Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 10 3838 881299 609337 2022-08-14T08:49:29Z Crochet.david 317 . wikitext text/x-wiki <includeonly><div style="text-align:{{{text-align|left}}};"> {| class="wikitable" |+{{{titre|}}} {{#if: {{{en-tête|}}} | |{{!}} scope="col" style="font-weight:bold; background-color:#{{{couleur1|d9d9ff}}}; text-align:{{{text-align|left}}};"{{!}}{{nom langue|{{{langue1}}}}} {{!}} scope="col" style="font-weight:bold; 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Nous allons ici donner quelques exemples d'autres types d'ouvertures, leurs caractéristiques et les pistes mathématiques pour les résoudre. __TOC__ {{Clr}} == Autres formes d'ouverture == === Ouverture circulaire === L'ouverture circulaire produit des anneaux concentriques lumineux et sombres alternativement (la symétrie du problème est donc à nouveau respectée). La taille approximative de la tache centrale est <math> r=0,61 \frac \lambda a</math>, où ''r'' est le rayon de la tache, <math>\lambda</math> la longueur d'onde de la lumière, et a le rayon du trou diffractant. Cette figure de diffraction peut être calculée en passant en coordonnées polaires. === Trous d'Young et fentes d'Young === On appelle trous d'Young (respectivement fentes d'Young) le montage constitué d'un plan opaque percé de deux trous diffractants (respectivement deux fentes) l'un à côté de l'autre. On observe alors dans le cas des trous les mêmes anneaux concentriques comme pour la simple ouverture circulaire, mais striées de bandes sombres et de bandes plus claires. Ainsi, on retrouve le fait que la plus petite échelle de symétrie au niveau des ouvertures (symétrie circulaire des trous) est celle qui se retrouve à plus grande échelle sur la figure d'interférence (on observe bien des anneaux striées de bandes, et non des bandes striées d'anneaux). On remarque en outre que la visualisation de la figure de diffraction permet de donner des informations précieuses sur l’objet diffractant. == Diffraction par des motifs == La diffraction par des motifs consiste à reproduite le même motif de diffraction (trou, fente…) en plusieurs points du plan de diffraction. C’est ce que l’on a fait dans le cas des trous d'Young par exemple. La résolution mathématique se fait en calculant la figure de diffraction d'un seul motif, puis en sommant toutes les figures de diffraction engendrées par chaque motif. Il faut bien sûr dans ce cas faire attention à la phase à l'origine au niveau des motifs. == Diaphragmes de phase ou d'amplitude == {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Principe de Huygens-Fresnel/]] | suivant = [[../Théorème de Babinet/]] }} 0jozhyd176149msjgokzj1qqjl5o9js 0 24407 881262 881240 2022-08-13T12:54:32Z 78.115.16.110 /* Masse */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{esp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{esp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,06 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66056x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * x K = x {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F -32)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 g8szpfnner4ia58apcssclmas6fm5vn 881263 881262 2022-08-13T13:40:24Z 78.115.16.110 /* Température */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{esp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{esp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{esp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{esp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{esp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,06 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66056x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 jtcyr6dfh1sn9fpnl7dpe0i7bny2qbb 881265 881263 2022-08-13T13:57:24Z JackPotte 2411 /* Surface */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au 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systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,06 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66056x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 qjh44kmqrosktiuon7ezb6vzkgoyqra 881276 881265 2022-08-13T17:43:47Z 78.115.16.110 /* Masse */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,06 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 jeg3sk0dn1vqhx4jv2y0qdox3z5in5l 881277 881276 2022-08-13T17:52:13Z 78.115.16.110 /* Énergie */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252,2 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 p2h1ejzqoag778q5glfv44ay2xvqevp 881278 881277 2022-08-13T17:53:26Z 78.115.16.110 /* Énergie */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon = 4 quarts = 8 pintes = 3,7854 litres * 1 quart = 32 onces liquides = 0,94633 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 043901 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,184 Joules = 3,965 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 6n6eziw46sbzqm69lgh4w1en364u3qz 881279 881278 2022-08-13T18:13:59Z 78.115.16.110 /* Énergie */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 g04nzn5ntuqxi9yan55r78305keqk98 881280 881279 2022-08-13T18:16:19Z 78.115.16.110 /* Volume */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. 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L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085667 \times 10^{16}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 ml9990q5wqf3j020bpgxg6697qjgn6e 881281 881280 2022-08-13T18:54:49Z 78.115.16.110 /* Unités astronomique */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|30.48|mètres}} = {{unité|100|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 6,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 1,8288 = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085678 \times 10^{13}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 jrf25q3titrlvxx1rgqjfbw1f11r29k 881282 881281 2022-08-13T19:10:00Z 78.115.16.110 /* Unités marines */ wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|mètres}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = 0,19 millimètres * 1 ligne = 12 points = 2,256 millimètres * 1 pouce = 12 lignes = 27 millimètres * 1 pied-de-roi = 12 pouces = 325 millimètres * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|mètres}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|20,1168|mètres}} = {{unité|66|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 5,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085678 \times 10^{13}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 ob3uzoe5tgwfrfaj1noai7maymikkp3 881294 881282 2022-08-14T08:25:08Z Crochet.david 317 /* Unités françaises anciennes */ . wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = {{unité|0.19|{{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 ligne = 12 points = {{unité|2.256| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pouce = 12 lignes = {{unité|27| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pied-de-roi = 12 pouces = {{unité|325| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|mètres}} = 3 milles * 1 mile = {{unité|1609.344|mètre}} = 8 furlong * 1 furlong = {{unité|201.168|mètres}} = 220 yards * 1 chain = {{unité|20,1168|mètres}} = {{unité|66|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|mètres}} = 5,5 yards * 1 yard = {{unité|0.9144|mètre}} = {{unité|3|pieds}} = 36 pouces * 1 pied = {{unité|0.3048|mètre}} = 12 pouces * 1 pouce = {{unité|0.0254|mètre}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085678 \times 10^{13}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 hzg6al08228tb2jjlnvfy7n0gthi2g7 881295 881294 2022-08-14T08:26:03Z Crochet.david 317 /* Unités de longueur anglo-saxonnes */ . wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. 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L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = {{unité|0.19|{{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 ligne = 12 points = {{unité|2.256| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pouce = 12 lignes = {{unité|27| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pied-de-roi = 12 pouces = {{unité|325| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3 |milles}} * 1 mile = {{unité|1609.344|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|8| furlong}} * 1 furlong = {{unité|201.168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|220 |yards}} * 1 chain = {{unité|20,1168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|66|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|5.5| yards}} * 1 yard = {{unité|0.9144|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3|pieds}} = {{unité|36` pouces}} * 1 pied = {{unité|0.3048|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|12| pouces}} * 1 pouce = {{unité|0.0254|{{abréviation|m|mètre}}}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085678 \times 10^{13}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 ip1oae5bom6htt5xm82i5fp5epyp4so 881296 881295 2022-08-14T08:27:37Z Crochet.david 317 /* Unités de longueur anglo-saxonnes */ . wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = physique | département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique | niveau = 8 | autres projets = oui | w = Système international d'unités }} == Introduction == Le '''Système international d'unités''' (abrégé en '''SI'''), inspiré du '''système métrique''', est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et d'angle. C’est la Conférence générale des poids et mesures, rassemblant les délégués des États membres de la Convention du Mètre, qui décide de son évolution, tous les quatre ans, à Paris. L’abréviation de « Système international » est SI, quelle que soit la langue utilisée. La norme internationale ISO 80000-1:2009 décrit les unités du Système international et les recommandations pour l’emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le système a été conçu lors de la révolution française, ce profond changement a d'abord eu du mal à entrer dans les mœurs de la société comme le montre la célèbre thèse de Napoléon : <blockquote>« Le besoin de l'uniformité des poids et mesures a été senti dans tous les siècles ; plusieurs fois les états généraux l'ont signalé […] La loi en cette matière était si simple, qu'elle pouvait être rédigée dans vingt-quatre heures […] Il fallait rendre commune dans toutes les provinces l'unité des poids et mesures de la ville de Paris […] Les géomètres, les algébristes, furent consultés dans une question qui n'était que du ressort de l'administration. Ils pensèrent que l'unité des poids et mesures devait être déduite d'un ordre naturel, afin qu'elle fût adoptée par toutes les nations […] Dès ce moment on décréta une nouvelle unité de poids et mesures qui ne cadra ni avec les règlements de l'administration publique, ni avec les tables de dimensions de tous les arts […] Il n'y avait pas d'avantage à ce que ce système s'étendît à tout l'univers ; cela était d'ailleurs impossible : l'esprit national des Anglais et des Allemands s'y fût opposé […] Cependant on sacrifiait à des abstractions et à de vaines espérances le bien des générations présentes […] Les savants conçurent une autre idée tout à fait étrangère au bienfait de l'unité de poids et de mesures ; ils y adaptèrent la numération décimale […] ils supprimèrent tous les nombres complexes. Rien n'est plus contraire à l'organisation de l'esprit, de la mémoire et de l'imagination […] Enfin, ils se servirent de racines grecques, ce qui augmenta les difficultés ; ces dénominations, qui pouvaient être utiles pour les savants, n'étaient pas bonnes pour le peuple […] C'est tourmenter le peuple pour des vétilles !!! »<ref>Mémoires de Napoléon - Campagnes d'Italie Chapitre XVII (Journée du 18 Fructidor) écrit par Napoléon Bonaparte (1816-20) Réédité par Tallandier- Thierry Lentz en octobre 2010</ref></blockquote> == Les sept unités du Système international == Le Système international compte sept unités de base, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes possédant chacune un symbole. L'idée est qu'avec ces sept unités on a les grandeurs suffisantes pour en utiliser d'autres (par exemple la concentration fait appel à deux grandeurs de base). {{Harvsp|Bureau international des poids et mesures|2006|p=21}} possédant chacune un [[symbole]] : {| class="wikitable" style="text-align:center;" !Grandeur !Symbole de la grandeur !Symbole de la dimension !Unité SI !Symbole associé à l'unité |- | align="left" |Masse |''m'' |M |kilogramme |kg |- | align="left" |Temps |''t'' |T |seconde |s |- | align="left" |Longueur |''l, x, r…'' |L |mètre |m |- | align="left" |Température |''T'' |Θ |kelvin |K |- | align="left" |Intensité électrique |''I, i'' |I |ampère |A |- | align="left" |Quantité de matière |''n'' |N |mole |mol |- | align="left" |Intensité lumineuse |''I{{ind|v}}'' |J |candela |cd |} == Longueur == {{Définition | contenu = Le mètre est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant <math>\frac 1{299792548}</math> seconde }} {{Propriété | titre = Terme associé au mètre | contenu = * Grandeur : longueur * Unité SI : le mètre * Symbole : m * Dimension : L }} === Sous-multiples === {{Article principal|Mètre et ses sous-multiples}} === Multiples du mètre === {{Article principal|Mètre et ses multiples}} === Unités françaises anciennes === * 1 lieu terrain = {{Unité|4444|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu métrique = {{Unité|4000|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 lieu de poste = {{Unité|3898|{{abréviation|m|mètre}}}} * 1 arpent = {{unité|58.47|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Multiples et sous multiples du pied-de-roi ==== * 1 point = {{unité|0.19|{{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 ligne = 12 points = {{unité|2.256| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pouce = 12 lignes = {{unité|27| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 pied-de-roi = 12 pouces = {{unité|325| {{abréviation|mm|millimètre}}}} * 1 toise = {{unité|6|pieds}} = {{unité|1.949|{{abréviation|m|mètre}}}} ==== Système de la « Canne-Royale » ==== * 1 paume = 1 palmus minor = 34 lignes * 1 palme = 1 palmus maior = 55 lignes * 1 empan = paume + palme = 89 lignes * 1 pied = empan + palme = 144 lignes * 1 coudée = pied + empan = 233 lignes ==== Autres systèmes au Moyen Âge ==== * 1 grain d'orge = 4 lignes * 1 doigt = 9 lignes * 1 pouce = 12 lignes * 1 paume = 36 lignes * 1 pied = 144 lignes * 1 coudée = 216 lignes * 1 toise = 884 lignes === Unités de longueur anglo-saxonnes === * 1 lieu = {{unité|4828.032|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3 |milles}} * 1 mile = {{unité|1609.344|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|8| furlong}} * 1 furlong = {{unité|201.168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|220 |yards}} * 1 chain = {{unité|20,1168|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|66|pieds}} * 1 rod = {{unité|5.0292|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|5.5| yards}} * 1 yard = {{unité|0.9144|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|3|pieds}} = {{unité|36| pouces}} * 1 pied = {{unité|0.3048|{{abréviation|m|mètre}}}} = {{unité|12| pouces}} * 1 pouce = {{unité|0.0254|{{abréviation|m|mètre}}}} === Unités marines === * 1 circonférence = {{unité|40003.2|kilomètres}} = 360 degrés * 1 degré = {{unité|111.12|kilomètres}} = 50 lieu marin * 1 lieu marin = {{unité|2222.4|mètres}} = 1,2 mile marin * 1 mile marin = {{Unité|1852|{{abréviation|m|mètre}}}} = 10 encablures * 1 encablure = {{unité|185.2|mètres}} * 1 brasse = 2 yards === Unités astronomique === * 1 parsec = <math>\scriptstyle 3,085678 \times 10^{13}</math> kilomètres * 1 unité-astronomique = {{formatnum:149597870}},7 kilomètres * 1 année-lumière = {{Unité|9460730472580.8|kilomètres}} = 365,25 jours-lumières * 1 jour-lumière = {{Unité|25902068371.2|kilomètres}} = 24 heures-lumières * 1 heure-lumière = {{Unité|1079252848.8|kilomètre}} = 60 minutes-lumières * 1 minutes-lumière = {{formatnum:17987547}},48 kilomètres = 60 secondes-lumières * 1 seconde-lumière = {{unité|299792.458|kilomètres}} === Unités microscopiques === * 1 angström = <math>\scriptstyle 10^{-10}</math> mètre = 100 picomètres == Surface == '''Unité SI : mètre carré (m{{exp|2}}) * 1 are = {{unité|100|m|2}} = 10{{exp|-4}} km{{exp|2}} === Unités américaines === * 1 Acre = 0,4046873 ha * 1 Square inch (sq in)= 6,451626&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290341 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361307 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589998&nbsp;km{{exp|2}} === Unités impériales === * 1 Acre = 0,4046842 ha * 1 Square inch (sq in) = 6,451578&nbsp;cm{{exp|2}} * 1 Square foot (sq ft) = 144 sq in = 0,09290272 m{{exp|2}} * 1 Square yard (sq yd) = 9 sq.ft = 0,8361245 m{{exp|2}} * 1 Square mile (sq mi) = 640 acres = 2,589979&nbsp;km{{exp|2}} == Volume == '''Unité SI : mètre cube (m{{exp|3}}) * 1 litre = 10{{exp|-3}} m{{exp|3}} = 1 dm{{exp|3}} = 1,0567 quarts US * 1 gallon US = 4 quarts US = 8 pintes US = 3,78541 litres * 1 quart US = 32 onces liquides US = 0,946353 litre == Énergie == '''Unité SI : joule (J)''' * 1 joule = 1&nbsp;kg.m{{exp|2}}.s{{exp|-2}} = 0,239 calorie = 9,4781 X 10{{exp|-4}} BTU (British Thermal Unit) * 1 calorie = 4,1868 Joules = 3,968 X 10{{exp|-3}} BTU * 1 BTU = 1 055,056 joules = 252 calories == Masse == '''Unité SI : kilogramme ({{abréviation|kg|kilogramme}})''' * 1 kilogramme = {{formatnum:1000}} grammes = 2,2046 livres * 1 livre = {{unité|453.59|grammes}} = 0,45359 kilogramme = 16 onces * 1 tonne = {{formatnum:2000}} livres = 907,185 kilogrammes * 1 tonne métrique = {{formatnum:1000}} kilogrammes = 2 204,6 livres * 1 unité de masse atomique = 1,66054x10{{exp|-27}} kilogramme == Pression == '''Unité SI : pascal ({{abréviation|Pa|Pascal}})''' * 1 pascal = 1 N.m{{exp|-2}} = 1&nbsp;kg.m{{exp|-1}}.s{{exp|-2}} * 1 atmosphère = 101,325 kilopascals = 760 torrs (mmHg) = 14,70 livres par pouce carré (psi) * 1 bar = 10{{exp|5}} pascals == Température == '''Unité SI : kelvin (K)''' * 0 K = {{Unité|-273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = {{Unité|-459.67|{{Abréviation|°F|degré Fahrenheit}}}} * K = {{Abréviation|°C|degré Celsius}} + {{Unité|273.15|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} = <math>\frac{5 (^\circ F +459,67)}{9}</math> * °F = <math>\frac{9 (^\circ C)}{5}</math>+32 mley17rjpnzltl3rr180421oh1yv7hr 11 24861 881290 563779 2022-08-13T23:39:35Z Matt07857 70426 /* comment changer la langue en grec ? */ nouvelle section wikitext text/x-wiki == Problèmes du modèle == Bonjour, Il me semble que se modèle a quelques défauts. Par exemple, il ne peut comporter que 25 traductions, les suivantes n'étant pas affichées (mais c’est peut-être volontaire ?). De plus, si l’on utilise plusieurs fois ce modèle dans la même page, ils ne sont pas (ou pas toujours) disposés dans le même ordre à l'édition et à l'affichage. Quelqu'un saurait-il régler ça ? Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 9 novembre 2009 à 17:32 (UTC) : Par exemple, sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Mammifères]], les différents modèles sont disposés, dans la page d'édition, dans l'ordre: "carnivores/cétacés/primates/rongeurs/ruminants/autres", et apparaissent dans l'ordre: "cétacés/primates/rongeurs/ruminants/autres/carnivores". Un autre exemples sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Oiseaux]] (les deux seuls problèmes que j´ai rencontré). Dans les deux cas, le premier modèle est renvoyé en dernier. Par contre, pas de problème sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Arthropodes]]. : Par ailleurs, il y aussi un problème avec les titres. Sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]], la liste est placé après le titre "Liste" dans la page d'édition, mais apparaît après le titre "Galerie". Peut-être ces deux problèmes sont-ils liés ? : Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 9 novembre 2009 à 18:58 (UTC) ::Je t'ai mis une rallonge jusque 40 entrées. J’ai essayé de faire plus mais, comme tu constateras sur [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]], on se heurte à une limitation fondamentale à laquelle je pense que malheureusement je ne peux pas faire grand'chose à mon échelle : le tableau est trop grand pour la classe de tableau utilisée ! Essaye de te débrouiller avec des tableaux à 40 entrées (c'est déjà pas si mal après tout) {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 9 novembre 2009 à 20:10 (UTC) ::: Merci pour tes corrections. En effet, 40 entrées devraient suffire. Par ailleurs, le problème avec les titres persiste dans la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]]. Peux tu y faire quelque chose ? Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 10 novembre 2009 à 15:45 (UTC) ::::Salut! J'utlise beaucoup le modèle Traductions dans le département Portugais. J’ai ajouté la possibilité de masquer les titres de colonnes et de n'afficher qu'une seule ligne de données. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 1 décembre 2015 à 11:56 (UTC) == comment changer la langue en grec ? == j'ai essayé '''langue2'''=gr mais le texte du titre du tableau devient vide, est-ce qu'il y a une liste des codes qqpart? [[Utilisateur:Matt07857|Matt07857]] ([[Discussion utilisateur:Matt07857|discuter]]) 13 août 2022 à 23:39 (UTC) 0f4qhs6weveo6d8p8y1wk2wj46w6jo7 881297 881290 2022-08-14T08:33:41Z Crochet.david 317 /* comment changer la langue en grec ? */ . wikitext text/x-wiki == Problèmes du modèle == Bonjour, Il me semble que se modèle a quelques défauts. Par exemple, il ne peut comporter que 25 traductions, les suivantes n'étant pas affichées (mais c’est peut-être volontaire ?). De plus, si l’on utilise plusieurs fois ce modèle dans la même page, ils ne sont pas (ou pas toujours) disposés dans le même ordre à l'édition et à l'affichage. Quelqu'un saurait-il régler ça ? Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 9 novembre 2009 à 17:32 (UTC) : Par exemple, sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Mammifères]], les différents modèles sont disposés, dans la page d'édition, dans l'ordre: "carnivores/cétacés/primates/rongeurs/ruminants/autres", et apparaissent dans l'ordre: "cétacés/primates/rongeurs/ruminants/autres/carnivores". Un autre exemples sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Oiseaux]] (les deux seuls problèmes que j´ai rencontré). Dans les deux cas, le premier modèle est renvoyé en dernier. Par contre, pas de problème sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux/Arthropodes]]. : Par ailleurs, il y aussi un problème avec les titres. Sur la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]], la liste est placé après le titre "Liste" dans la page d'édition, mais apparaît après le titre "Galerie". Peut-être ces deux problèmes sont-ils liés ? : Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 9 novembre 2009 à 18:58 (UTC) ::Je t'ai mis une rallonge jusque 40 entrées. J’ai essayé de faire plus mais, comme tu constateras sur [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]], on se heurte à une limitation fondamentale à laquelle je pense que malheureusement je ne peux pas faire grand'chose à mon échelle : le tableau est trop grand pour la classe de tableau utilisée ! Essaye de te débrouiller avec des tableaux à 40 entrées (c'est déjà pas si mal après tout) {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 9 novembre 2009 à 20:10 (UTC) ::: Merci pour tes corrections. En effet, 40 entrées devraient suffire. Par ailleurs, le problème avec les titres persiste dans la page [[Espagnol/Vocabulaire/Animaux]]. Peux tu y faire quelque chose ? Cordialement, --[[Utilisateur:Gagea|Gagea]] 10 novembre 2009 à 15:45 (UTC) ::::Salut! J'utlise beaucoup le modèle Traductions dans le département Portugais. J’ai ajouté la possibilité de masquer les titres de colonnes et de n'afficher qu'une seule ligne de données. Amicalement. --[[Utilisateur:Youni Verciti|Youni Verciti]] ([[Discussion utilisateur:Youni Verciti|discussion]]) 1 décembre 2015 à 11:56 (UTC) == comment changer la langue en grec ? == j'ai essayé '''langue2'''=gr mais le texte du titre du tableau devient vide, est-ce qu'il y a une liste des codes qqpart? [[Utilisateur:Matt07857|Matt07857]] ([[Discussion utilisateur:Matt07857|discuter]]) 13 août 2022 à 23:39 (UTC) :{{notif|Matt07857}}Le grec, c'est ''grc'' pour le grec ancien et ''el'' pour le grec moderne et non ''gr'' pzy5nehovd4nk4eljvi8xclaew0w4m9 0 27055 881288 677783 2022-08-13T23:14:47Z Lewispouho 70425 /* Montrer l’exemple */ correction de mot wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 16 | idfaculté = gestion | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La certification OHSAS 18001/]] }} == Les principes du management de la sécurité == === Montrer l’exemple === En dehors de l’entreprise, le respect des règles est l'affaire de chacun. Dans un organisme les personnes ont chacun un rôle à jouer, et en particulier au moins une personne est chargée de veiller au respect des règles de sécurité. Cette personne se doit de bien observer les règles, car le reste des employés l'observent, parlent entre eux de son comportement. Son exemplarité est la condition de sa crédibilité. === L'implication du personnel === Si le manager explique comment faire, les gens l'écouteront peut être. Une approche plus participative à cependant plus de chances d’être respecté. Le manager peut donc agir en trois étape : * demande d'avis des employées ; * écoute des solution proposés ; * approbation, rectification ou refus des propositions ; * application des solutions retenues. === L'intervention continue === Le manager doit Intervenir systématiquement dès qu’il observe un risque. Chaque lèse laissé sans intervention renforce implicitement l’idée qu’il est « autorisé » de transgresser le règlement. Le responsable sécurité doit cependant entretenir une relation non répressive aussi longtemps que possible :  « on cherche la cause, pas un coupable ». === Le devoir d'autorité === Le responsable sécurité ne doit pas chercher à mettre ses collaborateurs à l'amande. Mais en cas de refus ou de malveillance il a un « devoir d’autorité » pour que le risque dont il a connaissance soit résolu. Sinon, il exposerait l’opérateur, l’organisme, et lui-même personnellement. === L'intervention constructive et participative === Le responsable sécurité se doit d’établir un lien personnel chaleureux, il parle à un collègue de travail. De plus il doit interagir avec lui de manière professionnel : * constater le problème ; * lui demander sa solution ; * confirmer éventuellement son accord ; * faire mettre en application ; * contrôler. Il est important qu’il reste centré sur les '''faits''' et les '''objectifs professionnels'''. === Les 3 légitimités d'intervention === Le responsable sécurité se doit d’agir pour trois raisons : * éviter le pénal à sa hiérarchie ; * éviter les coûts civils ; * c’est sa fonction. Mais surtout d'un point de vu légal, trois facteur le somme d'intervenir : # l'obligation morale personnelle # l'obligation d'entreprise # sa responsabilité pénale personnelle. [[Fichier:Les facteurs légaux d'intervention dans la gestion du risque.svg|thumb|Les facteurs légaux d'intervention dans la gestion du risque]] == Indicateurs == Pour suivre l'évolution des résultats de son travail, le responsable de la sécurité dispose de divers éléments. {{Définition | titre =Taux de fréquence | contenu = <math>\text{Taux de fréquence} = \frac{ ( \text{nombre d’accident avec arrêt} \times 1 000 000 )}{ \text{nombre d’heures travaillées} }</math> }} {{Définition | titre = Taux de gravité | contenu = <math>\text{Taux de gravité} = \frac{ ( \text{nombre de jours perdus} \times 1 000 )}{ \text{nombre d’heures travaillées} }</math> }} Mais aussi, plus simplement : * le nombre d’accident dans l’année (avec arrêt, sans arrêt, trajet, bénin) ; * le nombre de maladie professionnelle. {{Bas de page | idfaculté = gestion | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La certification OHSAS 18001/]] }} i3txaln0be9f09cl2cm1ssc4rkazgvw 881289 881288 2022-08-13T23:24:48Z Lewispouho 70425 /* L'implication du personnel */ correction de mot wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 16 | idfaculté = gestion | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La certification OHSAS 18001/]] }} == Les principes du management de la sécurité == === Montrer l’exemple === En dehors de l’entreprise, le respect des règles est l'affaire de chacun. Dans un organisme les personnes ont chacun un rôle à jouer, et en particulier au moins une personne est chargée de veiller au respect des règles de sécurité. Cette personne se doit de bien observer les règles, car le reste des employés l'observent, parlent entre eux de son comportement. Son exemplarité est la condition de sa crédibilité. === L'implication du personnel === Si le manager explique comment faire, les gens l'écouteront peut être. Une approche plus participative à cependant plus de chances d’être respecté. Le manager peut donc agir en trois étape : * demande d'avis des employées ; * écoute des solution proposées ; * approbation, rectification ou refus des propositions ; * application des solutions retenues. === L'intervention continue === Le manager doit Intervenir systématiquement dès qu’il observe un risque. Chaque lèse laissé sans intervention renforce implicitement l’idée qu’il est « autorisé » de transgresser le règlement. Le responsable sécurité doit cependant entretenir une relation non répressive aussi longtemps que possible :  « on cherche la cause, pas un coupable ». === Le devoir d'autorité === Le responsable sécurité ne doit pas chercher à mettre ses collaborateurs à l'amande. Mais en cas de refus ou de malveillance il a un « devoir d’autorité » pour que le risque dont il a connaissance soit résolu. Sinon, il exposerait l’opérateur, l’organisme, et lui-même personnellement. === L'intervention constructive et participative === Le responsable sécurité se doit d’établir un lien personnel chaleureux, il parle à un collègue de travail. De plus il doit interagir avec lui de manière professionnel : * constater le problème ; * lui demander sa solution ; * confirmer éventuellement son accord ; * faire mettre en application ; * contrôler. Il est important qu’il reste centré sur les '''faits''' et les '''objectifs professionnels'''. === Les 3 légitimités d'intervention === Le responsable sécurité se doit d’agir pour trois raisons : * éviter le pénal à sa hiérarchie ; * éviter les coûts civils ; * c’est sa fonction. Mais surtout d'un point de vu légal, trois facteur le somme d'intervenir : # l'obligation morale personnelle # l'obligation d'entreprise # sa responsabilité pénale personnelle. [[Fichier:Les facteurs légaux d'intervention dans la gestion du risque.svg|thumb|Les facteurs légaux d'intervention dans la gestion du risque]] == Indicateurs == Pour suivre l'évolution des résultats de son travail, le responsable de la sécurité dispose de divers éléments. {{Définition | titre =Taux de fréquence | contenu = <math>\text{Taux de fréquence} = \frac{ ( \text{nombre d’accident avec arrêt} \times 1 000 000 )}{ \text{nombre d’heures travaillées} }</math> }} {{Définition | titre = Taux de gravité | contenu = <math>\text{Taux de gravité} = \frac{ ( \text{nombre de jours perdus} \times 1 000 )}{ \text{nombre d’heures travaillées} }</math> }} Mais aussi, plus simplement : * le nombre d’accident dans l’année (avec arrêt, sans arrêt, trajet, bénin) ; * le nombre de maladie professionnelle. {{Bas de page | idfaculté = gestion | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../La certification OHSAS 18001/]] }} k0cmo5m25vqkokc11a6t7f92ce6xaip 0 63482 881275 881261 2022-08-13T16:59:42Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi {{Nobr|Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer * la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et * la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant * la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet (avec origine au sommet) soit <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> et * la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image (avec origine au sommet) soit <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal », en effet pour qu'il soit « afocal », il faudrait que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, mais ayant établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, et non le point à l'infini de l'axe optique principal on en déduit que le dioptre sphérique est bien un « système focal ». * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit <math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math>. <center><u>Notion de distances focales objet et image</u> :</center> * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par <math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math> est liée à la vergence par <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}</math> ; <center>on en déduit la relation <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <ref> Cette relation découle de la 1^ère relation de conjugaison de position de Descartes du dioptre sphérique appliquée aux couples de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> et <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>.</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} s8s0xvfsds5ar02vq1afq7pogosjbqg 881285 881275 2022-08-13T21:22:01Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi {{Nobr|Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et de l'indice de l'espace objet comparé à celui de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » (respectivement « négative ») est dit « convergent » (respectivement « divergent ») et enfin {{Al|5}}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est * de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)</math>, * de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)</math> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre"> Correspondant au caractère réel (resp. virtuel) du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave (resp. convexe).</ref>, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math> <ref name="nature de C dioptre" />, a <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet eau, espace image air<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>divergent</u> » et <br>{{Al|5}}une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\big(</math>exemple espace objet air, espace image eau<math>\big)\;</math> c'est alors un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on en déduit la nature (réelle ou virtuelle) des foyers principaux objet et image suivant la nature (convergente ou divergente) du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent on a <math>\;n_o > n_i</math>.</ref> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image"> La lumière passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent on a <math>\;n_o < n_i</math>.</ref> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet inférieur à indice image" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> <ref name = "indice objet supérieur à indice image" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique dans chacun des cas ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| < |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche).</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}pour un dioptre sphérique pour lequel la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, <math>\;n_o\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;n_i</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à une distance <math>\;|f_o| = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> à une distance <math>\;|f_i| = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <math>\;|f_i| > |f_o|\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> <ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel (c.-à-d. usuellement à droite) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle (c.-à-d. usuellement à gauche),<br><span style="color:#ffffff;"><small>....</small>Avec, </span>pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel (c.-à-d. usuellement à gauche) et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle (c.-à-d. usuellement à droite).</ref>.}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 4zs6oegncyoqu7yxwap6v5pq1z81b2m 881293 881285 2022-08-14T05:43:21Z Phl7605 31541 utre wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi {{Nobr|Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}Soit le dioptre sphérique concave convergent introduit à la 1^ère question et un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math> <ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}cette dernière condition entraîne que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math> <ref name="Nette" /> mais a priori cette image n'est <math>-</math> hors conditions de Gauss d'aplanétisme approché <math>-</math> ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse » ; {{Al|5}}Supposant que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> est, * quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et * quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, {{Al|5}}ces deux conditions sont une première façon de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre.</ref>. {{Al|5}}Il existe une deuxième façon équivalente de définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse quelconque <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="façon plus simple" /> : * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, l'objet doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et * quand l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, l'objet doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, l'angle <math>\;\beta</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on a établi auparavant la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_.28ou_1.C3.A8re_relation_de_conjugaison.29_de_Descartes_.28avec_origine_au_centre.29|relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)]] <ref name="méthode moins aisée" /> <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite :</center> {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre), montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment perpendiculaire à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Nous aurons donc établi qu'il y a aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math> <ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément <math>\;[CA_o] =</math> <math>[CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math><ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement <math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math> prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <ref name="axe optique secondaire" />, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre) donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes (avec origine au centre) indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite au premier paragraphe, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi perpendiculaire à l'axe optique principal de support <math>\;(CA_i)\;</math> <ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> a donc été établi <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math> <ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfractés, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math> : * déterminer l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;p_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;p_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> <ref> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> <ref name="définition ε" />, * travaillant dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i\;</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, puis conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour l'objet linéique <math>\;A_oB_o\;</math> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} akyem3pwllgaa4eqy8vi7v6dhmsvl29 881300 881293 2022-08-14T09:48:57Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A₀ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais<br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0\;</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"/> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi {{Nobr|Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_dioptre_sphérique_concave_convergent_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette" /> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée" /> à savoir «<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support {{Nobr|<math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire" />,}} l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)" /> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε" />, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|Schéma positionnant un objet linéique transverse de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R</math>, la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R</math>.</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique (avec origine au sommet) de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit <math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>.</center> # <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math> avec <math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1</math>, on en déduit <math>\;\tan(\beta) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math> d'où <center><math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o</math> ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})</math>, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)</math> ;</center> # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> (écrite pour de petits angles) est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math> <ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. encore égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> et le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. encore égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o</math>, l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction (écrite pour de petits angles) conduisant à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> <center><math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math> <ref name="vérification signes bis" />,</center> {{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> <center><math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center><math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> identique à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du point image <math>\;A_i</math> ;</center> # l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal étant égale à l'abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) de <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u> <math>\;A_oB_o\;</math> <u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre perpendiculaire en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous en 1^ère ligne les quatre types de dioptres sphériques et en 2^ème ligne leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter" />. <gallery> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg| Dioptre sphérique concave air - verre.jpg| Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg| Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg| </gallery> <gallery> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en S pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" />{{,}} <ref> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est perpendiculaire à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas perpendiculaire à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> et <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; <center>cette relation définit la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour tout objet linéique transverse de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> <ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math> <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_o \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}</math>, * <math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math>, <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, et comme <math>\;|i|\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math> on en déduit : <math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au sommet)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = C\;</math> <ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o = S\;</math> <ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique (c.-à-d. rectiligne) car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux que pour les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet (secondaire) pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math> <ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|Construction de l'image d'un objet linéique transverse de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math> a pour image, par le dioptre, une image linéique transverse de pied <math>\;C</math>, notée <math>\;CB_i</math> ; pour construire cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center> <math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math> et par suite <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math> ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) nous conduit à <math>\;G_t(C) =</math> <math>\dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}</math>, soit effectivement <math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}</math>. {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; comme <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math> on en déduit, par définition, <math>\;G_t(S) = +1\;</math>.}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)</math>,</center> # foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> <ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, <center>soit effectivement<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>.</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <ref> Pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> (indice du verre) et <math>\;n_i = 1,0\;</math> (indice de l'air).</ref>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> <ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir concave divergent (obtenu en permutant les espaces objet et image). {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal]] # En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtenant en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire]] # En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants (voir schéma ci-contre) : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math><math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtenant comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant deux des trois rayons incidents issus de B_o : passant par C, passant par F_o ou parallèle à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse A_oB_o utilisant un des deux incidents issus de A_o : passant par un foyer secondaire objet ou parallèle à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes (origine au centre) utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes (avec origine au centre) du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math> et * l'abscisse image de Descartes (avec origine au centre) du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au centre) en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = [n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math> <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes avec origine en C pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) <ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_i} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} \Leftrightarrow \dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au centre)</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = 1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math> <ref name="hors centre" />, * <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} > 0\;</math> <ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> d'où <center>la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Descartes (avec origine au centre)</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Newton de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton s'écrit <center><math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math> <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou <math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille"> On retrouve la forme commune vue pour un miroir sphérique et qui sera établie au chapitre suivant pour une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_o =</math> <math>\overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou <math>\;p_o = f_o + \sigma_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math> <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;p_i =</math> <math>\overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou <math>\;p_i = f_i + \sigma_i</math> ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Newton en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)</math> <math>= (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 =</math> <math>n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math> et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math> <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> ; la <u>1^ère relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math> <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math> en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> <br>avec <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</center>}} [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au sommet) et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" /> <ref name="Applicabilité relation de Newton" />. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} tuu4wzeh4k44t0h1a9qy2lkzfpp2l7z 2 66316 881284 880915 2022-08-13T20:37:49Z Ambre Troizat 8860 /* Jullien (violoniste) */ Mémoires du général bon Thiébault wikitext text/x-wiki <gallery> Fichier:Discovery of America- Vespucci Landing in America MET DP801479.jpg|Discovery of America- Vespucci Landing in America File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 File:Portret van een lid van de familie Van der Mersch Rijksmuseum SK-A-3948.jpeg|Portrait of a Member of the Van der Mersch Family, amateur d'art et de musique </gallery> * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso|Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#Organisation par ordre alphabétique|Organisation par ordre alphabétique]] == Sommaire par régimes politiques == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso|Organisation par régimes politique]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Les_enfants_naturels_des_monarques|Les enfants naturels des monarques sous la monarchie française (France et Navarre), de 1638 à 1793]] == 5 septembre 1638 - 1er septembre 1715 ou le {{S|XVII}} de Louis XIV == ;[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/5_septembre_1638_-_1er_septembre_1715_ou_le_XVIIe_siècle_de_Louis_XIV|5 septembre 1638 - 1er septembre 1715 ou le {{S|XVII}} de Louis XIV]] === Les Bourbons, rois de France (Bibliographie) === * 1769 - {{bibliographie|Q19224840}}, [https://archive.org/search.php?query=Précis%20du%20siècle%20de%20Louis%20XV Voltaire sur Internet Archive], [[s:Précis du siècle de Louis XV|Précis du siècle de Louis XV]], [[s:Précis du siècle de Louis XV/Chapitre 2|Régence du duc d’Orléans. Système de Law ou Lass, p. 161]]. === Louis XIV et la question de la légalisation de l'esclavage === == XVIIIe siècle (1715-1792) : Louis XV & Louis XVI == Louis XV et Louis XVI occupe le {{S|XVIII}} '''Monarchie Française (France et Navarre), [[w:Liste_des_monarques_de_France#Bourbons_(1589-1792)|Bourbons (1589-1792)]]''' [[w:Capétiens#Les_Bourbons|Monarchie capétienne des Bourbons]] [[w:Maison capétienne de Bourbon|Maison capétienne de Bourbon]] * Louis XV "le Bien-Aimé", Roi de France et de Navarre * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#Théâtre,_Musique_&_peinture_sous_Louis_XV_&_Louis_XVI|Théâtre, Musique & peinture sous Louis XV & Louis XVI]] == Conditions sociales comparées : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des {{S|XVIII}} & {{S|XIX}} == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conditions sociales comparées : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des XVIIIe & XIXe siècles|Condition sociale comparée : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des XVIIIe & XIXe siècles]] == Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774 == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774|Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774]] == Louis XVI : 23 août 1754 – 21 janvier 1793 == ;[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/23_août_1754_-_21_janvier_1793_ou_le_XVIIIe_siècle_de_Louis_XVI|23 août 1754 - 21 janvier 1793 ou le deuxième {{S|XVIII}} de Louis XVI]] [[w:Capétiens#Les_Bourbons|Monarchie capétienne des Bourbons]] [[w:Maison capétienne de Bourbon|Maison capétienne de Bourbon]] * Louis XVI est Roi de France et de Navarre du 10 mai 1774 au 6 novembre 1789 (Durée : 15 ans, 5 mois et 27 jours) '''1789-1799 - Période dite de la Révolution française''' * Louis XVI est Roi des Français du 6 novembre 1789 au 21 septembre 1792 (2 ans, 10 mois et 15 jours) ** ''[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#Louis_XVI|'''Louis XVI, 23 août 1754 – 21 janvier 1793''']]'' == 23 août 1754 - 21 janvier 1793 ou le deuxième {{S|XVIII}} de Louis XVI == ;[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/23_août_1754_-_21_janvier_1793_ou_le_XVIIIe_siècle_de_Louis_XVI|23 août 1754 - 21 janvier 1793 ou le deuxième {{S|XVIII}} de Louis XVI]] Roi de France et de Navarre du 10 mai 1774 au 13 septembre 1791, soit 17 ans, 4 mois et 3 jours. Roi des Français du 13 septembre 1791 au 21 septembre 1792, soit 1 an et 8 jours. === Louis XVI et les enfants naturels de Louis XV === [[Fichier:Madame Lebel.- Grand retour du ministre Linotte, 1792.png|100px|vignette|gauche|Madame Lebel.- Grand retour du ministre Linotte, 1792]] === L'art de l'horlogerie enseigné en trente leçons === [[Fichier:Biblioteca de Luis XVI 05.JPG|100px|vignette|gauche|Table en acajou de Sainte-Lucie de la bibliothèque de Louis XVI]] {{Citation bloc|La machine à tailler les fusées nous indique que Louis XVI devait réaliser des mécanismes d'horlogerie entrant dans la fabrication de montres , de pendules ou d'horloges . La fusée est une pièce essentielle de ces mécanismes …|Jean-Dominique Bourzat.- Les après-midi de Louis XVI, p. 32, 2008<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Les_apr%C3%A8s_midi_de_Louis_XVI/JBnPL7PyktkC?hl=fr&gbpv=1&dq=Louis+XVI+%2B+horlogerie&pg=PA32&printsec=frontcover Jean-Dominique Bourzat.- Les après-midi de Louis XVI, p. 32, 2008]</ref>}} * La bibliothèque de Louis XVI — Cette pièce fut la première commande de Louis XVI, qui confia sa réalisation à l'architecte Ange-Jacques Gabriel en 1774. En 1778 il y fit placer une table en acajou de [[w:Sainte-Lucie|Sainte-Lucie]], attribuée à l'ébéniste Quervelle, ainsi qu'une commode de Jean-Henri Riesener quatre ans plus tard. [[w:Bibliothèque de Louis XVI|Bibliothèque de Louis XVI]] * 1827 - {{bibliographie|Q110796208}} <!-- L'art de l'horlogerie enseigné en trente leçons --> * [https://www.google.fr/books/edition/Lettres_patentes_du_roi_portant_%C3%A9tablis/4sM0T3sB04MC?hl=fr&gbpv=0 Lettres patentes du roi, portant établissement d'une manufacture royale d'horlogerie à Paris]. Données à Versailles le 17 Janvier 1787. Par France. Sovereign (1774-1792 : Louis XVI) · 1787 === Un bref bilan du règne de Louis XVI avant 1789 === * Roi des Français du 6 novembre 1789 au 21 septembre 1792 (Durée :2 ans, 10 mois et 15 jours) * Première République (1792-1799) '''Bibliographie Louis XV''' ==== La fin de l'empire colonial français aux Amériques ==== ;Avril 1782 - 3 septembre 1783, négociations franco-britanniques {{Citation bloc|Vingt ans plus tard, de nouvelles négociations franco-britanniques, commencées en avril 1782, se terminent le 3 septembre 1783 par la signature du second traité de Paris, dans lequel la Grande-Bretagne reconnaît l’indépendance des États-Unis d’Amérique. Ainsi, en l’espace de deux décennies, ces deux traités délimitent un tournant majeur dans l’histoire de l’Amérique du Nord. Ils marquent l’aboutissement de plusieurs siècles de rivalités coloniales entre Français et Anglais en Amérique du Nord et annoncent le point de départ d’un « monde atlantique nouveau » dont les États-Unis deviendront le centre.|{{bibliographie|Q111317338}}<ref>2016 - {{bibliographie|Q111317338}} in {{bibliographie|Q96972095}}<!-- Le Congrès des États-Unis et le traité de 1783) --></ref>}} ===== Les colonies des Antilles ===== ===== La Révolution Haïtienne ===== ===== La Révolution Guadeloupéenne ===== * [https://recherche-anom.culture.gouv.fr/ark:/61561/zn401vpoqrou Copie d'une lettre de MM. de Nolivos (Pierre Gédéon, comte de) et Moissac (Jean Louis Honoré d'Hesmivy, baron de), gouverneur et intendant de la Guadeloupe], Secrétariat d'Etat à la Marine - Correspondance à l'arrivée de la Martinique (1635-1815). Observations au sujet des ordonnances rendues par MM. de Nolivos, Prost de Lary et de Peynier sur le surhaussement des sols marqués et des liards envoyés de France depuis 1764. Identifiant ark : ark:/61561/zn401vpoqrou === Politique fiscale === * Louis XVI exempta les juifs du péage corporel et autres droits humiliants, === Evolution et disparition du "droit de joyeux avènement" === Louis XVI décida de soulager son peuple, en le dispensant du "droit de joyeux avènement", impôt perçu à chaque changement de règne. '''Le "droit de joyeux avènement" sous Louis XV''' * 1718 - Flandre. Eglises : Décision du conseil de régence en faveur du droit de joyeux avènement sur les pays conquis. Extrait de la séance du conseil de conscience, tenue le samedi 10 octobre 1716, où la question a été rapportée fort au long. Contre les églises de Cambrai, Arras et Saint-Omer, en Flandre, se prétendant exemptes du droit de joyeux avènement. {{BNF|367295351}} * 1725 - Acte. 1725-12-04. Versailles, France. Conseil d'Etat (13..-1791). Arrêt du conseil d'Etat qui ordonne que les deniers qui proviendront de l' imposition faite pour le droit de confirmation, à cause du joyeux avénement de S.M. à la couronne, dû par les communautés qui jouissent des droits d' usages, seront reçus par les collecteurs et par eux remis aux receveurs des tailles qui seront tenus de les remettre aux receveurs généraux des finances, {{BNF|336886211}} * 1726 - Acte. 1726-03-12. Versailles par France. Conseil d'Etat (13..-1791). Arrêt du conseil d'Etat qui décharge les officiers ordinaires et domaniaux de l'apanage de Mgr le duc d'Orléans, et dont il la pleine provision, du droit de confirmation à cause du joyeux avénement de S. M. à la couronne {{BNF|336888149}} * 1774 - L'Echo de la France, ou bonne renommée vaut mieux que ceinture dorée, proverbe dramatique, à l'occasion de l'heureux avènement de Louis XVI au trône, et de l'édit de mai 1774, portant remise du droit de Joyeux-Avènement, Paris : Ruault, 1774, {{BNF|33358384z}} * 1774 - Acte royal. 1774-05-00. La Muette, Édit... portant remise du droit de joyeux avènement, qui ordonne que toutes les rentes... et dettes de l'État continueront d'être payés comme par le passé, et que les remboursemens des capitaux ordonnés seront faits aux époques indiquées... Registré en Parlement le 30 [mai 1774], {{BNF|33845386k}} * 1774 - L'Étang, E.-L.-A.- La Reconnoissance, sur la remise du droit de joyeux avènement, discours au Roi. Signé : E.-L.-A. L'Étang. {{BNF|30805344d}} === Louis XVI : abolition du "droit de joyeux avènement" === {{Citation bloc|Parmi la foule des bienfaits dont l'infortuné, Louis XVI a laissé le souvenir, on citera toujours avec autant de reconnaissance que d'attendrissement, l'abolition des corvées, celle des servitudes, et la remise du droit de joyeux avènement à la couronne.|1814 - Arnaud, D' (17..-18.. ; d'Aix puis d'Orléans).- Du droit du joyeux avénement à la couronne, et de quelle manière il pourrait être aboli à perpétuité, Orléans, {{BNF|300287657}}.}} * 1825 - Fénelon, François de (1651-1715).- Réponse de l'archevêque de Cambrai au mémoire qui lui a été envoyé sur le droit de joyeux avènement, opuscule inédit de Fénelon, Paris : A. Le Clère, 1825, {{BNF|304272717}} === Louis XVI : création du corps des pompiers === * Autorisation pour l’installation de pompes à feu, pour approvisionner Paris en eau de manière régulière. === Louis XVI : politique sociale === * Louis XVI employa le premier l’expression de "justice sociale". * Louis XVI créa le droit de propriété des auteurs et compositeurs de musique. * Louis XVI décida d’aider l’abbé de L'Epée dans son œuvre pour l’éducation des "Sourds-muets sans fortune" auxquels il enseignait un langage par signes de son invention. Le roi lui versa alors une pension de 6000 livres sur sa propre cassette, contre l’avis de l’archevêché qui soupçonnait cet homme de jansénisme. * Louis XVI dota l’école de Valentin Hauÿ pour les aveugles. * Louis XVI finança tous les aménagements de l’Hôtel-Dieu pour que chaque malade ait son propre lit individuel * Louis XVI fonda un hôpital pour les enfants atteints de maladies contagieuses, aujourd’hui nommé Hôpital des Enfants-Malades. * Louis XVI ordonna aux hôpitaux militaires de traiter les blessés ennemis " comme les propres sujets du Roi ", 90 ans avant la première Convention de Genève * Louis XVI accorda sept millions de livres (£) aux victimes du froid excessif de 1784. Louis XVI accorda des pensions de retraite à tous ceux qui exerçaient une profession maritime. === Politique économique === [[Fichier:Edgar Faure - La disgrâce de Turgot, page de titre, 1961.png|100px|vignette|gauche|Edgar Faure - La disgrâce de Turgot, 1961]] * Louis XVI demanda l’établissement annuel de la balance du commerce. * Louis XVI supprima de très nombreuses charges de la maison du Roi (plus d’un tiers). * Louis XVI créa un mont-de-piété à Paris pour décourager l’usure et venir en aide aux petites gens. * Louis XVI abandonna aux équipages de ses vaisseaux le tiers de la valeur des prises, qui lui était réservé en temps de guerre. * Louis XVI donna l’ordre à ses commandants de vaisseaux de ne point inquiéter les pêcheurs anglais et obtint ainsi du gouvernement anglais la réciprocité pour les pêcheurs français === Politique religieuse === * Louis XVI fit construire les synagogues de Nancy et de Lunéville et permit aux juifs l’accès à toutes les maîtrises dans tout le ressort du Parlement de Nancy. Une grave erreur de bonté... * Louis XVI accorda l’état-civil aux protestant ce qui fut une de ses plus grandes erreurs… === Louis XVI : droit des prisonniers === * Louis XVI fit construire à ses frais des infirmeries "claires et aérées" dans les prisons. * Louis XVI s’inquiéta du sort qui était réservé aux prisonniers détenus en préventive de par leur inculpation, avant leur procès. Par ailleurs, il décida de leur accorder une indemnité ainsi qu’un droit d’annonce dans le cas où leur innocence serait reconnue lors de leur procès (sujet d’une étonnante actualité). === Louis XVI : droit des femmes === * Louis XVI accorda le premier le droit de vote aux femmes dans le cadre de l’élection des députés de l’assemblée des Etats-Généraux. * Louis XVI permit aux femmes d’accéder à toutes les maîtrises. * Louis XVI donna aux femmes mariées et aux mineurs de toucher eux-mêmes leurs pensions sans demander l’autorisation de leur mari ou tuteur. === Louis XVI : abolition du servage et la mainmorte === * Abolition du servage et la mainmorte dans le domaine royal, et le droit de suite qui permettait aux seigneurs de faire poursuivre les serfs ou mainmortables qui quittaient leur domaine. === Louis XVI : abolition de la question === Louis XVI ordonna l’abolition de la question préparatoire et préalable (torture). === Louis XVI : développement de l'enseignement technologique === Louis XVI créa le Musée des Sciences et Techniques, futur centre national des Arts et Métiers. Louis XVI fonda l’école des Mines. Louis XVI finança sur ses propres fonds les expériences d’aérostation des frères Montgolfier. Louis XVI finança également les expériences de Jouffroy d’Abbans pour l’adaptation de la machine à vapeur à la navigation. 1793 - LOUIS XVI, qui aimait sincèrement et profondément les peuples de son royaume. Rappelons aussi qu'avant son exécution, il en avait appelé au peuple, mais les criminels révolutionnaires lui ont refusé ce droit. Lu sur facebook, Patrick Laine, Samedi 22 janvier 2022, à 13:56 '''Bibliographie Louis XVI''' * 1961 - {{bibliographie|Q110878693}}, 12 mai 1776 <!-- La disgrâce de Turgot sous Louis XVI--> === La peine de mort (Bibliographie) === * 1908 - A. Lacassagne.- [https://www.google.fr/books/edition/Archives_d_anthropologie_criminelle_de_m/E2bLAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=17+mars+1838+%2B+Sur+l%27abolition+de+la+peine+de+mort+%2B+Lamartine&pg=PA63&printsec=frontcover Peine de mort et criminalité], Archives d'anthropologie criminelle, de médecine légale et de psychologie normale et pathologique, Volume 23, 1908. Voir dans le même ouvrage, [https://www.google.fr/books/edition/Archives_d_anthropologie_criminelle_de_m/E2bLAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=17+mars+1838+%2B+Sur+l%27abolition+de+la+peine+de+mort+%2B+Lamartine&pg=PA63&printsec=frontcover la question de la race]. === Encyclopédie méthodique - Economie politique, T03 : Article "''Nègres''" === * Publication en 1788 de l'[[s:Page:Encyclopédie méthodique - Economie politique, T03.djvu/426|Encyclopédie méthodique - Economie politique, T03 : Article "''Nègres''"]] ** Sur [https://www.google.fr/books/edition/Encyclop%C3%A9die_M%C3%A9thodique_Ou_Par_Ordre_D/PXJBAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Diderot+%2B+%22La+libert%C3%A9+est+la+propri%C3%A9t%C3%A9+de+soi%22&pg=PA419&printsec=frontcover Google Livres] == Le long XIXe siècle (1799-1940) == * Consulat (1799 * Premier Empire (-1815) [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les traités européens de 1802 à 1815|Les traités européens de 1802 à 1815]] * Restauration (1815-) * Louis XVIII * Charles X, , Roi de France et de Navarre du 16 septembre 1824 au 2 août 1830, (Durée : 5 ans, 10 mois et 17 jours) === 1802 dans les colonies de la France des Amériques === * 2002 - {{bibliographie|Q112706086}} <!-- 1802 : la guerre de la Guadeloupe ou la géographie en marche avec la liberté --> === Monarchie de Juillet (1830-1848) === * Louis Philippe 1er du ;Bibliographie * 1845 - {{bibliographie|Q111264816}} <!-- Discours prononcé sur l'abolition de l'esclavage, par M. le Cte de Montalembert --> * 1939 - {{bibliographie|Q68689528}} <!-- La classe ouvrière en Alsace pendant la monarchie de Juillet --> * 1848 - {{bibliographie|Q111358958}} <!-- De la souveraineté du peuple et des principes du gouvernement républicain moderne --> === Second Empire (1851-1870) === === L'ère républicaine === ==== Troisième République (1870-1940) ==== == Quatrième République == == Esclavage crime contre l'Humanité dans les traités internationaux depuis 1945 == D'une déclaration des droits à l'autre ou comment le salariat remplace l'esclavage. === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789 === L'[[s:frDéclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Article premier]] de la [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen]] adoptée par l'Assemblée Constituante, première Assemblée nationale de la France, 1789, qui pose ce principe : "'''''Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l’utilité commune''''', Article premier de la [[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789]]". * 2003 - {{bibliographie|Q112126549}} <!-- L'héritage philosophique de la déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789 --> * {{Lien web |langue= fr|auteur= Jacky Dahomay|titre= Interview Jacky Dahomay : "Il y a une mémoire qui libère et une mémoire qui emprisonne"|url= https://www.liberation.fr/societe/2015/05/22/il-y-a-une-memoire-qui-libere-et-une-memoire-qui-emprisonne_1314755/|date= 22 mai 2015|site= liberation.fr|consulté le= 25 mai 2021}} === Déclaration universelle des Droits de l’Homme === 1948 - [[s:Déclaration universelle des Droits de l’Homme|Déclaration universelle des Droits de l’Homme]], Adoptée par l’Assemblée générale des Nations unies dans sa résolution 217 A (III), du 10 décembre 1948 {{Citation bloc|'''Article 4'''<br>Nul ne sera tenu en esclavage ni en servitude ; l’esclavage et la traite des esclaves sont interdits sous toutes leurs formes.<br>'''Article 23'''<br>1. Toute personne a droit au travail, au libre choix de son travail, à des conditions équitables et satisfaisantes de travail et à la protection contre le chômage.<br>2. Tous ont droit, sans aucune discrimination, à un salaire égal pour un travail égal.<br>3. Quiconque travaille a droit à une rémunération équitable et satisfaisante lui assurant ainsi qu’à sa famille une existence conforme à la dignité humaine et complétée, s’il y a lieu, par tous autres moyens de protection sociale.<br>4. Toute personne a le droit de fonder avec d’autres des syndicats et de s’affilier à des syndicats pour la défense de ses intérêts. |1948 - [[s:Déclaration universelle des Droits de l’Homme|Déclaration universelle des Droits de l’Homme]]}} === Accord de Londres, dit statut de Nuremberg du 8 août 1945 === En référence à [https://www.facebook.com/aquidal deux posts] : 1- La loi Taubira présente trois défauts majeurs: elle est inutile, elle est mensongère, elle est méprisante du 14 mai, 01:27 ; 2 - J'avais qualifié la loi Taubira de plus grande escroquerie intellectuelle depuis Lyssenko du 12 mai, 02:45. *-*-*-*-* L’[[w:Accord_de_Londres|accord de Londres]], dit statut de Nuremberg, a été scellé le 8 août 1945 à l'issue d'une conférence qui s'est ouverte entre les États-Unis, le Royaume-Uni, l'Union soviétique et la France, le 26 juin 1945 à la fin de la Seconde Guerre mondiale en Europe. Il décide de mettre en place un Tribunal militaire international afin de traduire en justice les « grands criminels, dont les crimes sont sans localisation géographique précise »1. Les règles de formation, de juridiction et les fonctions de ce tribunal sont définies dans le statut annexé à l'accord. Le dépositaire de l'accord est le Royaume-Uni. Le texte authentique est rédigé en trois langues : anglais, français et russe. [https://ihl-databases.icrc.org/applic/ihl/dih.nsf/INTRO/350?OpenDocument Accord concernant la poursuite et le châtiment des grands criminels de guerre] des Puissances européennes de l'Axe et statut du tribunal international militaire. Londres, 8 août 1945. Tribunal militaire international - Procès des grands criminels de guerre devant le Tribunal militaire international - Tribunal militaire international, 1947 (Volume 1, p. 8-10) - [[w:Procès des grands criminels de guerre/Vol 1/Section 5|ACCORD DE LONDRES DU 8 AOÛT 1945]]. Article 4. - Aucune disposition du présent Accord ne porte atteinte aux principes fixés par la Déclaration de Moscou en ce qui concerne le renvoi des criminels de guerre dans les pays où ils ont commis leurs crimes. [Aucune occurrence de "esclavage", "esclave". ==== Statut du tribunal militaire international, 1947 ==== Par contre, le [[s:fr:Procès des grands criminels de guerre/Vol 1/Section 6|Statut du tribunal militaire international]], en exécution de l’Accord signé le 8 août 1945, dans sa partie II. — Juridiction et principes généraux. Article 6, énumère les différents crimes qui relèvent de la juridiction du tribunal militaire international : a) Les crimes contre la Paix b) Les crimes de guerre c) Les crimes contre l’Humanité : c’est-à-dire l’assassinat, l’extermination, la réduction en esclavage, la déportation, et tout autre acte inhumain commis contre toutes populations civiles, avant ou pendant la guerre[1], ou bien les persécutions pour des motifs politiques, raciaux ou religieux lorsque ces actes ou persécutions, qu’ils aient constitué ou non une violation du droit interne du pays où ils ont été perpétrés, ont été commis à la suite de tout crime rentrant dans la compétence du Tribunal, ou en liaison avec ce crime. === Statut de Rome de juillet 1998 === {{Citation bloc|Le [[w:Statut de Rome|Statut de Rome]], officiellement le Statut de Rome de la Cour pénale internationale, aussi appelé le Statut de la Cour pénale internationale et abrégé sous le Statut, est le traité international qui a créé la Cour pénale internationale (la Cour ou la CPI). Il a été adopté lors d'une conférence diplomatique des plénipotentiaires des Nations unies, dite Conférence de Rome, qui s'est déroulée du 15 juin au 17 juillet 1998 à Rome, en Italie. Il est entré en vigueur le 1er juillet 2002 après sa ratification par soixante États : la Cour pénale internationale est alors officiellement créée. Cependant, la compétence de la Cour n’étant pas rétroactive, elle traite les crimes commis à compter de cette date|[[w:Statut de Rome|Statut de Rome]]}}. La « réduction en esclavage » figure à l'[[s:fr:Statut_de_Rome_de_la_Cour_p%C3%A9nale_internationale#Chapitre_II_-_Comp%C3%A9tence,_recevabilit%C3%A9_et_droit_applicable|Article 7 - Crimes contre l’humanité]] c) Par « réduction en esclavage », on entend le fait d’exercer sur une personne l’un quelconque ou l’ensemble des pouvoirs liés au droit de propriété, y compris dans le cadre de la traite des être humains, en particulier des femmes et des enfants. * [https://www.youtube.com/results?search_query=Le+g%C3%A9nocide+voil%C3%A9+%2B+Tidiane+N%27Diaye Recherche "Tidiane N'Diaye + "Génocide Voilé"]. === Bibliographie === ==== Robert du Var ==== [[d:Q22087853|Robert du Var]], journaliste républicain et socialiste, écrivain ===== 1845-1847 - Robert du Var.- Histoire de la classe ouvrière ===== * {{bibliographie|Q23017904}} <!-- Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, œuvre d'histoire globale de Robert du Var --> * {{bibliographie|Q22093475}} <!-- Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, édition 1845-47 --> ** 1845 - {{bibliographie|Q23017904}}, Volume Premier, [[s:Livre:Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours V1.djvu|lire sur Wikisource]] <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25962763}}, Volume second <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25967502}}, Volume troisième <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25970861}}, Volume quatrième <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, --> === Robert du Var.- Explication philosophique du premier grade symbolique & Discours sur la vérité === * {{bibliographie|Q63606782}} <!-- Explication philosophique du premier grade symbolique, précédée de quelques considérations sur l'esprit de la franche-maçonnerie --> * {{bibliographie|Q22093431}} <!-- Explication philosophique du premier grade symbolique, précédée de quelques considérations sur l'esprit de la franche-maçonnerie --> * {{bibliographie|Q56640858}} <!-- Discours sur la vérité : boek van Robert du Var néerlandais essai sur la philosophie --> == Cinquième République == * [[w:Loi tendant à la reconnaissance de la traite et de l'esclavage en tant que crime contre l'humanité|loi n° 2001-434 du 21 mai 2001]] tendant à la reconnaissance de la traite et de l'[[w:esclavage|esclavage]] en tant que [[crime contre l'humanité]], dont Christiane Taubira, alors [[w:Première circonscription de la Guyane|députée]], était rapporteur == Recherche:Département:Histoire - Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages : '''Sommaire par ordre chronologique''' == == Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts, 1745-1799 == # '''[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XV,_1745-1774|Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774]]''' ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe|Bologne, Guadeloupe (Georges de Bologne de Saint-George)]] ; [[w:Georges de Bologne Saint-Georges|Georges de Bologne Saint-Georges]] ## [[d:Q3387459|Pierre de Bologne]], né en 1706 à la Martinique, Poète, membre du parlement de Metz ## La religion dans la vie et l’oeuvre de Joseph Bologne de Saint-George ## Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774 == Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793 == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XVI,_1774-1793| Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793]]''' == La Révolution française en 1790 == [[Fichier:Anecdote arrivée á Louis XVI, quelques jours aprés sa residence á Paris LCCN89712407.jpg|100px|vignette|gauche|En 1790, un chevalier n'est pas l'aîné de la famille, {{BNF|38793022k}}]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/La Révolution française en 1790|La Révolution française en 1790]] * [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Le travail après la révolution française de 1789 : théories & pratiques|Le travail après la révolution française de 1789 : théories & pratiques]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#(-480)-_(-406)_-_L'esclave_dans_le_théâtre_de_Euripide|(-480)- (-406) - L'esclave dans le théâtre d'Euripide]] * 481-1792 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792|L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792]] * 751-884 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie#L'esclavage dans les capitulaires carolingiens, 751-884|L'esclavage dans les capitulaires carolingiens, 751-884]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#1536-1617-1646_-_Les_Institutes_coustumières_&_les_Œuvres_de_Me_Guy_Coquille,_sieur_de_Romenay|1536-1617-1646 - Les Institutes coustumières & les Œuvres de Me Guy Coquille, sieur de Romenay]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#Bibliographie_:_l'esclavage_en_Europe_occidentale_&_sa_disparition|Bibliographie : l'esclavage en Europe occidentale & sa disparition]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le retour de l'esclavage dans l'espace politique français|Le retour de l'esclavage dans l'espace politique français]] ** [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Le_retour_de_l'esclavage_dans_l'espace_politique_français#Féodalité_dans_les_colonies_:_conquête_&_occupation_de_la_Nouvelle-France|Féodalité dans les colonies : conquête & occupation de la Nouvelle-France]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912 - Les œuvres des mouvements abolitionnistes : des quakers à Gratien Candace|1670-1912 - Les œuvres des mouvements abolitionnistes : des quakers à Gratien Candace]] ** [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Genèse_de_l'édit_de_mars_1685|Genèse de l'édit de mars 1685]] == {{S|XVIII}} - {{S|XX}} : Esclavage & servage éliminés de la propriété personnelle & collective == * Abolition de l'esclavage * Emancipation de la personne : ** émancipation sociopolitique & économique ** émancipation ou levée d'une tutelle === La nuit du 4 août 1789 === {{Citation bloc|Le même jour dans la séance du soir il était décidé que le droit exclusif de fuies et colombiers était aboli que les pigeons seraient renfermés aux époques fixées par les communautés, que durant ce temps ils seraient regardés comme gibier et que chacun pourrait les tuer sur son terrain.<br>Lorsque à l'époque de Luther la forêt Noire s'ébranla et que sous la conduite de l'hôtelier Metzler les paysans de la Thuringe, de la Franconie, de la Souabe commencèrent leur grande révolte ils publièrent un programme composé de douze articles dont le quatrième était ainsi conçu : ''A tous les oiseaux dans les airs et les poissons dans les fleuves et les bêtes dans les forêts car à tous dans la personne du premier homme le Seigneur a donné droit sur les animaux''. Or pour reconquérir ce droit sur les animaux usurpé par quelques uns les paysans se résolurent à une guerre d'extermination un anabaptiste fut leur chef, une croix blanche leur étendard, l'incendie marqua leur itinéraire ils tuèrent ils moururent : l'Allemagne fut inondée de sang; C'était donc une question formidable que celle de la suppression du droit exclusif de chasse soumise le 7 août 1789 aux délibérations de l'Assemblée nationale.|Jean Joseph Louis Blanc.- Histoire de la Révolution française<ref>Jean Joseph Louis Blanc.- Histoire de la Révolution française, [https://www.google.fr/books/edition/Histoire_de_la_R%C3%A9volution_fran%C3%A7aise/SaU-AAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=La+propri%C3%A9t%C3%A9+devant+la+r%C3%A9volution&pg=PA183&printsec=frontcover La propriété devant la Révolution, Volume 1, Livre deuxième, chapitre 1, 1868.]</ref>, <ref>Voir également : Jean Joseph Louis Blanc.- [https://www.google.fr/books/edition/Dix_ans_de_l_histoire_d_Angleterre/DyMQAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=comment+nier+qu%27il+n%27%20y+ait+quelque+chose+d+odieux+dans+le+privil%C3%A8ge+exclusif+de+chasse&pg=PA78&printsec=frontcover Dix ans de l’histoire d'Angleterre, Le droit de chasse en Angleterre, 3 août 1862]</ref>}} === La rente apanagère n'est pas un salaire === {{Citation bloc|Cambon propose de supprimer les rentes apanagères accordées à trois des ci-devant. Ces rentes coûtent à l’État trois millions par année. Aujourd'hui dit-il que nous n'avons plus de Roi ni de Princes nous ne devons plus salarier de Famille Royale l'Assemblée adopte la proposition de Cambon Il étoit juste & conséquent aux loix faites contre les Émigres de supprimer les apanages des Princes rebelles. Il étoit juste aussi & conséquent à l'abolition de la Royauté de réduire considérablement la rente apanagère de Louis Philippe Joseph Égalité mais pouvoit on la supprimer toute entière ? La rente apanagère n'est pas un salaire comme l'a cru Cambon, c'est essentiellement une pension héréditaire accordée ci-devant aux Fils puînés des Rois attendu que les Rois ne pouvant avoir le propriété individuelle ni héréditaire ne pouvoient rien laisser à leurs enfans qui par là se trouvoient seuls dans l'Empire dans l'impossibilité d'avoir un patrimoine. Cambon peut avoir eu raison de demander la suppression mais le motif qu'il a donné de la proposition ne paroît pas juste|Convention nationale, Séance du Lundi 24 Septembre 10 heures du matin <ref>[https://www.google.fr/books/edition/Journal_de_Paris/ZCoqhbmLywEC?hl=fr&gbpv=1&dq=la+rente+apanag%C3%A8re+de+Louis+Philippe+Joseph+Egalit%C3%A9+pouvoit+on+la+fuppriiner+toute+enti%C3%A8re&pg=PA9&printsec=frontcover Journal de Paris - Volume 0 - Page 9].</ref>}} === Les précurseurs jusqu'en 1799 === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1623-1662_-_Les_œuvres_de_Blaise_Pascal_sous_l'angle_de_l’esclavage|1623-1662 - Les œuvres de Blaise Pascal sous l'angle de l’esclavage]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Débats_sur_la_propriété_privée_à_l'époque_de_Louis_XVI|Débats sur la propriété privée à l'époque de Louis XVI]] # {{BNF|301537932}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9789885c/f1.item An address to the people called Methodists ; concerning the criminality of encouraging slavery]. By Samuel Bradburn, minister of the Gospel. Appartient à : Recueils de pièces imprimées concernant les colonies [Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry]. 1ere série,<br>Voir aussi [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Esclavage+et+Trait%C3%A9&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=NoticePUB&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=0&typeNotice=&pageRech=rsi Recherche sur BNF : Esclavage et traités] # {{BNF|30484609f}}, Agénor Étienne de GASPARIN (Count.), Esclavage et Traité, 1838 === Etudes sur la propriété : {{S|XIX}} - {{S|XX}} === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Débats_sur_la_propriété_privée_à_l'époque_de_Louis_XVI#Etudes_sur_la_propriété_:_XIXe_siècle_-_XXe_siècle|Etudes sur la propriété : {{S|XIX}} - {{S|XX}}]] === 1745-1789 - Les abolitionnistes à l'époque de Saint-George === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George_:_trajectoires_en_France_%26_en_Europe#1789-1799_-_Saint-George_&_l'abolition_de_la_propriété_privé_sur_l'Humain|1789-1799 - Saint-George & l'abolition de la propriété privé sur l'Humain]] === Du directoire, 26 octobre 1795, à la fin de l'empire, 7 juillet 1815 === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Colonies,_Textes_législatifs_du_directoire_à_1815|Colonies : Textes législatifs de 1795 à 1815]] === 1834 - Charles Comte.- Traité de la propriété, oeuvre littéraire en 2 volumes === * 1834 - {{bibliographie|Q106163840}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, oeuvre littéraire --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106170651}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, Volume I --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106190142}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, Volume II--> === 1912-1948 - Les ablotionnistes à l'époque de Gratien Candace === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Gratien_Candace_(1870-1953)#Héritage_du_XVIIIe_siècle_:_esclavage_et_le_servage_éliminés_de_la_propriété_individuelle|1912-1948 - Gratien Candace, esclavage & servage éliminés de la propriété individuelle, l’œuvre du BIT jusqu'à la Déclaration universelle des droits de l'Homme]] == La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème == # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème|La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème]] == {{S|XVIII}} : organisation transatlantiques & trans-étatiques == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L’œuvre des physiocrates sous l'angle de l'esclavage|L’œuvre des physiocrates sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1704-1780 - Les œuvres de Louis de Jaucourt sous l'angle de l’esclavage|1704-1780 - Les œuvres de Louis de Jaucourt sous l'angle de l’esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1711-1755_-_Les_œuvres_de_Montesquieu_sous_l'angle_de_l’esclavage|1711-1755 - Les œuvres de de Montesquieu sous l'angle de l’esclavage]] * 1713- 1796 - {{bibliographie|Q3137499}}, œuvre littéraire (Q3137499). * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1723-1789 - De Felice, Fortunato Bartolomeo, le père sous l’angle de l'esclavage|1723-1789 - De Felice, Fortunato Bartolomeo, le père sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1740-1794_-_Les_œuvres_de_Claude-Louis-Michel-Milscent_de_Mussé_sous_l’angle_de_l'esclavage|1740-1794 - Les œuvres de Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1743-1794_-_Les_œuvres_de_Jean-Antoine-Nicolas_de_Caritat_de_Condorcet_sous_l’angle_de_l'esclavage|1743-1794 - Les œuvres de Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1747(1748)-1832_-_Les_œuvres_de_Jeremy_Bentham_sous_l'angle_de_l'esclavage|1747(1748)-1832 - Les œuvres de Jeremy Bentham sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1768-1838-1861_-_Les_œuvres_de_Chateaubriand_sous_l'angle_de_l'esclavage|1768-1838-1861 - Les œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1795-1858_-_Les_œuvres_de_Cyrille_Bissette_sous_l'angle_de_l'esclavage|1795-1858 - Les œuvres de Cyrille Bissette sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L'action_politique_des_Clubs,_sociétés_populaires,_littéraires_ou_musicales|L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales]] == Les penseurs du XIXème siècle == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L’abolition_de_l'esclavage_de_l'ancien_régime_à_la_monarchie_de_juillet|L’abolition de l'esclavage de l'ancien régime à la monarchie de juillet]] === L’abolition de l'esclavage : Les penseurs, du {{S|XIX}} === ;Les traités européens 1814-1845 * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1801-1872_-_L'œuvre_de_Jean-Baptiste_Capefigue%2C_historien%2C_sous_l'angle_de_l'esclavage|1801-1872 - L'œuvre de Jean-Baptiste Capefigue, historien, sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1801-1869_-_L'œuvre_de_Antoine_ Charma,_philosophe,_sous_l'angle_de_l'esclavage|1801-1869 - L'œuvre de Antoine Charma, philosophe, sous l'angle de l'esclavage]]<ref>* 1838 - {{bibliographie|Q78599768}} <!-- 1838 - Antoine Charma, Leçons de philosophie sociale, année scholaire1837-1838 --></ref> * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1802-1890_-_L'œuvre_de_George_William_Alexander_sous_l'angle_de_l'esclavage|1802-1890 - L'œuvre de George William Alexander sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1802-1890_-_L'œuvre_de_Édouard_Biot_sous_l'angle_de_l'esclavage|1802-1890 - L'œuvre de Édouard Biot sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1803-1871_-_L'œuvre_de_Guillaume_de_Félice_sous_l'angle_de_l'esclavage|1803-1871 - L'œuvre de Guillaume de Félice sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1804-1876_-_L'œuvre_de_George_Sand_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1876 - L'œuvre de George Sand sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1804-1893_-_L'œuvre_de_Victor_Schœlcher_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1893 - L'œuvre de Victor Schœlcher sous l'angle de l'esclavage]] === Penser l’esclavage aux {{S|XX}}-{{S|XXI}} === ==== Alain Testart : 30 décembre 1945 - 2 septembre 2013, anthropologue ==== * 2001 - {{bibliographie|Q59244737}} <!-- Alain Testart, L'esclave, la dette et le pouvoir. --> * * 21 juin 2020 - [https://www.youtube.com/watch?v=ZIS2KMydo5w L'origine du commerce - EspritCritique 10]., [https://www.tzitzimitl.net/liens/ec10 Bibliographie] * 2018 - {{bibliographie|Q59244463}} <!-- Alain Testart et Valérie Lécrivain, L'institution de l'esclavage --> ** 2018 - {{bibliographie|Q96622238}} <!-- Alain Testart, L’institution de l’esclavage, lecture --> ===== La servitude volontaire ===== * ''[https://www.wikidata.org/w/index.php?search=La+servitude+volontaire&search=La+servitude+volontaire&title=Special%3ASearch&go=Continuer&ns0=1&ns120=1 La servitude volontaire]'' * 2014 - {{bibliographie|Q96623688}} <!-- Alain Testart, La servitude volontaire, oeuvre écrite --> ** 2014 - {{bibliographie|Q96623797}} <!-- Alain Testart, La servitude volontaire ː les morts d’accompagnement --> ** 2014 - {{bibliographie|Q96624530}} <!-- La servitude volontaire ː L’origine de l’Etat --> == Institutions & revues == ''1877'' - {{bibliographie|Q84768893}} <!-- Maurice Block, Dictionnaire de l’administration française --> [[s:Page:Block - Dictionnaire de l’administration française, tome 1.djvu/496|COLONIES FRANÇAISES]] === Lois concernant les colonies 1492 -1802 === ==== Situations coloniales au cœur de l'Europe ==== ===== Les Pay-bas espagnols : annexion & indépendances ===== ===== Naissance du Royaume-Uni ===== * [[w:Actes d'Union (1707)| d'Union (1707)]] — Wikipédia *[https://pagesdhistoire2000.wordpress.com/2021/05/01/union-de-langleterre-et-de-lecosse-le-1er-mai-1707/ Union de l’Angleterre et de l’Écosse le 1er mai 1707.] == {{S|XX}}-{{S|XXI}} : Abolir l'esclavage au niveau international == Conclusions avec Gratien Candace & Michaël Jackson devient [[Utilisateur:Ambre Troizat/Troisième partie avec Michaël Jackson|Troisième partie avec Michaël Jackson]], 8 septembre 2021. === 170-1953 - Gratien_Candace === * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Gratien_Candace_(1870-1953)|Gratien Candace]] === 1958-2009 - Michaël Jackson === * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conclusion avec Michaël Jackson|Conclusion avec Michaël Jackson]] === 1793-2025 - Conclusion : synthèse === == 1745-1799 - Vie du Chevalier de Saint-George == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799|Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph Bologne de Saint-George (25 décembre 1745 - 10 juin 1799)|Joseph Bologne de Saint-George (25 décembre 1745 - 10 juin 1799)]] * 1745-1799 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie|Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie]] ** ''[[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie#L'exil/asile de Jacques François Stuart, prétendant aux trônes d'Angleterre, d’Écosse et d'Irlande|L'exil/asile de Jacques François Stuart, prétendant aux trônes d'Angleterre, d’Écosse et d'Irlande]]'' * [[Utilisateur:Ambre Troizat/La question de la pauvreté à l'époque de Saint-George|La question de la pauvreté à l'époque de Saint-George]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, religion & pratiques|Saint-George, religion & pratiques]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen|Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen]] ** [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George,_homme_d'armes,_sujet_%26_citoyen#Le_sport_à_l’époque_de_Saint-George|Le sport à l’époque de Saint-George]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, le musicien|Saint-George, le musicien]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George : trajectoires en France & en Europe|Saint-George : trajectoires en France & en Europe]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George_:_trajectoires_en_France_%26_en_Europe#1789-1799_-_Saint-George_&_l'abolition_de_la_propriété_privé_sur_l'Humain|1789-1799 - Saint-George & l'abolition de la propriété privé sur l'Humain]] ** ''[[Utilisateur:Ambre Troizat/Naissance du "crime envers l'humanité"|Naissance du "crime envers l'humanité"]]'' ** ''[[Utilisateur:Ambre Troizat/Le procès du général Miranda|Danton, guerre de conquête de la Belgique, affaire Dumouriez, Saint-George, Miranda, les procès]]'' * Conclusion : [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, fils de son temps|Saint-George, fils de son temps]] == Pages à propos de Joseph Bologne de Saint-George == [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe]] : Transformer en "Saint-George, [[w:Ontogenèse|ontogenèse]] & [[w:Orthogenèse|orthogenèse]]<ref>Discuter les deux concepts. Le retour de l'Humain dans l'ordre de la nature</ref>") * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/BologneGuadeloupe#Les_Boullongne_:_une_famille_d'artistes_et_de_financiers_aux_XVIIe_et_XVIIIe_siècles|Les Boullongne : une famille d'artistes et de financiers aux XVIIe et XVIIIe siècles]] === Annexes === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|Textes à propos de Saint-George/Chronologie]] (en cours de modification) # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Bibliographie)|Saint-George (Bibliographie)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Bibliographie chronologique par catalogue)|Saint-George (Bibliographie chronologique par catalogue)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Chronologie)|Saint-George (Chronologie)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Contemporains)|Saint-George (Contemporains)]] == Bibliographie == * 1745-2020 Bibliographie - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|1745-2020 - Littérature à propos de Joseph Bologne de Saint-George ]] * 2022 - {{Lien web |langue=en |auteur= Greg Jenner|titre= You're Dead To Me — Chevalier de Saint-Georges|url= https://www.bbc.co.uk/sounds/play/p09b3p7x|date= 19 mars 2021 |site=bbc.co.uk|consulté le= 23 avril 2022}}, Available for over a year == Notes de recherche == # [[Recherche:Département:Histoire|Recherche:Département:Histoire]] # [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] # [[Discussion Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Bibliographie|Discussion Annexe Bibliographie & Modèles]] # [[s:Aide:Demander l’importation d’un livre|Voir cette liste et mettre à jour]] # [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie du XXIè_siècle|Annexe : Bibliographie {{S|20}}]] # [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie du XXè_siècle|Annexe : Bibliographie XXIè siècle]] === Autres recherches ayant un lien thématique ou méthodologique === [[Fichier:MaskAgamemnon.png|100px|vignette|gauche|Masque en or d'[[w:Agamemnon|Agamemnon]], héros de la [[w:Guerre de Troie|guerre de Troie]]. Né de Zeus Agamemnon "''à la grande pensée''". Dans la religion grecque, l'épithète divine devient souvent un héros]] ==== Le principe de consensus ==== [[Fichier:Map of the Legal systems of the world (en).png|vignette|upright=1.6|Les systèmes juridiques dans le monde]] <div style="text-indent:15px;">[[w:Consensus|Consensus]] : la [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=loi+générale&title=Spécial:Recherche&go=Continuer&searchToken=44gg3570cud670nwqjoao78ik loi générale] étant une loi positive écrite, peut-elle dériver d'un consensus ? Voir les blocages à l'abolition de l’esclavage dans les États-Nations qui ne reconnaissent pas la loi générale.</div> <div style="text-indent:15px;">[[Projet:Wikiversité/Conventions_de_gestion#Convention_sur_le_principe_du_consensus|Convention sur le principe du consensus:Donner le primat au débat sur le développement de la philosophie que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia]]</div> <div style="text-indent:15px;">J'interviens sur ce point, non pour modifier le contenu à ce niveau de discussion - je suis d'accord avec la suppression du point 4 - mais pour ajouter un élément de réflexion qui devrait, à mon avis être bien discuté entre nous et qui concerne les modalités générales de l'exercice de la démocratie sur nos projets Wikimedia. Ma réflexion est celle-ci : quand les règles de constitution de notre "''démos''" ont été respectées lors de l’admission d'un membre, est-il possible d'exclure ce membre par la suite ? Cette question est en relation avec mon sujet de recherche qui couvre non seulement l'esclavage & ses abolitions mais aussi</div> :* en tant que corollaires, la prison, les exils (à distinguer des "migrations naturelles"), la prostitution, & toutes les formes d'exclusion ou de tentatives d'exclusion des sociétés politiques et de l’Humanité telles que la guerre, la prolétarisation &, :* en tant que source, la peine de mort (''je ne traite pas des prélèvements sur la nature tels que la chasse, la cueillette & autres formes de consommation/destruction de la nature'' qui relèvent du droit de subsistance). <div style="text-indent:15px;">Par "modalités générales", j'entends la "loi générale". La loi, non pas comme expression "[https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=loi+générale&title=Spécial:Recherche&fulltext=Rechercher&searchToken=ayvgvuhum3lgl6kpx378zpcnq de la volonté générale du peuple]" - forme qui était valable lors de la construction des État-Nations des Lumières jusqu'à la [[w:Déclaration universelle des droits de l'homme|Déclaration Universelle des Droits de l'Homme, ONU, 10 décembre 1948]] - mais de la loi générale comme expression de l'intérêt général des [[s:Déclaration universelle des Droits de l’Homme|Humains]] & de l’Humanité à laquelle ils appartiennent. L'intérêt général de notre Humanité exclu la peine de mort, l'esclavage & l'exclusion de la formation de la loi générale et de ses structures politiques d'application.</div> <div style="text-indent:15px;">C'est l’[[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Article premier]] de la [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen]] adoptée par l'Assemblée Constituante, première Assemblée nationale de la France, 1789, qui pose ce principe : "'''''Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l’utilité commune''''', Article premier de la [[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789]]".</div> <div style="text-indent:15px;">Autrement dit, je pense que nos débats sur la démocratie restent en deçà du droit nécessaire à l'épanouissement de nos projets : nous discutons sur des points techniques et non pas sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence des projets Wikimedia. Nous n'avons pas encore atteints les prémisses contenus dans le [[w:droit naturel|Droit naturel]] élaboré par l’Humanité du {{S|XVIII}}.</div> <div style="text-indent:15px;">De mon point de vue, il serait normal que le débat sur la loi générale nécessaire pour le développement des projets Wikimedia se déroule sur Wikiversité, dans la foulée de ce débat-ci, pour donner le primat au débat sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia.</div> <div style="text-indent:15px;">'''Citation''' : [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], [[Projet:Wikiversité/Conventions_de_gestion#Convention_sur_le_principe_du_consensus|Convention sur le principe du consensus:Donner le primat au débat sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia]], ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 2 octobre 2017 à 09:57 (UTC).</div> ::[[w:en:Common law|Common law]] ::[[w:en:Common law (disambiguation)|Common law (disambiguation)]] ::[[w:en:Jus commune|Jus commune]] ::[[w:en:English law|English law]] ::[[w:en:Law of the United States|Law of the United States]] ==== Recherches & leçons tierces ==== # [[La liberté]], leçon de philosophie # [[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles]], [[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles#La question de droit posé par les Espagnols|La question de droit posé par les Espagnols]]<br>1930 - {{bibliographie|Q55789098}} <!-- Sixte de Bourbon-Parme, La dernière Conquête du Roi (Alger 1830), Aux origines de la colonisation du continent africain --> # [[Recherche:Les fonds patrimoniaux des bibliothèques publiques|Recherche:Les fonds patrimoniaux des bibliothèques publiques]]<br>[[Recherche:Les_fonds_patrimoniaux_des_bibliothèques_publiques/Révolution_française,_des_nationalisations_aux_bibliothèques_municipales|Révolution française, des nationalisations aux bibliothèques municipales]] # [[Recherche:Histoire de la civilisation grecque - État et nation|État et nation dans la civilisation grecque]] : Cf. ''L'homme héroïque'' (homme qui sauve des vies comme les médecins...) & ''L'homme colonial'' # [[Recherche:Néo-théismes et Néo-théosophies au regard du passé, du présent et de l'avenir de l'histoire des religions]] # [[Recherche:Déclaration des droits des internautes]] # [[Mondialisation : processus, acteurs et territoires]] == Correction des entrées bibliographiques sur Wikidata (20 mai 2019) == === Sur Wikiversité === # [[Sujet:Uzc3e4ydhr7c56k1|Exemple de bibliographie quand il existe un lien "wikisource" sur l'élément édition…]] === Sur Wikidata === La discussion se trouve ici : ''[https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Uz73pbwc5pe7p0va Avant de transcrire…]'' # Nature de l'élément = version, édition ou traduction # Genre (catégorie de l'oeuvre) = article, article scientifique # [[d:User_talk:Ambre_Troizat|Voir page de discussion perso sur Wikidata]] ==== Revue des deux Mondes ==== La [[w:Revue des Deux Mondes|Revue des Deux Mondes]] est une revue mensuelle littéraire française, une des plus anciennes publications périodiques encore en activité en France. [[w:Alexandre Dumas|Alexandre Dumas]] évoque dans ses ''Mémoires'' comment, avec son ami [[w:Adolphe de Leuven|Adolphe de Leuven]], ils décidèrent le père de ce dernier, le comte Ribbing de Leuven<ref>[https://books.google.fr/books?id=97ckIdkDCPEC&dq=comte%20Ribbing%20de%20Leuven&hl=fr&pg=PA32#v=onepage&q=comte%20Ribbing%20de%20Leuven&f=false comte Ribbing de Leuven]</ref>, à vendre son ''Journal des Voyages'', qui marchait assez mal, au jeune employé d'imprimerie [[w:François Buloz|François Buloz]], lequel cherchait à lancer une revue. Aidé de proches comme l'acteur [[w:Bocage (acteur)|Bocage]] ou le journaliste [[w:Jacques Alexandre Bixio|Bixio]], Buloz réunit les fonds et devint propriétaire du journal, qu'il renomma<ref>« M. Ribbing de Leuven avait un journal qui marchait assez mal, un journal de luxe, comme les gens riches ou à fantaisies en ont pour se ruiner ; — on l’appelait le ''Journal des Voyages''. Adolphe et moi décidâmes M. de Leuven à vendre ce journal à Buloz. Buloz, Bocage, Bonnaire, et je crois même Bixio, réunirent quelques fonds et devinrent propriétaires du susdit journal, qui prit le titre de ''Revue des Deux Mondes''. » Alexandre Dumas.-''Mes Mémoires'', Chapitre CCXXXI, [http://dumaspere.com/pages/bibliotheque/chapitre.php?lid=m3&cid=231&highlight=&pos=159#res La Revue des Deux Mondes. – M. Bulloz. – Le Journal des Voyages]. –, 1852-1856.</ref>. {{bibliographie|Q1569226}} # Le modèle : 1858 - {{bibliographie|Q19209416}} # 1858 - « Les Colonies françaises depuis l’abolition de l’Esclavage », Revue des deux Mondes, {{Article}} : paramètre « date » manquant (ISSN 0035-1962 et 0750-9278, lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata # 1858 - Les Colonies françaises depuis l’abolition de l’Esclavage (ISSN 0035-1962 et 0750-9278, lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata === Sur Wikisource === == Mes pages thématiques == === Droit naturel === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage/Droit naturel|Le droit naturel & l'esclavage]] ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Esclavage/Droit_naturel#Le_droit_d'asile|Droit d'asile]] : 1840 - {{bibliographie|Q67393233}} publié dans ''L'Univers, France, dictionnaire encyclopédique par Philippe Le Bas, tome premier, A - AZ.'' # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage#Les affranchissement de Louis XI dit Hutin|Les affranchissement de Louis XI dit Hutin]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Projet "Edit de 1685"|Projet "Edit de 1685"]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage|Réflexions à propos des traites & esclavages]] ## [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Abolition_des_esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages : Abolition des esclavages]] === Droit des gens === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage/droit des gens|Le droit des gens & l'esclavage]] === Projet de paix perpétuelle === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Projet de paix perpétuelle|Projet de paix perpétuelle]] * {{bibliographie|Q101607890}}, œuvre littéraire <!-- Le droit naturel --> ** {{bibliographie|Q101824896}}, traduction de André Kaan <!-- Le droit naturel --> == Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau|Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau]] * {{bibliographie|Q101816585}} <!-- Les physiocrates --> == Les Orléans, prétendants au trône de France == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Orléans, prétendants au trône de France|Les Orléans, prétendants au trône de France]] == Géopolitique de la Première mondialisation == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique de la Première mondialisation|Géopolitique de la Première mondialisation]] La [[w:Géopolitique|géopolitique]] (du grec γη « terre » et πολιτική « politique ») est l'étude des effets de la géographie (humaine et matérielle) sur la politique internationale et les relations internationales. C'est une méthode d'étude de la politique étrangère pour comprendre, expliquer et prédire le comportement politique international à travers les variables géographiques. Il s'agit notamment des études régionales, du climat, de la topographie, de la démographie et des ressources naturelles. # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Bataille de Fontenoy|Fontenoy, Bataille de 1745]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique|Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique/François Claude de Bouillé, Gouverneur des colonies françaises des îles du vent]] Caricatures sur le marquis de Bouillé Vid p 226 La qualification de Général de l Armée noire donnée au marquis de Bouillé ne voudrait elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats ima inaires étaient du domaine des ombres c inoises de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette Nous retrouvons à l appui de notre interprétation le mot de fantoccini appliqué au même moment aux émigrés deCoblentz sur une caricature mise au jour comme la récédente après ladfuite de Varennes et ors de la formation e l armée de Condé Lafoire de Coblentg ou les grandsfantoccinifrançais pièce coloriée Une autre charge de la même épo ue reproduit encore ce mot de Noirs s appliquant à l émigration La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs eau fortepar Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre Bouille Klinglin et Heyman brûlés en efiiäîe à Strasbourg pièce coloriée ued Medjedel H VIENNE === Droit de conquête versus Droit colonial === # [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/getobject_?p.4:25./var/artfla/dicos/ACAD_1762/IMAGE/ Droit]. s.m. : Ce qui est juste. En ce sens on dit, qu'Une chose est contre tout droit & raison, pour dire, qu'Elle est injuste & déraisonnable.<br>Il signifie aussi Justice. Faire droit à chacun. Conserver le droit des Parties. # [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/dico1look.pl?strippedhw=conqu%EAte&headword=&docyear=ALL&dicoid=ALL&articletype=1 Conquête] dans les dictionnaires des 17ème, 18ème, 19ème et 20ème siècles # [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940928/f599.item.r=Conquête Droit de conquête], {{bibliographie|Q60159100}}, dans {{bibliographie|Q60154916}} ## Voir Introduction à : {{bibliographie|Q60342836}}, 2019 <!-- Caroline Oudin-Bastide et Philippe Steiner, Calculation and Morality: The Costs of Slavery and the Value of Emancipation in the French Antilles --> ## [[w:Éphémérides du citoyen|Les Éphémérides du citoyen]] est un journal français qui parut de 1765 à 1772, puis de 1775 à 1779 (sous le titre des Nouvelles Éphémérides économiques) et enfin en 17881. Il s'agit du principal périodique du [[w:Physiocratie|mouvement physiocratique]]. Continué par : Nouvelles éphémérides économiques (1774-1776). ## [http://dictionnaire-journaux.gazettes18e.fr/journal/0377-ephemerides-du-citoyen ÉPHÉMÉRIDES DU CITOYEN (1765-1772)]. Titre : Ephémérides du citoyen ou chronique de l'esprit national. Ephémérides du citoyen ou Bibliothèque raisonnée des Sciences morales et politiques (à partir du t. VI, sept.-oct. 1766, qui existe aussi avec l'ancien sous-titre). ## Caroline Oudin-Bastide et Philippe Steiner, Calculation and Morality, pp. 172–175 : Du Pont, Pierre-Samuel, « Observations importantes sur l'esclavage des nègres », Éphémérides du citoyen, 1771, vol. 6, pp. 181–246. Du Pont, Pierre-Samuel, « Lettres africaines », Ephémérides du citoyen, 1771, vol. 8, pp. # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit colonial|Droit de conquête versus Droit colonial]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique & géographie coloniale|Géopolitique & géographie coloniale]]. '''Page à créer ????''' 2017 - {{bibliographie|Q55753216}} <!-- Pascal Clerc, « La « géographie coloniale » en France » --> == Droit de conquête vers le Pacifisme : paix perpétuelle == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Famille Mirabeau Riqueti|Famille Mirabeau Riqueti]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guillaume-Thomas Raynal|Guillaume-Thomas Raynal]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-Domingue Colonie du Royaume de France|Saint-Domingue Colonie du Royaume de France]] == Les métamorphoses de la propriété == === Les métamorphoses de la propriété sous les rois de la troisième Race === === Les métamorphoses de la propriété au XVIIIe siècle & XXe siècle === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Révolution atlantique, 1763-1994|Révolution atlantique, 1763-1994]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_%26_XIXe_siècle|Les métamorphoses de la propriété au {{S|XVIII}} & {{S|XIX}}]] * La propriété sur l'Humain * Talleyrand et les biens nationaux * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_%26_XIXe_siècle#Talleyrand_&_l'abolition_de_la_traite_au_congrès_de_Vienne_(1814-1815)|Talleyrand & l'abolition de la traite au congrès de Vienne (1814-1815)]] * Bibliographie Abolitions Traites & Esclavages : des "Amis des noirs à Victor Schœlcher == Du préjugé de couleur & du racisme == Cf. Première partie avec Saint-George/Joseph Bologne de Saint-George - Transfert === 1684 - Bernier, Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent === [https://www.google.com/search?q=%22Nouvelle+division+de+la+terre,+par+les+différentes+espèces+ou+races+d%27homme+qui+l%27habitent%22&newwindow=1&tbs=sbd:1,cdr:1,cd_min:2000,cd_max:2099&tbm=bks&source=lnt&sa=X&ved=0ahUKEwjU45TA6M_iAhVFhRoKHRn2DW8QpwUIIQ&biw=1291&bih=668&dpr=1 Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent], une page de référence 2004-2017 [https://books.google.fr/books?isbn=1526104679 Mechthild Fend.- Fleshing Out Surfaces: Skin in French Art and Medicine, 1650-1850, 2016]. ''Bernier, François, 'Nouvelle division de la terre, par les differentes espèces ou races d'homme qui l'habitent', Journal des sçavans, April 1684, 133–40''. === Journal des sçavans + Léon Poliakov === [https://www.google.com/search?q=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&newwindow=1&tbs=cdr:1,cd_min:1900,cd_max:1999,sbd:1&tbm=bks&source=lnt&sa=X&ved=0ahUKEwjAnOLO7c_iAhWLDxQKHWmTAgMQpwUIIQ&biw=1219&bih=644&dpr=1 Journal des sçavans + Léon Poliakov] === L. Poliakov.- Le mythe aryen, essai sur les sources du racisme et des nationalismes, 1971 === Au XIXème siècle, aucun livre ne correspond à la recherche "Le Mythe aryen: Essai sur les sources du racisme et des nationalismes". '''1971''' - [https://books.google.fr/books?id=JMwpAQAAIAAJ Maxime Rodinson.- Marxisme et monde musulman, 1972, page 273] : "''Voir encore récemment le vivant tableau qu'en a tracé L. Poliakov.- Le mythe aryen, essai sur les sources du racisme et des nationalismes, Paris, Calmann-Lévy, 1971 (= Liberté de l'esprit) malgré certaines conclusions discutables''". '''1997''' - [Roger-Pol Droit.- https://books.google.fr/books?id=AFzYAAAAMAAJ Le Culte du Néant: les philosophes et le Bouddha, 1997, page 227. ''Sur ce sujet, le travail fondateur demeure l'ouvrage de Léon Poliakov, Le Mythe aryen. Essai sur les sources du racisme et des nationalismes, Paris, Calmann-Lévy, 1971''. # [[w:Wikipédia:Le_Bistro/31_mai_2018#Le_racisme_au_XIXème_siècle_a-t-il_les_honneurs_sur_fr.Wikipédia_?|Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ? ''Wikipédia:Le Bistro/31 mai 2018'']]. Analyse : [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ?|Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ?]] #Mois de la contribution ## [[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude]] === Bibliographie (Du préjugé de couleur & du racisme) === * 1684 - {{bibliographie|Q24025026}} publié dans {{bibliographie|Q24025038}} <!-- Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent --> ** {{bibliographie|Q24025038}} [https://www.google.com/search?newwindow=1&tbm=bks&ei=Qkr2XJCyGb-cjLsPqcaOkAQ&q=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&oq=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&gs_l=psy-ab.12...245206.248796.0.251080.3.3.0.0.0.0.84.192.3.3.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.WwAm8flRIjQ Recherche d'antériorité : Journal des sçavans + Léon Poliakov] * 2005 - {{bibliographie|Q60562215}} <!-- Émile Hayot, Les gens de couleur libres du Fort-Royal 1679-1823 --> * 2006 - {{bibliographie|Q60613174}} <!-- Érick Noël, Être noir en France au XVIIIe siècle --> ** 2007 - {{bibliographie|Q60613092}} <!-- Érick Noël, Présentation de "Être noir en France au XVIIIe siècle" --> == Bibliographies == ## ''Wikisource : [[s:Utilisatrice:Ambre Troizat/Récension bibliographique|Récension bibliographique]]'' ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Révolution française|Révolution française]], Bibliographie commentée ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Esclavage#.C5.92uvres_de_Chateaubriand_sous_l.27angle_de_l.27esclavage|Œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Bibliographie (Pacifisme)|Bibliographie (Pacifisme)]] == Pages à propos de Henri Grégoire == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Henri Grégoire|Henri Grégoire]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Henri Grégoire#1808 - De la littérature des nègres|Henri Grégoire.- (Tous) les hommes courageux ''in'' De la littérature des nègres, 1808.]] == Pages à propos des Dumas == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Dumas, un univers|Les Dumas, un univers]] == Pages à propos de Gratien Candace == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Gratien Candace (1870-1953)]] == 1906, Gratien Candace membre du cabinet de René Viviani (1870-1953) == Entre deux périodes d'enseignement, de 1906 à 1909, Gratien Candace collabore au premier Ministère du Travail en tant que membre du Cabinet de [[René Viviani]]<ref>[http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/7em.asp René Viviani], La création d'un ministère du travail.<br />{{ouvrage<!--|année=1992-->|auteur=Lucien-René Abénon|titre=Petite histoire de la Guadeloupe|année=1660-1992|lieu=Paris|lire en ligne=http://books.google.fr/books?id=ZjeKLaqrY4kC&pg=PA177&lpg=PA177&dq=Gratien+Candace&source=bl&ots=CZwiUR2pZo&sig=37VAS7NPyJ6JuccFbGfyMje6gc8&hl=fr&ei=DD3DStvQMNWz4QaM-ui5BQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CAoQ6AEwATgU#v=onepage&q=&f=false|passage=162-177|éditeur=Éditions L'Harmattan|lien éditeur=Éditions L'Harmattan}}. {{BNF|35555540}}.</ref>. [[25 octobre]] 1906 le "ministère du Travail et de la Prévoyance sociale" fut créé par le [[w:Président du Conseil (France)|président du Conseil]] [[w:Georges Clemenceau]] ([[w:Gouvernement Georges Clemenceau (1)|{{1er|cabinet}}]]), et fut confié au socialiste indépendant [[w:René Viviani]]. Gratien Candace a été membre du cabinet de [[w:René Viviani]] dans le premier [[w:ministère du Travail, de la Solidarité et de la Fonction publique|ministère du Travail]] ; exercice qui résulte du croisement de deux métiers : * direction de grande entreprise ou d'établissement public<ref>[http://www2.pole-emploi.fr/espacecandidat/romeligne/AfficherDetailFicheMetier.do?ficheMetier=M1301&origineFicheMetier=origineRomeLigne Fiche métier M1301], Direction de grande entreprise ou d'établissement public.</ref> * Management des ressources humaines<ref>[http://www2.pole-emploi.fr/espacecandidat/romeligne/AfficherDetailFicheMetier.do?ficheMetier=M1503&origineFicheMetier=origineRomeLigne Fiche métier M1503], Management des ressources humaines.</ref>. Cette position de haut fonctionnaire de l'Empire français exige, outre des compétences politiques, de mettre en œuvre des qualités de * Définition et supervision de la politique générale (organisation, développement économique, ...), des orientations [[w:stratégie|stratégiques]] et financières de l'Empire français et de la [[w:nation]] en matière de politique de management et de gestion des ressources humaines, * Définition et mise en œuvre d'une politique de management et de gestion des ressources humaines (recrutement, rémunération, mobilité, gestion des carrières, ...) de la structure. Elaboration et supervision de la gestion administrative du personnel (dossiers individuels, paie, ...), * supervision de l'application des obligations légales et réglementaires relatives aux conditions et aux relations de travail, * Organisation du dialogue social et conduite des actions de communication/représentation auprès des acteurs de l'environnement socio-économique, participation aux opérations de communication liées aux mutations de l'entreprise, * supervision des directions stratégiques et organisation des échanges dans l'équipe du cabinet ministériel, avec les autres ministères, le parlement, l'Elysées, les partenaires sociaux, les entreprises, etc. * Suivi et analyses des données d'activité de la nation et proposition d'axes d'évolution * 1908 - {{bibliographie|Q31525986}}<!-- Daniel Zolla, La grève, les salaires et le contrat de travail --> # [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Bibliographie des XX-XXIe siècles#Bibliographie à propos de Gratien Candace|Gratien Candace (Bibliographie)]] == Travaux de recherche : Aide technique & méthodologique == <br /> ;<strong>Requêtes</strong> Poster les demande d’adaptation sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] quand il s’agit de requête seulement réalisable par les admin et sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux contributeurs]] si tout le monde peut le faire. :Voir comment faire la différence ! === Comment créer un travail de recherche === * [[Aide:Comment créer un travail de recherche]] L'espace de nom « recherche » est définit dans les pages : * [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche »|Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche »]] * [https://beta.wikiversity.org/wiki/Wikiversity:Research_guidelines/Fr Research_guidelines/Fr] * [https://beta.wikiversity.org/wiki/Wikiversity:Scope_of_research/Policy/ Wikiversity:Scope_of_research/Policy]. === Graphiques === * [[MW:Extension:Graph/Demo|Graphiques]] & [[Utilisateur:Ambre Troizat#Frise chronologique "L’esclavage dans les capitulaires carolingiens"|autres timelines]]. * [http://www.histropedia.com/ Histropedia], Transforming Wikipedia and Wikidata into the world's first timeline of everything. ==== Bibliographie (Cognition et numérique) ==== '''2017 - [[d:Q28951628|Cognition et numérique]]''' 2017 - {{bibliographie|Q28951401}} 2017 - {{bibliographie|Q28951802}} 2017 - {{bibliographie|Q28951850}} 2017 - {{bibliographie|Q28952143}} === Modèles === * <nowiki>{{inscription date | jour= 4| mois= janvier| année= 2016}}</nowiki> : {{inscription date | jour= 4| mois= janvier| année= 2016}} * [[w:Modèle:Citation|Modèle:Citation]] * [[w:Modèle:Référence nécessaire|<nowiki>{{Référence nécessaire|}}</nowiki>]]{{Référence nécessaire|}} ** [http://www.conv2pdf.com/result.php?nb=file2pdf_422586 Transformer un document en pdf] * <nowiki><!-- Texte --></nowiki> ; <!-- Ce texte ne sera pas apparent --> * <nowiki><s>{{U|nom du contributeurs}}</s></nowiki> ==== Fonctions coûteuses de l’analyseur syntaxique ==== Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], personnellement, '''quand une page devient trop lourde a éditer''', j'utilise dispatche son contenu en plusieurs pages pour les rassembler ensuite en les regroupant dans une seul page par inclusion en utilisant la syntaxe {{m|nom de la sous-page}} comme cela se fait sur la page [[Wikiversité:Accueil]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 29 décembre 2017 à 13:50 (UTC) Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Merci pour le '''conseil'''. Ce mois de décembre a été très lourd pour moi & mon cerveau regimbe un peu. Je note dans ma page perso et j'y reviendrai ultérieurement. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 30 décembre 2017 à 09:33 (UTC) == Une leçon collaborative {{lang|en|from}} Wikisource == === Exposants, chiffres romains, lang === '''*Exposant''' : Mgr, Mlle Monseigneur donne {{Mgr}}<br /> Mademoiselle <nowiki>{{Mlle}}</nowiki> donne Mlle<br /> Compagnie {Cie}} donne Cie<br /> Ce modèle de base '''{{ }}''' permet de mettre presque n’importe quoi en exposant Exemples : 1er, 1re, 2e, Dr, Mlle, Mme, no, nos, 1o, Cie… XVIe, pour {{pour}}, merci {{merci}}, etc… '''*chiffres romains''' {{|}} écrire dans la 1re partie rom-maj et dans la 2e partie écrire en minuscules les chiffres romains. Voici le résultat {{rom-maj|xvi}} * lorsqu’il y a un mot écrit en langue étrangère {{lang|en|boy }} « en » pour la langue anglaise, « it » pour l’italien, « lat » pour latin, etc… Bonne continuation xy. [[Utilisateur:yx|yx]] ([[Discussion utilisateur:yx|d]]) 13 février 2016 à 21:22 (UTC) Organisation par ordre alphabétique {{Ping|yx}} Bonjour yx Je comprends bien ce que vous dites, mais il me semble que pour l’exposant, on a déjà dans la barre des menus un symbole qui nous permet de le réaliser facilement : AVANCÉ. Et pour la langue, puisque cela ne change rien au produit final, '''j’aimerais comprendre le pourquoi... Les italiques ne suffisent pas?''' [[Utilisateur:xy|xy] ([[Discussion utilisateur:xy|d]])xy :Bonjour {{u|xy}}, :Il y a plusieurs de façons de faire des exposants. Le modèle qui marche toujours est {{m|e}} (par exemple <code><nowiki>M{{e|gr}}</nowiki></code> donne M{{e|gr}}) et mais je conseille d’utiliser le modèle spécifique quand il existe (par exemple <code><nowiki>{{Mgr}}</nowiki></code> donne {{Mgr}}). Le rendu semble similaire mais il y existe de subtiles différences. Par exemple, au survol avec la souris dans le deuxième cas, l’abréviation est explicitée. :Le balisage des langues, c’est optionnel mais là encore je le conseille (et les normes du web aussi {{clin}}). Là encore dans la plupart des cas et pour la plupart des lecteurs, le rendu est similaire mais il y a des subtilité. Chez moi, les balises de langues apparaissent en vert ce qui me permet de les voir immédiatement. Chez des personnes aveugles qui utilisent un lecteur d'écran ou n’importe qui utilisant un système de lecture de texte, la balise langue permet d’amélioration ladite prononciation. :Cdlt, [[Utilisateur:zxN|V<span style="font-size:75%">zx</span>]] * [[Discussion Utilisateur:zx|^discut.]] 14 février 2016 à 11:11 (UTC) <br /> <br /> <br /> == Recherches collaboratives en cours == # [[Projet:Mémoires universitaires sous wikimedia|Projet:Mémoires universitaires sous wikimedia]] # [https://meta.wikimedia.org/wiki/Grants:IdeaLab/Mémoires_%26_thèses_collaboratives Grants:IdeaLab/Meta.wikimedia.org:Mémoires & thèses collaboratives] # [[Wikiversité:La_salle_café/février_2017#Comment_Wikiversité_se_prépare-t-elle_à_participer_à_Wikimania_2017_à_Montréal_.3F|Comment Wikiversité se prépare-t-elle à participer à Wikimania 2017 à Montréal ?]] # Relations internationales Afriques-Amériques-Asies / Caraïbes / Europe sur la prériode 1492-1815. Cette recherche est initiée à l'occasion de WikiConvention 2018. La réunion du même nom, tenue le samedi 6 octobre 2018, donne naissance, d'une part à ce groupe de recherche en definissant des objectifs par pays représentés et, d'autre part, au projet "Wikimedia et histoire" dont la page est créée sur Meta. ## [[Sujet:Um3s327xzx4s7vgs|Sur la recherche scientifique au sein des projets Wikiversité]] ## [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire/Réunion/2018/10/06 Wikimédia et Histoire/Réunion/2018/10/06] ## [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire#Contacts Wikimédia et Histoire sur Meta] # Enseignement : [http://www.chartes.psl.eu/en/node/2754 Appel à stages] pour le master "Technologies numériques appliquées à l’histoire" === Biblographie === # [[Bases de données bibliographiques]] # [[Discussion:Bases de données bibliographiques]] === Histoire === [[Faculté:Histoire/Travaux de recherche]] # [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] === Socio-anthropologie === [[Faculté:Socio-anthropologie/Travaux de recherche/Anthropologie]] # [[Recherche:À propos de l'universalité des droits de l'homme]] # [[Discussion Recherche:À propos de l'universalité des droits de l'homme]] === Anthropologie sociale et culturelle === # '''Doctorant ''': [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] : [[Recherche:Ce_que_nous_enseigne_le_mouvement_Wikimedia|Travail de recherche : Ce que nous enseigne le mouvement Wikimédia]] === Sports === # [[Méthodes_d'éducation_physique_en_Europe_aux_XIX°_et_XX°_siècles/Le_sport|Méthodes d'éducation physique en Europe aux XIX° et XX° siècles : Le sport]] === Autres discussions === # [[Discussion Recherche:Déclaration des droits des internautes#Comment collaborer sur le thème "Déclaration des droits des internautes"|Comment collaborer sur le thème "Déclaration des droits des internautes"]] # [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Sous quelles conditions ?|Projet:Wikiversité/Flow 2]] == Mon cabinet d'histoire == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso]] === [https://books.google.com/ngrams/graph?content=esclave%2Cserf%2Cdomestique&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=3&share=&direct_url=t1%3B%2Cesclave%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cserf%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cdomestique%3B%2Cc0 esclave,serf,domestique (Français)] === === Esclavage & traite : Séquence Thomas More / Maurice de Saxe/ Abolition de 1848 === [[Fichier:Louis X dit Hutin, Lettre portant que les serfs du Domaine du Roy seront affranchis moyennant finance, Paris 3 juillet1315.pdf|100 px|vignette|gauche|Louis X dit Hutin, Lettre portant que les serfs du Domaine du Roy seront affranchis moyennant finance, Paris 3 juillet1315]] {{Citation bloc|SERF — Décret de Clotaire contenant peines contre le larcin et l infidélité des serfs an 560 — 1 21 Éd portant que les serfs l église de Saint Maur seront admis en jugement contre les personnes franches 1118 id 134 — Réclamation d un homme comme serf 1270 II 372 1270 id 622 — sur les successions des serfs de corps 1301 id 727 — Ceux qui ne veulent pas se racheter de la servitude doivent être taxés selon leurs moyens 5 juill 1315 III 104 — Suppression de la servitude personnelle domaines du roi août 1779 XXVI 139 — Voir Affranchissement|Athanase-Jean-Léger Jourdan.- Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l'an 420 jusqu'à la révolution de 1789, 1833<ref>Athanase-Jean-Léger Jourdan.- Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l'an 420 jusqu'à la révolution de 1789 Table · Volume 4, [https://www.google.fr/books/edition/Table/FwlfAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&pg=PA332&printsec=frontcover Serf, page 332], 1833</ref>.}} # 1315 - Louis X dit Hutin, Lettre portant que les serfs du Domaine du Roy seront affranchis moyennant finance, Paris 3 juillet 1315<ref>{{bibliographie|Q28955143}}</ref> # [[Utilisateur:Ambre Troizat/1516 - Thomas Thomas Morus (Morus (More).-Utopia|1516 - Thomas Thomas Morus (Morus (More).-Utopia]] # [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_des_XIV-XVIIe_siècles#1607-1846_-_Institutes_coustumières_par_Antoine_Loisel|1607-1846 - Institutes coustumières par Antoine Loisel]] # Code noir # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Maurice de Saxe|Maurice de Saxe]], sous [[w:Louis XV|Louis XV]] ([[w:Maurice de Saxe|Maurice de Saxe]]) # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie|1745-1799 - Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie]] # Abolition de 1789 # Rétablissement de 1802 # Abolition de 1848 ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire]] : François-André Isambert (avocat), 1792-1857 === Maurice de Saxe === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Maurice de Saxe|Maurice de Saxe]] === Chants de Marins === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Chants de Marins|Chants de Marins]] == De la révolution anti-esclavagiste de Saint-Domingue == [[Fichier:Agostino Brunias - The linen market at Saint-Domingue, 1804.png|100px|vignette|gauche|Agostino Brunias - Gens de couleur autour d'un marché de tissus, Saint-Domingue, 1804<ref>Una pareja de Mulatos en Saint-Domingue. [https://journals.openedition.org/nuevomundo/9973 The linen market at St.Domingo], grabado/pintura de Agostino Brunias. Londres: John P. Thompson, 1804. Col. Barbados Museum & Historical Society. Tomado de: The Atlantic Slave Trade and Slave Life in the Americas: A Visual Record.</ref>]] === Bibliographie (Indépendance / Emancipation des colonies === * 1793 - {{bibliographie|Q19094713}} <!-- 1793 - (en) Jeremy Bentham, Emancipate your colonies! --> == ...A l'émergence de la République de Haïti == * 1805 - {{bibliographie|Q90267914}} <!-- Jean Abeille, Essai sur nos colonies et sur le rétablissement de Saint Domingue --> === Recueil général des lois et actes du gouvernement d'Haïti === * Haiti (Republic); Linstant-Pradine, A., d 1884, from old catalog ed; Linstant, S., from old catalog ed; Édouard, Emmanuel, 1858- from old catalog ed.- "''[https://archive.org/search.php?query=Recueil%20général%20des%20lois%20et%20actes%20du%20gouvernement%20d%27Ha%C3%AFti Recueil général des lois et actes du gouvernement d'Haïti : depuis la proclamation de son indépendence jusqu'a nos jours]''". Volumes. 2-6 par A. Linstant-Pradine ; Volumes. 7-8 have title: Recueil général des lois & actes du gouvernement d'Haïti et documents historiques. Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard. Paris, Pedone-Lauriel, 1888. {{BNF|32849728b}}. # [https://archive.org/details/recueilgnral07hait/page/n6 Tome 1], [[w:1804|1808]] — [[w:1808|1808]]. Préface "Donné au quartier general du Fort-Dauphin , le 29 novembre 1803. Signé : [[w:Jean-Jacques Dessalines|Dessalines]], [[w:Henri Christophe|Christophe]], [[w:Augustin Clerveaux|Clervaux]]. B., Aimé, secrétaire. # [https://archive.org/details/recueilgnral06hait/page/n6 Tome 2], [[w:1809|1809]]-[[w:1817|1817]], par A. Linstant-Pradine, # [https://archive.org/details/recueilgnral05hait/page/n8 Tome 3], [[w:1818|1818]]-[[w:1823|1823]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral04hait/page/n5 Tome 4], [[w:1824|1824]]-[[w:1826|1826]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral03hait/page/n5 Tome 5], [[w:1827|1827 ]]-[[w:1833|1833]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral02hait/page/n8 Tome 6], [[w:1834|1834]]-[[w:1839|1839]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral01hait/page/n6 Tome 7], [[w:1840|1840]]-[[w:1843|1843]], Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard # [https://archive.org/details/recueilgnral00hait/page/n3 Tome 8], [[w:1843|1843]]-[[w:1845|1845]], Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard == Organisation par ordre alphabétique == {{Sommaire compact}} __NOTOC__ {{Clr}} <br /> <br /> Wikiversité francophone a 15 ans ! Visio-fête le 1er décembre à 17 h 30 sur le serveur Discord de Wikimédia FR {{Citation bloc|Wikiversité en français a été officialisé (hors de Wikibooks) très précisément le 1er décembre 2006 à 1 h 36 CET, comme en témoigne la première diff : [[Spécial:Diff/1]]|[[Wikiversité:Histoire de Wikiversité|Historique de Wikiversité en français]]}} {{Citation bloc|L'import fait arriver la page dans l'espace de nommage "Transwiki" ce qui permet ensuite de le retravaillé dans la wikiversité avant un renommage final pour le mettre dans le bon espace de nommage. Cf. ''dans le menu de gauche Outils -> importer des pages''|[[Wikiversité:Import]]}} == À == [[Fichier:Fra Luca Pacioli Letter A 1509.jpg|100px|vignette|centre]] === A faire === <nowiki>{{BNF|}}</nowiki> ==== Annotation ==== Modèle <nowiki>{{Gallica}}</nowiki> : <nowiki>Gallica, pp. {{{pp}}}</nowiki> : <nowiki>{{Gallica|id=bpt6k65172061|f=99|pp=93-101}}.}}</nowiki> <nowiki>{{Citation bloc|Les vainqueurs ont parlé. L'esclavage en silence<br>Obéit à leur voix dans cette ville immense|{{Gallica|id=bpt6k312273j|f=25|pp=9}}.}}.</nowiki> Ce qui donne : {{Citation bloc|Les vainqueurs ont parlé. L'esclavage en silence<br>Obéit à leur voix dans cette ville immense|{{Gallica|id=bpt6k312273j|f=25|pp=9}}.}} Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830, {{BNF|307941569}} {{Citation bloc|N° 176 - 13 - avril 1791.- Décret concernant l'abolition de plusieurs droits seigneuriaux notamment de ceux qui étaient ci-devant annexés à la justice seigneuriale et le mode de rachat de ceux qui ont été déclarés rachetables 3 B XIII 93|{{Gallica|id=bpt6k65172061|f=99|pp=93-101}}.}} Note 3 - Voyez le décret des 4, 6, 7, 8 et 11 aoùt-3 novembre 1789, qui abolie le régime féodal ; et les notes; et ceux des 15-28 mars, et 3-9 mai 1790. Voyez surtout les décrets des 2 5-28 août 1792, et 17 juillet 1793, qui ont effacé les derniers vestiges de la féodalité, et les notes qui les accompagnent. [https://archive.org/details/histoiredelamusi00bawr/page/98/mode/2up Histoire de la musique sur Internet Archive] {{Citation bloc|Louis IX exempta les ménestrels du péage d'entrée pour la ville de Paris, à condition qu'ils chanteraient une chanson et danseraient ce qu'on appelait une singerie au paveur ; de là est venu le proverbe français : Payer en gambades et en monnaie de singe.|<nowiki>{{Internet Archive|id=histoiredelamusi00bawr|pp=99}}</nowiki>.}} ==== Ouvrages à saisir ==== Alexandre Tuetey, 1842-1918.- Répertoire général des sources manuscrites de l'histoire de Paris pendant la révolution française # Tome 1 [https://archive.org/details/repertoiregenera01tuet 1] # Tome 2 [https://archive.org/details/repertoiregenera02tuet 2] # Tome 3 [https://archive.org/details/repertoiregenera03tuet 3] # Tome 4 [https://archive.org/details/repertoiregenera04tuet 4] # Tome 5 [https://archive.org/details/repertoiregenera05tuet 5] # Tome 6 [https://archive.org/details/repertoiregenera06tuet 6] # Tome 7 [https://archive.org/details/repertoiregenera07tuet 7] # Tome 8 [https://archive.org/details/rpertoiregn08tuetuoft 8] # Tome 9 [https://archive.org/details/rpertoiregn09tuetuoft 9] # Tome 10 [https://archive.org/details/rpertoiregn10tuetuoft 10] # Tome 11 [https://archive.org/details/rpertoiregn11tuetuoft 11] [https://data.bnf.fr/fr/see_all_activities/12510954/page1 Data BnF-Gallica - Répertoire général des sources manuscrites de l'histoire de Paris pendant la Révolution française] Description matérielle : 11 vol. Description : Note : La page de titre porte en plus : "Ville de Paris. Publications relatives à la Révolution française" Édition : Paris : Impr. nouvelle (Association ouvrière) , 1890-1914 Auteur du texte : Alexandre Tuetey (1842-1918) Éditeur scientifique : Archives de Paris, Paris 11 documents numérisés : Tome 1 - Tome 2 - Tome 3 - Tome 4 - Tome 5 - Tome 6 - Tome 7 - Tome 8 - Tome 9 - Tome 10 - Tome 11 [catalogue, Visualiser dans Gallica, table des matières] ------------ # [https://archive.org/details/parispendantlar01aulagoog Aulard, F.-A. (François-Alphonse), 1849-1928.- ------------]. Recueil de documents pour l'histoire de l'esprit public à Paris (volumes 1 à 5) # [https://catalog.hathitrust.org/Record/000604905 A. Aulard.- Paris pendant la réaction thermidorienne et sous le Directoire]. Recueil de documents pour l'histoire de l'esprit public à Paris, Deux fois 5 volumes. ------------ # [https://www.europeana.eu/en/blog/age-of-synergies-technological-innovations-in-the-late-19th-century?fbclid=IwAR39s56pdkSrK1tIT5bUb_Uz44hZ2QXyyLaL9Gh99tytUnCoOaXw9WfuznU Age of Synergies: technological innovations in the late 19th century]. Learn about the scientific and technological developments that revolutionised the world. # [https://www.google.fr/books/edition/%C3%89tudes_sur_l_histoire_d_Ha%C3%AFti_suivies/a1gIAAAAQAAJ?hl=fr&gbpv=0 Beaubrun Ardouin, Jérôme Maximilien Borgella.- Études sur l'histoire d'Haïti, suivies de la vie du général J.M. Borgella, Volumes 1-2, 1853 === Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry === [[Fichier:De Port Anse, Saint-Domingue.- Doléances d'un Américain persécuté.png|vignette|De Port Anse, Saint-Domingue.- Doléances d'un Américain persécuté, page de titre]] * {{BNF|455450571}}'''Recueils de pièces imprimées''' concernant les colonies [Saint Domingue, Antilles, Noirs, 1788-1789], Date d'édition : 1788-1789, Sujet : Esclavage -- Colonies françaises, Colonies françaises -- 1789-1799 (Révolution), Haïti (île) -- 18e siècle, Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb455450571, Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb45702775p, * {{BNF|45702775p}}'''Recueils de pièces imprimées''' concernant les colonies [Saint Domingue, Antilles, Noirs, 1788-1789] [Texte imprimé], Lien au titre d'ensemble : Recueils de pièces imprimées concernant les colonies [Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry]. 1ere série , Voir toutes les notices liées, Publication : [Paris], 1788-1789, Description matérielle : 1 vol. (473 p.) ; In-8, -------- * Voir : [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XVIIIè_siècle/1750#1789|1789 - Mémoire pour les négocians de Rheims, sur le projet d'abandon des colonies, suivi d'une lettre adressée à M. Blin, député de Nantes aux Etats Généraux, Reims.]] * 1788 - {{bibliographie|Q64450025}} <!-- Cercle des Philadelphes, Recueils de pièces imprimées concernant les colonies, 1ere série, 1788, Recueils de plublication concernant les colonies & provenant de la Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry --> * 2000- - {{bibliographie|Q110044706}} <!-- L’historiographie d’une académie coloniale --> -------- * {{BNF|0345946q }}Discours d'un nègre à un Européen, pièce qui a concouru pour le prix de l'Académie françoise, en 1775, par M. Doigni, Auteur : Doigny Du Ponceau (1750-1830). Auteur du texte, Éditeur : (Paris), Date d'édition : 1775, Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30345946q [Https://data.bnf.fr/fr/documents-by-rdt/12017749/te/page1 Liste de textes de Moreau de Saint-Méry] == Abolitions & abolitionnistes de l'esclavage == === Pages créées === Des abolitions de l’esclavage : Cf. Métamorphose de la propriété === Traites esclavagistes & leurs abolitions === * Commerce des esclaves & Traite des esclaves ** [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] ** [[w:Commerce des esclaves|Traite des esclaves]] Sur Wikipédia, les deux entrées sont identiques et l'article [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] est d'une grande pauvreté.<br>Le débat sur la proposition de créer une entrée Wikidata [[d:Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx|"Traite des esclaves"]] montre une grande réticence et révèle une des problématques qui consiste à chercher absolument à structurer les datas plutôt que de les rendre discernables, distinguables entre elles, quitte à en perdre le sens. [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx&topic_showPostId=uikh5ensm8gdlqpu#flow-post-uikh5ensm8gdlqpu Voici une réponse très précise et très intéressante] de [https://artflsrv03.uchicago.edu/images/encyclopedie//V16/ENC_16-532.jpeg l'Encyclopédie] : "TRAITE [page 16:532] [https://artflsrv03.uchicago.edu/philologic4/encyclopedie1117/navigate/16/2657/?byte=5936321 TRAITE TRAITE], s. f. (Marine.) c'est le commerce qui se fait entre des vaisseaux & les habitans de quelque côte. On utiliserait donc le mot "Traite" parce que ce commerce des esclaves relève du monde de la Marine. Ce serait d'une logique implacable ! Et Jaucourt de préciser : "[[s:L’Encyclopédie/1re_édition/TRAITE|Traite des negres, (Commerce d’Afrique.)]] c’est l’achat des negres que font les Européens sur les côtes d’Afrique, pour employer ces malheureux dans leurs colonies en qualité d’esclaves. Cet achat de negres, pour les réduire en esclavage, est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine...". Pouvons-nous conclure que la traite est restrictive et le commerce extensif ? "[[d:Q26212503|Dissertation sur la traite et le commerce des nègres]]" cherche à savoir si la Traite des negres, ou Commerce d’Afrique "est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine". On voit que le titre de couverture devient vite "Commerce des Nègres". Les auteurs ont-ils idée que la traite bien localisée (les Européens sur les côtes d’Afrique) devient un commerce mondialisé ? Et nous devons aller consulter Raynal ! "Ce qui frappe surtout, c’est ce que l’on pourrait appeler, au risque de l’anachronisme, [https://francearchives.fr/commemo/recueil-2013/39892 l’invention de la mondialisation]. Raynal s’intéresse à ce nouveau phénomène de la « communication » des hommes. Mieux encore, il se fait subtilement le peintre de l’effet de retour de l’expansion européenne sur le vieux continent. Il montre par exemple, anticipant presque les analyses d’Hannah Arendt, comment le poison d’une vision raciste et exploitatrice en outre-mer a miné les valeurs des colons portugais et ruiné, par contagion, l’édifice moral, social et économique du pays". * [[w:Traites négrières|Traites négrières]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20--%20Usa&c=x The Online Books Page] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20%2d%2d%20Cuba&c=x Filed under: Slave trade -- Cuba] == Association pour l'abolition de l'esclavage 1802-1848 == * 14 avril 1775 - La [[w:Pennsylvania Abolition Society|Pennsylvania Society for Promoting the Abolition of Slavery, and for the Relief of Free Negroes Unlawfully Held in Bondage, and for Improving the Condition of the African Race], connue sous le nom de Pennsylvania Abolition Society, est la première société antiesclavagiste du monde et de l'Amérique du Nord, sous l'impulsion de l'abolitionniste Antoine Benezet, elle fut fondée par des Quakers1 à Philadelphie le 14 avril 1775, soit un an avant la déclaration d'indépendance des États-Unis, elle avait pour objectif d'abolir l'esclavage aux États-Unis2. Elle constitue encore un groupe de défense contre le racisme. * 1793 - [https://en.wikisource.org/wiki/Upper_Canadian_Act_Against_Slavery Upper Canadian Act Against Slavery] * Comité pour l'abolition de la traite des Noirs et de l'esclavage * [https://en.wikisource.org/wiki/Women_of_distinction/Chapter_46 MRS. CHARLOTTE FORTEN GRIMKEE.] * [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|1834 - 1848 - Société française pour l'abolition de l'esclavage]] == Bibliographie (Abolitions & abolitionnistes de l'esclavage) == * 2000 - {{bibliographie|Q71815053}} <!-- Nelly Schmidt, Les abolitionnistes français de l'esclavage, 1820-1850 --> ==== Bibliographie (Traite des esclaves) ==== * 1764 - {{Bibliographie|Q26212503}} </-- Jean Bellon de Saint-Quentin, Dissertation sur la traite et le commerce des nègres --> * 1788 - {{Bibliographie|Q30000364}} </-- André-Daniel Laffon de Ladebat.- Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies --> == Académie de Metz == [w:Académie de Metz|Académie de Metz]] * [[w:Famille_Tschudy#Jean-Baptiste-Louis-Théodore_(1734-1784)|Jean-Baptiste-Louis-Théodore (1734-1784)]], "membre zélé de l’[[w:Académie de Metz|Académie de Metz]] depuis [[w:1761|1761]] dont il fut l’un des principaux fondateurs et qu’il présida à plusieurs reprises, il s’intéressa à la littérature, à l’horticulture et à la botanique.", il planta dans son jardin de [[w:Colombey|Colombey]] de nombreuses plantes exotiques. Également musicien, il est l’auteur d’une [[w:ode|ode]] : ''Vénus dans la vallée de Tempé'' ([[w:1773|1773]]), d’une pastorale : ''[[w:Écho et Narcisse|Écho et Narcisse]]'' ([[w:1779|1779]]) qui fut joué à l’Opéra sur une musique de [[w:Christoph Willibald Gluck|Christoph Willibald Gluck]] qu'il rencontra à [[w:Paris|Paris]]) et aussi d’une tragédie lyrique : ''Les Danaïdes'' ([[w:1784|1784]], également sur une musique de [[w:Christoph Willibald Gluck|Christoph Willibald Gluck]]). Il est également auteur d’une pièce célèbre : ''Hymne à l’amitié''. == L'Ile d'Aix == [[Fichier:La Favolière (ingénieur) - L'isle Madame, l'isle d'Ay et fortifications, 1672.png|100px|vignette|gauche|La Favolière (ingénieur) - L'isle Madame, l'isle d'Ay et fortifications, 1672]] === 22 Mai 1798 - Les militaires noirs et de couleur des troupes des colonies seront regroupés à l'Ile d'Aix === [[Fichier:Arrété du directoire exécutif pour la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies, 3 prairial, an 6.png|100px|vignette|gauche|Arrété du directoire exécutif pour la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies, 3 prairial, an 6, (22 Mai 1798).]] {{Citation bloc|'''Arrété du directoire exécutif, concernant la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies. — Du 3 prairial, an 6.'''<br> <i>Le directoire exécutif, après avoir entendu le rapport du ministre de la marine et des colonies sur la nécessité de réunir dans un même lieu tous les militaires noirs et de couleur des troupes des colonies qui se trouvent disséminés tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la république; voulant de les utiliser le zèle de ces défenseurs et leur attachement à la république, arrête :<br> '''ART. Ier.''' Les militaires noirs et de couleur qui se trouvent tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la république, se réuniront à l'île d'Aix, pour y former, dans le plus court délai, une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir de la seconde classe, et sera composée d'un lieutenant de la seconde classe et un sous-lieutenant, d'un sergent-major, quatre sergens, un caporal-fourrier, huit caporaux, un tambour et cent fusiliers. Elle pourra néanmoins être portée à un nombre plus considérable, sans augmentation d'officiers et de sous-osficiers.<br> '''II.''' L'uniforme sera, habit, gilet de drap bleu, paremens et revers pareils, culotte longue de tricot bleu ; collet rouge, droit ; boutons blancs, marqués d'une ancre ; chapeau ordimaire, bordé d'un galon de fil noir, à cheval, de la longueur d'un pouce; la doublure de l'habit et du gilet, de serge blanche; et celle de la culotte longue, en bonne toile écrue.<br> '''III.''' Les appointeniens des officiers, sous-officiers et volontaires, seront conformes à ceux des autres troupes de la république, d'après la loi du 23 floréal an V<ref>Voy. an 5, page 533.</ref>. <br> '''IV.''' Il sera donné des ordres à Paris et dans tous les ports, à tous les militaires des colonies noirs ou de couleur qui ne justifieront pas qu'ils sont attachés à un corps, de se rendre sur-lechamp à l'ile d'Aix ; il leur sera en conséquence délivré des 1'OuteS. : -<br> '''V.''' Les officiers noirs et de couleur qui, conformément à l'article VI de l'arrêté du directoire du 9 vendémiaire an VI<ref>Voy. an. cour, page 92</ref>, sont passés à la guerre et y sont employés à la suite des corps de ce département, ne sont point compris cans le présent arrêté ; mais tous les militaires qui n'y sont point employés, ainsi que ceux qui reviendront soit des colonies, soit des prisons d'Angle· terre, seront tenus de se rendre a l'ile d'Aix, pour servir dans ladite compagnie ou à la suite. Les officiers non employés ne jouiront de leur traitement de réforme qu'à compter du jour de † arrivée à la compagnie, et auront les rations de campagne, ou 1o sous par jour pour leur en tenir lieu , conformément à l'arrêté du directoire du I 1 brumaire an V. (1)<br> '''VI.''' Aussitôt qu'un militaire de conleur, faisant partie des troupes coloniales, débarquera n'importe dans quel port de la république, l'ordonnateur ou commissaire principal de la marine, ou autre chef d'administration, sera tenu de lui faire délivrer de suite une feuille de route par le commissaire des guerres de l'endroit, pour se rendre à l'ile d'Aix. Ils ne pourront venir à Paris que sur des motifs valables, et avec un congé du ministre de la marine et des colonies.<br> VII. Lorsque ces officiers, sous-officiers et valontaires coloniaux seront ainsi réunis, ils seront assujettis à la discipline établie pour toutes les autres troupes de la république ; ils seront aux ordres du commandant d'armes de Rochefort, et de l'ordonnateur de la marine , qui les utilisera le plus qu'il sera possible. A<br> VIII. Tous les militaires noirs ou # couleur qui sont à la suite de la demi-brigade de la marine de Rochefort, passeront dans la nouvelle compagnie, laquelle continuera de faire le service à la suite de ladite demi-brigade, et sera sous les ordres du commandant. <br> '''IX.''' Les officiers de cette compagnie ne pourront remplir les places de capitaine, lieutenant et sous-lieutenant, qu'autant qu'ils auront été promus à ces grades, soit par le directoire, soit par commission de ses agens dans les colonies. Les officiers à la suite ne jouiront pareillement de leurs traitemens de réforme, qu'autant qu'ils justifieront légalement de leurs grades.<br> X. Cette compagnie sera entièrement à la disposition du ministre de la marine et des colonies, qui pourra, dans tous les cas, employer ces militaires de la manière qu'il jugera convenable au bien du service.<br> '''XI.''' Cette compagnie sera commandée par le citoyen Marin Pedre , qui proposera au ministre le choix à faire, parmi les militaires noirs ou de couleur, des officiers les plus propres à remplir les places de lieutenant et sous-lieutenant, et suivant les conditions exprimées en l'article IX du présent arrêté. Il en sera de méme pour les sous-officiers, qui, ainsi que les officiers, et conformément à la loi , devront savoir lire et écrire.<br> '''XII.''' Il sera pourvu à la solde, aux rations, aux effets d'habillement, d'équipement, d'armement et de casernement desdits militaires, conformément aux lois et d'après les revues de l'ordonnateur de la marine à Rochefort; et cette dépense sera prise,pour les années VI et VII, sur les fonds affectés au service des° troupes de la marine. Les ministres de la marine et de la guerre demeurent chargés, chacun pour ce qui le concerne, de l'exécution du présent artété, qui sera imprimé au Bulletin des lois.</i>.|France. Secrétariat d'Etat à la guerre, Gournay, Éditeur scientifique.- Journal militaire. Contenant... les ordonnances... les nominations... l'annonce ou extrait des ouvrages…, {{BNF|328016138}}<ref>France. Secrétariat d'Etat à la guerre, Gournay, Éditeur scientifique.- Journal militaire. Contenant... les ordonnances... les nominations... l'annonce ou extrait des ouvrages…, [https://books.google.fr/books?id=Vm_kWS6PTkEC&dq=fr&pg=PA474#v=onepage&q&f=false 1794, pp. 474-476]</ref>.}} {{Citation bloc|<i>Pour expéditon conforme signé Merlin président par le directoire exécutif le secrétaire général Lagarde</i>|Recueil des proclamations et arrêtés des représentans du peuple français, envoyés près des armées du Nord et de Sambre et Meuse, etc. ainsi que des ordonnances, reglémens et autres actes du Magistrat, et autres Autorités Constituées de la Ville et Quartier de Bruxelles: Emanés à Bruxelles depuis l'entrée victorieuse des troupes de la République Française dans cette ville, le 21 Messidor, l'an 2 de la République. (9 Juillet 1794, vieux style)<ref>[https://books.google.fr/books?id=FZRfAAAAcAAJ&pg=PA48=onepage&q=false Volume 19, pp. 48-51]</ref>}} === 22 Mai 1798 - Dénonciation de l'illégalité du regroupement des militaires noirs et de couleur à l'Ile d'Aix === [[File:Arrêté relatif à arrété du Directoire exécutif, 3 prairial an 6, portant que les militaires noirs et de couleur se réuniront à l'ile d'Aix.png|100px|vignette|gauche|Arrêté relatif à arrété du Directoire exécutif, 3 prairial an 6, portant que les militaires noirs et de couleur se réuniront à l'ile d'Aix]] {{Citation bloc|Arrêté relatif à un arrété du Directoire exécutif du 3 prairial an 6 (22 Mai 1798), portant que les militaires noirs et de couleur, qui se trouvent, tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la République, se réuniront à l'ile d'Aix, pour y former une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir. — Du 5 Messidor.<br> <i>Un membre fait une motion dans laquelle il dénonce comme inconstitutionnel et illégal un arrêté du Directoire exécutif pris dans un temps où il étoit dominé par une majorité tyrannique, contre les hommes de couleur des Antilles, déportés par les Anglais à l'époque de la trahison qui leur livra les îles du Vent. Cet arrêté, en date du 3 prairial an 6, porte, article premier : « Les militaires noirs et de couieur qui se trouvent, tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la République, se réuniront à l'ile d'Aix pour y former, dans le plus court délai, une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir de la seconde classe, etc." L'orateur observe que ceux qu'on a ainsi réunis en une seule compagnie, contre toutes les lois de l'organisation militaire, Sont sequestrés du reste de l'armée sur un banc de sable appelé l'ile d'Aix ; qu'isolés de leurs compagnens d'armes d'Europe, il semble qu'on ait voulu les punir d'avoir soutenu dans le Nouveau Monde les principes de la République. Que l'idée d'une pareille mesure a été prise dans les institutions du régime monarchique, du temps où la législation laissoit un libre cours aux fureurs du despotisme colonial, et où, pendant la dernière guerre, le ministre Sartine avoit imaginé d'emprisonner à l'île d'Aix tous les hommes noirs ou de couleur qu'il faisoit arrêter à la réquisition des colons, et ceux que les hasards de la guerre amenoient d'Amérique ; Que ce traitement, tout barbare qu'il fût, n'étoit pas contraire aux usage reçus, qui autorisoient alors les distinctions humiliantes que la cupidité et l'orgueil avoient <u>gradnées</u> dans les îles d'après les nuances des couleurs : mais aujourd'hui que les bienfaits de la révolution ont élevé tous les hommes au rang qu'ils tenoient de la nature, l'orateur s'étonne qu'on ait osé rétablir des différences insultantes en reléguant les soldats noirs et de couleur loin de leurs frères d'armes dans un coin de terre insalubre, tandis que les hommes blancs qui servoient dans les mêmes corps, sont incorporés dans les cadres d'Europe. Après avoir dépeint l'état misérable où se trouvent ces malheureux, dont plusieurs, couverts de blessures honorabl es, ont péri cet hiver, manquant d'habillement et privés de toute espèce de secours, il demande que l'arrêté du 3 prairial an 6, qui ensevelit 1es militaires noirs et de couleur à l'île-d'Aix, soit dénoncé comme inconstitutionnel au Directoire exécutif, par un message. Cette propositition, mise aux voix, est adoptée. Le Conseil ordonne en outre l'impression du discours de l'orateur</i>.|France. Corps Législatif.- Collection générale des lois et des actes du Corps Législatif et du Directoire Executif, chez Baudouin, Volume 16<ref>France, Corps Législatif.- Collection générale des lois et des actes du Corps Législatif et du Directoire Executif, chez Baudouin, Volume 16, [https://books.google.fr/books?id=DJxaAAAAcAAJ&dq=Il%20d'Aix%20%2B%20soldats%20noirs&hl=fr&pg=PA99#v=onepage&q&f=false pp.99-100].</ref>.}} [[Fichier:Directoire exécutif - Arrété n° 1946 du 4 août 1798, Compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires.png|100pvpx|vignette|gauche|Directoire exécutif - Arrété n° 1946 du 4 août 1798, Compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires]] === 4 Août 1798 - Formation de compagnies de militaires noirs et de couleur venant des prisons d'Angleterre à l'île d'Aix === {{Citation bloc|'''Ordre militaire Organisation<br> (N° 1946 Arrété du directoire exécutif concernant la formation de plusieurs compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires Du 17 Thermidor an 6 (4 Août 1798)'''<br> <i>Le directoire exécutif, sur le rapport du ministre de la marine et des colonies : considérant que le nombre des militaires noirs et de couleur venant des prisons d'Angleterre exigeoit la formation de plusieurs compagnies à l'île d'Aix, et voulant les assimiler aux troupes de la république, en utilisant leurs services , arrête :<br> '''ART. I.''' Il sera formé autant de compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires, que le service l'exigera. Cette formation sera la même, tant pour la solde que pour l'effectif, que celle déja créée par son arrêté du 5 Prairial dernier<ref>[https://books.google.fr/books?id=FZRfAAAAcAAJ&dq=fr&pg=PA48#v=onepage&q=militaires%20noirs&f=false Page 48, ci-devant]</ref>.<br> '''ART. II.''' Le ministre de la marine et des colonies est chargé de l'exécution du présent arrêté, qui sera imprimé.<br> Pour expédition conforme, signé Merlin, pour le président ; par le directoire exécutif, pour le secrétaire général, Treilhard.</i>|{{bibliographie|Q75739245}}, pp. 208-209}} === Bibliographie === * 2007 - {{bibliographie|Q23608307}} <!-- Bernard Gainot, Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'empire (1792-1815) --> * 1909 - {{bibliographie|Q111234457}} <!-- Élie Garnier, L'île d'Aix à travers les temps --> == A la teste noire (Enseigne de la Testenoire) : La maison Andry == === Etiquette,source inconnue, Google Images === [https://www.labreuche-fournisseurs-artistes-paris.fr/maison/andry La maison Andry, Guide Labreuche]<br> "A la Teste Noire<br> François Andry Marchand, épicier droguiste<br> [[w:Rue de la Harpe|Rue de la Harpe]] près celle de Saint-Séverin<br> A Paris, 1758 === Paris pendant la domination anglaise (1420-1436) === Auguste Longnon, ‎France. Grande Chancellerie.- [https://books.google.fr/books?id=I0VMAAAAMAAJ Paris pendant la domination anglaise (1420-1436)], 1878<br> Item, sur l'ostel qui fu Guillaume des Plantes et de present à Vincent Dury, où pend l'enseigne de la Teste Noire, assis en la rue Gieffroy ... Item, sur la maison qui fu Jehan Papillon et depuis à Jehan d'Ableiges, et de present appartient à maistre Andry le Preux, assise en la rue ... Item, sur l'ostel qui fu maistre Denis de Bainnes, et de present à François Pastoureau, assis en ladicte rue, seize solz parisis. === Topographie historique du vieux Paris === Adolphe Berty, ‎Lazare Maurice Tisserand.- [https://books.google.fr/books?id=hD--qBjRt6kC Topographie historique du vieux Paris], Volume 6, 1897, page 212 Maison de l'Escu d'argent (1399), enseigne à laquelle se joignent, en 1418, celle du Frain d'or, et en 1502, celle de l'Ange ... Maison sans désignation, faisant le coin septentrional de la rue de la Parcheminerie. ... de la Teste noire (i&65), ayant sa façade sur la rue Saint-Jacques et un corps d'hôtel sur celle de la Parcheminerie. == Alexis Léger, alias Saint-John Perse == === "J'habiterai mon nom" === [[d:Q25918117|"J'habiterai mon nom"]].- {{Bibliographie|Q25918117}} == Bartolomé de Las Casas == [[Fichier:Fray Bartolomé de las Casas.jpg|Bartolomé de las Casas|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:Bartolomé de las Casas (1552) Brevisima relación de la destrucción de las Indias.png|100px|vignette|gauche]] * [[w:Bartolomé de las Casas — Wikipédia|Bartolomé de las Casas — Wikipédia]] * Bartolomé de lasCasas.- [[w:Brevísima relación de la destrucción de las Indias|Brevísima relación de la destrucción de las Indias]]. La Brevísima relación de la destrucción de las Indias (en français : Très bref rapport ou Très brève relation de la destruction des Indes) est un livre écrit à partir de 1539 par le frère dominicain Bartolomé de las Casas et publié en 1552. * Bartolomé de lasCasas, Jacques de Miggrode (Trad.),- [https://archive.org/details/tyranniesetcruau00casa/page/n5/mode/2up Tyrannies et cruautez des Espagnols perpetrees es Indes Occidentales, qu'on dit le nouueau monde, 1484-1566 * Bartolomé de las Casas, Johannes Gysius.- [https://archive.org/details/LeMiroir/page/n7/mode/2up Le miroir de la cruelle et horrible tyrannie espagnole perpétrée au Pays-Bas par le tyran duc d'Albe et autres commandants du roi Philippe II] == Fernand Cortès à Charles-Quint == * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k821936.image Lettres de Fernand Cortès à Charles-Quint sur la découverte et la conquête du Mexique] trad. par Désiré Charnay ; avec préf. du Dr E.-T. Hamy, {{BNF|6k821936}} == Mézoamérindiens == * [[w:en;Techialoyan Codex of Cuajimalpa|Techialoyan Codex of Cuajimalpa]] * [[w:es:Códice Techialoyan de Cuajimalpa|Códice Techialoyan de Cuajimalpa]] == Obwandiyag dans la « Rébellion de Pontiac » == Obwandiyag dit ''Pontiac'' circa 1714 – 20 avril 1769) était un chef de la tribu des Amérindiens outaouais de Détroit. Il réussit, dans la « Rébellion de Pontiac ». Voir : [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie#XVIII.7B.7Be.7D.7D_siècle|1714]] ; [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie#XVIII.7B.7Be.7D.7D_siècle|1763]]. == Affranchissement == Voir article du Wikitionnaire : [https://fr.wiktionary.org/wiki/affranchissement Affranchissement] [[s:Page:Revue des Deux Mondes - 1853 - tome 2.djvu/597|L’affranchissement des colonies anglaises d’Amérique ne fut pas, à vrai dire, une révolution]]. == Amérindiens dans la première guerre mondiale == [[Fichier:Le Miroir Les peaux rouges dans les rangs alliés, 1917.png|100px|vignette|gauche|Amérindiens dans la première guerre mondiale, Le Miroir, 1917, {{BNF|34419118b}}]] == Logiciel libre pour l’analyse textuelle fondé sur R : R.TeMiS== Source : 2013 - {{Bibliographie|Q34297699}} [[w:R (langage)|R est un langage informatique]] dédié aux statistiques et à la science des données. L'implémentation la plus connue du langage R est le logiciel GNU R. {{Citation bloc|— du côté des données, la numérisation a conduit à un véritable «déluge» de textes disponibles à portée du clic de la souris (Hey & Trefethen, 2003), notamment dans le domaine des médias (bases de données structurées comme Lexis-Nexis ou Factiva...)<br>— du côté des méthodes, l’analyse de contenu traditionnelle est de plus en plus remplacée par la statistique lexicale (text mining) mais l’offre logicielle a tout du «maquis» (Demazière & Brossaud, 2006), ce qui rend nécessaire un patient travail de défrichage et de choix préalable à toute analyse (Brugidou, et al., 2000; Jenny, 1996; 1997; Klein, 2001; Weitzman & Miles, 1995).}} === Historique du logiciel libre === * [https://www.franceculture.fr/emissions/du-grain-a-moudre/que-reste-t-il-du-logiciel-libre Que reste-t-il du logiciel libre ? 13/06/2018], == Amériques, Mésoamériques & Caraïbes : Bibliographie == * [https://sites.google.com/site/gwallerick/home Programme scolaire] == Les trois avantages du logiciel libre == {{Citation bloc|'''Les trois avantages du logiciel libre en matière de statistique lexicale''' :<br> * Gratuité<br> * Robustesse<br> * Fonctionnement en paquets de code réutilisables|Gilles Bastin & Milan Bouchet-Valat, 2013.}} === Gratuité de l'éducation === * Éric Monnet, Laviedesidees.fr.- [https://laviedesidees.fr/Ce-que-rapporte-l-education-gratuite.html?utm_source=dlvr.it&utm_medium=facebook&fbclid=IwAR324mJgo9YEieCgVhRhuxT26BM4tLR-lYE7lak9nEAGBPqdJqJMc475DsM Ce que rapporte l’éducation gratuite, Entretien avec] [[w:Philippe Aghion|Philippe Aghion]], 14 décembre 2018. === Un exposé fait au Congrès de l’AFS – Nantes 2013 === Plan de l'[http://osc.cnrs.fr/RT20/local/documents/S6_Bastin.pdf exposé de Gilles Bastin & Milan Bouchet-Valat] Introduction I. Trois raisons de préférer le logiciel libre en statistique lexicale II. Importer, coder et gérer des corpus de textes dans R.Temis III. Visualiser les relations entre variables du corpus IV. Statistiques élémentaires avec R.TeMiS V. Classification hiérarchique et analyse factorielle avec R.TeMiS Conclusion : une illustration de la richesse de l’environnement R avec la visualisation géographique des données textuelles == Logiciel RQDA == R-QDA est un logiciel libre et gratuit d'[[w:Méthodes qualitatives|analyse qualitative]]. [RQDA en français Liste des tutoriaux] RQDAtuto, 26 vidéo. * [https://www.youtube.com/watch?v=uFNuB7FVAlI Introduction] * [https://www.youtube.com/watch?v=4oGIiy3RSok Codage RQDA -- partie 1] * [https://www.youtube.com/watch?v=gM4THdeL4yo&list=PL52377017A7137925&index=3 03 Installer R-QDA sur Linux] ** Installer R-base ** Installer R-studio, interface graphique ** Installer R-QDA == Méthode Alceste : méthodologie == [http://www.lesphinx-developpement.fr/blog/la-classification-des-donnees-textuelles-selon-la-methode-alceste/ Classification des données textuelles : méthode Alceste] 2011 - {{bibliographie|Q7310435}} <!-- Reinventing Discovery: The New Era of Networked Science --> == Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron == * [[w:Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron|Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron]] * 1805 - Anquetil-Duperron (M., Abraham-Hyacinthe).- [https://www.google.fr/books/edition/Catalogue_des_livres_de_M_A_H_Anquetil_D/7mVWAAAAYAAJ Catalogue des livres de M.A.H. Anquetil-Duperron]... dont la vente se fera ... * [https://blogs.mediapart.fr/roland-laffitte/blog/280317/la-colonisation-crime-de-lese-humanite-pour-anquetil-duperron-1789 La colonisation, « crime de lèse-humanité » pour Anquetil-Duperron (1789)] == Antilles == <br /> [[Fichier:Gilles Robert de Vaugondy, Cartographie des Antilles, 1750.png|250px|vignette|centré|Gilles Robert de Vaugondy, Partie de la Mer du Nord où se trouvent les Grandes et Petites Isles Antilles et les Isles Lucayes, 1750.]] <br /> == Apanages (d'Orléans) == {{Citation bloc|L'[[w:Orléanais|Orléanais]] est apparu au IXe siècle et Hugues Capet a été le dernier comte héréditaire d'Orléans. Par la suite, le titre fut donné en apanage aux fils cadets des rois de France. Érigée en duché en 1344, la province entre dans le domaine royal en 1498. Elle est finalement disloquée en 1790 lors de la création des départements. <br> L'Orléanais est le dernier apanage à faire retour à la Couronne, avec l'accession au trône de France du dernier [[w:Duc d'Orléans|duc d'Orléans apanagiste]], Louis-Philippe Ier, le 9 août 1830. Il faut remarquer que la Révolution française avait pourtant mis fin aux apanages territoriaux par le décret du 21 décembre 1790 pour leur substituer des indemnités. En montant sur le trône en 1814, Louis XVIII décide de respecter ce décret, sauf en ce qui concerne l'apanage d'Orléans, reconstitué au profit de Louis-Philippe d'Orléans, futur roi des Français.|[[w:Orléanais|Orléanais]], [[w:Duc d'Orléans|duc d'Orléans apanagiste]], Wikipédia}} Faculté de Droit Virtuelle.- les apanages<br>[http://fdv.univ-lyon3.fr/moodle/file.php/1/FPV2/Histoire/Histoire_du_droit/histoiredudroitlesapanages.pdf Apanages territoriaux + décret + "21 décembre 1790" + indemnités, pdf] Février 1566 - Edit de Moulins ou Règlement général sur le domaine du roy [https://books.google.fr/books?id=kF48AAAAcAAJ&pg=PA783 Vingt livres du Code d'Henry III. de ce nom, Roy de France - Page 783]. [[w:Henri III (roi de France)|Henri III, France, dernier roi de la dynastie des Valois]] [https://catalogue.bnf.fr/search.do?mots0=NRI;-1;0;Barnab%C3%A9+Brisson&mots1=TIT;0;0;Le+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&&pageRech=rav Barnabé Brisson.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne] ° [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/getobject_?a.21:2:25./var/artfla/encyclopedie/textdata/image/ Code Henri III, portail.atilf.fr, Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, Page 3:576] ° [[s:L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/CODE|Code Henri ou code d’Henri III]] ° [https://www.google.com/search?biw=1282&bih=537&tbm=bks&ei=dG8HXsaCDsujgwfomqyIDg&q=inauthor%3A%22Barnab%C3%A9+Brisson%22+%2B+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&oq=inauthor%3A%22Barnab%C3%A9+Brisson%22+%2B+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&gs_l=psy-ab.12...206186.233978.0.235692.6.5.1.0.0.0.378.902.0j4j0j1.5.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.S8xmgqvYfsw inauthor "Barnabé Brisson" + Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne] - 1593 - Barnabé Brisson.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne - [https://books.google.fr/books?id=uL9rJZZ5EPIC&pg=PA956 ‎Lire "apanages",- Page 956] - 1594 - Barnabé Brisson.- Code de Henri III Roy de France, LIVRE SEPTIESME DV CODE DV ROY HENRY III. ROY DE France 8C de Pologne. - Page 275 - ‎Lire - 1601 - Barnabé Brisson.- Le Code du roy Henry III. roy de France et de Pologne'' - 1605 - ‎Barnabé Brisson, ‎Louis Charondas Le Caron.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne - [https://books.google.fr/books?id=YN1DAAAAcAAJ&pg=PA488 ‎Lire "apanages", Page 488] == Archives parlementaires de 1787 à 1860 == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire/Archives parlementaires, 1787-1860 Internet Archive Index|Archives parlementaires, 1787-1860 Internet Archive Index]] == L'Asiento == {{Citation bloc|En 1517-1518, Charles Quint accorda à l'un de ses courtisans le monopole du droit de vente, pendant huit ans, dans les possessions espagnoles d'Amérique (Hispaniola, Cuba, Jamaique, Porto-Rico, etc.) de 4 000 esclaves chaque année. Les esclaves étaient achetés aux Portugais et revendus aux Espagnols. À partir de ce moment-là, le gouvernement espagnol conclut régulièrement des accords de ce genre. On appelait Asiento les accords qui consacraient le monopole de la vente des esclaves noirs dans les colonies espagnoles des Indes occidentales et d'Amérique.|Svétlana Abramova.- Afrique: Quatre siecles de traite des Noirs<ref>Svétlana Abramova, Jose Antonio Saco - [http://les.traitesnegrieres.free.fr/08_esclavage_le_debut.html Afrique: Quatre siecles de traite des Noirs] : Quelle aurait été la destinée du Nouveau Monde s'il n'y avait pas eu l'Afrique ?</ref>.}} {{Citation bloc|Au début du XVIIIe siècle. — On lira avec intérêt l'article de Mr Léon Vignols (qui n'a pas besoin d'être présenté à nos lecteurs), intitulé : L'Asiento français (1701-1713) et anglais (1713-1750) et le commerce franco- espagnol vers 1700 à 1730. Publié dans la Revue d'Histoire économique et sociale en 1929, il représente la traduction d'un mémoire publié en espagnol dans YAnuario de kistoria del derecho espaňol de Madrid, 1 929. Il ajoute à notre connaissance d'une époque fort curieuse, rectifie chemin faisant bien des erreurs (de Dahlgren notamment) et se termine par la publication de deux Mémoires français de 1728 sur le commerce franco-espagnol. L. F.|Febvre Lucien in Annales Année 1930, 8 p. 609<ref>[https://www.persee.fr/doc/ahess_0003-441x_1930_num_2_8_1288_t1_0609_0000_4 Febvre Lucien in Annales Année 1930, 8 p. 609]</ref>}} Léon VIGNOLS.- [https://www.jstor.org/stable/24065119 L'Asiento français (1701-1713) et anglais (1713-1750) et le commerce franco-espagnol vers 1700 à 1730: Avec deux Mémoires français de 1728 sur ces sujets], Revue d'histoire économique et sociale, Vol. 17, No. 3/4 (1929), pp. 403-436, Armand Colin, 34 page× {{Citation bloc|1713 Contract de l'Affiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 tiré de l'Europaeische Ruhe LERO I AUTANT que l'Assiento dont on étoit convenu avec la Compagnie Roiale de Guinée établie en France pour fournir des Esclaves Negres aux Indes Occidentales est expiré & que la Reine de la Grande Bretagne souhaite d'entrer en ce Commerce & en son nom la Compagnie Angloise comme cela est stipulé dans les Preliminaires de la Paix & CCt IlLO|Les interets presens et les pretensions des puissances de l'Europe, fondez sur les traitez depuis ceux d'Utrecht inclusivement, & sur les preuves de leurs droits particuliers. Par Mr. J. Rousset ... Tome premier [ -troisieme, 1736, <ref>CoNTRAcT de l Affiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713,pp.[https://books.google.fr/books?id=fd6SORIVxCAC&dq=Angloise%20Sa%20Majesté%20Catholique%20en%20considération%20des%20pertes%20que%20d'%20autres%20Assientistes&hl=fr&pg=PA498#v=onepage&q=Angloise%20Sa%20Majesté%20Catholique%20en%20considération%20des%20pertes%20que%20d'%20autres%20Assientistes&f=false 498] & ss.</ref>}} === Bibliographie === * 1733 - {{bibliographie|Q64264979}} <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> ** 1733 - {{bibliographie|Q64265913}}, Comprenant : {{bibliographie|Q64280417}} <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> ** 1713 - {{bibliographie|Q64280417}} ,Voir au sujet du commerce entre la France & l'Angleterre : {{Bibliographie|Q28918461}}, 1679. <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> * [[d:Q64212842|1751]] - {{bibliographie|Q64212842}} <!-- Assiente ou Assiento, L'Encyclopédie Diderot D'Alembert --> * [[d:Q64212386|1906]] - {{bibliographie|Q64212386}} <!-- Œuvre : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> ** [[d:Q64212475|1906]] - {{bibliographie|Q64212475}} <!-- Édition : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> ** [[d:Q64347007|1906]] - {{bibliographie|Q64347007}} <!-- Une institution internationale disparue : l'assiento des nègres --> * 1912 - {{Bibliographie|Q64351453}} <!-- Georges Scelle, Théories relatives à l'esclavage en Espagne au XVIIe siècle --> * Svétlana Abramova, Jose Antonio Saco - [http://les.traitesnegrieres.free.fr/08_esclavage_le_debut.html Afrique : Quatre siècles de traite des Noirs] : Quelle aurait été la destinée du Nouveau Monde s'il n'y avait pas eu l'Afrique ? == George III (roi du Royaume-Uni) == [[Fichier:George III by A.Ramsay (Williamsburg, Virginia).jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III (roi du Royaume-Uni)]], 4 juin [[w:1738|1738]] - 29 janvier [[w:1820|1820]] {{Citation bloc|"Le texte original de la [[w:Déclaration d'indépendance des États-Unis|Déclaration d’indépendance de 1776]], rédigé par [[w:Thomas Jefferson|Thomas Jefferson]], est amputé du paragraphe qui accuse le roi [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III]] de pratiquer la traite des esclaves. Disparaît ainsi du texte qui proclame l’égalité naturelle des hommes, le droit à la souveraineté et à l’autodétermination, la remise en cause de ceux qui sont "déterminés à garder ouvert un marché où les hommes peuvent être achetés ou vendus".|{{Bibliographie|Q28771646}}<ref>{{Bibliographie|Q28771646}} est une lecture de {{Bibliographie|Q28771770}}, 1974.</ref>, 1976}} === Chronologie === [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie_1763-1848#1801|1801]] - 1738 === Bibliographie (George III, roi du Royaume-Uni) === * 1976 - {{Bibliographie|Q28771646}} == Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Les_œuvres_de_Jean-Antoine-Nicolas_de_Caritat_de_Condorcet|Les œuvres de Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet sous l'angle de l'esclavage]] == Henri Grégoire == [[w:Henri Grégoire|Henri Jean-Baptiste Grégoire]], également appelé l’''abbé Grégoire'', né le {{Date de naissance|4|décembre|1750}} à [[w:Vého|Vého]] ([[w:Trois-Évêchés|Trois-Évêchés]], aujourd'hui dans le [[w:Département (France)|département]] de [[w:Meurthe-et-Moselle|Meurthe-et-Moselle]]) et mort le {{Date de décès|28|mai|1831}}<ref>Guy-Robert Ikni, « Grégoire Henri », ''in'' [[w:Albert Soboul|Albert Soboul]] (dir.), ''Dictionnaire historique de la Révolution française'', Paris, PUF, 1989 (rééd. Quadrige, 2005, {{p.|520}}).</ref> à [[w:Paris|Paris]], est un [[w:prêtre catholique|prêtre catholique]], évêque constitutionnel et homme politique [[w:France|français]], l'une des principales figures emblématiques de la [[w:Révolution française|Révolution française]]<ref>{{Lien web|url=http://www.intercdi-cedis.org/spip/intercdiarticle.php3?id_article=1135 |titre=L’abbé Grégoire et l’abolition de l’esclavage |consulté le=9 avril 2011. }}</ref>. L'abbé Grégoire se rallie au [[w:Tiers état|Tiers état]] et, à l'[[w:Assemblée constituante de 1789|Assemblée Constituante]], il réclame non seulement l'[[w:Antiesclavagiste|abolition]] totale des [[w:Privilège (droit médiéval)|privilèges]] et de l'[[w:esclavage|esclavage]] mais prône aussi le [[w:suffrage universel|suffrage universel]]. Fondateur<ref>[http://www.bretagne.ens-cachan.fr/version-francaise/l-ecole/histoire/les-ecoles-de-l-an-iii-106752.kjsp?RH=1189690570769 Écoles de l'an III]</ref> du [[w:Conservatoire national des arts et métiers|Conservatoire national des arts et métiers]] et du [[w:Bureau des longitudes|Bureau des longitudes]], il participe à la création de l'[[w:Institut de France|Institut de France]] dont il devient membre. === 15 novembre 1792 === [[w:Henri Grégoire|Henri Grégoire]] prononce son discours sur la mise en jugement du roi à la séance du [https://books.google.fr/books?id=0YI9AAAAYAAJ&lpg=PA49&ots=8K1apJ-7W8&dq=Discours%20de%20Grégoire%20sur%20la%20mise%20en%20jugement%20du%20roi&hl=fr&pg=PA49#v=onepage&q=Discours%20de%20Grégoire%20sur%20la%20mise%20en%20jugement%20du%20roi&f=false 15 novembre 1792], date à laquelle s'ouvrit la discussion à la Convention. {{Citation bloc|La postérité s'étonnera sans doute qu'on ait pu mettre en question si une nation entière a le privilége de quiconque délègue, et si elle peut juger son premier commis !<br /> » L'inviolabilité, étant une institution politique, n'a pu être établie que pour le bonheur national. Elle est utile, disait-on, pour déconcerter ceux qui aspireraient à la puissance suprême ; elle est le tombeau de l'ambition... Mais si cette prérogative s'étend à tous les actes de l'individu roi elle deviendra le tombeau de la nation, '''car elle est un moyen de plus pour consacrer l'esclavage et la misère des peuples''' ; il conspire impunément contre eux, et avec l'arme de l'inviolabilité il poignarde la liberté! Prétendre que pour le bonheur commun il faut qu'un roi puisse impunément commettre tous les crimes, fut-il jamais de doctrine plus révoltante ! Et c'est à la fin du dix-huitième siècle, c'est dans cette salle qu'elle a été soutenue ! Au reste si vous prétendez que l'acte constitutionnel donne cette latitude absurde à la doctrine de l'inviolabilité, tandis que d'un autre côté je lis dans votre Déclaration des Droits que toute distinction sociale est fondée sur l'utilité commune, vous êtes en contradiction avec vous-mêmes, et mon choix ne balancera pas entre vos lois immorales et les maximes éternelles de la raison.<br /> » Il reste donc prouvé d'une part que l'inviolabilité ne s'étend qu'aux actes administratifs, et non aux délits personnels; de l'autre que quand même vous donneriez à cette prérogative une extension illimitée elle disparaît devant la volonté du souverain; et dès lors elle disparaît devant la loi, puisque la loi est la volonté du souverain.|Opinion de Grégoire, député de Loir-et-Cher, pour l'affirmative.— Séance du 15 novembre 1792<ref>Choix de rapports, opinions et discours: prononcés à la Tribune ..., [https://books.google.fr/books?id=9VcTAAAAQAAJ&dq=La%20postérités'étonnera%20sans%20doute%20qu'on%20ait%20pu%20mettre%20en%20question%20si%20une%20nation%20entière%20a%20le%20privilége%20de%20quiconque%20délègue%2C%20et%20si%20elle%20peut%20juger%20son%20premier%20commis%20!&hl=fr&pg=PA204#v=onepage&q&f=false Volume 10, pp 204 & 207]<br />Voir aussi : [http://levieuxcordelier.fr/discours-de-gregoire-sur-la-mise-en-jugement-du-roi-seance-du-15-novembre-1792/ Discours de Grégoire sur la mise en jugement du roi] </ref>.}} === 16 novembre 1792 === [[w:Henri Grégoire|Henri Grégoire]] [[w:Président de la Convention nationale|préside la Convention Nationale]] du [https://books.google.fr/books?id=1K4aAAAAYAAJ&dq=Convention%20Nationale%20%2B%20Présidence%20de%20Grégoire&hl=fr&pg=PA493#v=snippet&q=%22Présidence%20de%20Grégoire%22&f=false 16 novembre 1792] au [https://books.google.fr/books?id=1K4aAAAAYAAJ&dq=Convention%20Nationale%20%2B%20Présidence%20de%20Grégoire&hl=fr&pg=PA618#v=snippet&q=%22Présidence%20de%20Grégoire%22&f=false 30 novembre 1792]<ref>1847 - {{Bibliographie|Q27837128}}, T. 14, Convention nationale, Présidence de Grégoire</ref>. === 13 mai 1801 - 1822 - Débat avec Paw, de Raynal et de Robertson à propos de Don Barthélemi de Las Casas === {{Citation bloc|Une imputation grave a été faite à Las Casas pour mettre sa conduite en opposition avec ses principes. [[w:Corneille de Pauw|Paw]], philosophe aussi méprisable qu'historien peu digne de foi, et après lui [[w:Guillaume-Thomas Raynal|Raynal]] et Robertson, qui l'ont cru sur parole prétendent qu'il établit le commerce des esclaves africains dans le Nouveau-Monde, avec l'intention d'adoucir le sort des Indiens et d'obtenir leur émancipation.<br /> C'est ainsi, en admettant ce fait comme constant, qu'un usage qui, du temps de Las Casas, n'avait rien de choquant pour l'opinion (puisque les nègres étaient accoutumés depuis des siècles à l'esclavage), est aujourd'hui signalé comme un crime qui doit rendre infâme le nom d'un héros. Ce reproche odieux a engagé le savant et respectable M. Henri Grégoire, ancien évéque de Blois, à publier l'Apologie de Las Casas, ouvrage excellent, dans lequel il a victorieusement combattu cette injuste inculpation : l'auteur a lu son mémoire, le 13 mai 1801, dans une séance de l'Institut, dont il était membre, et il a été inséré dans les Mémoires de ce corps savant, imprimés par Baudoin, en vendémiaire an onze de la république française, c'est-à-dire en octobre 1803. J'ai inséré cette pièce intéressante dans mon édition, ainsi qu'une lettre adressée quelque temps après au prélat français par M. le docteur don Grégorio Funes, et une autre par le docteur Mier.<br /> Comme l'accusation dirigée contre Las Casas n'a d'autre fondement qu'une phrase de l'historien général des Indes, Antonio de Herrera, j'ai cru me conformer à l'intention présumée des lecteurs en accompagnant la dissertation d'un supplément dans lequel j'ai réuni tout ce que Herrera a dit de la personne de don Barthélemi, et sur la question dont il s'agit ; j'ai accompagné ces passages de son histoire de réflexions propres à mettre le public impartial en état de mieux juger ce procès historique, et d'apprécier les réponses de M. Grëgoire aux assertions de Paw, de Raynal et de Robertson.|{{bibliographie|Q28310338}}, 1822<ref>''[[d:Q28310338|Apologie de Don Barthélemi de Las Casas]]'', [https://archive.org/stream/uvresdedonbarth01llorgoog#page/n19/mode/2up préface de [[w:Juan Antonio Llorente|Juan Antonio Llorente]], page vij]<br />Cf. [http://www.leconflit.com/article-cornelius-de-pauw-1739-1799-123322271.html Cornelius de PAUW (1739-1799)] ; Ottmar Ette.- [http://www.uni-potsdam.de/romanistik/hin/hin21/ette.htm Réflexions européennes sur deux phases de mondialisation accélérée chez Cornelius de Pauw, Georg Forster, Guillaume-Thomas Raynal et Alexandre de Humboldt]</ref>.}} == Abolition de l’esclavage, 1794 (France) == * [[w:anti-esclavagiste|anti-slavistes]] : opposants à l'esclavage * 1852 - {{bibliographie|Q56480161}} <!-- Les Noirs libres et les noirs esclaves aux Antilles, aux Etats-Unis et à Liberia (Les anti-slavistes) --> * 1863-1869 - {{bibliographie|Q3212308}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1863 - {{bibliographie|Q77967576}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1864 - {{bibliographie|Q77967205}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1869 - {{bibliographie|Q77967296}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> == William Ellery Channing, 1780-1842 == [[w:en:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur en.wikipedia [[s:en:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur en.Wikisource [[w:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur fr.wikipedia [[Commons:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur Commons [https://openlibrary.org/authors/OL162488A/William_Ellery_Channing William Ellery Channing] sur Open Library. [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=William+Ellery+Channing William Ellery Channing] sur WorldCat.org [http://cataloguelabs.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL%3B-1%3B0%3BWilliam+Ellery+Channing&mots1=ALL%3B0%3B0&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&langue0=LAN%3B-1&langue1=LAN%3B0&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&affinageActif=false&pageEnCours=3&nbPage=5&triResultParPage=0&pageRech=rav William Ellery Channing] sur Bnf. {{Trouver des sources|William Ellery Channing}} === Œuvres sur l’esclavage === [[w:William Ellery Channing|William Ellery Channing]].- [https://openlibrary.org/books/OL6529011M/Slavery Slavery], J. Munroe and company, Boston, 1835, {{BNF|30220046f}} par M. [[w:Édouard Laboulaye|Édouard Laboulaye]], Channing, William Ellery.- Remarks on the slavery question, in a letter to Jonathan Philips, J. Munroe, Boston, 1839, {{BNF|30220056r}}. === Classes laborieuses (ouvrier) === Modern History Sourcebook: William Ellery Channing (1780-1842): [https://legacy.fordham.edu/halsall/mod/1840channing-labor.asp On The Elevation of The Laboring Classes, 1840]. ==== Abolition du 16 pluviôse An II & Invention du crime de lèse-humanité==== * [[Utilisateur:Ambre Troizat#Abolition des droits féodaux|Abolition des droits féodaux]] * [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794#Bibliographie|Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794, Bibliographie]] sur Wikipédia ;Pétitions des exclaves ou nouveaux libres * 1794 - {{Bibliographie|Q111154510}} <!-- Pétition adressée à la Convention nationale, le 15 nivôse an II, par André, mulâtre de Cayenne --> === Bibliographie === * 2014 - {{bibliographie|Q29638900}} <!-- A propos du crime de lèse-humanité --> == François-René de Chateaubriand (1768 - 1848) == === Œuvres de Chateaubriand (1768-1848), sous l'angle de l'esclavage === [[Fichier:Anne-Louis Girodet-Trioson 006.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:François-René de Chateaubriand|Chateaubriand]] par [[w:Anne-Louis Girodet-Trioson|Anne-Louis Girodet-Trioson]].]] [[w:Lucile de Chateaubriand|Lucile de Chateaubriand]] (1764-1804), femme de lettres, sœur de [[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]] [[w:Armand de Chateaubriand|Armand de Chateaubriand]] (1768-1809), personnalité de la Révolution française '''[[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]]''', (1768 - 1848) écrivain et homme politique français '''''[[w:Céleste de Chateaubriand|Céleste de Chateaubriand]]''''' (1774-1847), épouse du vicomte [[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]]] '''[[w:Alphonse de Châteaubriant|Alphonse de Châteaubriant]]''' (1877-1951), écrivain, {{S|XIX-XX}} '''1838''' - {{bibliographie|Q29189282}} Comprend : Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s &, considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=8FpDAQAAMAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA70#v=onepage&q=esclave&f=false 11 résultats] ; [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1838''' - {{bibliographie|Q29248730}} Comprend : [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=Terre%20de%20France%20+%20esclave&f=false Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s] & considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1845''' - {{bibliographie|Q29187862}} Comprend : récit du règne de Louis X dit Hutin, avec le texte des lettres du 3 juillet 1315 abolissant l'esclavage, '''1861''' - {{bibliographie|Q29186080}} == François-André Isambert (avocat), 1792-1857 == [[Fichier:M Isambert.jpg|100px|vignette|gauche|François-André Isambert]] [[File:François-André Isambert lithographie.jpg|100px|thumb|gauche|François-André Isambert lithographie]] [[w:François-André Isambert (avocat)|François André Isambert]], né le {{Date de naissance-|30 novembre 1792}} à [[w:Aunay-sous-Auneau|Aunay-sous-Auneau]] et mort le {{Date de décès-|13 avril 1857}} à [[w:Paris|Paris]], est un juriste et homme politique français. Avocat aux conseils du roi, au [[w:Conseil d'État (France)|Conseil d’État]] et à la [[w:Cour de cassation (France)|Cour de cassation]], directeur du ''[[w:Bulletin des lois|Bulletin des lois]]'', conseiller à la Cour de cassation, député d’[[w:Eure-et-Loir|Eure-et-Loir]] (1830-1831) et de la [[w:Vendée (département)|Vendée]] (1832-1848), représentant du peuple à l'[[w:Assemblée constituante de 1848|Assemblée constituante de 1848]], vice-doyen de la Cour de cassation, il est l'auteur d'une œuvre monumentale en vingt-huit volumes intitulée ''[[d:Q22338208|Recueil général des anciennes lois françaises depuis 420 jusqu'à la Révolution de 1789]]<ref>Volume XIX, {{bibliographie|Q22338335}}</ref>''. Fondateur de la [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]], sa lutte incessante contre l'esclavage, dont il sera le premier, en 1834, à demander le retour à l'abolition à la Chambre des députés, le place au plus haut rang parmi les abolitionnistes français. Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Projet Code Noir|Projet Code Noir]] {{Autres projets | idfaculté = | commons = François-André Isambert | wikispecies = | w = François-André Isambert (avocat) | wikt = | b = | s = François-André Isambert | q = | n = | m = | d = François-André Isambert (Q347268) | voy = }} {{Citation bloc|Parmi les innombrables procès politiques de cette période, signalons-en un qui concerne un avocat au conseil du roi à la cour de cassation, Isambert. Ayant publié à la Gazette des tribunaux sous le titre « Arrestations arbitraires », une consultation sur le point de savoir si la police pouvait arrêter et détenir des sujets du roi sans mandat préalable, il est traduit devant le tribunal correctionnel comme inculpé de provocation à la désobéissance aux lois. Assisté de Chauveau-Lagarde, président sortant de l’ordre des avocats à la cour de cassation, et de divers autres confrères, défendu par Dupin, il est condamné à cent francs d’amende, mais sur appel, la cour de Paris, sous la présidence du premier président Séguier, prononce un arrêt de relaxe » (Camille Kehl, p.99-101).|Des arrestations arbitraires, ou Débats du procès intenté à Me Isambert,... et à la "Gazette des tribunaux", au "Journal du commerce" et à "L'Écho du soir", {{BNF|364507821}}<br />Libres propos sur l'histoire du Barreau de Paris depuis deux siècles<ref>[http://bdp.avocatparis.org/actualites-2011/2-non-categorise/656-libres-propos-sur-lhistoire-du-barreau-de-paris-depuis-deux-siecles.html Libres propos sur l'histoire du Barreau de Paris depuis deux siècles], Bicentenaire du rétablissement de l’Ordre des avocats, 14 décembre 2010</ref>, 14 décembre 2010}} === Bibliographie François-André Isambert (avocat) === * 1821 - {{bibliographie|Q22338335}} <!-- Isambert.- Recueil général des anciennes loix --> * 1826 - {{bibliographie|Q22284489}} <!-- Mémoire de Isambert pour Bissette --> == Abolition de l’esclavage, 1848 (France) == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Alexandre_Dumas,_pères_%26_fils#Alexandre_Dumas,_la_traite_&_l'esclavage|Alexandre Dumas, la traite & l'esclavage]] == Abolition de l’esclavage (Brésil) == * 13 mai 1888 - [[w:Loi d'or|Loi d'or]] ; * 1888 : Sébastien Rozeaux.- L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française, [https://www.retronews.fr/node/412747 retronews.fr], 13/02/2020 ** 2020 - {{bibliographie|Q85685323}}, publié le 13 février 2020 <!-- Sébastien Rozeaux.- 1888 - L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française --> === Bibliographie === [[Fichier:Nègres à fond de cale.png|100px|vignette|gauche|Johann Moritz Rugendas.- Nègres à fond de cale dans [[d:Q85221792|Voyage pittoresque dans le Brésil]] ]] * 1835 - {{bibliographie|Q85221792}} <!-- Johann Moritz Rugendas, Voyage pittoresque dans le Brésil ** 2020 - {{bibliographie|Q85685323}}, publié le 13 février 2020 <!-- Sébastien Rozeaux.- 1888 - L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française --> Voir également : [[d:Q1695315|Johann Lorenz Rugendas]], [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Lorenz+Rugendas%2C+Johann&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Œuvres de Johann Lorenz Rugendas sur BNF] * Pièce Allégorique : [estampe] : Conversation entre les six puissances belligérantes Lorenz Rugendas, Johann. Graveur, {{BNF|41507696p}} * Scène après la bataille de la [[w:Belle-Alliance|Belle Alliance]], {{BNF|41510565n}} * Fuite de Napoléon dans la Bataille de Belle Alliance, le 18 Juin 1815, {{BNF|41143578n}} * La Grande Bataille d'Austerlitz, {{BNF|41509832g}} Little Theresa == Abolition de l’esclavage (USA) == * 1853 - {{bibliographie|Q50293535}} <!-- Autographs for freedom --> === Abolition de l’esclavage (Sénégal) === * 2006 - {{bibliographie|Q25931416}}. == Abolition de l’esclavage : loi générale & loix particulières == [https://www.google.fr/search?tbm=bks&q=Loi+générale+%2B+abolition+de+l%27esclavage&gws_rd=cr&dcr=0&ei=EuTHWYvtJ4fNgAbj2Y2QAQ Loi générale + abolition de l'esclavage Recherche Google] [https://fr.wikisource.org/w/index.php?search=La+Révolution+fran%C3%A7aise+et+l%27abolition+de+l%27esclavage&title=Spécial:Recherche&fulltext=1&searchToken=1qmzsgi58oa1lrlizp8n25ghy La Révolution française et l'abolition de l'esclavage] == Abolition (de la traite) == * 19 novembre 1821 : Fondation de la [[w:Société de la morale chrétienne|Société de la morale chrétienne]] == Algorithmes & Données == Cf. Données & Algorithmes * Dominique Cardon.- [http://www.seuil.com/livre-9782021279962.htm A quoi rêvent les algorithmes], La République des idées, Seuil, 2015. == Anthropocène == * [[w:Anthropocène|Anthropocène]] * {{Trouver des sources|Anthropocène}} == La famille Angelo : une dysnatie de maître d’armes == <gallery> Fichier:Domenico Angelo.gif|Domenico Angelo Fichier:Henry Angelo by Mather Brown.jpg|Mather Brown.- Henry Angelo. Fichier:Henry Charles Angelo.jpg|Henry Charles Angelo (fils ?) </gallery> [[Fichier:Angelo Domenico Malevolti Fencing Print, 1763.JPG|100px|vignette|gauche|Angelo the fonder Fencing Print, 1763]] * '''Domenico Angelo Malevolti Tremamondo''', the founder, [[w:1716|1716]]-[[w:1802|1802]].<br />Parmi ses étudiants, il compte le Prince de Galles, future George III d’Angleterre & le Duke d’York. Il publie :<br /> ''[https://www.worldcat.org/title/ecole-des-armes-avec-lexplication-generale-des-principales-attitudes-et-positions-concernant-lescrime-with-47-plates/oclc/558074761?referer=br&ht=edition L’ecole des armes] : avec l’explication générale des principales attitudes et positions concernant l’escrime avec 47 illustrations<ref>Dominico Angelo, Lord Pembroke, and the Chevalier D'lion stood as models for the illustrations to this book, which were designed by Gwynn the painter. They were engraved by Grignion, Ryland, and Raimbach's master, Hall. </ref>'' en 1763 & 1771,<br /> [https://www.worldcat.org/title/escrime-etc-an-article-by-domenico-angelo-previously-published-separately-under-the-title-lecole-des-armes-leaves-extracted-from-vol-3-of-the-recueil-de-planches-of-the-encyclopedie-of-d-diderot-and-j-le-r-dalembert/oclc/560613081&referer=brief_results Escrime, etc]. Un article de Domenico Angelo, d’abord publié sous le titre "L'École des armes, " Feuilles extraites du vol. 3 of de "Recueil de planches" de l'"Encyclopédie" D. Diderot & J. le R. d’Alembert, Geneve, 1765, * '''Henry Charles Angelo the elder''', [[w:1760|1760]]-[[w:1839|1839]]<br /> Reminiscences of Henry Angelo, with memoirs of his late father and friends : including numerous original anecdotes and curious traits of the most celebrated characters that have flourished during the last eighty years, [https://archive.org/details/reminiscencesofh00ange Vol. 1] ; [https://archive.org/search.php?query=subject%3A%22Angelo%2C+Henry%2C+1756-1835%22&sort=date Autres éditions], 1828.<br /> Angelo's pic nic; or, Table talk, including numerous recollections of public characters, who have figured in some part or another of the stage of life for the last fifty years; forming an endless variety of talent, amusement, and interest, calculated to please every person fond of biographical sketches and anecdotes ... In addition to which are several original literary contributions, from the following distinguished authors: Colman, Theodore Hook, Bulwer [and others], [https://www.worldcat.org/title/angelos-pic-nic-or-table-talk-including-numerous-recollections-of-public-characters-who-have-figured-in-some-part-or-another-of-the-stage-of-life-for-the-last-fifty-years-forming-an-endless-variety-of-talent-amusement-and-interest-calculated-to-please-every-person-fond-of-biographical-sketches-and-anecdotes/oclc/1243906/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= 1834-1840-1905], [https://books.google.fr/books?id=p7JVAAAAcAAJ&lpg=PA38&ots=7NgfZn1FMb&dq=Angelo's%20Pic-nic&hl=fr&pg=PA21#v=onepage&q=George&f=false ''Lire en ligne : Life of the Chevalier de St. George''].<br /> Henry Charles Angelo, [https://archive.org/stream/miscellanies00dobsiala#page/32/mode/2up Angelo's "Reminscences"] in Austin Dobson, 1840-1921.- Miscellanies * '''Henry Charles Angelo the Younger''', [[w:1780|1780]]-[[w:1852|1852]], ''superintendent of sword exercise in the Army and the Royal Navy'' from [[w:1833|1833]] to [[w:1852|1852]].<br />[http://www.fioredeiliberi.org/topics/sources/1845-infantry-sword-exercise.pdf The Infantry Sword Exercise]''. 1845.<br />Angelo's bayonet exercise, Parker, London, [https://www.worldcat.org/title/angelos-bayonet-exercise/oclc/9955570&referer=brief_results 1857], With Victoria. Army. Volunteer Force, Great Britain. Army. Royal Regiment of Horse.- Bayonet exercise, as issued by authority of the Horse Guards : adapted to the use of the Volunteers of Victoria, George Robertson, Melbourne, [https://www.worldcat.org/title/bayonet-exercise-as-issued-by-authority-of-the-horse-guards-adapted-to-the-use-of-the-volunteers-of-victoria/oclc/220572048&referer=brief_results 1862]. '''Bibliographie''' * 1898 - {{bibliographie|Q110966096}} <!-- L'escrime à travers les âges --> == Archives == * [http://frda.stanford.edu/?locale=fr Archives numériques de la Révolution française] * [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/getpdf.php?mode=view&id=FRANOM_00092&fmt=.pdf Françoise Reynier, chargée d’études documentaires principale, Archives nationale d'Outre-mer], Ministère des Colonies, Séries documentaires, Série géographique Amérique, FRANOM 2400 COL 1-131, Répertoire. === The New York Public Library Digital Collections === * [https://digitalcollections.nypl.org/search/index?utf8=%E2%9C%93&keywords=Cotton+gin#/?scroll=27 The cotton Gin] * {{cite web | url=http://digitalcollections.nypl.org/items/510d47d9-acbe-a3d9-e040-e00a18064a99 | title= (still image) Ancient cotton gin antedating the Eli Whitney cotton gin., (1860 - 1920) |author=Digital Collections, The New York Public Library |accessdate=August 10, 2020 |publisher=The New York Public Library, Astor, Lenox, and Tilden Foundations}} === Michelet & l'utilisation de l'archive === {{Citation bloc|Paule Petitier : Michelet appartient aux premières générations d’historiens qui utilisent les documents d’archives. Le statut des archives s’est profondément modifié à la suite de la Révolution française. Une masse de documents d’Ancien régime s’est trouvée périmée par le changement d’organisation sociale et de système juridique. Ne relevant plus du secret d’État ou de la preuve judiciaire, ces documents ont pu être considérés comme des témoignages du passé et être étudiés comme tels.|Michelet, figure anticléricale et historien de génie, selon Paule Petitier<ref>[https://mail.google.com/mail/u/0/?hl=fr#inbox/FMfcgxwChSKrvrDRCDMHlDsdsshvfBKr Michelet, figure anticléricale et historien de génie, selon Paule Petitier]</ref>.}} == Armée == * 1851 - Étienne Alexandre baron Bardin, Nicholas Charles Victor Oudinot (duc de Reggio).- Dictionnaire de l’armée de terre: ou, Recherches historiques sur l’art et les usages militaires des anciens et des modernes, Librairie militaire, maritime et polytechnique de J. Corréard, 1851 [https://books.google.fr/books?id=oBhEAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA1329#v=onepage&q&f=false Volume 2], {{IA|bub_gb_36sWAAAAQAAJ}}. * 1862 - Chesnel, Adolphe de (1791-1862).- Dictionnaire des armées de terre et de mer, encyclopédie militaire et maritime... par le comte de Chesnel, ... Illustré dans le texte de plus de 1200 gravures au trait... par M. Jules Duvaux, Paris : A. Le Chevalier, 1862-1864, 2 vol. gr. in-8° , pl. et cartes, {{BNF|302346766}}. [https://archive.org/details/bub_gb_BvNKAAAAYAAJ IA Première partie] <nowiki>{{IA|bub_gb_BvNKAAAAYAAJ}}</nowiki>, [https://archive.org/details/bub_gb_72IVAAAAQAAJ IA Deuxième partie]. == Chirurgien de Marine == * Martin Fournier.- Jean Mauvide : de chirurgien à seigneur de l'île d’Orléans au {{s|XVIII|e}}, Les éditions du Septentrion, 187 pages, 2004, {{ISBN|2894483805}}, {{ISBN|9782894483800}}. * 1998 - André Côté, Thomas Paine, Joseph-Michel Cadet: 1719-1781 : négociant et munitionnaire du roi en Nouvelle-France, Volume 12 de Cahiers du Septentrion, Les éditions du Septentrion, 1998, {{ISBN|2894481012}}, {{ISBN|9782894481011}}. == Armée (Révolution Française) == Voir : * 13e régiment de chasseurs à cheval * Bataillons de volontaires nationaux * Légions de cavalerie * 1997 - Blaufarb Rafer. Démocratie et professionnalisme : l’avancement par l'élection dans l’armée française, 1760-1815. In: Annales historiques de la Révolution française, n°310, 1997. pp. 601-625. http://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_1997_num_310_1_2079#. DOI : 10.3406/ahrf.1997.2079 == Assemblées Nationales (Révolution de 1789) == === Convocation des Etats généraux === ==== Préparation de la convocation ==== * 5 juillet 1788 - [[s:Arrêt du conseil concernant la convocation des états généraux du royaume, Versailles, 5 juillet 1788|Arrêt du conseil concernant la convocation des états généraux du royaume, Versailles, 5 juillet 1788]] * 27 décembre 1788 - {{bibliographie|Q97152407}}, Interroger les conséquences de la [[d:Q23937513|suppression du droit de main-morte et de servitude et abolition générale du droit de suite]] de 1779 sur la préparation des Etats Généraux de 1789. Le document ''Résultat du Conseil d'Etat du Roi tenu à Versailles le 27 décembre 1788'' ne fait pas mention des colonies ni des esclaves ou de l'esclavage. Le document de 1788 donne le primat au Tiers-Etat sur l'ordre de la noblesse et le clergé pris séparément. {{Citation bloc|''3. Que le nombre des Députés du Tiers état sera égal à celui des deux autres Ordres réunis & que cette proportion sera établie par les lettres de convocation.''}} *A propos de ː [[w:Convocation des états généraux de 1789|Convocation des états généraux de 1789]] modifiée le 31 mai 2019 par Seudo. Utilisation de [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 28.djvu/613|Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 28.djvu/613]]. * Fiche {{BNF|33704918h}} pour Arrêt du conseil d'Etat du roi, concernant la convocation des états généraux du royaume. Extrait des registres du conseil d'Etat, du cinq juillet mil sept cent quatre vingt huit. On peut citer directement la source secondaire * Armand Brette.- Recueil de documents relatifs à la convocation des États généraux de 1789, 4 volumes, Impr. nationale, Paris, 1894-1915, {{BNF|34018014r}}. Le document se trouve à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62169428/f197.item.r=Arrêt%20du%20conseil%20d'Etat%20du%20roi,%20concernant%20la%20convocation%20des%20états%20généraux%20du%20royaume cette page]. On peut consulter ː * 1788 - France. Conseil d'Etat.- [https://archive.org/details/destatsgnrauxetd00fran/page/80Des États généraux, et de leur convocation : avec la chronologie des Etats-généraux, par Savaron, & l'analyse des fameux Etats assemblées à Tours, qui comprend l'ordre & les noms des députés par bailliages, &c. ; un plan nouveau suivi de l'indication des meilleurs ouvrages imprimés ou manuscrits, qui peuvent donner les connoissances relatives aux Assemblées nationales & aux Etats-généraux, & des endroits où ils se trouvent]. == L'ère des constitutions == === République de Saint-Marin, 301-1600 === [[Fichier:San Marino constitution 1600.jpg|100 px|vignette|gauche|Page de titre de la VIème Constitution de [[w:Saint-Marin|sérénissime république de Saint-Marin]]]] Fondation conventionnelle le 3 septembre 301. La 6e constitution date du 8 octobre 1600 === La Corse adopte une constitution démocratique, 1755 === En 1755, la Corse adopte la première constitution démocratique de l'histoire moderne donnant pour la première fois le droit de vote aux femmes. Le projet constitutionnel est un essai du philosophe et écrivain Jean-Jacques Rousseau<ref>[http://classiques.uqac.ca/classiques/Rousseau_jj/projet_corse/projet_corse.html Rousseau.- Projet de constitution pour la Corse, 1763]</ref>. Le 15 mai 1768, elle est cédée par la République de Gênes à la France, bien que Gênes n'ait qu'une emprise limitée sur l'île depuis la déclaration d'indépendance de 1755. Elle est conquise militairement par le Royaume de France lors de la bataille de Ponte-Novo, le 9 mai 1769. '''1861''' - {{Bibliographie|Q19221676}} <!-- Jean-Jacques Rousseau et George Streckeisen-Moultou (dir.), Œuvres et Correspondance inédites de J. J. Rousseau --> [[s:Œuvres et correspondance inédites/II|Projet de Constitution pour la Corse]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIa|Affaires de la Corse]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIb|Correspondance de J. J. Rousseau et de M. de Buttafuoco]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIc|Extrait d’une Préface de M. G. Moultou]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IId|Projet de Constitution]] '''1932''' - Ernestine Dedeck-Héry.- [https://books.google.fr/books?id=cAlzugEACAAJ Jean-Jacques Rousseau et le projet de constitution pour la Corse], Histoire des pourparlers de J.-J. Rousseau avec ses correspondants corses et des répercussions de ces pourparlers dans le monde des lettres, French Printing & Publishing Company, 1932, 112 pages '''1967''' - Ronald Grimsley ; Encyclopedia.com.- [https://www.encyclopedia.com/humanities/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/rousseau-jean-jacques-1712-1778 Rousseau, Jean-Jacques (1712–1778)] : Any specific form of government, as Rousseau was to show very clearly in his Projet de constitution pour la Corse (1765) and his Consid é rations sur le gouvernement de la Pologne (probably written about 1770 – 1771), will depend on a variety of historical and geographical factors. '''1978''' - Biou Jean. [https://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_1978_num_234_1_1027 La théorie politique de Rousseau. L'homme et le citoyen]. In: Annales historiques de la Révolution française, n°234, 1978. Jean-Jacques Rousseau. Pour le deuxième centenaire de sa naissance. pp. 501-533. DOI : https://doi.org/10.3406/ahrf.1978.1027 '''avril 2012''' - [http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/old2/file/rousseau_corse.pdf Jean-Jacques Rousseau.- Projet de constitution pour la Corse], Edition numérique : Pierre Hidalgo Source, Les classiques de sciences sociales, La gaya scienza, avril 2012 '''27 juin 2012''' - Jean Stouff.- [https://biblioweb.hypotheses.org/11595 Un ami de Rousseau… et de Voltaire : Paul-Claude Moultou] Projet de Constitution pour la Corse === Constitution des États-Unis d'Amérique, 1787-1789 === [[s:Constitution des États-Unis d’Amérique|Constitution des États-Unis d’Amérique]] La [[w:Constitution des États-Unis|Constitution des États-Unis d'Amérique]] ou "loi suprême du pays" a été ratifiée le 17 septembre 1787 par la [[w:Convention de Philadelphie|Convention de Philadelphie]] représentant les treize États fédérés. La constitution de 1787 crée un [[w:État fédéral|État fédéral]] républicain et un [[W:régime présidentiel|régime présidentiel]]. Elle s'applique depuis le 4 mars 1789 & sur l'ensemble des Etats de la Fédération. * [[d:Q69548953|1909]] - {{bibliographie|Q69548953}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions --> ** 1909 - {{bibliographie|Q69540656}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions, Vol. V --> === La Gazette de France === La Gazette de France<ref>Ne pas confondre avec "[[w:Mercure françois|Mercure françois]]". Ni ''[[s:Mercure de France|Mercure de France]]'', ''[[w:Mercure galant|Mercure galant]]'' puis ''Mercure de France''</ref> - Numéros 1 à 104 1765 - La Gazette de France, vendredi 4 janvier 1765 - 30 décembre 1765 1768 - Théophraste Renaudot.- [https://archive.org/details/lagazettedefran00unkngoog/page/n7 La Gazette de France.] TABLE ou ABRÉGÉ DES CENT TRENTE-CINQ VOLUMES DE LÀ GAZETTE DE FRANCE, Depuis fin commencement 4n i ^3 ijufquà la fin de tannée 1765. Tome troisième 1786 - Aubry-Foucault, Louis, Guth.- [https://archive.org/details/avertissementsur00aubr/page/n2 Avertissement sur la Gazette de France] ==== La Gazette de France & l'affaire Réveillon, 27 et 28 avril 1789 ==== Le 28 avril 1789 une fusillade au faubourg Saint-Antoine faisait des centaines de morts. La Gazette de France, qui donne les nouvelles officielles du royaume, ne dit rien de cette actualité révélatrice de la révolution en cours. {{Citation bloc|De Versailles, le 3 mai 1789 […]. Les députés des trois ordres aux états généraux ayant été avertis par une proclamation, faite le 1er de ce mois, dans toutes les places & tous les carrefours de cette Ville par le Roi-d'armes de France, précédé de quatre Hérauts-d'armes, que le Roi les admettrait, le 2, à l'honneur de lui être présentés, se sont rendus, ce jour, en habit de cérémonie, dans le Salon d'Hercule, à l'heure qui leur avait été indiquée.|La Gazette de France, 3 mai 1789<ref> Guillaume Mazeau.- [https://www.retronews.fr/node/380492?utm_source=site_retronews&utm_medium=push-echo&utm_campaign=push27072019%20&utm_content=printemps-1789-:-quand-la-presse-officielle-du-royaume-occulte-le-début-de-la-révolution-# Printemps 1789 : quand la presse officielle du royaume occulte le début de la Révolution], retronews.fr, 03/05/2019 modifié le 27/07/2019.</ref>}} == Révolution française des Etats Généraux à la Convention nationale == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#Révolution_française_des_Etats_Généraux_à_la_Convention_nationale|Révolution française des Etats Généraux à la Convention nationale]] == Cyrille Bissette + Alexandre Gatine == * https://catalogue.bnf.fr/search.do?mots0=ALL;-1;0;Cyrille+Bissette&mots1=ALL;0;0;Alexandre+Gatine&&pageRech=rav * https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Cyrille+Bissette+%2B+Alexandre+Gatine * https://books.google.fr/books?id=Yf1RHkdvf_UC&pg=PA66&dq=Alexandre+Gatine&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjZrcjz6ePmAhXFy4UKHWMLB1gQ6AEIUjAF#v=onepage&q=Alexandre%20Gatine&f=false * https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37223621f * https://books.google.fr/books?id=Yf1RHkdvf_UC&pg=PA66&dq=Alexandre+Gatine&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjZrcjz6ePmAhXFy4UKHWMLB1gQ6AEIUjAF#v=onepage&q=Alexandre%20Gatine&f=false === "Côté des noirs" === == Politique financière == * 2014 - {{bibliographie|Q112056717}} <!--La Révolution française dans l'infortune de la finance --> === Assignat === [[Fichier:FRA-A73-République Française-400 livres (1792) 2.jpg|100px|vignette|gauche|Assignat de 400 livres, 1792]] [[Fichier:Change des assignats au Perron du Palais-Royal par Claude-Louis Desrais.jpg|100px|vignette|gauche|Change des assignats au Palais-Royal]] L′assignat est une monnaie fiduciaire, mise en place sous la Révolution française entre 1789 & 1797, qui devait résoudre la question de la [[w:Dette_publique#Fondamentaux_historiques|dette publique]]. Dans le royaume de France, la question de la dette publique est du ressort des États généraux. {{Autres projets |w=Assignat |s=Spécial:Recherche/Assignats |commons=Category:Assignat }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = François-Louis-Joseph | nom1 = Laborde de Méréville (de) | prénom2 = Assemblée Nationale | nom2 = Constituante (Février 1791) | lien auteur1 = w:François Louis Jean-Joseph de Laborde de Méréville | lien auteur2 = w:Assemblée constituante de 1789 | titre = Décret précédé du rapport fait à l’Assemblée nationale sur les assignats | sous-titre = Acte. 3 février 1791 | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Imprimerie nationale | collection = | lien éditeur = w:Imprimerie nationale | lieu = Paris | année = [[w:1791 en littérature|1791]] | mois = Février | volume = | tome = | pages totales = 7 | passage = | dnb = 30704210d | isbn = | oclc = 25648039 | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/LabordeMrvilleAssignat1791 | consulté le = 12 octobre 2015 | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/search?q=Décret+précédé+du+rapport+fait+%C3%A0+l%27Assemblée+nationale+sur+les+assignats&fq=&dblist=638&qt=sort&se=yr&sd=asc&qt=sort_yr_asc | commentaire = | id = }} == B == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter B.jpg|100px|vignette|centré]] == Sarah Saartjie Sawtche-Baartman == [[Fichier:Sawtche (dite Sarah Saartjie Baartman), étudiée comme Femme de race Bôchismann, Histoire Naturelle des Mammifères, tome II, Cuvier, Werner, de Lasteyrie.jpg|100px|vignette|gauche|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman [[w:Saartjie Baartman|(''Saartjie Baartman'')]].]] [[w:Saartjie Baartman|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman (''Saartjie Baartman'')]]<ref>[https://books.google.com/ngrams/graph?content=Saartjie+Baartman%2CVénus+hottentote%2CVénus+noire&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CSaartjie%20Baartman%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CVénus%20hottentote%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CVénus%20noire%3B%2Cc0 Saartjie Baartman,Vénus hottentote,Vénus noire], Ngram Viewer 2 février 2017</ref>, de son vrai nom ''"Sawtche"'', surnommée la "''Vénus hottentote''", serait née aux abords de la [[w:Gamtoos|Gamtoos River]] ([[w:Cap-Oriental|Cap-Oriental]]) aux alentours de [[w:1789|1789]] dans l'actuelle [[w:Afrique du Sud|Afrique du Sud]] au sein du peuple [[w:Khoïkhoï|Khoïkhoï]] ([[w:Khoïsan|Khoïsan]]), le plus ancien de la région sud de l'[[w:Afrique|Afrique]]. Elle mourra à [[w:Paris|Paris]] le {{date|29|décembre|1815}} 29 décembre 1815. === Bibliographie "Sarah Saartjie Sawtche-Baartman" === * [[w:Vénus callipyge|Vénus callipyge]], [[c:File:Napoli BW 2013-05-16 16-41-43 DxO.jpg|Musée archéologique national de Naples]] * [[c:File:Baartman 01a.jpg|Saartjie Baartman (1790–1815)]], représentation du {{S|XIX}}, manque de références * 2016 - {{bibliographie|Q28603593}}, publié le 15 septembre 2016 <Center> <gallery> File:Venus de Lespugue (replica).jpg File:Vestonicka venuse edit.jpg </gallery> </Center> == François Barbé-Marbois == Le marquis [[w:François Barbé-Marbois|François Barbé-Marbois]], né le 31 janvier 1745 à [[w:Metz|Metz]] en Lorraine et mort le 12 janvier 1837 à Paris, est un diplomate : En [[w:1803|1803]] il négocie le [[w:traité de cession de la Louisiane|traité de cession de la Louisiane]] aux [[w:États-Unis|États-Unis d'Amérique]]. Homme politique, il fut ministres de [[w:Napoléon Ier|Napoléon Ier]] et premier président de la [[w:Cour des comptes (France)|Cour des comptes]]. == Bataillons de volontaires nationaux (Révolution Française) == À l’aube de la Révolution Française, la destruction des institutions d’Ancien Régime et l'émigration de la noblesse provoque la déliquescence de l’armée tandis le régime politique naissant doit assurer la défense du territoire face à l’Autriche et la Prusse. L’article 14 de la loi du 15 juin 1791 répond à l’urgence de défense en organisant l’inscription de [[w:Volontaires nationaux pendant la Révolution|Bataillons de volontaires nationaux]]<ref>[[w:Volontaires nationaux pendant la Révolution|Volontaires nationaux pendant la Révolution, Liste des bataillons par départements, Historique – Composition]]</ref>. Un registre est ouvert, dans chaque district. * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Georges Armand Louis | nom1 = Dumont | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Georges Armand Louis Dumont | lien auteur2 = | titre = Études sur l’armée pendant la révolution | sous-titre = I{{ère}} série, 1791. Bataillons de volontaires nationaux, Cadres et historiques | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = H. Charles-Lavauzelle | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1914 en littérature|1914]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = Études sur l’armée pendant la Révolution. 1re série. 1791. Bataillons de volontaires nationaux, etc. ; Bataillons de volontaires nationaux (Cadres et historiques) ; Les levées révolutionaires et les bataillons de volontaires nationaux du departement des Ardennes ; Les volontaires de la Marne ; Les volontaires de la Marne. Ire ptie. Levée et recrutement (1791-1793) ; Le Deuxième bataillon des volontaires nationaux de la Marne (Châlons, Sainte-Menehould), 1791-1794. [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=Georges+Armand+Louis+Dumont WorldCat.or]. | dnb = | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/bataillonsdevolo00dumo | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/title/bataillons-de-volontaires-nationaux-cadres-et-historiques/oclc/858227106/editions?referer=di&editionsView=true | commentaire = | id = }} == Jean-Baptiste Baillon == [[w:Jean-Baptiste Baillon|Jean-Baptiste Baillon]] == Enfants naturels (Bâtards) == Ce terme de ''[[w:bâtard|bâtard]]'' a des connotations négatives, mais celles-ci disparaissent lorsqu’il désigne les bâtards de familles royales ou princières qui étaient souvent [[Bâtard légitimé|légitimés]] et occupaient des rangs sociaux élevés (voir la [[w:liste de bâtards célèbres|liste de bâtards célèbres]]). {{Citation bloc|Le mariage étant la ſeule voie légitime de la propagation du genre humain, il eſt juſte de diſtinguer la condition des bâtards, de celle des enfans légitimes. Et c'eſt à cauſe de cette diſtinction que les loix rendent les bâtards incapables des ſucceſſions ab inteſtat, & que comme ils ne ſuccèdent à perſonne, n'étant d'aucune famille, perſonne auſſi ne leur ſuccede que leurs enfans légitimes ; ainfi qu’il fera expliqué en ſon lieu. Voyez l'ordonnance de Charles VI. de 1336.|[[s:Page:Jean Domat.- Les loix civiles, 1777.djvu/66|Jean Domat.- Les loix civiles, 1777, p. 12]].}} {{Citation bloc|[[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20.djvu/546|N° 2100. — Edit portant création de 20,000 liv. de rente en faveur des étrangers établis dans le royaume et des bâtards]].<br />Versailles, février 1709. (Rec cass.)<br /> PRÉAMBULE.<br /> LOUIS, etc. Par notre déclaration du 22 juillet 1697, nous avons confirmé toutes les lettres de naturalité et de déclarations accordées aux étrangers établis dans notre royaume depuis l’année 1600, et ordonné qu’il en seroit expédié à ceux qui n’en avoient point encore obtenu. Nous avons aussi ordonné que tous les bâtards, soit qu’ils eussent obtenu ou non nos lettres de légitimation, seroient réputés et tenus pour légitimes, et qu’ils jouiroient des mêmes honneurs, franchises, libertés, immunités, facultés, privilèges, et exemptions dont jouissent nos légitimes sujets nés en loyal mariage. Ces avantages sont si considérables, que nous ne doutons point qu’ils ne soient volontiers portés à nous secourir dans la conjoncture présente de nos affaires, en sorte que pour leur en faciliter les moyens d’une manière qui ne leur soit aucunement onéreuse, nous avons résolu de leur attribuer des rentes au denier vingt, au moyen de quoi ils demeureront confirmés dans tous les droits et facultés que nous leur avons ci-devant accordés. À ces causes, etc.|}} === Louis d'Orléans, "Bâtard d'Orléans" === Louis d'Orléans (+1397), dit "Bâtard d'Orléans, évêque de Beauvais de 1395 à 1397 est fils de Philippe Ier, (1336-1373), duc d'Orléans & comte de Valois, lequel est resté sans postérité légitime<ref>Marie Nicolas Bouillet.- Atlas universel d'histoire et de geographie: contenant la chronologie, la genealogie, la geographie,Hachette, 1872, [https://books.google.fr/books?id=ZouviIyqWGsC&dq=Philippe%20Ier%2C%20duc%20d'Orléans%20%2B%20père%20%2B%20Louis%20d'Orléans%20%2B%201397&hl=fr&pg=PA403#v=onepage&q=Philippe%20Ier,%20duc%20d'Orléans%20+%20père%20+%20Louis%20d'Orléans%20+%201397&f=false page 403]</ref>. {{Citation bloc|Louis {{Ier}} d'Orléans, moine ce l'abbaye de Saint-Lucien, puis évêque rie Poitiers, succéda à Thomas, et mourut à Jérusalem le 97 mars 1397.|Charles Louis Richard.- Bibliothèque sacrée, ou Dictionnaire universel historique, dogmatique, canonique, géographique et chronologique des sciences ecclésiastiques<ref>Charles Louis Richard.- Bibliothèque sacrée, ou Dictionnaire universel historique, dogmatique, canonique, géographique et chronologique des sciences ecclésiastiques, Volumes 27 à 28, Boiste fils ainé, 1827, [https://books.google.fr/books?id=X71IAAAAMAAJ&lpg=RA1-PA144&ots=NsErTQgfN5&hl=fr&pg=RA1-PA144#v=onepage&q&f=false page 144]</ref>, Boiste fils ainé, 1827.}} === Jean, bâtard d'Orléans, comte de Dunois === [[w:Jean de Dunois|Jean, bâtard d'Orléans]] (1403-1468), comte de Dunois, fils naturel de Louis Ier d'Orléans (''frère du roi de France [[w:Charles VI (roi de France)|Charles VI]]''), chambellan du roi en 1422, grand chambellan de France à l'avènement de Charles VII. Enfant, il est élevé dans la famille légitime de son père aux côtés de son demi-frère [[w:Charles Ier d'Orléans|Charles d'Orléans]], et notamment, dans les premières années, sous la direction de l'épouse de celui-ci, Valentine Visconti (1366-1408), comtesse de Vertus. ''Cette pratique est d’usage courant à l'époque dans les familles nobles ou de lignage royal''. === Les bâtards de Louis XIV === Aucun des neuf enfants du [[w:Louis Auguste de Bourbon, duc du Maine|duc du Maine]] n'ayant eu de postérité, [[w:Louis Philippe d'Orléans (1747-1793)|duc de Chartres]], futur Philippe-Égalité, recueillit, par son mariage avec [[w:Louise Marie Adélaïde de Bourbon|Adélaïde de Penthièvre]], fille du [[w:Louis Jean Marie de Bourbon|duc de Penthièvre]], fils unique du [[w:Louis Alexandre de Bourbon|comte de Toulouse]], l'héritage colossal des légitimés de Louis XIV. === Enfants naturels & enfants de la nature, enfants sauvage === Un questionnement sur le langage humain, la langue et la culture {{Citation bloc|''Le mythe du « bon sauvage » a permis aux écrivains contemporains de développer une forme de critique sociale sur les aberrations et les injustices de la société''.| Le [[w:Bon sauvage|Bon sauvage]]}} * [[w:Marie-Angélique le Blanc|Marie-Angélique le Blanc]] == Beaumont / Elie de Beaumont (Patronyme, Humain) == === Beaumont (patronyme) === ==== Jeanne-Marie Leprince de Beaumont (1711-1780), pédagogue ==== [[w:Jeanne-Marie Leprince de Beaumont|Jeanne-Marie Leprince de Beaumont]], (26 avril 1711 - 8 septembre 1780), pédagogue, journaliste et écrivain, auteur d'une soixantaine de volumes de contes pour enfants, comme La Belle et la Bête, L'Oiseau bleu, est la fille de [[w:Jean-Baptiste Le Prince|Jean-Baptiste Nicolas Le Prince / Jean-Baptiste Le Prince (1734–1781)]], [[c:Category:Jean-Baptiste Le Prince|peintre & sculpteur]] & la [http://bibliothequenumerique.tv5monde.com/auteur/40/Jeanne-Marie-Leprince-de-Beaumont bisaïeule de Prosper Mérimée]. Mariée en 1743, à Lunéville, 54300, Meurthe-et-Moselle, France, avec X de BEAUMONT, Chevalier de Beaumont. {{Citation bloc|En 1737, Lunéville échut à l'ancien roi de Pologne, Stanislas Leszynski. Restée à la cour, Marie Leprince gagna la faveur du roi grâce à ses performances de chanteuse et d'actrice dans les divertissements de la cour. C'est là qu'elle rencontra un gentilhomme libertin français, Grimard de Beaumont<ref>En 1743, elle épouse Antoine Grimard, marquis de Beaumont, capitaine des gardes</ref>, qu'elle épousa en 1743 et qu'elle quitta deux ans après.|Uta Janssens.- Les Magazins de Mme Leprince de Beaumont et renseignement privé et public du français en Europe (1750-1850)<ref>Uta Janssens, "[http://journals.openedition.org/dhfles/3017 Les Magazins de Mme Leprince de Beaumont et renseignement privé et public du français en Europe (1750-1850)], Documents pour l’histoire du français langue étrangère ou seconde [En ligne], 24 | 1999, mis en ligne le 22 janvier 2015, consulté le 07 juillet 2018.</ref>}} Madame Jeanne-Marie Leprince de Beaumont est classée parmi les précieuses<ref>[https://books.google.fr/books?id=l4FTbmvPW7EC&lpg=PP1&dq=Antoine%20Grimard%20%2B%20marquis%20de%20Beaumont%20%2B%20capitaine%20des%20gardesBeaumont&hl=fr&pg=PA44#v=onepage&q&f=false Qu'est-ce qu'une précieuse] ; [https://books.google.fr/books?id=l4FTbmvPW7EC&lpg=PP1&dq=Antoine%20Grimard%20%2B%20marquis%20de%20Beaumont%20%2B%20capitaine%20des%20gardesBeaumont&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q=Beaumont&f=false La seconde préciosité: floraison des conteuses de 1690 à 1756]</ref> ==== Grimard LEPRINCE DE BEAUMONT (1723 - circa 1758) ==== Chevalier DE BEAUMONT, Capitaine aux gardes. De son mariage avec [https://gw.geneanet.org/arnac?lang=en&n=le+prince&oc=0&p=jeanne+marie+barbe Jeanne-Marie Leprince de Beaumont (1711-1780)] nait Elisabeth Charlotte LEPRINCE DE BEAUMONT (1744-1825). ===== Bibliographie à saisir dans Wikidata ===== * 1758 - Jeanne-Marie Leprince de Beaumont.- [https://books.google.fr/books?id=AcA5AAAAcAAJ Civan, Roi De Bungo: Histoire Japonnaise, Ou Tableau De L'Éducation D'Un Prince], Volume 1, 1758. ==== Charles de Beaumont, chevalier d'Éon (1728-1810) ==== [[Fichier:Procuration avec description du chevalier Charles d’Éon Beaumont, dit chevalier d’Éon - Archives Nationales - ET-XXVII-310 res -54 - (1).jpg|100px|vignette|gauche|Manuscrit du chevalier Charles d’Éon Beaumont, 1762]] [[Fichier:Portrait de Ch. G. L. A. A. T. d'Eon de Beaumont, en pied, représenté avec les attributs de Pallas.png|100px|vignette|gauche|de Beaumont représenté en [[w:Athéna|Pallas (Athéna)]]]] [[w:Charles de Beaumont, chevalier d'Éon|Charles de Beaumont, chevalier d'Éon / Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810)]], diplomate, espion et homme de lettres français Titre : Les Loisirs du chevalier d'Eon de Beaumont,... sur divers sujets importants d'administration, etc., pendant son séjour en Angleterre.... Tome 10 Auteur : Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810). Auteur du texte Date d'édition : 1775 {{BNF|30401617p}} Titre : [[d:Q715027|Chevalière d'Eon]] ? : [photographie, tirage de démonstration] / [Atelier Nadar] Auteur : Atelier Nadar. Photographe Date d'édition : 1900 Sujet : [[w:Charles de Beaumont, chevalier d'Éon|Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810)]] -- Portraits, 19e siècle BnF : {{BNF|436266860 }} Titre : XVIIIe Siècle, Galant et Littéraire [https://archive.org/stream/xviiiesiclegal0203brus/xviiiesiclegal0203brus#page/n245/mode/1up/search/Beaumont Affaire Beaumarchais/d'Eon] [[c:File:XVIIIe Siècle, Galant et Littéraire (1888) (14579421538).jpg|Image illustrant un texte du chevalier d'Eon]] [https://archive.org/stream/xviiiesiclegal0203brus/xviiiesiclegal0203brus#page/n166/mode/1up/search/George monté comme un Saint George]] Charles Geneviève Louis Auguste André Timothée chevalier de Eon de Beaumont (chevalier de).- [https://books.google.fr/books?id=nquGzcorXcIC Pieces rélatives aux Démêlés entre mademoiselle d'Eon de Beaumont, chevalier de l'ordre roial & militaire de Saint Louis 6 ministre plénipotentiaire de France, &c. &c. &c. et le sieur Caron dit de Beaumarchais &c. &c. &c. 1778], Charles Geneviève Louis Auguste André Timothée chevalier de Eon de Beaumont (chevalier de), 1778 {{Citation bloc|Il en profita pour vivre, pendant la même époque, en donnant dans les salles de théâtre ou les jardins publics de Londres des assauts d'armes qui attiraient ceux qui l'avaient vu, en habits de femme, boutonner sept fois le fameux Saint-Georges devant une assemblée composée des plus grands personnages de l'Angleterre et présidée par le prince de Galles.|M. de Lescure.- Le chevalier d'Eon, Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, 26 août 1875<ref>Journal officiel de la République française, Paris, 26 août 1875, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62101343/f15.image.r=boutonner%20sept%20fois%20le%20fameux%20Saint%20George?rk=21459;2 Gallica], {{BNF|328020909}}<br>[https://www.retronews.fr/conflits-et-relations-internationales/long-format/2018/09/24/l-histoire-du-chevalier-deon-espion-de L’histoire du chevalier d’Éon, espion de Louis XV transformiste]</ref>.}} * 14 juillet 1875 - Sciences, Littérature, Beaux-Arts — Etudes historiques. — Le chevalier d'Eon. — Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62111953/f29.image.r=chevalier%20d'Eon?rk=64378;0 1875/07/14 (A7,N191)] * 28 juillet 1875 - Sciences, Littérature, Beaux-Arts — Etudes historiques. — Le chevalier d'Eon. — Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6211209p/f29.image.r=chevalier%20d'Eon?rk=107296;4 1875/07/28 (A7,N205)]. === Bibliographie === * 1885 - {{bibliographie|Q75730711}} <!-- 1885 - (en) John Buchan Telfer, The strange career of the Chevalier d'Eon de Beaumont --> ==== Charles Marie de Beaumont d'Autichamp]] (1770-1859) ==== [[w:Charles Marie de Beaumont d'Autichamp|Charles Marie de Beaumont d'Autichamp (1770-1859)]], Lieutenant-général des armées du Roi ==== Gustave de Beaumont (1802-1866)==== [[w:Gustave de Beaumont|Gustave de Beaumont, 6 février 1802 - 30 mars 1866]]. '''Œuvres''' * ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8618417z Du système pénitentiaire aux États-Unis et de son application en France]'', en collaboration avec [[Alexis de Tocqueville]], 1833. * ''[http://classiques.uqac.ca/classiques/beaumont_gustave_de/marie_ou_esclavage_aux_EU/marie.html Marie ou l'esclavage aux États-Unis]'', 1835 <small>(texte intégral sur classiques.uqac.ca)</small>. * ''L'Irlande sociale, politique et religieuse'', [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6536663p tome 1] et [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6536679j tome 2] de la 7ème édition (1863), 1839-1842. ==== Charles-Édouard de Beaumont (1821-1888), peintre ==== [[w:Charles-Édouard de Beaumont|Charles-Édouard de Beaumont (1821-1888), peintre et lithographe === Elie de Beaumont (patronyme)=== [[w:Elie de Beaumont|Elie de Beaumont]] M. Moulin-Vicaire.- [https://www.persee.fr/doc/annor_0003-4134_1958_num_8_3_4383 Elie de Beaumont et le château de Canon de 1768 à 1786]. In: Annales de Normandie, 8ᵉ année, n°3, 1958, pp. 335-352, DOI : https://doi.org/10.3406/annor.1958.4383 ==== Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont (1732-1786) ==== [[w:Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont|Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont]], (1732-1786), Jurisconsulte, contribua à établir l'innocence de [[w:Affaire Calas|Calas]], [[w:avocat (métier)|avocat]] au Parlement de Paris, intendant des finances du comte d'Artois. Il épouse [[w:Anne-Louise Élie de Beaumont|Anne-Louise Élie de Beaumont]], (1729-1783), [[w:écrivain|femme de lettres]] ; {{BNF|12240733h}}. ==== Léonce Élie de Beaumont (1798-1874) ==== [[w:Léonce Élie de Beaumont|Léonce Élie de Beaumont / Élie de Beaumont, Léonce (1798-1874), géologue]]. Il épouse [[w:Thérèse Marie Augusta Élie de Beaumont|Thérèse Marie Augusta Élie de Beaumont]], (1806-1866), [[w:poétesse|poétesse]], épouse du précédent ==== Félix Élie de Beaumont ==== [[w:Félix Élie de Beaumont|Félix Élie de Beaumont]], (1836]]-1905), magistrat, neveux de Léonce Élie de Beaumont. == Belgique == * 1352 - Traité en forme de trève conclu par les soins du [https://books.google.fr/books?id=2pUEAAAAQAAJ&pg=PA421&dq=Pierre+Brulard+de+Genlis&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiYmqz19uPpAhVXD2MBHegmCocQ6AEIMjAB#v=onepage&q=Bologne&f=true cardinal de Bologne] entre les rois de France et d Angleterre dans lequel Robert de Lorris sire d Ermenonville figure comme député 2 10 mars 1352 11 sceaux A I Sect hist J 637 n 5 * 1789 - [http://www.abebooks.fr/rechercher-livre/titre/la-revolution-de-1789-en-wallonie-maurice-bologne/auteur/bologna-mauritius/ la revolution de 1789 en wallonie maurice bologne de bologna mauritius] == Jean-Baptiste Belley == Cf. [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1746_ou_1747-1805_-_Les_œuvres_de_Jean-Baptiste_Belley_sous_l'angle_de_l'esclavage|1746 ou 1747-1805 - Les œuvres de Jean-Baptiste Belley sous l'angle de l'esclavage]] == 1313-1373 - Gui de Boulogne ou Guy de Montfort == Gui de Boulogne (1313-1373) ou Guy de Montfort, archevêque de Lyon, cardinal au titre de Sainte-Cécile, puis cardinal-évêque de Porto et Sainte-Ruffine, dit le cardinal de Boulogne (1342-1373)1. == Bibliographie, styles & normes == * 2012 - C. Miconnet, A. Faller.- Bibliographie et références bibliographiques, SCD de l'[https://archive.org/stream/surveygraphic36survrich#page/n9/mode/2up Université de Reims Champagne-Ardenne], Janvier 2012. == Biens communs & communaux versus Biens nationaux == {{Citation bloc|Les [[w:Bien national|biens nationaux]] ou Domaines nationaux, sont des domaines et possessions de l’Église (bâtiments, objets, terres agricoles, mines, bois et forêts) qui furent confisqués durant la [[w:Révolution française|Révolution française]], en vertu du [[w:Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation|Décret ''des biens du clergé mis à la disposition de la Nation'' du 2 novembre 1789<ref>[[s:Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation - 2 novembre 1789|Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation du 2 novembre 1789]]</ref>]]. Ceux-ci sont vendus pour résoudre la crise financière qui a causé la Révolution. Le domaine de la Couronne, ainsi que les propriétés de certains nobles, subissent le même sort par le biais des confiscations révolutionnaires.<br />La notion de bien national est ensuite étendue aux biens des émigrés et des suspects, qui sont confisqués à partir du 30 mars 1792, puis vendus après le décret du 27 juillet. L'un des objectifs est de représenter une caution pour les [[w:assignat|assignats]].|Wikipédia.- [[w:Bien national|Biens nationaux]].}} === Constitution de la propriété privée === {{Citation bloc|Le 7 mars 1774 le nommé Brion, laboureur & manouvrier a Evres en Champagne, fit ta déclaration au Greffe de sélection de Chálons, qu'il entendoit s'approprier, par le moyen du défrichement, divers morceaux de terrein ; il paroit qu'il les a fait défricher. — Le 14 mars 1776, les habitans d'Evres ont affermé à Jean Audin le champ du vieux chemin d'Aurrecourt, avec environ trente-six perches au bout de ce chemin. — Il paroít que ces objets loués faisoient partie de ceux défrichés par Brion. — Les habitans autorisés ont assigné Brion au Bailliage de Chàlons, en désistement du terrein dont il s'agît. — Les habitans ont articulé la possession immémoriale, & notamment d'an & jour. — Brion a nié le fait ; & les parties ont été appointées en faits contraires. — Les habitans ont fait leur requête ; & il est intervenu un jujement définitif le 26 janvier 1781, qui a reçu, es habitans opposans à tous défrichemens faits par Brion fur la piece de terre dont il s'agit ; les a maintenus & gardés en la possession immémoriale, & notamment d'an & jour avant 1775, de la portion de terrein dont il s'agit, fur laquelle il existe un poirier que les habitans louent ordinairement. En conséquence, a fait défenses à Brion de continuer la culture de cette portion de terrein. — Brion a interjette appel de cette sentence. — Arrêt du 16 juillet 1783, qui l'a confirmée avec amende & dépens.|GAZETTE ABRÉGÉE DES TRIBUNAUX, Parlement De Paris.Mercure de France<ref>[https://books.google.fr/books?id=mAA0AAAAMAAJ&dq=France%20%2B%20défrichement&hl=fr&pg=PA144#v=onepage&q=France%20+%20défrichement&f=false Mercure de France ]</ref>}} === Bibliographie (Appropriation) === * 2013 - {{bibliographie|Q31476460}} L'inappropriabilité de la Terre ** 2013 - {{bibliographie|Q25932120}} <!-- De l’appropriation à l’inappropriabilité de la terre --> == Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord == === Les biens du clergé à la disposition de la nation === Cf. 1789 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord|Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord]] == Cyrille Charles Auguste Bissette (Cyrille Bissette) == [[Fichier:Cyrille Bissette by François Le Villain.jpg|100px|vignette|gauche|Cyrille Bissette]] {{Autres projets | idfaculté = | commons = Cyrille Bissette | wikispecies = | w = Cyrille Bissette | wikt = | b = | s = Cyrille Bissette | q = | n = | m = | d = Cyrille Bissette (Q3009110) | voy = }} Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Projet Code Noir|Projet Code Noir]] * 1823 - {{Bibliographie|Q26423155}} * 1828 - {{Bibliographie|Q30545983}} <!-- Précis historique de la traite des noirs et de l'esclavage colonial --> === Edit du roi de 1642, article XIII === {{Citation bloc|... Voulons et ordonnons que les descendans des Français habitués esdites îles, et même les sauvages convertis à la foi chrétienne et en feront profession, soient censés et réputés naturels Français, capables de toutes charges, honneurs, successions et donations, ainsi que les originaires et régnicoles, sans être tenus de prendre lettres de déclaration ou naturalisés. [[s:Page:Valere Darmiant, De la situation des gens de couleur libres aux Antilles francaises, 1823.djvu/9|''De la situation des gens de couleur libres aux Antilles francaises'', Edit du roi de 1642, article XIII]]<br /> === Edit sur l'établissement de la compagnie des Indes de l’Amérique, mars 1642 === * N° 554. — [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/548|Edit sur l'établissement de la compagnie des Indes de l’Amérique]], pp. [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/548|540]] - [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/553|545]].<br />Narbonne, mars 1642 ; reg. au grand conseil, le 28 mai. (Code de la Martinique, tom. 1er. — Constitutions coloniales par Moreau de Saint-Méry, 1, 51.)<br /> === Réputés naturels françois, capables de toutes les charges, honneurs, successions et donations === "(13) Et d’autant qu’aucuns ; de nos sujets pourroient faire difficulté de transférer leur demeure èsdites isles, craignant que leurs enfans perdissent leur droit de naluralité en ce royaume, nous voulons et ordonnons que les descendans des François habitués èsdites isles, et même les sauvages qui seront convertis à la foi chrétienne et en feront profession, seront censés et réputés naturels françois, capables de toutes les charges, honneurs, successions et donations, ainsi que les originaires et régnicoles, sans être tenus de prendre lettres de déclaration ou naturalité.|[[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/552|''Recueil général des anciennes lois françaises'', tome 16, page 544.]]}} ==== Définition de : régnicoles ==== {{Citation bloc|[http://www.cnrtl.fr/definition/regnicoles RÉGNICOLE], adj. et subst.<br />DR. [P. oppos. à étranger, à aubain] (Habitant(e) d'un royaume, d'un pays) qui, par naissance ou par naturalisation, a la nationalité de ce royaume, de ce pays et qui, à ce titre, possède les droits qui y sont attachés. Et pourquoi cela? (...) pour fournir à vil prix le bon et grand sel aux étrangers sans aucune nécessité, ce sel qui est cuit avec le bois du pays, dont le régnicole a un besoin extrême (Cahier de doléances Insming, 1789ds Doc. hist. contemp., p. 34).L'Ukase a pour but de favoriser les marchands régnicoles (J. de Maistre, Correspectivement, 1807, p. 413).|cnrtl.fr}} === Déclaration ''concernant les lettres de naturalité et de légitimation''. Versailles, 22 juillet 1697 === * [[s:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20.djvu/304|Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20, LOUIS XIV, page 296]]<br />N° - 1641 — Déclaration ''concernant les lettres de naturalité et de légitimation''. Versailles, 22 juillet 1697. (Rec. cass. — Néron, II, 293.) Reg. P. de Rouen, 10 septembre. * 2015 - {{Bibliographie|Q26451462}} * 2016 - Jean-Marc Party.- [http://la1ere.francetvinfo.fr/martinique/avant-schoelcher-l-abolitionniste-etait-le-martiniquais-bissette-378669.html Avant Schoelcher, l’abolitionniste était le martiniquais Bissette] (''Cyrille Charles Auguste Bissette''), la 1ere.francetvinfo.fr/martinique 1ere, 09 juillet 2016. * 1831 - Ministre de la marine et des colonies.- [https://books.google.fr/books?id=zWwYAAAAYAAJ&dq=ordonnances%20%2B%203%20janvier%201720%20%2B%20colonie&hl=fr&pg=PA117#v=onepage&q=ordonnances%20+%203%20janvier%201720%20+%20colonie&f=false Annales maritimes et coloniales : publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies], Imprimerie royale, 1831 ; {{bibliographie|Q26488160}} ; [https://archive.org/search.php?query=Annales+maritimes+et+coloniales Annales maritimes et coloniales sur Internet Archive <!-- Annales maritimes et coloniales publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies --> === Abrogation de divers ordonnances et réglemens locaux relatifs aux hommes de couleur libres et affranchis, 11 novembre 1830 === {{Citation bloc|N° 24.<br /> Arrêté du Gouvernement de la Guadeloupe, portant abrogation de divers ordonnances et réglemens locaux relatifs aux hommes de couleur libres et affranchis.<br /> Basse-Terre, Guadeloupe , le 11 novembre 1830.<br /> Nous, gouverneur de l'île de la Guadeloupe et de ses dépendances;<br /> Vu la dépêche ministérielle du 21 septembre 1830, n° 328;<br /> "Vu l'article 67 de l'ordonnance royale du 9 février 1827;<br /> Considérant que, dans l'état actuel de la législation coloniale en ce qui concerne les hommes de couleur libres et affranchis, il importe de faire connaître les ordonnances locales et les réglemens que le temps et l'usage ont faff tomber en désuétude, afin d'en prononcer l'abrogation formelle; . Considérant qu'il existe des ordonnances et réglemens émanes des autorités locale^, toujours en vigueur, qui peuvent être également abrogés dans l'intérêt des gens de couleur libres et affranchis;<br /> Sur le rapport du procureur général du Roi, provisoire y<br /> De l'avis du conseil privé > Avons Arrêté et Arrêtons ce qui suit:<br /> Sont et demeurent abroges:<br /> 1° Le règlement du 4 juin 1720 sur le luxe des habillemens;<br /> 2° L'ordonnance du 31 juillet 1765, qui défend de vendre et détaler sur les marchés publics, et tous autres réglemens qui défendraient d'acheter ou de vendre en gros;<br /> 3° L'ordonnance du 25 décembre 1783, portant défense d'acheter des armes, de la poudre et du plomb;<br /> 4° L'ordonnance du 3 janvier 1788, qui défend de tra^ vailler sans permis de l'autorité judiciaire.<br /><br /> 2. Sont et demeurent également abrogés:<br /> 1° Le règlement du 6 novembre 1781, qui défend à tous curés, notaires et autres officiers publics, de qualifier aucuns, gens de couleur du titre de sieur et dame;<br /> 2° L'ordonnance du 30 avril 1772 et l'article 58 de Tarrcté local du 29 septembre 1829, qui ne permettent d'enchérir que sur les derniers bancs placés dans les églises depuis la porte jusqu'au tiers delà nef;<br /> 3° Les ordonnances des 9 mai 1785 et 5 septembre 1769, portant défense, la première, d'être écrivain dans les études d'officiers publics, et la seconde d'être garçon chez les apothicaires;<br /> 4° L'ordonnance du 16 octobre 1796, qui assigne une place séparée aux gens de couleur dans les salles de spectacle;<br /> 5° Ljprdonnance du 6 janvier 1773, qui défend de prendre les noms des blancs ; et ce, sans déroger aux principes du droit civil;<br /> 6° Enfin l'ordonnance du 25 décembre 1783, eu ce qu'elle défend de ne se réunir pour fêtes et danses qu'avec la permission de l'autorité; et ce, sans préjudice des réglemens de police générale.<br /> 3. Sont et demeurent abrogés tous autres réglemens et axrêtés locaux dont les dispositions seraient contraires an présent arrêté.<br /> 4. Le commandant militaire, l'ordonnateur, le directeur général de l'intérieur et le procureur général sont chargés, chacun en ce qui le concerne, de l'exécution du présent arrêté.<br /> Donné en l'hôtel du gouvernement, à la Basse-Terre , Guadeloupe, le 11 novembre 1830.<br /> Signé Baron Vatable.<br /> Pal* le gouverneur en conseil: <br /> Le Procureur général provisoire, <br /> Signé C. De Lachariere.<br /><br /> === Arrêté du Gouvernement de la Martinique, concernant diverses dispositions relatives aux gens de couleur libres et aux affranchis, 18 novembre 1830 === [ N° 25. ]<br /> Arrêté du Gouvernement de la Martinique, concernant diverses dispositions relatives aux gens de couleur libres et aux affranchis.<br /> Au Fort-Royal, le 18 novembre 1830.<br /> Nous, gouverneur de la Martinique;<br /> Vu l'article 67 de l'ordonnance du 9 février 1827;<br /> Sur la proposition du procureur général du Roi et de l'avis du conseil privé;<br /> Considérant qu'encore bien que plusieurs réglemcns locaux relatifs aux hommes de couleur libres ne soient plus exécutés et soient depuis long-temps tombés en désuétude, il importe, pour éviter toute équivoque, de les abroger formellement;<br /> Considérant qu'il importe aussi d'abroger d'autres réglemens locaux encore en vigueur, relatifs à l'état des hommes de couleur libres,<br /> Avons Arrêté et Arrêtons ce qui suit:<br /> Art. 1er. Sont et demeurent abrogés:<br /> 1° L'article 3 du règlement local du 4 juin 1720, indiquant quels vctemens doivent porter les affranchis et les libres de naissance;<br /> 2° L'arrêt de règlement du 9 mai 1765 et l'article 3 de l'ordonnance des gouverneur et intendant du 25 décembre 1783 , portant défense aux officiers pubfïcs de recevoir dans leurs bureaux, en qualité d'écrivains, des hommes de couleur libres;<br /> 3° Les ordonnances des gouverneur et intendant des 6 janvier 1773 et 4 mars 1774 , faisant défense aux hommes de couleur libres de porter les noms des blancs;<br /> 4° L'arrêt de règlement du 6 novembre 1781, qui défend aux curés et officiers publics de qualifier aucuns gens de couleur libres du titre de sieur et dame; d'où il suit que cette qualification ne pourra leur être refusée par les officiers publics;<br /> 5° L'article premier de l'ordonnance du 25 décembre 1783 et l'article 3 du règlement du 1" novembre 1809, défendant aux hommes de couleur libres de porter des armes et de s'assembler sans un permis du procureur du Roi ou du commandant du quartier;<br /> 6° L'article 2 de l'ordonnance du 25 décembre 1783, défendant aux hommes de couleur libres d'acheter de la poudre sans un permis du procureur du Roi;<br /> 7° L'article 6 de l'ordonnance du 25 décembre 1783 , Jarret de règlement du 8 mai 1799, l'ordonnance du 27 septembre 1802, l'article 7 du règlement du 1er novembre 1809 , l'article 17 du règlement sur la, pharmacie du 25 octobre 1823 , portant défense aux apothicaires d'employer des hommes de couleur libres à la préparation des drogues;<br /> 8° L'article 11 de l'ordonnance du 3 janvier 1788, qui obligeait les hommes de couleur libres à prendre des permis pour travailler ailleurs qu'à la culture;<br /> 9° L'article 3 de l'ordre du gouverneur général du 16 octobre 1796, qui assignait, dans les spectacles, le paradis pour h place des hommes de couleur libres;<br /> 10° L'article 3 de l'ordonnance du 9 décembre 1809, fixant l'ordre à suivre dans les convois funéraires , par suite duquel les hommes de couleur libres ne pouvaient se placer parmi les blancs.<br /> 2. Sont et demeurent également abrogés tous usages qui empêchaient ou pouvaient empêcher anciennement les hommes de couleur libres de vendre en gros, d'exercer des professions mécaniques, et de se placer dans les églises ou dans les processions parmi les blancs.<br /> 3. Le procureur général du Roi est chargé de l'exécution du présent arrêté, qui sera enregistré aux greffes de la cour royale et des tribunaux de première instance, inséré dans les journaux de la colonie et au Bulletin des actes administratifs , lu, publié et affiché par-tout où besoin sera.<br /> Donné au Fort-Royal, Martinique, en l'hôtel du gouvernement, le 12 novembre 1830.<br /> Signe Dupotet.<br /> Par le gouverneur en conseil. <br /> Le Procureur général du Roi, <br /> Signé Arsène ÎS'ocrts.|1831 - Ministre de la marine et des colonies.- Annales maritimes et coloniales: publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies, Imprimerie royale, 1831<ref>[https://books.google.fr/books?id=zWwYAAAAYAAJ&dq=ordonnances%20%2B%203%20janvier%201720%20%2B%20colonie&hl=fr&pg=PA117#v=onepage&q=ordonnances%20+%203%20janvier%201720%20+%20colonie&f=false Annales maritimes et coloniales: publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies]</ref>}} == William Blake == [[Fichier:William Blake - Isaac Newton - WGA02217.jpg|100px|vignette|gauche|William Blake.- Isaac Newton]] == Les Trois Blanqui == === Jean Dominique Blanqui (1757- 1832) === * [[w:Jean Dominique Blanqui|Jean Dominique Blanqui]], 23 avril 1757 à Drap - 31 mai 1832 à Paris * 1795 - {{bibliographie|Q27832584}} === Adolphe Blanqui (1798-1854) === * [[w:Adolphe Blanqui|Adolphe Blanqui]] (1798-1854), économiste libéral et député de la Gironde. === Louis Auguste Blanqui dit l'Enfermé (1805-1881) === * [[w:Louis Auguste Blanqui|Louis Auguste Blanqui]] dit l'Enfermé (1805-1881), révolutionnaire républicain socialiste, Cf. L'enfermé : avec le masque d'Auguste Blanqui, {{BNF|30492948w]]. == Bonnet phrygien == Le [[w:Bonnet phrygien|Bonnet phrygien]] tire sa symbolique de liberté de sa ressemblance avec le ''[[w:pileus|pileus]]''<ref>Chapeau en latin</ref> qui coiffait les [[w:Esclavage|esclaves]] affranchis de l'[[w:Empire romain|Empire romain]]<ref>27 av. J.-C. et 476 ap. J.-C.</ref>. Objet mémoriel, il rappelle le statut social antérieur et le privilège actuel<ref>Voir les obligations des affranchis dans le droit français de l'esclavage</ref>. Cf. Captif assis portant le bonnet phrygien. De la Collection du cardinal Alexandre Albani (1692 - 1779), [http://cartelfr.louvre.fr/cartelfr/visite?srv=car_not_frame&idNotice=9473 Musée du Louvre] == Augustin-Jean Brulley == [[d:Q27554561|Augustin-Jean Brulley]] '''Affaire de [[w:Philippe François Rouxel de Blanchelande|Louis-Philibert-François Rouxel-Blanchelande]], Augustin-Jean Brulley dépose ''' {{Citation bloc|'''avril 1793. NMX. S''' -Tribunal Criminel Révolutionnaire, Etabli au Palais, à Paris, par la Loi du îoMarj 1793 pour juger sans appel les Conspirateurs. Suite de l'Affaire de Louis-Philibert-François Rouxel-Blanchelande, ci-devant Maréchal-de Camp, et Lieutenant au Gouvernement des Isles Françaiscs-sous-le-Vent. Le Tribunal continuant de procéder à l'audition des témoins, le citoyen Hugues a déposé, sur les secours envoyés du Port-au-Prince à Bord , lors de sa nomination à la place de Commandant de la Garde nationale, que ce fut lui témoin, qui fut chargé par 1'Assemblée provinciale, de surveiller l'armement de 1'Agathe et du Castor, destinés à aller au-devant de lui. Il requit , au nom de l'Assemblée provinciale . Grimoard de protéger l'arrivée de Borel; il répondit , à lui témoin , qu'il obéiroit à tout ce qui lui seroit ordonné , pourvu qu'il n'y eût pas en tête desréquisitons : au nom de la Nation , de la Loi; et ce même Grimoard , au lieu de protéger Borel , l'arrêta en mer avec ses compagnons de voyage , et les conduisit prisonnier» à Saint-Marc. Blanchelande approuva par une lettre la conduite de Grimoard; Blanchelande sanctionna et approuva l'Arrêté de l'Assemblée coloniale, portant suppression des Clubs et Sociétés populaires<ref>Les Clubs et Sociétés populaires ont pour activité des réunions politiques : "''A la fin du règne de Louis XVI cependant quelques sociétés littéraires et scientifiques s’étaient fondées : le Club des Arcades, le Club des étrangers, le Club des Américains ou de Boston et celui de la Société olympique, mais ils furent supprimés en 1787, deux années après leur fondation''" {{Gallica|id=bpt6k30405168|f=156|pp=136}}</ref>. Celui du Port-au-Prince , affilié aux Jacobins de Paris , fut di&sous à main armée. Le témoin passe ensuite à l'arrivée de Blatithelande avec deux vaisseaux et deux frégates , devant le Port-au-Prince; son entrée triomphante dans cette Ville, au milieu d'un Etatmajor, portant à leurs chapeaux des cocardes jaunes et vertes; son apparition à l'Assemblée coloniale; le discours qu'il y prononça. Le témoin donne également les détails de la mort de Praloto; il ajoute , à ce sujet, que depuis le départ de Bianchclande , les colons et gens de couleur viennent de reconnoître la pu-'reté de ses intentions , en faisant élever à ses mânes un monument qui durera plus que l'existence de ses ennemis. Le témoin termine sa déposition en ces termes: Le 14 juillet approchoit.> on parla de se réconcilier de part et d'autre; ce qui eut lieu au grand regret des ennemis du bien public. L'Accusé interpelé de déclaier ce qu'il a a répondre à la déposition du témoin? . A répondu : Le témoin dit que j'ai donné mon approbation aux Arrêtés de l'Assemblée coloniale; mais comment peut-on me faire un crime d'avoir approuvé les délibérations des Représentans du Peuple de la Colonie. Au sujet des cocardes jaunes et vertes , j'ai toujours porté la cocarde tricolore , et je défie le témoin de prouver que les Officiers qui m'accompagnoient , en portoient d'autres : lorsque je me suis rendu au Port-au-Prince , le témoin ne doit pas ignorer que les habitans du Port-au Prince ont fait une guerre cruelle aux gens de couleur , «t qu'ils se sont réunis lorsque j'ai fait promulguer la Loi du 4 avril. Le Tribunal que l'on dit que j'ai établi, cxistoit avant mon arrivée; il avoit été suspendu de ses fonctions , et les Coin» lîiissaires le rétablirent et le mirent en activité. Augustin-Jean Brulley , habitant-planteur de Saint-Domingue , Commissaire de cette Colonie , dépose sur le premier chef d'accusation , qu'il a connoissance , par pièces officielles déposées aux archives de la Commission de SaintDomingue , des arrestations et déportations illégales que l'on reproche à l'Accusé. Il expose rapidement ces faits différens; il prouve qu'il a connu Praloto au Port-au-Prince , et entre dans les détails relatifs à son assassinat, dont Blanchelande et Roum sont ses vrais auteurs en envoyant ce Patriote infortuné à Saint-Marc, ville qui renfermoit les plus mortels ennemis, les antagonistes les plus décidés de la Révolution; aussi a-t-il ajouté : L'événement a justifié les combinaisons perfides de ce Général et Commissaire civil qui avoit juré la perte de Praloto. Il a été coupé en morceaux avec ses propres armes, et jeté à la mer.<br />Sur le quatrième chef d'accusation,1e déposant assure qu'il a parfaite connoissance que Blanchelande a trempé dans les complots formés pour allumer, dans la Colonie, la gueire intestine. Il annonce qu'il a fait la guerre pendant dix mois, qu'honoré de la confiance de ses Concitoyens, et Maire de la Paroisse de la grande rivière d'Ennery, sa place et la position de la Paroisse l'ont mis dans le cas d'entretenir la correspondance la plus exacte et la plus étendue avec toutes les parties de la Colonie, qu ainsi tous les évènemens lui sont parfaitement connus, qu'il est témoin oculaire et auriculaire de grand nombre de faits dont les détails vont prouver au Tribunal, comme il en est convaincu lui-même, que Blanchelande et tous les agens du Pouvoir exécutif, ainsi que les Commissaires civils, ont trempé dans les machinations qui ont soulevé les noirs, et mis la Colonie dans la situation affreuse où elle se trouve. Le déposant observe qu'avant tout, il est essentiel de rectifier l'opinion publique sur les vrais motifs de la guerre qui se fait dans la Colonie. Que les agitateurs, cause de tous ces maux, ont, par une double calomnie , imputé aux colons eux-mêmes les désordres dont ils sont victimes. Il dit qu'il a des preuves, que cette guerre a été entreprise pour opérer la contre-révolution. 11 affirme que leur cri de guerre étoit vive le roi, que le mot de ralliement étoit gens du roi; que les chefs se nommoient et donnoient des passeports signés avec leurs qualifications de général des armées du roi, brigadier des armées du roi, colonel royal. Il ajoute que les chefs qu'il a vu, étoient revêtus de décorations militaires, telles que la croix de Saint-Louis; que Jean-François, Général, portoit même un cordon bleu, la plaque, un chapeau à panache blanc et une large bande de satin, sur laquelle étoit écrit : vive le roi de Frante ! Le déposant a passe aux détails de la guerre; il a cité un Arrêté de l'Assemblée coloniale du 24 août dernier , qui mettoit sous les ordres de Blanchelandc toutes les forces de la Colonie. Il a assuré que ce chef avoit sous ses ordres huit mille hommes, tant de troupes patriotiques que de ligiïe, qu'il pouvoit facilement employer pour étouffer les premiers germes de la révolte; qu'il ne l'a pas fait; qu'il a au contraire donné le temps à ces hommes de se réunir et de s'armer; et qu'au lieu de les contenir dans la plaine , en occupant les gorges des montagnes , on les y a poussé dans l'intention , sans doute , d'étendre les ravages. Il s'étoit déterminé à écrire au Port-au Prince, te déposant avoit l'estime et la confiance des habitans de cette Ville; ils lui avoient prouvé , en le nommant leur Juge. Cette confiance décida du salut de la Colonie. Aussitôt après la réception delà lettre du déposant, l'Assemblée provinciale de l'Ouest, et la Municipalité requièrent le plus prompt envoi de 35o hommes tant de Gardes nationales que de Troupes de ligne. Ils partirent sans délai, ainsi que la Garde nationale de Saint-Marc. Il y avoit à peine deux heures que le déposant les avoit reçus quand on lui remit une lettre des défenseurs du dernier des postes des montagnes , qui lui annoncent que, manquant de vivres et de munitions , ne recevant aucun secours, et environnés de révoltés, ils étoient prêts à abandonner le poste et à gagner les bords de la mer. Le déposant a affirmé que ceux qui s'étoient ^réunis à la hâte pour défendre les montagnes:, se sont inutilement adressés à Blanchclande, pour obtenir des secours; que lui déposant en a demandé par plusieurs lettres, sans avoir de réponse : que la paroisse du Dondon, lorsqu'elle fut menacée, et avant même l'approche des révoltés contre-révolutionnaires, avoit, par l'organe de sa Municipalité, demandé des munitions de guerre et de bouche : que le Maire s'étoit même adressé au déposant qui lui avoit envoyé ce qu'il avoit pu; mais qu'enfin les braves Citoyens du Dondon , après avoir soutenu le combat le plus opiniâtre, ont été forcés à la Tctraue, laissant sur le champ de bataille près de soixante morts et nombre de blessés qui furent tous massacrés : que bientôt le carnage et les atrocités se répandirent dans les montagnes ; que des familles entières ont été égorgées, sans aucun égard pour le sexe ni l'âge; que les révoltés égorgeoient les hommes, s'emparoient des leinfncsct des filles, et assouvissoient leur brutalité ^r les corps palpitans des époux et des pères ; que les entrailles des enfans étoient ouvertes, pour frotter la physionomie des pères et mères ; enfin qu'on s'est livré à toutes les horreurs dont sont susceptibles des hordes de sauvages, comme' les révoltés de Saint-Domingue : qu'ils avoient dans leurs signaux de ralliement même l'empreinte de leur férocité; qu'une des enseignes étoit un enfant blanc, empalé au bout d'une pique; qu'un autre étoit un drapeau blanc, avec des fleurs-de-lys, peintes avec le sang desblancs qu'ils avoient égorgés : qu'enfin on pouvoir mettre sous les yeux du Tribunal le drapeau de la Garde nationale du Dondon, pris par les révoltés, et repris sur eux par le brave Michel commandant les dragons du Cap. Alors le déposant déploie le drapeau ; il fait remarquer que les révoltés ont effacé : la Nation et la Loi, pour ne laisser subsister que leur seul cri de guerre : vive le roi ! Après l'examen de ce drapeau à cravate blanche, fait par les Jurés , le déposant reprend la narration des évènemens de la guerre. Déjà les révoltés s'étoient répandus dans unis grande partie des montagnes vers lesquelles Blanchelande les avoit poussas, par les manœuvres vicieuses et perfides , qui s'étoient faites dans la plaine du Cap. Déjà le Dondon était envahi; des parties de Plaisance et de la Marmelade étoient dévastées et incendiées. Les défenseurs des montagnes du Nord étoient forcés par leur petit nombre, par leur peu de moyen de défense, à se replier de poste en poste, et de se rapprocher de la partie de l'Ouest. Maisjle déposant, Maire de la grande rivière d'Ermery, avoit calculé les résultats funestes de la révolte. Après s'être inutilement adressé à Blanchelande pour en obtenir des secours , il Ainsi donc, ajoute le déposant, si j'avois délibéré deux heures de plus avant d'écrire au Port-au-Prince, les montagnes étoient abandonnées aux révoltés ; ils se répandoient dans ma Paroisse et dans les plaines. Je ne pourrois vous entretenir actuellement des affaires de la Colonie; elle seroit perdue, etj'aurois péri au poste que m avoit assigué la confiance de mes Concitoyens ; les révoltés ne m'en auroient pas plus épargne que le Maire du Dondon, l'infortuné Latour ; jaurois été égorgé comme lui, comme le respectable Béraid, Officier municipal de la mêm» Paroisse ; et comme le brave Ceussac, Procureur-Syndic de la même Paroisse, que les révoltes ont fait périr dans les flammes après lui avoir coupé les deux poignets ; car ii suffisait d'être employé dans une Municipalité pour être alus particulièrement victime de la barbarie de ces féroces instrumens de contre-révolution. Mais les secours arrivèrent à temps pour repousser'avec avantage les brigands. Ils furent complettement battus ; ils s'éloignèrent et favorisèrent, par Jeur fuite, l'établissement d'une chaîne de poste qui a été nommée le cordon de l'Ouest, parce qu'il préservoit la partie de 1 Ouest de l'invasion des révoltés. Ils tentèrent souvent, mais envahi, de forcer cette barrière. Elle fut toujours victorieusement défendue par ceux qui l'avoient formée ; mais la formation né fut pas ordonnee par Blanchelandc, qui avoit sous ses ordres toute la force armée de Saint-Domingue fiançais ; elle est due à l'activité des Corps populaires du Port-au-Prince, elle est due au bonheur que j ai eu d'avoir leur confiance , et de les avenir à temps ; enfin, c'est au Port-auPrince, cette ViUe tant calomniée, que l'on doit le salut des restes de la Colonie. C est envahi que l'Accusé prétendroit infirmer ma deposition, en alléguant qu'il a donné des ordres pour que nous fussions secourus : il ue nous a fait aucune réponse. j'interpellerois, s'il étoit nécessaire, des témoins ici présens, qui attesteroient que ce ne sont pas les ordres de Blanche lande, mais les réquisitions des Corps populaires séant au Port-au-Prince , qui les eut fait marcher à notre secours. Après la formation du cordon de l'Ouest , ajoute le déposant, Blanchelande nomma mi chef pour le commander. Ce cordon devint considérable; la Muru^ipaliié de la grande rivière d'Ennery écrivit alors à Blanchelande, pour lui prouver que le cordon pouvoit s'avancer et reconquérir tout le pays dont ils étoient en possession. La réponse de Blanchelande fut un ordre au Commandant du cordon, qui défendoit d'attaquer les révoltés. Pendant l'inaction à laquelle réduisoit cet ordre de Blanchelande, il sait qu'il y eut des conférences, des pourparlers avec les révoltés. L'Accusé sait aussi que les Citoyens de ma Paroisse, qui étoient à l'un des postes les plus avancés, ont souvent eu des entretiens et même des entrevues très-longues avec les chefs des révoltés. Je dois, a dit le déposant, instruire le Tribunal du résultat de ces conférences. Les chefs qu'on questionuoit sur le but dela guerre qu'ils nous faisoient, répondoient tous qu'on leur avoit dit qu'il falloit qu'ils se battissent contre nous peur le roi, pour la religion; quils ne demandaient pas mieux que de rentrer dans les habitations, mais qu'an leur avoit dit qu'ils en avoient trop fait, que les blancs ne leur pardonneraient jamais, qu'ils les tueraient tous. Ils ajoutaient qu'ils avoient pour eux le Général, qu'ils avoient pour eux Cambefort, Touzard, les Commissaires civils, les troupes; 'enfin , que tont étoit contre nous, et que nous ferions mieux de rétablir l'ancien régime et de faire ce que le roi et la religion nous demandaient. Ces chefs , qui n'étoient que subalternes, ajoutoieut au surplus^que Jean-François , leur chef, en savoit plus long qu'eux, et qu'ils l'averciroient pour qu'il vînt nous parler; qu'il ne pouvoit pas venir de suite , parce qu'il falloit qu'il le consultât. Après avoir entendu JeanFrançois pendant deux jours, il vint , mais au moins avec 8,ooo brigands qui attaquèrent le poste pendant la nuit. Centquatre-vingt hommes soutinrent le choc , et se maintinrent dans leur poste après un combat de sept heures , pendant lequel nous eumes 26 hommes tant tués que blessés; mais nous fumes obligés d'abandonner le poste , parce que , pendant le combat, les révoltés avoient détruit par les flammes tout ce qui avoisinoit le poste. Cependant le cordon de l'Ouest ne fut pas entamé, mais la partie de l'Ouest ne fut pas entièrement préservée des ravages. Trompés comme dans la partie du Sud , par les mêmes agitateurs, qui dans la partie du Nord avoient soulevé les noirs ; les hommes de couleur, coalisés avec la corporation des ponpons blancs, et réclamant en apparence des droits politiques, se laissoient égarer par des contre-révolutionnaires, détruisoient les Corps populaires et rétablissoient le royalisme par-tout où ils étoient victorieux. Dans ces parties, des combats sanglans ont eu lieu, des meurtres, des assassinats, des atrocités se sont commis. Entr'autres, la mort de Longpré, citoyen estimable, dont tout le crime étoit d être Maire de Léogane. On lui a coupé les chairs de la plante des pieds, on l'a promené sur des charbons ardens, on l'a ensuite coupé par petits morceaux jusqu'à ce que la mort mit fin a ses souffrances. C'est ainsi qu'on traitoit les Fonctionnaire» publics, toujours en disant qu'on réclamou des droits politiques et l'exécution des Décrets. On établissoit aussi, de l'aveu et avec l'autorisation de Blanchelande, des commandans pour le roi ; et quand l'Assemblée coloniale { irritée de tant d'atrocités contre-révolutionnaires , voulut sévir contre les Villars, les Jumécourt, les Coulards, chefs de ces ponpons blancs et hommes de couleur qui lessecondoient, le général Blanchelande n'eut aucun égard aux arrêtés et aux réquisitions des Représentans de la Colonie. De cette manière , la contre-révolution se faisoit dans la partie du Nord et de l'Ouest : celle du Sud , encore épargnée , fut presque entiètement détruite , quand Blanchelande s'y rendit et qu'il y eut fait faire de fausses manœuvres qui tendoient à la destruction générale de la Colonie, l'un des points essentiels du plan de contrerévolution française. Blanchelande a concouru à l'exécution de ce plan; et ce qui le prouve non moins évidemment que tout ce que je viens d'avancer, c'est ce qui s'est passé depuis le départ de Blanchelande. Ces mêmes féroces contre-révolutionnaires. qui nous égorgeoient et incendioient au nom du roi et *de la religion , ont reproché eux colons, contre lesquels ils se battoient , la déportation de Blanchilende. lis disoient en jurant : vous avez fait embarquer notre papa lilanchelande , nos amis Cambcfort il Touzard , vous nous le paiera cher , etc. C'est ce qui m'a été assuré, et ce qui va être attesté par des témoins auriculaires. Ce qui vous sera encore assuré , c'est que 1e vaisseau de l'Etat, YEoU, commandé par Girardin , fournissent aux révoltés des munitions de toute espèce. C'est ce qu'a déposé la mestrance de ce bâtiment à la Société des amis de la Convention, au Cap. Ils ont ajouté que, chaque fois qu'on devoit faire quelqu'envoi de cette nature, on faisoit aux révoltés des signaux qui leur indiquolent de s'approcher du rivage , dan? la nuit, pour recevoir la poudre , les balles , boulets et autres objets qu'on leur portoit. Il y avoit , ajoute le déposant, encore un autre moyen atroce qu'on a mis en usage , pour fournir aux révoltés munitions et canons. Blanchelande rétablit, on ne sait trop pourquoi , un ancien poste près le Cap , nommé le fort Bély, Il y envoie 30 soldats , avec des canons et amples provisions de munitions de guerre; mais il y fait joindre une barrique de vin. Ce qu'on avoit projetté arriva; les soldats s'enivrèrent; les révoltés qui étoient aux aguets , arrivèrent, entrèrent dans le fort sans obstacle , massacrèrent les 30 hommes , s'emparèrent des canons et munitions , et promenèrent les têtes en triomphe. Il me paroît à moi très-évident , ajoute le déposant, que c'étrfft un moyen et un moyen atroce , de fournir des munitions aux révoUés. J'ai d'ailleurs vu et touché des cartouches prises sur les brigands , et en très-grand nombre , qui ont été reconnues pour avoir été fabriquées dans l'arsenal du Cap. Le Président demande à Blanthdande ce qu'il a à répondre sur la deposition' du témoin ? A répondu : Vous pouvez juger de la position où je me trouve , si les Citoyens-Jurés croient la millième partie de ce qui vient d'être dit par le témoin; je serois alors un monstre qu'il faut détruire. Peut-on me rendre responsable des assassinats et abominations que le» nègres ont commis à Saint-Domingue; le témoin part des évènemens malheureux qui s'y sont passés', pour me les attribuer. Je déclare que j'ai fait tout ce qui étoit en mon pouvoir de faire , pour (se tournant vers l'auditoire dans lequel s'élève un léger murmure) Citoyens, je partage votre indignation; si j'étois à votre place et que je vis un homme coupable des crimes que l'on m'impute , je ne balancerois pas à désirer sa mort; mais, Citoyens, ce sont des calomnies atroces. Le témoin vient de vous donner un coup de théâtre , en vous déployant un drapeau qu'il apporte ici, et qui m'est absolument étranger. (Se tournant vers le Tribunal) Pardonner , Citoyens , le désordre qui règne dans ce que je dis r je suis vivement pénétré; est-il possible que l'on puisse m'imputer de pareils crimes! J'avois des témoins à faire entendre pour ma justification . mais ils font dire qu'ils craignoient que leur zèle pour la vérité ne les exposât à la fureur populaire. Le Président dit à l'Accusé : Ne craignez rien, les Citoyens que vous avez à faire entendre , seront ici sous la sauvegarde de la Loi. Sur la demande de l'Accusé, le Tribunal lut accorde deux heures pour se recueillir et se dispose à répondre. L'audience est reprise. Le Président interpelle le citoyen BruUy de déclarer quels sont les noms des Commissaires nationaux, qu'il dit, dans sa déposition , avoir parlementé avec les révoltés ? A répondu : C'étoient Romme , Mirbeck et Saint-Léger.<br /> L'Accusé répond sur chacun des principaux faits contenus en la déposition du citoyen Brulley. Lorsqu'il lui a écrit pour avoir des secours, il lui a sur-le-champ fait réponse et à chaque fois. Je n'avois, ajoute-t-il, qu'environ 2,000 hommes dont je pouvoisjdisposer , et j'en avois le plus grand besoin alors auprès de moi; à chaque instant l'on recevoit des avis alarmans sur des désastres qui se commettoient; je faisois alors partirun détachement de ma petite troupe, pour aller disperser les révoltés, il m'est arrivé de n'avoir autour de moi que 2oa hommes, les autres étant partis de différens côtés.<br /> L'Accusé donne lecture d'une lettre par lui écrite, le 3i août 1791 , au sieur de la-Martelière, dans laquelle il lui rend compte des ordres qu'il a donnés pour le rétablissement de la tranquillité publique.<br /> L'Accusé observe que voyant ses efforts inutiles pour le rétablissement de l'ordre , 11 avoit écrit au Ministre de la Marine, pour lui rendre compte de l'état de la Colonie, lui exposer la conduite qu'il avoit tenue , et le prier de lui nommer un successeur; mais que le Ministre ne lui fit réponse que quatre mois après , en lui disant de rester à son poste.<br /> L'Accusé donne lecture de cette lettre dont l'original, dit-il, est déposé dans les Bureaux de la Marine.<br /> L'Accusateur public requiert que les colons des Isles-du-Vent , qui peuvent être dans l'audience , soient entendus , comme simple déclaration , sur les faits qui peuvent être à leur connoissance , touchant l'Accusé Blanohelartde.<br /> Le témoin interpelé de déclarer s'il est à sa connoissance que Blanchelande ait parlementé avec les révoltés l , A répondu : Non.<br /> Le citoyen Michel , planteur et capitaine de dragons au Cap, dépose des faits relatifs à l'expédition de Gilliffet. Lorsqu on fit part à Blancjielande , qui commandoit la colonne du centre , du malheur arrivé aux deux autres , qu'elles étoient presque toutes dispersées ou massacrées, il dit ce n'est rien , tout cela n'est rien . ça s'arrangera; ayant dit à Blanchelande qu'il falloit pousser plus loin; non , dit-il , nous n'avons pas assez de munitions; quelques jours après , s'étant trouvé près du camp des révoltés , ils se mirent à dire : C'est papa Blanchelande.<br /> Le témoin donne le détail de la manière dont il s'est rendu maître du drapeau.<br /> Saint-Léger , ci-devant Commissaire national à Saint-Domingue , dépose des mêmes faits sur les évènemens arrivés aux Isles-du-Vent.<br /> L'Accusé dit : Citoyen-Président , je vous prie de vouloir bien interpeler le témoin de déclarer succintement ce qu'il sait des assassinats commis à Saint-Domingue ?<br /> Le témoin : Non , cela étoit avant mon arrivée.<br /> L'Accusé : Je prie le Citoyen-Président de vouloir bien interpole* le témoin de déclarer quel étoit le termomêtre de l'opinion publique sur mon compte , à Saint-Domingue ?<br /> Le témoin : Les uns vous blâmoient , les autres vous plaignoient; et je crois que les derniers avoient raison , car j'ai toujours regardé la place que vous occupiez , non-seulement comme au-dessus de vos forces, mais comme au-dessuj de celles de tout être humain.<br /> Le Président demande à l'Accusé, qui vous a nommé à votre Gouvernement ?<br /> A répondu : C'est le Ministre la Luzerne.<br /> A quelle époque êtes-vous parti ?<br /> A répondu : Le 8 novembre i790.<br /> Où avez-vous débarqué ?<br /> A répondu : Au Port-au-Prince.<br /> Dans quel état avez-vous trouvé la Colonie ?<br /> A répondu : Tout étoit tranquille, à l'exf ception de quelques légères rixe.s qui avoient lieu de temps en temps entre.les Ponpons blancs et les Districts<br /> A quelle époque êtes-vous arriva dans votre Gouvernement <br />? A répondu : En Janvier i7.9i.<br /> En quel temps les troubles ont-ils commencé ?<br /> A répondu : Vers la fin du mois d'août suivant.<br /> Vous aviez donc le temps de vous préparer à vous mettre en état de prévenir les troubles ?<br /> A répondu : Quand l'on voit la tranquillité régner, on croit qu'elle durera toujours.<br /> Puisque vousconvenez que les Ponpons étojent un sujet de troubles, vous deviez les dissoudre ?<br /> A répondu : Je ne sais pas si j'en avois le droit, ces individus ayant été loue's par un Décret de l'Assemblée nationale. . .*<br /> Pourquoi avez-vous souffert que la Municipalité du petit Goave fût transportée prisonnière à 6o lieu de-là? A répondu : C'étoit d'après les ordres du Procureur-Syndic du Port-au-Prince.<br /> Pourquoi, vous qui avez négligé de dissoudre les Poupons blancs, aVez-vous dissout les Sociétés populaires ?<br /> A répondu : L'Assemblée coloniale l'avoît expressément ordonné par un arrêté formel.<br /> Pourquoi êtes-vous allé trouver les soldats de Normandie lors de leur arrivée au Port-au-Prince ?<br /> A répondu :Je voulois voir en quel état étoient ces troupes.<br /> Pourquoi les avez-vous engagés à aller au Mole, en leur disant qu'ils auroient de la viande fraîche, du pain frais, de bon tafia et de jolies femmes ?<br /> A répondu : Mon projet étoit de mettre un bataillon au Mole , et l'autre au Port-au-Prince; la vérité estqu au Mole les eaux. y sont plus saines, et l'air plus pur.<br /> Pourquoi avei-vous fui lors des troubles du Port-au-Prince ?<br /> A répondu : Parce qu'on vouloit me forcer à promulguer la Loi du mois d octobre , et que je craignois que ma résistance ne m'attirât le soit du chevalier Mauduit.<br /> Pourquoi n'avez-vous pas déféré aux requisitions d'un grand nombre de Municipalités qui demandoient la conservation du Fougueux ?<br /> A répondu : Les vaisseaux deviennent infiniment trop coûteux aux Isles du-Vent et Sous-le-Vent.<br /> Quelles étoient vos vue» en demandant des troupes à Bihaguc ?<br /> A répondu : Parce que je eraignois des évè* nemcns au Port-au-Prince.<br /> Po urquoi a vez-vous gardé auprès de vous les Officiers de Normandie pour vous faire un cortège?<br /> A répondu : Je ne les gardois pas pour me faire- un cortège.<br /> Pourquoi avez-vous gardé près dè^bus Grimoart, et lavez-vous autorisé à arrêter Bord ?<br /> A répondu : Je le gardois parce que j'en avois besoin pour se transporter dans les différens endroits où il se manifestoit des' troubles.<br /> L'Accusateur public analyse le résultat dei débats.<br /> Le citoyen Tronçon Ducoudray , Défenseur de l'Accusé, est ensuite entendu. Il développe avec autant de clarté que d'éloquence la défense de son client; il combat successivement chacun des chefs d'accusation. Nous n'entrerons dans aucun développement de cette intéressante plaidoieric, dans la crainte qu'en la morcelant , nous n'en altérions les beautés. Pendant trois heures qu'il a parlé , le Peuple immense qui rcmplissoit l'auditoire (quoiqu'il fût deux heures du matin) , l'a écouté avec admiration dans le plus profond silence.<br /> Le Citoyen-Président a posé chacune des questions sur lesquelles les Jurés avoient à prononcer: ceux-ci, après s'être retirés dans leur chambre et en avoir délibéré , sont rentrés à l'audience, ont fait à haute voix et individuellement la déclaration suivante , portant que :<br /> iv. Il y a eu à Saint-Domingue des déportations arbitraires pendant que Blatiehelande étoit Lieutenant au Gouvernement-général des Isles françaises-sous-le-Vent : 2*. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir autorisé ces déportations arbitraires : 3°. Qu'il va eu, à SaintDomingue , des détentions arbitraires de plusieurs Citoyens : 4^. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir autorisé ces détentions : 5°. Qu'il y a eu à Saint-Domingue un parti contre-révolutionnaire , portant, pour signe de ralliement, un ponpon blanc : 6Q. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir favorisé ce parti : 70. Que , pendant l'existence du parti contre-révolutionnaire , il y a eu des complots tendans à allumer la guerre civile dans la Colonie, à troubler l'Etat dont elle fait partie , et à armer les Citoyens contre l'Autorité légitime : 8°. Que ledit Blanchdande est convaincu d'avoir secondé ces complots : 90. Que, dans tous les faits qui viennent d'être énoncés , ledit Blanchelande a eu des intentions contre-révolutionnaires »».<br /> Le Président ordonne que l'on fasse entrer l'Accusé; cet ordre ayant été exécuté , il lui a fait part de la déclaration du Juré , lui observant que les deux dernières questions avoient eu pour l'affirmative , neuf voix sur onze.<br /> L'Accusateur public, sur la déclaration Juré , conclut à la peine de mort, motivé sur l'existence de la Loi.<br /> Le Président demande à l'Accusé s'il n'a rien à dire contre l'application de la Loi?<br /> L'Accusé répond : Je jure parDieu que je vais voir tout-à-l'heure , que je n'ai trempé pour rien dans les faits que l'on m'impute. ( Une pâleur mortelle se répand sur le visage de l'Accusé. )<br /> I^e premier Juge motive son opinion , et conlut à la peine de mort et à la confiscation des liens au profit de la République. -^<br /> L'Accuse reprend : Elle n'aura rien , car je n'ai :ien. * Le Président, après avoir reçu les opinions motivées de chacun des Juges du Tribunal , y joint la sienne, et prononce leJugementsuivant :<br /> Après soixante-quinze heures de séance,<br /> Le Tribunal , après avoir entendu l'Accusateur public, sur l'application de la Loi, condamne ledit Philibert-François Rouxel-Blanchelande à la, peine de mort, conformément à l'art. 1 , sect. z , tit. Ier de la seconde partie du Code pénal, dont il a été fait lecture , laquelle est ainsi conçue:<br /> « ''Toute conspiration et complots tendans à troubler l'Etat par une guerre civile, en armant les Citoyens les uns contre les autres, ou contre l'exer* cice del'Autorité légitime, serontpunis de mort''».<br />Ordonne que ses biens sont acquis au profit de la République, conformément à l'art. 2 du tit. 3 de la Loi du io Mars dernier ; comme aussi que le présent Jugement sera, à la diligence de l'Accusateur public, exécuté sur la place de là Réunion de cette Ville, et qu'il sera imprimé, publié et affiché dans toute l'étendue de la République.<br /> Fait à Paris, le L5 Avril 1793, l'an a delà République , en l'audience publique du Tribunal , où étoient présens Jacques-Bernard-Marie Montané , Président; Etienne Foucault, Christophe Dufriche-Desmagdeleines , et Antoine Rpussillon , Juges du Tribunal , qui ont signé lai? minute du présent Jugement.|Louis François Jauffret, Augustin Charles Guichard.- Gazette des nouveaux tribunaux, Volume 7<ref>1993 - {{bibliographie|Q27554981}}, [https://archive.org/stream/gazettedesnouve07unkngoog#page/n274/mode/2up Lire sur Internet Archive], [https://books.google.fr/books?id=vGG4Rfub0lMC&dq=Augustin-Jean%20Brulley&hl=fr&pg=PA268#v=onepage&q=Augustin-Jean%20Brulley&f=false Lire sur Google books, p. 266]</ref>.}} == Étienne Eustache Bruix == [[w:Étienne Eustache Bruix|Étienne Eustache Bruix (amiral Bruix)]] '''Étienne Eustache Bruix''', né en [[w:1759|1759]] à [[w:Fort-Dauphin (Haïti)|Fort Dauphin]] sur l'île de [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]] et mort en [[w:1805|1805]] à [[w:Paris|Paris]], est un [[w:Officier de la marine nationale française|marin]] et [[w:homme politique|homme politique]] [[w:France|français]] du {{S|XVIII}}. Colonel-général-inspecteur des côtes de l'Océan, grand-officier et chef de la {{w:13e|cohorte}} de la [[w:légion d'honneur|légion d'honneur]]. Il occupe le poste de [[w:Liste des ministres français de la Marine et des Colonies|Ministre de la Marine et des Colonies]] du 27 avril 1798 au 4|mars 1799". ;Bibliographie [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C556%2C372%2C89&edge=0 5112 Bruix, Procès verbal de la fête funèbre] célébrée dans la R. L. l'Heureuse Rencontre à l'O. de Brest, le 9 prairial an XIII à l'occasion de la mort de l'amiral Bruix, Brest impr. de l'armée navale impériale an XIII in 4° Pièce [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C651%2C375%2C36&edge=0 5115 Notice historique sur Eustache Bruix] Par M MAZERES, Paris, Henrichs an XIII 1805 in 8° Pièce == Edward Wilmot Blyden 1832- 1912 == Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#De la Mornarchie de Louis-Philippe aux années 1930|De la Mornarchie de Louis-Philippe aux années 1930]], ci-dessous. === Marc Bloch === [[Fichier:Strasbourg-Plaque Marc Bloch.jpg|100px|vignette|gauche]] * [[w:Marc Bloch|Marc Bloch]] * Sée Henri.- [http://www.persee.fr/doc/abpo_0003-391x_1921_num_35_2_4267_t1_0316_0000_3 Marc Bloch. Rois et serfs, compte rendu], Annales de Bretagne Année 1921 Volume 35 Numéro 2 pp. 316-319 == Les de La Boëssière de Louis XV == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#Les_de_La_Boëssière_sous_Louis_XV|Les de La Boëssière sous Louis XV]] === Les de La Boëssière au {{S|XIX}} === ''' La Boëssière / La Boissière''' 1830 : Citation de {{bibliographie|Q28549182}}, 1830, p. [https://books.google.fr/books?id=G-BIAAAAcAAJ&dq=La%20Bo%C3%ABssière%20%2B%20ma%C3%AEtre%20d'armes&hl=fr&pg=PA340#v=onepage&q=La%20Bo%C3%ABssière%20+%20ma%C3%AEtre%20d'armes&f=false 340] * LABOESSIÈRE, maître d'armes des anciennes académiesdu roi, des Écoles royales polytechnique et d'équitation. ** Traiïé de l'art des armes, à l'usage des professeurs et des amateurs. Paris,V Auteu (* Magimel, Anselin et Pochard) , Isis, in-8 avec 20 planches, 7 fr. * LABOESSIÈRE ( le marquis de ) , chef d'état-major, eteommissaire extraordinaire du Roi, dépoté da Morbibau ; né en BasseBretagne, vers 1760. ** Considérations militaires et politiques sur les*^ierres de l'Ouest, pendant la Révolution française. Paris, de f'imp. de Henry, 1827, in-8. ** Considérations sur la discussion qni a eu lieu dans les deux Chambres, relativement à la loi d'indemnité. Paris, del'imp.de Beaucé-Rusand, i8a5,in-8 de 24 pag. Plusieurs Discours et Opinions, prononcés a\ la Chambre des députés par le tnarq. de Laboéssière * ont été imprimés. * LA BOISSIÈRE , maître d'armes. ** Observations sur le Traité de Y Art des armes, pour servir de défense à la vérité des principes enseignés par les maîtres d'armes de Paris. 1766, in-8. * LA BOISSIÈRE (J.-B.), successivement député du Lot à l'Assemblée législative , à la Convention nationale , et membre du Conseil des anciens. ** Opinion dans l'affaire du procès de Louis XVI. 1792, in-8. * LA BOISSIERE, ex-capitaine. Château (le) du comte de Roderic, trad. de l'angl. (1807). Voy. ce titre à la table des Ouvrages anonymes. * LABOISSIÈRE (J.-L.), avocat-général au parlement de Grenoble, au commencement de la révolution, et à la restauration , conseiller à la Cour royale de Nimes; né à Villeueuve-de-Berg, dans le Vi.var.iis, en .1740. ** Commentaires (les) du soldat Vivarais, où se voit l'origine de la rébellion de la Franc>, et toutes les guerres que, durant icelle, le pays de Vivarais a souffertes, divisés en trois livres, selon le temps que lesdites guerres sont arrivées; suivis du "Voyage du duc de Rohan en Vivarais, l'an 1628 ; de la relation de la révolte de Roure, en 1670; et d'une anecdote extraite du Journal manuscrit de J. de Banne, chanoine de Viviers. Privas, de Vimp. d'A. Agard) I8j I , in-8. Tirés à3oo exemplaires. * LABOISSIÈRE DE CHAMBORS (Guil. de), anc. capitaine de cavalerie, membre de l'Académie des inscriptionsetbelles-lettres; né à Paris, le 26 juillet 1666, mort dans la même ville, le 7 avril 1742. ** Nous ne connaissons de Laboissière de Chambors que les trois Mémoires suivants , impr. dans le recueil de l'académie dont il était membre: ** Analyse des dissertation* de M. de Cbambors sur l'estime et la considération que les anciens Germains avaient pour les femmes de leur nation ( tom. X, 1736).— Explication de quelques passages d'anciens auteurs \id.,id.). — Dissertation sur TitnsLabienus, en deux-mémoires ( tom. X et XH1 , 1736—4° ). Voy. aussi Eohtaihk et Her Vieux De * LA BoiSSiÈRE. ==== 1838 ==== {{Citation bloc|1838 - TEXIER DE LA BOISSIÈRE, peut-être le même que le Laboissière du tome IV, alors maître d'armes des académies du roi et des pages du duc de Penthièvre.<br />— Mort (la) généreuse du duc Léopold de Brunswick, poësie élégiaque. Paris, l'Auteur; Bailly, 1786, in-4.|Joseph Marie Quérard.- La France littéraire ou dictionnaire bibliographique des savants<ref>[https://books.google.fr/books?id=8QkJAAAAQAAJ&dq=Texier%20de%20la%20Boissiere&hl=fr&pg=PA387#v=onepage&q=Texier%20de%20la%20Boissiere&f=false Volume 9], 1838</ref>.}} * [[w:Nicolas Texier de La Boëssière|Nicolas Texier de La Boëssière]], [[w:Maître d'armes|maître d'armes]] des académies du roi et des pages du duc de Penthièvre est né à [https://www.openstreetmap.org/relation/339198#map=7/47.018/-0.906 Marans]. * Copie, invention et réinvention ? "Quatre bons siècles avant les Jeux olympiques de la Grèce antique, un bas -relief du temple de Médinet-About en Haute – Egypte et construit par Ramsès III en 1190 avant J. -C., évoque une compétition sportive organisée par le pharaon pour célébrer sa victoire sur les Libyens. Voir la suite : [https://www.escrime-aaf.fr/histoire-de-l-escrime Les pharaons inventent le masque et la compétition].<br />— Le tombeau de Ramsès III fut cartographié pour la première fois en 1737-1738 par [[w:Richard Pococke|Richard Pococke]] (voir [[c:Category:Richard_Pococke|Category:Richard_Pococke]], puis par James Bruce en 1769 * 27 mars 2022 - [https://www.escrime-aaf.fr/post/championnat-de-france-des-ma%C3%AEtres-et-des-enseignants-d-escrime Premier championnat de France des Maîtres et des Enseignants d’Escrime] * 1-3 juillet 2022 - [https://www.escrime-aaf.fr/post/championnat-du-monde-des-ma%C3%AEtres-d-armes-direction-la-suisse Championnat du monde des maîtres d'armes] à Lausanne, Canton de Vaud, Suisse. === Pierre-François Boncerf, (1745-1794) === * [[d:Q26156997|Pierre-François Boncerf]], {{BNF|11892716b}} * [[Pierre-François Boncerf]], [http://www.worldcat.org/identities/lccn-no91-23175/ WorldCat Identities] Pierre-François Boncerf est un économiste disciple de [[w:Anne Robert Jacques Turgot|Anne Robert Jacques Turgot ''dit'' Turgot]], (10 mai 1727 - 18 mars 1781), secrétaire d’État de la Marine du 20 juillet 1774 au 24 août 1774 puis, contrôleur général des finances, sous Louis XVI. Membre de la société d'agriculture et secrétaire du duc d'Orléans, il fut nommé officier municipal de la commune de Paris pendant la Révolution. En cette qualité, il fut chargé de l'installation du tribunal judiciaire dans le local même où le parlement avait autrefois condamné son ouvrage sur les inconvénients des Droits féodaux, ouvrage qui servit de base aux décrets du 4 août 1789 et au décret concernant les droits féodaux du 15 mars 1790. Sous la Terreur, Boncerf fut traduit devant le tribunal révolutionnaire ; il fut absous, mais seulement a la majorité d'une voix. IL mourut peu de temps après<ref>[https://books.google.fr/books?pg=PA285&redir_esc=y&id=Th5IAAAAMAAJ&hl=fr#v=onepage&q&f=false Biographie moderne]</ref>. ;[https://books.google.fr/books?id=-y3QNq-r-BIC&dq=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&f=false Biographie nouvelle des contemporains, Volume 3] BONCERF (pierre-françois), naquit en 1745, à [[w:Chalaux|hassaulx]] en Franche-Comté. Après avoir exercé, à Besançon, la profession d'avocat, il vint à Paris, obtint une place dans les bureaux du ministre Turgot, et fit paraître, avec l'agrément de ce ministre, en 1776, sous le nom de ''Francaleu'', une brochure intitulée ''les Inconvéniens des droits féodaux''. Cet ouvrage fut dénoncé au parlement par le prince de Conti, et condamné à être brûlé par arrêt du 23 février. Boncerf, décrété lui-même, dut son salut à Louis XVI, qui défendit au parlement de poursuivre cette affaire. L'ouvrage proscrit fut loué par Voltaire ; il eut une vogue extraordinaire, et fut traduit dans toutes les langues de l'Europe. Il repose sur les mêmes principes qui servirent de base aux décrets improvisés par l'assemblée constituante dans la nuit du 4 au 5 août 1789. Lorsque M. Turgot quitta le ministère, Boncerf se retira en Normandie, où il s'occupa du dessèchement des marais qui rendaient la vallée d'Auge impraticable pendant une partie de l'année. Cet acte de patriotisme et d'humanité, et un mémoire qu'il publia en 1786 à l'occasion de ce dessèchement, le firent recevoir membre de la société d'agriculture de Paris; mais le projet est encore à exécuter. Un canal de trois lieues et quelques coupures rendraient à l'agriculture un des excellens cantons de la France. Boncerf fut ensuite employé dans l'administration des biens ruraux du due d'Orléans, et il occupait encore cette place quand la révolution éclata. Nommé officier municipal de la commune de Paris, il en remplit les fonctions avec zèle. Une circonstance singulière, c'est qu'en cette qualité il fut chargé d'installer le tribunal civil dans le local même où le parlement avait condamné son livre : le 1 1 octobre 179o, il apposa les scellés sur les greffes où étaient déposées les procédures criminelles dirigées contre sa personne. Mais son caractère ferme, et l'austérité de ses principes, lui attirèrent de nombreux ennemis, qui, dès 1793, rappelant ses anciennes liaisons avec le duc d'Orléans, en firent le prétexte d'accusations et de tradition au tribunal révolutionnaire. Acquitté à la majorité d'une seule voix, il fut si virement frappé de l'idée du danger qu'il avait couru, que sa santé en fut altérée et son moral affecté. 11 mourut au commencement de 1794. Boncerf a publié plusieurs ouvrages, entre autres un qui paraîtrait faire suite à la brochure condamnée. Il est intitulé : ''Moyens pour éteindre, et Méthode pour liquider les droits féodaux, 1790'', in-8°. Les autres sont : # Un Mémoire qui remporta le prix proposé en 1784, par l'académie de Châlons-sur-Marne, sur cette question : Quelles sont les causes les plus ordinaires de l'émigration des gens de la campagne vers les grandes villes, et quels seraient les moyens d'y remédier? # de la nécessité et des moyens d'occuper avantageusement tous les ouvriers. Cet ouvrage fut réimprimé par ordre de l'assemblée nationale, in-8°, Paris, 1789. # Réponse à quelques calomnies, in-8°, 1791 ; # Nécessité et moyens de restaurer l'agriculture et le commerce, in 8°, 1791 ; # de l'Aliénabilité et de l'Aliénation du domaine, in8°, 1791<ref>[https://books.google.fr/books?id=-y3QNq-r-BIC&dq=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&f=false Biographie nouvelle des contemporains, Volume 3].</ref>. ==== Les inconvéniens des droits féodaux ==== * 1776 - {{Bibliographie|Q26157414}}, [https://books.google.fr/books?id=3zYNAAAAIAAJ&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Google Livres]]. * 1789 - {{Bibliographie|Q26157738}}, [https://books.google.fr/books?id=xArMmj9RTK8C&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false Google livres]. Par P.-Fr. Boncerf, d'après Barbier. - Écrite à l'occasion de la condamnation au feu par le Parlement de Paris, le 23 février 1776, sur réquisitoire de l'avocat général Séguier, de l'ouvrage de P.-F. Boncerf : "Les Inconvéniens des droits féodaux", publié à Paris au début de 1776. "Cf." la lettre de Voltaire à Boncerf du 8 mars 1776 [Besterman, n° 18839], qui est d'ailleurs reproduite dans le présent ouvrage. Dans la préface de cette édition de 1791, l'auteur précise que la "Lettre du Révérend Père Policarpe", de même que la "Lettre d'un bénédictin de Franche-Comté", qui suivit, furent écrites, non par Voltaire lui-même mais, sous ses yeux, par l'avocat Gabriel-Frédéric Christin, affirmation corroborée par le témoignage de Wagnière dans ses "Additions au Commentaire historique sur les oeuvres de l'auteur de La Henriade" {{BNF|31605423h}}. Cf. Jessica Riskin, J. "The "Spirit of System" and the Fortunes of Physiocracy" in History of Political Economy Annual Supplement to Volume 35 (2003) 42-73. [https://books.google.fr/books?id=3zYNAAAAIAAJ&dq=Pierre-Fran%C3%A7ois+Boncerf+%2B+Les+inconvénients+des+droits+féodaux&hl=fr&source=gbs_navlinks_s =>]. Article : Jessica Riskin.- [http://hope.dukejournals.org/content/35/Suppl_1/42.citation The “Spirit of System” and the Fortunes of Physiocracy], History of Political Economy (2003) 35 (Suppl 1): 42-73; doi:10.1215/00182702-35-Suppl_1-42 === Gabriel de Bory (1720-1801) === [[d:Q3094007|Gabriel de Bory]] (1720-1801) est administrateur des colonies. Nommé Gouverneur général de Saint-Domingue en 1761, propose des réformes de l’administration coloniale et du Code noir. Il quitta le service actif en 1766. == Pierre Bourdieu == * [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] * Pierre Bourdieu, professeur au Collège de France : [http://www.college-de-france.fr/site/pierre-bourdieu/Resumes-annuels.htm Résumés annuels] ** [http://www.college-de-france.fr/media/pierre-bourdieu/UPL474730811278405034_AN_99_bourdieu.pdf L'économie des biens symboliques], 1993-1994 ** Sur l’État, [http://www.college-de-france.fr/site/pierre-bourdieu/Resumes-annuels.htm 1987-1988, 1988-1989, 1989-1990, 1990-1991, 1991-1992]. * [http://www.homme-moderne.org/societe/socio/bourdieu/lexique/ "Lexique" bourdieusien]. [http://www.homme-moderne.org/societe/socio/bourdieu/lexique/a/index.html Parcours erratique de morceaux choisis]. Ont participé à la réalisation de ce lexique : Catherine Bessagnet, Richard Brun, Éric Chabert, Raphaël Desanti, Patrick Ducray, Marco Fedi, Jean-François Festas, Xavier Molénat, Stéphane Molina, Yves Patte, Martine Rainaud, Michaël Voegtli, Sylvia Willynck. Coordination : Raphaël Desanti; mise en page : Éric Chabert. © Le Magazine de l'Homme Moderne et la liste Champs, 2002. === La théorie bourdieusienne selon Robert Boyer === {{Citation bloc|''La théorie bourdieusienne<ref>{{bibliographie|Q61809151}}</ref> peut, selon [[w:Robert Boyer|R. Boyer]]<ref>Robert Boyer, « l’anthropologie économique de Pierre Bourdieu », Actes de la Recherche en sciences sociales, n° 150, Décembre 2003, p.65-78.</ref>, permettre de dépasser certaines limites de l’analyse économique, en historicisant des concepts que cette dernière tient pour universels. Si l’économie postule que l’individu « agit selon son intérêt », un concept comme l’habitus invite à se demander comment l’individu a acquis, au cours de sa socialisation, cette capacité à agir selon son intérêt. La théorie des champs, et les fonctionnements spécifiques du champ littéraire, du champ scientifique par exemple, poussent à se demander s’il n’existe qu’une seule sorte d’intérêt : l’intérêt de l’entrepreneur est-il le même que celui de l’écrivain ou du scientifique ?'' Idem pour le concept de marché, dont il faudrait dans chaque cas étudier la genèse, comme l’a fait P. Bourdieu pour la maison individuelle. Cela conduirait, selon R. Boyer, à nuancer l’opposition canonique entre Etat et marché, car le premier peut contribuer le second à prendre forme. Dans le cas de la maison individuelle, l’Etat agit, à travers sa politique de subventions et de crédit, sur les stratégies des acheteurs et des entrepreneurs. Autre postulat économique battu en brèche : celui selon lequel tous les acteurs du marché ont le même pouvoir. La théorie des champs montre que « quel que soit le champ, certains ont plus de pouvoir que d’autres, de sorte que la concurrence ne sert pas l’égalisation des chances mais la reproduction d’une distribution inégalitaire du capital ». D’où un changement permanent, car les acteurs dominants doivent sans cesse innover pour conserver leur position menacée par les nouveaux arrivants sur le marché.'' ''Une perspective globale qui présente des « homologies frappantes » avec la théorie de la régulation que R. Boyer défend, et qui insiste sur '''le poids de l’histoire dans la construction des individus''' et des institutions qui encadrent l’activité économique.''|Xavier Molénat.- Pierre Bourdieu (1930-2002) : une pensée toujours à l'oeuvre<ref>Xavier Molénat.- [https://www.scienceshumaines.com/pierre-bourdieu-1930-2002-une-pensee-toujours-a-l-oeuvre_fr_28372.html Pierre Bourdieu (1930-2002) : une pensée toujours à l'oeuvre], SciencesHumaines.com, Mis à jour le 02/11/2015</ref>}} === Bourgeois === # '''1777''' - Eusèbe Jacques de Laurière, Denis-François Secousse, Louis Guillaume de Vilevault , Louis-Georges-Oudard Feudrix de Bréquigny, Claude Emmanuel Joseph Pierre marquis de Pastoret, Jean-Marie Pardessus.-Ordonnances des roys de France de la troisième race : Ordonnances de Charles VI. données depuis le commencement de l'année 1383. jusqu'à la fin du règne de ce prince, avec supplements & '''''Recherche sur les bourgeoisies'''''<ref>[[s:Cahiers du Cercle Proudhon/5-6/La bourgeoisie capitaliste|Georges Valois.- La bourgeoisie capitaliste]], Cahiers du Cercle Proudhon, 1912 (p. 214-248).</ref>. 1745-77, 1777,'''Volume 12''', <https://books.google.fr/books?id=w-VZAAAAYAAJ> # '''1777''' - Louis Guillaume de Villevault (Q67212005), Louis-Georges de Bréquigny (Q3260557).- Ordonnances des roys de France de la troisième race recueillies par ordre chronologique, contenant un supplément depuis l'an 1187 contenant un supplément depuis l'an 1187, jusqu'à la fin du règne de Charles VI, par M. de Villevault, maître des requêtes, intendant du Commerce maritime ; & M. Bréquigny de l'Académie Françoise & de celle des Inscriptions & Belles-Lettres, De l'Imprimerie Royale, Douzième volume, 1777 <https://books.google.fr/books?id=w-VZAAAAYAAJ&hl>. * Werner Sombart, 1863-1941, S. Jankélévitch, traducteur.- Le Bourgeois, Contribution à l’histoire morale et intellectuelle de l’homme économique moderne 1913. [http://classiques.uqac.ca/classiques/sombart_werner/le_bourgeois/le_bourgeois.html Lire en ligne, Classiques.uqac.ca]. === Botanique === * [[w:Charles Plumier|Charles Plumier]], 1646-1704, description des plantes d'Amérique. ** {{Bibliographie|Q25713947}} ** {{Bibliographie|Q25714582}} == Théodore de Bry == * [[w:Théodore de Bry|Théodore de Bry]] * [http://lj.rossia.org/users/marinni/299512.html?thread=2861304 Théodore de Bry] * [http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé]. Description de ''[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492, 1592].'' <gallery> File:Theodor de Bry.png|Theodor de Bry, 1528-1598<ref>Voir problème de date de naissance au 14 juillet 2016 sur Wikimedia Commons </ref>. |1492-1592 - Théodore de Bry.- ''Arrivée de Christophe Colomb aux Amériques'', ou ''La découverte de l'Amérique'', 12 mai 1492<ref>[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm ''Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois'', 12 mai 1492].<br />[http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé]. Description de ''[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492.].''</ref> File:Indian Village of Pomeiooc Theodor de Bry 1590.jpg|Theodor de Bry.- Pomeiooc, village amérindien, 1590 File:Narratio Regionum indicarum per Hispanos Quosdam devastatarum verissima Theodore de Bry.jpg|Espagnols Conquistadors faisant travailler et maltraitant les Indiens. Indiens anthropophages<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b20000085/f11.item.r=Théodore%20de%20Bry Illustrations de Narratio regionum Indicarum per Hispanos quosdam devastattarum], Planche p.50, {{BNF|38494951c}}, Cote : BNF C43327.</ref>. </gallery> * [https://www.oikoumene.org/fr/press-centre/news/le-coe-desavoue-la-doctrine-utilisee-contre-les-populations-autochtones Le COE désavoue la doctrine utilisée contre les populations autochtones]. Illustration : "La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492 : Christophe Colomb érige la croix et baptise l'île de Guanahani en lui donnant le nom chrétien de San Salvador", gravure sur cuivre de Théodore de Bry (1590). == Christophe Colomb == [[Fichier:America or the New World map by Theodor de Bry 1596.jpg|100px|vignette|gauche|1596 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8446636q America or the New World map by Theodor de Bry] : Christopher Columbus, Amerigo Vespucci, Francisco Pizzaro and Ferdinand Magellan.]] * [[w:Christophe Colomb|Christopher Columbus]], 1451-1506 * [[w:Amerigo Vespucci|Amerigo Vespucci]], 1454-1512 * [[w:Francisco Pizarro|Francisco Pizzaro]], 1475-1541 * [[w:Fernand de Magellan|Ferdinand Magellan]], 1480-1521 * [[w:Theodor de Bry|Theodor de Bry]], 1528-1598 === Discussion à propos de "Images de la découverte des Amériques" (Théodore de Bry) === "La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492 : Christophe Colomb érige la croix et baptise l'île de Guanahani en lui donnant le nom chrétien de San Salvador", gravure sur cuivre de Théodore de Bry (1590). '''Caractéristiques de l’image''' Titre de l’image : ''Théodore de Bry Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois'' Texte manuscrit Importé par Ambre : Troizat Date de l'import : 14 juillet 2016 Commentaire : ''Gravure de Théodore de Bry décrivant l'arrivée de Christophe Colomb aux Amériques et la violence de la "rencontre" entre l'Europe et les Amériques''. ;[[w:Michèle Duchet|Michèle Duchet]]<ref>Michèle Bonnissol Duchet, 1925-2001, professeure et historienne, spécialiste de la construction de l'anthropologie durant le siècle des Lumières en France</ref> — L'Amérique de Théodore de Bry. Une collection de voyages protestante du XVIe siècle [compte-rendu] {{Citation bloc|Ce livre<ref>{{BNF|34969416c}}</ref> inaugure une série consacrée aux grandes collections et dans laquelle la collection est prise comme objet de recherche. Un autre volume doit paraître, sous le titre : « Le monde en ordre ; les collections de voyages ». Ici il s'agit seulement d'une collection, celle dite des « Grands voyages » de Théodore de Bry (1590-1634). Le mérite de cette collection a été de rassembler des textes alors inédits, mais aussi de faire une place exceptionnelle à la gravure dans la représentation du monde américain. Ces gravures sont très belles et un des problèmes de la critique est de retrouver les sources d'inspiration du dessinateur — qui d'ailleurs a suivi le texte de très près — , sans comparaison sur ce point avec les graveurs qui l'avaient précédé.<br>L'unité de ce recueil vient de ce que Théodore de Bry était un protestant et qu'il a réuni tout ce qui montrait le rôle bienfaiteur des Réformés, mais surtout les atrocités commises par les conquistadors catholiques et leur rôle néfaste. On trouve, dans sa collection, l'expédition en Virginie de Grenville, celle en Floride de Laudonière, l'Histoire du Brésil de Hans Staden, suivie de la Narration de Jean de Léry, l'Histoire des Indes occidentales de Benzoni, et son Histoire de la conquête du Pérou, les textes de Schmidel, les voyages de Drake, Cavendish, Raleigh, Keymis. On y trouve encore Acosta, Americ Vespuce, Guillaume Schonten, Antonio de Herrera et bien d'autres, qui forment treize volumes entre 1590 et 1634. Le terme de « grand » appliqué à ces voyages désigne seulement le format de ces volumes.<br>L'analyse des commentateurs est fondée sur une riche et profonde culture anthropologique. C'est une magnifique préparation à la lecture des « Voyages » en général et de ceux-ci en particulier.|Frédéric Mauro<ref>{{Lien web |langue= fr|auteur= Frédéric Mauro|titre= DUCHET (Michèle) : L'Amérique de Théodore de Bry. Une collection de voyages protestante du XVIe siècle. — Paris, C.N.R.S., 1987. — 27 cm, 288 p., fig.|url= https://www.persee.fr/doc/outre_0300-9513_1990_num_77_287_2799_t1_0289_0000_2|date= 1990|site= persee.fr|consulté le= 26 mai 2021}}</ref>.}} ;Caractéristiques de l’image Texte imprimé. Source : [https://books.google.fr/books?id=pvMAAAAAYAAJ&pg=PA264&lpg=PA264&dq=Discovery+of+America+12th+of+May+1492+Columbus+erects+the+Cross+and+baptizes+the+Isle+of+Guanahani+by+the+Christian+Name+of+St+Salvador+From+a+Stamp+engraved+on+Copper+by+Th+de+Bry+in+the+Collection+of+Grands+Voyages+in+folio+1590&source=bl&ots=QBeC-yNA2-&sig=7tntJLLbE37SErBU_nOgU04IKlA&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Discovery%20of%20America%2012th%20of%20May%201492%20Columbus%20erects%20the%20Cross%20and%20baptizes%20the%20Isle%20of%20Guanahani%20by%20the%20Christian%20Name%20of%20St%20Salvador%20From%20a%20Stamp%20engraved%20on%20Copper%20by%20Th%20de%20Bry%20in%20the%20Collection%20of%20Grands%20Voyages%20in%20folio%201590&f=false "Manners, Customs, and Dress During the Middle Ages, and During the Renaissance Period" (pg 264)] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Reference_desk/Archives/Miscellaneous/2007_July_20 image citée ici <br /> ;Autres fichiers [[File:Livre des nouvelles terres, Découverte de l'Amérique par Christophe Colomb, 1ère relation, 1506.png|100px|vignette|gauche|La Caravelle de Christophe Colomb arrive en vue des terres, Livre des nouvelles terres]] 1506 - PLZEŇ.- [[c:File:Livre des nouvelles terres.JPG|Livre des nouvelles terres]], imprimé par MIKILÁŠ BAKALÁŘ. L'ouvrage, exposé à la bibliothèque du couvent de Strahov à Prague, constitue la plus ancienne relation de la découverte de l'Amérique. Il nous propose cette représentation de l'arrivée de Christophe dans les Caraïbes en 1492. [[Fichier:La découverte des Amériques.jpg|100px|vignette|gauche]] '''Caractéristiques de l’image''' Titre de l'image : ''La découverte des Amériques'' Image colorisée Sans texte <br /> ;Autres sources BnF Les Essentiels [http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm Christophe Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois], Gravure Grands Voyages, America pars quarta Théodore de Bry (1528-1598), Francfort, 1592. BnF, département des Cartes et Plans, CPL GE FF-8185, pl. IX © Bibliothèque nationale de France Document le plus fiable : [http://www.loc.gov/pictures/resource/cph.3b07443/ Columbus landing on Hispaniola, Dec. 6, 1492; greeted by Arawak Indians] Source [http://www.photo.rmn.fr/archive/78-003294-2C6NU0XQD8OP.html Réunion des Musées Nationaux], Sans texte HISTOIRE - GEOGRAPHIE au Lycée Racine : [http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé] * Histoire de la vie et des voyages de Christophe Colomb, par M. Washington Irving, traduite de l'anglais par C.A. Defauconpret Fils. [https://www.google.fr/books/edition/Histoire_de_la_vie_et_des_voyages_de_Chr/jTGbU-Nd1oUC?hl=fr&gbpv=0Google Livre]. La série complète sur [https://archive.org/search.php?query=Histoire+de+la+vie+et+des+voyages+de+Christophe+Colomb%2C+par+M.+Washington+Irving%2C+traduite+de+l%27anglais+par+C.A.+Defauconpret+Fils Internet Archive]. == C == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter C.jpg|100px|vignette|centré]] === Café Procope === "le brillant chevalier de Saint-Georges donnait des leçons d 'escrime aux gens de lettres, excepté à Sainte-Foix, qui n'aimait ni les lecons, ni les bavaroises"<ref>Louis Lurine.- [https://books.google.fr/books?id=LyAoAAAAYAAJ&dq=Caf%C3%A9%20Procope%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA71#v=onepage&q&f=false Les rues de Paris : Paris ancien et moderne], volume 2.</ref>. "Il y avait là Voltaire qui épanchait souvent sa bile contre Fréron, Piron, J B Rousseau, La Mothe, Marmontel ,Sainte Foix Dorat, le chevalier de Saint-Georges, Naigeon Grimm d Alembert d Holbach de temps en temps et quelques jeunes nourrissons du Parnasse qui fournissaient sans doute de nouvelles à la main les feuilles de l époque Les conversations on le devine étaient très animées " <ref>Charles Romey.- [https://books.google.fr/books?id=noRYAAAAMAAJ&dq=Caf%C3%A9%20Procope%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA30#v=onepage&q=Caf%C3%A9%20Procope%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Etude nouvelle sur Denis Diderot, l'encyclopédiste du XVIIIe siècle].</ref> === Caffé === ;Coffeehouse * [http://publicdomainreview.org/2013/08/07/the-lost-world-of-the-london-coffeehouse/?utm_content=buffer7ac05&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer The Lost World of the London Coffeehouse]. * [https://archive.org/stream/allaboutcoffee00ukeruoft#page/8/mode/2up/search/Guadeloupe Le café à la Guadeloupe] == Caisses d'épargne == * 1818 : [http://www.benjamin-delessert.fnce.fr/1818-fondation-de-la-caisse-depargne Fondation de la Caisse d'Epargne] == L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L'action_politique_des_Clubs,_sociétés_populaires,_littéraires_ou_musicales|L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales]] === Société Olympique === === Loge des neuf sœurs === * 1896 - {{bibliographie|Q113005211}} <!-- La vie à Paris pendant une année de la Révolution, 1791-1792 --> * 1897 - {{bibliographie|Q113005694}} <!-- Une loge maçonnique d'avant 1789 --> == De la Motte - de Lamotte - Lamothe == Lamotte, musicien du roi, ami de Saint-George Lamothe, compagnon indéfectible de Saint-George Saint-George & Lamothe à Amiens == Gratien Candace == * [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]], (18 décembre 1873 - 11 avril 1953) II. — Compte rendu de la séance tenue par la Commission constitutionnelle de l'Assemblée Nationale, le 10 juillet 1940. COMMISSION CONSTITUTIONNELLE DE L'ASSEMBLÉE NATIONALE Séance du mercredi 10 juillet 1940. Présidence de M. de COURTOIS. pp. 498-[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6531459j/f517.item.r=Gratien%20Candace.texteImage 507] '''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6531459j/f513.item.r=Gratien%20Candace.texteImage Lettre de M. Auguste Brunet].''' Le 30 mai 1950. M. Lagrosillière: Les termes "Etat" et "Empire" sont l'un juridique, l'autre politique. Ils ne se superposent pas exactement. (Omis dans le procès-verbal). M. Archimbaud : « Au Gouvernement de la République sous l'autorité et la signature du Maréchal Pétain. » Dans un livre écrit en ig42 et publié en 1945, j'ai pris acte de cette rectification dans les termes suivants : "Ce pouvoir était conditionné, lié dans la pensée de ceux qui l'ont institué et dans les termes exprès du texte, qui l'a consacré à la permanance du Gouvernement de la République" (« Jules Simon et le problème de la Constitution coloniale. Charles-Lavauzelle, 1945»). Veuillez agréer, Monsieur le Président, l'assurance de ma considération la plus distinguée. Auguste BRUNET. P. S. — Je ne veux pas me mettre en cause. Mais après la réponse de M. Lagrosillière à M. Boivin-Champeaux, j'ai ajouté :<br /> — C'est la formule même de la Constituante : « Les colonies Jont partie intégrante de l'Empire français. » '''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6531459j/f513.item.r=Gratien%20Candace.texteImage Lettre de M. Gratien Candace].''' Paris, le 10 juillet 1950. Monsieur, Le procès-verbal de la Commission constitutionnelle de l'Assemblée Nationale du 10 juillet 1940, reproduit, à peu de choses près, la physionomie de la séance à laquelle j'ai assisté. Mon regretté collègue, M. Lagrosillière, n'avait reçu aucun mandat de ses collègues des Colonies, mais ses observations reflètent le sentiment des représentants de la France d'outre-mer d'alors. J'observe, toutefois, qu'il avait été bien spécifié que « c'est au Gouvernement de la République, sous l'autorité et la signature du Maréchal Pétain, que les pouvoirs devaient être accordés ». Cette observation fut faite spontanément quand le Président Laval déclara que les pouvoirs seraient accordés au Gouvernement du Maréchal. Le Vice-Président du Conseil se rangea aussitôt à l'avis exprimé par Marchandeau, au nom de la quasi unanimité de la Commission. Veuillez agréer, Monsieur, l'assurance de mes sentiments très distingués. Gratien CANDACE. * 1951 - {{bibliographie|Q29844331}} <!-- Rapport sur les événements survenus en France de 1933 à 1945 --> * LOI CONSTITUTIONNELLE DU 10 JUILLET 1940 == Capitalisme == * [http://unt.unice.fr/aunege/M2/environnement_economique_et_social_Nancy2/co/Contenu_211.html Les origines du capitalisme] * Les formes de capitalismes in "[https://www.scienceshumaines.com/les-formes-de-capitalismes_fr_12104.html Les nouveaux visages du capitalisme]", [[d:Q3475792|Sciences Humaines]] * 1792 - {{bibliographie|Q98970613}} <!-- Réflections offertes aux capitalistes de l'Europe -->. ""[https://www.worldcat.org/title/reflections-offertes-aux-capitalistes-de-leurope-sur-les-benefices-immences-que-presente-lachat-de-terres-incultes-situees-dans-les-etats-unis-de-lamerique/oclc/58673102 This French text is by Benedict Van Pradelles] and is based on a ms provided him by Robert Morris and W.T. Franklin. Advertisement for sale of Genesee lands (in western New York state), which had been sold to the Company by W.T. Franklin."--Echeverria & Wilkie. According to Echeverria & Wilkie, this text was used as a promotional tract by the Holland Land Company. Signatures: A-B⁸ C⁴ chi1. * 1848 - {{Bibliographie|Q29018268}} <!-- --> * 2019 - {{bibliographie|Q109748922}} <!-- Le capitalisme a-t-il une date de naissance ? --> == Carnet de recherches == [[Fichier:Extrait carnet Stradivarius.gif|100px|vignette|gauche|Carnet Stradivarius]] == Casanova == {{Citation bloc|Toujours soucieux de ne jamais sacrifier sa liberté ni à une femme, ni à une cause, ni au goût de la possession, Casanova est un infatigable voyageur. Ouvert à toutes les rencontres, il parcourt les routes de Venise à Madrid en passant par Moscou, et incarne, entre ombres et lumières, des facettes contrastées de son temps.|Casanova à l'occasion de l'exposition Casanova, la passion de la liberté à la BNF, 21 novembre 2011<ref>Guy Chaussinand-Nogaret Directeur d’études honoraires à l’EHESS.- [http://www.clio.fr/CONFERENCE/CONFERENCE/casanova_a_loccasion_de_lexposition_casanova_la_passion_de_la_liberte_a_la_bnf.asp Casanova à l'occasion de l'exposition Casanova, la passion de la liberté à la BNF], 20011</ref>}} * Guy Chaussinand-Nogaret.- Casanova: Les dessus et les dessous de l'Europe des Lumières == Michel Paul Guy de Chabanon == Michel Paul Guy de Chabanon, poète français, 1730-10 juillet 1792, [https://www.google.fr/books/edition/Bibliographie_biographique_ou_Dictionnai/kBpfAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=BIBLIOGRAPHIE+BIOGRAPHIQUE+UNIVERSELLE+%2B+Michel+Paul+Guy+de+Chabanon&pg=PA98&printsec=frontcover Lire] Michel Paul Guy de Chabanon.- Tableau de circonstances de ma vie etc. ouvrage posthume publié par NN Saint Ange, Paris, 1795 8 ibid 1802 8 3213 Chabot Louis Michel Paul Guy de CHABANON, Ange François Fariau de Saint-Ange.- [https://www.google.fr/books/edition/Tableau_de_quelques_circonstances_de_ma/JWFiAAAAcAAJ Tableau de quelques circonstances de ma vie]. (Appendice ... Anecdotes sur Voltaire.) Précis de ma liaison avec mon frère Maugris, ouvrages posthumes, publiés par Saint-Ange, Paris, 1795 * 1795 - {{bibliographie|Q110155354}} <!-- Michel Paul Guy de Chabanon et Ange-François Fariau de Saint-Ange (dir.), Tableau de quelques circonstances de ma vie. Précis de ma liaison avec mon frère Maugris --> {{Citation bloc|One of the more articulate critics denouncing the theory of musical imitation was Michel - Paul - Guy de Chabanon . Born on the island of Santo Domingo in 1729 , Chabanon displayed a remarkable intellectual versatility in a… |Robert James MacDonald.- Francois Joseph Gossec and french instrumental music in the second half of the eighteen century (Volumes I-III), 1968<ref>Robert James MacDonald.- Francois Joseph Gossec and french instrumental music in the second half of the eighteen century, [https://www.google.fr/books/edition/FRANCOIS_JOSEPH_GOSSEC_AND_FRENCH_INSTRU/--AYAQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&dq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&printsec=frontcover (Volumes I-III, page 262)], 1968</ref>}} === Michel Paul Guy de CHABANON & François-Joseph Gossec === {{Citation bloc|C'est à Paris aussi que se déroula l'étonnante carrière du fils de paysans de Vergnies , François - Joseph Gossec ... il s'essaye aussi au genre lyrique et écrit , sur un livret de Michel - Paul - Guy de Chabanon , un Sabinus , qui sera …|La Vie culturelle dans nos provinces au XVIIIe siècle. Pays-Bas autrichiens, principauté de Liège et duché de Bouillon, 1983<ref>[https://www.google.fr/books/edition/La_Vie_culturelle_dans_nos_provinces_au/nCUSAQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&dq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&printsec=frontcover La Vie culturelle dans nos provinces au XVIIIe siècle, Page 54]</ref>}} * Symphonies subtitled La chasse were composed by François - Joseph Gossec == Les Chartes == == Franchises == [[File:Selon le droit de Nature chacun doit naître franc.jpg|vignette|100px|gauche|''Selon le [[w:droit naturel|droit de Nature]] chacun doit naître franc'' [[w:Louis X|Louis X]].]] [[File:Louis X dit Hutin, Lettre portant que les serfs du Domaine du Roy seront affranchis moyennant finance, Paris 3 juillet1315.pdf|vignette|100px|gauche|[[w:Édit du 3 juillet 1315|Ordonnance royale du 3 juillet 1315]] par laquelle [[w:Louis X|Louis X]] abolit le servage dans le domaine royale, plus spécifiquement dans [[w:Bailliage et sénéchaussée|bailliage]] le [[w:Senlis_(Oise)#Moyen_.C3.82ge_central|Senlis]]]] Durant le [[w:Moyen Âge|Moyen Âge]], l'état de [[w:Franchise (servage)|franchise]]<ref>Le titre de cet article [[w:Franchise (servage)|Franchise (servage)]] devrait être "Franchise (liberté)" </ref> désignait l'état de liberté opposé à l'état de [[w:Servitude (droit)|servitude]] des [[w:esclavage|esclaves]] et des [[w:servage|serfs]]<ref>[[w:Philippe-Antoine Merlin de Douai|Philippe Antoine Merlin]] et [[w:Louis Rondonneau|Louis Rondonneau]], [https://books.google.fr/books?id=htFDAAAAcAAJ&pg=PA336&dq=serf+%22franchise+était%22&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_qc7SnKLPAhVFVxoKHehuDY8Q6AEIYjAJ#v=onepage&q=serf%20%22franchise%20était%22&f=false ''Table générale alphabétique et raisonnée des matères contenues dans le "Répertoire de jurisprudence" et dans le "''Recueil alphabétique des Questions de droit''"], Paris, 1829</ref>. Le mot "franchise" signifie donc liberté, tout comme "franc" signifie libre et "affranchir" signifie mettre en liberté<ref>[[w:Louis Dussieux|Louis Dussieux]], [https://books.google.fr/books?id=96BOAAAAcAAJ&pg=PA30&dq=3+juillet+1315+Braye+Chaumont&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjx4firrp7PAhXMVhoKHaPiC7MQ6AEIMjAE#v=onepage&q&f=false ''L'Histoire de France racontée par les contemporains'', tome 1, 2, 3 & 4], 1861.</ref>. === Charte de franchises === * [[w:Charte de franchises|Charte de franchises]] * [[w:Assemblée provinciale|Assemblée municipales proposées par Turgot]] Le médiéviste [[w:Charles-Edmond Perrin|Charles-Edmond Perrin]], et après lui Ruth Mariotte-Löber, définit ainsi les [[w:Charte de franchises|Chartes de franchises]] : ''"Acte accordé par le pouvoir seigneurial à l'ensemble des sujets d'une seigneurie pour régler les relations du seigneur et de la communauté et garantir à celle-ci et à ses membres des droits biens définis"''. [https://books.google.fr/books?id=PvvhKtVtMsYC&lpg=PA36&dq=Acte%20accordé%20par%20le%20pouvoir%20seigneurial%20%C3%A0%20l'ensemble%20des%20sujets%20d'une%20seigneurie%20pour%20régler%20les%20relations%20du%20seigneur%20et%20de%20la%20communauté&hl=fr&pg=PA36#v=onepage&q=Acte%20accordé%20par%20le%20pouvoir%20seigneurial%20%C3%A0%20l'ensemble%20des%20sujets%20d'une%20seigneurie%20pour%20régler%20les%20relations%20du%20seigneur%20et%20de%20la%20communauté&f=false 1] {{Citation bloc|Parmi les réformes qui signalèrent la fin du dix-huitième siècle, une des plus importantes fut sans contredit celle de l'[[w:Administration publique française|Administration française]]. Les anciennes [[w:Franchise (servage)|franchises]] provinciales et communales amoindries sous les [[w:Maison capétienne de Valois|Valois]]<ref>[[w:Maison capétienne de Valois|La maison de Valois]] est la branche cadette de la dynastie capétienne qui régna sur le royaume de France de 1328 à 1589. Elle succède aux Capétiens directs et précède les Bourbon.</ref> par [[w:François Ier (roi de France)|François I{{er}}]] et par [[w:Henri II (roi de France)|Henri II]] qui créa les [[w:Intendant (Royaume de France)|Intendants]]<ref>Aux {{s2|XVII|e|XVIII|e}}, les [[w:Intendant (Royaume de France)|intendants]] sont issus de la [[noblesse de robe]] ou de la haute-[[bourgeoisie]]. Généralement ils sont [[maîtres des requêtes]] au [[Conseil des parties]].<br>"''Au 18e siècle, toutes ces fonctions dépendaient directement du Roi et de son administration centrale, dirigée par le Conseil du Roi, les contrôleurs généraux et 34 intendants, tous roturiers. Ils détenaient la réalité du pouvoir : ils décidaient du montant des impôts, la répartition, le recrutement dans l’armée, la construction des routes, la surveillance des réunions, la définition des normes, la répartition des œuvres de charité. Rien ne leur échappait : l’administration des villes et de toutes les paroisses.''". Bénédicte Kibler.- [https://benedictekibler.wordpress.com/2012/06/18/les-vraies-causes-de-la-revolution-de-1789/ Les vraies causes de la Révolution de 1789], 18 juin 2012.</ref>, avaient disparu sous le despotisme de [[w:Armand Jean du Plessis de Richelieu|Richelieu]]<ref>[[w:Armand Jean du Plessis de Richelieu|Richelieu]] devient [[w:Principal ministre d'État|principal ministre d'État]] de [[<:Louis XIII|Louis XIII]] en 1624. Il reste en fonction jusqu'à sa mort, en 1642, date à laquelle le cardinal Mazarin lui succède.</ref>, de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] et de [[w:Louis XV|Louis XV]]. La France dut à [[w:Louis XVI|Louis XVI]], et à ses ministres [[w:Anne Robert Jacques Turgot|Turgot]] et Necker, l'abolition du régime arbitraire et oppressif qui pesait sur elle depuis deux siècles. Dès 1778, quatre ans après son avènement au trône, Louis XVI, l'un des meilleurs et le plus malheureux des Rois qu'ait eus la France, préludait à ces réformes par l'établissement d'[[w:Assemblée provinciale|Assemblées provinciales]]<ref>Cf. [[w:Assemblée provinciale#Les « municipalités » de Turgot|Les municipalités de Turgot]]</ref> dans le Berry, le Dauphiné, la Haute-Guyenne et le Bourbonnais. Sept ans plus tard, en 1785, des Edits successifs étendirent ces Assemblées à toute la France et réorganisèrent sur des bases nouvelles l'Administration municipale, départementale et provinciale du Royaume. Cette restauration des libertés provinciales a inspiré à M. [[d:Q3271586|Léonce de Lavergne]]<ref>[[w:Léonce Guilhaud de Lavergne|Léonce Guilhaud de Lavergne]]</ref>, membre de l'Institut, [[d:Q17357108|plusieurs articles]] très-remarquables, publiés en 1861 par la [[d:Q29477312|Revue des Deux-Mondes]], sous ce titre: Les Assemblées provinciales avant 1789. Ils avaient pour objet, et eurent pour résultat d'attirer l'attention sur l'État de l'Administration française au moment où éclata la Révolution de 1789. M. de Lavergne s'était borné à esquisser ce qui se rattachait à l'établissement des nouvelles Assemblées provinciales II n'entrait pas dans son plan de traitera fond ce sujet et de lui donner les développements qu'il comportait. Ce sont ces développements que nous donnons aujourd'hui pour la province de Picardie.|Alexandre Hesse, L'Administration provinciale et communale en France et en Europe, 1785-1870, Introduction<ref>{{bibliographie|Q29477542}} 1870</ref>}} [[w:Léonce Guilhaud de Lavergne|Léonce Guilhaud de Lavergne]].- Les Économistes français du dix-huitième siècle (1870). Réédition : Slatkine, Genève, 1995. === Bibliographie "Les Chartes" === ==== Bibliographie "Charte de franchises" ==== * 1973 - {{Bibliographie|Q28604258}} == Chronologie : L'Art de vérifier les dates de la révolution == * 1803 - [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36433140r L'Art de vérifier les dates de la révolution], ou Répertoire législatif, administratif, judiciaire et historique, depuis l'ouverture des états généraux, en 1789, jusqu'au 1er vendémiaire an XII... Avec table... , Paris, 1803 , {{BNF|36433140r}}. * Warden, David Baillie (1778-1845) , Courcelles, Jean-Baptiste-Pierre (1759-1834), Fortia d'Urban, Agricol-Joseph-François-Xavier-Pierre-Esprit-Simon-Paul-Antoine (1756-1843). Éditeur scientifique .- L'art de vérifier les dates depuis l'année 1770 jusqu'à nos jours formant la continuation, ou troisième partie de l'ouvrage publié sous ce nom par les religieux bénédictins de la congrégation de Saint-Maur... publiée par M. le chevalier de Courcelles... 20 vol. dont 2 de tables ; in-8, Comprend : Vol. 9-18, [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30451199h Chronologie historique de l'Amérique '''Note : Vol. 9-18 : L'art de vérifier les dates. Quatrième partie : Chronologie historique de l'Amérique par D. B. Warden''']. Autre(s) auteur(s) : Fortia d'Urban, Agricol-Joseph-François-Xavier-Pierre-Esprit-Simon-Paul-Antoine (1756-1843). Éditeur scientifique Vol. 9-18, Chronologie historique de l'Amérique, Publication : Paris : l'éditeur, 1821-1844 == Civilisation == Victor Riqueti Mirabeau.- L’Ami des Hommes [[w:Victor Riqueti Mirabeau|Mirabeau, Victor Riqueti (1715-1789 ; marquis de]] {{Citation bloc|Car, dans la langue française, il n’existe pas de terme plus progressiste que civilisation et, dans la pensée politique, il n’y a pas de concept qui émane plus directement que celui de civilisation de la philosophie (ou de l’idéologie ?) des Lumières.<br> Le mot a d’ailleurs été forgé en 1756 par un homme des Lumières ("''plus Lumières que lui, tu meurs''"), au moment même où les Lumières triomphaient en France et dans toute l’Europe éclairée : c’est Mirabeau, dans un opuscule intitulé "''L’Ami des Hommes''" (évidemment).|Article "Civilisation" in ''Dictionnaire critique de la Nouvelle Langue Française, (en ligne)<ref>[http://nouvellelanguefrancaise.hautetfort.com/dictionnaire_critique_de_la_nlf/ Dictionnaire critique de la NLF : Nouvelle Langue Française].- [http://nouvellelanguefrancaise.hautetfort.com/archives/category/dictionnaire_critique_de_la_nlf/index-1.html ''Civilisation''].<br> [[w:fr:Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau]].- [https://books.google.fr/books?id=vU3WYS08AgQC&dq=Mirabeau%20%2B%20L%E2%80%99Ami%20des%20Hommes%20%2B%201756&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q=civilisation&f=false '''''Civilisation'''''] in ''L’Ami des Hommes'', 1756.<br> Victor Riqueti Mirabeau.- [L'ami des hommes, ou Traité de la population], Internet Archives, différentes éditions] </ref>."}} === Edition originale === Auteur(s) : Mirabeau, Victor Riqueti (1715-1789 ; marquis de) Voir les notices liées en tant qu'auteur , {{BNF|309520411}} Titre(s) : [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb309520411 L''ami des hommes, ou Traité de la population] Publication : Avignon : [s.n.], 1756-1760 Description matérielle : 7 tomes en 6 parties en 3 vol. (VI-156-218-216-[3] ; [6]-278-81 ; VIII-167-279-[4] p.) ; in-4 Note(s) : Par le Mis de Mirabeau. - La IVe partie a pour titre : "Précis de l'organisation, ou Mémoire sur les États provinciaux" ; elle contient en outre les "Questions intéressantes sur la population, l'agriculture et le commerce, proposées aux Académies et autres sociétés savantes des provinces" ; la Ve partie est intitulée : "Mémoire sur l'agriculture... avec l'Extrait des six premiers livres du Corps complet d'oeconomie rustique de feu M. Thomas Hale" ; la VIe partie contient la "Réponse à l'Essai sur les ponts et chaussées, la voierie et les corvées", et le "Tableau oeconomique avec ses explications" Autre(s) forme(s) du titre : - Transcription moderne du titre : Tableau économique avec ses explications Titre alternatif : Traité de la population Titre alternatif : Mémoire sur les États provinciaux Bertrand BINOCHE.- [https://books.google.fr/books?id=dqijAwAAQBAJ Les équivoques de la civilisation], Champ Vallon, 272 pages, ISBN : 2876736659, 9782876736658 * * Catherine Larrère Mirabeau et les physiocrates.- [https://books.google.fr/books?id=dqijAwAAQBAJ&lpg=PT89&dq=Mirabeau%20%2B%20civilisation&hl=fr&pg=PT87#v=onepage&q=Mirabeau%20+%20civilisation&f=false L'origine agrarienne de la civivisation ] == Jean-Baptiste Colbert == Cf; Jean-Baptiste Colbert sous l'angle de l'esclavage == Jacques Pierre Brissot de Warville sous l'angle de l'esclavage == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1750-1793_-_Les_œuvres_de_Jacques_Pierre_Brissot_de_Warville_sous_l'angle_de_l'esclavage|1750-1793 - Les œuvres de Jacques Pierre Brissot de Warville sous l'angle de l'esclavage]] == Constitutions de la France en Révolution == === Constitution adoptée le 3 septembre 1791 === [[Fichier:Constitution de 1791. Page 1 - Archives Nationales - AE-I-10-1.jpg|100 px|vignette|gauche|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1791<ref>La Révolution française et l'organisation de la justice, [https://www.justice.gc.ca/fra/pr-rp/sjc-csj/pji-ilp/rev5/index.html Déclaration des droits de l'homme et du citoyen 1791]</ref> & Constitution de 1791]] La Constitution de 1791, adoptée le 3 septembre 1791, comprend la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1791 et la Constitution de 1791. Le code pénal de 1791, adopté pendant la Révolution par l'Assemblée nationale législative entre le 25 septembre et le 6 octobre 1791. Premier code pénal qui s'applique au territoire de la France métropolitaine. Inspiré des principes de [[w:Cesare Beccaria]], il a été remplacé, sous Napoléon 1{{er}} par le code pénal de 1810. === Constitution du 24 juin 1793 === * 1793 - Déclaration des droits de l'homme et du citoyen ** 1793 - [[w:Projet de constitution girondine#La déclaration des droits|Déclaration des droits naturels, civils et politiques des hommes du plan de constitution présenté les]] [[w:15 février|15]] et {{Date|16|février|1793}} à la [[Convention girondine]] ; ** 1793 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] du 24 juin 1793, du [[w:Constitution du 6 messidor an I|6 messidor de l'an I du calendrier républicain]]<ref>{{bibliographie|Q598887}}</ref>. * [[d:Q27685555|1793]] - {{bibliographie|Q27685555}}, Placard imprimé, {{BNF|41513569r}}. == Gratien Candace == === Etablissements français de l'Océanie au Conseil supérieur des colonies, 1924 & 1928 === [https://lexpol.cloud.pf/LexpolAfficheTexte.php?texte=364703 Proclamation du 3 septembre 1924 de M. Candace Gratien comme délégué des Etablissements français de l'Océanie au Conseil supérieur des colonies]. Paru ''in extenso'' au Journal Officiel 1924 n° 18 du 16/09/1924 à la page 278 dans la partie ACTES DES INSTITUTIONS DE LA POLYNESIE FRANCAISE [https://lexpol.cloud.pf/LexpolAfficheTexte.php?texte=408015 Proclamation du 19 août 1928 de M. Candace (Gratien) comme délégué des Etablissements français de l'Océanie au Conseil supérieur des colonies]. Paru ''in extenso'' au Journal Officiel 1928 n° 17 du 01/09/1928 à la page 338 dans la partie ACTES DES INSTITUTIONS DE LA POLYNESIE FRANCAISE * [https://books.google.fr/books?id=Julc0FIsYMEC&lpg=PA96&ots=g1xhOq6CSr&dq=Gratien%20Candace%20%2B%20%C3%89tablissements%20fran%C3%A7ais%20de%20l'Océanie&hl=fr&pg=PA96#v=onepage&q&f=false Etablissements français de l'Océanie au Conseil supérieur des colonies] in Robert D. Craig.- Historical Dictionary of Polynesia, Rowman & Littlefield, 440 pages, 2011. === Sur la propagande et la censure, 28 février 1940 === RADIODIFFUSION ET INFORMATION auront leurs services coordonnés sous l'autorité d'un ministre M. Daladier l'annonce à l'issue des interpellations sur la propagande et la censure à la Chambre LA CONFIANCE EST VOTÈE PAR 450 VOIX CONTRE 1 [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6619102/f1.item.zoom L'Ouest-Éclair : journal quotidien d'informations, 1940-02-28], Archives E. E. M., {{BNF|32830550k }}. La liberté d'expression des opinions politiques dans la presse sera entière Paris, 28 février 1940. La Chambre en termine cet après-midi avec les interpellations sur la censure. M. Camille Chautemps, vice-président du Conseil, entouré de MM. Delbos, Sarraut, Mandel, et escorté de MM. Brillouin. Martinaud-Desplats, Giraudoux, commissaires du Gouvernement, est au banc des ministres quand, à 15 heures, M. Herriot donne la parole au dernier interpellateur dans ce débat qui a déjà occupé trois séances [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6619102/f1.textePage.langEN M. Gratien Candace]. Le député de la Guadeloupe, après avoir rendu un hommage applaudi à M. [[w:Georges Mandel|Georges Mandel]]. ministre des Colonies, montre quel concours puissant la radiodiffusion coloniale apporte au développement des liens économiques et culturels entre la France et les diverses parties de l'Europe. L'orateur examine ce qui a été fait de façon excellente pour permettre à la métropole et aux colonies de « penser ensemble » et signale sur quels points ce qui existe peut être encore amélioré. (voir en deuxième page) * 21 juin 1940 : [https://www.youtube.com/watch?v=y5E8J1wbiq0 Le piège du Massilia] === Pour les mobilisés des îles === {{Citation bloc|M. Georges Mandel, ministre des Colonies, assisté de M. Gratien Candace<ref>][http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97358405/f3.item.r=%22Georges%20Mandel%22.texteImage.zoom M. Georges Mandel, ministre des Colonies, assisté de M. Gratien Candace]</ref>, vice-président de la Chambre des députés et président du Comité d'aide et d'assistance aux mobilisés des îles, vient d'inaugurer, à la galerie Schœffer, rue de Téhéran, une brillante exposition organisée au profit de cette oeuvre. <br />On y voit les plus récents ouvrages des peintres de Tahiti : Jacques Boullaire, Anne Hervé, Mauxice Jean-Bart. Paul Mascart y expose des paysages de Nouvelle-Calédonie, et Roland Mouillot, peintre, et Pierre Christophe, sculpteur, évoquent Madagascar, tandis que les enchantements de la Guyane et des Antilles sont représentés par<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97358405/f33.item.r=%22Georges%20Mandel%22.texteImage.zoom tandis que les enchantements de la Guyane et des Antilles sont représentés par]</ref> Suzanne Frémont, Louise Lamy, C.-A. Jourdan et le sculpteur A.-E. Leroy.<br />Tout le poétique attrait de l'exotisme pour la révélation des beautés naturelles de l'Empire français est au service d'une œuvre particulièrement utile et touchante : voilà sans doute de quoi attirer rue de Téhéran un nombreux et fervent public.|Mobilier - Décoration : la maison et son décor, avril 1940<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34499760f/date Mobilier - Décoration : la maison et son décor], Marcel Honoré (directeur), avril 1940</ref>}}. === Palais de la Porte Dorée === * Colonie dans [http://search.openedition.org/index.php?q=colonie&s=Les+Cahiers+de+l%27%C3%89cole+du+Louvre Les Cahiers de l'école du Louvre] {{Citation bloc|une polémique car le palais de la Porte Dorée fut le siège de l’ancien musée des Colonies inaugurés lors ... de l’immigration en France ne soit mêlé à celui de la colonisation, donc de manière stigmatisante pour le nouveau ... de la France dans les colonies, il doit devenir l’institution culturelle qui illustrera l’apport décisif ...|Andréa Delaplace.- [http://cel.revues.org/295 Un palais pour les immigrés ?] Le Musée de l’histoire de l’immigration à Paris : une collection et un musée en devenir, Les Cahiers de l'École du Louvre, janvier 2016, Texte intégral disponible en accès libre.}} === Bibliographie Gratien Candace === * 1910-1947 - {{bibliographie|Q28533982}} <!-- Gratien Candace, D. Mery, La Démocratie sociale --> * 2014 - {{bibliographie|Q28533281}} <!-- Séverine Laborie, Les monuments aux morts de la Guerre de 14-18 en Guadeloupe avant 1945 --> * 1981 - {{bibliographie|Q109782619}} <!-- Édouard Glissant, Le discours antillais --> == Cartes (marines) anciennes == * [http://www.galeriemyriane.com/cartes-marines-anciennes-des-antilles/ Cartes marines anciennes des Antilles] * {{Ouvrage | langue = It | prénom1 = Benedetto | nom1 = Bordone | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Benedetto Bordone | lien auteur2 = | titre = Libro di Benedetto Bordone. Nel qual si ragiona de tutte l’isole del mondo | sous-titre = con li lor nomi antichi et moderni, historie, fauole, et modi del loro viuere, et in qual parte del mare stanno, & in qual parallelo & clima giaciono | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Niccolò Zoppino | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1528 en musique classique|1528]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 178 | passage = Isolario di Benedetto Bordone nel qual si ragiona di tutte l’isole del mondo, con li lor nomi antichi et moderni, historie, fauole, et modi del loro viuere, et in qual parte del mare stanno, & in qual parallelo & clima giaciono. Con la gionta del Monte del Oro nouamente ritrouato. Con il breve del papa et gratia & priuilegio della illustrissima Signoria di Venetia come in quelli appare | dnb = | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/hin-wel-all-00001957-001 | consulté le = | présentation en ligne = https://books.google.fr/books?id=XIxOAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false | commentaire = | id = }} * {{Ouvrage | langue = en | prénom1 = John | nom1 = Hinton | prénom2 = en:John Hinton | nom2 = | lien auteur1 = | lien auteur2 = | titre = Universal magazine | sous-titre = The Universal magazine of knowledge and pleasure, 1747-1800. | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1747 en musique classique|1747]]-[[w:1800 en musique classique|1800]] | mois = | volume = Vol.1-107 | tome = | pages totales = | passage = [http://www.europeana.eu/resolve/record/9200143/BibliographicResource_2000069442836 Publisher=Europeana] ; [https://www.worldcat.org/title/universal-magazine-of-knowledge-and-pleasure-for/oclc/702592879?referer=di&ht=edition London, John Hinton, 1747-1803] | dnb = | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://oxford.worldcat.org/search?q=no%3A7676735 | commentaire = | id = }} == Citoyen == Voir [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] * 1707 - Samuel von Pufendorf (1632-1694), Jean Barbeyrac (traducteur).- Les devoirs de l'homme et du citoien, tels qu’ils lui sont prescrits par la loi naturelle, traduits du latin de feu Mr. le baron de Pufendorf, H. Schelte, Amsterdam, 1707.<br />{{bibliographie|Q22056538}}, {{BNF|311579168}} == Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost == * [[w:Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost|Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost]] == Chevalerie == [[Fichier:Grand maître de l'ordre de l'Etoile de Notre-Dame en Afrique.png|100px|vignette|gauche|Grand maître de l’[[w:Ordre de l'Étoile (France)|ordre de l’Etoile]] de Notre-Dame en Afrique, 1785/1786]] * Jacky Theurot, Nicole Brocard.- La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente : regards croisés entre comté de Bourgogne et autres principautés : actes du colloque des 18 et 19 novembre 2005, Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté, Université de Franche-Comté Besançon, Numéro 30 de Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté, Numéro 30 de Série historiques, Presses Univ. Franche-Comté, 2008, 394 pages, ISBN : 2848671955, 9782848671956 * Grand-Maître, de l’ordre, de l’Etoile de Notre-Dame en Afrique Gravé par BAR Jacques Charles, École française in Recueil de tous les costumes des ordres religieux et militaires, avec un abrégé historique et chronologique, enrichi de notes et de planches coloriées, par M. Bar. Tome quatrième, A Paris, chez l’auteur, rue du Roi-Doré, au Marais. M. DCC. LXXXV, [http://ag.louvre.fr/detail/oeuvres/0/612803-Grand-Maitre-de-lordre-de-lEtoile-de-Notre-Dame-en-Afrique Fiche - Musée du Louvre, Département des Arts graphiques, 2012]<br />REFERENCE DE L’INVENTAIRE MANUSCRIT : vol. 9, p. 55., L 314 LR, Folio 5, gravé au verso<br />INVENTAIRES : Collection Edmond de Rothschild, L 314 LR/4 Recto<br />LOCALISATION : Réserve Edmond de Rothschild {{Citation bloc|''La création'' des ordres et décorations rythment l’histoire d’Europe, de l’époque des croisades jusqu’à la période contemporaine.|[http://www.legiondhonneur.fr/fr/page/la-france/244 legiondhonneur.fr].}} ;Chronologie * 1348 : Création de l’ordre de la Jarretière par Édouard III * 1351 : Création de l’ordre de l’Étoile par Jean II le Bon * 1896 : L’[[w:Ordre royal du Cambodge|ordre royal du Cambodge]], l’[[w:Ordre de l'Étoile d’Anjouan|ordre de l’Étoile d’Anjouan]], l’[[w:Ordre du Nichan el Anouar|ordre du Nichan El Anouar]], l’[[w:Ordre du Dragon d’Annam|ordre du Dragon d’Annam]]et l’[[w:Ordre de l'Étoile noire|ordre de l’Étoile noire]] deviennent des ordres coloniaux français ;[[w:Geoffroi de Charny|Geoffroi de Charny]], théoricien de l’idéal chevaleresque == Code Noir == 1760 - {{bibliographie|Q87921376}} <!-- --> == Codes & lois militaires de Louis XV à la Révolution == === Applicables à la métropole & aux colonies === * Code militaire du 30 septembre 1791 = 19 octobre suivant ==== Volume 1 ==== * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6151232s/f6.item.r=colonie Colonies] * p.151 - régi^ mens de chasseurs, et les douze bataillons d'ii§ lanterie légère destinés à former les six légions j' les hommes licenciés des colonies , et tous autres militaires arbitrairen>ent destitués, qui se--, «eut munis de cartouches, ou à défaut de cartouches, de certificats, de leurs municipalités qui attesteront leur civisme et leurs services y seront admis dans lesditês légions * p.153 - es sous-officiers et iSoldats.deS'trQUj» pes des colonies:, qui * p.254 - Décret qui licencie les divers régimens ci-de~ < vant employé* à la garde des colonies, et qui fixe le mode de leur remplacement * p.255 - 2.55 ' employés jusqu'ici à la garde des colonies , et réunis parle décret du ii juillet 1791, audépartement de la guerre , sont licenciés(...)VL Indépendamment des bataillons qui se±- ront fournis pour, la défense des colonies, il continuera d'y être entreteiau deux bataillons de Cipayès dont l'avancement roulera sur eux mêmes. \\ . . * VIL Le corps d'artillerie des colonies conservera sa formation actuelle, 1 et continuera à y être employé jusques aux dispositions ultérieures qui feront prises à * p.256 - dernier, relative au iiCenciemeût des trpupes employées à la garde des colonies /demeurera , provisoirement suspendue. , - '\".,'7\"\" Décret relatif aux ci - devant' Grenadiers'* .royaux , Régimens provinciaux et \\Bataillons de garnisons , supprimés par Jaloi * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.258 - Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.462 - B'ces des colonies, en comptant chaque année de guerre pour deux, ou qui auroient pris-leur ' retraite-avant le temps prescrit, ,sans avoir ob^ tenu la décoration militaire , pourront en former la demande et sont déclarés susceptibles de l'obtenir , sans néanmoins rien préjuger sur l'existence des milices coloniales * p.493 - Les dispositions précédentes, et- toutes autres du présent décret, ne concernent point les-colonies françaises hors d'Europe, l'assemblée nationale se réservant de prononcer * 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.585 - 5S5 sion de six cents livres qui lui a été accordée par l'assemblée coloniale de Saint-Domingue , pour récompense des services-militaires qu'il a faits dans cette colonie , et sur la proposition d'un membre , décrète que les pensions accordées par les assemblées coloniales aux soldats de la république , blessés dans les combats , seront fixées sur le même pied que les pensions accordées en l'rance , et que lesdites assemblées seront tenues de justifier des titres desdites pensions * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante * p.240 - et Miquelon,le bataillon auxiliaire, ainsi que l'artillerie des Colonies .et les six compagnies-deCipayes de Pondicliéry ,' et toutes autres troupes soldées employées à la défense des colonies et possessions nationales hors du royaume, serbht à l'avenir sous la direction du départehtênï tlë la guerre * p.241 - L'Assemblée nationale , ouï le rapport de ses comités, militaire , des Colonies et de marine , décrète ce qui suit': ART * p.299 - Les officiers généraux employés dans les colonies , ne font pas nombre parmi ceux décrétés pour le service de l'armée dans le royaume(...)Les appointemens attribués à ces officiers généraux, continueront à leur être payés sur les fonds des colonies comme ci devant * p.258 - Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.298 - Bière clé fixer l'état des officiers/généraux, qui sont employés clans les colonies et possessionsFrançaises cle l'Asie , de l'Afrique et de l'Amérique, décrète * p.260 - Les officiers) desdits corps rie pourrontêtre admis qu'autant qu'ils représenteront des certificats de civisme et de résidence , soit en France , soit dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.XXI - M iui\"ct\"\"': troupes des colonies qui,sont actuel \\ ■ leûient :en * p.261 - 2S1 Décret relatif aux sous - officiers et soldats des troupes des colonies orientales(...)La convention .nationale , après avoir entendu le rapport de son comité des finances, sur la proposition du ministre de la marine / tendant à obtenir un supplément de fonds pour payer les indemnités dues aux sous-officiers et soldats des troupes des colonies orientales , qui ont fait la guerre dans l'Inde , à compter du jjremier janvier 1778 au dernier décembre 1790 , décrète * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante * p.299 - Les officiers généraux employés dans les colonies , ne font pas nombre parmi ceux décrétés pour le service de l'armée dans le royaume(...)Les appointemens attribués à ces officiers généraux, continueront à leur être payés sur les fonds des colonies comme ci devant * p.258- Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.298 - Bière clé fixer l'état des officiers/généraux, qui sont employés clans les colonies et possessionsFrançaises cle l'Asie , de l'Afrique et de l'Amérique, décrète * p.260 - Les officiers) desdits corps rie pourrontêtre admis qu'autant qu'ils représenteront des certificats de civisme et de résidence , soit en France , soit dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.XXI - M iui\"ct\"\"': troupes des colonies qui,sont actuel \\ ■ leûient :en * p.261 - 2S1 Décret relatif aux sous - officiers et soldats des troupes des colonies orientales(...)La convention .nationale , après avoir entendu le rapport de son comité des finances, sur la proposition du ministre de la marine / tendant à obtenir un supplément de fonds pour payer les indemnités dues aux sous-officiers et soldats des troupes des colonies orientales , qui ont fait la guerre dans l'Inde , à compter du jjremier janvier 1778 au dernier décembre 1790 , décrète * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante ==== Volume 2 ==== {{Citation bloc|Art. XXVIII - Le roi sera prié de donner tous règlemens nécessaires pour l'exécution du présent décret, qui aura force de loi dans nos cblonies comme en Europe|Code militaire, ou Recueil méthodique des décrets relatifs aux troupes de ligne et à la gendarmerie nationale rendus par les Assemblées constituante et législative et par la Convention nationale, depuis 1789, jusques et compris le 15 juin 1793, Tome 2, page 315<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6121769q/f372.item.r=colonies Colonies, p.315.</ref>].}} ==== Volume 4 ==== * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f9.item.r=légion Légion] p.384 0 du même mois, légions , détachemens, compagnies franches, et généralement de tous les corps de troupes à la « solde de la république, de quelque arme et sous quelque dénomination que ce soit, seront tenus,,, sous peine d'être destitués et mis en état d'arrestation :cmme suspects, d'adresser dans trois jours de la publication du présent décret, tant au comité militaire de la convention nationale qu'au ministre de la guerre, l'état actuel et effectif de chaque corps, tant en hommes qu'en chevaux p.521 Ler Les troupes à cheval des légions non enrégimentées et qui n'ont pas pris rang dans les p.522 L'incorporation de la cavalerie des légions se fera par escadron ou par compagnie avec les officiers et sous-officiers , lorsqu'il manquera des escadrons ou compagnies dans les cadres quidoivent -être portés au complet(...)Dans le cas où la cavalerie des légions et p.524 Toutes nominations et élections faites postérieurement au 16 de ce mois dans les légions, escadrons ou compagnies destinés à être incorporés, sont déclarées nulles p.557 régiment de chasseurs , tiré de la légion germanique , formera le 11e(...)Infanterie légère : l'infanterie de la légion du Nord sera organisée en bataillons, 66 p.558 Légion Germanique : le 24e régiment de chasseurs tiré de cette légion qui a été liciencié, formera le 11. * de hussards. 120 p.559 L M 559 Légion du Nord : sa cavalerie sera formée en régiment de chasseurs, et son infanterie en bataillon d'infanterie légère, 66 et 67 p.XII i J0 Décret portant que la cavalerie de la légion du p.120 LA Convention nationale, après avoir entends le rapport de son comité de la guerre, sur la demande du ministre de confirmer la nouvelle formation du 2.4.e régiment de chasseurs à cheval, tiré de la légion germanique, qui avoit été licenciée, et d'autoriser ce corps à former le Il p.67 son comité de salut public , décrète que la cavalerie de la légion du Nord sera formée en un régiment de chasseurs à cheval, et l'infanterie en bataillon d'infanterie légère, conformément à la loi du 24 février sur l'organisation de l'armée p.66 DÉCRET portant que la Cavalerie de la Légion dzL Nord sera formée en régiment de Chasseurs, et l'infanterie en bataillon d'Infanterie légère p.542 celle de la légion du Nord, sera organisée en régiment de chasseurs, 66 p.365 Ces dispositions sont communes aux officiers de la légion Batave nouvellement supprimée p.364 Les soldats Bataves qui faisoient partie de la légion supprimée par la loi du 16 présent \" * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f312.item.r=Colonies Colonies] p.256 ou du moins établi, et avoir la qualité de citoyen actif dans la colonie p.544 Clochzs : le ministre de l'intérieur en fera parvenir dans les fonderies la quantité nécessaire pour faire des canons ,130, Colonies : Organisation et solds du corps des volontaires * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f312.item.r=Bourbon ci-devant (Ile de) de Bourbon] p.XIII I 7' Décret relatif à l'organisation et à la Isolde des 1 i corps des volontaires ci-devant Bourbon p.254 er Le corps des volontaires ci - devant de Bourbon sera remis en activité, et destiné à fciire partie de la gainison dé l'île de la Réumon, -ci-devant Bourbon. , II p.540 Bourbon ( Ile de ): organi-sa- tion du corps des volontaires, 254 et 255 p.544 Clochzs : le ministre de l'intérieur en fera parvenir dans les fonderies la quantité nécessaire pour faire des canons ,130, Colonies : Organisation et solds du corps des volontaires Bourbon, 254 et suiv. Comités == Colonies, Empires coloniaux == [[Fichier:Délégués de la Société des Nations Indiennes, 1700.png|100px|vignette|gauche|Délégués de la Société des Nations Indiennes, 1700, in [[w:Codex canadensis|Codex canadensis]].]] [[Fichier:La Roncière, Quatre siècles de colonisation française.png|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:La Roncière, Quatre siècles de colonisation française Titre.png|100px|vignette|gauche]] === Colonie/Décolonisation === Richard, Jean-Baptiste (18..?-18.. ; de Radonvilliers).- [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Richard%2C+Jean-Baptiste&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Enrichissement de la langue française, dictionnaire de mots nouveaux] : système d'éducation, pensées politiques, philosophiques, morales et sociales / par J.-B. Richard (de Radonvilliers), Paris : Pilout ; Troyes : Laloy, 1842, 1 vol. (II-416 p.) ; in-8 <br> Décolonisation : [https://books.google.fr/books?id=ZMNUAAAAcAAJ&dq=inauthor%3A%22Richard%20de%20Radonvilliers%22%20%2B%20Dictionnaire%20des%20mots%20nouveaux&hl=fr&pg=RA1-PA28#v=onepage&q=d%C3%A9colonisation&f=false inauthor:"Richard de Radonvilliers".- Dictionnaire des mots nouveaux, Leauty, 1845, page 28] === L'emprise européenne jusqu'aux années 1830 === * [[s:Catégorie:Colonisation|Catégorie:Colonisation]] sur Wikisource * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Adam | nom1 = Smith (1723-1790) | prénom2 = Germain | nom2 = Garnier, traducteur | prénom3 = Blanqui | nom3 = Adolphe, traducteur | prénom4 = Jean-Baptiste | nom4 = Say (1767-1832), Annotateur | lien auteur1 = w:Adam Smith | lien auteur2 = w:Germain Garnier | lien auteur3 = w:Adolphe Blanqui | lien auteur4 = w:Jean-Baptiste Say | titre = Des colonies | sous-titre = in Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations, livre IV, chap. 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Larose, Paris, 1880, [https://archive.org/details/traitdelannexio00selogoog Internet Archive]. * 1887 - G. Valbert.- [[s:Le Jugement d'un nègre sur la race nègre - Edward Wilmot Blyden|Le Jugement d'un nègre sur la race nègre]] - [[d:Q384338|Edward Wilmot Blyden]]], Revue des Deux Mondes, 3e période, tome 84, 1887 (pp. 201-213). ==== Guyane ==== * 14 juin 1839 : [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/ni258bwwy3y.num=20.form=complexe.start=2241 Ordonnance du roi nommant gouverneur de la Guyane française Jean Baptiste Marie Augustin Gourbeyre, capitaine de vaisseau 14 juin 1839]. ==== Madagascar ==== * 1829 - [[w:Expédition Gourbeyre|Expédition Gourbeyre]] Sur Wikipédia * 26 juillet 1839 - [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/ni258lggkem.num=20.form=complexe.start=2241 Rapport au roi rendant compte des négociations avec Ranavalo, reine des Hovas à Madagascar], "à l'effet d'échanger les établissements français de la côte orientale de Madagascar contre un territoire situé au nord de l'île et où se trouve la vaste baie de Diego-Suarez", de l'envoi de la corvette la Dordogne en mission d'observation et d'exploration géographique par le gouverneur de l'île Bourbon, des contacts avec de Lastelle, "français, qui a fondé sous la protection de la reine des Ovas un établissement important à Madagascar" et "l'homme le plus propre à faire réussir le projet du gouvernement" 26 juillet 1839 * 1997 - {{bibliographie|Q60322805}} <!-- Jean-Pierre Razafy-Adriamihaingo, La geste éphémère de Ranavalona Ière --> === Des années 1930 à l'effondrement des empires === * 1931 - {{bibliographie|Q26333810}} * 2005 - {{bibliographie|Q69812421}} <!-- Olivier Le Cour Grandmaison, Coloniser. Exterminer : Sur la guerre et l'État colonial, --> == Confer (Cf.) == * [[w:Confer|Confer]] (méthodologie, mise en forme) == Constructivisme == * [[w:Constructivisme|Constructivisme]], page d’homonymie * [[w:Constructivisme (épistémologie)|Constructivisme (épistémologie)]<br />Le constructivisme, en épistémologie, est une approche de la connaissance reposant sur l’idée que notre image de la réalité, ou les notions structurant cette image, sont le produit de l’esprit humain en interaction avec cette réalité, et non le reflet exact de la réalité elle-même.<br />[[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] (1884–1962) insiste sur la question, ou le problème, qui précède toute construction théorique : "L’esprit scientifique nous interdit d’avoir une opinion sur des questions que nous ne comprenons pas, sur des questions que nous ne savons pas formuler clairement. Avant tout il faut savoir poser des problèmes. Et quoi qu'on dise, dans la vie scientifique, les problèmes ne se posent pas d’eux-mêmes. C’est précisément ce sens du problème qui donne la marque du véritable esprit scientifique. Pour un esprit scientifique toute connaissance est une réponse a une question. S’il n’y a pas eu de questions il ne peut pas avoir connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit."<ref>[[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]].- La Formation de l’esprit scientifique. ''Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective'', 1934, [http://classiques.uqac.ca/classiques/bachelard_gaston/formation_esprit_scientifique/formation_esprit.pdf http://classiques.uqac.ca], J. Vrin, 1993, ©1938, Paris ; {{BNF|347992926}} ; Édition numérisée {{BNF|37236211z}} ; [https://www.worldcat.org/title/formation-de-lesprit-scientifique-contribution-a-une-psychanalyse-de-la-connaissance/oclc/463734867/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=br&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= WorldCat].</ref> * [http://www.wikiberal.org/wiki/Constructivisme Constructivisme]] sur Wikiberal == Compagnies, première mondialisation, finitude des mondes == ;Chronologie * 1600 - La [[w:Compagnie anglaise des Indes orientales|Compagnie anglaise des Indes orientales]] est créée le 31 décembre 1600 par une charte royale de la reine Élisabeth Ire d’Angleterre lui conférant pour 20 ans le monopole du commerce dans l’océan Indien. Elle devient [[w:Compagnie britannique des Indes orientales|Compagnie britannique des Indes orientales]] * 1602 - La [[w:Compagnie néerlandaise des Indes orientales|Compagnie néerlandaise des Indes orientales]], connue en néerlandais sous le nom de ''Vereenigde Oostindische Compagnie'', dans sa graphie moderne ''Vereenigde Oost-Indische Compagnie'', ou VOC, littéralement "Compagnie unie des Indes Orientales" est une compagnie de commerce créée par les Provinces-Unies en 1602. * 1616 - [[w:Compagnie danoise des Indes orientales|Compagnie danoise des Indes orientales]] a été fondée le 17 mai 1616, par le roi Christian IV. Cette compagnie se concentrait sur le commerce avec l’Inde et était basée à Tranquebar, dans le fort Dansborg, où le gouverneur des Indes danoises avait son siège. * 1664 - [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie française des Indes orientales]] plus précisément Compagnie française pour le commerce des Indes orientales – est une entreprise coloniale française créée par Colbert en 1664 * 1731 - La [[w:Compagnie suédoise des Indes orientales|Compagnie suédoise des Indes orientales]], ''Svenska Ostindiska Companiet'' en suédois, est une entreprise commerciale fondée en 1731 dans le but de commercer avec les territoires situés à l’est du cap de Bonne-Espérance depuis le port de Göteborg en Suède. === 1664 - Compagnie française des Indes orientales === {{Autres projets | s= Compagnie française des Indes orientales }} * La [https://archive.org/search.php?query=Compagnie%20fran%C3%A7aise%20des%20Indes%20orientales Compagnie française des Indes orientales] sur Internet Archive. * La [https://www.worldcat.org/search?q=Compagnie+franc%CC%A7aise+des+Indes+orientales&fq=&se=yr&sd=asc&dblist=638&start=1&qt=page_number_link Compagnie française des Indes orientales] sur WorldCat.org. {{Autres projets | w= Compagnie des Indes Orientales | s= Compagnie des Indes Orientales | commons = Compagnie des Indes Orientales | wikiquote titre = Compagnie des Indes Orientales | wikt = Compagnie des Indes Orientales | wikidata titre = Compagnie des Indes Orientales }} {{Citation bloc|RAMEL - Citoyens représentants les comités des finances de salut public et de sûreté générale viennent vous proposer le mode de liquidation de ce qui est dû à la république par la ci devant Compagnie des indes On sait que cette association fut substituée à l ancienne par un prrêt du conseil du avril 1785 Ses fonds furent faits par des actionnaires le gouverne ànentäui accorda gratuitement pour tout Iedtemps e la urée de son prit lié e Iajouissance ans le port de Lorient et dans Fes divers établissements au dela du cap de Bonne Espérance des bâtiments ateliers magasins loges et comptoirs préalablement|Réimpression de l'ancien Moniteur, seule histoire authentique et ..., page 668<ref>[https://books.google.fr/books?id=ZddTAAAAcAAJ Réimpression de l'ancien Moniteur, seule histoire authentique et …], Recherche "''magasin à poudres + Grenelle + champ de Mars + 1794''"</ref>.}} == Compagnie générale transatlantique == Cf. Gratien Candace == Coton - Cotton == [[Fichier:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|100px|vignette|gauche|[[c:File:Cotton gin harpers.jpg|Première utilisation de la machine à égréner le coton]], USA, fin {{S|XVIII}}.]] [[w:Cotton gin|Cotton gin (fr.Machine à égrener le coton)]] [[w:en:Cotton gin|Cotton gin (en.Machine à égrener le coton)]] * 14-15 février 2017 : [https://www.facebook.com/sully.tacite/posts/1083579895087244?comment_id=1083730898405477&notif_t=like&notif_id=1487157445111916 débat sur Facebook] à propos de "''[[c:File:Cotton gin harpers.jpg|William L. Sheppard]] - [[c:File:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869]]''" <br /> <br /> <br /> <br /> == Le Créole patriote == Cf. Chevalier de Saint-George == Congrès de Vienne == === Rigomer Bazin.- Le lynx : coup-d'oeil et réflexions libres === Recherche Quant : [https://www.qwant.com/?q=Le+lynx+%3A+coup-d%27oeil+et+réflexions+libres+sur+les+écrits%2C+les+opinions+et+les+affaires+du+tems+%2B+Rigomer+Bazin&client=opensearch Le lynx : coup-d'oeil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems + Rigomer Bazin] WorldCat : [http://www.worldcat.org/title/lynx-coup-doeil-et-reflexions-libres-sur-les-ecrits-les-opinions-et-les-affaires-du-tems/oclc/78719279s%20du%20tems Le lynx; coup-d'oeil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems]. Author : Rigomer Bazin Publisher :[Au Mans], [Imp. de Renaudin] 1817. Google Books : [https://books.google.com/books?id=cTFBAAAAYAAJ Le lynx: coup-d'oeil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems], ([https://books.google.fr/books?id=cTFBAAAAYAAJ&dq=Périnon%20%2B%20coups%20%2B%20insultes&hl=fr&pg=PA284#v=onepage&q=Périnon%20+%20coups%20+%20insultes&f=false Périnon + coups + insultes : p. 284]) Rigomer Bazin chez les marchands de nouveautés, 1817 - 48 pages === Les Anglais faisans part aux Africains du Traité sur l'abolition de la traite des noirs du 20 octobre 1815 === Mots-clés : traite - Commerce - Code du commerce - Droit des gens Sur Wikipédia : [[w:Traite|traite]] - [[w:Commerce|Commerce]] - [[w:Code de commerce|Code du commerce]] - [[w:Droit des gens|Droit des gens]] Gallica : Ma recherche initiale/Recherche simple : [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&query=%28gallica%20all%20%22Les%20Anglais%20faisans%20part%20aux%20Africains%20du%20Traité%20de%20paix%20des%20puissances%20alliées%20du%2020%20octobre%201815%20sur%20l%27abolition%20de%20la%20traite%20des%20noirs%22%29&suggest=0 Les Anglais faisans part aux Africains du Traité de paix des puissances alliées du 20 octobre 1815 sur l'abolition de la traite des noirs] === Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international (Congrès de Vienne) === Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Crime contre l'humanité|Crime contre l'humanité]] == Crime contre l'humanité == [[w:Crime contre l'humanité|Crime contre l'humanité]] === Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international (Congrès de Vienne) === [[File:Treaty of Versailles Signing, Hall of Mirrors.jpg|100px|gauche|vignette|Signature du traité de Versailles]] * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Congrès de Vienne|Congrès de Vienne]] * [http://10mai94120.blogspot.fr/2016/05/emergence-du-crime-contre-lhumanite.html Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international], Du Congrès de Vienne en 1815 aux Procès de Nuremberg en 1848, 10 mai Fontenay-sous-Bois, jeudi 5 mai 2016 == Culture == [[w:Culture|Culture]] === Civilisation & mondes coloniaux avant 1492 === === Cultures coloniales modernes et contemporaines === == D == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter D.jpg|100px|vignette|centré]] == Déclarations des droits de l'homme et du citoyen, France == Plusieurs Déclarations des droits de l'homme et du citoyen ont été rédigées sous la [[w:Révolution française|Révolution française de 1789]], === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789 === [[Fichier:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789. Page 1 - Archives Nationales - AE-II-1129.jpg|vignette|100px|left|Manuscrit, {{Date|30|9|1789}}]] * 1789 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] {{Date|26|août|1789}}, toujours en vigueur === Etta Palm d'Aelders.- Discours en faveur des femmes, lu à l'Assemblée Fédérative des Amis de la Vérité, le 30 décembre 1790 === [[Fichier:Palm d'Aelders - Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, 30-12-1790.png|100px|vignette|gauche|Palm d'Aelders - Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, 30-12-1790]] {{Citation bloc|...l’autre dame, une Hollandaise, de bon cœur et de noble esprit, c’est Mme Palm Aelder, l’orateur des femmes qui prêche leur émancipation.| [[s:Les Femmes de la Révolution/07|Jules Michelet.- VII, Le Palais-Royal en 1790. — Émancipation des femmes, la cave des Jacobins]]}} === Déclaration des droits de la femme et de la citoyenne, septembre 1791, Olympe de Gouges === * 1791 - [[w:Déclaration des droits de la femme et de la citoyenne]], rédigé en septembre 1791 par [[w:Olympe de Gouges|Olympe de Gouges]] ==== Bibliographie ==== * [[d:Q62702257|1791]] - {{bibliographie|Q62702257}} <!-- Etta Palm d'Aelders.- Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, lu à l'Assemblée Fédérative des Amis de la Vérité, le 30 décembre 1790 --> ** [[d:Q62694045|1791]] - {{bibliographie|Q62694045}} <!-- Etta Palm d'Aelders.- Discours de Mme Palme d'Aelders, Hollandaise, lu à la Confédération des amis de la vérité de Caen, par un de MM. les secrétaires --> === Déclaration du 25 septembre 1792 === {{Citation bloc|La Convention nationale déclare que la République française est une et indivisible.|"[[d:Q598887|Acte constitutionnel du peuple français]]", précédé du rapport de la Convention et de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen et, suivi du procès-verbal de l'inauguration de cette Constitution du 10 août 1793<ref>{{Bibliographie|Q598887}}</ref>}} === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793 === * 1793 - [[w:Projet de constitution girondine#La déclaration des droits|Déclaration des droits naturels, civils et politiques des hommes du plan de constitution présenté les]] [[w:15 février|15]] et {{Date|16|février|1793}} à la [[w:Convention girondine|Convention girondine]] ; * 1793 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] {{Date|24|juin|1793}}, du [[w:Constitution du 6 messidor an I|6 messidor de l'an I du calendrier républicain]]<ref>{{Bibliographie|Q598887}}</ref>. === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1795 === * 1795 - [[w:Déclaration des droits et des devoirs de l'homme et du citoyen de 1795|Déclaration des droits et des devoirs de l'homme et du citoyen du]] {{Date républicaine|5|fructidor|an III}}'' ({{Date|22|août|1795}}) ; == Nicolas Decrusy (avocat) == Nicolas Decrusy, maître des requêtes au conseil d'État, puis avocat, directeur de la comptabilité... == Démocratie == === Vote / Votations === * Moïse COURILLEAU et Morgan ZAHND.- J’ai pas voté Documentaire, autopsie la démocratie française afin d’ouvrir une nouvelle ère propice à l’évolution de l’organisation politique, Démocratie & vote dans les cités grecques et romaines, chez [[w:Jean-Jacques Rousseau|Jean-Jacques Rousseau]] & [[w:Emmanuel-Joseph Sieyès|Emmanuel-Joseph Sieyès], Propostions pour le tirage au sort, [https://www.youtube.com/watch?v=uzcN-0Bq1cw Youtube, ajoutée le 4 septembre 2014]. == René Descartes == * L'homme, et la formation du fœtus by Descartes, René, 1596-1650; Schuyl, Florentius, 1619-1684; La Forge, Louis de, 1632-1665 or 6; Clerselier, Claude, 1614-1684; Hoym, Karl Heinrich, Graf von, 1694-1736., (association); Descartes, René, 1596-1650. Monde, [https://archive.org/details/lhommeetlaformat00desc Internet Archive] ** 1680 - Les traitez de l'homme et de la formation du fœtus, composez par Mr. Descartes, & mis au jour depuis sa mort, par Mr. Clerselier. Avec les remarques de Louys de La Forge, docteur en médecine, sur le Traité de l'homme du même auteur, & sur les figures par lui inventées, [https://archive.org/details/bub_gb_Tiv_Wt6uae0C Internet Archive. * 1765 - Antoine Leonard Thomas.- Eloge de René Descartes: discours qui a remporté le prix de l’Académie françoise en 1765, [https://archive.org/details/elogederendesca00gailgoog Internet Archive] * 2008 - [http://www.solidariteetprogres.org/christine-bierre.html Christine Bierre].- Descartes, la prison analytique de la pensée française, [http://www.solidariteetprogres.org/documents-de-fond-7/science/article/descartes-la-prison-analytique-de-la-pensee.html Nouvelle Solidarité, journal de Solidarité & Progrès], 13 janvier 2008. == François Georges Foucques Desfontaines-Lavallée == François Georges Foucques , librettiste de Saint George qui lui dédicacera , sous ce nom , six quatuors et un concerto de violon , Œuvre V. In [https://www.google.fr/books/edition/Joseph_sieur_de_Saint_George/3j4jAQAAIAAJ Pierre Bardin.- Joseph, sieur de Saint-George: le chevalier noir, 2006, Page 122], ([[d:Q100571988|Q100571988]]). [https://www.google.fr/books/edition/La_fille_soldat_fait_historique_en_un_ac/M7uIko1W4eoC?hl=fr&gbpv=1&dq=Fouques+Desfontaines+%2B+Saint-Georges&pg=PA6&printsec=frontcover Fouques Desfontaines & Saint-Georges.- La fille soldat fait historique en un acte (avec un air de Gossec]. Représentée pour la première fois sur le Théâtre du Vaudeville le 23 Frimaire l'an 3 de la République Française. == 1747-1814 - Desmaillot Antoine François Eve == {{Citation bloc|(...) il m'en arrivera ce qu'il pourra ; c'est ce dont je me soucie le moins.|Eve dit Demaillot (Antoine-François<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5797780s/f9.item.zoom.texteImage Eve dit Demaillot (Antoine-François]</ref>}} {{Citation bloc|{{sc|Ève}} avait pris le nom de {{sc|Desmail1ot}}, lorsqu’il se fit comédien. Pendant la révolution il ne signa plus que {{sc|Mail1ot}}, par haine pour tout ce qui pouvait rappeler les corps privilégiés''|Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|p. 516, note 1.]]</ref>}} * Membre du [[w:Club des Jacobins|Club des Jacobins] puis commissaires de la Convention === Bibliographie "Desmaillot Antoine François Eve" === * [[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/520|Desmaillot Antoine François Eve]] ; [https://books.google.fr/books?id=y_U8AQAAIAAJ&lpg=PA392&ots=xlTMgpZTDd&dq=Desmaillot%20Antoine%20Francois%20Eve&hl=fr&pg=PA392#v=onepage&q=Desmaillot%20Antoine%20Francois%20Eve&f=false Google] * [[w:Antoine-François Ève|Desmaillot Antoine François Eve]] * [[d:Q2853470|Antoine-François Ève]] {{Citation bloc|Desmaillot, peu de semaines avant sa mort, a publié : Tableau historique des prisons d’État en France, sous le règne de Bonaparte, Paris, 1811, in-8°<ref>Tableau historique des prisons d'État en France sous le règne de Buonaparte, par M. Ève, dit Démaillot</ref>. C’est un pamphlet dont le but est de prouver que le nombre des détenus pour cause politique était beaucoup plus grand qu’on ne le croyait, et qu’ils étaient traités avec la plus grande rigueur.|W-S.- Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|516]].</ref>.}} {{Citation bloc|on a de lui : Célesline, opéra-comique en 3 actes, joué au Théâtre-Italien en 1787[2]. — La Fille garçon, 1787. Le Congrès des rois, 1794. — Figaro, directeur de marionnettes[3]. — Madame Angot, ou la Poissarde parvenue, comédie en 2 actes, 1797. — Le Mariage de Nanon, ou la Suite de Madame Angot, comédie en 1 acte, 1797. — La Chaumière, comédie en 1 acte, 1797. — La petite Maison de Proserpine. — Le Repentir de madame Angot, ou le mariage de Nicolas, comédie en 2 actes, 1800. Desmaillot, peu de semaines avant sa mort, a publié : Tableau historique des prisons d’État en France, sous le règne de Bonaparte, Paris, 1811, in-8°. C’est un pamphlet dont le but est de prouver que le nombre des détenus pour cause politique était beaucoup plus grand qu’on ne le croyait, et qu’ils étaient traités avec la plus grande rigueur. On trouve une courte notice sur Desmaillot dans le Petit Album franc-comtois. M. Nodier en parle dans ses Souenirs de la révolution.|W-S.- Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|516]].</ref>.}} * 1814 - {{Bibliographie|Q27339467}} ;Page ''iij'' * les gens de bien qui n'aspiraient qu'à l'ordre constitutionnel promis par le Roi * le déshonneur de la voir aujourd'hui privée de conquêtes justement acquises par ses victoires, et auxquelles Buonaparte n'eut pas la moindre part. == Désobéissance civile == <nowiki>[[Henry David Thoreau]]</nowiki> == Dette publique (histoire) == * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jean | nom1 = Andreau, directeur scientifique | prénom2 = Gérard | nom2 = Béaur, directeur scientifique | prénom3 = Jean-Yves | nom3 = Grenier, directeur scientifique | lien auteur1 = w:Jean Andreau | lien auteur2 = w:Gérard Béaur | lien auteur3 = w:Jean-Yves Grenier | titre = La dette publique dans l'histoire | sous-titre = Actes des journées du Centre de recherches historiques des 26, 27 et 28 novembre 2001 | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Comité pour l'histoire économique et financière de la France, Imprimerie Actis, Open Édition | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:2006 en littérature|2006]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 507 | passage = La dette publique dans l'histoire, Journées du Centre de recherches historiques des 26, 27 et 28 novembre 2001, tenues au Ministère de l'économie, des finances et de l’industrie à Paris, Organisées par : Centre de recherches historiques EHESS-CNRS, Comité pour l'histoire économique et financière de la France : ISBN électronique : 9782821828339, © Institut de la gestion publique et du développement économique, 2006. [http://www.openedition.org/6540 Conditions d’utilisation]. Bibliohraphie complémentaire : [https://www.worldcat.org/title/dette-publique-dans-lhistoire-les-journees-du-centre-de-recherches-historiques-des-26-27-et-28-novembre-2001/oclc/70120610/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= WorldCat.org] ; [http://www.lemonde.fr/idees/article/2011/08/13/le-long-passe-de-la-dette-publique_1559248_3232.html#yhtR4cxJVTaWjeF2.99 Le long passé de la dette publique] ; [ Analyses [http://www.laviedesidees.fr/Comment-se-debarrasser-de-la-dette-publique.html Comment se débarrasser de la dette publique ?] | dnb = 40173765b | isbn = 2-11-094800-0 | oclc = 470411316 | doi = | url = https://www.worldcat.org/title/dette-publique-dans-lhistoire-actes-des-journees-du-centre-de-recherches-historiques-des-26-27-et-28-novembre-2001-tenues-au-ministere-de-leconomie-des-finances-et-de-lindustrie-a-paris/oclc/470411316?ht=edition&referer=di WorldCat.org | lire en ligne = http://books.openedition.org/igpde/1180 | consulté le = 12 octobre 2015 | présentation en ligne = http://books.openedition.org/igpde/1807 | commentaire = Recherche WorldCat.org par Mot-clé [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=La+dette+publique+dans+l%27histoire La dette publique dans l'histoire] | id = }} == Despotisme == * [[w:Despotisme|Despotisme]] * === Bibliographie (Despotisme) === * 1751 - [[w:Louis de Jaucourt|Louis de Jaucourt]].- [[s:L’Encyclopédie/1re édition/DESPOTISME|Despotisme]] dans ''[[d:Q447|L’Encyclopédie, 1re édition]]''. Cf. Table analytique Encyclopédie Diderot d'Alembert, [https://books.google.fr/books?id=Ii5oAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA494#v=onepage&q&f=false Tome Premier A - H, 1780, page 494] Original provenant de la Bibliothèque nationale d'Autriche * 1761-1762 - {{bibliographie|Q28086670}}. Cf. Nicolas Antoine Boulanger, ''Recherches sur l'origine du despotisme oriental et des superstitions'', 1761. Réédition : Paris, Hachette, 1972. [[w:Nicolas Antoine Boulanger|Nicolas Antoine Boulanger]], (11 novembre 1722 - 16 septembre 1759), faisait partie de [[w:en:D'Holbach's Coterie|coterie de D'Holbach's]]. * 1775 - {{bibliographie|Q28086513}} * 2016 - {{bibliographie|Q28087831}} == Deterritorialization or respatialization == * 2020 - {{bibliographie|Q75178977}}, Publié dans {{bibliographie|Q75180382}} <!-- Megan Maruschke et Matthias Middell, The French Revolution as a Moment of Respatialization --> ** Matthias Middell, Megan Maruschke.- [https://books.google.fr/books?id=Gtu7DwAAQBAJ The French Revolution as a Moment] of [https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=Gtu7DwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PT6&ots=JRABdkypAA&sig=R2irXbE4PSVvUci3yV3zojpQV70#v=onepage&q&f=false Respatialization], Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 23 sept. 2019, 262 pages<br>''The French Revolution has primarily been understood as a national event that also had a lasting impact in Europe and in the Atlantic world. Recently, historiography has increasingly emphasized how France's overseas colonies also influenced the contours of the French …'', #Barbara MacKinnon, ‎Andrew Fiala.- Ethics: Theory and Contemporary Issues, 2016<br>''The journalist Thomas Friedman described globalization as a process that has made ... [https://books.google.fr/books?id=Feu5DQAAQBAJ&pg=PT588&lpg=PT588&dq=onepage&q=respatialization'%20and%20'deterritorialization=false Deterritorialization or respatialization] refers to the fact that in the globalized ... space is no longer wholly mapped in terms of territorial places...and borders''. '''The question of violence''' 14 juillet 1789, Fall of the Bastille (justice) [https://www.marxist.com/great-french-revolution.htm 1793, Rise and Fall of the Jacobins] 4 février 1794 : Fall of slavery Alan Woods.- ''The French Revolution'', 20 September 2019 == Devise Républicaine == [[Fichier:LibertyEqualityorDeath.jpg|100px|vignette|gauche|Devise républicaine ''[[w:Liberté, Égalité, Fraternité|Liberté, Égalité, Fraternité]]''.]] Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l’utilité commune, [[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Article premier]] de la [[d:Q169759|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen]], Assemblée nationale, 1789. {{bibliographie|Q169759}} 1790 - Robespierre propose la devise "''[[w:Liberté, Égalité, Fraternité|Liberté, Égalité, Fraternité]]''" à la Convention nationale le 5 décembre 1790. Elle sera placée par [[w:Jean-Nicolas Pache|Jean-Nicolas Pache]] sur les murs des édifices publics parisiens {{Citation bloc|PACHE Jean Nicolas né à Paris vers 1740 m 1823 était fils du suisse de l hôtel de Castries le le fit instruire et lui confia ensuite l éducation de enfants Il lui procura plus tard un emploi les bureaux de la marine Après 1789 Pache se fit re marquer par l exaltation de ses opinions démocratiques Surnuméraire au ministère de l intérieur puis chargé d une inission dans le Midi à son retour 18 octobre 1792 Assemblée le nomma ministre de la guerre et il prononça pour les Montagnards Destitué le 2 1793 et bientôt élu maire de Paris il contribua puissam ment à la chute des Girondins devint suspect par suite de ses liaisons avec le parti Hébertiste fut poursuivi après le 9 thermidor et acquitté par le tribunal criminel d Eure et Loir Inquiété encore sous le Directoire lors de la conspiration de Babeuf il publia 3 Mémoires apologétiques puis se retira près de Charleville où il mourut dans l obs curité Ce fut Pache qui imagina cette inscription fameuse que le gouvernement révolutionnaire fit peindre sur les monuments publics et que l on voyait encore sur plusieurs de ceux de Paris au commencement du xixe siècle UNITÉ INDIVISIBILITÉ DE LA RÉPUBLIQUE LIBERTÉ ÉGALITÉ FRATERNITÉ OU LA MORT JT|Charles Dezobry, Théodore Bachelet.- Dictionnaire général de biographie et d'histoire de mythologie, de geographie ancienne et moderne comparée, des antiquites et des institutions grecques, romaines, françaises et étrangères, 1861<ref>[https://books.google.fr/books?id=t1yVjX6ARL8C&pg=PA1996&hl=fr Charles Dezobry, Théodore Bachelet.- Dictionnaire général de biographie et d'histoire de mythologie, de geographie ancienne et moderne comparée]</ref>}} Bibliographie 1848 - {{Bibliographie|Q28824086}} == Don patriotique == Le don patriotique "''montre le(ur) désir de contribuer à la résorption de la dette publique et marque le(ur) soutien à la cause révolutionnaire''". [https://www.histoire-image.org/etudes/don-patriotique-femmes-revolution Le don patriotique des femmes sous la Révolution]. * 1789 - Offres faites par les colons américains du quart de leur revenu dans France. Etats généraux.- Journal des états généraux, convoqués par Louis XVI, le 27 avril 1789, Volume 5, {{Google|TC4wAAAAYAAJ&dq}} * 1967 : Yvan Debbasch.- [https://books.google.fr/books?id=wbRNAQAAIAAJ Couleur et liberté: Le jeu de critère ethnique dans un ordre ..., 1967. ... mais pour établir l'importance économique des libres, une initiative spectaculaire, d'où doit résulter une démonstration irréfutable : les « colons américains » votent le 22 septembre « un don patriotique du quart de tous leurs biens, revenus, … * 2002 : Nathalie Alzas, "[http://ahrf.revues.org/676 Don, patriotisme et sociétés populaires en l'an II. « Le sans-culotte de l'Hérault]", Annales historiques de la Révolution française [En ligne], 329 | juillet-septembre 2002, mis en ligne le 27 mars 2008, consulté le 21 mai 2016. Voir la symbolique du vaisseau & Guerre de 7 ans. * Nathalie Court.- Origine, critique, fonction, symbolique du don patriotique. août 1793. thermidor an II, 164 pages * 2004 : Raymonde Monnier.- Citoyens et citoyenneté sous la Révolution française: Actes du colloque international de Vizille, 24 et 25 septembre 2004, Société des études robespierristes, 2006, 310 pages. [https://books.google.fr/books?id=6U5pMTjOy0gC&lpg=PA245&ots=EHnP5NkehA&dq=Nathalie%20Court%20%2B%20don%20patriotique&hl=fr&pg=PA245#v=onepage&q=Nathalie%20Court%20+%20don%20patriotique&f=false Les gestes militants des citoyennes, l'offrande patriotique (septembre 1789)] * 2007 : Florence Gauthier.- [https://books.google.fr/books?isbn=2271065763 L'aristocratie de l'épiderme: Le combat de la Société des Citoyens de Couleur], 2007. L'AN<ref>Assemblée Nationale</ref> tient sa première réunion à Paris, salle de l'Archevéchée. Offre d'un don patriotique par la SCC<ref>Société des Citoyens de Couleur</ref> du quart de leurs revenus, soit environ 6 millions de livres. == Nicolas-Alexandre Dezède == * [[w:Nicolas Dezède|(Nicolas-Alexandre) Dezède]] (1738-1792), compositeur. Né à [[w:Lyon|Lyon]] de parents inconnus, on le dit fils naturel<ref>Michelle Garnier-Butel.- Marie-Antoinette, pianiste (''à Versailles''), Centre de Musique Baroque de Versailles, Établissement Public du musée et du domaine national de Versailles, [http://philidor3.cmbv.fr/ita/Bibliographie/Liste-des-notices/GARNIER-BUTEL-Michelle-Marie-Antoinette-pianiste Philidor Cmbv], 2001, p. 7-22</ref> de [[w:Frédéric II de Prusse|Frédéric II de Prusse]] (1712-1786). :"En 1785, le duc [[w:Maximilien Ier de Bavière (roi)|Maximilien de Deux-Ponts]], depuis électeur et roi de Bavière, fit venir Dezède à sa Cour et lui donna un brevet de capitaine, avec cent louis d’appointements, sans lui demander rien de plus que sa présence à Deux-Ponts, pendant un mois de chaque année<ref>Un fils de Frédéric-le-Grand, compositeur de musique français in Joseph Marie Quérard.- Le Quérard, par l’auteur de la France littéraire, [https://books.google.fr/books?id=kycGAAAAQAAJ&dq=duc%20des%20Deux-Ponts%20%2B%20%22Dezède%22&hl=fr&pg=PA387#v=onepage&q=duc%20des%20Deux-Ponts%20+%20%22Dezède%22&f=false p. 387], Paris, 1856</ref>". === Diplomatie durant la Révolution française === Lord George Leveson-Gower, ambassadeur de Londres à Paris Leveson Gower George Granville, premier duc de Sutherland 1758-1833, devient Ambassadeur de Londres à Paris en 1790 jusqu'en août 1792<ref>cf sa correspondance diplomatique publiée en 1885</ref>. George III rappelle son ambassadeur à la suite de la [[w:Journée du 10 août 1792|journée du 10 août 1792]] === Bibliographie (Diplomatie durant la Révolution française) === <poem> 1. Frangulis, Dictionnaire diplomatique, Paris, 1934. 2. Abraham de Wicquefort, L'ambassadeur et ses fonctions, Amsterdam, 1730, p. 9. 3. F. de Callières, De la manière de négocier avec les souverains, Ed. Whyte, p. 27. 4. Pequet, Discours sur l'Art de négocier, Paris, 1737. Ibid., p. 91-92. 5. Lettre de Gower du 27 janvier 1792 : « je joins une lettre de M. de Lessart, comprenant une copie d'une lettre qui lui a été adressée par M. de Richebourg, président du Directoire des Postes, par laquelle Monseigneur... », dans The dispatches of Earl Gower, english ambassador at Paris..., Cambridge, 1885, p. 150. Il n'est pourtant pas fait mention d'informateurs de l'Angleterre au ministère des affaires étrangères. L'ambassadeur d'Espagne en avait, qui surveillaient particulièrement les rapports entre la France et l'Angleterre (Chaumié, « la correspondance des agents diplomatiques de l'Espagne pendant la Révolution », Bulletin hispanique, 1925. 6. Wickham, Correspondence..., Londres, 1870, I, p. 5; et Alger, Englishmen in the french Revolution, Londres, 1889, p. 29. William Huskisson fut secrétaire de Lord Gower de 1790 à 1792. </poem> == Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791 == {{Citation bloc|SAINT-DOMINGUE. — Guétrot, Maixent. Étude sur l’histoire politique et sociale de Saint-Domingue. 1789-1792. S.l.n.d. [1903]. Manuscrit in-4 (315 x 235 mm) de 135 pages, demi-toile noire, dos lisse (Reliure de l’époque).<br>INTERESSANT MANUSCRIT CALLIGRAPHIE sur papier bristol, vraisemblablement composé pour l’obtention du diplôme d’études supérieures de la faculté des lettres de Paris en juin 1903 (''cf. la référence à ce mémoire dans la Revue d’histoire moderne et contemporaine, XVII, 1912, p. 397'').<br>Ce mémoire se divise en 23 chapitres abordant l’administration générale de la colonie, l’état social, la situation économique, les troubles, l’assemblée coloniale de Saint-Marc, la révolte des mulâtres et des esclaves, les commissaires civils, etc. Il est enrichi d’une carte de Saint-Domingue dessinée au crayon et de 18 dessins originaux reproduisant des portraits et des scènes historiques d’après des gravures du XVIIIe siècle.<br>Parmi ces dessins, figure sur double page la reproduction d’une grande gravure satirique légendée [[c:File:Guétrot_-_Discussion_sur_les_hommes_de_couleur.jpg|Discussion sur les hommes de couleur]] et montrant les différents protagonistes du conflit de l’époque, dont Julien Raimond, citoyen de couleur, représenté en train de déchirer la Déclaration des droits de l’homme.<br>Petite fente sur le bord de la grande gravure, qui est détachée. Reliure usagée, dos renforcé à l’adhésif.|1903 - {{Bibliographie|Q111033890}} Ouvrage en vente [https://www.lot-art.com/auction-lots/SAINT-DOMINGUE-GUETROT-Maixent-Etude/582-saint_domingue-05.11.20-rossini ici] au 28 février 2022. <br>— Informations datées du 05 novembre 2020.}} <center> <gallery> Fichier:Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791.png|Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791, grand format File:Discussion sur les Hommes de couleur.png|Discussion sur les Hommes de couleur.png, gros plans File:Discussion sur les hommes de couleur.png|Discussion sur les hommes de couleur, mauvaise qualité File:Guétrot - Discussion sur les hommes de couleur.jpg|Maixent Guétrot.- [https://drouot.com/l/13571218--saint-domingue--guetrot-maixe Étude sur l’histoire politique et sociale de Saint-Domingue. 1789-1792]. Notice de personne Guétrot, Maixent Cf. {{BNF|13424775g}} </gallery> </center> === Sujets présents sur l'image === Arthur Dillon, 1751-1810 ; [[w:fr:Antoine Barnave|Antoine Barnave]], 1761-1793 ; [[w:fr:Jean-Sifrein Maury|Jean-Sifrein Maury]], 1746-1817 ; [[w:fr:Alexandre de Lameth|Alexandre de Lameth]], 1760-1829 ; [[w:fr:Charles Malo de Lameth|Charles de Lameth]], 1757-1832 ; [[w:fr:Théodore de Lameth|Théodore de Lameth]], 1756-1854 ; [[w:fr:Louis de Curt|Louis de Curt]], 1722-17..? ; [[w:fr:Françoise Augustine Duval d'Eprémesnil|Françoise-Augustine Duval d'Eprémesnil]], 1754-1794 ; Jean François Reynaud de Villeverd, 1731-1812 ; Jean-Baptiste Gérard, 1737-1? ; [[w:fr:Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry|Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry]], 1750-1819 ; [[w:fr:médée de Faucigny-Lucinge|Louis Charles Amédée comte de Faucigny-Lucinge]], 1755-1801 ; [[w:fr:Louis-Marthe de Gouy d'Arsy|Louis-Marthe de Gouy d'Arsy]], 1753-1794 ; [[w:fr:François Dominique de Reynaud de Montlosier|François-Dominique de Reynaud, comte de Montlosier]], 1755-1838 ; [[w:fr:Armand Désiré de Vignerot du Plessis|Armand de Vignerot du Plessis de Richelieu, duc d'Aiguillon]], 1761-1800 ; [[w:fr:Edmond Louis Alexis Dubois de Crancé|Edmond-Louis-Alexis Dubois de Crancé]], 1747-1814 ; Jean-François César baron de Guilhermy, 1761-1829 ; [[w:fr:Pierre-Victor Malouet|Pierre-Victor Malouet]], 1740-1814 ; [[w:fr:Jean-Nicolas Démeunier|Jean-Nicolas Démeunier]], 1751-1814 ; [[w:fr:Augustin Robespierre|Augustin de Robespierre]], 1764-1794 ; [[w:fr:Jérôme Pétion de Villeneuve|Jérôme Pétion]], 1756-1794 ; [[w:fr:Henri Grégoire|Henri Grégoire]], 1750-1831 ; [[w:fr:Antoine Balthazar Joseph d'André|Antoine Balthazar Joseph d'André]], 1759-1825 ; Rémi Armand Levasseur de Villebranche, 17..-1? ; [[w:fr:Esclavage#En_France|Esclaves]]}} === Archives numériques de la Révolution française=== Une collaboration entre les bibliothèques de l’Université de Stanford et la Bibliothèque nationale de France Voir également [https://www.lot-art.com/auction-lots/SAINT-DOMINGUE-GUETROT-Maixent-Etude/582-saint_domingue-05.11.20-rossini SAINT-DOMINGUE. — Guétrot, Maixent. Étude sur l’histoire politique et sociale de Saint-Domingue. 1789-1792. S.l.n.d. (circa 1903)]. Cf. Revue d’histoire moderne et contemporaine, XVII, 1912, p. 397 <poem> [https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Ffrda.stanford.edu%2Ffr%2Fcatalog%2Fdd524ms4380#federation=archive.wikiwix.com Discussion sur les hommes de couleur : estampe] Publication : [Paris ?] : [s.n.], [ca 1791] Scènes satiriques-1789-1799. Form : estampe eau-forteImage fixe non projected graphic print [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb402538881.public Notice bibliographique de la Bibliothèque nationale de France] Sujet(s) : Curt, Louis de, 1722-17..? Reynaud de Villeverd, Jean François, 1731-1812 Gérard, Jean-Baptiste, 1737-1... Malouet, Pierre-Victor, 1740-1814 Maury, Jean-Sifrein, 1746-1817 Dubois de Crancé, Edmond-Louis-Alexis, 1747-1814 Moreau de Saint-Méry, Louis-Élie, 1750-1819 Grégoire, Henri, 1750-1831 Dillon, Arthur, 1751-1810 Démeunier, Jean-Nicolas, 1751-1814 Gouy d'Arsy, Louis-Marthe de, 1753-1794 Duval d'Eprémesnil, Françoise Augustine, 1754-1794 Faucigny-Lucinge, Louis Charles Amédée, comte de, 1755-1801 Montlosier, François-Dominique de Reynaud, comte de, 1755-1838 Pétion, Jérôme, 1756-1794 Lameth, Théodore de, 1756-1854 Lameth, Charles de, 1757-1832 André, Antoine Balthazar Joseph d', 1759-1825 Lameth, Alexandre de, 1760-1829 Barnave, Antoine, 1761-1793 Aiguillon, Armand de Vignerot du Plessis de Richelieu, duc d', 1761-1800 Guilhermy, Jean-François César, baron de, 1761-1829 Robespierre, Augustin de, 1764-1794 Levasseur de Villebranche, Rémi Armand, 17..-1 Esclaves France > Colonies Humanité (morale) > Allégories Justice > Allégories Raison > Allégories Abolition de l'esclavage aux colonies Numéro OCLC : 693263498 </poem> == Domestiques & commensaux == === Domestique === === Commensalité, Commensaux === [[w:Commensalité|Commensaux]] est attestée dès 1549. Le mot dérive du terme commensal, lui-même issu du latin médiéval commensalis (compagnon de table) composé de cum (avec) et mensa (table, nourriture). [https://www.google.fr/#q=domestiques+commensaux&hl=fr&tbs=sbd:1&tbm=bks&start=520 Domestiques commensaux].<br />Voir : [http://www.cnrtl.fr/definition/Commensaux Commensalisme, Commensalité]. * 1676 - Rolland Abraham Tessereau.- Histoire chronologique de la grande Chancelerie de France: contenant son origine, l'estat de ses officiers, vn recueil exact de leurs noms depuis le commencement de la monarchie jusqu'à present, leurs fonctions, privilèges, prérogatives, droits et règlemens ; ensemble l'établissement et les règlemens des chancelerie, Pierre Le Petit, Paris, 1676. {{Google|CjwYUxIHFawC&dq}}. * 1720 - Code des commensaux, ou Recueil général des édits, déclarations, ordonnances, lettres patentes, arrêts & règlemens portant établissement et confirmation des privilèges... des officiers domestiques et commensaux de la maison du Roy, des maisons royales, et de leurs veuves, A Paris, chez Prault, pere, Quai de Gesvres, au Paradis. M. DCC. XX. Avec approbation & privilége du Roi. Éditeur : Prault, Pierre (1685-1768), 2 vol. ; in-12. Recueil d'Actes royaux, Maison du Roi. Commensaux, privilèges, [https://www.google.com/#q=Code+des+commensaux+ou+recueil+général+des+édits,+déclarations&tbs=sbd:1&tbm=bks&start=80 Google] ; {{BNF|33851581n}}. == Données & Algorithmes == Cf. Algorithmes & Données == Marcel Dorigny == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Loïc Céry|titre= Mort de l'historien Marcel Dorigny (1948-2021) |url= https://blogs.mediapart.fr/edition/institut-du-tout-monde/article/230921/mort-de-lhistorien-marcel-dorigny-1948-2021|date= 23 septembre 2021|site= blogs.mediapart.fr|consulté le= 19 février 2022}} * {{Lien web |langue= fr|auteur= Institut du Tout-Monde|titre= Cycle pluridisciplinaire "Mémoires et littératures de l'esclavage : écrire la trace, tramer l'histoire", Séance n°3 : Marcel Dorigny (historien, professeur à l'université Paris VIII).- Littératures et arts face à l'histoire|url= http://tout-monde.com/cyclemle3.html|date= |site= tout-monde.com|consulté le= 19 février 2022}} ** {{YouTube|81dwbdw68RM|Institut du Tout-Monde.- Entretien avec Marcel Dorigny : I - Des Cahiers de doléances à Guillaume Guillon-Lethière, 11 avril2021|consulté le= 19 février 2022}} ** {{YouTube|gFUpQTthopk|Institut du Tout-Monde.- Entretien avec Marcel Dorigny : II - De l'abbé Grégoire aux mouvements mémoriels, 11 avril2021|consulté le= 19 février 2022}} == Dragon == * [[w:Dragon|Dragon]] Cf. [[w:Monstre|Monstre]] == Dragonnades == [[Fichier:Dragonnades430.jpg|100px|vignette|gauche]] * [[w:Dragonnades|Dragonnades]] * [https://archive.org/search.php?query=Dragonnades Dragonnades, histoire & fiction] == André Dubuc-Dufferet == [[w:André Dubuc-Dufferet|André Dubuc-Dufferet]] {{Citation bloc|Le projet élaboré en vue d'une "amélioration coloniale" par André Dubuc-Dufferet, planteur de Martinique, capitaine de frégate, offrait aux yeux des auteurs de la brochure la "justesse de vue" et la "lucidité des idées" que requerrait la…|Nelly Schmidt.- Abolitionnistes de l'esclavage et réformateurs des colonies, 2000<ref>Nelly Schmidt.- [https://books.google.fr/books?id=qt5WM86gNXoC&lpg=PA250&dq=%22Dubuc-Dufferet%22&hl=fr&pg=PA250#v=onepage&q=%22Dubuc-Dufferet%22&f=false Abolitionnistes de l'esclavage et réformateurs des colonies, 1820-1851 : analyse et documents], 2000.</ref>.}} {{Citation bloc|L'assemblée avait pour député en France le représentant de la chambre d'agriculture (91), Dubuc-Dufferet, qui siégeait au bureau du commerce de France à Paris et qui devait correspondre avec elle ou le comité intermédiaire.|}} === Droit d'auteur === Le droit d'auteur : * Une propriété * Une modalité de la rente * Quel rapport avec le salaire ? Voir : [[Discussion Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie]]. == Duels == {{Citation bloc|Les combattants, ajoute- t-il, doivent être soigneusement visités et tastés pour savoir s’ils n’ont drogueries, sorcelleries ou maléfices. Il est permis de porter reliques de Notre-Dame de Lorette et autres choses saintes. En quoi pourtant il y a dispute si l’un s’en trouvoit chargé et l’autre non ; car en ces choses il faut que l’un n’ait pas plus d’avantage que l’autre. Il ne faut pas parler de courtoisie : celui qui entre en champ clos doit se proposer '''vaincre ou mourir''', et surtout ne se rendre point ; car le vainqueur dispose du vaincu tellement qu’il en veut, comme de le traîner par le camp, de le pendre, de le brusler, de le tenir prisonnier ; bref, d’en disposer comme d’un '''esclave'''|[[s:Page:Dictionnaire de la conversation et de la lecture - Ed 2 - Tome 08.djvu/133|Duel, Dictionnaire de la conversation et de la lecture]]<ref>[[s:Page:Dictionnaire de la conversation et de la lecture - Ed 2 - Tome 08.djvu/133|Voir le reste de l’article]]</ref>.}} == Jacques François Dugommier == * [[w:Jacques François Dugommier|Jacques François Dugommier]], né le 1er août 1738 à [[w:Trois-Rivières|Trois-Rivières]] en [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]] est décédé le 18 novembre 1794 lors de la [[w:Bataille de la Sierra Negra|bataille de la Sierra Negra]]. {{Citation bloc|Le ''17'' novembre ''1794,'' au matin, sur la Montagne-Noire, s’étant retiré pour déjeûner sur le revers intérieur du piton dans un petit enclos derrière un mur de pierres sèches, un obus, après avoir ricoché, l’atteint en pleine poitrine : il tomba mort, en pleine gloire, sans proférer une parole<ref>Un noir de la Guadeloupe. Patoche, fidèle serviteur et compagnon de tous les dangers de Dugommier, dit M. Arthur Chuquet, s’évanouit de douleur sur le corps de son maître.</ref>''.|Hildevert-Adolphe Lara, Contribution de la Guadeloupe à la pensée française<ref>{{Bibliographie|Q19149609}}, page [Page:Œuvres complètes de Maximilien de Robespierre, tome 10.djvu/171 167]</ref>.}} {{Citation bloc|Le territoire de Gênes a été le théâtre d’un crime dont l’histoire de l’Angleterre peut seule offrir un exemple. Des vaisseaux de cette nation, joints à des vaisseaux français livrés par les traiîtres de [[w:Jacques François Dugommier#La campagne des Pyrénées-Orientales|Toulon]], sont entrés dans le port de Gênes ; aussitôt les scélérats qui les montoient, Anglois et Français rebelles, se sont emparés des bâtimens de la République qui étoient dans ce port sous la sauve-garde du droit des gens ; & tous les Français qui s’y trouvoient ont été égorgés. Qu’il est lâche ce Sénat de Gênes, qui n’est pas mort tout entier pour prévenir ou pour venger cet outrage, qui a pu trahir à-la-fois l’honneur, le peuple génois & l’humanité entière<ref>D’après le Journal de Perlet {n° 422, p. 888) : «la Convention tout entière a partagé l’indignation dont était ici pénétré l’orateur».</ref> !|Maximilien de Robespierre.- Rapport sur la situation politique de la république à la Séance du 27 brumaire an II (17 novembre 1793)<ref>{{Bibliographie|Q27271875}}</ref>}} == Alexandre Dumas, pères & fils == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Alexandre_Dumas,_pères_%26_fils|Alexandre Dumas, pères & fils]] [https://books.google.fr/books?id=omdVAAAAcAAJ&pg=RA7-PA11&dq=Un+homme+de+rien+%2B+Galerie+des+contemporains+illustres+%2B+Alexandre+Dumas&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1ioymzqnnAhXKxoUKHagMDYAQ6AEIKTAA#v=onepage&q=Un%20homme%20de%20rien%20%2B%20Galerie%20des%20contemporains%20illustres%20%2B%20Alexandre%20Dumas&f=false Biographie de Alexandre Dumas] == E == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter E.jpg|100px|vignette|centré]] == Echecs (jeu) == * Michel Pastoureau (historien du Moyen Âge).- [http://plus.franceculture.fr/les-chevaliers-de-la-table-ronde-anthropologie-d-une-societe-imaginaire ''Les échecs'' à 17:35] in Les Chevaliers de la Table Ronde : Anthropologie d’une société imaginaire, 5 novembre 2015. * [http://classes.bnf.fr/echecs/repere/ind_biblio.htm Repères autour du jeu d'échecs], Bnf. * Torsten Hiltmann, directeur de publication.- Les 'autres' rois: Études sur la royauté comme notion hiérarchique dans la société au bas Moyen Âge et au début de l'époque moderne, Oldenbourg Verlag, 7 juillet 2010 - 174 pages, {{BNF|42248916q}}. Cf. [http://calenda.org/192862 Les "autres rois"], Journée d'étude, Calenda, mercredi 21 mars 2007. * Luc Bourgeois.- Les échecs médiévaux : jeu des élites, jeux de couleurs, <[https://halshs.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/821969/filename/Couleurs_du_jeu_d_A_checs.pdf halshs-00821969v1]>. == Eco, Umberto == === Le nom de la rose par Umberto Eco === [[Fichier:Umberto Eco 04.jpg|100px|vignette|gauche|Umberto Eco]] [[File:La Sacra ammantata dalla neve.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Abbaye Saint-Michel-de-la-Cluse|Abbaye Saint-Michel-de-la-Cluse]] sur le mont Pirchiriano, Piémont, Italie dont s'inspira Umberto Eco.]] [[File:Labyrinthus Aedificium.svg|100px|vignette|gauche|Map of the labyrinth (library) described in Umberto Eco novel's ''[[c:Category:Il nome della rosa|The Name of the Rose'']].]] [[Fichier:Il nome della rosa (dall'omonimo romanzo di Umberto Eco).JPG|100px|vignette|gauche|William Girometti.- "Le Nom de la rose, ''hommage au roman de Umberto Eco'', 1982.]] [[w:1980 en littérature|1980]] - [[w:Umberto Eco|Umberto Eco]].- [[w:it:Il nome della rosa|''Il nome della rosa'']] [[w:1981 en littérature|1981]] - [[w:Prix Strega|Prix Strega]] [[w:1982 en littérature|1982]] - ''[[w:Le Nom de la rose (roman)|Le Nom de la rose]]'', Traduction en français par [[w:Jean-Noël Schifano|Jean-Noël Schifano]], Paris, Grasset, Le roman a été augmenté d'une [[w:Apostille|''Apostille'']] traduite par M. Bouzaher. [[w:1982 en littérature|1982]] - [[w:Prix Médicis étranger|Prix Médicis étranger]] [[w:1983 en littérature|1983]] - ''[[w:en:The Name of the Rose|The Name of the Rose]], Traduction en anglais par [[w:en:William Weaver|William Weaver]] [[w:1986 au cinéma|1986]] - Adapté au cinéma [[w:Le Nom de la rose (film)|sous le même titre]] par [[w:Jean-Jacques Annaud|Jean-Jacques Annaud]], avec [[w:Sean Connery|Sean Connery]] et [[w:Christian Slater|Christian Slater]]. === Economie sous la Révolution française === ==== Le droit de propriété en révolution ==== * 2008 - {{bibliographie|Q27230264}} == Edit-a-thon == === Quai Branly === Edit-a-thon du 11 mars 2017, événement du Mois de la contribution francophone 2017 Prise de contact à propos du projet Raynal.- Histoire des 2 Indes, 1780 Travail avec Varmin sur Wikidata, Découverte de [[w:Sacagawea|Sacagawea]] Varmin a bien reçu le poster de la photo de 2014 == Économie & Economistes == === Economie de l’énergie === ;Les Servitudes de la puissance * 1986 - {{bibliographie|Q63417538}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. œuvre écrite--> ** 1986 - {{bibliographie|Q65768869}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Edition originale. --> ** 1986 - {{bibliographie|Q65773116}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Compte-rendu de lecture. --> ** 1989 - {{bibliographie|Q65774156}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Traduction en allemand. --> ** 2013 - {{bibliographie|Q77334862}} <!-- Une histoire de l'énergie : Les Servitudes de la puissance. Edition 2013. --> ** 2014 (février) - {{bibliographie|Q77329903}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits de classe autour de l'énergie, (Écologie & Politique). --> ** 2014 - {{bibliographie|Q77331991}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits énergétiques, (Écologie & Politique). --> ** 2015 (8 janvier) - {{bibliographie|Q77333111}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits énergétiquee, (Écologie & Politique). --> ** [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Une+histoire+de+l%27%C3%A9nergie+%3A+les+servitudes+de+la+puissance&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Recherche BnF] === Économie coloniale === * 1976 - {{Bibliographie|Q28771646}} <!-- --> * 2005 - {{bibliographie|Q66724541}} <!-- Guillaume Daudin, Commerce et prospérité : la France au XVIIIe siècle --> Journal des économistes : revue de la science économique et de la statistique "Journal des économistes revue de la science économique et de la statistique" <https://fr.wikipedia.org/wiki/Journal_des_%C3%A9conomistes> L'A.O.F. économique. Organe de défense des intérêts coloniaux et de liaison avec la métropole, Numérotation : 1937 <https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32680250f>. Journal des économistes: revue de la science économique et de la statistique, Presses universitaires de France, 1854 <https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32680250f> === Économie de la Guerre === === Économie de la paix === '''[[w:John Kenneth Galbraith|John Kenneth Galbraith]]''' * 2006 - {{bibliographie|Q66724642}}, <!-- Jacques Fontanel et Fanny Coulomb, J.K. Galbraith, économiste de la paix --> === Economie sociale === * 1857 - {{bibliographie|Q26904537}} ** Les Ouvriers des deux mondes (Paris. 1857), [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32830863r/date Années disponibles]. Monographies contenant # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22esclaves%22%29 Esclave], # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22esclavage%22%29 Esclavage]" # [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22colonie%22%29 Colonie] # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22Antilles%22%29 Antilles] # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94393f/f13.item.r=Guyane.zoom Guyane] # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32830863r/date 1862 / p.189] : Dans sa dernière session, le conseil général de la Martinique réclamait en ces termes contre les inconvénients d'un pareil système « [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f5.item.r=Martinique.zoom La colonie de la Martinique], terre française, et jalouse d'être reconnue pour telle par la mère patrie, demande à être traitée comme un département de la France pour les tarifs du commerce # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f5.item.r=Réunion 1862 / Réunion]<br />Monographie : [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f161.item.r=Réunion N° 31: MULATRE AFFRANCHI DE L'ILE DE LA RÉUNION (Océan indien)], par M. L. Simonin, ingénieur civil des mines == 1834 - Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif == * 1834 - {{bibliographie|Q66382997}}, Émile-Victor Foucart.- Éléments du droit public et administratif: ou exposition méthodique des principes du droit public positif : avec l'indication des lois à l'appui, suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public Recherche avec Gallica ;* 1834 - {{bibliographie|Q66314415}} <!-- Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif --> p.21 : par un effet plus immédiat encore, la femme placée dans un état d'infériorité , et trop souvent traitée comme la première des esclaves, reprit sa place d'épouse et de mère, et la famille fut retrouvée p.48 : Lorsque des milliers d'esclaves passaient toute leur vie à cultiver la terre , à exercer les arts industriels pour le compte de quelques hommes libres, ceux-ci pouvaient consacrer tout leur temps à perfectionner leur intelligence et à s'occuper des affaires publiques(...)toutes les dissensions qni s'élevaient entre eux devaient céder facilement devant l'intérêt toujours pressant de conserver leur pouvoir sur la partie esclave de la société(...) p.121 : Le meurtre d'un esclave est payé 20, 30 ou(...) 40 solides, selon la province et selon les talents de l'esclave p.203 : sur les esclaves, des prescriptions d'une barbarie révoltante(...)et l'un des plus grands philosophes de l'antiquité, Aristote , reconnaissait deux natures dans les hommes, l'une libre et l'autre esclave p.205 : aujourd'hui en vigueur. — Des ordonnances du 12 juillet 1832, 29 avril 1836, déterminent la forme de l'affranchissement des esclaves dans les colonies p.212 : Liberté de la personne. — Affranchissement des esclaves amenés en France. \ 98 p.213 : 1 , n° 6 , et sitôt qu'un esclave a atteint les marches d'icelui, il est affranchi. — Aujourd'hui que l'esclavage est entièrement aboli parmi nous, ajoute(...) Laurière son commentateur, tout esclave est libre dès le moment qu'il a mis le pied dans le royaume (2(...) p.214 : tout esclave qui est amené ou envoyé en France par son maître, sans l'accomplissement de cette formalité, devient libre de plein droit, à compter de son débarquement dans la métropole , et reçoit en conséquence un titre de liberté(...)Cette disposition a été déclarée applicable à tous les anciens esclaves de l'un et de l'autre sexe, non encore légalement affranchis, qui se trouvaient sur le territoire continental de la France(...) p.402 : Si l'Eglise ne peut sans de graves inconvénients être la dominatrice ou l'esclave de l'Etat, elle peut sans danger pour elle en vivre complètement séparée : c'était la situation du christianisme avant Constantin(...) * 1843 - Émile Victor Foucart.- Éléments de droit public et administratif: ou exposition méthodique des principes du droit public positif avec l'indication des lois a l'appui : suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public, Videcoq, Tome Premier, Tome premier, 1843 - 788 pages * [https://books.google.fr/books?id=1AccR9AYdsMC&pg=PP5&dq=%C3%89mile-Victor+Foucart,+%C3%89léments+de+droit+public+et+administratif&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiBmZqX1f3jAhVCPBoKHa8KD0IQ6AEINDAC#v=onepage&q=esclave&f=false5 résultats pour "Esclave"] * 1843 - Émile Victor Foucart.- [https://books.google.fr/books?id=QudIAAAAcAAJ Éléments de droit public et administratif], Troisième édition, volume III 1843. [https://books.google.fr/books?id=QudIAAAAcAAJ&printsec=frontcover&dq=%C3%89mile-Victor+Foucart,+%C3%89léments+de+droit+public+et+administratif&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjor5Xs2f3jAhUaAWMBHckyAJ4Q6AEILzAB#v=onepage&q=esclave&f=false 1 résultat pour esclave] : {{Citation bloc|Esclavage Aboli par le christianisme dans l'ancien monde 219 - Esclavage dans les colonies 219 - Affranchissement de plein droit d un esclave amené en France 219.}} * 1850 - Emile Victor Foucart.- [https://books.google.fr/books?id=vz1EAAAAcAAJ Éléments du droit public et administratif]: ou exposition méthodique des principes du droit public positif : avec l'indication des lois à l'appui, suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public, Volume 4, supplément, 1850 * 0 résultats pour "esclave" ou "esclavage" * , Volume 4 * 1855 - Esclave : [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n12 Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif, 1855] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n97 page/n97] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n205 page/n205] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n305 page/n305] == Encyclopédies & Dictionnaires == === Bibliothèque universelle et historique === * [https://archive.org/search.php?query=Bibliothèque%20universelle%20et%20historique Corpus sur Internet Archive] * in A. Sauvy, Motoko Ninomiya.- [https://books.google.fr/books?id=mTdn56sSGr0C&lpg=PA242&ots=s9N-lxpevB&dq=Henri%20Schelte%20%2B%20Bibliothèque%20universelle%20et%20historique&hl=fr&pg=PA242#v=onepage&q=Henri%20Schelte%20+%20Bibliothèque%20universelle%20et%20historique&f=false Livres Saisis a Paris Entre 1678 and 1701], Volume 50 de Archives internationales d'histoire des idées, {{ISSN|0066-6610}}, Volume 50 de International Archives of the History of Ideas, Publication du Centre de recherches d'histoire et de philologie de la 4e section de l'École pratique des hautes études à la Sorbonne, Springer Science & Business Media, Édition illustrée, 430 pages, 1972, {{ISBN|9024713471}}, {{ISBN|9789024713479}}. * La Grande Encyclopédie: inventaire raisonné des sciences, des lettres et des arts / par une société de savants et de gens de lettres; sous la direction de Marcelin Berthelot. — Paris: Société anonyme de la Grande Encyclopédie, 1885-1902. == Olaudah Equiano (1745-1797) == * 1789 - {{bibliographie|Q7742270}} <!-- The Interesting Narrative of the Life of Olaudah Equiano (1745-1797) --> * 2008 - {{bibliographie|Q79125089}} <!-- Olaudah Equiano (trad. 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Cette année de préparation fut consacrée au recueil d'informations sur les [[w:États généraux de 1614|États généraux de 1614]], à la publication des directives à partir de janvier 1789, puis à leur mise en pratique sur tout le territoire, afin de permettre à l'habitant le plus éloigné de toutes les provinces la possibilité de faire entendre sa voix. États généraux ([[d:Q207304|Q207304]]) État généraux ([[d:Q16685850|Q16685850]]) États généraux ([[d:Q16685858|Q16685858]]) États généraux ([[d:Q16033973|Q16033973]]) : page d'homonymie de Wikimedia États généraux ([[d:Q393676|Q393676]]) : page d'homonymie d'un projet Wikimédia Catégorie:États généraux de 1789 ([[d:Q13356540|Q13356540]]) : page de catégorie d'un projet Wikimédia Catégorie:États généraux ([[d:Q13356538|Q13356538]]) : page de catégorie d'un projet Wikimédia Catégorie:Président de la première Chambre des États généraux ([[d:Q8791717|Q8791717]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Catégorie:Membre de la première Chambre des États généraux ([[d:Q9011999|Q9011999]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Catégorie:Membre de la seconde Chambre des États généraux ([[d:Q9024325|Q9024325]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Les États-généraux avant 1789 ([[d:Q19210776|Q19210776]]) 1302 - États généraux de 1302 ([[d:Q3591904|Q3591904]]) 1308 - États généraux de 1308 ([[d:Q3591905|Q3591905]]) 1313 - États généraux de 1313 ([[d:Q3591903|Q3591903]]) 1317 - États généraux de 1317 ([[d:Q952790|Q952790]]) 1357 - États généraux de 1357 ([[d:Q3591909|Q3591909]]) 1355 - États généraux de 1355 ([[d:Q3591906|Q3591906]]) 1356 - États généraux de 1356 ([[d:Q3591907|Q3591907]]) 1420 - États généraux de 1420 ([[d:Q3591908|Q3591908]]) 1439 - États généraux de 1439 ([[d:Q3591910|Q3591910]]) 1468 - États généraux de 1468 ([[d:Q3591911|Q3591911]]) 1484 - États généraux de 1484 ([[d:Q3591912|Q3591912]]) 1506 - États généraux de Tours de 1506 ([[d:Q3591919|Q3591919]]) 1560 - États généraux de 1560 ([[d:Q3591913|Q3591913]]) 1576-1577 - États généraux de 1576-1577 ([[d:Q3591914|Q3591914]]) 1588-1589 - États généraux de 1588-1589 ([[d:Q3591915|Q3591915]]) 1593 - États généraux de 1593 ([[d:Q3591916|Q3591916]]) 1614 - États généraux de 1614 ([[d:Q3591917|Q3591917]]) 1788-1789 1788 - Convocation des états généraux de 1789, 8 août 1788 ([[d:Q2996432|Q2996432]]) 1789 - Convocation des états généraux de 1789 en Bourgogne ([[d:Q2996435|Q2996435]]) 1789 - Règlement des États généraux de 1789 ([[d:Q3454274|Q3454274]]) 1789 - Règlement du 7 février 1789 ([[d:Q19227213|Q19227213]]) Cahiers des États généraux ([[d:Q2933140|Q2933140]]) 1789 - États généraux de 1789 ([[d:Q1463941|Q1463941]]) 1789 - liste des députés aux États généraux de 1789, par ordre, bailliage et sénéchaussée ([[d:Q3249206|Q3249206]]) : page de liste de Wikipédia 1789 - liste des présidents des États généraux et de l'Assemblée constituante ([[d:Q3253686|Q3253686]]) : page de liste de Wikipédia (''Dissociés les deux, une révolution est passée par là.'') maison des États généraux ([[d:Q22941554|Q22941554]]) : maison à Chinon (Indre-et-Loire) Cahiers de doléances Cahier de doléances ([[d:Q1025768|Q1025768]]) : registres dans lesquels les assemblées chargées d'élire les députés aux États généraux notaient vœux et doléances Cahier du tiers-état de la ville de Paris ([[d:Q24205303|Q24205303]]) : Cahiers de doléances pour la réunion des États généraux de 1789 Députés aux États généraux de 1789 Député français en 1789-1791 ([[d:Q28218485|Q28218485]]) : Député français aux Etats-Généraux ou à l'assemblée nationale qui en a découlée député de la noblesse ([[d:Q26833954|Q26833954]]) : député de la noblesse aux États généraux de 1789 Eustache Jean-Marie D'Aoust ([[d:Q3061051|Q3061051]]) : député de la noblesse de Douai aux États Généraux Raymond Ducastaing ([[d:Q21545640|Q21545640]]) : député du clergé aux États généraux de 1789 Louis-François Martinet ([[d:Q21171838|Q21171838]]) : chanoine régulier de la Congrégation de France, député du clergé lors des Etats Généraux de 1789 Louis Verdet ([[d:Q3263267|Q3263267]]) : curé à Vintranges, Moselle, député du Clergé aux États généraux Jean-Louis Fisson-Jaubert ([[d:Q21545587|Q21545587]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 Antide Rubat ([[d:Q21405714|Q21405714]]) : homme de loi, député aux États généraux de 1789 Jean-Louis Laclaverie ([[d:Q21545593|Q21545593]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 Jacques Delavigne ([[d:Q3158677|Q3158677]]) : avocat et homme politique, fut député de Paris aux Etats généraux René Lecesve ([[d:Q3426505|Q3426505]]) : député aux États généraux, évêque constitutionnel Jean-Jacques de la Terrade ([[d:Q21545581|Q21545581]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 '''Bibliographie (États généraux de 1789)''' Les premiers états généraux (1302-1314) ([[d:Q28610078|Q28610078]]) : Article scientifique 1789 - Les inconvéniens des droits seigneuriaux ([[d:Q26157738|Q26157738]]) : Ou voeu essentiel à former par le Tiers-Etat du royaume aux Etats-Généraux, 1789 Les élections et les cahiers du clergé lorrain aux États généraux de 1789 ([[d:Q23959490|Q23959490]]) : Etudes de cahiers de doléances Assemblée générale, procès-verbaux, et cahier de doléances des trois ordres du bailliage de Bourg-en-Bresse ([[d:Q27506815|Q27506815]]) : Relativement à la convocation des Etats-Généraux du 27 avril 1789 1789 - Saint-Domingue à la veille de la révolution et la question de la représentation coloniale aux états généraux (janvier 1788-7 juillet 1789) ([[d:Q24113070|Q24113070]]) : Une colonie de la France à la veille de la révolution atlantique Réponse à l'écrit de M. Malouet, sur l'esclavage des nègres, dans lequel est exprimé le voeu formé par les colons d'avoir des représentants aux Etats-Généraux ([[d:Q27614078|Q27614078]]) : Par un membre de la Société des amis des noirs États généraux du Canada français ([[d:Q3591923|Q3591923]]) Modèle:Palette États généraux du Canada français ([[d:Q22781982|Q22781982]]) Assises nationales des États généraux du Canada français de 1967 ([[d:Q2867197|Q2867197]]) Réunion des états généraux du Dauphiné ([[d:Q1108912|Q1108912]]) États de Languedoc ([[d:Q3591894|Q3591894]]) États généraux de Lorraine ([[d:Q3591918|Q3591918]]) États généraux de Navarre ([[d:Q27962792|Q27962792]]) États généraux des Pays-Bas ([[d:Q21009117|Q21009117]]) États généraux des Pays-Bas ([[d:Q1371388|Q1371388]]) Modèle:Palette Membres des États généraux du royaume des Pays-Bas ([[d:Q22794666|Q22794666]]) Catégorie:États généraux des Pays-Bas ([[d:Q8814522|Q8814522]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia États généraux des Pays-Bas du Sud ([[d:Q16685863|Q16685863]]) États généraux des Pays-Bas autrichiens ([[d:Q16685861|Q16685861]]) États généraux des Provinces-Unies ([[d:Q13417577|Q13417577]]) Intérieur du Grande Salle sur le Binnenhof à La Haye, pendant la Grande Assemblée des États généraux en 1651 ([[d:Q17275735|Q17275735]]) : peinture de Dirk van Delen Traité de paix entre le Roi, le Roi de la Grande Bretagne, et les Etats genéraux des Provinces-unies des Pays-Bas ([[d:Q28092865|Q28092865]]) : qui met fin à la guerre de la succession d'Autriche (1740-1748|) États généraux de l'Europe ([[d:Q3591920|Q3591920]]) Association des états généraux des étudiants de l'Europe ([[d:Q431534|Q431534]]) États Généraux de Wallonie ([[d:Q3591885|Q3591885]]) États généraux de la naissance ([[d:Q3591922|Q3591922]]) États généraux de l'enseignement supérieur de 1987 ([[d:Q3591921|Q3591921]]) États généraux sur la situation et l'avenir de la langue française au Québec ([[d:Q3591924|Q3591924]]) États généraux de la presse écrite ([[d:Q16685859|Q16685859]]) États généraux du film documentaire ([[d:Q19955590|Q19955590]]) Un franc États généraux ([[d:Q3548627|Q3548627]]) === Bibliographie (Etats généraux de 1789) === '''BnF - [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Histoire+des+Etats+généraux+de+France&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Histoire des Etats généraux de France], 372 pages, 3 711 Notices bibliographiques''' 1845 - {{bibliographie|Q29050991}} <!-- Histoire des Etats généraux de France --> 1872-1979 - {{bibliographie|Q29050644}} <!-- Histoire des états-généraux --> 1873 - {{bibliographie|Q19210776}} <!-- Les États-généraux avant 1789 --> [https://books.google.fr/books?id=Y5paqh-IVFQC&hl=fr&pg=PA1010#v=onepage&q=Hist.%20Etats%20généraux&f=false Histoire des Etats généraux, p. 1110], Pierre Larousse.- Grand dictionnaire universel du XIXe siècle, 1866 == Etats-Unis == Formation politique === États-Unis d'Amérique (United States of America) === [[w:Dénomination des États-Unis et de leurs habitants|Américains : Dénomination des États-Unis et de leurs habitants]] * 1778 - {{Bibliographie|Q28482281}} {{Citation bloc|17 novembre 1793 - Et vous, braves Américains, dont la liberté, cimentée par notre sang, fut encore garantie par notre alliance, quelle seroit votre destinée si nous n’existions plus ? Vous retomberiez sous le joug honteux de vos anciens maîtres : la gloire de nos communs exploits seroit flétrie ; les titres de liberté, la déclaration des droits de l’humanité seroit anéantie dans les deux mondes.|[[d:Q44197|Maximilien de Robespierre]].- [[d:Q27271875|Rapport fait à la Convention nationale sur la situation politique de la République, 17 novembre 1793]]<ref>{{Bibliographie|Q27271875}}, [[s:Page:Œuvres complètes de Maximilien de Robespierre, tome 10.djvu/183|page 179]]</ref>}} {{Citation bloc|1799 - '''Etats-Unis d'Amérique''' : États-Unis, nom que se sont données les provinces de l'Amérique anglaise, lorsqu'elles se sont soustraites à l'empire Britannique, par la déclaration de leur indépendance, faite dans le congrès-général le 4 juillet 1776. La France est la première puissance qui ait reconnu leur indépendance par le traité conclu avec eux le 6 février 1778, et elle fut pleinement reconnue par l'Angleterre et les autres puissances européennes à la paix de 1783. (…) Les États-Unis sont au nombre de treize, savoir : nouvelle Hampshire, Massachusset, Rhode-Island, Connecticut, Nouvelle-Yorck, Nouvelle-Jersey, Pensilvanie, Delaware, Maryland, Virginie, Caroline septentrionale, Caroline méridionale et la Géorgie, auxquelles celui de Vermont s'est uni en 1782. - D'après le dénombrement des habitants Blancs, fait en 1783, le nombre s'en élève à 2 millions 389 mille 300 âmes. Chaque état s'est fait une constitution particulière.|Vosgien, Dictionnaire géographique portatif, 1799<ref>Vosgien, [http://www.1789-1815.com/etats_unis.htm Etats-Unis (d'Amérique), dans le Dictionnaire géographique portatif, troisième édition, an VII-mai 1799</ref>}} ==== Guerre civile / Civil War, 1861-1865 ==== [[w:Guerre de Sécession|Guerre de Sécession]] La [[w:Guerre civile|Guerre civile]] des USA ou [[w:Guerre de Sécession|Guerre de Sécession]] comme processus d'abolition de l'esclavage américain. ==== Bibliographie ==== * 2018 - {{bibliographie|Q61656361}} <!-- Diane Miller Sommerville, Aberration of Mind : Suicide and Suffering in the Civil War–Era South --> === Etats-Unis d'Europe === ==== 1849 - Victor Hugo et les États-Unis d’Europe ==== ;[https://search.lilo.org/?q=%20congr%C3%A8s%20des%20sciences%20politiques%20%2B%201900%20%2B%20Les%20Etats-Unis%20d%27Europe%20%2B%20Gaston%20Isambert Les États-Unis d’Europe depuis le {{S|XIX}}] * 1901 - {{bibliographie|Q113001379}} <!-- les États-Unis d’Europe --> * 1849 - [https://gallica.bnf.fr/blog/08042019/victor-hugo-et-les-etats-unis-deurope-i?mode=desktop Victor Hugo et les États-Unis d’Europe I] - Congrès de la Paix de 1849 - I . Discours d’ouverture du Congrès de la paix prononcé par Victor Hugo en 1849. * 1878-2009 - RADEMACHER Ingrid.- [https://www.cairn.info/revue-etudes-germaniques-2009-2-page-309.htm « Johann Caspar Bluntschli (1808-1881) – Conception du droit international et projet de Confédération européenne (1878) », Études Germaniques, 2009/2 (n° 254), p. 309-328. DOI : 10.3917/eger.254.0309. * 1900 - Data.bnf.fr.- [https://data.bnf.fr/en/12425954/congres_des_sciences_politiques/en.pdf Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris), .pdf] with Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris) as Editor Les Etats-Unis d'Europe (1901) Les États-Unis d'Europe (1901) Authors related to "Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris)" (7 resources in data.bnf.fr) Authors linked as collaborateur (3) Léon Abrami (1879-1939) René Dollot (1875-1962) Gaston Isambert (1867-1941) Congrès ... * 1900 - [https://archive.org/details/sc_0000432785_00000000378256/page/n5/mode/2up Leroy-Beaulieu, Anatole (1842-1912).- Les Etats-Unis d'Europe] * 1901 - Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris), Société des anciens élèves et élèves de l'École libre des sciences politiques.- [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb33376005x Les États-Unis d'Europe (Texte imprimé, Bnf)] : des tendances nouvelles de la législation fiscale en Europe depuis cinquante ans, du mode d'administration des possessions coloniales... / Congrès des sciences politiques de 1900 ; [publié sous la direction de René Dollot ; avec la collaboration de Adrien Jacques, Henry de Montardy, Léon Abrami et Jules Grenard], Paris : Société française d'imprimerie et de librairie, 1901, 1 vol. (XXV-723 p.), {{BNF|30968260h}}. * 1901 - [https://archive.org/details/sc_0000524962_00000000554343 "Les Etats-Unis d'Europe" à l'Ecole libre des Sciences politiques ] * Janvier 1901.- Congrés des sciences politiques de 1900 : [https://play.google.com/store/books/details/Congr%C3%A9s_des_sciences_politiques_de_1900_Les_%C3%A9tats_?id=iDjiAAAAMAAJ&gl=US Les états-unis d'Europe, Janvier, 1901, play.google.com] · Soc. fran. d'imprimerie, * vendredi 6 avril 2007 - [https://www.senat.fr/colloques/europe_parlement_vh/europe_parlement_vh3.html L'Europe au parlement de Victor Hugo à nos jours, 1849-2007] - Palais du Luxembourg Journée d'études organisée au Sénat en partenariat avec le Comité d'Histoire Parlementaire et Politique et la participation des Europartenaires * [http://jmguieu.free.fr/Enseignements/L2_Europe_occidentale/seance06.htm?fbclid=IwAR3l6CitaJ_L6Zi65BjwFJNwh6hAQgYm9xpNhjk2NOND8aaYBJ1eFk_e8J8 Nationalismes, internationalisme et idée européenne (1871-1914)] == États généraux (France) == [[Fichier:Couder Stati generali.jpg|100px|vignette|gauche]] *[[w:États généraux|États généraux]] *[[w:États généraux (France)|États généraux (France)]] Les [[w:États généraux (France)|États généraux]], apparus dans le [[w:Royaume de France|Royaume de France]] en [[w:1302|1302]] sous le Roi [[w:Philippe IV le Bel|Philippe IV le Bel]] sont des assemblées de représentants des peuples de France, sans rôle législatif ou juridictionnel, fondées sur le principe fondamental selon lequel ils ne sont pas des peuples tributaires mais libres, et qu'aucune contribution ne peut être exigée d’eux sans leur consentement. Ils réunissent au début le clergé, la noblesse et la bourgeoisie des bonnes villes, qui prendra par la suite le titre de Troisième état puis de [[w:Tiers état|Tiers état]]. Les États généraux de [[w:1789|1789]] sont convoqués pour pour résoudre la question lancinante du [[w:Dette publique|déficit du budget]] du royaume. [https://www.academia.edu/22633858/_Les_Etats_généraux_de_Lyon_en_1312_Philippe_le_Bel_convoque_les_consuls_de_Périgueux_dans_Lyon_entre_Empire_et_royaume_843-1601_._Textes_et_documents_dir._A._Charansonnet_J.-L._Gaulin_P._Mounier_S._Rau_Classiques_Garnier_2015_p._375-379 Julien Théry-Astruc, « Les « États généraux » de Lyon en 1312 : Philippe le Bel convoque les consuls de Périgueux », dans ''Lyon, entre Empire et royaume (843-1601). Textes et documents'', dir. A. Charansonnet, J.-L. Gaulin, P. Mounier, S. Rau, Classiques Garnier, 2015, p. 375-379, disponible en ligne]. * 1789 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Louis XVI | nom1 = Roi de France | prénom2 = Royaume | nom2 = de France | prénom3 = États | nom3 = généraux (1789) | lien auteur1 = w:Louis XVI | lien auteur2 = w:Royaume de France | lien auteur3 = w:États généraux | titre = Ouverture des États généraux, faite à Versailles le 5 mai 1789 | sous-titre = Discours du roi ; discours de M. le garde des sceaux ; rapport de M. le directeur général des finances, fait par ordre du roi | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Imprimerie Royale | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1789 en littérature|1789]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 126 | passage = | dnb = 490473479 | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/ouverturedesetat1789fran | consulté le = 10 octobre 2015 | présentation en ligne = http://www.worldcat.org/title/ouverture-des-etats-generaux-faite-a-versailles-le-5-mai-1789-discours-du-roi-discours-de-m-le-garde-des-sceaux-rapport-de-m-le-directeur-general-des-finances-fait-par-ordre-du-roi/oclc/172987419/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= WorldCat.org | commentaire = | id = }} * 1789 - [[d:Q24205303|Cahier du tiers-état de la ville de Paris]], {{bibliographie|Q24205303}} ** [[d:Q24205303|Extrait du cahier du tiers-état de la ville de Paris]], signé : [[w:Guy-Jean-Baptiste Target|TARGET]], président librement élu ; [[w:Armand-Gaston Camus|CAMUS]], second président, élu librement ; [[w:Jean Sylvain Bailly|BAILLY]], secrétaire, élu librement ; [[w:Joseph Ignace Guillotin|GUILLOTIN]], second secrétaire, élu librement., page 552.<br />''Nos Représentants appuieront la demande de la Colonie de Saint Domingue d être admise aux Etats Généraux ils demanderont que les Députés des autres colonies soient également admis, comme étant composées de nos frères, et comme étant composées de nos frères, et comme devant participer à tous les avantages de la constitution française.''. ** ''Déclaration des droits''.<br />Dans toute société politique tous les hommes sont égaux en droits.<br />Tout pouvoir émane de la nation, et ne peut être exercé que pour son bonheur.<br />La volonté générale fait la loi; la force publique en assure l'exécution.<br />La nation peut seule concéder le subside; elle a le droit d'en déterminer la quotité, d'en limiter la durée, d'en faire la répartition, d'en assigner l'emploi, d'en demander le compte, d'en exiger la publication.<br />Les lois n'existent que pour garantir à chaque citoyen la propriété de ses biens et la sûreté de sa personne. Toute propriété est inviolable. ** 1868 - Cahiers des états généraux: clergé, noblesse, tiers état : classés ..., Volume 1, Dupont, 1868. [https://books.google.fr/books?id=FNRCAAAAcAAJ&dq=Nos%20Représentants%20appuieront%20la%20demande%20de%20la%20Colonie%20de%20Saint%20Domingue%20d%20être%20admise%20aux%20Etats%20Généraux%20ils%20demanderont%20que%20les%20Députés%20colonies&hl=fr&pg=PA554#v=onepage&q=Nos%20Représentants%20appuieront%20la%20demande%20de%20la%20Colonie%20de%20Saint%20Domingue%20d%20être%20admise%20aux%20Etats%20Généraux%20ils%20demanderont%20que%20les%20Députés%20colonies&f=false page 554]. ** 1984 - [https://books.google.fr/books?id=1SsSaxSr1zkC&lpg=PA173&dq=cahier%20du%20tiers-état%20de%20la%20ville%20de%20Paris&hl=fr&pg=PA173#v=onepage&q=cahier%20du%20tiers-état%20de%20la%20ville%20de%20Paris&f=false cahiers du tiers-état de la ville de Paris], [[d:Q24205492|Le Siècle des lumières : bibliographie chronologique]]. * 1860 - {{Bibliographie|Q28610078}} * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=|nom1=Anonyme|lien auteur1=|titre=Instruction sur les Assemblées nationales, tant générales que particulières, depuis le commencement de la monarchie jusqu'à nos jours |sous-titre=avec le détail du cérémonial, observé dans celle d'aujourd'hui|collection=Les archives de la Révolution française|numéro d'édition=|éditeur=Chez Royer|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1787|volume=|tome=|pages totales=192|passage=|isbn=|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46954n|consulté le=}}. * {{Bouillet note|article=États généraux}}. * {{ouvrage|id=Boullée|langue=fr|prénom1=Auguste-Aimé|nom1=Boullée|lien auteur1=|titre=Histoire complète des États-généraux et autres assemblées représentatives de la France, depuis 1302 jusqu'en 1626 |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Langlois et Leclercq|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1845|volume=|tome=|pages totales=717|passage=|isbn=|consulté le=}} : [http://books.google.fr/books?id=BWFCAAAAIAAJ volume 1], [http://books.google.fr/books?id=T98UAAAAQAAJ volume 2]. * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Edme-Jacques-Benoît|nom1=Rathery|lien auteur1=|titre=Histoire des États généraux de France, suivie d'un examen comparatif de ces assemblées et des Parlements d'Angleterre, ainsi que des causes qui les ont empêchées de devenir, comme ceux-ci, une institution régulière |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Cosse et N. Delamotte|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1845|volume=|tome=|pages totales=470|passage=|isbn=|lire en ligne=http://books.google.fr/books?id=e-QrAQAAIAAJ|consulté le=}}. * {{ouvrage|id=Picot|langue=fr|prénom1=Georges|nom1=Picot|titre=Histoire des États généraux |sous-titre=considérés au point de vue de leur influence sur le gouvernement de la France de 1355 à 1614|numéro d'édition=|éditeur=Mégariotis reprints|lieu=Genève|année=1872|tome=|pages totales=2 140|isbn=|consulté le=}} : [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007081 tome 1], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007154 tome 2], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007155 tome 3], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007156 tome 4]. * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Antoine-Claire|nom1=Thibaudeau|lien auteur1=|titre=Histoire des États généraux et des institutions représentatives en France, depuis l'origine de la monarchie jusqu'à 1789 |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Paulin|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1843|volume=|tome=|pages totales=1 042|passage=|isbn=|consulté le=}} : [http://books.google.fr/books?id=QLsWAAAAQAAJ volume 1], [http://books.google.fr/books?id=T98UAAAAQAAJ volume 2]. * Soule Claude, ''Les États généraux de France (1302-1789)''. Étude historique, comparative et doctrinale. Préface de P.-C. Timbal. Études présentées à la Commission internationale pour l'histoire des assemblées d’États. == Ethnie == [[Fichier:Ethnic Composition of the Americas.PNG|100px|vignette|gauche|Ethnie, Amérique]] {{Autres projets | w= Ethnie | s= Ethnie | commons = Category:Ethnic groups | wikiquote titre = Ethnie | wikt = Ethnie }} [[w:Ethnie|Ethnie]], signifie, par euphémisme<ref>[http://www.cnrtl.fr/definition/euphémisme Euphémisme] : Figure de pensée par laquelle on adoucit ou atténue une idée dont l’expression directe aurait quelque chose de brutal, de déplaisant.</ref>, [[w:Race|''race'']]. Bien que la notion d’ethnie n’est pas supperposable à celle de race, qui concerne les traits biologiques, génétiques & physiques et non la culture, la langue ou l’organisation socio-politique & économique. Le terme [[w:Ethnie|Ethnie]] est apparu en [[w:1896|1896]] dans la langue française. Il dérive de quatre termes qui, en grec ancien, servaient à désigner les groupes humains et signifiant "''peuple assemblé, foule, peuple du lieu, citoyens, gens de même origine''". == Eugénisme == {{Autres projets | w= Eugénisme | s= Eugénisme | commons = Eugénisme | wikiquote titre = Eugénisme | wikt = Eugénisme }} === Bibliographie (Eugénisme) === * 1983 - {{bibliographie|Q28874612}}<!-- Le premier Congrès international d'eugénique, Londres, 1912 --> * 1985 - {{bibliographie|Q28940076}} * 1993 - {{bibliographie|Q28874485}}<ref>Article scientifique publié dans {{bibliographie|Q28874552}}, 1994<!-- Histoire de la médecine --></ref><!-- Les médecins français et l'eugénisme --> === Expansion européenne (1492-1915) === * {{article | langue = fr | prénom1 = Paul-Henri | nom1 = Michel | lien auteur1 = w:Paul-Henri Michel | prénom2 = Alexandre | nom2 = Koyré | lien auteur2 = w:Alexandre Koyré | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Du monde clos à l’univers infini | sous-titre = Compte rendu de lecture de ''Alexandre Koyré.- Du monde clos à l’univers infini'' | périodique = Revue d'histoire des sciences et de leurs applications | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = 17 | titre volume = | numéro = 1 | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:1964 en littérature|1964]] | pages = 57-60 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | Lire en ligne = www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1964_num_17_1_2289 | url texte = | doi = | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} * 1966 - {{article | langue = fr | prénom1 = Pierre | nom1 = Chaunu | lien auteur1 = w:Pierre Chaunu | prénom2 = | nom2 = | lien auteur2 = | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Le rythme trentenaire de l’expansion européenne | sous-titre = Compte-rendu de lecture de ''Frédéric Mauro.- L’Expansion européenne, 1600-1870'' | périodique = Annales. 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Washington pour faire triompher la cause de l'indépendance américaine et incitent le roi Georges III à signer le traité de février 1778.|[https://www.bibliotheques-clermontmetropole.eu/s/search.php?action=Record&id=clercopat_R971647 Les porteurs de lumière : La Fayette, Art Royal et Indépendance américaine<ref>Les porteurs de lumière : La Fayette, Art Royal et Indépendance américaine]</ref> * 2009 - {{bibliographie|Q86697276}} <!-- La Fayette, entre deux mondes : actes de la journée d'étude du 7 septembre 2007 au Puy-en-Velay --> == Féodalité dans les colonies == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Le_retour_de_l'esclavage_dans_l'espace_politique_français#Féodalité_dans_les_colonies_:_conquête_&_occupation_de_la_Nouvelle-France|Féodalité dans les colonies : conquête & occupation de la Nouvelle-France]]. == François-Xavier Fabre == [[w:François-Xavier Fabre|François-Xavier Fabre]], peintre, prix de Rome en 1787, comptemporain de Joseph Bologne de Saint-George. Il épousa la contesse d'Albany, épouse en première noces de Stuart Charles Edouard Louis Philippe Casimir fils ainé de [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph,_sujet_du_roy_de_France,_de_la_servitude_à_la_chevalerie#L'exil/asile_de_Jacques_François_Stuart,_prétendant_aux_trônes_d'Angleterre,_d’Écosse_et_d'Irlande|Jacques François Stuart]]. == Guerre de Succession d'Autriche == == Fair-play == * [[w:Fair-play|Fair-play]] Première utilisation : William Shakespeare.- The Life and Death of King John ([[w:Le Roi Jean|''Jean d’Angleterre]], 1199-1216'') [[Fichier:Nast drawing of King John.jpg|100px|vignette|gauche]] [[s:https://en.wikisource.org/wiki/The_Life_and_Death_of_King_John#ACT_V.|Bastard to King John]]. O inglorious league! Shall we, upon the footing of our land, Send '''''fair-play''''' orders, and make compromise, Insinuation, parley, and base truce, To arms invasive? shall a beardless boy, A cocker'd silken wanton, brave our fields, And flesh his spirit in a warlike soil, Mocking the air with colours idly spread, And find no check? Let us, my liege, to arms; Perchance the cardinal cannot make your peace; Or, if he do, let it at least be said They saw we had a purpose of defence. [[s:Page:Shakespeare - Œuvres complètes, traduction Hugo, Pagnerre, 1866, tome 3.djvu/266|Le Bastard au Roi Jean]] Ô inglorieuse ligue ! — Quoi ! quand notre sol est foulé, — nous enverrons de pacifiques mots d’ordre, nous proposerons un compromis, — une explication, des pourparlers, une infâme trêve, — à l’invasion armée ! Un garçon imberbe, — un fat dorloté dans la soie, bravera nos plaines, — il essaiera sa valeur sur un sol belliqueux — en narguant l’air de ses couleurs nonchalamment déployées, — et il ne trouvera pas de résistance ! Ah ! mon prince, aux armes ! — Peut-être le cardinal ne pourra-t-il pas obtenir votre paix ; — même s’il l’obtient, qu’il soit au moins dit — qu’on nous a vus préparés à la défense. == La Ferme générale == * 1680 - {{bibliographie|Q71813408}} <!-- contrôlle des exploits et actes d'affirmations de voyages --> * 1758 - {{bibliographie|Q71803037}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> ** 1758 - {{bibliographie|Q71810686}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> ** 1758 - {{bibliographie|Q71812194}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> * 2013 - Séminaire L'Esprit des Lumières et de la Révolution 2012-2013, {{YouTube|YDXS7uHaXc0|Yannick Bosc.- Florence Gauthier, Les enjeux de la dette de l'Ancien Régime, jeudi 21 mars 2013}}, 9 nov. 2013 == Feux d'artifices sous Louis XVI == * [https://www.retronews.fr/catastrophes/echo-de-presse/2018/11/09/feu-dartifice-au-mariage-de-louis-xvi-132-morts Feu d’artifice au mariage de Louis XVI : 132 morts] == Louis Joseph Francœur == [[w:Louis Joseph Francœur|Louis Joseph Francœur]], (Paris, 8 octobre 1738 - Paris, 10 mars 1804), violoniste, compositeur, administrateur de l’Opéra de Paris est le père de [[w:Louis-Benjamin Francœur|Louis-Benjamin Francœur]] (1773-1849), mathématicien. {{Citation bloc|Afin que l’oreille fût charmée comme l’odorat, la petite tribune de la salle à manger se remplit bientôt de musiciens prêtés au financier par les directeurs de l’Opéra Rebel et Francœur.|Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges (roman), page [[s:Page:RogerDeBeauvoir-LeChevalierDeSaint-georgesEdition2V31840.djvu/158|150]]<ref>{{bibliographie|Q23541390}}</ref>×}} === francs-maçonnerie === * [[wikidata:Q22084378|L’espace des francs-maçons : Une sociabilité européenne au {{s|XVIII|e}} (Q22084378)]], [http://www.worldcat.org/title/espace-des-francs-macons-une-sociabilite-europeenne-au-xviiie-siecle/oclc/470237663/editions?referer=di&editionsView=true WorldCat (ouvrage)] ; [https://www.worldcat.org/search?q=L%27espace+des+francs-ma%C3%A7ons+%3A+Une+sociabilité+européenne+au+XVIIIe+siècle&qt=results_page Comptes-rendus de lecture] : [http://books.openedition.org/pur/23622 Lire en ligne]. === Frantz Fanon === [[Fichier:Frantz Fanon hospital in 1933.jpg|100px|vignette|gauche|Frantz Fanon hospital, 1933]] * [[w:Frantz Fanon|Frantz Fanon]], 1925-1961. "''Il existe à l’ONU une commission chargée de lutter contre le racisme. Des films sur le racisme, des poètes sur le racisme, des messages sur le racisme...<br />Les condamnations spectaculaires et inutiles du racisme. La réalité est qu’un pays colonial est un pays raciste. Si en Angleterre, en Belgique ou en France, en dépit des principes démocratiques affirmés par ces nations respectives, il se trouve encore des racistes, ce sont ces racistes qui, contre l’ensemble du pays, ont raison. Il n’est pas possible d’asservir des hommes sans logiquement les inférioriser de part en part. Et le racisme n’est que l’explication émotionnelle, affective, quelquefois intellectuelle de cette infériorisation''". Fondation Frantz Fanon, Sortir du colonialisme.- Frantz Fanon par les textes de l'époque, Introduction par Mireille Fanon-Mendès-France, Préface d’Achille Mbembe, Publication : les Petits matins, Imprimerie : Paris, 2012, 87 pages, {{BNF|42677276q}}, ISBN : 2363830245, 9782363830241. "''La violence se présentera dès lors comme une réaction purement corporelle, physiologique et s’exprimera comme la décharge d’une tension musculaire devenue incontrôlable. Ceci évoque les théorisations de la pulsion de mort en psychanalyse : celle-ci se transforme, à travers la mise en tension de la musculature, en pulsions de destruction ou d’emprise, se détournant de sa dangereuse "loi"» selon laquelle la mort serait le but de la vie. Il en va néanmoins tout autrement ici où la charge d’agressivité ne dérive pas d’une quelconque pulsion autonome mais est le fruit même de la violence coloniale. "''Le corps du colonisé est également rigide. Les muscles sont contracturés. Il n’y a pas de détente. C’est l’homme total, c’est le colonisé qui affronte à la fois un technicien et un colonisateur''". ; "''Dans le monde colonial, l’affectivité du colonisé est maintenue à fleur de peau comme une plaie vive qui fuit l’agent caustique''". Ceci témoigne de la résistance animale du colonisé : celui-ci dit Fanon "''est dominé mais non domestiqué. Il est infériorisé, mais pas convaincu de son infériorité''"; Renault Matthieu.- [https://www.cairn.info/revue-cahiers-sens-public-2009-2-page-133.htm Vie et mort dans la pensée de Frantz Fanon], Cahiers Sens public 2/2009 (n° 10), p. 133-145. * Albert Mangonès, [http://www.esclavage-memoire.com/lieux-de-memoire/statue-du-marron-inconnu-27.html Statue du Marron Inconnu, 1968]. Place du Marron Inconnu, Champ de Mars , HT- 6110 Port-au-Prince. * Frantz Fanon.- [http://www.editionsladecouverte.fr/catalogue/index-__crits_sur_l_ali__nation_et_la_libert__-9782707186386.html Écrits sur l’aliénation et la liberté, Inédits], La Decouverte, Paris, 2015. * Jean Khalfa, franceculture.fr.- [http://www.franceculture.fr/emission-les-nouveaux-chemins-de-la-connaissance-frantz-fanon-contre-l-alienation-psychiatrique-2015 Frantz Fanon contre l’aliénation psychiatrique], 6 novembre 2015 - 10:00. == G == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter G.jpg|100px|vignette|centré]] === Galion de Manille === [[Fichier:Drawing of a ship, c.1447-1449 - BL Cotton MS Titus A XXVI.jpg|100px|vignette|gauche|Drawing of a ship, c.1447-1449]] [[Fichier:Spanish Galleon.jpg|100px|vignette|gauche|Gravure d'un galion espagnol, par [[w:Albrecht Dürer|Albrecht Dürer]], 1471-1528.]] [[Fichier:The Graunde Masterys - Roll of the Galleys of Henry VIII (1546) - BL Add MS 22047.jpg|100px|vignette|gauche|The Graunde Masterys, Galleys of Henry VIII, 1546]] [[Fichier:16th century Portuguese Spanish trade routes.png|100px|vignette|gauche|Routes commerciales, portugaises & espagnoles, XVI{{e}} siècle.]] Le [[w:Galion de Manille|galion de Manille]]. {{Citation bloc|Le galion de Manille est un système économique mis en place dès 1565. Chaque année, un navire part des Philippines chargé de produits asiatiques, en particulier de la soie chinoise brute ou élaborée. Les marchandises sont vendues à Acapulco et le galion revient aux Philippines avec, d'une part, les bénéfices de la vente qui permettent à la communauté espagnole de Manille de survivre et, d'autre part, avec une aide en argent mexicain, le situado, qui finance l'administration civile, religieuse et militaire de la colonie. Ce système connaît une crise profonde à la fin du XVIIIe siècle. Il est finalement supprimé en 1815<ref>Le galion de Manille disparut en 1815, lorsque la guerre d'indépendance du Mexique mit un point final au commerce transitant par le Mexique. [[w:Galion de Manille|fr.Wikipédia]].</ref> et les Philippines sont graduellement ouvertes au commerce international à partir de 1789. Cette libéralisation entraîne une très forte expansion de l'agriculture commerciale de l'archipel.|Huetz De Lemps Xavier.- Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)<ref>Huetz De Lemps Xavier.- [http://www.persee.fr/doc/remi_0765-0752_1997_num_13_2_1549 Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)], Revue européenne des migrations internationales, vol. 13, n°2,1997. pp. 47-62, DOI : 10.3406/.<br />''La emigraciôn espanola a Filipinas, Boletin de la Sociedad Geogrâfica, t. XXVII, 1889, p. 200-207, p. 205.<br />Canga-Argùelles, (Felipe).- ''Inmigracion espanola al sur de Filipinas'', Boletin de la Sociedad Geogrâfica, t. XXIV, 1888, p. 201-233, p. 212.<br />Filipinas : problema fundamental por un espanol de larga residencia en aquellas islas. Madrid : imp. de D. Luis Aguado, 1891,60 p., p. 15.</ref>.}} == Gardes nationales == Assemblée nationale, Séance du 20 avril 1791 * [https://archive.org/details/archivesparlemen25pariuoft/page/225/mode/1up?q=L%C3%A9gion Projet de décret sur l'organisation des gardes nationales, présenté au nom du comité de Constitution et du comité militaire, par M. Rabaud Saint-Etienne] == Le gazetier universel == [http://gazetier-universel.gazettes18e.fr/ Ressources numériques sur la presse ancienne] [[w:Mercure historique et politique|Mercure historique et politique]] == Stéphanie-Félicité Du Crest, comtesse de Genlis (1746-1830) == [[Fichier:Madame de Genlis by Lemoine.jpg|100px|vignette|gauche|Madame de Genlis by Lemoine]] * [[w:Félicité de Genlis|Félicité de Genlis]], 1746-1830 * Stéphanie-Félicité Du Crest, comtesse de Genlis (1746-1830) [http://www.bnf.fr/fr/collections_et_services/anx_fds_col/a.fonds_genlis.html BnF, Collections par thèmes, Fonds Madame Genlis] * [[s:Discussion:L’Amant anonyme|Discussion:L’Amant anonyme]], Œuvres de Madame de Genlis, œuvre du Chevalier de Saint-George. ;Bibliographie * 1985-2001 - {{bibliographie|Q28464637}} * [[d:Q110724656|1825]] - ''[[d:Q110724656|{{bibliographie|Q110724656}} sur le dix-huitième siècle et la révolution française, depuis 1756 jusqu'à nos jours]]''. Voir toutes les éditions et tous les volumes par édition <!-- Mémoires inédits de madame la comtesse de Genlis --> * 2019 - {{bibliographie|Q110716251}} <!-- Princes et élèves : les études des princes d’Orléans sous l’autorité de Madame de Genlis (1782-1792) --> == Genève == === Le Monarchomaque === [[w:Monarchomaque|Monarchomaque]] [https://monarchomaque.org/2019/09/02/theologie-politique/ Genève – Prototype de la Réformation planétaire] [https://monarchomaque.org/2019/09/02/theologie-politique/ Bibliographie sélective commentée sur l’histoire de la théologie politique chrétienne], 2 septembre 2019 par Tribonien Bracton == Gens == * Google Books Ngram Viewer : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=crime%2Chumanité%2Cgens&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=3&share=&direct_url=t1%3B%2Ccrime%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Chumanité%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cgens%3B%2Cc0 crime,humanité,gens] === Gens de couleur libres === [[Fichier:Cyrille Bissette, Revue des colonies, Une juillet 1836.png|100px|vignette|gauche]] * [[d:Q26423155|1823]] - {{Bibliographie|Q26423155}} * [[d:Q26430467|1834-1842]] - {{Bibliographie|Q26430467}} == Edward Gibbon.- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain == [[w:Edward Gibbon|Edward Gibbon]].- [[w:Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain|Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain]] * Edward Gibbon.- Progrès de la religion chrétienne et décadence de l'empire romain, [http://agora.qc.ca/Documents/Rome_antique--Progres_de_la_religion_chretienne_et_decadence_de_lempire_romain_par_Edward_Gibbon Dossier: Rome antique, 2012-04-01] * Edward Gibbon, Original, {{S|XVIII}} ** Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain - Volume IV par Edward Gibbon * Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky, {{S|XVIII}} ** {{BNF|33987802k}} ** Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky (trad.).- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, 1789, [https://books.google.com/books?id=GJbM4pft5cUC Volume quatrième] ** Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky (trad.).- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, 1790, [https://books.google.com/books?id=xeZLBG4Efl0C Volume dixième] * Traduction Guizot, 1812 ** [[s:Histoire de la décadence et de la chute de l’Empire romain|Histoire de la décadence et de la chute de l’Empire romain]] ** Edward Gibbon, François-Pierre-Guillaume Guizot, François Guizot, Claude-François Maradan. Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, [https://archive.org/details/histoiredeladca02maragoog chez Maradan], * Edward Gibbon, New-York, 1826 ** Edward Gibbon.- The history of the decline and fall of the Roman empire, J. & J. Harper for Collins & Hanney, [https://books.google.be/books?id=FvQLAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PR3#v=onepage&q&f=false New-York, Volume 2, 1826] * Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon, 1837- ** 1837 - Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon.- Histoire de la décadence et la chute de l'Empire romain, A. Desrez, 1837, [https://archive.org/details/histoiredeladca01buchgoog Tome premier] ** 1838 - Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon.- Histoire de la décadence et la chute de l'Empire romain, A. Desrez, 1838, [https://archive.org/details/histoiredeladca00buchgoog Tome deuxième] == Paul et Pierrette Girault de Coursac == [[w:Paul et Pierrette Girault de Coursac|Paul et Pierrette Girault de Coursac]] sont connus pour avoir exploré des documents qui n'ont pas été exploités depuis leur archivage après avoir procédé à l'ouverture de fonds sur la fin de l'Ancien Régime et la Révolution française aux [[w:Archives d'État autrichiennes|archives d'État d'Autriche]] à [[w:Vienne (Autriche)|Vienne]] puis dans celles de Londres et à Paris aux [[w:Archives nationales (France)|archives nationales]]<ref>[https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Girault+de+Coursac&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Cf. bibliographie BnF]</ref> et aux archives du ministère des affaires étrangères. ;Pierrette Girault de Coursac * 1977 - {{Bibliographie|Q79003529}} <!-- 1977 - Pierrette Girault de Coursac, Guerre d'Amérique, guerre de Louis XVI --> == Edouard Glissant, 1928-2011 == * [[w:Edouard Glissant|Matthieu Édouard Glissant]] * 1969 - {{bibliographie|Q109794463}} <!-- Édouard Glissant, L'intention poétique --> * 1981 - {{bibliographie|Q109782619}} <!-- Édouard Glissant, Le discours antillais --> * 2018 - {{bibliographie|Q109788531}} <!-- François Noudelmann, Édouard Glissant : L'identité généreuse --> ** 2018 - {{Lien web |langue= fr|auteur= Frédéric Worms, François Noudelmann|titre= Matières à penser : "''Bonne chance en Relation, Monsieur''", Quest-ce qu'une vie d'écrivain ?|url= https://www.franceculture.fr/emissions/matieres-a-penser-avec-frederic-worms/quest-ce-quune-vie-decrivain|date= 2018|site= franceculture.fr|consulté le= 28 novembre 2021}} * - Édouard Glissant.- Poétique, {{BNF|369631767}} ** I - Soleil de la conscience, (Seuil, 1956 — nouvelle édition, Paris, Gallimard, 1997). ** II - L'intention poétique, (Seuil, 1969), Paris — Gallimard, 1997. ** III - Poétique de la relation (Paris, Gallimard, 1990) == François I{{er}} de Lorraine, duc de Guise (1519-1563) == [[Fichier:Château de Beauregard - Francis, Duke of Guise.jpg|100px|vignette|gauche|Francis, Duke of Guise]] [[w:François de Guise|François de Guise / François I{{er}} de Lorraine]], 2{{e}} '''[[w:Liste des seigneurs de la terre de Guise#Ducs de Guise (1528-1789)|duc de Guise]]''' (<nowiki>{{Date|17|février|1519}}</nowiki>, [[w:Bar-le-Duc|Bar-le-Duc]] - <nowiki>{{Date|24|février|1563}}</nowiki>, [[w:Saint-Hilaire-Saint-Mesmin|Saint-Hilaire-Saint-Mesmin]]), qui, selon certains auteurs, fut surnommé « ''le Balafré'' », est un militaire et homme d’État français du {{S|XVI}}. Il fut l'un des meilleurs chefs d'armée du roi [[w:Henri II de France|Henri II]] et le principal [[w:Ligue catholique (France)|chef catholique]] pendant la première [[w:Guerres de Religion (France)|guerre de Religion]]. Il est comte, puis [[w:Liste des comtes et ducs d'Aumale#Ducs d'Aumale|duc d'Aumale]] et [[w:Pairie de France (Ancien Régime)|pair de France]], [[w:Liste des seigneurs de Mayenne|marquis de Mayenne]], baron, puis [[w:Liste des seigneurs puis princes de Joinville|prince de Joinville]], [[w:grand chambellan de France|grand chambellan]], [[w:Grand veneur de France|grand veneur]], et [[w:Grand maître de France|grand maître]] ([[w:1559|1559]]). Compagnon d'enfance d'Henri d'Orléans (futur Henri II), François de Guise est un chef militaire de renom, à la tête d’un puissant [[w:Parenté|lignage]]. Il gouverne la France sous le règne de [[w:François II de France|François II]] de France (1559-[[w:1560|1560]]) avec son frère [[w:Charles de Lorraine (1524-1574)|Charles de Lorraine]], et s'illustre comme le chef des catholiques durant la première guerre de Religion. Il meurt assassiné pendant le [[w:Siège d'Orléans (1563)|siège d'Orléans]], le {{Date|24|février|1563}}. === L'assassinat du duc de Guise, 23 décembre 1588, Une leçon d'histoire === [[Fichier:Assassinatducdeguise.jpeg|100px|vignette|gauche|[[c:File:Assassinatducdeguise.jpeg|Gravure réalisée par Tortorel et Perrissin, vers 1570. B = Duc de Guise. E = Jean de Poltrot de Méré]]]] [[Fichier:Paul Delaroche - L’assassinat du duc de Guise au château de Blois en 1588 - Google Art Project.jpg|100 px|vignette|gauche|Paul Delaroche.- L’assassinat du duc de Guise au château de Blois en 1588]] [[w:Henri III (roi de France)|Henri III, roi de France]] L'Assassinat du duc de Guise est commandé par Henri III, né le 19 septembre 1551 à Fontainebleau, mort assassiné le 2 août 1589 à Saint-Cloud, roi de Pologne de 1573 à 1575 et roi de France de 1574 à 1589, dernier roi de la dynastie des Valois de France. "Le 22 décembre 1588, sur l'ordre du roi Henri III jaloux de son prestige, le très populaire duc de Guise, chef de la Ligue catholique, généralissime des armées du royaume et Grand maître de la maison du roi est assassiné pendant les Etats généraux à Blois. L'assassinat du Duc de Guise a lieu le 18 février 1563. Il meurt le 24 février suivant. Voir plus, L'assassinat du Duc de Guise - Archive INA === L’Invincible Armada : réorganisation des puissances en Europe === [[Fichier:De Spaanse Armada voor de Engelse kust Rijksmuseum SK-A-1629.jpeg|100px|vignette|gauche|L’Invincible Armada]] L’[[w:Invincible Armada|Invincible Armada]] (en [[espagnol]] ''{{Lang|es|Grande y Felicísima Armada}}'', (''"la grande et très heureuse flotte"'') est, en 1588, le nom de la flotte d'invasion armée espagnole à destination de l'[[w:Angleterre|Angleterre]]. Elle est affrétée par le [[w:Rois catholiques|très-catholique]] [[w:Philippe II d'Espagne|Philippe II d'Espagne]] <nowiki>{{Nobr|Philippe {{Rom-maj|II}}}}</nowiki> d’Espagne]], et est destinée à emporter soldats (dont les fameux ''[[w:Tercio|Tercio]]s'' stationnés en [[w:Comté de Flandre|Flandre]]), munitions et vivres à travers la [[w:Manche (mer)|Manche]]. Sa mission est la conquête de l'Angleterre [[w:protestante|protestante]] d’[[w:Élisabeth Ire (reine d'Angleterre)|Élisabeth I{{ère}}]], menace permanente pour la souveraineté espagnole sur ses territoires des [[w:Pays-Bas espagnols|Pays-Bas]]. Initialement, la mission visait à établir [[w:Marie Ire d'Écosse|Marie Stuart]] sur le trône d'Angleterre et la rétablir sur celui d'[[w:Écosse|Écosse]], mais son exécution le 8 février 1587 modifia les objectifs de la flotte d'invasion. La flotte espagnole est composée de 130 navires, en majorité des galions, transportant {{unité|30000|hommes}}, dont environ {{unité|20000|soldats}}. Dans un premier temps, face à une marine anglaise ingénieuse et déterminée, elle ne parvient pas à engager le combat lors de la [[w:Bataille de Gravelines (1588)|bataille de Gravelines]]. Puis, soumise à des conditions météorologiques très difficiles, l'amiral décide d'abandonner le projet d'invasion. Lors du voyage du retour, en contournant l'Angleterre par le nord, une tempête conduit au naufrage sur les côtes irlandaises ([[w:comté de Sligo|comté de Sligo]] notamment<ref name="History">Christopher Klein, « Spanish Armada Cannons Recovered Off Irish Coast ». 4 août 2015. [http://www.history.com/news/spanish-armada-cannons-recovered-off-irish-coast Consulter en ligne].</ref>) de deux douzaines de bateaux. Les équipages parvenus sur les côtes sont poursuivis et probablement pour beaucoup massacrés. Cette épisode de la [[Guerre anglo-espagnole (1585-1604)|guerre anglo-espagnole de 1585–1604]] entraîne un affaiblissement de l'Angleterre et débouche sur le [[w:Traité de Londres (1604)|traité de Londres de 1604]], favorable aux intérêts de la monarchie espagnole. La campagne navale de l'Invincible Armada est de manière erronée considérée comme une défaite espagnole. De fait, de récentes investigations historiques ont prouvé le contraire : en effet, seuls deux bateaux espagnols furent détruits par les Anglais. L’Invincible Armada fut en réalité découragée et affaiblie (à 17 % détruite) par la force des éléments naturels. La propagande anglaise a longtemps interprété comme une défaite militaire accomplie l'échec du projet d'invasion, de même que la [[w:légende noire espagnole|légende noire espagnole]] instillée dès le début de la [[w:guerre de Quatre-Vingts Ans|guerre de Quatre-Vingts Ans]] par les nombreux adversaires des [[w:Maison de Habsbourg en Espagne|Habsbourgs]]. === Œuvres tirées de l'épisode historique === Muziek instituut MultiMedia.- L'Assassinat du Duc de Guise, youtube.com Georges Hatot (directeur).- Assassinat du duc de Guise (1897), Youtube.com : <nowiki>https://youtu.be/Ww25BVJuYvo</nowiki>. L'assassinat du duc de Guise, la fin du film de 1908<br>Extrait pour montrer la fin qui ne figure dans aucune vidéo du film sur le net.Donc cette version est plus…, youtube.com, <<nowiki>https://youtu.be/j77hAdKoqJo</nowiki>>. Saint-Saëns.- L'Assassinat du Duc de Guise,Orquesta de Camara de Valdivia / Dir. Assaf Leibowitz, youtube.com <<nowiki>https://youtu.be/y14DorPgRzM</nowiki>>. Alexandre Dumas.- Henri III et sa cour. Œuvres d’Alexandre Dumas, Meline, Cans et cie, 1838, vol. 2 (pp. 23-62). <https://fr.wikisource.org/wiki/Henri_III_et_sa_cour>. ''Oui ! cette conjuration me parait plus puissante et plus sûre. — (Regardant un sablier.) Neuf heures bientôt… Qu’il me tarde d’être à minuit pour en faire l’épreuve ! Réussirai-je enfin ? parviendrai-je à évoquer un de ces esprits que l’homme, dit-on, peut contraindre à lui obéir, quoiqu’ils soient…'' == Jean d'Orléans (1874-1940), duc de Guise == === Manifeste du duc de Guise, 1933 === BnF Catalogue général : <http://catalogue.bnf.fr/search.do...>. [http://www.sylmpedia.fr/index.php/Manifeste_du_Duc_de_Guise Manifeste du Duc de Guise, 30 févier 1933] Michel Franceschetti (Lecteur).- Le manifeste du duc de Guise (1933), alors en exil, <<nowiki>https://youtu.be/Vv2BFb8EAro</nowiki>>. Le '4 février 1933', le Manifeste du Duc de Guise pose le dilemme suivant : — ou l'autorité et les libertés de la monarchie ; — ou l'oppression de l'anarchie socialiste. Actes du quatrième Colloque Maurras: Aix-en-Provence, 1974, <https://books.google.com/books?id=T84wAQAAIAAJ>. Le '30 févier 1933', alors que Hitler arrive au pouvoir en Allemagne, le duc de Guise, prétendant au trône, adresse aux Français un texte expliquant ce qu'est la monarchie. Le manifeste du duc de Guise (1933) - vidéo Dailymotion, <http://www.dailymotion.com/video/xx54oa>. [http://www.la-couronne.org/histoire/30-janvier-1933-duc-de-guise-sadresse-aux-francais/ Le manifeste du duc de Guise (1933)] == Ivan Mane Jarnowick == [[w:Ivan Mane Jarnowick|Ivan Mane Jarnović, Giovanni Mane Giornovichi, Jarnowick ou Jarnowitz]], (26 octobre 1747 – 23 novembre 1804). Dit Giovanni Mane Jarnoweck (Giornovichi) dans ''[[d:Q23015805|The Chevalier de Saint-Georges: Virtuoso of the Sword and the Bow]]'' de Gabriel Banat. == François-Joseph Gossec == * [[w:François-Joseph Gossec|François-Joseph Gossec]] * [[w:Concert des amateurs|Le Concert des Amateurs]] ; [http://sites.univ-lyon2.fr/musiquefr-18/salles/paris/salleconcert/concert/amateur.html Le Concert des amateurs] == Guadeloupe == 27 juin ???? - "[http://buag.univ-ag.fr/actualite/pensee-economique-et-sociale-chez-leaders-politiques-negres-guadeloupe-du-debut-du-xxe Pensée économique et sociale chez les leaders politiques Nègres de la Guadeloupe du début du XXe siècle]" Mais, de quel 27 juin s'agit-il ? * Recherche dans le document<br /> Résultats de recherche<br /> [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k49555m/f684.item.r=Assemblée%20coloniale%20de%20la%20Guadeloupe.zoom Assemblée coloniale de la Guadeloupe : 90 premières pages trouvées] == François Pierre Guillaume Guizot == {{Autres projets | w = François Guizot | s = François Guizot | commons = Category:François Guizot | q = François Guizot }} * [[q:Louis-Bernard Robitaille|Louis-Bernard Robitaille]] sur [[q:Louis-Bernard Robitaille#Sur_François_Guizot|François Guizot]] {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = François Pierre Guillaume Guizot | nom1 = Guizot (1787-1874) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:François Guizot | lien auteur2 = | titre = Histoire générale de la civilisation en Europe | sous-titre = depuis la chute de l’Empire romain jusqu’à la Révolution française | lien titre = w:Histoire générale de la civilisation en Europe/09 | numéro d'édition = | éditeur = Langlet et Cie | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1838|1838]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 386 | passage = | dnb = 30561736n | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = s:Histoire générale de la civilisation en Europe/09 | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/search?q=Guizot+%2B+%22Histoire+ge%CC%81ne%CC%81rale+de+la+civilisation+en+Europe%22&fq=&dblist=638&qt=sort&se=yr&sd=asc&qt=sort_yr_ascWorldCat.org | commentaire = <poem> François Guizot (1787-1874), ''[[w:Orléanisme|Orléaniste]], professeur à la Sorbonne, député et ministre sous [[w:Louis-Philippe Ier|Louis-Philippe Ier]]''.- Histoire générale de la civilisation en Europe depuis la chute de l’Empire romain jusqu’à la Révolution française précédée d’un discours sur l’histoire de Belgique par le Baron de Reiffenberg lu à l’Académie de Bruxelles le 4 février 1836 : Pichon et Didier, Paris, 1828, [https://archive.org/details/coursdhistoiremo00guizuoft IA], Lacrosse, Libraire-Éditeur, Bruxelles, 1838, 387 pages, [http://classiques.uqac.ca/classiques/guizot_francois/Histoire_civilisation_europe/civilisation.html classiques.uqac.ca], Didier, Paris, 1840, Troisième édition, {{BNF|30561736n}} Didier, Paris, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k432075c.r=guizot+histoire.langFR 1870], {{Gallica|ark:/12148/bpt6k432075c|t}} </poem> | id = }} {{Citation bloc|Vers la même époque, à peu près au moment où éclataient les croisades, commença à grandir l’institution qui a peut-être le plus contribué à la formation de la société moderne, à cette fusion de tous les éléments sociaux en deux forces, le gouvernement et le peuple ; c’est la royauté<ref>Depuis le 21 septembre 1792, date de la proclamation de l’abolition de la royauté, la [[w:France|France]] a connu cinq [[w:République|républiques]].</ref>.|François Pierre Guillaume Guizot.- Histoire générale de la civilisation en Europe, 1838, Neuvième leçon, page [[s:Page:Guizot - Histoire générale de la civilisation en Europe, 1838.djvu/267|231]]}} == Guerres & Batailles == * [[w:Guerre|Guerre]] <br />Conflit armé entre plusieurs groupes politiques constitués. Cf. guerresinternationales, guerres étrangères<br />Conflit armé entre deux factions de populations opposées à l’intérieur d’un même État. Cf. guerre civile, guerre révolutionnaire, guerre de sécession, par opposition aux .<br />Les guerres et leurs moyens sont soumises à des règles d'honneur anciennes et tacitement admises, les [[w:Droit de la guerre|lois de la guerre (''Droit de la guerre'')]], devenues le fondement du [[w:Droit international public|droit international public]]. * [[w:Bataille|Bataille]] <br />Dans le cadre d’une guerre, on considère généralement que l’un des camps en présence est victorieux lorsque son adversaire s’est rendu, s’est dispersé, a fait retraite ou a été rendu incapable de poursuivre des opérations militaires. Le stratège allemand [[w:Carl von Clausewitz|Carl von Clausewitz]], 1780-1831, a affirmé que "l’utilisation des batailles pour gagner la fin de la guerre" était l’essence de la [[w:stratégie|stratégie]]. {{Citation bloc|Chez les anciens, une guerre heureuse ajoutoit, en esclaves, en tributs, en terres partagées, à la richesse publique et particulière. Chez les modernes, une guerre heureuse coûte infailliblement plus qu’elle ne rapporte.|Benjamin Constant.- [[d:Q19152129|De l’esprit de conquête et de l’usurpation dans leur rapports avec la civilisation européenne]], [[s:De l’esprit de conquête et de l’usurpation dans leur rapports avec la civilisation européenne/2|2, Wikisource]]<ref>{{bibliographie|Q19152129}}</ref>.}} * {{article | langue = fr | prénom1 = Marylène | nom1 = Patou-Mathis | lien auteur1 = w:Marylène Patou-Mathis | prénom2 = | nom2 = | lien auteur2 = | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Déconstruire le mythe d’une préhistoire sauvage et belliqueuse | sous-titre = Non, les hommes n’ont pas toujours fait la guerre | périodique = monde-diplomatique.fr | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = Juillet | année = [[w:2015|2015]] | pages = 20 et 21 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = La violence humaine est-elle innée ou induite par le contexte ? | format = | url texte = http://www.monde-diplomatique.fr/2015/07/PATOU_MATHIS/53204 | doi = | consulté le = 18 novembre 2015 | commentaire = | extrait = ''L’image de l’homme préhistorique violent et guerrier résulte d’une construction savante élaborée par les anthropologues évolutionnistes et les préhistoriens du {{s|XIX|e}} et du début du {{s|XX|e}}. (...) Puis la théorie dite "des migrations", apparue dans les années 1880, a soutenu que la succession des cultures préhistoriques résultait du remplacement de populations installées sur un territoire par d’autres ; elle a enraciné la conviction que la guerre de conquête avait toujours existé. (...) L’Homo sapiens, animal brutal car prédateur, se serait répandu hors d’Afrique à travers l’Eurasie en éliminant les autres grands singes bipèdes. Cette hypothèse, avancée en 1925 par le préhistorien Raymond Dart, fut popularisée en 1961 par Robert Ardrey dans Les Enfants de Caïn (Stock). (...) Cette "sauvagerie intérieure" ne serait-elle pas en réalité, comme le suggère l’épistémologue et anthropologue Raymond Corbey, une "construction mentale imaginaire influencée par les idéologies du {{s|XIX|e}} comme le racisme ou l’eugénisme" ?''. | id = }} * Geoffrey Parker.- The Military Revolution: Military Innovation and the Rise of the West, 1500-1800. Cf Annexe bibliographie == Guyane == === Voyage dans la Guyane française === [[Fichier:Le tour du monde ː nouveau journal des voyages, Volume XIII, page de titre.png|100px|vignette|gauche]] {{Citation bloc|Et d’abord, cette évidence : le voyage, alors, s’achevait dans le journal. La presse du {{S|XIX}} était en cela l’héritière de celle du {{S|XVIII}} qui définissait le journal, avec L’Encyclopédie, comme un « ouvrage périodique, qui contient les extraits des livres nouvellement imprimés, avec un détail des découvertes que l’on fait tous les jours dans les Arts & dans les Sciences<ref>L’Encyclopédie signalait par ailleurs qu’« on donne aujourd’hui le nom de journal à des ouvrages qui contiennent le détail de ce qui se passe journellement en Europe », tout en renvoyant, pour cette définition particulière de l’imprimé périodique, à l’article « gazette » également dû à Voltaire. Bellin, Briasson, David l’aîné, Le Breton, Durand.-[[s:L’Encyclopédie/1re édition/JOURNAL|article "''Journal''"]] de [http://artflsrv02.uchicago.edu/cgi-bin/philologic/getobject.pl?c.7:2779.encyclopedie0416.8884410 L’Encyclopédie], 1re édition, 1766 (Tome 8, pp. 896-897).</ref>,|Venayre Sylvain.- "''Le voyage, le journal et les journalistes au {{S|XIX}}''"<ref>Venayre Sylvain.- "[http://www.cairn.info/revue-le-temps-des-medias-2007-1-page-46.htm Le voyage, le journal et les journalistes au {{S|XIX}}]", Le Temps des médias, 1/2007 (n° 8), p. 46-56, DOI : 10.3917/tdm.008.0046.</ref>.}} 1866 - {{Bibliographie|Q29045086}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> 1866 - {{Bibliographie|Q29045060}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> 1860 - {{Bibliographie|Q3227726}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages --> == Saint-George, épisodes militaires == === Formation militaire === * [[École de Mars]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Arthur | nom1 = Chuquet | prénom2 = Arthur Maxime | nom2 = Chuquet | lien auteur1 = w:Arthur Chuquet | lien auteur2 = w:Arthur Maxime Chuquet | titre = L'École de Mars | sous-titre = | lien titre = w:L'École de Mars | numéro d'édition = | éditeur = E. Plon, Nourrit | collection = | lien éditeur = w:Plon | lieu = Paris | année = [[w:1899 en littérature|1899]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/lcoledemars00chuqgoog | consulté le = | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} === Avril 1790, Saint-George à Lille === La garnison de Lille est composée de quatre régiments * la Couronne * Royal-des-Vaisseaux * Colonel-Général * les chasseurs de Normandie ==== Régiment La Couronne ==== {{Citation bloc|Est-il vrai que sous la Monarchie les nobles seuls pussent parvenir aux grades ? Le plus modeste érudit n'entend pas cette interrogation sans éprouver pour l'interrogateur un sentiment d'indulgente commisération. Et quand il en eût été ainsi les rangs de la noblesse n'étaient-ils pas ouverts au mérite ? Elle ne constituait pas une caste, la caste étant exclusive fermée, mais une classe de familles illustres dans laquelle chacun pouvait aspirer à se faire admettre ou à faire admettre ses enfants d'où l'adage ancien "''Le Tiers Estat est séminaire de Noblesse''"|Oscar de Poli.- Le régiment de la couronne 1643-1791, 1891, <ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_r%C3%A9giment_de_la_couronne/O4OkV736A9sC?hl=fr&gbpv=1 page XVIII & ss.]</ref>}} {{Citation bloc| On a vu à la notice de Royal Vaisseaux les querelles qui divisèrent la garnison de Lille pendant la Ière quinzaine d'avril 1790. La Couronne dut quitter Lille et se rendit à Béthune où il se trouvait encore quand la guerre éclata en 1792 Le régiment fut alors envoyé au camp de Maubeuge quand les Prussiens envahirent la Champagne le jer bataillon fut dirigé sur l armée des Ardennes et le 2e fut jeté dans Lille Après Valmy le 1er bataillon vint à l armée du Nord il fit le siège de Namur Il passa en 1793 à l armée du Rhin et il servit sur cette frontière jusqu à son incorporation dans la 89e demi-brigade qui eut lieu le 3 décembre 1794<ref>Général SUSANE.- Hist de l'Infanterie française 1ère édition, 1851, t. V, p. 184-212 2e édition, 1876, t. IV p. 85-101</ref>|Oscar de Poli.- Le régiment de la couronne 1643-1791, 1891, <ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_r%C3%A9giment_de_la_couronne/O4OkV736A9sC?hl=fr&gbpv=1 page 268 & ss]</ref>.<br>Saint Georges (de) en 1789, p. 300}} ==== Régiment Royal-des-Vaisseaux ==== {{Citation bloc|Au mois de décembre 1789 le régiment est envoyé à Lille ou bientôt les ferments de désordre se propagent dans la garnison Au mois d'avril 1790 ils se traduisent par de véritables combats entre l'infanterie et la cavalerie la voix des chefs est impuissante à rétablir le calme et la discipline. Le ministre de la guerre sépare les combattants en envoyant Royal Vaisseaux à Mézières et deux mois après à Strasbourg|<ref>Philippe François Joseph Poli.- Un régiment d'autrefois: Royal-Vaisseaux (1638-1792), 1885, [https://www.google.fr/books/edition/Un_r%C3%A9giment_d_autrefois_Royal_Vaisseaux/WkwsAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=R%C3%A9giment+Royal-des-Vaisseaux&printsec=frontcover pages 145 & ss.]</ref>}} === Bataille de Valmy, 20 septembre 1792 === La [[w:Bataille de Valmy|bataille de Valmy]] ou [[w:Bataille_de_Valmy#Camp_de_la_Lune|affaire du camp de la Lune]] est la première victoire de l’armée française pendant les [[w:Guerres de la Révolution française|guerres de la Révolution française]]. === Siège de Lille (1792) === * [[w:Siège de Lille (1792)|Siège de Lille]], 29 septembre au 8 octobre 1792. === Bataille de Jemappes, 6 novembre 1792 === * [[w:Bataille de Jemappes|Bataille de Jemappes]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Henri | nom1 = Pirenne, 1862-1935 | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Henri Pirenne | lien auteur2 = | titre = Histoire de Belgique | sous-titre = Chapitre premier - Jemappes | lien titre = s:Histoire de Belgique/Tome 6/Livre 1/Chapitre 1 | numéro d'édition = | éditeur = Maurice Lamertin | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1926 en littérature|1926]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 477 | passage = [https://www.worldcat.org/title/histoire-de-belgique/oclc/8721155/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= Publication de 1900 à 1990]. Tome 6 : La conquête française - Le Consulat et l’Empire - Le Royaume des Pays-Bas - La Révolution belge | dnb = 41674148b | isbn = | oclc = 8721155 | doi = | url = https://archive.org/details/histoiredebelgiq06pireuoft | lire en ligne = | consulté le = 15 novembre 2015 | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} == H == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter H.jpg|100px|vignette|centré]] == Saint-Domingue / Haïti == {{Citation bloc|Séance de décadi 30 Fructidor a Une députation des Colons de Saint Domingue vient de nouveau demander à la Convention d être entendue contradictoirement avec Santonax et Polverel les pétitionnaires s engagent à prouver que ce sont eux qui ont livré aux Anglais SaintDomingue et les autres colonies Ils demandent l établissement d une commission de douze membres la liberté des Colons détenus et la levée des scellés mis sur leurs papiers Dufai député de Saint Domingue s oppose avec chaleur à Ia mise en liberté Pelet croit au contraire qu iI est de la justice d entendre tous les partis et d accorder aux Colons la même faveur dont jouissent Polverel et Santonax Breard annonce qu une commission prise dans les trois comités est déja chargée de l examen de cette affaire que les comités se sont occupés de la mise en liberté d une partie des Colons et que le rapport doit en être fait incessamment Ces expli cations déterminent I ordre du jour|Mercure de France, 1794, 9, [2], 1794, ''députation des Colons de Saint Domingue''<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=A3tBAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA150&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2Meq6p2_nEyyTbru7ZMjCqfphNTA&ci=127%2C879%2C816%2C488&edge=0 députation des Colons de Saint Domingue]</ref>}} === Jean-Pierre Boyer (Haïti) === [[Fichier:President Jean-Pierre Boyer of Haiti (Hispaniola Unification Regime) Portrait.jpg|100 px|vignette|gauche|President Jean-Pierre Boyer of Haiti]] [[w:Jean-Pierre Boyer (homme politique)|Jean-Pierre Boyer]] == Hand on Breast == <gallery> File:El Greco - The Knight with His Hand on His Breast.jpg|El Greco.- The Knight with His Hand on His Breast, c.1578-80. File:Monsieur de St-George.jpg|Ward & Brown (After).- Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799), London, 1788. File:Amedeo Modigliani 047.jpg|[[w:Amedeo Modigliani|Amedeo Modigliani]], (1884 - 1920).- Paul Alexandre devant un vitrage (1913), [http://mbarouen.fr/fr/oeuvres/paul-alexandre-devant-un-vitrage Musée des Beaux-Arts]. </gallery> == Historiens & Histoire coloniale de la France == Classement par siècles, espaces géographiques des domaines coloniaux français, écoles historiques === La colonisation française à travers les siècles, depuis l'an mil === === Les domaines coloniaux français === ==== Bibliographie ==== '''1990''' - Ageron Charles-Robert. [https://www.persee.fr/doc/outre_0300-9513_1990_num_77_286_2759 Les colonies devant l'opinion publique française (1919-1939)]. In: Revue française d'histoire d'outre-mer, tome 77, n°286, 1er trimestre 1990. pp. 31-73., DOI : https://doi.org/10.3406/outre.1990.2759 '''2017''' - Pascal Clerc, [https://journals.openedition.org/terrabrasilis/2043 "La « géographie coloniale » en France »]", Terra Brasilis (Nova Série), 8 | 2017, mis en ligne le 27 juin 2017, consulté le 14 juillet 2018 ; DOI : 10.4000/terrabrasilis.2043. === Ecoles historiques === ==== Histoire parfaite ==== * {{S|XVII}} : [http://www.college-de-france.fr/site/sanjay-subrahmanyam/course-2013-12-02-10h00.htm Cf. Sanjay Subrahmanyam].- Penser le monde au XVIIᵉ siècle : une histoire imparfaite, 02 décembre 2013 10:00 Cours Amphithéâtre Guillaume Budé - Marcelin Berthelot.<br />[[w:Ibn al-Athîr|Abu al-Hasan Ali (izz al-Din ibn al-Athir)]] historien arabe1 sunnite (né en 1160 à Cizre, mort en 1233 à Mossoul). Son œuvre principale est Al-Kamil fi al-Tarikh (La Perfection des histoires, ca. 1231), considérée comme l’un des plus importants livres d'histoire du monde musulman.<br />[[w:Roland Mousnier|Roland Émile Mousnier]] (7 septembre 1907 à Paris - 9 février 1993 à Draveil, Essonne) est un historien français, spécialiste du {{s|XVII|e}} en France et des études comparatives entre les civilisations (''Cf. Crises & Révolutions au {{S|XVII}}''). == Paul Henri Thiry d'Holbach == * [[w:Paul Henri Thiry d'Holbach|Paul Henri Thiry d'Holbach]] == Humain == === Unité de l'espèce humaine (Bibliographie) === * Recherche sur [https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Unit%C3%A9%20de%20l%27esp%C3%A8ce%20humaine%20&title=Special%3ASearch&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 Wikidata]. ;Dominique Alexandre Godron * 1859 - {{bibliographie|Q51462394}}, Paris :J.B. Baillière et Fils, 1859. <-- Dominique Alexandre Godron, De l'espèce et des races dans les êtres organisés et spécialement de l'unité de l'espèce humaine --> ;Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau * Œuvres sur Wikisource : [[s:Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau|Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau]] * 1861 - {{bibliographie|Q77421315}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine --> * 1861 - {{bibliographie|Q77419837}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine, publié dans la Revue des deux Mondes --> ;Revue des Deux Mondes * 1860 - {{bibliographie|Q17358608}} I - [[d:Q17358608|Empires et règnes de la nature.— Règne humain]], article de la Revue des Deux mondes * 1860 - {{bibliographie|Q64624704}}[[d:Q64624704|Histoire naturelle de l’Homme]]. Unité de l’espèce humaine, série d'articles de la Revue des Deux mondes * 1861 - {{bibliographie|Q29390563}} II. [[d:Q29390563|L’Espèce, la Variété, la Race]] : Histoire naturelle de L’Homme. — Unité de l’espèce humaine. II, article de la Revue des Deux Mondes * 1861 - {{bibliographie|Q77419837}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine, publié dans la Revue des deux Mondes --> * 1868 - {{bibliographie|Q57342380}} L’Unité morale de l’espèce humaine (), article publié dans la Revue des deux Mondes === Homme & Femme === === L'Homme versus l'Humain universel === Titre(s) : Observations critiques, sur le VIIIe article du "Journal des savants". L'homme universel. etc. [Texte imprimé] Publication : Paris : G. Cavelier fils ; Vve Mongé, 1724 Description matérielle : In-12. Pièce Notice n° : FRBNF33514075 {{BNF|33514075q}} == Humanités numériques == Consulter : ''[[Utilisateur:Ambre_Troizat#S|Sciences Humaines & Sociales]]'' ''[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Méthodologie#Les_Humanités_numériques|Les Humanités numériques]]" == I == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter I.jpg|100px|vignette|centré]] == Identité / identité nationale == * 2007 - {{Bibliographie|Q84761474}} <!-- Gérard Noiriel et Gérard Mauger, « L'identité nationale » en France --> === Indifférence à la couleur === {{Citation bloc|...En tout cas, cette "indifférence à la couleur" est une des spécificités de cet Édit de 1685, liée à l’absence des termes "racistes" blanc versus noir. [...]. La question est alors celle de l’apparition du "racisme" et de sa spécificité historique sur le continent Amérique ... premier terrain de conquête coloniale des puissances européennes depuis 1492.|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === L’image du Noir dans l’art occidental === * [https://tshaonline.org/handbook/online/articles/vrm04 The Menil Foundation, Incorporated] * Harvard University Press.- [http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674052710 The Image of the Black in Western Art] Les archive de la [[w:en:Warburg Institute#Building|Warburg Institute]] conserve la collection des photographies du projet de recherche "L’image du Noir dans l’art occidental<ref>Image of the Black in Western Art</ref>. == Impôt == [[Fichier:Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790.png|100px|vignette|gauche|Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790]] * {{article | langue = fr | prénom1 = Jean-Édouard | nom1 = Colliard | lien auteur1 = w:Jean-Édouard Colliard | prénom2 = Claire | nom2 = Montialoux | lien auteur2 = w:Claire Montialoux | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Une brève histoire de l’impôt | sous-titre = | périodique = Regards croisés sur l'économie | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = 1/ (n° 1) | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:2007|2007]] | pages = 56-65 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | url texte = http://www.cairn.info/revue-regards-croises-sur-l-economie-2007-1-page-56.htm | doi = 10.3917/rce.001.0056. | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} === Ingénu === {{Citation bloc|Le terme ingénu vient du droit romain qui sépare les personnes nées libres de celles qui, nées libres, sont devenues esclaves, comme capture de guerre pour prendre l’exemple le plus courant. Ainsi, les personnes nées libres sont dites ingénues à la différence des descendants d’esclaves qui ont perdu leur ingénuité et sont dits nés esclaves.|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === Iran === ==== Esclavage en Iran ==== * The face of African slavery in Qajar Iran – in pictures, [http://www.theguardian.com/world/iran-blog/2016/jan/14/african-slavery-in-qajar-iran-in-photos#img-3 theguardian.com], Thursday 14 January 2016. === Ile de la Réunion, lettre de Monge === [[Fichier:Gaspard Monge & Génissieu - Décret de la Convention changeant le nom de l'Ile Bourbon en celui de l'Ile de la Réunion, 19 mars 1793.png|100 px|vignette|gauche|{{bibliographie|Q72077939}}.]] Les conventionnels décrétent que le nom de ''Bourbon'' serait remplacé par ''Réunion''. Le décret ne sera appliqué qu'à partir de 1794, à la suite du coup de main des patriotes de l'île de France (Ile Maurice. <poem> {{Citation bloc|31° Lettre de Monge, ministre de la marine, qui propose de changer le nom de l'île de Bourbon en celui de l'île de la Réunion ; cette lettre est ainsi conçue (1) : « Paris, 18 mars 1793, l'an II de la République française. « Citoyen Président, « La Convention nationale, après avoir brisé le sceptre, a fait disparaître tous les emblèmes de la royauté; rien n'annonce plus notre antique esclavage et les images de la liberté remplacent les monuments de la tyrannie. Une section de la République, l'île Bourbon, por-tera-t-elle encore le nom d'une famille de despotes? Peut-on faire une telle injure aux républicains qui l'habitent? La Convention nationale jugera sans doute qu'il faut les associer à nos succès en donnant à la terre qu'ils cultivent un nom propre à rappeler nos victoires et notre Révolution, en substituant la dénomination de l'Ile de la Réunion à celle de l'île de Bourbon. « Je vous prie, citoyen président, de mettre cette lettre sous les yeux de la Convention et de me faire connaître ses ordres. « Le ministre de la marine et des colonies, « Signé: Monge. » Génissieu convertit en motion la proposition du ministre. (La Convention adopte la motion de Génissieu.)|Archives parlementaires, Tome 60 : Du 9 au 30 mars 1793 » Séance du mardi 19 mars 1793 » page 309<ref>[https://frda.stanford.edu/fr/catalog/sh669sk9602_00_0313 Archives parlementaires, Tome 60 : Du 9 au 30 mars 1793 » Séance du mardi 19 mars 1793 » page 309]</ref>}} </poem> == J == [[Fichier:Aufseeser lettrine J.png|100px|vignette|centré]] == Michel Jean-Louis, escrimeur, maitre d'armes == * 1866 - {{bibliographie|Q110967498}} <!-- Notice biographique sur Jean-Louis et son école --> Michel Jean-Louis, né en 1785, a-t-il rencontré Saint-George ? == 1958-2009 - Michaël Jackson == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conclusion avec Michaël Jackson|Conclusion avec Michaël Jackson]] == Jean Jaurès == * [[s:Histoire socialiste/La Législative/Le mouvement économique et social en 1792|Histoire socialiste/La Législative/Le mouvement économique et social en 1792]]. Economie coloniale, Révolution de Saint-Domingue. == Étienne de Joly, ministre de Louis XVI, & les gens de couleur == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1738-1754-1756_†_1794-1793-1837_-_Jacques_François_Dugommier,_Louis_XVI,_Étienne_de_Joly|Étienne de Joly, ministre de Louis XVI, & les gens de couleur]] [https://archive.org/search.php?query=La%20France%20sous%20Louis%20XV%3A%20%281715-1774%29 La France sous Louis XV: (1715-1774 La France sous Louis XV : (1715-1774) (Q76367489) Louis de Bouillé.- [https://books.google.fr/books?id=W2lfAAAAcAAJ Mémoires sur l'affaire de Varennes] comprenant le mémoire inédit de M. le Marquis de Bouillé (Comte Louis) ; deux relations également inédites de MM. les comtes de Raigecourt et de Damas, celle de M. le capitaine Deslon, et le précis historique de M. le comte de Valory, Baudouin frères, 1823 - 324 pages == Journal officiel == * 2016 - Catherine Blum.- [http://gallica.bnf.fr/blog/19012016/le-journal-officiel-dans-gallica-1869-1946 Le Journal officiel dans Gallica (1869-1946)] : L'édition "Lois et décrets" (1869-1946) du Journal officiel est disponible dans Gallica. Héritière du Moniteur Universel (1789-1868) et du Bulletin des lois (1789-1931), elle contient les lois, décrets, arrêtés et informations parlementaires, 19 janvier 2016 dans Collections, Gallica. == Jullien (violoniste) == {{Citation bloc|1781 - C'est le titre d'une contredanse publiée par Julien vers 1781 et dont la figure complète est ainsi composée : 1. ... 271) dit de lui : « ...le mulâtre Julien, chef d'orchestre des bals,... jouait la contredanse si merveilleusement qu'on lui demandait|Daniel Vidal.- Changements industriels et productivité: Crise et décentralisation à Reims, 1967, [https://books.google.fr/books?id=WC1bmwKf5uoC Page 163]}} {{Citation bloc|1837 - Jullien, qui fut le Musard de la fin du {{S|XVIII}}, conduisait un orchestre de bal d'une manière fort distinguée ; il partageait la vogue avec un mulâtre nommé Hullin.|Georges Touchard-Lafosse - 1837<ref>{{bibliographie|Q28239200}}, [https://books.google.fr/books?id=5i1IAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA309#v=onepage&q=Hullin&f=false page 309]</ref>}} {{Citation bloc|1895 - Le mulâtre Julien, chef d'orchestre de bals et conduisant la musique aux réunions de Berthier|Mémoires du général bon Thiébault, 1895<ref>[https://books.google.fr/books?id=PfdKAQAAMAA Mémoires du général bon Thiébault]</ref>.}} === Mémoires du général bon Thiébault sur Internet Archive === 1. [https://archive.org/details/mmoires01thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 1, 1769-1795] ; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56236994/f2.item.r=%22Saint%20georges%22 Saint-george''s''], sur Gallica 2. [https://archive.org/details/mmoires02thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 2, 1795-1799] 3. [https://archive.org/details/mmoires03thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 3, 1799-1806] 4. [https://archive.org/details/mmoires04thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 4, 1806-1813] 5. [https://archive.org/details/mmoires05thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 5, 1813-1820] == Jacques Ier Stuart (James I) == [[Fichier:Coats of arms James I of England.JPG|100px|vignette|gauche|Coats of arms James I of England]] * [[w:Jacques Ier d'Écosse|Jacques Ier Stuart]] (James I en anglais, Seumas Ier en gaélique écossais) (1394-1437), roi des Écossais de 1406 à 1437. Ci-contre : Arms of James I, {{Référence nécessaire|King of Britain, France and Ireland}} in the royal apartments at Edinburgh Castle == K == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter K.jpg|100px|vignette|centré]] === Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth === Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmout, 6 September 1649 – 14 November 1734 [[Fichier:Louise de Kéroualle by Pierre Mignard.png|100px|vignette|gauche]] * [http://www.npg.org.uk/collections/search/portraitLarge/mw05102/Louise-de-Kroualle-Duchess-of-Portsmouth Louise de Kéroualle Duchess of Portsmouth, National Portrait Gallery, London] * [[w:Louise Renée de Penancoët de Keroual|Louise Renée de Penancoët de Keroual]] * [[w:en:Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth|Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth]] * [http://ploeuc-genealogie.over-blog.com/article-20124312.html Louise-Renée de Penancoët, dite Louise de Keroualle, 1/2] * [http://ploeuc-genealogie.over-blog.com/article-20152960.html Louise-Renée de Penancoët, dite Louise de Keroualle, 2/2] * [https://archive.org/search.php?query=Louise%20de%20Kéroualle Louise de Kéroualle, Internet Archive biliographie] == L == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter L.jpg|100px|vignette|centré]] === Julien Labuissonnière === "Julien Labuissonnière", défenseur des esclaves américains qui demandent leur liberté dans {{Bibliographie|Q26209709}}, 1990. == Auguste Lacaussade == * 1896 - {{bibliographie|Q52338884}} <!-- Auguste Lacaussade, Le Siège de Paris --> == Choderlos de Laclos == * {{article | langue = fr | prénom1 = René | nom1 = Pomeau | lien auteur1 = w:René Pomeau | prénom2 = Société d'histoire | nom2 = littéraire de la France | lien auteur2 = w:Société d'histoire littéraire de la France | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Le mariage de Laclos | sous-titre = | périodique = Revue d'histoire littéraire de la France (1894) | lien périodique = | éditeur = Presses universitaires de France | lieu = Paris | série = | volume = | titre volume = | numéro = 64e année - N° 1 | titre numéro = | jour = | mois = Janvier-Mars | année = [[w:1964 en musique classique|1964]] | pages = | dnb = 343491539 | issn = 00352411 | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | url texte = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5566943k/f62.image.r=Laclos | doi = | consulté le = 4 septembre 2015 | commentaire = | extrait = | id = }} * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56525005/f101.image.r=Laclos Laclos jugé par le "Journal Helvétique"] * Jacques de Boisjoslin and George Mossé.- [http://www.gutenberg.org/files/42192/42192-h/42192-h.htm Notes sur Laclos et Les Liaisons Dangereuses], 1904, ACHEVÉ D’IMPRIMER le vingt février mil neuf cent quatre PAR BLAIS & ROY A POITIERS pour P. SEVIN ET E. REY LIBRAIRES A PARIS, 1904. * 1809 - {{bibliographie|Q108690510}} <!-- Le chevalier de Saint-Georges ou le débauché corrigé par l'amour, volume 1 --> === Auguste Lacour === * Lacour, Auguste (1805?-1869).- [https://archive.org/search.php?query=creator%3A%22Lacour%2C+Auguste%2C+1805%3F-1869%22 Histoire de la Guadeloupe], 1855. * {{Bibliographie|Q26237272}}, [[d:Q26237272|Wikidata]] ** 1855 - {{bibliographie|Q26237285}} ** 1857 - {{bibliographie|Q26237437}} ** 1858 - {{bibliographie|Q26245371}} ** 1858 - {{bibliographie|Q26245907}} == André-Daniel Laffon de Ladebat == [[w:André-Daniel Laffon de Ladebat|André-Daniel Laffon de Ladebat]], homme politique, député à l'Assemblée législative et au Conseil des Cinq-cents, auteur du ''Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies<ref>{{bibliographie|Q30000364}}</ref>''. Classique de la [[w:Liste d'opposants à l'esclavage|cause abolitionniste]], ce discours lu en séance publique de l'Académie de Bordeaux le 26 août 1788 a été présenté et débattu à l'assemblée générale de la [[w:Société des Amis des Noirs|Société des Amis des Noirs]] la même année. En 1821 on le retrouve au nombre des fondateurs, avec Auguste de Staël et Charles de Remusat du [[w:Comité pour l'abolition de la traite des Noirs|Comité pour l'abolition de la traite des Noirs]]. == Alphonse de Lamartine == === Membre de la Société pour l’émancipation des noirs === {{Citation bloc|Depuis 1834 les hommes politiques qui croient que les gouvernements doivent avoir une âme, et qu’ils ne se légitiment aux yeux de Dieu que par des actes de justice et de bienfaisance envers les peuples, s’étaient formés à Paris en société pour l’émancipation des noirs<ref>Cf. [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]].</ref> ; j’y fus admis à mon retour d’Orient<ref>Lamartine [[w:Voyage en Orient (Lamartine)|voyage en Orient]], accompagné de sa femme et de sa fille Julia, entre juillet 1832 et septembre 1833.</ref>|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/4|Tousaint Louverture, préface, page 4]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} * 2002 - {{bibliographie|Q23955015}} <!--Jean-Daniel Piquet.- L’émancipation des Noirs dans la Révolution française (1789‑1795) --> === On ne prescrit pas contre le droit de possession de soi-même === {{Citation bloc|Les colons, dis-je, sont autant nos frères que les noirs, et de plus ils sont nos compatriotes. Ces Français de nos Antilles ne sont pas plus coupables de posséder des esclaves que la loi française n’est coupable d’avoir reconnu la triste légitimité de cette possession. C’est un malheur pour nos colons que ce patrimoine, ce n’est pas un crime : le crime est à la loi qui leur a transmis et qui leur garantit cette propriété humaine qui n’appartient qu’a Dieu. La liberté de la créature de Dieu est sans doute inaliénable ; on ne prescrit pas contre le droit de possession de soi-même. En droit naturel, le noir enchaîné a toujours le droit de s’affranchir ; endroit social, la société qui l'affranchit doit indemniser le colon. Elle le doit pour deux motifs, d’abord parce que la société est juste, et secondement parce que la société est prudente.|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/5|Tousaint Louverture, préface, page 4]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} === Abolition de l’esclavage des noirs combinés avec la reconnaissance d’une indemnité aux colons === {{Citation bloc|Il n’y a point de justice à déposséder sans compensation des familles à qui vous avez conféré vous-même cette odieuse féodalité d’hommes. Il n’y point de prudence à lancer les esclaves dans la liberté sans avoir pourvu à leur sort ; or, de quoi vivront-ils dans le travail libre, si les colons qui possèdent les terres n’ont aucun salaire à donner a leurs anciens travailleurs affranchis ? Et s’il n’y a dans les colonies ni capital ni salaire, vous condamnez donc les blancs et les noirs à s’entre-dévorer. Il faut absolument, ajoutai-je, que vos appels à l’abolition de l’esclavage des noirs soient combinés avec la reconnaissance d’une indemnité due aux colons ; il faut que les deux mesures soient simultanées pour être vraiment humaines ; il faut vous présenter aux colonies la liberté dans une main, l’indemnité dans l’autre ; et que vous ménagiez la transition de l’esclavage au travail libre, de manière à ce que ce bienfait pour les uns ne soit pas une ruine et une catastrophe pour les autres ; il ne faut pas qu’une goutte de sang tache par votre faute cette grande réhabilitation de l’humanité.»<br /> Ces idées et ces mesures furent adoptées par l’immense majorité des partisans de l’abolition de l’esclavage.|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/5|Tousaint Louverture, préface, pp 4-5]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} === Bibliographie (Alphonse de Lamartine) === [[Fichier:Lamartine - Toussaint Louverture, poème dramatique, 1850.png|100px|vignette|gauche]] Alphonse de Lamartine (1790-1869) * [[d:Q27699445|1848]] - {{bibliographie|Q27699445}}, [http://www2.assemblee-nationale.fr/decouvrir-l-assemblee/histoire/grands-moments-d-eloquence/alphonse-de-lamartine-le-droit-au-travail-7-septembre-1848 Lire en ligne].<br />Assemblée nationale.- Grands moments d'éloquence parlementaire, [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/Lamartine.asp Lamartine et l'élection du Président de la République au suffrage universel] * 1848 - France : Assemblée nationale constituante.- [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PA667&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2rFT85NwXI_--Ve9u1QOwp_3UysQ&ci=66%2C87%2C401%2C194&edge=0 Séance du Vendredi 6 octobre 1848] Présidence du citoyen Armand Marrast, Suite de la délibération sur le projet de constitution : les citoyens Fresneau Grévy Jules de Lasteyrie, Leblond, [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PA679&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3bLXEShI1U8eFyN4YctIGjXMz5_Q&ci=94%2C1023%2C382%2C121&edge=0 de Lamartine], dans Compte rendu des séances de l'Assemblée nationale exposés des motifs et projets de lois présentés par le gouvernement : [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PP7&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2NSeTZoXiDx4m_tT5D27gN2P3J9g&ci=62%2C266%2C816%2C477&edge=0 du 14 Septembre au 20 octobre 1848, Volume 4], Assemblée nationale Éditeur, 1850. * 1850 - {{bibliographie|Q27698593}}<br /> [http://catalogue.bnf.fr/search.do?mots1=NRI;0;0;Alphonse+de+Lamartine&mots0=TIT;-1;0;Toussaint+Louverture&&pageRech=rav Recherche ''"Tousaint Louverture, Poème dramatique"'' sur catalogue BNF] * [[s:Page:Agoult - Histoire de la révolution de 1848, tome 1.djvu/497| L’idée première des ateliers nationaux]], ''Daniel Stern'',{{bibliographie|Q58237101}}. == Marie Jean-François Layrle & Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, abolitionnistes en 1848 à la Guadeloupe == [[w:Marie Jean-François Layrle|Marie Jean-François Layrle]],1791-1881, est officier de marine et administrateur colonial français, À l'issue de sa carrière à la mer, il succède au capitaine de vaisseau Charmasson comme gouverneur de la Guyane française de 1843 à 1845, puis est appelé à remplacer le contre-amiral Gourbeyre, décédé, en qualité de [[w:Liste des gouverneurs de Guadeloupe|gouverneur de la Guadeloupe]] de 1845 à 1848. Le 27 mai 1848, le gouverneur Marie Jean-François Layrle proclamait l'abolition de l'esclavage en Guadeloupe. Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, arrivé le 5 juin suivant, porteur du décret d'abolition, lui succède. Marie Jean-François Layrle occupe, de janvier 1849 à sa mise en retraite en 1863, le poste stratégique de directeur du personnel du Ministère de la Marine<ref>Voir des archives du Ministère de la Marine : [https://www.siv.archives-nationales.culture.gouv.fr/siv/rechercheconsultation/consultation/ir/consultationIR.action?irId=FRAN_IR_050747 Campagnes de traite négrière au XVIIIe siècle, Cotes : MAR/4JJ/15-MAR/4JJ/144/G]</ref> et des colonies, où il sert huit ministres successifs. [[w:Adolphe Ambroise Alexandre Gatine|Adolphe Ambroise Alexandre Gatine]], 1801-1864, avocat au Conseil d’État et à la Cour de cassation, abolitionniste français, participe à la [[w:Commission pour l'abolition de l'esclavage|commission instituée par le décret du Gouvernement provisoire de la République du 4 mars 1848 (Gouvernement provisoire de 1848)]]. Gouverneur de la Guadeloupe du 5 juin 1848 Supervisée par des officiers d'état civil, l'attribution des noms de famille commence en août 1848 aux Abymes et se termine en décembre 1862 à Sainte-Rose. Adolphe Ambroise Alexandre Gatine laisse une importante littérature sur le processus d'abolition de l'esclavage de 1848. == Légions == La [[w:Légion|Légion]] est un corps d’armée. En France, [[w:Louis XII|Louis XII]] en 1509 puis François Ier par l’ordonnance du 24 juillet 1534, organisent l’armée "''à l’exemple des Rommains''", en "''une légion de six mille hommes de pied''". La Révolution française reprend la formule des [[w:Légions nationales|Légions nationales]] par la [[w:Légion#Un_corps_d.27armée|loi du 29 avril 1792]], dont la légion de cavalerie, dite du Midi ou des Américains, commandée par Joseph Bologne de Saint-George qui deviendra par la suite le [[w:13e régiment de chasseurs à cheval|13e régiment de chasseurs à cheval]]. === 13{{e}} régiment de chasseurs à cheval === [[Fichier:Organisation de la légion franche des Américains, 6 décembre 1792.jpg|100px|vignette|gauche|Décret d’organisation]] [[Fichier:13e chasseurs à cheval 1793.png|100px|vignette|gauche]] * 1893 - {{bibliographie|Q109647703}} <!-- Dictionnaire de la Révolution française, institutions, hommes et faits --> ** 1893 - {{bibliographie|Q109796458}} <!-- Légions. Légion des Américains --> * [[d:Q23608307|Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'Empire, 1792-1815]] {{bibliographie|Q23608307}}. Le [[w:13e régiment de chasseurs à cheval|13e régiment de chasseurs à cheval]] ou ''Légion franche des Américains'' est organisé par décret, le 6 décembre 1792. ==== Evolution de la dénomination ==== * 1793 - 13e régiment de chasseurs * 13e régiment (''bis'') de chasseurs (1794). — 13e régiment de chasseurs (1795). — Chasseurs de la Meuse (1816). — 13e régiment de chasseurs (1825-1831). — 13e régiment de chasseurs (1831-1837). — 13e régiment de chasseurs (1840-1852). ** II. Guides de l’armée d’Italie (1796). — Guides de Vannée d’Orient (1798). — Chasseurs à cheval de la Garde consulaire (1800). — Chasseurs à cheval de la Garde Impériale (1804). — Corps royal des chasseurs de France (1814). — Chasseurs de la Garde Impériale (1815). — Chasseurs de la Garde Royale (1815-1830). — Chasseurs à cheval de la Garde Impériale (1856). — 13e régiment de chasseurs (1871). ==== Masse de fourrage ==== Loi Relative à la fixation des Masses destinées à l'entretien des diffèrentes parties de l'armée. Donnée à Paris le 1{{er}} Février 1791. Décret de l'Assemblée nationale du 1{{er}} Février 1791<ref>[https://books.google.fr/books?id=h71PAAAAcAAJ&dq=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&hl=fr&pg=PA369#v=onepage&q=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&f=false Lois et actes du Gouvernement, Volume 2, page 369]</ref> {{Citation bloc|X. La masse de fourrage pour les troupes à cheval sera fixée de même, à compter du 1er janvier 1791, sur le pied de 270 livres par chacun des sous-officiers, cavaliers , dragons , chasseurs à cheval, hussards, trompettes, ou maîtres ouvriers montés : elle servira à fournir, à chacun de leurs chevaux effectifs et présents , une ration de fourrage dans les quantités et proportions qui seront déterminées par les règlements, tant pour la cavalerie que pour les dragons, chasseurs et hussards.<br /> XI. Au moyen de ces fonds fournis an département de la guerre, toutes les dépenses de fourrages, ci-devant au compte de quelques provinces, cesseront d'avoir lieu à leur charge, et les fourrages seront en conséquence fournis aux troupes sur les fonds de cette masse, dans tous les départements indistinctement.<br /> XII. Les sommes assignées aux officiers généraux et supérieurs de l'infanterie, de l'artillerie, du génie, de l'état-major de l'armée, aux aides-de-camp et aux commissaires des guerres, pour les rations de fourrages qui leur reviennent, conformément aux décrets qui fixent leur traitement, ne feront point partie de la présente masse, et leur seront payées cumulativement a leurs appointements; en conséquence ils seront chargés eux-mêmes de la nourriture de leurs chevaux. Quant aux sommes assignées par les décrets aux officiers des troupes à cheval, en raison de leurs grades, elles seront retenues et cumulées avec la masse générale de fourrage de leurs régiments; et cette masse sera chargée de fournir la subsistance aux chevaux effectifs présents qu'ils auront au corps, en observant la fixation de leur grade, et de leur faire le décompte des rations de fourrage non consommées par eux pendant les absences auxquelles ils pourraient être autorisés par semestre ou congés, en raison du nombre de chevaux fixé pour leurs grades, sur le pied du prix qui sera déterminé pour chacune dans chaque département.| M. Bouthillier présente au nom du comité militaire un projet de décret sur les masses destinées à 1'entretien des différentes parties de l'armée. Il adopté. Bulletin de l’Assemblée Nationale, Présidence de [[w:Gabriel Riquetti de Mirabeau|M. Riquetti l'ainé dit ''Mirabeau'']]<ref>Mirabeau est le nom sous lequel l'Histoire a retenu la mémoire de [[w:Gabriel Riquetti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riquetti de Mirabeau (1749-1791)]], écrivain, tribun de la Révolution française. Son frère, [[w:André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau|André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau (1754-1792),dit ''Mirabeau-Tonneau'']], a également joué un rôle lors de la Révolution. Leur père, [[w:Victor Riquetti de Mirabeau|Victor Riqueti, marquis de Mirabeau, est ''l'ami des hommes'']], avait lié le nom de son terroir à son patronyme.<br />[[w:Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau|Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar, dit le Balli de RIQUETI (1717-1794)]], frère cadet de Victor Riqueti, marquis de Mirabeau, oncle du tribun révolutionnaire Gabriel-Honoré, comte de Mirabeau, et de André Boniface Riqueti, vicomte de Mirabeau fut chevalier de l’Ordre de Saint-Jean de Jérusalem, gouverneur de la Guadeloupe où il acquiert le titre de bailli. </ref> Séance du mardi 1{{er}} février 1791 au soir, dans A. Ray.- Réimpression de l'ancien Moniteur : Constituante<ref>A. Ray.- Réimpression de l'ancien Moniteur : Constituante,[https://books.google.fr/books?pg=PA286&dq=Fixation+du+nombre+de+chevaux+que+les+officiers+auront+suivant+leur+grade&redir_esc=y&id=M5gMAQAAMAAJ&hl=fr#v=onepage&q=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&f=false page 286]</ref>.}} ==== Bibliographie (13{{e}} Régiment de chasseurs à cheval) ==== * 1891 - {{Bibliographie|Q25915772}}<ref>[http://antiques.gift/historique-du-13-regiment-de-chasseurs-et-des-chasseurs-a-cheval-de-la-garde-1792-1891-par-p-descaves-capitaine-instructeur-au-1_1952408.html Illustrations en couleur]</ref>. Adrien-Paul Descaves (1856-?), capitaine-instructeur au 13e régiment de chasseurs ; M. de Fonremis, capitaine aux escadrons territoriaux de chasseurs, dessinateur des uniformes.- Historique du 13e régiment de chasseurs et des chasseurs à cheval de la garde, 1792-1891, [http://antiques.gift/historique-du-13-regiment-de-chasseurs-et-des-chasseurs-a-cheval-de-la-garde-1792-1891-par-p-descaves-capitaine-instructeur-au-1_1952408.html Illustrations en couleur]. ** Descaves (capitaine). Campagnes du 13® régiment de chasseurs à cheval et des chasseurs à cheval de la Garde. Résumé extrait de l’historique. Béziers, Bouineau, 1893, in-32, 54 p. ** Manuscrit à la Bibliothèque du Ministère de la Guerre A. II. g. 1532. ** La formation du régiment de chasseurs à cheval de la Garde Impériale en Crimée, 28 avril 1856. Revue de Cavalerie. Paris, Berger-Levrault, t. XVIII, 1893-1894, p. 251. ** Hennet (Léon). Les origines de l’ancien 13® chasseurs. Carnet de la Sabretache, t. VII, 1899, p. 705. ** Descaves (capitaine). Notices sur les anciens 13® régiments de chasseurs. Carnet de la Sabretache, t. VIII, 1900, p. 483. ** Un régiment de cavalerie sous le premier Empire. Le 13® chasseurs de 1805 à 1815. États et situations. Revue de Cavalerie. Paris, Berger-Levrault, tome XXXIV, 1901- 1902, p. 264. ** Margerand (J.). Les grenadiers et les chasseurs à cheval de la Garde Impériale. Carnet de la Sahretache, 2^ série, t. II, 1903, p. 129. ** Guise (prince Jean d’Orléans, duc de). Historique du régiment des chasseurs à cheval de la Garde royale pendant la guerre d’Espagne (1823), publié par S. A. R. le prince Jean d’Orléans, duc de Guise. Paris, Dubois, 1902, in- 16, 45 p. * Documents manuscrits aux Archives Historiques de la Guerre : ** I. 1° 13^ régiment de chasseurs (1793-1815) : 3 cartons. — 20 cartons collectifs, voir Cavalerie, i)age 202. ** II. Classements spéciaux à la Garde Impériale aux Archives administratives de la Guerre. * Jean Pierre Clément Marie d’Orléans Guise, duc de.- Historique du régiment des chasseurs à cheval de la garde royale pendant la guerre d’Espagne (1823), [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=Historique+du+régiment++des+chasseurs+%C3%A0+cheval+de+la+Garde+royale+pendant+la+guerre++d%27Espagne+%281823%29 WorldCat.org]. * {{ouvrage|année=1851|prénom1=Adrien|nom1=Pascal|titre=[http://books.google.fr/books?dq=Légion+Saint-George&pg=PA99&id=oI41AAAAQAAJ Histoire de l’armée et de tous les régiments depuis les premiers temps de la monarchie française jusqu'à nos jours]|lieu=Paris|éditeur=Publié par A. Barbier}}. Notice Bnf n° [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb363788516/PUBLIC FRBNF36378851] * Jean Hanoteau (1869-1939) ; Emile Bonnot.- Bibliographie des historiques des régiments francais, [https://archive.org/details/bibliographiedes00hano Internet Archive ''(avec un bug)'']. == Léonard == == Daniel Thaly == [[w:Daniel Thaly|Daniel Thaly]] va bientôt être élevé dans le domaine public. Voir un autre poême ici : <https://sacalava.skyrock.com/2232873935-DANIEL-THALY-LE...> Une lecture : <https://books.google.fr/books?id=v3RzdqumQFwC&pg=PA58...> Quelques poèmes dans <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k130173r/f30.item> ; DANIEL THALY Chanson de l'impossible. - Le Rucher en ville (Chants de l'Atlantique, Garnier, édit.). - A Héliotrope. - Aux lueurs de Vénus (Héliotrope ou les Amants inconnus, Editions du Divan), {{BNF|33541023c}}. == Léopold II == [[w:Léopold II (roi des Belges)|Léopold II, roi des Belges]] est le petit-fils de Louis-Philippe, lui-même fils de Louis-Philippe d'Orléans. == Lexique & sémantique depuis 1492 == {{Citation bloc|Rien n'est plus bête que de juger une époque avec l'esprit de la notre...|Vanoot59 (discuter) 30 juin 2016 à 14:57 (CEST)}} Les ayant-droits de Agatha Christie ont demandé des changements importants à propos son roman connu  "Dix petits nègres". Agatha Christie, née Agatha Mary Clarissa Miller le 15 septembre 1890 à Torquay est morte le 12 janvier 1976 à Wallingford (Oxfordshire). Son oeuvre n'est pas encore dans le domaine public et par conséquent, les décisions de ses ayant-droits sont souveraines.Les raisons à propos des "Dix petits nègres" sont bien expliquées dans cet article du Monde avec AFP Publié le 26 août 2020 à 12h36 - Mis à jour le 26 août 2020 à 14h11.La décision est importante. Elle contribue à l'abolition effective de l'esclavage, des colonisations et du racisme. Elle va dans le même sens que les modifications des titres des tableaux sur les mêmes sujets.En 1965 sort le film Les Dix Petits Indiens (Ten Little Indians), réalisé par George Pollock, d'après Dix Petits Nègres. [[w:Dix Petits Nègres|Ils étaient dix]], rebaptisé en 2020 Ils étaient dix dans la version française1 (titre original au Royaume-Uni en 1939 : Ten Little Niggers, devenu And Then There Were None aux États-Unis à partir de 1940, puis au Royaume-Uni en 1985), est un roman policier d'Agatha Christie publié en novembre 1939 au Royaume-Uni et en 1940 en France. === Débats sur le bistrot de Wikipédia === === Agatha Christie : ''Dix Petits Nègres'', renommé en 2020 ''Ils étaient dix'' === * Film en anglais : [https://www.youtube.com/watch?v=ejdzzqPF4-w Agatha Christie Crime Drama Mystery Movie - Et Nullus] * Film en français : [https://www.youtube.com/watch?v=Rlvky_-71yc DIX PETITS NÈGRES - film complet en français (adaptation roman policier)] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Le_Bistro/26_octobre_2018#Titre_de_tableau_et_politiquement_correct Titre de tableau et politiquement correct] {{Citation bloc|Si la majorité des sources, notamment académiques, utilisent Portrait d'une négresse, alors wikipédia doit privilégier ce titre. Méfie-toi Agatha, bientôt wikipédia renommera les Dix petits nègres en Dix petits noirs parce qu'une source officielle en a décidé ainsi. Salsero35 ☎ 26 octobre 2018 à 19:25 (CEST)<br> On parle du titre de la traduction en français. Dans Dix petits nègres : « Toutes les éditions françaises portent le titre Dix petits nègres » Références nécessaires ? Et l'histoire se fonde sur la comptine et chanson Ten Little Indians<ref>Dans cette [https://www.youtube.com/watch?v=7LvhiPdCpuc version], il s'agit d'apprendre à compter. Voir [https://www.paroles-musique.com/paroles-The_Bastard_Fairies-Ten_Little_Indians-lyrics,p08590961 The Bastard Fairies - Ten Little Indians lyrics] ; [https://www.youtube.com/watch?v=dvimVpbsN8o The Bastard Fairies - Ten Little Indians]</ref>/[https://en.wikisource.org/wiki/The_Pearl/Volume_9/Ten_Little_Niggers. Ten Little Niggers] --Warp3 (discuter) 27 octobre 2018 à 20:58 (CEST).<ref>[https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Le_Bistro/26_octobre_2018#Titre_de_tableau_et_politiquement_correct Titre de tableau et politiquement correct] </ref>}} == Libéralisme == [[w:Libéralisme|Libéralisme]] === Libéralisme : on distingue === [[w:Libéralisme politique|Libéralisme politique]] [[w:Libéralisme économique|Libéralisme économique]] [[w:Libéralisme sociétal|Libéralisme sociétal]] === Bibliographie === [[w:Discours sur l'économie politique|Discours sur l'économie politique]] * 1758 - {{bibliographie|Q29543985}} <!-- Rousseau, Le citoyen, ou Discours sur l'économie politique cité par Miranda --> * 1758 - {{bibliographie|Q3709947}} <!-- Rousseau, Discours sur l'économie politique --> == Les libres de couleur (Gens de couleur libres) == Cf. [[w:mulâtre|mulâtre]] === Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République === Le 2 juillet 1802, sous le consulat, Napoléon Bonaparte étant premier consul, prend l'arrêté portant défense aux noirs, mulâtres et autres gens de couleur d'entrer sans autorisation sur le territoire continental de la France<ref>Paru dans le [https://books.google.fr/books?id=W3JDAAAAcAAJ&pg=PA50&dq=Arr%C3%AAt%C3%A9+portant+d%C3%A9fense+aux+Noirs,+Mul%C3%A2tres+et+autres+gens+de+couleur,+d%27entrer+sans+autorisation+sur+le+territoire+de+la+R%C3%A9publique.&hl=fr&sa=X&ei=4hmnT6K0Keam0QWztsz-Aw&ved=0CDgQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false Bulletin des lois de la République, numéro 219, page 50]</ref>, Cet arrêté est suivi d'une ordonnance de police concernant les noirs et mulâtres émise par la préfecture de Paris le 3 brumaire an XI (25 octobre 1802)<ref>{{bibliographie|Q102364200}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6472320h/f190.image.r=Noirs%20et%20mulatres# page 160] <!-- Collection officielle des ordonnances de police depuis 1800 jusqu'à 1844. Tome 1 </ref>. <gallery> Fichier:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p815.jpg File:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p816.jpg File:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p817.jpg File:Ordonnance concernant les noirs et mulâtres, Paris, 3 brumaire an XI (25 octobre 1802).png </gallery> === Les libres de couleur des Antilles et la Révolution française === Les libres de couleur des Antilles et la Révolution française, 25 mai 2018, journée d'étude dans le cadre de l'hommage à l'historien Léo ELISABETH. Revoir les conférences.<br> Cette journée d'études contient toutes les ressources permettant d'accéder à des sources de qualité sur la question. :🤔Présentation : Erick Noël - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18173> :🤔Vincent Cousseau : Les Libres de couleur de la Martinique sous la Révolution, entre suivisme et activisme - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18174> :🤔Frédéric Régent : Libres de la Guadeloupe en Révolution - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18175> :🤔Bernard Gainot : Les Libres de couleur et le fil rouge des révolutions de Saint-Domingue - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18176> :🤔Débats :Vincent Cousseau, Frédéric Régent, Bernard Gainot :Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18178>. <!--[[Utilisatrice:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisatrice:Ambre Troizat|discuter]]) 3 juillet 2018 à 19:23 (CEST)--> == Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradine == Il semble que le même personnage porte [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=S.+Linstant&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok plusieurs formes d'un même nom] : # '''S. Linstant ou Linstant, S.''' : {{BNF|30822355r}} ; {{BNF|308223563}} ; [http://www.idref.fr/05855579X IdRef] qui pourrait renvoyer à : ## [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13379012q Jean Baptiste Symphor Linstant] ## [http://cths.fr/ed/edition.php?id=74 Simon Linstant] # '''Linstant de Pradine''' : {{BNF|cb333047811}} ; [https://archive.org/stream/SLinstant1876Bnf30822357f#page/n7/mode/2up înternet Archive] ## [[w:Liste des ministres haïtiens de la Justice|Linstant de Pradines]] (7 mars 1867 - 13 mars 1867). ## Le même [[w:Liste des ministres haïtiens des Cultes|ici]] ## Ou [[w:Liste des ministres haïtiens des Affaires étrangères|là]]. # On peut établir l'[[s:Discussion Auteur:S. Linstant#Critiques littéraires|identité]] entre S. Linstant et Linstant de Pradine # '''Linstant de Pradine, A''' : {{BNF|13204814s}} ; {{BNF|32849728b}} ; Cf. [[d:Q23978025|Anne Girollet]], {{BNF|377186548}} # Pradine, Linstant (baron) : [http://www.idref.fr/115479392 IdRef] # '''Jean-Baptiste Symphor Linstant''' : {{BNF|368462054}} # Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradine : [https://archive.org/details/SLinstant1876Bnf30822357f Internet Archive] ; [http://www.abebooks.com/book-search/author/jeanbaptiste-symphor-linstant-de-pradine/ abebooks.com] # '''Linstant de Pradine, A. (Bon)''' : {{BNF|10652772h}} ; {{BNF|30822357f}} ; # '''Jean-Baptiste Symphor de Pradines ou '''Avocat, Baron de l'Empire, Batonnier de l'Ordre des avocats de Port-au-Prince : [http://www.rootsweb.ancestry.com/~htiwgw/familles/fiches/002187.htm rootsweb.ancestry.com] # '''Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradines ou Linstant de Pradines, Jean-Baptiste Symphor''', juriste (1824-1884?) : [http://haiti-reference.com/pages/plan/geographie-et-tourisme/divisions-territoriales/arrondissements-et-communes/jeremie/ haiti-reference.com] ; [http://www.archontology.org/nations/haiti/00_1858_1876_s.php Conseil des Secrétaires d'État, chargé du Pouvoir exécutif], 13 mars 1867 - 20 mars 1867 ; {{Citation bloc|1904 - J'ai été, dit-il, de midi à une heure à la bibliothèque Sainte-Geneviève, avec le '''sieur Linstant'''. Nous en sommes sortis après une demi-heure, et nous revenions rue de l'Ecole-de-Médecine, à mon domicile, lorsque, traversant la rue ...|France. Assemblée nationale.- Archives parlementaires de 1787 à 1860: recueil complet des débats législatifs et politiques des chambres françaises, 1904<ref>France. Assemblée nationale.- Archives parlementaires de 1787 à 1860: recueil complet des débats législatifs et politiques des chambres françaises, 1904, [https://books.google.com/books?id=MQ1LqgjxbXQC ‎Extraits]. Voir l'extrait complet à [https://fr.groups.yahoo.com/neo/groups/arlescamargue/conversations/messages/209 Un jour à Paris avec '''Jean-Baptiste Symphor Linstant'''].</ref>.}} {{Citation bloc|In 1876, '''Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradines''' made the observation that in Haiti 'everybody is a trader',24 and it is mainly in the trading sector that we ...|Mats Lundahl.- The Political Economy of Disaster: Destitution, Plunder and Earthquake in Haiti, 2013<ref>Mats Lundahl.- The Political Economy of Disaster: Destitution, Plunder and Earthquake in Haiti, 2013, [https://books.google.fr/books?id=T0YvKobsfYAC&lpg=PA127&ots=l8MMZrlk2G&dq=Jean-Baptiste%20Symphor%20Linstant%20de%20Pradine&hl=fr&pg=PA127#v=onepage&q=Jean-Baptiste%20Symphor%20Linstant%20de%20Pradine&f=false page 127].</ref>.}} === Loi === {{Autres projets | idfaculté = | commons = loi | w = loi | wikt = loi | b = loi | s = loi | q = loi | n = loi | m = loi | d = loi }} * [[s:Les Lois (trad. Cousin)|Les Lois]], Argument philosophique, Notes in Œuvres de Platon, traduites par Victor Cousin, Tome septième & huitième * Encyclopédie de Diderot et d’Alembert ([http://encyclopédie.eu/index.php/morale/2067953993-droit-naturel-moral-divin-humain/6679098-LOI loi]) * 1826 - Charles Vanufel, Aimé-Clément-Félix Champion de Villeneuve.- [https://archive.org/details/codedescolonsdes00vanu Code des colons de Saint-Domingue] : présentant l'histoire et la législation de l’ex-colonie ; la loi de l’indemnité avec les motifs et la discussion; les ordonnances royales relatives à son exécution; l’analyse du rapport fait au roi par la commission préparatoire; avec des notes explicatives, par Ch. Vanufel, jurisconsulte, et A. Champion de Villeneuve, avocat. {{Google|TS1EAQAAMAAJ&pg}}. * 1886 - Rodolphe Dareste de la Chavanne, (1824-1911).- La loi de Gortyne<ref>[[w:Gortyne|Gortyne]] est une cité grecque de Crète, située sur les bords du fleuve Léthée et au pied du mont Ida</ref>, Texte, traduction et commentaires, L. Larose et Forcel, Paris, 1886, {{BNF|334636483}}. Voir conditions des esclaves. [http://www.worldcat.org/search?q=La+loi+de+Gortyne&qt=owc_search WorldCat.org], [http://remacle.org/bloodwolf/lois/gortyne.htm Lire en ligne] == Le Régent : Philippe d'Orléans == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#XVIIIe_siècle_(1715-1792)_%3A_Louis_XV_%26_Louis_XVI|Le septennat de Philippe d'Orléans, Régent de France]] == Antoine Loisel (Toutes personnes sont franches en ce royaume) == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#1536-1617-1646_-_Les_Institutes_coustumières_&_les_Œuvres_de_Me_Guy_Coquille,_sieur_de_Romenay|1536-1617-1646 - Les Institutes coustumières & les Œuvres de Me Guy Coquille, sieur de Romenay]] == M == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter M.jpg|100px|vignette|centré]] == Pierre-Victor Malouët == [[w:Pierre-Victor Malouët|Pierre-Victor Malouët]] est membres du courant [[w:Monarchiens|monarchien]] avec : * [[w:Jean-Joseph Mounier|Jean-Joseph Mounier]] * [[w:Nicolas Bergasse|Nicolas Bergasse]] * [[w:Stanislas de Clermont-Tonnerre|Stanislas de Clermont-Tonnerre]] * [[w:Gérard de Lally-Tollendal|Gérard de Lally-Tollendal]] * [[w:François-Henri de Virieu (1754-1793)|François-Henri de Virieu]] * [[w:César-Guillaume de La Luzerne|César-Guillaume de La Luzerne]] * [[w:François Dominique de Reynaud de Montlosier|François Dominique de Reynaud de Montlosier]] === Monarchie constitutionnelle (1789 - 1792 / 1815-1848) === ==== Société des Amis de la constitution ==== Il ressort des textes qui précèdent que la Société des amis de la constitution fut établie à Paris aux Jacobins Saint Honoré à la fin de l année 1789 mais sans qu on puisse dire au juste à quelle date |[https://books.google.fr/books?id=_M8eEh7XxoYC&pg=PR21&#v=onepage&f=false La Société des Jacobins: recueil de documents pour l'histoire du club des Jacobins de Paris], Jouaust, 1889, Volume 1 François-Alphonse Aulard * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_%26_XIXe_siècle#Pierre-Victor_Malouët_aux_affaires_coloniales|Pierre-Victor Malouët aux affaires coloniales]] * 1842 - {{bibliographie|Q17360720}} <!-- Léonce Guilhaud de Lavergne, « Le Parti de la Monarchie Constitutionnelle en 1789 » --> * Ernest Daudet.- [https://books.google.fr/books?id=nipTAAAAYAAJ Les grands épisodes de la monarchie constitutionnelle] : Le procès des ministres (1830) d'après les pièces officielles et des documens inédits, A. Quantin, 1877 - 316 pages * [https://www.google.fr/search?tbm=bks&hl=fr&q=Revue+des+deux+mondes+%2B+Monarchie+Constitutionnelle Revue des deux mondes + Monarchie Constitutionnelle] * 1988 - {{bibliographie|Q105826652}} <!-- Robert Howell Griffiths et Maurice Genty, Le Centre perdu. Malouet et les «monarchiens» --> * 2009 - {{bibliographie|Q105817009}} <!-- Sergienko Vladislava, Les monarchiens au cours de la décennie révolutionnaire --> == Marron - Marronnage == [[w:Marronnage|Marron - Marronnage]] Cf. : Musiques des Caraïbes === Bibliographie (Marron - Marronnage) === * 2015 - {{bibliographie|Q62091856}} <!-- Polly Pattullo, Your time is done now : slavery, resistance and defeat --> == Karl Marx.- Le Capital == Karl Marx (Marx, Karl), 1818-1883 Karl Marx.- [[s:Le Capital|Le Capital]] T. 1, Lachâtre, 1872 Traducteur : Joseph Roy Paris, Maurice Lachâtre, 1872 Google Bibliothèque Bodléienne (Oxford) [https://fr.wikisource.org/wiki/Le_Capital/Texte_entier#cite_esclave Recherche "esclave"] '''Le capital T. 1, 1875''' Traduction de J. Roy, entièrement revisée par l'auteur Más detalles Paris : Maurice Lachantre et Cie., 1875 Internet Archive : Tome : [https://archive.org/details/BRes101968E I] Volume 1, Livre 1er : ''[https://archive.org/stream/BRes101968E#page/n11/mode/2up Développement de la production capitaliste]'' [https://archive.org/stream/BRes101968E#page/n33/mode/2up/search/esclave Recherche "esclave"] == Michel Miaille (Juriste) == * [[w:Michel Miaille|Michel Miaille]] * 1976 - {{Bibliographie|Q27863632}} == Magloire Pelage == * [[w:Magloire Pelage|Magloire Pelage]] * Vincent Huygues-Belrose.- "[http://etudescaribeennes.revues.org/623 Magloire Pélage à la Lunette Bouillé (Martinique, 1794)]", Études caribéennes, décembre 2005, consulté le 10 septembre 2015, DOI : 10.4000/etudescaribeennes.623. === Martinique (Rocher du Diamant) === Cf. [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Lieux#Rocher du Diamant (Martinique)|Rocher du Diamant (Martinique)]] === Frédéric Mauro === * [[w:Frédéric Mauro|Frédéric Mauro]] == Frédéric Mazères == Mazères, F., secrétaire de l'[[w:Étienne Eustache Bruix|amiral Bruix]]<ref>Cf. Étienne Eustache Bruix (amiral Bruix)</ref> {{Citation bloc|MAZERES, colon de St.-Domingue, a beaucoup écrit sur les colonies, sur celle de Saint-Domingue, particulièrement en 1814, dans un moment où la paix momentanée dont jouissait la France permettait de songer aux moyens de les recouvrer. On a de lui : I. ''De l'Utilité des colonies, des causes intérieures de la perte de Saint-Domingue, et des moyens d'en recouvrer la possession'', 181 4, in-8°. II. ''Lettres à M. Simonde de Sismondi, sur les nègres, la civilisation de l'Afrique, Christophe et le comte de Limonade'', 1815, in-8°. Au mois de septembre 1814, le Journal des débats ayant publié une lettre du comte de Limonade, principal ministre de Christophe ( Voy. ces noms), M. Mazères y répondit par une autre lettre insérée dans la Gazette de France. Il y réfutait solidement les bruits accrédités sur la prétendue prospérité du royaume d'Haïti, en empruntant du ministre de Christophe lui-même, des armes pour le combattre. M. Mazères a encore publié : ''De Machiavel et de l'influence de sa doctrine sur les opinions, les mœurs et la politique de la France, pendant la révolution'', 1816, in-8°. L'auteur a peut-être été trop loin dans ses préventions contre Machiavel, en le rendant responsable des révolutions qui lui sont postérieures, et particulièrement de celle de France<ref>Cf. analyse contemporaine : [https://books.google.fr/books?isbn=2847887504 Jean-Louis Fournel].- [https://books.google.fr/books?id=rlwcCwAAQBAJ&lpg=PA508&dq=F.%20Mazères%20%2B%20amiral%20Bruix&hl=fr&pg=PA508#v=onepage&q=F.%20Mazères%20+%20amiral%20Bruix&f=false Langages, politique, histoire. Avec Jean-Claude Zancarini - Page 508, 2015]</ref>. On a encore de lui : ''Note d'un italien aux hautes puissances alliées, sur la nécéssité d'une confédération Italienne pour la paix de l'Europe, traduite de l'italien'', 1814, in-8°.|Biographie des hommes vivants, ou histoire par ordre alphabétique de la vie publique de tous les hommes qui se sont fait remarquer par leurs actions ou leurs écrits. Ouvrage entièrement neuf, rédigé par une société de gens de lettres et de savants. Tome premier (-cinquieme), 1818, 580 pages<ref>[https://books.google.fr/books?id=Whj-cMEs3jMC&dq=société%20savantes%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA391#v=onepage&q=société%20savantes%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Biographie des hommes vivants, ou histoire par ordre alphabétique de la vie publique de tous les hommes qui se sont fait remarquer par leurs actions ou leurs écrits.]</ref>}} === Bibliographie === 1814 - {{Bibliographie|Q55500722}} 1814 - Benedetto Boselli (1768-1826), Frédéric Mazères (trad.).- ‎Note d'un italien (Benedetto Boselli) aux hautes puissances alliées sur la nécessité d'une confédération italienne pour la paix de l'Europe, traduite de l'italien par M. [F.] Mazères [secrétaire de l'amiral Bruix]<ref>[https://books.google.fr/books?isbn=8882294919 Giovanni Dotoli.- Les traductions de l'italien en français au XIXe siècle, 2004, p.257]</ref>. 1814 - [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C651%2C375%2C36&edge=0 5115 Notice historique sur Eustache Bruix] Par M MAZERES, Paris, Henrichs an XIII 1805 in 8° Pièce Bibliographie in [https://books.google.fr/books?id=SAkJAAAAQAAJ&dq=F.%20Mazères%20%2B%20amiral%20Bruix&hl=fr&pg=PA664#v=onepage&q=F.%20Mazères%20+%20amiral%20Bruix&f=false La France littéraire, ou Dictionnaire bibliographique des savants, Volume 5]. [https://www.google.com/search?biw=1458&bih=667&tbm=bks&ei=Hi1LW_zKEMv7UOO7i4AK&q=inauthor%3A%22Johann+Samuel+Ersch%22+%2B+Mazères&oq=inauthor%3A%22Johann+Samuel+Ersch%22+%2B+Mazères&gs_l=psy-ab.3...7858.13502.0.14514.10.10.0.0.0.0.564.1168.9j5-1.10.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.itl52BJ1gEg Recherche google Livres] : inauthor:"Johann Samuel Ersch" + Mazères. La France litéraire: contenant les auteurs français de 1771 á 1796 == Meillassoux == * Anthropologie de l'esclavage: Le ventre de fer et d'argent * ''K. Marx distingue le salariat des formes « précapitalistes» d'exploitation du travail, tels l'esclavage et le servage.'' === Méthodologie === * [[w:Méthode expérimentale|Méthode expérimentale]]. Cf. [[d:Help:About_data/fr#Définition d'une donnée|d:Définition d'une donnée (Méthode expérimentale)]] == 1750-1819 - Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry == [[w:Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry|Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry]] * [[d:Q64449379|1788]] - {{bibliographie|Q64450025}} <!-- Cercle des Philadelphes, Recueils de pièces imprimées, datées 1788--> ** 1788 - {{bibliographie|Q64449511}} <!-- Pierre-Victor Malouet, Mémoire sur l'esclavage des Nègres --> * 1789-1790 - {{bibliographie|Q72192411}} Voir la liste des auteurs, OCLC 1005403905 <!-- Louis-Élie Moreau de Saint-Méry (dir.) et archives nationales d'outre-mer (dir.), Recueils de pièces imprimées concernant la colonie de Saint Domingue, Île d'Haïti, 1789-1790 * 1796 - {{bibliographie|Q76862952}}, ouvrage en 2 volumes. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> ** 1796 - {{bibliographie|Q76863627}}, volumes premier. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> ** 1796 - {{bibliographie|Q76864767}}, volumes second. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> *** Description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie espagnole/française de l'isle Saint-Domingue (Q22916106), Géohistoire de Saint-Domingue [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vc2o4bduhliz7cws Voir forum des nouveaux sur Wikisource], 30 novembre 2019 *** Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent (Q22809616) Recueil de textes juridiques, Droit colonial. [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vc2omiz1ef5cpqra Voir forum des nouveaux sur Wikisource], 30 novembre 2019 * 1791 - {{bibliographie|Q78992264}} <!-- 1791 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry (ill. Nicolas Ponce), Recueil de vues des lieux principaux de la colonie françoise de Saint-Domingue --> * 2006 - {{bibliographie|Q76860881}} <!-- 2006 - Moreau de Saint-Méry ou les ambiguïtés d'un créole des Lumières --> * 2004 - {{bibliographie|Q78995631}} <!-- 2004 - Exposition Louis-Élie Moreau de Saint-Méry --> == Adah Isaacs Menken == Voir Alexandre Dumas == Jules Michelet, (1798-1874) == [[w:Jules Michelet|Jules Michelet]] * Histoire de la Révolution française, 1853, {{BNF|30943230z}} == Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1740-1794_-_Les_œuvres_de_Claude-Louis-Michel-Milscent_de_Mussé_sous_l’angle_de_l'esclavage|1740-1794 - Les œuvres de Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé sous l’angle de l'esclavage]] === Modèles Wikiversité === * [[Wikiversité:Modèles|Wikiversité:Modèles]] * [[Wikiversité:Modèles/Ébauche|Wikiversité:Modèles/Ébauche]] ** [[Aide:Ébauche|Aide "Ébauche"]] == Mondialisation == * [[w:Mondialisation|Mondialisation]] {{Citation bloc|Les territoires valent par leur richesse. Or, deux sortes de richesses sont à considérer : les unes naturelles, les autres nées d'efforts humains.<br />a) Les [[w:Ressource naturelle|richesses naturelles]] sont inégalement réparties de par la terre. [..] Il s'agit, si l'on peut employer cette expression, de socialiser le droit international, comme on a socialisé le droit privé et de prendre à l'égard des richesses naturelles des mesures de "'''''mondialisation'''''"<ref> , [[w:Mondialisation#Étymologie|Mondialisation]] : "''première utilisation''" dans [[w: Paul Otlet|Paul Otlet]]. Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6571226k/f361.item.r=mondialisation page 337].]</ref>.<br /> b) Par l'accumulation des efforts de toute nature (techniques, industriels, commerciaux, financiers, politiques) de grandes sources de richesse ont pu aussi être créées artificiellement. [...]<br />Peu à peu s'est donc formée cette idée, doublée d'un sentiment juridique, que l'humanité est en droit d'attendre de tout peuple qu'il tire de son sol tout le profit normal possible selon les méthodes scientifiques et techniques ; que s'il ne le fait pas par ignorance ou inertie, il prive d'autres peuples qui en ont besoin et pourraient le faire ; partant, il crée pour ces peuples des droits virtuels sur ces territoires en friche. Cette théorie a servi de justification d'abord à la colonisation ; aujourd'hui on l'étend à tous les pays. Les peuples n'auraient donc plus de droits de propriété absolue sur leurs territoires ; ils en seraient seulement des sortes d'usufruitiers, responsables de la fructification devant l'humanité.|[[d:Q1868|Paul Otlet]] (1868-1944).- Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, pp. 285 & ss, {{bibliographie|Q24348623}}<ref>[[w: Paul Otlet|Paul Otlet]]. Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6571226k/f361.item.r=mondialisation pp. 285-337].</ref>.}} === Mondialisation dans le "Vieux Monde" === ==== Mondes clos / Mondes ouverts ==== ==== Les mouvements religieux ==== ==== Les épices ==== ==== La porcelaine ==== === Première mondialisation, finitude des mondes === {{Citation bloc|De façon plus générale, l’étude historique du champ lexical de la mondialisation, en français et dans d’autres langues européennes, mise au regard du processus même de mondialisation depuis la fin du XVe siècle, permet de suivre les différentes étapes de l’élaboration d’un discours occidental sur la mise en place d’un Monde unifié à partir de l’époque moderne jusqu’à aujourd’hui.|Vincent Capdepuy.- Au prisme des mots: La mondialisation et l’argument philologique, Cybergeo : European Journal of Geography, 20 décembre 2011<ref>{{bibliographie|Q2434923}}</ref>.}} * Cf. "Compagnies, première mondialisation, finitude des mondes" sur cette page === Deuxième mondialisation : salariat & industrialisation === == Bibliographie == * [[d:Q61466517|2008]] - {{bibliographie|Q61466517}} <!-- Philippe Chalmin, Des épices à l'or noir : l'extraordinaire épopée des matières premières --> * 1997 - {{bibliographie|Q61473782}} <!-- Carlo Maria Cipolla (trad. Françoise Liffran), Le poivre, moteur de l'histoire : du rôle des épices, et du poivre en particulier, dans le développement économique du Moyen âge --> == Monstre == [[Fichier:L'Hydre aristocratique, 1789.jpeg|100px|vignette|gauche|L'Hydre aristocratique, 1789]] * Michel Pastoureau (historien du Moyen Âge).- [http://plus.franceculture.fr/les-chevaliers-de-la-table-ronde-anthropologie-d-une-societe-imaginaire ''Les monstres'' à 11:25] in Les Chevaliers de la Table Ronde : Anthropologie d’une société imaginaire == Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu, 18 janvier 1689 -10 février 1755 == [[w:Montesquieu|Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1711-1755_-_Les_œuvres_de_Montesquieu_sous_l'angle_de_l’esclavage|1711-1755 - Les œuvres de de Montesquieu sous l'angle de l’esclavage]] == Mirabeau (Famille) == * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Famille Mirabeau Riqueti|Famille Mirabeau Riqueti]] == Morale == * [[w:Morale|Morale]] * Jean Pélissier et Maxime-Émile Arnaud.- La morale internationale : ses origines, ses progrès, Institut international de la paix, Monaco, 1912, {{BNF|310745260}}. == Moreau le Jeune == <gallery> File:Voltaire Oeuvres Kehl Widmung.jpg File:François-Alexandre-Frédéric de La Rochefoucauld-Liancourt (1747-1827).jpg File:Dejabin Collection - Charles-François de La Rochefoucauld-Bayers (1753-1819).jpg File:LJFrancoeur.jpg File:Lancez, professeur de violon.png File:Jean-François-Marmontel-Les-Incas MG 9021.tif </gallery> == Musées == === Musée du Nouveau Monde === * [[d:Q3330357|Musée du Nouveau Monde]], [[d:Q22955108|hôtel de Fleuriau]] * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Acteurs_%26_Lieux#M|Musée du Nouveau Monde]] ==== Apprentissage de Wikidata ==== Ambre Troizat (discussioncontributions) Bel bonjour, J'arrive sur Wikidata Flow. Je n'ai pas réussi, en suivant les instructions, à fusionner musée du Nouveau Monde (Q3330357) : musée français 6 Kio (21 mots) - 30 décembre 2016 à 11:54 musée du Nouveau Monde (Q22955108) : musée à La Rochelle (Charente-Maritime) 7 Kio (12 mots) - 30 décembre 2016 à 13:28 Un problème à partir de la langue, semble-t-il... Merci de procéder à cette fusion. VIGNERON (discussioncontributions) La prochaine fois, merci d'ouvrir une nouvelle discussion<ref>Méthodes & techniques</ref> plutôt que de parasiter<ref>Lexique</ref> une discussion existante. Pour ces deux éléments, je ne vois rien qui techniquement empêchait cette fusion, par contre '''conceptuellement''' ce sont deux choses différentes qu'il ne faut pas fusionner (l'institution et le bâtiment qu'il occupe), j'ai modifié les éléments pour que les choses soient plus claires (et désormais la fusion est techniquement impossible, '''les éléments étant reliés entre eux'''<ref>Méthodes & techniques</ref>). == Musique == === Musiques des Caraïbes === [[Fichier:FolleJournée2009 RenegadesSteelBand.jpg|100 px|vignette|gauche|Folle Journée 2009 Renegades SteelBand]] L'article "Musiques des Caraïbes" n'existe pas sur wikipédia ! == Aire géographique & Histoire == Nous disons [[w:Mer des Caraïbes|Mer des Caraïbes]] pour faire court. Nous considérerons l'ensemble composé de la mer des Caraïbes et du golfe du Mexique, autrement dit, la "Méditerranée américaine" ou mieux encore "La méditerrannée des Caraïbes" pour rendre aux Caraïbes ce qui leur appartient. On dit aussi "espace caraïbe". {{Citation bloc|Les mêmes phénomènes se retrouvent pour la Méditerranée américaine, mer des Caraïbes et golfe du Mexique, à Vera-Cruz où elles ont au maximum 60 centimètres et pour la Méditerranée d’Australasie, mers de Chine, de Soulou, de Célèbes, de Banda, de Java, où elles ne dépassent guère 2 mètres|(Julien Thoulet, L’océan : ses lois et ses problèmes, 1904)<ref>Julien Thoulet, [https://archive.org/details/locansesloiset00thou/page/n12 L’océan : ses lois et ses problèmes], 1904</ref>.}} {{Citation bloc|'''Crokaert (Jacques), La Méditerranée américaine, L'Expansion des Etats-Unis dans la mer des Antilles'''<br> M. Crokaert, chargé de missions par le gouvernement belge, a visité les Antilles et le littoral de ce qu'il nomme si heureusement "la Méditerranée américaine", et ce sont les résultats de son voyage qu'il nous expose en un ouvrage aussi intéressant qu'instructif. Il a étudié avec soin ces îles si diverses, où tant de civilisations ont laissé leur empreinte et les décrit à la fois en économiste, en homme politique et en voyageur épris de leur pittoresque si prenant. En une synthèse rapide, M. C. nous expose les débuts de la colonisation de toutes ces terres, où chaque nation a expérimenté son génie propre. De la Barbade à Trinidad, en passant par les Antilles Françaises, Cuba, les Bahamas et les Bermudes, M. C. nous entraîne au Mexique, en Amérique centrale et enfin à Panama, dont la République, inventée de toutes pièces, a valu à la zone du canal son prodigieux développement.<br> De cette longue randonnée, M. C. rapporte de multiples observations, d'où il semble résulter que l'on assiste, sous ce ciel radieux, à une âpre lutte, tantôt ouverte, le plus souvent dissimulée, entre l'Empire Britannique et la grande République nord-américaine, pour la création de bases navales — en cas de conflits possibles. Les Etats-Unis ont, jusqu'à présent, le beau rôle, tantôt annexant, parfois protégeant, selon leur intérêt strict, les Républiques insulaires ou les États de la Côte Ferme, mais créant ainsi, sans peut-être s'en rendre compte bien exactement, un inquiétant état d'esprit dans les grandes Républiques latines du Sud, qu'ils affectent — un peu trop peut-être — de sous-estimer.<br> Comme toujours, dans la collection Payot, une bibliographie succincte, mais sérieusement établie, termine l'ouvrage. Par contre, nous pensons qu'il vaut mieux ne rien dire de la carte "enfantine", illustrant le volume. Deux petites erreurs à signaler : Toussaint l'Ouverture (p. 54) et p. 249, le prince «Bolo » pour le prince Bobo.|Albert Depréaux In Revue d'histoire moderne, tome 4 N°21, 1929. p. 236.<ref>Albert Depréaux In [https://www.persee.fr/doc/rhmc_0996-2727_1929_num_4_21_3552_t1_0236_0000_2 Revue d'histoire moderne, tome 4 N°21, 1929. p. 236]. {{bibliographie|Q62103444}}, préface de M. Henri Jaspar, 1927, VIII-278 p. in-8°.</ref>.}} === Un espace de plus en plus ouvert === * Le canal de Panama * Le canal du Nicaragua [[Fichier:Nicaragua canal proposals - es.svg|vignette|Propositions pour le canal du Nicaragua, 2014.]] La tracé en vert, au sud de Bluefields, est celui qui est retenu1. En bleu le canal de Panama. === Comment les flots & les flux de musique animent & unifient l'espace caraïbe === === Les portes du Nouveau Monde === * [[w:Histoire de la musique|Histoire de la musique]] '''Genre musical''' * [[w:Musique du continent américain|Musique du continent américain]] * [[w:Musique amérindienne|Musique amérindienne]] * [[w:Garifunas|Musique des Garifunas]] * [[w:Musiques métisses|Musiques métisses]] '''Par ordre alphabétique''' * [[w:Musique colombienne|Musique colombienne]] * [[w:Musique cubaine|Musique cubaine]] * [[w:Musique des États-Unis|Musique des États-Unis]] * [[w:Musique guyanaise|Musique guyanaise]] * [[w:Musique latine|Musique latine ou ''latino'']] * [[w:Musique des Antilles françaises |Musique des Antilles françaises]] ** [[w:Musique martiniquaise|Musique de la Martinique]] * [[w:Musique portoricaine|Musique de Portorico]]La Méditerranée '''Par genre d'influence''' * [[w:Tango (musique)|Tango (musique)]] '''Musiques religieuses''' Les Musiques religieuses des Amériques, [[w:Musique afro-caribbéenne|Musiques caribbéennes]], sont nées d'influences diverses : ** [[w:Musique afro-brésilienne|Musique brésilienne]] : ''cultes d'influences africaines'' dans les Caraïbes ** [[w:santeria|Musique santeria]], [[w:vaudou|Musique vaudou]], ** [[w:espiritismo|espiritismo]], ** [[w:Musiques chamaniques|Musiques chamaniques]] des continents américains ** [[w:nyabinghi|nyabinghi]] : le nyabinghi est la musique rituelle jouée lors des grounations rastas. Elle a donné naissance à une musique spirituelle et politique : le reggae. ==== Bibliographie (Méditerranée des Caraïbes) ==== * [[d:Q51422846|1904]] - {{Bibliographie|Q51422846}} <!-- Julien Thoulet, L'océan : ses lois et ses problèmes --> * 1927 - Jacques Crokaert.- [https://books.google.fr/books?id=pvpkAAAAMAAJ La Méditerranée américaine]: l'expansion des États-Unis dans la mer, 1927 * 1930 - Léon Rollin.- [https://books.google.fr/books?id=I6FTR1za450C Sous le signe de Monroe autour de la Méditerranée américaine], 1930 * [https://docplayer.fr/9852998-Mediterranee-caribeenne-mediterranee-americaine.html Méditerranée caribéenne, Méditerranée américaine], diapositives ==== Bibliographie (Musique) ==== * 1759 - [[w:Jean le Rond D'Alembert|Jean Le Rond d'Alembert]].- [https://books.google.com/books?id=yz0HAAAAQAAJ Élémens de musique, théorique et pratique, suivant les principes de m. Rameau], Chez C.-A. Jombert, 1759. {{bibliographie|Q24714998}} * 1989 - [[d:Q24712228|Michelle Biget-Mainfroy]].- [[d:Q24712396|Musique et Révolution française : la longue durée]]. {{bibliographie|Q24712228}} ==== Sites Internet ==== * [https://www.universalis.fr/encyclopedie/caraibes-mer-des-caraibes-et-golfe-du-mexique/ Caraïbes, Mer des Caraïbes et golfe du Mexique], [https://www.universalis.fr/carte-mentale/caraibes-mer-des-caraibes-et-golfe-du-mexique/ carte mentale] * [http://www.cosmovisions.com/MerCaraibes.htm La mer de Caraïbes, Mer des Antilles] == N == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter N.jpg|100px|vignette|centré]] == Nanon, mère de Saint-George == === Solitude & Marthe Rose, dite Toto, concubine de Delgrès === Sur Wikipédia {{fr}} [[w:La Mulâtresse Solitude|La Mulâtresse Solitude]] {{en}} [[w:en:La Mulâtresse Solitude|La Mulâtresse Solitude]] [[w:Solitude (vers 1772-1802)|Solitude (vers 1772-1802)]] La première trace de [[w:Solitude (esclave guadeloupéenne)|Solitude]] est dans l'histoire de la Guadeloupe . Très longtemps cette histoire de la Guadeloupe a été une référence pour les chercheurs. Je lui dois beaucoup dans la rédaction de mon Deug. [https://archive.org/details/histoiredelaguad03laco/page/310/mode/2up?q=Solitude Voici ce qu'elle dit, cette histoire]. [https://www.facebook.com/saintgeorge.dalayrac/posts/10216755259785608:77 Votre document est différent du mien] et parle de [https://books.google.fr/books?id=e817AAAAMAAJ&pg=PA398&dq=inauthor:%22Auguste+Lacour%22+%2B+la+mul%C3%A2tresse+Marthe-Rose,+dite+Toto,+concubine+de+Delgr%C3%A8s&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwiakLupuonsAhUr4YUKHZ_uAWwQuwUwAHoECAEQBw#v=onepage&q=inauthor%3A%22Auguste%20Lacour%22%20%2B%20la%20mul%C3%A2tresse%20Marthe-Rose%2C%20dite%20Toto%2C%20concubine%20de%20Delgr%C3%A8s&f=false "la mulâtresse Marthe-Rose, dite Toto, concubine de Delgrès]. Des écrivains et artistes semblent avoir fait une légende de l'histoire de deux femmes. Voir aussi : [https://www.facebook.com/106879605998916/photos/a.674508805902657/3506281212725388?comment_id=3509401292413380 fil de discussion 1] ; [https://www.facebook.com/groups/abolirlesclavageaujourdhui/permalink/2088042484659174 fil de discussion 2]. ==== La Mulâtresse Solitude, œuvre littéraire ==== * 1972 - {{bibliographie|Q108907606}} <!-- La Mulâtresse Solitude --> * 1985 - {{bibliographie|Q112581335}} Ed. remaniée de la thèse soutenue sous le titre : "Les femmes esclaves aux Antilles françaises (XVIIe-XIXe siècle)", Paris E.H.E.S.S, 1982 <!-- Les sœurs de Solitude --> -.-.-.- * 2014 - {{bibliographie|Q26243513}} == Nation / Etat-nation == Voir la page thématique "[[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique de la Première mondialisation|Géopolitique de la Première mondialisation]]". * https://books.google.com/ngrams/graph?content=Nation&year_start=1400&year_end=2020&corpus=15&smoothing=1&share=&direct_url=t1%3B%2CNation%3B%2Cc0 Nation (en)] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Nation&year_start=1500&year_end=2020&corpus=19&smoothing=1&share=&direct_url=t1%3B%2CNation%3B%2Cc0 Nation (fr] === Qu'est-ce qu'une nation ? === * 1792 - {{bibliographie|Q102181586}} <!-- Jean François Lambert, Qu'est-ce qu'une nation --> * 1848 - {{bibliographie|Q52391279}} <!-- Ce que c’est qu’une nation éclairée --> * 1887 - {{bibliographie|Q3412537}}, œuvre écrite <!-- Renan, Qu'est-ce qu'une nation ? --> ** 1887 - {{bibliographie|Q19225944}}, Conférence <!-- Renan, Qu'est-ce qu'une nation --> * 2020 - {{bibliographie|Q102183894}} <!-- Pascal Ory, Qu'est-ce qu'une nation ? --> === Emmanuel-Joseph Sieyès.- Qu’est-ce que le tiers état ? Référence sur la question de la nation === {{Citation bloc|− HIST. '''Pendant la Révolution française'''. Ensemble des personnes formant le Tiers État. Le Tiers embrasse donc tout ce qui appartient à la nation; et tout ce qui n'est pas le Tiers ne peut pas se regarder comme étant de la nation (Sieyès,Tiers état, 1789, p.32<ref>Cf. Emmanuel-Joseph Sieyès.- [[s:Livre:Sieyès-Qu'est_ce_que_le_tiers_état-1888.djvu|Qu’est-ce que le tiers état ?]] Société de l'Histoire de la Révolution Française, 1888 (p. 51-117).<br>[https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31365933x Voir une édition de 1789]</ref>).Au fur et à mesure que s'approfondissent les luttes révolutionnaires, la nation tend, dans le langage du temps, à s'identifier au peuple révolutionnaire qui a abattu la monarchie (R. Martelli,La Nation, Paris, Éd. soc., 1979, p.22).| cnrtl.fr/definition/nation}} == Necker == == Jean-François Niort == * [[Wikidata:Q21997211|Jean-François Niort (Q21997211)]] * [http://www.librairie-sciencespo.fr/recherche/resultat.html Bibliographie de la librairie-sciencespo.fr] == O == == Omar Ibn Saïd == Camille Cado.- Omar Ibn Saïd, [https://www.actualitte.com/article/monde-edition/la-rare-autobiographie-d-un-esclave-du-xixe-siecle-disponible-en-ligne/92961?fbclid=IwAR2DsH7LjmphOQS5USo-vOof_L8PgX315Tg0THoW9NbEuZciwBJeKX3WRuE La rare autobiographie d'un esclave du XIXe siècle disponible en ligne], Edition - Bibliothèques - Obar Ibn Said esclave - autobiographie esclave - Bibliothèque du Congrès, 24.01.2019 == OpenEdition == * 39 ouvrages de la collection "[http://www.iheal.univ-paris3.fr/fr/editions/collection-travaux-et-mémoires Travaux & mémoires]" sont désormais disponibles en [http://books.openedition.org/iheal/93 accès libre] (au format html) sur [http://www.openedition.org/ OpenEdition]. Parmi ces ouvrages, on signalera particulièrement les suivants, dans le cadre de l’histoire ultramarine : * Autour de l’« Atlantique noir ». Une polyphonie de perspectives, Carlos Agudelo, Capucine Boidin et Livio Sansone eds. * De Nova Lisboa à Brasília. L’invention d’une capitale (XIXe-XXe siècles), Laurent Vidal * Le Portugal à la rencontre de trois mondes. Afrique, Asie, Amérique aux XV-{{S|17}}s, Guy Martinière * Transport et commerce en Amérique latine. 1800-1970, Frédéric Mauro et Soline Alemany, eds * Le Guide des sources de l’histoire du Brésil aux Archives du ministère français des Affaires étrangères, Pascal Even, Société française d’histoire des outre-mers.- [http://www.sfhom.com/spip.php?article1308 La collection « Travaux et mémoires » des Éditions de l’IHEAL est accès libre sur OpenEdition], 7 novembre 2015 à 15h24. * Voir : [[w:Accès libre|Accès libre]] ; [[w:OpenEdition|OpenEdition]] ; [[w:Outre-mers|Outre-mers]] == Ordonnances (Monarchies françaises) == == Ouvrier == * [[wikt:ouvrier|Ouvrier]].- Du latin [[wikt:operarius|operarius]] (« ouvrier »), l’évolution phonétique est la même que celle qui de opera mène à œuvre, et operari à ouvrer, œuvrer. * {{R:Gaffiot|operarius}} * {{R:Gaffiot|page=21}} * [[w:Ouvrier|Ouvrier]] * [http://www.cnrtl.fr/definition/ouvrier Ouvrier (cnrtl.fr)] * J.-J. Baude.- [[s:Les Ouvriers (Revue des Deux Mondes 1848)|Les ouvriers], Revue des Deux Mondes T. 22, 1848 * [[s:Page:Zola - Germinal.djvu/186|Est-ce que tous les citoyens n’étaient pas égaux depuis la Révolution ?]] [[s:Page:Zola - Germinal.djvu/187|Puisqu’on votait ensemble, est-ce que l’ouvrier devait rester l’esclave du patron qui le payait ?]]. Émile Zola.- [[s:Germinal|Germinal]], G. Charpentier, Paris, 1885. == P == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter P.jpg|100px|vignette|centré]] == Sébastien Le Prestre, marquis de Vauban (1633-1707) : Un économiste et statisticien sous Louis XIV == Vauban économiste === Mémoire pour le rappel des Huguenots === * 1689 - {{Bibliographie|Q111433878}} <!-- Mémoire pour le rappel des huguenots --> [[w:Sébastien_Le_Prestre_de_Vauban|Sébastien Le Prestre, marquis de Vauban]] est un ingénieur, architecte militaire, urbaniste, ingénieur hydraulicien et essayiste français. Il est nommé maréchal de France par Louis XIV. {{Citation bloc| Mémoire pour le rappel des huguenots : ''Un éloquent plaidoyer historique, en faveur des protestants, de la part du grand stratège militaire du roi Louis XIV, Vauban''. <br>''Ce grand soldat désintéressé, aussi richement pourvu d'idées que de bon sens est plus propre que nul autre à porter sur l'action la lumière de la pensée''.", Charles de Gaulle, La France et son Armée<br>"En prenant la défense des protestants français, Vauban se place à la fois sur le plan politique et sur le plan éthique ..." Pasteur Philippe Vassaux|}} == Le Pacifisme sous l'Ancien Régime == [[w:Pacifisme|Pacifisme]] à ne pas confondre avec [[w:Antimilitarisme|Antimilitarisme]] * Cf. Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre (1658-1743) : Un pacifiste sous Louis XV === Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre (1658-1743) : Un pacifiste sous Louis XIV & XV === [[w:Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre|Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre]] {{Citation bloc|Vauban<ref>[[w:Sébastien_Le_Prestre_de_Vauban#Activités_civiles_:_Vauban_critique_et_réformateur|Vauban critique et réformateur]]</ref>, Fénelon, Catinat, les ducs de Saint-Simon, de Chevreuse, de Beauvilliers, ce groupe secret de réformateurs qui se réunissait autour du duc de Bourgogne<br>[[w:Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre|Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre]] était aumônier de la [[w:Élisabeth-Charlotte de Bavière|princesse Palatine, Élisabeth-Charlotte de Bavière, (1652-1722)]], protestante d’origine, qui avait dû se convertir en quelques jours pour épouser le duc d’Orléans|2016 - {{Bibliographie|Q111432326}} <!-- Un pacifiste libéral du XVIIIe siècle -->}} === La société des nations de l'abbé de Saint-Pierre === * 1932 - {{Bibliographie|Q111435436}} Projet de paix perpétuelle, publié pour la première fois en 1713, du vivant de Louis XIV, et l’année même de la paix d’Utrecht <!-- La société des nations de l'Abbé de Saint-Pierre --> === Bibliographie (Pacifisme) === * 1917 - {{Bibliographie|Q111432024}} <!-- Un pacifiste sous Louis XV : la société des nations de l'abbé de Saint-Pierre --> * 2015 - {{Bibliographie|Q111435251}} <!-- Bruno Arcidiacono, Cinq types de paix --> * 2016 - {{Bibliographie|Q111432326}} <!-- Un pacifiste libéral du XVIIIe siècle --> == Thomas Paine == [[w:Thomas Paine|Thomas Paine]] [[s:Auteur:Thomas_Paine|Auteur : Thomas Paine]] * 1894 - {{Bibliographie|Q28939099}} <!-- --> * 1999 - {{bibliographie|Q28938818}} <!-- --> == Luca Pacioli == [[Fichier:Pacioli.jpg|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:De divina proportione title page.png|100px|vignette|gauche]] {{Autres projets | idfaculté = histoire | commons = Category:Font design by Luca Pacioli | commons titre = Font design by Luca Pacioli | wikispecies = | wikispecies titre = | w = Luca Pacioli | wikipedia titre = Luca Pacioli | wikt = | wiktionary titre = | b = | wikibooks titre = | s = | wikisource titre = | q = | wikiquote titre = | n = | wikinews titre = | m = | meta titre = | d = | wikidata titre = | voy = | wikivoyage titre = }} * {{Ouvrage | langue = la | prénom1 = Luca | nom1 = Pacioli, c.1445-1517 | prénom2 = Leonardo | nom2 = da Vinci, 1452-1519 | prénom3 = Antonio | nom3 = Capella, Éditeur scientifique | lien auteur1 = w:Luca Pacioli | lien auteur2 = w:Léonard de Vinci | lien auteur3 = w:Antonio Capella | titre = Divina proportione : opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria oue ciascun studioso di philosophia: prospettiua pictura sculptura : | sous-titre = architectura: musica: e altre mathematice: suavissima: sotile: e admirabile doctrina consequira: e delecterassi: co[n] varie questione de secretissima scientia | lien titre = w:De divina proportione | numéro 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année = [[w:1995 en littérature|1995]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 207 | passage = Texte en italien du Titre neuvième, Traité XI, extrait de "Summa de arithmetica" avec trad. française en regard | dnb = 358004298 | isbn = 2-910413-10-1 | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = 30 septembre 2015 | présentation en ligne = http://debycredy.free.fr/pacioli.html | commentaire = | id = }} == Patriotisme == {{Citation bloc|Toute alliance d'un parti avec l'étranger est criminelle Mais ce point de la morale politique n'était pas encore à cette époque suffisamment établi.|Gustave Héquet.- Madame de Maintenon, 1853<ref>Gustave Héquet.- [https://books.google.fr/books?id=95ADAAAAQAAJ Madame de Maintenon], 1853.</ref>}} == Gabriel Peignot, bibliophile == [https://www.google.fr/search?hl=fr&tbm=bks&sxsrf=ACYBGNT2Rwemczwi__tGfYN6OjJGe-tpzA%3A1577903173731&ei=ReQMXqSgLOaclwS275XwBw&q=inauthor%3A%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&oq=inauthor%3A%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&gs_l=psy-ab.12...763.15112.0.18452.10.8.0.0.0.0.1400.3574.0j4j1j0j1j0j1j1.8.0....0...1c.1.64.psy-ab..2.0.0....0.ikdh18ifFRA inauthor:"Gabriel Peignot" + esclave] [[w:Gabriel Peignot|Gabriel Peignot]].- [https://books.google.fr/books?id=3DhWAAAAYAAJ&pg=RA1-PA89&dq=inauthor:%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjFp-q7g-PmAhWjyIUKHemUDngQ6AEIKTAA#v=onepage&q=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&f=false Mélanges littéraires, philologiques et bibliographiques], contenant des recherches sur l'étymologie des noms propres dans les premiers temps de la monarchie, etc: sur l'origine connue de quelques mots de langue française avant la révolution; sur les langues et particulièrement sur les ouvrages polyglottes, avec l'Oraison dominicale et quelques mots rendus en un grand nombre de langues; sur la disposition de l'écriture chez les différens peuples; sur la langue celtique et gauloise; sur les différentes éditions de l'Art de vérifier des dates, etc. etc. etc {{Citation bloc|On aperçoit pour la première fois depuis Hugues Capet une main de justice sur le sceau de Louis X.<br>Ce roi rendit en 1515 un édit qui affranchit tous esclaves, gens de corps, gens de main morte et gens de poueste, selon l'ancienne manière de parler moyennant une certaine somme. Il y déclare qu'étant roi des Francs il désiroit qu il n y eût plus d'esclaves dans son royaume. Voilà de beaux sentimens d'humanité et bien dignes d'un roi de France. Ils auroient encore plus de prix si un entier désintéressement les eût accompagnés. Sans doute les besoins de l.état exigeoient que l'on payât une redevance pour obtenir sa liberté|Gabriel Peignot<ref>A propose de l’[https://books.google.fr/books?id=JTMvAAAAMAAJ&dq=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA79#v=onepage&q=inauthor:%22Gabriel%20Peignot%22%20+%20esclave&f=false édit d'abolition de l’esclavage de Louis X dit le Hutin].</ref>}} {{Citation bloc|Jeanne fille de Louis et de Marguerite est éliminée du de France Nous avons vu qu elle fut mariée par du 5 mai 1318 à Philippe le Sage de Louis comte d Evreux Elle lui été accordée par acte du 27 mars 1317 c est à dire 1318 parce que l commençoit alors à Pâques La qu accorda le pape Jean XXII nécessaire puisque Jeanne n avoit que six ans Par le même acte d accord du 27 mars 1317 dont nous venons de parler Eudes duc de Bourgogne oncle maternel et tuteur de Jeanne renonce au nom de sa pupille à tous droits sur couronnes de France de Navarre et sur les comtés de Champagne et de Brie moyennant indemnité et retour des comtés à défaut d'hoirs mâles du roi Philippe le Sage comte d Evreux né en 13o5 meurt le 16 septembre an 1343 à Xérès en Andalousie Jeanne sa femme meurt le 6 octobre 1649 Leurs enfans furent 1 Charles le Mauvais roi de Navarre 2 Philippe comte de Longueville 3 Louis comte de Beaumont le Roger 4 Jeanne religieuse à Lonchamps 5 Blanche mariée au roi Philippe de Valois 6 Marie femme de Pierre IV roi d Arragon 7 Agnès alliée à Gaston Phœbus III comte de Foix et 8 Jeanne femme de Jean vi comte de Rohan|Gabriel Peignot<ref>A propose de la [https://books.google.fr/books?id=JTMvAAAAMAAJ&dq=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA80#v=onepage&q=inauthor:%22Gabriel%20Peignot%22%20+%20esclave&f=false Première application de la loi salique.]</ref> [[w:Loi salique|loi salique]].}} == Peine de mort == 1908 - Jean Jaurès, Discours de Jean Jaurès pour l'abolition de la peine de mort (lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata, « En 1908, la Chambre des députés a été saisie d'un projet de loi relatif à l'abolition de la peine de mort et de deux propositions de loi tendant au même objet, l'une de Joseph Reinach.. » — La Revue socialiste - numéros 129 à 138, p. 80, 1960 == Philalèthes ou philalètes == [[w:Philalèthes|Philalèthes ou philalètes]] * 2016 - {{bibliographie|Q27824519}} {{Citation bloc|[[w:Illuminés de Bavière|Illuminés de Bavière]] : [[w:société secrète|société secrète]] [[w:Allemagne|allemande]] du {{s|XVIII}} qui se réclamait de l{{'}}''{{lang|de|[[w:Aufklärung|Aufklärung]]}}'' et plus généralement de la [[w:Lumières (philosophie)|philosophie des Lumières]].<br />En [[w:1787|1787]], le journaliste [[w:Johann Joachim Christoph Bode|Johann Bode]], devenu de fait le chef de l'Ordre se rend en France, à [[w:Strasbourg|Strasbourg]], puis à [[w:Paris|Paris]]<ref>"Arrivé le 24 juin 1787 à Paris, soit un mois après la clôture du Convent des Philalèthes", {{ouvrage|autS₣1.22 (S₣1.22 (eur1))= Arnaud de la Croix|titre=Les Illuminati|sous-titre=La réalité derrière le mythe|lieu=Bruxelles|année=2014|passage=84}}</ref>, où il rencontre des membres des « [[w:Philalèthes|Philalèthes]] ». {{pertinence détail|Selon son « ''Journal de voyage'' », certains d'entre eux constitueront alors un noyau secret de « [[w:Philadelphes|Philadelphes]] », ressemblant aux ''Illuminaten'' allemands}}<ref>{{harv|Beaurepaire|2008|p=89}}</ref>.|[[w:Illuminés de Bavière|Wikipédia]].}} [[w:Philadelphes|Philalèthes ou philalètes]] qui se traduit par : ami ou chercheur de la vérité, du grec Philos, ami et aléthia, vérité est en franc-maçonnerie, le nom donné au Rite des philalèthes et à ses pratiquants. Ce régime de maçonnerie philosophique ou mystique est fondé en 1773 par le marquis [[w:Charles-Pierre-Paul Savalette de Langes|Charles-Pierre-Paul Savalette de Langes] au sein de la loge "[[w:Les Amis réunis|Les Amis réunis]]" dont il est vénérable et membre fondateur. Ce rite perdure jusqu'à la mort de son fondateur en 1797. == Philippines, l'autre modèle colonial == [[Fichier:Ati woman.jpg|100px|vignette|gauche|Jeune femme Négritos de l'île de Panay, Philippines]] [[w:Philippines|Philippines]] * 1827 - ''Les Philippines et la Compagnie des Philippines'' dans William Coxe.- [L'Espagne sous les rois de la maison de Bourbon: ou mémoirs relatifs à l'histoire de cette nation depuis l'avénement de Philippe V en 1700, jusqu'a la mort de Charles III en 1788, Volume 6], De Bures Frères, 1827, Google|W6ILAAAAYAAJ&pg. * 1997 - Huetz De Lemps Xavier. ''[http://www.persee.fr/doc/remi_0765-0752_1997_num_13_2_1549 Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)]''. In: Revue européenne des migrations internationales, vol. 13, n°2,1997. pp. 47-62, DOI : 10.3406/remi.1997.1549 * 2011 - Preckler Ferdinando Guillen, ''[https://www.cairn.info/revue-histoire-monde-et-cultures-religieuses1-2011-3-page-125.htm Les Philippines au tournant (1898-1908)]'', Histoire et missions chrétiennes 3/2011 (n°19) , p. 125-136, DOI : 10.3917/hmc.019.0125. == Physiocratie == === 1694-1774 - Quesnay, François === * 1765-1768 - Physiocratie, ou Constitution naturelle du gouvernement le plus avantageux au genre humain [Texte imprimé]. Recueil publié par Du Pont, des Sociétés royales d'agriculture de Soissons & d'Orléans, & correspondant de la Société d'émulation de Londres M. DCC. LXVIII (-M. DCC. LXVII.) {{BNF|31162785j}} ; [https://archive.org/details/bub_gb_UMyixGDgsv4CInternet Archive] == Jean Piel, mon directeur de recherche == [[d:Jean Piel|Jean Piel (historien)]], 1936-2017, {{BNF|11919714v}} Bibliographie : [https://www.idref.fr/027072487 IdRef] 1980 - Jean Piel, « Le caoutchouc, la Winchester et l'Empire » == Jean PIEL In memoriam == # [https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Institut des Amériques] # Voir Jean Piel dans [[w:Union des étudiants communistes|Union des étudiants communistes]] # [https://www.youtube.com/results?search_query=Jean+Piel+%2B+Une+certaine+idée+de+l%27Histoire+avec+Jean+Piel+ Cristal.- Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel] == Pietro Tacca == === Category:Pietro Tacca - Wikimedia Commons === * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca>. * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca#/media/File:Pietro_Tacca_-_Turkish_Corsair_-_Walters_54671.jpg> * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca#/media/File:Pietro_Tacca_-_Turkish_Corsair_-_Walters_54672.jpg> == Guillaume Poncet de La Grave == * Guillaume Poncet de La Grave, Data BnF * {{bibliographie|Q28375590}} Volume 40, [[s:Page:Hoefer_-_Biographie,_Tome_40.djvu/380|Wikisource]], [https://books.google.fr/books?id=wnI9AAAAYAAJ&pg=PA739#v=onepage&f=falseBiographie Google livres] * Au roi, Paris, mois d'août 1787, [https://books.google.fr/books?id=vGSaA3gGnrgC Google books] * Mémoire pour le nommé Roc, nègre, contre le sieur Poupet, négociant, 1771, [http://www.manioc.org/patrimon/BBX19013 Manioc] * Mémoire pour un nègre et une négresse qui réclament leur liberté contre un juif. Mémoire pour Gabriel Pampy, nègre originaire du Petit Goave, isle et côte de Saint-Domingue, et Amynte Julienne, négresse originaire de Congo, côte de Guinée, procédans en l'Amirauté de France, sous l'autorité de Me Dejunquières, procureur en la Cour, leur curateur, contre le sieur Mendès, juif. Signé : Poncet de La Grave, avocat et procureur du Roi. Me Des Essarts, avocat. Dejunquières, procureur. Publication : Paris : P. G. Simon, 1776, {{BNF|331404942}} == Préjugé de couleur == [[Fichier:Traité de la couleur de la peau humaine.png|100px|vignette|gauche|Claude-Nicolas Le Cat, Frontispice]] * 1765 - Claude-Nicolas Le Cat (1700-1768).- Traité de la couleur de la peau humaine en général, de celle des nègres en particulier, et de la métamorphose d’une des couleurs en l’autre, soit de naissance, soit accidentellement, Amsterdam, 1765, {{BNF|33996141h}}, [https://www.worldcat.org/title/traite-de-la-couleur-de-la-peau-humaine-en-general-de-celle-des-negres-en-particulier-et-de-la-metamorphose-dune-de-ces-couleurs-en-lautre-soit-de-naissance-soit-accidentellement-ouvrage-divise-en-trois-parties/oclc/579791307?referer=di&ht=edition worldcat.org], [https://archive.org/search.php?query=Traité%20de%20la%20couleur%20de%20la%20peau%20humaine%20en%20général%2C%20de%20celle%20des%20nègres%20en%20particulier IA]. * 1967 - Yvan DEBBASCH, Couleur et liberté. Le jeu du critère ethnique dans un ordre juridique esclavagiste, 1635-1833, Dalloz, 1967 * 2007 - Florence GAUTHIER, L’aristocratie de l’épiderme. Le combat de la Société des Citoyens de couleur, 1789-1791, Paris, CNRS, 2007. ** 2008 - {{bibliographie|Q24049977}} * 2015 - {{bibliographie|Q26451462}} == Présidial de Nymes (ou Nisme) == * [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Ordonnances+du+pr%C3%A9sidial+de+Nymes Recherches sur les [Ordonnances du présidial de Nymes] * Les procureurs en la Sénéchaussée et siége du Présidial de Nisme - 1778 (à rechercher) * [http://www.nemausensis.com/Nimes/PalaisDeJustice.htm De la Maison du Roi au Palais de Justice (Présidial)] {{Citation bloc|1712 Édits déclarations du roi Louis XIV et arrêts du Conseil d État imprimés pour la province du Languedoc réglant l indemnité qui est due aux seigni ul s pour les fonds tenus par les gens de mainmorte déterminant le temps pendant lequel les seigneurs peuvent exercer le droit de prélation sur les biens abandonnés réglant la quantilé de cochenille qui doit être employée dans la teinture des draps concernant la nobilité des biens etc.<ref>[https://books.google.fr/books?id=LZkNAAAAQAAJ&pg=RA1-PA150&dq=Les+procureurs+en+la+S%C3%A9n%C3%A9chauss%C3%A9e+et+si%C3%A9ge+du+Pr%C3%A9sidial+de+Nisme&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwialr_EscjqAhWBA2MBHQiUCfsQuwUwA3oECAUQBw#v=onepage&q=mainmorte&f=false gens de mainmorte]</ref>}} * Droit de [https://www.cnrtl.fr/definition/pr%C3%A9lation prélation] * MORTAİLLABLE On qualifiait ainsi es personnes de condition servile dont le seigneur héritait Voy MAINMORTE * [https://books.google.fr/books?id=iBdaAAAAcAAJ&pg=PA371&#v=onepage&q=mainmorte&f=false août 1767 Edit concernant les gens de mainmorte] * "''l origine de la noblesse remontait à l étaNadab blissement de la monarchie elle s était constituée dans le commencement par les fiefs les surnoms les armoiries etc et elle se prouvait par l ancienneté du nom des armes des titres etc par la qualité de chevalier de banneret de bachelier d écuyer et par tous les monuients anle ciens tels que les fondations d églises les sceaux les chartes les cartulaires les registres des trésoriers des guerres etc''. [https://books.google.fr/books?id=iBdaAAAAcAAJ&pg=PA305&#v=onepage&q=mainmorte&f=false Noblesse, Edit de Blois] == Musiciens et créations musicales à l’époque de Saint-George == === Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière, (1693-1762) === [[Fichier:La Pouplinière,tenant une flûte d'après Carle Van Loo.png|100px|vignette|gauche|La Poupelinière tenant une flûte d'après Carle Van Loo]] [[w:Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière|Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière]] * 1761-1764 - {{bibliographie|Q28530619}} <!-- --> * 1913-1971 - {{bibliographie|Q28530638}} <!-- --> === Madame de Montesson, épouse du Duc d'Orléan 1738-1806 === * [[w:Madame de Montesson|Madame de Montesson]], Charlotte-Jeanne Béraud de La Haye de Riou, marquise de Montesson (4 octobre 1738 - 5 février 1806) * [[w:Louis-Philippe d'Orléans (1725-1785)|Louis-Philippe Duc d'Orléans (1725-1785)]] {{Citation bloc|MONTESSON ( Madame de ), épouse du Duc d'Orléans . Recueil pour harpe ( 1778 ) de L. R. ; s'agit - il de l'abbé Le Roy ? ... alors que La Laurencie signale qu'il fut attaché à la maison de Mme de Montesson vers 1777-177|Recherches sur la musique française classique<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Recherches_sur_la_musique_fran%C3%A7aise_cla/Zi5LAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=La+Laurencie+signale+qu%27il+fut+attach%C3%A9+%C3%A0+la+maison+de+Mme+de+Montesson+vers+...&dq=La+Laurencie+signale+qu%27il+fut+attach%C3%A9+%C3%A0+la+maison+de+Mme+de+Montesson+vers+...&printsec=frontcoverRecherches sur la musique française classique, 1960, Page 139]</ref>}} === Bibliographie === * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Romain | nom1 = Rolland (1866-1944) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Romain Rolland | lien auteur2 = | titre = Musiciens d’autrefois. | sous-titre = L’opéra avant l’opéra ; l'"Orfeo" de Luigi Rossi ; Lully ; Gluck ; Grétry ; Mozart | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Hachette | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1908 en musique classique|1908]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 306 | passage = | dnb = 312386482 | isbn = 978-2-330-03729-1 | doi = | url = | lire en ligne = http://www.gutenberg.org/files/39687/39687-h/39687-h.htm | consulté le = 22 août 2015 | présentation en ligne = http://www.gutenberg.org/ebooks/39687 | commentaire = [http://www.actes-sud.fr/catalogue/musique/musiciens-dautrefois Romain Rolland.- Musiciens d’autrefois], Préface de Gilles Cantagrel. Éditions Actes Sud. 288 pages. Novembre 2014. [http://www.resmusica.com/2015/05/07/musiciens-dautrefois-de-romain-rolland/ Réédition] qui réunit des articles publiés entre 1903 et 1908, dans diverses revues dont "Supplément musical: L’Orfeo de Luigi Rossi (1647)" p.[297]-303. Joseph Bologne de Saint-George n’est pas cité. | id = }} * 1908 - {{bibliographie|Q113340288}}. Joseph Bologne de Saint-George n’est pas cité. <!--Musiciens d'autrefois, 2e édition --> == Beaux-Arts à l'époque de Saint-George == === Écoles des beaux-arts === * [[w:Beaux-Arts de Paris|Beaux-Arts de Paris]] * [[w:Beaux-Arts_de_Paris#Histoire_de_l'école|Histoire de l’école des Beaux-Arts de Paris]] depuis les académies jusqu'à l'École nationale supérieure des beaux-arts (ENSBA) * [[d:Q20774688|L'École royale gratuite de dessin de Paris, 1767-1815]]. De Louis XV au premier empire.<ref>2004 - {{bibliographie|Q113332771}} <!-- École royale gratuite de dessin, (1767-1815) --></ref> ==== Guillaume Guillon Lethière ==== * [[w:Guillaume Guillon Lethière|Guillaume Lethière ou Guillaume Guillon Lethière]], né le 10 janvier 1760 à Sainte-Anne (Guadeloupe) et mort le 22 avril 1832 à Paris, est un peintre français. ==== Liste des écoles gratuite de dessin ==== '''[https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Ecole+gratuite+de+dessin&title=Special:Search&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 Ecole gratuite de dessin]''' * [[d:Q113334433| Ecole gratuite de dessin de Rouen (Q113334433)]] * 1755 - [[d:Q60847289|École des beaux-arts de Lille (Q60847289)]] * 1767-1877 - [[d:Q20774688|École royale gratuite de dessin, (1767-1877) (Q20774688)]] * 1803 - [[d:Q111547716|Ecole nationale gratuite de dessin pour les jeunes filles (Q111547716)]] ==== Bibliographie ==== * 2004 - {{Bibliographie|Q113332771}}, (ouvrage) <!-- École royale gratuite de dessin (1767-1815) (Q113332771) * 1767-1769 - {{Bibliographie|Q113334138}} <!-- Sur l'utilité des établissemens des écoles gratuites de dessin en faveur des métiers --> == Méthodologie : Construire une frise chronologique == L’intérêt de la frise chronologique: [[w:Capitulaire#L’esclavage dans les capitulaires carolingiens|L’esclavage dans les capitulaires carolingiens]], outre les informations contenues, est la <nowiki><timeline></nowiki> qui permet d’obtenir une frise chronologique assez élégante. {|class="wiktable" |- ! Code source !! Rendu |- | <syntaxhighlight lang="text"><timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 814) at:785 fontsize:m text:Capitulaire ''De partibus Saxoniae'', 785 at:789 fontsize:m text:Capitulaire ''Admonitio generalis'', 789 at:794 fontsize:m text:Capitulaire portant qu'on ne peut conférer l’ordination à un esclave sans la permission de son maître, 794 (I, 43. - Isambert, 1833) at:800 fontsize:m text:Capitulaire ''De Villis'', vers 800 at:803 fontsize:m text:Capitulaire sur l’esclavage et la responsabilité des délits commis par les esclaves, 803 (I, 50. - Isambert, 1833) at:808 fontsize:m text:Capitulaire instaurant la défense de receler les esclaves fugitifs, 808 (id. 54, V. - Isambert, 1833) at:814 fontsize:m text:Début du règne de Louis le Pieux (814-840) at:817 fontsize:m text:Capitulaire ''Ordinatio Imperii'', 817 at:843 fontsize:m text:Début du règne de Charles le Chauve (843-877) et Capitulaire de Coulaines, 843 at:847 fontsize:m text:Capitulaire de Meerssen, 847 at:877 fontsize:m text:Capitulaire de Quierzy, 877 at:884 fontsize:m text:Décès de Carloman II et fin de la série des capitulaires </timeline></syntaxhighlight> | <timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 814) at:785 fontsize:m text:Capitulaire ''De partibus Saxoniae'', 785 at:789 fontsize:m text:Capitulaire ''Admonitio generalis'', 789 at:794 fontsize:m text:Capitulaire portant qu'on ne peut conférer l’ordination à un esclave sans la permission de son maître, 794 (I, 43. - Isambert, 1833) at:800 fontsize:m text:Capitulaire ''De Villis'', vers 800 at:803 fontsize:m text:Capitulaire sur l’esclavage et la responsabilité des délits commis par les esclaves, 803 (I, 50. - Isambert, 1833) at:808 fontsize:m text:Capitulaire instaurant la défense de receler les esclaves fugitifs, 808 (id. 54, V. - Isambert, 1833) at:814 fontsize:m text:Début du règne de Louis le Pieux (814-840) at:817 fontsize:m text:Capitulaire ''Ordinatio Imperii'', 817 at:843 fontsize:m text:Début du règne de Charles le Chauve (843-877) et Capitulaire de Coulaines, 843 at:847 fontsize:m text:Capitulaire de Meerssen, 847 at:877 fontsize:m text:Capitulaire de Quierzy, 877 at:884 fontsize:m text:Décès de Carloman II et fin de la série des capitulaires </timeline> |- |} == Code de la Louisiane == <poem>Rappel de votre demande : [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5718157k.texte Bnf + Code noir, ou, Loi municipale servant de reglement pour le gouvernement & l’administration de la justice, police, discipline & le commerce des esclaves négres, dans la province de la Louisianne] Format de téléchargement: : Texte Vues 1 à 542 sur 542 Nombre de pages: 542 Notice complète: Titre : L’art de vérifier les dates depuis l’année 1770 jusqu'à nos jours. Tome 16 / ; formant la continuation, ou troisième partie de l’ouvrage publié sous ce nom par les religieux bénédictins de la congrégation de Saint-Maur... publiée par M. le chevalier de Courcelles... Auteur : Courcelles, Jean-Baptiste-Pierre (1759-1834). Auteur du texte Auteur : Warden, David Baillie (1778-1845). Auteur du texte Éditeur : l'éditeur (Paris) Date d'édition : 1821-1844 Contributeur : Fortia d’Urban, Agricol-Joseph-François-Xavier-Pierre-Esprit-Simon-Paul-Antoine (1756-1843). Éditeur scientifique Type : monographie imprimée Langue : Français Langue : language.label.français Format : 20 vol. dont 2 de tables ; in-8 Format : application/pdf Droits : domaine public Identifiant : ark:/12148/bpt6k5718157k Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2009-23287 Relation : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30451199h Provenance : Bibliothèque nationale de France Date de mise en ligne : 21/09/2009 Le texte affiché peut comporter un certain nombre d’erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour ce document est de 100 %.</poem> == Projet "Code Noir, le pouvoir des mots" == Entrent dans le projet Code Noir : # Amélioration de [[w:Code noir|Code noir]] # Renommage des pages :<br />Wikipédia [[w:Code noir|Code noir]] en [[Code noir|Code Noir]]<br />Wikimedia Commons [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France)]] en [[c:Le Code noir (France)|Constitutions, lois, Code noir, Code de l’indigénat (colonies françaises)]] # Création de :<br />Ordonnance ou édit de mars 1685 sur les esclaves des îles de l’Amérique (colonies françaises)<br />Guadeloupe (colonies françaises) # Édition de [[s:Auteur:Louis-Élie Moreau de Saint-Méry|Louis-Élie Moreau de Saint-Méry]].- Lois et Constitutions des colonies françaises sous le vent, [https://www.facebook.com/groups/141248346013436/?fref=ts <span style="font-size:20px;">f</span>]<br />Lois et Constitutions des colonies françaises sous le vent : [[s:Livre:Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent - 1550-1703.djvu|I : 1550-1703]] - [[s:Livre:Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent - 1704-1721.djvu|II : 1704-1721]] - [[s:Livre:Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent - 1722-1749.djvu|III : 1722-1749]] - [[s:Livre:Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent - 1750-1765.djvu|IV : 1750-1765]]. === Sur Wikisource === [[Fichier:Wikisource-newberg-de.png|100px|vignette|gauche]] 1744 - {{bibliographie|Q22923148}}, [[s:Page:Recueils de reglemens, edits, declaration et arrets I.djvu/79|Volume I]], pp. [[s:Page:Recueils de reglemens, edits, declaration et arrets I.djvu/79|19]] - [[s:Page:Recueils de reglemens, edits, declaration et arrets I.djvu/99|101]]. 15 février 2017 : Recherche avec les mots-clés "Code Noir" : [[s:fr.wikisource.org/w/index.php?title=Spécial:Recherche&profile=advanced&profile=advanced&fulltext=1&search="Code+Noir"&ns0=1&ns4=1&ns102=1&ns112=1&searchToken=7gp8ueri7elhhlgw448ogt6rv|101 occurrences]] à la date du 15 février 2017. Cette page donne les résultats sur Wikidata. === Projet Code Noir : Cyrille Bissette & l’affaire Bissette === Cf. [[w:Cyrille Bissette#Œuvres|Cyrille Bissette:Œuvres]] === Projet Code Noir : François-André Isambert & les déportés de la Martinique === [[Fichier:Code Noir ou Edit servant Isambertp494t19.png|100px|vignette|gauche|Le Code Noir, Édition Isambert]] # Édition de [[s:François-André Isambert|François-André Isambert]]<br />[http://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Fran%C3%A7ois-André+Isambert&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&affinageActif=false&pageEnCours=1&nbPage=3&trouveDansFiltre=NoticePUB&triResultParPage=0&critereRecherche=1 Textes concernant l’esclavage et son abolition]<br />Isambert (François-André).- [https://criminocorpus.org/en/bibliography/?auteur=Isambert%20%28Fran%C3%A7ois-André%29 Bibliographie de l’histoire de la justice française (1789-2011)] ::Affaire des déportés de la Martinique, 1823-1824, mémoires, consultations (Éd.1825) :: [[wikidata:Q22284489|Mémoire justificatif des hommes de couleur de la Martinique condamnés par arrêt de la Cour royale de cette colonie]] ::[[wikidata:Q22284020|Observations pour les déportés dela Martinique en réponse à quelques opinions émises à la tribune de la chambre des députés]] ::François-André Isambert, Cyrille Bissette.- [[wikidata:Q22284216|Mémoire pour les déportés de la Martinique : Au Roi en son Conseil des Ministres]] ::[[wikidata:Q22284365|Mémoire au Conseil d'État pour les déportés de la Martinique]] * 1821 - [[wikidata:Q22338335|Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l’an 420 jusqu'à la Révolution de 1789, Tome XIX]]. Code Noir, page 494. === Projet Code Noir : Analyse de Pierre-François Muyart de Vouglans === * 1780 - {{bibliographie|Q41359263}} <!-- Pierre-François Muyart de Vouglans, Les loix criminelles de France dans leur ordre naturel --> === 1771-1911 - Émilien Petit, Droit public, ou Gouvernement des colonies françoise === * 1771-1911 - {{bibliographie|Q82538768}} <!-- Émilien Petit, Droit public, ou Gouvernement des colonies françoises --> ** 1771 - {{bibliographie|Q26722275}} <!-- Émilien Petit, Droit public, ou Gouvernement des colonies françoises, 1771 --> ** 1911 - {{bibliographie|Q82551944}} <!-- Émilien Petit, Droit public, ou Gouvernement des colonies françoises, 1911 --> {{Citation bloc|PETIT Emilien né à Dijon le 13 Mars 1713 Conseiller Député des Conseils Supérieurs des Colonies Françaises Droit public ou gouvernement des Colonies Françaises d après les loix faites our ces Pays Il travt ille ar ordre du Roi à un Code des Colonies J PETlT Jacques Fils du précédent né à Dijon le 6 Février 1738 Conseiller Honoraire au Conseil Su périeur de la Martinique Sénéchal 8C Juge de l Amirauté en la Ville de Saint Pierre Martinique Code de la Martinique in fol 1767|Recherche Gougle<ref>* [https://books.google.fr/books?id=ZMlbAAAAcAAJ&pg=PA167&dq=%C3%89milien+Petit+%2B+Droit+public,+ou+Gouvernement+des+colonies+fran%C3%A7oise+tome+second&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiUlYuAhonnAhVGTBoKHTx5DqsQ6AEINDAB#v=onepage&q=%C3%89milien%20Petit%20%2B%20Droit%20public%2C%20ou%20Gouvernement%20des%20colonies%20fran%C3%A7oise%20tome%20second&f=false Supplément a la France littéraire, Volume 3]<br> * [https://books.google.fr/books?id=UF0sAAAAIAAJ&dq=%C3%89milien%20Petit%20%2B%20Droit%20public%2C%20ou%20Gouvernement%20des%20colonies%20fran%C3%A7oise%20tome%20second&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q=%C3%89milien%20Petit%20+%20Droit%20public,%20ou%20Gouvernement%20des%20colonies%20fran%C3%A7oise%20tome%20second&f=false Droit public, ou, Gouvernement des colonies françoises: d'après, Volume 2]<br> * [https://books.google.fr/books?id=OlUsAAAAIAAJ&dq=%C3%89milien%20Petit%20%2B%20Droit%20public%2C%20ou%20Gouvernement%20des%20colonies%20fran%C3%A7oise%20tome%20premier&hl=fr&pg=PP11#v=onepage&q=%C3%89milien%20Petit%20+%20Droit%20public,%20ou%20Gouvernement%20des%20colonies%20fran%C3%A7oise%20tome%20premier&f=false Droit public, ou, Gouvernement des colonies françoises: d'après, Volume 1]</ref>}} == Jean Baptiste Pointe du Sable == [[Fichier:Jean Baptiste Point du Sable Andreas 1884.jpg|100px|vignette|gauche|Jean Baptiste Point du Sable. from Andreas 1884]] [[w:Jean Baptiste Pointe du Sable|Jean Baptiste Pointe du Sable]], (1747-1818), fondateur de la ville de [[w:Chicago|Chicago]] === Peinture === * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Didier | nom1 = d’Arclais de Montamy | prénom2 = Denis | nom2 = Diderot (1713-1784), | lien auteur1 = w:Didier d’Arclais de Montamy | lien auteur2 = w:Denis Diderot | titre = Traité des couleurs pour la peinture en émail et sur la porcelaine, précédé de l’Art de peindre sur l'émail | sous-titre = ouvrage posthume de M. d’Arclais de Montamy | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1822 en littérature|1822]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = [https://books.google.fr/books?id=iglYAAAAcAAJ&dq=Traité%20des%20couleurs%20pour%20la%20peinture%20en%20émail%20et%20sur%20la%20porcelaine&hl=fr&pg=PA135#v=onepage&q=Indigo&f=false Indigo] : 1 occurrence, p. 135. | dnb = | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom2 = Nicolas-Edme | nom2 = Roret (1797-1860) | prénom1 = Joseph | nom1 = Panier | lien auteur2 = w:Nicolas-Edme Roret | lien auteur1 = w:Joseph Panier | titre = Peinture et fabrication des couleurs, ou Traité des diverses peintures | sous-titre = | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1856 en littérature|1856]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 144 | passage = | dnb = 312441107 | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/bub_gb_3dTc0uhs37gC | consulté le = | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} === Primitivisme === [[w:Antoine Porot|Antoine Porot]] développe la théorie raciste du primitivisme, l’un des points culminants de la psychiatrie coloniale, à l'École psychiatrique d’Alger dont il est le fondateur. == Proclamations des rois == * [https://archive.org/search.php?query=Proclamation+du+roi Proclamations des rois ] === Louis XVI === * 1787 - Assemblée de notables tenue à Versailles le 22 février 1787 * 1789 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_7 Proclamation de Louis XVI : États-généraux, séance du 20 juin 1789] * 1789 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_6 Proclamation de Louis XVI : États-généraux, séance du 20 juin 1789] * 1790 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_2 Proclamation de Louis XVI du 28 mai 1790] * 1791 - [https://archive.org/details/secondeprocl00unse Seconde proclamation de Louis XVI, concernant les fonctionnaires publics ecclésiastiques, & la fermeture des eglises : du 12 octobre 1791] * 1791 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_19 Proclamation de Louis XVI, du 12 novembre 1791] === Louis XVIII === * 1820 - [https://www.google.fr/books/edition/Proclamation_du_roi/AsEsgkEgx_QC Proclamation de Louis XVIII, 25 octobre 1820] == Prolétaires, prolétariat == * Armand Barbès, Quelques mots à ceux qui possèdent, en faveur des prolétaires sans travail, 1848, {{bibliographie|Q23010268}} == Protection des pages "Recherches" == :Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe ... :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_abolitions_des...et.../Bibliographie :23 Abolitions des traites & des esclavages et droits fondamentaux; 24 Du .... 1830 : Actes royaux concernant l'adminstration du Canada de :la Guyane, des ...... Extrait des registres du Conseil supérieur du Port-au-Prince by Port-au-Prince (Haiti). ... Victor-Thérèse :Charpentier d', 1732-1776; Vaivre, Jean-Baptiste Guillemin … [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 27 août 2016 à 08:17 (UTC) == Protestantisme == * [[wikidata:Q22669326|Le rôle politique des protestants français (1685-1715)]], <nowiki>{{Q22669326}}</nowiki> == Samuel von Pufendorf == Voir [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] == Q == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter Q.jpg|100px|vignette|centré]] Entre 1798 et 1800, la [[w:Quasi-guerre|Quasi-guerre (Quasi-War en anglais)]] est une période de conflit larvé entre la République française et les États-Unis, véritable guerre maritime non déclarée. Aux États-Unis, le conflit est nommé quelquefois la guerre non déclarée avec la France == R == [[Fichier:Fra Luca Pacioli Letter R 1509.png|100px|vignette|centré]] === Race (& Racisme) === Cf. "Indifférence à la couleur" ; "Préjugé de couleur" ; [[w:Racisme|Racisme]] (& [[w:Race humaine|race]]) * 1724 - Législation sur le mariage des esclaves. Légitimation du préjugé de couleur. {{Citation bloc|Le droit français en devenant laïc avait progressivement supprimé toute prohibition tenant à la différence de race ou de religion. En ce qui concernait les races, le [[s:Code noir/1724|Code noir de 1724]]<ref>[[s:Code noir/1724|Code noir de 1724, article VI]] - "''Défendons à nos Sujets blancs de l’un & l’autre ſexe, de contracter mariage avec les Noirs, à peine de punition & d’amende arbitraire ; & à tous Curés, Prêtres, ou Miſſionnaires ſéculiers, ou réguliers, & même aux Aumôniers des Vaiſſeaux, de les marier''". Pour comparaison, voir les articles 10, 11 & 12 de l’[[s:Code noir/1685|édit de 1685]]</ref> qui prohibait les unions entre individus de couleur différente avait été abrogé pour la France continentale par les lois du 28 septembre et 16 octobre 1791, pour les colonies par une ordonnance de février 1831.|Mamadou BADJI.- [[d:Q25931544|Droits naturels, Droits de l’homme et Esclavage]]<ref>{{bibliographie|Q25931544}}</ref>.}} * 1911 - [http://www.schopenhauer.fr/fragments/esclavage.html Schopenhauer contre l’esclavage et la classification des races]. {{Bibliographie|Q25997677}}. * 2015 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jean-François | nom1 = Niort (1965-....) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Jean-François Niort | lien auteur2 = | titre = Le Code Noir | sous-titre = idées reçues sur un texte symbolique | lien titre = w:Code noir | numéro d'édition = | éditeur = Le Cavalier Bleu | collection = | lien éditeur = http://www.lecavalierbleu.com/f/index.php?sp=liv&livre_id=417 | lieu = Parus | année = [[w:2015|2015]] | mois = février | volume = | tome = | pages totales = 117 | passage = | dnb = | isbn = 978-2-84670-642-1 | issn = 1625-9157 | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717 | commentaire = pp.7-8, ''Avant-propos de [[w:Myriam Cottias|Myriam Cottias]]'' - (Le Code Noir) ''donne une nouvelle sémantique à la notion de [[w:Race humaine|race]]'' — ''Les catégories de "Blancs"/"Noirs" n’apparaissent pas dans la [[s:Code noir/1685|première version de 1685]]'' ... ''base des [[s:index.php?search="préjugé+de+couleur"&title=Spécial%3ARecherche&go=Lire|préjugés de couleur]]'' — ''Le Code Noir ... devenu un [[w:lieu de mémoire|lieu de mémoire]]'' | id = }} * 2015 - Charlotte Recoquillon, [http://geoconfluences.ens-lyon.fr/informations-scientifiques/dossiers-regionaux/États-Unis-espaces-de-la-puissance-espaces-en-crises/articles-scientifiques/Ferguson Ce que « Ferguson » révèle du racisme systémique aux États-Unis], Géoconfluences, 2015, mis en ligne le 7 juillet 2015 ==== Subalterniser les non-européens ==== {{Citation bloc| et l’idée du « racisme » s’est imposée dans le but de [[wiktionary:fr:subalterne|subalterniser]] les esclaves, qui allaient être affranchis, afin qu’ils ne puissent recevoir les moyens de développer leurs facultés, par manque d’instruction et de formation professionnelle autres que celles que leurs anciens maîtres se préparaient à leur donner pour en faire une main-d’œuvre [[w:Salariat|salariée]].|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === Racisme (& Race) === Cf. Race (& Racisme), Primitivisme * Dominique Chathuant.- [http://www.persee.fr/doc/outre_1631-0438_2010_num_97_366_4464# Français de couleur contre « métèques » : les députés coloniaux contre le préjugé racial (1919-1939)], Outre-mers, Images et pouvoirs dans le Pacifique, Volume 97 Numéro 366 pp. 239-253, 2010, Persée © 2005-2015. === Guillaume-Thomas Raynal === ==== Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes ==== * [[w:Guillaume-Thomas Raynal|Guillaume-Thomas Raynal]] * [[w:Histoire des deux Indes|Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes]] === Pierre-Joseph-André Roubaud, dit l'abbé Roubaud, physiocrate, critique de l'esclavage === Comparer avec : Roubaud, Pierre-Joseph-André.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique : contenant des discours sur l'histoire ancienne des peuples de ces contrées, leur histoire moderne & la description des lieux, avec des remarques sur leur histoire naturelle, & des observations sur les religions, les gouvernemens, les sciences, les arts, le commerce, les coutumes, les mœurs, les caractères, &c. des nations, 1730-1791. [[w:Pierre-Joseph-André Roubaud|Pierre-Joseph-André Roubaud]], dit l'abbé Roubaud, né en 1731 et mort à Paris le 21 septembre 1791, est un physiocrate français. Il fut un ardent partisan de Turgot et l'un de ses conseillers. Journaliste et grammairien, on lui doit une défense de la liberté du commerce, une critique virulente de l'esclavage, et des travaux de linguistique. ==== Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique sur Internet Archive ==== * 1770 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede01roub/page/n7/mode/2up Volume 1] * 1770 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede02roub/page/n7/mode/2up Volume 2] * 1771 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede03roub/page/n7/mode/2up Volume 3] * 1772 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede04roub/page/n5/mode/2up Volume 4] * 1775 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede05roub/page/n7/mode/2up Volume 5] Sur Google Livre : [https://www.google.fr/search?q=inauthor%3A%22Pierre+Joseph+Andr%C3%A9+Roubaud%22+%2B+Histoire+g%C3%A9n%C3%A9rale+de+l%27Asie%2C+de+l%27Afrique+et+de+l%27Am%C3%A9rique&hl=fr&tbm=bks&ei=RrLFYp7PLNX2lwTB-YmQCQ&ved=0ahUKEwieip_c0eT4AhVV-4UKHcF8ApIQ4dUDCAg&oq=inauthor%3A%22Pierre+Joseph+Andr%C3%A9+Roubaud%22+%2B+Histoire+g%C3%A9n%C3%A9rale+de+l%27Asie%2C+de+l%27Afrique+et+de+l%27Am%C3%A9rique&gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LWJvb2tzEAxQhAdY4NYBYJXkAWgAcAB4AIABSogBhAKSAQE1mAEAoAEBoAECwAEB&sclient=gws-wiz-books inauthor:"Pierre Joseph André Roubaud" + Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique] Sur Wikidata : * 17 juin 1770 - Prospectus de l'Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, Géopolitique de la première mondialisation, [[d:Q60526285|Prospectus]] * 1770-1775 - Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, par M. L. A. R, 1770-1775, Géopolitique de la première mondialisation, [[d:Q60520273|œuvre écrite]] * 1771 - Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, Vol. 3, 1770-1771, Géopolitique de la première mondialisation, par M. L. A. R [[d:Q60540113|Volume 3]] == Récits de voyage == *[[s:Auteur:Henri_Ternaux-Compans|Henri Ternaux-Compans]] * [https://www.google.fr/search?q=inauthor:%22Henri+TERNAUX-COMPANS%22&hl=fr&tbm=bks&ei=L2GKXrDYO-aclwTw-LKgCw&start=10&sa=N&ved=0ahUKEwjwq9mLsNLoAhVmzoUKHXC8DLQQ8tMDCHg&biw=1246&bih=695&dpr=1 Inauthor:"Henri TERNAUX-COMPANS"] * [[w:Henri Ternaux-Compans|Henri Ternaux-Compans]] == Recueils de textes législatifs == === Recueil général des anciennes lois françaises === * [[d:Q22338208|Fiche de la série]] : {{bibliographie|Q22338208}} * [[d:Q22338335|Tome XIX, ]] : {{bibliographie|Q22338335}} Recueil général des anciennes lois françaises ..., Volume 12,Parties 1 à 2 Par France,Jourdan,Decrusy,M. Isambert (François André) == 1712-1740 - Actes royaux de Louis XIV, Louis XV enregistrés au Parlement (Normandie) == * 1738 - {{bibliographie|Q77723711}} <!-- 1738 - royaume de France, Louis XIV, Louis XV, Nouveau recueil des édits, déclarations, lettres patentes, arrêts et réglemens --> == Juin 1789 - Août 1830 : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances == * [[d:Q27888761|1830-1840]] - {{bibliographie|Q27888761}}, [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&collapsing=disabled&query=dc.relation%20all%20%22cb307941569%22 Lire sur Gallica, 23 volumes] ; [https://archive.org/search.php?query=Bulletin%20annoté%20des%20lois%2C%20décrets%20et%20ordonnances%2C%20depuis%20le%20mois%20de%20juin%201789%20jusqu%27au%20mois%20d%27ao%C3%BBt%201830 Lire sur Internet Archive, 20 volumes]]. === 1789-1830 - Bulletin annoté des lois : Internet Archive, du volume I au volume XX === * [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vbrvfm1episbghc9 Cf. échanges avec Hsarrazin] * 1830-1840 - {{bibliographie|Q27888761}} 20 volumes, Les notices sont placées en tête de certains volumes : A pour supplément : Bulletin des lois et ordonnances publiées depuis la Révolution de juillet 1830 = ISSN 2497-2169 <!-- Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830 --> {| class="wikitable" |- ! Période !! Sur Internet Archive !! Sur Gallica |- | 17 juin 1789 - 31 décembre 1790 || [https://archive.org/details/bulletinannotd01fran Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume I, bulletinannotd01fran.djvu || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 1, doublon / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, Odilon-Barrot.- "Notice sur l'Assemblée constituante" (t. 1), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6517205m Gallica]]'' |- | 7 janvier - 30 septembre 1791 || [https://archive.org/details/bulletinannotd01fran Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume II, ||Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 2 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65172061 Gallica] |- | 1er octobre 1791 - 20 septembre 1792 || [https://archive.org/details/bulletinannotd03fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume III || 3 - Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 3 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, Odilon-Barrot.- "Notice sur l'Assemblée législative" (t. 3), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447704h Gallica] |- | 20 septembre 1792 - 20 novembre 1793 || [https://archive.org/details/bulletinannotd04fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume IV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 4 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, J.-G. Ymbert.- "Notice sur la Convention nationale" (t. 4), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447705x Gallica] |- | 21 novembre 1793 - 18 mai 1895 || [https://archive.org/details/bulletinannotd05fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume V || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 5 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64387338 Gallica] |- | 20 mai 1795 - 21 septembre 1796 || - [https://archive.org/details/bulletinannotd06fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 6 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6438734p Gallica] |- | 22 septembre 1796 - 17 novembre 1798 || [https://archive.org/details/bulletinannotd07fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 7 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64519266 Gallica], Vatimesnil.- "Notice sur le Consulat" (t. 8) |- | 23 novembre 1798 - 15 septembre 1800 || [https://archive.org/details/bulletinannotd08fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VIII ||Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 8 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6451927m Gallica] |- | 25 septembre 1800 - 20 avril 1803 || [https://archive.org/details/bulletinannotd09fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume IX || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 9 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439799b Gallica] |- | 21 avril 1803 - 31 mai 1806 || [https://archive.org/details/bulletinannotd10fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume X || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 10 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439800j Gallica], Vatimesnil.- "Notice sur les lois de l'Empire" (t. 10) |- | 4 juin 1806 - 25 mars 1810 || [https://archive.org/details/bulletinannotd11fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.11 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441469z Gallica] |- | 11 avril 1810 - 26 mars 1814 || [https://archive.org/details/bulletinannotd12fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.12 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441470m Gallica] |- | 1er avril 1814 - 30 avril 1816 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd13fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 13 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64476527 Gallica] |- | 1er mai 1816 - 30 juin 1819 || [https://archive.org/details/bulletinannotd14fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 14 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447653n Gallica] |- | 15 - 7 juillet 1819 - 28 août 1822 || [https://archive.org/details/bulletinannotd15fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 15 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454798x Gallica] |- | 2 septembre 1822 - 22 février 1826 || [https://archive.org/details/bulletinannotd16fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 16 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454799b Gallica] |- | 9 mars 1826 - 28 septembre 1828 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd17fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 17 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461065g Gallica] |- | 1er octobre 1828 - 29 juillet 1830 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd18fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVIII || 18 - Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 18 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461066w Gallica]] |- | 19 - Table générale analytique || [https://archive.org/details/bulletinannotd18fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIX || 19 - Table générale analytique |- | 20 - Table générale analytique || [https://archive.org/details/bulletinannotd20fran/page/n3 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XX || 20 - Table générale analytique / par M. J.-H. Bénard |} === 9 août 1830 - 24 février 1848 : Monarchie de juillet === * 1838 - {{bibliographie|Q78159119}} <!-- Théodore Lechevalier et Antoine François Passy, Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises --> == Religion == * 1840 - {{bibliographie|Q19153269}} == Les réparations au titre de l’esclavage colonial == * 2019 - {{bibliographie|Q67199168}} <!--Magali Bessone, Les réparations au titre de l’esclavage colonial --> == Révoltes & révolutions == La situation insurrectionnelle en France au tournant des années 2018-2019 pose la question du rapport entre "révolte" & "révolution". === Révoltes à Saint-Domingue === * 1758 - {{bibliographie|Q19227259}} <!-- anonyme, Relation d’une conspiration tramée par les Nègres, dans l’Ile de Saint-Domingue --> === Livre:Victoires, conquêtes, déssastres, revers et guerres civiles des Français depuis 1792 === ==== Sur BnF-Gallica ==== * [https://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=TIT;-1;0;Victoires%20conquêtes%20revers%20et%20guerres%20civiles%20des%20fran%C3%A7ais&mots1=NRI;0;0;Beauvais%20de%20Préau&mots2=&mots3=&mots4=&facPays=&suppPhys=&faclocs=&facDocs=&facNots=&facSpec=&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoNumis=&typoPerio=&langue0=&langue1=&langue2=&langue3=&langue4=&datepub=&dateCreaSpec=&dateEnregistrement=&typeDatePer=&corpus=&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=&issn=&pageRech=rav Toutes les références] * [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36378831k Série] ; {{BNF|36378831k}} * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36712z tome Premier] * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367139 tome Second] * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36714n tome Troisième] * 1817 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367150 Tome Quatrième] * 1817 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36716b Tome Cinquième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36717p Tome Sixième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367181 Tome Septième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36719c Tome Huitième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36720k Tome Neuvième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36721x Tome Dixième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367228 Tome Onzième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6358472n Portraits des généraux français] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367390 Portraits des généraux français 2] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36723m Tome Douzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36724z Tome Treizième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367259 Tome Quatorzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36726n Tome Quinzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367270 Tome Seizième] * 1820- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36728b Tome Dix-septième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36729p Tome Dix-huitième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36730w Tome Dix-neuvième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367317 Tome Vingtième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36732k Tome Vingt-unième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36733x Tome Vingt-deuxième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367348 Tome Vingt-troisième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36735m Tome Vingt-quatrième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36736z Tome Vingt-cinquième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36738n Tome Dernier] * 1822 - [ https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367379Tome Vingt-sixième] * 1822 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36738n Tome Vingt-septième] * 1822 - [ Tome Vingtième] * 1822 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] ==== Nouvelles édition ==== * 1855 - [ ome Premier] * 1855 - [ Tome 2] * 1855 - [ Tome 3] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_21k2AAAAMAAJ/page/n7 Tome 4] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_Q-VBAAAAcAAJ/page/n5 Tome 4] * 1855 - [ Tome 5] * 1855 - [ Tome 6] * 1855 - [ Tome 7] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_Al02AAAAMAAJ/page/n7 Tome 8] * 1855 - [ Tome 10] ;Bibliographie 2005 - {{bibliographie|Q27981502}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, ''Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802)'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q27981724}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''Aperçu des tendances et des enjeux historiographiques : le nécessaire débat'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q47004485}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''Des révoltes au temps de la Révolution française'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q23937022}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''L’abolition des droits féodaux en France'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q27981404}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''L’accès à la propriété : une manière d’éviter les révoltes ?'' --> === 1{{ère}} République (septembre 1792 - mai 1804) === [[Fichier:Henri Rousseau (French) - A Centennial of Independence - Google Art Project.jpg|100px|vignette|gauche|Henri Rousseau.- [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Chronologie 1848-2017#1892|A Centennial of Independence]], [[w:1792|1792]]-[[w:1892|1892]].]] [[w:Henri Rousseau|Henri Rousseau]], (1844-1910) [[w:Première République (France)|Première République française de 1792]] "Centenaire de la fondation de la première République en France" ("A Centennial of Independence"<ref>[http://www.getty.edu/art/collection/objects/816/henri-rousseau-a-centennial-of-independence-french-1892/ Henri Rousseau.- A Centennial of Independence] at The J. Paul Getty Museum</ref>). Avec [[c:Fichier:Henri Rousseau (French) - A Centennial of Independence - Google Art Project.jpg|ce tableau]] peint en [[w:1892|1892]], [[w:Henri Rousseau|Henri Rousseau]] commémore le centenaire de la [[w:Première République (France)|Première République française]] de [[w:1792|1792]]-[[w:1892|1892]]. Maurice Tourneux.- Bibliographie de l'histoire de Paris pendant la Révolution française, {{BNF|370649183}}. * Lacombe, Claire (1765-18..).- Rapport fait par la citoyenne Lacombe à la Société des Républicaines révolutionnaires, de ce qui s'est passé le 16 septembre à la Société des Jacobins, concernant celle des Républicaines révolutionnaires... et les dénonciations faites contre la citoyenne Lacombe personnellement {{BNF|37237666k}} == Louis XVI : Révolutions dans l’espace atlantique == === Espace Atlantique : émergence === * [[w:Guerre de Sept Ans|Guerre de Sept Ans]], [[w:1756|1756]]-[[w:1763|1763]] Le début de la guerre est généralement daté du {{Date|29|août|1756}}, jour de l’attaque de la [[w:Électorat de Saxe|Saxe]] par [[w:Frédéric II de Prusse|Frédéric II]], qui fait ainsi le choix de devancer l’agression programmée par l’Autriche pour reprendre possession de la [[w:Silésie|Silésie]]. Cependant, l’affrontement avait débuté plus tôt dans les colonies d’[[w:Amérique du Nord|Amérique du Nord]] et dans l’[[w:North America and West Indies Station|Espace Atlantique d’Amérique du Nord]]. === Révolution américaine === * [[Révolution américaine]] sur Wikiversité * [[w:Révolution américaine|Révolution américaine]] * 2013 - {{bibliographie|Q79338800}} <!-- François Charbonneau, Une part égale de liberté : le patriotisme anglais et la révolution américaine --> * Revue contemporaine ** Revue contemporaine, Volume 55, Volume 79 : [https://books.google.fr/books?id=ADJGAQAAMAAJ&pg=PA624&#v=onepage&q&f=false L'état actuel du conflit dans l’Amérique du nord] * La Révolution américaine ses causes et ses conséquences livraisons du 15 et du 31 décembre 1862 **[https://books.google.fr/books?id=ZmcxAQAAMAAJ&pg=PA586&#v=onepage&q&f=false La Révolution américaine ses causes et ses conséquences] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958752&view=1up&seq=592&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine Première partie] ** Revue contemporaine, Volume 65, Bureaux de la Revue contemporaine., 1869 : [https://books.google.fr/books?id=ZmcxAQAAMAAJ&pg=PA726&#v=onepage&f=false La Révolution américaine ses causes et ses conséquences] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958752&view=1up&seq=732&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine Deuxième partie] ** [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958737&view=1up&seq=432&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine La révolution américaine. Stratégie politique du gouvernement] == Révolution française == * [[s:Catégorie:Révolution française|Catégorie:Révolution française]] sur Wikisource. * [[w:Chronologie de la Révolution française|Chronologie de la Révolution française]] == France, II{{e}} République (24 février 1848 - 20 décembre 1852) == [[Fichier:16 Représentants à leurs bancs de l'Assemblée constituante, 1848.jpeg|100px|vignette|gauche|La Montagne en 1848]] === Révolution de 1848 === * 1850 - {{bibliographie|Q28790530}} === Deuxième République === * [[w:Deuxième République (France)|Deuxième République (France)]]. * [[w:Gouvernement provisoire de 1848|Gouvernement provisoire de 1848]] * [[w:Décret d’abolition de l’esclavage du 27 avril 1848|Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises]] ou Décret d’abolition de l’esclavage du 27 avril 1848 * [https://www.unioncommunistelibertaire.org/Juin-1848-L-autonomie-de-la-classe-ouvriere-s-impose-sur-les-barricades-2077 Juin 1848 : L’autonomie de la classe ouvrière s’impose sur les barricades, 10 juillet 2008 par Commission Journal] === Abolition de l'esclavage, 1848 === [[Fichier:Mondor de l'Aigle, C. - Abolition de l'esclavage, République de 1848.png|100px|vignette|gauche|Mondor de l'Aigle, C. - Mise en scène de l'avènement de la République de 1848 sous la forme d'une abolition de l'esclavage]] ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=esclave esclave] ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=esclavage esclavage] === Documents & bibliographies === <i> Recueil général des anciennes lois françaises 1712-1740 - Actes royaux de Louis XIV, Louis XV enregistrés au Parlement (Normandie) Juin 1789 - Août 1830 : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances 24 février 1848 - 2 décembre 1852 : [[w:Deuxième République (France)|France, Deuxième République]] </i> * 1852 - {{bibliographie|Q77593795}} <!-- France et Deuxième République, Bulletin annoté des lois, ordonnances, décrets, arrêtés, etc. Tome VI, Années 1848, 1849 et 1850 --> ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=colonie Colonie] '''* [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#R|Recueils de textes législatifs]]''' * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#Le Conseil colonial de la Guadeloupe|Le Conseil colonial de la Guadeloupe]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies|Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies]] Exégèse du droit Paul Viollet, (1840-1914).- [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb374209823 Histoire du droit civil français] : accompagnée de notions de droit canonique et d'indications bibliographiques (Seconde édition du Précis de l'histoire du droit français corrigée et augmentée) === Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises === ==== {{S|XIX}} ==== ;1848 Voir les documents parus en [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XIX%C3%A8_si%C3%A8cle#1848 1848] ;1849 {{Citation bloc|Indemnité coloniale de 1849 (1846-1861)Sous-série K. FR ANOM COL K 1 à 17. Ministère du commerce. Indemnité coloniale de 1849, 1846/1865. Archives nationales d'outre-mer (ANOM)|Indemnité coloniale de 1849, 1846/1865<ref>Indemnité coloniale de 1849, K. FR ANOM COL K 1 à 17, <https://recherche-anom.culture.gouv.fr/archive/fonds/FRANOM_00148/view:49805> ; <https://francearchives.fr/findingaid/cf6a9d60b0a48591bb897863a738fc0930a2ad38></ref>}} ;1850 {{Citation bloc|ARRÊTÉ du Gouverneur Général du 23 janvier 1850 portant promulgation du Décret du 24 novembre 1849 pour la répartition de l Indemnité, suivi de ANNEXE DÉCRET pour la Répartition de l'Indemnité coloniale Du 24 novembre 1849.|Martinique.- Bulletin officiel de la Martinique, 1850<ref>Martinique.- Bulletin officiel de la Martinique, 1850, [https://www.google.fr/books/edition/Bulletin_officiel_de_la_Martinique/YspAAQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+pour+la+r%C3%A9partition+de+l%27indemnit%C3%A9+coloniale&pg=PA58&printsec=frontcover page 58]</ref>.}} ;1868 {{Citation bloc|'''L'abolition de l'esclavage sur toute terre française et la défense de posséder des esclaves en pays étranger sous peine de perdre la qualité de Français.'''<br>''Le principe que le sol de la France affranchit l'esclave qui le touche est appliqué aux colonies et possessions de la République. Décret loi du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises art 7. A l'avenir même en pays étranger il est interdit à tout Français de posséder d'acheter ou de vendre des esclaves et de participer soit directement soit indirectement à tout trafic ou exploitation de ce genre toute infraction à ces dispositions emportera la perte de la qualité de citoyen français.<br>Néanmoins les Français qui se trouveront atteints par ces prohibitions au moment de la promulgation du présent décret auront un délai de trois ans pour s'y conformer Ceux qui deviendront possesseurs d'esclaves en pays étranger par héritage don ou mariage devront sous la même peine les affranchir ou les aliéner dans le même délai à partir du jour où leur possession aura commencé, Même décret art 8. Le délai que l'article 8 du décret du 27 avril 1848 accorde aux Français établis à l'étranger pour affranchir ou aliéner les esclaves dont ils sont possesseurs est fixé à dix ans. Loi du 11 février 1851 art unique. L'article 8 du décret du 27 avril 1848 n'est pas applicable aux propriétaires d'esclaves dont la possession est antérieure à ce décret ou résulteràit soit de succession soit de donation entre vifs ou testamentaire soit de conventions matrimoniales. Loi du 28 mai 1858 article unique 2.''|Théophile Ducrocq.- Cours de droit administratif, 1868<ref>Théophile Ducrocq.- Cours de droit administratif contenant l'exposé des principes, résumé de la législation administrative dans son dernier état, l'analyse ou la reproduction des principaux textes dans un ordre méthodique, 1868, [https://www.google.fr/books/edition/Cours_de_droit_administratif/galCAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PA320&printsec=frontcover page 320]</ref>}} ;1895 {{Citation bloc|''''''Esclavage Code civil'''<br>Louage des domestiques et ouvriers art 1780 p 3<br>Déclaralion des droits de l'homme. Constitution du 24 juin 1793 art 18 p 3<br>Déclaration des droits de l'homme. Constitution du 5 fructidor an II art 15 p 3<br>Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises 27 avril 1848 p 3<br>Loi qui modifie le paragraphe 2 de l article 8 du décret du 27 avril 1 48 relatif aux propriétaires d'esclaves 28 mai 1858 p 4<br>Décret du 27 avril 1848 relatif aux propriétaires d'esclaves p 4.|Joseph Chailley-Bert, Arthur Fontaine.- Lois sociales, 1895<ref>Joseph Chailley-Bert, Arthur Fontaine.- Lois sociales ; recueil des textes de la législation sociale de la France, 1895, [https://www.google.fr/books/edition/Lois_sociales_recueil_des_textes_de_la_l/aZ-sAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PA401&printsec=frontcover Table analytique, page 401]</ref>}} ==== XXIème siècle ==== * [[s:fr:Décret du 27 avril 1848 abolissant l’esclavage|Décret du 27 avril 1848 décide de l’abolition de l’esclavage en France et dans ses colonies rédigé par Victor Schœlcher]] * [https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000000295898 Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Recueil Duvergier, page 194] ;2016 {{Citation bloc|'''Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Paris, 27 avril 1848'''.<br> Le 4 mars 1848, le ministre de la Marine et des Colonies, François Arago, décide de créer une commission dont la responsabilité est confiée à Victor Schœlcher... ''".| Michelle Zancarini-Fournel.- Les luttes et les rêves: Une histoire populaire de la France ..., 2016<ref>Michelle Zancarini-Fournel.- Les luttes et les rêves: Une histoire populaire de la France ..., 2016, [https://www.google.fr/books/edition/Les_luttes_et_les_r%C3%AAves/UW2hDQAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PT291&printsec=frontcover Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Paris, 27 avril 1848]</ref>.}} === 3{{e}} République (1870-1940) === [[Fichier:La Guadeloupe. Un Morne. Plantation de canne à sucre.png|100px|vignette|gauche|Plantation de canne à sucre, 1892]] * {{Ouvrage | langue = en | prénom1 = Elizabeth | nom1 = Heath | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:en:Elizabeth Heath | lien auteur2 = | titre = Wine, Sugar, and the Making of Modern France | sous-titre = Global Economic Crisis and the Racialization of French Citizenship | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = [http://www.cambridge.org/us/search?iFeelLucky=false&currentTheme=Academic_v1&query=New+Studies+in+European+History New Studies in European History 1870–1910] | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:2014 en musique classique|2014]] | mois = September | volume = | tome = | pages totales = 326 | passage = | dnb = | isbn = 9781107070585 | doi = http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781107707498 | asin = B00N4PM3K8 | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://corail.sudoc.abes.fr/DB=2.1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=7&SRT=RLV&TRM=9781107070585 | commentaire = | id = }} == 4{{e}} République == == Louis XVI == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#Louis_XVI|'''Louis XVI, 23 août 1754 – 21 janvier 1793''']] La Corvée des grands chemins et sa suppression en France et spécialement en Poitou [Texte imprimé], par Th. Ducrocq,…, {{BNF|340661346}} Procès-verbal de la séance, tenue à la chambre des Comptes de Paris, le 19 mars 1776, par Monsieur, frère du roi, pour l'enregistrement des édits, déclarations es lettres patentes enregistrées au lit de justice, tenu à Versailles le 12 mars…, {{BNF|33746287q}} Pierre Clement.- [https://books.google.fr/books?id=Bihig4GOLioC Les Fri-Macons] ... Clement (Pierre), de Genève.- Les Fri-Maçons, hyperdrame * Jean-Dominique Bourzat.- [https://www.google.fr/books/edition/Les_après_midi_de_Louis_XVI/JBnPL7PyktkC Les après-midi de Louis XVI], 2008. A vérifier sous Wikidata === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire === Louis Auguste de France, petit-fils de Louis XV, cinquième enfant du dauphin appelé à succéder à Louis XV, titré duc de Berry à sa naissance le 23 août 1754, devient dauphin à la mort de son père, du 20 décembre 1765 au 10 mai 1774, puis Louis XVI, roi de France du 10 mai 1774 au 6 novembre 1789. A la Révolution Louis XVI devient roi des Français jusqu'à la chute de la monarchie constitutionnelle, l'abolition de la monarchie & l'institution d'une Convention nationale le 10 août 1792. Il sera guillotiné le 21 janvier 1793 ;[https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Proces+de+Louis+XVI%2C+de+Marie-Antoinette%2C+de+Marie-%C3%89lisabeth+et+de+Philippe+d%27Orléans&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=NoticePUB&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=0&typeNotice=&pageRech=rsi Histoire du dernier règne de la monarchie française] 1 - sans date Turbat, Pierre Histoire du dernier règne de la monarchie française, la chute des Bourbons et leur procès, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne, auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et secrettes... [par P. Turbat], chez Im-Friscoenik * 1793 - {{bibliographie|Q110640486}} <!-- Déclaration de M. Louis de Narbonne, ancien ministre de la Guerre en France, dans le procès du roi --> 2 - 1796 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, Louis XVI, Marie-Antoinette, Philippe d'Orléans et Élisabeth Capet, contenant tout ce qui a précédé et suivi la déchéance de Louis XVI, avec la relation curieuse des deux entrevues de Louis avec sa famille après la signification de son jugement à mort, et suivi de dix-sept pièces secrettes... [Par P. Turbat.], Lerouge 3 - 1798 Turbat, Pierre Procès de Louis XVI,... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la Convention. Suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe, duc d'Orléans, auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple pendant leur captivité... [par P. Turbat], Lerouge 4 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [Par P. Turbat.] et tous les libraires de l'Europe 5 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; Nouvelle édition... auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [par P. Turbat] 6 - 1799 Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 7 - 1799 Turbat Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 8 - 1814 Ami du trône, Un Procès de Louis XVI... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la convention nationale ; suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe duc d'Orléans ; auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple et à la Conciergerie du Palais pendant leur captivité par un ami du trône, Troisième édition, revue et corrigée ; ornée de six portraits et trois vignettes, Lerouge 9 - 1821 Procès de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery [https://books.google.fr/books?id=VGE_AQAAMAAJ Proces de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans]. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery, 1821 - === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire, suite === * 1839 - {{bibliographie|Q26132783}}<br />Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution ; par Joseph Droz, de l'Académie française et de l'Académie des Sciences morales et politiques. Paris, J. Renouard et L. Hachette, 1859, 2 vol in-8°<ref>[https://books.google.fr/books?id=wDzq1mglZYoC&lpg=PA29&ots=6knrqeoT0d&hl=fr&pg=PA29#v=onepage&q&f=false Bulletin de la Société de l'histoire de France], 1838</ref> ** 1840 - {{bibliographie|Q17358564}} ** 1859 - [[w:Abel-François Villemain|Abel-François Villemain]] (ministre de l’Instruction publique de 1839 à 1845).- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, membre de l'Académie française et de l'Académie des sciences morales et politiques. 2 vol. in-8°, Paris, 1839. [https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]. {{Citation bloc|On ne cessera pas d'écrire cette histoire de la révolution française, qui a déjà inspiré tant d'ouvrages, et, dans le nombre, quelques productions supérieures. Chaque époque la recommencera; et le tableau même de ce passé mémorable sera modifié par l'impression du présent, instable et renouvelé. Il n'est raison si ferme qui échappe à cette loi des temps. A égale indépendance d'esprit, l'histoire de la révolution française apparaît diversement, selon qu'elle est considérée du point de vue de l'empire, de la restauration, ou de l'ère aujourd'hui commencée; et ces trois époques cependant font partie de la révolution, et sont comme des actes et des suites de ce grand drame, qui servent à l'expliquer. Il n'en est pas moins vrai que chacune d'elles apporte quelque chose de particulier dans l'étude de cet ensemble d'événements, et que la vérité complète sortira seulement de cette longue série de perspectives diverses. Le caractère même de la révolution grandira d'autant plus que, par des transformations successives, elle aura constitué pour longtemps un gouvernement prospère et libre : et, dans ce sens, on peut dire que, réserve faite des principes de morale et d'humanité, qui ne changent pas, quoique méconnus, le jugement politique de l'histoire sur 1789 recevra de l'avenir une nouvelle sanction et de nouvelles lumières. On n'en doit pas lire, avec moins d'intérêt, ce que des esprits intègres et judicieux publient de réflexions et de souvenirs sur quelques parties de cette œuvre qui se fait toujours.<br /> Aujourd'hui M. Droz, venant après tant d'autres, porte dans la tâche qu'il a entreprise, non-seulement la disposition impartiale de notre époque, mais un caractère particulier de candeur et de modération. C'est un moraliste qui écrit l'histoire, c'est un esprit calme et juste, habitué à l'analyse du cœur humain, qui étudie les grands mouvements d'un peuple et les crises d'une société, comme il a étudié toute sa vie la nature morale de l'homme. Cette manière n'est pas sans doute à l'abri de l'erreur; et je ne m'étonnerais pas que le titre même de l'ouvrage de M. Droz ne fût très-contesté : ''Histoire du règne de Louis XVI pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française''. Les phases historiques se tranchent-elles avec cette précision ? et, dans cette foule de causes secondes qui, sous l'œil de la Providence, concourent à la préparation d'un événement, peut-on marquer un point unique, à partir duquel l'événement devient inévitable ? Est-il plus facile de fixer une époque où une révolution aurait pu être dirigée, c'est-à-dire n'aurait pas été elle-même, ne se serait pas accomplie tout entière ? nous en doutons fort pour la nôtre. Il était dans la nature de cette révolution d'amener une perturbation profonde, illimitée ; car elle n'était pas seulement suscitée contre le pouvoir, mais contre l'état de la société, dont elle changeait les bases. Ce changement, une fois entrepris, comment se serait-il arrêté ? comment, par exemple, après la déclaration des droits de l'homme, et les décrets de la nuit du 7 août, l'ancienne hiérarchie, ébranlée depuis tant d'années, aurait-elle pu se relever, conserver quelque force ? On a dit plusieurs fois qu'une des causes qui avaient précipité la révolution française avec une irrésistible violence, c'était l'unité de la législature, l'absence d'une seconde chambre, d'un sénat, d'une pairie. Mais, un siècle auparavant, une chambre semblable, enracinée dans la monarchie anglaise, avait-elle empêché la ruine de cette monarchie, et n'était-elle pas tombée comme elle, et avant elle ? Dans le cadre que s'est proposé M. Droz, nous croyons donc reconnaître moins une distinction réellement historique que le système d'un esprit bienveillant, qui, reculant à l'aspect de toutes les choses violentes et terribles entassées par la révolution, a voulu faire un choix, et ne raconter que l'époque où les illusions généreuses prévalaient encore. Ce n'est pas qu'il n'apporte lui-même beaucoup de sagacité dans le jugement de ses illusions, et qu'il ne les démêle avec une raison sévère et parfois piquante ; mais son âme paisible et douce n'a pas voulu aller au delà, et prendre sur soi d'expliquer et de peindre les épouvantables réalités qui suivirent. Il nous reste donc de prendre ce nouvel ouvrage comme l'auteur l'a conçu, et d'y chercher ce qu'il renferme de vues nouvelles ou de vérités méconnues.<br /> M. de Montlosier a souvent écrit que la révolution française remontait à Louis XIV, ou même plus haut, et que c'était dans la persécution de la noblesse sous Richelieu, dans son asservissement de cour sous Louis XIV, et dans la promotion du tiers-état, qu'il fallait chercher l'origine et les causes invincibles de la révolution française. Et en cela, il a dit vrai; car, dans la chaîne historique, tous les faits principaux se tiennent, bien que souvent le rapport qu'on établit entre eux à longue distance semble paradoxal. M. Droz, qui ne cherche point à saisir l'esprit par des contrastes, s'est reporté moins haut, pour expliquer ce qui avait près de nous une cause plus immédiate et plus visible. Il s'est arrêté au règne de Louis XV ; et, dans une introduction courte et pleine de faits bien choisis, modérée par les termes et justement sévère au fond, il a caractérisé tous les maux partiels, toutes les contradictions sociales, toutes les fautes et toutes les hontes qu'avait accumulés le règne de Louis XV. Dans cette revue rapide et fine, il faut remarquer surtout ce qui est dit des lettres et du clergé. L'état de ces deux forces, alliées sous Louis XIV, et devenues plus tard aussi opposées qu'inégales en puissance, est parfaitement résumé par l'auteur. Puis il passe à l'avénement de Louis XVI, à ses premières tentatives de réforme, à cette longue lutte entre sa probité naturelle, son bon sens timide et tous les vices de sa cour, toutes les passions de son temps. Le tableau est curieux à retracer; et on doit reconnaître, avec l'historien, que ces moments encore indécis, ces moments d'épreuve et d'alternative sont plus instructifs que les époques où tout semble entraîné par une force unique. Seulement on sait trop ce qui manquait à Louis XVI pour cette lutte ; et M. Droz cependant ne l'a pas complétement indiqué. Il n'y a que M. Turgot et moi qui aimions le peuple, disait Louis XVI ; et, peu de jours après, il renvoyait M. Turgot, devant une intrigue de quelques courtisans et de quelques financiers. Dans cette première condescendance du faible et vertueux roi, on pouvait prévoir bien d'autres événements de son règne; et l'historien pouvait peut-être juger dès lors que la révolution dont il décrit l'avant-scène, ne serait ni prévenue, ni corrigée.<br /> Le précieux travail de M. Droz offre deux parties distinctes, qui sont entremêlées avec art : la peinture morale de la société, l'analyse des faits politiques et législatifs. Cette réunion d'objets fort divers exigeait une grande précision de connaissances et une rare justesse de coup d'œil. Sur les préliminaires et les commencements de la révolution, beaucoup de choses qui n'ont été vues et contées que par les passions contemporaines sont encore aujourd'hui confuses et mal connues. C'est un débat que le grand nombre de témoins n'a pas éclairci. Et cependant quoi de plus décisif pour l'intelligence des grands événements, que la diversité et l'impuissance des efforts qui les précédaient ? Le premier ministère de Necker, le ministère de Calonne, l'assemblée des notables<ref>1787 - {{bibliographie|Q110646856}} <!-- Discours prononcés à la dernière séance de l'Assemblée des notables tenue à Versailles le 25 mai 1787 --></ref>, les résistances du parlement, tous ces préludes de 1789 ont été comme engloutis dans la commotion qui suivit. Mais, à les reprendre isolément, à les examiner en détail, ce sont autant de symptômes que rien ne pourrait remplacer ; et commencer l'histoire de la révolution par l'assemblée nationale, c'est supprimer les intermédiaires. M. Droz, jugeant que cette portion importante avait été négligée, l'a traitée avec un soin particulier. Plus instructif et d'une raison plus ferme que Marmontel dans le IV° volume de ses Mémoires, plus impartial et plus exact que madame de Staël, il fait comprendre à merveille les efforts inutiles, les tentatives manquées et le désordre croissant de cette époque.<br /> Les hommes ne sont pas moins bien caractérisés que les événements ; et, hormis M. Necker, pour lequel le jugement droit de l'historien est quelque peu sévère, il n'est pas un des ministres obscurs ou célèbres de Louis XVI qui ne revive dans cette peinture. M. Droz a excellé dans le portrait du sage et vertueux Turgot qu'il a tracé de prédilection : mais il n'est homme d'état si médiocre et caractère si effacé auquel, par la fidélité piquante du portrait, il n'ait donné une valeur historique ; car la médiocrité des hommes dans la grandeur des crises est elle-même un événement considérable. En voyant le rôle qu'ont joué, l'influence qu'ont exercée des hommes que rien n'appelait à commander, on sent mieux la force irrésistible et collective qui poussait toutes choses. Le plan et l'idée systématique de l'historien en seront peut-être dérangés ; mais la vérité des faits y gagne. C'est ainsi que la réunion des états généraux, la séance du 20 juin, et toutes les circonstances qui la précèdent et qui la suivent, sont retracées par M. Droz avec une curieuse précision de détails, qu'on ne trouve dans aucun autre récit de cette époque.<br /> L'historien appelle usurpation l'inévitable réunion des trois ordres en un seul corps pour former l'assemblée nationale ; et, dans le résumé éloquent qui termine son second volume, cet acte est nommé parmi les fautes et les malheurs du temps. Il faut le dire cependant, c'était ici la faute nécessaire, et sans laquelle le bien, comme le mal, n'eût pas existé. Aussi toutes choses et tous y poussèrent. M. Droz pense que les changements maladroits introduits dans la déclaration royale, préparée par Necker, décidèrent ce grand mouvement ; mais, avant ces changements et cette déclaration, le sage Mounier, en proposant et en faisant jurer aux députés du Tiers de ne point se séparer que la constitution ne fût faite, avait assuré cette prise de possession du pouvoir dont se plaint l'historien. La disposition par laquelle M. Necker maintenait la délibération par ordre, lorsqu'il s'agirait d'intérêts séparés, ou pour mieux dire de priviléges, n'était une barrière à rien, et n'eût fait que montrer l'obstacle qu'on se fût hâté de détruire. Quant aux délibérations déjà prises par l'assemblée du Tiers et que la déclaration royale annulait comme illégales, M. Necker, en y appliquant la formule plus adoucie sans s'arrêter à, n'eût rien changé à la réalité. Toutefois, il eût évité ce que M. Droz appelle avec raison un lit de justice au milieu des états généraux, et il eût pallié quelque peu la crise, sans la prévenir. Ce qui donnait, dans ce premier moment, une force irrésistible à l'assemblée, ce n'était pas seulement les vœux et les passions du dehors, c'était sa propre unanimité, que fit éclater la parole de Mirabeau, et que consacrèrent ces mots de Sièyes : « Vous êtes aujourd'hui ce que vous étiez hier.» Ce qui suivit cet incident, les troubles de la cour, la confusion des conseils et bientôt la victoire de l'assemblée, tout cela est parfaitement décrit par l'historien, qui, avec son esprit impartial et l'ingénieuse modération de son langage, devine et fait comprendre toutes les passions des partis.<br /> Souvent même l'amour de la justice et de l'humanité, cette passion de l'homme de bien, la seule qui soit permise avec la postérité, élève le style de M. Droz, et fait succéder à la peinture exacte des faits quelques nobles pensées morales qui sont la sanction plutôt que l'ornement du récit. C'est ainsi qu'après avoir retracé les efforts de Lalli Tollendal dans la séance du 20 juillet, l'historien ajoute, pour expliquer l'indécision de cette assemblée si puissante, "beaucoup d'hommes sont braves à demi ; braves, les uns contre le despotisme, les autres contre l'anarchie, très-peu sont capables d'attaquer ces deux fléaux avec un égal dévouement. Tel qui n'avait point pâli à l'aspect des troupes dont l'assemblée nationale s'était vue environnée, trembla de défendre l'opinion qu'un ramas d'agitateurs disait n'être pas assez populaire." Cependant, ces deux courages, lorsqu'ils sont vrais, ont la même source; l'un d'eux seulement est plus animé par les regards publics : mais ils tiennent également à une certaine droiture et fierté d'âme qui ne sait pas plier sous la force du préjugé ou de la violence. Aussi les hommes qui, comme Barnave, étaient sincères dans leur résistance au pouvoir absolu, et s'étaient avancés fort loin dans cette résistance, se retournèrent vivement contre l'anarchie, lorsqu'elle devint un despotisme ; et l'histoire de la révolution offre bien d'autres exemples de ces conversions, qui ne sont qu'une honorable unité de caractère.<br /> On peut regretter que M. Droz, en fixant le terme de son récit à une certaine époque, se soit privé lui-même et ait privé son lecteur de ce spectacle instructif où se montre le mieux l'action des événements sur les hommes, et la force des hommes dignes de résister aux événements. Il n'en est pas de plus moral par la noblesse des efforts et de plus politique par l'exemple de l'inutilité de ces efforts, lorsqu'ils sont trop tardifs. Ces phases diverses d'une même vie sont une partie de l'histoire générale ; mais M. Droz, fidèle à son plan, s'arrête à la séance du 14 septembre 1790, où fut enfreinte la faible sauve-garde du Véto suspensif laissée seule au monarque. Et dès lors il renonce à décrire ce qui lui semble irréparablement prévu. A beaucoup d'observations semées dans son récit, on peut juger que l'ensemble de la révolution est présent à sa pensée. Il peut donc utilement porter plus loin ce premier travail, sans aller jusqu'au temps dont nous avons l'ineffaçable peinture. Aux lumières d'une haute raison, M. Droz réunit en effet la plus sévère étude des faits ; son esprit est scrupuleux comme sa conscience. A la foule innombrable des monuments publiés sur cette époque, il a joint la connaissamce de documents inédits, et surtout ce coup d'œil qui sait en tirer parti. Tous ceux qui liront cet ouvrage souhaiteront que l'auteur l'achève.|Villemain.- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, Journal des savants, avril 1859<ref>[https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]</ref>}} ===== Esclavage & servitude dans ''Droz.- Histoire du règne de Louis XVI'' ===== ;Volume 1, 1839. {{Citation bloc|'''P. 75''' - Les changemens opérés sur la terre par le christianisme par l'abolition de l''''''esclavage''''' par les découvertes du génie ou du hasard par le développement de l'industrie ces changemens immenses qui rendent la vie des nations modernes si différente de celle des peuples anciens furent inaperçus ou dédaignés par des philosophes. Il parut beaucoup de livres...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=_1sPAAAAQAAJ&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 1, 1839, p. 75]</ref>.}} ;Volume 2, 1839 {{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld<ref>[[w:François XII de La Rochefoucauld|François XII Alexandre Frédéric de La Rochefoucauld, duc de Liancourt]], puis 7e duc de La Rochefoucauld, défenseur dans l'Assemblée de la monarchie constitutionnelle,cousin de [[w:Louis Alexandre de La Rochefoucauld|Louis Alexandre de La Rochefoucauld]], migre en Angleterre : {{bibliographie|Q73511791}}, 1929.</ref> conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA410#v=onepage&q&f=false Volume 2, 1839, p. 410</ref>.}} {{Citation bloc|'''P. 413''' - Il n'est pas exact de dire que les propriétés furent violées dans la nuit du 4 août La servitude personnelle y fut seule abolie. Les considérations de politique et d'humanité qui dans d'autres pays exigent qu'on ne laisse qu'à certaines conditions passer de l'esclavage à la liberté une multitude d'hommes dégradés n'existaient pas pour la France. L'assemblée ne dépassa point les principes des publicistes éclairés tels que Turgot et certes ni devant Dieu ni devant les hommes, les '''''serfs''''' du Jura n'étaient obligés de racheter à prix d'argent leurs personnes. Mais il est très vrai que l'effervescence portée à son comble par les commotions du 4 août amena des violations de la propriété. Il eût fallu distinguer toujours ce qui pouvait être aboli de ce qui devait être racheté et les législateurs en rédigeant leurs arrêtés sous l'influence d'une agitation extrême jetèrent des droits réels des propriétés véritables parmi '''les droits supprimés sans rachat'''. On avait voulu calmer le peuple on ne fit que l'exalter encore...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA413#v=onepage&q=Joseph%20Droz,%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI,%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20+%20esclavage&f=false Volume 2, , 1839 pp. 413-414]</ref>.}} == Histoire de la Révolution française == 1885 - {{Bibliographie|Q66004512}} <!-- Bertrand du Pouget de Nadaillac, Catalogue d'une collection de livres --> * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Amérique (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Colonies (11 occurrences)] ; [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 colonie (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Saint-Domingue (3 occurrences)] ; [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 St-Domingue (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n147 Jugement qui condamne à la peine mort Camille Capisceschi-Bologne, exnoble], né à Langres, né à Langres, Nic.-Vincent Bologne, né à Hameau-Duplan (Basses-Alpes],, et J.-B. Bologne, né à Hameau-de-la-Laze (Basses -Alpes], accusé de trahison envers la République. Parïs, 17 nivôse an II, 12 pp. In-4°. [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n147 page 102] {{Citation bloc|'''BOLOGNE (Jean-Bapt.)''', âgé de 41 ans, natif du hameau de la Lauze, cant. de Barcelonette, dép. des Basses-Alpes, ex-chevalier, offic. au régim. des gardes françaises, dom. à Paris, dép. de la Seine, cond. à mort comme conspir., en entretenant des correspondances avec les ennemis de l'extérieur, le 17 niv., an 2, par le trib. révol. de Paris.<br> '''BOLOGNE (Camille-Capisceschi)''', âgé de 78 ans, natif de Langres, ex-noble, ci-dev. chevalier de S. Louis, capitaine des carabiniers, dom. à Beauvoisins, cant. de Langres, dép. de la H. Marne, cond. à mort, le 17 niv. an 2, par le trib. révol. de Paris, à cause de la copie d'une lettre trouvée chez lui, qu'il avait adressée à un ami, contenant des détails sur les opérations de l'assemblée ccnstituante, et où il dit : ''Je prends bien part à tous nos désastres : mais comment parer à la fureur de l'auguste sénat, après l'atrocité que l'on fait à la noblesse ? etc.<br> '''BOLOGNE (Nicolas-Vinc)''', dit Duplan, âgé de 33 ans, né au hameau de Duplan, cant. de Barcelonette, dép. des Basses-Alpes, ex-vicaire à Bicêtre, dom. à Paris, dép. de la Seine, cond. à mort , le 17 niv., an 2, par le trib. révol. de Paris, pour le soin qu'il a eu de garder des copies de lettres, où les qualifications de chevalier et de marquis étaient conservées, quoique proscrites de puis trois ans, et pour n'être entré à Bicêtre qu'à dessein de profiter d'une occasion favorable d'y exciter un soulèvement.|{{bibliographie|Q26857752}}, page 110<ref>Voir également[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3043050h/f214.image.r=Bologne?rk=21459;2 ictionnaire des individus envoyés a la mort judiciairement, révolutionnairement et contre-révolutionnairement pendant la Révolution, particulièrement sous le règne de la Convention nationale. Tome 1, page 110].</ref>.}} * 1905 - François-Auguste-Marie-Alexis Mignet (796-1884), A. Dupuis, Henry Frowde.- Histoire de la révolution française, Oxford : Clarendon Press, [https://archive.org/details/histoiredelarevo00mign volume 1, Internet Archive], {{BNF|30945697t}}. {{Bibliographie|Q26202528}} * 1824 - [https://books.google.fr/books?id=6fxaAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA381#v=onepage&q&f=false Histoire de la révolution française: depuis 1789 jusqu'en 1814, Volume 2], F. Didot, 1824, 735 pages === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire, suite === * 1839 - {{bibliographie|Q26132783}}<br />Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution ; par Joseph Droz, de l'Académie française et de l'Académie des Sciences morales et politiques. Paris, J. Renouard et L. Hachette, 1859, 2 vol in-8°<ref>[https://books.google.fr/books?id=wDzq1mglZYoC&lpg=PA29&ots=6knrqeoT0d&hl=fr&pg=PA29#v=onepage&q&f=false Bulletin de la Société de l'histoire de France], 1838</ref> ** 1840 - {{bibliographie|Q17358564}} ** 1859 - [[w:Abel-François Villemain|Abel-François Villemain]] (ministre de l’Instruction publique de 1839 à 1845).- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, membre de l'Académie française et de l'Académie des sciences morales et politiques. 2 vol. in-8°, Paris, 1839. [https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]. {{Citation bloc|On ne cessera pas d'écrire cette histoire de la révolution française, qui a déjà inspiré tant d'ouvrages, et, dans le nombre, quelques productions supérieures. Chaque époque la recommencera; et le tableau même de ce passé mémorable sera modifié par l'impression du présent, instable et renouvelé. Il n'est raison si ferme qui échappe à cette loi des temps. A égale indépendance d'esprit, l'histoire de la révolution française apparaît diversement, selon qu'elle est considérée du point de vue de l'empire, de la restauration, ou de l'ère aujourd'hui commencée; et ces trois époques cependant font partie de la révolution, et sont comme des actes et des suites de ce grand drame, qui servent à l'expliquer. Il n'en est pas moins vrai que chacune d'elles apporte quelque chose de particulier dans l'étude de cet ensemble d'événements, et que la vérité complète sortira seulement de cette longue série de perspectives diverses. Le caractère même de la révolution grandira d'autant plus que, par des transformations successives, elle aura constitué pour longtemps un gouvernement prospère et libre : et, dans ce sens, on peut dire que, réserve faite des principes de morale et d'humanité, qui ne changent pas, quoique méconnus, le jugement politique de l'histoire sur 1789 recevra de l'avenir une nouvelle sanction et de nouvelles lumières. On n'en doit pas lire, avec moins d'intérêt, ce que des esprits intègres et judicieux publient de réflexions et de souvenirs sur quelques parties de cette œuvre qui se fait toujours.<br /> Aujourd'hui M. Droz, venant après tant d'autres, porte dans la tâche qu'il a entreprise, non-seulement la disposition impartiale de notre époque, mais un caractère particulier de candeur et de modération. C'est un moraliste qui écrit l'histoire, c'est un esprit calme et juste, habitué à l'analyse du cœur humain, qui étudie les grands mouvements d'un peuple et les crises d'une société, comme il a étudié toute sa vie la nature morale de l'homme. Cette manière n'est pas sans doute à l'abri de l'erreur; et je ne m'étonnerais pas que le titre même de l'ouvrage de M. Droz ne fût très-contesté : ''Histoire du règne de Louis XVI pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française''. Les phases historiques se tranchent-elles avec cette précision ? et, dans cette foule de causes secondes qui, sous l'œil de la Providence, concourent à la préparation d'un événement, peut-on marquer un point unique, à partir duquel l'événement devient inévitable ? Est-il plus facile de fixer une époque où une révolution aurait pu être dirigée, c'est-à-dire n'aurait pas été elle-même, ne se serait pas accomplie tout entière ? nous en doutons fort pour la nôtre. Il était dans la nature de cette révolution d'amener une perturbation profonde, illimitée ; car elle n'était pas seulement suscitée contre le pouvoir, mais contre l'état de la société, dont elle changeait les bases. Ce changement, une fois entrepris, comment se serait-il arrêté ? comment, par exemple, après la déclaration des droits de l'homme, et les décrets de la nuit du 7 août, l'ancienne hiérarchie, ébranlée depuis tant d'années, aurait-elle pu se relever, conserver quelque force ? On a dit plusieurs fois qu'une des causes qui avaient précipité la révolution française avec une irrésistible violence, c'était l'unité de la législature, l'absence d'une seconde chambre, d'un sénat, d'une pairie. Mais, un siècle auparavant, une chambre semblable, enracinée dans la monarchie anglaise, avait-elle empêché la ruine de cette monarchie, et n'était-elle pas tombée comme elle, et avant elle ? Dans le cadre que s'est proposé M. Droz, nous croyons donc reconnaître moins une distinction réellement historique que le système d'un esprit bienveillant, qui, reculant à l'aspect de toutes les choses violentes et terribles entassées par la révolution, a voulu faire un choix, et ne raconter que l'époque où les illusions généreuses prévalaient encore. Ce n'est pas qu'il n'apporte lui-même beaucoup de sagacité dans le jugement de ses illusions, et qu'il ne les démêle avec une raison sévère et parfois piquante ; mais son âme paisible et douce n'a pas voulu aller au delà, et prendre sur soi d'expliquer et de peindre les épouvantables réalités qui suivirent. Il nous reste donc de prendre ce nouvel ouvrage comme l'auteur l'a conçu, et d'y chercher ce qu'il renferme de vues nouvelles ou de vérités méconnues.<br /> M. de Montlosier a souvent écrit que la révolution française remontait à Louis XIV, ou même plus haut, et que c'était dans la persécution de la noblesse sous Richelieu, dans son asservissement de cour sous Louis XIV, et dans la promotion du tiers-état, qu'il fallait chercher l'origine et les causes invincibles de la révolution française. Et en cela, il a dit vrai; car, dans la chaîne historique, tous les faits principaux se tiennent, bien que souvent le rapport qu'on établit entre eux à longue distance semble paradoxal. M. Droz, qui ne cherche point à saisir l'esprit par des contrastes, s'est reporté moins haut, pour expliquer ce qui avait près de nous une cause plus immédiate et plus visible. Il s'est arrêté au règne de Louis XV ; et, dans une introduction courte et pleine de faits bien choisis, modérée par les termes et justement sévère au fond, il a caractérisé tous les maux partiels, toutes les contradictions sociales, toutes les fautes et toutes les hontes qu'avait accumulés le règne de Louis XV. Dans cette revue rapide et fine, il faut remarquer surtout ce qui est dit des lettres et du clergé. L'état de ces deux forces, alliées sous Louis XIV, et devenues plus tard aussi opposées qu'inégales en puissance, est parfaitement résumé par l'auteur. Puis il passe à l'avénement de Louis XVI, à ses premières tentatives de réforme, à cette longue lutte entre sa probité naturelle, son bon sens timide et tous les vices de sa cour, toutes les passions de son temps. Le tableau est curieux à retracer; et on doit reconnaître, avec l'historien, que ces moments encore indécis, ces moments d'épreuve et d'alternative sont plus instructifs que les époques où tout semble entraîné par une force unique. Seulement on sait trop ce qui manquait à Louis XVI pour cette lutte ; et M. Droz cependant ne l'a pas complétement indiqué. Il n'y a que M. Turgot et moi qui aimions le peuple, disait Louis XVI ; et, peu de jours après, il renvoyait M. Turgot, devant une intrigue de quelques courtisans et de quelques financiers. Dans cette première condescendance du faible et vertueux roi, on pouvait prévoir bien d'autres événements de son règne; et l'historien pouvait peut-être juger dès lors que la révolution dont il décrit l'avant-scène, ne serait ni prévenue, ni corrigée.<br /> Le précieux travail de M. Droz offre deux parties distinctes, qui sont entremêlées avec art : la peinture morale de la société, l'analyse des faits politiques et législatifs. Cette réunion d'objets fort divers exigeait une grande précision de connaissances et une rare justesse de coup d'œil. Sur les préliminaires et les commencements de la révolution, beaucoup de choses qui n'ont été vues et contées que par les passions contemporaines sont encore aujourd'hui confuses et mal connues. C'est un débat que le grand nombre de témoins n'a pas éclairci. Et cependant quoi de plus décisif pour l'intelligence des grands événements, que la diversité et l'impuissance des efforts qui les précédaient ? Le premier ministère de Necker, le ministère de Calonne, l'assemblée des notables, les résistances du parlement, tous ces préludes de 1789 ont été comme engloutis dans la commotion qui suivit. Mais, à les reprendre isolément, à les examiner en détail, ce sont autant de symptômes que rien ne pourrait remplacer ; et commencer l'histoire de la révolution par l'assemblée nationale, c'est supprimer les intermédiaires. M. Droz, jugeant que cette portion importante avait été négligée, l'a traitée avec un soin particulier. Plus instructif et d'une raison plus ferme que Marmontel dans le IV° volume de ses Mémoires, plus impartial et plus exact que madame de Staël, il fait comprendre à merveille les efforts inutiles, les tentatives manquées et le désordre croissant de cette époque.<br /> Les hommes ne sont pas moins bien caractérisés que les événements ; et, hormis M. Necker, pour lequel le jugement droit de l'historien est quelque peu sévère, il n'est pas un des ministres obscurs ou célèbres de Louis XVI qui ne revive dans cette peinture. M. Droz a excellé dans le portrait du sage et vertueux Turgot qu'il a tracé de prédilection : mais il n'est homme d'état si médiocre et caractère si effacé auquel, par la fidélité piquante du portrait, il n'ait donné une valeur historique ; car la médiocrité des hommes dans la grandeur des crises est elle-même un événement considérable. En voyant le rôle qu'ont joué, l'influence qu'ont exercée des hommes que rien n'appelait à commander, on sent mieux la force irrésistible et collective qui poussait toutes choses. Le plan et l'idée systématique de l'historien en seront peut-être dérangés ; mais la vérité des faits y gagne. C'est ainsi que la réunion des états généraux, la séance du 20 juin, et toutes les circonstances qui la précèdent et qui la suivent, sont retracées par M. Droz avec une curieuse précision de détails, qu'on ne trouve dans aucun autre récit de cette époque.<br /> L'historien appelle usurpation l'inévitable réunion des trois ordres en un seul corps pour former l'assemblée nationale ; et, dans le résumé éloquent qui termine son second volume, cet acte est nommé parmi les fautes et les malheurs du temps. Il faut le dire cependant, c'était ici la faute nécessaire, et sans laquelle le bien, comme le mal, n'eût pas existé. Aussi toutes choses et tous y poussèrent. M. Droz pense que les changements maladroits introduits dans la déclaration royale, préparée par Necker, décidèrent ce grand mouvement ; mais, avant ces changements et cette déclaration, le sage Mounier, en proposant et en faisant jurer aux députés du Tiers de ne point se séparer que la constitution ne fût faite, avait assuré cette prise de possession du pouvoir dont se plaint l'historien. La disposition par laquelle M. Necker maintenait la délibération par ordre, lorsqu'il s'agirait d'intérêts séparés, ou pour mieux dire de priviléges, n'était une barrière à rien, et n'eût fait que montrer l'obstacle qu'on se fût hâté de détruire. Quant aux délibérations déjà prises par l'assemblée du Tiers et que la déclaration royale annulait comme illégales, M. Necker, en y appliquant la formule plus adoucie sans s'arrêter à, n'eût rien changé à la réalité. Toutefois, il eût évité ce que M. Droz appelle avec raison un lit de justice au milieu des états généraux, et il eût pallié quelque peu la crise, sans la prévenir. Ce qui donnait, dans ce premier moment, une force irrésistible à l'assemblée, ce n'était pas seulement les vœux et les passions du dehors, c'était sa propre unanimité, que fit éclater la parole de Mirabeau, et que consacrèrent ces mots de Sièyes : « Vous êtes aujourd'hui ce que vous étiez hier.» Ce qui suivit cet incident, les troubles de la cour, la confusion des conseils et bientôt la victoire de l'assemblée, tout cela est parfaitement décrit par l'historien, qui, avec son esprit impartial et l'ingénieuse modération de son langage, devine et fait comprendre toutes les passions des partis.<br /> Souvent même l'amour de la justice et de l'humanité, cette passion de l'homme de bien, la seule qui soit permise avec la postérité, élève le style de M. Droz, et fait succéder à la peinture exacte des faits quelques nobles pensées morales qui sont la sanction plutôt que l'ornement du récit. C'est ainsi qu'après avoir retracé les efforts de Lalli Tollendal dans la séance du 20 juillet, l'historien ajoute, pour expliquer l'indécision de cette assemblée si puissante, "beaucoup d'hommes sont braves à demi ; braves, les uns contre le despotisme, les autres contre l'anarchie, très-peu sont capables d'attaquer ces deux fléaux avec un égal dévouement. Tel qui n'avait point pâli à l'aspect des troupes dont l'assemblée nationale s'était vue environnée, trembla de défendre l'opinion qu'un ramas d'agitateurs disait n'être pas assez populaire." Cependant, ces deux courages, lorsqu'ils sont vrais, ont la même source; l'un d'eux seulement est plus animé par les regards publics : mais ils tiennent également à une certaine droiture et fierté d'âme qui ne sait pas plier sous la force du préjugé ou de la violence. Aussi les hommes qui, comme Barnave, étaient sincères dans leur résistance au pouvoir absolu, et s'étaient avancés fort loin dans cette résistance, se retournèrent vivement contre l'anarchie, lorsqu'elle devint un despotisme ; et l'histoire de la révolution offre bien d'autres exemples de ces conversions, qui ne sont qu'une honorable unité de caractère.<br /> On peut regretter que M. Droz, en fixant le terme de son récit à une certaine époque, se soit privé lui-même et ait privé son lecteur de ce spectacle instructif où se montre le mieux l'action des événements sur les hommes, et la force des hommes dignes de résister aux événements. Il n'en est pas de plus moral par la noblesse des efforts et de plus politique par l'exemple de l'inutilité de ces efforts, lorsqu'ils sont trop tardifs. Ces phases diverses d'une même vie sont une partie de l'histoire générale ; mais M. Droz, fidèle à son plan, s'arrête à la séance du 14 septembre 1790, où fut enfreinte la faible sauve-garde du Véto suspensif laissée seule au monarque. Et dès lors il renonce à décrire ce qui lui semble irréparablement prévu. A beaucoup d'observations semées dans son récit, on peut juger que l'ensemble de la révolution est présent à sa pensée. Il peut donc utilement porter plus loin ce premier travail, sans aller jusqu'au temps dont nous avons l'ineffaçable peinture. Aux lumières d'une haute raison, M. Droz réunit en effet la plus sévère étude des faits ; son esprit est scrupuleux comme sa conscience. A la foule innombrable des monuments publiés sur cette époque, il a joint la connaissamce de documents inédits, et surtout ce coup d'œil qui sait en tirer parti. Tous ceux qui liront cet ouvrage souhaiteront que l'auteur l'achève.|Villemain.- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, Journal des savants, avril 1859<ref>[https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]</ref>}} ===== Esclavage & servitude dans ''Droz.- Histoire du règne de Louis XVI'' ===== ;Volume 1, 1839. {{Citation bloc|'''P. 75''' - Les changemens opérés sur la terre par le christianisme par l'abolition de l''''''esclavage''''' par les découvertes du génie ou du hasard par le développement de l'industrie ces changemens immenses qui rendent la vie des nations modernes si différente de celle des peuples anciens furent inaperçus ou dédaignés par des philosophes. Il parut beaucoup de livres...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=_1sPAAAAQAAJ&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 1, 1839, p. 75]</ref>.}} ;Volume 2, 1839 {{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA410#v=onepage&q&f=false Volume 2, 1839, p. 410</ref>.}} {{Citation bloc|'''P. 413''' - Il n'est pas exact de dire que les propriétés furent violées dans la nuit du 4 août La servitude personnelle y fut seule abolie. Les considérations de politique et d'humanité qui dans d'autres pays exigent qu'on ne laisse qu'à certaines conditions passer de l'esclavage à la liberté une multitude d'hommes dégradés n'existaient pas pour la France. L'assemblée ne dépassa point les principes des publicistes éclairés tels que Turgot et certes ni devant Dieu ni devant les hommes, les '''''serfs''''' du Jura n'étaient obligés de racheter à prix d'argent leurs personnes. Mais il est très vrai que l'effervescence portée à son comble par les commotions du 4 août amena des violations de la propriété. Il eût fallu distinguer toujours ce qui pouvait être aboli de ce qui devait être racheté et les législateurs en rédigeant leurs arrêtés sous l'influence d'une agitation extrême jetèrent des droits réels des propriétés véritables parmi '''les droits supprimés sans rachat'''. On avait voulu calmer le peuple on ne fit que l'exalter encore...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA413#v=onepage&q=Joseph%20Droz,%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI,%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20+%20esclavage&f=false Volume 2, , 1839 pp. 413-414]</ref>.}} ===== Histoire de la Révolution française ===== * 1905 - François-Auguste-Marie-Alexis Mignet (796-1884), A. Dupuis, Henry Frowde.- Histoire de la révolution française, Oxford : Clarendon Press, [https://archive.org/details/histoiredelarevo00mign volume 1, Internet Archive], {{BNF|30945697t}}. {{Bibliographie|Q26202528}} * 1824 - [https://books.google.fr/books?id=6fxaAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA381#v=onepage&q&f=false Histoire de la révolution française: depuis 1789 jusqu'en 1814, Volume 2], F. Didot, 1824, 735 pages === Abolition des droits féodaux, Nuit du 4 août 1789 === [[Fichier:Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790.png|100 px|vignette|gauche|Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790]] Déclaration des droits de l’Homme et du citoyen, article 17 : ''La propriété étant un droit inviolable et sacré, nul ne peut en être privé, si ce n'est lorsque la nécessité publique, légalement constatée, l'exige évidemment, et sous la condition d'une juste et préalable indemnité''. ;"" {{Citation bloc|les droits féodaux seraient rachetables, et que les servitudes personnelles seraient détruites sans rachat| M. de Noailles soutenu par M. d'aiguillon|J.-P. Rabaut de Saint-Étienne<ref>[https://books.google.fr/books?id=TiYICrVzHzkC&dq=Noailles%20%2B%20droits%20rachetables%20%2B%20droits%20supprimés%20sans%20rachat&hl=fr&pg=PA81#v=onepage&q=Noailles%20+%20droits%20rachetables%20+%20droits%20supprimés%20sans%20rachat&f=false Précis de l'histoire de la Révolution française]</ref>.}} === Droits féodaux === [[Fichier:Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315.png|100px|vignette|gauche|Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315]] Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie#Les affranchissement de Louis XI dit Hutin|Les affranchissement de Louis XI dit Hutin]] * 1877 - Paul Janet.- [[s:La Propriété pendant la révolution française|La Propriété pendant la révolution française]], Revue des Deux Mondes, 3e période, tome 23, 1877 (pp. 320-354). * 2005 - Jean-Jacques Clere, « L’abolition des droits féodaux en France », Cahiers d’histoire. Revue d’histoire critique [En ligne], 94-95 | 2005, mis en ligne le 01 janvier 2008, consulté le 31 juillet 2016. URL : http://chrhc.revues.org/1227 * [[d:Q26161516|1790]] - {{Bibliographie|Q26161516}} France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- {{BNF|40141805n}}, [https://books.google.fr/books?id=TU1eDpQAHSwC&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Lire en ligne sur Google Livres], [[d:Q26161516|Wikidata]]. * 1907 - {{Bibliographie|Q26159920}} * 1993 - {{Bibliographie|Q26161823}} * 1996 - {{Bibliographie|Q26158057}} * 1997 - {{Bibliographie|Q26158407}} [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37245348j Assemblée nationale.- Décret concernant les droits féodaux du 15 mars 1790] Sous-notices. Reproduction de l'édition de 1776-1790, 784 pages. * [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37245348j 33 pamphlets sur les droits féodaux et l'abolition de la féodalité], publiés avant la Révolution, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56647r Consultable sur Gallica] # 1771 - Victor-Amédée III (roi de Sardaigne ; 1726-1796).- Lettres-patentes du roi de Sardaigne du 10 décembre 1773, par lesquelles Sa Majesté prescrit des règlemens relatifs à l'édit du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fiefs, et emphitéoses du duché de Savoie, et aux dispositions émanées en conséquence # 1776 - Pierre-François Boncerf.- Les inconvénients des droits féodaux, s. d. & Fragmens sur l'origine des droits féodaux, s. d.,<br />[Google livres : Pierre-François Boncerf.- Les inconvéniens des droits féodaux, Paris, 1776 - 72 pages]<br />1789 - Pierre-François Boncerf, Les inconvéniens des droits seigneuriaux, ou voeu essentiel à former par le Tiers-Etat du royaume aux Etats-Généraux<br />Pierre-François Boncerf est économiste, disciple de Turgot, secrétaire du duc d'Orléans, officier municipal de la commune de Paris pendant la Révolution # 1777 - France. Chambre des comptes.- Manifeste de la chambre des comptes, du 26 octobre 1777, pour la vente des fiefs, juridictions, biens et revenus du royal domaine # 1778 - Victor-Amédée III (roi de Sardaigne ; 1726-1796).- Lettres-patentes du roi de Sardaigne du 2 janvier 1778, portant de nouvelles dispositions relatives à l'édit du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fiefs et emphitéoses du duché de Savoie # Charles-Michel de Villette.- Protestation d'un serf du Mont-Jura [Charles-Michel de Villette] contre l'Assemblée des notables, le mémoire des princes du sang, le clergé, la noblesse et le tiers état, au Roi # 1789 - Armand de Vignerot du Plessis de Richelieu duc d’Aiguillon, (1761-1800), France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Motion de M. le duc d'Aiguillon à la séance du 4 août 1789 # 1762 - Charles Emmanuel I (duc de Savoie ; 1562-1630), Edit du roi de Sardaigne du 20 janvier 1762, pour l''''affranchissement de la taillabilité personnelle en Savoie''', la rémission du tot-quot, et délégation des intendans respectifs # 1771 - '''Sous-notice [10]'''. Charles Emmanuel I (duc de Savoie ; 1562-1630).- Edit du roi de Sardaigne du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fonds sujets à devoirs féodaux ou emphitéotiques en Savoie, et autres dispositions relatives à cet objet, aux fiefs et emphitéoses, aux dettes des communautés, et à la réduction des intérêts # 1789 - Arnoult, André-Rémi (1754?-1796?).- Opinion de M. Arnoult, député de Dijon, sur l'article 7 du projet d'arrêté du 4 août 1789 # Foucauld-Lardimalie, Louis de Opinion du marquis de Foucauld l'Ardimalie, député de la noblesse du Périgord, sur la motion de M. le vicomte de Noailles, concernant l''''abolition de la féodalité''', et le '''rachat des cens et rentes seigneuriales''', etc. # 1789 - Thiboutot, Jean-Baptiste-Léon de, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Éditeur scientifique .- Observations que M. le marquis de Thiboutot devoit soumettre à l'Assemblée nationale le 5 de ce mois, sur les droits seigneuriaux, dont on avoit proposé la suppression le 4 à la séance du soir, à l'occasion d'un arrêté qu'elle devoit prendre, pour faire cesser les entreprises de quelques habitans des campagnes sur les châteaux, et sur-tout sur les chartriers des seigneurs de terres # 1789 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Extrait du procès-verbal de l'Assemblée nationale du mercredi 5 août 1789 # 1789 - Mirabeau, Honoré-Gabriel Riqueti (1749-1791 ; comte de).- La nouvelle distinction des ordres # 1789 - Le Chapelier, Isaac-René-Guy.- Discours de M. Le Chapelier, président de l'Assemblée nationale au roi, titre conventionnel : Discours. Le Chapelier. 1789?. Paris, Assemblée nationale constituante # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi [au discours de M. Le Chapelier<ref>Isaac-René-Guy Le Chapelier.- Discours de M. Le Chapelier, président de l'Assemblée Nationale au Roi, Chez Baudouin, imprimeur de l'Assemblée nationale, 1789, {{BNF|307644048}}</ref> # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi à l'Assemblée nationale, du 20 septembre au soir # 1789 - Citoyen, Un (17..-18..? ; auteur de "Observations d'un citoyen sur l'arrêté du 4 août"), Observations d'un citoyen sur l'arrêté du 4 août # 1789 - Citoyen, Un (17..-18..? ; auteur de "Nouvelles réflexions d'un citoyen, sur les États généraux"). Nouvelles réflexions d'un citoyen sur les états généraux # 1789 - Laurent, François (17..-....).- Lettre d'un Franc-Comtois aux députés de sa province # 1789 - Lebois, René-François (1769?-18..).- L'heureuse nouvelle qu'on attendoit pas, ou L'abandon proposé # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi à l'Assemblée nationale, Versailles le 20 septembre 1789 # 1789 - Deschamps, Charles-Martin (17..-18..?) # 1789 - Opinion de M. Deschamps, député de Lyon, sur la réponse du Roi adressée à l'Assemblée nationale le 18 septembre, relativement aux arrêtés du 4 août et jours suivans # 1789 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Extrait des procès verbaux de l'Assemblée nationale, du 28 septembre et 5 octobre, concernant l'abolition des droits de [[w:Franc-fief|franc-fiefs]] # 1789 - Viellart, René-Louis-Marie.- Idée d'une motion importante, pour compléter l'arrêté du 5 août # 1789 - Villemonney (17..-18..? ; avocat).- Considérations sur la destruction du régime féodal & Projet de nouvelle législation censière # 1789 - Lindet, Thomas (1743-1823).- A nos seigneurs de l'Assemblée nationale # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine.- Rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom du Comité de féodalité, le 8 février 1790 # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Projet de décret sur la destruction du régime féodal # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine. Éditeur scientifique.- Suite du rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom du Comité de féodalité, le 8 février 1790 # 1790 - Gillet-Lajaqueminière, Louis-Charles, Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité des domaines # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité d'agriculture et de commerce, Comité de féodalité.- Rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom des Comités de féodalité, domaines, agriculture et commerce, sur les droits de péage, minage, hallage, étalonnage & autres semblables : le 4 mars 1790 # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Projet de décret sur les droits de péage, minage, hallage, étalonage, & autres semblables # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- '''Décret de l'Assemblée nationale concernant les droits féodaux, du 15 mars 1790''' # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Projet d'instruction sur les droits de champart, terrage, agrier, arrage, tierce, soété, complant, cens, rentes seigneuriales, lods-&-ventes, reliefs, & autres droits ci-devant seigneuriaux, déclarés rachetables par le décret du 15 mars 1790, sanctionné par le roi le 28 du même mois # 1790 - Tronchet, François-Denis, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Second rapport du Comité féodal # 1790 - Antoine-Jean-François Lautour-Duchâtel, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Rapport et projet de décret concernant la suppression, sans indemnité, de divers droits féodaux déclarés rachetables par le décret du 15 mars 1790 # 1790 - Gaspard-Claude-François Chabrol, France. Sénéchaussée d'Auvergne. Éditeur scientifique.-Opinion de M. Chabrol, député de la Sénéchaussée d'Auvergne, à la séance du 27 avril, sur le rachat des droits casuels censiers # 1790 - Lettres patentes du Roi sur le décret de l'Assemblée Nationale du 15 du présent mois de Mars, concernant les droits féodaux impr. de Baudouin '''<strong>Occurrences dans</strong>''' <br /> 1907 - {{Bibliographie|Q26159920}} ;Serf Pages : 17 - 118 - 150 - 387 - 499 - 507. ;Servage Pages : 504 - 529. ;Esclave Pages : 58 - 110 - 148 - 196 - 196 - 314 - 321 - 329 - 344 - 350 - 360 - 361 - 362 - 418 - 493 - 521 - 524 - 661 ;Esclavage Pages : 57 - 59 - 133 - 144 - 148 - 151 - 195 - 200 - 243 - 299 - 311 - 321 - 328 - 337 - 362 - 488 - 523 - 679 - 696 - 742 ;Colon ==== Bibliographie (Abolition des droits féodaux) ==== * 2005 - {{bibliographie|Q27981404}}, Les biens communaux, La nuit du 4 août * 2005 - {{bibliographie|Q23937022}} <!-- L’abolition des droits féodaux en France --> == Révolution haïtienne == * Ronan Y. Chalmin.- Éthique et rhétorique de la Révolution chez Gracchus Babeuf et Toussaint Louverture, 2015, {{bibliographie|Q23011766}} * 2012 - {{bibliographie|Q64523155}} <!-- Jacques de Cauna et Hubert Bonin (dir.), Dessalines esclave de Toussaint ? --> == Révolution de juillet 1830 == La Révolution de Juillet, aussi appelé "Les 3 Glorieuses", dura 3 jours, les 27, 28 et 29 juillet 1830, et entraîna la chute de la maison Bourbon. === Charles de Rohan-Soubise === [[w:Charles de Rohan-Soubise|Charles de Rohan, duc de Rohan-Rohan, prince de Soubise]], comte de Saint-Pol, maréchal de France, dit le maréchal de Soubise, né en 1715 et mort en 1787 participe à la bataille de Fontenoy en 1745 et il fait lieutenant général en 1748. Il est nommé par Louis XV gouverneur général de la Flandre et du Hainaut, gouverneur, chef et grand bailli de Lille (1751). {{Citation bloc|Depuis huit jours, m'a-t-on dit, il règne une rumeur moitié gaie, moitié critique, à l'Œil de bœuf, à propos des permis de chasse dans les forêts royales, délivrés par mademoiselle Guimard, danseuse de l'Opéra. Cette circonstance paraît en effet fort drôle , même quand on en connaît le motif. Mademoiselle Gnimard, maîtresse du prince de Soubise, capitaine des chasses, ne se borne pas à dire : Nous donnons des permis de.chasse, comme la servante du curé disait : Nous chantons des messes; son amant lui a délégué le pouvoir d’en accorder, et elle use de ce privilége. Aussi .voit-on, dans les bois de Saint-Germain, de Versailles ou de Marly, des amours et des zéphyrs, la carnassière au dos, les guêtres aux jambes, le fusil sur l'épaule, tuant les faisans de sa majesté pour les nymphes du magasin. Les gentilshommes de la cour, jaloux de ces faveurs accordées à des gens qu’ils appellent des baladins, en murmurent hautement; tout en se moquant de leurs rivaux chantants, concertants ou dansants, ils jurent que, si cela dure, ils roueront de coups Cupidon; Borée, Castor et Pollux , et toute cette clique usurpatrice des plaisirs réservés ordinairement à la noblesse.|G. Barba.- Chroniques pittoresques et critiques de l'Œil de bœuf, Volume 4, 1845<ref>G. Barba.- Chroniques pittoresques et critiques de l'Œil de bœuf: des petits appartements de la cour et des salons de Paris, sous Louis XIV, La Régence, Louis XV et Louis XVI, Volume 4, 1845, [https://books.google.fr/books?id=6TNySnWtZPQC&lpg=PA274&ots=uzkWrPQws4&dq=capitaine%20des%20chasses%20du%20roi%20%2B%20prince%20de%20Soubise%20%2B%20louis%20XVI&hl=fr&pg=PA274#v=onepage&q=capitaine%20des%20chasses%20du%20roi%20+%20prince%20de%20Soubise%20+%20louis%20XVI&f=false page 274]</ref>.}} == Joshua Reynolds == [[w:Joshua Reynolds|Joshua Reynolds]] <gallery> File:Omai, Sir Joshua Reynolds.JPG|[[w:Omai|Omai]], [[w:Raiatea|Raiatea]], Polynésie, vers 1751 - [[w:Huahine|Huahine]], 1779. Ces îles sont aujourd'hui territoires français. </gallery> <gallery> File:Louis Philippe d'Orléans Reynolds Chantilly.jpg|Louis Philippe d'Orléans, duc de Chartres (ultérieurement duc d'Orléans, puis Philippe-Egalité), en uniforme de hussards, copie d'après un original disparu File:Château de Chantilly, painting by Joshua Reynolds.JPG|Le duc d'Orléans en Angleterre avec un serviteur afridescendant File:The Duke of Orléans in 1785 by Joshua Reynolds (British Royal Collection).jpg|Le duc d'Orléans en Angleterre avec analyses et commentaires File:Louis Philippe d'Orléans Reynolds Chantilly détail.jpg|Louis Philippe d'Orléans Reynolds, Musée de Chantilly </gallery> == Alexandre-Auguste Robineau == [[w:Alexandre-Auguste Robineau|Alexandre-Auguste Robineau]] [[c:Category:Alexandre-Auguste Robineau|Category:Alexandre-Auguste Robineau]] * 1816 - {{bibliographie|Q112207787}} <!-- Alexandre-Auguste Robineau.- Les Caprices de la fortune --> == Le Royaume de France : territoires & capitales == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799|Le Royaume de France : territoires & capitales]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799|Paris à l'époque de Saint-George]] == Robert du Var == [[s:Page:Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours V1.djvu/3|Robert du Var]] Rédacteur en chef de la Démocratie, auteur de l’École du Peuple et de l’Éducation nationale, ex-professeur de philosophie à l'Institut historique. {{Citation bloc|Journaliste républicain et socialiste. Disciple de l'abbé Châtel fondateur de l'Église Catholique Française, en 1835-1836, franc-maçon déclaré en 1838-1839, admirateur de Pierre Leroux. Publie les "Éléments de Philosophie sociale rédigés d'après les écrits de Pierre Leroux, 1843", et est l'un (ou le) fondateur, la même année de la revue mensuelle "La Démocratie". Il est, dit Michel Cordillot (Dictionnaire Maitron) "insaisissable pour le biographe". Membre fondateur du Club des travailleurs libres (mars 1848), cf. A. Lucas. Le site internet Philo 19<ref>[http://www.textesrares.com/philo19/noticeAuteur.php?nom_aut=Robert+du+Var&prenom_aut= Philo 19]</ref> lui donne (juillet 2016) pour dates: 1818-1894|Note sur la biographie et les activités, [http://www.idref.fr/autorites/autorites.html idref.fr 114280223]}} ==== Livres de Robert du Var ==== * Discours de réforme, 1835 * Discours sur la vérité, 1835 * Cri du coeur, 1836 * Discours prononcés par le F. Robert du Var, 1838 * L’École du peuple, 1839 * Suite des Discours prononcés par le F. Robert du Var, 1839 * Eléments de philosophie sociale, 1843 * Histoire de la classe ouvrière, 1845 * Éducation nationale de l’homme et du citoyen, 1850 ==== A propos de Robert du Var ==== * 1836 - [https://books.google.fr/books?id=TRY-rkcC2FUC&lpg=PA597&ots=UQdt928gAB&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA597#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Robert du Var] in [https://books.google.fr/books?id=TRY-rkcC2FUC L’Ami de la religion et du roi: journal ecclésiastique, politique et littéraire], 1836. * {{Citation bloc|Cours de M. Robert (du Var). — Se proposant de parcourir l'histoire de la philosophie depuis Descartes jusqu'à nos jours, M. Robert (du Var) établira d’abord ces deux questions préjudicielles, f° l’identité de la philosophie et de la religion, 2° l’unité de l’esprit humain.<br />Armé de ces données initiales, le professeur divisera l'histoire de la philosophie en trois grands systèmes, suivis de nombreuses subdivisions, savoir : le mysticisme, le matérialisme et le scepticisme. Après avoir démontré à priori que ces trois grands systèmes sont adéquats à l’esprit humain, et dont la réunion simultanée constitue, à certaines époques, ce qu'on est convenu d’appeler la religion , M. Robert (du Var) en cherchera la preuve, à posteriori , dans l'histoire de la philosophie, qui n’est et ne peut être que la manifestation de l’esprit humain. Explorant successivement les quatre principaux théâtres de la philosophie moderne, la France, l’Angleterre, l’Écosse, l’Allemagne, le professeur déterminera la véritable physionomie de chaque philosophe, constatera les points d’affinité ou de divergence entre telle ou telle école, qu’il rattachera toujours à l’un dos trois systèmes précités, de manière qu'ainsi conçue l'histoire de la philosophie, au lieu d’apparaître comme une bataille perpétuelle d’idées, acquerra au contraire un caractère vraiment providentiel, en produisant dans les esprits cette haute conviction, à savoir que 1° les trois grands systèmes dont on a déjà parlé, le mysticisme, le matérialisme et le scepticisme, sont adéquats à l’esprit humain; 2° selon les époques, l’un de ces trois systèmes exerce une certaine prédominance sur les deux autres ; Descartes, Locke, David Hume ont été, dans le monde moderne, les représentants successifs de ces trois tendances, toujours accompagnées néanmoins de nombreuses subdivisions.<br />3° La lutte que ces trois grands systèmes se sont livrée dans l'histoire de la philosophie moderne a été la condition sine qud non du développement du progrès social; le jour où ces trois systèmes se rejoindront synthétiquement, la philosophie moderne aura atteint son apogée; une nouvelle religion aura lui sur le monde. Les travaux des penseurs du {{s|XIX|e}} convergent incontestablement vers ce but, tendance qui se révèle surtout en France dans M. Pierre Leroux.|Société des études historiques<ref>[https://books.google.fr/books?id=ZWYFAAAAQAAJ Société des études historiques].- [https://books.google.fr/books?id=ZWYFAAAAQAAJ&lpg=PA302&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA302#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Cours de M. Robert (du Var)] in Journal. [Continued as] L’Investigateur, 1840.<br />[https://books.google.fr/books?id=lv8vAAAAMAAJ Revue des études historiques], Journal de l’institut historique, [https://books.google.fr/books?id=lv8vAAAAMAAJ&lpg=PA302&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA302#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Volumes 6 à 7, ‎History], 1840</ref> }} * 1845-1847 - [w:Robert du Var|Robert du Var]].- Histoire de la classe ouvrière depuis l’esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, 4 volumes, Imprimerie de A. Blondeau, E. Vernet, Michel, Chez le directeur de la publication, Paris, 1845-1847, {{BNF|31226423g}}, {{IA|HistClasOuvEesclaveaProletaire}}, [https://archive.org/details/HistClasOuvEesclaveaProletaire Internet Archive]. * [https://books.google.fr/books?id=b-4sTddkam0C&lpg=PA226&ots=wKFYCoV7Xs&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20franc-ma%C3%A7onnerie&hl=fr&pg=PA226#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20franc-ma%C3%A7onnerie&f=false Robert du Var] in [[w:Maurice Agulhon|Maurice Agulhon]].- [Une ville ouvrière au temps du socialisme utopique: Toulon, de 1815 à 1851] <poem> '''Titre''' Identifiant Bnf {{BNF|34348270x}} "Bibliographie de la France : ou Journal général de l’imprimerie et de la librairie", [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34348270x/date.r=bibliographie+france+1814.langFR Gallica, 85 années disponibles (1811-1971) / 784 numéros] "Bibliographie de l’Empire français, ou Journal général de l’Imprimerie et de la librairie", Du 25 mars au 15 juillet 1815 '''auteurs :''' Adrien-Jean-Quentin Beuchot (1777-1851), Directeur de publication, 1814-1847 Cercle de la librairie (France ), 1857-1971 '''Publication''' Paris : Pillet, 1814-1971 '''Volumes''' 158 vol. ; in-8 puis in-4 </poem> {{Citation bloc|lîse e 104 lnnuons Je ne ni si c est avec on un lupplement 657i DIBCOUns ne RÉFORME Pre e minence de la loi Hall relie sur la reflénnon P M Robert du Var ministre de l église française In 8 d une une Imp de M1 Pinard à Paris A Paris chez Prevot rue Bouronhvmeneuve 11 figrchez Mansut fils et aux églises françaises me lu FaubOüTg Sl Marlin n 59 et rue St Maur n 47 6575 la|Bibliographie de la France<ref>Bibliographie de la France, [https://books.google.fr/books?id=Tq10ZUg3S0gC&hl=fr&hl=fr&pg=PA711&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U07uGwgRw_hAQXQWo1sB4sec1jmXw&ci=3%2C1145%2C842%2C152&edge=0 Page 711]</ref>.}} ** Suite des discours prononcés par le F.'. Robert (du Var), 357. ** [Page 29] - 357. Suite des discours prononcés par le F.\ Robert (duVar) dans la respectable loge des Sept-Ecossais réunis, à l'0.\ de Paris, sous la présidence du F.-. Bessin, ofl'.\ du G.-. 0.\ de France. In-8° de 4 1um 1/2. Imp. dePollet, à Paris. —A Paris, chez Renard, rue Sainte-Anne, n. 71. * Robert (du Var), Histoire de la classe ouvrière (I-IV), 230 € sur [http://www.ebay.fr/itm/ROBERT-du-Var-HISTOIRE-de-la-CLASSE-OUVRIERE-I-IV-/180544689947 Ebay] ; [http://livre.fnac.com/mp18351642/Histoire-de-la-classe-ouvriere 213€ à la Fnac] ; [http://www.abebooks.fr/rechercher-livre/auteur/robert-du-var-ex-r%E9dacteur-en-chef-de-la-d%E9mocratie/ 120 € chez Abebooks]. #* ''Quoi qu’il en soit, et en attendant la '''synthétisation''' des systèmes philosophiques qui discordent à notre époque, il résulte de ce qui précède : (…)’' {{source|Robert (du Var), ''Éléments de philosophie sociale rédigés d’après les écrits de Pierre Leroux'', 1843}}, [[Wikt:synthétisation|synthétisation]] === Maximilien de Robespierre === [[Fichier:Robespierre.jpg|100px|vignette|gauche|Maximilien de Robespierre, 1758-1794]] [[w:Maximilien de Robespierre|Maximilien de Robespierre]] (Synthèse) ==== Discours de Robespierre sur la propriété. Suivi du projet complet de déclaration des droits de l’homme ==== ;1790 '''1790''' - Robespierre propose la devise "Liberté, Égalité, Fraternité" à la Convention nationale le 5 décembre 1790. Elle sera placée par Jean-Nicolas Pache sur les murs des édifices publics parisiens ;1791 [[Fichier:Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791.png|vignette|Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791|100px|gauche]] Sujets présents sur l'image "Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791" : [[w:Augustin Robespierre|Augustin Robespierre]], frère cadet de [[w:Maximilien de Robespierre|Maximilien de Robespierre]], fondateur, le 17 avril 1790, de la Société des Amis de la Constitution d'Arras, dont il est élu président en avril 1792. En mars 1791, il est administrateur du département du Pas-de-Calais. Cf. Siège de Toulon avec Jacques François Dugommier, Voyage à Forcalquier et à Marseille en 1793, Exécution, même convoi que son frère. ;1793 '''1793''' - {{bibliographie|Q111482750}} Publié dans {{bibliographie|Q19221639}} <!-- Œuvres de Robespierre : Discours de Robespierre sur la propriété. Suivi du projet complet de déclaration des droits de l’homme --> '''24 avril 1793''' - CONVENTION NATIONALE Séance du 24 avril 1793 [https://books.google.fr/books/content?id=f4YfAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA351&img=1&zoom=3&bul=1&sig=ACfU3U1coQUy8BJjUgTiiv1f8qkaecsOBw&ci=97%2C440%2C797%2C353&edge=0 DISCOURS DE ROBESPIERRE SUR LA PROPRIÉTÉ] [https://www.google.fr/books/edition/%C5%92uvres_de_Maximilien_Robespierre/f4YfAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Projet+de+D%C3%A9claration+de+droits+%2B+Robespierre+%2B+1793&pg=PA351&printsec=frontcover SUIVI DU PROJET COMPLET DE DÉCLARATION DES DROITS DE L HOMME ET DU CITOYEN] '''17 novembre 1793''' - États-Unis d'Amérique (United States of America) - Maximilien de Robespierre.- Rapport fait à la Convention nationale sur la situation politique de la République, 17 novembre 1793 ;1794 '''27 juillet 1794''' : Le 9 Thermidor an II (27 juillet 1794), Robespierre fut empêché de s’exprimer à la Convention et invectivé de toutes parts quand un des représentants « à mauvaise conscience », Louis Louchet, qui était proche de Fouché, demanda le décret d’accusation contre lui. La proposition fut votée à main levée et Robespierre arrêté en compagnie de Louis Antoine de Saint-Just et de Georges Couthon. Augustin Robespierre et Philippe-François-Joseph Le Bas se joignirent volontairement à eux et le groupe fut emmené par les gendarmes. Saint-George fut, comme tant d’autres, rendu à la liberté par la chute de Robespierre (voy. 27 Ju1llet 1794) '''28 juillet 1794''' : Robespierre est guillotiné le 28 juillet 1794 (10 thermidor an II) à Paris, place de la Révolution (actuelle place de la Concorde) ;Bibliographie (Robespierre) 1866 - {{bibliographie|Q19221639}} <!-- Œuvres de Robespierre --> Wikidata : [https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Maximilien%20de%20Robespierre&title=Special%3ASearch&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 Résultats de la recherche "Maximilien de Robespierre"] == S == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter S.jpg|100px|vignette|centré]] == Maximilien Saba, 1875-1957 == * 1991 - Liliane Mencé, ‎Thérèse Bellony.- Maximilien Saba, 1875-1957, [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Maximilien+Saba&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&affinageActif=false&pageEnCours=1&nbPage=2&trouveDansFiltre=NoticePUB&triResultParPage=0&critereRecherche=0 Fiches bibliographiques sur BnF] * [https://data.bnf.fr/fr/12261287/maximilien_saba/ Maximilien Saba (1875-1957) - accueil (data.bnf.fr)] == Sacagawea == [[w:Sacagawea|Sacagawea]] <nowiki>{{Média externe | image1 = [http://www.brooklynmuseum.org/eascfa/dinner_party/place_settings/sacajawea.php Site du Brooklyn Museum] | topic = Sacagawea dans The Dinner Party }}</nowiki> == Saint-Domingue (Colonie de la France) == [[Fichier:Boispineau, Carte du débouquement entre l'Isle de Kroo-ked et Samana, 1737.png|100px|vignette|gauche|Boispineau, Carte du [[wikt:débouquement|débouquement]] entre l'Isle de Kroo-ked et Samana, 1737]] [[Fichier:Gravure iledelatortue-388-259.jpg|100px|vignette|gauche|Tout commence avec l'Isle de la Tortue]] '''N.B.''' : Distinguer Hispaniola (Colonie espagnole), Saint-Domingue (Colonie française), Haïti, Etat-Nation et les périodes. 1642-1697 : Hispaniola (Colonie espagnole), 6 décembre 1492 - 21 septembre 1697 1630 : Anglais et Français se partagent le territoire septentrional de la partie occidentale de Hispaniola<ref>[http://museeogierfombrun.org/2013/10/28/essais-de-colonisation-anglaise-a-st-domingue/ Essais de colonisation Anglaise à Saint-Domingue]</ref> Saint-Domingue (Colonie de l’Angleterre) jusqu'au [[w:Traité de Ryswick|traité de Ryswick]] (1697)<ref>Les traités de Ryswick signés les 20-21 septembre 1697 à Ryswick mettent fin à la guerre de la Ligue d'Augsbourg entre Louis XIV et la ligue d'Augsbourg.</ref> 1697-1804 - [[d:Q861551|Saint-Domingue]] est [[w:Saint-Domingue (colonie française)|colonie de la France]] de 1697 au 1{{er}} janvier [[w:1804|1804]]. En [[w:1665|1665]], la colonisation française sur Hispaniola fut officiellement reconnue par [[w:Louis XIV de France|Louis XIV]]. [[w:Bertrand d'Ogeron|Bertrand d'Ogeron]] fut nommé gouverneur de [[w:Île de la Tortue (colonie française)|l'isle de la Tortue]] et Coste Saint Domingue. 1749 - Ordonnance de Messieurs de Conflans et Maillard en date du 13 juin 1749 {{Citation bloc|L île de Saint-Domingue appartint d'abord aux Anglais mais les Français s'y étant établis une partie leur fut cédée par le [[w:Traité de Ryswick|traité de Ryswick]]<ref>Les traités de Ryswick signés les 20-21 septembre 1697 à Ryswick.</ref> et entre leurs mains une des plus florissantes colonies européennes 1789 elle comptoit 562 000 habitans dont 450 000 Noirs esclaves et de Mulâtres. Les principes nouveaux établis lors de la révolution française et des changemens précipités dans le régime de cette île allumèrent le feu de la guerre civile des massacres affreux y eurent la plupart des Blancs en furent victimes et ceux qui y échappèrent la fuite Par des arrangemens particuliers les Espagnols cédèrent la France la portion qui leur appartenoit Aujourd’hui l île est en la des Noirs qui lui ont fait reprendre son ancien nom d Haïti<ref>Cf. Journée d'études du 10 mai 2017, CNMHE : Comment le nom "Haïti" vint à Saint-Domingue.</ref> poste de Santo Domingo est la seule place dont ils ne soient pas maîtres reste du pays est couvert de ruines|Eustache Hérisson & Cie.- [https://books.google.fr/books?id=N1FeAAAAcAAJ&dq=Saint-Barth%20%2B%20coton&hl=fr&pg=PA154#v=onepage&q=Saint-Barth%20+%20coton&f=false Nouvel Atlas Portatif, Contenant La Géographie Universelle, Ancienne Et Moderne, Desray, 1811}} === La colonisation européenne de Hispaniola === Les guerres de conquête territoriales de Louis XIV s'étendent aux Amériques * 1688-1697 - [[w:Guerre de la Ligue d'Augsbourg|guerre de la Ligue d'Augsbourg]] ou guerre de neuf ans : la France occupe la partie occidentale de Saint-Domingue * 1749 - {{bibliographie|Q29018360}} <!-- Ordonnance de Messieurs de Conflans et Maillard en date du 13 juin 1749 --> === Le développement productif de Saint-Domingue (1760-1790) === Entre 1760 et 1790, [[w:Histoire des bourses de valeurs#Les grandes spéculations de la fin du règne de Louis XVI|Saint-Domingue]] double sa production de sucre et décuple celle de café. Les profits sont recyclés vers l'immobilier puis vers les emprunts royaux émis pour financer la participation de la France à la guerre d’indépendance américaine, via l'expédition Lafayette. {{Citation bloc|L’affranchissement des Noirs, et les scènes d’ivresse et d’enthousiasme qui en résultèrent, attendrissaient encore les cœurs.| Jules Michelet, Histoire de la Révolution française, Volume VII, 1853<ref>{{Bibliographie|Q28733321}} 1853, page [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k10558886/f177.image​ 177] & [https://books.google.fr/books?id=oQlCAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA171#v=onepage&q&f=false Google Books]</ref>.}} === Réfugiés français de Saint-Domingue aux Amériques === * [[w:Réfugiés français de Saint-Domingue en Amérique|Réfugiés français de Saint-Domingue aux Amériques]] === Constitution de Saint-Domingue & Haïti === * 28 mai 1790 - promulguée par une assemblée excluant les Gens de couleur libres. "bases constitutionnelles» de Saint-Domingue du 28 mai 1790, annulées par l'Assemblée nationale. Cf. "Léopardins" * 3 juillet 1801 (14 Messidor an IX) - [[w:Constitution de Saint-Domingue de 1801|Constitution]] promulguée au Cap-Français par le général Toussaint Louverture, gouverneur de Saint-Domingue. Surnommée "Constitution autonomiste", considérée comme la première Constitution de la future République d'Haïti. === Bibliographie (Saint-Domingue (Colonie de la France) === * 1797 - {{bibliographie|Q29017809}} ** 1812 - {{bibliographie|Q29017789}} * Titre : Histoire de Mesdemoiselles de Saint-Janvier, les deux seules blanches sauvées du massacre de Saint-Domingue ; par Mademoiselle de P..., leur amie... 3e édition... Auteur : Palaiseau, Mlle de Éditeur : J.-J. Blaise (Paris) Date d'édition : 1812 * 1962 - {{bibliographie|Q29017748}} <!-- L'intervention britannique à Saint-Domingue en 1793 --> * [https://www.napoleon.org/histoire-des-2-empires/articles/le-reve-americain-et-caraibe-de-bonaparte-le-destin-de-la-louisiane-francaise-lexpedition-de-saint-domingue/ Le rêve américain et caraïbe de Bonaparte : Le destin de la Louisiane française. L’expédition de Saint-Domingue] Auteur : LAHLOU Raphaël Titre de revue : Revue du Souvenir Napoléonien Numéro de la revue : 440 Numéro de page : 3-21 Mois de publication : avril-mai Année de publication : 2002 * François Blancpain, La colonie française de Saint-Domingue, Paris, Karthala, 2004 ** Serge Bianchi.- [https://ahrf.revues.org/7283 La colonie française de Saint-Domingue] ; Les Vengeurs du Nouveau Monde. Histoire de la révolution haïtienne (article), 2006, Compte-rendu de lecture "François Blancpain, La colonie française de Saint-Domingue, Paris, Karthala, 2004" == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George_:_trajectoires_en_France_%26_en_Europe#Notes|Saint-George : trajectoires en France & en Europe, Notes]] == == Familles nobles de Saint-George == [[w:Famille de Saint-Georges|Famille de Saint-Georges]] * {{Citation bloc|SAINT-GEORGE, nom d'une ancienne et puissante famille du Poitou, qui, en partie, embrassa la Réforme|Eugène Haag, ‎Émile Haag.- La France protestante<ref>Eugène Haag, ‎Émile Haag.-[https://books.google.fr/books?id=vJwoAQAAIAAJ La France protestante] : ou, Vies des protestants français qui se sont fait un nom dans l'histoire depuis les premiers temps de la réformation jusqu'à la reconnaissance du principe de la liberté des cultes par l'Assemblée nationale; ouvrage précéde d'une notice historique sur le protestantisme en France, suivi de pièces justificatives, et rédigé sur des documents en grand partie inédits, Volume 9, 1859</ref>}} * {{Citation bloc|'''1575''' - NATTA ( Hyacinthe), fils de Gabriel-Hector Natta, comte d’Alfiano, et de Polyxène de Biandrate, [[w:comtesse|comtesse]] de Saint-George, naquit à Casai , capitale du Montferrat, en 1575. 11 passa de l’université de Pavie, où il commença ses éludes, dans celle de Salamanque et ensuite dans celle de Bologne , où il prit le degré de docteur en droit.|Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes<ref>[http://archive.org/stream/biographieuniv05fell/biographieuniv05fell_djvu.txt Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes] qui se sont fait un nom par leur génie, leurs talents, leurs vertus, leurs erreurs ou leurs crimes</ref>.}} * {{Citation bloc|'''1643''' - NOBLE (Euslache Le), [[w:baron|baron]] de Saint-Georges et de Tenelière, né à Troyes en 1643, d’une famille distinguée, s'éleva par son esprit à la charge de procureur-général du parlement de [[w:Metz|Metz]]|Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes<ref>[http://archive.org/stream/biographieuniv05fell/biographieuniv05fell_djvu.txt Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes] qui se sont fait un nom par leur génie, leurs talents, leurs vertus, leurs erreurs ou leurs crimes</ref>.}} * Abbé Joseph Nadaud.- De Saint-George dans le [https://books.google.fr/books?id=1sZeCQAAQBAJ&lpg=PA320&dq=septembre%201792%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA301#v=onepage&q=septembre%201792%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Nobiliaire du diocèse et généralité de Limoges, Tome 2, page 320]. * Philippe-Xavier Marquis de Moustier, en 1743 {{citation bloc|Philippe-Xavier Marquis de Moustier<ref>Moustier en Franche Comté, devenue [[w:Mouthier-Haute-Pierre|Mouthier-Haute-Pierre]]</ref> né en 1707, Chev de Saint Georges & de Saint Louis en 1743. Colonel d'un Régiment de Caval. de son nom en 1748 marié en 1732 à Louise de Bournel fille de Charles Lieut. Gén. des Armées du Roi, Command de l'Ordre de St Louis & de Catherine de Forcadel ci-devant Dame d'atours de feu Madame la Duchesse de Berry dont # Charles né en Oct. 1739 Cap. dans le Rég. de son père en 1750 # Eléonor né en mai 1751 Chev. de Malte # Adelaide Charlotte née en 1736 Chanoinesse de Neuville # Antoinette Philippe née 4 août 1744 aussi Chanoinesse de Neuville |{{Bibliographie|Q27919259}}<ref>{{Bibliographie|Q27919259}}, [https://books.google.fr/books?id=i5ZAAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA276#v=onepage&q=Saint-Georges&f=false page 276]</ref>}} * [[w:Champagné-le-Sec|Champagné-le-Sec]], département de la Charente-Maritime, région Nouvelle-Aquitaine<ref>[[Marans (Charente-Maritime)|Marans]] se trouve dans le département de la Vienne, toujours en région Nouvelle-Aquitaine</ref> : DE SAINT-GEORGES Léonard sr de Perissay ,François de Saint-Georges sr de la Fraise la dame de Verruées du nom de Saint-Georges. Philippe de Saint Georges écuyer sr de Sceaux de Saint Georges sr de Verrac Louis de Saint Georges s de Marçay Mme Marguerite de St Georges dame vve du sr Forin et autres du nom maintenus nobles par sentence du 1er septembre 1667 portent d'argent à une croix de gueules ou écartelé d'argent à la croix alisée de gueules au premier et quart aux deux et trois d argent à trois fasces ondées de gueules<ref>[https://books.google.fr/books?id=5QABAAAAMAAJ&hl=fr&pg=PA374#v=snippet&q=Marans&f=false P. Robuchon.- État du Poitou sous Louis XIV. Rapport au roi et mémoire sur le clergé, la noblesse, la justice et les finances, 1865, page 374]</ref> === Saint-George sur la base Leonore (1783-1862) === [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 SAINT GEORGE DE Oger Louis Charles Marie 1783/08/28] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2426075 RUYNEAU DE SAINT GEORGE Ernest Michel 1834/01/31] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2426076 RUYNEAU DE SAINT GEORGE François Denis Gustave 1827/08/30] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20c-308365 HARSCOUËT DE SAINT GEORGE Louis Jean Joseph 1863/08/25] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L1269033 HARSCOUET VICOMTE DE SAINT GEORGE Frédéric Prosper 1782/09/14] [[w:Jean René Harscouët de Saint-George|Jean René Harscouët de Saint-George]], Tréveneuc,3 octobre 1781 - 20 janvier 1867 [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436031 SAINT GEORGE MARQUIS DE VERAC DE Armand Maximilien François 1768/08/01] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L0923055 FADATE DE SAINT GEORGE DE Edmond Jacques Louis 1802/07/01] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L0923056 FADATE DE SAINT GEORGE DE Henri Jacques Louis Antoine 12/05/1862], Capitaine commandant au 13e régiment de Dragons, [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH071/PG/FRDAFAN83_OL0923056v001.htm chevalier de la légion d'honneur au 28 décembre 1904]. ==== Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George ==== [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George], né le 28 août 1783. [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 Trois documents (cinq pièces) dans les Archives Nationales, Base Léonore] : [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V002.htm 28 août 1783 - Acte de naissance pour Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George, pièce I] ; [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V003.htm pièce II], [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V004.htm pièce II] [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V001.htm 14 avril 1807 - Chevalier de l’ordre royal de la légion d'honneur] [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V005.htm 21 décembre 1821 - Brevet d'individualité pour Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George] === Jean Pierre de Cormis de Saint-George, (comte de saint-george) === Source : Procuration Cotes : MC/ET/LXXIII/766 - [http://www.siv.archives-nationales.culture.gouv.fr/siv/IR/FRAN_IR_042630 Minutes et répertoires du notaire Henri BOULARD, MC/ET/LXXIII/766], 11 août 1745 - 1er janvier 1782 / (Mme ou Mlle) Deschiens, Marie Anne veuve de Jean Pierre de Cormis de Saint-George, cornette premiere des mousquetaires / (M.) Hilaire Manil, notaire, domicilié Cour-Cheverny [[w:Louis de Cormis|Louis de Cormis]], marquis de Brégançon, seigneur de Beaurecueil et de Roqueshautes, mort en 1669 à Aix-en-Provence, est un parlementaire d'Aix-en-Provence, président à mortier du Parlement de Provence de 1650 à 1659. === Charles olivier de Saint-George marquis de Vérac === Charles olivier de Saint-George marquis de Vérac, épouse Marie Charlotte Josephine Sabine de croy, Abbé Joseph Nadaud.- Nobiliaire du diocèse et généralité de Limoges, [https://books.google.fr/books?id=1sZeCQAAQBAJ&lpg=PA311&dq=Marie%20Charlotte%20Josephine%20Sabine%20de%20croy%20%2B%20Saint-George&hl=fr&pg=PA311#v=onepage&q=Marie%20Charlotte%20Josephine%20Sabine%20de%20croy%20+%20Saint-George&f=false Tome 2, page 311] === De Saint-Georges de la Saigne (Louis) === [https://books.google.fr/books?id=6JRPAAAAYAAJ&dq=Gaudin%20de%20Beaumont%2C%20Fran%C3%A7ois%20%2B%20Gros-Morne%20%2B%20Martinique&hl=fr&pg=PA325#v=onepage&q=Gaudin%20de%20Beaumont,%20Fran%C3%A7ois%20+%20Gros-Morne%20+%20Martinique&f=false De Saint-Georges de la Saigne (Louis)] (1), de Brunville (Michel-Jacques-François), et de Mackarty (François-CharlesThadée), gardes du corps du roi, compagnie de Luxembourg. === Marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre === * 1773, marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre == Les ordres de Saint-George(s) == [[Fichier:Cappadocia SPQR.png|100px|vignette|gauche|Cappadoce, [[w:Asie (province romaine)|Asie mineure sous Dioclétien]].]] [[Fichier:ג'ורג' הקדוש מכניע את הדרקון - ציור.JPG|100px|vignette|gauche|Saint-George, église Saint George, Lod (lydda), Israël]] [[Fichier:ISRAEL - Lidda (Lod) - GREEK ORTHODOX MONASTERY OF ST. GEORGE, LOD; (ID is 9-7000-004).JPG|100px|vignette|gauche|Tombe du Saint George, église Saint George, Lod (lydda), Israël]] La légende relative au chevalier saint Georges nous vient donc d’Orient, d’où les ‘croisés l’introduisirent dans les pays occidentaux et le transformèrent en saint-chrétien. Peut-être en relation avec la légende grecque de [[w:Persée|Persée]]<ref>La légende de [[w:Persée|Persée]], en particulier les épisodes de Méduse et d’Andromède, a connu une grande fortune après l’Antiquité. Il est probable qu'elle ait influencé les légendes chrétiennes des saints pourfendeurs de dragon, comme celle de [[Georges de Lydda|saint Georges]]. {{harvsp|id=OGD|Ogden|2008|p=1, 10, 136-138}}.</ref>. [https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&pg=PA340&dq=Bavière+%2B+Ordre+de+Saint-Georges&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false George ou George*(saint)] était, selon la légende, un jeune et beau prince de Cappadoce<ref>Ne pas confondre avec [[w:Georges de Cappadoce|Georges de Cappadoce]]. Aux environs 275/280 - 23 avril 303 : [[w:Georges de Lydda|Georges de Lydda]], [[Lod (Israël)|Lydda (aujourd'hui Lod en Israël)]], ou saint Georges pour les chrétiens, est un martyr chrétien du {{s|IV|e}}, selon [[w:La Légende dorée|La Légende dorée]].]]</ref>. Il vivait vers le milieu du 111e siècle de l’ère chrétienne et subit le martyre du temps de la persécution contre les chrétiens, sous [[Dioclétien]]<ref>Dioclétien est un empereur romain qui régna du 20 novembre 284 au 1er mai 305.</ref>. Son plus célèbre trait d’héroîsme fut d’avoir attaqué un redoutable dragon (crocodile?) et d’avoir par ce fait sauvé la fille d’un roi, nommée Aja, que le monstre menaçait de dévorer. Le tombeau de Georges de Lydda se trouve à [[w:Lod|Lod]]. [https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&pg=PA340&dq=Bavière+%2B+Ordre+de+Saint-Georges&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false "''George''" est l’orthographe anglaise] qui s’emploie de préférence pour les personnages se rapportant à l'histoire d’Angleterre. En allemand "''Georg''", on supprime à la fin même l’e. L’s provient du latin Georgiul. qui est le mot grec vsmpïôç, cultivateur, composé de , la terre, et ..., le travaille. Étymolngiqnement, il ne devrait pas plus y avoir d‘s à George, qu’il n’y en a à lhe'urge, mäaI/ur‘e, Panurge, mots dans la composition desquels entre aussi le vieux verbe ..... Géorgique, titre des poèmes traitant de la culture de la terre, à la même origine que le nom de "''George''", dont nous dirons encore qu’il se transforme en Iouri. dans la langue russe. J. H. S. == Société chevaleresque de Saint-Georges de Franche-Comté == {{Citation bloc|Rappelons-nous que la société chevaleresque de Saint-Georges de Franche-Comté tenait son siège aux franciscains de Rougement, et que de nombreux princes ont élu leur dernier domicile dans les couvents du même ordre.|Jacky Theurot, Nicole Brocard.- La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente<ref>[https://books.google.fr/books?id=j7C4H895uiwC&lpg=PA94&dq=chevalier%20de%20Saint-Georges%20%2B%20Heidelberg&hl=fr&pg=PA94#v=onepage&q=chevalier%20de%20Saint-Georges%20+%20Heidelberg&f=false La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente] : regards croisés entre comté de Bourgogne et autres principautés in Actes du colloque des 18 et 19 novembre 2005, Numéro 30 de Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté : Série Historiques, Presses Universitaires de Franche-Comté, 2008, 394 pages.</ref>}} # Bavière : Ordre de Saint-Georges p. 55 # Naples : Ordre chevaleresque, royal et militaire de Saint-Georges de la Réunion p.143 # 1769 - Russie : Ordre de Saint-Georges p. 199,<br />[https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&dq=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&hl=fr&pg=PA339#v=onepage&q=Bavière%20+%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false Encyclopédie des gens du monde] : répertoire universel des sciences, Volume 12, Catherine II, 1769 # Pologne : Ordre de Saint-Georges p. 199 # Espagne : Ordre de Saint-Georges d’Alfama p. 267 # Autriche : Ordre de Saint-Georges p.270 # France : Ordre de Saint-Georges p. 274 # Gênes : Ordre de Saint-Georges p. 276 # Rome : Ordre de Saint-Georges p. 276 # Ravannes : Ordre de Saint-Georges p. 277 G # Gal (St.-). Voy. Ours, Suisse. p. 268 # Georges (St.-) d’Alfama, Espagne, p.267 # Georges (St.-), Autriche, p.270 # Georges ( St.-), Bavière, p.59 # Georges ( St.-), France, p.274 # Georges (St.-), Gênes, p.276 # Georges (St.-), Ravennes, p.277 # Georges (St.-) de la Réunion, Naples, p.143 # Georges (St.-), Rome, p.276 # Georges (St.-), Russie, p.199 # Georges (St.-) d’Angleterre. Voy. Jarretière, p.19 # Georges (St.-) de Valence. Voy. Notre-Dame-de-Montésat, p.85 # Générosité, Prusse, p.281 # Genette (de la), France, p.262 # Géréon (St.-), Palestine, p.266 # Grande-Chasse. Voy. Aigle d’Or, p.253 # Griffon dit Florida, Naples, p.276 # Guelfes, Hanovre, p.115 # Guillaume, Pays-Bas, p.159 # L’ordre de la Jarretière (Angleterre), p.1348 === Quelques chevaliers de l’ordre de Saint-George(s) === == Le chevalier de Saint George (Écosse), 1688-1766 == * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen#Naissance de formes démocratiques de gouvernement|Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen, Naissance de formes démocratiques de gouvernement]] == Saint-George, famille du Poitou == [https://books.google.fr/books?id=vJwoAQAAIAAJ&dq=Le%20Sieur%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA79#v=onepage&q=Le%20Sieur%20de%20Saint-George&f=false Saint-George], nom d’une ancienne et puissante famille du [[w:Poitou|Poitou]], qui, en partie, embrassa la Réforme et, en partie aussi, y est restée fidèle jusqu'à nos jours. == Saint-George durant la Révolution == Révolution Française == Saint-George dans les villes des Mondes Atlantiques == == Cf. "Saint-George en Europe" == == Saint-Ouen, 41 == [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Vendomois+%2B+Saint-Ouen Vendomois + Saint-Ouen] == Ségrégation raciale == === Le blanc est politique === {{Citation bloc| En tant que théoricien, il peut être considéré comme le fondateur de l’histoire de l'art et de l’archéologie en tant que disciplines modernes. Winckelmann est homosexuel, et ses écrits esthétiques sont façonnés par un homoérotisme assumé, reconnu par ses contemporains, tel Goethe.|[[w:Johann Joachim Winckelmann|Johann Joachim Winckelmann]]<ref>1996 - {{bibliographie|Q104178636}}, [https://books.google.fr/books?id=geXxdlFrgGkC&lpg=PA9&pg=PA9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false p. 9]</ref>}} * [[w:Ségrégation raciale|Ségrégation raciale]] === Ségrégation raciale (USA) === * [[w:Ségrégation raciale aux États-Unis|Ségrégation raciale aux États-Unis]] * 1954 - [[d:Q24466369|L'abolition par la Cour suprême des États-Unis de la ségrégation raciale dans l'enseignement public]]. {{bibliographie|Q24466369}}. == 13e régiment de chasseurs à cheval == * Cf. [[Utilisateur:Ambre_Troizat#L#Légion|Légion]] * [[w:Milice|Milice]] : polices parallèles et des forces supplétives de l'armée. 1985 - Anne Pérotin-Dumon.- Être patriote sous les tropiques: la Guadeloupe, la colonisation et la révolution (1789-1794), Société d'histoire de la Guadeloupe, 339 pages, Google|M0oYAAAAYAAJ&q * 2007 - Bernard Gainot.- Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'empire (1792-1815): de l'esclavage à la condition militaire dans les Antilles françaises, KARTHALA Editions, 2007 - 232 pages, Google|nMHyBK5gEtYC&hl. == Révolution Française : la Terreur == * 2005 - Anne Pérotin-Dumon.- [http://books.openedition.org/pur/16047 Aux Antilles : bilan et perspectives préliminaires sur l’étude d’un passé violent] In : La Révolution à l'œuvre : Perspectives actuelles dans l'histoire de la Révolution française [en ligne]. Rennes : Presses universitaires de Rennes, 2005, ISBN : 9782753524118. * 2013 - Marisa Linton. Choosing Terror. Virtue, Friendship, and Authenticity in the French Revolution. Oxford, University Press, 2013, 336 p., {{ISBN|978-0-19-957630-2}}. ''[http://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=AHRF_384_0199 Comptes rendus », Annales historiques de la Révolution française 2/2016 (n° 384)]'', p. 199-263, , Éditeur : Armand Colin, ISBN : 9782200930264. == 1799. Mort du chevalier de Saint-George == [[Fichier:The St. George's Guard.png|100px|vignette|gauche]] [[File:Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637.png|100 px|vignette|gauche|Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637.]] * The St. George's Guard [https://archive.org/stream/schoolsandmaste00castgoog#page/n279/mode/2up Schools and masters of fence, from the Middle Ages to the eighteenth century]. [http://www.ingenious.org.uk/site.asp?s=S2&DCID=10436446 1810]. [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hwr7nr;view=1up;seq=387 Fig. 136.—The St. George's Guard, page 309] [[Fichier:Monnais.- Éphémérides universelles, 1834.png|100px|vignette|gauche]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Édouard | nom1 = Monnais | prénom2 = A.V. | nom2 = Arnauld | lien auteur1 = w:Édouard Monnais | lien auteur2 = | titre = Éphémérides universelles | sous-titre = ou, Tableau religieux, politique, littéraire, scientifique et anecdotique, présentant, pour chaque jour de l’année, un extrait des annales de toutes les nations et de tous les siècles, depuis les temps historiques jusqu'à nos jours | lien titre = | numéro d'édition = Deuxième | éditeur = Corby, Libraire-Éditeur | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1834 en musique classique|1834]] | mois = Juin | volume = Sixième | tome = | pages totales = 530 | passage = 241 | dnb = 410177295 | isbn = 1-57647-109-8 | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC&lpg=PA241&ots=6c_wEjB122&dq=1%20799.%20Mort%20du%20chevalier%20de%20Saint-George.%20Ce%20mul%C3%A2tre%20si%20fameux%20par%20son%20habileté%20prodigieuse%20dans%20tous%20lès%20exercices%20du%20corps%20et%20dans%20ce%20qu'on%20appelle%20les%20arts%20d’agrément%20%2B%20%C3%89phémérides%20universelles%2C%20ou%20tableau%20religieux&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q&f=false | consulté le = 23 août 2015 | présentation en ligne = http://catalog.hathitrust.org/Record/012295706 | commentaire = [https://www.google.fr/search?q=+le+fermier+général%2C+M.+de+Boulogne&btnG=Chercher+des+livres&tbm=bks&tbo=1&hl=fr#hl=fr&tbm=bks&q=%22le+fermier+général%2C+M.+de+Boulogne%22 "le fermier général, M. de Boulogne"] in Éphémérides universelles: ou, Tableau religieux... | id = }} * '''12 juin 1799'''. "Ce mulâtre si fameux par son habileté prodigieuse dans tous les exercices du corps et dans ce qu'on appelle les arts d’agrément, était né en 1745, à la Guadeloupe, et avait pour père le fermier général, M. de Boulogne, qui l’amena fort jeune en France. Destiné à y vivre au milieu d’une noblesse hautaine, un instinct secret dut lui apprendre qu’il aurait à essuyer, par rapport à la couleur de sa peau, des dédains, des bravades, et il se pourvut de moyens efficaces pour imposer aux fanfarons. Sans négliger de plus sérieuses études, il mit si bien à profit les leçons de La Boëssière, fameux maître d’escrime, chez lequel il était entré comme pensionnaire à l'âge de treize ans, qu'en peu d’années il devint le plus fort tireur de la salle la plus célèbre à cette époque. À mesure que l'âge développait sa taille avantageuse, sa force et son agilité plus qu'ordinaires, Saint-George acquérait une égale supériorité dans tous les autres -exercices : "Personne ne pouvait l’atteindre à la course ; il dansait avec un agrément merveilleux, montait à cru les chevaux les plus difficiles ; et l'hiver, quand la glace fermait les rivières, c’était un passe-temps pour la haute société que d’aller voir patiner Saint-George, tant il avait perfectionné un art si frivole ; enfin, dans un concert, nul ne le surpassait sur le violon... ; son aptitude pour la musique était telle, qu’il exécutait parfaitement un air avec son fouet<ref>Biographie universelle</ref>. » :On conçoit quels durent être les succès d’un cavalier si accompli : des grâces, un esprit vif et cultivé, des manières du meilleur ton, un air doux, que ne démentait pas son excellent caractère, joints à tant d’autres avantages, faisaient aisément oublier, dans les boudoirs, et les cheveux crépus et la peau plus que basanée du beau créole, dont le teint était plus foncé que ne l’est ordinairement celui des mulâtres. :D’abord mousquetaire, puis écuyer de madame de Montesson, et ensuite capitaine des gardes du duc de Chartres, Saint-George, lorsque la révolution éclata, se trouva, par suite de sa position, mêlé à toutes les intrigues dont le Palais-Royal était le foyer. On assure que ce fut sur les ordres secrets du duc d’Orléans, qu'au mois de juin 1791, il se rendit à Tournai, sous prétexte d’y donner un concert aux amateurs, mais effectivement pour tenter de conquérir au parti de son patron, les émigrés qui se trouvaient en cette ville. Quoi qu’il en soit, loin de l’accueillir, ceux-ci l’econduisirent outrageusement, et il s’en retourna sans montrer la moindre humeur, mais bien décidé à soutenir ouvertement la cause contre laquelle ses offenseurs étaient armés. Lorsqu'en 1792 les Prussiens envahirent le sol de la France, Saint-George fit des prodiges de valeur, à la tête d’un corps de cavalerie qu’il avait levé et conduit, en qualité de colonel, à l’armée du Nord. Dans cette mémorable campagne, il servait sous les ordres de Dumouriez, dont il fut des premiers à dénoncer la défection. Son patriotisme ne le préserva pas des persécutions ordonnées par les tyrans de la France au nom de la liberté. Arrêté à Paris et incarcéré comme suspect pendant le règne de la terreur, il fut, comme tant d’autres, rendu à la liberté par la chute de Robespierre (voy. 27 Ju1llet 1794) , mais depuis lors il cessa de prendre part aux affaires publiques. Une maladie de vessie, dont le traitement l’eût astreint à un régime sévère, et que pour cette raison il négligea totalement, l’enleva, le 12 juin 1799, après de longues souffrances. :Saint-George avait composé les partitions de plusieurs opéras comiques qui n’ont pas eu de succès : les connaisseurs de l'époque en louèrent le caractère gracieux et délicat; mais le manque de caractère et de variété s’y faisait trop sentir. C’est aussi ce qu'on peut reprocher aux concertos qu’il a écrits et qui toutefois eurent dans le temps un succès de vogue. Le menuet qui porte son nom, autrefois si goûté, ne se trouve plus que dans les anciennes méthodes d’instrumens. On raconte que le virtuose créole s'étant présenté, en 1776, à la tête de quelques capitalistes<ref>1793 - {{bibliographie|Q91920522}}</ref>, pour l’entreprise de l’Académie royale de musique, qu'alors il était question de confier à une régie, plusieurs des principales actrices, les Arnould, les Guimard et autres, se hâtèrent de représenter à la reine, dans un placet, que leur honneur et leurs priviléges ne leur permettaient pas d’être soumises à la direction d’un mulâtre. Par suite de cette réclamation, on rejeta les propositions de Saint-George". ''P. De Chamrobert'' in [https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC&lpg=PA241&ots=6c_wEjB122&dq=1%20799.%20Mort%20du%20chevalier%20de%20Saint-George.%20Ce%20mul%C3%A2tre%20si%20fameux%20par%20son%20habileté%20prodigieuse%20dans%20tous%20lès%20exercices%20du%20corps%20et%20dans%20ce%20qu'on%20appelle%20les%20arts%20d’agrément%20%2B%20%C3%89phémérides%20universelles%2C%20ou%20tableau%20religieux&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q&f=false Éphémérides universelles], ou tableau religieux, politique, littéraire, scientifique et anecdotique, présentant pour chaque jour de l’année un extrait des annales de toutes les nations et de tous les siècles A.V. Arnauld, Monnais, Éditeur Corbiz, 1834. * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Marie-Nicolas | nom1 = Bouillet (1798-1865) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Marie-Nicolas Bouillet | lien auteur2 = | titre = Dictionnaire universel d'histoire et de géographie | sous-titre = dit Le Bouillet | lien titre = w:Référence:Dictionnaire universel d'histoire et de géographie (Bouillet et Chassang) | numéro d'édition = | éditeur = Louis Hachette et Cie | collection = | lien éditeur = w:Louis Hachette | lieu = | année = [[w:1842 en musique classique|1842]] | mois = | volume = [https://books.google.fr/books?id=Xy4xkMfK0hwC&hl=fr&pg=PA865#v=onepage&q&f=false (IAKO) (z)‎] | tome = | pages totales = 1924 | passage = 1562 : SAINT-GEORGE (le chevalier De), homme de couleur, était né en 1745 à la Guadeloupe, du commerce d’un riche colon avec une négresse. Son père, devenu fermier-général, l’amena jeune en France et le fit entrer dans les mousquetaires ; il devint ensuite capitaine des gardes du duc de Chartres (duc d’Orléans). Il se montra favorable à la révolution et servit avec distinction sous Dumouriez ; il n’en fut pas moins arrêté comme suspect en 1794 ; le 9 thermidor lui rendit la liberté. Il mourut en 1801. Le chevalier de Saint-George, d’une taille et d’une figure avantageuses, excellait dans tous les arts d’agrément. Il était bon musicien, et s'était surtout fait de la réputation par son talent pour l’escrime. | dnb = 33987017d | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=Xy4xkMfK0hwC&dq=Mort%20du%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA1562#v=onepage&q=Mort%20du%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false | consulté le = 23 août 2015 | présentation en ligne = http://www.worldcat.org/title/dictionnaire-universel-dhistoire-et-de-geographie-etc/oclc/558091980/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= | commentaire = [[s:Dictionnaire universel d’histoire et de géographie|Dictionnaire universel d’histoire et de géographie]] sur Wikisource | id = }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Banat | prénom2 = Gabriel Banat | nom2 = | lien auteur1 = w:en:Gabriel Banat | lien auteur2 = | titre = The Chevalier de Saint-Georges | sous-titre = Virtuoso of the Sword and the Bow | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Pendragon Press | collection = Numéro 7 de Lives in music series | lien éditeur = w:en:Pendragon Press | lieu = Hillsdale, New York | année = [[w:2006 en musique classique|2006]] | mois = mars | volume = | tome = | pages totales = 566 | passage = | dnb = 410177295 | isbn = 978-1576471098 | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=Yy9JgZQQ9XQC&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false | consulté le = | présentation en ligne = http://www.pendragonpress.com/book.php?id=583 | commentaire = | id = }} '''Bibliographie''' * 1898 - {{bibliographie|Q110966096}} <!-- L'escrime à travers les âges --> == Œuvres du Chevalier de Saint-George == * [http://imslp.org/wiki/Category:Saint-Georges, _Joseph_Bologne Category:Saint-Georges, Joseph Bologne] * [http://imslp.org/wiki/List_of_works_by_Joseph_Bologne_Saint-Georges List of works by Joseph Bologne Saint-Georges] * "Monsieur Solers a acquis les mêmes droits à la satisfaction publique par le concerto de clarinette qu’il a excuté, & qui a ét composé par M. de Saint-George. [https://books.google.fr/books?id=2wlKAQAAMAAJ&lpg=PA1602&ots=aDjBD3q2_j&dq=catalogue%20de%20la%20musique%20de%20monsieur%20le%20comte%20d’Ogny&hl=fr&pg=PA1822#v=onepage&q=George&f=false Almanach musical], Minkoff Reprints, 1783. == Saint Georges, héros, Guerres, sports, Nations & nationalismes == * 1992 - Eric John Hobsbawm.- Nations et nationalisme depuis 1780 : programme, mythe, réalité], Gallimard, 1992, 247 pages, {{Google|7z0SAQAAMAAJ&q}} * Stéphane Beaud.- [https://books.google.fr/books?id=-MMd2wZ_BX4C&pg=PT12&dq=inauthor:%22Stéphane+BEAUD%22+%2B+Tra%C3%AEtres+%C3%A0+la+nation+?&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiW6ZjS2e3NAhXJChoKHe4EDjAQ6AEIJTAA#v=onepage&q=inauthor%3A%22Stéphane%20BEAUD%22%20%2B%20Tra%C3%AEtres%20%C3%A0%20la%20nation%20%3F&f=false Traîtres à la nation ? : Un autre regard sur la grève des Bleus en Afrique du Sud], La Découverte, 11 août 2011, 200 pages. * 2016 - William Gasparini (sociologue), Le Monde.- [http://www.lemonde.fr/idees/article/2016/07/11/le-football-ou-l-illusion-de-la-survivance-des-etats-nations_4967723_3232.html#yjF5KTHXauJwwiwO.99 Le football ou l’illusion de la survivance des Etats-nations], 11.07.2016. == Coeuret de Saint-Georges (HL) == * 1826 - Coeuret de Saint-Georges.- Eloge funèbre prononcée à la Conférence des Avocats de Paris, le 12 décembre 1826, A la Mémoire de Jourdan (Athanase-Jean-Léger), avocat à la Cour royale de Paris, décédé le 27 août 1826, à Déal, près Douvres, 7 pages, imprimerie de A. Henry, 1826, [https://books.google.com/books?id=hS9FQwAACAAJ Google livres]. * 1830 - Coeuret de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 14 janvier 1830, par M. Coeuret de Saint-Georges, avocat, sur la tombe de M. Afforty, son confrère, Imprimerie de Pihan-Delaforest, Paris, (s. d.), {{BNF|cb30254292r}}. * 1841.- Coeuret de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 31 mai 1841, au cimetière Montmartre, sur la tombe du colonel Raucourt, Imprimerie de Beaulé, Paris, 1841, {{BNF|302542933}}. * 1842 - Mollière-Laboulay, Stinville, Ve Sévalle, ''(Signataires)''.- Note collective pour MM. les propriétaires des terrains compris dans le périmètre de la Nouvelle Force, ''Quartier des Quinze-Vingts'', contre M. le préfet de la Seine, agissant dans l’intérêt du département de la Seine - Note concernant la propriété Coeuret de Saint-Georges, (que son propriétaire estime à 144.000 fr.), n ° 24 du plan), présenté devant le jury d’expropriation, Séance du lundi 4 juillet 1842, Imprimerie Beaulé, Paris, 1842, {{BNF|36809008h}}. * 1822 - Coeuret de Saint-Georges.- Principes de logique ou art de penser, de rhétorique, de versification, de lecture à haute-voix et de déclamation, Audot, Paris, 1822, {{BNF|30254294f}}. == Alexandre-Pierre-Thomas-Amable Marie de Saint-Georges (1795-1870) == * Alexandre-Pierre-Thomas-Amable Marie de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 7 août 1842 sur la tombe de M. Coeuret de Saint-Georges ''(Coeuret de Saint-Georges (HL)'', Imprimerie de Maulde et Renou, Paris, (1842), {{BNF|30884352f}}. == Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges (1799-1875) == Louis Paul Randon de Lucenay, père de M. le marquis de Saint-Georges (Henri Vernoy) & M. le comte de Saint-Georges, ancien préfet des Deux Sèvres, directeur de l'Imprimerie impériale * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96154897/f446.item.r=George Volume I : Recherche George] p.435 faisait appeler le chevalier de Saint-Georges p.441 parmi ceux-ci se trouvait le chevalier de Saint-Georges, roi titulaire de la Grande-Bretagne * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96213235/f161.item.r=George Volume II : : Recherche George] p.545 1771. — 16 avril: De Vatry (Georges), lieu04 tenant dans Royal-Bavière p.200 Louis-Georges Erasme, marquis de Contades p.229 convention de Closter Severn, que Georges II, comme électeur de Hanovre, viola honteusement p.343 1773, marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre p.223 223 réduisait successivement les forts Ontario (i), Oswego et Saint-Georges, où il trouvait cent vingt et une pièces de canon, quatorze mortiers, sept bâtiments montés de dix-huit à huit canons ou mortiers, et deux cents bateaux dont les équipages furent compris dans la capitulation p.517 Georges, dont il a été parlé page 385 p.399 du Petit-Thouars (Yves-Suzanne-Georges )j capitaine-commandant au régiment du Roi-Infanterie p.282 de Menou (Georges), des grenadiers royaux de d'Ailly(...) p.422 de Saint-Georges, commandant p.425 de Saint - Georges, chasseur noble p.314 1761, marquis de Saint-Georges, baron de p.424 le chevalier de Menou (Georges-PierreConstantin) , et de Montalembert (Pierre), cavaliers nobles(...)de Saint-Georges (Louis-Joseph Arcouet), lieutenant(...)le vicomte de Saint-Georges, cavalier noble(...) p.385 1785. — De Lucenay (Louis-Paul Randon)(i), (1) Grand-père maternel du marquis de Saint-Georges, officier de la Légion d'honneur, commandeur de l'ordre du Chêne, des Pays-Bas(...)dramatiques les plus distingués, et du comte de Saint-Georges, ancien préfet, directeur de l'imprimerie impériale p.83 l'électeur de Mayence obtenait aussi des subsides, et, enfin, parmi les pensionnaires de l'Angleterre on trouvait l'électeur de Cologne, frère de l'empereur Charles VII, qui, pour 22,000 livres sterling, permettait à Georges II de lever p.294 de Belaistre, chevalier d'Egminières, d'Harneder, de la Baume, La Chaise, de Saint-Georges, Goulon, Pastournay, Garabel de Villeneuve, du régiment de Champagne p.321 1761, de Menou (Georges), capitaine réf'o r ni é à l a s u i te d es g rena d i ers r oyau x d e d ' Ai 11 y(...) p.94 Ces difficultés n'effrayèrent pas le frère de Georges II p.558 Comte de Saint-Georges p.420 de Cacqueray (Charles-Georges), lieutenant de vaisseau(...) p.227 on était impatient d'écraser dans une seule campagne l'électeur de Hanovre (Georges II, d'Angleterre) et le roi de Prusse, qu'on n'appelait par dérision que le marquis de Brandebourg p.289 Le roi Georges lit reconnut la justice de cette récla p.70 de cesser son feu lorsque le due de Gramont eut commis la faute de se porter à l'encontre des troupes de Georges II, puisque ses boulets seraient venus tomber dans les rangs des Français, Le lieutenant(...) p.155 L'Invincible, capitaine de Saint-Georges, n'amena(...) p.66 Georges II, accompagné de son fils le duc de Cumberland, se proposait d'opérer sa jonction avec le généralissime de Marie-Thérèse, et de franchir ensemble le Rhin pour marcher à la conquête de la France p.67 Le maréchai de Noailles franchit le Rhin à Mayence, à la tête de cinquante-cinq mille combattants, et vint prendre position devant le Meifi, dans le but de disputer le passage de cette rivière à Georges II et d'empêcher sa réunion avec le prince Charles de Lorraine p.68 L'armée britannique courait risque de s'abîmer dans ces gorges, et l'on avait lieu d'espérer de venger sur la personne de Georges II les malheurs essuyés par le roi Jean dans les champs de Poitiers p.69 Georges II, jaloux de constater un succès inespéré, demeura plusieurs heures sur le champ de bataille === [https://books.google.fr/books?id=KYPds_kwCDAC&pg=PA115&dq=Histoire+de+l%27ordre+royal+et+Militaire+de+Saint-Louis+depuis+son+institution+en+1693+jusqu%27en+1830+%2B+Saint-George&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Histoire%20de%20l%27ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu%27en%201830%20%2B%20Saint-George&f=false Saint-Georges] === [https://books.google.fr/books?id=6JRPAAAAYAAJ&dq=Gaudin%20de%20Beaumont%2C%20Fran%C3%A7ois%20%2B%20Gros-Morne%20%2B%20Martinique&hl=fr&pg=PA388#v=onepage&q=Gaudin%20de%20Beaumont,%20Fran%C3%A7ois%20+%20Gros-Morne%20+%20Martinique&f=false Louis Paul Randon de Lucenay], Né le 6 septembre 1713, place Louis le-Grand (aujourd'hui place Vendôme), fils de Messire Hélie Randon, écuver, seigneur de Massane, Hanneucourt, Gargenville, Rangiport, etc., et de dame Marie-Louise de Pons, son épouse. (Extrait de baptême de M. de Randon de Lucenay.) — Mousquetaire, première compagnie en 1764, capitaine au régiment Royal Lorraine-cavalerie en 1765 ; a abandonné en 1769 pour prendre une charge de maréchal général des logis des camps et armées du roi. — Rang de mestre de camp de cavalerie en 1770. — A été employé en cette qualité dans l'état-major, aux ordres de M. de Bourcet, jusqu'en 1773, époque à laquelle il a vendu sa charge à M. de Roissy, et est resté attaché en qualité de mestre de camp à la cavalerie par ordre du 24 octobre même année ; a les vingt ans de services qu'il lui faut ; ont été révolus le 28 avril 1785 ; est âgé de quarante-deux ans. (Mémoire de proprosition pour la croix de Saint-Louis en faveur de M. Randon de Lucenay, adressé au ministre de la Guerre par le baron de Besenval.) — Lettre de M. île Montoynard, ministre de la Guerre, datée de Fontainebleau le 26 octobre 1773, annonçant à M. de Lucemy que le roi a accepté sa démission de maréchal général des logis en faveur de M. de Roissy, que Sa Majesté le conserve à son service comme mestre de camp, et qu'elle lui accordera la croix de Saint-Louis à son rang.—Maréchal de camp le 1ermars 1791. (Dossier de M. Randon'de Lucenay, archives de la Guerre.) — Marquis de Lucenay. (Titres de la famille.)—M. deLucenay est le grand-père du côté maternel de [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96213235/f161.item.r=George M. le marquis de Saint-Georges (Henri Vernoy)], officier de la Légion d'honneur, commandeur de l'ordre du Chêne (des Pays-Bas), chevalier de l'Étoile (des Pays-Bas, plaque et cordon), chevalier de première classe de l'ordre royal et distingué de Charles lit (d'Espagne), l'un de nos auteurs dramatiques les plus renommés; et de M. le comte de Saint-Georges, ancien préfet des Deux Sèvres, directeur de l'Imprimerie impériale, commandeur de la Légion d'honneur et de l'ordre religieux et militaire de Notre-Dame de la Conception (de Portugal). — Les Vernoy étaient, avant la révolution de 1789, seigneurs de Moutjournal, de Mirejon, de Saint Georges, de Beauverger, de Benuvais, etc. (châtellenics de Moulins et de Billy). [https://books.google.fr/books?id=KYPds_kwCDAC&pg=PA115&dq=Histoire+de+l%27ordre+royal+et+Militaire+de+Saint-Louis+depuis+son+institution+en+1693+jusqu%27en+1830+%2B+Saint-George&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Saint-Georges&f=false 1785 - De Lucenay Louis Paul Randon] - Grand père maternel du marquis de Saint Georges officier de la Légion d honneur commandeur de l ordre du Chêne des Pays Bas chevalier de l Etoile des Pays Bas plaque et cordon chevalier de première classe de Charles III d Espagne l'un de nos auteurs dramatiques les plus distingués et du comte de Saint Georges ancien préfet directeur de l'imprimerie impériale. [https://books.google.fr/books?id=q5pDAAAAcAAJ&dq=Histoire%20de%20l'ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu'en%201830%20%2B%20Saint-George&hl=fr&pg=RA1-PT843#v=onepage&q=Histoire%20de%20l'ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu'en%201830%20+%20Saint-George&f=false Manuel du libraire et de l'amateur de livres:, Volume 6] Ordre de Saint-George et du Mérite militaire, 1833 {{Autres projets | w= Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | s= Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | commons = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | wikiquote titre = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | wikt = | wikidata titre = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges }} * 1859 {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jacques | nom1 = Reynaud (1804-1872) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Comtesse Dash | lien auteur2 = | titre = Portraits contemporains | sous-titre = | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Amyot | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1859 en littérature|1859]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 36405711p | isbn = | oclc = 755735690 | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/ReynaudPortraitsComtemporains | consulté le = 12 décembre 2015 | présentation en ligne = http://bibliotheque.bordeaux.fr/in/faces/details.xhtml?id=mgroup%3Ap+unimarcbmb_868459&mozQuirk=%D0%B6&highlight=Auteur:%22Reynaud%20,%20Jacques%22&posInPage=4&bookmark=7ff52b66-4231-4625-b418-308142b2abe4&queryid=f001227e-2863-404a-b8bf-78dc6c3d4715 | commentaire = Jacques Reynaud, ou [[s:Comtesse Dash|Comtesse Dash]] est le pseudonyme de ''Anne-Gabrielle de Cisternes de Courtiras Vicontesse de Poilloüe de Saint-Mars''. Son ouvrage ''Portraits contemporains'' est une suite de Biographies d’auteurs du {{S|XIX}} dont un de [[w:Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges|Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges]], (1799-1875), sous le titre ''M. de Saint-Georges'', {{p.|49-60}} | id = }} == Henri de Saint-Georges (1801-1864) == Henri de Saint-Georges (1801-1864).- Notice historique sur le musée de peinture de Nantes : d’après des documents officiels et inédits, A. Guéraud (Nantes) et A. Aubry (Paris), 1858, {{BNF|31281006t}}, [https://archive.org/search.php?query=Notice%20historique%20sur%20le%20musée%20de%20peinture%20de%20Nantes Internet Archive]. == George Saint-George (8 novembre 1841 — 5 janvier 1924), compositeur == [http://imslp.org/wiki/Category:Saint-George, _George Category:Saint-George, George] == Salaire & Salariat == ==== Salariat ==== {{Citation bloc|"Att. ds Ac. 1935. Étymol. et Hist. [Ca 1836 (d'apr. Mat. Louis-Philippe, p. 41)] 1. 1845-46 « état, condition de salarié » (Besch.); 1846 (Proudhon, Syst. contrad. écon., t. 1, p. 148); 2. 1846 « ensemble des salariés » (Id., ibid., p. 236); 3. 1869 « mode de rémunération par le salaire » (L. A. Blanqui, Critique sociale, p. 167 ds Dub. Pol., p. 414). Dér. de salarié*; suff. -at*. Fréq. abs. littér.: 10".|Cnrtl<ref>[http://www.cnrtl.fr/definition/Salariat Cnrtl]</ref>.}} * 2016 - Maurice Tournier, « [http://mots.revues.org/19889 Mots et politique, avant et autour de 1980 Entretien] », Mots. Les langages du politique [Online], 94 | 2010, Online since 06 November 2012, connection on 12 July 2016. * 1976 - Maurice Tournier.- Un vocabulaire ouvrier en 1848, essai de lexicométrie, thèse. [http://www.sudoc.fr/006881483 Sudoc]. == Sainte-Marthe (personnel colonial ancien) == === de Sainte-Marthe (Gouverneur de Cayenne) === de Sainte-Marthe # 1682-1687 - Sainte-Marthe, de, [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/up424oiojhor.num=20.referer=nominatif.persname_authfilenumber=20036.form=complexe gouverneur de Cayenne 1682-1687], cité en 1682-1687, [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Personnel colonial ancien (Série E, XVIIe-XVIIIe)] === Antoine André de Sainte-Marthe de Lalande (Gouverneur de la Martinique) === Antoine André de Sainte-Marthe de Lalande (c.1615-1679), gouverneur de la Martinique en 1672 # [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/up424oiojhor.num=20.referer=nominatif.persname_authfilenumber=20036 Gouverneur de la Martinique en 1672], [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Actes du pouvoir souverain (Série A, 1628-1779)] # [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Personnel colonial ancien (Série E, XVIIe-XVIIIe)] == Savant == * 1919 - Max Weber.- [http://classiques.uqac.ca/classiques/Weber/savant_politique/Le_savant.pdf Le savant et le politique] == Sociétés savantes == * 2021 - {{bibliographie|Q106489112}} <!-- Marta Severo et Emma Filipponi, Les sociétés savantes face aux sciences participatives --> == Maurice (Maréchal) de Saxe (1696-1750) == * [[d:Q76723|Maurice de Saxe]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen|Maurice (Maréchal) de Saxe (1696-1750)]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen#Les Africains dans les armées du Maréchal de Saxe|Les Africains dans les armées du Maréchal de Saxe]] == Longvilliers == * [http://www.openstreetmap.org/#map=13/48.5780/1.9967 Village Longvilliers, Rambouillet, Yvelines, Ile-de-France, 78730], France * [http://www.openstreetmap.org/#map=13/50.5339/1.7406 Village Longvilliers, Montreuil, Pas-de-Calais, Nord-Pas-de-Calais and Picardy, 62630], France == Victor Schœlcher == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1804-1893_-_L'œuvre_de_Victor_Schœlcher_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1893 - L'œuvre de Victor Schœlcher sous l'angle de l'esclavage]] == Sciences == * Sylvain Rakotoarison.- [http://www.agoravox.fr/culture-loisirs/culture/article/karl-popper-1902-1994-la-156881 Karl Popper (1902-1994) : la réfutabilité, critère de la scientificité], agoravox.fr, mercredi 17 septembre 2014. === Sciences Humaines & Sociales === Voir : Epistémologie, Géohistoire, Histoire, Humanités numériques, Sociologie, Philosophie == Sénégal == === Voyages au Sénégal === * 1802 - {{Bibliographie|Q26260698}} * 1802 & 1975 - {{Bibliographie|Q26260709}} ** [[s:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785|Wikisource]], {{BNF|345801461}}, [https://books.google.fr/books?id=esMvAVaOlHEC&hl=fr&pg=PR3#v=onepage&q&f=false Google], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k852320/f3.imageLire en ligne]. ** Cf. [[s:Discussion:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785|Discussion:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785]]. ** [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=André+Charles+de+Lajaille&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Notices bibliographiques BnF André Charles de Lajaille] * 1802 - {{Bibliographie|Q26260924}} * 1802 - {{Bibliographie|Q26260935}} * 1807 - Jean-Baptiste-Léonard Durand.- Voyage au Sénégal, ou Mémoires historiques, philosophiques et politiques sur les découvertes, les établissements et le commerce des européens dans les mers de l'Océan Atlantique, depuis le Cap-Blanc jusqu'à la rivière de Serra-Lionne inclusivement, Dentu, 1807 * Jean-Baptiste-Léonard Durand.- Voyage au Sénégal fait dans les années 1785 et 1786, Volume 1, [https://books.google.fr/books?id=8Ta7jc2c_OEC&dq=Voyage%20au%20Sénégal&hl=fr&pg=PP7#v=onepage&q=Voyage%20au%20Sénégal&f=false Google] ** Jean Baptiste Léonard Durand.- Illustrations de Atlas pour servir au voyage du Sénégal, ou Mémoires historiques, philosophiques et politiques sur les découvertes, les établissements et le commerce des européens dans les mers de l'Océan Atlantique, depuis le Cap-Blanc jusqu'à la rivière de Serra-Lionne inclusivement, {{BNF|38495428q}}, [https://books.google.fr/books?id=ggxXywAACAAJ&dq=inauthor:%22Jean+Baptiste+Léonard+Durand%22&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_zsn9k7nOAhVDvBoKHZ8XBHEQ6AEIMDAD Google (sans texte)], [https://books.google.fr/books?id=vKa-o4bJwz4C&dq=inauthor%3A%22Jean%20Baptiste%20Léonard%20Durand%22&hl=fr&pg=PP7#v=onepage&q&f=false Google, Tome deuxième, Atlas de 44 planches], [https://books.google.fr/books?id=SPEL7WABQQAC&dq=inauthor%3A%22Jean%20Baptiste%20Léonard%20Durand%22&hl=fr&pg=PP17#v=onepage&q&f=false Tome second, An X, Chez Agasse], ** Jean Baptiste Léonard Durand.- Atlas pour servir au Voyage du Sénégal, Dentu, 1807, 67 pages, [https://books.google.fr/books?id=QQFCAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PR2#v=onepage&q&f=fals*e Google]. * [https://www.google.fr/search?hl=fr&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Jean+Baptiste+Léonard+Durand%22 Traduction en allemand et en anglais]. * 1946 - Sander Rang.- [https://books.google.fr/books?id=uQUYAAAAIAAJ&q=Voyage+au+Sénégal&dq=Voyage+au+Sénégal&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwin5MGdprnOAhXI1xoKHZO9CxUQ6AEIRzAD Voyage au Sénégal: Naufrage de "La Méduse"], Éditions E.P.I., 1946 - 118 pages * Michel Adanson.- [https://books.google.fr/books?id=0PoRAAAAYAAJ A Voyage to Senegal: The Isle of Goreé, and the River Gambia], 1759 * 1818 - Jean Baptiste Henri Savigny, ‎Alexandre Corréard.- [https://books.google.fr/books?id=08w9AAAAYAAJ Narrative of a Voyage to Senegal in 1816]: Undertaken by Order of the French Government, Comprising an Account of the Shipwreck of the Medusa, the Sufferings of the Crew, and the Various Occurrences on Board the Raft, in the Desert of Zaara, at St. Louis, and at the Camp of Daccard. To which are Subjoined Observations Respecting the Agriculture of the Western Coast of Africa, from Cape Blanco to the Mouth of the Gambia, H. Colburn, 1818, 360 pages. * 1820 - Gaspard-Théodore Mollien.- [https://books.google.fr/books?id=XJlr49Xtr8sC Voyage dans l'intérieur de l'Afrique, aux sources de Sénégal et de la Gambie fait en 1818, Tome premier], Veuve Courcier, 1820. ** 1889 - {{Bibliographie|Q26260576}} == 1870 - Siège de Paris == === Bibliographie === * 1873 - {{bibliographie|Q81808585}} <!-- Juliette Adam, Le siège de Paris --> * 1896 - {{bibliographie|Q52338884}} <!-- 1896 - Auguste Lacaussade, Le Siège de Paris --> == Société des amis de la constitution monarchique. France, 1789- == * Data.bnf : [http://data.bnf.fr/13326793/societe_des_amis_de_la_constitution_monarchique_france/ Société des amis de la constitution monarchique. France] == Société des amis de la liberté et de l'égalité == * Garrau, Pierre-Anselme .- [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6258892jSociété des amis de la liberté et de l'égalité aux amis de la République séant à Sainte-Foi]. [1er mars 1793. * Société des amis de la Constitution.- [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6310093v/f7.item.zoom Lettre de la Société des amis de la liberté et de l'égalité]..., Impr. des sans-culottes, Paris, 1794 * Société des amis de la liberté et de l'égalité. La Cadière-d'Azur, Var. Saint-Cyr-sur-Mer, Var in the data.bnf.fr Labs pages * Joseph Combet.- [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb41083212jLa Société "républiquaine" de San-Céris-la-Cadière, Var], ([http://data.bnf.fr/atelier/15597847/societe_des_amis_de_la_liberte_et_de_l_egalite_la_cadiere-d_azur__var__saint-cyr-sur-mer__var/ 1789-1795]), Éd. de "La Revue des lettres et des arts", Nice, 1908 == Société de cour == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Gérard Noiriel, France Culture|titre= Qu'est-ce qu'une société de cour ? Le Pourquoi du comment : histoire|url= https://www.franceculture.fr/emissions/le-pourquoi-du-comment-histoire/qu-est-ce-qu-une-societe-de-cour|date= |site= franceculture.fr|consulté le= 24 novembre 2021}} == Société française pour l'abolition de l'esclavage == * [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]] * 1837 - {{bibliographie|Q19232248}} == Société civile == [[Fichier:Jean-Jacques Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet.png|100px|vignette|gauche|Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet...]] {{citation bloc|Mais si le Législateur, se trompant dans son objet, prend un principe différent de celui qui nait de la nature des choses, que l’un tende à la servitude & l’autre à la liberté, l’un aux richesses l’autre à la population, l’un à la paix l’autre aux conquêtes, on verra les loix s’affaiblír insensiblement, la constitution s’altérer, & l’État ne cessera d’être agité jusqu’à ce qu’il soit détruit ou changé, & que l’invincíble nature ait repris son empire.|Jean-Jacques Rousseau.- Du contrat social<ref>{{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=Jean-Jacques Rousseau |année =1762 |éditeur=Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}}</ref>}} <pre> {{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=wikidata:Q6527|Jean-Jacques Rousseau |année =[[w:1762|1762]] |éditeur=wikidata:Q118082|Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}} </pre> * 1824 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].'' | commentaire = | id = }} {{citation bloc|Dans ce cas, l’ordre social fut inconnu de toute l’antiquité ; car on ne regardera pas, sans doute, comme un principe fondé sur la nature des choses, celui qui établit la Société civile sur l’esclavage des dix -neuf vingtièmes de la population, sur l’oppression de la plus grande partie de l’autre vingtième, et la domination de quelques familles privilégiées. Il y a là une telle violation de la morale et de la raison, qu’elle doit exciter l’indignation de tout être sensible et raisonnable.|Charles Ganilh, Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile, Paris, Bossange, 1824<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = | commentaire = | id = }}</ref>, [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].}} === Les sociétés pacifistes === == Société de la morale chrétienne == Cf: Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau === Société civile === [[Fichier:Jean-Jacques Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet.png|100px|vignette|gauche|Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet...]] {{citation bloc|Mais si le Législateur, se trompant dans son objet, prend un principe différent de celui qui nait de la nature des choses, que l’un tende à la servitude & l’autre à la liberté, l’un aux richesses l’autre à la population, l’un à la paix l’autre aux conquêtes, on verra les loix s’affaiblír insensiblement, la constitution s’altérer, & l’État ne cessera d’être agité jusqu’à ce qu’il soit détruit ou changé, & que l’invincíble nature ait repris son empire.|Jean-Jacques Rousseau.- Du contrat social<ref>{{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=Jean-Jacques Rousseau |année =1762 |éditeur=Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}}</ref>}} <pre> {{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=wikidata:Q6527|Jean-Jacques Rousseau |année =[[w:1762|1762]] |éditeur=wikidata:Q118082|Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}} </pre> * 1824 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].'' | commentaire = | id = }} {{citation bloc|Dans ce cas, l’ordre social fut inconnu de toute l’antiquité ; car on ne regardera pas, sans doute, comme un principe fondé sur la nature des choses, celui qui établit la Société civile sur l’esclavage des dix -neuf vingtièmes de la population, sur l’oppression de la plus grande partie de l’autre vingtième, et la domination de quelques familles privilégiées. Il y a là une telle violation de la morale et de la raison, qu’elle doit exciter l’indignation de tout être sensible et raisonnable.|Charles Ganilh, Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile, Paris, Bossange, 1824<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = | commentaire = | id = }}</ref>, [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].}} === Sociologie === Voir : constructivisme Auteurs vedettes : [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] === Sociologie === Voir : constructivisme Auteurs vedettes : [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] === Adam Smith (1723-1790) === [[Fichier:Wealth of Nations.jpg|100px|vignette|gauche]] {{Citation bloc|... je crois, généralement reconnue, que les planteurs français l’emportent sur les Anglais. La loi<ref>[[s:Code noir/1685|Louis XIV Édit du Roi, touchant l’État & la Diſcipline des Eſclaves Négres de l’Amérique Françaiſe, donné à Verſailles, au mois de Mars 1685]]</ref>, en tant qu’elle peut donner à l’esclave quelque faible protection contre la violence du maître, sera mieux exécutée dans une colonie où le gouvernement est en grande partie arbitraire, que dans une autre où il est totalement libre...|Adam Smith.- ''Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7|Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7''<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Adam | nom1 = Smith (1723-1790) | prénom2 = Germain | nom2 = Garnier, traducteur | prénom3 = Blanqui | nom3 = Adolphe, traducteur | prénom4 = Jean-Baptiste | nom4 = Say (1767-1832), Annotateur | lien auteur1 = w:Adam Smith | lien auteur2 = w:Germain Garnier | lien auteur3 = w:Adolphe Blanqui | lien auteur4 = w:Jean-Baptiste Say | titre = Des colonies | sous-titre = in Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations, livre IV, chap. VII, (première édition en 1776) | lien titre = s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7 | numéro d'édition = | éditeur = Guillaumin | collection = | lien éditeur = w:Guillaumin | lieu = Paris | année = [[w:1843|1843]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 31377302p | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = [[s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7|Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7]] | consulté le = 1{{er}} janvier 2016 | présentation en ligne = | commentaire = | id = frSmithRn1843 }}<br /> — Bibliographie : </ref>.}} == Soubise (Hôtel de) == * {{article | langue = fr | prénom1 = Jules | nom1 = Guiffrey | lien auteur1 = w:Jules Guiffrey (1840-1918) | prénom2 = Henry | nom2 = Havard | lien auteur2 = w:Henry Havard | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Palais Soubise | sous-titre = | périodique = La France artistique et monumentale, 6 volumes | lien périodique = http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34011334h/PUBLIC | éditeur = librairie illustrée | lieu = | série = | volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:1892 en musique classique|1892]]-[[w:1896 en musique classique|1896]] | pages = | dnb = 32205843p | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | résumé = | format = | url texte = https://archive.org/details/PalaisSoubise | doi = | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} == Souveraineté == === La notion de souveraineté politique === [[w:Souveraineté|Souveraineté]] & les [[w:Traités de Westphalie|Traité de Westphalie]] "<i>[http://www.guinee-plurielle.com/pages/34_La_souverainete_estelle_depassee_dans_le_monde_contemporain_-4156943.html La notion de Souveraineté a traditionnellement été définie grâce aux jalons posés par les Traités de Westphalie.<ref>Cf. [[w:Souveraineté#Souveraineté_westphalienne_ou_indépendance,_voir_interdépendance|Souveraineté westphalienne ou indépendance, voir interdépendance]]</ref> en 1648]</i>". Cf. Les mouvements des indépendances aux Amériques et les conceptions de la souveraineté == Sport == * [[w:Sport|Sport]] * Voir Fair-play == Sujets à discuter == === Jean Marie Théodat === * {{bibliographie|Q73524638}} === CTHS === La stratégie de la grève générale, CGT Arte : XXe siècle Le temps des ouvriers (3/4). Le temps à la chaîne, à 22:06 《L'émancipation des Travailleurs est l’œuvre des travailleurs eux-mêmes》, avant 1914. C'est à ce moment que l'on commence à penser que《L'émancipation des esclaves est l’œuvre des esclaves eux-mêmes》. {{Citation bloc|Ces divergences eurent pour conséquence la scission d’abord, la fin de l’A. I. T<ref>Association Internationale des Travailleurs</ref>. ensuite. Lorsque Marx parvint à se débarrasser de Bakounine en dominant complètement le Comité central, l’Association Internationale des Travailleurs, qui avait suscité tant d’espoirs, alla s’éteindre obscurément en Amérique, à New-York.<br> Néanmoins, son influence et son rôle furent énormes. En le dotant de cette formule : '''L’Émancipation des Travailleurs sera l’œuvre des Travailleurs eux-mêmes''', elle a imprimé au mouvement syndical son véritable caractère. En même temps qu’elle a précisé les aspirations et les idées du prolétariat, elle a défini le but final de ses efforts. Elle l’a aussi débarrassé de la gangue nationaliste. C’est un résultat qui compte.|Encyclopédie anarchiste, page 391<ref>Lire sur [https://fr.wikisource.org/wiki/Encyclop%C3%A9die_anarchiste/Conf%C3%A9d%C3%A9ration Encyclopédie anarchiste Wikisource]</ref>.}} Cf. [[w:Marion Fontaine|Marion Fontaine]], histoire politique et sociale et de l’histoire des mouvements ouvriers [https://www.worldcat.org/search?q=L%27Institut%2C+journal+universel+des+sciences+et+des+socie%CC%81te%CC%81s+savantes+en+France+et+a%CC%80+l%27e%CC%81tranger&qt=owc_search L'institut : journal universel des sciences et des sociétés savantes en France et à l'étranger] L'institut. Section 1: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, Volumes 23 à 25, Imprimerie nationale, 1858 : ACADÉMIE DES SCIENCES MORALES ET POLITIQUES MORALE [https://books.google.fr/books?id=tYw8AAAAcAAJ&newbks=1&newbks_redir=0&dq=L'%C3%A9mancipation%20des%20Travailleurs%20est%20l'oeuvre%20des%20travailleurs%20eux-m%C3%AAme&hl=fr&pg=RA4-PA100#v=onepage&q=L'%C3%A9mancipation%20des%20Travailleurs%20est%20l'oeuvre%20des%20travailleurs%20eux-m%C3%AAme&f=false Abolition de l'esclavage. M Augustin Cochin] a lu à l'Académie dans ces derniers temps un travail auquel donnent de l'actualité les agitations qui déchirent en ce moment la république des États Unis à cause de l'esclavage. Dans ce travail l'auteur s'est proposé d'examiner quels ont été les résultats de l'abolition de l'esclavage dans les colonies de l'Angleterre et de la France et cet examen le conduit à reconnaître que cette abolition n'a pas eu pour les colonies les conséquences désastreuses que certains esprits avaient redoutées. Ne pouvant suivre l'auteur dans les nombreux détails statistiques qui forment le fond de ce travail nous nous bornerons à en reproduire le préambule, quelques parties qui nous paraissent les plus importantes et les conclusions == Système colonial == [[w:Idéologie coloniale française|Idéologie coloniale française]], redirigé depuis "''Système colonial''" === Les penseurs du système colonial, 1ère mondialisation === 1727 - [[w:Alexandre Cazeau de Roumillac|Alexandre Cazeau de Roumillac]], né à Angoulème en 1727, mort à Londres en 1796. Economiste français, physiocrate, agronome, journaliste et publiciste, planteur dans les îles de Grenade, membre de la Société<br>Bibliographie sur ''[[data.BnF.fr|https://data.bnf.fr/11895417/alexandre_casaux/]]''. === Bibliographie (Système colonial) === *** 1848 - {{Bibliographie|Q61747038}} <!-- Alexandre Sandelin, Répertoire général d'économie politique, Système colonial --> 1791 - Alexandre Cazeau de Roumillac, Argumens pour et contre le commerce des colonies, Demonville, Paris, , traité d'économie du Système colonial de l'école physiocratique. == T == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter T.jpg|100px|vignette|centré]] === Tabac === * Frédéric Georges Cuvier.- Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Volume 21]. ** HERBE SAINTE. (Bot.) Dans la Flore du Pérou on trouve le cestrum auriculatum sous le nom vulgaire dîyerba sauta. Il a, été aussi donné au tabac, à cause de ses grandes vertus, suivant l’auteur du Dictionnaire économique. (J.) ** HERBE DE SAINTE-CROIX. (Bot.) On lit, dans l’HerIzario nuovo di Castors Durante, que le tabac fut nommé herba. sanctæ crucis à Rome, parce que Sancta Crucius Prosper, légat du pape en Portugal, fut le premier qui, à son retour, l’introd’uisit en Italie. Voyez HERBE A LA REINE. (J.) * Frédéric Georges Cuvier.- [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=QYo5AAAAcAAJ&dq=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 52]. ** Plusieurs entrées * Frédéric Georges Cuvier.- [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=829RAAAAcAAJ&dq=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20%2B%20HERBE%20A%20LA%20REINE&hl=fr&pg=PA538#v=onepage&q=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20+%20HERBE%20A%20LA%20REINE&f=false Volume 54] ** TORNABONA. (Bot.) Un des noms donnés au tabac à Pépoque de son introduction en Europe. Son nom latin nicotiana lui futdonné, parce que Nicot , ambassadeur en Poro tugal, Pintroduisit le premier en France sous le règne de Catherine de Médicis, qui en fit usage : ce qui le fit encore nommer herbe à la reine. En ltalie il fut prôné par Tornabonius, suivant Césalpin, d’où lui est venu le nom cité ici. (l) . * Marc Kirsch.- [http://lettre-cdf.revues.org/278 Génèse d’une épidémie], La lettre du Collège de France [En ligne], Hors-série 3 | 2010, mis en ligne le 24 juin 2010, consulté le 20 novembre 2015. * Garcia da Orta; Nicolás Monardes; Charles de L' Écluse; Antoine Colin.- Histoire des drogues, espiceries et de certains médicamens simples qui naissent ès Indes : et en l’Amérique, ceste matière comprise en six livres [de Garcie Du Jardin, Christophle de La Coste, Prosper Alpin et Nicolas Monard] dont il y en a cinq tirés du latin de Charles de L’Escluse, et l'histoire du baulme [de Prosper Alpin] adjoustée de nouveau... Le tout fidellement translaté en françois par Antoine Colin..., 1Lyon : J. Pillehotte, 1602 {{BNF|334184372}}, 1619 {{BNF|30961578q}}. == Table de marbre == * [[w:Table de marbre|Table de Marbre]] * Édit... portant rétablissement de la jurisdiction de la Table de Marbre à Paris... Acte royal. 1704-05-00. Versailles, Registré en Parlement le 20 may 1704, {{BNF|33829137c}} * Ordonnance des maréchaux et conétables de France pour la justice militaire, maréchaussée et juridiction du siège de la conétablie de France, à la table de marbre du palais, Acte. 1705-02-19. Paris, {{BNF|33706310k}} * Édit... portant création d'offices de lieutenans criminels, commissaires enquesteurs-examinateurs et garde-scels, conseillers, commissaires, assesseurs, avocats et procureurs du Roy, substituts, procureurs tiers-référendaires, controlleurs de dépens, procureurs postulans, premiers huissiers, huissiers audienciers et sergens dans toutes les amirautez du Royaume ; et règle la compétence desdits sièges... Registré en Parlement * Édit... portant création de lieutenans criminels et autres officiers dans les amirautez... Enregistré au Parlement le 26 août 1711. {{BNF|338322642}} * [http://www.archivesnationales.culture.gouv.fr/chan/chan/fonds/guideorientation/II-3-3-eauxetforets.htm Table de marbre au souverain. 1536-1790 ; Z1E 869 à 1120]. === Voltaire, Table de Marbre === [[w:Voltaire|Voltaire]] === Voltaire, Charles VII, Table de Marbre=== * [[w:Charles VII (roi de France)|Charles VII (roi de France)]] * [https://books.google.fr/books?id=hl5NAAAAcAAJ&pg=PA119-IA1&dq=Table+de+marbre+%2B+Voltaire&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwijg9XBjO7sAhVIcBQKHftGC7g4ChC7BTAHegQIAxAH#v=onepage&q&f=false Voltaire, Charles VII, Table de Marbre] == Talleyrand & l'abolition de l'esclavage == === Occurrences "Talleyrand,esclavage" === * 1903 - 2000 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1903&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * 1920 - 2000 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1920&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * 1918 - 1938 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1918&year_end=1938&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] === Occurrences 1500-2008 === * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2C+Espagne&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne%2C+guerre&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cguerre%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne,guerre] === Occurrences 1729-2008 === * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne%2Cguerre&year_start=1729&year_end=2018&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cguerre%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne,guerre] === Bibliographie (Talleyrand & l'abolition de l'esclavage) === * 1925 - Nicholas Murray Butler.- [https://books.google.fr/books?id=_N5CAAAAIAAJLes États-Unis d'Amérique: Leur origine. Leur développement. Leur unité], 1925. Solon. 39. Somerset (L'affaire Somerset au sujet de l'Esclavage), 133-133. Souveraineté. ... Talleyrand. — Son estime pour Washington, 78. — Pour John Marshall, 163. Taney (Juge-Président). 168, 306- 307, 317. Tar1fs protecteurs, 60-61, ... * Fernand Baldensperger.- [https://books.google.fr/books?id=EIZOAMdOGbQC Les expériences du présent], 1924, Page 107... de « sauvages » observés en Amérique — c'est une réhabilitation de l'esclavage sous la plume de ce voyageur. ... Pour Talleyrand, cf. le Journal de T. de Caze- nove, celui de Moreau Saint-Méry, les fragments de correspondance, que des … * Alain Philippe Blérald.- [https://books.google.fr/books?isbn=2865371344 Histoire économique de la Guadeloupe et de la Martinique: du XVIIe siècle à nos jours], Karthala Editions, 1er janv. 1986 - 336 pages, [https://books.google.fr/books?id=bueCrp5hekcC&pg=PA134&lpg=PA134&dq=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours,+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&source=bl&ots=a9NGMWsVd6&sig=kMUy_7bcRQWEv-7nyHokn6dPSPU&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwiYvpPE6_veAhUi4YUKHet2AToQ6AEwBHoECAQQAQ#v=onepage&q=Congrès%20de%20Vienne%20Déclaration%20des%20huit%20Cours%2C%20relative%20%C3%A0%20l'abolition%20de%20l'esclavage&f=false Aperçu].Cf. [https://www.google.fr/search?source=hp&ei=tAcBXND6GoKQlwTNx7LIAg&q=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours%2C+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&btnK=Recherche+Google&oq=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours%2C+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&gs_l=psy-ab.3...1007.9288..10224...0.0..0.124.1468.9j7......0....1j2..gws-wiz.....0.-H78apAz9Jk Congrès de Vienne Déclaration des huit Cours, relative à l'abolition de l'esclavage]<br>P. Bernissant mentionne que déjà en 1781, dans ses Réflexions sur l'esclavage, le pasteur Schwartz préconi- (9) On sait qu'il aura fallu la vigilance et les pressions répétées, non désintéressées du reste, de l'Angleterre pour que les négriers ...<br>1986 - {{bibliographie|Q59309577}}<br> ** P. Bernissant.- [https://books.google.fr/books?id=8_wc2WHciWcC Étude sur le régime agricole des Antilles françaises] - Page x, 1916<br> ** P. Bernissant. Page. — Traité d'Economie politique et de commerce des colonies. Paris, an IX-X, 2 vol. Le Port de la Pointe-à-Pitre (Guadeloupe), par A. Lara, A. Raimond, et R. Wachter. Paris, 1913. {{bibliographie|Q59308377}}<br> **Raynal. — Histoire philosophique et …<br> ==== Diplomatie, droit international ==== * 2006 - {{bibliographie|Q59187816}} * [[d:Q62104662|2000]] - {{bibliographie|Q62104662}} <!-- L'événement le plus important de la Révolution : la vente des biens nationaux en France et dans les territoires annexés : 1789-1867 --> == Gabriel Terrail (Mermeix) == {{Autres projets |w=Gabriel Terrail |s=Spécial:Recherche/Gabriel Terrail |commons=Gabriel Terrail }} [[Fichier:Mermeix (atelier Nadar).jpg|100px|vignette|gauche]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Terrail-Mermeix, (1859-1930) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Gabriel Terrail | lien auteur2 = | titre = La France socialiste | sous-titre = Notes d'histoire contemporaine | lien titre = s:La France socialiste | numéro d'édition = | éditeur = F. Fetscherin et Chuit | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1886 en littérature|1886]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 356 | passage = | dnb = 34036057z | isbn = | oclc = 457711700 | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://cataloguelabs.bnf.fr/search.do?mots1=ALL;0;0;La+France+socialiste&mots0=ALL;-1;0;Gabriel+Terrail&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoPerio=&langue1=LAN;0&langue0=LAN;-1&&pageRech=rav | commentaire = | id = }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Terrail-Mermeix, (1859-1930) | prénom2 = | nom2 = Laisant | prénom3 = | nom3 = Laguerre | lien auteur1 = w:Gabriel Terrail | lien auteur2 = | lien auteur3 = | titre = Proposition de loi tendant à frapper d’un impôt, au profit de la Caisse nationale des retraites du travail, le total des sommes souscrites en France aux émissions des titres des sociétés particulières et des États étrangers, | sous-titre = | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Motteroz | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1890 en littérature|1890]] | mois = Mars | volume = | tome = | pages totales = | passage = Gabriel Terrail connu sous le pseud de Mermeix, autre pseud. Saint Simonin.; France. Chambre des députés (1876-1942) | dnb = 362453848 | isbn = | oclc = 465780401 | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/title/proposition-de-loi-tendant-a-frapper-dun-impot-au-profit-de-la-caisse-nationale-des-retraites-du-travail-le-total-des-sommes-souscrites-en-france-aux-emissions-des-titres-des-societes-particulieres-et-des-etats-etrangers-presentee-par-mm-terrail-mermeix-laisant-laguerre-24-mars-1890/oclc/465780401&referer=brief_results WorldCat.org | commentaire = | id = }} == Théorie ancrée == * [[w:Théorie ancrée|Théorie ancrée]] == Adolphe Thiers, 1797-1877 == * [[d:Q5738|Adolphe Thiers]] * [[w:Adolphe Thiers|Adolphe Thiers]] * [[s:Adolphe Thiers|Adolphe Thiers]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Thiers%2c%20Adolphe%2c%201797-1877 Bibliographie Online Books Page]<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la properiete-- (Paris : Lheureux et cie., 1868) (page images at HathiTrust<ref> HathiTrust.- [https://www.youtube.com/watch?v=7i_eh-ZBJKg&t=2s Intro to the New Book Viewer]. In July 2021, HathiTrust is releasing a new version of the Book Viewer! Watch this 5-minute video for a tour of the new features and functions.</ref>)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propiedad / (Madrid : Establecimiento tipográfico de Mellado, 1848), also by Francisco de Paula Mellado, Vicente Vázquez Queipo, and J. Pérez (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propreété / par M. A. Thiers. (Belgium : Méline, Cans, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, (Paris, Paulin, Lheureux et cie, 1868) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, (Paris : Paulin, Lheureux et cie, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété. (Bruxelles : G. Nobile, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, par M. A. Thiers. (Paris, Paulin. Lheureux et #, 1848) (page images at HathiTrust) == Ibrahima Thioub == * [[d:Q1656025|Ibrahima Thioub]], historien et professeur d'université sénégalais * [[w:Ibrahima Thioub|Ibrahima Thioub]] * Patrick, L'Humanité.- [http://www.humanite.fr/node/396296 Entretien avec Ibrahima Thioub]. Esclavage, Lundi 23 juin, 2008 == To do list == esclavage symbiotique Pierre Rebuffi.- Les édits et ordonnances des roys de France depuis l'an 1226 jusque 1571, 1571 [http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11873-014-0245-z The historian’s competence tested by authority: On an academic debate of the 18th century] [https://archive.org/details/MmoireDumouriez1Paris Mémoires du général Dumouriez écrits par lui-même, 1794] [http://www.grandpalais.fr/fr/system/files/field_press_file/dp_la_cour_des_stuarts_au_temps_de_louis_xiv.pdf Migration des Huguenots, 1685] [https://archive.org/details/bub_gb_uA0t5k4CrWoC Pierre Dupuy.- Traitez touchant les droits du Roy tres-chrestien sur plusieurs estats et seigneuries possedées par divers princes voisins et pour prouver qu'il tient à juste titre plusieurs provinces contestées par les princes estrangers, (1655)]. [http://www.europeana.eu/portal/en/search?q=Traitez+touchant+les+droits+du+Roy+treschrestien+sur+plusieurs+estats+et+seigneuries+possedées+par+divers+princes+voisins Européana] ; [http://lib.ugent.be/europeana/900000148901 lib.ugent.be] ; [https://books.google.fr/books?id=fVxLAAAAcAAJ Google] [https://books.google.fr/books?id=2eRQAAAAcAAJ&dq=de%20Boulogne%20%2B%20contr%C3%B4leur%20général&hl=fr&pg=PA34#v=onepage&q=de%20Boulogne%20+%20contr%C3%B4leur%20général&f=false de Boulogne + contrôleur général] [https://www.google.fr/search?q=%22b%C3%A2tard%22&tbm=bks&tbs=cdr:1,cd_min:1772,cd_max:1788&lr=lang_fr&gws_rd=cr&ei=xLfjWMrBEIv3aMHSgzg"bâtard"] == François Xavier Tourte == [w:François Xavier Tourte|François Xavier Tourte]] (1747-1835) est un archetier français. == Toussaint Louverture == {{Citation bloc|Arrivés à Paris ils furent placés à l'Institution Nationale des Colonies, l'ancien Collège de la Marche. ... Es en partirent, sous la conduite de leur Directeur, Monsieur Coesnon, pour retourner à Saint-Domingue avec l'expédition commandée par …|Alfred Nemours.- Histoire de la famille et de la descendance de Toussiant-Louverture, 1941<ref>Alfred Nemours.- [https://books.google.fr/books?id=OipnAAAAMAAJ Histoire de la famille et de la descendance de Toussiant-Louverture] : Avec des documents inédits et les portraits des descendants de Toussaint-Louverture jusqu'à nos jours, Imprimerie de l'État, 1941 - 303 pages</ref>}} {{Citation bloc|Le collège colonial (ancien [[w:Collège de la Marche|collège de la Marche]] qui était alors situé à peu près à l'emplacement de la rue des Ecoles où se trouve actuellement la librairie Présence africaine) avait, sous la direction de l'abbé Couesnon, formé plusieurs …|Robert Cornevin.- Haïti, 1982<ref>Robert Cornevin.- [https://books.google.fr/books?id=F04YAAAAYAAJ Haïti, page 106]</ref>}} ;[https://archive.org/details/bub_gb_Xl_c3HEhtyQC/page/n255/mode/2up L'abbé Couesnon accompagne les enfants Toussaint lors de l'expédition Leclerc] et lettre de Napoléon à Toussaint<ref>{{bibliographie|Q87749945}}, 1845</ref>. * Recherche Google Books : [https://www.google.com/search?q=%C3%A0+proclamer+les+grands+services+que+vous+avez+rendus+au+peuple+fran%C3%A7ais.+Si+son+pavillon+flotte+sur+Saint-Domingue,++y%3E+c%E2%80%99est+%C3%A0+vous+et+aux+braves+noirs+qu%27il+le+doit.+Appel%C3%A9++%C2%BB+par+vos+talents+et+la+force+des+circonstances+au+premier+commandement,+vous+avez+d%C3%A9truit+la+guerre+civile&newwindow=1&tbm=bks&ei=zZ5uXqyDAoaWa_TdpNAB&start=0&sa=N&ved=0ahUKEwjsnfD0tp3oAhUGyxoKHfQuCRo4ChDy0wMIeQ à proclamer les grands services que vous avez rendus au peuple français. Si son pavillon flotte sur Saint-Domingue, y> c’est à vous et aux braves noirs qu'il le doit. Appelé » par vos talents et la force des circonstances au premier commandement, vous avez détruit la guerre civile] {{Citation bloc|Mais la partie la plus significative du programme est l'établissement de l'Institution nationale des colonies, dans les locaux de l'ancien Collège de la Marche, sur les flancs de la Montagne SainteGeneviève, à Paris. Cet établissement mixte …|Bernard Gainot.- L'Empire colonial français: De Richelieu à Napoléon, 2015<ref>Bernard Gainot.- [https://books.google.fr/books?id=68i_CQAAQBAJ&lpg=PT119&dq=coll%C3%A8ge%20de%20la%20Marche%20%2B%20coll%C3%A8ge%20colonial%20%2B%20Institut%20national%20des%20Colonies&hl=fr&pg=PT117#v=onepage&f=false L'Empire colonial français: De Richelieu à Napoléon], 2015</ref>.}} == Histoire du travail == "Le travail est une activité humaine manuelle ou intellectuelle exercée en vue d'un résultat utile déterminé. Cela couvre deux situations : une forme de loisir et une forme d'activité professionnelle". <https://fr.wikibooks.org/wiki/Droit_du_travail/Introduction_au_droit_du_travail>. === Bibiographie === 1872 - Frédéric Passy, L'histoire du travail, Paris, H. Bellaire (notice BnF no FRBNF31065152)Voir et modifier les données sur Wikidata == Traites esclavagistes & leurs abolitions == * Commerce des esclaves & Traite des esclaves ** [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] ** [[w:Commerce des esclaves|Traite des esclaves]] Sur Wikipédia, les deux entrées sont identiques et l'article [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] est d'une grande pauvreté.<br>Le débat sur la proposition de créer une entrée Wikidata [[d:Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx|"Traite des esclaves"]] montre une grande réticence et révèle une des problématques qui consiste à chercher absolument à structurer les datas plutôt que de les rendre discernables, distinguables entre elles, quitte à en perdre le sens. [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx&topic_showPostId=uikh5ensm8gdlqpu#flow-post-uikh5ensm8gdlqpu Voici une réponse très précise et très intéressante] de [https://artflsrv03.uchicago.edu/images/encyclopedie//V16/ENC_16-532.jpeg l'Encyclopédie] : "TRAITE [page 16:532] [https://artflsrv03.uchicago.edu/philologic4/encyclopedie1117/navigate/16/2657/?byte=5936321 TRAITE TRAITE], s. f. (Marine.) c'est le commerce qui se fait entre des vaisseaux & les habitans de quelque côte. On utiliserait donc le mot "Traite" parce que ce commerce des esclaves relève du monde de la Marine. Ce serait d'une logique implacable ! Et Jaucourt de préciser : "[[s:L’Encyclopédie/1re_édition/TRAITE|Traite des negres, (Commerce d’Afrique.)]] c’est l’achat des negres que font les Européens sur les côtes d’Afrique, pour employer ces malheureux dans leurs colonies en qualité d’esclaves. Cet achat de negres, pour les réduire en esclavage, est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine...". Pouvons-nous conclure que la traite est restrictive et le commerce extensif ? "[[d:Q26212503|Dissertation sur la traite et le commerce des nègres]]" cherche à savoir si la Traite des negres, ou Commerce d’Afrique "est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine". On voit que le titre de couverture devient vite "Commerce des Nègres". Les auteurs ont-ils idée que la traite bien localisée (les Européens sur les côtes d’Afrique) devient un commerce mondialisé ? Et nous devons aller consulter Raynal ! "Ce qui frappe surtout, c’est ce que l’on pourrait appeler, au risque de l’anachronisme, [https://francearchives.fr/commemo/recueil-2013/39892 l’invention de la mondialisation]. Raynal s’intéresse à ce nouveau phénomène de la « communication » des hommes. Mieux encore, il se fait subtilement le peintre de l’effet de retour de l’expansion européenne sur le vieux continent. Il montre par exemple, anticipant presque les analyses d’Hannah Arendt, comment le poison d’une vision raciste et exploitatrice en outre-mer a miné les valeurs des colons portugais et ruiné, par contagion, l’édifice moral, social et économique du pays". * [[w:Traites négrières|Traites négrières]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20--%20Usa&c=x The Online Books Page] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20%2d%2d%20Cuba&c=x Filed under: Slave trade -- Cuba] === Bibliographie (Traite des esclaves) === * 1764 - {{Bibliographie|Q26212503}} </-- Jean Bellon de Saint-Quentin, Dissertation sur la traite et le commerce des nègres --> * 1788 - {{Bibliographie|Q30000364}} </-- André-Daniel Laffon de Ladebat.- Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies --> == Traités de paix (1492-1815) == * [[c:Traités de paix (1492-1815)|Traités de paix (1492-1815)]] sur Commons * 1699 - España, France.- Traité de Paix entre la France et l’Espagne fait à [https://books.google.fr/books?id=n5RFAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Lille le 3 décembre 1699] * 1748 - Traité de paix entre le Roi, le Roi de la Grande-Bretagne, et les États genéraux des Provinces-unies des Pays-Bas, conclu à Aix-la-Chapelle le 18 octobre 1748 ; avec les accessions du Roi Catholique de la Reine de Hongrie et de Bohême, impératrice, du Roi de Sardaigne, du Duc de Modène et de la République de Gênes, {{BNF|33705660q}} * 1763 - Traité de paix entre le roi, le roi d’Espagne et le roi de la Grande-Bretagne : conclu à Paris le [https://archive.org/details/traitdepaixent00spai 10 février 1763] avec l’accession du roi de Portugal * Owen Aldridge Alfred.- [www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1961_num_39_3_2374 Le problème de la traduction au {{s|XVIII|e}} et aujourd'hui] In: Revue belge de philologie et d'histoire, tome 39, fasc. 3, 1961. Langues et litteratures modernes - Moderne taal- en letterkunde. pp. 747-758. DOI : 10.3406/rbph.1961.2374 == Treize Colonies == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Domisse|titre= Les relations entre Français et habitants des treize colonies d'Amérique entre 1748 et 1763|url= http://www.domisse.fr/www/histoire/ameriques/fr-colonies.html|date= 2021|site= domisse.fr|consulté le= 27 novembre 2021}} == Théâtre (à l'époque de Saint-George) == === Théâtre considéré comme une institution morale === * [[w:Le Théâtre considéré comme une institution morale|Le Théâtre considéré comme une institution morale]] * [Le Théâtre considéré comme une institution morale Le Théâtre considéré comme une institution morale, recherche google] * 8 juin 1793 - Théâtre Du Lycée Des Arts<ref>La Révolte des Nègres, pantomime à ''grand'' spectacle est à l'affiche le 12 janver 1793. André Tissier.- [https://books.google.fr/books?id=saeLdu3k14AC&lpg=PA246&dq=La%20Révolte%20des%20Nègres%20%2B%20%20pantomime%20%C3%A0%20spectacle&hl=fr&pg=PA246#v=onepage&q=La%20Révolte%20des%20Nègres%20+%20%20pantomime%20%C3%A0%20spectacle&f=false Les spectacles à Paris pendant la Révolution: répertoire, Volume 1]</ref>, au Jardin de l'Egalité.<br />— La Révolte des Nègres, pantomime à spectacle<ref>[https://books.google.fr/books?id=DK89AAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA588#v=onepage&q&f=false Réimpression de l'Ancien Moniteur, Volume 16].</ref>, précédée du Tableau parlant.<br />Amusements physiques et nouveaux tours d'adresse. Le citoyen Perrin, mécanicien et démonstrateur de physique amusante, fera aujourd'hui, a six heures précises, dans la salle du citoyen Moreau, au palais de l'Egalité, n° 101, quantité de tours nouveaux et surprenants. — Prix des places, 3liv., 2 liv., 30 s. et 20 s. === Travail (Droit du) === * [[w:Chronologie du travail des enfants|Chronologie du travail des enfants]] ==== Droit au travail ==== * 1848 - Alphonse de Lamartine (1790-1869).- [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/7eo.asp Le droit au travail], Assemblée Nationale Séance du jeudi 7 septembre 1848 ==== Durée du temps de travail ==== * 2011 - François Jarrige (Université de Bourgogne) et Bénédicte Reynaud (CNRS).- [http://www.benedicte-reynaud.com/texte/Reynaud_Geneses-2011.pdf La durée du travail, la norme et ses usages en 1848], Bibliographie. ==== Ministère du travail ==== * 1848 - Louis Blanc (1811-1882).- [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/7eo.asp Pour un ministère du droit du travail], Assemblée Nationale Séance du mercredi 10 mai 1848. * [http://travail-emploi.gouv.fr/IMG/pdf/Une_histoire_du_ministere_du_travail.pdf Plaquette sur l’histoire du ministère du Travail] == François Richard de Tussac == https://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Richard_de_Tussac === Acte de naissance de François Richard de Tussac === [[Fichier:Acte de naissance François Richard Tussac Montmorillon, 28 décembre 1750,png.xcf|100px|vignette|gauche|Acte de naissance François Richard Tussac Montmorillon, 28 décembre 1750]] [[Fichier:Mariage de François Richard de Tussac.png|100px|vignette|gauche|Acte de Mariage de François Richard de Tussac]] [[Fichier:Affiches du Poitou 14-08-1777 Généalogie de François Richard de Tussac.png|100px|vignette|gauche|Affiches du Poitou 14-08-1777 Généalogie de François Richard de Tussac]] François Richard de Tussac, né le 28 décembre 1750 à [[w:Montmorillon|Montmorillon]] (Vienne, France), décédé à Paris en 1837, séjourna à la Martinique et dans les Antilles et ce pendant prés de 16 ans entre 1786 & 1802. De retour en France, en 1802, il est nommé conservateur du Cabinet d’histoire naturelle à Angers de 1817 à 1822). Il écrit de 1808 à 1827 son célèbre ouvrage de botanique en 4 volumes, faisant pour cette cause de fréquent voyage entre Angers et Paris. François Richard de Tussac a épousé Marie-Louise Haureix le 14 juin 1780 à [[w:Petite-Rivière-de-l'Artibonite|Petite-Rivière-de-L’Artibonite]] à [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]]<ref>[http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/caomec2/osd.php?territoire=SAINT-DOMINGUE&commune=PETITE-RIVIERE-DE-L%27ARTIBONITE&annee=1780&typeacte=AC_MA acte de mariage]</ref> dont un dossier à son nom p.159 figure aux Archives nationales à propos de l'indemnisation des colons spoliés. [https://archives-deux-sevres-vienne.fr/ark:/28387/vta93969931a5a34fa3/daogrp/0/layout:table/idsearch:RECH_00b8cbdec6e38b341b1d731583fe77e5#id:168240800?gallery=true&brightness=100.00&contrast=100.00&center=1964.000,-1509.000&zoom=7&rotation=0.000 Acte de naissance de François Richard de Tussac] Présentation du contenu : Montmorillon : à la paroisse Saint-Martial est annexée la paroisse Saint-Martin de Moussac-sur-Gartempe. Cote : collection communale 2600 Documents de substitution : 5 MI 984 Commune : Montmorillon (Vienne, France) Paroisse : Saint-Martial Type de document : naissance, mariage, décès == U == [[Fichier:Aufseeser lettrine U.png|100px|vignette|centre]] === Le u latin === [[Fichier:RomanV-01.svg|100px|vignette|gauche|U romain]] On rencontre {{Référence nécessaire|le [[w:U (lettre)|u latin]] en forme de v — qui ne descend pas de l’alphabet étrusque mais résulte d’une évolution de la lettre v qui vient de la lettre y|date=7 septembre 2015}} — dans l’ouvrage [[s:Page:Antoine Loisiel, Institutes Coustumières, 1607.djvu/9|Antoine Loisiel, Institutes Coustumières, 1607]]. == L'Utopie de Thomas More == === Utopia / L'Utopie : ou le Traité de la meilleure forme de gouvernement === Les [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?search=Utopie&title=Spécial%3ARecherche&go=Continuer utopies] sur Wikiversité [http://www3.telus.net/lakowski/Utopbib0.html International Thomas More Bibliography (U)] ; Utopia , Part A : Editions and Translations [http://www3.telus.net/lakowski/Utopbib1.html International Thomas More Bibliography (U)] ; Utopia, Part B: Studies ==== 1765 & 1777 - Edition en latin, imprimée par Querlon ==== {{Citation bloc|Th Mori Utopia denuo re cognovit AGMQ Meusnier de Querlon Londini et Parisiis Barbou 1777 in 12 Un exemplaire de cette édition avec cinq pages de la main de Querlon a été vendu en 1827 Catalogue des livres de M le marquis de Ch Paris Merlin 1827 in 8 p 127. L édition de 1765 plus belle que cette dernière qui la reproduit toutefois sans aucun changement offre une pagination un peu différente car le texte en est moins serré et porte au bas de sa Dédicace à M de Sartine la signature en toutes lettres de A G Meusnïer de Querlon ce qui n a pas lieu dans celle de 1777|Prosper Jean Levot.- Biographie bretonne<ref>Prosper Jean Levot.- [https://books.google.fr/books?id=LLoGAAAAQAAJ Biographie bretonne]</ref>}} ==== 1780 -1789 - Traduction de Thomas Rousseau ==== [[w:1780 en littératureInternational Thomas More Bibliography|1780]] - [[w:1789 en littérature|1789]] * 1780 - {{bibliographie|Q61707206}} <!--Sir Thomas More (Saint), Thomas Rousseau.- Tableau du meilleur gouvernement possible, ou L'Utopie de Thomas Morus --> ** [[d:Q61721896|1789]] - {{bibliographie|Q61721896}} <!-- Sir Thomas More (Saint), Thomas Rousseau.- Du meilleur gouvernement possible, ou, La nouvelle isle d'Utopie, [https://books.google.fr/books?id=5LVLAAAAYAAJ Google livre] --> ==== 1842 - Traduction en français de Victor Stouvenel ==== [[w:1842 en littérature|1842]] * [[d:Q61642300|1842]] - {{bibliographie|Q61642300}}, {{BNF|309761185}}, [https://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL;-1;0;Utopie&mots1=ALL;0;0;Victor%20Stouvenel&mots2=ALL;0;0;Utopia&mots3=&mots4=&facPays=&suppPhys=&faclocs=&facDocs=&facNots=&facSpec=&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoNumis=&typoPerio=&langue0=&langue1=&langue2=&langue3=&langue4=&datepub=&dateCreaSpec=&dateEnregistrement=&typeDatePer=&corpus=&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=&issn=&pageRech=rav 12 notices sur BNF], Sur Wikisource, [[s:L’Utopie|L’Utopie]] <!-- Thomas More (trad. Victor Stouvenel), L’Utopie : L'Utopie de Thomas Morus, Paris, Paulin, (notice BnF no FRBNF309761185) --> * '''1842''' - Thomas More, ‎Stouvenel.- [https://books.google.fr/books?id=YyzndZYaaTYC L'Utopie de Thomas Morus], 1842<br>* … Néanmoins, si cette croyance était une erreur, s'il existait un gouvernement et un culte meilleurs, plus agréables à l'Eternel, ils supplient sa divine bonté de leur faire une révélation à cet égard , se déclarant prêts à…<br>* [https://books.google.fr/books?id=YyzndZYaaTYC Page 210] "Les fils des esclaves ne le sont point; et l'esclave étranger devient libre en touchant la terre d'Utopie. « La servitude tombe particulièrement sur les citoyens coupables de grands crimes , et sur les condamnés à …"<br>* "Voilà ce qui me persuade invinciblement que l’unique moyen de distribuer les biens avec égalité, avec justice, et de constituer le bonheur du genre humain, c’est l’[[s:Page:More - L’Utopie, trad. Stouvenel, 1842.djvu/116|abolition de la propriété]]. Tant que le droit de propriété sera le fondement de l’édifice social, la classe la plus nombreuse et la plus estimable n’aura en partage que disette, tourments et désespoir." ** 2016 - {{bibliographie|Q61719503}} <!--Thomas More, Serge Dereutte (dir.) et Marcelle Bottigelli-Tisserand (dir.) (trad. Victor Stouvenel), L'Utopie--><br>* "[http://www.les-lettres-francaises.fr/2017/05/linvention-dun-mot-et-dun-ideal-lutopie-de-thomas-more-2/ Son « prince » n’en est pas vraiment un] et est plutôt à rapprocher du [[w:Doge de Venise|doge de Venise]]".<br>* "l’on y [http://www.les-lettres-francaises.fr/2017/05/linvention-dun-mot-et-dun-ideal-lutopie-de-thomas-more-2/ débat des guerres princières], des [[w:Enclosure|enclosures]] frappant les paysans britanniques ou de la sévérité croissante de la justice envers les voleurs qui sont souvent des nécessiteux". ==== 1983 ==== * '''1983''' - Thomas More (Saint), ‎Marie Delcourt.- [https://books.google.fr/books?isbn=2600042652Sir L'Utopie ou le Traité de la meilleure forme de gouvernement], 1983<br>BIBLIOGRAPHIE. On trouvera dans la préface l'indication des éditions modernes de l'Utopie ; en note à la première page de… Il est impossible de relever ici tout ce qui a été écrit sur lui et sur l'Utopie.<br>[https://books.google.fr/books?isbn=2600042652 Page 108] … Leurs esclaves ne sont ni des prisonniers de guerre — à moins que des soldats capturés lors d'une guerre où Utopie fut attaquée — ni des enfants d'esclaves, ni aucun de ceux qu'on trouve en … * '''2013''' - Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=9791023203806 L’Utopie: édition intégrale], 2013<br>... Les fils des esclaves ne le sont point ; et l'esclave étranger devient libre en touchant la terre d'Utopie. La servitude tombe particulièrement sur les citoyens coupables de grands crimes, et sur les condamnés à… ==== 2016 ==== * '''2016''' - Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=2290135917 L’Utopie, 2016<br>Dieu, et des symphonies d'instruments de musique interrompent ces chants par intervalles. … Mais, au contraire, si le culte et le gouvernement de l'Utopie sont les plus parfaits, alors ils demandent à Dieu qu'il leur accorde la…<br>"Voilà ce qui me persuade invinciblement que l'unique moyen de distribuer les biens avec égalité, avec justice, et de constituer le bonheur du genre humain, c'est l'[https://books.google.fr/books?isbn=2290135917 abolition de la propriété]. Tant que le droit de propriété sera le fondement de…" * '''2018''' - ‎Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=1635372569 L’Utopie (illustré)], 2018,<br>… partie d'autres formes que celles que nous voyons chez nous. La plupart sont plus harmonieux que les … Mais, au contraire, si le culte et le gouvernement de l'Utopie sont les plus parfaits, alors ils demandent à Dieu qu'il leur… ==== Bibliographie "Dystopie / Esclavage" ==== * 1725 - {{bibliographie|Q27334208}} * 1961 - {{bibliographie|Q61780632}} <!-- Marguerite Leblanc, De Thomas More à Chaptal --> * 2015 - Sarah Bocelli.- [http://www.madmoizelle.com/dystopie-litterature-selection-340315 Les dystopies dans la littérature], 3 avril 2015 == Túpac Amaru II (José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa) == [[Fichier:TupacAmaruII.jpg|100px|vignette|gauche|Túpac Amaru II]] * [[w:Túpac Amaru II|José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa]] [[w:Túpac Amaru II|José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa]], ou ''José Gabriel Túpac Amaru'', né le {{Date de naissance|19|mars|1738}} 19 mars 1738 à Surimana dans la [[w:Province de Canas|Province de Canas]], [[w:vice-royauté du Pérou]], décédé à [[w:Cuzco]], le {{Date de décès|18|mai|1781}} 18 mai 1781, fut un [[w:Cacique (chef)|cacique]] indien. Il dirigea en 1780 la tête d'un [[w:Révolte de Túpac Amaru II|mouvement d'opposition à la colonisation]] [[w:Espagne|espagnole]] au Pérou (from November 1780 to March 1781). * 6 avril 1781 - Túpac Amaru et son épouse, Micaela Bastidas sont capturés à Tinta puis emmenés à Cusco pour. (In 1781 he was finally defeated and executed along with his family, in a cruel and sadistic manner, as decreed by Judge Benito...) ; (Tupac Amaru II” in 1780. José Gabriel Condorcanqui Noguera (1738–1781), despite his mestizo origin and prosperous business as a muleteer, claimed descent from an Inca (i.e., king). He had acquired an education and became incensed) ; ([https://books.google.com/books?isbn=2366020295 Chronique de l'humanité - Page 4021], Éditions Chronique - 2013 - ‎Aperçu "1781. À. 1782. Tupac. Amaru. II. soulève. les. Indiens. Cuzco, 18 mai 1781 L'Indien rebelle Tupac Amaru II vient de périr dans d'horribles souffrances après avoir assisté à l'exécution de sa femme et de ses fils sur la place centrale de Cuzco".) ;Bibliographie (Túpac Amaru II, José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa) * 1756.- Prévost.-[https://books.google.fr/books?id=wGJp2fpRIwoC Histoire générale des voyages, ou nouvelle collection de toutes les ...]<ref>1836-1839 - [https://books.google.fr/books?id=wGJp2fpRIwoC&dq=marquis%20d'oropesa%20%2B%20Pérou&hl=fr&pg=PA521#v=onepage&q=marquis%20d'oropesa%20+%20Pérou&f=false ‎Lire le début de l’histoire de Túpac Amaru II, marquis d’Oropesa]</ref>. {{Citation bloc|C'est du frère aîné de ce prince , Sayri-Tupac , que descend , par les femmes, la famille des marquis d'Oropesa, ... fit épouser un gentilhomme de sa cour, et lui donna plus tard le titre de marquise d'Oropesa , du nom d'une ville du haut Pérou.|1836, 1839<ref>* 1836 - [https://books.google.fr/books?id=CA9fAAAAcAAJ A-Ari] - Volume 1 - Page 405<br />* 1836 - P. Leroux.- [https://books.google.fr/books?id=IVu4zVoyVIAC Encyclopédie nouvelle ou dictionnaire phylosophique, scientifique], 1836<br />* 1839 - P. Leroux, ‎J. Reynaud.- [https://books.google.fr/books?id=Ti1GAAAAcAAJ Encyclopédie nouvelle: dictionnaire philosophique, scientifique], 1839</ref>}} {{Citation bloc|2014 - En 1614, le marquis d'Oropesa, corregidor de Cuzco, nomme comme teniente chargé de l'aider dans sa tâche, le hacendado Luis de Santayo. Comme on peut s'y attendre, celui-ci abuse de sa charge pour faire travailler, sous prétexte de...|Jean Piel.- Capitalisme agraire au Pérou<ref>Jean Piel.- [https://books.google.fr/books?isbn=2821845235 Capitalisme agraire au Pérou]. Premier volume, Originalité de la..., 2014 (début de l'histoire)</ref>}} == V == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter V.jpg|100px|vignette|centré]] === Pieter Verheyen === [[w:Pieter Verheyen|Pieter Verheyen]] né à Gand aux Pays-Bas autrichiens le 15 janvier 17471 et mort dans cette ville le 11 janvier 1819, est un compositeur, un organiste et un chanteur. === Vêtement, style vestimentaire & mode === [[Fichier:15th century French banqueting.jpg|100px|vignette|gauche]] * 1877 - Jules-Etienne Quicherat, [https://archive.org/details/histoireducostum00quic Histoire du costume en France depuis les temps les plus reculés jusqu’à la fin du {{s|XVIII|e}}], Paris, Hachette, 2e édition, 1877. * 2007 - Michel Pastoureau, L’étoffe du Diable : une histoire des rayures et des tissus rayés, Paris, Seuil, 2007. * 2016 - Annabelle Marin.- La deshonnesteté des habits, [https://actuelmoyenage.wordpress.com/2016/01/14/la-deshonnestete-des-habits/ Actuelmoyenage.wordpress.com], 4 janvier 2016. == Elisabeth Louise Vigée Le Brun == [[Fichier:Self-portrait with Her Daughter by Elisabeth-Louise Vigée Le Brun.jpg|100px|vignette|gauche|Mère & Fille]] [[Fichier:MA-Lebrun.jpg|100px|vignette|gauche|Marie Antoinette en gaule, 1783]] === Les jardins du Palais Royal après l'Opéra === {{Citation bloc|L’Opéra était alors tout à côté ; il tenait au Palais. Dans les jours d'été, ce spectacle finissait à huit heures et demie, et toutes les personnes élégantes sortaient même avant la fin , pour se promener dans le jardin. Il était de mode alors que les femmes portassent de fort gros bouquets, ce qui joint aux poudres odoriférantes dont chacun parfumait ses cheveux, embaumait véritablement l’air que l’on respirait. Plus tard, mais pourtant avant la révolution, j’ai vu ces soirées se prolonger jusqu'à deux heures du matin; on y faisait de la musique au clair de lune, en plein air. Des artistes, des amateurs, entre autres Garât et Alsevédo, y chantaient. On y jouait de la harpe et de la guitare ; le fameux Saint-Georges<ref>Le chevalier de Saint-Georges, mulâtre, né à la Guadeloupe en 1745 et mort en 1799. Il était fils d’une femme de couleur et de M. de Boulogne, qui devint fermier général</ref> y jouait aussi souvent du violon : la foule s’y portait.|[[w:Elisabeth Louise Vigée Le Brun|Elisabeth, Louise Vigée Le Brun]] (1755-1842).- {{bibliographie|Q110185719}}, {{Gallica|id=bpt6k208330j|f=33|pp=25}}, 1835<ref>Souvenirs de Madame Vigée Le Brun, Lettre II, page 19, Charpentier, Paris, 1869</ref>.}} * [https://archive.org/stream/souvenirsdemadam01vig#page/18/mode/2up/search/Georges le fameux Saint-Georges y jouait aussi souvent du violon] * Elisabeth Vigée-Lebrun.- [http://www.thefashionhistorian.com/2012/03/chemise-la-reine.html La reine en gaule], 1783. See at the National Gallery in Washington DC. * Perrine Kervran.- Une vie, une oeuvre : [http://www.franceculture.fr/emission-une-vie-une-oeuvre-elisabeth-louise-vigee-le-brun-1755-1842-2015-11-07 Elisabeth, Louise Vigée Le Brun (1755-1842)], franceculture.fr, 07.11.2015 - 16:00. == Villers-Cotterêts == == Voltaire == [[Fichier:William Quiller Orchardson - Voltaire (1883).jpg|100px|vignette|gauche|William Quiller Orchardson.- Voltaire ]] [[w:Voltaire|François-Marie Arouet, dit Voltaire]], (Paris, 21 novembre 1694 à - 30 mai 1778). Campagne de Voltaire et de l'avocat Christin contre le servage exercé par le chapitre jurassien de Saint-Claude === Voltaire, les prolétaires dans les texte === Nous examinons ici les différents statuts sous lesquels se présentent le [[w:prolétaire|prolétaire]] à l'époque de Voltaire : [[w:domestique|domestique]], [[w:esclave|esclave]], [[w:mainmortable|mainmortable]], [[w:paysannat|paysannat]], [[w:serf|serf]], ==== Voltaire, l’esclave dans le texte ==== Voltaire, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat marquis de Condorcet.- Œuvres complètes de Voltaire: avec des notes et une notice historique sur la vie de Voltaire, Volume 7 Chez Furne, 1835, https://books.google.com/books?id=hDIaAAAAYAAJ, {{google|hDIaAAAAYAAJ}} :[https://books.google.fr/books?id=hDIaAAAAYAAJ&dq=Voltaire%20%2B%20esclavage%20des%20moines&hl=fr&pg=PA264#v=onepage&q=esclavage&f=false Page 264] - ''"Il en est un plus funeste encore, c’est celui d’avoir permis aux bénédictins, aux bernardins, aux chartreux même, d’avoir des mainmortables, des esclaves. On distingue sous leur domination, dans plusieurs provinces de France et en Allemagne : * Esclavage de la personne, * Esclavage des biens, * Esclavage de la personne et des biens"''. * Voltaire, [https://books.google.fr/books?id=NRNvjjYauOsC&lpg=PA1310&dq=Martin%20Luther%20%2B%20esclavage%20des%20anabaptiste&hl=fr&pg=PA1310#v=onepage&q=Martin%20Luther%20+%20esclavage%20des%20anabaptiste&f=false Esclavage des moines] in Voltaire, André Versaille (Rédacteur).- Dictionnaire de la pensée de Voltaire par lui-même, Éditions Complexe, 1320 pages, 1994, {{ISBN|2870275307}}, {{ISBN|9782870275306}}. * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f106.item.r=esclave "esclave"] dans [[d/Q27530753|Candide, 1759]] * Christin depuis lors dépulé à l Assemblée constituante par électeurs de Saint Claude où il était né en 1744 publia en 1772 à Neufchâtel Dissertation sur les origines de l abbaye de Saint Claude et sur les droits des habitants du pays puis la même année la Collection des mémoires présentés au Conseil du Roi par les habitants du Jura et par le Chapitre avec l arrêt rendu. * L'avocat Christin , 1741-1799, un collaborateur de Voltaire, des Lumières à la Révolution [Texte imprimé] : de la lutte contre la mainmorte à la défense des libertés de 1789 / par Roger Bergeret et Jean Maurel, {{Bnf|389118491}} * Voltaire-Christin et la mainmorte en Haut-Jura [Texte imprimé] / André Vuillermoz et Patrick Simon {{Bnf|37542006k}} <nowiki>{{Bnf|}}</nowiki> <poem> p.178 Le Roi Nadab fils de Jéroboam, fut tué par Baza, le Roi Ela par Zambri, Okofias par Jehu, Attalia par Joiada les Rois Joakim, Jéconias, Sédécias furent esclaves p.48 Je ne vous dirai point combien il est dur pour une jeune Princesse d'être menée esclave à Maroc avec sa mère Vous concevez assez tout ce que nous eumes à souffrir dans le vaisseau Corsaire, Ma mère était encor très belle p.152 je fuis esclave, mon Maître m'attend, il faut que j'aille le servir à table(...)Candide partagé entre la joie & la douleur, charmé d'avoir revû son agent fidéle, étonné de le voir esclave, plein de l'idée de retrouver sa maîtresse, le cœur agité , l'esprit bouleversé , se mit à table avec Martin, qui voyait de fang froid toutes ces avantures, & avec six étrangers qui étaient venus passer le Carnaval à Venise p.159 Cunégonde & la Vieille fervent chez ce Prince dont je vous ai parlé, & moi je fuis esclave du Sultan détrôné p.98 tu as l'honneur d'être esclave de nos Seigneurs les Blancs, & tu fais par là la fortune de ton père & de ta mère p.158 elle est esclave dans la maison d'un ancien Souverain p.53 Quand les premiers ravages de cette épouvantable peste furent passés, on vendit les esclaves du Dey p.67 i Le Commandant fit retirer les esclaves Nègres & les Paraguains qui servaient à boire dans des gobelets de crifal de roche </poem> ==== Résultats de recherche ==== * [[d:Q27530753|"sucre"dans "Candide", 1759]] <poem> [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f92.item.r=sucre p.84] ''Les garçons & les filles de l'hôtellerie versaient plutieurs liqueurs faites de canne de sucre'' [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f106.item.r=sucre p.98] ''C'est à ce prix que vous mangez du sucre en Europe''<ref>[[s:Candide, ou l’Optimisme/Garnier 1877/Chapitre 19|Candide, ou l’Optimisme/Garnier 1877/Chapitre 19]], Wikisource, {{bibliographie|Q27534709}}, p. 180.</ref>, </poem> * [[d:Q15989296|"sucre"dans [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k411337x/f3.item.r=sucre.zoom "Oeuvres complètes de Voltaire". T. 21, 1879]]] <poem> p.304 Le P. Tout-à-tous eut des boites de chocolat, de café, de sucre candi, de citrons confits, avec les Méditations du révérend P. Croiset, et la Fleur des saints', reliées en maroquin p.526 Il fut destiné à être brûlé le dimanche suivant en cérémonie, orné d'un grand san-benito et d'un bonnet en pain de sucre, en l'honneur de notre Sauveur et de la vierge Marie sa mère p.452 il a sur la tête, les jours de cérémonie, un pain de sucre fendu en deux p.437 Ces Occidentaux habitent un pays pauvre qui ne leur produit que très-peu de soie, point de coton, point de sucre, nulle épicerie p.347 Celui-ci présenta requête pour être pendu: il alléguait qu'il haïssait mortellement le travail, et qu'il aimait mieux être étranglé une minute que de faire du sucre toute sa vie p.180 C'est à ce prix que vous mangez du sucre en Europe p.174 Les garçons et les filles de l'hôtellerie versaient plusieurs liqueurs faites de cannes de sucre p.177 En attendant, on leur fit voir, la ville, les édifices publics élevés jusqu'aux nues, les marchés ornés de mille colonnes, les fontaines d'eau pure, les fontaines d'eau rose, celles de liqueurs de cannes de sucre qui coulaient continuellement dans de grandes places pavées d'une espèce de pierreries qui répandaient une odeur semblable à celle du girofle et de la cannelle </poem> === Voltaire, la propriété dans le texte === === Voltaire, Bibliographie === ==== Candide, ou l’Optimisme ==== * 1759 - {{bibliographie|Q27530753}} * 1877 - {{bibliographie|Q27534709}} * [http://www.berlol.net/fac/2013/11/14/cours-sur-candide-de-voltaire/ Cours sur « Candide » de Voltaire] === Bibliothèque === * 2006 - {{bibliographie|Q60180159}} <!-- Xavier Martin, Voltaire méconnu : aspects cachés de l'humanisme des Lumières --> == W == Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#1847-1879-2004 - Henri-Alexandre Wallon, Histoire de l'esclavage dans l'antiquité]] ==== Histoire du Tribunal révolutionnaire de Paris avec le Journal de ses actes, Volume premier ==== * 1880 - {{Bibliographie|Q26205619}} * Collection [https://archive.org/search.php?query=Histoire%20du%20Tribunal%20révolutionnaire%20de%20Paris%20avec%20le%20Journal%20de%20ses%20actes Histoire du Tribunal révolutionnaire de Paris avec le Journal de ses actes] sur Internet Archive. == Mary Wollstonecraft == * 1792 - {{bibliographie|Q28745941}}, avec une [https://archive.org/stream/AVindicationOfTheRightsOfWoman/A_Vindication_of_the_Rights_of_Woman#page/n19/mode/2up lettre] à [[w:Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord|Monsieur Talleyrand Perigord]] == Les projets Wikimédia : un environnement de recherche pour amateurs & scientifiques == === 1.2 Ambre Troizat : Introduction et présentation (0:1:30) === Je suis avant tout Wikimédienne. Multiprojet, j'utilise régulièrement cinq projets qui forment un système de recherche dans l’environnement Wikimedia. Je réponds ainsi à une question méthodologique : comment écrire une thèse avec les projets Wikimedia ? C'est le principal prétexte pour ancrer l’objet de ma thèse dans l’environnement Wikimédia. Le titre de la thèse est, sur fr.wikiversity.org, "''[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]]''". Les projets Wikimédia constituent pour moi un outil de recherche qui devrait, dans le futur, permettre au chercheur scientifique (ou amateur) de construire la cohérence de son mémoire ou de sa thèse dans un environnement unique, ergonomique. Et pour l'historien de parcourir le temps & la distance qui vont du choix de l’objet aux sources, en passant par la bibliographie et l'iconographie, de construire un récit historique, avant de le présenter au lecteur. ==== Les étapes de mon parcours de Wikipédia à Wikidata ? ==== [[Fichier:Grandville Les Mystères de l'infini 3.jpg|100px|vignette|gauche|Grandville, Autre Monde, Jongleur]] * Dans un premier temps, j'ai utilisé '''Wikipédia''' sous le pseudo de amb3a puis de Ambre Troizat à partir du 27 mars 2006, avec l'aide de Mitchev. * Très vite '''Wikimedia Commons''' s'est imposé comme base de données iconographiques. Ma première contribution est un portrait en noir et blanc de l'[[c:File:Abbé Grégoire Européana.jpg|abbé Grégoire]], le 27 octobre 2009. Un portrait en couleur a été uploadé depuis. * Je découvre '''Wikisource''' & y contribue sous le pseudo amb3a du 10 mars 2009  au 4 novembre 2009. Depuis le 4 novembre 2009 je contribue sous le pseudonyme de Ambre Troizat. Wikisource était encore "une grosse machine à écrire" & n'utilisais pas encore le djvu. Je contribue sur des textes en provenance du domaine public & en rapport avec les traites & les esclavages, du {{S|XVII}} au début du {{S|XX}}. Le premier texte sur lequel je travaille est "[[s:Discussion:L’Amant anonyme|L'Amant Anonyme de Madame de Genlis]]" que Joseph Bologne de Saint-George a mis en musique : il a été modernisé depuis ! Le projet Wikisource répond à ma pratique de recherche mise en place au cours de mes années universitaire à Paris 7 Denis Diderot : collationner des documents archives, acquérir les ouvrages constituant la bibliographie, analyser puis rédiger. Mais, depuis plusieurs années, il n'est plus possible de produire des formats djvu à partir de Internet Archive. Cela limite considérablement mes uploads sur Wikisource. * Entre temps, je cherche mes marques sur Wikipédia et peu à peu je me consacre aux deux personnages principaux de ma thèse : Joseph Bologne de Saint-George & Gratien Candace (1750-1950). Mais, je ne peux pas continuer à "rédiger sur Wikipédia". j'essaye donc '''Wikiversité'''. Une première fois sans grande satisfaction à partir du 30 octobre 2012 à 18:21. Enfin, Je décide de persévérer & demande l'aide de  Lionel Scheepmans le 30 avril 2015, sur sa page de discussion. * C'est à partir du choix de Wikiversité comme projet principal que se pose de manière incontournable la question de la bibliographie : je ne veux et ne peux sortir de l'environnement Wikimedia. Je choisis donc '''Wikidata''' pour la construction de ma bibliographie. ==== L'état de ma recherche ==== La partie la plus aboutie de mon travail est la bibliographie : elle met en synergie fr.wikiversity.org avec wikidata.org, fr.wikisource.org & commons.wikimedia.org. La Wikipedia francophone étant utilisée comme une source tertiaire. Ma maîtrise de l'anglais me permet de comparer pour mes besoins de recherche, la [[w:Wikipédia:Accueil_principal|Wikipedia francophone]] avec la [[w:en:Main_Page|Wikipedia anglophone]]. Dans une moindre mesure, j'ajoute la [[w:ht:Paj_Prensipal|Wikipédia en créole haïtien]]. Le créole haïtien est une langue classique très élaborée que je n'écrit ni ne parle. Le duo Wikidata /fr.Wikiversity agit actuellement comme le moteur de mon activité de recherche avec les projets Wikimedia mais, le projet évolue vite. Le temps de formation reste long & fastidieux. Il n'est pas évident de comprendre la logique du projet & des changements en autodidacte. Ma formation est toujours en cours. Après une discussion, à partir du 25 septembre 2015, sur l'opportunité d'une [[Discussion:Bases de données bibliographiques|Bases de données bibliographiques]] & les moyens à se donner, j'ai puplié, dès le 9 août 2016, en guise de conclusion, une "[[Bases de données bibliographiques|page bibliographique modèle]] et dans mon espace de recherche : cette bibliographie collaborative est en libre accès deux fois : une fois sur Wikidata, une autre fois sur Wikiversité. === Mes axes de travail & propositions === Depuis janvier 2016, la construction de la bibliographie de la La recherche [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]] occupe tout mon temps. C'est dans cette perspective que je fais les propositions ci-dessous pour faciliter le travail, améliorer les résultats et pouvoir ainsi apporter des éléments nouveaux au sujet de la recherche scientifique pour amateurs & scientifiques dans un environnement wikimédien. propose sur sa page d'accueil<ref>[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages, page d'accueil]]</ref>, d'établir une méthodologie de travail collaboratif développé dans un laboratoire de recherche dédié aux problématiques de l'histoire des traites et des esclavages à travers l'histoire de l’Humanité, utilisant l'environnement numérique pluriculturel, multilingue & pluridisciplinaire offert par le mouvement Wikimedia. Ce projet de laboratoire prend en compte l'état de la question tant dans les sociétés civiles contemporaines que dans les productions [[w:Académie|académiques]] & [[w:Institution|institutionnelles]]. ==== Chercher dans un espace Wikimédien dédié ==== [[Fichier:030046e3.jpg|100px|vignette|gauche|Heu... de quel [[w:Hippopotamidae|Hippopotamidae]] parlez-vous ?<ref>Crédits : [https://www.facebook.com/jeanmarie.theodat/posts/3574947785864244?notif_id=1567589106009989&notif_t=close_friend_activity> Jean Marie Théodat, Urbater, Haïti Konbit 2019 !]</ref>]]. Je propose de visionner la vidéo '''''Brase lide an bandisyon ! Brainstorming collaboratif sur le terrain'''''<ref>[https://www.facebook.com/saintgeorge.dalayrac/posts/10213853247877124?notif_id=1567649406769306&notif_t=feedback_reaction_generic Brase lide an bandisyon ! Brainstorming collaboratif sur le terrain], [[w:Haïti|Haïti]].</ref>. Elle est courte (4:24). Elle illustre bien trois de mes centres d'intérêts et la philosophie du partage des savoirs qui m'anime en construisant des outils pour la création d'une base de données bibliographiques entre Wikidata & Wikiversité, sur le thème : [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages]] L'idée est de se donner des moyens pour une collaboration entre projets francophones d'une part, entre composantes internationales de la Wikimedia francophone d'autre part. Et, in fine d'établir un réseau international de Wikimédiens chercheurs. Les projets Wikimedia développent une écriture & une méthodologie universelle. Elle met en partage les savoirs & savoirs faire les plus divers. Proposer au [[w:Comité des travaux historiques et scientifiques|Comité des travaux historiques et scientifiques (CTHS)]] une collaboration dans le cadre de son développement numérique me semble déterminant pour la recherche scientifique en sciences humaines & sociales et particulièrement en histoire des traites & des esclavages. Je crois comprendre que l'objectif de WikiConvention est d'établir un tel réseau au niveau francophone. Dans cette perspective, la séance informelle de réflexion sur les projets Wikimedia & la recherche en histoire de l'époque moderne (1492-1815) que nous avions eu en 2018 à Grenoble<ref>[[Sujet:Um3s327xzx4s7vgs|Sur la recherche scientifique au sein des projets Wikiversité]] ; [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire/Réunion/2018/10/06 Wikimédia et Histoire/Réunion/2018/10/06] ; [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire#Contacts Wikimédia et Histoire sur Meta].</ref>, aurait alors enfanté d'une part cette table-ronde, d'autre part dans le projet [[w:Projet:Noircir Wikipédia|Projet Noircir Wikipédia]], partagés entre [[w:Wikimedia Belgique]] & [[w:Wikipédia:Wikimedia CH|Wikimedia CH]]. Ces deux pays multilingues ont certainement plus d'aisance pour concevoir un réseau polyglotte. ==== Créer des outils adaptés aux chercheur & de la formation ==== Le développement d'outils adaptés aux chercheur & l'organisation de la formation me semblent des étapes incontournables. Depuis WikiConvention 2018, plusieurs propositions ont été faites au cours des échanges à propos de cette table-ronde sur fr.Wikiversity, par exemple, d'aller voir collectivement sur en:Wikiversity ce que font nos amis anglophones en matière de recherche scientifique. ==== Méthodes collaboratives sur le terrain entre chapters ==== La coordination des éditions multilingues sur '''Wikisource''' de la littérature du domaine public sur le thème des traites & des esclavages, particulièrement des textes concernant la colonisation française aux Amériques ; la première abolition de l'esclavage atlantique dans les Amériques à Saint-Domingue, puis par la puissance colonisatrice esclavagiste ; la révolution atlantique de 1763 à 1888 me semble indispensable. Contrairement à ce qui se passe sur Wikimedia Commons, la synchronisation des travaux reste volontaire. Cela fait partie des missions d'un laboratoire de recherche. La création multilingue des éléments bibliographiques sur '''[https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page Wikidata]''', la [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Terms_of_Use/en base de connaissance libre] de l’environnement [[w:Mouvement Wikimédia|Wikimedia]]. Nous ne pouvons pas attendre que cela se fasse "tout seul", sans concertation. Est-il possible de réaliser un travail bibliographique scientifique sur les traites & les esclavages sans concertation internationale entre chapters alors qu'il y a encore tant à découvrir sur ces pratiques universelles ? En corollaire, La mise au point d'une procédure stable pour la création d'un élément bibliographique sur Wikidata et son import sur Wikiversité me semble indispensable. ==== Collaborer avec les institutions spécialisées dans le domaine scientifique ==== La collaboration avec Haïti<ref>Qui est Jean Marie Théodat ? [https://www.haitilibre.com/article-6339-haiti-education-filieres-de-formation-a-l-universite-henri-christophe.html Jean-Marie Théodat, Président du Conseil de Gestion du nouveau campus Henri Christophe à Limonade], a fait savoir que la nouvelle université dont la première rentrée, est programmée pour le 8 octobre 2012 (date anniversaire de la mort d’[[w:Henri Christophe|Henri Christophe]] ; [[ht:Anri Kristòf|Anri Kristòf]]), proposera des filières longues, courtes ainsi que de la formation continue"</ref> & le développement de [[w:ht:Paj_Prensipal|Wikipédia en créole haïtien]]. Je pense que cette proposition est en cours et que [[w:Projet:WikiFranca|WikiFranca]] & la Francophonie développent de tels projets en Haïti. Je ne reçois pas des informations suffisantes à ce sujet et je propose une mise en place volontaire à WikiConvention 2019. Vierzon, par sa proximité de Paris, ses accès ferroviaires, routiers & autoroutiers offre des opportunités pour l'rganisation de journées d'études ayant pour objectif le développement de cet environnement de recherche pour amateurs & scientifiques avec les projets Wikimedia. Ce peut être également un levier pour renforcer l'organisation des Wikimédiens en Région Centre-Val de Loire. Depuis 27 mars 2006<ref>[https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Modèle:Bac_%C3%A0_sable&oldid=6305649 Modèle:Bac à sable:Ceci est une version archivée de cette page en date du 27 mars 2006]</ref>, je laisse des traces sur les projets Wikimédia sans pouvoir les appréhender de manière globale. Une première étape serait de réaliser une synthèse puis une étude comparative avec les productions similaires afin de déterminer si mes contributions à Wikimedia ont apporté quelque innovations aussi bien sur le plan méthodologique que sur le plan intellectuel qui constituerait une partie importante de ma thèse<ref>{{bibliographie|Q67172764}} dans la collection {{bibliographie|Q67172633}}</ref>. Ce serait aussi le moyen de rompre la solitude du contributeur-chercheur. === Liens utiles === *[http://www.humanisti.ca/a-vos-agendas-assemblee-generale-dhumanistica-8-juin-2016-et-dh-benelux-9-10-juin-2016/ Association francophone des humanités numériques/digitales​] == Pourquoi faut-il chercher : exemples tirés de mes pratiques de recherche == Soyons clairs : le chercheur, amateur ou professionnel, veut la réponse à une question qu'il se pose et qu'il insère dans une discipline scientifique. Cette démarche passe par plusieurs phases, exige du temps et entre en conflit avec d'autres activités toujours essentielles pour le bien-être de la personne. Il faut donc faire des choix économiques même quand on est amateur pour maintenir une santé un équilibre. Sur le plan scientifique, il reste toujours essentiel de ne présenter que des résultats fiables d'où une réserve épistémologique dans une forme de huis-clos avec des pairs<ref>{{bibliographie|Q67173783}} ; {{bibliographie|Q67173657}.</ref> === Premier exemple : lire une image d'archive === [[File:Catéchiste prisonnier dans un filet, Les Baloïs (Haut-Oubanghi), 1905.jpg|vignette|100px|left|"Nous travaillons à être vérifiables ou falsifiables", [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]].]] [[Fichier:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|100px|vignette|gauche|Caricature de Alexandre Dumas]] [[Fichier:Cabeza Colosal nº1 del Museo Xalapa.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Olmèques|Olmec]] head or [[w:Tête colossale|colossal head]] found in [[w:San Lorenzo (Veracruz)|San Lorenzo Tenochtitlán]]]] L'image du [[c:File:Catéchiste prisonnier dans un filet, Les Baloïs (Haut-Oubanghi), 1905.jpg|Catéchiste prisonnier dans un filet, Les Baloïs (Haut-Oubanghi), 1905]] accompagne mes travaux de recherche depuis 1981. Son mystère a été levé grâce à un travail de recherche collaborative sur le Le_Bistro de fr.Wikipédia du 15 mai 2013<ref>[[w:Wikipédia:Le_Bistro/15_mai_2013#Photographie_:_vente_d'une_esclave. Photographie : vente d'une|esclave]]</ref>. Le résultat de cette recherche a permis de référencer le document. Ce qui apparaît sur la page Commons en description de l'image. Sur une deuxième image, [[c:File:Alexandre Dumas Impressions de voyages, 1838.jpg|une caricature de Alexandre Dumas]], Je me suis trompée de sens dans un premier temps. Des recherches plus approfondies sur le net m'ont permis de modifier mon analyse. Je pense aller plus loin grâce à un travail avec Wikisource & Wikidata. Le numérique a développé l'abondance des images et leurs usages dans les travaux de recherche, sur les réseaux sociaux, dans les ouvrages scolaires. La lecture d'une image d'archive reste complexe car elle demande un background interculturel adapté. Il est possible de consulter le Laboratoire d’histoire visuelle contemporaine (Lhivic)<ref>[http://www.lhivic.org/presentation Laboratoire d’histoire visuelle contemporaine (Lhivic)]</ref> pour affiner nos pratiques et de sensibiliser les wikimédiens spécialistes de l'image sur les problématiques de l'image d'archive. === Deuxième exemple : rediriger vers un article de Wikipédia === — J'aimerais avoir des informations sur l'esclavage en général, que ce soit en Afrique noire ou en Europe. Quand je dis informations, je parle de commencement, de but, de conséquences, de coupable et de fin. — Pour répondre à votre demande d'information, vous pouvez chercher des ouvrages sur l'esclavage en Europe et en Afrique dans notre catalogue, ou copier les titres suivants pour les rechercher sur ce même lien. Vous pouvez consulter Wikipedia l'encyclopédie libre : l'article "[[w:Esclavage|Esclavage]]" l'article "[[w:Esclavage en Afrique|esclavage en Afrique]]" le [[w:Portail:Esclavage|portail Esclavage]] Signé : Eurêkoi - Médiathèque de Rueil-Malmaison<ref>[https://balises.bpi.fr/histoire/lesclavage-en-europe-et-en-afrique-noire L'esclavage en Europe et en Afrique noire], balises.bpi.fr, publié le 20/02/2015, CC BY-SA 3.0 FR </ref> {{Citation bloc|''As long as you confine the history of African people to slavery everything is cool. You won't have a problem. But when you begin to say that African people are the parents of humanity and civilization you become "controversial." Stick to slavery--stick to the script--and you are a good boy. You might even make Europeans feel guilty. You might even get a grant. You might get some money for a movie or a museum. But when you say African people have a history beyond slavery and colonialism then you find yourself with few friends outside of the African community. So be it. Nothing is going to stop us from telling the truth about our history. And we don't care whose feelings are hurt and whose feathers are ruffled. We are past that. Ase!''|Runoko Rashidi<ref>[ Runoko Rashidi, 5 septembre 2019, à 04:22]</ref>}} === Troisième exemple : repérer les erreurs des chercheurs === {{Citation bloc|Its first elected President was Gratien Candace, a colored deputy in the French Parliament representing the island<ref>Lire "colonie"</ref> of Martinique<ref>Lire "Guadeloupe"</ref>, who won recognition on the basis of his successful fight to force the French government to take a stand on prejudices about people of African|2019 - {{bibliographie|Q67155352}}<ref>Publié dans {{bibliographie|Q67155371}}</ref>.}} == X == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter X.jpg|100px|vignette|centré]] == Y == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter Y.jpg|100px|vignette|centré]] == Z == [[Fichier:King James Bible (1611) page A3v (Z).xcf|100px|vignette|centré]] === Zamor, nègre de Madame Dubarry === <gallery> Fichier:Madame du Barry and the Page Zamore by Gauthier-Dagoty.jpg|D'après Jean-Baptiste André Gautier-Dagoty (1740–1786) .- Zamor enfant avec Madame du Barry File:Zamor portrait by Lemoine.jpg|Marie-Victoire Lemoine (1754–1820).- [http://www.cummermuseum.org/visit/art/permanent-collection/portrait-youth-embroidered-vest Portrait supposé de Zamor, 1785]. </gallery> == Joseph Antoine Zorn de Bulach == Joseph-Antoine, baron Zorn de Bulach, [https://www.cnrtl.fr/definition/capitulaire capitulaire] de l'ordre de Saint-Georges, Buste, face, Image fixe, {{BNF|41919868c}} Zorn de Bulach, Joseph Antoine (1736-1817), ''issu d'une ancienne famille alsacienne, officier sous la monarchie, il n'a pas émigré durant la …'' La Revue musicale - Numéros 127 à 131 - Page 89, 1932 : "''Or, parmi les seigneurs qui accompagnaient le prince, nous trouvons le baron Zorn de Bulach, dont le journal a été publié ... Son fils Antoine (1738-1794) lorsqu'il devint grand-maître des cérémonies et préfet de Sopron, donna, à l'occasion de son ... On y présenta l'opéra de Joseph Weigl : Vénus et Adonis (1) Carl KREBs …''" L'Ambassade Du Prince Louis de Rohan a la Cour de Vienne ... "''Anton Joseph Zorn Von Bulach, 2018, This book is a reproduction of an important historical work''". Jacques Bariéty.- Les relations franco-allemandes après la première guerre ... - Page 18, 1977, "''Sur le fonds de tableau du « malaise alsacien », une personnalité alsacienne, le baron Claus Zorn de Bulach, fonde au printemps 1922 une nouvelle organisation, le « parti alsacien » et tient une première réunion à Strasbourg, à la Maison …''" == Bibliographie à traiter == === Bibliographie historique === 1838 - 1843 {{bibliographie|Q86473521}}, œuvre écrite <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies --> # 1838 - {{bibliographie|Q88288369}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.1 --> # 1839 - t.2 # 1840 - {{bibliographie|Q88187346}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.3 --> # 1842 - t.4 # 1843 - {{bibliographie|Q88188079}}, Table alphabétique par noms d'auteurs et par titres d'ouvrages anonymes <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.5 --> === Bibliographie d'histoire coloniale === * 1900-1930 - {{bibliographie|Q28867707}} <!-- Bibliographie d'histoire coloniale --> == Esclavage & littérature sous la monarchie de Juillet == === 1840 - 2001 - Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges === * 1807-1866 - [[w:Roger de Beauvoir|Roger de Beauvoir]] : une œuvre romanesque & théâtrale du XIXe siècle ==== Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges (théâtre) ===== {| class="wikitable" |+ Texte de la légende |- ! Anglais !! Français |- | The Femmes Savantes was followed by the Chevalier de St Georges a piece of startling interest which James Wallack made popular in an English dress at the Princess's Theatre. Lafont in the Chevalier was in imitable. His earnest scenes and his comic ones were equally admirable. M Rhozevil in the Baron acted with great power Malle Martelleur in Madame Présle had for the first time an opportunity of displaying her full powers to an English audience In impassioned dialogue this charming artist may vie with any of the leading. French comedians and there is a delicacy and refinement about her quiet scenes a playful humour and a fund of gentle irony that few modern actresses possess and that render her impersonations as agreeable as they are natural and true In the first scene where she narrates the history of the Chevalier St Georges in the scene at her own house where she endeavours to find out the secret of his heart in the music scene and above all in the scene where she comes alone to his house to persuade him to abandon the duel with his unknown brother. Malle Martelleur evinced the powers of a great artist and won the spontaneous and hearty applause of the audience. Much may be said in com of the perfect manner in which she dresses her characters an accomplishment by no means to be despised in these days. In the Femme de quarante ans which is announced for Friday night we shall expect from Malle Martelleur a development of her distinguished abilities The house was crowded with the aristocracy and the élite of the beau monde Everything indicates a prosperous season for Mr Mitchell || Les Femmes savantes sont suivies par le chevalier de St Georges, pièce d’un intérêt saisissant que James Wallack rend populaire dans une robe anglaise au Princess Theatre. Lafont dans le Chevalier était imitable. Ses scènes sérieuses et ses comiques étaient tout aussi admirables. M Rhozevil dans le Baron a joué avec beaucoup de puissance Malle Martelleur dans Madame Présle a eu pour la première fois l’occasion de montrer ses pleins pouvoirs à un public anglais Dans le dialogue passionné cette charmante artiste peut rivaliser avec l’un des principaux Comédiens français et il y a une délicatesse et raffinement sur ses scènes tranquilles un humour ludique et un fonds d’ironie douce que peu d’actrices modernes possèdent et qui rendent ses imitations aussi agréables qu’elles sont naturelles et vraies Dans la première scène où elle raconte l’histoire du chevalier St Georges dans la scène de sa propre maison où elle s’efforce de découvrir le secret de son cœur dans la scène musicale et surtout dans la scène où elle vient seule chez lui pour le persuader d’abandonner le duel avec son frère inconnu. Malle Martelleur a montré les pouvoirs d’un grand artiste et a gagné les applaudissements spontanés et chaleureux du public. Beaucoup peut être dit en com de la manière parfaite dans laquelle elle habille ses personnages un accomplissement par aucun moyen d’être méprisé en ces jours. |- |[https://books.google.fr/books?id=dfksAAAAYAAJ&pg=PA605#v=onepage&f=false The Musical World, Volume 20, page 605] || Traduction en français (Reverso) |} == Bibliographie à saisir dans Wikidata == * 1758 - Jeanne-Marie Leprince de Beaumont.- [https://books.google.fr/books?id=AcA5AAAAcAAJ Civan, Roi De Bungo: Histoire Japonnaise, Ou Tableau De L'Éducation D'Un Prince], Volume 1, 1758. * 1911 - Shepherd, William R. (William Robert), 1871-1934.- Historical atlas, [https://archive.org/details/bub_gb_6Zc9AAAAYAAJ IA] ; [https://books.google.fr/books?id=kagMAAAAIAAJ Google Books] : [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015082411151&view=1up&seq=7 Hathitrust] * 2011 - Philippe Bourdin.- [https://www.leslibraires.fr/livre/5696174-les-nuits-de-la-revolution-francaise-actes-du--philippe-bourdin-presses-universitaires-de-clermont-ferrand Les nuits de la Révolution française], Actes du colloque international, Clermont-Ferrand, 5-6 septembre 2011 * [https://books.google.fr/books?id=ohVcAAAAcAAJ&pg=PA105#v=onepage&q&f=false Alexandre Dumas.- Un mariage sous Louis XV: comédie en cinq actes] * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9791346b/f5.image.r= Essai sur l'amélioration du sort des esclaves] * Urusov, A. M., kniaz .- [https://archive.org/details/rsumhistoriq00urus/page/n7/mode/2up Résumé historique des principaux traités de paix conclus entre les puissances européennes depuis le Traité de Westphalie (1648) jusqu'au Traité de Berlin (1878)] * Thomas Clarkson.- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5791078f Résumé du témoignage donné devant un comité de la Chambre des communes de la Grande Bretagne et de l'Irlande, touchant la traite des nègres, adressé... aux différentes puissances de la chrétienté] * Élie-Louis (1744-1806).- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97902792/f111.item Recueils de pièces imprimées concernant les colonies Guyane, Martinique, Guadeloupe, Saint Domingue Dupuch] * Pierre-Louis Moline.- [https://books.google.fr/books?id=ohVcAAAAcAAJ&pg=PA105#v=onepage&q&f=false La réunion du 10 août ou l Inauguration de la république françoise] sans culotide dramatique en cing odes & en vers mélée de des clamations chants danses & évolutions militaires par G BOUQUIER membre de la convention nationale & du comité d inftruction publique & PL MOLINE Secrétaire gref fier attaché à la convention * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774482x/f140.image.r=ordonnance%20royale%20du%205%20janvier%201840,%20relative%20%C3%A0%20l'instruction%20religieuse,%20%C3%A0%20l'instruction%20primaire,%20et%20au%20patronage%20des%20esclave?rk=42918;4 Bulletin officiel de la Guyane française] * [https://archive.org/details/guerressouslouis04pajo Les guerres sous Louis XV, volume 4] ==== Les prétendus enfants de couleur de Louis XIV ==== [[Fichier:Louis ambassador 1663.jpg|100px|vignette|gauche|Louis XIV reçoit les ambassadeurs des treize cantons suisses, Louvre, 11/11/1663]] [[w:Alexandre Bontemps|Alexandre Bontemps]] [[w:Homme au masque de fer|Homme au masque de fer]] [[w:Louise Marie Thérèse|Louise Marie Thérèse]], la mauresse de Moret [https://www.iremus.cnrs.fr/fr/projet-de-these/musique-et-musiciens-la-cour-dhenri-iv-1589-1610 Musique et musiciens à la cour d'Henri IV (1589-1610)] {{YouTube|mrzG1E5frLM|Praetorius, Guédron: Grand Bal à la cour d'Henri IV}} * 2011 - {{bibliographie|Q108844688}} <!-- Alexandre Bontemps : premier valet de chambre de Louis XIV --> * [[w:en:Serge Aroles|Serge Aroles]].- [https://sergearoles-documents-archives.com/2017/01/14/enfants-metis-de-louis-xiv/ Archives secrètes du Vatican, Archives de douze pays] : homme au masque de fer et [w:Louise Marie Thérèse|Louise Marie Thérèse, mauresse de Moret], enfants métis de Louis XIV, 14 janvier 2017. [https://sergearoles.files.wordpress.com/2021/03/archives-secretes-du-vatican-homme-au-masque-de-fer-et-mauresse-de-moret-3.pdf Cliquer ici pour obtenir le pdf]. * [https://sergearoles-documents-archives.com/2016/12/20/la-mauresse-de-moret-lenigme-de-la-fille-noire-de-louis-xiv-resolue-par-les-archives/ La mauresse de Moret. L’énigme de la fille noire de Louis XIV résolue par les archives ?] * Mathieu DA VINHA === Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances === [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb307941569 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, BNF, Notice d'ensemble] Auteur(s) : France Titre(s) : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830 [Texte imprimé] / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris Publication : Paris : Paul Dupont, 1834-1840 Description matérielle : 20 vol. ; in-8 * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 3 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447704h Gallica] * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.11 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441469z Gallica] * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 15 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454798x Gallica] === Série bibliographique par mots clés === * [https://babel.hathitrust.org/cgi/ls?field1=ocr;q1=Jean-Gabriel%20Stedman;a=srchls;lmt=ft Jean-Gabriel Stedman] * [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=encyclop%C3%A9die+des+voyages&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok encyclopédie des voyages] * [https://babel.hathitrust.org/cgi/ls?field1=ocr;q1=Nouveaux%20supple%CC%81ments%20au%20Recueil%20de%20traite%CC%81s%20et%20d%27autres%20actes%20remarquables%2C%20servant%20a%CC%80%20la%20connaissance%20des%20relations%20e%CC%81trange%CC%80res%20des%20puissances%20et%20etats%20dans%20leur%20rapport%20mutuel%2C%20depuis%201761%20jusqu%27a%CC%80%20pre%CC%81sent;a=srchls;lmt=ft;pn=1 Nouveaux suppléments au Recueil de traités et d'autres actes remarquables, servant à la connaissance des relations étrangères des puissances et etats dans leur rapport mutuel, depuis 1761 jusqu'à présent] == Notes & Références == {{Références}} 2yucoljp7ahtvpqr0p5a1de4t81zr9t 2 73723 881270 881258 2022-08-13T14:26:10Z Ambre Troizat 8860 /* Introduction */ Guerre de Succession d'Autriche, Guerre de Sept Ans wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. === Mémoire de la victoire de Fontenoy === [[Fichier:Plan de la bataille de Fontenoy remportée le 11 mai 1745.jpg|100px|vignette|gauche|Plan de la bataille de Fontenoy remportée par les français]] [https://archive.org/details/mmoiresdumarqu45boui/page/n13/mode/2up?q=Fontenoi Citation de la victoire de Fontenoy], affrontement de la guerre de Succession d'Autriche qui se déroula le 11 mai 1745 près de Fontenoy dans les Pays-Bas autrichiens (Belgique actuelle), l'armée française étant commandée par Louis XV.<br> La comparaison entre la guerre de Succession d'Autriche et la [[w:Guerre de Sept Ans|Guerre de Sept Ans]] de 1756 à 1763, est une critique de la fin de règne de Louis XV. Ce ne sont pourtant ni les mêmes soldats, ni les mêmes chefs. === Les chefs de guerre sont âgés voire décédés === * Maurice de Saxe (1696-1750) * Louis de France (1729-1765) * Maréchal-duc de Noailles (1678-1766) === La guerre, ses terrains de bataille et ses objectifs ont profondément évolués === Les conflits dynastiques en Europe s'enchevêtrent avec les guerres de conquêtes entre les puissances coloniales. Les victoires sur mer sont dorénavant plus déterminantes que les victoires continentales. Les succès ou les défaites maritimes impactent l'avenir économique des belligérants. Les forces en présence laissent augurer la défaite de la puissance coloniale française. === Mondialisation des conflits religieux === == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : === Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 === * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. * : Conseiller d'Etat Jean de Boullongne<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_Assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/yGmizhA1S1UC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover 1]</ref> * 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit<ref>* 1998 - {{bibliographie|Q113501926}} <!-- Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) --><br>Selon Généanet, Jean de Boullongne (1690-1769) aurait élevé [[w:Alexis Piron]], Poète (1689-1773). Cf. [https://gw.geneanet.org/garric?n=de+boullongne&oc=0&p=jean sur Généanet]</ref> {{Citation bloc|Fig 59 BOULLONGNE Jean Nicolas de conseiller d État intendant des finances honoraire et associé libre de l Académie de peinture et de sculpture de Paris C est le fils de l ardent amateur Jean de Boullongne comte de Nogent mentionné dans l Armorial du bibliophile t I p 114 col 1 Le fils se montra digne du père et sa collection égalait la sienne Elle fut vendue après la mort du propriétaire mais le catalogue n en mentionna qu une partie Le reste fut acheté en bloc par des libraires Né le 1 novembre 1726 Jean Nicolas de Boullongne mourut en 1787 Catalogue des livres de la bibliothèque de feu de M de Boullongne conseiller d État Paris né de la Rochelle 1787 In 8 de 55 pp comprenant 880 numéros|Le Livre, revue du monde littéraire--archives des écrits de ce temps ..., 1880<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_Livre/OM89AQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA341&printsec=frontcover ref 2]</ref>}} Par ailleurs, nous connaissons partiellement le [https://www.google.fr/books/edition/Nouvel_armorial_du_bibliophile/QWw_q0KtBA0C?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA80&printsec=frontcover catalogue des bibliothèques de Jean & Jean Nicolas de Boullongne]. Voir également [https://www.google.fr/books/edition/L_%CC%81_Etat_de_la_France/PWBAAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA310&printsec=frontcover Etat de la France en 1749,Tome 4, pp. 306-311] Monfeigneur Jean de Boullongne , Conseiller d'Etat au Conseil … Dans Pierre Chapelle de Jumilhac de Cubjac.- [https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/FDxd-oLILjsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover Procès-verbal de l'assemblée générale extraordinaire du clergé de France tenue à Paris en 1758] - Page 283, 1765 === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} syp02bcgp628jthrkxnbt0a2025qcyc 881273 881270 2022-08-13T14:48:58Z Ambre Troizat 8860 /* La guerre, ses terrains de bataille et ses objectifs ont profondément évolués */ Guerres navales wikitext text/x-wiki == Introduction == La vie de [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]], né en 1739, se déroule sous Louis XV et Louis XVI. militaire, sa carrière se déroule dans l'espace colonial de l'amérique du nord et des Caraïbes. Celle-ci se termine durant les années 1789-1793, en France, au service de Louis XVI puis de l'armée contre-révolutionnaire. === Mémoire de la victoire de Fontenoy === [[Fichier:Plan de la bataille de Fontenoy remportée le 11 mai 1745.jpg|100px|vignette|gauche|Plan de la bataille de Fontenoy remportée par les français]] [https://archive.org/details/mmoiresdumarqu45boui/page/n13/mode/2up?q=Fontenoi Citation de la victoire de Fontenoy], affrontement de la guerre de Succession d'Autriche qui se déroula le 11 mai 1745 près de Fontenoy dans les Pays-Bas autrichiens (Belgique actuelle), l'armée française étant commandée par Louis XV.<br> La comparaison entre la guerre de Succession d'Autriche et la [[w:Guerre de Sept Ans|Guerre de Sept Ans]] de 1756 à 1763, est une critique de la fin de règne de Louis XV. Ce ne sont pourtant ni les mêmes soldats, ni les mêmes chefs. === Les chefs de guerre sont âgés voire décédés === * Maurice de Saxe (1696-1750) * Louis de France (1729-1765) * Maréchal-duc de Noailles (1678-1766) === La guerre, ses terrains de bataille et ses objectifs ont profondément évolués === Les conflits dynastiques en Europe s'enchevêtrent avec les guerres de conquêtes entre les puissances coloniales. Les victoires sur mer sont dorénavant plus déterminantes que les victoires continentales<ref>[[w:Liste des guerres de la France|Liste des guerres de la France]] ; [[w:Liste des conflits en Europe|Liste des conflits en Europe]] ; [[w:Liste de batailles navales|Liste de batailles navales]]</ref>. Les succès ou les défaites maritimes impactent l'avenir économique des belligérants. Les forces en présence laissent augurer la défaite de la puissance coloniale française. === Mondialisation des conflits religieux === == Claude de Bouillé sous Louis XV, 1739-1774, soit 35 ans == Claude de Bouillé cite [[w:Jean de Boullongne|Jean de Boullongne]], père de Jean Nicolas de BOULOGNE, Paris le 13 octobre 1690 et mort à Paris1 le 22 février 1769 : === Carrière de Jean de Boullongne, 1690-1769 === * 1711 - : Conseiller du Roi en 1711 à 21 ans * 1711 - : Trésorier-payeur des rentes de l'Hôtel de Ville * 1724 - : Premier commis des finances * 1725 - : Conseiller au [[w:Parlement de Metz|Parlement de Metz]] * 1744 - 1757 : Intendant des finances * 25 août 1757 - 4 mars 1759 : [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances]], fonction de vérification, équivalent ministre des Finances, révocable selon le vœu du souverain<ref>Le [[w:Contrôleur général des finances|Contrôleur général des Finances (CGF)]] est, sous l'Ancien Régime, le responsable ministériel des finances royales en France, après la suppression de la charge de surintendant des finances en 1661, chargé d'administrer les finances de l'État. Jean-Baptiste Colbert fut le contrôleur le plus célèbre, de 1665 à 1683. Premier des contrôleurs généraux, il cumula le portefeuille de la Marine (1669-1683). Sous le régent, la fonction de contrôleur général est suspendue durant la [[w:Polysynodie|polysynodie]] entre 1715 et 1718. Voir [[w:Contrôleur_général_des_finances#Attributions|Attributions]].</ref>. * : Conseiller d'Etat Jean de Boullongne<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_Assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/yGmizhA1S1UC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover 1]</ref> * 1758 - 1762 : trésorier de l'ordre du Saint-Esprit<ref>* 1998 - {{bibliographie|Q113501926}} <!-- Les derniers maîtres des requêtes de l'Ancien régime (1771-1789) --><br>Selon Généanet, Jean de Boullongne (1690-1769) aurait élevé [[w:Alexis Piron]], Poète (1689-1773). Cf. [https://gw.geneanet.org/garric?n=de+boullongne&oc=0&p=jean sur Généanet]</ref> {{Citation bloc|Fig 59 BOULLONGNE Jean Nicolas de conseiller d État intendant des finances honoraire et associé libre de l Académie de peinture et de sculpture de Paris C est le fils de l ardent amateur Jean de Boullongne comte de Nogent mentionné dans l Armorial du bibliophile t I p 114 col 1 Le fils se montra digne du père et sa collection égalait la sienne Elle fut vendue après la mort du propriétaire mais le catalogue n en mentionna qu une partie Le reste fut acheté en bloc par des libraires Né le 1 novembre 1726 Jean Nicolas de Boullongne mourut en 1787 Catalogue des livres de la bibliothèque de feu de M de Boullongne conseiller d État Paris né de la Rochelle 1787 In 8 de 55 pp comprenant 880 numéros|Le Livre, revue du monde littéraire--archives des écrits de ce temps ..., 1880<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_Livre/OM89AQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA341&printsec=frontcover ref 2]</ref>}} Par ailleurs, nous connaissons partiellement le [https://www.google.fr/books/edition/Nouvel_armorial_du_bibliophile/QWw_q0KtBA0C?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA80&printsec=frontcover catalogue des bibliothèques de Jean & Jean Nicolas de Boullongne]. Voir également [https://www.google.fr/books/edition/L_%CC%81_Etat_de_la_France/PWBAAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA310&printsec=frontcover Etat de la France en 1749,Tome 4, pp. 306-311] Monfeigneur Jean de Boullongne , Conseiller d'Etat au Conseil … Dans Pierre Chapelle de Jumilhac de Cubjac.- [https://www.google.fr/books/edition/Proc%C3%A8s_verbal_de_l_assembl%C3%A9e_g%C3%A9n%C3%A9ral/FDxd-oLILjsC?hl=fr&gbpv=1&dq=Conseiller+d%27Etat+%2B+Jean+de+Boullongne&pg=PA283&printsec=frontcover Procès-verbal de l'assemblée générale extraordinaire du clergé de France tenue à Paris en 1758] - Page 283, 1765 === Jean Nicolas de Boullongne, 1726-1787 === [[w:Jean-Nicolas de Boullongne|Jean Nicolas de Boullongne]], né le 11 novembre 1726, baptisé à Versailles, alors que son père est conseiller au Parlement de Metz depuis 1724, comte de Nogent-sur-Seine en 1762. Il décède le 7 janvier 1787 à Paris<ref>[[w:Église Saint-Roch de Paris|Église Saint-Roch de Paris, Paris I° (75)]]</ref>, à l'âge de 60 ans. * 1745 : Conseiller au Parlement de Paris * 1750-1758 : maître des requêtes * 1753 : [[w:Intendant des finances|intendant des finances]] en survivance de son père * 1757 : conseiller d'Etat * 1760 : maître des requêtes honoraire * 1765 : conseiller d'État semestre * 1767 : gouverneur et lieutenant du Roi à Montereau * 1767 : Conseiller au Conseil royal des finances * 1777 : Membre honoraire de l'[[w:Académie royale de peinture et de sculpture|Académie royale de peinture et de sculpture]] * 1784 : commissaire près la [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie des Indes]] === Citation === == Claude de Bouillé sous Louis XVI == === Claude de Bouillé dans l'armée française pour l'indépendance des USA === === Claude de Bouillé, gouverneur des colonies françaises des îles du vent === === Claude de Bouillé de 1789 à 1793 === ==== Claude de Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== ==== Critiques contre Bouillé, organisateur de la fuite à Varennes ==== {{Citation bloc|J'en étois là et j'allois me livrer avec quelque force à tous les développemens de mon sujet lorsque dans le fond d'une campagne bien solitaire j'appris avec certitude la nouvelle inespérée de l'évasion du Roi : mon premier soin fut d'accourrir ici et certes ce n'étoit pas pour y faire des phrases.<br>Et moi aussi je partois mais à peine avois-je eu le loisir de me tracer mon itinéraire que je fus étourdi de l'arrestation de Varennes Cette honteuse reprise s'est exécutée avec tant de grâce et de facilité que dans ce beau projet il m est bien difficile d'y voir maintenant autre chose qu'une boutade mal concertée dont le succès a été confié comme de coutume à gens également incapables d'intelligence et de résolution<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT86&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U31vsLgy4njSSe_SIAjriVRDzOKxw&ci=120%2C214%2C732%2C734&edge=0 Journal de M. Suleau, page 25]</ref><br>Et M de Bouillé lui-même se croit-il donc bien justifié par toutes ces bravades qu'il décoche avec tant de sécurité du fond d'une retraite inaccessible C'est à mon sens un étrange courage que celui qu'on a la bonté d'admirer dans son cartel !<br> Dans les champs de Pharsale il eût fallu l'avoir<br> Quand ''tout est perdu même l'honneur'' ne sied-il pas bien de s'escrimer en rodomontades ? quelle est donc cet charlatannerie d'usurper une attitude menaçante quand on a fui honteusement sans rendre aucun combat ?<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=2ChGAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PT89&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3lCRuufrv1hy6MddSV8POiXo8DKA&ci=148%2C311%2C720%2C547&edge=0 Journal de M. Suleau, page 28]</ref>|Journal de M. Suleau<ref>Cf. Suleau in Eugène Hatin.- [https://books.google.fr/books?id=7LuBjbFRjqoC Histoire politique et littéraire de la presse en France: avec une introd. historique sur les origines du journal et la bibliographie générale des journaux depuis leur origine, Volume 7],1861</ref>, 1791, 1/4<ref>[https://books.google.fr/books?id=2ChGAAAAcAAJ Journal de M. Suleau, 1791, 1/4]</ref>.}} [[w:Élysée de Suleau|Louis-Antoine-Ange-Élysée, vicomte de Suleau]], préfet et homme politique français du XIXe siècle, naquit à Saint-Cloud (Seine-et-Oise) le 11 mars 1793. Il est décédé le 24 janvier 1871 à Aix-les-Bains. Est-il le fils du précédent ? === Claude de bouillé sous la Révolution, après la fuite à Varenes === ==== Critiques contre Bouillé émigré : caricature "''Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire''" ==== ==== L'armée de Condé ==== [[Fichier:La Contre-révolution, 1791.png|100px|vignette|gauche|Le général [[w:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], émigré, organisateur de "l'armée de Condé", devant le "Fort de la Constitution".]] [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|Armée de Condé]] Description de l’estampe : [[w:fr:Louis V Joseph de Bourbon-Condé|Louis-Joseph de Bourbon, prince de Condé, 1736-1818]] (dit ''Son altesse contre-révolutionnaire le petit Condé''), émigré, venant de reconnaître le fort de la Constitution, commande : halte ! Le général [[w:fr:Jean Thérèse de Beaumont d'Autichamp|Jean-François Thérèse Louis de Beaumont, marquis d'Autichamp, (1738-1831)]], également émigré, organisateur de "l'armée de Condé". proposant la retraite.}} |date=1791 ==== Bouillé dit ''Sacrogorgon'', général de l'''armée noire'' ==== [[Fichier:Bouillé dit Sacrogorgon, général de l'armée noire faisant faire l'exercice à un ex conseiller au parlement.png|100 px|vignette|gauche|Bouillé dit "Sacrogorgon, général de l'armée noire"]] Cette caricature semble être une allusion au rôle de Bouillé dans l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Analyser "''Les Condé, une famille au service des rois : le père Louis V Joseph de Bourbon-Condé''". Au service de qui peuvent-ils être à cette époque ?</ref>, [[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée des émigrés]]. Bouillé en uniforme, le visage et oreilles de faune, lance un commandement à un soldat maigre qui répond : ''Eh comment diable voulez-vous que je porte mon arme : je ne puis me porter moi-même ?''<ref>Société académique du Puy et de la Haute-Loire.- Bulletin historique, scientifique, littéraire, artistique et agricole illustré, Volumes 31 à 36, 1953</ref> {{Citation bloc| Caricatures sur le [[w:François Claude de Bouillé|marquis de Bouillé]] La qualification de ''Général de l'Armée noire'' donnée au marquis de Bouillé ne voudrait-elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats imaginaires étaient du domaine des ombres chinoises, de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette ?<br>Nous retrouvons à l'appui de notre interprétation le mot de ''fantoccini'' appliqué au même moment aux [[w:Émigration française (1789-1815)|émigrés de Coblentz]] sur une caricature mise au jour comme la précédente après la [[w:Fuite de Varennes|fuite de Varennes]]<ref>Fuite de Louis XVI & de sa famille des 20 et 21 juin 1791</ref> et lors de la formation de l'[[w:Armée_des_émigrés#Armée_de_Condé_(1791-1801)|armée de Condé]]<ref>Armée de Condé, 1791-1801.</ref> : ''La foire de Coblentz ou les grands fantoccini français'' (pièce coloriée). Une autre charge de la même époque reproduit encore ce mot de ''Noirs'' s'appliquant à l'émigration : ''La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs'', eau-forte par Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre ''Bouille Klinglin et Heyman brûlés en effigîe à Strasbourg'' pièce coloriée<ref>Voir également ''Catalogue d'estampes, portraits et pieces historiques, règne de Louis XVI, aérostats, revolution de 1789, composant le cabinet de M. L..., Éditeur Renou, 1858, [https://books.google.fr/books?id=RUjfr_yC6C4C Original provenant de la Bibliothèque Nationale d'Autriche]</ref>.|(Oued Medjedel{{Refnec}}), H. Viennel.- L'intermédiaire des chercheurs et curieux, Volume 1, 1864<ref>[https://books.google.fr/books?id=xfQwAQAAMAAJ L'intermédiaire des chercheurs et curieux], Volume 1, 1864, page 301</ref>}} ==== Claude de Bouillé : exil en angleterre ==== == Bibliographie == [[w:François Claude de Bouillé|François Claude de Bouillé]] * Google Books : Mots clés : Mémoires de M. le Marquis de Bouillé : pendant son administration aux Isles du Vent de l'Amérique * Internet Archive : François-Claude-Amour de Bouillé * Internet Archive : Collection des mémoires relatifs à la révolution française BNF * BNF, Mots Clés : Bouillé, François-Claude-Amour de (1739-1800) * BnF : Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797, {{BNF|37256157d}} ; {{BNF|30140695j}} ** [https://books.google.fr/books/about/M%C3%A9moires_sur_la_r%C3%A9volution_fran%C3%A7aise.html?id=VLYvAAAAMAAJ&redir_esc=y Marquis de Bouillé.- Mémoires sur la Révolution française, Londres, Cadell et Davies, 1797] == Notes & Références == {{Références}} 0ddg2isq52bq8qgse751ffmwjjapvu6 104 75407 881287 880451 2022-08-13T22:35:16Z Slzbg 68495 pluriel wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche |parent = [[Faculté:Philosophie/Travaux de recherche|Travaux de recherche en Philosophie]] |département = Philosophie morale |idfaculté = Philosophie }} <noinclude>{{AutoCat}}</noinclude> Par [[Utilisateur:Webmust|Webmust]] ([[Discussion utilisateur:Webmust|discussion]]) {{Critique}} {{Relire}} [[File:Echelle de Cochard - annexes.pdf|thumb|Fichier PDF de plusieurs échelles de Cochard vierge directement utilisable ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Echelle_de_Cochard_-_annexes.pdf télécharger]).]] L'échelle de Cochard est un outil permettant la mesure de la valeur éthique des actions, des règles, des lois ou autres en les transposant sur une échelle de valeurs morales. Je sollicite vos réactions, vos avis, vos critiques aussi bien sur la forme que sur le fond du travail présenté ici. Vous pouvez utiliser la page de [[Discussion_Recherche:Échelle_de_Cochard|discussion]]. Le texte ci-après n'est qu'un résumé de ce que vous trouverez dans le [https://logiciel-libre.ch/_media/ressources/echelle_de_cochard/echelle_de_cochard.pdf document PDF joint]. Consulter sur le site web d’origine : [https://logiciel-libre.ch/ressources/echelle_de_cochard/accueil https://logiciel-libre.ch/ressources/echelle_de_cochard/accueil]. Merci à tous. == Introduction == Dans le cadre de philosophie politique et d'éthique, il m'était nécessaire de disposer d'un outil simple pour illustrer de manière frappante des idées et des faits. J'ai assidûment cherché une échelle de valeurs morales sur laquelle il m'était possible de calquer toutes sortes de choses comme, par exemple, des règles ou des lois afin d'en évaluer la valeur éthique. Je n'ai trouvé aucune échelle de ce genre. J'ai donc décidé d'en créer une. Il est possible qu'une échelle similaire préexiste. N'en ayant pas trouvé, j'avais la possibilité de la faire en fonction de mes besoins. Ainsi j'ai créé cette échelle en septembre 2017 et je l'ai utilisée dans un diaporama. Dans mon usage initial, je voulais transposer graphiquement "le droit" sur "la morale". Des auteurs ce sont servis de cercles pour illustrer leurs pensées. Hors, ces illustrations n'étaient pas pertinentes pour mon travail. Elles ne permettaient pas d'illustrer ce que je voulais figurer. Dès sa création, je voulais permettre à toutes et à tous d'utiliser cet outil. C'est la raison pour laquelle j'ai poussé le travail plus avant pour aboutir au présent document. Je l'ai donc précisé et complété pour obtenir une échelle directement utilisable pour des usages divers et variés aussi larges que possible. Dès lors, vous pouvez vous en servir dans vos travaux pour, par exemple, tester des hypothèses, appuyer vos recherches ou illustrer vos idées. Cette échelle n'étant pas rigide, il est possible de l'adapter, de l'affiner, de la modifier en fonction des besoins de toute personne qui souhaiterait s'en servir. Aussi, dans un tel cas, il sera important d'en préciser les contours et de justifier les choix de modifications pour donner du crédit à son utilisation et permettre les critiques constructives. == Problèmes moraux == Comme vous le savez certainement, la morale est un sujet complexe. Beaucoup de philosophes ont traité le sujet de la morale et ils arrivent souvent à des conclusions différentes et à des paradoxes. Le problème premier étant les fondements de la morale elle-même. La morale est-elle indépendante de l'être humain ? Est-elle une loi naturelle ? Ou alors, est-ce une construction humaine ? Il y a d'autre part le problème des dilemmes moraux comme, par exemple, le dilemme du tramway<ref group="A">'''[fr]''' Le dilemme du tramway sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dilemme_du_tramway.</ref>, <ref group="A">'''[fr]''' Vidéo de Monsieur Phi (avec Lé) : https://www.youtube.com/watch?v=AZBDMN5wZ-8.</ref> ou l'expérience de Milgram<ref group="A">'''[fr]''' L'expérience de Milgram sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Milgram.</ref>, <ref group="A">'''[fr]''' Vidéo documentaire "Le jeu de la mort" : https://www.youtube.com/watch?v=3vdHki_R37M.</ref> sur la soumission à l'autorité. Le dernier problème étant l'état des mœurs à un moment donné et à un lieu spécifique. En effet, les mœurs changent d'une époque à l'autre et d'une société à l'autre. Il est difficile de composer avec ces problèmes. Je voulais les éviter au maximum en faisant une échelle très basique afin qu'elle soit la plus universelle possible. Je l'ai pensée afin que ce soit la position des objets mesurés qui change selon l'époque et le lieu et non l'échelle elle-même. Malgré cela, il est possible que l'échelle soit tout de même adaptée en fonction des circonstances. L'échelle de Cochard ne prétend pas apporter de solutions aux différents problèmes moraux. C'est juste un outil. Les possibilités d'utilisation sont vastes. En illustrant des faits et des idées, cet outil permet d'aider à la réflexion et aux débats. <references group="A"/> == Construction de l'échelle == L'échelle de Cochard est, dans sa forme la plus simple, un axe vertical gradué similaire à un thermomètre. La graduation représente des valeurs morales allant de la plus immorale (au bas de l'échelle) à la plus vertueuse (au sommet de l'échelle). Je l'ai graduée en quatre zones principales de taille égale. Chacune de ces zones étant elle-même subdivisée en cinq parties de taille égale. Nous obtenons donc une échelle composée de 20 graduations égales regroupées en 4 zones contenant elles-mêmes 5 graduations chacune. === La graduation === De haut en bas nous trouvons : * '''La zone vertueuse :''' Inclut tout ce qui nécessite un réel effort pour le bien d'autrui. Ceci résulte d'un choix personnel assumé de faire plus que le nécessaire pour le bien d'autrui. La bienveillance, l'altruisme, le partage, l'entraide, le don, l'engagement dans des causes sociales et dans tout ce qui relève du bien commun entrent dans cette zone. * '''La zone respectueuse :''' Inclut tout ce qui nécessite un effort minimum pour ne pas faire de mal à autrui. La tolérance, la politesse, la bonne foi et la civilité entrent dans cette zone. C'est, par exemple, dire "bonjour" parce qu'on a appris à le faire et pas forcément pour souhaiter réellement à l'interlocuteur que sa journée soit belle. * '''La zone irrespectueuse :''' Inclut tout ce qui nécessite l'absence de prise en compte d'autrui. Ceci n'est pas forcément l'émanation d'une volonté délibérée de faire du mal. L'intolérance, l'égoïsme, la grossièreté entrent dans cette zone. Il faut aussi y inclure la maladresse et les comportements induits (l'éducation par exemple) qui peuvent modérément nuire à autrui sans que l'intéressé n'en ait conscience. * '''La zone malhonnête :''' Inclut tout ce qui nécessite un réel effort pour faire du mal à d'autrui. Ceci résulte d'un choix personnel assumé d'agir à l'encontre d'autrui. La malveillance, la méchanceté, la fraude entrent dans cette zone. Il est nécessaire de bien comprendre ces définitions pour chacune des zones et de bien en saisir les nuances. Vous pourrez m'aider à affiner ces contours pour les prochaines versions du document explicatif. Contactez-moi ([[Discussion_Recherche:Échelle_de_Cochard|page de discussion]]) si vous rencontrez des cas particuliers qui sont problématiques avec l'utilisation de cette échelle sous cette forme. Nous pouvons maintenant voir que les deux zones supérieures forment une section que l'on peut définir comme "morale" et les deux zones inférieures forment une section que l'on peut définir comme "immorale". Nous pouvons aussi observer qu'il n'y a pas de zone centrale que l'on pourrait qualifier de "neutre". La raison est qu'une action "neutre" sur le plan moral est hors du champ de l'éthique, donc hors de cette échelle. Les zones ont graphiquement des frontières très claires. En réalité ce n'est pas si évident. Un élément placé près d'une frontière avec une autre zone est en réalité dans un flou proportionnel à sa position entre ces deux zones. Il est donc recommandé de bien documenter, dans les commentaires, ce qu'il en est réellement. Dans mon utilisation initiale, je n'avais pas besoin de graduation autre que les quatre zones principales. Néanmoins, j'ai créé deux numérotations pour cette échelle : * La première numérotation positionne le 0 au milieu de l'échelle. Dans cette configuration, on positionne le 100 (positif) en haut de l'échelle et le -100 (négatif) en bas de l'échelle. Ici, chaque petite graduation vaut 10 unités. L'échelle entière est donc composée de 200 unités. * La seconde numérotation positionne le 0 en bas de l'échelle, on mettra 200 tout en haut. Il n'y a donc pas de numéro négatif. Dans cette configuration, chaque petite graduation vaut aussi 10 unités. L'échelle entière est donc aussi composée de 200 unités. Dans les deux cas, l'échelle se compose donc de 200 unités, chaque section fait 100 unités, chaque zone fait 50 unités et chaque petite graduation vaut 10 unités. Aucune de ces numérotations n'a de prévalence sur l'autre. Elles peuvent être utilisées aussi bien l'une comme l'autre en fonction de vos besoins. Cependant, il est nécessaire que l'utilisateur spécifie la numérotation employée. Le choix initial d'utiliser une numérotation à nombres négatifs se justifie du fait que l'éthique est une évaluation strictement positive de valeurs morales. L'absence ou le manque d'éthique a donc une valeur quantitative négative. Le choix de proposer une seconde numérotation sans nombres négatifs se justifie pour des raisons purement pratiques. En effet, il sera peut-être plus simple et plus judicieux de n'utiliser que des nombres exclusivement positifs pour des calculs mathématiques. Ces deux numérotations ont l'avantage de se placer sur la même échelle sans devoir toucher à la structure de cette dernière. J'ai choisi des numérotations de 200 unités chacune pour pouvoir faire des mesures relativement précises sans recourir à des décimales. Cette double numérotation permet aux utilisateurs de choisir ce qui leur conviendra le mieux pour leurs travaux. Vous pouvez aussi constater que les deux numérotations permettent de distinguer immédiatement si un point est dans la partie "morale" ou "immorale". Avec la première numérotation (à nombres négatifs) les nombres positifs sont moraux et les nombres négatifs sont immoraux. Avec la seconde numérotation (sans nombres négatifs) les nombres composés de trois chiffres (de 100 à 200) sont moraux et les nombres composés de seulement un ou deux chiffres (de 0 à 99) sont immoraux. Il est aussi aisé de déterminer la zone où est placé le point puisque chacune d'elles fait 50 unités. Vous constatez que les quatre zones sont de taille identique avec 50 unités chacune. Comment sait-on que ces zones doivent être de taille identique ? Qu'est-ce qui justifie cela ? En réalité, je pense que cela est impossible à quantifier. Cependant, nous pouvons faire les raisonnements suivants. Il y a probablement un nombre de possibilités égal d'agir de façon morale qu'immorale. Partant de ce principe, l'échelle doit être séparée en 2 sections de taille identique. Il est aussi probable qu'il y a un nombre égal de possibilités d'agir de manière respectueuse et irrespectueuse. Donc les 2 zones du milieu doivent aussi être de taille identique. Il y a encore probablement autant de possibilités d'agir de manière vertueuse que malhonnête. Les 2 zones, aux extrémités, doivent donc être elles aussi de taille identique. Par contre, je n'ai aucun raisonnement pour comparer les zones respectueuse/irrespectueuse avec les zones vertueuse/malhonnête. Il n'est donc pas possible d'en estimer leur taille respective. Mais tout cela est-il vraiment important ? Cette échelle n'a pas vocation à déterminer la taille relative exacte de chacune des zones définies. Il est donc judicieux de proposer un nombre d'unités égal pour chaque zone, afin d'offrir un niveau de précision équivalent sur toute l'échelle. De fait, j'ai calibré toutes les zones de manière égale. Bien entendu, il vous est possible de modifier cette échelle comme bon vous semble. Vous pouvez ajouter ou supprimer des zones. Vous pouvez changer la numérotation. Vous pouvez redimensionner les zones. Cependant, je pense que cette échelle sous la forme décrite dans le présent document, devrait pouvoir être utilisée telle quelle dans pratiquement toutes les situations d'usage. De plus, une modification devra, de fait, être précisée et justifiée par l'utilisateur, ce qui demande un travail supplémentaire assez important. === Représentation de l'échelle de Cochard === Voici la représentation de base de l'échelle de Cochard. Celle-ci comporte en elle les deux jeux de numérotation pour les mesures quantitatives sous forme numérique. À gauche, la numérotation contenant les nombres négatifs. À droite, la numérotation sans les nombres négatifs. Je profite ici de de proposer les différents jeux de couleurs qui sont détaillés dans le document. Je profite aussi de mettre un récapitulatif de chaque zone ainsi que les intervalles numéraires précis. [[File:Représentation de l'échelle de Cochard.png|centre|600px|Représentation de l'échelle de Cochard]] === Représentation de l'échelle sous forme d'un graphique === Sous la forme d'un graphique, l'échelle de Cochard se présente en un empilement de quatre rectangles égaux représentant les quatre zones principales. L'échelle graduée peut facultativement se placer à gauche des rectangles sur l'axe vertical (en ordonnées). Vous pouvez y ajouter la numérotation choisie. Les objets mesurés, s'il est nécessaire de les préciser, se placent en dessous sur l'axe horizontal (en abscisses). Si vous utilisez la graduation numérique avec les nombres négatifs, l'axe horizontal (le "0") se place naturellement au milieu du tableau entre les sections "morale" et "immorale". Sans nombres négatifs, l'axe horizontal se placera en bas du tableau. [[File:Représentation graphique de l&#039;échelle de Cochard.png|centre|600px|Représentation graphique de l&#039;échelle de Cochard]] == Utilisations == Pour les mesures, il est parfois important de définir le point de vue de départ. Cela est nécessaire car la mesure du même objet peut potentiellement donner des résultats différents. Pour toutes les mesures, il faut justifier la position de la mesure en la commentant. Il faut dire pourquoi l'objet mesuré est placé là où vous l'avez placé. Ceci permettra à des tiers d'émettre des critiques constructives en approuvant ou en réfutant votre positionnement. Si la critique réfute votre mesure, vous pourrez, soit corriger en prenant en compte la critique, soit développer votre argumentation pour y répondre. Notez que plus vous serez précis et détaillé dans l'argumentaire, mieux ce sera. Vous donnerez ainsi plus de crédit à votre travail. Cela n'en fera pas forcément une vérité, mais les tiers pourront mieux comprendre ce que vous avez fait et le débat en sera plus riche. Si vous ne vous servez pas de mesures quantitatives sous forme numérique, utilisez de préférence une échelle sans numérotation. Si vous utilisez des mesures quantitatives avec la numérotation à nombres négatifs, n'indiquez que ces derniers sur votre tableau. Il en va de même avec la numérotation sans nombres négatifs. Sur une échelle standard complète, vous placerez vos résultats '''sur l'axe central''' de l'échelle quand vous ne vous servez pas de mesures quantitatives. Si vous utilisez l'échelle quantitative avec la numérotation à nombres négatifs, vous placerez vos résultats '''à gauche de l'axe central''', là où se trouve la numérotation correspondante. Enfin, si vous utilisez la numérotation sans nombres négatifs, vous placerez vos résultats '''à droite de l'axe central''', toujours là où se trouve la numérotation correspondante. === Un seul objet === Un objet seul peut être représenté par un point sur l'échelle. Il est possible de représenter l'objet par plusieurs points sur l'échelle si l'on présente, par exemple, plusieurs points de vue. Avec un seul point de vue, il est possible que la mesure soit étalée sur plusieurs graduations. Dans ce dernier cas, la représentation sur l'échelle est un trait vertical rejoignant les deux extrémités mesurées. === Plusieurs objets === Vous pouvez bien entendu représenter plusieurs objets sur la même échelle. Par exemple, deux objets différents occupant un seul point sur l'échelle, ou deux objets occupant des points différents. Avec beaucoup d'objets utilisez de préférence un graphique. Vous pouvez ainsi faire des mesures multiples. Sans ordre des objets mesurés, vous obtiendrez un ou plusieurs nuages de points sur le graphique. En organisant les objets dans un ordre croissant ou décroissant, vous obtiendrez une courbe régulière ou irrégulière de forme concave, convexe, ou sinusoïdale. Il est aussi possible, pour un grand nombre d'objets, de faire une abstraction en plaçant seulement la mesure la plus faible de l'ensemble d'un côté du graphique, ainsi que la mesure la plus haute de l'ensemble de l'autre côté du graphique et de les relier par une droite. Ainsi tous les autres objets de la mesure pourront être placés sur ladite droite puisqu'ils possèdent des valeurs intermédiaires. Le choix vous appartient donc de faire vos représentations sous forme de nuages de points, de courbes ou de droites en fonction de ce qui est le plus pertinent dans votre cas. === Les valeurs numériques des mesures === Les valeurs numériques obtenues par les mesures sont utiles pour les formulations explicatives (par oral ou par écrit) notamment dans les descriptions et commentaires accompagnant les mesures. Il est aussi possible de jouer mathématiquement avec les chiffres obtenus. Il y aura peut-être des choses intéressantes à en tirer. Peut-être pourrions-nous découvrir, suite à des recherches avancées, de nouvelles formules mathématiques et ouvrir de nouveaux champs de possibilités. ==== Méthode "Sagesse des foules" ==== Les travaux scientifiques ont besoin de mesures fiables. Comment peut-on les obtenir&nbsp;? Une des possibilités est d'utiliser la méthode "sagesse des foules"<ref group="B">'''[fr]''' la "sagesse des foules" sur Wikipedia&nbsp;: [[w:Sagesse_de_la_foule|https://fr.wikipedia.org/wiki/Sagesse_de_la_foule]].</ref>, <ref group="B">'''[fr]''' L'article du livre "La sagesse des foules" sur Wikipédia&nbsp;: [[w:La_Sagesse_des_foules|https://fr.wikipedia.org/wiki/La_Sagesse_des_foules]].</ref>&nbsp;! Il s'agit d'une théorie émergente, popularisée par James Surowiecki dans son ouvrage "La sagesse des foules". Aristote est certainement le précurseur de cette idée, mais il ne l'a jamais testée. Certaines sources parlent de "théorème" et d'autres de "théorie" qui serait un dérivé du "dilemme biais-variance". Il s'agit d'un phénomène mathématique et statistique qui veut qu''''un grand nombre d'amateurs peut mieux répondre à une question qu'un expert'''. Avec cette méthode, il est possible de connaître assez précisément le nombre de billes contenues dans un grand récipient sans avoir besoin de les compter. En demandant à un nombre significatif de personnes d'estimer le nombres de billes et en faisant la moyenne de ces résultats, vous obtiendrez le nombre de billes. La marge d'erreur dépendra du nombre de gens interrogés. La formule à appliquer est celle-ci : <div style="text-align:center;"><math>\mathit{R\acute{e}sultat}=\frac{\mathit{Somme}\mathit{Des}\mathit{Pr\acute{e}dictions}}{\mathit{Nombre}\mathit{Des}\mathit{Pr\acute{e}dictions}}</math></div> Il n'est pas nécessaire d'introduire un facteur correctif lié à la diversité (que les statisticiens nomment écart-type) car les résultats obtenus seront déjà suffisamment fiables. La formule expliquant les excellents résultats de cette méthode est la suivante : <div style="text-align:center;"><math>\mathit{Erreur}\mathit{Du}\mathit{Groupe}=\mathit{Erreur}\mathit{Individuelle}\mathit{Moyenne}-\mathit{Diversit\acute{e}}\mathit{Des}\mathit{Pr\acute{e}dictions}</math></div> Vous pourrez donc utiliser cette méthode pour obtenir des résultats fiables sur l'échelle de Cochard. Pour ce faire, veillez à tenir compte des trois règles suivantes : * '''La diversité :''' interroger des personnes de divers milieux avec des idées variées. * '''L'indépendance :''' permettre à ces différents avis de s'exprimer sans aucune influence, même celle des pairs. * '''La décentralisation :''' laisser ces différents jugements s'additionner plutôt que de laisser une autorité supérieure ou un système de vote déterminer le résultat. Il faut aussi veiller à éviter les biais cognitifs suivants (liste non-exhaustive) : * '''Les cascades d'information''' qui se produisent lorsque les individus, en carence d'information, imitent celui qui semble savoir. * '''La cascade de réputation''' conduit les individus à endosser le point de vue du plus grand nombre pour éviter le coût social dont doit s'acquitter tout contestataire. * '''L'effet de polarisation''' qui consiste à adopter une attitude plus intransigeante collectivement qu’individuellement. Ces conformismes cognitifs peuvent fausser les résultats. Dans un cadre sociétal, ces biais cognitifs peuvent être dangereux et peuvent mener à la radicalisation des foules. Je ne vais pas détailler tout cela, mais il est important de le savoir. Ainsi informés, vous pourrez faire vos propres recherches pour approfondir le sujet. N'oubliez pas que dans le cas présent, vous cherchez à obtenir des mesures chiffrées à des problèmes moraux. Donc le problème des "cascades d'information" sera un risque important. Je préconise de bien spécifier aux gens le point de vue de départ et, selon ce point de vue, d'évaluer l'objet précis de votre étude. N'oubliez pas non plus que ces biais cognitifs peuvent aussi s'additionner. Pour de bons résultats, il faudra interroger au minimum 200 personnes. Respectez bien les 3 règles et évitez les biais cognitifs. De cette manière, vous devriez obtenir des résultats n'excédant pas 0.1 % de marge d'erreur (0.5 % équivaut à 1 unité graduelle sur l'échelle). Notez que je n'ai malheureusement pas trouvé beaucoup de sources sur cette méthode mathématique. Le gros de ce chapitre est un résumé de l'article "[[w:sagesse des foules|sagesse des foules]]" sur Wikipédia. J'examinerai l'opportunité et la pertinence de le développer dans de futures versions de ce document. <references group="B"/> === Visualisations === L'échelle de Cochard peut aussi être utilisée de manière purement abstractive sans définir aucune valeur précise. De simples courbes, de simples droites ou des nuages de points sur un graphique, peuvent déjà en dire très long pour présenter des idées ou illustrer une réalité existante. === Autres utilisations === Notez que j'ai juste créé un outil, je ne sais pas jusqu'où celui-ci pourra potentiellement mener. Je ne connais pas non plus toutes ses applications. C'est maintenant à vous qu'il revient de faire preuve d'imagination. Vous pourrez me contacter, le cas échéant, afin de pouvoir enrichir le présent document. == Licences == Le présent document est placé sous la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International ou CC BY-SA 4.0. Pour voir une copie de cette licence, visitez http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ ou écrivez à Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA. Ce document est aussi sous la licence GNU de documentation libre (GNU Free Documentation License) ou GNU FDL en abrégé. Au moment de la rédaction de ce document cette licence est en version 1.3, mais il sera en permanence placé sous la dernière version en vigueur de cette licence. Vous pouvez obtenir la dernière version de ce texte en visitant : https://www.gnu.org/licenses/licenses.fr.html. Cette double licence vient du fait qu'initialement ce document était placé uniquement sous la GNU FDL et que cela a posé quelques problèmes. Ainsi nous avons ajouté la licence CC BY-SA 4.0 pour faciliter les choses en maintenant la licence GNU FDL. Il vous est possible de reprendre, au choix, l'une de ces deux licences ou de les cumuler. <div style="text-align:center;">COCHARD © 2019 - CC BY-SA 4.0 et/ou GNU FDL</div> L'objet décrit par ce document qu'est l'échelle de Cochard est, quant à lui, placé sous la licence Creative Commons Attribution ou CC-BY en abrégé. Au moment de la rédaction de ce document cette licence est en version 4.0, mais il sera en permanence placé sous la dernière version en vigueur de cette licence. De fait, le texte de la licence présent dans ce document pourrait ne pas être à jour. Vous pouvez obtenir la dernière version de ce texte en suivant le lien suivant : [https://creativecommons.org/licenses/ https://creativecommons.org/licenses/] <div style="text-align:center;">COCHARD © 2017 - CC-BY</div> Les textes des licences peuvent avoir leur propre licence. Source : [https://logiciel-libre.ch/ressources/echelle_de_cochard/accueil https://logiciel-libre.ch/ressources/echelle_de_cochard/accueil]. [[Catégorie:Philosophie]] [[Catégorie:Philosophie morale]] [[Catégorie:Mathématiques]] bvcq4hjoitznfn50dhbucbj9ypjatv0 104 76868 881264 879503 2022-08-13T13:41:39Z 80.125.24.227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 2 | précédent = [[../Physique/]] | suivant = [[../Géométrique/]] }} '''Formalisme classique''' La relativité restreinte est établie à partir de 2 postulats dans les référentiels galiléens. Le premier stipule que les lois de la physique ont la même forme. Le deuxième définit que la vitesse de la lumière dans le vide est identique. Ils induisent les équations de Lorentz (Annexe3). Elles engendrent une dilatation des durées et une contraction des longueurs lors d'un déplacement. Une représentation de l'espace-temps peut être analogue à celle de la figure 3. Le long des deux droites, tous les évènements sont 'simultanés'. A droite et à gauche, entre les droites, se trouvent l'espace-temps où les 'évènements' ne peuvent avoir lieu. En haut et en bas, entre les droites, se trouvent les 2 espace-temps des 'évènements' : Le futur et le passé. l'intersection des droites représente le présent. Cela résume et simplifie la représentation de Minkowski. La droite x = ct relie l'espace au temps par une constante c. Mais c est aussi une célérité, ce qui suggère un déplacement. Au travers du postulat novateur (le temps se déplace), la seule altération apportée à la construction classique est la suivante : Le temps est orienté, il va du futur vers le passé. Ainsi, les droites sont orientées. '''Formalisme novateur''' Le formalisme classique est conservé, on y joint un concept novateur de déplacement du temps. En cinématique, l'équation x(t)=Vt définit la position d'un objet se déplaçant à une vitesse V. Existe-t-il un 'objet' susceptible de se déplacer constamment et immuablement à c. Comme supposer au chapitre précédent, une entité éligible est le temps. Supposons que V(t) = c                       Si je veux connaître la position du temps, j’obtiens simplement : x(t) = ct           (ou encore t = x(t)/c) Considérons la classique expérience de pensée de la figure 1.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Laser_et_%C3%A9quations_du_temps.pdf [[Fichier:Laser_et_équations_du_temps.pdf|vignette|center|556x556px|expérience de pensée de Lorentz et propagation du temps]] (Il s'agit de l'expérience d'un coup de laser orienté verticalement dans un vaisseau se déplaçant horizontalement). En appliquant Pythagore aux composantes de la figure, on obtient t = ɣt’. En imposant au temps de se déplacer à c (t = x(t)/c), on obtient la figure 2 et X de la figure correspond à x(t). En développant, on tombe sur l’expression x’(t) = x(t)/ɣ. La position du temps est contracté comme l'espace classiquement. De même, t = -x(t)/c est aussi solution. Les 2 solutions sont représentées sur la figure 3. S’il existe un modèle géométrique, il doit satisfaire les 2 solutions. La deuxième solution vient du fait que quelque soit le signe de la solution, elle satisfait le théorème de Pythagore. (Les termes sont au carré). Elle permet au temps d'aller dans les 2 sens pour une même direction. De plus, comme le montre l'annexe 2 le temps doit impérativement se déplacer dans les 2 sens. Ainsi, on obtient une cohérence mathématique et physique des transformées de Lorentz (voir annexe 2). '''Spécificités des formalismes''' Pour décrire le temps, les transformées usuelles sont insuffisantes. (Il faut y ajouter '''<u>x(t)² = c²t²</u>''' ) .Les seules relations classiques induisent un formalisme complexe. Elle sont à l'origine de paradoxes dont la résolution relativiste n'est pas triviale et peut prêter à controverse. Mais, la conséquence la plus importante est la courbure de l'espace-temps. Cette dernière notion nous semble arbitraire et peu ou mal appréhendée. Au travers du modèle du temps propre, la transformée supplémentaire '''<u>x(t)² = c²t²</u>''' simplifie le formalisme. Les paradoxes sont levés. De plus, elle n'engendre pas de courbure. La relativité devient géométrique. Cela a le mérite de se dessiner et d'être visuel. NB : Le raisonnement précédent est exprimé dans un référentiel cartésien. Il est à noter qu'exprimée en coordonnées sphériques, x(t)=ct est une solution unique suffisante. pwyco8exa3rjfl6aokcfcxc0ve4nig8 881266 881264 2022-08-13T14:17:13Z 80.125.24.227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 2 | précédent = [[../Physique/]] | suivant = [[../Géométrique/]] }} '''Formalisme classique''' La relativité restreinte est établie à partir de 2 postulats dans les référentiels galiléens. Le premier stipule que les lois de la physique ont la même forme. Le deuxième définit que la vitesse de la lumière dans le vide est identique. Ils induisent les équations de Lorentz (Annexe3). Elles engendrent une dilatation des durées et une contraction des longueurs lors d'un déplacement. Une représentation de l'espace-temps peut être analogue à celle de la figure 3. Le long des deux droites, tous les évènements sont 'simultanés'. A droite et à gauche, entre les droites, se trouvent l'espace-temps où les 'évènements' ne peuvent avoir lieu. En haut et en bas, entre les droites, se trouvent les 2 espace-temps des 'évènements' : Le futur et le passé. l'intersection des droites représente le présent. Cela résume et simplifie la représentation de Minkowski. La droite x = ct relie l'espace au temps par une constante c. Mais c est aussi une célérité, ce qui suggère un déplacement. Au travers du postulat novateur (le temps se déplace), la seule altération apportée à la construction classique est la suivante : Le temps est orienté, il va du futur vers le passé. Ainsi, les droites sont orientées. '''Formalisme novateur''' Le formalisme classique est conservé, on y joint un concept novateur de déplacement du temps. En cinématique, l'équation x(t)=Vt définit la position d'un objet se déplaçant à une vitesse V. Existe-t-il un 'objet' susceptible de se déplacer constamment et immuablement à c. Comme supposer au chapitre précédent, une entité éligible est le temps. Supposons que V(t) = c                       Si je veux connaître la position du temps, j’obtiens simplement : x(t) = ct           (ou encore t = x(t)/c) Considérons la classique expérience de pensée de la figure 1.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Laser_et_%C3%A9quations_du_temps.pdf [[Fichier:Laser_et_équations_du_temps.pdf|vignette|center|556x556px|expérience de pensée de Lorentz et propagation du temps]] (Il s'agit de l'expérience d'un coup de laser orienté verticalement dans un vaisseau se déplaçant horizontalement). En appliquant Pythagore aux composantes de la figure, on obtient t = ɣt’. En imposant au temps de se déplacer à c (t = x(t)/c), on obtient la figure 2 et X de la figure correspond à x(t). En développant, on tombe sur l’expression x’(t) = x(t)/ɣ. La position du temps est contracté comme l'espace classiquement. De même, t = -x(t)/c est aussi solution. Les 2 solutions sont représentées sur la figure 3. S’il existe un modèle géométrique, il doit satisfaire les 2 solutions. La deuxième solution vient du fait que quelque soit le signe de la solution, elle satisfait le théorème de Pythagore. (Les termes sont au carré). Elle permet au temps d'aller dans les 2 sens pour une même direction. De plus, comme le montre l'annexe 2 le temps doit impérativement se déplacer dans les 2 sens. Ainsi, on obtient une cohérence mathématique et physique des transformées de Lorentz (voir annexe 2). '''Spécificités des formalismes''' Pour décrire le temps, les transformées usuelles sont insuffisantes. (Il faut y ajouter '''<u>x(t)² = c²t²</u>'''<u>,</u> l'équation est identique à celle de la gravité en un point si l'on substitue (t) par (g) ) .Les seules relations classiques induisent un formalisme complexe. Elle sont à l'origine de paradoxes dont la résolution relativiste n'est pas triviale et peut prêter à controverse. Mais, la conséquence la plus importante est la courbure de l'espace-temps. Cette dernière notion nous semble arbitraire et peu ou mal appréhendée. Au travers du modèle du temps propre, la transformée supplémentaire '''<u>x(t)² = c²t²</u>''' simplifie le formalisme. Les paradoxes sont levés. De plus, elle n'engendre pas de courbure. La relativité devient géométrique. Cela a le mérite de se dessiner et d'être visuel. NB : Le raisonnement précédent est exprimé dans un référentiel cartésien. Il est à noter qu'exprimée en coordonnées sphériques, x(t)=ct est une solution unique suffisante. 4sqnwpeqp6hr5l4e4an6ora9rbymx4a 104 76869 881267 879524 2022-08-13T14:18:00Z 80.125.24.227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 3 | précédent = [[../Mathématique/]] | suivant = }} Passons sur les modèles non valides comme celui d’un unique temps absolu. N’en gardons que la propriété physique déduite mathématiquement : Le temps est 'stationnaire' (abus de langage). En fait, dans un modèle précédent, modèle dit du temps absolu, les calculs avaient permis de montrer que le futur semblait rebondir sur le présent pour donner le passé. (théorie obsolète) En fait, futur et passé se croisent. '''Modèle du temps propre''' :   Chaque 'grain' d'espace-temps a un temps qui lui est propre. Ce modèle est représenté sur la figure 4. Le futur est représenté par une bulle temporelle qui diminue de volume à la vitesse de la lumière. Lorsque le volume de la bulle devient nul, c’est le présent. Puis le volume de la bulle augmente, c’est le passé. La figure suivante n'est rien d'autre qu'une représentation graphique possible de l'équation du chapitre mathématique x(t)² = c²t². Avant d'être 'présent', le 'temps' était un phénomène physique doté d'une célérité. Après être 'présent', le 'temps' redeviendra ce même phénomène physique. Le 'présent' est l'intersection de ce phénomène physique. Le modèle permet de positionner le passé et le futur du 'temps'. Ainsi, tout évènement est localisable dans le temps relativement à un autre. '''Quelque soit l'observateur, le futur ou le passé d'un évènement est géométriquement identique.''' https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mod%C3%A8le_du_temps_propre.pdf [[Fichier:Modèle_du_temps_propre.pdf|vignette|center|603x603px|modèle du temps propre]] Si l’on considère deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre, soumis au modèle du temps propre, il est difficile de définir quel est celui qui se déplace. Aussi, chaque observateur voit le temps écoulé de l’autre réduit en comparaison du sien. Dans le cadre de l’application seule de ce modèle, le paradoxe des jumeaux semble maintenu. Le parallèle avec la théorie classique est rapide. '''La théorie classique compare les temps propres perçus''' '''des 2 jumeaux et non leurs temps relatifs''' (temps ressenti, voir chapitre 5). Ce qui explique le paradoxe. '''Expérience de pensée de simultanéité''' Considérons un vaisseau sphérique se déplaçant à une vitesse V = Ѵ3/2c, de sorte que ɣ = 2. Plusieurs lasers sont disposés dans la structure. Pour les besoins de la simulation, il y en a 12. Pour l'observateur intérieur (fig 5a), situé au centre du vaisseau, les lasers déclenchent 'simultanément' en t=1. Cela correspond au 'moment' ou l'équitemps t=0 atteint la coque. Les points de départ des lasers forment une figure sphérique dans l'espace de l'observateur intérieur. Par contre, l'espace étant contracté, cette sphère serait une ellipse deux fois plus longue que large pour l'observateur extérieur. En t=2, tous les lasers parviennent au centre et à l'observateur. Ce point de rencontre est la clé de l'expérience. En effet, c'est un point de référence double. A cet endroit, les lasers se croisent à la fois dans le vaisseau et dans l'espace. C'est par rapport à ce point que les évènements sont déterminés dans la fig5b. En t=3, les lasers parviennent 'simultanément' aux points diamétralement opposés à leur départ. [[Fichier:Simultanéité_int.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] Pour l'observateur extérieur, les évènements ne sont plus simultanés. Les 'endroits' des évènements sont déterminés par le calcul ou géométriquement. Les règles sont simples (En fait, ce n'est pas trivial) : - Le centre du vaisseau est relativement au même endroit dans les 2 espace-temps. - La célérité du temps a les mêmes propriétés d'invariance que celle de la lumière. - Dilatation du temps et contraction des longueurs. L'objectif est de vérifier que des évènements s'opèrent lorsqu'ils sont atteints par le même équitemps dans les 2 espace-temps. En t=2, ce qui correspond à t=1 dans le vaisseau, seuls la moitié des lasers sont déjà partis. Leurs points de départ sont représentés par des croix. Les autres lasers déclencheront lorsque l'équitemps t=0 aura atteint la paroi de droite. En t=4 (ti=2), tous les lasers sont partis et atteignent le centre simultanément. tous les points de départ forment une ellipse qui correspond exactement à la sphère dans l'espace-temps de l'observateur extérieur (CQFD). L'équitemps t= 4 est le nouveau référent pour les évènements 'les lasers atteignent la paroi d'en face'. Lorsqu'il atteint la coque, les lasers arrivent. Ce cas de figure est simple car tous les lasers sont confondus avec l'équitemps t=4. En t=6 (ti=3), seuls la moitié des lasers sont arrivés. les points d'impact avec la coque sont représentés par les croix vertes situées à la gauche du vaisseau. Ils coïncident aux points d'intersection de l'équitemps t=4 et de la coque. Pour la moitié restante, la progression des lasers est au niveau de l'équitemps t=4 dans le vaisseau. Les futurs points d'impact sont représentés par les croix bleues situées à la droite du vaisseau. L'ensemble forme de nouveau une ellipse identique à celle des points de départ (attendu). [[Fichier:Simultanéité_ext2.pdf|vignette|center|579x579px|''L.expérience de simultanéité observateur extérieur'']] '''Discussion''' L'expérience de pensée confirme les prévisions de la théorie classique. Imaginons la même expérience avec des lasers venant de l'extérieur du vaisseau (transparent). La théorie classique prédit elle une continuité temporelle entre l'espace et le vaisseau? Si ce n'est pas le cas, les lasers ne parviennent pas au même 'endroit'. Si c'est le cas, ce que nous voulons croire, 'courbure de l'espace-temps' et 'célérité du temps' sont rigoureusement identiques. La différence réside dans le nombre de dimensions nécessaires pour décrire le phénomène. Le modèle à trois dimensions est plus puissant. Il complète par une troisième équation la théorie. Il permet d'appréhender pleinement le concept mathématiquement et géométriquement. Et, comme nous allons le voir par la suite, il lève les paradoxes simplement et par le calcul. N'abordons pas ici les conséquences pour les autres théories de la physique... '''Explication de la géométrie du temps propre''' Pour la construction de l'expérience de pensée précédente, nous avons appliqué mécaniquement la dilatation temporelle et l'invariance de la célérité. Un équitemps apparaît comme une sphère. Mais, pour l'observateur extérieur, cette sphère est dilatée et décalée. Pour la compréhension, une explication géométrique est bienvenue. Il faut appréhender 1 notion simple. Suivant la direction de déplacement ou une direction perpendiculaire : Un équitemps doit atteindre le vaisseau à l'endroit ou il '''sera.''' Conjugué à l'invariance de la célérité, cela décale la sphère et la dilate. ('dilatation du temps') '''Temps relatif''' Le temps propre se déplace, immuable, toujours à la même vitesse, celle de la lumière. Il s’agit donc du '''<nowiki/>'temps ressenti'''' qui s’écoule, régulier, pour tout observateur, quelles que soient sa vitesse ou ‘sa gravité’. Enfin, plaçons nous à la place de l’observateur du vaisseau. Son temps propre se déplace à la vitesse de la lumière par rapport à lui-même. Mais, ce coup-ci, l’espace dans lequel il se déplace est contracté par la vitesse du vaisseau. C’est l’essence du temps absolu. Cela revient à dire que son temps propre passe ɣ fois plus vite que dans un même espace non contracté (comme pour l’observateur extérieur). '''C’est le temps relatif.''' Il dépend de la géométrie de l'espace qu'il parcourt. '''(((''' L'expérience de pensée suivante, est l'expérience de simultanéité originelle de l'article. Nous avons choisi de la conserver car elle recèle une notion de compréhension. Aussi, elle apparaît en italique. ''Considérons la classique expérience de pensée de simultanéité de la figure 5 en soumettant le vaisseau au modèle du temps propre. Pour l’observateur intérieur, les 2 lasers déclenchent simultanément en t=1. Ils percutent la paroi d’en face simultanément en t=3 (fig 5a).  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A91.pdf'' ''Pour l’observateur extérieur, le vaisseau et son temps propre sont contractés par la vitesse. En conséquence, dans la direction de déplacement, '''il y a un facteur ɣ² entre la réalité du vaisseau et celle observée de l’extérieur'''. (Et c’est heureux !). Dans le cas présent, cela va nous permettre de simplifier les mensurations de la figure suivante. Si, sur la figure 5b le temps du vaisseau est identique à celui de la figure 5a, je dois considérer que la taille est ɣ² plus petite pour retomber sur la même réalité. La vitesse du vaisseau étant c/2, ɣ²=4/3. En conséquence, le vaisseau sur la figure 5b fait les ¾ du vaisseau sur la figure 5a. Dans la théorie classique, la contraction des longueurs serait <math>\surd</math> (3/4) et la dilatation du temps <math>\surd</math> (4/3). (On aurait tout aussi bien pu choisir une taille de vaisseau normale avec une dilatation du temps de 4/3). Néanmoins, pour que les évènements aient une cohérence temporelle dans tous l'espace, nous devons considérer une altération spatio-temporelle classique.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A92.pdf'' [[Fichier:Simultanéité3.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] ''Les deux lasers déclenchent avec un décalage. Optiquement, celui de gauche part avant celui de droite (fig 5b)'''.(En fait, les deux lasers partent lorsque 'l'équi-temps' 0 atteint les parois,''' comme à la fig5a''').''' Ils se croisent au milieu du vaisseau en t=2. En théorie classique, c’est le seul point dans le présent. Aussi, il sert de référent au temps du vaisseau pour le modèle. Les 2 lasers terminent leur course et '''atteignent les parois d’en face avec 'l'équi-temps' 2'''. Optiquement, celui de droite atteint la paroi de gauche avant l’autre.'' ''Cette expérience de pensée colle rigoureusement avec les prédictions de la théorie classique. Dans le cadre de l’application de ce modèle, '''Il y a simultanéité temporelle'''. « Les temps changent ! ». En fait, il y a simultanéité des évènements dans le temps propre du vaisseau pour les 2 observateurs ; mais, pas dans le temps absolu de l’observateur extérieur.'' ''Cette expérience de pensée mérite une simulation informatique dynamique. Cela permettrait de visualiser la simultanéité des évènements au niveau du temps propre.''')))'''''[[Fichier:Simultanéité2.pdf|vignette|center|709x709px|''expérience de simultanéité observateur extérieur'']] ''La figure 5b est la figure clef de la théorie du modèle du temps propre.'' jez7eulh2kdzwlx2o2etfs1n9p74z14 881268 881267 2022-08-13T14:21:50Z 80.125.24.227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 3 | précédent = [[../Mathématique/]] | suivant = }} Passons sur les modèles non valides comme celui d’un unique temps absolu. N’en gardons que la propriété physique déduite mathématiquement : Le temps est 'stationnaire' (abus de langage). En fait, dans un modèle précédent, modèle dit du temps absolu, les calculs avaient permis de montrer que le futur semblait rebondir sur le présent pour donner le passé. (théorie obsolète) En fait, futur et passé se croisent. '''Modèle du temps propre''' :   Chaque 'grain' d'espace-temps a un temps qui lui est propre. Ce modèle est représenté sur la figure 4. Le futur est représenté par une bulle temporelle qui diminue de volume à la vitesse de la lumière. Lorsque le volume de la bulle devient nul, c’est le présent. Puis le volume de la bulle augmente, c’est le passé. La figure suivante n'est rien d'autre qu'une représentation graphique possible de l'équation du chapitre mathématique x(t)² = c²t². Avant d'être 'présent', le 'temps' était un phénomène physique doté d'une célérité. Après être 'présent', le 'temps' redeviendra ce même phénomène physique. Le 'présent' est l'intersection de ce phénomène physique. Le modèle permet de positionner le passé et le futur du 'temps'. Ainsi, tout évènement est localisable dans le temps relativement à un autre. '''Quelque soit l'observateur, le futur ou le passé d'un évènement est géométriquement identique.''' https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mod%C3%A8le_du_temps_propre.pdf [[Fichier:Modèle_du_temps_propre.pdf|vignette|center|603x603px|modèle du temps propre]] Si l’on considère deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre, soumis au modèle du temps propre, il est difficile de définir quel est celui qui se déplace. Aussi, chaque observateur voit le temps écoulé de l’autre réduit en comparaison du sien. Dans le cadre de l’application seule de ce modèle, le paradoxe des jumeaux semble maintenu. Le parallèle avec la théorie classique est rapide. '''La théorie classique compare les temps propres perçus''' '''des 2 jumeaux et non leurs temps relatifs''' (temps ressenti, voir chapitre 5). Ce qui explique le paradoxe. '''Expérience de pensée de simultanéité''' Considérons un vaisseau sphérique se déplaçant à une vitesse V = Ѵ3/2c, de sorte que ɣ = 2. Plusieurs lasers sont disposés dans la structure. Pour les besoins de la simulation, il y en a 12. Pour l'observateur intérieur (fig 5a), situé au centre du vaisseau, les lasers déclenchent 'simultanément' en t=1. Cela correspond au 'moment' ou l'équitemps t=0 atteint la coque. Les points de départ des lasers forment une figure sphérique dans l'espace de l'observateur intérieur. Par contre, l'espace étant contracté, cette sphère serait une ellipse deux fois plus large que haute pour l'observateur extérieur. En t=2, tous les lasers parviennent au centre et à l'observateur. Ce point de rencontre est la clé de l'expérience. En effet, c'est un point de référence double. A cet endroit, les lasers se croisent à la fois dans le vaisseau et dans l'espace. C'est par rapport à ce point que les évènements sont déterminés dans la fig5b. En t=3, les lasers parviennent 'simultanément' aux points diamétralement opposés à leur départ. [[Fichier:Simultanéité_int.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] Pour l'observateur extérieur, les évènements ne sont plus simultanés. Les 'endroits' des évènements sont déterminés par le calcul ou géométriquement. Les règles sont simples (En fait, ce n'est pas trivial) : - Le centre du vaisseau est relativement au même endroit dans les 2 espace-temps. - La célérité du temps a les mêmes propriétés d'invariance que celle de la lumière. - Dilatation du temps et contraction des longueurs. L'objectif est de vérifier que des évènements s'opèrent lorsqu'ils sont atteints par le même équitemps dans les 2 espace-temps. En t=2, ce qui correspond à t=1 dans le vaisseau, seuls la moitié des lasers sont déjà partis. Leurs points de départ sont représentés par des croix. Les autres lasers déclencheront lorsque l'équitemps t=0 aura atteint la paroi de droite. En t=4 (ti=2), tous les lasers sont partis et atteignent le centre simultanément. tous les points de départ forment une ellipse qui correspond exactement à la sphère dans l'espace-temps de l'observateur extérieur (CQFD). L'équitemps t= 4 est le nouveau référent pour les évènements 'les lasers atteignent la paroi d'en face'. Lorsqu'il atteint la coque, les lasers arrivent. Ce cas de figure est simple car tous les lasers sont confondus avec l'équitemps t=4. En t=6 (ti=3), seuls la moitié des lasers sont arrivés. les points d'impact avec la coque sont représentés par les croix vertes situées à la gauche du vaisseau. Ils coïncident aux points d'intersection de l'équitemps t=4 et de la coque. Pour la moitié restante, la progression des lasers est au niveau de l'équitemps t=4 dans le vaisseau. Les futurs points d'impact sont représentés par les croix bleues situées à la droite du vaisseau. L'ensemble forme de nouveau une ellipse identique à celle des points de départ (attendu). [[Fichier:Simultanéité_ext2.pdf|vignette|center|579x579px|''L.expérience de simultanéité observateur extérieur'']] '''Discussion''' L'expérience de pensée confirme les prévisions de la théorie classique. Imaginons la même expérience avec des lasers venant de l'extérieur du vaisseau (transparent). La théorie classique prédit elle une continuité temporelle entre l'espace et le vaisseau? Si ce n'est pas le cas, les lasers ne parviennent pas au même 'endroit'. Si c'est le cas, ce que nous voulons croire, 'courbure de l'espace-temps' et 'célérité du temps' sont rigoureusement identiques. La différence réside dans le nombre de dimensions nécessaires pour décrire le phénomène. Le modèle à trois dimensions est plus puissant. Il complète par une troisième équation la théorie. Il permet d'appréhender pleinement le concept mathématiquement et géométriquement. Et, comme nous allons le voir par la suite, il lève les paradoxes simplement et par le calcul. N'abordons pas ici les conséquences pour les autres théories de la physique... '''Explication de la géométrie du temps propre''' Pour la construction de l'expérience de pensée précédente, nous avons appliqué mécaniquement la dilatation temporelle et l'invariance de la célérité. Un équitemps apparaît comme une sphère. Mais, pour l'observateur extérieur, cette sphère est dilatée et décalée. Pour la compréhension, une explication géométrique est bienvenue. Il faut appréhender 1 notion simple. Suivant la direction de déplacement ou une direction perpendiculaire : Un équitemps doit atteindre le vaisseau à l'endroit ou il '''sera.''' Conjugué à l'invariance de la célérité, cela décale la sphère et la dilate. ('dilatation du temps') '''Temps relatif''' Le temps propre se déplace, immuable, toujours à la même vitesse, celle de la lumière. Il s’agit donc du '''<nowiki/>'temps ressenti'''' qui s’écoule, régulier, pour tout observateur, quelles que soient sa vitesse ou ‘sa gravité’. Enfin, plaçons nous à la place de l’observateur du vaisseau. Son temps propre se déplace à la vitesse de la lumière par rapport à lui-même. Mais, ce coup-ci, l’espace dans lequel il se déplace est contracté par la vitesse du vaisseau. C’est l’essence du temps absolu. Cela revient à dire que son temps propre passe ɣ fois plus vite que dans un même espace non contracté (comme pour l’observateur extérieur). '''C’est le temps relatif.''' Il dépend de la géométrie de l'espace qu'il parcourt. '''(((''' L'expérience de pensée suivante, est l'expérience de simultanéité originelle de l'article. Nous avons choisi de la conserver car elle recèle une notion de compréhension. Aussi, elle apparaît en italique. ''Considérons la classique expérience de pensée de simultanéité de la figure 5 en soumettant le vaisseau au modèle du temps propre. Pour l’observateur intérieur, les 2 lasers déclenchent simultanément en t=1. Ils percutent la paroi d’en face simultanément en t=3 (fig 5a).  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A91.pdf'' ''Pour l’observateur extérieur, le vaisseau et son temps propre sont contractés par la vitesse. En conséquence, dans la direction de déplacement, '''il y a un facteur ɣ² entre la réalité du vaisseau et celle observée de l’extérieur'''. (Et c’est heureux !). Dans le cas présent, cela va nous permettre de simplifier les mensurations de la figure suivante. Si, sur la figure 5b le temps du vaisseau est identique à celui de la figure 5a, je dois considérer que la taille est ɣ² plus petite pour retomber sur la même réalité. La vitesse du vaisseau étant c/2, ɣ²=4/3. En conséquence, le vaisseau sur la figure 5b fait les ¾ du vaisseau sur la figure 5a. Dans la théorie classique, la contraction des longueurs serait <math>\surd</math> (3/4) et la dilatation du temps <math>\surd</math> (4/3). (On aurait tout aussi bien pu choisir une taille de vaisseau normale avec une dilatation du temps de 4/3). Néanmoins, pour que les évènements aient une cohérence temporelle dans tous l'espace, nous devons considérer une altération spatio-temporelle classique.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A92.pdf'' [[Fichier:Simultanéité3.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] ''Les deux lasers déclenchent avec un décalage. Optiquement, celui de gauche part avant celui de droite (fig 5b)'''.(En fait, les deux lasers partent lorsque 'l'équi-temps' 0 atteint les parois,''' comme à la fig5a''').''' Ils se croisent au milieu du vaisseau en t=2. En théorie classique, c’est le seul point dans le présent. Aussi, il sert de référent au temps du vaisseau pour le modèle. Les 2 lasers terminent leur course et '''atteignent les parois d’en face avec 'l'équi-temps' 2'''. Optiquement, celui de droite atteint la paroi de gauche avant l’autre.'' ''Cette expérience de pensée colle rigoureusement avec les prédictions de la théorie classique. Dans le cadre de l’application de ce modèle, '''Il y a simultanéité temporelle'''. « Les temps changent ! ». En fait, il y a simultanéité des évènements dans le temps propre du vaisseau pour les 2 observateurs ; mais, pas dans le temps absolu de l’observateur extérieur.'' ''Cette expérience de pensée mérite une simulation informatique dynamique. Cela permettrait de visualiser la simultanéité des évènements au niveau du temps propre.''')))'''''[[Fichier:Simultanéité2.pdf|vignette|center|709x709px|''expérience de simultanéité observateur extérieur'']] ''La figure 5b est la figure clef de la théorie du modèle du temps propre.'' 7bj6x5ubzgk2hk9405ubdx7f6w56smo 881269 881268 2022-08-13T14:23:23Z 80.125.24.227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 3 | précédent = [[../Mathématique/]] | suivant = }} Passons sur les modèles non valides comme celui d’un unique temps absolu. N’en gardons que la propriété physique déduite mathématiquement : Le temps est 'stationnaire' (abus de langage). En fait, dans un modèle précédent, modèle dit du temps absolu, les calculs avaient permis de montrer que le futur semblait rebondir sur le présent pour donner le passé. (théorie obsolète) En fait, futur et passé se croisent. '''Modèle du temps propre''' :   Chaque 'grain' d'espace-temps a un temps qui lui est propre. Ce modèle est représenté sur la figure 4. Le futur est représenté par une bulle temporelle qui diminue de volume à la vitesse de la lumière. Lorsque le volume de la bulle devient nul, c’est le présent. Puis le volume de la bulle augmente, c’est le passé. La figure suivante n'est rien d'autre qu'une représentation graphique possible de l'équation du chapitre mathématique x(t)² = c²t². Avant d'être 'présent', le 'temps' était un phénomène physique doté d'une célérité. Après être 'présent', le 'temps' redeviendra ce même phénomène physique. Le 'présent' est l'intersection de ce phénomène physique. Le modèle permet de positionner le passé et le futur du 'temps'. Ainsi, tout évènement est localisable dans le temps relativement à un autre. '''Quelque soit l'observateur, le futur ou le passé d'un évènement est géométriquement identique.''' https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mod%C3%A8le_du_temps_propre.pdf [[Fichier:Modèle_du_temps_propre.pdf|vignette|center|603x603px|modèle du temps propre]] Si l’on considère deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre, soumis au modèle du temps propre, il est difficile de définir quel est celui qui se déplace. Aussi, chaque observateur voit le temps écoulé de l’autre réduit en comparaison du sien. Dans le cadre de l’application seule de ce modèle, le paradoxe des jumeaux semble maintenu. Le parallèle avec la théorie classique est rapide. '''La théorie classique compare les temps propres perçus''' '''des 2 jumeaux et non leurs temps relatifs''' (temps ressenti, voir chapitre 5). Ce qui explique le paradoxe. '''Expérience de pensée de simultanéité''' Considérons un vaisseau sphérique se déplaçant à une vitesse V = Ѵ3/2c, de sorte que ɣ = 2. Plusieurs lasers sont disposés dans la structure. Pour les besoins de la simulation, il y en a 12. Pour l'observateur intérieur (fig 5a), situé au centre du vaisseau, les lasers déclenchent 'simultanément' en t=1. Cela correspond au 'moment' ou l'équitemps t=0 atteint la coque. Les points de départ des lasers forment une figure sphérique dans l'espace de l'observateur intérieur. Par contre, l'espace étant contracté, cette sphère serait une ellipse deux fois plus large que haute dans l'espace-temps de l'observateur extérieur. En t=2, tous les lasers parviennent au centre et à l'observateur. Ce point de rencontre est la clé de l'expérience. En effet, c'est un point de référence double. A cet endroit, les lasers se croisent à la fois dans le vaisseau et dans l'espace. C'est par rapport à ce point que les évènements sont déterminés dans la fig5b. En t=3, les lasers parviennent 'simultanément' aux points diamétralement opposés à leur départ. [[Fichier:Simultanéité_int.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] Pour l'observateur extérieur, les évènements ne sont plus simultanés. Les 'endroits' des évènements sont déterminés par le calcul ou géométriquement. Les règles sont simples (En fait, ce n'est pas trivial) : - Le centre du vaisseau est relativement au même endroit dans les 2 espace-temps. - La célérité du temps a les mêmes propriétés d'invariance que celle de la lumière. - Dilatation du temps et contraction des longueurs. L'objectif est de vérifier que des évènements s'opèrent lorsqu'ils sont atteints par le même équitemps dans les 2 espace-temps. En t=2, ce qui correspond à t=1 dans le vaisseau, seuls la moitié des lasers sont déjà partis. Leurs points de départ sont représentés par des croix. Les autres lasers déclencheront lorsque l'équitemps t=0 aura atteint la paroi de droite. En t=4 (ti=2), tous les lasers sont partis et atteignent le centre simultanément. tous les points de départ forment une ellipse qui correspond exactement à la sphère dans l'espace-temps de l'observateur extérieur (CQFD). L'équitemps t= 4 est le nouveau référent pour les évènements 'les lasers atteignent la paroi d'en face'. Lorsqu'il atteint la coque, les lasers arrivent. Ce cas de figure est simple car tous les lasers sont confondus avec l'équitemps t=4. En t=6 (ti=3), seuls la moitié des lasers sont arrivés. les points d'impact avec la coque sont représentés par les croix vertes situées à la gauche du vaisseau. Ils coïncident aux points d'intersection de l'équitemps t=4 et de la coque. Pour la moitié restante, la progression des lasers est au niveau de l'équitemps t=4 dans le vaisseau. Les futurs points d'impact sont représentés par les croix bleues situées à la droite du vaisseau. L'ensemble forme de nouveau une ellipse identique à celle des points de départ (attendu). [[Fichier:Simultanéité_ext2.pdf|vignette|center|579x579px|''L.expérience de simultanéité observateur extérieur'']] '''Discussion''' L'expérience de pensée confirme les prévisions de la théorie classique. Imaginons la même expérience avec des lasers venant de l'extérieur du vaisseau (transparent). La théorie classique prédit elle une continuité temporelle entre l'espace et le vaisseau? Si ce n'est pas le cas, les lasers ne parviennent pas au même 'endroit'. Si c'est le cas, ce que nous voulons croire, 'courbure de l'espace-temps' et 'célérité du temps' sont rigoureusement identiques. La différence réside dans le nombre de dimensions nécessaires pour décrire le phénomène. Le modèle à trois dimensions est plus puissant. Il complète par une troisième équation la théorie. Il permet d'appréhender pleinement le concept mathématiquement et géométriquement. Et, comme nous allons le voir par la suite, il lève les paradoxes simplement et par le calcul. N'abordons pas ici les conséquences pour les autres théories de la physique... '''Explication de la géométrie du temps propre''' Pour la construction de l'expérience de pensée précédente, nous avons appliqué mécaniquement la dilatation temporelle et l'invariance de la célérité. Un équitemps apparaît comme une sphère. Mais, pour l'observateur extérieur, cette sphère est dilatée et décalée. Pour la compréhension, une explication géométrique est bienvenue. Il faut appréhender 1 notion simple. Suivant la direction de déplacement ou une direction perpendiculaire : Un équitemps doit atteindre le vaisseau à l'endroit ou il '''sera.''' Conjugué à l'invariance de la célérité, cela décale la sphère et la dilate. ('dilatation du temps') '''Temps relatif''' Le temps propre se déplace, immuable, toujours à la même vitesse, celle de la lumière. Il s’agit donc du '''<nowiki/>'temps ressenti'''' qui s’écoule, régulier, pour tout observateur, quelles que soient sa vitesse ou ‘sa gravité’. Enfin, plaçons nous à la place de l’observateur du vaisseau. Son temps propre se déplace à la vitesse de la lumière par rapport à lui-même. Mais, ce coup-ci, l’espace dans lequel il se déplace est contracté par la vitesse du vaisseau. C’est l’essence du temps absolu. Cela revient à dire que son temps propre passe ɣ fois plus vite que dans un même espace non contracté (comme pour l’observateur extérieur). '''C’est le temps relatif.''' Il dépend de la géométrie de l'espace qu'il parcourt. '''(((''' L'expérience de pensée suivante, est l'expérience de simultanéité originelle de l'article. Nous avons choisi de la conserver car elle recèle une notion de compréhension. Aussi, elle apparaît en italique. ''Considérons la classique expérience de pensée de simultanéité de la figure 5 en soumettant le vaisseau au modèle du temps propre. Pour l’observateur intérieur, les 2 lasers déclenchent simultanément en t=1. Ils percutent la paroi d’en face simultanément en t=3 (fig 5a).  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A91.pdf'' ''Pour l’observateur extérieur, le vaisseau et son temps propre sont contractés par la vitesse. En conséquence, dans la direction de déplacement, '''il y a un facteur ɣ² entre la réalité du vaisseau et celle observée de l’extérieur'''. (Et c’est heureux !). Dans le cas présent, cela va nous permettre de simplifier les mensurations de la figure suivante. Si, sur la figure 5b le temps du vaisseau est identique à celui de la figure 5a, je dois considérer que la taille est ɣ² plus petite pour retomber sur la même réalité. La vitesse du vaisseau étant c/2, ɣ²=4/3. En conséquence, le vaisseau sur la figure 5b fait les ¾ du vaisseau sur la figure 5a. Dans la théorie classique, la contraction des longueurs serait <math>\surd</math> (3/4) et la dilatation du temps <math>\surd</math> (4/3). (On aurait tout aussi bien pu choisir une taille de vaisseau normale avec une dilatation du temps de 4/3). Néanmoins, pour que les évènements aient une cohérence temporelle dans tous l'espace, nous devons considérer une altération spatio-temporelle classique.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A92.pdf'' [[Fichier:Simultanéité3.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] ''Les deux lasers déclenchent avec un décalage. Optiquement, celui de gauche part avant celui de droite (fig 5b)'''.(En fait, les deux lasers partent lorsque 'l'équi-temps' 0 atteint les parois,''' comme à la fig5a''').''' Ils se croisent au milieu du vaisseau en t=2. En théorie classique, c’est le seul point dans le présent. Aussi, il sert de référent au temps du vaisseau pour le modèle. Les 2 lasers terminent leur course et '''atteignent les parois d’en face avec 'l'équi-temps' 2'''. Optiquement, celui de droite atteint la paroi de gauche avant l’autre.'' ''Cette expérience de pensée colle rigoureusement avec les prédictions de la théorie classique. Dans le cadre de l’application de ce modèle, '''Il y a simultanéité temporelle'''. « Les temps changent ! ». En fait, il y a simultanéité des évènements dans le temps propre du vaisseau pour les 2 observateurs ; mais, pas dans le temps absolu de l’observateur extérieur.'' ''Cette expérience de pensée mérite une simulation informatique dynamique. Cela permettrait de visualiser la simultanéité des évènements au niveau du temps propre.''')))'''''[[Fichier:Simultanéité2.pdf|vignette|center|709x709px|''expérience de simultanéité observateur extérieur'']] ''La figure 5b est la figure clef de la théorie du modèle du temps propre.'' dlcc4q7zj1sidex17fb38x5h6sjnw8l 881271 881269 2022-08-13T14:37:15Z Meichel robert 62358 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 3 | précédent = [[../Mathématique/]] | suivant = }} Passons sur les modèles non valides comme celui d’un unique temps absolu. N’en gardons que la propriété physique déduite mathématiquement : Le temps est 'stationnaire' (abus de langage). En fait, dans un modèle précédent, modèle dit du temps absolu, les calculs avaient permis de montrer que le futur semblait rebondir sur le présent pour donner le passé. (théorie obsolète) En fait, futur et passé se croisent. '''Modèle du temps propre''' :   Chaque 'grain' d'espace-temps a un temps qui lui est propre. Ce modèle est représenté sur la figure 4. Le futur est représenté par une bulle temporelle qui diminue de volume à la vitesse de la lumière. Lorsque le volume de la bulle devient nul, c’est le présent. Puis le volume de la bulle augmente, c’est le passé. La figure suivante n'est rien d'autre qu'une représentation graphique possible de l'équation du chapitre mathématique x(t)² = c²t². Avant d'être 'présent', le 'temps' était un phénomène physique doté d'une célérité. Après être 'présent', le 'temps' redeviendra ce même phénomène physique. Le 'présent' est l'intersection de ce phénomène physique. Le modèle permet de positionner le passé et le futur du 'temps'. Ainsi, tout évènement est localisable dans le temps relativement à un autre. '''Quelque soit l'observateur, le futur ou le passé d'un évènement est géométriquement identique.''' https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mod%C3%A8le_du_temps_propre.pdf [[Fichier:Modèle_du_temps_propre.pdf|vignette|center|603x603px|modèle du temps propre]] Si l’on considère deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre, soumis au modèle du temps propre, il est difficile de définir quel est celui qui se déplace. Aussi, chaque observateur voit le temps écoulé de l’autre réduit en comparaison du sien. Dans le cadre de l’application seule de ce modèle, le paradoxe des jumeaux semble maintenu. Le parallèle avec la théorie classique est rapide. '''La théorie classique compare les temps propres perçus''' '''des 2 jumeaux et non leurs temps relatifs''' (temps ressenti, voir chapitre 5). Ce qui explique le paradoxe. '''Expérience de pensée de simultanéité''' Considérons un vaisseau sphérique se déplaçant à une vitesse V = Ѵ3/2c, de sorte que ɣ = 2. Plusieurs lasers sont disposés dans la structure. Pour les besoins de la simulation, il y en a 12. Pour l'observateur intérieur (fig 5a), situé au centre du vaisseau, les lasers déclenchent 'simultanément' en t=1. Cela correspond au 'moment' ou l'équitemps t=0 atteint la coque. Les points de départ des lasers forment une figure sphérique dans l'espace de l'observateur intérieur. Par contre, l'espace étant contracté, cette sphère serait une ellipse deux fois plus large que haute dans l'espace-temps de l'observateur extérieur. (Or, ce n'est pas ce qu'il perçoit) En t=2, tous les lasers parviennent au centre et à l'observateur. Ce point de rencontre est la clé de l'expérience. En effet, c'est un point de référence double. A cet endroit, les lasers se croisent à la fois dans le vaisseau et dans l'espace. C'est par rapport à ce point que les évènements sont déterminés dans la fig5b. En t=3, les lasers parviennent 'simultanément' aux points diamétralement opposés à leur départ. [[Fichier:Simultanéité_int.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] Pour l'observateur extérieur, les évènements ne sont plus simultanés. Les 'endroits' des évènements sont déterminés par le calcul ou géométriquement. Les règles sont simples (En fait, ce n'est pas trivial) : - Le centre du vaisseau est relativement au même endroit dans les 2 espace-temps. - La célérité du temps a les mêmes propriétés d'invariance que celle de la lumière. - Dilatation du temps et contraction des longueurs. L'objectif est de vérifier que des évènements s'opèrent lorsqu'ils sont atteints par le même équitemps dans les 2 espace-temps. En t=2, ce qui correspond à t=1 dans le vaisseau (dilatation du temps), seuls la moitié des lasers sont déjà partis. Leurs points de départ sont représentés par des croix. Les autres lasers déclencheront lorsque l'équitemps t=0 aura atteint la paroi de droite. En t=4 (ti=2), tous les lasers sont partis et atteignent le centre simultanément. tous les points de départ dans l'espace forment une ellipse qui correspond exactement à la sphère dans l'espace-temps de l'observateur extérieur (CQFD). L'équitemps t= 4 est le nouveau référent pour les évènements 'les lasers atteignent la paroi d'en face'. Lorsqu'il atteint la coque, les lasers arrivent. Ce cas de figure est simple car tous les lasers sont confondus avec l'équitemps t=4. En t=6 (ti=3), seuls la moitié des lasers sont arrivés. les points d'impact avec la coque dans l'espace sont représentés par les croix vertes situées à la gauche du vaisseau. Ils coïncident aux points d'intersection de l'équitemps t=4 et de la coque. Pour la moitié restante, la progression des lasers est au niveau de l'équitemps t=4 dans le vaisseau. Les futurs points d'impact sont représentés par les croix bleues situées à la droite du vaisseau. L'ensemble forme de nouveau une ellipse identique à celle des points de départ (attendu). [[Fichier:Simultanéité_ext2.pdf|vignette|center|579x579px|''L.expérience de simultanéité observateur extérieur'']] '''Discussion''' L'expérience de pensée confirme les prévisions de la théorie classique. Imaginons la même expérience avec des lasers venant de l'extérieur du vaisseau (transparent). La théorie classique prédit elle une continuité temporelle entre l'espace et le vaisseau? Si ce n'est pas le cas, les lasers ne parviennent pas au même 'endroit'. Si c'est le cas, ce que nous voulons croire, 'courbure de l'espace-temps' et 'célérité du temps' sont rigoureusement identiques. La différence réside dans le nombre de dimensions nécessaires pour décrire le phénomène. Le modèle à trois dimensions est plus puissant. Il complète par une troisième équation la théorie. Il permet d'appréhender pleinement le concept mathématiquement et géométriquement. Et, comme nous allons le voir par la suite, il lève les paradoxes simplement et par le calcul. N'abordons pas ici les conséquences pour les autres théories de la physique... '''Explication de la géométrie du temps propre''' Pour la construction de l'expérience de pensée précédente, nous avons appliqué mécaniquement la dilatation temporelle et l'invariance de la célérité. Un équitemps apparaît comme une sphère. Mais, pour l'observateur extérieur, cette sphère est dilatée et décalée. Pour la compréhension, une explication géométrique est bienvenue. Il faut appréhender 1 notion simple. Suivant la direction de déplacement ou une direction perpendiculaire : Un équitemps doit atteindre le vaisseau à l'endroit ou il '''sera.''' Conjugué à l'invariance de la célérité, cela décale la sphère et la dilate. ('dilatation du temps') '''Temps relatif''' Le temps propre se déplace, immuable, toujours à la même vitesse, celle de la lumière. Il s’agit donc du '''<nowiki/>'temps ressenti'''' qui s’écoule, régulier, pour tout observateur, quelles que soient sa vitesse ou ‘sa gravité’. Enfin, plaçons nous à la place de l’observateur du vaisseau. Son temps propre se déplace à la vitesse de la lumière par rapport à lui-même. Mais, ce coup-ci, l’espace dans lequel il se déplace est contracté par la vitesse du vaisseau. C’est l’essence du temps absolu. Cela revient à dire que son temps propre passe ɣ fois plus vite que dans un même espace non contracté (comme pour l’observateur extérieur). '''C’est le temps relatif.''' Il dépend de la géométrie de l'espace qu'il parcourt. '''(((''' L'expérience de pensée suivante, est l'expérience de simultanéité originelle de l'article. Nous avons choisi de la conserver car elle recèle une notion de compréhension. Aussi, elle apparaît en italique. ''Considérons la classique expérience de pensée de simultanéité de la figure 5 en soumettant le vaisseau au modèle du temps propre. Pour l’observateur intérieur, les 2 lasers déclenchent simultanément en t=1. Ils percutent la paroi d’en face simultanément en t=3 (fig 5a).  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A91.pdf'' ''Pour l’observateur extérieur, le vaisseau et son temps propre sont contractés par la vitesse. En conséquence, dans la direction de déplacement, '''il y a un facteur ɣ² entre la réalité du vaisseau et celle observée de l’extérieur'''. (Et c’est heureux !). Dans le cas présent, cela va nous permettre de simplifier les mensurations de la figure suivante. Si, sur la figure 5b le temps du vaisseau est identique à celui de la figure 5a, je dois considérer que la taille est ɣ² plus petite pour retomber sur la même réalité. La vitesse du vaisseau étant c/2, ɣ²=4/3. En conséquence, le vaisseau sur la figure 5b fait les ¾ du vaisseau sur la figure 5a. Dans la théorie classique, la contraction des longueurs serait <math>\surd</math> (3/4) et la dilatation du temps <math>\surd</math> (4/3). (On aurait tout aussi bien pu choisir une taille de vaisseau normale avec une dilatation du temps de 4/3). Néanmoins, pour que les évènements aient une cohérence temporelle dans tous l'espace, nous devons considérer une altération spatio-temporelle classique.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A92.pdf'' [[Fichier:Simultanéité3.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] ''Les deux lasers déclenchent avec un décalage. Optiquement, celui de gauche part avant celui de droite (fig 5b)'''.(En fait, les deux lasers partent lorsque 'l'équi-temps' 0 atteint les parois,''' comme à la fig5a''').''' Ils se croisent au milieu du vaisseau en t=2. En théorie classique, c’est le seul point dans le présent. Aussi, il sert de référent au temps du vaisseau pour le modèle. Les 2 lasers terminent leur course et '''atteignent les parois d’en face avec 'l'équi-temps' 2'''. Optiquement, celui de droite atteint la paroi de gauche avant l’autre.'' ''Cette expérience de pensée colle rigoureusement avec les prédictions de la théorie classique. Dans le cadre de l’application de ce modèle, '''Il y a simultanéité temporelle'''. « Les temps changent ! ». En fait, il y a simultanéité des évènements dans le temps propre du vaisseau pour les 2 observateurs ; mais, pas dans le temps absolu de l’observateur extérieur.'' ''Cette expérience de pensée mérite une simulation informatique dynamique. Cela permettrait de visualiser la simultanéité des évènements au niveau du temps propre.''')))'''''[[Fichier:Simultanéité2.pdf|vignette|center|709x709px|''expérience de simultanéité observateur extérieur'']] ''La figure 5b est la figure clef de la théorie du modèle du temps propre.'' qd9veeburnmtb3qc8oddpux0hf11aj1 881272 881271 2022-08-13T14:45:59Z Meichel robert 62358 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | niveau = | numéro = 3 | précédent = [[../Mathématique/]] | suivant = }} Passons sur les modèles non valides comme celui d’un unique temps absolu. N’en gardons que la propriété physique déduite mathématiquement : Le temps est 'stationnaire' (abus de langage). En fait, dans un modèle précédent, modèle dit du temps absolu, les calculs avaient permis de montrer que le futur semblait rebondir sur le présent pour donner le passé. (théorie obsolète) En fait, futur et passé se croisent. '''Modèle du temps propre''' :   Chaque 'grain' d'espace-temps a un temps qui lui est propre. Ce modèle est représenté sur la figure 4. Le futur est représenté par une bulle temporelle qui diminue de volume à la vitesse de la lumière. Lorsque le volume de la bulle devient nul, c’est le présent. Puis le volume de la bulle augmente, c’est le passé. La figure suivante n'est rien d'autre qu'une représentation graphique possible de l'équation du chapitre mathématique x(t)² = c²t². Avant d'être 'présent', le 'temps' était un phénomène physique doté d'une célérité. Après être 'présent', le 'temps' redeviendra ce même phénomène physique. Le 'présent' est l'intersection de ce phénomène physique. Le modèle permet de positionner le passé et le futur du 'temps'. Ainsi, tout évènement est localisable dans le temps relativement à un autre. '''Quelque soit l'observateur, le futur ou le passé d'un évènement est géométriquement identique.''' https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mod%C3%A8le_du_temps_propre.pdf [[Fichier:Modèle_du_temps_propre.pdf|vignette|center|603x603px|modèle du temps propre]] Si l’on considère deux observateurs en mouvement l’un par rapport à l’autre, soumis au modèle du temps propre, il est difficile de définir quel est celui qui se déplace. Aussi, chaque observateur voit le temps écoulé de l’autre réduit en comparaison du sien. Dans le cadre de l’application seule de ce modèle, le paradoxe des jumeaux semble maintenu. Le parallèle avec la théorie classique est rapide. '''La théorie classique compare les temps propres perçus''' '''des 2 jumeaux et non leurs temps relatifs''' (temps ressenti, voir chapitre 5). Ce qui explique le paradoxe. '''Expérience de pensée de simultanéité''' Considérons un vaisseau sphérique se déplaçant à une vitesse V = Ѵ3/2c, de sorte que ɣ = 2. Plusieurs lasers sont disposés dans la structure. Pour les besoins de la simulation, il y en a 12. Pour l'observateur intérieur (fig 5a), situé au centre du vaisseau, les lasers déclenchent 'simultanément' en t=1. Cela correspond au 'moment' ou l'équitemps t=0 atteint la coque. Les points de départ des lasers forment une figure sphérique dans l'espace de l'observateur intérieur. Par contre, l'espace étant contracté, cette sphère serait une ellipse deux fois plus large que haute dans l'espace-temps de l'observateur extérieur. (Or, ce n'est pas ce qu'il perçoit) En t=2, tous les lasers parviennent au centre et à l'observateur. Ce point de rencontre est la clé de l'expérience. En effet, c'est un point de référence double. A cet endroit, les lasers se croisent à la fois dans le vaisseau et dans l'espace. C'est par rapport à ce point que les évènements sont déterminés dans la fig5b. En t=3, les lasers parviennent 'simultanément' aux points diamétralement opposés à leur départ. [[Fichier:Simultanéité_int.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] Pour l'observateur extérieur, les évènements ne sont plus simultanés. Les 'endroits' des évènements sont déterminés par le calcul ou géométriquement. Les règles sont simples (En fait, ce n'est pas trivial) : - Le centre du vaisseau est relativement au même endroit dans les 2 espace-temps. - La célérité du temps a les mêmes propriétés d'invariance que celle de la lumière. - Dilatation du temps et contraction des longueurs. L'objectif est de vérifier que des évènements s'opèrent lorsqu'ils sont atteints par le même équitemps dans les 2 espace-temps. En t=2, ce qui correspond à t=1 dans le vaisseau (dilatation du temps), seuls la moitié des lasers sont déjà partis. Leurs points de départ sont représentés par des croix. Les autres lasers déclencheront lorsque l'équitemps t=0 aura atteint la paroi de droite. En t=4 (ti=2), tous les lasers sont partis et atteignent le centre simultanément. tous les points de départ dans l'espace forment une ellipse qui correspond exactement à la sphère dans l'espace-temps de l'observateur extérieur (CQFD). L'équitemps t= 4 est le nouveau référent pour les évènements 'les lasers atteignent la paroi d'en face'. Lorsqu'il atteint la coque, les lasers arrivent. Ce cas de figure est simple car tous les lasers sont confondus avec l'équitemps t=4. En t=6 (ti=3), seuls la moitié des lasers sont arrivés. les points d'impact avec la coque dans l'espace sont représentés par les croix vertes situées à la gauche du vaisseau. Ils coïncident aux points d'intersection de l'équitemps t=4 et de la coque. Pour la moitié restante, la progression des lasers est au niveau de l'équitemps t=4 dans le vaisseau. Les futurs points d'impact sont représentés par les croix bleues situées à la droite du vaisseau. L'ensemble forme de nouveau une ellipse identique à celle des points de départ (attendu). [[Fichier:Simultanéité_ext2.pdf|vignette|center|579x579px|''L.expérience de simultanéité observateur extérieur'']] '''Discussion''' L'expérience de pensée confirme les prévisions de la théorie classique. Imaginons la même expérience avec des lasers venant de l'extérieur du vaisseau (transparent). La théorie classique prédit elle une continuité temporelle entre l'espace et le vaisseau? Si ce n'est pas le cas, les lasers ne parviennent pas au même 'endroit'. Si c'est le cas, ce que nous voulons croire, 'courbure de l'espace-temps' et 'célérité du temps' sont synonymes : la célérité du temps est la raison de la courbure. La différence réside dans le nombre de dimensions nécessaires pour décrire le phénomène. Le modèle à trois dimensions est plus puissant. Il complète par une troisième équation la théorie. Il permet d'appréhender pleinement le concept mathématiquement et géométriquement. Et, comme nous allons le voir par la suite, il lève les paradoxes simplement et par le calcul. N'abordons pas ici les conséquences pour les autres théories de la physique... '''Explication de la géométrie du temps propre''' Pour la construction de l'expérience de pensée précédente, nous avons appliqué mécaniquement la dilatation temporelle et l'invariance de la célérité. Un équitemps apparaît comme une sphère. Mais, pour l'observateur extérieur, cette sphère est dilatée et décalée. Pour la compréhension, une explication géométrique est bienvenue. Il faut appréhender 1 notion simple. Suivant la direction de déplacement ou une direction perpendiculaire : Un équitemps doit atteindre le vaisseau à l'endroit ou il '''sera.''' Conjugué à l'invariance de la célérité, cela décale la sphère et la dilate. ('dilatation du temps') '''Temps relatif''' Le temps propre se déplace, immuable, toujours à la même vitesse, celle de la lumière. Il s’agit donc du '''<nowiki/>'temps ressenti'''' qui s’écoule, régulier, pour tout observateur, quelles que soient sa vitesse ou ‘sa gravité’. Enfin, plaçons nous à la place de l’observateur du vaisseau. Son temps propre se déplace à la vitesse de la lumière par rapport à lui-même. Mais, ce coup-ci, l’espace dans lequel il se déplace est contracté par la vitesse du vaisseau. C’est l’essence du temps absolu. Cela revient à dire que son temps propre passe ɣ fois plus vite que dans un même espace non contracté (comme pour l’observateur extérieur). '''C’est le temps relatif.''' Il dépend de la géométrie de l'espace qu'il parcourt. '''(((''' L'expérience de pensée suivante, est l'expérience de simultanéité originelle de l'article. Nous avons choisi de la conserver car elle recèle une notion de compréhension. Aussi, elle apparaît en italique. ''Considérons la classique expérience de pensée de simultanéité de la figure 5 en soumettant le vaisseau au modèle du temps propre. Pour l’observateur intérieur, les 2 lasers déclenchent simultanément en t=1. Ils percutent la paroi d’en face simultanément en t=3 (fig 5a).  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A91.pdf'' ''Pour l’observateur extérieur, le vaisseau et son temps propre sont contractés par la vitesse. En conséquence, dans la direction de déplacement, '''il y a un facteur ɣ² entre la réalité du vaisseau et celle observée de l’extérieur'''. (Et c’est heureux !). Dans le cas présent, cela va nous permettre de simplifier les mensurations de la figure suivante. Si, sur la figure 5b le temps du vaisseau est identique à celui de la figure 5a, je dois considérer que la taille est ɣ² plus petite pour retomber sur la même réalité. La vitesse du vaisseau étant c/2, ɣ²=4/3. En conséquence, le vaisseau sur la figure 5b fait les ¾ du vaisseau sur la figure 5a. Dans la théorie classique, la contraction des longueurs serait <math>\surd</math> (3/4) et la dilatation du temps <math>\surd</math> (4/3). (On aurait tout aussi bien pu choisir une taille de vaisseau normale avec une dilatation du temps de 4/3). Néanmoins, pour que les évènements aient une cohérence temporelle dans tous l'espace, nous devons considérer une altération spatio-temporelle classique.https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simultan%C3%A9it%C3%A92.pdf'' [[Fichier:Simultanéité3.pdf|vignette|center|579x579px|''expérience de simultanéité observateur intérieur'']] ''Les deux lasers déclenchent avec un décalage. Optiquement, celui de gauche part avant celui de droite (fig 5b)'''.(En fait, les deux lasers partent lorsque 'l'équi-temps' 0 atteint les parois,''' comme à la fig5a''').''' Ils se croisent au milieu du vaisseau en t=2. En théorie classique, c’est le seul point dans le présent. Aussi, il sert de référent au temps du vaisseau pour le modèle. Les 2 lasers terminent leur course et '''atteignent les parois d’en face avec 'l'équi-temps' 2'''. Optiquement, celui de droite atteint la paroi de gauche avant l’autre.'' ''Cette expérience de pensée colle rigoureusement avec les prédictions de la théorie classique. Dans le cadre de l’application de ce modèle, '''Il y a simultanéité temporelle'''. « Les temps changent ! ». En fait, il y a simultanéité des évènements dans le temps propre du vaisseau pour les 2 observateurs ; mais, pas dans le temps absolu de l’observateur extérieur.'' ''Cette expérience de pensée mérite une simulation informatique dynamique. Cela permettrait de visualiser la simultanéité des évènements au niveau du temps propre.''')))'''''[[Fichier:Simultanéité2.pdf|vignette|center|709x709px|''expérience de simultanéité observateur extérieur'']] ''La figure 5b est la figure clef de la théorie du modèle du temps propre.'' rm15ljfa7crv3k47lnrl2foqykzoa85 104 78645 881274 877524 2022-08-13T14:56:04Z Meichel robert 62358 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Paradoxe des jumeaux3.pdf|vignette|right|603x603px|modèle du temps propre]]Le chapitre ci-dessous développe un traitement singulier du paradoxe des jumeaux. Il est à mettre entre parenthèses dans cet article car il est indépendant du concept de base : la célérité du temps. Considérons l'expérience classique d'un coup de laser orienté verticalement dans un vaisseau se déplaçant à une vitesse V par rapport à la terre. Arbitrairement, la vitesse du vaisseau est fixée à cѴ3/2 de sorte que ɣ=2. Positionnons un observateur dans le vaisseau et un dans un laboratoire sur terre. Chacun observe le laser. On obtient l'expérience de pensée dont la géométrie est représentés '''fig 6a.''' Maintenant, répliquons l'expérience dans le laboratoire de même hauteur que le vaisseau. Les mêmes observateurs visualisent le laser. La représentation associée à la nouvelle expérience de pensée est celle de la '''fig 6b.''' '''Ces deux expériences symbolisent le paradoxe des jumeaux. En effet, chaque observateur perçoit le temps de l'autre plus court que le sien.''' Mais, on ne peut pour deux raisons comparer aussi simplement ces deux expériences de pensée. Tout d'abord, une fois les expériences terminées, les observateurs sont à une distance égale l'un de l'autre. Mais, l'espace étant contracté d'un facteur 2 pour le vaisseau, '''il n'est pas relativement au même endroit''' dans les 2 espaces. En conséquence, on doit considérer que le vaisseau a parcouru une distance 2 fois plus courte dans son espace pour que sa position relative soit identique dans les 2 espaces. Ainsi, on obtient l'expérience de pensée de la '''fig 6c.''' En définitive, l'expérience de la fig 6b ne se termine pas. Le laser franchit seulement la moitié de la hauteur du laboratoire (6c ct), ce qui est contre intuitif. Pour l'observateur du vaisseau, le temps du laboratoire observé est ɣ² fois plus petit que le temps réellement écoulé. Il s'agit du '''temps propre perçu.''' Il est dépendant de la déformation de l'univers. A contrario, le temps perçu du vaisseau (6a ct') est identique au '''temps ressenti''' de la fig 6c (ct'). On peut identifier l'''<nowiki/>'espace-temps''' du laboratoire comme ''''absolu''''. La fig 6c mesure le temps ressenti du vaisseau (ct') et le temps perçu du laboratoire (ct). Elle représente l'espace-temps du vaisseau. Il est contracté spatialement et temporellement dans la direction du déplacement. Pour le comparer à celui du laboratoire, une '''transformation relative''' s'impose (changement d'espace-temps). On obtient la fig6d. Cet espace relatif est ɣ² fois plus grand, un facteur ɣ inhérent à la contraction de l'espace et l'autre à celle du temps. Dans cet espace, la '''distance relative parcourue''' (Vt2) par le vaisseau est ɣ fois plus importante que l'originale (fig 6a, Vt), le vaisseau se déplace relativement plus vite. ct, fig6d, représente le '''temps relatif,''' il est identique au temps ressenti initial (fig 6a, ct) '''(CQFD)''' La fig 6e est la '''transformée relative inverse''' de la fig 6a. L'expérience de pensée du laboratoire est représentée dans l'espace-temps du vaisseau. Ici, le temps relatif (ct') est ɣ² fois plus petit. La distance relative parcourue (Vt'2) est ɣ fois plus petite que Vt', fig 6c, cohérent. Le temps qui se déplace dissipe le paradoxe des jumeaux. L'espace d'un 'mobile' est contracté. Son temps propre met moins de temps pour lui parvenir que pour un observateur extérieur dont l'espace n'est pas contracté. 60f6auggn6txng8fkvx2duzotgd5u0l 104 80749 881283 881260 2022-08-13T20:24:13Z Psychoslave 2753 -euse wikitext text/x-wiki <blockquote>🚧 À faire&nbsp;: * lister les suffixes féminin/masculin usuels, les réifier par des diacritiques * aller au-delà dans les alternatives sexuées&nbsp;: commun, mixte, non-binaire, etc. (pour les noms communs de personnes uniquement) * analyse des suffixes communs en français, cf https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&pagefrom=gate%0A-gate#mw-pages *analyser les propositions dans https://lavieenqueer.wordpress.com/2018/07/26/petit-dico-de-francais-neutre-inclusif/ *analyser l’existant de suffixes comme -us, -um, -ul -os pour former des dérivés marquant un genre manifeste (masculin, neutre…), en considérant -euse/-esse comme le modèle protypique à suivre *trouver une copie de Khaznadar, Edwige (2000) "La suffixation du masculin et du féminin dans l’alternance en genre en français : de la réalité contemporaine et de quelques vieilles lunes » *décrire la méthodologie retenue : croiser les suffixes documentés aux terminaisons phonologiques en usage pour prioriser sans limiter les morphes suffixaux envisagés sous le prisme statistique de l'existant </blockquote>L’objectif de cette section est de faire un relevé des pratiques existantes et de proposer une liste de suffixes utilisables pour exprimer de manière ostentatoire tout ou partie des catégories de genre décrites dans les sections précédentes, en limitant autant que possible les collisions conflictuels avec les usages déjà plus ou moins bien ancrés. Outre le genre, les notions connexes comme la dénomination d’un groupe indéterminant seront intégrés à la recherche. Pour le formuler par un exemple concret les cas tels que ''lectorat'' comparativement à ''lecteur'' et ''lectrice'' seront pris en compte comme prototype à calquer et étendre pour y adjoindre des formes ostantoirement marqués pour d’autres catégories de genre. Les sections précédentes ont permis d’établir que dans une majeure partie des cas, les morphologies suffixales ne suffisent pas à déterminer la valeur d'un genre flou. En prenant en compte aussi bien l’oral que l’écrit, seul ''-çonne'' et ''-sion'' fourni un ensemble de termes associés au genre ambigu. Cependant de nombreux suffixes démontrent un taux de corrélation à un genre flou, qui empiriquement est également associé à une sémantique sexuante dans le cas où ils désignent des entités vivantes. Ainsi, dans la plupart des cas, ''-euse'' et ''-esse'' permettent de rajouter le trait sémantique ''féminin'' ou ''femelle'' sur une base de genre flou, ce qui en fait un suffixe de genre quasi-complètement ostentatoire. Par exemple ''une ânesse'' porte sans conteste la supposition du trait ''femelle'', tandis qu’''un âne'' demeure équivoque tant que n’y est pas adjoint un épithète ''femelle'' ou ''mâle''. Par ailleurs, si l'usage emploi bien ''ânon'' pour désigné un représentant juvénile de l’espèce, il ne semble pas retenir ''ânanonne'' pour stipuler l'âne ''impubère femelle''. Pourtant le suffixe -onne est pleinement actif dans l'usage, et se retrouve avec cette sémantique dans des termes comme ''aiglonne'', ou ''oursonne''. Au passage le terme ''ânonne'' est usuel comme flexion du verbe ''ânonner'' : mettre bas un ânon. Il existe également ''baudet'', qui s'appuie donc sur une base lexicale totalement distinct, et qui parfois désigne plus spécifiquement le mâle, bien que au moins par extension il puisse être employé comme simple synonyme d’âne. De même pour bourrique qui s’emploie selon les contextes plutôt pour désigner spécifiquement une femelle, ou comme synonyme générique d'''âne''<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=le|prénom1=Par Damien|titre=Âne, mulet, mulet, bardot, bardote ou baudet|url=https://omnilogie.fr/O/Âne,_mulet,_mulet,_bardot,_bardote_ou_baudet|site=Omnilogie|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Même lorsqu’une base produit d'avantage de dérivés, l'usage n'est pas nécessairement uniforme. Ainsi sur à partir de ''zèbre'' les locuteurs construisent spontanément aussi bien ''zèbresse'' que ''zèbrelle'' pour désigner la femelle, zébreau, zébrion et zébron pour le membre juvénile, ''zèbrette'' ou ''zébronne'' pour la femelle juvénile<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Une nouvelle zèbrelle dans la jungle ; rouge et jaune à petits pois ...|url=https://www.zebrascrossing.net/t18706-une-nouvelle-zebrelle-dans-la-jungle-rouge-et-jaune-a-petits-pois|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref> – ''zébrionne'' connaît au moins une attestation mais pour référer à une jeune fille [[w:surdoué|haut potentiel intellectuel]]<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Quels sont vos rapports avec vous même ?|url=https://www.zebrascrossing.net/t30580-quels-sont-vos-rapports-avec-vous-meme|site=www.zebrascrossing.net|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À cela s'ajoute l’appellation de ''poulain,'' voir ''pouliche'' s'il s'agit d'une femelle – auquel il faudrait probablement ajouter l’alternative ''pouline''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Un poulain zèbre rare à pois repéré au Kenya {{!}} Mont Blanc|url=https://montblanczone.com/fr/un-poulain-zebre-rare-a-pois-repere-au-kenya/|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=par|titre=Comment appelle-t-on un bébé zèbre ? - Spiegato|url=https://spiegato.com/fr/comment-appelle-t-on-un-bebe-zebre|date=2021-06-10|consulté le=2022-08-03}}</ref>. À noter que pouliche sous-entend parfois le trait ''nullipare''<ref>{{Lien web|titre=POULICHE : Définition de POULICHE|url=https://www.cnrtl.fr/lexicographie/pouliche|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Ce calque du vocabulaire épique se prolonge pour les adultes avec l’usage d’''étalon'' pour les mâles et ''juments'' pour les femelles<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on un zèbre mâle?|url=https://www.reponserapide.com/comment-appelle-t-on-un-zebre-male-15801.php|site=www.reponserapide.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Dans certains cadres, les sémantiques attachées à chaque terme basé sur ''zèbr/'' sont plus précises : par exemple ''zébreau'' désignera exclusivement le juvénile mâle, et zébrelle exclusivement la juvénile femelle<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Le zèbre : description, lieu de vie, alimentation, reproduction des zèbres|url=https://www.jaitoutcompris.com/animaux/le-zebre-20.php|site=www.jaitoutcompris.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Le constat d'adoption de stratégie variées par les locuteurs vaut tout autant quand le terme de base est de genre ambigu plutôt qu'équivoque. Ainsi pour ''girafe'', il existe des emplois des termes ''taureau'' pour le mâle et ''vache'' pour la femelle<ref>{{Lien web|titre=Comment appelle-t-on une girafe mâle ?|url=https://fr.411answers.com/a/comment-appelle-t-on-une-girafe-male.html|site=fr.411answers.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Pour les juvéniles, ''girafon'' et ''girafeau'' sont courants, ''tandis que girafonne'' plus rare perce parfois dans la presse quotidienne<ref>{{Lien web|langue=FR-fr|titre=Histoire. Le périple de la girafe qui remplit actuellement les salles obscures est lié à la Bourgogne.. La grande marche de Zarafa|url=https://www.bienpublic.com/cote-d-or/2012/02/26/la-grande-marche-de-zarafa|site=www.bienpublic.com|consulté le=2022-08-03}}</ref>, là où girafette relève plus de la littérature jeunesse<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Girafette va en classe|url=https://kedemoseducation.com/fr/produit/girafette-va-en-classe/|site=Kedemos Education|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Girafon et Girafette|url=https://www.ricochet-jeunes.org/livres/girafon-et-girafette|site=www.ricochet-jeunes.org|consulté le=2022-08-03}}</ref>. Quand à ''girafelle'', il semble principalement employé comme pseudonyme, et relève donc plutôt de la construction particularisante<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Sculptures Buissonnières|url=https://fr-fr.facebook.com/sculpturesbuissonnieres/posts/pfbid0AGR2CFmogRE6y1sNfzzwNrPsA8ix26nrFHPabJWBkzcimap6HGK7z14JGofE2Zkgl|site=fr-fr.facebook.com|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Inc|prénom1=Depositphotos|titre=Girafelle images vectorielles, Girafelle vecteurs libres de droits|url=https://fr.depositphotos.com/vector-images/girafelle.html|site=Depositphotos|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Certains vocables des sexués peuvent être considéré à des degrés divers comme dépourvu de tout alternative lexicale en genre. Ainsi dans certains cadres ''moineau'' est considéré exempt de déclinaison en genre, bien que ''moinelle'' soit couvert dans plusieurs dictionnaires<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Barbara|prénom1=Rahma|titre=Cours de morphologie|url=https://elc.hypotheses.org/155|site=Études linguistiques|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Lien web|titre=MOINELLE : Définition de MOINELLE|url=https://www.cnrtl.fr/definition/moinelle|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=moinelle|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-13|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=moinelle&oldid=30376651|consulté le=2022-08-04}}</ref>. D'autres termes, comme ''mésange'', n’ont aucun pendant pour désigner spécifiquement un individu femelle ou mâle : les seuls dérivés tel ''mésangeai'' et ''mésangère'' désignent des espèces, quand à ''mésangette'' il s’emploie tout autant pour désigner une cage, une espèce qu’à une fin hypocoristique. Dans certains cas le terme usuel s’emploie aussi bien au genre flou qu’au genre équivoque. Le flou sémantique est moindre si un genre prévaut dans l’usage pour désigner l’espèce en général : ''une aigle'', ''une hippopotame'', indiquera assurément le trait femelle. Dans le cas où l'usage général hésite, comme ''orque'', le flou est maintenu si le contexte ne précise rien d’avantage. Statistiquement, sur une annexe spécifique de quelques 257 termes pour désigner des animaux, le Wiktionnaire présente 135 termes correspondant pour désigner plus spécifiquement des individus juvéniles – soit 58&nbsp;%, 81 pour désigner les femelles – soit 35&nbsp;% et 47 termes pour désigner les mâles – soit 20&nbsp;%<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Listes des noms d’animaux|url=https://vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca/24425/la-grammaire/le-nom/genre-des-noms/listes-des-noms-danimaux|site=vitrinelinguistique.oqlf.gouv.qc.ca|consulté le=2022-08-04}}</ref>. Les autres collections du même genre ne semblent pas fournir de listes plus exhaustives<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Animaux communs en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-03|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Animaux_communs_en_fran%C3%A7ais&oldid=30334042|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=Les animaux : le mâle, la femelle, le petit et leur cri|url=https://www.espacefrancais.com/les-animaux-le-male-la-femelle-le-petit-et-leur-cri/|site=EspaceFrancais.com|date=2012-06-29|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Amandine|titre=Les animaux : le mâle, la femelle et le petit|url=http://blog.jolicours.com/les-femelles-petits-animaux-male/|site=Le blog de Jolicours.|date=2017-05-03|consulté le=2022-08-04}}</ref>. De fait, il n'existe pas de mécanisme systématique uniforme et univoque pré-existant pour la construction de lexies dérivant un nom de sexué générale vers des variantes désignant spécifiquement femelle ou mâle, encore moins conjugué aux considérations d'age, de nubilité ou d'''arithmoparité'' – nombre de mise bas déjà réalisées. Pour rappel, les formes de noms flous pour des entités sexuées, comme ''âne'', laissent évasif jusqu’à l’intention exact du locuteur qui les emploi&nbsp;: * le sexe n’est pas spécifié parce que dans la perspective du locuteur il est sans importance pour le propos&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce qu’il importe pour le locuteur de ne pas le révéler&nbsp;; * le sexe n’est pas spécifié parce que le locuteur l’ignore. {| class="wikitable" |+ ! colspan="2" |Suffixe ! colspan="4" |Nombre d’emploi correspondant dans le flou du français usuel ! rowspan="2" |Remarques |- !Graphie !Prononciation !Total !Ambigü !Équivoque !Ambigü-équivoque |- | -anne |/an/ |48 |37 |11 |0 | |- | -anne |/ɛn/ |1 |0 |1 |0 |Il s'agit de ''farsanne'', qui peut au choix être prononcé /faʁ.san/ ou /faʁ.sɛn/. |- | -atte |/at/ |60 |40 |16 |4 | |- | -atte |/ate/ |2 |0 |2 |0 |Ce sont ''latte'' et ''matte''. |- | -os |/ɔs/ |74 |4 |60 |10 |À ''hardos'' pourrait répondre ''hardesse'' qui semble sans emploi actuellement. Distinguer donc l’appairage à -esse de celui fait à -euse. En effet ''hardeuse'' répond à ''hardeur'' qui sont des termes de tout autre sens. |- | -ouse |/uz/ |54 |48 |6 |0 |Dans certains cas, le suffixe est allographe de ''-ouze''. Dans de rares cas, il s'emploie au genre ambigu comme alternance au genre équivoque en -oux : ''coépouse, jalouse, épouse, siouse''. Il alterne même parfois ''-ou'', comme dans ''guenillouse,'' mais pas en alternance de ''guenilloux'' – espèce d’âne<ref>{{Lien web|nom1=Usito|titre=Usito|url=https://usito.usherbrooke.ca/définitions/guenillou|site=Usito|consulté le=2022-08-11}}</ref>. Par contre c’est ''rousse'' qui alterne ''roux'', bien que ''rouse'' soit inusité&nbsp;; et ''douce'' qui alterne ''doux.'' Certains noms en ''-oux'' désignant des humains, comme ''chiaoux'', semblent dénués de toute alternative attesté en genre ambigu. De même pour des vivants sexués comme ''caribou –'' qui se graphie aussi ''cariboux –'' ou encore comme le ''bourrailloux''. |- | -ouse |/aws/ |9 |1 |8 |0 |Ce sont uniquement des emprunts à l'anglais terminant par ''house''&nbsp;: club-house, datawarehouse, deck-house, loghouse, merenhouse, microhouse, penthouse, poolhouse. |- | -euf |/œf/ |28 |4 |9 |15 | |- | -euf |/øf/ |1 |1 |0 |0 |Il s’agit de ''peuf'', qui par ailleurs se prononce également /pœf/. |- | -ère |/ɛʁ/ |1862 |399 |1445 |18 |Les ambigus, lorsqu'ils réfèrent à des vivants sexués, sont souvent en alternances avec le suffixe -er pour l’équivoque. |- | -euse |/øz/ |2041 |3 |2038 |0 |Pour rappel, les trois équivoques de cet inventaire sont ''caragueuse'', ''chartreuse'' – lorsque c'est la couleur dont il s'agit, et ''tracteur-tondeuse''. Les noms de couleurs dérivant d’un adjectif sont toujours passés au genre équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-CA|titre=Langue française: il ne faut pas confondre couleur et couleurs|url=https://l-express.ca/langue-francaise-il-ne-faut-pas-confondre-couleur-et-couleurs/|site=l-express.ca|date=2019-09-25|consulté le=2022-08-13}}</ref>. Les mots composés adoptent généralement le genre du premier composant, et il est d'ailleurs facile de trouver des emplois pour ''une tondeuse-tracteur''<ref>{{Lien web|titre=Les critères d'une tondeuse tracteur|url=https://www.vox-humana.fr/comment-choisir-son-tracteur-tondeuse/|consulté le=2022-08-13}}</ref>. |- | -or | | | | | | |- | -yphe | | | | | |Voir hyphe |- | -aire | | | | | | |- | -ure | | | | | | |- | -ir | | | | | | |- | -us | | | | | | |- | -um | | | | | | |- | -öm |/øm/ | | | | | |- | -ab | | | | | | |- | -acque |/ak/ | | | | | |- | -ade | | | | | | |- | -aphe |/af/ | | | | | |- | -ague |/ag/ | | | | | |- | -age |/aʒ/ | | | | | |- | -alle |/al/ | | | | | |- | -ame | | | | | | |- | -ane |/an/ | | | | | |- | -eux | | | | | | |- | -oïde | | | | | | |- | -erie | | | | | | |- | -eur | | | | | | |- | -ité | | | | | | |- | -tude | | | | | | |- | -isme | | | | | | |- | -tique | | | | | | |- | -esque | | | | | | |- | -vore | | | | | | |- | -phile | | | | | | |- | -âtre | | | | | | |- | -ment | | | | | | |- | -o | | | | | | |- | -voque |/vɔk/ |2 |0 |2 |0 | |- | -ura |/y.ʁa/ |14 |5 |9 |0 |Parmi les 14 noms inventoriés, 3 réfèrent à des vivants sexués : ''datura'', ''sakura'' et ''singapura''. Les deux premiers sont des végétaux et le dernier une espèce de chat – également nommé ''singapour''. Le latin emploie ''-ura'' comme suffixe de mots féminins abstraits à partir de la base du supin ou du parfait de verbes. Les termes français en -ura n'ont cependant pas une origine uniforme, par exemples ''mura'' et ''sakura'' viennent du japonais, ''datura'' et ''singapura'' du sanskrit, ''pandura'' et ''purpura'' du latin. Les dérivés français des mots latins en ''-ura'' opèrent majoritairement un glissement vers le suffixe -ure. |- | -ois |/wa/ |344 | | | |Comme pour les autres statistiques de ce tableau, ces nombres exclus les gentilés. Pour cette entrée cependant il faut noter que gentilés inclus, le répertoire passe à 11&nbsp;402 noms. |- | -y |∅ |1 |0 |1 |0 |Le terme ''salegy'', qui se prononce /sa.lɛɡ/ désigne une danse originaire de Madagascar<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=salegy|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-08-11|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=salegy&oldid=30715826|consulté le=2022-08-11}}</ref>. |- | -y |/i/ |240 |41 |195 |4 |Les noms communs pris en compte dans cet inventaire sont majoritairement des emprunts à l’anglais, mais les dérivés d’autres sources n’en sont pas négligeable pour autant, comme pour ''aby, aisy'', apy, ''crécy'', ''poly'', ''reviens-y'', ou ''zloty''. Il est également très présent dans les toponymes – non pris en compte dans cet inventaire – comme variante à -ac, -ay, -ey, et sous les formes -y, -gny, -illy. |- | -ay |/ɛj/ |5 |0 |5 |0 |Tous emprunts à l’anglais&nbsp;: ''0-day, display, inlay, onlay, pay-to-play.'' |- | -ay |/e/ |35<ref group="N">Ce sont ''attogray, bombay, centigray, charbray, décagray, décigray, exagray, femtogray, free-to-play, gameplay, garagay, gigagray, gray, hectogray, kilogray, K-way, k-way, mégagray, microgray, milligray, nanogray, nay, ojibway, Ojibway, overlay, pétagray, picogray, roleplay, saint-péray, téragray, valençay, yoctogray, yottagray, zeptogray, zettagray''.</ref> |0 |32 |3 |Seuls les vocables ''ojibway'' et ''charbray'' présentent des formes identiques. |- | -ay |/aj/ |12 |0 |12 |0 |Ce sont ''dry, extra-dry, extradry, moulay, mulay, noreply, sky, soŋay, stand-by, tokay, zāy, zay.'' Évidemment ''soŋay'' possède une graphie alternative, ''songhaï'', pour les usages hors des contextes spécialisés. |- | -ey |/ɛj/ |1 |0 |1 |0 |Il s’agit d’un emprunt à l’arabe maghrébin&nbsp;: ''khey.'' |- | -ey |/e/ |10 |0 |10 |0 |Ce sont ''aqua-poney, baloney, barley, beylerbey, cawney, estey, medley, mickey, muley, ney''. Ils dérivent pêle-mêle de l'anglais, de l’arabe et de l’occitan. |- | -oy |/oj/ |17 |0 |17 |0 |Majoritairement des emprunts à l’anglais&nbsp;: ''boy, busboy, cocoy, cow-boy, cowboy, fanboy, girevoy, goy, loverboy, Minimoy, papertoy, pimpoy, pull-buoy, stimtoy, troy, zircaloy, zyrcaloy''. |- | -u |/y/ |421 |381 |30 |10 |Les termes féminins sont souvent des apocopes&nbsp;: ''actu, exclu, réu, simu, visu'', ou formés par du verlan : ''tepu, zicmu''. Ça n'en fait pas un cas général&nbsp;: bru, tribu ou vertu ce sont formés par adoption de termes de langues sources. |- | -u |/u/ |109 |103 |0 |6 | |} {| class="wikitable" |+Proposition d'équivalences suffixales coordonnées ! colspan="3" |Équivalences flous ! colspan="5" |Extensions ostentatoires ! rowspan="2" |Remarques |- !Ambigu !Équivoque !Amibgu- équivoque !Alter-sexualisant<ref group="N">Colonne construite autours de ''-iel-''.</ref> !Féminin<ref group="N">Colonne counstruite autours de la lettre ''u''. Emploi de -u- ou -û- lorsque que la prononciation donne /y/ et de ú pour /u/. Solution de repli sur -ul- en certains cas.</ref> !Générique<ref>Colonne construite autours de -a-, -al- en première solution de repli, et -ial- en seconde solution de repli par analogie avec -iel-.</ref> !Inanimé<ref group="N">Colonne construite autours de ''-o-'' en priorité, avec ogonek lorsque l'évitement d'une homographie le justifie ; puis utilisation de ''-ol-'' en première solution de repli.</ref> !Masculin<ref group="N">Construit sur -i- en priorité. Ajout d'un accent grave au besoin.</ref> |- | -oise | -ois | -ense -isque | -iel | -ière | -isaire | -ior | -ier |Le suffixe -ois dérive de l’ancien bas vieux-francique ''-isk'' ou du latin -ensis<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ois|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-04-15|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ois&oldid=30386049|consulté le=2022-08-07}}</ref>. En espagnol, en italien et portugais ''-ense'' permet de construire des gentilés épicènes<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-ense|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-05-22|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-ense&oldid=27967619|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Le suffixe -isaire se retrouvent dans garnisaire et indivisaire et leurs dérivés, tous employables de manière identique quel que soit le genre, contrairement à ''isaire'' attesté uniquement en<ref>{{Lien web|titre=*isaire - Graphies|url=https://anagrimes.toolforge.org/chercher_graphie.php?graphie=*isaire&langue=fr&type=&genre=&liste=table&liste=table#liste|site=anagrimes.toolforge.org|consulté le=2022-08-07}}</ref>. Des attestations de ''villagier''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Mis à part l’homme, quel est le prédateur le plus dangereux ?|url=https://fr.quora.com/Mis-à-part-l-homme-quel-est-le-prédateur-le-plus-dangereux|site=Quora|consulté le=2022-08-05}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Nicolas|prénom1=Bonnal|titre=L’exception américaine|url=https://www.les4verites.com/international/lexception-americaine|site=Les 4 Vérités Hebdo - La publication anti bourrage de crâne|date=2008-09-15|consulté le=2022-08-05}}</ref> en nom, ou villagière<ref>{{Lien web|titre=Legend (REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier)|url=https://maps.natureconservancy.ca/arcpub/rest/services/REG_QC/PRMHH_MRC_Jacques_Cartier/MapServer/legend|site=maps.natureconservancy.ca|consulté le=2022-08-05}}</ref> en adjectif se trouvent déjà sur la toile. |- | -aise | -ais | | | | | | | |- | -esse -euresse -euse | -eur | | -ieũr* | -ures* | -aire* | -or | -ir |Les extensions ostentatoires sont ici largement calées sur les entrées pour ''leur'' dans la section dédiée aux mots grammaticaux. |- | -trice | -teur | | | | | | | |- | colspan="8" | -voque |Si les deux substantifs connus que sont ''univoque'' et ''multivoque'' sont équivoques, l'ensemble des adjectifs en -voque, dont eux-mêmes dérivent, sont identiques pour tous les accords en genre. |} Pour aller plus loin dans l’exploration des suffixes nominaux, il sera opportun de consulter les références afférentes<ref>{{Lien web|nom1=Camus|prénom1=Laurent|titre=Suffixes|url=https://www.francaisfacile.com/cgi2/myexam/voir2.php?id=95684|site=www.francaisfacile.com|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Gaston|nom1=Zink|titre=Noms et adjectifs suffixés dans le Testament de Villon (éd. A. Longnon - L. Foulet, Paris, Champion)|périodique=L'information grammaticale|volume=56|numéro=1|date=1993|doi=10.3406/igram.1993.3170|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1993_num_56_1_3170|consulté le=2021-12-24|pages=42–45}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Catégorie:Suffixes en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-01-12|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Cat%C3%A9gorie:Suffixes_en_fran%C3%A7ais&oldid=29089207|consulté le=2021-12-24}}</ref><ref name=":33" /><ref name=":34">{{Article|prénom1=Edwige|nom1=Khaznadar|titre=Apport de la francophonie dans la dénomination de la femme et de l'homme|périodique=Nouvelles Études Francophones|volume=24|numéro=1|date=2009|issn=1552-3152|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25702188|consulté le=2021-12-24|pages=100–111}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Antoine|nom1=Di-Lillo|titre=Il n’y a pas de suffixe -ateur en français. Voyons ! (I)|périodique=Meta : journal des traducteurs / Meta: Translators' Journal|volume=27|numéro=3|date=1982|issn=0026-0452|issn2=1492-1421|doi=10.7202/002569ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/meta/1982-v27-n3-meta297/002569ar/|consulté le=2021-12-24|pages=319–330}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Christian|nom1=Devos|titre=André (Jacques). Emprunts et suffixes nominaux en latin|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=56|numéro=2|date=1978|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1978_num_56_2_5516_t1_0453_0000_1|consulté le=2022-08-02|pages=453–454}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Louis|nom1=Deroy|titre=E. Benveniste, Noms d'agent et noms d'action en Paris|périodique=L'Antiquité Classique|volume=19|numéro=1|date=1950|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1950_num_19_1_2914_t1_0217_0000_2|consulté le=2022-08-02|pages=217–221}}</ref><ref>{{Article|prénom1=André|nom1=Winther|titre=Un point de morpho-syntaxe : la formation des adjectifs substantivés en français|périodique=L'information grammaticale|volume=68|numéro=1|date=1996|doi=10.3406/igram.1996.3023|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/igram_0222-9838_1996_num_68_1_3023|consulté le=2022-08-02|pages=42–46}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Michèle|nom1=Verdelhan-Bourgade|titre=Procédés sémantiques et lexicaux en français branché|périodique=Langue française|volume=90|numéro=1|date=1991|doi=10.3406/lfr.1991.6196|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lfr_0023-8368_1991_num_90_1_6196|consulté le=2022-08-02|pages=65–79}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=John|nom1=Reighard|titre=Contraintes sur le changement syntaxique|périodique=Cahier de linguistique|numéro=8|date=1978|issn=0315-4025|issn2=1920-1346|doi=10.7202/800073ar|lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/cl/1978-n8-cl3102/800073ar/|consulté le=2022-08-02|pages=407–436}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Margit|nom1=Köski|prénom2=Láslò|nom2=Garaï|prénom3=Paul|nom3=Wald|titre=Les débuts de la catégorisation sociale et les manifestations verbales : une étude longitudinale|périodique=Langage & société|volume=4|numéro=1|date=1978|doi=10.3406/lsoc.1978.1068|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lsoc_0181-4095_1978_num_4_1_1068|consulté le=2022-08-02|pages=3–30}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Pierre|nom1=Hamblenne|titre=Vocabulaire latin (mots en ...eus) et analyse linguistique. À la recherche d'une méthode|périodique=Revue belge de Philologie et d'Histoire|volume=67|numéro=1|date=1989|doi=10.3406/rbph.1989.3663|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1989_num_67_1_3663|consulté le=2022-08-02|pages=139–160}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Zellig Sabbettai|nom1=Harris|titre=Du morphème à l'expression|périodique=Langages|volume=3|numéro=9|date=1968|doi=10.3406/lgge.1968.2360|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/lgge_0458-726x_1968_num_3_9_2360|consulté le=2022-08-02|pages=23–50}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Albert|nom1=Valdman|titre=Le créole : structure, statut et origine|périodique=Collection IDERIC|volume=8|numéro=1|date=1978|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ierii_1764-8319_1978_mon_8_1|consulté le=2022-08-02}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Moreux|titre=L'utilisation des méthodes quantitatives en linguistique grecque et latine|périodique=L'Antiquité Classique|volume=51|numéro=1|date=1982|doi=10.3406/antiq.1982.2077|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1982_num_51_1_2077|consulté le=2022-08-02|pages=291–338}}</ref><ref>{{Chapitre-B|prénom1=Olivier|nom1=Bonami|prénom2=Gilles|nom2=Boyé|prénom3=Françoise|nom3=Kerleroux|titre chapitre=L'allomorphie radicale et la relation flexion-construction|titre ouvrage=Aperçus de morphologie du français|éditeur=Presses universitaires de Vincennes|date=2009|lire en ligne=http://www.llf.cnrs.fr/sites/llf.cnrs.fr/files/biblio/BBK-Vincennes06.pdf|présentation en ligne=https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00638488|consulté le=2022-08-03|passage=103–126}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Françoise|nom1=Bader|titre=La formation des composés nominaux du latin|périodique=Collection de l'Institut des Sciences et Techniques de l'Antiquité|volume=46|numéro=1|date=1962|doi=10.3406/ista.1962.1010|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ista_0000-0000_1962_mon_46_1|consulté le=2022-08-03}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=François|nom1=Nemo|titre=Interprétabilité ou grammaticalité ? les listèmes comme interface entre sémantique et morphologie|périodique=Revue de Sémantique et Pragmatique|volume=35-36|numéro=35-36|date=2015-03-01|issn=1285-4093|doi=10.4000/rsp.1582|lire en ligne=https://journals.openedition.org/rsp/1582|consulté le=2022-08-03|pages=105–144}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Genres confus en français|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-07-04|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Genres_confus_en_fran%C3%A7ais&oldid=30631742|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Annexe:Liste des animaux ayant des mots différents pour le mâle et la femelle|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2020-08-09|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=Annexe:Liste_des_animaux_ayant_des_mots_diff%C3%A9rents_pour_le_m%C3%A2le_et_la_femelle&oldid=28279699|consulté le=2022-08-04}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Mot épicène|titre ouvrage=Wikipédia|date=2022-04-29|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mot_%C3%A9pic%C3%A8ne&oldid=193256613|consulté le=2022-08-04}}</ref>. <references group="N" /> 073wcwjqg9mbho8t4cazv9q0ftdqe8z 0 80767 881292 881225 2022-08-14T01:01:38Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] wikitext text/x-wiki LOIC FABIOU {{AutoCat}} k5n7iix3jacpbvbh1cjt4dd45q46z7b 0 80768 881291 881227 2022-08-14T01:01:23Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] wikitext text/x-wiki Loïc FABIOU {{AutoCat}} 2vj9bqmot74qfd8bpmx3te2wd0mgxjk 10 80771 881298 2022-08-14T08:40:07Z Crochet.david 317 . wikitext text/x-wiki <includeonly> |- | style="background-color:#{{{pastel1|e9e9ff}}}; text-align:{{{text-align|left}}};"|{{lang|{{{langue1}}}|texte={{{texte1|}}}}} | style="background-color:#{{{pastel2|f6ffdd}}}; text-align:{{{text-align|left}}};"|{{{texte2|}}} </includeonly> ri7sk6of42njxsg69q4b33xkb7rbehv