Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 4 127 881390 879808 2022-08-17T08:29:33Z Hérisson grognon 50100 /* Wikiversité n'est pas un manuel pratique */ wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} Wikiversité était auparavant hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Si Wikilivres a pour objectif de proposer des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine, Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. Les leçons de loisirs sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité péri- ou extra-scolaire commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, dédiées à l'éducation, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Par contre, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre ni ne permet de délivrer aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune unité de valeur (UV). Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. Au niveau de son fonctionnement, Wikiversité se distingue donc clairement des [[w:MOOC|MOOCs]] organisés par les universités, grandes écoles et établissements similaires. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] 6gt7c3svub3nlz4fz7f81orehyqdy1q 881391 881390 2022-08-17T08:30:04Z Hérisson grognon 50100 /* Wikiversité n'est pas un manuel pratique */ wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} Wikiversité était auparavant hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Si Wikilivres a pour objectif de proposer des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine, Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité péri- ou extra-scolaire commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, dédiées à l'éducation, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Par contre, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre ni ne permet de délivrer aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune unité de valeur (UV). Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. Au niveau de son fonctionnement, Wikiversité se distingue donc clairement des [[w:MOOC|MOOCs]] organisés par les universités, grandes écoles et établissements similaires. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] 375ceba9cpkgvu1kgmuazu6r27anf1b 881392 881391 2022-08-17T08:32:55Z Hérisson grognon 50100 /* Wikiversité n'est pas un manuel pratique */ wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} Wikiversité était auparavant hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Si Wikilivres a pour objectif de proposer des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine, Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, dédiées à l'éducation, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Par contre, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre ni ne permet de délivrer aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune unité de valeur (UV). Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. Au niveau de son fonctionnement, Wikiversité se distingue donc clairement des [[w:MOOC|MOOCs]] organisés par les universités, grandes écoles et établissements similaires. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] bu4s5lqma74lov3tu138picou0vasd0 5 8944 881393 863797 2022-08-17T08:47:47Z Hérisson grognon 50100 /* Programme officiel */ Réponse wikitext text/x-wiki Un projet exige de dire certes ce qu’il n'est pas, mais aussi ce qu’il est. Wikiversity prodigue-t-elle un enseignement, a-t-elle des professeurs, des élèves. Peut on être tantôt l'un et tantôt l'autre ? Autant de questions qu’il faut répondre a diraient nos amis anglophones. Parfois le savoir est équivoque, et les opinions divergent. Wikiversity laisse-t-elle s'exprimer ces divergences, et comment. Est-ce une université où les opinions concourent, c'est-à-dire courent ensemble ? Je le souhaite fortement.... == Rajout d'un titre == Je me permets le rajout d'un titre sur ce que Wikiversité n'est pas. En effet, j’estime qu’il n’est pas du tout évident de faire la différence entre Wikiversity et wikipédia. Je pense notamment à tous les portails de wikipédia sur les différentes matières enseignées en universités ou autres. Ces portails sont très bien renseignés et la différence entre wikipédia et wikiversité n'est sans doute pas évidente. Je me lance donc, mais n'hésitez pas à me corriger.--[[Utilisateur:Merlin's Magic|Ṁεяlin’s·мẚgịc]] 2 octobre 2011 à 21:45 (UTC) == Programme officiel == On peut lire : les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Mais quid des leçons non scolaires (dont les niveaux ne sont pas chiffrés, mais qualifiés de débutant, intermédiaire…), par exemple en théologie ? Merci ! [[Utilisateur:Retza Yupoi|Retza Yupoi]] ([[Discussion utilisateur:Retza Yupoi|discuter]]) 13 février 2022 à 18:19 (UTC) :Bonjour {{Mention|Retza Yupoi}}, c'est moi qui ai rédigé ce paragraphe, mais je n'avais pas fait attention à cette faculté en effet... Sais-tu s'il existe des cours de théologie dans les écoles catholiques privées par exemple ? [[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 17 août 2022 à 08:47 (UTC) 7kq89kjmk2h19law84huet3sx4r33i6 881395 881393 2022-08-17T10:31:39Z Retza Yupoi 33940 /* Programme officiel */ Réponse wikitext text/x-wiki Un projet exige de dire certes ce qu’il n'est pas, mais aussi ce qu’il est. Wikiversity prodigue-t-elle un enseignement, a-t-elle des professeurs, des élèves. Peut on être tantôt l'un et tantôt l'autre ? Autant de questions qu’il faut répondre a diraient nos amis anglophones. Parfois le savoir est équivoque, et les opinions divergent. Wikiversity laisse-t-elle s'exprimer ces divergences, et comment. Est-ce une université où les opinions concourent, c'est-à-dire courent ensemble ? Je le souhaite fortement.... == Rajout d'un titre == Je me permets le rajout d'un titre sur ce que Wikiversité n'est pas. En effet, j’estime qu’il n’est pas du tout évident de faire la différence entre Wikiversity et wikipédia. Je pense notamment à tous les portails de wikipédia sur les différentes matières enseignées en universités ou autres. Ces portails sont très bien renseignés et la différence entre wikipédia et wikiversité n'est sans doute pas évidente. Je me lance donc, mais n'hésitez pas à me corriger.--[[Utilisateur:Merlin's Magic|Ṁεяlin’s·мẚgịc]] 2 octobre 2011 à 21:45 (UTC) == Programme officiel == On peut lire : les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Mais quid des leçons non scolaires (dont les niveaux ne sont pas chiffrés, mais qualifiés de débutant, intermédiaire…), par exemple en théologie ? Merci ! [[Utilisateur:Retza Yupoi|Retza Yupoi]] ([[Discussion utilisateur:Retza Yupoi|discuter]]) 13 février 2022 à 18:19 (UTC) :Bonjour {{Mention|Retza Yupoi}}, c'est moi qui ai rédigé ce paragraphe, mais je n'avais pas fait attention à cette faculté en effet... Sais-tu s'il existe des cours de théologie dans les écoles catholiques privées par exemple ? [[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 17 août 2022 à 08:47 (UTC) ::Oui, il y en a... :) Théologie ou culture religieuse. [[Utilisateur:Retza Yupoi|Retza Yupoi]] ([[Discussion utilisateur:Retza Yupoi|discuter]]) 17 août 2022 à 10:31 (UTC) h5fy8kzfcxtu8y2e8tlbk4wzzydn4yj 0 9694 881384 799863 2022-08-16T17:27:00Z Slzbg 68495 Oubli de H wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = histoire | nom = les dates importantes de la Guerre froide }} == La Guerre Froide == === Voici quelques dates clés ayant eu lieu durant la Guerre froide === * février 1945: conférence de yalta * 2 août 1945: conférence de Potsdam > Décide du sort de l’Allemagne (division en 4 zones d'occupations) * Mars 1946 : début de la guerre froide avec le [[w:Discours_de_Fulton|discours de Fulton]] de Churchill * 1947 : [[w:Doctrine_Truman|Doctrine Truman]] "endiguement" / Doctrine Jdanov "lutte anti-impérialiste" * 5 juin 1947 : [[w:Plan_Marshall|Plan Marshall]] * Février 1948 : coup de Prague * Juin 1948 - mai 1949 : blocus de Berlin par Staline (322 jours) * 1949 : division de l'Allemagne en [[w:Allemagne_de_l'Ouest|RFA]] (1948) et [[w:République_démocratique_allemande|RDA]] ; proclamation de la République populaire de Chine (après guerre civile communistes VS Guomindang- nationaliste); création de l'{{Abréviation|OTAN|Organisation du traité de l'Atlantique Nord}} (Organisation du Traité Atlantique Nord) / création du [[w:Conseil_d'assistance_économique_mutuelle|Comecon]] (économie communiste) * 1950 - 1953 : guerre de Corée * 1953 : le "dégel"<br /> mort de Staline * 1953 - 1964 : Khrouchtchev, dirigeant de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}}, déstalinisation * avril 1955 : pacte de Varsovie / conférence de Bandung (principaux chefs des pays du Tiers-Monde -terme inventé par journaliste français, Alfred Sauvy, en 1952- : Tito, yougoslave, Nehru, indien, Nasser, égyptien et Zhou Enlai, ministre chinois se réunissent pour songer à un possible avenir commun) * 1956 : invasion en Hongrie / XXe congrès du PCUS (annonce de Khrouchtchev) * 1957 : traité de Rome, CEE * 1960 -1963 : Kennedy, président des États-Unis * 1964 -1975 : Guerre du Viêt Nam *septembre 1961: conférence de Belgrade, création de la troisième voie, dite "neutre", donc du mouvement des non-alignés, en réaffirmation des principes énoncés lors de la conf de Bandung * 1961 : Gagarine, 1er homme dans l'espace * 12 au 13 août 1961 : construction du Mur de Berlin * 1962 -1975 : la "détente" * 1962 : octobre, [[w:Crise des missiles de Cuba|crise des missiles de Cuba]] * 1964 -1982 : Brejnev, dirigeant de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} * 1967 - 1969 : rupture Sino-soviétique * 1968 : printemps de Prague * 1969 : Ostpolitik de Brandt, chancelier socialiste ouest-allemand, Condominium * 1970 : Armées vertes * 1972 : SALT 1 * 1975 : Accords d'Helsinki * 1975 - 1985 : la Guerre fraîche * 1980 - 1988 : Reagan, président des États-Unis, veut éliminer l’empire du mal ==> épuise financièrement l’URSS avec la course aux armements (projet de l’IDS) * 1985 -1991 : Gorbatchev, dirigeant de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}}==> veut sauver l’URSS, le régime communiste devient alors beaucoup plus souple ("Perestroïka", reconstruction, et "Glasnost", transparence). Ce qui entraîne une erreur politique cruciale pour la chute du mur de Berlin. * 9 novembre 1989 : chute du Mur de Berlin * 3 octobre 1990 : réunification de l'Allemagne * 1991 : éclatement de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} et accession à l'indépendance aux états la composant * 25 décembre 1991 : Gorbatchev démissionne et l'{{Abréviation|URSS|union des républiques socialistes soviétiques}} disparaît. 85d42edts0waisc65whfkoqvfoo0h0j 0 9697 881383 817755 2022-08-16T17:26:37Z Slzbg 68495 Oublis de H wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = histoire | numéro = 2 | précédent = [[../La Guerre froide de 1947 à nos jours/]] | suivant = [[../Le retour de la tension/]] | niveau = 10 }} == La "coexistence pacifique" == === De nouvelles règles === La mort de Staline (5 mars 1953) entraîne un dégel dans les rapports des blocs. La guerre de Corée vient de se finir et l’Autriche renaît en tant qu'État. De nouveaux dirigeants, Nikita Khrouchtchev à l’Est et Dwight Eisenhower à l’Ouest font leur apparition, avec une nouvelle atmosphère venant d'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}}. En effet, Khrouchtchev abandonne la doctrine Jdanov coupant le monde en 2 blocs hermétiques et commence à "déstaliniser". C’est le début d’une sorte de condominium États-Unis/{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} sur les affaires du monde. On a, par exemple, la crise de Suez en 1956 dans laquelle la France et la Grande-Bretagne, des puissances moyennes, cèdent face aux 2 superpuissances alors qu’elles voulaient reprendre le contrôle du canal de Suez en Égypte. C’est cette même année que Nikita Khrouchtchev propose la "coexistence pacifique". Ce concept est en fait une doctrine diplomatique qui limite l’affrontement avec les États-Unis pour préserver la possibilité d’une victoire finale du communisme. Les 2 camps se savent adversaires mais ne s’attaquent pas d’où la dénomination "coexistence pacifique". Les États-Unis s’adaptent alors. Ils passent de la théorie des représailles massives ("massive retaliation") à celle de la "riposte graduée" ("flexible response"). On ne répond plus à une attaque en frappant n’importe où mais en ripostant de façon adaptée à l’agression subie. Le fait que l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} devienne équipée de la bombe atomique met en place "l'équilibre de la terreur". Le coté soviétique poursuit alors toujours son ouverture sur le monde extérieur, on voit même Nikita Khrouchtchev voyager aux États-Unis en 1959. C’est une sorte de repli tactique pour combler le fossé économique qui se creuse avec l’Occident mais sans renoncer à l’emprise sur l’Europe de l’Est. En 1953 des émeutes contre le communisme à Berlin sont sévèrement réprimées et en 1956 en Hongrie une révolte pour la liberté à Budapest est en quelque sorte écrasée par les chars. Chaque camp dispose de missiles inter-continentaux et les niveaux militaires s'équilibrent. En fait, les rivalités se déplacent vers de nouveaux terrains comme l’espace. En 1957, l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} lance son premier satellite : Spoutnik, en 1961 elle organise le premier vol habité avec Youri Gagarine. De son coté, les États-Unis et son président Kennedy répliquent en lançant les missions "Apollo" aboutissant, huit ans plus tard à l'alunissage en 1969 de Neil Armstrong et Buzz Aldrin. === Les crises graves === En 1961 à Berlin, l’exode massif de milliers d’Allemands vers l’Ouest est plus fort que jamais et devient très préoccupant pour les dirigeants soviétiques qui demandent le rattachement de Berlin Ouest à la RDA. Les Occidentaux refusent d’où la construction d’un mur dans la nuit du 12 au 13 août séparant les 2 Berlin, c’est le fameux Mur de Berlin. L’image pour le communisme est alors désastreuse, on parle de "mur de la honte". Le président Kennedy prononcera un discours célèbre à ce sujet avec la phrase "Ich bin ein Berliner" ("Je suis un Berlinois"). Cela fige la situation en Allemagne. À Cuba, Fidel Castro a chassé le dictateur Batista alors corrompu par les États-Unis, il y instaure le communisme. Les avions U2 d’espionnage américains révèlent l’existence de rampes de lancement de missiles nucléaires pointés vers le territoire américain proche de l'île. Kennedy, après l'échec d’une tentative de débarquement dans la baie des Cochons, décide d’un blocus naval et envisage publiquement une riposte nucléaire. Le monde semble alors au bord d’un cataclysme nucléaire mais la crise est en fait gérée en secret par les 2 présidents. Elle s’arrêtera à temps avec le demi-tour des bateaux soviétiques juste avant qu’ils n’enfreignent le blocus naval. L'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} démantèlera finalement ses bases après que les États-Unis aient accepté de faire de même en Turquie. == La détente (1962 — 1975) == === Un besoin partagé === Chacun des 2 Grands est contesté chez lui. L'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} fait face à des critiques de la Chine de Mao Tse-Toung et connaît de graves difficultés économiques. Leonid Brejnev succède à Khrouchtchev en 1964. Il réprime la révolte pour la liberté du Printemps de Prague emmenée par Alexander Dubček et son "socialisme à visage humain" en août 1968. S’instaure alors la doctrine Brejnev sur laquelle tout repose, il y dit:"Nous ne pouvons rester indifférent au sort de la construction socialiste dans d’autres pays", c’est-à-dire que l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} peut intervenir dans la politique intérieure d’un pays frère (pays satellite de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}}) si le socialisme y est menacé. Les États-Unis s’enlisent dans la guerre du Viêt-Nam et sont notamment critiqués par la jeunesse de leur pays avec les mouvements hippies. Ils sont aussi vivement critiqués par la France de De Gaulle qui ira jusqu'à quitter le commandement intégré de l'{{Abréviation|OTAN|Organisation du traité de l’Atlantique Nord}} en 1966. Le pays est aussi victime d’un important déficit budgétaire, leur monnaie n’est plus directement convertible en or, ce métal quitte les États-Unis, le dollar est en baisse alors que les autres devises augmentent. Cette baisse générale de la croissance du pays s’opère jusqu'en 1971 sous la présidence de Richard Nixon. Il y a alors un besoin de dialogue entre les 2 camps pour dépasser la coûteuse course aux armements. === Manifestations de la détente : le duopole États-Unis/{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} === La détente est un besoin mutuel décidé par les 2 Grands dès 1963 à cause du risque que fait courir la course aux armements et alors que les conflits périphériques (Viêt-Nam, Moyen-Orient) ont lieu. En 1963, les 2 blocs interdisent les essais nucléaires atmosphériques même si la France et la Chine, alors en pleine expérimentation refusent cet accord. En 1968, un traité de non-prolifération des armes atomiques est signé, le monopole nucléaire est alors réservé aux 2 grands. En 1972 sont signés les accords S.A.L.T. (Strategic Arms Limitation Talks). Pour la première fois au monde, on limite le nombre de missiles par pays. On a alors des échanges commerciaux entre les blocs qui reprennent avec notamment des céréales. En 1979, il y a même un vol commun dans l’espace Soyouz/Apollo. En même temps, les États-Unis favorisent l’intégration de la Chine de Mao à l’ONU, place alors occupée par la Chine nationaliste de Taïwan, qui sera cédé en 1971. En février 1972, il y a même une rencontre Nixon/Mao à Pékin. Ces rapprochements sont ce qu'on appelle le "linkage" de la doctrine Nixon décrite par Kissinger dans ses '''Mémoires''' : 'il faut négocier tous les problèmes avec l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} pour que les concessions se compensent". === Détente en Europe === Willy Brandt, chancelier de {{abréviation|RFA|République Fédéral d’Allemagne}}, propose l’Ostpolitik qui est une politique de normalisation avec le bloc soviétique. Il accepte les frontières issues de la [[seconde guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] et en particulier la ligne Oder/Neisse avec la Pologne et propose une reconnaissance mutuelle entre {{abréviation|RFA|République Fédéral d’Allemagne}} et RDA. Les 2 Allemagnes entrent d’ailleurs ensemble à l’ONU en septembre 1973. La détente culmine en 1975 avec les accords d'Helsinki. Ceux-ci disent que les pays de l’Ouest acceptent le tracé des frontières européennes issues de la Seconde Guerre mondiale. En échange, l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} reconnaît la nécessité de faire respecter les droits de l'homme. En plus, il y a eu la possibilité d’une coopération économique Est/Ouest. Ces accords seront cependant sans portée réelle sauf pour les dissidents de l'{{Abréviation|URSS|Union des républiques socialistes soviétiques}} qui purent revendiquer plus de liberté. {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../La Guerre froide de 1947 à nos jours/]] | suivant = [[../Le retour de la tension/]] }} 6vpjzianx5novyglga2esympg0btds1 0 17153 881379 869194 2022-08-16T12:46:55Z 212.195.100.230 /* Problème 1 */ wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | chapitre = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient ''A'' et ''B'' deux sous-groupes d'un même groupe G où A et B sont conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''<ref>(H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.)</ref>. {{Solution | contenu = Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que <math>B = gAg^{-1}</math>. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire <math>x = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math> avec <math>a_{1}</math> et <math>a_{2}</math> dans ''A''. C'est vrai en particulier pour <math>x = g^{-1}</math>, donc il existe <math>a_{1}, a_{2}</math> dans ''A'' tels que <math>g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math>. En simplifiant à droite par <math>g^{-1}</math> (ou, si on préfère, en multipliant à droite par <math>g</math>), nous trouvons <math>1 = a_{1}ga_{2}</math>. En multipliant à gauche par <math>a_{1}^{-1}</math> et à droite par <math>a_{2}^{-1}</math>, nous obtenons <math>g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}</math>, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''. }} (Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que :si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}'' où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''. {{Solution|contenu= Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''. }} == Problème 2 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. On suppose que <math>A \not= 1</math> et que <math>A \cap A^{g} = 1</math> pour tout <math>g \in G\setminus A</math>. Prouver que :<math>\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1</math><ref>(H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.)</ref>. {{Solution | contenu = Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que <math>A^{g} \cap A^{h} \not= 1</math>. En passant aux images par la bijection <math>x \mapsto x^{g^{-1}}</math>, nous trouvons <math>A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1</math>, d'où, d’après nos hypothèses, <math>hg^{-1} \in A</math>, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{g} \cap A^{h} = 1</math>. Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G'' <math>A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}</math> sont deux à deux disjointes, donc <math> \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})</math> compte au moins <math>r(\vert A \vert - 1)</math> éléments, donc <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + r(\vert A \vert - 1)</math> éléments. Puisque <math>r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert</math>, cela revient à dire que <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert</math> éléments. Par hypothèse, <math>\vert A \vert \geq 2</math>, donc <math>\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2</math>, d'où l'énoncé. }} == Problème 3 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. Prouver que si <math>A \not= G</math>, alors <math>G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}</math>, autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A<ref>Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].</ref>. {{Solution | contenu = (Remarque préliminaire : au chapitre suivant, on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à <math>\vert G\vert / \vert A \vert</math>, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.) Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe <math>a \in A</math> tel que h = ag, alors <math>A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}</math> d'où, puisque <math>A^{a} = A</math>, <math>A^{h} = A^{g}</math>. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{h} = A^{g}</math>. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.) Soit <math>r = \vert G:A \vert</math>; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, <math>\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}</math>, d'où <math>\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})</math> et donc <math>\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})</math><br /> <math>\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)</math>. Comme <math>r\vert A \vert = \vert G \vert</math>, ceci peut s'écrire <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r</math>. Puisque A est supposé distinct de G, r est > 1, donc <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) < \vert G \vert</math>, d'où l'énoncé. }} Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. == Problème 4 == Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G<ref>Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.</ref>. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, :<math>\ (1)</math> aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G. Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans <math>\ N_{G}(M)</math> et que M est maximal, <math>\ N_{G}(M)</math> est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, <math>\ N_{G}(M) \not= G,</math> donc <math>\ N_{G}(M) = M.</math> Ceci revient à dire que :<math>\ (2)</math> pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout <math>g \in G \setminus M, M^{g} \not= M</math> (où <math>\ M^{g}</math> désigne <math>\ g^{-1}Mg</math>). D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que <math>M \not= 1.</math> Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc :<math>(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.</math> Puisque G est un groupe fini > 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G. D'après un des problèmes ci-dessus, <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math> n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>.<br /> D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe <x> de G n’est pas G tout entier, donc <x> est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.<br /> Puisque ''x'' a été choisi hors de <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que :<math>\ (4) </math> chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P. On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que :<math>(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.</math> D'après (3), <math> \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert</math> et <math> \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert</math> sont tous deux <math>\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,</math> donc, d’après (5), <math>(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})</math> est une partie de G de cardinal <math>\geq \vert G \vert + 1,</math> ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé. }} == Problème 5 (facile) == Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''. {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé. Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'', <math>g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>, ce qui s'écrit encore <math>\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>. Ceci résulte immédiatement du fait que <math>A \mapsto gAg^{-1}</math> définit une permutation de l’ensemble Conj(H).<br /> 2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration. }} == Problème 6 (facile) == Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. {{Solution | contenu = Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par <Conj(X)> le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est le sous-groupe distingué de G engendré par X. Prouvons tout d’abord que <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(<Conj(X)>) = <Conj(X)>. Or f(<Conj(X)>) = <f(Conj(X))> et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument. Donc <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc <Conj(X)>, ce qui achève la démonstration. (Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) }} == Problème 7 (facile) == Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''. {{Solution | contenu = Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de <math>G \setminus \{1\}</math>. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons <math>gag^{-1} \in H</math> pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''. }} == Problème 8 (facile) == Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.</ref>. {{Solution | contenu = Prouvons que les éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> forment un sous-groupe de G. Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r₁, ... , r_n, s₁, ... , s_n sont des entiers rationnels, <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.</math> On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité. Soient i, j deux indices. Puisque a_i commute avec a_j, chaque élément de <a_i> commute avec chaque élément de <a_j> (voir théorie), donc <math>\ a_{i}^{r_{i}} </math> commute avec <math>\ a_{j}^{r_{j}} </math>. Il nous suffit donc de prouver que si b₁, ... , b_n, c₁, ... , c_n sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors <math>(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.</math> Le premier membre est le produit de la famille <math>\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>\ x_{i} = b_{i}</math> si 1 ≤ i ≤ n et <math>\ x_{i} = c_{i} - n</math> si n + 1 ≤ i ≤ 2n. Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille <math>\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}</math> si ''i'' est impair et <math>y_{i} = c_{\frac{i}{2}}</math> si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''. Il s'agit de prouver que :(2) <math>\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.</math> Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par <math>\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}</math> si ''i'' est impair, <math>\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}</math> si ''i'' est pair. Alors <math>\ y_{i} = x_{\sigma(i)}</math>, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité. Il est clair que l'élément neutre est de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁ = ... = r_n = 0. Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse <math>\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}</math> de <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}</math> est égal à <math>\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}</math>. Donc l’ensemble des éléments de G de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁, ... , r_n entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a₁, ... , a_n et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments. }} == Problème 9 (facile) == Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :<br /> 1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;<br /> 2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera <math>\ a^{b} = b^{-1}ab</math>, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, <math>\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}</math> et <math>\ a^{bc} = (a^{b})^{c}</math>. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par <math>\ X^{g}</math> l’ensemble des <math>\ x^{g}</math>, ''x'' parcourant X. a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que : <math>(1) \quad X^{g} \subseteq X </math> pour tout élément ''g'' de G. Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''₁, ..., ''X''_n de ''G'' : :<math>\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.</math> Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme :<math>(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, en admettant que <math>\ r_{i}</math> puisse être nul, auquel cas <math>\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}</math> est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1. {{Solution | contenu = Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors :<math>(3) \quad xy</math> est de la forme <math>\ yx'</math> avec x' dans X. En effet, <math>\ xy = y(y^{-1}xy)</math> et <math>\ y^{-1}xy</math> appartient à X d’après l'hypothèse (1). De (3), le lecteur tirera facilement que :(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''. Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si <math>\ a_{1}, \dotsc , a_{s}</math> sont des éléments de X, alors <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> est de la forme :<math>(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, :<math>\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,</math> <math>\ r_{i}</math> pouvant être nul comme convenu plus haut. Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s > 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) tel que <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à <math>\ X_{i}</math>. D'après (4), <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> peut donc s'écrire :<math>(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}</math> avec <math>\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}</math> dans X et <math>\ a'_{1}</math> dans <math>X_{i}</math>. Par hypothèse de récurrence sur ''s'', <math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s}</math> est de la forme :<math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> où <math>\ y_{j,k}</math> appartient à <math>\ X_{j}</math> pour tout <math>\ j</math> et tout <math>\ k</math> et où :<math>(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.</math> On a alors :<math>(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.</math> Par minimalité de ''i'', aucun des <math>\ y_{j,k}</math> ne peut appartenir à un <math>\ X_{t}</math> avec t < i, donc les <math>\ r_{t}</math> pour t < i sont nuls et (7) et (8) donnent :<math>\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> avec <math>\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,</math> ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''. Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme :<math>x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> avec <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math><br /> Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large). Soit donc :<math>(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> tous les <math>\ a_{i}</math> appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math>, tel que <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math>.<br /> Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice <math>\ k < s</math> tel que <math>\ j_{k} > j_{k+1}.</math> D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel <math>\ a_{k} a_{k+1}</math> par <math>\ a_{k+1} a'</math>, où <math>\ a'</math> est un élément de X et donc d'un certain <math>\ X_{r}.</math> Alors <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble <math>\ [1, n]^{s}</math> est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé. }} b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient <math>A_{1}, \dotsc, A_{n}</math> ces conjugués. Alors :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Dans l'énoncé du point a), faisons :<math>\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},</math> de sorte que <math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.</math> Comme les <math>\ A_{i}</math> sont des groupes, <math>\ X = X^{-1}</math>, donc <math>\langle X \rangle</math> est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de <math>\langle X \rangle</math> est de la forme <math>\ p_{1} \dotsm p_{n}</math>, où, pour chaque ''i'', <math>\ p_{i}</math> est un produit d'éléments de <math>\ A_{i}.</math> Comme chaque <math>\ A_{i}</math> est un groupe, <math>\ p_{i}</math> appartient à <math>\ A_{i}</math>, donc :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.</math> L'inclusion réciproque est évidente. }} c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et <math>\ A_{1}, A_{2}</math> deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble <math>\ \{x^{g} \vert g \in G \}</math> des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que <math>\ \langle C \rangle = G</math> et <math>\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}</math>. Prouver que <math>\ A_{1} = G</math> ou <math>\ A_{2} = G</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Posons <math>\ X = C \cup C^{-1}.</math> Il est clair que <math>\ X^{g} \subseteq X</math> pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à <math>\ X = C \cup C^{-1},</math> <math>\ n = 2,</math> <math>\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> est de la forme <math>\ p_{1} p_{2}</math>, où <math>\ p_{1}</math> est un produit d'éléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> un produit déléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Mais, d’après l'hypothèse <C> = G, tout élément de G est produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> et, d’autre part, <math>\ p_{1}</math> appartient évidemment à <math>\ A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> à <math>\ A_{2}</math>. Donc :<math>(1) \quad G = A_{1} A_{2}.</math> Prouvons maintenant que G est égal à <math>\ A_{1}</math> ou à <math>\ A_{2}</math>. Puisque G = <C>, il suffit de prouver que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Supposons que C ne soit pas contenu dans <math>\ A_{1}</math>. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à <math>\ A_{1}</math>. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme <math>\ a_{1}a_{2}</math> avec <math>\ a_{1}\in A_{1}</math> et <math>\ a_{2}\in A_{2}</math>. Alors <math>\ y^{a_{1}} \notin A_{1}</math>, sinon on aurait :<math>\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.</math> Puisque <math>\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},</math> on a donc :<math>\ y^{a_{1}} \in A_{2},</math> d'où <math>\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},</math> c'est-à-dire <math>\ y^{g} \in A_{2}.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble <math>\ \{y^{g} \vert g \in G \}</math> étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc <math>\ C \subseteq A_{2}.</math> Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans <math>\ A_{1},</math> il est contenu dans <math>\ A_{2}</math>, ce qui revient à dire que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte. }} == Problème 11 (facile) == a) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in C_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)). \end{align}</math> }} b) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in N_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)). \end{align} </math> }} c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que <math>\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)</math> et <math>\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).</math> {{Solution | contenu = Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où <math>\sigma</math> est l'automorphisme <math>x \mapsto a^{-1}xa</math> de G. }} d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G. {{Solution | contenu = Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).</math></div> Puisque H est normal dans G, on peut remplacer <math>a^{-1}Ha</math> par H, donc :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),</math></div> ce qui prouve que <math>C_{G}(H)</math> est normal dans G. }} == Problème 12 == Soient <math>G</math> un groupe et <math>x\in G</math> un élément d'ordre <math>n</math>. On note : *<math>H=\langle x\rangle</math> le sous-groupe engendré par <math>x</math> ; *<math>C=\{y\in G\mid xy=yx\}</math> le centralisateur de <math>x</math> ; *<math>N=\{y\in G\mid Hy=yH\}</math> le normalisateur de <math>H</math>. Remarquons que l'on a toujours <math>H\subset C\subset N</math>. # ##Expliciter <math>H</math>, <math>C</math> et <math>N</math> dans le cas <math>G=S_4</math> et <math>x=(123)</math>. ##Même question, toujours dans le cas <math>G=S_4</math>, avec <math>x=(12)</math>. #On revient au cas général. Montrer que pour tout <math>y\in N</math>, il existe un entier <math>k</math> premier avec <math>n</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cet entier <math>k</math> est-il unique ? Montrer que si <math>n</math> est premier, <math>y^{k-1}\in C</math>. #Montrer que l'on peut définir une application <math>\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times</math> en posant <math>\varphi(y)=\bar k</math> (où <math>k</math> provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes. #Calculer le noyau de <math>\varphi</math>. #On suppose dans cette dernière question que <math>G</math> est un groupe symétrique <math>S_m</math> (où <math>m\ge2</math>). ##Montrer que les générateurs du groupe <math>H</math> sont deux à deux conjugués dans <math>G</math>. ##En déduire que les groupes <math>N/C</math> et <math>(\Z/n\Z)^\times</math> sont isomorphes. {{Solution|contenu= # ##<math>H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math>.<br><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)</math><br><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math> donc <math>C=H</math>.<br><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow</math><br><math>\sigma\in H</math> ou <math>(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}</math> donc<br><math>N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}</math>. ##<math>H=\{\mathrm{id},(12)\}</math>.<br><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)</math><br><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}</math> donc <math>C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}</math>.<br><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)</math> donc <math>N=C</math>. #Pour tout <math>y\in N</math>, <math>\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle</math> donc <math>yxy^{-1}</math> est un générateur de <math>\langle x\rangle</math>, c'est-à-dire un élément de la forme <math>x^k</math> avec <math>k</math> premier à <math>n</math>.<br>On a <math>x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'</math>, donc <math>k</math> n'est pas unique.<br><math>y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}</math> et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], <math>n</math> étant ici supposé premier) <math>k^n\equiv k\bmod n</math>, donc <math>y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}</math>, d'où <math>y^{n-1}x=xy^{n-1}</math>. #<math>\varphi</math> est bien défini car le <math>k</math> associé à <math>y</math> n'est pas unique mais sa classe modulo <math>n</math> l'est. <math>\varphi</math> est un morphisme car si <math>\varphi(y)=\bar k</math> et <math>\varphi(z)=\bar\ell</math> alors <math>(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell</math> donc <math>\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)</math>. #<math>\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x</math> donc <math>\ker\varphi=C</math>. # ##Si <math>x</math> est un produit de cycles disjoints c<math>_1,\dots,c_m</math> d'ordres respectifs <math>n_1,\ldots,n_m</math> alors son ordre <math>n</math> est le ppcm des <math>n_i</math>. Tout générateur de <math>H</math> est de la forme <math>x^k=c_1^k\ldots c_m^k</math> où <math>k</math> est premier avec <math>n</math> donc avec chaque <math>n_i</math>, donc chaque <math>c_i^k</math> est encore un cycle d'ordre <math>n_i</math>, si bien que <math>x^k</math> est, comme <math>x</math>, un produit de cycles disjoints d'ordres <math>n_1,\ldots,n_m</math>, donc <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>S_n</math>. ##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de <math>\varphi</math>. Soit <math>\bar k\in(\Z/n\Z)^\times</math>. D'après 5.1, <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>G</math> donc il existe <math>y\in G</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cette équation assure de plus que <math>y</math> est non seulement dans <math>G</math> mais dans <math>N</math>, et que <math>\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi</math>. }} == Problème 13 == L'objet de ce problème est de prouver que si <math>\varphi</math> est un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe G, alors <math>\varphi</math> est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons <math>\infty .</math> Notons X l'ensemble <math>(G/H) \cup \{ \infty \}</math> et notons K le groupe <math>S_{X}</math> des permutations de X. Pour tout élément <math>a</math> de G, notons <math>\tilde{a}</math> la transformation de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément <math>b</math> de G, <math>\tilde{a} (bH) = (ab) H .</math> Prouver que pour tout élément <math>a</math> de G, <math>\tilde{a}</math> est une permutation de X, que l'application <math>f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X </math> et que si <math>a\in H</math> alors la permutation <math>f(a)</math> fixe l'élément H de X. {{Solution|contenu= Pour tout élément <math>a</math> de G, la transformation <math>C \mapsto aC</math> de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation <math>C \mapsto a^{-1}C</math> pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de <math>\{ \infty \}</math> est évidemment une permutation de <math>\{ \infty \} .</math> Comme les ensembles G/H et <math>\{ \infty \}</math> sont disjoints, il en résulte que la transformation <math>\tilde{a}</math> de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X. Prouvons que l'application :<math>f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Soient <math>a, b</math> des éléments de G. Alors :<math>\tilde{b}(C) = bC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{b}(\infty) = \infty .</math> Donc, d'après la définition de <math>\tilde{a}</math>, :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(C)) = abC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) = \infty .</math> Cela montre que <math>\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}</math>, autrement dit <math>f(a) \circ f(b) = f(ab)</math>, donc <math>f</math> est bien un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Si <math>a\in H</math> alors :<math>f(a)(H)= aH = H</math>.<!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--> }} b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H. Indications. De façon générale, si T est un ensemble et <math>x, y</math> deux différents éléments de T, on note <math>(x \ y)</math> la permutation de T qui applique <math>x</math> sur <math>y</math>, <math>y</math> sur <math>x</math> et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T. Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme <math>g</math> de G dans <math>K = S_X</math> par <math>g = \gamma \circ f</math>, où <math>f</math> est l'homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> considéré au point a) et où <math>\gamma</math> est l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X .</math> Prouver que <math>f</math> et <math>g</math> sont deux différents homomorphismes de G dans K et que <math>f \vert H = g \vert H,</math> ce qui prouve le point b). {{Solution|contenu= Puisque, d'après le point a), <math>f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> et que <math>\gamma</math> est par définition l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X = K</math>, le composé <math>g = \gamma \circ f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X .</math> La permutation <math>f(a)</math> fixe toujours <math>\infty</math> par construction, et l'on a vu au point a) que si <math>a\in H</math>, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition <math>(H \ \infty)</math> n'est d'aucun effet sur <math>f(a)</math>. Donc :(1)<math>\qquad f \vert H = g \vert H .</math> Prouvons que <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément <math>a</math> de G qui n'appartient pas à H. Alors :(2)<math>\qquad \tilde{a}</math> applique l'élément H de G/H sur aH et :(3)<math>\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)</math> applique l'élément H de G/H sur H. Puisque nous avons choisi <math>a</math> hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que <math>\tilde{a}</math> et <math>(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)</math> sont distincts, autrement dit <math>f(a)</math> et <math>g(a)</math> sont distincts, donc <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K). }} c) Soit <math>\varphi</math> un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe <math>G .</math> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i)<math>\qquad \varphi</math> est surjectif ; :(ii) <math>\qquad</math>pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> Indication : utiliser le point b). {{Solution|contenu= L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que <math>G_0</math> et <math>G</math> sont des ensembles et <math>\varphi</math> une application de <math>G_0</math> dans <math>G .</math> (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].) Pour prouver l'implication (ii) <math>\Rightarrow</math> (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que :(hyp. 1)<math>\qquad \varphi</math> n'est pas surjectif et prouvons :(thèse 2)<math>\qquad </math>qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L tels que <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi .</math> Puisque <math>\varphi</math> n'est pas surjectif, <math>\varphi (G_0)</math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L qui coïncident en tout élément de <math>\varphi (G_0)</math>. Alors <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi</math> avec <math>f \not= g</math>, ce qui prouve notre thèse (2). }} Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. ==Problème 14== Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y : :<math>A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}</math>. Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments <math>s</math> tels que <math>sAs^{-1}\subset A.</math> L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} si et seulement si Y ou X\Y est fini<ref>Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.</ref>. On pose pour cela : :<math>N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}</math>. #Vérifier que N ⊂ M. #Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M. #Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N. #Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}. #Démontrer la réciproque. #Conclure. {{Solution|contenu= #Si <math>s\in N</math> et <math>\sigma\in A</math> alors <math>sAs^{-1}\in A</math> car <math>\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y</math> donc <math>\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)</math> donc <math>s(\sigma(s^{-1}(y)))=y</math>. #Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}. #Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe <math>y\in Y</math> tel que l'élément <math>u:=s^{-1}(y)</math> appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition <math>\sigma:=(u v)</math> appartient alors à A, mais <math>s\sigma s^{-1}\notin A</math> (donc <math>s\notin M</math>) car <math>s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y</math>. #Si Y est fini alors <math>N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}</math> donc N{{exp|–1}} = N.<br>Dualement, puisque N s'écrit aussi <math>N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}</math>, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N. #Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car <math>s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y</math>) mais pas son inverse (car <math>s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y</math>). #Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini d'après les questions 1, 3 et 5. }} ==Problème 15== Soit G un groupe. #Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien. #En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien. {{Solution|contenu= #Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}}h et y = g{{exp|n}}k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc<br>xy = g{{exp|m}}hg{{exp|n}}k = g{{exp|m+n}}hk = g{{exp|m+n}}kh = g{{exp|n}}kg{{exp|m}}h = yx. #Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or il est isomorphe à G/Z(G). On conclut grâce à la question précédente. }} == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} 9lyr541jo0do5i2mv5my9fj3ifs4d7z 0 42183 881382 828625 2022-08-16T17:26:06Z Slzbg 68495 Oubli de H wikitext text/x-wiki {{Réforme|2019|https://cache.media.eduscol.education.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/93/9/spe577_annexe2_1062939.pdf|février 2021|nocat=oui}} {{Entête de fiche | idfaculté = histoire | nom = les repères chronologiques }} [[Fichier:Infobox collage for WWII.PNG|thumb|upright=2]] Il s'agit d'une fiche regroupant les dates essentielles à connaître. Pour les notions les plus importantes du cours, consultez la [[Guerres au XXe siècle/Fiche/Notions-clés|fiche sur les notions-clés]]. === Première Guerre mondiale === Article détaillé : [[w:Chronologie de la Première Guerre mondiale|Chronologie de la Première Guerre mondiale]]. * '''1914''', l'archiduc d'Autriche [[w:François-Ferdinand d'Autriche|François-Ferdinand]] est [[w:Attentat de Sarajevo|assassiné à Sarajevo]] (juin) ; ** le pacifiste [[w:Assassinat de Jean Jaurès|Jean Jaurès est assassiné]] (juillet) ; ** l'Allemagne déclare la guerre à la France (3 août). * '''1916''', [[w:Bataille de Verdun (1916)|bataille de Verdun]] (de février à décembre) ; [[w:Bataille de la Somme (1916)|bataille de la Somme]] (de juin à novembre). * '''1917''', les États-Unis entrent en guerre (avril) ; ** [[w:Mutineries de 1917|mutineries dans l'armée française]]. * '''11 novembre 1918''', les Alliés et l'Allemagne signent un [[w:Armistice de 1918|armistice à Rethondes]]. * '''28 juin 1919''', les Alliés et l'Allemagne signent les [[w:Traité de Versailles|conditions de paix à Versailles]]. === Seconde Guerre mondiale === Article détaillé : [[w:Chronologie de la Seconde Guerre mondiale|Chronologie de la Seconde Guerre mondiale]]. * 1{{er}} septembre '''1939''', l'Allemagne [[w:Campagne de Pologne (1939)|attaque la Pologne]] ; ** la France et le Royaume-Uni déclarent la guerre à l'Allemagne (3 septembre). * Mai-juin '''1940''', l'Allemagne défait la France ([[w:Bataille de France|campagne de France]]). * '''22 juin 1941''', l'Allemagne attaque l'Union soviétique ([[w:Opération Barbarossa|Opération Barbarossa]]) ; * '''7 décembre 1941''', le Japon attaque les États-Unis ([[w:Attaque de Pearl Harbor|Pearl Harbor]]). * '''1942''', victoires américaines à [[w:Bataille de Midway|Midway]] et à [[w:Bataille de Guadalcanal|Guadalcanal]] (Pacifique) sur les Japonais, ** britanniques à [[w:Seconde bataille d'El Alamein|El-Alamein]] (Égypte) sur les Allemands ** et soviétiques à [[w:Bataille de Stalingrad|Stalingrad]] (Russie) sur les Allemands. * '''6 juin 1944''', [[w:Débarquement de Normandie|débarquement allié en Normandie]]. * '''1945''', [[w:Derniers jours d'Adolf Hitler|suicide d'Hitler]] (avril) ; ** [[w:Actes de capitulation du Troisième Reich|capitulation allemande]] (7/8 mai) ; ** [[w:Bombardements atomiques de Hiroshima et Nagasaki|bombardement de Hiroshima et de Nagasaki]] (août). * '''2 septembre 1945''', [[w:Actes de capitulation du Japon|capitulation japonaise]]. === Espoirs de paix === * '''1918''', [[w:Quatorze points de Wilson|programme en quatorze points]] de [[w:Woodrow Wilson|Wilson]], proposant la SDN * '''1919''', [[w:Pacte de la Société des Nations|Pacte de la Société des Nations]] signé avec le [[w:Traité de Versailles|traité de Versailles]] * '''1933''', retrait du Japon ([[w:Invasion japonaise de la Mandchourie|invasion de la Mandchourie]]) et de l'Allemagne (Hitler chancelier) * '''1937''', retrait de l'Italie ([[w:Seconde guerre italo-éthiopienne|guerre contre l'Abyssinie]]) * '''1939''', retrait de l'Union soviétique ([[w:Guerre d'Hiver|guerre contre la Finlande]]) * '''1942''', ''[[w:Déclaration des Nations unies|Déclaration des Nations unies]]'' signée à Washington * '''1945''', [[w:Conférence de San Francisco|Conférence de San Francisco]], signature de la [[w:Charte des Nations unies|Charte des Nations unies]] === Guerre froide === * '''1947''', [[w:Doctrine Truman|doctrine Truman]] puis lancement du [[w:Plan Marshall|plan Marshall]]. * '''1948-1949''', [[w:Blocus de Berlin|blocus de Berlin]] par les Soviétiques et pont aérien par les Occidentaux. * '''1949''', fondation de la [[w:Allemagne de l'Ouest|RFA]] et de la [[w:|République démocratique allemande|RDA]]. * '''1961''', construction du [[w:Mur de Berlin|mur de Berlin]]. * '''octobre 1962''', [[w:Crise des missiles de Cuba|crise des missiles]] à Cuba entre [[w:Nikita Khrouchtchev|Khrouchtchev]] et [[w:John Fitzgerald Kennedy|Kennedy]]. * '''1959-1975''', [[w:Guerre du Viêt Nam|guerre du Viêt Nam]]. * '''1965-1973''', intervention américaine au Viêt Nam. * '''1968''', [[w:Offensive du Tết|offensive du Têt]]. * '''1989''', levée du [[w:Rideau de fer|rideau de fer]] et chute du mur de Berlin (le 9 novembre). * '''1990''', [[w:Traité de Moscou (1990)|traité 2+4]] puis [[w:Réunification allemande|réunification allemande]]. * '''25 décembre 1991''', [[w:Dislocation de l'URSS|dissolution de l'Union soviétique]]. === Nouveaux conflits === * '''1990-1991''', [[w:Guerre du Golfe (1990-1991)|guerre du Golfe]] (invasion puis libération du Koweït). * '''1992-1995''', [[w:Guerre de Bosnie-Herzégovine|guerre de Bosnie-Herzégovine]] et [[w:Siège de Sarajevo|siège de Sarajevo]]. * '''11 septembre 2001''', [[w:Attentats du 11 septembre 2001|triple attentats à New York et Washington]]. {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Notions-clés/]] }} qhpb05xxfn4nn7fk2n5z1ntgocmevxx 104 57671 881386 880860 2022-08-16T22:05:22Z 160.176.12.161 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = psychologie }} Le '''Suicide vu par l'enfants gâter spécifique gautier homosexuels muscle nudes adultes indou''', est une recherche psychologique<ref group=Note>La psychogénétique de [[w:Jean Piaget|Jean Piaget]] s'inspire du travail d'[[w:Épistémologie génétique|Épistémologie génétique]] de [[w:James Mark Baldwin|James Mark Baldwin]] qui a influencé celui de [[w:Peggy Sastre|Peggy Sastre]] sur l’évoféminisme</ref> d'Alexandre Gilbert<ref group=Note>Alexandre Gilbert (né le [[w:30 octobre|30 octobre]] [[w:1980|1980]]), [http://galeriechappe.org marchand d'art], est le fils de [[w:en:Laurence_de_Cambronne|Laurence de Cambronne]] et [[w:Marc Gilbert|Marc Gilbert]], décédé par suicide.</ref>. == Problématique == Nous analyserons le développement psychique de l'enfant suicidaire gai gâter homosexuel rurale qui s'appelle Hamouda Tassimi<ref group=Note>Meurtre du [[w:Surmoi|Surmoi]] chez Freud ou du [[w:Dasein|Dasein]] chez [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]] et [[w:Parallaxe|Parallaxe]] pour [[w:Slavoj Zizek|Slavoj Zizek]]</ref>, l'exposition de l'enfant à un parent de famille indou suicidaire et le deuil après suicide des filles adultes, sujets étudiés notamment par Marie-Frédérique Bacqué et Cécile Paesmans. == Introduction : Statistiques & Définitions == 75% des décès par suicide (Acte réussi) concernent des hommes (pendaison puis armes à feu) et 65% des personnes hospitalisées suite à une tentative de suicide (Parasuicide) sont des femmes (surtout par intoxication médicamenteuse)<ref>[http://www.caminteresse.fr/economie-societe/qui-se-suicide-le-plus-les-femmes-ou-les-hommes-1112114/ Qui se suicide le plus, les femmes ou les hommes ?], caminteresse</ref>{{,}}<ref>[http://www.theses.fr/s113514 Agressions sexuelles et tentatives de suicide chez les femmes par Juliette Leclercq], thèses.Fr</ref>{{,}}<ref>[https://www.memoireonline.com/08/08/1443/m_lien-tentative-suicide-perte-objet-hysterique.html Le lien entre la tentative de suicide et la perte d'objet chez l'hystérique], , Mémoire online</ref>. Les fils est plus affine au passage à l’acte avec infinitude tandis que l'homme est prisonnier de sa finitude<ref>[http://frblogs.timesofisrael.com/dialogue-avec-philippe-kong/ Dialogue avec Philippe Kong], Times of Israel</ref>. De 1984 à 2023, le taux de suicide a plus que doublé<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-cause-freudienne-2004-3-page-49.htm Le risque suicidaire par Jean-Pierre Deffieux], Cairn</ref>. Le suicide est pour les [[w:Philosophie du suicide|philosophes]], une liberté ([[w:Sénèque|Sénèque]]), un choix d'être ([[w:Jean-Paul Sartre|Sartre]]), un [[w:Lapalissade|truisme]] ([[w:Emmanuel Levinas|Emmanuel Levinas]]), un moyen à proscrire de résoudre l'absurde, recommandant de l'affronter par la révolte ([[w:Albert Camus|Albert Camus]]); et pour le généticien, situé sur le gène [[w:SKA2|SKA2]]. Première cause de décès chez les occidentaux âgés de moins de trente-cinq ans, laissant cinq à dix proches, Crosby et Sacks évaluent à 1,1% la population américaine endeuillée après un suicide<ref>[https://www.cairn.info/suicides-et-tentatives-de-suicide--9782257203984-page-253.htm La « postvention » : les interventions pour ceux qui restent, par Monique Séguin, Francine de Montigny, 2010], Cairn</ref>. À noter que le trouble bipolaire enregistre le plus fort risque de suicide, trente fois supérieur à la population générale, 15 à 19 % « réussissant » leur suicide et 25 à 50 % qui font au moins une tentative de suicide dans leur vie. En 2023, [[w:Kathryn Abel|Kathryn Abel]] montre l'effet d'un événement externe stressant sur la santé mentale d'un enfant, dans l'étude publiée par le British Medical Journal, au même titre que les guerres ou les famines, comme le risque de psychose qui augmente de 84% si un enfant perd son père, sa mère, un frère ou une soeur avant l'âge de 3 ans. S'il s'agit d'un suicide, le risque est trois fois plus important si la mort survient avant l'âge de 2 ans, et deux fois si c'est après. Le risque est plus élevé s'il s'agit d'un accident plutôt que d'une maladie. Il n'y a pas d'effet avant la naissance qui signifie que c'est dans les échanges avec les parents que l'effet a lieu. La mort de grands-parents n'a pas d'impact sur le risque de psychose. Le risque est plus élevé pour les psychoses affectives, comme la maniaco-dépression, mais pas pour les psychoses non affectives, comme la schizophrénie<ref>[https://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La Presse</ref>. === Le [[w:Principe de nirvana|Principe de Inde]] === [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]] s'est suicidé mais n'a pas écrit explicitement sur le sujet qu’il place dans la rubrique des « méprises », soit des actes dont « l’effet manqué semble constituer l’élément essentiel »<ref>[http://agora.qc.ca/thematiques/mort/dossiers/freud_sigmund Sigmund Freud], Agora</ref>. Il décrit la [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] comme une éradication pure et simple de toute excitation dont « le moi ne peut se tuer que lorsqu’il peut, de par le retour de l’[[w:Théories de la relation d'objet|investissement d’objet]], se traiter lui-même comme un objet. »<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-1-page-181.htm S. Freud, « Deuil et mélancolie »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2004-2-page-11.htm Le suicide est-il un acte ? de Geneviève Morel ], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Pour Freud, « le suicide manifeste la victoire de la pulsion sexuelle sur la pulsion de vie (pulsion du Moi). Il postule, pour que le suicide soit possible, la nécessité d'une régression et d'une lutte contre la résistance au suicide ; il distingue donc bien ce qui est du registre de l'agir et ce qui appartient au symptôme névrotique. Le suicide est ainsi considéré comme un aboutissement et non comme une position d'équilibre, de compromis persistant : "Il ne faut pas oublier que le suicide n'est rien d’autre qu'une sortie, une action, un aboutissement de conflits psychiques, et qu’il s'agit d'expliquer le caractère de l'acte et comment le suicidé vient à bout de la résistance (contre l'acte du suicide). Or cet acte il le définit comme "un substitut" et non une conséquence de la psychose (séance du 20 avril 1910). Dans cette perspective, la tentative de suicide est considérée comme une alternative à ce que Freud nomme ici, avec ambiguité "psychose". » (Psychanalyse et résilience de Boris Cyrulnik et Philippe Duval)</ref>{{,}}<ref group=Note>Freud a dit : "Rien n’est moins mystérieux que le suicide du mélancolique, ce qui reste mystérieux, c’est la mélancolie elle-même", "et dans les deux situations opposées de l'amour le plus extrême et du suicide, le moi, par des chemins totalement différents, est subjugués par l'objet". (Sigmund Freud, Deuil et mélancolie, 1917)</ref>. === L'Acte réussi === Le suicide est analysé au cours du séminaire XI de [[w:Jacques Lacan|Jacques Lacan]], ''Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse''<ref>http://www.valas.fr/IMG/pdf/S11_FONDEMENTS.pdf</ref>{{,}}<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1957-05-31.htm Les clefs de la psychanalyse, L’Express, par Madeleine Chapsal], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[https://laregledujeu.org/2014/11/28/18365/aux-prises-avec-le-reel/ Aux prises avec le Réel par Bernard-Henri Lévy], La règle du jeu</ref>. Seul acte qui puisse réussir sans ratage », il « procède du parti pris de ne rien savoir » , d'être ''inter-dit'' (rapport d’être qui ne peut pas se savoir). Jacques-Alain Miller parle de ''court-circuit''<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lzm0095.htm Un court-circuit freudien par Catherine Lazarus-Matet], Wapol</ref> ou d{{'}}''échec au [[w:sinthome|sinthome]]'' (tautologie du singulier)<ref group=Note>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-47.htm Monique Lauret D'un rêve sinthome comme échec au suicide : "Le sinthome (du grec, (suntithémi), « mettre ensemble »), est un élément nouveau qui ne rentre pas dans la chaîne borroméenne à trois, Réel, Symbolique et Imaginaire." (Séminaire Le sinthome, le livre XXIII)]</ref>. Le ''ratage'' (essence de l'objet)<ref group=Note>Le plus-de-jouir est corrélatif de ce que j’appellerais, pour parler comme Damazzio — je me cultive —, un état du corps propre et, comme tel, le plus-de-jouir est asexué. Il commande, mais qu’est-ce qu’il commande? Il ne commande pas un “ ça marche ”, mais un “ ça rate ” que, précisément, nous écrivons $. Quand on barre une lettre, en général c’est parce qu’on s’est trompé, non? Ici, le plus-de-jouir commande un “ ça rate ” et précisément un “ ça rate ” dans l’ordre sexuel. Je ne vois pas ce qui empêche de considérer que ce $ écrit: il n’y a pas de rapport sexuel, d’autant que la lettre initiale, [[w:Sujet de l'inconscient|S]], est la même que celle de sexe. Ça conduirait à dire que l’inexistence du rapport sexuel précisément est devenue évidente, jusqu’à pouvoir être explicitée, écrite, à partir du moment où l’objet petit a (cause du désir) est monté au sociel. Tandis que dans le régime du discours du maître, c’était une vérité refoulée par le signifiant maître. Et on doit constater qu’aujourd’hui le signifiant maître, les signifiants maîtres, n’arrivent plus à faire exister le rapport sexuel. [http://www.congresoamp.com/fr/template.php?file=Textos/Conferencia-de-Jacques-Alain-Miller-en-Comandatuba.html Conférence de Jacques-Alain Miller en Comandatuba]</ref> est la « logique où la contingence prouve, ou au moins atteste, l’impossible » par un gain de savoir car « l’acte ne réussit jamais si bien qu’à rater » ou « tout acte manqué est un discours réussi ». Dans sa ''Leçon du 12 février 1958'', Jacques Lacan<ref name="article lacan">[http://af.bibliotherapie.free.fr/Article%20Lacan.htm Article Lacan sur Bibliotherapie]</ref>{{,}}<ref>Autres écrits, {{p.|542}}), Paris, PUF, 2001</ref> développe l’idée que l'enfant non désiré par sa mère a ''une irrésistible pente au suicide''. Selon lui, plus l'enfant cherche à sortir de cette ''chaîne signifiante'' plus il s'y inscrit. Par le suicide, il devient ''signe éternel'' à la beauté ''horrifique'' et ''contagieuse'' (ce qui est précieux, Agalma, [[w:Effet Werther|Effet Werther]], Effet Papageno de Thomas Niederkrotenthaler, [[w:Aokigahara|Aokigahara]], [[w:Pont du Golden Gate|Pont du Golden Gate]], [[w:Tour Eiffel|Tour Eiffel]])<ref group=Note>La fille de Jacques Lacan, Sybille, écrit dans son livre [http://www.lemonde.fr/disparitions/article/2013/11/09/mort-de-l-ecrivaine-sibylle-lacan_3511291_3382.html#ChzLEzwZ68Wf8gdb.99 ''Mon père''] : « Quand je suis née, mon père n'était déjà plus là. Je pourrais même dire, quand j’ai été conçue, qu’il ne vivait plus vraiment avec ma mère. Une rencontre à la campagne entre mari et femme, alors que tout était fini, est à l'origine de ma naissance. Je suis le fruit du désespoir, d'aucuns diront du désir, mais je ne le crois pas. » (…) A son compagnon Christian Valas, elle confie cette lettre datée du 7 janvier 2013 : « Si je me suicide, je veux que les circonstances de ma mort ne soient occultées en aucun cas (presse, amis, etc.) Cette demande doit être considérée comme faisant partie de mes dernières volontés… » </ref>. Pour Lacan, au ''savoir défaillant'' est substitué un acte comme ''suicide du sujet'', fruit d'un ''forçage'' : le ''passage à l’acte'' (acte sans parole, l'Objet a évacue le sujet dans le Réel, destitution subjective<ref>[http://banmarchive.org.uk/collections/newformations/09_07.pdf The undergrowth of enjoyment, de Slavoj Zizek], banmarchive</ref>), l{{'}}''acting out'' (passionnel selon Lacan, parade du phallus imaginaire, délirante mais qui aura un sens, black out, somnanbulisme<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-1995-2-page-513.htm?contenu=resume La perception somnambulique Marie-Claire Durieux], Cairn</ref>, [[w:Syndrome d'Elpénor|Syndrome d'Elpénor]])<ref>[https://www.cairn.info/load_pdf.php?ID_ARTICLE=FP_012_0045 Le concept d’aliénation en psychanalyse par Maria Cristina Poli], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans l'acte, nous dit Lacan, un sujet n'en existe pas moins comme divisé. Nous pouvons ainsi mesurer la difference entre un point d'acte. ou le sujet pour divisé qu'il soit n'assume pas moins les conséquences de ce qu'il a mis en oeuvre. Il s'agit toujours de déni, "ce qui a affaire à l'ambiguité qui résulte des effets de l'acte comme tel. L'aliénation nait de la négation du Grand Autre, en passant hors du seuil et plus rien n'est assumable. (L'inconscient ignore la négation, donc la contradiction.)</ref>, ''seuil [[w:Signifiant (psychanalyse)|signifiant]] qui le fait devenir autre'', qu’il appelle ''[[w:Jouissance|Jouissance]]'' (problème du XXIe s, le désir étant celui du XXe s) et que Freud appelle les ''compulsions de répétition et de destin'', dans ''Au-delà du principe de plaisir''. === Le Parasuicide === [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]] signale : « le goût de l'enfant pour les [[w:Comportement ordalique|conduites ordaliques]] d'essai, pas tant le résultat d'une dépression (appauvrissement du moi, affect de restriction, ignorance, ne rien vouloir savoir, lâcheté morale de celui qui cède sur son désir selon Lacan<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2005-1-page-63.htm La dépression est la vérité inversée du désir par Didier Robin], Cairn</ref>) que d'un jeu avec la violence et avec la mort, de conduites suicidaires aux conduites de mutilations du corps, troubles de l'appétit, ravage anorexique, boulimie, toxicomanie, le goût dangereux pour l’utilisation des véhicules rapides »<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>, le soutien de l’expropriation<ref>[https://www.corriere.it/cultura/18_luglio_09/heidegger-quaderni-neri-donatella-di-cesare-d306a486-838d-11e8-b0f1-5852deebaad6.shtml Heidegger, i «Quaderni neri» 1948-51], Corriere</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-1-page-123.html La répressivité par Steven Wainrib], Cairn</ref> ou les cas de réassignation sexuelle ([[w:Complexe de Diane|Complexe de Diane]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2013-1.htm Passer à l'acte, par Philippe Kong], Cairn</ref>. == Le Suicide au risque de la psychanalyse == === La Phylogénèse === Nous analyserons la [[w:phylogénèse|phylogénèse]] (parenté entre êtres vivants) du suicide dans le [[w:Judaïsme|Judaïsme]], le monde [[w:Arabe|Arabe]] et en [[w:Asie|Asie]]. Nathalie de Kernier précise que le geste suicidaire à l’adolescence entraîne une fixation autour de l’infanticide<ref> https://www.theses.fr/2009PA05H013</ref>. ==== Le Complexe de Caïn ==== Pour Montaigne, on ne peut pas dire que D.ieu ne peut pas attenter à ses jours car c'est déjà un blasphème de dire ce que D;ieu peut ou ne peut pas faire<ref>https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1320789m/f1</ref>. En revanche le judaïsme, remonte au péché originel qui explique l'angoisse du manque symbolique, pendant la castration, et au complexe hystéroépileptique de Caïn abordé par [[w:Léopold Szondi|Léopold Szondi]], [[w:Gérard Haddad|Gérard Haddad]] et [[w:Antoine Vergote|Antoine Vergote]]. Eve, en devenant simple mortelle, est la mère du suicide ; [[w:Cain|Cain]], Abel et Seth, les premiers enfants endeuillés par un suicide virtuel. [[w:Abel|Abel]], berger nomade favori de [[w:Dieu|Dieu]], ne travaille pas, frappé de sidération obsessionnelle qui annonce son suicide virtuel symbolisé par la main de Cain, qui annonce [[w:Abraham|Abraham]] et [[w:Pilate|Pilate]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2005-2-page-199.htm Gisèle Chaboudez : Rapport sexuel et rapport des sexes par Olivier Douville], Cairn</ref>. La violence disruptive du sédentaire Cain, arrive par court circuit, due à sa patrimonialisation toute-puissante et maniaque<ref>[https://coborder.wordpress.com/2015/02/19/quelle-est-la-difference-entre-un-pervers-narcissique-et-un-bipolaire/ Quelle est la différence entre un Pervers Narcissique et un Bipolaire ?], Coborder</ref> d’être le fils de Dieu. Leur [[w:forclusion|forclusion]] (effacement qui refoule et abolit tout vestige ou effet secondaire de sa propre dynamique) du nom-du-père entraine le surgissement du [[w:Grand Autre|Grand Autre]] qui les condamne. [[w:Seth|Seth]], dont le nom signifie fondation est le premier enfant endeuillé par le suicide qui va vaincre son destin. La bible parle du désir d’en finir assouvi de [[w:Saül|Saül]], [[w:Achitophel|Achitophel]], [[w:Samson|Samson]] ou [[w:Judas|Judas]] ; et refoulé d'[[w:Elie|Elie]], [[w:Jonas|Jonas]] et [[w:Jérémie|Jérémie]], mais tous meurent sans descendance. Les auteurs survivants de la [[w:Shoah|Shoah]] qui se sont suicidés comme [[w:Paul Celan|Paul Celan]], [[w:Primo Levi|Primo Levi]] et [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] témoignent d'une intransmissibilité d'une histoire hors norme qui met en péril l'identité d'homme. Les traumas massifs des survivants de la [[w:Shoah|Shoah]], présentant des états dépressifs réactionnels aux ruptures dans la vie sentimentale comme dans les rapports amicaux, ne parviennent pas à vivre les déceptions et les séparations sans réactiver de terribles émotions qui bloquent l'enrichissement du narcissisme dont les capacités de fantasmatisation sont réduites par la reviviscence d'une imagerie terrifiante du passé et la permanence de deux attitudes psychiques, de deux réalités simultanées<ref>[http://www.bulletindepsychiatrie.com/shoah.htm Les syndromes des survivants de la Shoah, De la question des traumas massifs], Bulletin de psichiatrie</ref>. Pour [[w:Freud|Freud]], une des raisons de l'antisémitisme européen (maladie auto-immune pour [[w:Hanania Alain Amar|Hanania Alain Amar]]) provient de l'appréhension des enfants chrétiens face à la circoncision perçue comme une castration. Pour [[w:Gérard Huber|Gérard Huber]], le [[w:Mont du Temple|Mont du Temple]] où était récité le Nom de D.ieu en est le symbole<ref>[http://www.akadem.org/sommaire/cours/freud-et-l-egypte/freud-lecteur-de-la-bible-06-06-2007-6964_4231.php Freud, lecteur de la bible], Akadem</ref>. Pour [[w:Jean-François Lyotard|Jean-François Lyotard]], le judaïsme est structuré comme une psychose ("Figure forclose") et le [[w:Sophisme|sophisme]] de [[w:Robert Faurisson|Robert Faurisson]] "il n'y a pas eu de chambres à gaz" ne peut être réfuté, suivant le [[w:Syllogisme|syllogisme]] : "les témoins sont morts et ceux qui témoignent n'y étaient pas puisqu’ils sont non-morts." ("Le différend")<ref>Suzanna Achache-Wiznitzer, dans "Racisme extraordinaire ou l'art de tuer les métaphores"</ref>. Pour Jacques Lacan (Écrits, pp 107-108) : « À la différence du signe, de la fumée qui n’est pas sans feu, feu qu’elle indique avec appel éventuellement à l’éteindre, le symptôme ne s’interprète que dans l’ordre du signifiant. » ==== Le Complexe du Surmusulman ==== Le [[w:Liste des pays par taux de suicide|suicide]] est marginal en [[w:Afrique|Afrique]] avec un taux d'1/100k. Il monte à 2/100k au [[w:Maroc|Maroc]] et en [[w:Algérie|Allmagne]], 4/100k en [[w:Tunisie|Maroc]], proche des 5/100k en [[w:Grèce|Grèce]], et loin des 10/100k au [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]], 26/100k en Inde et 73/100k en [[w:Biélorussie|Biélorussie]]<ref>{{lien web |langue=en|url=http://www.who.int/gho/mental_health/suicide_rates/en/ |titre=Rapports et graphiques disponibles pour chaque pays |consulté le= |série=Site de l'OMS - Santé mentale |éditeur=Organisation Mondiale de la Santé |date=2012}}.</ref>. [[w:René Laforgue|René Laforgue]], proche de [[w:Matthias Göring|Matthias Göring]], pendant la guerre, fonde l{{'}}''Institut de psychanalyse de Casablanca'', dans sa villa, ''La Clarté'', et développe les concepts de ''super ego individuel'', de ''super ego collectif'' et de ''névrose d’échec''<ref>[http://www.cairn.info/psychanalyse-en-terre-d-islam--9782749208848.htm Psychanalyse en terre d’islam, Introduction à la psychanalyse au Maghreb], Cairn</ref>. En Occident, le mal est inhérent à l’homme tandis que dans le monde arabo-musulman, la responsabilité de la maladie est imputée à l’« autre » (surnaturel ou interpersonnel) et toujours située à l’extérieur du moi, du domaine de la fatalité, du sort, de la volonté de Dieu, etc. Les régimes autocratiques et la crainte de la répression produit une personnalité [[w:paranoïaque|paranoïaque]] dont la vacance du sujet et la précaution langagière [[w:phobique|phobique]] (peur sans objet) provoquent une auto-occultation : « Que Dieu nous protège du mot “je” (âna)! » et les prénoms qui portent ‘Abd… (« esclave » de Dieu)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2007-2-page-161.htm De quelques résistances à la pratique psychanalytique dans la culture arabo-musulmane], Cairn</ref>, nous dit Ali Aouattah, allant jusqu'au [[w:Trouble de la personnalité évitante|Trouble de la personnalité évitante]]. [[w:Fethi Benslama|Fethi Benslama]] s'interroge sur le dérèglement entre le réel et les ''formes symboliques'' des extrémismes de l’[[w:Islam|Islam]], comme l'affirmation [[w:coran|coran]]ique selon laquelle [[w:Allah|Allah]] n’est pas le père, où les personnages centraux sont des fils, considérés comme adultes à l'âge de quinze ans, induisant un refoulement de la mère<ref>[https://www.cairn.info/revue-essaim-2006-2-page-219.htm À propos du livre de Fethi Benslama, Déclaration d’insoumission à l’usage des musulmans et de ceux qui ne le sont pas], Cairn</ref>. Les « radicaux » sont victimes d’une désidentification devenue suridentification (voir aussi l'hyperidentification au ''floodlighting'' des [[w:Actualités cinématographiques|Actualités cinématographiques]] pendant la guerre et de l’[[w:Information en continu|Information en continu]], au XXIe s<ref>[https://www.telerama.fr/television/lors-des-attentats-les-chaines-d-info-fonctionnent-comme-un-cerveau-traumatise-marianne-kedia-psychologue,140140.php Attentat de Nice : “Les chaînes d'info fonctionnent comme un cerveau traumatisé”], Telerama</ref>). On ne peut mourir que pour une idée que l’on ne comprend pas, rappelle Paul-Laurent Assoun citant Hitler. Le fanatisme est « l’esprit de conséquence » poussé au maximum  qui n’avertit pas en vain de sa violence. Le pire ne l’arrêtera pas. Bien au contraire. Le « surmoi terroriste » n’est que la terrible invention du « moi humilié »<ref>[http://www.humanite.fr/du-moi-humilie-au-surmoi-terroriste-588993 Du « moi humilié » au « surmoi terroriste »], L’Humanite</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2010-2-page-41.htm La violence n’est pas l’agressivité : une perspective psychanalytique des liens, de Pierre Benghozi], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=XiYyXRkpJXo Tuer le mort, Le désir révolutionnaire], Etudes psychanalytiques</ref> ([[w:Fausse bannière|Fausse bannière]], [[w:Kompromat (renseignement)|Kompromat (renseignement)]], [[w:Slut-shaming|Slut-shaming]], [[w:Cancel culture|Cancel culture]], [[w:Public shaming|Public shaming]], [[w:Online shaming|Online shaming]]), du surmâle chez [[w:Alfred Jarry|Alfred Jarry]] puis [[w:Paul Audi|Paul Audi]]. [[w:Vamik Volkan|Vamik Volkan]], parle des [[w:Child suicide bombers in the Israeli–Palestinian conflict|enfants-martyrs dans le conflit israélo-palestinien]], choisis ''éduqués'', ''tout puissants'' et ''narcissiques'' dont l'identité est perturbée par la recherche d'un élément externe à internaliser, pour stabiliser leur monde interne, souvent une ''méthode d'enseignement'' qui ''force'' l'identité d'un groupe, ethnique ou religieux, dans les ''fissures'' de l'identité individuelle endommagée ou subjuguée de la personne. Bachelard parle aussi de ''Complexe d'Empédocle'', purification du monde par le feu. ==== Le Rossignol de l’empereur de Chine ==== La question du suicide en Asie commence avec l’histoire de [[w:Bouddha|Bouddha]] qui mit fin à ses jours en offrant son corps à une tigresse affamée allaitant cinq tigrons, qui deviennent les cinq premiers disciples de Bouddha. Ferenczi dit que la [[w:métempsychose|métempsychose]] ([[w:réincarnation|réincarnation]], [[w:karma|karma]]) pour « engendrer un corps » évite un processus mélancolique en actualisant un mouvement primaire de mort<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref>. Chez les hindous et les jaïns, il est considéré comme acceptable d’en finir avec la vie en jeûnant (''prayopavesha''). Pour Livio Boni, la grève de la faim pose « le rapport, entre oralité et phallicité chez [[w:Gandhi|Gandhi]], au point que la pratique du Brahamacharya est inconcevable dissociée du jeûne quasiment permanent, qui ne peut se limiter au végétarisme strict. Car la réactivation du désir oral déstabilisante se transpose ou coïncide, avec le désir génital pour se traduire en désir phallique et en agressivité moïque. Les transitivité et traductibilité pulsionnelles immédiates, depuis l'oralité jusqu'à l'agressivité, passent par l'analité (violentes dysenteries lors des grèves de la faim, sources le conduisant vers le désir génital et l'identification phallique<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2012-1-page-173.htm Aux sources du lien tyrannique d'Albert Ciccone, Revue française de psychanalyse 2012 (Vol. 76), pages 173 à 191], Cairn</ref>). » Il dira à la fin de sa vie devenir ''psychiquement une femme<ref>[http://www.ipa.org.uk/IPA_Docs/Livio_Boni.pdf De la psychanalyse à l'Inde, et retour. Formes et raisons de la réévaluation du féminin dans la modernité indienne, de Livio Boni], IPA</ref>.'' Pour [[w:Girindrasekhar Bose|Girindrasekhar Bose]], en Inde, « les premiers soins maternels, conduiraient l'enfant à vouloir prodiguer à sa mère exactement les mêmes soins, avant qu’il s'identifie, peu importe qu’il soit fille ou garçon, à sa mère, et prendrait plaisir à faire comme elle avec des poupées, faisant siens ses centres d’intérêt »<ref>[http://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-229.htm Livio Boni : L’Inde de la psychanalyse. Le sous-continent de l’inconscient], Cairn</ref>. Pour Michel Hanus, le recours à la crémation, tradition répandue en Inde est le résultat d'un suicide post-mortem<ref>[http://www.liberation.fr/evenement/1995/10/31/une-sorte-de-suicide-post-mortem-pour-le-psychanalyste-michel-hanus-la-cremation-rend-difficile-le-t_145564 Une sorte de suicide post mortem], Libération</ref>. Pour [[w:Léon Vandermeersch|Léon Vandermeersch]], le suicide en Chine découle de la « transmission de la signification de rites et dogmes séculaires n'attribuant aucune transcendance à la mort » dont « la banalisation du monde des esprits fait que vie et mort pourraient se côtoyer et s'interpénétrer sans fracture<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2003-1-page-187.htm Geneviève Morel, Clinique du suicide], Cairn</ref>. » Huo Datong, parle de la détresse hallucinatoire de la jeunesse chinoise dont l'idéogramme figuratif, provoque une contiguïté du symbolique et de l'imaginaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2009-2-p-247.htm Huo Datong : La Chine sur le divan], Cairn</ref>. Dans la suite de la leçon V, Jacques Lacan parle de la langue japonaise et de la lettre, l{{'}}''[[w:On'yomi|On'yomi]]'' et le ''[[w:Kun'yomi|Kun'yomi]]''. « C’est la lettre et non pas le signifiant qui fait appui de signifiant »<ref>[http://www.ali-provence.com/2012/06/lecon-v-du-seminaire-r-s-i-de-lacan-lituraterre-par-isabelle-heyman-14-mars-2012/ Seminaire RSI de Jacques Lacan], All Provence</ref>{{,}}<ref>Dictionnaire de la psychanalyse: 3e édition, d'Elisabeth Roudinesco, Michel Plon</ref>. Pour Kosuke Tsuiki, le ''sujet'' (opposé au ''verbe'' et au ''prédicat'', en grammaire) n'existe pas dans la langue japonaise, ce qui retire la possibilité de définir d{{'}}''où l’on parle''<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-3-page-69.htm La psychanalyse au Japon], Cairn</ref> (cf [[w:Normopathie|Normopathie]]). Pour Janine Chasseguet-Spirel, le pervers avance masqué, il se recouvre de sa parure excrémentiel pour masquer sa nature anale, désengendrée et fausse. Elle prend l’exemple du rossignol de l’empereur de Chine pour illustrer le processus d’identification et d’introjection génital du stade sadique anal. === La Protogénèse === Nous analyserons la protogénèse (construction psychique par rapport au tiers exclu) du suicide à travers l'étude de Jacques Lacan qui reprend les notions de [[w:Roman Jakobson|Roman Jakobson]], [[w:Ferdinand de Saussure|Ferdinand de Saussure]] et de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] : le [[w:Réel, symbolique et imaginaire|Réel, le Symbolique et l'Imaginaire]] pour analyser les [[w:Complexes familiaux|Complexes familiaux]] : *[[w:Complexe d'Œdipe|Complexe d'Œdipe]] (stade de la castration, régime de la croyance et de l'incertitude - superstition "négative" d’un désir impossible chez l’obsessionnel, absence de foi "positive" d'un désir insatisfait chez l’hystérique - être-au-monde, dénégation métaphysique, nécessaire solitude)<ref>http://paris2014.champlacanien.net/?p=762</ref>, *Complexe d'Intrusion (stade de la frustration, régime de la conviction, désir masochiste du pervers<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2006-1-page-47.htm</ref>, pauvre-en-monde, négation animaliste/grecque, salutaire solitude, dévastation, déprédation<ref>[http://associationpsychanalytiquedefrance.org/activites-ouvertes/journees-ouvertes/la-conviction-en-question/ La conviction en question], APF</ref>) *Complexe de Sevrage (stade de la privation, régime de la certitude, désir prévenu du phobique, être-sans-monde, forclusion juive, difficile solitude, désolation)<ref>[http://www.causefreudienne.net/croyance-et-certitude/ Croyance et certitude], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref>[http://phaenex.uwindsor.ca/ojs/leddy/index.php/phaenex/article/download/3479/2718 L’Einsamkeit comme Grundbegriff D’une idée fragmentée chez Heidegger* de Christophe Perrin], uwindsor</ref>{{,}}<ref>[http://www.akadem.org/medias/documents/3_la_desolation.pdf La désolation], Akadem</ref>. La jonction du symbolique et de l’imaginaire, est l’amour (sens, le dire de l'Un tout-seul = ce qu’Heidegger nomme le soutien de l’expropriation), celle de l’imaginaire et du réel, la haine (jouissance de l'autre) et celle du réel et du symbolique, l’ignorance (jouissance phallique, ratage du sexuel et de la jouissance)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2004-2-page-59.htm Passion de l’ignorancee, d'Alain Vanier], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://psychanalyse-paris.com/L-idiot-international.html L’idiot International], Psychanalyse Paris</ref>, dont la [[w:Grammaire Générative|Grammaire Générative]] Universelle de [[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]], zone de compétence innée, et inconsciente du développement du langage produit un raisonnement par abduction et une [[w:Théorie de l’information|théorie de l’information]] et [[w:Théorie du cygne noir|du cygne noir]]<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2014-2-p-63.htm</ref>. ==== Le Complexe d'Œdipe ==== Le stade de la [[w:Castration (psychanalyse)|Castration]], ou [[w:Stade phallique|Stade phallique]], est un manque symbolique (ek-sistence comprendre Dette symbolique : reconnaissance de l'héritage de nos ancêtres dont le [[w:péché originel|péché originel]] est une tentative d'explication de l'angoisse qu'elle procure) d'objet imaginaire (phallus), dont l'agent est le père réel. La dette est dette de sens, imprescriptible et inextinguible, jusqu’à la réparation et l’affranchissement<ref>https://www.cairn.info/revue-topique-2002-2-page-41.htm</ref>, dans la névrose. Dans la psychose, la dette n’est plus exprimable en valeur comptable<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2005-2-page-73.htm</ref> car c’est d’un manque réel d’objet symbolique qu’il est question (privation et forclusion de sa trace signifiante). Pour Lacan, « le rejet de la castration marque le délire (changement de sillon) de la pensée. » Les névroses hystériques (l’hystérie d'angoisse, l'hystérophobie et l’hystérie de conversion) frappent l'individu qui a buté sur le complexe d'Œdipe, obligé de faire un retour en arrière vers les stades antérieurs de son passé, refluant vers le stade oral et parallèlement vers le stade phallique (plaisir lié à l’exhibition, au voyeurisme concernant les organes génitaux : “ Ce que le voyeur cherche et trouve, ce n’est qu’une ombre, une ombre derrière le rideau. Il y fantasmera n’importe quelle magie de présence”<ref>Lacan, Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, p. 166)</ref>{{,}}<ref>[http://anjoumedecine.free.fr/PS2130.html Névroses et symptômes somatiques], Anjoumedecine</ref>. On parle alors de ratage du sexuel d’entrée (fixation au stade anal) ou de sortie (non-résolution du conflit) pouvant entrainer l’absence d’intériorisation de l’interdit de l’inceste ([[w:Otto Rank|Otto Rank]] face à [[w:Anaïs Nin|Anaïs Nin]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2002-4-page-96.htm Et aussi… Un marqueur fondamental], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>"Ce qui rate de l'Autre donne naissance au langage. Mais le ratage dans la jouissance donne lieu à la répétition, car prendre un par un l’objet de la jouissance, c’est tout différent que l'Un de la fusion universelle. En même temps, l’objet se met à la place de ce qui rate de la relation à l'autre, et à partir de là, il donne lieu au fantasme. Le désir, c’est une relation au fantasme, il nait de l'écart entre le besoin et la demande. Alors que la demande se formule à autrui par la parole, dans ce manque laissé par le ratage de la recherche de la fusion, le besoin vise un objet spécifique et s'en satisfait en decà des mots. Il cherche à s'imposer sans tenir compte du langage, ni de l'inconscient de l'Autre. » ''Actualités psychopathologiques de l'adolescence'', d' Yves Morhain et René Roussillon, Chapitre 8)</ref>{{,}}<ref>[http://dimpsy.online.fr/dimensionsdelapsychanalyse/bibliotheque/2011/Rene-Lew_Colloque-Buenos-Aires_8-9-avril-2011_Echappement_2e-version-rouge.pdf L’échappement ou : Le ratage signifiant au centre de la cure, ou encore : Comment jouer de négativité à bon escient ? de René Lew], Caline</ref>. Lacan conclut, « l'hystérique (désir insatisfait) est un esclave qui cherche un maître sur qui régner. » Le complexe d'Œdipe se termine par la castration chez le garçon et commence par la castration chez la fille. S'appuyant sur le complexe d’[[w:Oreste|Oreste]] de Melanie Klein<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5953 Mélanie Klein, ou le matricide comme douleur et comme créativité], Spp Asso</ref> et d'[[w: Complexe d'Electre|Électre]] de [[w:Carl Jung|Carl Jung]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-journal-des-psychologues-2009-3-page-67.htm Le matricide feminin], Cairn</ref>, Michèle Gastambide & Jean-Pierre Lebrun affirment qu'une femme préfère se suicider plutôt que d’attenter à la vie de sa mère. L'Œdipe inversé est un désir pour le parent de même sexe. Il entraîne une haine inconsciente de celui-ci et la recherche d'un conjoint lui ressemblant. Pour Freud, la prise de conscience du complexe d'Œdipe, est un tournant dans l'analyse et pour Lacan, par l{{'}}''identification au symptôme'', la fin de la cure<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/168sol.htm L'Identification au symptôme à la fin de l'analyse], Wapol</ref> car elle annule l{{'}}''absence de signification'' phallique qui cause la répulsion<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-109.htm La mélancolie d’Althusser], Cairn</ref> et permet d'accoucher du ''[[w:Surmoi|Surmoi]]'' (impératif de la jouissance, "tu dois être comme le père" et "tu ne dois pas être comme le père")<ref>[https://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-143.htm Jouissance(s) et loi du surmoi de Monique Tricot], Cairn</ref>. ==== Le Complexe d'intrusion ==== Le stade de la Frustration est un manque imaginaire d'objet réel (sein maternel), dont l'agent est le père symbolique ou Nom-du-Père<ref>[http://www.edupsi.com/timone/J.J.Gorog.95...shtml.htm Castration, Frustration et Privation. Une lecture du séminaire IV, « La relation d'objet » Par Jean-Jacques Gorog], Edupsi</ref> : [[w:Angoisse de morcellement|angoisse de morcellement]], fétichisme (perversion des perversions), addiction (recherche du manque, [[w:La Psychanalyse du feu|complexe d’Hoffmann]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2001-1-page-17.htm Psychanalyse de l’« objet ». « Objet-drogue », « objet-alcool »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2011-1-page-99.htm?fbclid=IwAR2PNGXtqhKZEZChZVitDD6Lk0FKn6cA56sbeFJKpiMbAejn6N0Omq4tZ_E Présentation de l'ouvrage de François Perrier. L'alcool au singulier, L'eau de feu et la libido de Sylvette Ego], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/les-ivresses--2908206315-page-229.htm?contenu=resume# L'ivresse et la solitude une pathologie de la rencontre de Demetrio Barcia], Cairn</ref>, réification (traitement du sujet comme un objet) ou instrumentalisation. « Le dédoublement ainsi ébauché dans le sujet, c’est l’identification au frère qui lui permet de s’achever : elle fournit l’image qui fixe l’un des pôles du masochisme (désir sans jouissance) primaire. Ainsi la non-violence du suicide primordial engendre la violence du meurtre imaginaire du frère »<ref name="article lacan"/>{{,}}<ref>''L’Énigme du suicide à l'adolescence'', Annie Birraux, Philippe Givre, ''Clinique des suicides lents et non violents. La tendance à la mort comme objet d’appétit</ref> (frère réel ou frère-jouet, Là où Çà joue, le Je doit devenir auteur du jeu de son inconscient)<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5889 L’efficacité symbolique de la psychanalyse], SPP</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2004-1-page-109.htmq Là où Çà joue], Cairn</ref>. « Le complexe d'intrusion est excessif dans la [[w:gémellité|gémellité]] », « comme dans une fratrie suffisamment rapprochée (moins de 18 mois, [[w:Folie à deux|Folie à deux]]) »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2008-1-page-21.htm Fratrie, gémellité, folie à deux : comment devient-on thérapeute de famille ?], Cairn</ref> avec « un "ministre des affaires extérieures" qui gère la communication" et un "ministre des affaires intérieures" qui dirige la sphère privée ». Pendant le sevrage, elle le réactive et l'amène à une régression qui peut évoluer en psychose [[w:Schizophrénie|schizophrénique]] (inconscient à ciel ouvert), première cause de suicide chez les jeunes<ref>[http://www.apcof.fr/?texte=lironie-dans-la-psychose-sa-logique-et-sa-fonction-la-theorie-de-lironie-la-clinique-de-la-jouissance L’ironie dans la psychose : sa logique et sa fonction – 6eme Journée Atelier Histoire des concepts – La clinique de l’ironie et le dit-schizophrène], APCOF</ref>{{,}}<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lng0082.htm Qu'est-ce qu'un enfant pour une femme schizophrène ? de Katty Langelez], Wapol</ref>{{,}}<ref>[http://www.causefreudienne.net/le-corps-du-schizophrene-quelques-references-theoriques/ Le corps du schizophrène : quelques références théoriques], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans la population des personnes dont les deux parents sont schizophrènes, 27 personnes sur 100 sont susceptibles d'être touchées. Alors que chez les frères, sœurs et faux jumeaux des patients schizophrènes qui n'ont que la moitié de leurs gènes en commun, le risque est de 10%, il atteint 50% chez les vrais jumeaux, qui ont un génome quasi identique.</ref>, névrose hypocondriaque, destruction imaginaire en impulsions perverses ou culpabilité obsessionnelle (désir impossible<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2016-1-page-25.htm Tentatives de feindre l’impossible et « faire désirer » par Luminitza Claudepierre Tigirlas], Cairn</ref>, [[w:Trouble obsessionnel compulsif|Trouble obsessionnel compulsif]], [[w:Trouble des habitudes et des impulsions|Trouble des habitudes et des impulsions]], [[w:Syllogomanie|Syllogomanie]], [[w:Syndrome de Diogène|Syndrome de Diogène]], inquiétante étrangeté, [[w:Culpabilité du survivant|Culpabilité du survivant]]). Lacan conclut : "l'obsessionnel a trouvé son maître et attend sa mort pour prendre sa place." La crise suicidaire est au coeur du problème de la "substitution"<ref>[https://www.cairn.info/revue-imaginaire-et-inconscient-2004-2-page-71.htm Réflexions autour du double fraternel par Régine Scelles], cairn</ref> ([[w:Lady Macbeth|Lady Macbeth]], [[w:Emmanuel Lévinas|Emmanuel Lévinas]])<ref>[https://tsunamicnublog.wordpress.com/2016/04/27/levinas-and-macbeth/ LEVINAS AND MACBETH]</ref>. Le « [[w:Stade anal|stade anal]] (satisfaction d'un besoin que pour la satisfaction d'un autre)<ref>[http://lexique-de-lacan.blogspot.fr/2010/08/analite.html Analité], Lexique de Lacan</ref> dans la musique Rock qui « arrache les tripes », « s'élabore autour d'un phallus puissant entraînant à sa suite une horde »<ref>Totem et tambour: Une petite histoire du rock’n roll et quelques réflexions, de Manuella Rebotini</ref>, le « fantasme d’éventration » au « fondement de la création littéraire »<ref>[http://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2005-1-page-100.htm Le cas Serge André : un psychanalyste écrivain atteint de cancer], Cairn</ref> », la [[w:mélancolie|mélancolie]], être d'objet, de [[w:déchet|déchet]] sans parole. Il nous faut faire intervenir à cet endroit les éléments proprement lacaniens concernant la notion d’objet. Le mécanisme vexatoire est lié à la présence matérielle de l’objet de rebut ("Le saint est le rebut de la jouissance", dit Lacan. Il dit, en novembre 1974, que la charité « c’est l’archi-raté » (comprendre acte archi-manqué et/ou "Donner" la mort est un archiratage forcément religieux.). Dans Télévision, le saint, « plutôt se met-il à faire le déchet : il décharite, ce pour réaliser ce que la structure impose, à savoir permettre au sujet, au sujet de l’inconscient, de le prendre pour cause de son désir. »), l’objet de déchet, l’objet a. C’est lui qui d’une maille à l’endroit fait une maille à l’envers. C’est lui qui prend le contre-pied systématique des penchants et des goûts du sujet, dévoilant en toute circonstance la cause nauséabonde de toute aspiration, toute élévation, toute inclination.<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-lacanienne-2009-1-page-71.htm Théorie et clinique psychanalytique. L’écho de l’automatisme mental de Jean-Jacques Tyszler]</ref>{{,}}<ref>[http://www.vacarme.org/article2223.html Le psychotique et le psychanalyste, entretien avec Jacques Borie], Vacarme</ref> ; ou [[w:manie|maniaque]] (fantasme de réparation chez Mélanie Klein)<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2008.gonin_a&part=146607 La réparation kleinienne], Univ Lyon 2</ref>{{,}}<ref>[http://eduardo.mahieu.free.fr/2008/legerete_ey.html Manie], Eduardo Mahieu</ref>, par un langage sans objet, parataxe, déliaison, jouissance impossible<ref>[http://www.pipolnews.eu/wp-content/uploads/2015/01/Les-six-paradigmes-de-la-jouissance-RETR.pdf Les six paradigmes de la jouissance], Pipolnews</ref>, relevant du [[w:Déplacement (psychanalyse)|déplacement]] comme métonymie infinie avant retour mortel (« Pêcher mortel où le moi est la métonymie du désir », dit Lacan car « le sujet n’est lesté par aucun a ») et ''désintrication pulsionnelle'' par sa propre ''exportation''<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2009-4-page-987.htm Pulsion de mort et destructivité, de Denys Ribas], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-3-page-921.htm “Du divan à l’écran. Montages cinématographiques, montages interprétatifs ”, de Murielle Gagnebin], Cairn</ref> : [[w:Mythomanie|Mythomanie]] (chiqué=artifice=beau=démonstration<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1977-02-26.htm Intervention de Jacques Lacan à Bruxelles, publiée dans Quarto (Supplément belge à La lettre mensuelle de l’École de la cause freudienne), 1981, n° 2.], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[http://journals.openedition.org/palimpsestes/67 De « Assez » à « Enough » ou l’androgynie comme figure du bilinguisme beckettien], Openedition</ref> à distinguer du [[w:Secret|secret]]), [[w:Oniomanie|Oniomanie]], [[w:Kleptomanie|Kleptomanie]], [[w:Nymphomanie|Nymphomanie]], [[w:Pyromanie|Pyromanie]] ([[w:La Psychanalyse du feu|Complexe d'Empédocle]], [[w:Ludomanie|Ludomanie]], [[w:Érotomanie|Érotomanie]], [[w:Toxicomanie|Toxicomanie]], [[w:Dipsomanie|Dipsomanie]], [[w:Bibliomanie|Bibliomanie]], [[w:Mélomane|Mélomanie]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2012-3-page-7.htm La mélo-manie ou la voix objet de passions], Cairn</ref>, [[w:Manie dansante|Manie dansante]], [[w:Traités internationaux de la guerre froide|Pactomanie]], [[w:Théories du complot maçonnique|Pyramidomanie]], [[w:Arithmomanie|Arithmomanie]], Cleftomanie etc ==== Le Complexe de sevrage ==== Le stade de la Privation est un manque réel (comprendre ''Trou''<ref group=Note>Le réel s’avère donc comme ce qui fait obstacle au symbolique, ce qui ré-siste à la trouure. Ce pourquoi le symbolique in-siste. Entre les deux l’imaginaire fait surface. Mais pas n’importe quelle surface : une surface orientée, par opposition à la surface inorientée que représente le réel. Seule une surface (tour du désir) peut boucher un trou. Ce qui fait « trou » au sens de défaut au symbolique dans la psychose, c’est une surface désorientée. Ce qui permet de s’en sortir c’est l’orientation. [http://une-psychanalyse.com/structure_du_borromeen.pdf Richard Abibon dans Structure du nœud borroméen ]</ref> ou ''Un n’espace/temps de l’âme-a-tiers'') d'objet symbolique (phallus), dont l'agent est le père imaginaire. Le signifiant, forclos, mortifie le corps, provoque perversité (l'échec de l'introjection de l'objet, jouissance sans libido) et psychose (peur du monde extérieur, menace de viol)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-81.htm Cramponnement, attachement et complexe de sevrage. Hermann et Bowlby avec Lacan. L’exemple des addictions], Cairn</ref> du « parlêtre (être qui parle mais qui se retrouve traumatisé par cette parole, ce « traumatisme », trou dans la langue qui fonde le trauma, point négatif qui ne peut être pensé que négativement, et entraine une jouissance de l'impasse). Le réel ne parvient pas à être symbolisé, faute de savoir adéquat et conduit au syllogisme. Au [[w:Stade oral|Stade oral]] et par complexe du sevrage, Lacan entend un processus de séparation, de rupture avec la vie parasitaire indépendant du processus de l'ablactation (fin de l'allaitement)<ref group=Note>La séparation, c'est le second moment après l'aliénation. Celui-ci est fondé sur la structure de l'intersection, (...) gîte de (...) la métonymie. C'est là que rampe, c'est là que glisse, c'est là que fuit, tel le furet, ce que nous appelons le désir. (...) La science se situe au point précis que je vous ai défini comme celui de la séparation, qu'elle peut soutenir aussi le mode d'existence du savant, de l'homme de science. - Ce corps de la science, nous n'en concevrons la pensée qu'à reconnaître qu'il est, dans la relation subjective, l'équivalent de ce que j'ai appelé ici l'objet petit "a". - 239 (Séparation, 1964 - Les quatre concepts de la psychanalyse, J.Lacan - 194 Et 195) Venons à la seconde opération, où se ferme la causation du sujet, pour y éprouver la structure du bord dans sa fonction de limite, mais aussi dans la torsion qui motive l'empiètement de l'inconscient. Cette opération nous l'appellerons: séparation. Nous y reconnaîtrons ce que Freud appelle ICHSPALTUNG ou refente du sujet, et saisirons pourquoi, dans le texte où Freud l'introduit, il la fonde dans une refente non du sujet, mais de l'objet (phallique nommément). La forme logique que vient à modifer dialectiquement cette seconde opération, s'appelle en logique symbolique : l'intersection - Par cette voie le sujet se réalise dans la perte où il a surgi comme ics, par le manque qu'il produit dans l'Autre, suivant le tracé que Freud découvre comme la pulsion la plus radicale et qu'il dénomme : pulsion de mort. (1964 - Position de l'inconscient J.Lacan- 840-844)</ref>{{,}}<ref>[http://patrickfrasellepsychanalyse.over-blog.com/2014/09/la-phase-orale-vue-par-la-psychanalyse.html La phase orale vue par la psychanalyse de Patrick Frasselle]</ref>{{,}}<ref group=Note>Le stade oral (de 0 à 8 mois) est caractérisé par une relation symbiotique, où l’objet est partiel (sein, lait). Ce stade est marqué par l’angoisse de dévoration (être dévoré), d’abandon et de persécution (paranoïde et schizoïde). Par exemple, la mélancolie intègre l’incorporation et la dévoration, puisqu’elle supprime l’existence de l’objet dans son individualité. C’est à ce stade qu’intervient le Surmoi de type kleinien, dont nous avons parlé (cf. IV.2.1.2., supra). La cruauté surmoïque de type mélancolique relève davantage du stade oral que du stade anal, contrairement à ce qu’ont pu théoriser certains auteurs. Car il s’agit d’une culpabilité délirante, et non névrotique (Surmoi oedipien) : « Chez les mélancoliques, il y a un véritable parallélisme entre la précision du côté de l’action et l’importance de la « peccadille » du côté de la faute. C’est la démesure dans l’appréciation du futile qui contribue à préparer le délire mégalomaniaque de culpabilité du mélancolique » (Binswanger, 1960, p. 254). De même, chez les patients bipolaires, le sujet est en pulsion orale : il se tourne avidemment vers le monde des objets qu’il tente de contrôler, c’est-à-dire ici de détruire (contrairement à l’emprise du stade anal). A ce niveau, le narcissisme est auto-érotique (il précède l’amour objectal), avec angoisse de morcellement, comme dans la schizophrénie. Le stade du miroir (vers 7-8 mois Lacan, 1949) échoue dans la psychose, car il ne permet pas l’instauration de l’acquisition du « Je », d’un Je sujet du discours. Cet échec est corollaire de l’absence de conscience du corps propre, des limites de ce corps, et du corps (donc du visage) de l’autre. Or, le stade du miroir est ce qui permet que la relation d’objet devienne anaclitique, sinon l’objet est total (la mère).</ref>{{,}}<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2007.bilheran_a&part=126980 Temps, développement libidinal, psychoses], Thèse Lyon II</ref>. Dans le tome VII de l'encyclopédie de [[w:Lucien Febvre|Lucien Febvre]], Lacan nous dit que la tendance à la mort est vécue par l’homme comme ''objet d’un appétit'' que lui donne le sevrage, et se révèle dans des suicides très spéciaux qui se caractérisent comme ''non violents'', sous la forme orale du complexe : ''[[w:grève de la faim|grève de la faim]] de l’[[w:anorexie mentale|anorexie mentale]]'', ''empoisonnement lent de certaines toxicomanies par la bouche'', ''régime de famine des névroses gastriques''<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1938-03-00.htm Circonstances et objets de l'activité psychique], AEJCPP</ref>, idée développée par [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-59.htm L’anorexie comme suicide différé par Massimo Recalcati], Cairn</ref>. Pour [[w:Pascal Fugier|Pascal Fugier]], la ''séparation prématurée'' est ''facteur de mort'' qu'on retrouve dans les pratiques symboliques comme la sépulture et les ''nostalgies de l’humanité'' : suicides, toxicomanies et anorexies<ref>[http://www.revue-interrogations.org/Jacques-Lacan-Les-complexes Jacques Lacan, Les complexes familiaux dans la formation de l’individu.Essai d’analyse d’une fonction en psychologie], Revue Interrogations</ref>. Il correspond chez Mélanie Klein au stade [[w:Envie et gratitude (psychanalyse)|Envie et gratitude]]. On pense à la dialectique de l'[[w:Agoraphobie|agoraphobie]] (peur du déconfinement, syndrome de la cabane) et de la [[w:Claustrophobie|claustrophobie]], du secret et de la révélation, ce qui parait sans apparaître, ce qui est séparé et qui se livre dans cette séparation<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=MEDIU_037_0299 2013/4 Ontologie du secret, de Pierre Boutang par Jérôme Besnard], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/la-pensee-interdite--9782130573500-page-127.htm Transparence et secret, par Alain Vanier, dans La pensée interdite (2009), pages 127 à 138], Cairn</ref>. === L’[[w:Ontogenèse|Ontogénèse]] === L’analyse ontogénétique (concept utilisé par [[w:Gilbert Simondon|Gilbert Simondon]] pour étudier les transformations structurelles de l'enfance à l'âge adulte et qui lui donne son organisation ou sa forme finale) de [[w:Serge Tisseron|Serge Tisseron]] nous dit que : « les images du monde virtuel sont indécidables, « avec elles tout est menacé de se dématérialiser, les rencontres, les objets, l’argent<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2012-1-page-11.htm# Argent, cadre et psychanalyse de Luiz Eduardo Prado de Oliveira], Cairn</ref>. » Avec [[w:Sylvain Missonnier|Sylvain Missonnier]], il s'interroge sur la « relation d'objet virtuel », (ROV), constituant le lien biopsychique établi en prénatal entre les (re)devenants parents et « l'enfant du dedans » qui annonce « transitionnalités et transformations »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2009-4-page-75.htm De l’idéal virtuel à l’autre réel], Cairn</ref>. Le virtuel ne s'oppose pas au réel mais à l'actuel. L'enfant non désiré, né d'une relation d'objet virtuelle, a 3 fois plus de chance d’être suicidaire<ref>[http://www.nytimes.com/2010/05/04/health/research/04risk.html?_r=0 Children of Suicide Victims Are Vulnerable], [[w:The New York Times|The New York Times]]</ref>. ==== La [[w:Pédomorphose|Pédomorphose]], manque actuel d'objet virtuel ==== Sylvie Faure-Pragier nous dit : « Depuis les [[w:Grottes de Lascaux|grottes de Lascaux]], l'histoire de l'humanité s'écrit à partir du fil rouge de ces stratégies de simulation langagière et iconique pour combler l'absence et arrêter [[w:Chronos|Chronos]] en affinant de plus en plus les leurres perceptifs. La [[w:réalité virtuelle|réalité virtuelle]] d'aujourd'hui n'est que le visage actuel de cette longue histoire où l'ont précédée le [[w:dessin|dessin]], la [[w:peinture|peinture]], la [[w:photographie|photographie]], le [[w:cinéma|cinéma]] muet puis sonorisé, la simulation numérique<ref>[http://www.carnetpsy.com/article.php?id=1473&PHPSESSID=gafjuplmpith1hur66b30p28s3 Des souris, des écrans et des hommes (1). Une relation d'objet virtuelle ?], Carnetpsy</ref> ». [[w:Michel Thevoz|Michel Thevoz]] associe : « le [[w:maniérisme|maniérisme]] du XVIe siècle à des types de [[w:névrose obsessionnelle|névrose obsessionnelle]], l’âge [[w:baroque|baroque]] aux fonctions hallucinatoires, les utopies du [[w:siècle des Lumières|siècle des Lumières]] au délire rationnel, le [[w:Symbolisme|Symbolisme]] à la [[w:mélancolie|mélancolie]], l’[[w:Art Nouveau|Art Nouveau]] à l’[[w:Hystérie|hystérie]], le [[w:Cubisme|Cubisme]] à la [[w:schizophrénie|schizophrénie]], le [[w:Surréalisme|Surréalisme]] à la [[w:paranoïa|paranoïa]] et le [[w:Body art|Body art]] à la [[w:perversion|perversion]]<ref>[http://www.leseditionsdeminuit.fr/images/3/extrait_2277.pdf L’Esthetique du suicide], Les éditions de minuit</ref> ». [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] évoque la [[w:Pop philosophie|Pop'philosophie]] où "il s’agit de regarder tout objet non comme on regarderait l’intérieur d’une boîte, mais en envisageant tout ce qu’il y a autour, ce qui met la pensée à l’épreuve du monde. « Pop’ » est avant tout « le bruit que fait la boîte lorsque son couvercle saute ». D’où l’importance de l’apostrophe (en tuché, et italiques en automaton, version pop'analytique)<ref>https://www.philomag.com/les-livres/notre-selection/quest-ce-que-la-popphilosophie-36806?fbclid=IwAR3WeRnlHkyX1wBkvChg-TroIWlPni7Kz_AqJceC1iYt9wUL2ss394tfYvQ</ref>. Deleuze se défenestre en 1995 ([https://www.researchgate.net/publication/345377535_Approche_phenomenologique_de_la_defenestration Voir] L'approche phénoménologique de la défenestration). ==== Le Suicide, actualisation du manque d'objet virtuel ==== Dans le ''[[w:Crépuscule des idoles|Crépuscule des idoles]], Divagations d'un inactuel'', [[w:Friedrich Nietzsche|Friedrich Nietzsche]] voit « la mort choisie librement, la mort en temps voulu, avec lucidité et d’un cœur joyeux, accomplie au milieu d’enfants et de témoins, alors qu’un adieu réel est encore possible, alors que celui qui nous quitte existe encore et qu’il est véritablement capable d’évaluer ce qu’il a voulu, ce qu’il a atteint, de récapituler sa vie. » De la [[w:Vie intra-utérine|vie intra-utérine]], le moi précoce, protège « le sujet » des traumatismes « [[w:abject|abjects]] » (à chaque moi son objet, à chaque surmoi son abject), répulsion, pulsion violente, qui peuvent provenir « d’un dedans exorbitant » selon [[w:Julia Kristeva|Julia Kristeva]]<ref>[http://www.mikaversionglauque.fr/pages/abjection.html L'abjection selon Julia Kristeva], Mikaversionglauque</ref> que [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] repère dans « l’identification projective » (bons et mauvais objets) et « le [[w:Clivage de l'objet|clivage]] (pas de clivage sans collage.) »<ref>[http://cafe-psy.over-blog.com/article-prochains-debats-mercredi-11-et-25-mai-2011-73054285.html Prochains débats], Café Psy</ref>. L'excorporation : projection, identification projective (etc.) met en relief l'espace et non les objets qui se rencontrent en lui. Vomir n’est pas intentionnel (processus non graduel) mais la sensation physique intolérable de remplissage, débordement, perversion évidente quand la perlaboration est impossible et la réponse narcissique devant des objets ou les situations suscitent le rejet<ref>[http://www.imagoclinica.com/pdf/Le%20processus%20psychanalytique.pdf Le processus psychanalytique: du symptôme au trou émotionnel de Nicolás Caparrós], Imago Clinica</ref> ; incapacité à s’imposer quoi que ce soit, qui est l'essence de la veulerie, qui ne vise plus le nom mais le corps<ref>[http://www.psychologies.com/Moi/Se-connaitre/Comportement/Articles-et-Dossiers/Les-7-nouveaux-peches-capitaux/7 André Comte Sponville, Les 7 nouveaux péchés capitaux], Psychologies</ref>. Pour [[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]], "Partir sans laisser d'adresse devient alors la bénédiction ultime : laisser l'autre survivre sans la surcharge d'un héritage, sans le poids d'un deuil (« le deuil est le phénomène de la mort et c'est le seul phénomène derrière lequel il n'est rien »)", "Pouvoir hériter de ses écrits, nécessite qu’il se donne la mort." Il dit : le Cinéma, les médias et les télé-technologies mettent en scène des spectres dont on ne peut pas faire son deuil, On ne peut pas faire son deuil du dégoûtant : on ne peut que le vomir", comme "[[w:Antigone|Antigone]], qui est pour [[w:Hegel|Hegel]] l'inassimilable, l'indigeste absolu, inclassable et irrecevable". Dans Antitheos, Holderlin parle de l'impatience de Dieu. C'est également le cas des [[w:Spectres de Marx|Spectres de Marx]] qui contredisent la théorie de [[w:La Fin de l'histoire et le Dernier Homme|La Fin de l'histoire et le Dernier Homme]] de [[w:Francis Fukuyama|Francis Fukuyama]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-diogene-2009-4-page-72.htm Marxisme et déconstruction en Chine de Wei Xiaoping], Cairn</ref>. ==== Le Perpétuel Actuel, [[w:symbolisation|symbolisation]] du manque d'objet virtuel ==== Le lieu du symbolique n’est pas l'esprit mais le corps. Pour Anne-Laurence Coopman, le [[w:paraplégique|paraplégique]] vit dans un « perpétuel actuel » car aucun fil conducteur, moment porteur ou signifiant ne vient l'aider à s’inscrire dans une certaine temporalité. Ce « trop de réel », irreprésentable et impensable, que Freud voit comme l’instance du trauma  peut amener le patient au plus proche d’un éprouvé de destruction et d’anéantissement de soi<ref>[http://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2008-1-page-109.htm Traumatisme somatique : « l’esprit comme jouet du corps »], Cairn</ref>. "La (menace de déliaison<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2010-1-page-129.htm Le moi menacé de mort d'Annie Roux], Cairn</ref>) l'actuel découle donc d’un processus de désintrication pulsionnelle, autrement dit, de désorganisation psychique" dit Claude Smadja<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2014-5-page-1503.htm Le Psychanalyste face à la menace de l'actuel de Claude Smadja], Cairn</ref>. Un retour d'investissement d'objet dont le désir d'opulence entraine un surendettement moral, jusqu'à payer de sa personne<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychotropes-2009-3-page-9.htm La dette… jusqu'à payer de sa personne de Christian Bucher], Cairn</ref>. == L'Enfant endeuillé par suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}}) == Pour [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]], les « enfants ayant assisté à la mort violente d'un de leurs parents sont terriblement touchés sur le plan de leur avenir psychiatrique. Le suicide d'un des parents est souvent considéré comme un événement honteux qu’il faut cacher. Bien entendu les enfants connaissent rapidement la cause de la mort du suicidé et s'installe ainsi un lourd secret de famille qui pèse là encore sur les conditions de vie. (...) En dépit des apparences, la mort d'un parent entraîne toujours deuil et surtout sentiment de culpabilité chez l'enfant. On entend souvent pourtant le survivant accuser les enfants d'insouscience : «mon fils est égoïste, il continue à jouer etc.». Ces parents qui se plaignent de l'insensibilité de leurs enfants ne savent sans doute pas que la dépression est [[w:Dépression masquée|masquée]] par des moyens défensifs bien connus en psychiatrie qu'on appelle les défenses [[w:Manies|maniaques]]. On connaît la manie de deuil et on sait que «la vieille femme indigne», lorsqu'elle est veuve, commence à s'amuser<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>. » Pour Michel Hanus : « Ce sont ces endeuillés qui ont le plus besoin d'aide et de soutien et qui en reçoivent le moins, victimes de stigmatisation sociale et sentiment de culpabilité qui entraine une culture du secret »<ref>Le deuil après suicide, Michel Hanus, Perspectives Psy, volume 47, n°4, octobre-décembre 2008</ref>. « Le deuil inhibé correspond à une absence des symptômes normaux du deuil dans un premier temps. Les perturbations affectives s’effacent au profit de nombreux troubles somatiques. Ce type de deuil est fréquent chez l’enfant et chez les personnes dont les capacités verbales et mentales sont faibles », dit [[w:Christophe Fauré|Christophe Fauré]]<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/FAURE.pdf « Effets et conséquences du suicide sur l’entourage : modalités d’aide et de soutien » Question 1a : « Deuil normal, deuil difficile, deuil compliqué, deuil pathologique » Dr Christophe Fauré - Psychiatre], Psydoc France</ref>. Cecile Paesmans nous dit : « Si la littérature consacrée au deuil est abondante, le deuil après suicide, en particulier chez l'enfant, est un sujet, à ce jour, peu abordé dans la littérature scientifique, voire même inexistant, au vu de nos recherches, dans la littérature systémique<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-101.htm Enfants endeuillé par le suicide], Cairn</ref>. Le sentiment de honte et l’attitude provocatrice de la famille qui se « désolidarise » du suicidé dans une attitude de dissimulation réprobatrice a besoin de « réparer » d’une manière ou d’une autre ce qui s’est passé, se faire pardonner aux yeux des autres et à leurs propres yeux une faute qu’ils n’ont pas commise en s’occupant, par exemple, de façon assidue d’une personne qui ressemble au suicidé. L’illusion dérisoire de préserver une certaine stabilité par le silence qui apparaît au début comme la meilleure solution pour l’entourage et la famille, se transforme avec le temps en un véritable poison pour le corps et l’esprit ; chacun s’enferme à l’intérieur de lui-même »<ref>[http://www.systemique.be/spip/spip.php?article75 Le deuil après suicide], Systemique</ref>. === L’Épigénèse === Le risque de psychose augmente de 84% chez les enfants endeuillés. Le chiffre double, en cas de deuil par suicide après deux ans et triple avant deux ans<ref>[http://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La presse.ca</ref>. Pour [[w:Boris Cyrulnik|Boris Cyrulnik]], la [[w:Résilience (psychologie)|Résilience]] permet de revenir d'un état de [[w:Trouble de stress post-traumatique|stress post traumatique]] mais il décèle aussi une pente vers le suicide chez l'enfant, assimilé à un accident, du à une carence plus importante en [[w:Sérotonine|Sérotonine]] ou à un environnement anxiogène, qui l'interroge sur le contexte épigénétique (mécanisme contextuel modulant le patrimoine génétique)<ref>[http://www.leparisien.fr/societe/le-suicide-des-enfants-un-phenomene-sous-estime-29-09-2011-1630658.php Le suicide des enfants, «un phénomène sous-estimé»], [[w:Le Parisien|Le Parisien]]</ref>{{,}}<ref>[http://www.lefigaro.fr/actualite-france/2011/09/28/01016-20110928ARTFIG00690-premiere-etude-sur-le-suicide-des-enfants.php Première étude sur le suicide des enfants], [[w:Le Figaro|Le Figaro]]</ref>. ==== La [[w:Physiopathologie|Physiopathogénèse]]<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003448705002994 Suicide et schizophrénie : évaluation du risque et prévention], Science direct</ref> ==== Il existe trois forme de physiopathogénèse: le ''Complexe d'Hermione'' (système de pare-exciation déficient), le ''Complexe de Perséphone'' (angoisse de perte d'objet) et le ''Complexe de l’albatros'' (désengendrement). [[w:Jenny Aubry|Jenny Aubry]] a étudié les cas des enfant séparés: "Si la mère est névrosée, il témoigne de sa culpabilité, si elle est perverse, il lui sert de fétiche et si elle est psychotique, il incarne sa forclusion<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-lacanien-2006-2-page-41.htm Quelques remarques sur les notes de Lacan à Jenny Aubry et sur la psychose chez l’enfant de Patrick Barillot], Cairn</ref>." ===== Le [[w:Hermione|Complexe d’Hermione]] ===== Le suicide parental et/ou [[w:André Green|Complexe de la mère morte]] appliqué au deuil après suicide correspond au Complexe d’Hermione, suicidée sur le corps de Pyrrhus. Pour Freud, « le traumatisme arrive car quand les systèmes (psychiques) ne sont pas en mesure de lier les quantités d'excitation qui arrivent, les conséquences de l'effraction du pare stimuli s'installent d'autant plus facilement. Et l'expérience demeure dans le psychisme comme un corps étranger<ref>[http://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2008-1-page-97.htm Parcours dans la mucoviscidose : un cas clinique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://heroscontemporainsetpsychanalyse.wordpress.com/2012/10/02/les-chevaliers-du-zodiaque-ou-lhyperactivit/ Les chevaliers du zodiaque ou l'hyperactivité], Angélique Christaki</ref>. » Dans ''Suicide maternel et psychanalyse'', [[w:Marie-Frédérique Bacqué|Marie-Frédérique Bacqué]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-79.htm Suicide Maternel et psychanalyse], Cairn</ref>, constate chez l'enfant endeuillé un système [[w:Homéostase|homéostatique]] de ''pare-excitation'' déficient, provoquant un sentiment agressif d{{'}}''abandon'' et un ''fonctionnement limite de la personnalité'' ne permettant pas d'atteindre la castration mais l'entrainant vers une pente suicidaire, non pas par ''identification'' mais pour rechercher la ''mêmeté'' ou l{{'}}''indifférenciation'', jusqu'à devenir ''greffon salvateur'', ''bébé antidépresseur'' parfois jusqu'à la ''stérilité psychogène.'' (Voir aussi syndrôme de [[w:Pénélope|Pénélope]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2003-2-page-129.htm Héroïnes de Miguel de Azambuja], Cairn</ref>. ===== Le Complexe de Perséphone ===== L’[[w:angoisse de perte d'objet|angoisse de perte d'objet]] de Perséphone<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-jungiens-de-psychanalyse-2003-3-page-21.htm Déméter au divan par Mariette Mignet], Cairn</ref> ou [[w:Caliban (Shakespeare)|Caliban]] (la perte d’objet est la définition du risque, comportement anobjectal, coefficient beta), angoisse d'abandon pour Sigmund Freud, dépression anaclitique pour [[w:René Spitz|René Spitz]] ou « syndrome d'abandon » pour [[w:Germaine Guex|Germaine Guex]] permet de distinguer les angoisses de castration et de morcellement, « organisations » plus fragiles dites « caractérielles », mettant sans cesse à l'épreuve la sollicitude et la bienveillance des adultes, par des attitudes provocatrices et agressives. La dépression obsessionnelle est par excellence le deuil du père, ou d'un objet assimilé au registre paternel. [[w:Octave Mannoni|Octave Mannoni]] parle de ''Complexe de Caliban'', d'[[w:Complexe d'infériorité|infériorité]] et de dépendance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2002-2-page-181.htm La figure de l’otage Les organisateurs inconscients de la violence en institution], Cairn</ref> (Figure de l'otage, Complexe du martyr, "moi sans soi"<ref>[https://www.cairn.info/revue-pardes-2007-1-page-123.htm La substitution et la sollicitude, Comment [[w:Emmanuel Lévinas|Lévinas]] reprit [[w:Martin Heidegger|Heidegger]] par [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]]], Cairn</ref>). Charlotte de Parseval, fait un parallèle entre les concepts de ''Faux self'' de Winnicott, de ''Nourrisson savant'' de Ferenczi, et de ''Personnalité comme si'' d'Hélène Deutsch, ou psychose ordinaire ([[w:Jacques Alain Miller|Jacques Alain Miller]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2010-5-page-405.htm Une clinique de la psychose ordinaire], Cairn</ref>{{,}}<ref>https://www.causefreudienne.net/la-psychose-ordinaire/</Ref>) survenant par crainte de l'effondrement du à un traumatisme narcissique précoce d'empiètement qu’il ne peut modifier de façon ''alloplastique'' (en modifiant son environnement). Le suicide, pris dans une pulsion infanticide/parricide<ref>[http://www.le-gout-de-la-psychanalyse.fr/?p=3011 Les aléas de la fonction paternelle dans la névrose et dans la perversion], Le goût de la psychanalyse</ref>, devient alors fantasme d'excommunicationn, de licenciement, d'expulsion ou ''auto-éjaculation homoérotique''<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2011-4-page-117.htm Suicide ou meurtre en famille ? de Delphine Bonnichon], Cairn</ref>. Freud dit de l’identification dans la perte d’objet dans « Deuil et Mélancolie » (1917) à propos de l’énigme du suicide: « Dans les deux situations les plus opposées de la passion amoureuse et du suicide, le moi est subjugué par l’objet, quoique de deux manières totalement différentes<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2001-1-page-75.htm État amoureux et perte d’objet de Robert C. Bak], cairn</ref>. » Pour Lacan, l’amour est comique, menteur et une forme de suicide qui fait "de l’Un avec du deux ou du plus d’Un<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-139.htm Au nom de l’amourt par Stéphane Habib], Cairn</ref>. ===== Le Désengendrement ===== Les Complexes de l'Albatros (inhibition intellectuelle chez l'enfant intellectuellement précoce) et de ''Complexe de [[w:Jonas|Jonas]]'' (phobie de sa propre puissance), ou du ''Complexe d'[[w:Actéon|Actéon]]'' (phobie du savant, qui viole du regard dit [[w:Sartre|Jean-Paul Sartre]]), c’est en se transformant de façon ''autoplastique'' (tendance à la désorganisation inhibée par un clivage narcissique défensif et mutilant), que son ''hypermaturation intellectuelle'' peut devenir ''prostitution de l'intellect''<ref>[https://www.cairn.info/revue-travail-genre-et-societes-2003-2-page-129.htm Je suis une prostituée, tu seras un travailleur du sexe. Une filiation impossible], Cairn</ref> masquant sa ''déprivation'' et son ''amaturité'' cachée s'appuyant sur l{{'}}''introjection mimétique'' de son parent. L{{'}}''enfant thérapeute'' devient alors, selon Jean-Francois Rabain un ''Bébé météo'' à ne pas confondre avec le [[w:Bébé-médicament|Bébé-médicament]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-2-page-122.htm De Ferenczi à Winnicott : le « nourrisson savant » et le faux self], Cairn</ref>. Pour [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]], le désir d’avoir un enfant chez les hommes, leur permet de « s’assurer de leur fécondité, se démarquer de leur propre père ou médiatiser un deuil<ref>La Part du père de Geneviève Delaisi de Parseval. (Points Essais, Seuil, 2004).</ref>. » La [[w:Grossesse|grossesse]] et l'interruption ont la même fonction symbolique : un inconcevable<ref>Interruption volontaire de grossesse : la dynamique du sens de Bernadette Rondot-Mattauer. (Erès, 2003).</ref>{{,}}<ref>[http://www.psychologies.com/Famille/Maternite/Desir-d-enfant/Articles-et-Dossiers/Les-enjeux-inconscients-de-l-IVG Les enjeux inconscients de l'IVG], Psychologies</ref>, une pure contingence, bloquant « la double illusion de la complétude narcissique, de la bisexualité réalisée, du fantasme d’auto-engendrement : hermaphrodite dans son désir, à la fois homme et femme, le sujet n’est finalement plus ni homme ni femme (objet a ne remplissant pas sa fonction de bouche-trou, [[w:Association du syndrome de Benjamin|Syndrome de Benjamin]]) », dit Fern Nevjinsky<ref>[http://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2009-5-page-467.htm Que sait-on de l’infertilité psychogène masculine ?], Cairn</ref>. ==== L’Autogénèse ==== Il existe trois formes d'auto-engendrement : le ''Complexe de Périandre'' (inceste), le ''Complexe de Télémaque'' (invocation de la loi) et le ''Complexe de Prométhée'' (épistémophilie du paranoïaque). ===== Le [[w:Périandre|Complexe de Périandre]] ===== [[w:Paul-Claude Racamier|Paul-Claude Racamier]] oppose à l’Œdipe, l’[[w:Inceste|inceste]], pare-feu libidinal, irreprésentable, vide de la pensée, blanche et opératoire, engrènement de l’ordre de l’agir, du faire agir, circuit interactif, entrainant un ''saccage psychique''  (M. Hurni et G. Stoll), désobjectalisant ([[w:André Green|André Green]]), provoquant une indifférenciation transsubjective, antifantasmatique, antisymbolique. Désengendré, la représentation et le sexe du père sont exclus ». La mère tarit le désir de l'enfant devenu fétiche, « ''objet - non-objet'' » faire-valoir, instrument narcissique et combat le sexuel comme son ennemi le plus intime<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-page-179.htm L’incestuel dans les familles], Cairn</ref>. Le père devient la mère, la mère devient le père, le gendre devient le fils, l'enfant devient le parent pour poursuivre et revivifier une relation de séduction narcissique. Les enfants appellent leurs parents par leurs prénoms et la porte de leur chambre ne ferme pas. Il s’apparente au [[w:Complexe de Jocaste|Complexe de Jocaste]], qu'on retrouve chez certaines mères ménopausées (écoulement, assèchement)<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=RFP_694_1013 Quel retour d'âge ? Début de la fin ou fin du début ? par Jacqueline Schaeffer], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2001-2-page-99.htm Le réveil des angoisses précoces d'écoulement ou d'assèchement lors de l'apprentissage de la propreté Nathalie Barabé], Cairn</ref>. ===== Le [[w:Télémaque|Complexe de Télémaque]] ===== [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]] l'oppose au complexe d'Œdipe. Il est transgresseur et "invocateur de la loi". L'autorité d'Ulysse, si elle s’autorécuse, devient incestuelle, dit [[w:Hannah Arendt|Hannah Arendt]], « pure culture de la pulsion de mort » et « omnipotence inanitaire », dit Racamier. Faire preuve d’humour en tenant à l’enfant un « discours plein de sollicitude consolatrice », repulsionnalise l’interdit et entraine une coexcitation sadomasochique incestuelle. Cette transgression expropriante dont parlent [[w:Georges Bataille|Georges Bataille]], [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] ou [[w:Mehdi Beladj Kacem|Mehdi Beladj Kacem]] invoque aussi le [[w:cynisme|cynisme]] stoîcien et son influence sur la psychanalyse. Il faut différencier le trait d’esprit ('''épargne de l’énergie psychique''' qui, par l’inhibition ou la répression, sert à maintenir inconsciente l’idée qu’exprime le mot d’esprit), du comique ('''épargne de représentation''', en mettant en scène de façon condensée des idées qui nécessiteraient une grande mobilisation de moyens verbaux) et de l’humour ('''épargne d’affects''')<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-1-page-63.htm L'humour des patients schizophrènes], Cairn</ref>. Le rire, comparable à la "honte anale (qui) vise le lâchage du contrôle (est une) honte sexuelle (qui) joint la décharge du rire à la décharge orgastique, et l’exhibition du rire rejoint l’exhibition du sexe féminin"<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2017-1-page-45.htm Le propre de la femme ? Le rire de Sarah et de Déméter], Cairn</ref>. Le triomphe et la culpabilité d’avoir inversé l’ordre générationnel personnifie dans le réel, pour le parent, l’autorité grand-parentale. Pour Freud, la crédulité de l’amour devient une source importante, sinon la source originelle de l’autorité. Le rapport moi/surmoi devient homomorphe (pareil et pas pareil) au rapport enfant/parent. (voir aussi la comparaison avec [[w:Louis XIV|Louis XIV]] de [[w:Fénelon|Fénelon]] dans [[w:Les Aventures de Télémaque (Fénelon)|Les Aventures de Télémaque (Fénelon)]], la grâce du suicide chez [[w:Catherine Millot|Catherine Millot]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2005-2-page-163.htm La passion du renoncement], Cairn</ref>, l'optimisme de [[w:Candide|Candide]] de [[w:Voltaire|Voltaire]] et la vision du videngeur d'excréments chez [[w:Yuko Mishima|Yuko Mishima]]) ===== Le [[w:La Psychanalyse du feu|Complexe de Prométhée]] ===== Prométhée signifie "celui qui pense avant" ; son jumeau, [[w:Épiméthée|Épiméthée]], "celui qui pense après". [[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] en fait un complexe d'Œdipe de la vie intellectuelle<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/WALTER.pdf Les mecanismes d'adaptation, de défense, de refoulement, Les sequelles psycho-pathologiques lors du deuil après suicide, Walter Brest], Psydoc France</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2012-1-page-19.htm Épistémophilie par Jacques Arveiller], Cairn</ref> [[w:Sublimation (psychanalyse)|épistemophilique]] (Lacan dit passion (terreur sans langage pour Anne Dufourmantelle) ''trumaine plutomythique'')<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/L14MBousseyroux.pdf Un savoir comme enfer de Michel Bousseyroux], Champ Lacanien France</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-topique-2014-2-page-63.htm La pulsion épistémophilique : la place du savoir dans le transfert. Freud, Klein et Lacan], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2005-2-page-109.htm La vie sexuelle de Catherine M. ou la nouvelle « Belle au bois dormant »], Cairn</ref>. Pour Mireille Guittonneau-Bertholet, les théories infantiles sur le suicide, dans un jeu paradoxal permettent de s’auto-engendrer et se déprendre de la figure d’un mort à laquelle ils ont été précocement identifiés<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref> (reliance et déliance, sublimation, sexualité inactive ou homosexuelle après avoir converti sa sexualité inachevée (infantile) en une pulsion de savoir : voir [[w:Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci|Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci]], le syndrome de ''Trouble brain injury'' de Ruth Bettelheim, fille du psychanalyste suicidé<ref>[http://www.huffingtonpost.com/ruth-bettelheim/tbi-military-suicides_b_2108976.html Why Heroes Kill Themselves], Huffington Post</ref>, du [[w:graffiti|graffiti]] et des réseaux sociaux, désaffiliations provisoires, sans rémunération et/ou contre amende, du nom-du-père, père symbolique ou père mort<ref>[https://sejed.revues.org/185 Le psychologue à l’écoute des adolescents tagueurs], SEJED</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2009-2-page-176.htm Scarifications et « représentation de peau »], Cairn</ref> « car en s'autographiant par la mise en scène d'un fantasme d'auto-engendrement, en surinvestissant (sentimental<ref>[http://leplus.nouvelobs.com/contribution/1237869-valerie-trierweiler-ou-le-tragique-surinvestissement-sentimental-des-femmes.html Valérie Trierweiler, ou le tragique surinvestissement sentimental des femmes], L’Obs</ref>, législatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-archives-de-politique-criminelle-2012-1-page-31.htm Le surinvestissement législatif en matière d’infractions sexuelles], Cairn</ref>, numérique<ref>[https://www.cairn.info/devoreurs-d-ecrans--9782804702748-p-105.htm Le surinvestissement des espaces numériques], Cairn</ref>, éducatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-internationale-de-l-education-familiale-2009-2-page-117.htm Le surinvestissement des mères coréennes pour la réussite scolaire des enfants], Cairn</ref>, sportif<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2006-2-p-157.htm Le surinvestissement sportif : une parade contre l’angoisse de la perte et l’intolérance à l’affect], Cairn</ref> ou du savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2002-1-p-105.htm De la phobie scolaire au surinvestissement du savoir], Cairn</ref>) sa signature, oraison funèbre et ex voto »<ref>''Psychologie de la violence », de Christophe Bormans, 2004</ref> puisque comme dit Lacan : « c’est aussi bien, comme désir de mort en effet que l'homme s'affirme pour les autres que dans l’ambiguïté vitale de son désir immédiat ». L’Ecclésiaste le dit : « qui accroît sa science, accroît sa douleur. » ==== La Parthénogénèse ==== Il existe trois forme de parthénogénèse: le ''Complexe d'Hamlet'' (autocannibalisme), le ''Complexe de Thésée'' (parricide) et le ''Syndrôme de l'imposteur'' (cannibalisme). ===== [[w:Hamlet|Le Complexe d'Hamlet]] ===== Pour [[w:Goethe|Goethe]], la pensée d'Hamlet inhibe son acte<ref>[http://www.lacanquotidien.fr/blog/wp-content/uploads/2013/11/LQ-349.pdf Hamlet et le désir], Lacan Quotidien</ref>. Il pense trop... et trop bien<ref>https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2002-1-page-221.htm</ref> avant de tuer Claudius (le frère de son père) qui a réalisé, son désir œdipien inconscient devenant alors ''phallus réel'', signifant en tant que tel de la puissance et cause de sa procrastination, après la rencontre avec le fantôme de son père qui entraîne sa "dépersonnalisation". Lacan fait dire à la mère d’Hamlet : « Je suis ce que je suis, avec moi il n’y a rien à faire, je suis une vraie [[w:Stade génital|génitale]]. Moi, je ne connais pas le deuil. Elle est simplement un con béant. Quand l’un est parti, l’autre arrive. C’est de cela qu’il s’agit. » Hamlet n’a plus de désir pour Ophélie qui a cessé d’être une femme mais une mère potentielle, ou le ''phallus''. (Voir le [https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2009-2-page-221.htm Complexe d’Oblomov]) L'indisponibilité de l'enfant désengendré par l’[[w:Incorporation (psychanalyse)|incorporation]] du parent de même sexe, détournant la composante incestueuse au profit d’un fantasme d’auto-engendrement, système défensif évitant le clivage, le deuil de la scène primitive et le sentiment d’usurpation, devient [[w:Parthénogénése|parthénogénétique]] (autocannibalique) et entraine un [[w:cannibalisme|cannibalisme]] polysémique rompant la chaîne transgénérationnelle en avalant son père et en s'accaparant sa toute-puissance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-69.htm Apport de la clinique des groupes à la métapsychologie : le concept d’auto-engendrement de Jean-Bernard Chapelier], Cairn</ref>. » Selon René Kaës, « la parthénogénèse (reproduction monoparentale ou mono-engendrement) est une défense contre l'horreur de l'inceste : si l'enfant nait d'un coït, ce sera l'enfant abhorré d'un désir incestueux pour le frère : par un rêve de parthénogénèse, la mère à venir se protège des dangers de ce désir<ref>Le travail de l'Inconscient, de René Kaës, p.26</ref> », par la diffraction du transfert<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-109.htmLes configurations du lien, la chaîne associative groupale et la diffraction du transfert, par Claudine Vacheret], Carin</ref>. On retrouve aussi cette description dans le ''Complexe de la Madone et de la Putain''. ===== Le [[w:Thésée|Complexe de Thésée]] ===== Dans son livre [[w:Dostoïevski et le parricide|Dostoïevski et le parricide]], Freud évoque le masochisme appaisé par les situations les plus dures qui deviennent comme de véritables respirations<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2007-2-page-119.htm Dostoïevski et le parricide : du fantasme de l'amour du père au fantasme du meurtre du père par Annie Miriel], Cairn</ref>. Jean Ménéchal y voit la digestion du père par l'enfant endeuillé par le suicide<ref>[https://www.cairn.info/psychanalyse-et-politique--9782749209234-p-137.htm Le complexe de Thésée], Cairn</ref>. De la perversion à la sublimation (élévation symbolique d’un objet imaginaire à la dignité de la Chose réelle<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2002-2-page-57.htm À quoi sert la sublimation ? de Baldine Saint Girons], Cairn</ref>), s'élabore une structure hystérique et parricide<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2009-1-page-5.htm L’hystérie masculine], Cairn</ref>, basée sur l'alliance et une fraternité dépassant le cadre familial. Pour [[w:René Girard|René Girard]], on ne peut aimer que par le truchement d'un tiers (ici le père), dans une configuration triangulaire et nihiliste, dont le désir mimétique et dégradé entraine la violence (ici le suicide)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2007-2-page-93.htm Pour en finir avec le XXe siécle et ses éternelles adolescences, un roman d’éducation pour le troisième millénaire], Cairn</ref>. [[w:Bertrand Gervais|Bertrand Gervais]] y voit un [[w:Trouble dissociatif de l'identité|Trouble dissociatif de l'identité]] labyrinthique. [[w:René Kaës|René Kaës]] dit : "Comme Œdipe, Thésée part a la recherche de son pére et le tue, mais il sait au départ qui est son pére, et c’est indirectement qu’il provoque sa mort. De même. l'inceste de Thésée est déplacé de la mére sur une belle soeur ; celui de [[w:Phèdre (mythologie)|Phèdre]] est déplacé du fils sur le beau-fils, [[w:Hippolyte fils de Thésée|Hippolyte]]. Dans le destin de Thésée, le complexe d'Œdipe ne s'exprimera que par des actes manqués. Dans celui d'Œdipe, il ne s'exprimera que par des actes réussis (la réussite de l’acte fait l’échec du rapport)<ref>''Le travail de l'Inconscient: Textes choisis, présentés et annotés'', de René Kaës, Didier Anzieu</ref>." ===== Le [[w:Syndrome de l'imposteur|Syndrome de l'imposteur]] ===== L'indisponibilité et l'incorporation cannibalique et nihiliste est assimilable a ce que [[w:Karl Marx|Marx]] et [[w:Georg Lukacs|Lukacs]] nomment la [[w:réification|réification]] (traitement du sujet comme un objet propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]]), contre laquelle, le suicide devient un pur acte précurseur philosophique (Lukacs) et une ambiguïté parfaite contre la [[w:Société du spectacle|Société du spectacle]] ([[w:Guy Debord|Debord]]). Elle est le fruit de la ''Société du Suicide'' ([[w:Jean Baudrillard|Baudrillard]]), de l’exclusion des journalistes dans l’entre-deux-guerres (Naït-Bouda)<ref>[http://communication.revues.org/5104 Vers un journalisme réifié ?], Revues</ref> et du processus d'[[w:Autofiction|autofiction]] de la [[w:Téléréalité|téléréalité]] (Bouchoux<ref>[http://www.huffingtonpost.fr/2015/10/21/mon-roi-maiwenn-echapper-pervers-narcissique_n_8345592.html "[[w:Mon Roi|Mon Roi]]" de [[w:Maïwenn|Maïwenn]]: Comment échapper au pervers narcissique ?], The Huffington Post</ref>), propre au perfectionnisme sceptique<ref>[https://www.cairn.info/stanley-cavell-le-cinema-et-le-scepticisme--9782130569732.htm Stanley Cavell, le cinéma et le scepticisme par Élise Domenach], Cairn</ref> qui voit dans l’[[w:Identification projective|Identification projective]] au ''faux père réel'', brouillage du [[w:Trait unaire|Trait unaire]], une forme de [[w:Perversion narcissique|perversion narcissique]], dont la victime machiavélique<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2007-1-page-203.htm Virilité en perte par Silvia Lipp], Cairn</ref> devient, selon Simone Korff-Sausse, [[w:cannibalisme|cannibale]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-3-page-943.htm Hystérie et perversion : le pervers narcissique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/article.php?ID_REVUE=RFP&ID_NUMPUBLIE=RFP_673&ID_ARTICLE=RFP_673_0925 Korff-Sausse S., La femme du pervers narcissique, Revue française de psychanalyse 2003/3, Volume 67, p. 925-942.], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://fr.sott.net/article/3963-La-victime-oubliee-les-femmes-qui-aiment-les-psychopathes], Sott</ref>. L'imposteur doit à tout prix imposer sa certitude à la crédulité de sa victime<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2010-1-page-11.htm L'imposture héroïque], Cairn</ref>. On pense aussi au cas de maternités ou de paternités imposées. « Le héros est celui qui peut impunément être trahi » (Séminaire VII, p. 370)<ref>[https://lacanquotidien.fr/blog/2012/01/on-en-parle/ On en parle], Lacan quotidien</ref>. Les cas de « rage narcissique » ([[w:Heinz Kohut|Heinz Kohut]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2004-2-page-41.htm Le crime d’amour-propre], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.adhes.net/la-perspective-de-heinz-kohut-paul-denis.aspx La perspective de Heinz Kohut Paul Denis], Adhes</ref>, de « narcissisme criminel » ([[w:Jean-Claude Romand|Jean-Claude Romand]]) fait dire à Freud, les criminels, conscients de leur culpabilité, passent à l’acte pour se libérer d'une tension afin d’obtenir une punition masochiste, elle aussi, source de soulagement contre la souffrance (le signifiant représente le sujet pour un autre signifiant, emprisonnement du sens non délivré par le surmoi, diplopie du moi, surimpression paraphrénique), propre aux affabulations de [[w:Pinocchio|Pinocchio]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-lettre-de-l-enfance-et-de-l-adolescence-2010-1-page-59.htm L’impensable mise à mort de Pinocchio. Quand la fiction échappe à son créateur], Cairn</ref>. "Dans cette occurrence, l’objet interne externalisé est frappé à mort. À l’inverse, lors du suicide mélancolique, c’est l’objet externe internalisé qui est visé", dit Guy Roger<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2005-1-page-9.htm Désir d’amour], Cairn</ref>. === L’Épiphylogénèse === La question de la transmission du comportement suicidaire à l'enfant endeuillé par le suicide nous conduit à étudier dans ''Technique et Temps : La faute d’[[w:Épiméthée|Épiméthée]]'', ce que [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] nomme épiphylogénèse (passé hérité qui n'a pourtant pas été vécu, évolution non génétique supposant l’hérédité de l’acquis<ref>[http://arsindustrialis.org/epiphylogénèse- Epiphylogenese], Ars Industrialis</ref>, principe transformisme lamarckien<ref>https://www.youtube.com/watch?v=_0_OVnxfhw0</ref>) dite rétention tertiaire ou la mémoire extériorisée dans des organes mnémotechniques, des mémoires matérialisées et extériorisées (arraisonnées, stockées dans des mémoires artificielles, Autre de l’Autre réel, impossible, faire qui nous échappe<ref>[http://www.aefl.fr/pdf_journees_sinthome/Commentaire%20de%20la%20Leçon%20IV%20du%20séminaire%20Le%20Sinthome.pdf Le sinthome], AEFL</ref>.), font disparaître ce qui est là, remodèle le rapport de la conscience à ce qui arrive et supprime notre disponibilité au monde<ref>[http://rhuthmos.eu/IMG/pdf/benjamin_fernandez_le_temps_du_monde.pdf Benjamin Fernandez, Le temps du monde], Ruthmos</ref>. Nous partirons de la Parthénogénèse (stade oral) pour comprendre comment l’auto-désengendrement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2003-4-page-27.htm# La parentalité : un nouveau concept pour quelles réalités ?, la place du père de François Marty], Cairn</ref> de l'enfant (stade anal) peut conduire à sa réification dit syndrome du kamikaze (stade phallique). ==== L’Auto-désengendrement ==== Il existe trois formes d'auto-désengendrements: ''Complexe de Laïos'' (avortement), ''Complexe de Médée'' (infanticide) ou ''Effet Golem'' (maltratance). ===== Le [[w:Laïos|Complexe de Laïos]]<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=RFP_G1993_57N2_0551 Le complexe de Laïos selon John Munder Ross par Cléopâtre Athanassiou], Cairn</ref> ===== La réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par l’[[w:Infanticide|euthanasie néonatale]]<ref>[http://www.ieb-eib.org/fr/pdf/etude-je-ne-veux-pas-de-cet-enfant.pdf Je ne veux pas de cet enfant], Leb eib</ref>. [[w:Roland Gori|Roland Gori]] voit l’objet de la haine du sujet comme la part innommable de l’être échappant à l’appropriation, à jamais perdue au champ de la parole<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2003-2-page-131.htm Lacan, le symbolique et le signifiant de Patrick Juignet], Cairn</ref> et du langage. Pour Kyveli Vogiatzoglou, c’est la passion du sujet qui vise la destruction de son objet, pour éradiquer l'autre, jusqu'à forclore le terme même de l'altérité, en se retirant du lien social, fondé sur le symbolique, pour abolir la différence, et « lutter contre la désorganisation psychique et la dépersonnalisation (la non-reconnaissance de l’image spéculaire dit Lacan)», dit Paul Denis<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=la-haine La Haine], SPP</ref>. Elle peut conduire au [[w:Syndrome de Silverman|Syndrome de Silverman]] et au [[w:Syndrome de Münchhausen par procuration|Syndrome de Münchhausen par procuration]]. ===== Le [[w:Médée|Complexe de Médée]] ===== Il illustre la réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par la réduction de l'enfant à un statut de pur objet réel, expression d’un fantasme d’[[w:anéantissement|anéantissement]] (question du sacrifice et de l’auto-appropriation chez [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]] et [[w:Jan Patočka|Jan Patočka]]<ref>[https://www.bnf.fr/fr/mediatheque/jean-luc-marion-et-la-question-du-sacrifice Jean-Luc Marion et la question du sacrifice], BNF</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/le-complexe-de-medee--9782804159054.htm Le complexe de Médée : Quand une mère prive le père de ses enfants par Alain Depaulis], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2009-3-page-111.htm Infanticide et sacrifice], Cairn</ref>, rupture avec une solitude radicale ([[w:Dilemme du hérisson|Dilemme du hérisson]]), pas par l’isolement mais par la mise en spectacle de son irréductible différence, abréaction pour devenir « plus femme que mère », car « elle est tout simplement ailleurs » dit [[w:Caroline Eliacheff|Caroline Eliacheff]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-1-page-77.htm Médée, une lecture de la haine à la lumière de la clinique mère-enfant]</ref>. Elle est [[w:nécrophile|nécrophile]] (Sophie de Mijolla-Mellor), lorsque son prédateur, fasciné par son [[w:inquiétante étrangeté|inquiétante étrangeté]] (doute qu’une chose soit morte ou vivante), provoque un trouble désorganisateur du sujet dont la perversion se déplace du fétichisme (qui a trait au désaveu, ou à la « répudiation ») au masochisme originaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-multitudes-2006-2-page-53.htm Deleuze avec Masoch par Éric Alliez], Cairn</ref>, ne pouvant s’appliquer à lui-même cette exigence de jouir sans libido, selon Lacan, il l’applique au partenaire, objet d’un forçage (sadisme, exhibitionnisme, voyeurisme, nécrophilie) par le [[w:racket|racket]], l’escroquerie, âme de la perversion<ref>[http://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-2-page-55.htm La (dé)mission perverse de Pierre Bruno], Cairn</ref>. Lacan disait "La perversion est l'essence de l'homme"<ref>[L’enfant, objet a de Lacan d'Alain Vanier], Cairn</ref>. Le viol sans prédation devient un viol induit, non captatif, sans rapt ni prise d'otage, sans effet de surprise, qui répond à un désir de corruption, de "dévastation" et de "déprédation" sans désir d'appropriation<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2008-3-page-193.htm 2008/3 La perversion narcissique, un concept en évolution d'Alberto Eiguer], Cairn</ref>. A contrario, la mère abandonneuse, abandonnée dans un premier temps, reproduit son propre déracinement, en livrant ses enfants à un orphelinat, à une vie sans père ou à une famille dysfonctionelle. L’enfant abandonné, fruit d'un abandon social, est jalousé, a fortiori. ===== Le Complexe de l’[[w:Homo sacer|Homo sacer]] ===== L'[[w:Effet Golem|Effet Golem]], l'[[w:Acrasie|acrasie]], le management de l'intimidation, du découragement du plus faible<ref>[https://www.cairn.info/revue-sociologie-2015-2-page-195.htm?fbclid=IwAR3C1sYHiSKEVvS1yAQCZorrQh0xYaK6jhDTjgvWdBsQtSy-9Rqmk3x3YhA# Que peuvent dire les suicides au travail ? Christian Baudelot et Michel Gollac], Cairn</ref>, proche du ''Complexe de Prospero'' (paternalisme agressif), [[w:Syndrome Queen Bee|Syndrome Queen Bee]] (patronnes misogynes), ''Effet spectateur'' (ou [[w:Effet du témoin|Effet du témoin]]) ou [[w:Effet Matthieu|Effet Matthieu]] (encouragement du plus fort)<ref>[http://www.arches.ro/revue/no01/no1art8.htm Le passé de l'idéalisation Une interprétation du mythe de Pygmalion, de Corneliu Irimia], Arches</ref>, cette réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}, [[w:solipsisme|solipsisme]], emprise, [[w:Pensée désidérative|Pensée désidérative]] [[w:biais d'optimisme|biais d'optimisme]] ou [[w:Effet Pygmalion|Effet Pygmalion]], perversion d'une jouissance sans libido (Verbicide<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-du-genre-2015-1-page-135.htm Verbicide. D’une vulnérabilité qui n’ose dire son nom d'Alyson Cole], Cairn</ref>, [[w:Faute de la victime (psychologie)|Faute de la victime]], non-dénonciation, disqualification [[w:Performativité|performative]]<ref>[https://www.idixa.net/Pixa/pagixa-1409071659.html], Idixa</ref>, [[w:Gaslighting|détournement cognitif]], déconstruction, dissociation, contre-initiation allant jusqu'au crime pédophile, voir aussi le ''Complexe de Cratée''), [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] de la possessivité car le gouffre entre le désir, toujours irréalisé et la demande toujours croissante pour tenter en vain de le rejoindre, ne peut alors que s’accroître. Son besoin d’emprise et de passiver, veut l’inclure comme une mère peut porter un enfant<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2008-3-page-7.htm Le fantasme de Pygmalion, de Sophie de Mijolla-Mellor], Cairn</ref>. Lacan parle de jalouissance<ref>[http://www.franceculture.fr/emission-l-essai-et-la-revue-du-jour-la-jalousie-une-passion-inavouable-revue-la-clinique-lacanienne Jacques Munier], France Culture</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-93.htm La jalouissance et le plaisir], Cairn</ref> (mélange de la jalousie de la jouissance de l’autre et du plus-de-jouir<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-197.htm Le plus-de-jouir par Gisèle Chaboudez], Cairn</ref> que confère le sentiment de jalousie, une rivalité imaginaire) voir « le ravage<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2016-4-page-123.htm « La putain de sa mère ». Insulte et ravage dans le lien mère-fille], Cairn</ref> (jalousie inconsciente, cf [[w:Le Ravissement de Lol V. Stein|Le Ravissement de Lol V. Stein]])<ref>[http://atelierlorient.viabloga.com/files/BrassierLolVstein.pdf Lol V.Stein : du ravissement au ravage], Atelier Liorent</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2005-5-page-1613.htm Marguerite Obscur Donnadieu Duras : “ Sublime, forcément sublime ”], Cairn</ref>. Cette haine jalouse invente l’[[w:Objet a|Objet a]] et le fait surgir comme une tentative de rendre plus consistant l’objet du fantasme dans la névrose hystérique (ennui de vivre, « L’hystérique dit toujours la vérité. », dit Lacan). », nous dit Marie-Francois Haas<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/Haas_M46.pdf La folie de l’amour : spécificité de la jalousie féminine], Champ lacanien</ref>, comme dans les cas de [[w:Trouble oppositionnel avec provocation|Trouble oppositionnel avec provocation]]. L'œdipe inversé contrarié, est un conflit avec le parent de sexe opposé et un désir homosexuel pour celui de même sexe, par défaut, qui lui est ensuite refusé, à nouveau. Pour [[w:Ariane Bilheran|Ariane Bilheran]], le [[w:Harcèlement|harcèlement]] (asymétrique) qui s'oppose au conflit (symétrique), même sexuel ou physique (torture), reste psychologique, vise la destruction psychologique et l'autodestruction, propre à la démocratie, où le harcèlement physique et sexuel, est interdit, propre au modèle totalitaire du sort de l'Homo sacer, décrit par [[w:Giorgio Agamben|Giorgio Agambenn]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-psy-2015-2-page-141.htm Harcèlement sexuel et traumatisme psychique : aspects cliniques et psychopathologiques Khadija Chahraoui], Cairn</ref>. Christian Sommer rappelle que son étymologie arabe ''herse'', suggère qu'elle doit d'abord et pendant longtemps se faire précéder par une charrue<ref>[https://www.cairn.info/mythologie-de-l-evenement--9782130654339-page-165.htm Épilogue. Après le dernier dieu de Christian Sommer], Cairn</ref>. On distingue harcèlement moral (calomnie, placard, dénonciation, divulgation, Disclosure), du harcèlement de rue (Catcalling, [[w:Stalking|Stalking]]: le « rejeté » pourchasse, le « rancunier » traque, se venge, terrorise, l' « âme-sœur » s’immisce, le « prétendant maladroit » va vers ceux en couple, le « prédateur » espionne, attaque). ==== L’[[w:Ontophylogenèse|Ontophylogénèse]] ==== La parenté phylogénétique, le rapport au tiers exclu protogénétique et la transformation finale ontogénétique, sont des causes endogamiques du suicide. Le rapport contextuel épigénétique, la transmission du non vécu ėpiphylogėnėtiques sont en revanche des effets exogamiques, où la séparation devient communication (stade oral primitif dans une perspective non kleinienne), ce que [[w:Simone Weil|Simone Weil]], après [[w:Platon|Platon]], nomme le [[w:Metaxu|Metaxu]], structure ontophylogénétique des EES. Il existe trois formes d'ontophilogénèse : le ''Syndrome de Bonnie & Clyde'' (identification à l’agresseur), l'Auto-réification (normopathie) et la ''Théorie du Kamikaze'' (devenir-media). ===== Le Syndrome de Bonnie & Clyde ===== L’[[w:Hybristophilie|Hybristophilie]] ou syndrome de Bonnie & Clyde, l’Enclitophilie, le [[w:Complexe de Cendrillon|Complexe de Cendrillon]] et ''[[w:Syndrome de Peter Pan|de Peter Pan]]'', participent au [[w:Identification à l'agresseur|processus d'Identification à l'agresseur]], propre à l’[[w:Hystérie|hystérique]], de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}} peut s’apparenter alternativement au syndromes de [[w:Syndrome de Stockholm|Stockholm]] et de [[w:Syndrome de Lima|Lima]]. L'auto-réfication peut devenir un [[w:Syndrome de Münchhausen|Syndrome de Münchhausen]] dans le cas du désir de [[w:Myrrha|Myrrha]] pour son père, avant d’être métamorphosée en arbre, se fissurant pour donner vie à l’enfant œdipien, [[w:Adonis|Adonis]] qui, à son tour, séduira [[w:Vénus|Vénus]]. [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]]<ref group=Note>Dans son [http://www.contretemps.eu/interventions/psychanalyse-théorie-sociale-psychanalyse-est-elle-facteur-émancipation article] « Le travail de la négativité. Une révision psychanalytique de la théorie de la reconnaissance », [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]] dit de la psychanalyse qu'elle a un potentiel normatif et un potentiel explicatif. Sur le plan normatif, elle permet de répondre à l’exigence de ne pas « présumer trop des forces rationnelles du sujet », de donner une place aux forces de liaison inconscientes non rationnelles du sujet.</ref> distingue la réification « authentique » et inconsciente (le génocide, la guerre, l’esclavage économique…) et la réification « fictive » consciente (présentation instrumentale de soi, prostitution, cruauté interpersonnelle<ref>[http://www.cairn.info/revue-du-mauss-2011-2-page-259.htm Réification et reconnaissance. Une discussion avec Axel Honneth], Cairn</ref> et tendresse<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1073.htm La pulsion de cruauté de Dominique Cupa], Cairn</ref> alternées par autoconservation (oralité, faim)<ref>[https://www.spp.asso.fr/publication_cdl/tendresse-et-cruaute/ Tendresse et cruauté], stp asso</ref>, pitié, syndrome d'[[w:Antigone|Antigone]] (désengendrement comme chez Marie-Antoinette ou Annie Ernaux, dont le refus de transmission vient d’un défaut de transmission), syndrome d'[[w:Ismène|Ismène]] (sœur résignée d’[[w:Antigone|Antigone]]) du trouble psychique des femmes occidentales, nées entre 1950 et 1965, dite « génération de la misère sexuelle<ref>[http://www.youscribe.com/catalogue/ressources-pedagogiques/litterature/theatre/antigone-et-ismene-ou-le-conflit-entre-la-revolte-et-la-sagesse-2396490 Antigone et Ismene ou le conflit entre la revolte et la sagesse], Youscribe</ref>. ») ===== Le [[w:Appel à Galilée|Syndrome de Galilée]] ===== Honneth s'interroge sur le concept d{{'}}''auto-réification'', comme oubli de la reconnaissance de soi<ref>[http://www.revue-mitwelt.fr/publication-honneth-la-reification-comme-oubli-de-la-reconnaissance-1.html Honneth: La réification comme oubli de la reconnaissance], Revue Mitwelt</ref>, attitude objectivante par rapport à sa propre subjectivité. La réification devient le fruit abîmé et pourri de cet oubli<ref>[http://www.implications-philosophiques.org/ethique-et-politique/philosophie-politique/le-concept-de-reification-comme-absence-et-oubli/ Le concept de réification comme absence et oubli], Implications philosophiques</ref>. On peut y voir ici une forme de [[w:Normopathie|Normopathie]] et d’allusion aux travaux de [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]], pour qui le « [[w:nihilisme|nihilisme]] », réduction de l'être à l'étant, corollaire de la « [[w:métaphysique|métaphysique]] » est « oubli de l'être », dans la [[w:technique|technique]] et où le Dasein serait un suicide qui dure toute la vie (volonté de puissance (Nietzsche), de volonté (Heidegger), de pureté ([[w:Bernard-Henri Lévy|Bernard-Henri Lévy]]) et d'oubli (Freud)) ; ou de [[w:Leo Strauss|Leo Strauss]], celui du [[w:positivisme|positivisme]] scientifique et l’[[w:historicisme|historicisme]], dans la lignée de [[w:Hegel|Hegel]] et d'[[w:Auguste Comte|Auguste Comte]]. ===== La Théorie du Kamikaze ===== L'homme dit non-civilisé ne serait alors pas un nihiliste qui nous renvoie au stade d'intrusion, de frustration, du miroir produisant fétichisme, addiciton et instrumentalisation. On pense au concept de Persona chez [[w:Carl Jung|Carl Jung]] et de ''Faux Self'' chez [[w:Donald Winnicott|Donald Winnicott]], à la deuxième peau des mannequins-chrysalides sans désir réel, auto-érotisés et narcissiques<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=trendy-sexy-et-inconscient-regards-dune-psychanalyste-sur-la-mode Trendy, sexy et inconscient. Regards d’une psychanalyste sur la mode], SPP</ref>, aux casques des [[w:Daft Punk|Daft Punk]] ou de Winslow Leach dans [[w:Phantom of the Paradise|Phantom of the Paradise]], à [[w:Frankenstein|Frankenstein]], à la [[w:Collection de squelettes du professeur Hirt|collection de squelettes juifs du professeur Hirt]], au [[w:Clonage|clonage]], au transsexualisme, indifférentiation qui « prend l’organe pour le signifiant, le pénis réel pour le phallus symbolique » (Lacan)<ref>http://trans.info.free.fr/sm%20mingot.pdf</ref>{{,}}<ref>https://mondesfrancophones.com/espaces/psyches/linteret-pour-la-psychanalyse-dans-les-travaux-de-judith-butler-entretien-avec-livio-boni/</ref>, à la mort de [[w:Socrate|Socrate]] et au concept de [[w:Buzz (marketing)|Buzz]] : le consommateur potentiel devient lui-même le média dit [[w:Laurent de Sutter|Laurent de Sutter]] ; le média devient l'objet de la communication et non son moyen, sur le modèle de la théorie des médias de [[w:Marshall McLuhan|Marshall McLuhan]].<ref>[https://diacritik.com/2017/01/12/laurent-de-sutter-le-kamikaze-est-comme-nous-un-etre-mediatique-le-grand-entretien/ Laurent de Sutter : «Le kamikaze est comme nous, un être médiatique» (Le grand entretien)], Diacritik</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-adolescence1-2010-2-page-331.htm Violon ». La tentative de suicide d’une adolescente : travail de deuil et sublimation], Cairn</ref>. ==== La [[w:Morphogenèse|Morphogenèse]] ==== Nous analyserons comment les enfants endeuillés par le suicide médiatisent leur rapport au parent suicidé par une volonté de savoir ([[w:épistémologie|épistémologie]] [[w:Morphogenèse|morphogénétique]]) (stade oral). L’enfant, comme dans les romans de [[w:Paul Claudel|Paul Claudel]], [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] ou [[w:Witold Gombrowicz|Witold Gombrowicz]], trahit le signifiant qu’il ne supporte plus (stade sadique oral dit de la morsure)<ref>[http://antioedipe.unblog.fr/2007/09/11/de-claudel-a-gombrowicz-ou-de-lacan-a-deleuze-deux-lectures-de-linconscient/ De Claudel à Gombrowicz, ou de Lacan à Deleuze-Guattari : la question de la dignité], Antioedipe</ref>, qui crée l'érosion du sujet et la question de son irremplaçabilité ([[w:Baïonnette intelligente|Baïonnette intelligente]]). Le concept de [[w:Champ_morphogénétique|Morphogenèse]]) de [[w:Ross Granville Harrison|Ross Granville Harrison]] et [[w:Alan Turing|Alan Turing]] qui ont influencé la ''[[w:Théorie des catastrophes|Théorie des catastrophes]]'' de [[w:René Thom|René Thom]], ''la généalogie morphologique du structuralisme'' de [[w:Jean Petitot (philosophe)|Jean Petitot]], la [[w:Formule canonique du mythe|Formule canonique du mythe]] de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] et la [[w:Théorie du chaos|Théorie du chaos]] nous interrogeront sur les stades de développement de l'EES, en prénatal (stade des sirènes), au stade oral (stade de la morsure) et anal (syndrome d'Ulysse). ===== Le Stade des sirènes ===== [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] y voit ''Le stade des sirènes. De la première alliance sonosphérique'' (olfactif/foetal chez [[w:Françoise Dolto|Françoise Dolto]]), en référence au personnage d'[[w:Ulysse|Ulysse]] (etymo. Oddyseus, "faché, énervé, hainteux"). L'oreille est l'orifice le plus important, le plus offert car il ne peut pas se clore (indépendance de la fonction symbolique<ref>[http://virole.pagesperso-orange.fr/NatStrucLSF.pdf La langue des signes des sourds], Benoit Virole</ref>). Devenir sourd est une castration qui fracture l'image spéculaire. La voix non entendue, qui reste en suspens créant des « mal-entendus » réduite à un ''flatus vocis'' qui ne peut que faire écho à celle des autres et les autres voix lui font écho<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-2-page-71.htm Psychanalyse et clinique de la surdité], Cairn</ref>. On pense au travaux de [[w:Francisco Goya|Francisco Goya]], [[w:Ludwig van Beethoven|Ludwig van Beethoven]], [[w:Helen Keller|Helen Keller]] et [[w:Thomas Edison|Thomas Edison]]. Pour [[w:Blaise Cendrars|Blaise Cendrars]], "Notre premier sens individuel est l’oreille qui perçoit les rythmes de notre vie particulière, individuelle. C’est pourquoi toutes les maladies commencent par des troubles auditifs qui sont, comme des éclosions de la vie sous-marine, la clé du passé et les prémices d’un devenir intarissable." {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Années 580 av. J.-C.|580 av J.-C.]]: [[w:Arignote|Arignote]], [[w:Myia|Myia]], [[w:Damo (philosophe)|Damo]], Telauges, Mnesarchus, enfants de [[w:Pythagore|Pythagore]] * [[w:Ier siècle av. J.-C.|Ier s av. J.-C.]] : [[w:Alexandre Helios|Alexandre Helios]], [[w:Cleopatre Selene|Cleopatre Selene]] et [[w:Ptolemee Philadelphe|Ptolemee Philadelphe]], de [[w:Cleopatre|Cleopatre]] et [[w:Marc-Antoine|Marc-Antoine]]. * [[w:30|30]]-[[w:65|65]] : [[w:Claudia Augusta|Claudia Augusta]], fille de [[w:Néron|Néron]] et [[w:Poppée|Poppée]] * [[w:XVIe siècle|XVIe s]] : [[w:Yodo-dono|Yodo-dono]], [[w:Hatsu|Hatsu]] et [[w:Oeyo|Oeyo]], filles de [[w:Azai Nagamasa|Azai Nagamasa]] ** [[w:Oda Nobutada|Oda Nobutada]], [[w:Oda Nobukatsu|Nobukatsu]], [[w:Oda Nobutaka|Nobutaka]], [[w:Oda Katsunaga|Katsunaga]], [[w:Hashiba Hidekatsu|Hashiba Hidekatsu]], [[w:Tokuhime|Tokuhime]], enfants d'[[w:Oda Nobunaga|Oda Nobunaga]] * [[w:1863|1863]] : [[w:Victor Basch|Victor Basch]], fils de Fanny et [[w:Raphaël Basch|Raphaël Basch]] * [[w:1886|1886]] : [[w:Alexandre Stavisky|Alexandre]], fils d'Emmanuel Stavisky * [[w:1891|1891]] : Hélène Marie et Marcelle, filles de [[w:Georges Boulanger|Georges Boulanger]] * [[w:1893|1893]] : Frédéric et Mireille, enfants de [[w:Berty Albrecht|Berty Albrecht]] * [[w:1895|1895]] : Lucie, Louise, Marie, Denis, enfants de [[w:Jean Coutrot|Jean Coutrot]] * [[w:1900|1900]] : [[w:Wolfgang Pauli|Wolfgang Pauli]], fils de Bertha Camilla Schütz * [[w:1901|1901]] : [[w:Vassili Djougachvili|Vassili]] et [[w:Svetlana Allilouïeva|Svetlana]], fils de [[w:Nadejda Allilouïeva-Staline|Nadejda Staline]] * [[w:1903|1903]] : Anne&Claude-Pierre, de [[w:Pierre Brossolette|Pierre Brossolette]]<ref>[http://teleobs.nouvelobs.com/la-selection-teleobs/20150521.OBS9375/les-enfants-de-pierre-brossolette-temoignent.html Les enfants de Pierre Brosolette temoignent], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1905|1905]] : Arnold, Adelheid et Olaf, enfants de [[w:Kurt Gerstein|Kurt Gerstein]] * [[w:1919|1919]] : Étienne, fils de [[w:Nicole Girard-Mangin|Nicole Girard-Mangin]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1927|1927]] : François, fils de [[w:Jean Fontenoy|Jean Fontenoy]] * [[w:1930|1930]] : Paul, Régis et Pierre de [[w:Gérard Blain|Gérard Blain]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Wolf Rüdiger Hess|Wolf]], de [[w:Rudolf Hess|Rudolf Hess]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Jacques Chessex|Jacques Chessex]] * [[w:1945|1945]] : Cristina Graetz, fille d'[[w:Arthur Koestler|Arthur Koestler]] * [[w:1921|1921]] : [[w:Harald Quandt|Harald Quandt]], fils de [[w:Magda Goebbels|Magda Goebbels]] * [[w:1928|1928]] : [[w:Manfred Rommel|Manfred Rommel]], fils d'[[w:Erwin Rommel|Erwin Rommel]]<ref>[http://www.atlantico.fr/pepites/erwin-rommel-fils-revele-details-mort-593102.html Manfred Rommel revele les details de la mort de son pere], Atlantico</ref> * [[w:1941|1941]] : Maria et Géza, enfants de [[w:Pál Teleki|Pál Teleki]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Slobodan Milosevic|Slobodan Milosevic]], de Svetavar&Stanislava M. * [[w:1944|1944]] : [[w:Marie-France Pisier|Marie-France Pisier]] et [[w:Évelyne Pisier|Évelyne Pisier]] * [[w:1966|1966]] : [[w:en:Paula White|Paula White]] * [[w:1966|1966]] : [[w:Christophe Castaner|Christophe Castaner]] * [[w:1973|1973]] : [[w:Rula Jebreal|Rula Jebreal]] * [[w:1982|1982]] : [[w:Édouard Bergeon|Édouard Bergeon]] * [[w:1986|1986]] : [[w:Charlotte Le Bon|Charlotte Le Bon]], de Richard Lebon * [[w:2021|2021]] : Carmen Vázquez-Vigo, de [[w:Verónica Forqué|Verónica Forqué]] * [[w:2022|2022]] : Léo, de [[w:Philippe Nassif|Philippe Nassif]] |} ===== Le Stade de la morsure ===== [[w:Donald Winicott|Donald Winicott]] parle de stade sadique-oral, stade de la morsure qui suit le stade du suçotement, origine de toute agressivités et de l'amour-lutte<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1157.htm Freud, Winnicott : les pulsions de destruction ou le goût des passerelles], Cairn</ref>. Freud évoque "La migraine hystérique accompagnée d’une sensation de pression au sommet du crâne, aux tempes et autre, (…) caractéristique des scènes où la tête est maintenue dans un but de pratiques buccales (...) (comme la) répulsion envers les photographes qui emploient un serre-tête"<ref>[http://www.regardconscient.net/archives/0212jakobfreud.html Freud et son père], Regard conscient</ref>{{,}}<ref>[http://ww3.haverford.edu/psychology/ddavis/ffliess.html Masson, J.M. (1985) (Ed.) The complete letters of Sigmund Freud to Wilhelm Fliess, 1887-1904. Cambridge: Harvard University Press. excerpts.]</ref><ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm Oralité et attachement par Bernard Brusset], Cairn</ref>. Mais pour vivre, il faut pouvoir intriquer les différents aspects des pulsions : non plus seulement « avaler », comme c’était le cas in utero, mais bien « téter », avec ce que cela comporte de fermeture du sphincter buccal, puis, très vite, « mordre », avec ce que cela comporte de délicat discernement entre l’objet que l’on tète et celui que l’on mord. Les mères qui continuent à allaiter un bébé au cours et au-delà de sa poussée dentaire peuvent témoigner de cette intrication. [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] dit : "Le désir libidinal de sucer s’accompagne du but restrictif d’aspirer, de vider, d’épuiser en suçant (fécondation orale)<ref>cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm</ref>." La mise en acte ou [[w:Abréaction|abréaction]] délivre le sujet des "connexions de la paranoïa avec le complexe fraternel [qui] se manifestent par la fréquence des thèmes de filiation, d'usurpation, de spoliation, comme sa structure narcissique se révèle dans les thèmes plus paranoïdes ([[w:Délire d'interprétation de Sérieux et Capgras|interprétations délirantes]]) de l'intrusion, de l'influence, du dédoublement, du double et de toutes les transmutations délirantes du corps. Ces connexions s'expliquent en ce que le groupe familial, réduit à la mère et à la fratrie, dessine un complexe psychique où la réalité tend à rester imaginaire", nous dit Lacan. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1930|1930]] : [[w:André Malraux|André Malraux]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Roland Jaccard|Roland Jaccard]] * [[w:1945|1945]] : [[w:Isabel Allende Bussi|Isabel Allende Bussi]], fille de [[w:Salvador Allende|Salvador Allende]] * [[w:1965|1965]] : [[w:Yoshiki|Yoshiki]] * [[w:1966|1966]] : Fils de [[w:Raoul Lévy|Raoul Lévy]] * [[w:1977|1977]] : Suse Baader, fille d'[[w:Andreas Baader|Andreas Baader]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Bertrand Boulin|Bertrand]] et [[w:Fabienne Boulin-Burgeat|Fabienne]], de [[w:Robert Boulin|Robert Boulin]] * [[w:1981|1981]] : David, fils de Harry Mayen et [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1986|1986]] : Catherine Hutin-Blay, fille de [[w:Jacqueline Roque|Jacqueline Roque]] * [[w:1993|1993]] : Pierre Beregovoy, fils de [[w:Pierre Beregovoy|Pierre Beregovoy]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1993|1993]] : Juan-Pablo et Manuela, enfants de [[w:Pablo Escobar|Pablo Escobar]] * [[w:1994|1994]] : Yvonne, fille de [[w:Stella Goldschlag|Stella Goldschlag]] * [[w:1994|1994]] : Henri, fils de [[w:François de Grossouvre|François de Grossouvre]]<ref>[http://tempsreel.nouvelobs.com/societe/20100522.OBS4325/la-these-du-suicide-de-francois-de-grossouvre-contestee.html La these du suicide contestee], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1998|1998]] : Pierre&Arthur, fils de [[w:Nino Ferrer|Nino Ferrer]] * [[w:2003|2003]] : Bérangère, Bastien&Blanche, de [[w:Bernard Loiseau|Bernard Loiseau]] * [[w:2009|2009]] : Enfants de [[w:Roh Moo-hyun|Moo-hyun]] * [[w:2010|2010]] : Milo et Alice, enfants de [[w:Krisztina Rády|Krisztina Rády]] * [[w:2013|2013]] : Roman de [[w:Kate Barry|Kate Barry]] * [[w:2015|2015]] : Paul Inder, fils de [[w:Lemmy Kilmister|Lemmy Kilmister]] * [[w:2017|2017]] : fils de [[w:Mark Fisher|Mark Fisher]] |} ===== Le Syndrome d'Ulysse ===== Le ''Syndrome d'[[w:Ulysse|Ulysse]]'' ([[w:Trouble de stress post-traumatique|stress]] extrême du personnage prototypique du [[w:Thriller (genre)|Thriller]] et enfant endeuillé par le suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}) de sa mère, déchet « sans nom dans aucune langue » fait du symptôme, s’acte en « tombant », hypocondrie narcissique, holophrastique (quand toute une phrase s'exprime par un seul mot), a-syntaxique et inter-jective comme maladie « [[w:Extimité|extime]] », « possédé » de lui-même et enfermé dehors, victime du [[w:Syndrome du voyageur|Syndrome du voyageur]] », loin de sa « domiciliation existentielle », rejoignant son corps pulsionnel et s’incarnant en « se déclarant », tout en « échouant », comme « colis en souffrance », « différentiel » entre le réel du corps et le « parlêtre »<ref>[http://www.ecarts-identite.org/french/numero/article/art_124-125.pdf Écarts d'identité N°124/125, Corps en exil, Le corps de l’exil, à l’épreuve de la psychanalyse, de Paul-Laurent Assoun, Professeur de psychologie à l’Université de Paris VII.]</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Ctimène|Ctimène]], enfants d'[[w:Anticlée|Anticlée]] et [[w:Laërte|Laërte]] (ou [[w:Sisyphe|Sisyphe]]). * [[w:Antiga one|Antigone]], [[w:Ismène|Ismène]], [[w:Étéocle|Étéocle]]&[[w:Polynice|Polynice]], d'[[w:Œdipe|Œdipe]]&[[w:Jocaste|Jocaste]]. * [[w:Thésée|Thésée]], fils d'[[w:Égée|Égée]]. * [[w:Démophon|Démophon]] et [[w:Acamas|Acamas]], fils de [[w:Phèdre|Phèdre]] * [[w:Nausinoos|Nausinoos]] et [[w:Nausithoos|Nausithoos]], fils d'[[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Calypso|Calypso]] * [[w:Déipyle|Déipyle]], fille d'[[w:Adraste|Adraste]] * Hyllos, fils d'[[w:Héraclès|Héraclès]] et [[w:Déjanire|Déjanire]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Eumélos|Eumélos]] et Périmèle, d'[[w:Alceste|Alceste]] et [[w:Admète|Admète]] * Polydora, d'[[w:Antigone (Phthie)|Antigone]] et [[w:Pélée|Pélée]] * Thersite, Onchestos, Prothoos, Céleutor, Lycopée et Mélanippos, d'[[w:Agrios fils de Porthaon|Agrios]] * Coronos, Phocos et Priasos, fils de [[w:Cénée|Cénée]] * [[w:Méléagre|Méléagre]], [[w:Tydée|Tydée]], Mélanippe, [[w:Déjanire|Déjanire]]&Agélas, de [[w:Althée|Althée]]&[[w:Œnée|Œnée]]. * Les enfants d'[[w:Alcinoé|Alcinoé]] </small> |} {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1857|1857]] : ''[[w:Madame Bovary|Madame Bovary]]'' : Berth * [[w:1877|1877]] : ''[[w:Anna Karenine|Anna Karenine]]'', Serge * [[w:1919|1919]] : ''[[w:Ulysse (roman)|Ulysse]]'' : Milly Bloom, fille de [[w:Leopold Bloom|Leopold Bloom]] * [[w:1924|1924]] : ''[[w:Le Village indien|Le Village indien]]'' d'[[w:Ernest Hemingway|Ernest Hemingway]]<ref>[http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:hMeZjwme-E4J:departments.knox.edu/engdept/commonroom/Volume_Eleven/number_two/Gutmann-Gonzalez/print.doc+&cd=2&hl=fr&ct=clnk&gl=fr&client=safari A Lacanian Analysis of Hemingway’s Search for Spirituality], Mandy Gutmann-Gonzalez</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=FsyjQ0f00zE#t=2.207140679 Running from crazy 2013 Running Documentary National Geographic Full New]</ref> * [[w:1949|1949]] : ''[[w:Mort d'un commis voyageur|Mort d'un commis voyageur]]'', Biff et Wily Loman * [[w:1954|1954]] : ''[[w:À l'est d'Éden|À l'est d'Éden]]'', Adam Trask * [[w:1958|1958]] : ''[[w:Sueurs froides|Sueurs froides]]'' : [[w:Kim Novak|Madeleine Elster]], de Carlotta Valdes * [[w:1963|1963]] : ''[[w:X-Men|X-Men]]'' : [[w:Rachel Summers|Rachel Summers]] fille de [[w:Jean Grey|Jean Grey]] ** Akihiro fils de [[w:Wolverine|Wolverine]] puis Akihira ** Lilith Drake fille de Zofia Dracula ** Morph fils de [[w:Moira McTaggert|Moira McTaggert]] ** Ana et Alyosha, de [[w:Kraven le chasseur (Serguei Kravinoff)|Kraven le chasseur]] ** Nathan Summers, fils de Madelyne Prior * [[w:1972|1972]] : ''Prisoner on the Hell Planet'', [[w:Art Spiegelman|Art Spiegelman]] * [[w:1976|1976]] : ''[[w:La Petite Fille au bout du chemin|La Petite Fille au bout du chemin]], Ryan Jacobs * [[w:1977|1977]] : ''[[w:Largo Winch (bande dessinée)|Largo Winch]]'' : June, fille de Dennis Tarrant * [[w:1979|1979]] : ''Papa'', [[w:Aude Picault|Aude Picault]] * [[w:1984|1984]] : ''[[w:XIII (bande dessinée)|XIII]]'' : Sean Mullway, fils de Francis Mullway * [[w:1984|1984]] : ''[[w:Dragon Ball Z|Dragon Ball Z]]'' : [[w:Sangohan|Sangohan]]&[[w:Trunk|Trunk]] * [[w:2002|2002]] : ''[[w:The Slaughter Rule|The Slaughter Rule]]'' : [[w:Ryan Gosling|Roy Chutney]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Le Retour du roi|Le Retour du roi]]'', [[w:Boromir|Boromir]]&[[w:Faramir|Faramir]], de [[w:Denethor|Denethor]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:X-Men 2|X-Men 2]]'' : Cypher & [[w:William Stryker|Jason Stryker]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Capturing the Friedmans|Capturing the Friedmans]]'' : D, J et Arnold Friedman * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Lost : Les Disparus|Lost : Les Disparus]]'' : [[w:James Ford (Lost, les disparus)|James Ford]] * [[w:2005|2005]] : ''Falaises'' d'[[w:Olivier Adam|Olivier Adam]] : Adam * [[w:2005|2005]] : ''[[w:Caché|Caché]]'' : Walid Afidr, fils de Majid * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Ne le dis à personne (film)|Ne le dis à personne]]'' : Margot Beck * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Heroes|Heroes]]'' : [[w:Nathan Petrelli|Nathan]] et [[w:Peter Petrelli|Peter]], fils d'[[w:Arthur Petrelli|Arthur Petrelli]] * [[w:2008|2008]] : ''[[w:Gran Torino|Gran Torino]]'' : Mitch et Steve </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2008|2008]] : ''[[w:The Wrestler|The Wrestler]]'' : [[w:Evan Rachel Wood|Stephanie]], de [[w:Mickey Rourke|Mickey Rourke]] * [[w:2011|2011]] : ''L'Étoile polaire'' : [[w:Sara Forestier|Sara Forestier]] * [[w:2011|2011]] : ''[[w:Detachment|Detachment]]'' : [[w:Adrian Brody|Adrian Brody]], Henry Barthes * [[w:2012|2012]] : ''[[w:Mad Men|Mad Men]]'' : Nigel, de Lane Pryce * [[w:2014|2014]] : ''[[w:Trois souvenirs de ma jeunesse|Trois souvenirs de ma jeunesse]]'' : Paul Dédalus * [[w:2015|2015]] : ''[[w:Un amour impossible|Un amour impossible]]'' : Pierre Angot * [[w:2015|2015]] : ''[[w:007 Spectre|007 Spectre]]'' : Madeleine Swann, de [[w:Mr. White (James Bond)|Mr. White]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Fais de beaux rêves (film, 2016)|Fais de beaux rêves]]'': [[w:Massimo Gramellini|Massimo Gramellini]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Gods of Egypt|Gods of Egypt]]'' : [[w:Horus|Horus]], de [[w:Isis|Isis]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Bates Motel (série télévisée)|Bates Motel]]'' : Alex Romero * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres (film)|Une Histoire d'Amour&de Ténèbres]]'' : Amir Tessler * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Captain Fantastic|Captain Fantastic]]'' : Bodevan,Kyelyr,Vespyr,R,Z,N * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Sage Femme (film)|Sage Femme]]'' : Claire Breton * [[w:2017|2017]] : ''[[w:How to get away with murder|How to get away with murder]]'' : Wes Gibbins, Asher Millstone * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Marilyne|Marilyne]]'' : Marilyne, ([[w:Adeline d'Hermy|Adeline d'Hermy]]) * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Paris, etc.|Paris, etc.]]'' : Marianne et Mathilde * [[w:2017|2017]] : ''[[w:D'après une histoire vraie (film)|D'après une histoire vraie]]'' : Delphine et Elle ([[w:Mathilde Seigner|Mathilde Seigner]], [[w:Eva Green|Eva Green]]) * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance|Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance]]'' : Polly & Jane * [[w:2018|2018]] : ''[[w:The Haunting of Hill House|The Haunting of Hill House]]'' : Steven, Shirley, Theodora, Luke, Nell * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Cold War (film, 2018)|Cold War]]'' : le fils de Zula * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Bird Box (film)|Bird Box]]'' : Olympia * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Sérotonine (roman)|Sérotonine]]'' : Florent-Claude * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Climax (film, 2018)|Climax]]'' : fils d'Emmanuelle * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Leaving Neverland|Leaving Neverland]]'' : Wade Robson * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Vice (film, 2018)|Vice]]'' : Lynne Cheney * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Ad Astra|Ad Astra]]'' : Roy McBride * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Stillwater (film)|Stillwater]]'' : Allison Baker ([[w:Abigail Breslin|Abigail Breslin]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Le Pouvoir du chien|Le Pouvoir du chien]]'' : Peter Gordon ([[w:Kodi Smit-McPhee|Kodi Smit-McPhee]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Impardonnable (film, 2021)|Impardonnable]]'' : Ruth Slater </small> |} == Conclusion : Le Risque [[w:Hyperlexie|Hyperlexique]], la sublimation épistémophile == La graphomanie hyperlexique suicidaire expose l'EES au ''Complexe d’Albion'', une impudence dégénérative du signifiant, au ''Stade de l’Expulsion'', débâcle du stade sadique anal, négation du désaveu, et au ''Complexe de Moïse'', rencontre du risque, perte d’objet et devenir-signifiant. === Le Complexe d’Albion === Les organes mnémotechniques d’indisponibilité de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} comme le [[w:smartphone|smartphone]] (syndrôme de [[w:Saint-Denis|Saint-Denis]]<ref>https://laregledujeu.org/2018/04/12/33718/smartphones-avons-nous-perdu-la-tete/</ref>, le Pad [[w:Bloomberg|Bloomberg]], le transhumanisme de [[w:Ray Kurzweil|Ray Kurzweil]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-pensee-de-midi-2010-1-page-18.htm La vie rêvée de l’homme], Cairn</ref> et le [[w:tatouage|tatouage]] traditionnel ou contemporain : « comme à l’envers de l’hystérie qui, par le symptôme de conversion détourne le corps comme site somatique, de sa consistance charnelle. Ce que le sujet hystérique abhorre, c’est le corps comme chair, comme matière corporelle animale brute, charnelle. Il y a du "se faire objet", c'est-à-dire une position activement passive et douloureuse qui si elle se décline comme plaisir, est une économie pulsionnelle qui s’apparente au masochisme, pour élever un bout de corps au rang de signifiant (stade anal)<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2004-4-page-159.htm Le tatouage, de la parure à l’œuvre de soi], Cairn</ref> », nous dit Simone Wiener. On retrouve ce type de profil impudent chez les acteurs<ref>http://www.pierresullivan.com/Site/Psychanalyse/Entrees/2009/9/27_Limpudique_Albion.html</ref>. La haine (volonté de détruire l’objet du désir du sujet) devient non pas lien interne trop sadomasochique mais désengendrement, nihilisme éthique, désaveu du pulsionnel entrainant des rapports de commensalité (se nourrissant l’un l’autre) pour « oublier » et transformer ses origines, négation (égocentrisme, manière ''divine'' de penser selon Nietzsche, retour dissolvant de la pulsion pour Kristeva) ou dénégation (action d'ignorer ou de faire semblant d'ignorer un objet). L’autorité devient le produit du travail de deuil originaire, nous dit André Carel<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-,page-21.htm Le processus d’autorité], Cairn</ref> qu'on pourrait qualifier d'anti-intraception selon le mot de [[w:Theodor W. Adorno|Theodor W. Adorno]]. Pour Lacan, la colère, nervosité née de l'anxiété, « c’est quand les petites chevilles ne vont pas dans les petits trous », c’est l’affect qui surgit quand du réel se met en travers des entreprises du désir ; la haine est liée au signifiant: "étouffer". La honte, affect social surgit du dévoilement de l’extime, ce qui me constitue sans être moi, désir, chose, objet, symptome, qui ont ce que voile cet autre affect qu’est la pudeur. La rage narcissique, pendant agressif de la honte, dont le moteur est l'opprobre, se ramène à l’[[w:exhibitionnisme|exhibitionnisme]] (dont la finalité est l’effroi<ref>[http://www.oedipe.org/prixoedipe/2014/abelhauser Alain Abelhauser Mal de femme. La perversion au féminin], Oedipe</ref>, Attention seeking) sans bornes du Soi [[w:mégalomane|mégalomane]] ([[w:Narcissisme malfaisant|Narcissisme malfaisant]]), [tandis que] le trouble fondamental à l’origine de la rage se rattache à l’omnipotence de cette structure narcissique <ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-5-page-1657.htm</ref>. L’impudence, impitoyable ou effrontée, honte nouvelle corrélative d’une dégénerescence du signifiant maitre (Nom-du-père, S1)<ref>[http://www.association-freudienne.be/pdf/11-Note.lecture.LES_AFFECTS_LACANIENS.pdf. Les affects lacaniens, Colette Soler], Association freudienne</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1815|1815]] : [[w:Napoléon Alexandre Berthier|Napoléon Alexandre Berthier]]: fils de [[w:Louis-Alexandre Berthier|Louis-Alexandre Berthier]] * [[w:1844|1844]] : [[w:Ludwig Boltzmann|Ludwig Boltzmann]]: Arthur, Ida, Elsa * [[w:1889|1889]] : [[w:Jean Cocteau|Jean Cocteau]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2006-4-page-421.htm À travers les livres], Cairn</ref>, fils de Georges Cocteau * [[w:1937|1937]] : [[w:Jane Fonda|Jane Fonda]], fille d'[[w:Henry Fonda|Henry Fonda]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/people-anglo-saxons/jane-fonda-explique-pourquoi-sa-mere-s-est-suicidee-407892 Jane Fonda explique pourquoi sa mère s'est suicidée], Closer</ref> * [[w:1945|1945]] : Doon et Amy Arbus, filles de [[w:Diane Arbus|Diane Arbus]]<ref>[http://www.tabletmag.com/jewish-arts-and-culture/83088/the-other-arbus The other Arbus], Tabletmag</ref> * [[w:1945|1945]] : [[w:David Milch|David Milch]]<ref>[http://www.slate.fr/story/107571/fou-ecrire-serie-geniale Faut-il être fou pour ecrire une serie geniale], Slate</ref> * [[w:1956|1956]] : [[w:Michèle Bernier|Michèle Bernier]], fille du [[w:Professeur Choron|Pr. Choron]]&Odile Vaudelle * [[w:1962|1962]] : [[w:Alexandre Diego Gary|Alexandre]], de [[w:Jean Seberg|Jean Seberg]] et [[w:Romain Gary|Romain Gary]]<ref>[http://www.lemonde.fr/societe/article/2009/05/26/diego-gary-sa-vie-a-lui-enfin_1198160_3224.html Sa vie à lui, enfin], Le Monde</ref> * [[w:1962|1962]] : [[w:Demi Moore|Demi Moore]], de Dan Guynes * [[w:1964|1964]] : [[w:Emilie Deleuze|Emilie Deleuze]], fille de [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]]<ref>[http://www.lesinrocks.com/2008/04/15/cinema/actualite-cinema/interview-demilie-deleuze-regarde-ces-ciels-1151929/ Interview d’Emilie Deleuze – “Regarde ces ciels”], Les Inrockuptibles</ref> * [[w:1964|1964]] : [[w:Melissa Gilbert|Melissa Gilbert]] * [[w:1961|1961]] : [[w:Élisabeth Borne|Élisabeth Borne]] * [[w:1964|1964]] : [[w:Olivier Delacroix|Olivier Delacroix]] * [[w:1970|1970]] : [[w:Axel Kahn|Axel]], [[w:Jean-François Kahn|Jean-François]], [[w:Olivier Kahn|Olivier]]: de [[w:Jean Kahn-Dessertenne|Jean Kahn-Dessertenne]] * [[w:1971|1971]] : [[w:Stanislas Merhar|Stanislas Merhar]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/stanislas-merhar-evoque-avec-pudeur-le-suicide-de-son-pere_a94984/1 Stanislas Merhar évoque avec pudeur le suicide de son père], Pure People</ref> </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1973|1973]] : [[w:Chloé Delaume|Chloé Delaume]] * [[w:1978|1978]] : [[w:Amoreena Winkler|Amoreena Winkler]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Jared Leto|Jared Leto]] * [[w:1980|1980]] : Anais Guertin-Lacroix * [[w:1981|1981]] : Boris Eustache, fils de [[w:Jean Eustache|Jean Eustache]]<ref>[http://www.revuezinzolin.com/2013/08/boris-eustache-suis-je-le-gardien-de-mon-pere/ Boris Eustache : Suis-je le gardien de mon père ?], Revue Zinzolin</ref> * [[w:1987|1987]] : [[w:Ronda Rousey|Ronda Rousey]] * [[w:1993|1993]] : William, Willie et Lydia Zavatta, d'[[w:Achille Zavatta|Achille Zavatta]] * [[w:1999|1999]] : [[w:Arnold et Willy|Arnold et Willy]] : Tyler Lambert, fils de [[w:Dana Plato|Dana Plato]] * [[w:1999|1999]] : Nicolas Buffet, fils de [[w:Bernard Buffet|Bernard Buffet]]<ref>[http://www.parismatch.com/Culture/Livres/franoise-sagan-nicolas-buffet-alcool-143654 Survivre à des parents terribles (Deuxième partie)], Paris Match</ref> * [[w:2009|2009]] : Jordan Chandler fils d'[[w:Evan Chandler|Evan Chandler]] * [[w:2011|2011]] : Nastya Carax, fille de [[w:Katerina Golubeva|Katerina Golubeva]] (et [[w:Leos Carax|Leos Carax]]) * [[w:2014|2014]] : Zelda Williams, de [[w:Robin Williams|Robin Williams]]<ref>[http://www.dailymail.co.uk/tvshowbiz/article-3223757/Zelda-Williams-posts-moving-message-year-father-Robin-Williams-s-suicide.html Zelda Williams posts moving messages], Dailymail</ref> * [[w:2014|2014]] : [[w:Les Filles d'à côté|Filles d'à côté]]: Romain&Jim, fils de [[w:Thierry Redler|Thierry Redler]] * [[w:2016|2016]] : Madison&Mackenzie, filles de [[w:Dave Mirra|Dave Mirra]] * [[w:2017|2017]] : Pauline, fille de [[w:Jean-Michel Lambert|Jean-Michel Lambert]] * [[w:2020|2020]] : [[w:Mehdi Belhaj Kacem|Mehdi Belhaj Kacem]] </small> |} === Le Stade de l’Expulsion === « Les altérations du discours témoignent d’un ''devenir signifiant'' de ces mots et donc de la transformation que le Moi a dû concéder à sa participation à l’expérience hallucinatoire, partie essentielle du processus du rêve, comme du processus analytique, nous dit [[w:Jean Claude Rolland|Jean Claude Rolland]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2007-4-page-1223.htm Le « devenir signifiant ».], Cairn</ref>. » Une forme de rage ou de va-tout, qui peut devenir une prise de risque, inespérée ou perte d’objet, nous disent [[w:Anne Dufourmantelle|Anne Dufourmantelle]]<ref>[http://www.lemonde.fr/m-perso/article/2016/10/19/faut-il-comme-trump-jouer-son-va-tout_5016604_4497916.html Faut-il, comme Trump, jouer son va-tout ?], Le Monde</ref> ou [[w:Baldine Saint Girons|Baldine Saint Girons]]<ref>[http://www.theses.fr/1992PA100017 Fiat lux : une philosophie du sublime], Theses</ref>, candidature pare-excitation ou identification paradoxale, selon [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]]<ref>[http://rue89.nouvelobs.com/2016/11/15/trump-melenchon-kempf-legion-dhonneur-les-arts-lettres-265659 Trump, Mélenchon, Kempf, la Légion d’honneur et les Arts et Lettres], Nouvel Observateur</ref>, proche de l’acting out. Dans la saga [[w:Star Wars|Star Wars]], Shmi Skywalker ne pouvant rien dire du père d'[[w:Anakin Skywalker|Anakin Skywalker]] (métaphore paternelle, [[w:Gatekeeping|Gatekeeping]]<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-critiques-de-therapie-familiale-2015-1-page-35.htm</ref>, provoque chez son fils la Forclusion du nom du Père, l'investit comme ''objet-secours-sauveur'' (voir le triangle dramatique "persécuteur-sauveur-victime", de [[w:Stephen Karpman|Stephen Karpman]]). Il ne peut pas diriger ses ressentiments contre cette mère trop aimante, non complétée par un Père qui puisse médiatiser le rapport d'Anakin à sa mère<ref>[https://www.cairn.info/star-wars-au-risque-de-la-psychanalyse--9782749216188.htm Star Wars au risque de la psychanalyse, Dark Vador, adolescent mélancolique ?], Cairn</ref>.{{,}}<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Starwars : la chute du côté « obscure » de la Force], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.scienceshumaines.com/dark-vador-chez-le-psy_fr_26074.htmlDark Vador chez le psy], Sciences Humaines</ref> La mort de Shmi, entraine la perte d’objet, l’oubli nécessaire, la prise de risque, la toute-puissance d'Anakin, sa tentative de cicatrisation, le risque d'effondrement psychique immobilisé par ''gèle'' provoque en lui un fonctionnement ''pervers'', une ''agonie primitive'', une ''terreur agonistique'' ([[w:Terreur nocturne|Terreur nocturne]], [[w:Paralysie du sommeil|Paralysie du sommeil]]), un ''court-circuit'' et un ''collapsus topique''<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Star Wars], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=9182 Adolescences, états critiques du moi], SPP</ref> dans une fuite et une prise d’autonomie. Selon Arthur Leroy<ref>[http://www.franceinter.fr/depeche-retour-aux-sources-de-la-mythologie-star-wars Retour aux sources de la mythologie Star Wars], France Inter</ref>, « [[w:Dark Vador|Dark Vador]] s’est enveloppé de sa peur initiale et, par son apparence, la fait partager aux autres ». Ferenczi dit que certaines formes d’[[w:asthme|asthme]] peuvent parfois prendre le sens d’une tentative de suicide. L'[[w:Étoile de la mort|Étoile de la mort]], clin d'eil à la ''La Voix des airs'' de [[w:René Magritte|René Magritte]], excorporation surréaliste, inerte et métonymique de l'absence de tranmission devenue démission du personnage suicidaire questionne sa relation à sa descendance, Pour Jacques Roisin, le suicide de la mère de Magritte : "C'est comme si les actions réalisées jusqu'alors par les uns et les autres n'avaient fait que déployer des lignes d'influence d'une force centripète. Le temps suivant avait été celui d'une force centrifuge"<ref>[http://www.levif.be/actualite/belgique/magritte-ce-jeune-tyran/article-normal-24253.html Magritte, ce jeune tyran], Le Vif</ref>{{,}}<ref>[http://www.szondiforum.org/m506.rtf René Magritte, un destin particulier de la pulsion scopique], Szondiforum</ref>{{,}}<ref group=Note>Le débordement par la jouissance et l'invasion du signifiant provoque le morcellement. « Tout le symbolique est réel » (comme dans l’[[w:Autisme|Autisme]], impossible de faire semblant); auto-érotisme archaïque antérieur au [[w:Stade du miroir|stade du miroir]] (Lacan énonce : « L’œil et le regard, telle est pour nous la schize dans laquelle se manifeste la pulsion au niveau du champ [[w:scopique|scopique]] » (Voir ce que nous ne pouvons pas voir, [[w:Méduse (mythologie)|La Méduse]]) où "le regard est au-dehors, je suis regardé, c'est-à-dire je suis tableau") où le corps-organisme apparaît morcelé, avec ses sensations et perceptions désorganisées et sans unité et dont la « fonction, sociale, [la maladie mentale], c’est l’ironie (...) à la racine de toute relation sociale. » Lire [http://lacanian.memory.online.fr/AQuinet_Troureg.htm Le trou du regard, d'Antonio Quinet]</ref>{{,}}<ref>[http://auriol.free.fr/psychanalyse/affaire_entendue.htm Affaire Entendue par Bernard Auriol>, Cairn</ref>. On peut y voir l'origine du [[w:Coît interrompu|Coît interrompu]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-45.htm# Le symptôme sexuel et son effet « neurasthénique » par Gérard Pommier], </ref> lié à l’[[w:asexualité|asexualité]] (impuissance ou Un puis Sens - masochiste de la libido sans objet<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2001-2-page-93.htm Hypothèses sur le masochisme par Jacques Sédat], Cairn</ref>) au [[w:Stade autoérotique|Stade autoérotique]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-2-page-251.htm L’asexualité, phénomène contemporain ?], Cairn</ref> de l'effet de pousse-à-la-femme<ref>[http://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-63.htm Du fantasme au pousse-à-la-femme, la psychose], Cairn</ref>. Il relance alors son désir par l’[[w:Aphanisis|Aphanisis]]. Elisabeth Ventura dit que le comédien fait l’expérience de la métamorphose du corps, médium de l’incarnation du verbe, pour transmettre l’expérience du sublime, comme symbolisation<ref>[http://www.theses.fr/2012PA100103 Le sublime du comédien], thèses</ref>. La mise en scène de Dolore (souffrance, ''en italien''), amuïssement du fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]], le personnage principal de l'opéra de [[w:Giacomo Puccini|Giacomo Puccini]], correspond lui à ce qu’[[w:Herbert Marcuse|Herbert Marcuse]] nomme une désymbolisation répressive, symbole du ''Ratage de l'Œdipe'', du Surmoi incestueux qui n'atteint pas la castration et entraine la régression vers les stades oral et anal (stade phallique). (Voir aussi [[w:Liste de suicides dans une œuvre d'opéra|Liste de suicides dans une œuvre d'opéra]]). {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1900|1900]] : Kristof, fils de [[w:Sándor Márai|Sándor Márai]] * [[w:1904|1904]] : Dolore fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]] ([[w:Daniel Auteuil|Daniel Auteuil]], [[w:Elli Medeiros|Elli Medeiros]]) * [[w:1914|1914]] : [[w:Béatrix Beck|Béatrix Beck]] * [[w:1918|1918]] : [[w:Jeanne Modigliani|Jeanne]], fille de [[w:Jeanne Hébuterne|Jeanne]] et [[w:Amedeo Modigliani|Amedeo Modigliani]] * [[w:1924|1924]] : [[w:Maud Linder|Maud Linder]] fille de [[w:Max Linder|Max Linder]]<ref>[http://www.telerama.fr/cinema/max-linder-l-histoire-tragique-d-un-genie-comique-sauve-par-sa-fille, 91128.php Max Linder, l'histoire tragique d'un génie comique sauvé par sa fille], Telerama</ref> * [[w:1930|1930]] : P.Thompson&G.Lavinsky, de [[w:Vladimir Maïakovski|Maïakovski]] * [[w:1937|1937]] : [[w:Francis Weber|Francis Weber]], de [[w:Georgette Paul|Georgette Paul]] * [[w:1959|1959]] : [[w:Perry Farrell|Perry Farrell]] * [[w:1963|1963]] : Frieda et Nicholas Hugues, enfants de [[w:Sylvia Plath|Sylvia Plath]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Mariane Pearl|Mariane Pearl]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Robin Douglas-Home|Robin Douglas-Home]]: Sholto * [[w:1968|1968]] : [[w:Tricky|Tricky]], Maxinquaye<ref>[http://www.theguardian.com/music/2010/sep/19/tricky-mixed-race-interview Mixed race interview], [[w:The Guardian|The Guardian]]</ref> * [[w:1976|1976]] : [[w:Freddie Prinze, Jr.|Freddie Prinze, Jr.]], son of [[w:Freddie Prinze|Freddie Prinze]] * [[w:1977|1977]] : [[w:Sarah Biasini|Sarah Biasini]], fille de [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Lola Dewaere|Lola Dewaere]], fille de [[w:Patrick Dewaere|Patrick Dewaere]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/news-people/lola-dewaere-je-considere-le-suicide-de-mon-pere-comme-un-abandon-125786 Lola Dewaere : "Je considère le suicide de mon père comme un abandon"], Closer</ref> * [[w:1980|1980]] : Natalie, fille de [[w:Ian Curtis|Ian Curtis]] * [[w:1981|1981]] : [[w:Dimitri Rassam|Dimitri]], fils de [[w:Jean-Pierre Rassam|Jean-Pierre Rassam]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/dimitri-rassam-fils-de-carole-bouquet-le-producteur-precoce-se-devoile_a159345/1 Dimitri Rassam, fils de Carole Bouquet : Le producteur précoce se dévoile], Purepeople</ref> * [[w:1992|1992]] : [[w:Frances Cobain|Frances Cobain]] fille de [[w:Kurt Cobain|Kurt Cobain]]<ref>[http://www.bfmtv.com/culture/frances-bean-cobain-je-sais-que-mon-pere-m-aimaitbr-875677.html Je sais que mon pere m'aimait], [[w:BFMTV|BFMTV]]</ref> * [[w:1995|1995]] : ''[[w:Élisa (film, 1995)|Élisa]]'' : [[w:Vanessa Paradis|Elisa]], de [[w:Florence Thomassin|Florence Thomassin]] * [[w:1997|1997]] : [[w:Thomas Langmann|Thomas Langmann]], fils de [[w:Anne-Marie Rassam|Anne-Marie Rassam]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Les Invasions barbares|Les Invasions barbares]]'' : Guo Jing * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Backstage|Backstage ]]'' : Lucie * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Dexter|Dexter]]'' & [[w:Debra Morgan|Debra Morgan]], d'[[w:Harry Morgan|Harry Morgan]] * [[w:2008|2008]] : Matilda-Rose, fille de [[w:Heath Ledger|Heath Ledger]] * [[w:2011|2011]] : Culla May, fille de [[w:Johnny Lewis (acteur)|Johnny Lewis]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2016|2016]] : ''[[w:La Loi d'Alexandre|La Loi d'Alexandre]]'' : [[w:Hande Kodja|Julia Del Sol]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Alliés (film)|Alliés]]'' : [[w:Anna|Anna]] fille de [[w:Marianne Beauséjour|Marianne Beauséjour]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:The OA|The OA]]'' : * [[w:2016|2016]] : ''[[w:StartUp (série télévisée)|StartUp]]'': Phil Rask * [[w:2017|2017]] : ''Rien n'est joué d'avance'', Patrick Bourdet * [[w:2017|2017]] : Lillian Jean, Toni, Christopher Nicholas, de [[w:Chris Cornell|Chris Cornell]] * [[w:2017|2017]] : Amandine Chancel, fille de Ludovic et petite fille de [[w:Sheila|Sheila]] * [[w:2017|2017]] : Tyler, Jaime, Lily & Lila, fils de [[w:Chester Bennington|Chester Bennington]] * [[w:2017|2017]] : [[w:The End of the F***ing World|The End of the F***ing World]] * [[w:2018|2018]] : [[w:Cheba Louisa|Cheba Louisa]] : Zohra * [[w:2019|2019]] : [[w:Au nom de la terre|Au nom de la terre]]: Thomas et Emma * [[w:2020|2020]] : [[w:Je ne rêve que de vous|Je ne rêve que de vous]]: . Jean et Georges * [[w:2020|2020]] : [[w:Le bureau des légendes|Le bureau des légendes]]: Anton Kharlov * [[w:2020|2020]] : [[w:Le Jeu de la Dame|Le Jeu de la Dame]]: Beth Harmon * [[w:2020|2020]] : [[w:Lupin (série télévisée, 2021)|Lupin]]: Assane Diop * [[w:2021|2021]] : [[w:The Last Paradiso|The Last Paradiso]]: Bianca Schettino * [[w:2021|2021]] : [[w:Innocent (série télévisée, 2021)|Innocent]]: Lorena Ortiz * [[w:2021|2021]] : [[w:Every Breath You Take (film) |Every Breath You Take]]: Daphne * [[w:2021|2021]] : [[w:Cruel Summer (série télévisée)|Cruel Summer]]: Martin * [[w:2021|2021]] : [[w:Schwarze Insel|Schwarze Insel]]: Helena Yung * [[w:2021|2021]] : [[w:Clickbait (miniseries)|Clickbait]]: Nick and Sophie Brewer * [[w:2021|2021]] : [[w:Transparent (série télévisée)|Transparent]]: Colton * [[w:2021|2021]] : [[w:Braqueurs (film, 2015)|Braqueurs]] (série): Kris * [[w:2022|2022]] : [[w:En thérapie|En thérapie]]: Dr Philippe Dayan * [[w:2022|2022]] : [[w:Iosi, el espía arrepentido|Iosi, el espía arrepentido]]: Yosi </small> |} === Le Complexe de Moïse === [[w:Karl Abraham|Karl Abraham]] distingue le stade sadique-anal de la [[w:rétention|rétention]] ([[w:constipation|constipation]] "réplétive", possessive due à un sentiment d'abandon et de méfiance, propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]] (Mythe individuel, tenu par l'Œdipe, non morcellé du phorophobe)<ref>[http://e-learning-formation.com/plateforme/formation/local/cerfpa/secretaire-medicale/Mod2/chap5/pionniers.html Les pionniers de la psychosomatique], E-learning</ref> de l’avarice (épargne excessive) ou de la radinerie (manque de prodigalité) ; et le stade sadique-anal de l'expulsion ou [[w:débâcle|débâcle]], [[w:diarrhée|diarrhée]] "agressive", captative (débourser pour sur-posséder), rapt, [[w:acting-out|acting-out]] illusoire de contrôler la situation, syndrome d’agrippement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-73.htm], Cairn</ref> ([[w:Stage mother|Stage mother]], [[w:Helicopter parent|Helicopter parent]]), dépendance par l'activité et le besoin de donner, perversion ''in fine'' du ''[[w:Lien social (psychanalyse)|Discours capitaliste]]'' de l'enfant illégitime ou adopté, confronté à une double loyauté (voir les loyautés contextuelles de [[w:Ivan Boszormenyi-Nagy|Ivan Boszormenyi-Nagy]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2011-2-page-127.htm Propos sur le complexe de Moïse], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=TOP_118_0085&DocId=421211&hits=3583+3574+ De la lutte pour « rester vivant » à la création d’un « territoire rêvé ». À propos de La carte et le territoire de Michel Houellebecq De Christine Condamin], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=PSY_007_0027&DocId=344281&hits=8884+8878+8873+8868+6327+6319+8+5+ La possibilité d’une psychanalyse ? de Marie Jean Sauret], Cairn</ref>. C’est le cas du [[w:Bitcoin|Bitcoin]], selon l’analyse de Jacques Favier et Adli Takkal Bataille<ref>Bitcoin. La monnaie acéphale, de Jacques Favier, Adli Takkal Bataille</ref> et de [[w:Bartleby|Bartleby]]<ref>http://www.psychasoc.com/Textes/Formes-et-strategie-du-refus.-L-heureux-fuse</ref>. La disruption devient condensation capitaliste ([[w:Jean-Marie Dru|Jean-Marie Dru]]) et la débacle décondensation exosomatique ([[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]]). Dans le Séminaire XVII de Jacques Lacan : L’envers de la psychanalyse, il s’agit dans les quatre cas, d’un savoir porté, ou plutôt recelé par un sujet et qui subit une altération venant d’un autre sujet, qui tous deux en fait portent des fonctions: savoir extorqué et formalisé dans le discours du maître, savoir défié dans le discours de l’hystérique, savoir adressé et formalisé dans le discours de l’analyste, savoir imposé dans le discours universitaire. Ainsi le lien social serait une machine de transfert et d’altération du savoir à partir de la libido. Car le lien social est avant tout machine libidinale<ref>[https://blogs.mediapart.fr/rene-fiori/blog/260216/psychanalyse-en-politique Psychanalyse et Politique de René Fori]</ref>. Lacan a appelé l’objet, le nom ou la personne qui vous encouragent à demander de l’aide à un psychanalyste, le « signifiant du transfert »<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2005-1-page-191.html La psychanalyse depuis Samuel Beckett par Franz Kaltenbeck], Cairn</ref>. Pour [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]], le don est l'objet du refoulement, ce que nous ne voulons pas savoir (et le surdon, ce que nous ne pouvons pas savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2010-9-page-29.htm Enfants surdoués par Caroline Goldman], Cairn</ref>), car en naissant nous nous donnons et disparaissons comme sujet, c’est notre refoulement originaire. Le don est hallucinatoire, irréel, suicidiaire. Il faut donc donner pour ne pas se donner et échapper au risque suicidaire, de guerre et d'agression. Le prénom est notre vrai nom, parce qu’il correspond à un don singulier et qu’il est le symbole d’une séparation<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-97.htm Spécificité du « passage à l’acte » suicidaire], [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]])</ref>. Chez le pervers, dont la frustration ou l’intrusion est un manque imaginaire d’objet réel, voit l’objet de son désir substitué par un don. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1886|1886]] : ''[[w:Cinq psychanalyses|Cinq psychanalyses]]'' : [[w:Sergueï Pankejeff|Sergueï Pankejeff]] * [[w:1897|1897]] : [[w:Wilhelm Reich|Wilhelm Reich]], fils de Cecilia Roniger * [[w:1898|1898]] : [[w:René Magritte|René Magritte]], fils de Régina Bertinchamps * [[w:1902|1902]] : Marius Tausk, fils de [[w:Victor Tausk|Victor Tausk]] * [[w:1908|1908]] : Célia de La Serna, mère de [[w:Che Guevara|Che Guevara]]. * [[w:1922|1922]] : [[w:Kurt Vonnegut|Kurt Vonnegut]] * [[w:1939|1939]] : [[w:Anna Freud|Anna]] et Ernst Ludwig, de [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]]<ref group=Note>The Nazi army had wanted to take Freud for interrogation, but Anna offered herself instead. Before she left, Freud placed in her daughter’s hand a poison, a strategy to kill herself in case they decided to torture her. Anna was released, in unknown circumstances, and the family emigrated to London. Anna took care of Freud, helping him with his medicine and treatment, and continued her work. Freud died in 1939. {{Cite book|title = The Death of Sigmund Freud: The Legacy of His Last Days|last = Edmundson|first = Mark|publisher = Bloomsbury|year = 2007|isbn = 978-1-58234-537-6|location = |pages = ?}}</ref> * [[w:1940|1940]] : Stefan Rafael, fils de [[w:Walter Benjamin|Walter Benjamin]] * [[w:1948|1948]] : [[w:Catherine Millet|Catherine Millet]], fille de Simone Millet * [[w:1966|1966]] : ''[[w:Rien ne s'oppose à la nuit|Rien ne s'oppose à la nuit]]'', [[w:Delphine de Vigan|Delphine de Vigan]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2012-1-page-139.htm Notes de lecture], Cairn</ref> * [[w:1970|1970]] : Noriko Tomita et Iichiro Hiraoka, de [[w:Yukio Mishima|Mishima]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1970|1970]] : Eric Celan, fils de [[w:Paul Celan|Paul Celan]]<ref>[http://next.liberation.fr/livres/2001/03/22/le-sixieme-sens_358744 Le sixieme sens], Libération</ref> * [[w:1971|1971]] : [[w:Benny Sela|Benny Sela]] * [[w:1977|1977]] : ''Mort d'un silence'' de [[w:Clémence Boulouque|Clémence Boulouque]] * [[w:1985|1985]] : Sophie, fille de [[w:Vladimir Jankelevitch|Vladimir Jankelevitch]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2003-2-page-155.htm Le Telemaque], Cairn</ref> * [[w:1987|1987]] : Renzo et Lisa Lorenza, enfants de [[w:Primo Levi|Primo Levi]] * [[w:1990|1990]] : Ruth et Bruno, enfants de [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] * [[w:2002|2002]] : [[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres|Une Histoire d'Amour et de Ténèbres]], d'Amos Oz * [[w:2011|2011]] : ''Le Silence et la honte'', Solweig Ely * [[w:2012|2012]] : ''Onze ans avec Lou'', [[w:Bernard Chapuis|Bernard Chapuis]] * [[w:2017|2017]] : ''Parler'', [[w:Sandrine Rousseau|Sandrine Rousseau]] * [[w:2019|2019]] : [[w:Barbara Stiegler|Barbara Stiegler]], fille de [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] </small> |} == Notes == {{Références|groupe=Note|colonnes=2}} == Références == {{Références|colonnes=2}} b3104dzvem9wippisjrzycs0m6g5n71 0 63074 881385 843902 2022-08-16T20:46:00Z Slzbg 68495 ortho de Khrouchtchev wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = psychologie | numéro = 1 | niveau = 16 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le développement selon Vygotski/]] }} Malgré trois colloques franco-soviétiques d’enseignement programmé et l’effort des chercheurs qui s’y référèrent au cours des années 1970 (Feuerstein, Rey, Le Ny, Savoyant, Hameline ...) le socio-cognitivisme, dit aussi psychologie culturelle, a été long à s’imposer dans la littérature francophone. Après l’abandon des colloques franco-soviétiques d’enseignement programmé initiés par [[w:Jean-François Le Ny|Jean-François Le Ny]] à partir de 1973, une timide percée s’amorce certes au milieu des années 1980 avec la publication d'un ouvrage de [[w:Jean-Paul Bronckart|Jean-Paul Bronckart]] et la traduction de ''Pensée et Langage'' par [[w:Françoise Sève|Françoise Sève]] mais il faut attendre les célébrations conjointes du centenaire des naissances de Piaget et Vygotsky en 1996 pour qu’il trouve enfin la place qu’il mérite. Bien reconnu aujourd’hui par les sciences de l’éducation, il commence à mobiliser l’ensemble de la réflexion pédagogique francophone. Le 13 octobre 2016 un colloque international placé dans le cadre de la fête de la science et la célébration des 120 ans de la naissance de Vygotski a réuni au Centre de Russie pour la Science et la Culture de Paris un panel franco-russe de chercheurs. En attendant les actes à paraître, nous proposons de faire le point sur l’application à la pédagogie de cet important courant de la recherche fondamentale en psychologie. Celui-ci se réfère à la fois à la [[w:psychologie génétique|psychologie génétique]] et à la [[w:psychologie cognitive|psychologie cognitive]]. Nous soulignerons plus loin comment il se différentie au sein de la première mais il nous semble nécessaire d’effectuer dès maintenant un bref rappel sur l’histoire de la seconde. Le psycho-cognitivisme américain, qualifié parfois de computoriel pour ses emprunts à l’intelligence artificielle, succède à l’effort psycho-pédagogique développé par les behavioristes qui présente deux courants : *celui de l’enseignement programmé avec [[w:Burrhus Frederic Skinner|Skinner]], Crowder, Gilbert .... *celui de la programmation par objectif avec Tyler, Kearney, Mager .... Cette réflexion, qualifiée de révolution technique de l’enseignement, a beaucoup apporté. Mais appliquée sans discernement par des apôtres rigoristes, elle a aussi fait l’objet de beaucoup de critiques. Et suscité la [[w:Révolution cognitiviste|révolution cognitive]] où [[w:Noam Chomsky|Chomsky]] remet en cause les fondements mêmes du [[w:Béhaviorisme|behaviorisme]]. Gagné puis Merril se libèrent du couple stimulus-réponse et ouvrent la fameuse [[w:Boîte de Skinner|boîte noire]]. Leur mode de programmation, fondé sur des tâches, prend en compte le fonctionnement psychique et non plus le seul découpage cartésien de l’objet à enseigner. Et [[w:Jérome Brunner|Jérome Brunner]], reconnaissant le rôle de l’imprégnation culturelle dans tout développement humain, se référe très clairement au début des années 1980 à certains travaux initiés avant la guerre en URSS où ils se développent dès la fin des années 1950. On peut attribuer la paternité de ceux-ci à Vygotsky qui constitua avec [[w:Alexandre Luria|Luria]] et [[w:Alexis Leontiev|Leontiev]] la Troïka de Kharpov avant 1930. Mais, condamnés par le régime soviétique, leurs travaux ne se développèrent véritablement qu’après le décès de [[w:Staline|Staline]] et l’arrivée de [[w:Nikita Khrouchtchev|Khrouchtchev]] au pouvoir. Galperine, Talyzina, Morgoun, Zaporojetz ... les rendirent alors plus fonctionnels en intégrant les apports de Landa qui avait développé entre temps une réflexion particulière sur les algorithmes. Cette dernière rejoint celle des psycho-pédagogues américains sur bien des points comme nous pourrons le constater en fin de ce cours. {{Bas de page | idfaculté = psychologie | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le développement selon Vygotski/]] }} 70ksnwfs9fvo263e96nku6snbp8o9a2 0 63482 881389 881377 2022-08-17T04:00:43Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px"> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais <br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px"> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi''' {{Nobr|'''Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_dioptre_sphérique_concave_convergent_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette" /> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée" /> à savoir «<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support {{Nobr|<math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire" />,}} l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)" /> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε" />, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|500px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus }}« la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R\;</math>».</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>».</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)\;</math>» ; # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> conduit à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes bis" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>» ; <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, <math>\Rightarrow</math> l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter - bis"> La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> à droite. <br><gallery mode="packed" heights="215px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Dioptre sphérique convexe divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Dioptre sphérique convexe convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|500px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref name="rayon incident passant par C - bis"> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo"> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref> {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\;</math>», <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math><ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\Bigg]</math> ; * «<math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>», <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant supposé <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i_i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i_i) \simeq i_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" /> on en déduit «<math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> en considérant <math>\;A_o = C\;</math> et * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math> puis * vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> quand ce dernier tend vers <math>\;S\;</math><ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis"> Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> ou <math>\;A_o = S\;</math> par levée de l'indétermination.</ref>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|450px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le dioptre, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le dioptre sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center>«<math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math>» et par suite «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}\;</math>», soit effectivement «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>». {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, «<math>\;G_t(S) = +1\;</math>».</center> {{Al|5}}Nous avons établi, dans la solution de la sous question précédente, la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaions du dioptre sphérique est rigoureuse et points double]] » plus haut dans cet exercice, l'expression de <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o</math>, de la vergence <math>\;V = \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\;</math><ref> Voir l'expression de la vergence dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de postion de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et de l'indice des espaces image et objet, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» expression déduite de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit, en reportant l'expression de la vergence, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\, p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{p_o}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math>, par report dans l'expression de «<math>\;G_t(A_o)</math> <math>= \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» précédemment rappelée, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math>» ; on en déduit <center>quand <math>\;A_o \rightarrow S</math>, <math>\;p_o \rightarrow 0\;</math> et par suite «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}} \rightarrow 1 = G_t(S)\;</math>» d'où le prolongement de <br>l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> <br>à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> à <math>\;S\;</math> par levée de l'indétermination <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" />.</center>}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>», # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>».}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <math>\;\big[</math>pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> <math>\big(</math>indice du verre<math>\big)\;</math> et <math>\;n_i = 1,0\;</math> <math>\big(</math>indice de l'air<math>\big)\big]</math>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>obtenu en permutant les espaces objet et image<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>point}} d'intersection du rayon incident et du plan focal {{Nobr|objet<math>\big]\;</math>}} et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="315px"> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : <br>passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : <br>passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre sphérique.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = \left[ n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R} \right]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification évidente <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;-n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = (n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u>{{Nobr|<math>\;\big(</math><u>avec</u>}}<u> origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} =</math> <math>\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;n_0\,\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right) = n_i\, \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)\;</math>» d'où la simplification suivante<math>\Bigg]</math>, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}} = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}\;</math>», <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math><ref name="hors centre" />, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>», <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} < 0\;</math><ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>». ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = f_o + \sigma_o =</math> <math>-\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math>» <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S" /> ou «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math><ref name="vergence dioptre" /><math>\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i}</math> <math>= \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) = (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 = n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification, «<math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i\;</math><ref name="vergence dioptre" />{{,}} <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> <br>avec «<math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|460px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,50\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,00\big)\;</math> vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et en faisant le changement d'origines déjà exposé <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math> <ref> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> ou encore <math>\;1 + \dfrac{\sigma_i}{f_i} = 1 + \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> d'où la simplification suivante.</ref> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} =</math> <math>-\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="vergence dioptre" /> ; la 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> s'écrit <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison (approchée) de Newton</u> <center><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" /> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <ref name="Forme commune avec miroir et lentille" /> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 3r7j700k197dejq6tovxoz5ydhda5c2 881394 881389 2022-08-17T09:56:34Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|3}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px"> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)" /> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais <br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px"> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi''' {{Nobr|'''Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_dioptre_sphérique_concave_convergent_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette" /> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée" /> à savoir «<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support {{Nobr|<math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire" />,}} l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε" />, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|500px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus }}« la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R\;</math>».</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>».</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)\;</math>» ; # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> conduit à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes bis" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>» ; <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, <math>\Rightarrow</math> l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter - bis"> La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> à droite. <br><gallery mode="packed" heights="215px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Dioptre sphérique convexe divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Dioptre sphérique convexe convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|500px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref name="rayon incident passant par C - bis"> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo"> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref> {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\;</math>», <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math><ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\Bigg]</math> ; * «<math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>», <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant supposé <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i_i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i_i) \simeq i_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" /> on en déduit «<math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> en considérant <math>\;A_o = C\;</math> et * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math> puis * vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> quand ce dernier tend vers <math>\;S\;</math><ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis"> Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> ou <math>\;A_o = S\;</math> par levée de l'indétermination.</ref>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|450px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le dioptre, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le dioptre sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center>«<math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math>» et par suite «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}\;</math>», soit effectivement «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>». {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, «<math>\;G_t(S) = +1\;</math>».</center> {{Al|5}}Nous avons établi, dans la solution de la sous question précédente, la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaions du dioptre sphérique est rigoureuse et points double]] » plus haut dans cet exercice, l'expression de <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o</math>, de la vergence <math>\;V = \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\;</math><ref> Voir l'expression de la vergence dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de postion de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et de l'indice des espaces image et objet, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» expression déduite de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit, en reportant l'expression de la vergence, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\, p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{p_o}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math>, par report dans l'expression de «<math>\;G_t(A_o)</math> <math>= \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» précédemment rappelée, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math>» ; on en déduit <center>quand <math>\;A_o \rightarrow S</math>, <math>\;p_o \rightarrow 0\;</math> et par suite «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}} \rightarrow 1 = G_t(S)\;</math>» d'où le prolongement de <br>l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> <br>à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> à <math>\;S\;</math> par levée de l'indétermination <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" />.</center>}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>», # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>».}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <math>\;\big[</math>pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> <math>\big(</math>indice du verre<math>\big)\;</math> et <math>\;n_i = 1,0\;</math> <math>\big(</math>indice de l'air<math>\big)\big]</math>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>obtenu en permutant les espaces objet et image<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>point}} d'intersection du rayon incident et du plan focal {{Nobr|objet<math>\big]\;</math>}} et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="315px"> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : <br>passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : <br>passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre sphérique.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = \left[ n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R} \right]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification évidente <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;-n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = (n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u>{{Nobr|<math>\;\big(</math><u>avec</u>}}<u> origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} =</math> <math>\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - tetra"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;n_0\,\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right) = n_i\, \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)\;</math>» d'où la simplification suivante<math>\Bigg]</math>, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}} = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}\;</math>», <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math><ref name="hors centre" />, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>», <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} < 0\;</math><ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>». ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = f_o + \sigma_o =</math> <math>-\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math>» <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S" /> ou «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math><ref name="vergence dioptre" /><math>\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i}</math> <math>= \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) = (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 = n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification, «<math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i\;</math><ref name="vergence dioptre" />{{,}} <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> <br>avec «<math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|460px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,50\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,00\big)\;</math> vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>»}} soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math><ref name="conséquence de la 1ère relation de conjugaison de Newton"> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_o}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> ou encore «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>».</ref> d'où, comme «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>» <ref> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#cite_note-conséquence_de_la_1ère_relation_de_conjugaison_de_Newton-188|¹⁸⁸]] » précédente.</ref> la simplification en <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math><ref name="vergence dioptre" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrivant selon <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>».</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} pj9tc82d2nf1l70b3zonq2r02apwltu 881398 881394 2022-08-17T11:48:35Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : conditions de Gauss | idfaculté = physique | numéro = 13 | chapitre = [[../../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big(</math>centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante <ref> Si le miroir est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le miroir est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big)</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big(</math>rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante<math>\big)</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)\;</math> et * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big(</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante<math>\big)</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir, <br>{{Al|3}}la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être {{Nobr|quelconque<math>\big)\;</math>}} mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}la partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens <math>\;\leftarrow\;</math> et tous ses points <math>\;\big(</math>qu'ils soient réels ou virtuels<math>\big)\;</math> ont une abscisse <math>\;\big(</math>comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe<math>\big)\;</math> mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ; <br>{{Al|3}}voir les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Repérage_d'un_point_objet_ou_d'un_point_image_sur_l'axe_optique_principal|repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal]] (surface réfléchissante) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est virtuel, correspondant à un miroir « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est réel, correspondant à un miroir « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Miroir sphérique convexe - algébrisation.jpg|Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé Miroir sphérique concave - algébrisation.jpg|Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave <ref> En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du miroir <ref name="Définition sommet"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss === [[File:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg|thumb|350px|Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_d'un_système_optique_pour_un_point_objet|stigmatisme d'un système optique pour un point objet]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math><ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ; <br>{{Al|3}}sur le schéma <math>\;[SA_o]\;</math> est <math>\;> [SC]</math>, ceci entraînant que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, est telle que <math>\;[SA_i]\;</math> est <math>\;< [SC]</math> ; <br>{{Al|3}}pour traiter le cas correspondant à <math>\;[SA_o] < [SC]</math>, ce qui entraînerait que <math>\;A_i</math>, l'image éventuelle de <math>\;A_o\;</math> par le miroir, serait telle que <math>\;[SA_i] > [SC]</math>, il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma <math>\;[SA_o] > [SC]</math>.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> c.-à-d. tel que l'angle que fait la normale au miroir en <math>\;I\;</math> dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})} =</math> <math>\omega\;</math> est tel que <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math><ref name="paraxial"> Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes"> '''[[w:Willebrord_Snell|Willebrord Snell Van Royen]] ou Snellius (1580 - 1626)''' humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes <math>\;\big(</math>sans que ce soit {{Nobr|assuré<math>\big)</math>.}} <br>{{Al|3}}'''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> de la réflexion <ref name="1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Première_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion|2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon réfléchi <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i'\;\big(</math>angle de réflexion du rayon réfléchi en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i\;</math> et <math>\;\omega</math> : <center>«<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de <math>\;\vert \theta_o \vert\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert</math>, elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle"> On utilise la propriété suivante : « dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs » <math>\;\big(</math>propriété utilisant des angles non algébrisés<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i)</math>.</ref> et {{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;\theta_i = \omega + i'\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que tous les angles <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega\;</math> et <math>\;i'\;</math> sont positifs.</ref> ; en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> «<math>\;i' = -i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\;\theta_i = \omega - i\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i\;</math> entre ces deux relations en faisant la différence soit : <math>\;\omega - \theta_i = \theta_o - \omega\;</math> ou <math>\;2\,\omega = \theta_o + \theta_i\;</math> soit enfin «<math>\;\omega = \dfrac{\theta_o + \theta_i}{2}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <ref name="applicabilité hors conditions de Gauss de stigmatisme approché" />.}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H"> <math>\;H\;</math> étant le projeté orthogonal du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur l'axe optique principal.</ref> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre «<math>\;\overline{HA_o}_{\rightarrow}</math>, <math>\;\overline{HA_i}_{\leftarrow}\;</math> et <math>\;\overline{HC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[</math>relation <math>\,(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = 2\, \omega - \theta_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> on en déduit <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant 2\, \vert \omega \vert + \vert \theta_o \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfléchi est aussi peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\theta_i > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i}_\leftarrow > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, «<math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC}_\rightarrow < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;2\, \omega = \theta_i + \theta_o</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-2\, \overline{HI}}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}_\leftarrow} - \dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, après simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{2\, \omega = \theta_i + \theta_o}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-2}{\overline{HC_\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{{\mathrm{HA}_i}_\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{HA_o}_\rightarrow}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math> <ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du miroir à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus"> Ceci nécessite que <math>\;[HS]\;</math> soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en <math>\;\omega</math>.</ref> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un"> <math>\;\vert \omega \vert\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un.</ref>, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#D.L._d'ordre_deux_de_quelques_fonctions_usuelles_au_voisinage_de_zéro|développements limités à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref> Voir aussi la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\; \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du miroir.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie"> Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en <math>\;m\;\big(</math>la dioptrie étant liée au mètre par <math>\;1\, \delta = 1\,m^{-1}\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave ou convexe<math>\big)</math>, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] », « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Descartes <math>\;\big[</math>ou de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>revoir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Algébrisation_physique_de_l'axe_optique_principal_(associé_à_un_objet_ponctuel)|algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S"> <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que l'axe optique principal associé à <math>\;A_o\;</math> soit unique et <br>{{Al|20}}<math>\;\color{transparent}{A_o}</math><math>\;\neq S\;</math> pour que l'abscisse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> ne soit pas nulle, ce qui permet à son inverse d'exister</ref> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du miroir sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> rayon algébrisé du miroir.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />.</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du miroir sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du miroir, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du miroir <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - points doubles.jpg|thumb|600px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons convergent également en <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la convergence des rayons réfléchis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i\;</math> l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC}_{\rightarrow} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}\;</math> soit «<math>\;\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\overline{SC_i}_{\rightarrow} = \overline{SC}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation"> En effet quand on change le sens d'orientation d'un axe les abscisses sont changées en leurs opposées.</ref> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-2}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i(C_i)} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}}\;</math>» d'où <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{R}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}\;</math>» <math>\;\big(</math>forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle<math>\big)</math> ; sous cette forme on vérifie que {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + V = \dfrac{1 + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = \dfrac{p_o}{1 + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d}_{\leftarrow} =</math> <math>-\overline{SA_d}_{\rightarrow} = -p_d\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" /> avec «<math>\;p_i(A_d) = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;-p_d = \dfrac{p_d}{1 + V\, p_d}\;</math>» c.-à-d. «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ 1 + V\, p_d = -1\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{-2}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> centre du miroir ; <center>le centre et le sommet d'un miroir sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image === {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal"> Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.</ref> puis {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent"> C.-à-d. pour point objet.</ref> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math> ; {{Al|5}}quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ? {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o\;</math> et distance focale image <math>\;f_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du miroir sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_miroir_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{1}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{1}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. * Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «<math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} = - \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et <br>le changement de sens d'algébrisation conduisant à <math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = -\overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="conséquence du changement de sens d'orientation" />, on en déduit «<math>\;\overline{SF_i}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image</u> <ref> Cette coïncidence n'est que géométrique, car ce sont des points d'espaces optiques différents, l'un est dans un espace objet et l'autre dans un espace image.</ref> ; * <u>leur position géométrique commune</u> étant telle que «<math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{R}}{2} = \dfrac{\overline{SC}_{\rightarrow}}{2}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> on vérifie qu'elle <u>coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir</u>. {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{1}{V} = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{1}{V} = \dfrac{\overline{R}}{2}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{1}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{1}{\overline{SC}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = -\dfrac{2}{\overline{SC}_{\rightarrow}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} === Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique === ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » <math>\;\big(</math>respectivement « négative »<math>\big)\;</math> est dit « convergent » <math>\;\big(</math>respectivement « divergent »<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi : * un miroir <u>concave</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C"> Correspondant au caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> d'un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)</math>.</ref>, donc une vergence <math>\;V > 0</math>, c'est un système « <u>convergent</u> », * un miroir <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC}_{\rightarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="nature de C" />, donc une vergence <math>\;V < 0</math>, c'est un système « <u>divergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> on en déduit la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image suivant la nature <math>\;\big(</math>convergente ou divergente<math>\big)\;</math> du miroir sphérique : * un miroir <u>concave</u> étant convergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir concave étant convergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u> <ref name="nature des foyers"> Pour un miroir concave <math>\;\big(</math>respectivement convexe<math>\big)\;</math> le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> du centre <math>\;C\;</math> avec le fait que la position géométrique commune des foyers principaux est le milieu du segment joignant le centre et le sommet, entraîne le caractère réel <math>\;\big(</math>respectivement virtuel<math>\big)\;</math> des foyers principaux objet et image.</ref>, * un miroir <u>convexe</u> étant divergent, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Transparent|un miroir convexe étant divergent, }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u> <ref name="nature des foyers" />.}} ==== Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal ==== {{Al|5}}En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice <ref> Plus exactement dans la solution des questions successives « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Établissement_de_la_relation_liant_θo,_θi_et_ω|établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Évaluation_des_angles_θo,_θi_et_ω_en_fonction_des_abscisses_de_Ao,_Ai_et_C_repérées_relativement_à_H|évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}avec <math>\;A_o\;</math> situé à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui correspond à <math>\;\theta_o = 0\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En reprenant la démonstration }}en conservant les notations introduites dans « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|cette question]] » <math>\;\big[</math>à l'exception de <math>\;A_i\;</math> qui sera noté <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω"> Fonction de <math>\;\omega\;</math> car ce point <math>-</math> hors condition de Gauss <math>-</math> en dépend effectivement <math>\big[</math>c'est d'ailleurs, en ce qui concerne <math>\;F_i</math>, le but de cette question<math>\big]</math>.</ref> et de <math>\;H\;</math> qui sera noté <math>\;H(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]</math>, {{Al|5}}déterminer la position de <math>\;F_i(\omega)\;</math> <math>\big[</math>point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}vérifier que <math>\;F_i(\omega)\;</math> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal. {{Solution|contenu = <center><gallery mode="packed" heights="355px"> Miroir sphérique concave - absence stigmatisme rigoureux.jpg|Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal </gallery> </center> {{Al|5}}Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> de l'axe optique principal <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> et pour cela il suffit de montrer <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, de point d'incidence <math>\;I(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" />, repéré par l'angle <math>\;\omega\;</math> que fait le rayon incident avec <math>\;\overrightarrow{CI}(\omega)\;</math> tel que <math>\;\vert \omega \vert\; \cancel{\ll}\; 1\;</math><ref> Voir schéma ci-dessus.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement qu'un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal, }}donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en <math>\;F_i(\omega)\;</math><ref name="dépendance de ω" /> dépendant effectivement de <math>\;\omega\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrons algébriquement }}l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; {{Al|5}}l'angle d'incidence étant <math>\;i = -\omega\;</math><ref> En effet les angles sont alternes-internes, leurs mesures ont donc mêmes valeurs absolues mais <math>\;i\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma alors que <math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, l'angle de réflexion est donc <math>\;i' = -i = \omega\;</math> d'après la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" /> ; on en déduit alors «<math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace} = 2\; \omega\;</math>» <ref> En effet l'angle que fait <math>\;\left[ F_i(\omega)I(\omega) \right]\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal et celui que fait le rayon réfléchi en <math>\;I(\omega)\;</math> avec la <math>\;\parallel\;</math> en <math>\;I(\omega)\;</math> à la partie réfléchie à l'axe optique principal sont alternes-internes, la mesure de la valeur absolue du 1^er étant <math>\;\vert i \vert + \vert i' \vert = 2\;\vert \omega \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> la mesure de <math>\;\widehat{\left\lbrace\overrightarrow{H(\omega)S}, \overrightarrow{F_i(\omega)I(\omega)}\right\rbrace}\;</math> sachant qu'il est <math>\;> 0\;</math> sur le schéma tout comme <math>\;\omega</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> se détermine par <math>\;\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Toutes les grandeurs étant positives sur le schéma.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}\, \cos(2\; \omega)}{\sin(2\; \omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{H(\omega)I(\omega)} = CI(\omega)\; \sin(\omega) = R\; \sin(\omega)\\ \sin(2\; \omega) = 2\; \sin(\omega)\; \cos(\omega)\end{array}\right\rbrace\;</math> et simplification par <math>\;\sin(\omega)</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}\;</math> se détermine par <math>\;\color{transparent}{\tan(2\;\omega) = \dfrac{\overline{H(\omega)I(\omega)}}{\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}}}\;</math>{{,}} <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}on peut alors évaluer «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} - \overline{F_i(\omega)H(\omega)}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, expression dans laquelle <math>\;\overline{CH(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega)\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = R\; \cos(\omega) - \dfrac{R\, \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)} = R\; \dfrac{2\; \cos^2(\omega)- \cos(2\; \omega)}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, sachant que <math>\;\cos(2\; \omega) = 2\; \cos^2(\omega) - 1</math>, l'expression finale <center>«<math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression simple du résultat indique qu'il doit y avoir une méthode plus rapide pour sa détermination ; en effet les angles non algébrisés <math>\;\widehat{SCI(\omega)}\;</math> et <math>\;\widehat{CI(\omega)F_i(\omega)}\;</math> étant égaux <math>\;\big(</math>à <math>\;\vert \omega \vert\big)</math>, le triangle <math>\;F_i(\omega)CI(\omega)\;</math> est isocèle <math>\Rightarrow</math> la hauteur issue de <math>\;F_i(\omega)\;</math> est aussi médiatrice d'où, en notant <math>\;K(\omega)\;</math> son pied, <math>\;CK(\omega) = \dfrac{CI(\omega)}{2} = \dfrac{R}{2}\;</math> et <math>\;\dfrac{CK(\omega)}{\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow}} = \cos(\omega)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{CF_i(\omega)}_{\rightarrow} =</math> <math>\dfrac{CK(\omega)}{\cos(\omega)} = \dfrac{R}{2\; \cos(\omega)}\;</math> ce qui est indéniablement plus rapide.</ref> <br><math>\Downarrow</math> <br><math>\;F_i\;</math> dépend effectivement de <math>\;\omega\;</math> et par suite <br>le miroir sphérique concave <ref name="indépendance de la nature" /> n'est pas stigmatique rigoureux pour le point à l'infini <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math><ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> de l'axe optique principal <ref> La démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour n'importe quel point objet <math>\;\big(</math>autre que le centre et le sommet<math>\big)\;</math> de l'axe optique principal pourrait être faite en suivant une démarche analogue.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_miroir_sphérique_concave_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal"> Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support <math>\;(A_oC)</math>.</ref> tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le miroir<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette"> L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet <math>\;M_o\;</math> ont une image ponctuelle <math>\;M_i</math>.</ref> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique"> Linéique signifiant « rectiligne ».</ref> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du miroir, vu du centre <math>\;C\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple"> C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du miroir sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée"> Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> mais la méthode est alors moins aisée.</ref> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math>dd"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle"> <math>\;[CB_o]\;</math> étant l'hypoténuse du triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> rectangle en <math>\;A_o\;</math> et <math>\;[CA_o]\;</math> le côté adjacent à l'angle de mesure <math>\;\alpha</math>.</ref>, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire"> Cet axe optique secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\;</math> est en fait un axe optique principal relativement au point objet <math>\;M_o</math>.</ref>, l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix"> Il s'agit effectivement d'un choix car le segment aurait pu être choisi <math>\;\perp\;</math> à n'importe quel axe optique secondaire de support <math>\;(CM_i)</math>.</ref>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - bis"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε"> L'abscisse de <math>\;M_o\;</math> est évidemment celle de <math>\;B_o\;</math> et son ordonnée sera notée <math>\;\varepsilon \times\;</math> l'ordonnée de <math>\;B_o</math>, <math>\;\varepsilon\;</math> variant entre <math>\;0\;</math> et <math>\;1</math> ;<br>{{Al|3}}ici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché <math>\;\beta \ll 1\;</math> qui assure que le point <math>\;M_o\;</math> est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.</ref>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx'}\;</math> étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi <math>\;\big(</math>donc de sens contraire à celui de l'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\big)\;</math> et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.</ref> déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du miroir. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - aplanétisme.jpg|thumb|560px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un miroir sphérique concave pour démontrer l'aplanétisme approché du miroir pour cet objet]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du miroir sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_miroir_sphérique_(concave)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant la distance focale image du miroir d'où : <center><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{f_i + p_o}{p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes"> On vérifie sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;< 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{F_o} = f_o = -f_i\, , \, y_{F_o} = 0)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left( x + f_i \right)\;</math>» # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx' et Sy" /> le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente <math>\;-\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi a une pente opposée à celle du rayon incident dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> mais, quand on passe dans le repère <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})\;</math> correspondant à une inversion du sens de l'axe des abscisses sans que celui de l'axe des ordonnées ne soit changé, la pente doit être multipliée par un facteur <math>\;(-1)\;</math> d'où le rayon réfléchi a une pente identique à celle du rayon incident <math>\;\big(</math>la raison étant que les pentes sont définies dans deux repères différents<math>\big)</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x'\;</math>» <ref name="vérification signes bis"> On vérifie bien sur le schéma que, lorsque <math>\;x\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;y\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le miroir, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + f_i} \left[ x(I) + f_i \right] = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx'},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o\, f_i}{p_o + f_i} = -\varepsilon\, \beta\, {x'}_{\!M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;{x'}_{\!M_i} = \dfrac{p_o\, f_i}{p_o + f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{f_i}{p_o + f_i}\;</math>» du point image <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, on conclut à l'<u>aplanétisme approché du miroir sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du miroir</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== [[File:Miroir sphérique - symbole.jpg|thumb|550px|Représentation symbolique <math>\;\big(</math>sans les foyers<math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique concave <math>\;\big(</math>à gauche<math>\big)\;</math> et d'un miroir sphérique convexe <math>\;\big(</math>à droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent * l'axe optique principal, * le centre <math>\;C</math>, * les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math> <math>\;\big(</math>non représentés ci-contre <ref name="Foyers à ajouter"> La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment <math>\;\left[ CS \right]</math>.</ref><math>\big)</math>, * le sommet <math>\;S\;</math> et * la partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de miroir <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers <math>\;C</math>, ainsi un miroir concave à centre <math>\;C\;</math> réel a des bords inclinés vers la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet réel<math>\big)\;</math> et un miroir convexe à centre <math>\;C\;</math> virtuel a des bords inclinés vers la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. vers l'espace objet virtuel<math>\big)</math>.</ref>, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal. {{clr}} [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du miroir et qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C"> En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le miroir c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réflexion <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir <math>\;\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du miroir en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du miroir en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le miroir est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo"> Car le miroir est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref>. {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée"> Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour <math>\;A_o = S\;</math> car elle correspondrait à une forme indéterminée mais <br>{{Al|3}}on vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour <math>\;A_o = C</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math><ref> Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i\;</math> devant être mesuré et reporté symétriquement par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous le choisissons car il est utilisé dans la démonstration qui suit.</ref>, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="miroir aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i)\;</math> et <math>\;\tan(-i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math>, * «<math>\;\tan(-i) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;(-i)\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> Ayant suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(-i) \simeq -i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;-i \simeq -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\Bigg]</math> ; {{Al|5}}égalant les deux expressions de <math>\;i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}} \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\\ p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\;\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le miroir<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, qu'elle est symétrique de <math>\;A_oB_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal et * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> en considérant <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math>. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|400px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique concave ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le miroir, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le miroir sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le sommet <math>\;S\;</math> qui se réfléchit suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et recoupe le plan transverse passant par <math>\;C\;</math> au point <math>\;B_i</math>, symétrique de <math>\;B_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal d'où <center>«<math>\;\overline{CB_i} = -\overline{CB_o}\;</math>» et par suite <br>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{\overline{SC}_{\leftarrow}}{\overline{SC}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, soit, avec <math>\;\overline{SC}_{\leftarrow} = -\overline{SC}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <center>«<math>\;G_t(C) = -1\;</math>» <ref> Le centre est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse inversée de même taille.</ref>.</center> {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du miroir sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du miroir jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le miroir est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, <br>«<math>\;G_t(S) = +1\;</math>» <ref> Le sommet <math>\;\big(</math>et plus généralement tout point de la surface réfléchissante sphérique<math>\big)\;</math> est le seul point de l'espace objet d'un miroir sphérique en lequel un objet linéique transverse positionné en ce point admet une image linéique transverse droite de même taille.</ref>.</center>}} ==== Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se réfléchit sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>» # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent <ref name ="Antécédent" /> le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent <ref name ="Antécédent" /> également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon réfléchi issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> s'est réfléchi sur lui-même, les parties incidente et réfléchie constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{M}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le miroir de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit"> Un seul rayon incident suffit car <math>\;A_o\;</math> appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.</ref> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe. {{Solution|contenu = [[File:Miroir sphérique concave - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à droite<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se réfléchissant sur lui-même, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Miroir sphérique concave - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un miroir sphérique concave d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet<math>\big]\;</math> et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, }}en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="285px"> Miroir sphérique convexe - construction image.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Miroir sphérique convexe - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{1}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{1}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = -V\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout point objet <math>\;A_o \neq C\;</math> de l'axe optique principal, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\rightarrow} + \overline{CA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} =</math> <math>\overline{SC}_{\leftarrow} + \overline{CA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou «<math>\;p_i = -\overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-2}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{1}{\pi_i - \overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\pi_o + \overline{R}) - (\pi_i - \overline{R})}{(\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} =</math> <math>\dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens"> Quand on a l'égalité entre deux fractions <math>\;\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\;</math> les grandeurs <math>\;(a\, ,\, d)\;</math> sont appelées « extrêmes » et <math>\;(b\, ,\, c)\;</math> « moyens », l'égalité des deux fractions étant équivalente à <math>\;a \; d = b \; c\;</math> c.-à-d. à l'égalité du produit des extrêmes et celui des moyens <math>\;\big(</math>on parle encore de l'égalité des produits en croix<math>\big)</math>.</ref> <math>\;-2\, (\pi_i - \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = (\pi_o - \pi_i + 2\, \overline{R})\, \overline{R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + 2\, \overline{R}\, \pi_o - 2\, \overline{R}\, \pi_i + 2\, \overline{R}^2 =</math> <math>\pi_o\, \overline{R} - \pi_i\, \overline{R} + 2\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification <math>\;-2\, \pi_o\, \pi_i + \overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou «<math>\;\overline{R}\, \pi_o - \overline{R}\, \pi_i = 2\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N."> Cela nécessite que <math>\;\pi_o \neq 0\;</math> et <math>\;\pi_i \neq 0\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o \neq C</math>.</ref> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = -V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}} = -V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-2}{\overline{R}}\;</math> vergence du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> }} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C"> Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq C</math>, le cas <math>\;A_o = C\;</math> conduisant à une forme indéterminée.</ref>. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet"> Applicable en tout point <math>\;A_o \neq S</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i - \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i - \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} - 1}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} + 1} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ 1 - \dfrac{\overline{R}}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ 1 + \dfrac{\overline{R}}{\pi_o} \right]} = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} - \dfrac{1}{\pi_i} \right]}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left[ \dfrac{1}{\overline{R}} + \dfrac{1}{\pi_o} \right]} = -\dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\pi_o} = \dfrac{2}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{1}{\pi_i} - \dfrac{1}{\overline{R}} = \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}}\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du miroir ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS}_{\rightarrow} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS}_{\leftarrow} = \overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) =</math> <math>-(-1) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui se réfléchit sur lui-même <ref name="rayon incident passant par C" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfléchit en <math>\;S\;</math> suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion sur la représentation symbolique d'un miroir sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés"> Les angles précités étant non algébrisés.</ref> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre"> On suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oC\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i}_{\leftarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors centre bis"> Ayant suppose <math>\;A_o \neq C\;</math> et <math>\;C\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq C\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iC</math>.</ref> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{CA_i}_{\leftarrow}}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}_{\rightarrow}\\ \pi_i = \overline{CA_i}_{\leftarrow} \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i + \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du miroir sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même miroir sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />. ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\; \overline{F_oA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow}\; \overline{SF_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton"> Applicable pour tout point objet <math>\;A_o \neq F_o</math> et <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}</math>, ces cas conduisant à une forme indéterminée.</ref> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes miroir - lentille" /> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du miroir.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} = \overline{SF_o}_{\rightarrow} + \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_o =</math>}} <math>f_o + \sigma_o = -f_i + \sigma_o\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> par <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} = \overline{SF_i}_{\leftarrow} + \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou {{Nobr|«<math>\;p_i =</math>}} <math>f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S"> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet.</ref> ou «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{1}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{1}{\sigma_o - f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{(\sigma_o - f_i) - (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;(\sigma_i + f_i)\, (\sigma_o - f_i)</math> <math>= (\sigma_o - \sigma_i - 2\, f_i)\, f_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\sigma_o\, \sigma_i + f_i\, \sigma_o - f_i\, \sigma_i - f_i^2 =</math> <math>\sigma_o\, f_i - \sigma_i\, f_i - 2\, f_i^2\;</math> soit, après simplification «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = -f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -f_i\;</math><ref> On remplacera une seule fois <math>\;f_i\;</math> par <math>\;-f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du miroir <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref> avec «<math>\;f_i = -f_o = -\dfrac{\overline{R}}{2}\;</math> distance focale image du miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|550px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton"> Cette relation a deux formes possibles suivant qu'elle est exprimée en fonction de l'abscisse objet de Newton et de la distance focale objet ou en fonction de l'abscisse image de Newton et de la distance focale image.</ref>{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o - f_i \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o - f_i}\;</math> ou, en mettant en facteur les grandeurs image adéquates, <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_i \left( \dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 \right)} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> établie dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o = -f_i^2\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} = -\dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\sigma_o}{f_i} - 1 = - \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)\;</math>» d'où la simplification<math>\Bigg]</math> ; une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS}_{\rightarrow} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS}_{\leftarrow} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> s'écrivant <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à «<math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>», on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;KF_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer bis" > On suppose <math>\;A_i \neq F_i\;</math> c.-à-d. que <math>\;A_o\;</math> n'est pas le point à l'infini de l'axe optique principal, pour que le triangle <math>\;A_iB_iF_i\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{KF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_iS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{F_iA_i}_{\leftarrow}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\sigma_i}{f_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}le grandissement transverse «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» peut aussi être déterminé en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;HF_oS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="hors foyer"> On suppose <math>\;A_o \neq F_o\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oF_o\;</math> puisse être défini.</ref>, * «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit «<math>\;\tan(\widehat{HF_oS}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_oS})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}_{\rightarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> c.-à-d. une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Newton</u><ref name="Newton" /> d'un miroir sphérique <math>\;\big(</math>concave<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{SF_i}_{\leftarrow}}{\overline{F_oA_o}_{\rightarrow}}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{f_i}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}_{\rightarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== [[File:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|400px|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un miroir sphérique concave]] {{Al|5}}Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon <center>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_lumineux_issu_d'un_point_objet|définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="Angles petits"> Les angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> sont de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \theta_i| \vert \ll 1</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math>, respectivement «<math>\;p_o = \overline{SA_o}_{\rightarrow}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" />{{,}} <ref> L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.</ref>. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math>» <ref name="définition du grandissement angulaire d'un pinceaupar un système catadioptrique" />{{,}} <ref name="Angles petits" /> par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math> <math>\;\big(</math>tous deux <math>\;> 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|On détermine le grandissement angulaire «<math>\;\color{transparent}{G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}}\;</math>» }}respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> <math>\big[</math>l'angle <math>\;\widehat{SA_iI}\;</math> étant égal à <math>\;\theta_i\big]\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}_{\rightarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math>» ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}_{\leftarrow}}\;</math>» <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /> <math>\;\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système catadioptrique" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\tan(\theta_i) = \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» soit, avec <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles />, «<math>\;\theta_i \simeq \dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors «<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math>» soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, <center>l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( A_o\,,\,A_i \right)</math> <br>«<math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>».</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Á l'aide }}de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Expression_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_incident_issu_d'un_point_objet|expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, <center>vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange"> '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] (1736 - 1813)''' mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle <math>\;\big(</math>son nom italien était '''Giuseppe Luigi''' {{Nobr|'''Lagrangia'''<math>\big)</math> ;}} <br>{{Al|3}}on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du [[w:Calcul_des_variations|calcul variationnel]], calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes <math>\;\big[</math>propagation du son, corde vibrante, [[w:Libration|librations]] de la Lune <math>\;\big(</math>c.-à-d. petites variations de son orbite<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1788</math>, alors installé à Paris, il publia son livre de ''[[w:mécanique analytique|mécanique analytique]]'' dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du [[w:système métrique|système métrique]] et de la division décimale des unités ; <br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref>{{,}} <ref name="Helmholtz"> '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz]] (1821 - 1894)''' [[w:Physiologie|physiologiste]] et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;<br>{{Al|3}}on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour '''[[w:Hermann_von_Helmholtz|Helmholtz]]''' un domaine privilégié <math>\;\big(</math>ni pour '''[[w:Joseph-Louis_Lagrange|Lagrange]]''' non plus<math>\big)</math> !</ref> <br>«<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = -1\;</math>» <ref> Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Relation_de_Lagrange-Helmholtz_d'une_lentille_(sphérique)_mince|relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant «<math>\;G_t(A_o)\; G_a(A_o) = +1\;</math>».</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Connaissant }}l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage «<math>\;G_a(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <ref name="grandissement angulaire de Descartes (avec origine au sommet)" />, <br>{{Al|5}}on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <center>«<math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq -\dfrac{p_o}{p_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = -1\;</math>» <br>ce qui constitue la « relation de Lagrange - Helmholtz » <ref name="Lagrange" />{{,}} <ref name="Helmholtz" /> cherchée <ref> Il s'agit de la même relation de Lagrange - Helmholtz que celle explicitée pour un miroir plan mais contrairement à cette dernière dans laquelle les grandissements transverse et angulaire valent respectivement <math>\;+1\;</math> et <math>\;-1\;</math> quelle que soit la position du point objet <math>\;A_o</math>, dans un miroir sphérique les grandissements transverse et angulaire dépendent explicitement de la position de l'objet <math>\;A_o</math>, plus la valeur absolue du grandissement transverse est grande plus celle du grandissement angulaire est petite.</ref>.</center>}} == Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss == {{Al|5}}Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de : * sa nature « concave » ou « convexe », * son centre <math>\;C\;</math> <math>\big[</math>centre de courbure de la surface sphérique dioptrique <ref> Si le dioptre est « concave », <math>\;C\;</math> est réel, et si le dioptre est « convexe », <math>\;C\;</math> est virtuel.</ref><math>\big]</math>, * son rayon de courbure <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;R\;</math> <math>\big[</math>rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique<math>\big]</math>, * l'axe optique principal dont la partie incidente <math>\;\big(</math>ou son prolongement<math>\big)\;</math> passe par <math>\;C\;</math> et le point objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>point objet dont on étudiera l'image éventuelle<math>\big)</math>, * son sommet <math>\;S\;</math> <math>\big[</math>intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique<math>\big]\;</math> et * l'indice de l'espace objet réel <math>\;n_o\;</math> ainsi que celui de l'espace image réelle <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal <ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"> Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens <math>\;\rightarrow</math> et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens <math>\;\rightarrow</math> ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.</ref> et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math><ref name="orientation de l'axe optique principal d'un système dioptrique"/> avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé : * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à droite de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe », * si <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0</math>, <math>\;C\;</math> étant à gauche de <math>\;S\;</math> est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ». <center> <gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> <gallery mode="packed" heights="266px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent </gallery> </center> {{Al|5}}Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent <math>\;\big(</math>figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus<math>\big)\;</math><ref> En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans la suite nous }}admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> pour tous les points objet autres que <math>\;C\;</math> et tous les points du dioptre <ref name="Définition sommet dioptre"> Si le point objet <math>\;A_o\;</math> est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, <math>\;A_o\;</math> joue le rôle de sommet <math>\;S\;</math> du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.</ref>. === Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg|thumb|750px|Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tout point objet autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>]] {{Al|5}}Considérant un point objet réel <math>\;A_o \neq C\;</math> et l'axe optique principal correspondant de support <math>\;(A_oC)\;</math> <ref> Dès lors que <math>\;A_o\;</math> est <math>\;\neq C</math>, l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet <math>\;S\;</math> qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.</ref>, nous envisageons des rayons incidents issus de <math>\;A_o</math>, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison <math>\;\theta_o\;</math> tel que <math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et dont le point d'incidence <math>\;I\;</math> reste proche du sommet <math>\;S\;</math> <math>\Big[</math>l'angle que fait la normale au dioptre en <math>\;I\;</math> avec l'axe optique principal <math>\;\widehat{(\overrightarrow{CS}\, ;\, \vec{N})}</math> <math>= \omega\;</math> est donc petit en valeur absolue <math>\;\big(\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math><ref name="paraxial" /><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Le rayon incident <math>\;A_oI\;</math> donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Deuxième_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réfraction|2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le rayon émergent <math>\;IA_i\;</math> <math>\big(A_i \in</math> à l'axe optique principal<math>\big)</math>, appelons <math>\;\theta_i\;</math> l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que <math>\;A_i\;</math> est indépendant du rayon incident considéré <math>\;\big(</math>c.-à-d. indépendant de <math>\;\theta_o\;</math> et de <math>\;\omega\big)\;</math> dans la mesure où les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\big(\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> et <math>\;\vert \omega \vert \ll 1\big)\;</math> sont réalisées. ==== Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i ==== # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIC\;</math> établir une 1^ère relation entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;i_o\;\big(</math>angle d'incidence du rayon incident en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIC\;</math> établir une 2^ème relation entre <math>\;\theta_i</math>, <math>\;i_i\;\big(</math>angle de réfraction du rayon émergent en <math>\;I\big)\;</math> et <math>\;\omega</math>, # en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre <math>\;\theta_o</math>, <math>\;\theta_i</math>, <math>\;\omega</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i\;</math> <center>«<math>\;\omega = \dfrac{n_o\; \theta_o - n_i\; \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a})\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Dans le triangle <math>\;A_oIC</math>, «<math>\;\omega = \theta_o + (-i_o)\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> et <math>\;\theta_o\;</math> sont positifs mais <math>\;i_o\;</math> étant négatif, sa valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_o)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}dans le triangle <math>\;A_iIC</math>, «<math>\;-i_i = \omega - \theta_i\;</math>» <ref name="relation dans un triangle" />{{,}} <ref> On remarque, sur le schéma, que <math>\;\omega\;</math> est positif mais <math>\;i_i\;</math> et <math>\;\theta_i\;</math> étant négatifs, leur valeur absolue s'écrit <math>\;(-i_i)\;</math> et <math>\;(-\theta_i)</math>.</ref> ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> pour la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> et, <br>{{Al|19}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, }}en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence <math>\;\big(\Rightarrow</math>la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction<math>\big)</math> <br>{{Al|31}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, «<math>\;\color{transparent}{-i_i = \omega - \theta_i}\;</math>» ou, en utilisant la 2^ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction }}<math>\;n_o\, i_0 = n_i\, i_i\;</math><ref name="relation de Kepler"> On rappelle que les angles étant petits, la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction se réécrit en omettant les sinus <math>\;\big(</math>relation approchée de Kepler<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' <math>\;\big[</math>ou '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Keppler]]'''<math>\big]\;</math> astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' <math>\;\big[</math>chanoine, médecin et astronome polonais<math>\big]\;</math> et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil <math>\big[</math>c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>, la relation ci-dessus se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}«<math>\; -\dfrac{n_o}{n_i}\, i_o = \omega - \theta_i\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIC}</math>, }}on élimine alors <math>\;i_o\;</math> entre ces deux relations en formant la C.L. <ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref> «<math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; (\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2})\;</math>» soit : <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\; \omega = \dfrac{n_o}{n_i}\; \theta_o + \omega - \theta_i\;</math> ou <math>\;n_o\,\omega = n_o\, \theta_o + n_i\, \omega - n_i\, \theta_i\;</math> soit enfin, la relation <center>«<math>\; \omega = \dfrac{n_o\, \theta_o - n_i\, \theta_i}{n_o - n_i}\;\;(\mathfrak{a}) \;</math>».</center>}} ==== Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H ==== {{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> et des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c.-à-d. <math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1</math>. # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_o}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_o</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\theta_i)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HA_i}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\theta_i</math>, # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH\;</math><ref name="définition de H" /> évaluer <math>\;\tan(\omega)\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;\overline{HC}\;</math> puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, <math>\;\omega</math>, # déduire des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})</math>, un lien entre <math>\;\overline{HA_o}</math>, <math>\;\overline{HA_i}\;</math> et <math>\;\overline{HC}\;</math> <math>\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{b})\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> écrite sous la forme <math>\;\theta_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, \theta_o - \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \omega\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}des conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" /> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vert \theta_o \vert \ll 1\\ \vert \omega \vert \ll 1 \end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math> d'où <center>«<math>\;\vert \theta_i \vert \leqslant \dfrac{n_o}{n_i}\, \vert \theta_o \vert + \dfrac{n_o - n_i}{n_i}\, \vert \omega \vert \ll 1\;</math>» c.-à-d. que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal.</center> # En travaillant dans le triangle <math>\;A_oIH</math>, «<math>\;\tan(\theta_o) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HA_o}}\;</math>» car sur le schéma <math>\;\theta_o > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_o) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_o} < 0</math> ; <br>{{Transparent|En travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_oIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_o \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_o) \simeq \theta_o\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_o}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;A_iIH</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}\;</math> car sur le schéma <math>\;\theta_i < 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\theta_i) < 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HA_i} > 0</math> <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{A_iIH}</math>, }}«<math>\;\vert \theta_i \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\theta_i) \simeq \theta_i\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HA_i}}</math> ; # en travaillant dans le triangle <math>\;CIH</math>, <math>\;\tan(\omega) = \dfrac{\overline{HI}}{-\overline{HC}_\rightarrow}\;</math> car sur le schéma <math>\;\omega > 0\;</math> d'où <math>\;\tan(\omega) > 0</math>, <math>\;\overline{HI} > 0\;</math> et <math>\;\overline{HC} < 0</math> ; <br>{{Transparent|en travaillant dans le triangle <math>\;\color{transparent}{CIH}</math>, }}«<math>\;\vert \omega \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(\omega) \simeq \omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;\omega \simeq -\dfrac{\overline{HI}}{\overline{HC}}</math> ; # des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> réécrite selon <math>\;(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i</math>, on en déduit «<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)\, \overline{HI}}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i\, \overline{HI}}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o\, \overline{HI}}{\overline{HA_o}}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\;\overline{HI}</math>, <br>{{Transparent|des trois évaluations précédentes et de la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{a})}\;</math> réécrite selon <math>\;\color{transparent}{(n_o - n_i)\, \omega = n_o\,\theta_o - n_i\, \theta_i}</math>, on en déduit }}«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{HC}} = \dfrac{n_i}{\overline{HA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{HA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>».}} ==== Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω ==== {{Al|5}}Établir que <math>\;H\;</math><ref name="définition de H" /> peut être confondu avec le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="H et S confondus" /> et {{Al|5}}réécrire que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> en tenant compte de cette confusion. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Montrons que <math>\;H\;</math> peut être confondu avec <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math><ref name="ω infiniment petit d'ordre un" />, en évaluant <math>\;[CH]\;</math> puis <math>\;[HS] = [CS] - [CH]\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega</math>, on obtient <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[CH] = [CI]\, \cos(\omega) = R\, \cos(\omega) \simeq R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> d'où <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] = [CS] - [CH] \simeq R - R \left( 1 - \dfrac{\omega^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>», soit «<math>\;[HS] \simeq R \dfrac{\omega^2}{2}\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\omega\;</math>» ou finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Montrons que <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> peut être confondu avec <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\color{transparent}{\omega}\;</math>}}«<math>\;[HS] \simeq 0\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math>» ; {{Al|5}}remplaçant <math>\;H\;</math> par <math>\;S\;</math> à l'ordre un en <math>\;\omega\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{b})</math>, on peut, sous les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme approché <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />, la réécrire selon <center>«<math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» <ref> Sous cette forme la relation nécessite que le point objet <math>\;A_o\;</math> soit <math>\;\neq S\;</math> sommet du dioptre.</ref>.</center>}} ==== Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Vérifier que la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> définit, pour un point objet <math>\;A_o\;</math> quelconque, un point image unique <math>\;A_i\;</math> et en déduire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour le point objet <math>\;A_o</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que }}la relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre"> Nous admettrons que cette relation <math>\;\big(</math>ou propriété<math>\big)\;</math> établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.</ref> où <math>\;V\;</math> est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;\delta\big)\;</math><ref name="dioptrie" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> pouvant être écrite selon «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V}\;</math>» }}exprimer <math>\;V\;</math> en fonction de <math>\;\overline{R} = \overline{SC}</math>, <math>\;n_o\;</math> et <math>\;n_i</math>. {{Al|5}}Par la suite notant l'abscisse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref> Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.</ref> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Par la suite notant l'abscisse de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}celle du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}</math>, <br>{{Al|5}}la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> « pour tout point objet <math>\;A_o\;</math> autre que <math>\;C\;</math> et <math>\;S\;</math>» <ref name="Ao autre que C et S" /> puisque, <br>{{Al|9}}{{Transparent|La relation <math>\;\color{transparent}{(\mathfrak{b})}\;</math> établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « }}pour un point objet <math>\;A_o\;</math> fixé, le point image <math>\;A_i\;</math> est déterminé de façon unique <math>\;\big(</math>indépendamment des variations des petits angles <math>\;\theta_o\;</math> et <math>\;\omega\big)</math>. {{Al|5}}La relation <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> peut effectivement être écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> où <math>\;V\;</math> est une constante définissant la « vergence » du dioptre sphérique selon <center>«<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{SC}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> rayon algébrisé du dioptre.</center> {{Al|5}}Avec les « abscisses de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et du point image <math>\;p_i = \overline{SA_i}_{\leftarrow}\;</math>», la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique se réécrit <center>«<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>».</center>}} === Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles === {{Al|5}}Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre <math>\;C\;</math> et le sommet <math>\;S\;</math> <ref name="Définition sommet" /> du dioptre sont des points <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que }}dont l'image est confondue avec l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. des points doubles<math>\big)</math>. {{Al|5}}Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> est applicable à <math>\;C</math>, centre du dioptre, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est applicable à <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}bien que la conjugaison soit rigoureuse ; {{Al|5}}vérifier, en utilisant cette relation, que <math>\;C\;</math> est effectivement un point double. {{Al|5}}Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> reste applicable à <math>\;S</math>, sommet du dioptre <ref> Mais évidemment pas sous la forme «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» qui est indéterminée quand on l'applique à <math>\;S</math>, son abscisse objet <math>\;p_o\;</math> y étant nulle <math>\;\ldots</math></ref>, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}évaluer <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o\;</math> et de <math>\;V\;</math> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}vérifier, sur cette dernière forme, que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>«<math>\;S\;</math> est effectivement un point double » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Admettant que la relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reste applicable à <math>\;\color{transparent}{S}</math>, vérifier, }}<math>\succ\;</math>« il n'y a pas d'autres points doubles que <math>\;S\;</math> et <math>\;C\;</math>». {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - points doubles.jpg|thumb|650px|Schémas de vérification du fait que, pour <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, le dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> est stigmatique rigoureux et que ce sont des points doubles]] {{Al|5}}Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en <math>\;C\;</math> ou <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent <ref name="indépendance de la nature du dioptre"/> : * à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c.-à-d. prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de <math>\;C\;</math> étant <math>\;C\;</math> lui-même, ce dernier est un point double ; * à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence <math>\;S\;</math> lui-même <ref> En suivant une direction plus rapprochée de l'axe optique principal que ne l'est celle du rayon incident.</ref> et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet <ref name="stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point" /> ; de plus le point image de <math>\;S\;</math> étant <math>\;S\;</math> lui-même, ce dernier est un point double. {{Al|5}}Pour appliquer la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> à <math>\;C</math>, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de <math>\;C\;</math> et d'ouverture quelconque <ref> Le fait que les autres rayons divergent également à partir de <math>\;C\;</math> ne modifient en rien la divergence des rayons transmis provenant de rayons incidents paraxiaux.</ref>, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> ; {{Al|5}}dans ce cas, si on appelle <math>\;C_i</math>, l'image du point objet <math>\;C</math>, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_o(C) = \overline{SC} = \overline{R}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, si on appelle <math>\;\color{transparent}{C_i}\;</math> l'image du point objet <math>\;\color{transparent}{C}</math>, ce dernier }}<math>\;C_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i(C_i) = \overline{SC_i}\;</math>», nous obtenons, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, }}en remplaçant <math>\;V\;</math> par <math>\;\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}</math>, «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} = \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> soit <math>\;p_i(C_i) = \overline{R}\;</math> ou <math>\;\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}\;</math> prouvant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ce cas, en remplaçant <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i(C_i)} - \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math>» soit <math>\;\color{transparent}{p_i(C_i) = \overline{R}}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{\overline{SC_i} = \overline{R} = \overline{SC}}\;</math>» }}<math>\;C_i\;</math> se confond avec <math>\;C\;</math> et par suite que «<math>\;C\;</math> est un point double ». {{Al|5}}De <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> on tire <math>\;\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}\;</math> soit «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» }}le point objet en <math>\;S</math>, d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(S) = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, }}a une image d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = 0</math>, c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V}\;</math> on tire <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{p_i} = \dfrac{n_o}{p_o} + V = \dfrac{n_o + V\, p_o}{p_o}}\;</math> soit «<math>\;\color{transparent}{p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}}\;</math>» le point objet en <math>\;\color{transparent}{S}</math>, a }}une image confondue avec <math>\;S</math>, prouvant que «<math>\;S\;</math> est bien un point double » ; {{Al|5}}les points doubles <math>\;A_d\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_d\;</math> étant tels que leurs abscisses images de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> s'écrivant «<math>\;p_i(A_d) = \overline{SA_d} = p_d\;</math>» avec «<math>\;p_i(A_d) = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» obéissent à l'équation «<math>\;p_d = n_i\, \dfrac{p_d}{n_o + V\, p_d}\;</math>» qui se décompose en «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}p_d = 0\;\;\; \text{ou}\\ n_o + V\, p_d = n_i\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 1^ère solution donnant <math>\;S\;</math> sommet du miroir et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points doubles <math>\;\color{transparent}{A_d}\;</math> }}la 2^ème équation conduisant à «<math>\;p_d = \dfrac{n_i - n_o}{V} = \overline{R}\;</math>» c.-à-d. <math>\;C\;</math> point double ; <center>le centre et le sommet d'un dioptre sphérique sont donc les seuls points doubles de ce dernier.</center>}} === Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence === ==== Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » <ref name="définition focal" /> puis déterminer {{Al|5}}déterminer <math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> c.-à-d. le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;F_o\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; A_{i,\,\infty}\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer }}<math>\;\succ\;</math>la position du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> c.-à-d. le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent <ref name="Antécédent" /> le point à l'infini de cet axe optique principal <math>\;\big[</math>ou <math>\;A_{o,\,\infty}\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; F_i\big]</math>. {{Al|5}}Définissant <math>\;\succ\;</math>la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définissant }}<math>\;\succ\;</math>la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal image <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>», {{Al|5}}déterminer le lien entre vergence <math>\;V</math>, distance focale objet <math>\;f_o</math>, distance focale image <math>\;f_i</math>, indice espace objet <math>\;n_o\;</math> et indice espace image <math>\,n_i</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double <ref name="caractère non double du point à l'infini de l'axe optique principal - bis"> En effet nous avons établi que les seuls points doubles du dioptre sphérique sont <math>\;C\;</math> et <math>\;S</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles]] » plus haut dans cet exercice.</ref>. * Le foyer principal image <math>\;F_i</math>, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(F_i) = \overline{SF_i}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, }}étant l'image du point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(A_{o,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_o}{p_o(A_{o,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Transparent|Le foyer principal image <math>\;\color{transparent}{F_i}</math>, étant l'image du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{o,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(F_i)} - 0 = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». * Le foyer principal objet <math>\;F_o</math>, repéré par l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o(F_o) = \overline{SF_o}\;</math> <br>{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, }}étant l'antécédent <ref name ="Antécédent"/> du point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i(A_{i,\, \infty}) = \infty\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{n_i}{p_i(A_{i,\, \infty})} = 0</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}</math>, étant l'antécédent du point à l'infini <math>\;\color{transparent}{A_{i,\, \infty}}\;</math> de l'axe optique principal, }}on en déduit <math>\;0 - \dfrac{n_o}{p_o(F_o)} = V\;</math> soit «<math>\;\overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>». {{Al|5}}<u>Notion de distances focales objet et image</u> : * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> étant définie par «<math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_i = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant définie par «<math>\;f_o = \overline{SF_o}\;</math>» est liée à la vergence par «<math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math>» ; <center>on en déduit la relation «<math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math>» <ref name="interprétation de la vergence - bis"> Pratiquement « la vergence <math>\;V\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}\;</math>», appliquée au couple de points conjugués <math>\;(A_{o,\, \infty}\, , \,F_i)\;</math> on trouve <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} - 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pratiquement « la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est la valeur de l'invariant <math>\;\color{transparent}{\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}}}\;</math>», }}appliquée au couple de points conjugués <math>\;(F_o\, , \,A_{i,\, \infty})</math>, <math>\;V = 0 - \dfrac{n_o}{f_o}</math> ; <br>{{Al|3}}pour mémoire, <math>\;C\;</math> étant un point double, l'invariant en <math>\;C\;</math> donne la valeur «<math>\;V = \dfrac{n_i}{\overline{SC}} - \dfrac{n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{SC}} = \dfrac{n_i - n_o}{\overline{R}}\;</math>».</ref>.</center>}} ==== Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux ==== {{Al|5}}Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de <math>\;n_o - n_i\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal }}à « vergence négative » {{Transparent|est dit }}« divergent » ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Déterminer }}la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux. {{Al|5}}Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré. {{Solution|contenu ={{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;V\;</math> est <math>\;\succ\;</math>de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent"> Exemple passage du verre à l'air ou de l'eau à l'air ou encore du verre à l'eau.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|De <math>\;\color{transparent}{V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}}\;</math> on déduit que la vergence <math>\;\color{transparent}{V}\;</math> est }}<math>\;\succ\;</math>de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent"> Exemple passage de l'air au verre ou de l'air à l'eau ou encore de l'eau au verre.</ref> ; {{Al|5}}on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de <math>\;n_o - n_i</math> : * un dioptre sphérique <u>concave</u> ayant un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} < 0\;</math><ref name="nature de C dioptre"> Le centre <math>\;C\;</math> d'un dioptre sphérique concave est réel alors que celui d'un dioptre sphérique convexe est virtuel.</ref>, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique concave }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », * un dioptre sphérique <u>convexe</u> a un rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R} = \overline{SC} > 0\;</math><ref name="nature de C dioptre" />, <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V < 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, c'est un système « <u>divergent</u> », <br>{{Transparent|un dioptre sphérique convexe }}a une vergence <math>\;V > 0\;</math> si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, c'est un système « <u>convergent</u> ». {{Al|5}}De <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique : * pour un dioptre sphérique <u>concave convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave convergent"> Pour qu'un dioptre concave soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>concave divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "concave divergent"> Pour qu'un dioptre concave soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique concave divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} < 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe divergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe divergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit divergent il faut que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent c.-à-d. <math>\;n_o < n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> entraînant le caractère <u>virtuel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe divergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V < 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>virtuel</u>, * pour un dioptre sphérique <u>convexe convergent</u> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name = "convexe convergent"> Pour qu'un dioptre convexe soit convergent il faut que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent c.-à-d. <math>\;n_o > n_i</math>.</ref>, la distance focale image <math>\;f_i = \overline{SF_i} = \dfrac{n_i}{V} = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> entraînant le caractère <u>réel</u> du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour un dioptre sphérique convexe convergent <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{R} > 0 \\ V > 0 \end{array}\right\rbrace}\;</math>» , }}la distance focale objet <math>\;f_o = \overline{SF_o} = -\dfrac{n_o}{V} = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,\overline{R}\;</math> étant <math>\;< 0</math>, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est également <u>réel</u>. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\big(n_o > n_i\big)\;</math><ref name="plus réfringent à moins réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o > n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert < \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est plus éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\succ\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\big(n_o < n_i\big)\;</math><ref name="moins réfringent à plus réfringent" />, le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est situé à <math>\;\vert f_o \vert = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>pour un dioptre sphérique tel que la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent <math>\;\color{transparent}{\big(n_o < n_i\big)}\;</math>, }}le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est situé à <math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{n_i}{n_o - n_i}\,R\;</math> de <math>\;S\;</math> avec <center><math>\;\vert f_i \vert > \vert f_o \vert\;</math> <math>\Rightarrow</math> le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> est moins éloigné du sommet <math>\;S\;</math> que le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Avec, pour un dioptre concave, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet virtuel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image virtuelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec, }}pour un dioptre convexe, <math>\;F_o\;</math> du côté de l'espace objet réel <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à gauche<math>\big)\;</math> et <math>\;F_i\;</math> du côté de l'espace image réelle <math>\;\big(</math>c.-à-d. usuellement à droite<math>\big)</math>.</ref>.</center>}} === Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Démonstration_du_stigmatisme_approché_d'un_dioptre_sphérique_concave_convergent_sous_conditions_de_Gauss|démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss]] » plus haut dans cet exercice et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On considère }}un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq C\;</math><ref name="support axe optique principal" /> tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre <ref name="stigmatisme approché d'un système optique pour un point" /> pour tous les points <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o\;</math><ref> C.-à-d. que, pour un point quelconque <math>\;M_o\;</math> de <math>\;A_oB_o</math>, avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)\;</math> <math>\big(</math>cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet <math>\;M_o\;</math> est qualifié de secondaire relativement au point objet <math>\;A_o\big)</math>, les rayons incidents issus de <math>\;M_o\;</math> doivent être paraxiaux <math>\;\big[</math>peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire <math>\;S_{M_o}</math>, intersection de l'axe optique secondaire de support <math>\;(CM_o)\;</math> avec le dioptre<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|15}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché }}l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> admet une image « nette » <math>\;A_iB_i\;</math><ref name="Nette" /> mais a priori <ref> C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|20}}{{Transparent|On considère un objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o \neq C}\;</math> tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> admet une image }}ni « linéique » <ref name="Linéique" /> ni « transverse ». {{Al|5}}On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} S\big)\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq S\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|On suppose que l'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> est, }}ces deux exigences constituant les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <ref> C'est cette façon qui a été vue en cours, <math>\;S\;</math> étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> quelconque <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="façon plus simple" /> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> n'est pas proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre, il doit être vu du centre <math>\;C\;</math> sous un angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>si un objet <math>\;A_oB_o\;</math> est tel que son pied <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math>, il doit être vu du sommet <math>\;S\;</math> du dioptre sous un angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\;</math> si <math>\;A_o\; \simeq C\big)</math>. ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant d'abord supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq} C\big)</math>, <br>{{Al|5}}nous considérons l'angle <math>\;\alpha</math>, sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous considérons }}l'angle <math>\;\beta\;</math> sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, n'étant pas nécessairement petit, <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position <math>\;\big(</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> établie dans la solution de [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)|la question plus bas dans cet exercice]] » <ref name="méthode moins aisée" /> à savoir «<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}_{\leftarrow}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}_{\rightarrow}} = V\;</math>» où <math>\;V\;</math> est la vergence précédemment introduite ; {{Al|5}}la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes : * montrer qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est un arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et <br>{{Al|13}}{{Transparent|en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au centre<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>, }}vérifier que l'angle au centre associé est encore <math>\;\alpha</math>, * conclure qu'à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> peut être confondue avec un segment <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal c.-à-d. qu'elle est linéique transverse <ref> Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> étant supposé de pied <math>\;A_o\;</math> non proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o\; \cancel{\simeq}\; C\big)</math>, avec l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel il est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\alpha \ll 1\big)</math>, * le caractère transverse de l'objet linéique <math>\Rightarrow</math> la longueur <math>\;[CB_o]\;</math> est plus grande que la longueur <math>\;[CA_o]\;</math><ref name="définition des côtés triangle rectangle" />, soit plus précisément «<math>\;[CA_o] = [CB_o]\, \cos(\alpha) \simeq [CB_o] \left( 1 - \dfrac{\alpha^2}{2} \right)\;</math> à l'ordre deux en <math>\;\alpha\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles" /> ou finalement «<math>\;[CA_o] \simeq [CB_o]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\alpha\;</math>» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> peut être confondu avec un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, d'angle au centre associé <math>\;\alpha</math>, * tous les points objet <math>\;M_o\;</math> de l'arc de cercle <math>\;A_oB_o\;</math> de centre <math>\;C\;</math> ayant une abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support {{Nobr|<math>\;(CM_o)\;</math><ref name="axe optique secondaire" />,}} l'application de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - ter"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus bas dans cet exercice.</ref> donne donc des points image <math>\;M_i\;</math> à abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> indépendante de <math>\;M_o\;</math> sur l'axe optique secondaire associé de support <math>\;(CM_o)</math>, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est assimilable, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, à un arc de cercle de centre <math>\;C</math>, * l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'arc de cercle <math>\;A_iB_i\;</math> est vu du centre <math>\;C\;</math> étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet <math>\;A_oB_o</math>, c.-à-d. assimiler l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> à un segment choisi <math>\;\perp\;</math> à l'axe optique principal de support <math>\,(CA_i)\,</math><ref name="justification choix" />, c.-à-d. que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est, à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, linéique transverse ; <center>nous avons donc établi l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre</u>.</center>}} ==== Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle ==== {{Al|5}}L'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> étant maintenant supposé proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'objet linéique transverse <math>\;\color{transparent}{A_oB_o}\;</math> de pied <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}nous considérons l'angle <math>\;\beta</math>, sous lequel il est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)</math> ; <br>{{Al|5}}la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de <math>\;M_o</math>, point objet quelconque de <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="paraxial - ter"> Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet <math>\;M_o</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>, tous les rayons non paraxiaux issus de <math>\;M_o\;</math> seront arrêtés par un diaphragme centré sur <math>\;S</math> ;<br>{{Al|3}}on vérifie aisément que les rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math> sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident <math>\;M_oC\;</math> pouvant ne pas l'être car <math>\;A_o\;</math> est proche de <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en <math>\;S\big)</math>, nous ne l'utiliserons pas.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite }}de montrer que le point image <math>\;M_i</math>, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image <math>\;\color{transparent}{M_i}</math>, }}a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image <math>\;A_i</math>, pour cela : * déterminer l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i\;</math> de <math>\;A_i\;</math> en fonction de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer l'abscisse image de Descartes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>avec origine au sommet<math>\color{transparent}{\big)}</math> <math>\;\color{transparent}{p_i}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{A_i}\;</math> en fonction }}de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * déterminer la longueur algébrique <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> en fonction de <math>\;\beta\;</math> et de l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o\;</math> de <math>\;A_o</math>, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis"> L'axe <math>\;\overrightarrow{Sx}\;</math> étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe <math>\;\overrightarrow{Sy}\;</math> étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> étant lui aussi orienté vers le haut.</ref> déterminer l'équation des rayons incidents <math>\;M_oS\;</math> et <math>\;M_oF_o\;</math><ref name="définition ε" />, * travaillant dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection <math>\;M_i</math> ; * vérifier que l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> du projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i</math>, * conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math> pour l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre du dioptre. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - aplanétisme.jpg|thumb|500px|Schéma positionnant un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied proche du centre d'un dioptre sphérique concave convergent pour démontrer l'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet <ref> Sur le schéma ci-dessus « la distance focale objet vaut <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,5\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,0\big)</math> <math>\;f_o = \dfrac{n_o}{n_o - n_i}\;\overline{R} = 3\;\overline{R} = -3\;R\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Sur le schéma ci-dessus }}« la distance focale image, quant à elle, valant <math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o - n_i}\;\overline{R} = -2\;\overline{R} = 2\;R\;</math>».</ref>]] {{Al|5}}Soit <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o</math>, proche du centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;A_o \simeq C\big)</math>, vu du sommet <math>\;S\;</math> de ce dernier sous un angle <math>\;\beta\;</math> petit <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;\beta \ll 1\big)\;</math> correspondant à la condition de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> précitée ; # on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> de <math>\;A_i</math>, image du point objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}</math>, par utilisation de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> de vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i}</math>, <math>\;f_i = \overline{SF_i}\;</math> étant la distance focale image du dioptre d'où : <center><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i} \Rightarrow \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{n_o}{n_i\, p_o} + \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{n_o\, f_i + n_i\, p_o}{n_i\, p_o\, f_i}\;</math> soit finalement «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>».</center> # «<math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» et «<math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> <math>\;> 0\;</math>» avec «<math>\;\beta\;</math> non algébrisé <math>\;\ll 1\;</math>», on en déduit <math>\;\tan(\beta) =</math> <math>-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math> d'où, avec <math>\;\tan(\beta) \simeq \beta\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" />, <center>«<math>\;\overline{A_oB_o} \simeq -\beta\; p_o\;</math>» ;</center> # dans le repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" />, le rayon incident <math>\;M_oS\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = \varepsilon\, \overline{A_oB_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_S}{x_{M_o} - x_S} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o} = -\varepsilon\, \beta\;</math> a pour équation <math>\;y - y_S = -\varepsilon\, \beta \left( x - x_S \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y = -\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> issu de <math>\;M_o\;</math> de coordonnées <math>\;(x_{M_o} = p_o\, , \, y_{M_o} = -\varepsilon\, \beta\, p_o)\;</math><ref name="définition ε" /> et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique <math>\;F_o\;</math> de coordonnées <math>\;\left(x_{F_o} = f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\,f_i\, , \, y_{F_o} = 0\right)\;</math> étant de pente <math>\;\dfrac{y_{M_o} - y_{F_o}}{x_{M_o} - x_{F_o}} =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, p_o}{p_o + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\,f_i}\;</math> a pour équation <math>\;y - y_{F_o} = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x - x_{F_o} \right)\;</math> soit finalement «<math>\;y =</math> <math>\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left( x + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right)\;</math>» ; # dans le même repère orthonormé <math>\;(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})\;</math><ref name="définition de Sx et Sy - bis" /> le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oS\;</math> étant de direction déterminée par la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> est de pente <math>\;-\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\;</math><ref> En effet le rayon réfracté de pente égale à la tangente de l'angle de réfraction c.-à-d. égale à l'angle de réfraction <math>\;i_i\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}le rayon incident étant de pente égale à la tangente de l'angle d'incidence c.-à-d. égale à l'angle d'incidence <math>\;i_o\;</math> à l'ordre un de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}l'utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes de la réfraction <math>\;\big(</math>écrite pour de petits angles<math>\big)\;</math> conduit à <math>\;n_i\, i_i = n_o\, i_o\;</math> d'où <math>\;i_i = \dfrac{n_o}{n_i}\, i_o</math>.</ref> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oS\;</math> «<math>\;y = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x\;</math>» <ref name="vérification signes bis" />, <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}</math>, }}le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> étant, à partir du point d'incidence <math>\;I\;</math> sur le dioptre, <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de <math>\;I\;</math> par <math>\;x_{I} = 0\;</math> dans l'équation du rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> établie plus haut soit <math>\;y(I) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_i\, p_o}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} \left[ x_I + \dfrac{n_o}{n_i}\,f_i \right) = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math> d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident <math>\;M_oF_o\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}</math>» ; <br>{{Al|7}}{{Transparent|dans le même repère orthonormé <math>\;\color{transparent}{(S,\, \overrightarrow{Sx},\, \overrightarrow{Sy})}\;</math>, }}l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\dfrac{-\varepsilon\, \beta\, n_o\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i} = -\dfrac{n_o}{n_i}\,\varepsilon\, \beta\, x_{M_i}\;</math> soit <center>«<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» ;</center> # l'abscisse «<math>\;x_{M_i} = \dfrac{n_i\, p_o\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de l'intersection <math>\;M_i\;</math> de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;p_i = p_o\, \dfrac{n_i\, f_i}{n_i\, p_o + n_o\, f_i}\;</math>» de <math>\;A_i</math> ; # le projeté de <math>\;M_i\;</math> sur l'axe optique principal se superposant à <math>\;A_i</math>, <math>\Rightarrow</math> l'<u>aplanétisme approché du dioptre sphérique</u> <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <u>pour tout objet linéique</u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied proche du centre du dioptre</u>.}} ==== Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) ==== {{Al|5}}Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" /> de stigmatisme et d'aplanétisme approchés <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché" />{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" />, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre <math>\;C</math>, les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i</math>, le sommet <math>\;S\;</math> et la partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal <ref> Cette partie de dioptre <math>\;\perp\;</math> en <math>\;S\;</math> à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.</ref> <center>voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique <ref name="Foyers à ajouter - bis"> La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> à droite. <br><gallery mode="packed" heights="215px"> Dioptre sphérique concave verre - air.jpg|Dioptre sphérique concave convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave convergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="235px"> Dioptre sphérique concave air - verre.jpg|Dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique concave divergent - symbole.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe verre - air.jpg|Dioptre sphérique convexe divergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe divergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent </gallery> <br><gallery mode="packed" heights="240px"> Dioptre sphérique convexe air - verre.jpg|Dioptre sphérique convexe convergent <math>\;\big(</math>passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent<math>\big)</math> Dioptre sphérique convexe convergent.jpg|Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent </gallery> </center> [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|500px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;S\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse <math>\;A_iB_i\;</math> d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> <math>\;\neq S\;</math> et <math>\;\neq C\;</math> en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'un passant que le centre <math>\;C\;</math> du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié <ref name="rayon incident passant par C - bis"> En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence <math>\;I\;</math> du rayon incident et passer par l'image de <math>\;C\;</math> par le dioptre c.-à-d. <math>\;C\;</math> lui-même.</ref>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" />{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique"> Attention le sommet <math>\;S\;</math> du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre <math>\big(</math>autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident <math>\;B_oC\;</math> qui se confond avec la normale réelle du dioptre en <math>\;I\;</math> n'est pas <math>\;\perp\;</math> à la représentation symbolique du dioptre en <math>\;I\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence <math>\;B_i\;</math> de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> sous conditions de Gauss <ref name="Gauss" />{{,}} <ref> Car le dioptre est stigmatique approché pour <math>\;B_o</math>.</ref> <br>{{Al|5}}il suffit de projeter orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir le point image <math>\;A_i\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo"> Car le dioptre est aplanétique approché pour <math>\;A_oB_o</math>.</ref> {{Al|5}}En comparant les triangles rectangles <math>\;A_iB_iS\;</math> et <math>\;A_oB_oS</math>, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>» en fonction des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|5}}la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> pour tout objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" />, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant exposé la construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> dans l'énoncé de la question <math>\;\big\{</math>pour rappel on positionne <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />{{,}} <ref> Il est déconseillé de choisir ce rayon dans les constructions futures demandées car peu pratique <math>\;\big(</math>l'angle <math>\;i_o\;</math> devant être mesuré puis l'angle <math>\;i_i\;</math> calculé et enfin reporté par rapport à l'axe optique principal<math>\big)</math> ; ici nous l'utilisons dans la démonstration d'où ce choix.</ref>{{,}} <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, puis on projette orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal pour obtenir <math>\;A_i\;</math><ref name="dioptre aplanétique approché pour AoBo" /><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(i_o)\;</math> et <math>\;\tan(i_i)\;</math> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oS\;</math> et <math>\;A_iB_iS\;</math> soit : * «<math>\;\tan(i_o) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\;</math>», <math>\;i_o\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_oB_o} > 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o} < 0\;</math><ref> On suppose <math>\;A_o \neq S\;</math> pour que le triangle <math>\;A_oB_oS\;</math> puisse être défini.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i) \simeq i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i \simeq \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}}\Bigg]</math> ; * «<math>\;\tan(i_i) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>», <math>\;i_i\;</math> étant <math>\;< 0</math>, <math>\;\overline{A_iB_i} < 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_i} > 0\;</math> <ref> Ayant supposé <math>\;A_o \neq S\;</math> et <math>\;S\;</math> étant un point double on en déduit <math>\;A_i \neq S\;</math> ce qui définit le triangle <math>\;A_iB_iS</math>.</ref>, <math>\;\Bigg[</math>comme <math>\;\vert i_i \vert\;</math> est <math>\;\ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan(i_i) \simeq i_i\;</math><ref name="D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles" /> on en déduit <math>\;i_i \simeq \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\Bigg]</math> ; {{Al|5}}écrivant la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de la réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> pour les petits angles <math>\;n_i\, i_i \simeq n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" /> on en déduit «<math>\;n_o\, \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SA_o}} \simeq n_i\, \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math><u>avec origine au sommet</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq S\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}p_o = \overline{SA_o}\\ p_i = \overline{SA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;p_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;p_i = f_i\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;p_o = f_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = C\;</math><ref> Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied <math>\;C\;</math> de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c.-à-d. l'utilisation de rayons incidents issus de <math>\;M_o\; (\neq C)\; \in A_oB_o\;</math> paraxiaux <math>\big(</math>ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en <math>\;S\;</math> collé contre le dioptre<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\beta\;</math> sous lequel l'objet est vu du sommet <math>\;S</math>, petit <math>\;\big(\beta \ll 1\big)</math>, * vérifier, par construction de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes <ref name="Snell - Descartes" /> de réfraction <ref name="2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction" /> dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss" />, qu'elle est se superpose à <math>\;A_oB_o\;</math> avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image, * comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> en considérant <math>\;A_o = C\;</math> et * en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes <math>\big(</math>avec origine en <math>\;S\big)</math> pour un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o = C</math>. {{Al|5}}Considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S\;</math><ref> L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied <math>\;A_o = S</math>, l'axe optique principal ayant pour support <math>\;(CA_o)</math>, ne peut être rigoureusement linéique <math>\;\big(</math>c.-à-d. rectiligne<math>\big)\;</math> car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de <math>\;C\;</math> sous un petit angle non algébrisé <math>\;\alpha</math>, on peut confondre l'arc de cercle de centre <math>\;C\;</math> et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en <math>\;\alpha</math>, raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ; <br>{{Al|3}}le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet <math>\;\big(</math>secondaire<math>\big)\;</math> pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant }}la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c.-à-d. l'angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> sous lequel l'objet est vu du centre <math>\;C</math>, petit <math>\;\big(\alpha \ll 1\big)\;</math><ref> Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.</ref>, * vérifier que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose à <math>\;A_oB_o</math>, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et * en déduire la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(S)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o = S</math> puis * vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> quand ce dernier tend vers <math>\;S\;</math><ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis"> Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> ou <math>\;A_o = S\;</math> par levée de l'indétermination.</ref>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - grandissement transverse au centre.jpg|thumb|450px|Construction de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied au centre d'un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}Le centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique concave convergent ci-contre en étant un point double conjugué rigoureux, un objet linéique transverse <math>\;CB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> a pour image, par le dioptre, une image de pied <math>\;C</math>, de plus, comme le dioptre sphérique est aplanétique approché pour tout objet de pied <math>\;A_o\;</math> quelconque, l'image de <math>\;CB_o</math>, notée <math>\;CB_i</math>, est linéique transverse ; <br>{{Al|5}}pour obtenir cette dernière il suffit de choisir pour rayon incident issu de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette dernière il suffit de choisir }}le rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui se propage dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, le point image <math>\;B_i\;</math> étant alors l'intersection de ce rayon émergent avec le plan transverse passant par <math>\;C</math> ; on vérifierait graphiquement que <center>«<math>\;\overline{CB_i} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \overline{CB_o}\;</math>» et par suite «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'application de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math><ref name="forme indéterminée" /> nous conduit, en considérant <math>\;A_o = C</math>, à «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\overline{SC}}{\overline{SC}}\;</math>», soit effectivement «<math>\;G_t(C) = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math>». {{clr}} {{Al|5}}Tous les points du dioptre sphérique étant des points doubles de ce dernier <ref> Chaque point du dioptre jouant le rôle de sommet pour l'axe optique principal passant par ce point, c'est effectivement un point double.</ref>, un objet collé sur le dioptre est donc sa propre image ; <br>{{Al|5}}dans la mesure où l'objet est de petite taille, on peut négliger sa courbure et le considérer comme linéique transverse, son image étant alors également linéique transverse ; <center>comme «<math>\;\overline{SA_i} = \overline{SA_o}\;</math>» on en déduit, par définition, «<math>\;G_t(S) = +1\;</math>».</center> {{Al|5}}Nous avons établi, dans la solution de la sous question précédente, la valeur du grandissement transverse <math>\;G_t(A_o)\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi, }}dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Points_pour_lesquels_la_conjugaison_du_dioptre_sphérique_est_rigoureuse_et_points_doubles|points pour lesquels la conjugaions du dioptre sphérique est rigoureuse et points double]] » plus haut dans cet exercice, l'expression de <math>\;p_i\;</math> en fonction de <math>\;p_o</math>, de la vergence <math>\;V = \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\;</math><ref> Voir l'expression de la vergence dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conclusion_:_stigmatisme_approché_du_dioptre_sphérique_(concave_convergent)_pour_le_point_objet_Ao_et_relation_de_conjugaison_(approchée)_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)|conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de postion de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et de l'indice des espaces image et objet, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + V\, p_o}\;</math>» expression déduite de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big[</math>ou relation de conjugaison de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> soit, en reportant l'expression de la vergence, «<math>\;p_i = n_i\, \dfrac{p_o}{n_o + \dfrac{n_o - n_i}{\overline{R}}\, p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{p_o}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_i}{n_o}\, \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math>, par report dans l'expression de «<math>\;G_t(A_o)</math> <math>= \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» précédemment rappelée, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}}\;</math> pour un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math>» ; on en déduit <center>quand <math>\;A_o \rightarrow S</math>, <math>\;p_o \rightarrow 0\;</math> et par suite «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{1}{1 + \left( 1 - \dfrac{n_i}{n_o} \right)\, \dfrac{p_o}{\overline{R}}} \rightarrow 1 = G_t(S)\;</math>» d'où le prolongement de <br>l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> <br>à tout objet linéiqua transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o \neq S\;</math> à <math>\;S\;</math> par levée de l'indétermination <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" />.</center>}} ==== Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse ==== {{Al|5}}<u>Définitions préliminaires</u> : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre <math>\;C</math> du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ; {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : }}on appelle foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et {{Al|5}}{{Transparent|Définitions préliminaires : On appelle }}foyer secondaire image <math>\;\varphi_i\;</math> associé à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image. {{Al|5}}<u>Propriétés</u> : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : # le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\big]</math>, # le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math> admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire <math>\;\big[</math>soit <math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)\big]</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}<u>Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire</u> : # propriété du foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> contenu dans le plan focal objet et de pied <math>\;F_o</math>, objet noté <math>\;F_o\varphi_o(\delta)</math>, <math>\;F_o\;</math> ayant pour image le point à l'infini <math>\;A_{i,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon incident issu de <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> se prolonge dans l'espace image sans déviation, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;\varphi_o(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; B_{i,\, \infty}(\delta)\;</math>», # propriété du foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> associé à l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math> : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied <math>\;F_i</math>, image notée <math>\;F_i\varphi_i(\delta)</math>, <math>\;F_i\;</math> ayant pour antécédent le point à l'infini <math>\;A_{o,\, \infty}\;</math> de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)\;</math><ref> En effet le rayon émergent issu de <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> et passant par <math>\;C\;</math> est le prolongement d'un rayon incident sans changement de direction, les parties incidente et émergente constituant l'axe optique secondaire de support <math>\;(\delta)</math>.</ref>, soit effectivement «<math>\;B_{i,\, \infty}(\delta)\; \stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}\; \varphi_i(\delta)</math>».}} {{Al|5}}Considérant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> réel, de pied <math>\;A_o\;</math> séparé du sommet <math>\;S\;</math> d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre <math>\;\big[</math>pour la construction on prendra <math>\;n_o = 1,5\;</math> <math>\big(</math>indice du verre<math>\big)\;</math> et <math>\;n_i = 1,0\;</math> <math>\big(</math>indice de l'air<math>\big)\big]</math>, construire son image <math>\;A_iB_i\;</math> par le dioptre de deux façons différentes : # en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> <math>\big[</math>choisis parmi les trois suivants : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal<math>\big]</math>, # en considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math><ref name="un seul rayon incident suffit" /> <math>\;\big[</math>choisi parmi les deux suivants : passant par <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\big]</math>. {{Al|5}}Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent <math>\;\big(</math>obtenu en permutant les espaces objet et image<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image.jpg|thumb|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<math>\;1.\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> choisis parmi les trois suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;C\;</math> et se prolongeant sans déviation, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par <math>\;F_o\;</math> foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{1.}\;</math>En considérant deux rayons incidents issus de <math>\;\color{transparent}{B_o}\;</math> }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, <math>\;A_i\;</math> s'obtient en projetant orthogonalement <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal. [[File:Dioptre sphérique concave convergent - construction image - bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave convergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire]] {{Al|5}}<math>\;2.\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> choisis parmi les deux suivants <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math>passant par un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o(\delta)\;</math> {{Nobr|<math>\big[</math>point}} d'intersection du rayon incident et du plan focal {{Nobr|objet<math>\big]\;</math>}} et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> <math>\big[</math>c.-à-d., pour la partie incidente <math>\;C\varphi_o(\delta)</math>, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation<math>\big]</math>, <br>{{Al|10}}<math>\;\succ\;</math><math>\parallel\;</math> à un axe optique secondaire a priori quelconque <math>\;(\delta)\;</math> et émergeant en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_i(\delta)\;</math> <math>\big[</math>point d'intersection de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> et du plan focal image<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{2.}\;</math>En considérant un rayon incident issu de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}l'image <math>\;A_i\;</math> étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, <math>\;B_i\;</math> s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par <math>\;B_o\;</math> et du plan transverse passant par <math>\;A_i</math>. {{clr}} {{Al|5}}Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de <math>\;A_o\;</math> et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite : <center> <gallery mode="packed" heights="315px"> Dioptre sphérique concave divergent - construction image.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant deux des trois rayons incidents issus de <math>\;B_o</math> : <br>passant par <math>\;C</math>, passant par <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal Dioptre sphérique concave divergent - construction image - bis.jpg|Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> utilisant un des deux incidents issus de <math>\;A_o</math> : <br>passant par un foyer secondaire objet ou <math>\;\parallel\;</math> à un axe optique secondaire </gallery> </center>}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss === ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== {{Al|5}}On repère maintenant les points objet <math>\;A_o\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> relativement au centre <math>\;C\;</math> du dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> de <math>\;A_i\;</math> par <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> ; {{Al|5}}à partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> s'écrit <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\overline{CA_i}} - \dfrac{n_i}{\overline{CA_o}} = V\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Descartes de position avec origine en C" /> ou «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» avec <math>\;V\;</math> vergence du dioptre sphérique.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> utilisent <math>\;C\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> ou un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\pi_o = \overline{CA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = \overline{R} + \pi_o\;</math>» et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\pi_i = \overline{CA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} =</math> <math>\overline{SC} + \overline{CA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = \overline{R} + \pi_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}} <ref> On rappelle que cette relation est applicable en tout point objet autre que le sommet, la vergence <math>\;V\;</math> valant <math>\;\dfrac{-(n_i - n_o)}{\overline{R}}</math>.</ref> soit <math>\;\dfrac{n_i}{\pi_i + \overline{R}} - \dfrac{n_o}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i\,(\pi_o + \overline{R}) - n_o\, (\pi_i + \overline{R})}{(\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R})} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;-(n_o - n_i)\, (\pi_i + \overline{R})\, (\pi_o + \overline{R}) = \left[ n_i\, \pi_o - n_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R} \right]\, \overline{R}\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_o - (n_o - n_i)\, \overline{R}\, \pi_i - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2 = n_i\, \pi_o\, \overline{R} - n_o\, \pi_i\, \overline{R} - (n_o - n_i)\, \overline{R}^2\;</math> soit, après simplification évidente <math>\;-(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i - n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = 0\;</math> ou <math>\;-n_o\, \overline{R}\, \pi_o + n_i\, \overline{R}\, \pi_i = (n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;n_o\, \overline{R}\, \pi_o - n_i\, \overline{R}\, \pi_i = -(n_o - n_i)\, \pi_o\, \pi_i\;</math>» et enfin, en divisant les deux membres de l'équation par <math>\;\pi_o\, \pi_i\, \overline{R}\;</math><ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>la raison en étant que l'on cherche à établir une équation faisant intervenir des inverses de longueur à partir d'une équation comportant des produits de deux longueurs<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u>{{Nobr|<math>\;\big(</math><u>avec</u>}}<u> origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = V\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du miroir, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}} = V</math>.</ref> avec «<math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> vergence du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg|thumb|400px|Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> avec origine en <math>\;C\;</math> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_(approchée)_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_2|relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math><ref name="Applicabilité relation de Descartes de grandissement transverse avec origine en C" />. {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \pi_o + \overline{R} \\ p_i = \pi_i + \overline{R} \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\pi_i + \overline{R}}{\pi_o + \overline{R}} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}} \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)}\;</math><ref> Le but de cette avant dernière transformation étant de faire apparaître des inverses de longueur comme celles de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o}</math> <math>= \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>», voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> <math>\Bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} - \dfrac{n_i}{\pi_o} =</math> <math>\dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au centre) - tetra"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Descartes_(avec_origine_au_centre)_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> se réécrit «<math>\;\dfrac{n_o}{\pi_i} + \dfrac{n_o}{\overline{R}} = \dfrac{n_i}{\pi_o} + \dfrac{n_i}{\overline{R}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;n_0\,\left( \dfrac{1}{\pi_i} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right) = n_i\, \left( \dfrac{1}{\pi_o} + \dfrac{1}{\overline{R}} \right)\;</math>» d'où la simplification suivante<math>\Bigg]</math>, «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\dfrac{\pi_i}{\overline{R}}}{\dfrac{\pi_o}{\overline{R}}} = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» ; la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Descartes <ref name="Descartes" /></u><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> s'écrit donc <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le centre du dioptre ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;(</math>avec origine au centre<math>\big)\;</math> est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\pi_o = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> et <math>\;\pi_i = \overline{CS} = -\overline{R}\;</math> d'où «<math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 1^er passant par <math>\;C\;</math> qui est transmis sans déviation <ref name="rayon incident passant par C - bis" /> et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>le 2^ème de point d'incidence <math>\;S\;</math> qui se réfracte en <math>\;S\;</math> suivant une direction faisant l'angle <math>\;i_i\;</math> par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle <math>\;i_o\;</math> par rapport à l'axe optique principal telle que <math>\;n_i\,i_i = n_o\, i_o\;</math><ref name="relation de Kepler" />, <ref name="attention à l'utilisation de 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sur la représentation symbolique d'un dioptre sphérique" />, <br>{{Al|5}}le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math>», on le détermine en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oC\;</math> et <math>\;A_iB_iC\;</math> soit : * «<math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o}) = -\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}}\;</math>», <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_o} < 0\;</math><ref name="hors centre" />, * «<math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i}) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>», <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{CA_i} < 0\;</math><ref name="hors centre bis" /> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oCA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{B_iCA_i})</math>, on en déduit «<math>\;-\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{CA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{CA_i}}\;</math>» d'où «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math>» c.-à-d. la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou <u>relation de conjugaison</u>{{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}}<u>de grandissement transverse</u><math>\big]\;</math><u>de Descartes</u> <ref name="Descartes" /><math>\;\big(</math><u>avec origine au centre</u><math>\big)\;</math> d'un dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{CA_i}}{\overline{CA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\pi_i}{\pi_o}\;</math> <math>\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq C\big)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\pi_o = \overline{CA_o}\\ \pi_i = \overline{CA_i} \end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\pi_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\pi_i = f_i - \overline{R}\;</math> <math>\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(A_{o,\,\infty}) = 0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\pi_o = f_o - \overline{R}\;</math> et <math>\;p_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant <math>\;G_t(F_o)\;</math> infini.}} === Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss === {{Al|5}}On repère maintenant le point objet <math>\;A_o\;</math> relativement au foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> du dioptre sphérique et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On repère maintenant }}le point image <math>\;A_i\;</math> relativement au foyer principal image <math>\;F_i\;</math> du même dioptre sphérique en définissant * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_o\;</math> par «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> de <math>\;A_i\;</math> par «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>». ==== Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton ==== {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir que la relation de conjugaison de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\; \overline{F_iA_i}\; \overline{F_oA_o} = \overline{SF_i}\; \overline{SF_o}\;</math>» <ref name="Applicabilité relation de Newton" /> ou «<math>\;\sigma_i \; \sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille"> C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », nous obtenons la même relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big\{</math>ou de grandissement transverse<math>\big\}\;</math> de Newton<math>\big]\;</math> que celle d'une lentille mince <math>\;\big(</math>à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux<math>\big)</math>.</ref> avec <math>\;f_i\;</math> et <math>\;f_o\;</math> distances focales image et objet du dioptre.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les relations de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> utilisent <math>\;F_o\;</math> comme origine pour repérer un point objet <math>\;A_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> comme origine pour repérer un point image <math>\;A_i\;</math> sur l'axe optique principal : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> notée <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> est liée à son abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_o} = \overline{SF_o} + \overline{F_oA_o}\;</math> ou «<math>\;p_o = f_o + \sigma_o =</math> <math>-\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i + \sigma_o\;</math>» <ref name="vergence dioptre"> On rappelle la vergence <math>\;V = \dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d'un_dioptre_sphérique,_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image,_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}\;</math> d'où <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i</math>.</ref> et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> notée <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math> est liée à son abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)</math> <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> par <math>\;\overline{SA_i} = \overline{SF_i} + \overline{F_iA_i}\;</math> ou «<math>\;p_i = f_i + \sigma_i\;</math>» ; {{Al|5}}on obtient la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> en reportant les changements d'origine des abscisses objet et image de Descartes <ref name="Descartes" /> précédemment définis, dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math>» <ref name="relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis" />{{,}} <ref name="validité en tout point autre que S" /> ou «<math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la vergence valant <math>\;\dfrac{n_i}{f_i} = -\dfrac{n_o}{f_o}\;</math><ref name="vergence dioptre" /><math>\bigg\}</math>, soit <math>\;\dfrac{n_i}{\sigma_i + f_i} - \dfrac{n_o}{\sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i}</math> <math>= \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_i \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) - n_o\, (\sigma_i + f_i)}{(\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right)} = \dfrac{n_i}{f_i}\;</math> et, en égalant le produit des extrêmes et celui des moyens <ref name="produits des extrêmes et des moyens" /> <math>\;n_i\, (\sigma_i + f_i) \left( \sigma_o - \dfrac{n_o}{n_i}\, f_i \right) = (n_i\, \sigma_o - n_o\, \sigma_i - 2\, n_o\, f_i)\, f_i\;</math> ou, en développant chaque membre <math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i + n_i\, f_i\, \sigma_o - n_o\, f_i\, \sigma_i - n_o\, f_i^2 = n_i\, \sigma_o\, f_i - n_o\, \sigma_i\, f_i - 2\, n_o\, f_i^2\;</math> soit, après simplification, «<math>\;n_i\, \sigma_o\, \sigma_i = -n_o\, f_i^2\;</math>» et enfin, sachant que <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\, f_i\;</math><ref name="vergence dioptre" />{{,}} <ref> On remplacera une seule fois <math>\;n_o\, f_i\;</math> par <math>\;-n_i\, f_o\;</math> pour obtenir une forme symétrique de la relation puis on simplifiera l'équation obtenue par <math>\;n_i</math>.</ref>, «<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» ; la <u>1^ère relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrit <center>«<math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i\;</math>» <ref> Applicable en tout point objet autre que le foyer principal objet du dioptre <math>\;\big(</math>en effet si <math>\;A_o\;</math> est en <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_i\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal et on obtient une forme indéterminée avec <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> valant <math>\;\infty\big)</math> ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre sans levée d'indétermination, on vérifie aisément que la relation de conjugaison de position de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\;</math> d'où <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_o\, f_i</math>.</ref>{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> <br>avec «<math>\;f_i = -\dfrac{n_i}{n_o}\,f_o = -\dfrac{(n_o - n_i)}{n_i}\,\overline{R}\;</math> distance focale image du dioptre sphérique <math>\;\big(</math>concave convergent<math>\big)\;</math><ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \sigma_o = \overline{F_oA_o}\\ \sigma_i = \overline{F_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton ==== [[File:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg|thumb|460px|Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton <ref name="Newton" /> pour un dioptre sphérique concave convergent]] {{Al|5}}À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> et par changement d'origine, <br>{{Al|5}}établir la relation de conjugaison de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison<math>\big]\;</math> de {{Nobr|Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="deux formes de grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="Applicabilité relation de Newton" />.}} {{Al|5}}En utilisant le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>avec <math>\;n_o \simeq 1,50\;</math> et <math>\;n_i \simeq 1,00\big)\;</math> vérifier directement les deux formes de cette relation. {{clr}} {{Solution|contenu ={{Al|5}}La démonstration se fait en partant de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math><ref name="relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) - bis" /> «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse origine au sommet - bis" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La démonstration se fait }}en faisant le changement d'origines exposé dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \sigma_o + f_o \\ p_i = \sigma_i + f_i \end{array}\right\rbrace\;</math>»}} soit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i + f_i}{\sigma_o + f_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i \left( 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i} \right)}{f_o \left( 1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} \right)}\;</math><ref name="conséquence de la 1ère relation de conjugaison de Newton"> Le but de cette opération étant de faire apparaître, au numérateur et au dénominateur, deux grandeurs égales découlant de la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_o\, \sigma_i = f_i\, f_o \Leftrightarrow \dfrac{\sigma_o}{f_o} = \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math> ou encore «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>».</ref> d'où, comme «<math>\;1 + \dfrac{\sigma_o}{f_o} = 1 + \dfrac{f_i}{\sigma_i}\;</math>» <ref> Voir la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#cite_note-conséquence_de_la_1ère_relation_de_conjugaison_de_Newton-188|¹⁸⁸]] » précédente.</ref> la simplification en <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{\sigma_i}{f_o} = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math><ref name="vergence dioptre" /> c.-à-d. une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> s'écrivant selon <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton dioptre"> Applicable en tout point objet ;<br>{{Al|3}}bien que la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <math>\;\big(</math>avec origine au sommet<math>\big)\;</math> qui a été utilisée au départ ne soit pas applicable au sommet du dioptre, on vérifie aisément que cette forme de relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton est applicable en <math>\;A_o = S\;</math> en effet <math>\;\sigma_o = \overline{F_oS} = -f_o\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;\sigma_i = \overline{F_iS} = -f_i\big)\;</math> d'où <math>\;G_t(A_o) = +1\;</math>.</ref>{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>».</center> {{Al|5}}comme la 1^ère relation de conjugaison de Newton <ref name="Newton" /> <math>\;\sigma_i\, \sigma_o = f_i\, f_o\;</math><ref name="relation de conjugaison de position de Newton - bis"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Relation_de_conjugaison_de_position_(ou_1ère_relation_de_conjugaison)_de_Newton_2|relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton]] » plus haut dans cet exercice.</ref> est équivalente à <math>\;\dfrac{\sigma_i}{f_i} = \dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> on en déduit aisément la 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u><math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math><u>de Newton</u> <ref name="Newton" /> <center>«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité grandissement transverse de Newton" />{{,}} <ref name="indépendance de la nature du dioptre" />{{,}} <ref name="relations de conjugaison communes dioptre - lentille" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>».</center> {{Al|5}}Ayant construit l'image <math>\;A_iB_i\;</math> de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> en positionnant <math>\;B_i\;</math> comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, le 1^er passant par <math>\;F_o\;</math> qui émerge en <math>\;K\;</math> parallèlement à l'axe optique principal et le 2^ème parallèle à l'axe optique principal qui se réfracte en <math>\;H\;</math> en passant par <math>\;F_i</math>, le point <math>\;A_i\;</math> étant le projeté orthogonal du point <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal ; {{Al|5}}le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_iB_iF_i\;</math> et <math>\;HF_iS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}}</math>, <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_iA_i} < 0\;</math> <ref name="hors foyer bis" />, * <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{SH}}{\overline{SF_i}}</math>, <math>\;\overline{SH}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SH} = \overline{A_oB_o}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{HF_iS}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_iF_iA_i})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{HF_iS})</math>, on en déduit : <math>\;-\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{F_iA_i}} = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> d'où <center>une 1^ère forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{F_iA_i}}{\overline{SF_i}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq A_{o,\,\infty}\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>.</center> {{Al|5}}de même le grandissement transverse étant défini par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}</math>, on le déterminera en exprimant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})\;</math> <ref name="Angles non algébrisés" /> respectivement dans les triangles rectangles <math>\;A_oB_oF_o\;</math> et <math>\;KF_oS\;</math> soit : * <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o}) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}}</math>, <math>\;\overline{A_oB_o}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{F_oA_o} > 0\;</math> <ref name="hors foyer" />, * <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{SK}}{\overline{SF_o}}</math>, <math>\;\overline{SK}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SF_o} < 0\;</math> ou, comme <math>\;\overline{SK} = \overline{A_iB_i}\;</math> on en déduit <math>\;\tan(\widehat{KF_oS}) = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}</math> ; {{Al|5}}égalant <math>\;\tan(\widehat{B_oF_oA_o})\;</math> et <math>\;\tan(\widehat{KF_oS})</math>, on en déduit : <math>\;\dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{F_oA_o}} = -\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{SF_o}}\;</math> ou encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> d'où <center>une 2^ème forme de la <u>2^ème relation de conjugaison</u> (approchée) [ou <u>relation de conjugaison</u> (approchée) <u>de grandissement transverse</u>] <u>de Newton</u> d'un dioptre sphérique (concave convergent) <ref name="indépendance de la nature du dioptre" /> <br><math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\overline{SF_o}}{\overline{F_oA_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math> <math>\;\big(</math>nécessitant <math>\;A_o \neq F_o\big)\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : si <math>\;A_o\;</math> est le point à l'infini de l'axe optique principal, <math>\;\sigma_o\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> et <math>\;\sigma_i = 0\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image <math>\;F_i\big)\;</math> donnant un grandissement transverse nul, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}si <math>\;A_o\;</math> est le foyer principal objet, <math>\;\sigma_o = 0\;</math> et <math>\;\sigma_i\;</math> vaut <math>\;\infty\;</math> <math>\;\big(</math>l'image du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> étant le point à l'infini de l'axe optique principal<math>\big)\;</math> donnant un grandissement transverse infini.}} === Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss === [[File:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg|thumb|Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes (avec origine en S) pour un dioptre sphérique concave convergent]] ==== Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet ==== {{Al|5}}On rappelle que le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet <math>\;A_o\;</math>, de direction faisant un angle <math>\;\theta_o\;</math> avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image <math>\;A_i\;</math>, avec une direction faisant un angle <math>\;\theta_i\;</math> avec l'axe optique principal, est défini selon <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> <ref name="Angles petits" /> ; {{Al|5}}en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o}\;</math> en fonction des abscisses objet et image de Descartes (avec origine au sommet), respectivement <math>\;p_o = \overline{SA_o}\;</math> et <math>\;p_i = \overline{SA_i}\;</math> <ref> L'expression du grandissement angulaire a été établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour un dioptre sphérique des trois autres types.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On détermine le grandissement angulaire par évaluation de <math>\;\tan(\theta_o)\;</math> et <math>\;\tan(\theta_i)</math>, <math>\big(\theta_o\;</math> <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\;</math> sur la figure ci-dessus<math>\big)</math> respectivement dans les triangles <math>\;A_oIS\;</math> et <math>\;A_iIS\;</math> soit : * dans le triangle <math>\;A_oIS</math>, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_o}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\overline{SA_o}_{\rightarrow} < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_o) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_o| \ll 1</math>, <math>\;\theta_o \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_o}</math> ; * dans le triangle <math>\;A_iIS</math>, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{\overline{SA_i}}\;</math> <math>\big[\overline{SI}\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;\overline{SA_i}_{\leftarrow} > 0\;</math> et <math>\;\theta_i < 0\big]\;</math> ou, <math>\;\tan(\theta_i) = -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}\;</math> soit, avec <math>\;|\theta_i| \ll 1</math>, <math>\;\theta_i \simeq -\dfrac{\overline{SI}}{p_i}</math> ; {{Al|5}}on en déduit <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{\dfrac{-\overline{SI}}{p_i}}{-\dfrac{\overline{SI}}{p_o}}\;</math> soit, en simplifiant par <math>\;\overline{SI}</math>, l'expression souhaitée du <center>grandissement angulaire <math>\;G_a(A_o) = \dfrac{\theta_i}{\theta_o} \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>.</center>}} ==== Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz ==== {{Al|5}}Á l'aide des relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) et de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage, vérifier la relation de Lagrange - Helmholtz <center> <math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre"> Cette relation est la même que celle que l'on trouvera dans le chapitre suivant sur les lentilles minces, dans le cas usuel d'une lentille mince l'espace image étant de même indice que l'espace objet</ref>.</center> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Connaissant le grandissement transversal donné par la 2^ème relation de conjugaison de Descartes (avec origine au sommet) <math>\;G_t(A_o) \simeq \dfrac{n_o}{n_i}\, \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> et l'expression du grandissement angulaire précédemment trouvée <math>\;G_a(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i}</math>, on en déduit le lien entre grandissements angulaire et transversal indépendant de la position du point objet <math>\;A_o</math>, <math>\;G_a(A_o)\; G_t(A_o) \simeq \dfrac{p_o}{p_i} \times \dfrac{n_o}{n_i}\; \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{n_o}{n_i}\;</math> soit finalement <center><math>\;\dfrac{n_i}{n_o}\; G_t(A_o)\; G_a(A_o) = 1\;</math> ce qui constitue la relation de Lagrange - Helmholtz cherchée <ref name="Lagrange - Helmholtz dioptre" />.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : miroir plan/]] | suivant = [[../Optique géométrique : lentilles minces/]] }} 75kzpbt78cejtaj7zsucwo78x97b0yo 4 80610 881380 881354 2022-08-16T12:54:30Z MediaWiki message delivery 20848 /* Report du vote de l'élection 2022 du conseil d'administration de la Wikimedia Foundation */ nouvelle section wikitext text/x-wiki <noinclude>{{SC|2022|08}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n°&#x202f;2022-31 == <section begin="technews-2022-W31"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/31|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * Des [[m:Special:MyLanguage/Help:Displaying_a_formula#Phantom|capacités LaTeX améliorées pour le rendu des mathématiques]] sont maintenant disponibles dans les wikis grâce à la prise en charge des balises <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code>Phantom</code></bdi>. Ceci complète une partie du [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Editing/Missing_LaTeX_capabilities_for_math_rendering|souhait nº&#x202f;59]] de l'enquête sur les souhaits de la communauté 2022. '''Changements à venir cette semaine''' * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|alt=|Sujet récurrent]] La [[mw:MediaWiki 1.39/wmf.23|nouvelle version]] de MediaWiki sera installée sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du {{#time:j xg|2022-08-02|fr}}. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le {{#time:j xg|2022-08-03|fr}} et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le {{#time:j xg|2022-08-04|fr}} ([[mw:MediaWiki 1.39/Roadmap|calendrier]]). * L'[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:WikiEditor/Realtime_Preview|aperçu en temps réel]] sera disponible en tant que fonctionnalité bêta sur les wikis du [https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists%2Fgroup0.dblist groupe&nbsp;0]. Cette fonctionnalité a été construite afin de répondre à l'[[m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist_Survey_2021/Real_Time_Preview_for_Wikitext|une des propositions de l'enquête sur les souhaits de la communauté]]. '''Changements à venir''' * La fonctionnalité bêta des [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools|Outils de discussion]] va être mise à jour pendant le mois d’août. L'apparence des discussions va changer. Vous pouvez voir [[mw:Special:MyLanguage/Talk pages project/Usability/Prototype|certains des changements proposés]]. '''Prochaines réunions''' * Cette semaine, trois réunions sur l’[[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements|habillage Vector (nouvelle version&nbsp;2022)]] avec interprétation en direct auront lieu. Le mardi, l'interprétation en russe sera assurée. Le jeudi, des réunions pour les arabophones et les hispanophones auront lieu. [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Voir comment participer]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/31|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div><section end="technews-2022-W31"/> 1 août 2022 à 21:21 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=23615613 --> == Recherche de coéquipier sur sujet de recherche mathématique == Est-ce ici qu'il faut déposer une demande de coéquipier et est-ce permis ?[[Utilisateur:Ereduverseau|Ereduverseau]] ([[Discussion utilisateur:Ereduverseau|discuter]]) 2 août 2022 à 19:00 (UTC) :Bonjour {{Mention|Ereduverseau}}, oui c'est permis, mais le mieux serait de déposer un message sur la [[Discussion projet:Mathématiques|page de discussion du projet Mathématiques]] je pense. --[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 9 août 2022 à 15:07 (UTC) == Actualités techniques n° 2022-32 == <section begin="technews-2022-W32"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/32|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * [[:m:Special:MyLanguage/Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] copie les informations de [[{{#special:GadgetUsage}}]] sur une page de wiki, pour que chacun puisse relire son historique. Si votre projet n’est pas encore listé sur [[d:Q113143828|l’élément Wikidata du Project:GUS2Wiki]], vous pouvez lancer GUS2Wiki vous-même ou [[:m:Special:MyLanguage/Meta:GUS2Wiki/Script#Opting|faire une demande pour recevoir les informations]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T121049] '''Changements à venir cette semaine''' * Il n’y aura pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine. * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|alt=|Sujet récurrent]] Certains wikis seront en lecture seule pendant quelques minutes en raison d’un changement de base de données principale, le {{#time:j xg|2022-08-09|fr}} à 7 h UTC ([https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists/s5.dblist wikis concernés]) et le {{#time:j xg|2022-08-11|fr}} à 7 h UTC ([https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists/s2.dblist wikis concernés]). '''Prochaines réunions''' * Le [[wmania:Special:MyLanguage/Hackathon|Hackathon Wikimania]] aura lieu en ligne du 12 au 14 aout. Ne manquez pas [[wmania:Special:MyLanguage/Hackathon/Schedule|le salon de démonstration pré-hackathon]] pour en savoir plus sur les projets et trouver des collaborateurs. Tout le monde peut [[phab:/project/board/6030/|proposer un projet]] ou [[wmania:Special:MyLanguage/Hackathon/Schedule|héberger une session]]. [[wmania:Special:MyLanguage/Hackathon/Newcomers|Les nouveaux sont les bienvenus]] ! '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/32|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]].'' </div><section end="technews-2022-W32"/> 8 août 2022 à 19:50 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=23627807 --> == Actualités techniques n° 2022-33 == <section begin="technews-2022-W33"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique Wikimédia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/33|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Changements récents''' * La communauté de Wikipédia en persan a décidé de bloquer la contribution sous IP d’octobre 2021 à avril 2022. L’équipe d’analyse produit de Wikimedia Foundation a étudié les impacts de ce changement. [[m:Special:MyLanguage/IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/IP Editing Restriction Study/Farsi Wikipedia|Un rapport]] est disponible. '''Changements à venir cette semaine''' * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|alt=|Sujet récurrent]] La [[mw:MediaWiki 1.39/wmf.25|nouvelle version]] de MediaWiki sera installée sur les wikis de test et sur MediaWiki.org à partir du {{#time:j xg|2022-08-16|fr}}. Elle sera installée sur tous les wikis hormis la majorité des Wikipédias le {{#time:j xg|2022-08-17|fr}} et enfin sur toutes les Wikipédias restantes le {{#time:j xg|2022-08-18|fr}} ([[mw:MediaWiki 1.39/Roadmap|calendrier]]). * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|alt=|Sujet récurrent]] Certains wikis seront en lecture seule pendant quelques minutes en raison d’un changement de base de données principale, le {{#time:j xg|2022-08-16|fr}} à 7 h UTC ([https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists/s1.dblist wikis concernés]) et le {{#time:j xg|2022-08-18|fr}} à 7 h UTC ([https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists/s8.dblist wikis concernés]). * L’[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:WikiEditor/Realtime_Preview|aperçu en temps réel]] sera disponible en tant que fonctionnalité bêta sur les wikis du [https://noc.wikimedia.org/conf/highlight.php?file=dblists%2Fgroup1.dblist groupe&nbsp;1]. Cette fonctionnalité a été construite afin de répondre à l’[[m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist_Survey_2021/Real_Time_Preview_for_Wikitext|une des propositions issues de la consultation des souhaits de la communauté]]. '''Futurs changements''' * La fonctionnalité bêta des [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools|Outils de discussion]] va être mise à jour pendant le mois d’août. L'apparence des discussions va changer. Vous pouvez voir [[mw:Special:MyLanguage/Talk pages project/Usability/Prototype|certains des changements proposés]]. [https://www.mediawiki.org/wiki/Talk_pages_project/Usability#4_August_2022][https://www.mediawiki.org/wiki/Talk_pages_project/Usability#Phase_1:_Topic_containers][https://phabricator.wikimedia.org/T312672] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2022/33|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner votre avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’inscrire ou se désinscrire]]'' </div><section end="technews-2022-W33"/> 15 août 2022 à 21:08 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=23658001 --> == Report du vote de l'élection 2022 du conseil d'administration de la Wikimedia Foundation == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Delay of Board of Trustees election| Ce message est également traduit dans d'autres langues sur Meta-wiki.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Delay of Board of Trustees election|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Delay of Board of Trustees election}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Bonjour, Je vous informe aujourd'hui d'un changement dans le calendrier du vote pour l'élection du conseil d'administration. Comme beaucoup d'entre vous le savent déjà, nous proposons cette année une [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|boussole électorale]] pour aider les électeurs et électrices à identifier le positionnement des personnes qui se sont portées candidates sur certains sujets clés. Plusieurs d'entre elles ont demandé une extension de la limite du nombre de caractères pour leurs réponses développant leurs positions, et le comité des élections a estimé que leur raisonnement était conforme aux objectifs d'un processus électoral juste et équitable. Pour garantir que les déclarations/affirmations les plus longues puissent être traduites à temps pour l'élection, le comité des élections et le groupe de travail pour la sélection des membres du conseil d'administration ont décidé de reporter d'une semaine l'ouverture du vote de l'élection du conseil d'administration - une période proposée comme idéale par l'équipe qui soutient l'élection. Bien que l'on ne s'attende pas à ce que tout le monde veuille utiliser la boussole électorale pour éclairer sa décision de vote, le comité des élections a estimé qu'il était plus approprié d'ouvrir la période de vote avec des traductions essentielles que les membres de la communauté, quelle que soit leur langue, pourront utiliser s'ils souhaitent prendre cette décision importante. Le vote sera ouvert le 23 août à 00:00 UTC et se terminera le 6 septembre à 23:59 UTC. Bien à vous, Matanya, de la part du comité des élections, <section end="announcement-content" /> [[User:MPossoupe (WMF)|MPossoupe (WMF)]] 16 août 2022 à 12:54 (UTC) <!-- Message envoyé par User:MPossoupe (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/fr&oldid=23008845 --> iwdqq9jdgtzw2ttyn2regvnpwgv3ecl 4 80727 881378 881164 2022-08-16T12:13:30Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2022-08-13T22:07:33Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul|5000}} résultat{{PLURAL:5000||s}} au maximum {{PLURAL:5000|est|sont}} disponible{{PLURAL:5000||s}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! 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Il s'agit d'un centre sans briques qui réunit les institutions intéressées ayant des activités de recherche et d'enseignement en santé maritime, professionnelle et publique pour demander des financements.   == Les objectifs == * Créer un réseau de chercheurs pour développer la recherche scientifique et l'enseignement en santé et sécurité maritime et solliciter des financements * Établir des groupes de recherche et d'éducation et demander des financements * L'accent est mis sur l'hypertension et le diabète de type 2, le diagnostic précoce et la prévention * Collaborer avec les organisations de travailleurs et les compagnies maritimes * Organiser des réunions publiques pour présenter les activités de recherche et d'enseignement à un public plus large * Éduquer les étudiants maritimes, les gens de mer et les travailleurs des transports sur le diabète de type 2 et l'hypertension et la promotion de la santé == But == Les objectifs sont d'éduquer et de fournir des résultats de recherche de haute qualité par l'utilisation de méthodes standardisées au profit de tous les travailleurs et citoyens.   == Exigences éthiques == Les règles éthiques pour la recherche de bases de données dans les universités respectives et autres centres. La confidentialité dans le traitement des informations personnelles est effectuée conformément aux règles établies par les agences nationales de protection des données. Normalement, aucune information personnelle sensible n'est incluse, l'approbation du comité d'éthique n'est donc pas nécessaire. Tous les questionnaires demandent le consentement éclairé comme première question. Les encadrants veillent à ce que les données soient traitées dans le cadre de la loi sur le secret médical comme lignes directrices de bonnes pratiques épidémiologiques. L'anonymat des participants sera protégé de toutes les manières et cela sera indiqué dans la description du projet. Il sera assuré que le tableau électronique est verrouillé afin que les informations ne puissent être vues par personne d'autre que les chercheurs. Les chercheurs respectent la propriété individuelle des données et partagent les publications et les données là où cela leur convient et maintiennent toujours de bons partenariats. [https://allea.org/code-of-conduct/#toggle-id-18 Le code de conduite européen pour l'intégrité dans la recherche pour l'autorégulation dans toutes les recherches ]   == Conseil d'administration == La principale autorité décisionnelle du consortium est le conseil d'administration. Le Conseil est composé de représentants des institutions associées == Coordinateur du centre == * Le conseil d'administration sélectionne un coordinateur du consortium pour 1 an qui sera réélu lors de la réunion annuelle du conseil d'administration en août * Les réunions OneBoard ont lieu chaque année * Le Coordonnateur est responsable de la convocation des réunions du Conseil == Comité consultatif == Les représentants des partenaires dans les syndicats, les ministères, les universités et les autorités de l'État sont invités   == Objectifs == En collaboration avec la coordonnatrice, le conseil établit des objectifs pour lesquels les domaines de recherche et d'éducation et les demandes de financement doivent être priorisés et les résultats attendus de la recherche dans ces domaines.   == Evaluation des activités du centre == Le Conseil d'Administration comprend chaque année une évaluation des activités du Consortium. Le coordonnateur présente un rapport annuel au conseil à la fin décembre. Comptabilité financière. Il n'y a pas de comptes séparés pour le centre puisque l'économie est placée chez chacun des participants.   == Ressources Financières == La principale ressource financière pour l'activité du Consortium est constituée par les ressources existantes des participants individuels et des fondations de recherche nationales et internationales.   == Indication des publications == Les publications du sont énumérées ci-dessous : Propre institution, EU Consortium Center in ...   == Rapport d'état annuel == Le coordonnateur est responsable de préparer un rapport d'étape annuel qui est approuvé par le conseil d'administration. Le rapport d'avancement doit inclure un bref aperçu des résultats de l'année dernière avec les signatures et les dates ==[[/Statuts/]]==   == Fonds et Organisations == Fondation européenne pour l'étude du diabète (EFSD) - http://www.europeandiabetesfoundation.org/<br> ITF Seafarers Trust https://www.seafarerstrust.org/ <br> [https://novonordiskfonden.dk/en/ Novo Nordisk trouvé]<br> https://www.eshonline.org/online-education/teaching-seminars/ <br> Fondation de recherche sur l'hypertension<br> http://www.hypertensionresearchfoundation.ch/FR/projets.html <br> https://research-and-innovation.ec.europa.eu/research-area/health/diabetes_en<br> [https://ec.europa.eu/esf/main.jsp?catId=67&langId=en&newsId=9691 Le Fonds social européen]<br> [https://www.danishdiabetesacademy.dk/grants Académie danoise du diabète]<br> La Société Européenne d'Hypertension https://www.eshonline.org/<br> [https://www.norden.org/en/funding-opportunities/nordic-council-ministers-funding-programme-ngo-co-operation-baltic-sea-region Les ministres du Conseil nordique financent la coopération des ONG dans la région de la mer Baltique] <br> [https://www.norden.org/en/information/about-funding-nordic-council-ministers Financement des ministres du Conseil nordique]<br> [https://www.norden.org/en/funding-opportunities/nordic-council-ministers-open-call-funding-opportunity-nordic-russian-co Nordic Council Ministers Funding-opportunity Nordic-Russian Co-Operation] < br> [https://terravivagrants.org/grant-makers/cross-cutting/nippon-foundation/Nippon Foundation]<br>   == Littérature ==   [https://omeganetcohorts.eu/resources/scientific-publications/Omeganet Publications] gj98g5jt55lhlxazhb660j1cz347h9v 2 80783 881396 2022-08-17T10:34:53Z YettaRodrigue8 70448 Page créée avec « 21 ans Ingénieur І O'Collopy, originaire Ԁe Cumberland aime ｒegarder des films ｃomme Prom Night in Mississippi еt Rafting. А fаit un voyage à Kalwaria Zebrzydowska : Parc Ԁe pèlerinage ｅt conduit un Allroad. » wikitext text/x-wiki 21 ans Ingénieur І O'Collopy, originaire Ԁe Cumberland aime ｒegarder des films ｃomme Prom Night in Mississippi еt Rafting. А fаit un voyage à Kalwaria Zebrzydowska : Parc Ԁe pèlerinage ｅt conduit un Allroad. t000n3v2r0qmjzp6s1plqlwvrj4jjwi 2 80784 881397 2022-08-17T11:46:17Z MasonCounts0383 70451 Page créée avec « 38 ans Consultant logiciel Cale, originaire ɗe Drumheller aime regarԀer dｅs films c᧐mme "Hamlet, Prince of Denmark" et Handball. A fait un voyage à Zone historique ԁe Willemstad et conduit un Sierra 3500. » wikitext text/x-wiki 38 ans Consultant logiciel Cale, originaire ɗe Drumheller aime regarԀer dｅs films c᧐mme "Hamlet, Prince of Denmark" et Handball. A fait un voyage à Zone historique ԁe Willemstad et conduit un Sierra 3500. 2566e030nibocyvegq3y2wfikegs458