel comme flexion du verbe ''ânonner'' : mettre bas un ânon. Il existe également ''baudet'', qui s'appuie donc sur une base lexicale totalement distinct, et qui parfois désigne plus spécifiquement le mâle, bien que au moins par extension il puisse être employé comme simple synonyme d’âne. De même pour bourrique qui s’emploie selon les contextes plutôt pour désigner spécifiquement une femelle, ou comme synonyme générique d'''âne''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=le|prénom1=Par Damien|titre=Âne, mulet, mulet, bardot, bardote ou baudet|url=https://omnilogie.fr/O/Âne,_mulet,_mulet,_bardot,_bardote_ou_baudet|site=Omnilogie|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Même lorsqu’une base produit d'avantage de dérivés, l'usage n'est pas nécessairement uniforme. Ainsi sur à partir de ''zèbre'' les locuteurs construisent spontanément aussi bien ''zèbresse'' que ''zèbrelle'' pour désigner la femelle, zébreau, zébrion et zébron pour le membre juvénile, ''zèbrette'' ou ''zébronne'' pour la femelle juvénile<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une nouvelle zèbrelle dans la jungle ; rouge et jaune à petits pois ...|url=https://www.zebrascrossing.net/t18706-une-nouvelle-zebrelle-dans-la-jungle-rouge-et-jaune-a-petits-pois|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref> – ''zébrionne'' connaît au moins une attestation mais pour référer à une jeune fille [[w:surdoué|haut potentiel intellectuel]]<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Quels sont vos rapports avec vous même ?|url=https://www.zebrascrossing.net/t30580-quels-sont-vos-rapports-avec-vous-meme|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À cela s'ajoute l’appellation de ''poulain,'' voir ''pouliche'' s'il s'agit d'une femelle – auquel il faudrait probablement ajouter l’alternative ''pouline''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Un poulain zèbre rare à pois repéré au Kenya {{!}} Mont Blanc|url=https://montblanczone.com/fr/un-poulain-zebre-rare-a-pois-repere-au-kenya/|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=par|titre=Comment appelle-t-on un bébé zèbre ? - Spiegato|url=https://spiegato.com/fr/comment-appelle-t-on-un-bebe-zebre|date=2021-06-10|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À noter que pouliche sous-entend parfois le trait ''nullipare''<ref>{{Lien web|titre=POULICHE : Définition de POULICHE|url=https://www.cnrtl.fr/lexicographie/pouliche|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Ce calque du vocabulaire épique se prolonge pour les adultes avec l’usage d’''étalon'' pour les mâles et ''juments'' pour les femelles<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on un zèbre mâle?|url=https://www.reponserapide.com/comment-appelle-t-on-un-zebre-male-15801.php|site=www.reponserapide.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Dans certains cadres, les sémantiques attachées à chaque terme basé sur ''zèbr/'' sont plus précises : par exemple ''zébreau'' désignera exclusivement le juvénile mâle, et zébrelle exclusivement la juvénile femelle<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le zèbre : description, lieu de vie, alimentation, reproduction des zèbres|url=https://www.jaitoutcompris.com/animaux/le-zebre-20.php|site=www.jaitoutcompris.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Le constat d'adoption de stratégie variées par les locuteurs vaut tout autant quand le terme de base est de genre ambigu plutôt qu'équivoque. Ainsi pour ''girafe'', il existe des emplois des termes ''taureau'' pour le mâle et ''vache'' pour la femelle<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on une girafe mâle ?|url=https://fr.411answers.com/a/comment-appelle-t-on-une-girafe-male.html|site=fr.411answers.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Pour les juvéniles, ''girafon'' et ''girafeau'' sont courants, ''tandis que girafonne'' plus rare perce parfois dans la presse quotidienne<ref>{{Lien web|langue=FR-fr|titre=Histoire. Le périple de la girafe qui remplit actuellement les salles obscures est lié à la Bourgogne.. La grande marche de Zarafa|url=https://www.bienpublic.com/cote-d-or/2012/02/26/la-grande-marche-de-zarafa|site=www.bienpublic.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>, là où girafette relève plus de la littérature jeunesse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Girafette va en classe|url=https://kedemoseducation.com/fr/produit/girafette-va-en-classe/|site=Kedemos Education|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Girafon et Girafette|url=https://www.ricochet-jeunes.org/livres/girafon-et-girafette|site=www.ricochet-jeunes.org|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Quand à ''girafelle'', il semble principalement employé comme pseudonyme, et relève donc plutôt de la construction particularisante<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Sculptures Buissonnières|url=https://fr-fr.facebook.com/sculpturesbuissonnieres/posts/pfbid0AGR2CFmogRE6y1sNfzzwNrPsA8ix26nrFHPabJWBkzcimap6HGK7z14JGofE2Zkgl|site=fr-fr.facebook.com|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Inc|prénom1=Depositphotos|titre=Girafelle images vectorielles, Girafelle vecteurs libres de droits|url=https://fr.depositphotos.com/vector-images/girafelle.html|site=Depositphotos|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Certains vocables des sexués peuvent être considéré à des degrés divers comme dépourvu de tout alternative lexicale en genre. Ainsi dans certains cadres ''moineau'' est considéré exempt de déclinaison en genre, bien que ''moinelle'' soit couvert dans plusieurs dictionnaires<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Barbara|prénom1=Rahma|titre=Cours de morphologie|url=https://elc.hypotheses.org/155|site=Études linguistiques|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|titre=MOINELLE : Définition de MOINELLE|url=https://www.cnrtl.fr/definition/moinelle|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=moinelle|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-13|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=moinelle&oldid=30376651|consulté le=2022-08-04}}</ref>. D'autres termes, comme ''mésange'', n’ont aucun pendant pour désigner spécifiquement un individu femelle ou mâle : les seuls dérivés tel ''mésangeai'' et ''mésangère'' désignent des espèces, quand à ''mésangette'' il s’emploie tout autant pour désigner une cage, une espèce qu’à une fin hypocoristique. Dans certains cas le terme usuel s’emploie aussi bien au genre flou qu’au genre équivoque. Le flou sémantique est moindre si un genre prévaut dans l’usage pour désigner l’espèce en général : ''une aigle'', ''une hippopotame'', indiquera assurément le trait femelle. Dans le cas où l'usage général hésite, comme ''orque'', le flou est maintenu si le contexte ne précise rien d’avantage. Statistiquement, sur une annexe spécifique de quelques 257 termes pour désigner des animaux, le Wiktionnaire présente 135 termes correspondant pour désigner plus spécifiquement des individus juvéniles – soit 58&nbsp;%, 81 pour désigner les femelles – soit 35&nbsp;% et 47 termes pour désigner les mâles – soit 20&nbsp;%<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Listes des noms d’animaux|url=https://vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca/24425/la-grammaire/le-nom/genre-des-noms/listes-des-noms-danimaux|site=vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Les autres collections du même genre ne semblent pas fournir de listes plus exhaustives<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Animaux communs en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-03|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Animaux_communs_en_fran%C3%A7ais&oldid=30334042|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les animaux : le mâle, la femelle, le petit et leur cri|url=https://www.espacefrancais.com/les-animaux-le-male-la-femelle-le-petit-et-leur-cri/|site=EspaceFrancais.com|date=2012-06-29|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Amandine|titre=Les animaux : le mâle, la femelle et le petit|url=http://blog.jolicours.com/les-femelles-petits-animaux-male/|site=Le blog de Jolicours.|date=2017-05-03|consulté le=2022-08-04}}</ref>. De fait, il n'existe pas de mécanisme systématique uniforme et univoque pré-existant pour la construction de lexies dérivant un nom de sexué générale vers des variantes désignant spécifiquement femelle ou mâle, encore moins conjugué aux considérations d'age, de nubilité ou d'''arithmoparité'' – nombre de mise bas déjà réalisées. Pour rappel, les formes de noms flous pour des entités sexuées, comme ''âne'', laissent évasif jusqu’à l’intention exact du locuteur qui les emploi&nbsp;: * le sexe n’est pas spécifié parce que dans la perspective du locuteur il est sans importance pour le propos&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce qu’il importe pour le locuteur de ne pas le révéler&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce que le locuteur l’ignore. {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |Suffixe ! colspan="4" |Nombre d’emploi correspondant dans le flou du français usuel ! rowspan="2" |Remarques |- !Graphie !Prononciation !Total !Ambigü !Équivoque !Ambigü-équivoque |- | -anne |/an/ |48 |37 |11 |0 | |- | -anne |/ɛn/ |1 |0 |1 |0 |Il s'agit de ''farsanne'', qui peut au choix être prononcé /faʁ.san/ ou /faʁ.sɛn/. |- | -atte |/at/ |60 |40 |16 |4 | |- | -atte |/ate/ |2 |0 |2 |0 |Ce sont ''latte'' et ''matte''. |- | -os |/ɔs/ |74 |4 |60 |10 |À ''hardos'' pourrait répondre ''hardesse'' qui semble sans emploi actuellement. Distinguer donc l’appairage à -esse de celui fait à -euse. En effet ''hardeuse'' répond à ''hardeur'' qui sont des termes de tout autre sens. |- | -ouse |/uz/ |54 |48 |6 |0 |Dans certains cas, le suffixe est allographe de ''-ouze''. Dans de rares cas, il s'emploie au genre ambigu comme alternance au genre équivoque en -oux : ''coépouse, jalouse, épouse, siouse''. Il alterne même parfois ''-ou'', comme dans ''guenillouse,'' mais pas en alternance de ''guenilloux'' – espèce d’âne<ref>{{Lien web|nom1=Usito|titre=Usito|url=https://usito.usherbrooke.ca/définitions/guenillou|site=Usito|consulté le=2022-08-11}}</ref>. Par contre c’est ''rousse'' qui alterne ''roux'', bien que ''rouse'' soit inusité&nbsp;; et ''douce'' qui alterne ''doux.'' Certains noms en ''-oux'' désignant des humains, comme ''chiaoux'', semblent dénués de toute alternative attesté en genre ambigu. De même pour des vivants sexués comme ''caribou –'' qui se graphie aussi ''cariboux –'' ou encore comme le ''bourrailloux''. |- | -ouse |/aws/ |9 |1 |8 |0 |Ce sont uniquement des emprunts à l'anglais terminant par ''house''&nbsp;: club-house, datawarehouse, deck-house, loghouse, merenhouse, microhouse, penthouse, poolhouse. |- | -euf |/œf/ |28 |4 |9 |15 | |- | -euf |/øf/ |1 |1 |0 |0 |Il s’agit de ''peuf'', qui par ailleurs se prononce également /pœf/. |- | -ère |/ɛʁ/ |1862 |399 |1445 |18 |Les ambigus, lorsqu'ils réfèrent à des vivants sexués, sont souvent en alternances avec le suffixe -er pour l’équivoque. |- | -or | | | | | | |- | -yphe | | | | | |Voir hyphe |- | -aire | | | | | | |- | -ure | | | | | | |- | -ir | | | | | | |- | -us | | | | | | |- | -um | | | | | | |- | -öm |/øm/ | | | | | |- | -ab | | | | | | |- | -acque |/ak/ | | | | | |- | -ade | | | | | | |- | -aphe |/af/ | | | | | |- | -ague |/ag/ | | | | | |- | -age |/aʒ/ | | | | | |- | -alle |/al/ | | | | | |- | -ame | | | | | | |- | -ane |/an/ | | | | | |- | -eux | | | | | | |- | -oïde | | | | | | |- | -erie | | | | | | |- | -eur | | | | | | |- | -ité | | | | | | |- | -tude | | | | | | |- | -isme | | | | | | |- | -tique | | | | | | |- | -esque | | | | | | |- | -vore | | | | | | |- | -phile | | | | | | |- | -âtre | | | | | | |- | -ment | | | | | | |- | -o | | | | | | |- | -voque |/vɔk/ |2 |0 |2 |0 | |- | -ura |/y.ʁa/ |14 |5 |9 |0 |Parmi les 14 noms inventoriés, 3 réfèrent à des vivants sexués : ''datura'', ''sakura'' et ''singapura''. Les deux premiers sont des végétaux et le dernier une espèce de chat – également nommé ''singapour''. Le latin emploie ''-ura'' comme suffixe de mots féminins abstraits à partir de la base du supin ou du parfait de verbes. Les termes français en -ura n'ont cependant pas une origine uniforme, par exemples ''mura'' et ''sakura'' viennent du japonais, ''datura'' et ''singapura'' du sanskrit, ''pandura'' et ''purpura'' du latin. Les dérivés français des mots latins en ''-ura'' opèrent majoritairement un glissement vers le suffixe -ure. |- | -ois |/wa/ |344 | | | |Comme pour les autres statistiques de ce tableau, ces nombres exclus les gentilés. Pour cette entrée cependant il faut noter que gentilés inclus, le répertoire passe à 11&nbsp;402 noms. |- | -y |∅ |1 |0 |1 |0 |Le terme ''salegy'', qui se prononce /sa.lɛɡ/ désigne une danse originaire de Madagascar<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=salegy|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-08-11|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=salegy&oldid=30715826|consulté le=2022-08-11}}</ref>. |- | -y |/i/ |240 |41 |195 |4 |Les noms communs pris en compte dans cet inventaire sont majoritairement des emprunts à l’anglais, mais les dérivés d’autres sources n’en sont pas négligeable pour autant, comme pour ''aby, aisy'', apy, ''crécy'', ''poly'', ''reviens-y'', ou ''zloty''. Il est également très présent dans les toponymes – non pris en compte dans cet inventaire – comme variante à -ac, -ay, -ey, et sous les formes -y, -gny, -illy. |- | -ay |/ɛj/ |5 |0 |5 |0 |Tous emprunts à l’anglais&nbsp;: ''0-day, display, inlay, onlay, pay-to-play.'' |- | -ay |/e/ |35<ref group="N">Ce sont ''attogray, bombay, centigray, charbray, décagray, décigray, exagray, femtogray, free-to-play, gameplay, garagay, gigagray, gray, hectogray, kilogray, K-way, k-way, mégagray, microgray, milligray, nanogray, nay, ojibway, Ojibway, overlay, pétagray, picogray, roleplay, saint-péray, téragray, valençay, yoctogray, yottagray, zeptogray, zettagray''.</ref> |0 |32 |3 |Seuls les vocables ''ojibway'' et ''charbray'' présentent des formes identiques. |- | -ay |/aj/ |12 |0 |12 |0 |Ce sont ''dry, extra-dry, extradry, moulay, mulay, noreply, sky, soŋay, stand-by, tokay, zāy, zay.'' Évidemment ''soŋay'' possède une graphie alternative, ''songhaï'', pour les usages hors des contextes spécialisés. |- | -ey |/ɛj/ |1 |0 |1 |0 |Il s’agit d’un emprunt à l’arabe maghrébin&nbsp;: ''khey.'' |- | -ey |/e/ |10 |0 |10 |0 |Ce sont ''aqua-poney, baloney, barley, beylerbey, cawney, estey, medley, mickey, muley, ney''. Ils dérivent pêle-mêle de l'anglais, de l’arabe et de l’occitan. |- | -oy |/oj/ |17 |0 |17 |0 |Majoritairement des emprunts à l’anglais&nbsp;: ''boy, busboy, cocoy, cow-boy, cowboy, fanboy, girevoy, goy, loverboy, Minimoy, papertoy, pimpoy, pull-buoy, stimtoy, troy, zircaloy, zyrcaloy''. |- | -u |/y/ |421 |381 |30 |10 |Les termes féminins sont souvent des apocopes&nbsp;: ''actu, exclu, réu, simu, visu'', ou formés par du verlan : ''tepu, zicmu''. Ça n'en fait pas un cas général&nbsp;: bru, tribu ou vertu ce sont formés par adoption de termes de langues sources. |- | -u |/u/ |109 |103 |0 |6 | |} {| class="wikitable" |+Proposition d'équivalences suffixales coordonnées ! colspan="3" |Équivalences flous ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! rowspan="2" |Remarques |- !Ambigu !Équivoque !Amibgu- équivoque !Alter-sexualisant<ref group="N">Colonne construite autours de ''-iel-''.</ref> !Féminin<ref group="N">Colonne counstruite autours de la lettre ''u''. Emploi de -u- ou -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. Solution de repli sur -ul- en certains cas.</ref> !Générique<ref>Colonne construite autours de -a-, -al- en première solution de repli, et -ial- en seconde solution de repli par analogie avec -iel-.</ref> !Inanimé<ref group="N">Colonne construite autours de ''-o-'' en priorité, avec ogonek lorsque l'évitement d'une homographie le justifie ; puis utilisation de ''-ol-'' en première solution de repli.</ref> !Masculin<ref group="N">Construit sur -i- en priorité. Ajout d'un accent grave au besoin.</ref> |- | -oise | -ois | -ense -isque | -iel | -ière | -isaire | -ior | -ier |Le suffixe -ois dérive de l’ancien bas vieux-francique ''-isk'' ou du latin -ensis<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ois|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-15|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ois&oldid=30386049|consulté le=2022-08-07}}</ref>. En espagnol, en italien et portugais ''-ense'' permet de construire des gentilés épicènes<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ense|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-05-22|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ense&oldid=27967619|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Le suffixe -isaire se retrouvent dans garnisaire et indivisaire et leurs dérivés, tous employables de manière identique quel que soit le genre, contrairement à ''isaire'' attesté uniquement en<ref>{{Lien web|titre=*isaire - Graphies|url=https://anagrimes.toolforge.org/chercher_graphie.php?graphie=*isaire&langue=fr&type=&genre=&liste=table&liste=table#liste|site=anagrimes.toolforge.org|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Des attestations de ''villagier''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Mis à part l’homme, quel est le prédateur le plus dangereux ?|url=https://fr.quora.com/Mis-à-part-l-homme-quel-est-le-prédateur-le-plus-dangereux|site=Quora|consulté le=2022-08-05}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Nicolas|prénom1=Bonnal|titre=L’exception américaine|url=https://www.les4verites.com/international/lexception-americaine|site=Les 4 Vérités Hebdo - La publication anti bourrage de crâne|date=2008-09-15|consulté le=2022-08-05}}</ref> en nom, ou villagière<ref>{{Lien web|titre=Legend (REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier)|url=https://maps.natureconservancy.ca/arcpub/rest/services/REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier/MapServer/legend|site=maps.natureconservancy.ca|consulté le=2022-08-05}}</ref> en adjectif se trouvent déjà sur la toile. |- | -aise | -ais | | | | | | | |- | -esse -euresse -euse | -eur | | -ieũr* | -ures* | -aire* | -or | -ir |Les extensions ostentatoires sont ici largement calées sur les entrées pour ''leur'' dans la section dédiée aux mots grammaticaux. |- | -trice | -teur | | | | | | | |- | colspan="8" | -voque |Si les deux substantifs connus que sont ''univoque'' et ''multivoque'' sont équivoques, l'ensemble des adjectifs en -voque, dont eux-mêmes dérivent, sont identiques pour tous les accords en genre. |} Pour aller plus loin dans l’exploration des suffixes nominaux, il sera opportun de consulter les références afférentes<ref>{{Lien web|nom1=Camus|prénom1=Laurent|titre=Suffixes|url=https://www.francaisfacile.com/cgi2/myexam/voir2.php?id=95684|site=www.francaisfacile.com|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Gaston|nom1=Zink|titre=Noms et adjectifs suffixés dans le Testament de Villon (éd. A. Longnon - L. Foulet, Paris, Champion)|périodique=L'information grammaticale|volume=56|numéro=1|date=1993|doi=10.3406/igram.1993.3170|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1993_num_56_1_3170|consulté le=2021-12-24|pages=42–45}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Catégorie:Suffixes en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-01-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&oldid=29089207|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref name=":33" /><ref name=":34">{{Article|prénom1=Edwige|nom1=Khaznadar|titre=Apport de la francophonie dans la dénomination de la femme et de l'homme|périodique=Nouvelles Études Francophones|volume=24|numéro=1|date=2009|issn=1552-3152|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25702188|consulté le=2021-12-24|pages=100–111}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Antoine|nom1=Di-Lillo|titre=Il n’y a pas de suffixe -ateur en français. Voyons ! (I)|périodique=Meta : journal des traducteurs / Meta: Translators' Journal|volume=27|numéro=3|date=1982|issn=0026-0452|issn2=1492-1421|doi=10.7202/002569ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/meta/1982-v27-n3-meta297/002569ar/|consulté le=2021-12-24|pages=319–330}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Christian|nom1=Devos|titre=André (Jacques). Emprunts et suffixes nominaux en latin|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=56|numéro=2|date=1978|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1978_num_56_2_5516_t1_0453_0000_1|consulté le=2022-08-02|pages=453–454}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Louis|nom1=Deroy|titre=E. Benveniste, Noms d'agent et noms d'action en Paris|périodique=L'Antiquité Classique|volume=19|numéro=1|date=1950|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1950_num_19_1_2914_t1_0217_0000_2|consulté le=2022-08-02|pages=217–221}}</ref><ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Winther|titre=Un point de morpho-syntaxe : la formation des adjectifs substantivés en français|périodique=L'information grammaticale|volume=68|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/igram.1996.3023|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1996_num_68_1_3023|consulté le=2022-08-02|pages=42–46}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Michèle|nom1=Verdelhan-Bourgade|titre=Procédés sémantiques et lexicaux en français branché|périodique=Langue française|volume=90|numéro=1|date=1991|doi=10.3406/lfr.1991.6196|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1991_num_90_1_6196|consulté le=2022-08-02|pages=65–79}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=John|nom1=Reighard|titre=Contraintes sur le changement syntaxique|périodique=Cahier de linguistique|numéro=8|date=1978|issn=0315-4025|issn2=1920-1346|doi=10.7202/800073ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/cl/1978-n8-cl3102/800073ar/|consulté le=2022-08-02|pages=407–436}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Margit|nom1=Köski|prénom2=Láslò|nom2=Garaï|prénom3=Paul|nom3=Wald|titre=Les débuts de la catégorisation sociale et les manifestations verbales : une étude longitudinale|périodique=Langage & société|volume=4|numéro=1|date=1978|doi=10.3406/lsoc.1978.1068|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lsoc_0181-4095_1978_num_4_1_1068|consulté le=2022-08-02|pages=3–30}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Pierre|nom1=Hamblenne|titre=Vocabulaire latin (mots en ...eus) et analyse linguistique. À la recherche d'une méthode|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=67|numéro=1|date=1989|doi=10.3406/rbph.1989.3663|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1989_num_67_1_3663|consulté le=2022-08-02|pages=139–160}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Zellig Sabbettai|nom1=Harris|titre=Du morphème à l'expression|périodique=Langages|volume=3|numéro=9|date=1968|doi=10.3406/lgge.1968.2360|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1968_num_3_9_2360|consulté le=2022-08-02|pages=23–50}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Albert|nom1=Valdman|titre=Le créole : structure, statut et origine|périodique=Collection IDERIC|volume=8|numéro=1|date=1978|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ierii_1764-8319_1978_mon_8_1|consulté le=2022-08-02}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Moreux|titre=L'utilisation des méthodes quantitatives en linguistique grecque et latine|périodique=L'Antiquité Classique|volume=51|numéro=1|date=1982|doi=10.3406/antiq.1982.2077|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1982_num_51_1_2077|consulté le=2022-08-02|pages=291–338}}</ref><ref>{{Chapitre-B|prénom1=Olivier|nom1=Bonami|prénom2=Gilles|nom2=Boyé|prénom3=Françoise|nom3=Kerleroux|titre chapitre=L'allomorphie radicale et la relation flexion-construction|titre ouvrage=Aperçus de morphologie du français|éditeur=Presses universitaires de Vincennes|date=2009|lire en ligne=http://www.llf.cnrs.fr/sites/llf.cnrs.fr/files/biblio/BBK-Vincennes06.pdf|présentation en ligne=https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00638488|consulté le=2022-08-03|passage=103–126}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Françoise|nom1=Bader|titre=La formation des composés nominaux du latin|périodique=Collection de l'Institut des Sciences et Techniques de l'Antiquité|volume=46|numéro=1|date=1962|doi=10.3406/ista.1962.1010|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ista_0000-0000_1962_mon_46_1|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=François|nom1=Nemo|titre=Interprétabilité ou grammaticalité ? les listèmes comme interface entre sémantique et morphologie|périodique=Revue de Sémantique et Pragmatique|volume=35-36|numéro=35-36|date=2015-03-01|issn=1285-4093|doi=10.4000/rsp.1582|lire en ligne=https://journals.openedition.org/rsp/1582|consulté le=2022-08-03|pages=105–144}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Genres confus en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-07-04|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Genres_confus_en_fran%C3%A7ais&oldid=30631742|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Liste des animaux ayant des mots différents pour le mâle et la femelle|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-08-09|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Liste_des_animaux_ayant_des_mots_diff%C3%A9rents_pour_le_m%C3%A2le_et_la_femelle&oldid=28279699|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Mot épicène|titre ouvrage=Wikipédia|date=2022-04-29|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mot_%C3%A9pic%C3%A8ne&oldid=193256613|consulté le=2022-08-04}}</ref>. <references group="N" /> 9g7836h13xjz5wd8ucevu40ine4ae2o 3 80770 881241 2022-08-12T15:33:22Z Hérisson grognon 50100 Page créée avec « == Référent == Bonjour ! Merci d'avoir essayé de vous ajouter comme référent à plusieurs leçons. Par contre, il faut vous [[Spécial:créer un compte|]] (et s'inscrire ensuite avec le code automatique <code><nowiki>* ~~~</nowiki></code> pour être notifié en cas de question. N'hésitez pas à me demander plus d'informations si vous butez sur une étape. Cordialement, --~~~~ » wikitext text/x-wiki == Référent == Bonjour ! Merci d'avoir essayé de vous ajouter comme référent à plusieurs leçons. Par contre, il faut vous [[Spécial:créer un compte|créer un compte]] (et s'inscrire ensuite avec le code automatique <code><nowiki>* ~~~</nowiki></code> pour être notifié en cas de question. N'hésitez pas à me demander plus d'informations si vous butez sur une étape. Cordialement, --[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 12 août 2022 à 15:33 (UTC) e1uvg7imn36b1n8mzmm7frbzscpczaq 881242 881241 2022-08-12T15:33:56Z Hérisson grognon 50100 /* Référent */ wikitext text/x-wiki == Référent == Bonjour ! Merci d'avoir essayé de vous ajouter comme référent à plusieurs leçons. Par contre, il faut vous [[Spécial:créer un compte|créer un compte]] (et vous inscrire ensuite avec le code automatique <code><nowiki>* ~~~</nowiki></code> pour être notifié en cas de question. N'hésitez pas à me demander plus d'informations si vous butez sur une étape. Cordialement, --[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 12 août 2022 à 15:33 (UTC) da7d9sopl3ya7ydjfahlm814alzlg1u 881247 881242 2022-08-12T15:38:09Z Hérisson grognon 50100 /* Référent */ wikitext text/x-wiki == Référent == Bonjour ! Merci d'avoir essayé de vous ajouter comme référent à plusieurs leçons. Par contre, il faut '''[[Spécial:créer un compte|vous créer un compte]]''' (et vous inscrire ensuite avec le code automatique <code><nowiki>* ~~~</nowiki></code>) pour être notifié en cas de question. N'hésitez pas à me demander plus d'informations si vous butez sur une étape. Cordialement, --[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 12 août 2022 à 15:33 (UTC) 52rd16mn40s6dcujmmynsve7pijaabr