Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.25 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 108 11690 881584 634134 2022-08-24T08:59:56Z Chrisaiki 31077 wikitext text/x-wiki {{Colonnes | nombre = 2 | * [[Introduction à l'agronomie|Introduction]] * Productions végétales ** [[Agrosystème|L'agrosystème cultivé]] ** [[Culturestemp|Les différentes cultures en zones tempérées]] *** [[Prairies|Les prairies]] *** [[Céréalestemp|Les céréales des zones tempérées]] *** [[Protéagineux|Les protéagineux]] *** [[Oléagineux|Les oléagineux]] *** [[La pomme de terre « Belle de Fontenay »|La pomme de terre]] ** [[Culturestrop|Les différentes cultures en zone tropicales ou sub-tropicales]] *** [[Céréalestrop|Les céréales des zones tropicales ou sub-tropicales]] *** [[cafe|Le café]] *** [[cacao|Le cacao]] *** [[avocat|Les avocats]] ** La protection des cultures *** [[Ravageurs|Les ravageurs]] *** [[Adventices|Les adventices]] *** [[Maladies et champignons|Les maladies et les champignons]] *** [[Pesticides|Les pesticides]] * [[Sol|Le sol]] * La fertilisation ** [[Azote|L'azote N]] ** [[Sels minéraux/Phosphore|Le phosphore P]] ** [[Potassium|Le potassium K]] * Le climat ** [[Gestion de l'eau|La gestion de l'eau]] * Productions animales * Machinisme agricole * Les différents types d'agriculture ** [[Agriculture conventionnelle]] ** [[Agriculture biologique]] ** [[Agroforesterie]] ** [[Permaculture]] }} {{AutoCat}} 0zax7amue8jydvt4batwiw7jmvastk3 0 11850 881577 494779 2022-08-24T00:06:39Z 105.159.237.255 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = médecine séxologique | département = Médecine du fitness érotique | niveau = 12 | 1 = {{C|Techniques et méthodes|3|12}} | 2 = {{C|Exercices physiques|3|12}} | exo1 = {{Exo|Exercices du tronc|3|12}} | exo2 = {{Exo|Exercices du membre supérieur|3|12}} | exo3 = {{Exo|Exercices du membre inférieur|3|12}} | autres projets = oui non | w = Fitness Musculation | commons = Category:Physical exercises pornographiques }} [[en:Bodybuilding]] [[ru:Культуризм]] t1n3lddushdrsgdi9bohfe8pzk6nzru 881583 881577 2022-08-24T08:52:42Z Zetud 1978 Révocation des modifications de [[Special:Contributions/105.159.237.255|105.159.237.255]] ([[User talk:105.159.237.255|discussion]]) vers la dernière version créée par [[User:JackPotte|JackPotte]] wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = médecine | département = Médecine du sport | niveau = 12 | 1 = {{C|Techniques et méthodes|3|12}} | 2 = {{C|Exercices physiques|3|12}} | exo1 = {{Exo|Exercices du tronc|3|12}} | exo2 = {{Exo|Exercices du membre supérieur|3|12}} | exo3 = {{Exo|Exercices du membre inférieur|3|12}} | autres projets = oui | w = Musculation | commons = Category:Physical exercises }} [[en:Bodybuilding]] [[ru:Культуризм]] hre12z2yizythqdbg9bl85lp1wuzkeq 2 59453 881585 560496 2022-08-24T09:19:30Z Chrisaiki 31077 Les auteurs de wikiversity peuvent maintenant être rémunérés en publiant leurs production sur les plateformes Hive ou Dtube. wikitext text/x-wiki Bonjour, Comment entrainer les enseignants des Lycées publics agricoles à améliorer le domaine agronomie? c’est pas gagné ! Les auteurs de wikiversity peuvent maintenant être rémunérés en publiant leurs production sur les plateformes Hive ou Dtube. Bien à vous Christophe Parot Pas de redirection vers mon profil Linkedin autorisée, tant pis ! 6j8givjtfq3u6qi6vnq6mt69ebyrhxb 0 63756 881554 881552 2022-08-23T12:02:09Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» : * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» : * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier, d'après les réponses de la question précédente, que les distances focales objet et image de l'oculaire peuvent être définies selon <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> et <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math><ref> Le rôle du centre optique d'une lentille mince, point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné au centre optique, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1\;</math> (l'image est d'ailleurs géométriquement positionnée sur l'objet) est joué, pour un doublet de lentilles, par le couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>quand on associe deux lentilles minces telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0\;</math> la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On définit alors le repérage de Descartes pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire selon : * l'abscisse objet de Decartes du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;p_o = \overline{H_oA_o}</math>, * l'abscisse image de Descartes du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal <math>\;p_i = \overline{H_iA_i}</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes à partir de celles de Newton en effectuant un changement d'origines et vérifier que ces relations de conjugaison sont identiques à celle d'une lentille mince. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton du point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math> et l'abscisse image de Newton du point principal image du même oculaire <math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i</math>, que * la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> et * la distance focale image du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}</math>. <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Définissant le repérage de Descartes en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par <math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math> et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par <math>\;p_i = \overline{H_iA_i}</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on déduit de ce qui précède que la distance focale objet (respectivement image) de l'oculaire de Plössl est l'abscisse objet (respectivement image) de Descartes du foyer principal objet (respectivement image) <math>\;F_o\;</math> (respectivement <math>\;F_i\big)\;</math> de l'oculaire ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math> dans la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math><ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math> soit, en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref> La raison étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle de Descartes cherchée doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement la relation de conjugaison de position de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> s'écrivant selon <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math><ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math> dans l'une des relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\bigg[</math>ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\bigg]\;</math><ref name="applicabilité Newton" />, ce qui donne <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1 = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\bigg(</math>en effet si on multiplie les deux membres de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> on obtient <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i}</math> <math>= \dfrac{p_i}{p_o}\bigg)</math> ou <math>\bigg[</math>ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1 = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math> <math>\bigg(</math>en effet si on multiplie les deux membres de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> on obtient <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o}</math> <math>= \dfrac{p_o}{p_i}\bigg)</math> soit en inversant <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\bigg]</math> soit finalement la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> s'écrivant selon <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Montrer qu'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (réellement ou fictivement<ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge du plan principal image (réellement ou fictivement<ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal iamge est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse utilisant les plans principaux]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les plans principaux ainsi que les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> représenté ci-contre, on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet, ayant pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math><ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut donc affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer (réellement) par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i\;</math>; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>de même un rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;J_o</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal (tracé non représenté mais facilement imaginable par retour inverse de la lumière). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Méthode de construction de l'image '''A_iB_i''' d'un objet linéique transverse '''A_oB_o''' de pied '''A_o''' en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>voir schéma ci-dessus en vert ; on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, * l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> est à l'intersection des deux rayons émergents et <math>\;A_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} 5pdxkj0wa07nokmm5k0eu6m6ios3wdb 881574 881554 2022-08-23T18:58:28Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» : * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» : * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton du point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math> et l'abscisse image de Newton du point principal image du même oculaire <math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i</math>, que * la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> et * la distance focale image du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}</math>. <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Définissant le repérage de Descartes en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par <math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math> et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par <math>\;p_i = \overline{H_iA_i}</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on déduit de ce qui précède que la distance focale objet (respectivement image) de l'oculaire de Plössl est l'abscisse objet (respectivement image) de Descartes du foyer principal objet (respectivement image) <math>\;F_o\;</math> (respectivement <math>\;F_i\big)\;</math> de l'oculaire ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math> dans la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math><ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math> soit, en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref> La raison étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle de Descartes cherchée doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement la relation de conjugaison de position de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> s'écrivant selon <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math><ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math> dans l'une des relations de conjugaison de grandissement transverse de Newton <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math> <math>\bigg[</math>ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\bigg]\;</math><ref name="applicabilité Newton" />, ce qui donne <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1 = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> <math>\bigg(</math>en effet si on multiplie les deux membres de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> on obtient <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i}</math> <math>= \dfrac{p_i}{p_o}\bigg)</math> ou <math>\bigg[</math>ou <math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1 = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math> <math>\bigg(</math>en effet si on multiplie les deux membres de la relation de conjugaison de position de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> on obtient <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o}</math> <math>= \dfrac{p_o}{p_i}\bigg)</math> soit en inversant <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\bigg]</math> soit finalement la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> s'écrivant selon <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}}<ref name="mêmes relations que lentille" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Montrer qu'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (réellement ou fictivement<ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge du plan principal image (réellement ou fictivement<ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal iamge est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse utilisant les plans principaux]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les plans principaux ainsi que les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> représenté ci-contre, on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet, ayant pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math><ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut donc affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer (réellement) par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i\;</math>; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>de même un rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;J_o</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal (tracé non représenté mais facilement imaginable par retour inverse de la lumière). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Méthode de construction de l'image '''A_iB_i''' d'un objet linéique transverse '''A_oB_o''' de pied '''A_o''' en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>voir schéma ci-dessus en vert ; on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, * l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> est à l'intersection des deux rayons émergents et <math>\;A_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} gosc1hunhexadgomm33sfku23mossh3 881578 881574 2022-08-24T02:42:37Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» :}} * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» :}} * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet"> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On vérifie, d'après }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image <math>\;H_o\;</math> du même oculaire «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux" />, que * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" /> et * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" />. {{Al|5}}Définissant le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>», {{Al|5}}on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède }}que la distance focale image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Newton }}«<math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref> La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant }}<math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}«<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans l'une des 2^èmes relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /> <math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /><math>\bigg]</math>, ce qui donne <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1\;</math>» ou encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}<math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}ou encore «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o} = \dfrac{p_o}{p_i}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}soit en inversant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Montrer qu'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (réellement ou fictivement<ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge du plan principal image (réellement ou fictivement<ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal iamge est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse utilisant les plans principaux]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les plans principaux ainsi que les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> représenté ci-contre, on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet, ayant pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math><ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut donc affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer (réellement) par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i\;</math>; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>de même un rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;J_o</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal (tracé non représenté mais facilement imaginable par retour inverse de la lumière). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Méthode de construction de l'image '''A_iB_i''' d'un objet linéique transverse '''A_oB_o''' de pied '''A_o''' en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>voir schéma ci-dessus en vert ; on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, * l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> est à l'intersection des deux rayons émergents et <math>\;A_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} jbu9fb97v8tfkphhmkjbof2ia33td0s 881579 881578 2022-08-24T02:45:07Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» :}} * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» :}} * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet"> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On vérifie, d'après }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image <math>\;H_o\;</math> du même oculaire «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux" />, que * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" /> et * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" />. {{Al|5}}Définissant le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>», {{Al|5}}on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède }}que la distance focale image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Newton }}«<math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref> La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant }}<math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}«<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans l'une des 2^èmes relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /> <math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /><math>\bigg]</math>, ce qui donne <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1\;</math>» ou encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}<math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}ou encore «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o} = \dfrac{p_o}{p_i}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}soit en inversant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes de l'oculaire de Plössl }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Montrer qu'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (réellement ou fictivement<ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge du plan principal image (réellement ou fictivement<ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal iamge est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel (le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie).</ref>) en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse utilisant les plans principaux]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les plans principaux ainsi que les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> représenté ci-contre, on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet, ayant pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math><ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut donc affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer (réellement) par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i\;</math>; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>de même un rayon incident passant (réellement ou virtuellement) par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant (fictivement<ref name="fictif entrée" />) le plan principal objet en <math>\;J_o</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge (fictivement<ref name="fictif sortie" />) du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal (tracé non représenté mais facilement imaginable par retour inverse de la lumière). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Méthode de construction de l'image '''A_iB_i''' d'un objet linéique transverse '''A_oB_o''' de pied '''A_o''' en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>voir schéma ci-dessus en vert ; on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, * l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> est à l'intersection des deux rayons émergents et <math>\;A_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} 5j29gwckgiptd8wisy1w9d7zj37vhtl 881580 881579 2022-08-24T07:17:03Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» :}} * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» :}} * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet"> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On vérifie, d'après }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image <math>\;H_o\;</math> du même oculaire «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux" />, que * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" /> et * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" />. {{Al|5}}Définissant le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>», {{Al|5}}on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède }}que la distance focale image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Newton }}«<math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref> La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant }}<math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}«<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans l'une des 2^èmes relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /> <math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /><math>\bigg]</math>, ce qui donne <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1\;</math>» ou encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}<math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}ou encore «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o} = \dfrac{p_o}{p_i}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}soit en inversant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes de l'oculaire de Plössl }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== {{Al|5}}Montrer qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement <ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'un rayon incident }}émerge du plan principal image <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement <ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal image est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'}}le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. {{Al|5}}En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent <math>\;\big(</math>ou divergent<math>\big)\;</math> d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Transparent|un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Transparent|un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|650px|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> utilisant les plans principaux]] {{Al|5}}Les plans principaux et les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ci-contre, <br>{{Al|5}}on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y considère }}cet objet fictif a pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math> <ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on peut affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut affirmer que }}le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\big[</math>de même un rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o\;</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergeant réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal <math>\;\big(</math>tracé non représenté mais facilement imaginable par retour inverse de la lumière<math>\big)\big]</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Méthode de construction de l'image '''A_iB_i''' d'un objet linéique transverse '''A_oB_o''' de pied '''A_o''' en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>voir schéma ci-dessus en vert ; on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, * l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal<ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> est à l'intersection des deux rayons émergents et <math>\;A_i\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent (ou divergent) d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} gn38pdkbjkamw9u7z6unrlxyk77so7k 881586 881580 2022-08-24T10:25:19Z Phl7605 31541 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Optique géométrique : lentilles minces | idfaculté = physique | numéro = 14 | chapitre = [[../../Optique géométrique : lentilles minces/]] | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Projection d'une diapositive == {{Al|5}}Une lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}</math>, de distance focale image <math>\;f_i = 5,0\; cm</math>, donne d'une diapositive de <math>\;24\; mm\;</math> de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à <math>\;4,00\; m\;</math> derrière <math>\;\mathcal{L}</math>. {{Al|5}}Calculer <math>\;\succ\;</math>la vergence <math>\;V\;</math> de <math>\;\mathcal{L}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la position de l'objet « diapositive » par rapport à <math>\;\mathcal{L}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}<math>\;\succ\;</math>la hauteur de l'image sur l'écran de projection. {{Solution|contenu =[[File:Projection de diapositive sur écran.png|thumb|400px|Schéma de positionnement d'une diapositive et d'un écran par rapport à la lentille de projection]] {{Al|5}}<u>Vergence de la lentille de projection </u> : La vergence de <math>\;\mathcal{L}\;</math> se détermine à partir de sa distance focale image «<math>\;f_i = 5,0\;10^{-2}\; m\;</math>» par la relation <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math><ref name="lien entre vergence et distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit <math>\;V = \dfrac{1}{5\, 10^{-2}}\, m^{-1}\;</math> et finalement «<math>\;V = 20\; \delta\;</math>» <ref name="dioptrie"> La dioptrie de symbole <math>\;\delta\;</math> est l'unité de mesure de la vergence «<math>\;1\;\delta = 1\;m^{-1}\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection </u> : La position de la diapositive centrée en <math>\;A_o\;</math> est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes"> '''[[w:René_Descartes|René Descartes]] (1596 - 1650)''' mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Philosophie_moderne|philosophie moderne]], en physique a contribué à l'[[w:Optique_géométrique|optique géométrique]] et en mathématiques est à l'origine de la [[w:Géométrie_analytique|géométrie analytique]].</ref> «<math>\;\dfrac{1}{\overline{OA_i}} - \dfrac{1}{\overline{OA_o}} = V\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\overline{OA_o} = -d\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\overline{OA_i}</math>}} <math>= D\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{d} = V - \dfrac{1}{D} = \dfrac{C\, D - 1}{D}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d = \dfrac{D}{C\, D - 1}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : }}<math>\;d = \dfrac{4,00}{20 \times 4,00 - 1} = \dfrac{4,00}{79}\; m\;</math> ou «<math>\;d \simeq 5,06\, cm\;</math>» <ref> La diapositive doit être quasiment dans le plan focal <math>\;\big(</math>objet<math>\big)\;</math> de la lentille car l'image étant à «<math>\;4,00\, m \gg 5\, cm\;</math>» peut être considérée, en 1^ère approximation, comme étant à l'infini.</ref>. {{Al|5}}<u>Hauteur de l'image sur l'écran de projection </u> : La hauteur de l'image «<math>\;H\;</math>» est donnée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> «<math>\;G_t(A_o)\; \stackrel{\text{déf}}=\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \stackrel{\text{loi}}=\; \dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Descartes|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> ou <math>\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} =</math> <math>\dfrac{D}{-d} < 0\;</math> d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «<math>\;h\;</math>» est «<math>\;H = h\, \dfrac{D}{d}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Hauteur de l'image sur l'écran de projection : }}<math>\;H = 24\, 10^{-3} \times \dfrac{4,00}{5,06\, 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> ou «<math>\;H \simeq 1,90\, m\;</math>».}} == Appareil photographique et objectif longue focale == {{Al|5}}Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image <math>\;f_i = 135\, mm\;</math>» et tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale }}son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format <math>\;24 \times 36\; \text{en}\; mm\;</math>». === Champ angulaire de l'objectif longue focale === {{Al|5}}Calculer le champ angulaire dans les directions <math>\;\parallel\;</math> à la largeur et à la longueur du film <math>\;\big[</math>le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini<math>\big]</math>. {{Solution|contenu =[[File:Champ angulaire d'un objectif.png|thumb|400px|Schéma de définition du champ angulaire d'un objectif d'appareil photographique]] {{Al|5}}On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c.-à-d. que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image <math>\;f_i\;</math> <math>\big[</math>voir figure ci-contre<math>\big]</math> ; {{Al|5}}dans les conditions de Gauss <ref name="Gauss"> En <math>\;1796</math>, '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''', à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un [[w:Heptadécagone|heptadécagone]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>polygone}} régulier de <math>\;17\;</math> côtés<math>\big)\;</math> soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en <math>\;1801\;</math> la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par '''[[w:Leonhard_Euler|Euler]]''' en <math>\;1772</math> <math>\;\big[</math>un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple <math>\;11 \equiv 3^2\!\! \pmod{2}\;</math> ou <math>\;19 \equiv 4^2\!\! \pmod{3}\;</math> ou encore <math>\;41 \equiv 6^2\!\! \pmod{5}\;</math> de même que <math>\;43 \equiv 6^2\!\! \pmod{7}\; \ldots\big]\;</math> <math>\{</math>'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie<math>\}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de l'astronomie '''[[w:Carl_Friedrich_Gauss|Gauss]]''' publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la [[w:Méthode_des_moindres_carrés|méthode des moindres carrés]] ; auparavant, en <math>\;1801</math>, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver [[w:(1)_Cérès|Cérès]] <math>\;\big(</math>une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de '''Maxwell''' gérant l'électromagnétisme <math>\;\{</math>'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur<math>\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="conditions de Gauss de stigmatisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Énoncé_des_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché_d'un_système_optique_«_centré_»|conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut <math>\;\alpha_L \simeq \dfrac{L}{f_i} \simeq \dfrac{36}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{36}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_L \simeq 15,3\;\text{°}\;</math>» et <br>{{Al|20}}{{Transparent|dans les conditions de Gauss, le champ angulaire }}correspondant à la hauteur d'une image du film <math>\;\alpha_H \simeq \dfrac{H}{f_i} \simeq \dfrac{24}{135}\, rad \simeq</math> <math>\dfrac{24}{135} \times \dfrac{180}{\pi}\;\text{en °}\;</math> soit «<math>\;\alpha_H \simeq 10,2\;\text{°}\;</math>».}} === Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal === {{Al|5}}Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à une distance <math>\;D = 2\, km\;</math> de l'objectif. {{Al|5}}Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image <math>\;f_i = 50\, mm\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss <ref name="Gauss" /> d'aplanétisme approché <ref name="conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché" /> étant petit ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet }}c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur <math>\;h_i\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h_i}{f_i}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;h_i \simeq f_i\, \beta \simeq 135 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit «<math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>». {{Al|5}}Avec un objectif de distance focale <math>\;{f'}_{\!i} = 50\, mm</math>, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur <math>\;h = 200\, m\;</math> situé à la distance <math>\;D = 2\, km\;</math> ayant la même valeur «<math>\;\beta \simeq \dfrac{h}{D} = \dfrac{200}{2000} \simeq 0,100\, rad\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet }}étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;O'\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur <math>\;{h'}_{\!i}\;</math> de l'image donnée par «<math>\;\beta \simeq \dfrac{{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq {f'}_{\!i}\, \beta \simeq 50 \times 0,100\;\text{en}\;mm\;</math>» soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Avec un objectif de distance focale <math>\;\color{transparent}{{f'}_{\!i} = 50\, mm}</math>, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique <math>\;\color{transparent}{O'}\;</math> de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur}}«<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le fait que «<math>\;{h'}_{\!i} \simeq 5,0\, mm\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;h_i \simeq 13,5\, mm\;</math>» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.}} == Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue == === Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince === ==== Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls ==== {{Al|5}}Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points <math>\;(x_0,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, y_0)\;</math> avec <math>\;x_0 \neq 0\;</math> et <math>\;y_0 \neq 0\;</math> peut s'écrire : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «<math>\;a\, x + b\, y = c\;</math> avec <math>\;c \neq 0\;</math>» <ref> Car la droite ne passe pas par le point <math>\;(0,\, 0)</math>.</ref> ou, en divisant par <math>\;c\;</math> et en notant <math>\;\alpha = \dfrac{a}{c}\;</math> et <math>\;\beta = \dfrac{b}{c}</math>, l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\alpha\, x + \beta\, y = 1\;</math>». {{Al|5}}On écrit alors que le point <math>\;(x_0,\, 0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha\; x_0 + \beta \times 0 = 1\;</math> ou «<math>\;\alpha = \dfrac{1}{x_0}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On écrit alors }}que le point <math>\;(0,\, y_0) \in\;</math> à la droite <math>\Rightarrow</math> <math>\;\alpha \times 0 + \beta\; y_0 = 1\;</math> ou «<math>\;\beta = \dfrac{1}{y_0}\;</math>» ; <center>finalement l'équation de la droite se réécrit «<math>\;\dfrac{x}{x_0} + \dfrac{y}{y_0} = 1\;</math>».</center>}} ==== Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince ==== {{Al|5}}Déduire de la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> que les points objet <math>\;A_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math> et image <math>\;A_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> sont conjugués si leurs abscisses sont liées par : <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_o}{p_0} + \dfrac{f_i}{p_i} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse"> Cette forme de la relation de conjugaison de position de Descartes n'a un intérêt que pour la discussion graphique envisagée dans cet exercice, il serait contreproductif <math>\;big(</math>mais non impossible<math>\big)\;</math> de l'utiliser à la place de celle vue dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Descartes|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>.</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}La 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> d'une lentille sphérique mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> s'écrit, avec «<math>\;p_o = \overline{OA_o}\;</math>», «<math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math>» et la vergence {{Nobr|«<math>\;V =</math>}} <math>\dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> soit, en multipliant de part et d'autre par <math>\;f_i</math>, la relation <math>\;\dfrac{f_i}{p_i} - \dfrac{f_i}{p_o} = 1\;</math> ou encore, en utilisant <math>\;f_i = -f_o</math>, <div style="text-align: center;">«<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» <ref name="spécifique Bouasse" />.</div>}} ==== Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images » ==== {{Al|5}}Associant à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, montrer que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> écrite pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> se traduit par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> associée au couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> passe par le point fixe de coordonnées <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div> {{Solution|contenu ={{Al|5}}Associons à tout couple de points conjugués <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> caractérisé par le couple de paramètres <math>\;(p_o,\, p_i)</math>, la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> du plan cartésien passant par les points <math>\;(p_o,\, 0)\;</math> et <math>\;(0,\, p_i)</math>, cette droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> a pour équation cartésienne «<math>\;\dfrac{x}{p_0} + \dfrac{y}{p_i} = 1\;</math>» ; {{Al|5}}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> se réécrivant sous la forme «<math>\;\dfrac{f_i}{p_i} + \dfrac{f_o}{p_o} = 1\;</math>» s'interprète par <div style="text-align: center;">« la droite <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passe par le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math>».</div>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente === {{Al|5}}Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels «<math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;2\, f_o\;</math>» <ref name="points de Weierstrass"> Ce point objet <math>\;W_o\;</math> d'abscisse objet de Descartes <math>\;2\, f_o\;</math> appelé « point objet de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}admet comme conjugué <math>\;W_i\;</math> d'abscisse image de Descartes <math>\;2\, f_i\;</math> appelé « point image de Weierstrass », <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> admet comme conjugué <math>\;\color{transparent}{W_i}\;</math> }}symétrique de <math>\;W_o\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> est vérifiée pour le couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> car <math>\;\dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{2\,f_o} = \dfrac{1}{2\,f_i} - \dfrac{1}{-2\,f_i} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;V\bigg]\;</math> et <br>{{Al|20}}{{Transparent|Ce point objet <math>\;\color{transparent}{W_o}\;</math> }}le grandissement transverse pour un objet linéique transverse de pied en <math>\;W_o\;</math> est égal à <math>\;G_t(W_o) = -1\;</math> <math>\bigg[</math>en effet la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> appliquée au couple <math>\;\left( p_o = 2\,f_o\,,\, p_i = 2\,f_i \right)\;</math> donne <math>\;G_t(W_o) = \dfrac{2\,f_i}{2\,f_o} = -1\bigg]</math> ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : on pourrait montrer <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas<math>\big)\;</math> que la lentille mince est stigmatique rigoureuse pour le couple de points conjugués de Weierstrass <math>\;\big[</math>le seul autre point pour lequel il y a stigmatisme rigoureux de la lentille mince étant le point double <math>\;O</math>, centre optique de la lentille, le grandissement transverse d'un objet linéique transverse de pied en <math>\;O\;</math> y valant <math>\;G_t(O) = +1\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant les différentes positions possibles du point objet <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> sur l'axe optique principal relativement aux points réels }}«<math>\;O\;</math> <math>\big(</math>centre optique<math>\big)\;</math>», * tracer les droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> correspondantes et * déduire du signe de <math>\;p_i\;</math> la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image <math>\;A_i\;</math> en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet <math>\;A_o\;</math>» dont <math>\;A_i\;</math> est l'image ; {{Al|5}}considérant maintenant un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_miroir_plan#Définition_d'un_objet_linéique_transverse|définition d'un objet linéique transverse]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> de pied <math>\;A_o</math>, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de <math>\;p_i\;</math> et <math>\;p_o</math>, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ». {{Al|5}}Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse"> '''[[w:Henri_Bouasse|Henri Pierre Maxime Bouasse]] (1866 - 1953)''' physicien français surtout connu pour avoir rédigé, entre <math>\;1912\;</math> et <math>\;1931</math>, un vaste traité de physique en <math>\;45\;</math> volumes nommé « ''Bibliothèque scientifique de l'ingénieur et du physicien'' » avec l'actualisation de certains volumes jusqu'en <math>\;1947</math> ; il a contre lui la méfiance qu'il avait de la « nouvelle physique » du XX^ème siècle {{Nobr|<math>\;\big(</math>[[w:Théorie_de_la_relativité|relativité]]}} et [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]]<math>\big)\;</math> envers lesquelles il écrivit des préfaces très polémiques.</ref> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On pourra déterminer la nature <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'image connaissant celle <math>\;\big(</math>réelle ou virtuelle<math>\big)\;</math> de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass"> '''[[w:Karl_Weierstrass|Karl Theodor Wilhelm Weierstrass]] (1815 - 1897)''' mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les [[w:Fonction elliptique|fonctions elliptiques]].</ref> symétrique de <math>\;O\;</math> relativement à <math>\;F_o\;</math><ref name="positions respectives de O, Fo et Wo"> En effet l'abscisse objet de Descartes de <math>\;F_o\;</math> <math>\big(</math>foyer principal objet<math>\big)\;</math> est <math>\;f_o\;</math> et celle de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)</math>, <math>\;2\;f_o</math>.</ref><math>\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel"> On rappelle qu'un objet est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réel si }\;p_o < 0,\\ \text{virtuel si }\;p_o > 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{réelle si }\;p_i > 0,\\ \text{virtuelle si }\;p_i < 0 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref> ; {{Al|5}}on pourra aussi en déduire la disposition <math>\;\big(</math>droite ou inversée<math>\big)\;</math> et la dimension <math>\;\big(</math>agrandie ou rapetissée<math>\big)\;</math> de l'image d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> suivant sa position par rapport à <math>\;O</math>, <math>\;F_o\;</math> ou <math>\;W_o\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée"> On rappelle qu'une image est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{droite si }\;\dfrac{p_i}{p_o} > 0,\\ \text{inversée si }\;\dfrac{p_i}{p_o} < 0 \end{array} \right\rbrace </math>, qu'elle est <math> \left\lbrace \begin{array}{l} \text{agrandie si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert > 1,\\ \text{rapetissée si }\;\bigg\vert \dfrac{p_i}{p_o} \bigg\vert < 1 \end{array} \right\rbrace </math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Principe de la discussion</u> : On positionne le point <math>\;(f_o,\, f_i)\;</math> dans le plan cartésien et on trace la famille de droites <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}\;</math> passant par ce point ; {{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : }}suivant la position graphique de <math>\;\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}</math>, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet <math>\;A_o\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_o\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut }}en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image <math>\;A_i\;</math> <math>\big(</math>par le signe de <math>\;p_i\big)\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Principe de la discussion : suivant la position graphique de <math>\;\color{transparent}{\mathcal{D}_{(p_o,\, p_i)}}</math>, on peut en déduire }}le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>par les signes comparés de <math>\;p_o\;</math> et <math>\;p_i\;</math> d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part<math>\big)\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince convergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|450px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel en deçà de</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_o < 2\, f_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 1' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel au-delà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)</math>, <math>\;p_i > 2\, f_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_o < 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 0 \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. en deçà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_i < 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel</u><math>\;\big(</math>c.-à-d. au-delà de <math>\;O\big)</math>, <math>\;p_o > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince convergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied en deçà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel en deçà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image réelle inversée et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel au-delà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math> avec image inversée et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 1' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> réel entre le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> et le point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel au-delà du point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince convergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince convergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel de pied entre le foyer principal objet et le centre optique ou d'un objet virtuel]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;O\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel avec image droite et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 2 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_i\;</math> avec image droite et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente</u> : {{Al|5}}Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> en deçà de la lentille.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie<math>\big)\;</math> et <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour que }}l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass" />, <math>\;\big[</math>l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_i\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>), le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math>. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince convergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince convergente </gallery> </center>}} === Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente === {{Al|5}}On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente. {{Al|5}}Répondre aux mêmes questions, les points <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="points de Weierstrass" /><math>\big)\;</math> par rapport auxquels on repère la position du point objet <math>\;A_o\;</math> étant maintenant virtuels, le point <math>\;O\;</math> étant quant à lui toujours réel, et {{Al|5}}vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;p_o\;</math> choisi dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On développe ci-dessous le même principe de discussion … {{Al|5}}<u>Discussion graphique et vérification par construction</u> : [[File:Lentille mince divergente - discussion Bouasse.jpg|thumb|thumb|435px|Distinction des <math>\;4\;</math> cas de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_o < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_i\;</math><u>et</u><math>\;O</math>, <math>\;p_i < 0\;</math><ref name="nature réel ou virtuel" /> et <math>\;\in \left] f_i\, \text{ ; } 0 \right[\;</math>» ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} > 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 2 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en bleu<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;O\;</math><u>et</u><math>\;F_o</math>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 0 \text{ ; } f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en bleu<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>réel</u>, <math>\;p_i > 0\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 2 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est droite et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;F_o\;</math><u>et</u><math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente"> Pour une lentille divergente, les points conjugués de Weierstrass <math>\;W_o\;</math> et <math>\;W_i</math>, d'abscisses respectives <math>\;2\, f_o > 0\;</math> et <math>\;2\, f_i < 0</math>, sont tous deux virtuels.</ref>, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] f_o \text{ ; } 2\,f_o \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en rouge<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel en deçà de</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] -\infty \text{ ; } 2\, f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et agrandie</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} > 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" /> ; * <u>Cas</u><math>\;\left( 3' \right)</math> : <math>\big(</math>voir ci-contre en vert<math>\big)</math> «<math>\;A_o\;</math><u>virtuel au-delà de</u><math>\;W_o</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />, <math>\;p_o > 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\, f_o \text{ ; } \,+\infty \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir ci-contre en vert<math>\color{transparent}{\big)}</math> }}«<math>\;A_i\;</math><u>virtuel entre</u><math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /><u>et</u><math>\;F_i</math>, <math>\;p_i < 0\;</math> et <math>\;\in \left] 2\,f_i \text{ ; } f_i \right[\;</math>» <ref name="nature réel ou virtuel" /> ; <br>{{Transparent| Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3' \right)}</math> : }}si l'objet est linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" />, <u>l'image est inversée et rapetissée</u> car <math>\;G_t = \dfrac{p_i}{p_o} < 0\;</math> et <math>\;\dfrac{\vert p_i \vert}{\vert p_o \vert} < 1\;</math><ref name="caractéristique droite ou inversée et agrandie ou rapetissée" />. {{Al|5}}<u>On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse</u> <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> d'abscisse <math>\;p_o\;</math> choisie dans la discussion de Bouasse <ref name="Bouasse" /> précédente : [[File:Lentille mince divergente - construction image.jpg|thumb|400px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> réel ou virtuel de pied entre le centre optique et le foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 1 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> réel <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;O\;</math> avec image virtuelle droite et rapetissée <math>\;\big(</math>figure ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 1 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> <math>\big(</math>en bleu<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 1 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;O\;</math> et <math>\;F_o\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> réel avec image droite et agrandie <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 2 \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> réel entre le centre optique <math>\;O\;</math> et le foyer principal image <math>\;F_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel <math>\;A_iB_i\big]</math> ; [[File:Lentille mince divergente - construction image bis.jpg|thumb|left|450px|Construction de l'image, par une lentille mince divergente, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> virtuel de pied au-delà du foyer principal objet]] * <u>Cas</u><math>\;\left( 3 \right)</math> : <math>\;A_o\;</math> virtuel entre <math>\;F_o\;</math> et <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel en deçà de <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et agrandie <math>\;\big(</math>figure ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}sur la même figure, par retour inverse de <math>\;\left( 3 \right)\;</math> on a le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> <math>\big(</math>en vert<math>\big)</math> : <br>{{Transparent|Cas<math>\;\color{transparent}{\left( 3 \right)}</math> : }}<math>\;A_o\;</math> virtuel au-delà de <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de {{Nobr|Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" />}} <math>\Rightarrow</math> <math>\;A_i\;</math> virtuel entre <math>\;F_i\;</math> et <math>\;W_i\;</math> <math>\big(</math>point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /><math>\big)\;</math><ref name="points de Weierstrass virtuels pour lentille divergente" /> avec image inversée et rapetissée <math>\;\big[</math>attention en retour inverse les indices <math>\;{}_o\;</math> et <math>\;{}_i\;</math> sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche <math>\;\ldots\;</math> il faut donc lire dans le cas <math>\;\left( 3' \right)\;</math> l'objet <math>\;A_i\;</math> virtuel au-delà du point objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> le point image <math>\;A_o\;</math> virtuel entre le foyer principal image <math>\;F_o\;</math> et le point image de Weierstrass <ref name="Weierstrass" /> <math>\;W_o</math>, l'image <math>\;A_oB_o\;</math> étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel <math>\;A_iB_i\big]</math>. {{Al|5}}<u>Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente</u> : {{Al|5}}L'image et l'objet sont toujours de nature différente <ref> On vérifie ainsi qu'il est impossible d'avoir simultanément un objet et son image correspondante par une lentille divergente tous deux réels d'où l'impossibilité de faire l'image sur un écran d'un objet réel avec une lentille divergente.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis"> Plan transverse de pied <math>\;W_o\;</math> <math>\big(</math>point objet de Weierstrass<math>\big)\;</math> c.-à-d. situé à une distance <math>\;2\, \vert f_o \vert\;</math> au-delà de la lentille divergente.</ref>, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre <math>\;0\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait <math>\;+ 1\big)\;</math> et <math>\;2\, f_o\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>où}} le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)\;</math> en passant par <math>\;f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait infini<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass <ref name="Weierstrass" />{{,}} <ref name="plan objet de Weierstrass - bis" />, <math>\;\big[</math>l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à <math>\;2\, f_o\;</math> <math>\big(</math>où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à <math>\;1\big)</math>, le grandissement transverse tendant vers <math>\;0\;</math> quand la distance tend vers l'infini<math>\big]</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée. <center> <gallery mode="packed" heights="330px"> Lentille mince divergente - résumé discussion Bouasse.jpg|Résumé de la discussion graphique de Bouasse <ref name="Bouasse" /> d'une lentille mince divergente </gallery> </center>}} == Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose == {{Al|5}}L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image <math>\;f_i = 38\; mm\;</math>» <ref> Objectif de la famille des « grands angles ».</ref>. {{Al|5}}Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable <math>\;2\,R = \dfrac{f_i}{N}\;</math>» où <math>\;N</math>, appelé « nombre d'ouverture » <ref> Ou simplement « ouverture ».</ref>, peut varier par « valeurs discrètes de <math>\;N = 2,0\;</math> à <math>\;N = 11,3\;</math>» <ref> Les valeurs discrètes de <math>\;N\;</math> forment une progression géométrique de raison <math>\;\sqrt{2} \simeq 1,4</math>, la puissance lumineuse moyenne traversant le diaphragme étant <math>\;\propto\;</math> à la surface de ce dernier c.-à-d. à <math>\;\pi\, R^2</math>, on en déduit que la puissance lumineuse moyenne reçue par le film forme une progression géométrique de raison <math>\;2</math> ; <br>{{Al|3}}la valeur la plus faible <math>\;N = 2,0\;</math> correspond au plus grand diamètre de diaphragme et donc à la plus grande puissance lumineuse moyenne reçue, <br>{{Al|3}}la valeur suivante <math>\;N = 2,0 \times \sqrt{2} \simeq 2,8\;</math> donne une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;2\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^2 \simeq 4,0\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;4\;</math> fois plus faible, <br>{{Al|3}}{{Transparent|la valeur suivante }}<math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^3 \simeq 5,6\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;8\;</math> fois plus faible etc <math>\;\ldots\;</math> <br>{{Al|3}}la dernière valeur <math>\;N = 2,0 \times \left( \sqrt{2} \right)^5 \simeq 11,3\;</math> {{Transparent|donne }}une puissance lumineuse moyenne reçue <math>\;32\;</math> fois plus faible.</ref>. {{Al|5}}La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit <math>\;a = 30\; \mu m\;</math>». === Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule === {{Al|5}}L’objectif étant « mis au point sur un point objet <math>\;A_o\;</math> situé à la distance <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\; m\;</math> de l’objectif », <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés au-delà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,M} \vert > 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur }}des points situés en deçà de <math>\;A_o\;</math> c.-à-d. à une distance <math>\;\vert {p'}_{o,\,m} \vert < 2,50\; m\;</math> de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de <math>\;\color{transparent}{A_o}\;</math> }}dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera <u>ponctuelle</u> si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ». {{Al|5}}On définit la « profondeur de champ de netteté » <ref name="profondeur de champ"> Par abus on parle simplement de « profondeur de champ ».</ref> de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à <u>image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule</u>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » comme }}« intervalle noté <math>\;\left[ \vert p_{o,\,m} \vert\, ; \, \vert p_{o,\,M} \vert \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est donc <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ est donc }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la « profondeur de champ de netteté » }}la largeur étant définie par «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» <ref> Simplement noté <math>\;\Delta x\;</math> quand il n'y a pas d'ambiguïté.</ref>. {{Al|5}}Exprimer, en fonction du grain <math>\;a\;</math> de la pellicule, de la distance focale image <math>\;f_i</math>, du nombre d'ouverture <math>\;N\;</math> et de la distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le minimum de la profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}le maximum {{Al|5}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exprimer, }}la largeur {{Al|10}}{{Transparent|de la profondeur de champ }}<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)</math>. {{Al|5}}Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture. {{Solution|contenu =[[File:Objectif - minimum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Minimum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_o\;</math> et <math>\;O\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,m}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,m}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,m}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_m\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_m = HH'({A}_{o, \,m})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!m} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}on écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{-\vert p_o \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_o \vert} = \dfrac{\vert p_o \vert - f_i}{f_i\, \vert p_o \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>» puis, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, m},\, A_{i,\, m})\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,m}} =</math> <math>\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,m} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,m} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, m}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, m}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, m}}{KK'} = \dfrac{A_iA_{i,\, m}}{(HH')_m}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, m}}{2\, R} = \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{(HH')_m}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_m =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_{i,\, m} - p_i}{p_{i,\, m}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{p_i}{p_{i,\ ,m}} \right) = a\;\;(\mathfrak{3})\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Minimum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3})</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( 1 - \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,m} \vert}{\vert p_{o,\,m} \vert - f_i}} \right) = a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,m} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;1 - \dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} + \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, m} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, m} \vert} = \dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>».</div> [[File:Objectif - maximum de profondeur de champ.jpg|thumb|420px|Schéma de définition du maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> d'un objectif à ouverture et grain de pellicule fixés]] {{Al|5}}<u>Maximum de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance <math>\;\vert p_o \vert</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}des points <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> situés sur l'axe optique principal entre <math>\;A_{o,\,\infty}\;</math> et <math>\;A_o\;</math> donneront des images <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de <math>\;{A'}_{\!o, \,M}\;</math> et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en <math>\;{A'}_{\!i, \,M}\;</math> laissant une tache <math>\;\big(</math>et non un point<math>\big)\;</math> sur la diapositive <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache <math>\;<\;</math> au grain de la pellicule c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points }}pour «<math>\;HH'({A'}_{\!o, \,M}) < a\;</math>» ou, en notant <math>\;(HH')_M\;</math> la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle <ref> Correspondant donc à <math>\;(HH')_M = HH'({A}_{o, \,M})</math>.</ref>, «<math>\;(HH')_{\!M} = a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}ayant écrit tout d'abord la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math>}} de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_o,\, A_i)\;</math> et y ayant obtenu «<math>\;p_i = \dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», on poursuit {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en raisonnant dans le cas limite, la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" /> pour le couple <math>\;(A_{o,\, M},\, A_{i,\, M})\;</math> donnant «<math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}} - \dfrac{1}{-\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{1}{f_i}\;</math>» d'où <math>\;\dfrac{1}{p_{i,\,M}}</math> <math>= \dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{\vert p_{o,\,M} \vert} = \dfrac{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}\;</math> soit «<math>\;p_{i,\,M} = \dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}\;\;(\mathfrak{2}')\;</math>» enfin, {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}les triangles <math>\;KK'A_{i,\, M}\;</math> et <math>\;HH'A_{i,\, M}\;</math> étant semblables, on en déduit : <math>\;\dfrac{OA_{i,\, M}}{KK'} = \dfrac{A_{i,\, M}A_i}{(HH')_M}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_{i,\, M}}{2\, R} = \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{(HH')_M}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;(HH')_M =</math> <math>2\, R\, \dfrac{p_i - p_{i,\, M}}{p_{i,\, M}}\;</math> qui vaut, dans le cas limite, <math>\;a\;</math>» d'où la condition «<math>\;2\, R \left( \dfrac{p_i}{p_{i,\, M}} - 1 \right) = a\;\;(\mathfrak{3}')\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Maximum de profondeur de champ : }}en reportant les formules <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> et <math>\;(\mathfrak{2}')\;</math> dans la relation <math>\;(\mathfrak{3}')</math>, on obtient <math>\;2\, R \left( \dfrac{\dfrac{f_i\, \vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i}}{\dfrac{f_i\, \vert p_{o,\,M} \vert}{\vert p_{o,\,M} \vert - f_i}} - 1 \right) = a\;</math> ou <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert \left( \vert p_{o,\,M} \vert - f_i \right)}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> soit encore <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} - 1 = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> ou <math>\;\dfrac{f_i}{\vert p_o \vert - f_i} - \dfrac{\vert p_o \vert\; f_i}{\vert p_{o,\, M} \vert \left( \vert p_o \vert - f_i \right)} = \dfrac{a}{2\, R}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{\vert p_o \vert}{\vert p_{o,\, M} \vert} = -\dfrac{a \left( \vert p_o \vert - f_i \right)}{2\, R\, f_i} + 1\;</math> donnant <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert = \vert p_o \vert\;\dfrac{2\,R\, f_i}{-a \left( \vert p_o \vert - f_i \right) + 2\,R\, f_i} = \dfrac{\vert p_o \vert}{-\dfrac{a}{2\, R} \left( \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i} - 1 \right) + 1}\;</math> et finalement, avec «<math>\;\vert p_o \vert \gg f_i\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 \ll \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math>», «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{a}{2\, R}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math>» ou, avec <math>\;2\, R = \dfrac{f_i}{N}</math>, <div style="text-align: center;">le « maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}</math>».</div> {{Al|5}}<u>Largeur de profondeur de champ</u> <ref name="profondeur de champ" /> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N)\;</math> définie selon «<math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_{o,\,M} \vert - \vert p_{o,\,m} \vert\;</math>» se calcule en reportant les expressions de <math>\;\vert p_{o,\,m} \vert\;</math> et <math>\;\vert p_{o,\,M} \vert\;</math> précédemment établies soit <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \dfrac{\vert p_o \vert}{1 - \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}} - \dfrac{\vert p_o \vert}{1 + \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}\;</math> ou, en réduisant au même dénominateur, <div style="text-align: center;">la « largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(\vert p_o \vert,\, N) = \vert p_o \vert\; \dfrac{2\; \dfrac{N\;a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}}{1 - \dfrac{N^2\;a^2}{f_i^2}\; \dfrac{p_o^{\!2}}{f_i^2}}\;</math>».</div> {{Al|5}}<u>A.N.</u> <ref name="A.N."> Application Numérique.</ref> : <math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;N = 2,0</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,265\;m\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 2,790\;m\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{2,0 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(2,0)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus ouvert <math>\;\color{transparent}{N = 2,0}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 2,790 - 2,265\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 2,0) \simeq 0,525\;m\;</math>».</ref> ; {{Al|12}}{{Transparent|A.N. : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;N = 11,3</math>, une distance de mise au point <math>\;\vert p_o \vert = 2,50\;m</math>, une distance focale <math>\;\big(</math>image<math>\big)</math> <math>\;f_i = 38\;mm\;</math> et un grain de pellicule de diamètre <math>\;a = 30\;\mu m\;</math> on obtient : <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un minimum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 + \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, m} \vert \simeq 1,575\;m\;</math>», <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> un maximum de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq \dfrac{2,50}{1 - \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38\; 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\vert p_{o,\, M} \vert \simeq 6,052\;m\;</math>» et <br>{{Al|12}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, }}<math>\;\succ\;</math> une largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> <math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = 2,50 \times \dfrac{2 \times \dfrac{11,3 \times 30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{2,50}{38 \; 10^{-3}}}{1 - \dfrac{(11,3)^2 \times (30\; 10^{-6})^2}{(38\; 10^{-3})^2} \times \dfrac{(2,50)^2}{(38\; 10^{-3})^2}}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <br>{{Al|17}}{{Transparent|A.N. : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>pour le diaphragme le plus fermé <math>\;\color{transparent}{N = 11,3}</math>, <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> une largeur de profondeur de champ }}«<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>» <ref> Se calcule aussi directement par «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) = \vert p_{o,\, M} \vert - \vert p_{o,\, m} \vert \simeq 6,052 - 1,575\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\Delta x(2,50\,m,\; 11,3) \simeq 4,477\;m\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> : La largeur de profondeur de champ <ref name="profondeur de champ" /> est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand <math>\;\big(</math>c.-à-d. que le diaphragme est fermé<math>\big)\;</math><ref> Si on souhaite faire une photographie de paysage avec un 1^er plan flou, il faut faire la mise au point à l'infini et réduire la largeur de profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}si au contraire on veut une photographie de 1^er plan avec un fond de paysage flou, on réduit la profondeur de champ en ouvrant le diaphragme au maximum <math>\;\big(</math>correspondant à un nombre d'ouverture petit<math>\big)\;</math> mais en faisant la mise au point sur le 1^er plan <math>\;\ldots</math></ref>, mais une augmentation du nombre d'ouverture <math>\;\big(</math>c.-à-d. une fermeture du diaphragme<math>\big)\;</math> entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition <ref> Plus précisément quand le nombre d'ouverture est multiplié par <math>\;\sqrt{2}\; \big(\simeq 1,4\big)</math>, l'aire de la surface limitée par le diaphragme est divisée par <math>\;2\;</math> et le temps d'exposition, pour obtenir la même impression de la pellicule, doit être multiplié par <math>\;2</math> : <br>{{Al|3}}par exemple une ouverture du diaphragme à <math>\;2,0\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s\;</math> est, du point de vue de l'énergie reçue, équivalente à une ouverture à <math>\;11,3 = 2,0 \times (\sqrt{2})^5\;</math> pendant <math>\;\dfrac{1}{1000} \times 2^5 \simeq \dfrac{1}{30}\;s\;</math> mais, dans le 2^ème cas, la largeur de profondeur de champ étant plus grande, les divers plans transverses se trouvant sur le trajet de la lumière donneront vraisemblablement une image nette <math>\;\big(</math>si toutefois il s'agit d'objets fixes<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>le cas d'objets latéralement mobiles étant envisagé dans la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Temps_de_pose_maximal_pour_que_l’image_d’un_objet_se_déplaçant_latéralement_soit_nette|temps de pose maximal pour que l'image d'un objet se déplaçant latéralement soit nette]] » plus bas dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>.}} === Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette === {{Al|5}}L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m</math>, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de <math>\;v_o = 9,0\; km \cdot h^{-1}</math>. {{Al|5}}Quel temps de pose maximum <math>\;\tau_{\text{max}}\;</math> doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse <math>\;v_o\;</math> émet de la lumière pendant tout le temps de pose <math>\;\tau\;</math> à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc ''a priori'' une tache image sur la pellicule ; <br>{{Al|5}}toutefois si le déplacement transversal de l’objet <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> correspond à un déplacement transversal de l’image <math>\;d_i\;</math> <math><\;</math> au diamètre <math>\;a\;</math> du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ; {{Al|5}}on détermine <math>\;d_i\;</math> à partir de <math>\;d_o = v_o\; \tau\;</math> à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o}\;</math> dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse <math>\;\big[</math>ou 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math><ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />, l’objet étant dans un plan transverse situé à <math>\;\vert p_o \vert = 8,00\; m\;\gg f_i = 38\;mm\;</math> correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i \simeq f_i = 38\; 10^{-3}\;m\;</math> d'où <math>\;\vert G_t(A_o) \vert = \dfrac{d_i}{d_o} \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\;</math> donnant «<math>\;d_i \simeq \dfrac{f_i}{\vert p_o \vert}\; v_o\; \tau\;</math>» dans laquelle «<math>\;v_o = 9,0\; km\! \cdot\! h^{-1} = \dfrac{9,0}{3,6}\; m\! \cdot\! s^{-1} = 2,5\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}la condition de netteté <math>\;d_i < a\;</math> se réécrivant «<math>\;\dfrac{f_i}{|p_o|}\; v_o\; \tau < a\;</math>» conduit à <math>\;\tau < \dfrac{a}{v_o}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{f_i}\;</math> ou finalement <div style="text-align: center;">«<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{a}{f_i}\; \dfrac{\vert p_o \vert}{v_o}\;</math>» ou numériquement <math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{30\; 10^{-6}}{38\; 10^{-3}} \times \dfrac{8,00}{2,5}\;</math> en <math>\;s\;</math> soit <br><math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 0,00253\; s\;</math> ou «<math>\;\tau_{\text{max}} \simeq 2,53\; ms\;</math>» <ref> Parmi les valeurs de temps d'exposition que l'on trouve sur un appareil photographique partant de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;s = 1,00\;ms\;</math> avec toutes les valeurs multipliées par <math>\;2^n,\; n \in \mathbb{N}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Parmi les valeurs de temps d'exposition }}on choisira «<math>\;\tau_{\text{max}} = \dfrac{1}{500}\;s = 2,00\;ms\;</math>» car la valeur suivante <math>\;\dfrac{1}{250}\;s = 4,00\;ms\;</math> donnerait une traînée de l'image sur la pellicule.</ref>.</div>}} == Viseur == {{Al|5}}On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image <math>\;f_{i,\,1} = 30\, cm\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince"> L'objectif et l'oculaire étant tous deux modélisés par une lentille mince.</ref> et d'un « oculaire de distance focale image <math>\;f_{i,\,2}\;</math>» <ref name="modélisé par une lentille mince" />. {{Al|5}}L'objet placé à une « distance <math>\;d\;</math> en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas <ref name="œil n'accommodant pas"> Un œil n'accommodant pas conjugue le plan transverse situé à l'infini et la rétine.</ref>. {{Al|5}}Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée <math>\;d\;</math> soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'infini » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, }}<math>\big\{</math>on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F{o,\,2}}\;</math>»<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée <math>\big(</math>distance séparant le plan transverse où on place l'objet réel de pied <math>\;A_o</math>, de la face d'entrée du viseur<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire pour que la distance de visée }}soit « réglable de <math>\;1,00\, m\;</math> à l'<math>\infty\;</math>», c.-à-d. tel que «<math>\;A_o \stackrel{\text{objectif}}\longrightarrow \;A'\; \stackrel{\text{oculaire}}\longrightarrow A_{i,\, \infty}\;</math>» <ref name="œil n'accommodant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'objet de pied <math>\;A_o</math> est donc dans le plan focal objet du viseur de foyer principal objet <math>\;F_o</math> <math>\;\big\{A_o = F_o\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}l'image intermédiaire de pied <math>\;A'\;</math> dans le plan focal objet de l'oculaire de foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}</math> <math>\;\big\{\;A' = F_{o,\,2}\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}il suffit d'écrire la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref> pour l'objectif <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Première_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_position)_de_Newton|1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire }}soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o}\; \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = f_{o,\,1}\;f_{i,\,1} = -f_{i,\,1}^2\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit }}pour abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;F_o\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Repérage_de_Newton_des_points_objet_et_image|repérage de Newton des points objet et image]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \overline{F_{o,\,1}O_1} + \overline{O_1F_o} = f_{i,\,1} - d\;</math>» <ref> On rappelle que la distance de visée «<math>\;d\;</math>» sépare le plan transverse où on place l'objet <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan focal objet du viseur<math>\big)\;</math> de la face d'entrée du viseur <math>\;\big(</math>c.-à-d. le plan transverse passant par <math>\;O_1\big)</math>.</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|On se propose de déterminer la plage de translation de l'oculaire soit pour }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;F_{o,\,2}\;</math><ref name="repérage de Newton des points objet et image" /> étant le tirage de l'oculaire <math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}\;</math> <center>soit «<math>\;t = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \dfrac{f_{i,\,1}^2}{d - f_{i,\,1}}\;</math>».</center> {{Al|5}}numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;t\;</math>» varie <math>\;\succ\;</math>de «<math>\;t_{d_1} = \dfrac{30^2}{100 - 30}\;</math> en <math>\;cm\;</math>» soit «<math>\;t_{d_1} \simeq 12,9\, cm\;</math> quand <math>\;d = 1,00\, m\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|numériquement le tirage de l'oculaire «<math>\;\color{transparent}{t}\;</math>» varie }}<math>\;\succ\;</math>à «<math>\;t_{d_2} = 0\;</math> quand <math>\;d\;</math> est <math>\;\infty\;</math>», le viseur étant alors afocal.}} == Oculaire de Plössl == {{Al|5}}L'oculaire de Plössl <ref name="Plössl"> '''[[w:Simon_Plössl|Georg Simon Plössl]] (1794 - 1868)''' opticien autrichien, connu pour le caractère achromatique de ses objectifs <math>\;\big(</math>au sens doublet de lentilles<math>\big)</math>.</ref> est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\left(3,\, 1,\, 3\right)\;</math>» <ref name="notation pour doublet de lentilles non accolées"> Un doublet de lentilles non accolées est de type <math>\;\left(n_1,\, n_2,\, n_3\right)\;\in \mathbb{Z}^3\;</math> si * la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = n_1\;a\;</math>», * la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = n_2\;a\;</math>» et * la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = n_3\;a_;</math>» <br>où <math>\;a\;</math> est une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref> <math>\Rightarrow</math> la 1^ère lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,1} = 3\;a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur"> <math>\;a\;</math> étant une longueur <math>\;\big(</math>a priori arbitraire<math>\big)\;</math> servant d'unité.</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la distance séparant les centres optiques <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est «<math>\;e = \overline{O_1O_2} = a\;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type <math>\;\color{transparent}{\left(3,\, 1,\, 3\right)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}la 2^ème lentille <math>\;\big(</math>dans le sens de propagation de la lumière<math>\big)\;</math> est de distance focale image «<math>\;f_{i,\,2} = 3\;a_;</math>» <ref name="a unité arbitraire de longueur" />. === Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl === ==== Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image ==== {{Al|5}}Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est focal <ref name="focal"> Pour cela il suffit de montrer qu'il n'est pas afocal c.-à-d. que la disposition des lentilles minces ainsi que leur distance focale image n'est pas telle que le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.</ref> ; {{Al|5}}déterminer algébriquement en fonction de <math>\;a\;</math><ref name="a unité arbitraire de longueur" /> et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant <math>\;a = 2\;cm</math> : * le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal, * le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> c.-à-d. l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ; {{Al|5}}préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sachant qu'un oculaire est dit positif si <math>\;F_o\;</math> est réel, négatif si <math>\;F_o\;</math> est virtuel. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|650px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c.-à-d. si l'image intermédiaire recherchée <math>\;\big(</math>notée <math>\;?\big)\;</math> obéit à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore si <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}</math>, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est « <u>focal</u> », que le foyer principal image de la 1^ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2^ème lentille c.-à-d. «<math>\;F_{i,\,1} \neq F_{o,\,2}\;</math>» voir schéma ci-contre. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou «<math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton"> Ou de Descartes ; toutefois, quand on travaille sur un doublet, il est souvent plus pratique d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton car la grandeur <math>\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}</math>, nulle pour un doublet afocal, peut avoir une signification dans un doublet focal comme c'est le cas dans le microscope dans lequel elle est appelée « intervalle optique » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_focal_du_microscope,_notion_d'intervalle_optique_et_ordre_de_grandeur_de_sa_valeur_pour_avoir_un_fort_grossissement|caractère focal du microscope, notion d'intervalle optique et ordre de grandeur de sa valeur pour avoir un fort grossissement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_{i,\,1}\, ,\, F_i \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,2}\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,2}\;f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} =</math> <math>f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2} = 3\; a - a + 3\; a\;</math><ref name="distances focales"> On rappelle que <math>\;\overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{o,\,2} = -f_{i,\,2}</math>.</ref> soit «<math>\; \sigma_{o,\,2} = 5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{(3\; a)^2}{5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = 3\; a - \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point objet à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{o,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant à partir de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{i,\, 1}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}se réfractant, à partir de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire image associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal image.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> c.-à-d. que le foyer principal objet de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou «<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position <math>\;\big[</math>ou 1^ère relation de conjugaison {{Nobr|<math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\big]\;</math>}} de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math><ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour le couple <math>\;\left( F_o\, ,\, F_{o,\,2} \right)\;</math> soit «<math>\;\sigma_{i,\,1}\; \sigma_{o,\,1} = f_{i,\,1}\;f_{o,\,1} = -f_{i,\,1}^{\,2}\;</math>» avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} =</math> <math>e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1} = a - 3\; a - 3\; a\;</math><ref name="distances focales" /> soit «<math>\; \sigma_{i,\,1} = -5\; a\;</math>» d'où <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> donnant numériquement «<math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{(3\; a)^2}{-5\; a}\;</math>» soit «<math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}en repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> relativement à <math>\;\mathcal{L}_1</math>, <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -3\; a + \dfrac{9}{5}\;a\;</math> soit «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : }}on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}en utilisant un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <ref> Qui passe donc par le point image à l'infini de l'axe optique principal <math>\;A_{i,\, \infty}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}dont l'antécédent en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math><ref> En fait seul le prolongement du rayon intermédiaire passe par <math>\;F_{o,\, 2}</math>.</ref> de <math>\;\mathcal{L}_2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}de rayon incident, en deçà de <math>\;\mathcal{L}_1</math>, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\, 1}(\delta')\;</math> de l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math><ref> On rappelle que le foyer secondaire objet associé à un axe optique secondaire est l'intersection de cet axe secondaire et du plan focal objet.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement }}l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de {{Nobr|Plössl <ref name="Plössl" />}} <math>\;\big(</math>voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On observe aisément que l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est symétrique relativement au milieu <math>\;M\;</math> du segment <math>\;[O_1O_2]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut }}inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser }}avec absence de modification optique observable et par conséquent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : ceci signifie }}que l'<u>on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image</u> <ref> Ce qui permet de ne déterminer directement que l'un des foyers principaux image ou objet, l'autre étant alors connu par utilisation de la propriété de symétrie de l'oculaire ; dans ce qui suit nous supposerons que seule la position du foyer principal image a été déterminée.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens initial de propagation de la lumière.</ref> devient le foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé"> C.-à-d. l'oculaire de Plössl utilisé dans le sens inversé de propagation de la lumière.</ref> c.-à-d. «<math>\;F_o(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = F_i(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}la face de sortie de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> devenant la face d'entrée de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> c.-à-d. «<math>\;O_1(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = O_2(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}dont on déduit aisément «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens inversé" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow} = \overline{O_2F_i}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = \dfrac{6}{5}\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}en inversant le sens d'algébrisation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\leftarrow}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, }}on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire <math>\;(\mathcal{Plo})_{\rightarrow}\;</math><ref name="oculaire utilisé dans le sens initial" /> «<math>\;\overline{O_1F_o}(\mathcal{Plo})_{\rightarrow} = -\dfrac{6}{5}\;a\;</math>». {{Al|5}}<u>Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> : le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «<math>\;\overline{O_1F_o} = -\dfrac{6}{5}\;a < 0\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet <math>\;\color{transparent}{F_o}\;</math> de l'oculaire de Plössl }}est <u>réel</u> et par suite l'oculaire est dit <u>positif</u>.}} ==== Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction ==== {{Al|5}}En considérant un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, vérifier que ce dernier est convergent sachant <ref> Les affirmations ci-dessous seront justifiées dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Construction_de_l'image,_par_l'oculaire_de_Plössl,_d'un_objet_linéique_transverse_en_utilisant_les_plans_principaux_et_justification_du_caractère_convergent_(ou_divergent)_d'un_doublet_de_lentilles|construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles]] » plus bas dans cet exercice.</ref> que <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>un système optique est afocal si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, émerge de la face de sortie du système <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, après <math>\;\big(</math>ou sans<math>\big)\;</math> avoir coupé ce dernier. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - foyers objet et image.jpg|thumb|600px|Détermination graphique des foyers principaux objet et image d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On constate, sur le schéma ci-contre <ref> Il s'agit du schéma expliqué dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le <u>caractère convergent de l'oculaire de Plössl</u> <ref name="Plössl" /> en effet {{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, }}un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et situé au-dessus, <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}émerge de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> }}en se rapprochant de ce dernier et <br>{{Al|11}}{{Transparent|On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> en }}se dirigeant vers le foyer principal image <math>\;F_i</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> est réel mais attention : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 3,\, 2)\;</math> convergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le foyer principal image étant virtuel<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> n'est pas évoqué, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\succ\;</math>d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet <ref> Comme on pourrait le vérifier sur le doublet <math>\;(2,\, 4,\, 1)\;</math> divergent <math>\;\big(</math>le rayon émerge de la 2^ème lentille au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant jusqu'au foyer principal image réel puis s'en éloigne en passant au-dessus<math>\big)</math>.</ref>, raison pour laquelle le caractère réel de <math>\;F_i\;</math> ne doit pas être évoqué.}} ==== Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ayant été déterminés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton <ref name="Newton" /> pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>» ; {{Al|5}}en admettant que la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de ce dernier <math>\;\big(</math>la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> étant toujours opposée à la distance focale image <math>\;f_i\big)</math>, déterminer : * <math>\;\vert f_i \vert\;</math> en appliquant la relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position de Newton <ref name="Newton" /> à l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />{{,}} <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis * <math>\;f_i\;</math> sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive <math>\;\big(</math>la distance focale image d'un système divergent étant négative<math>\big)</math>. {{Solution|contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;\vert f_i \vert\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> en utilisant la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = -f_i^2\;</math>» <ref name="1ère relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math>» et «<math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}\;</math>», relation supposée applicable à tout couple de points conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;">«<math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math>» établissant que le couple «<math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> » ;</div> {{Al|5}}pour ce couple on a «<math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}«<math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref name="positionnement de Newton des foyers principaux objet et image de l'oculaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour ce couple on a }}d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = -f_i^2\;</math> se réécrivant <math>\;\left[ -\dfrac{9}{5}\;a \right] \left[ \dfrac{9}{5}\;a \right] = -f_i^2\;</math> soit <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert f_i \vert = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant convergent sa distance focale image <math>\;f_i\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et par suite elle vaut <div style="text-align: center;">«<math>\;f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» <ref> Sa distance focale objet valant <math>\;f_o = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a</math>.</ref>.</div>}} ==== Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire ==== {{Al|5}}Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> de pied positionné au point principal objet <math>\;H_o</math>, un grandissement transverse valant «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>» <ref> L'image de cet objet linéique transverse <math>\;H_oB_o\;</math> est alors <math>\;H_iB_i\;</math> droite et de même taille que l'objet.</ref> ; {{Al|5}}en admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Deuxième_relation_de_conjugaison_(ou_relation_de_conjugaison_de_grandissement transverse)_de_Newton|2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer : * l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\sigma_o(H_o) = \overline{F_oH_o}\;</math>», positionner alors <math>\;H_o\;</math> sur l'axe optique principal et * l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\sigma_i(H_i) = \overline{F_iH_i}\;</math>», positionner de même <math>\;H_i\;</math> sur l'axe optique principal. {{Solution|contenu =[[File:Oculaire de Plössl - ajout des points principaux.jpg|thumb|650px|Positionnement des points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sur le schéma construisant les positions des foyers principaux de ce dernier]] {{Al|5}}Considérant le couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et <br>{{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o(H_o)}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec {{Nobr|«<math>\;\sigma_o(H_o)</math>}} <math>= \overline{F_oH_o}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o = f_i = \dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}appliquant la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> <math>\big[</math>ou relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de grandissement transverse<math>\big]\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> au couple de points principaux <math>\;(H_o\, ,\,H_i)\;</math> conjugués par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> sous la forme «<math>\;G_t(H_o) = -\dfrac{\sigma_i(H_o)}{f_i}\;</math>» <ref name="2ème relation de conjugaison de Newton" /> avec «<math>\;\sigma_i(H_o) = \overline{F_iH_i}\;</math>», on trouve, avec «<math>\;G_t(H_o) = +1\;</math>», <div style="text-align: center;">l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i = -\dfrac{9}{5}\;a\;</math>» ;</div> {{Al|5}}voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus <math>\;\big\{H_i\;</math> symétrique de <math>\;H_o\;</math> par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]</math>, oculaire symétrique par rapport à ce dernier <ref name="oculaire de Plössl symétrique"> Voir remarque dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice.</ref><math>\big\}\;</math> et<br>{{Al|5}}{{Transparent|voir }}la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux <ref> C'est un complément, ce n'était pas demandé.</ref>{{,}} <ref> On trouve une légère différence entre le positionnement des points principaux dont les abscisses ont été déterminées algébriquement et la détermination graphique de ces derniers, une construction étant nécessairement moins précise <math>\;\big(</math>toutefois l'accord reste néanmoins acceptable<math>\big)</math>.</ref> sur la figure ci-dessous. [[File:Oculaire de Plössl - détermination foyers et points principaux.jpg|thumb|650px|Détermination graphique simultanée des foyers et points principaux d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] {{Al|5}}On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> en noir <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\, 1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math>» :}} * considérer un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * se réfractant à partir de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\, 2}(\delta)\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On reprend tout d'abord la constr. }}celle du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> en bleu <ref> On rappelle la méthode vue dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l'oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image]] » plus haut dans cet exercice utilisant la conjugaison {{Nobr|«<math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\, 2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math>» :}} * considérer un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal, * dont l'antécédent en deçà de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> de cette dernière, * ce rayon intermédiaire <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{i,\, 1}(\delta')\;</math> correspondant à cet axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math>, * l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire de Plössl.</ref> ; {{Al|5}}on détermine ensuite le point principal image <math>\;H_i\;</math> suivi <br>{{Al|5}}{{Transparent|on détermine ensuite }}du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de la façon suivante : * on considère un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> <math>\;\big(</math>non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> de pied <math>\;A_o\;</math> sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé, <br>dans l'hypothèse où <math>\;A_o\;</math> serait en <math>\;H_o\;</math><ref> Dont on ignore la position pour l'instant.</ref>, l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant de même taille et de même sens que l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> et l'extrémité <math>\;B_i\;</math> devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> passant par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math><ref> Étant donné que ce rayon émergent est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'objet <math>\;B_o</math>.</ref>, <math>\;B_i\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math> définissant alors la position du point principal image <math>\;H_i</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math> ; * on considère une image linéique transverse <math>\;H_iI_i\;</math> dont l'autre extrémité <math>\;I_i\;</math> est sur un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math><ref> Nous avons choisi la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> identique à celle précédemment utilisée pour la détermination du point principal image <math>\;H_i\;</math> c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> est dans le prolongement du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> utilisé pour déterminer <math>\;H_i\;</math> <math>\big(</math>c'est aussi ce rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui a servi à la détermination du foyer principal objet <math>\;F_o\big)\;</math> mais la taille de l'image <math>\;H_iI_i\;</math> peut être quelconque c.-à-d. que le rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> peut être à n'importe quelle distance de l'axe optique principal.</ref>, l'antécédent <math>\;H_oI_o\;</math> étant de même taille et de même sens que l'image <math>\;H_iI_i\;</math> et l'extrémité <math>\;I_o\;</math> devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math><ref> Étant donné que ce rayon incident est le conjugué, par l'oculaire de Plössl, du rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> précédemment utilisé sur lequel se trouve l'image <math>\;I_i</math>.</ref>, <math>\;I_o\;</math> se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet <math>\;H_o\;</math> s'obtenant par projection orthogonale de <math>\;I_o\;</math> sur <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>.}} ==== Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire ==== {{Al|5}}Vérifier, d'après les réponses de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier, }}que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peuvent être définies selon «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet"> Quand on associe deux lentilles minces non accolées c.-à-d. telles que <math>\;O_1O_2 \neq 0</math>, la notion de centre optique disparaît pour le système optique ainsi formé et, si ce dernier est focal, elle est remplacée par celle de points principaux objet et image ; <br>{{Al|3}}le centre optique <math>\;O\;</math> d'une lentille mince est le point double de l'axe optique principal tel que la lentille donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;O</math>, une image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image étant respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{OF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i = \overline{OF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image de la lentille<math>\big]\;</math> alors que <br>{{Al|3}}les points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)\;</math> d'un doublet de lentilles non accolées et focal sont distincts sur l'axe optique principal tel que le doublet donne, de tout objet linéique transverse de pied positionné en <math>\;H_o</math>, une image de pied positionné en <math>\;H_i</math>, de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>, les distances focales objet et image pouvant être respectivement définies par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» et «<math>\;f_i</math> <math>= \overline{H_iF_i}\;</math>» avec «<math>\;f_o = -f_i\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lesquelles <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> sont respectivement les foyers principaux objet et image du doublet<math>\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}On définit alors le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon : * l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes"> Pour un doublet de lentilles non accolées et focal, on peut dire qu'il y a dédoublement de la notion de centre optique d'une lentille en la notion de couple de points principaux objet et image <math>\;(H_o,\,H_i)</math>, le 1^er servant à repérer un point objet et le 2^nd un point image, tous deux situés sur l'axe optique principal du doublet.</ref> et * l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>» <ref name="points principaux origine du repérage de Descartes" /> ; {{Al|5}}établir les relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> à partir de celles <math>\;\big(</math>admises<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> en effectuant un changement d'origines et <br>{{Al|5}}vérifier que ces relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de position et de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> sont identiques à celles d'une lentille mince <ref name="1ère relation de conjugaison de Descartes" />{{,}} <ref name="2ème relation de conjugaison de Descartes" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton <ref name="Newton" /> du point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> «<math>\;\overline{F_oH_o} = -f_o\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On vérifie, d'après }}l'abscisse image de Newton <ref name="Newton" /> du point principal image <math>\;H_o\;</math> du même oculaire «<math>\;\overline{F_iH_i} = -f_i\;</math>» <ref name="abscisse de Newton des points principaux" />, que * la distance focale objet <math>\;f_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" /> et * la distance focale image <math>\;f_i\;</math> du même oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> peut être définie par «<math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math>» <ref name="définition des distances focales d'un doublet" />. {{Al|5}}Définissant le repérage de Descartes <ref name="Descartes" /> en prenant pour origines * le point principal objet <math>\;H_o\;</math> pour l'abscisse d'un point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_o = \overline{H_oA_o}\;</math>» et * le point principal image <math>\;H_i\;</math> pour l'abscisse d'un point image <math>\;A_i\;</math> de l'axe optique principal définie par «<math>\;p_i = \overline{H_iA_i}\;</math>», {{Al|5}}on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse objet de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> de l'oculaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on déduit de ce qui précède }}que la distance focale image de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'abscisse image de Descartes <ref name="Descartes" /> du foyer principal objet <math>\;F_i\;</math> de l'oculaire ; {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de celle de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\overline{F_oA_o} = \overline{H_oA_o} - \overline{H_oF_o}\\ \overline{F_iA_i} = \overline{H_iA_i} - \overline{H_iF_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> «<math>\;\sigma_i\;\sigma_o = f_i\; f_o\;</math>» <ref name="applicabilité Newton"> Applicable si <math>\;A_o \neq F_o\;</math> et <math>\;\neq A_{o,\,\infty}</math>.</ref>, ce qui donne <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Newton }}«<math>\;(p_i - f_i)\;(p_o - f_o) = f_i\; f_o\;</math>» soit, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}en développant <math>\;p_i\; p_o - f_i\;p_o - p_i\; f_o + \cancel{f_i\;f_o} = \cancel{f_i\; f_o}\;</math> ou, en divisant les deux membres par <math>\;p_i\;p_o\;f_i = -p_i\;p_o\;f_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes"> Ce qui suppose que <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref> La raison de cette division étant que la relation de conjugaison de position de Newton est homogène à un carré de longueur alors que celle cherchée de Descartes doit l'être en inverse de longueur.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant }}<math>\;\dfrac{1}{f_i} - \dfrac{1}{p_i} + \dfrac{1}{p_o} = 0\;</math> soit finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes }}la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis"> On vérifie que cette forme reste applicable quand <math>\;A_o = F_o\;</math> et <math>\;A_o = A_{o,\,\infty}</math>, la seule restriction étant <math>\;A_o \neq H_o</math>.</ref>{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille"> Il s'agit donc bien des mêmes formes de relations de conjugaison de Descartes, seules les définitions des abscisses objet et image de Descartes diffèrent.</ref> avec <br>{{Al|14}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1^ère relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes }}«<math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = -\dfrac{1}{f_o}\;</math> vergence du doublet » et «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> à partir de l'une de celles de Newton <ref name="Newton" /></u> : <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\sigma_o = p_o - f_o\\ \sigma_i = p_i - f_i \end{array} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}dans l'une des 2^èmes relations de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Newton <ref name="Newton" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{\sigma_i}{f_i}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /> <math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{\sigma_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Newton" /><math>\bigg]</math>, ce qui donne <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}«<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{p_i - f_i}{f_i} = -\dfrac{p_i}{f_i} + 1\;</math>» ou encore «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_i\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;1 - \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{p_i}{f_i}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_i}{f_i} = \dfrac{p_i}{p_o}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans }}<math>\;\bigg[</math>ou «<math>\;G_t(A_o) = -\dfrac{f_o}{p_o - f_o}\;</math>» dont on déduit «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = -\dfrac{p_o - f_o}{f_o} = -\dfrac{p_o}{f_o} + 1\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}ou encore «<math>\;\dfrac{1}{G_t(A_o)} = \dfrac{p_o}{p_i}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter }}<math>\bigg(\!</math>en effet <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = \dfrac{1}{f_i}\;</math> multipliée par <math>\;p_o\;</math><ref name="applicabilité Descartes" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p_o}{p_i} - 1 = -\dfrac{p_o}{f_o}\;</math> ou <math>\;1 - \dfrac{p_o}{f_o} = \dfrac{p_o}{p_i}\!\bigg)</math>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans <math>\;\color{transparent}{\bigg[}</math>}}soit en inversant «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; finalement <br>{{Al|9}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes }}la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\big(</math>approchée<math>\big)\;</math> de Descartes <ref name="Descartes" /> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> selon «<math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math>» <ref name="applicabilité Descartes bis" />{{,}} <ref name="mêmes relations que lentille" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2^ème relation de conjugaison <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>approchée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de Descartes de l'oculaire de Plössl }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p_o = \overline{H_oA_o} \\ p_i = \overline{H_iA_i}\end{array} \right\rbrace\;</math>».}} ==== Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles ==== {{Al|5}}Montrer qu'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement <ref name="fictif entrée"> La rencontre est réelle si le plan principal objet est situé en deçà de la face d'entrée et fictive s'il est au-delà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal objet n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'un rayon incident }}émerge du plan principal image <math>\;\big(</math>réellement ou fictivement <ref name="fictif sortie"> La rencontre est réelle si le plan principal image est situé au-delà de la face de sortie et fictive s'il est en deçà de celle-ci ; ici on emploie le qualificatif « fictif » plutôt que « virtuel » car le plan principal image n'est pas matériel <math>\;\big(</math>le qualificatif « virtuel » étant réservé à la partie en prolongement d'un rayon réel en deçà ou au-delà d'une surface matérielle comme une face d'entrée ou de sortie<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\;</math> en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'}}le rayon émergeant en direction du foyer principal image <math>\;F_i</math> ; {{Al|5}}en déduire une méthode de construction de l'image <math>\;A_iB_i</math>, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math><ref name="objet linéique transverse" /> de pied <math>\;A_o\;</math> en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire. {{Al|5}}En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent <math>\;\big(</math>ou divergent<math>\big)\;</math> d'un système optique : * un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou <br>{{Transparent|un système optique est convergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ; * un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou <br>{{Transparent|un système optique est divergent si un rayon incident <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système }}au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - construction avec plans principaux.jpg|thumb|650px|Principe de la construction de l'image, par un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> utilisant les plans principaux]] {{Al|5}}Les plans principaux et les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ci-contre, <br>{{Al|5}}on y considère un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o</math>, dessinant ainsi un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /> fictif <math>\;H_oI_o\;</math> dans le plan principal objet ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y considère }}cet objet fictif a pour conjugué, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, l'image fictive <math>\;H_iI_i\;</math> dans le plan principal image, image de même taille que l'objet <math>\;H_oI_o\;</math> <ref> En effet l'image de tout objet linéique transverse dans le plan principal objet est dans le plan principal image de grandissement transverse égal à <math>\;+1</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on peut affirmer que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o</math> ; de plus <br>{{Al|5}}{{Transparent|on peut affirmer que }}le rayon incident étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergent doit passer <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal image <math>\;F_i\;</math> et par conséquent sa partie fictive à partir de <math>\;I_i\;</math> devra avoir un prolongement passant par <math>\;F_i</math> ; <br>{{Al|5}}<math>\Big[</math>de même un rayon incident passant <math>\;\big(</math>réellement<math>\big)\;</math> par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> et rencontrant <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif entrée" /><math>\big)\;</math> le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non représenté"> Non représenté sur le schéma ci-dessus pour éviter une surcharge qui aurait rendu moins lisible la figure.</ref>, émerge <math>\;\big(</math>fictivement <ref name="fictif sortie" /><math>\big)\;</math> du plan principal image en <math>\;J_i\;</math><ref name="non représenté" /> situé à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;J_o\;</math> en étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>, le rayon émergeant réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal <math>\;\big\{</math>tracé non représenté mais facilement imaginable, l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant symétrique par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]\;</math><ref name="oculaire de Plössl symétrique" />{{,}} <ref name="Points principaux symétriques"> Les points principaux de l'oculaire de Plössl étant également symétriques par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]</math>, voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l'oculaire|détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, le tracé peut être obtenu en pratiquant le retour inverse de la lumière sur le symétrique <math>\;\big(</math>par rapport au milieu du segment <math>\;\left[ O_1O_2 \right]\big)\;</math> du « tracé du rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> émergeant en passant par le <math>\;F_i\;</math>»<math>\big\}\Big]</math>. {{Al|5}}<u>Méthode de construction de l'image</u><math>\;A_iB_i\;</math><u>d'un objet linéique transverse <ref name="objet linéique transverse" /></u><math>\;A_oB_o\;</math><u>de pied</u><math>\;A_o\;</math><u>en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire</u> : <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus en vert<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>}}on considère deux rayons incidents issus de <math>\;B_o</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}<math>\succ\;</math>l'un <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math><ref name="non indiqué"> Non indiqué sur le schéma.</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'un }}émergeant du plan principal image à partir de <math>\;I_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iI_i} = \overline{H_oI_o}\;</math> en passant par le foyer principal image <math>\;F_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}<math>\succ\;</math>l'autre passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> rencontrant le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math><ref name="non indiqué" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'autre }}émergeant du plan principal image à partir de <math>\;J_i\;</math><ref name="non indiqué" /> tel que <math>\;\overline{H_iJ_i} = \overline{H_oJ_o}\;</math> parallèlement à l'axe optique principal ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}l'image <math>\;B_i\;</math> étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Méthode de construction de l'image<math>\;\color{transparent}{A_iB_i}\;</math>on considère }}le pied <math>\;A_i\;</math> de l'image <math>\;A_iB_i\;</math> étant le projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur l'axe optique principal <ref> On peut aisément vérifier cette construction en traçant le cheminement de chaque rayon incident à travers chaque lentille :<br>{{Al|3}}le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent passant par <math>\;F_i\;</math> qui est l'image de <math>\;F_{i,\, 1}\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon incident passant par <math>\;F_o\;</math> donne, par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, à partir de la face d'entrée, un rayon intermédiaire passant par <math>\;F_{o,\, 2}\;</math> qui est l'image de <math>\;F_o\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis, par <math>\;\mathcal{L}_2</math>, à partir de la face de sortie, un rayon émergent <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> ;<br>{{Al|3}}l'image <math>\;B_i\;</math> est alors à l'intersection des deux rayons émergents avec <math>\;A_i\;</math> projeté orthogonal de <math>\;B_i\;</math> sur <math>\;\Delta</math>, on obtient effectivement les mêmes position et taille de l'image.</ref>. {{Al|5}}<u>Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent</u><math>\;\big(</math><u>ou divergent</u><math>\big)\;</math><u>d'un système optique</u> : [[File:Système convergent.jpg|thumb|350px|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système convergent, émergence d'un rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à l'axe optique principal]] {{Al|5}}<u>Justification du caractère convergent</u> : un système optique est convergent si sa distance focale image est positive c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est négative c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;< 0\;</math><ref name="lien entre focales"> Pour un système tel que l'espace image est de même indice que l'espace objet (ce qui est le cas pour un doublet de lentilles minces) <math>\;f_o = -f_i</math>, il suffit donc de vérifier le bon signe sur l'une des distances focales ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>pour un système tel que l'espace objet est d'indice <math>\;n_o\;</math> et l'espace image d'indice <math>\;n_i \neq n_o\;</math> (comme l'exemple d'un dioptre sphérique) <math>\;f_o = -\dfrac{n_o}{n_i}\;f_i\;</math> voir [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Caractère_focal_d.27un_dioptre_sphérique.2C_définition_des_foyers_principaux_objet_et_image.2C_lien_de_la_vergence_avec_les_distances_focales_objet_et_image|notion de distances focales d'un dioptre sphérique]] en cliquant sur solution.</ref>), le plan principal image doit être en deçà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet au-delà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;H_o\;</math> en deçà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;H_o\;</math> au-delà de <math>\;H_i\;</math> avec face de sortie en deçà ou au-delà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant et dans le 2^ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant), [[File:Système divergent.xcf|thumb|Disposition de la face de sortie relativement aux plans principaux et focaux d'un système divergent, émergence d'un rayon incident parallèle à l'axe optique principal]] * un système optique est divergent si sa distance focale image est négative c.-à-d. si <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> (et simultanément si sa distance focale objet est positive c.-à-d. si <math>\;f_o = \overline{H_oF_o}\;</math> est <math>\;> 0\;</math><ref name="lien entre focales" />), le plan principal image doit être au-delà du plan focal image (et simultanément le plan principal objet en deçà du plan focal objet) d'où les quatre dispositions (non exhaustives) ci-contre : <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de gauche <math>\;F_o\;</math> en deçà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math> pour les deux figures de droite <math>\;F_o\;</math> au-delà de <math>\;F_i\;</math> avec face de sortie au-delà ou en deçà de <math>\;F_i\;</math> (dans le 1{{er}} cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et dans le 2^ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant).}} ==== Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant (directement ou par son prolongement) par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> ainsi que son émergent issu (directement ou par son prolongement) du point principal image constitue un <u>axe optique secondaire</u> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>montrer qu'un axe optique secondaire est constitué de deux demi-droites parallèles issues des points principaux. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier pour l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - axes optiques secondaires.jpg|thumb|Propriété "parallélisme des rayons incidents passant par le point principal objet de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et des rayons émergents correspondants", notion d'axes optiques secondaires]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;e\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et dont le prolongement passe par le point principal objet <math>\;H_o\;</math> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> et soit <math>\;B_o\;</math> un point objet de ce rayon<ref> Nous choisissons ce point relativement éloigné du plan focal objet de façon à ce que <math>\;(B_oF_o)\;</math> ne soit pas trop incliné par rapport à l'axe optique principal et par suite que son image ne sorte pas de la figure.</ref> ; nous construisons alors l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire en utilisant deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> * un rayon <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> en direction du foyer principal image <math>\;F_i\;</math> (en vert sur le schéma), * un rayon passant par le foyer principal objet <math>\;F_o\;</math> qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance <math>\;d'\;</math> de <math>\;\Delta\;</math> parallèlement à <math>\;\Delta\;</math> (en gris sur le schéma) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'image <math>\;B_i\;</math> par l'oculaire est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de <math>\;B_o\;</math> ; le rayon émergent associé au rayon incident <math>\;(B_oH_o)\;</math> est alors <math>\;(H_iB_i)</math>, il sort de l'oculaire en étant incliné relativement à l'axe optique principal (plus précisément faisant l'angle algébrisé <math>\;s\;</math> avec <math>\;\Delta\big)\;</math> et nous allons établir que <math>\;s = e</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>les angles obéissant aux conditions de Gauss sont petits et on en déduit * <math>\;e \simeq \tan(e) = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{\overline{H_oA_o}}\;</math> ou <math>\;e = \dfrac{\overline{A_oB_o}}{p_o}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss"> Comme nous restons dans les conditions de Gauss l'expression obtenue à l'ordre 1 (qui s'écrit <math>\;\simeq\big)\;</math> est la seule envisageable (ce qu'on traduit en écrivant <math>\;=\big)\;</math>.</ref> en accord avec <math>\;e\;</math> et <math>\;p_o\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\overline{A_oB_o} > 0</math>, * <math>\;s \simeq \tan(s) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{H_iA_i}}\;</math> ou <math>\;s = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{p_i}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> en accord avec <math>\;s\;</math> et <math>\;\overline{A_iB_i}\;</math> tous deux <math>\;< 0\;</math> et <math>\;p_i > 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit <math>\dfrac{s}{e} = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\; \dfrac{p_o}{p_i} = G_t(A_o)\;\dfrac{p_o}{p_i}\;</math> et, avec la 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> on obtient <math>\dfrac{s}{e} = 1\;</math> ou <math>\;s = e</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>en conclusion</u>, un <u>axe optique</u> de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> est l'<u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet '''H_o''' et du rayon émergent correspondant dont le prolongement est issu du point principal image '''H_i''' et de direction parallèle au rayon incident</u> ; l'axe optique est dit <u>secondaire</u> s'il est <u>incliné</u> relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> appelé axe optique principal. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire</u> : * l'intersection de la partie émergente <math>\;(\delta)_i\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> avec le plan focal image définit le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math> ; on a la propriété suivante <math>\;B_{o,\, \infty,\, \delta}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"> Où <math>\;(\mathcal{Plo})\;</math> est l'oculaire de Plöss.</ref> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;(\delta)\;</math> et rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)</math>, * l'intersection de la partie incidente <math>\;(\delta')_o\;</math> d'un axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')</math> ; on a la propriété suivante <math>\;\varphi_{o,\,\delta'}\;\stackrel{(\mathcal{Plo})}{\longrightarrow}\;B_{i,\, \infty,\, \delta'}\;</math><ref name="oculaire de Plössl"/> c.-à-d. que <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> en rencontrant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émerge de <math>\;I_i\;</math> (conjugué de <math>\;I_o\;</math> situé dans le plan principal image à la même distance de <math>\;\Delta\;</math> que <math>\;I_o\big)\;</math> parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o</math>, axe optique secondaire comprenant la partie incidente <math>\;(\varphi_oH_o)\;</math> et la partie émergente parallèle à la partie incidente issue de <math>\;H_i</math>. [[File:Oculaire de Plössl - construction image par foyers secondaires.jpg|thumb|Utilisation de la notion de foyers secondaires image ou objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> pour construire l'image d'un point objet de l'axe optique principal de l'oculaire]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image</u> : voir ci-contre ; * en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan principal objet en <math>\;I_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;I_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;I_o</math>, en passant par le foyer secondaire image <math>\;\varphi_{i,\,\delta}\;</math> associé à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta)\;</math> dont la partie incidente est la parallèle issue de <math>\;H_o\;</math> au rayon incident (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; * en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet <math>\;A_o\;</math> de l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> et le plan principal objet en <math>\;J_o\;</math> émergera du plan principal image en <math>\;J_i\;</math> situé à la même distance de <math>\;\Delta</math> que <math>\;J_o</math>, parallèlement à l'axe optique secondaire <math>\;(\delta')\;</math> associé au foyer secondaire objet <math>\;\varphi_o\;</math> dont la partie incidente est <math>\;H_o\varphi_o\;</math> (la partie émergente étant <math>\;\parallel\;</math> à la partie incidente issue de <math>\;H_i\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><math>\;A_i\;</math> se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec <math>\;\Delta</math>.</div>}} === Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Préliminaire</u> : la [[w:Puissance optique|puissance optique]] d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, elle est égale au rapport de l'angle sous lequel l’œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet<ref> Elle dépend donc de la conjugaison de l'oculaire mais aussi de la position de l’œil.</ref>, elle est exprimée en dioptries <math>\;\big(\delta\big)</math>. ==== Détermination du rayon angulaire que l'oculaire donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet du doublet de lentilles minces ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; sachant que le rayon du disque est <math>\;\rho\;</math> déterminer le rayon angulaire <math>\;\alpha'\;</math> de son image à l'infini. {{Solution|contenu = [[File:Oculaire de Plössl - objet dans plan focal objet.jpg|thumb|Cheminement de la lumière issue d'un objet placé dans le plan focal objet d'un oculaire de Plössl <ref name="Plössl" />]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;A_o = F_o\;</math> le centre du disque transverse et <math>\;B_o\;</math> le bord supérieur situé dans le plan de coupe, on a la conjugaison suivante <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\; F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> où <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> est le foyer secondaire objet de la 2^ème lentille par lequel passe le rayon incident <math>\;B_oO_1\;</math> non dévié par la 1^ère lentille, <math>\;(\delta)\;</math> étant l'axe optique secondaire de cette 2^ème lentille associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}</math>, le rayon émergent de la 2^ème lentille parallèlement à <math>\;(\delta)\;</math> et l'image <math>\;B_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;B_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)</math> [l'image <math>\;A_{i,\,\infty}\;</math> de <math>\;A_o\;</math> par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant le point à l'infini de l'axe optique principal <math>\;\Delta\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'angle non algébrisé sous lequel de <math>\;O_2\;</math> on voit <math>\;A_{i,\,\infty}B_{i,\,\infty}\;</math> étant <math>\;\alpha'\;</math> c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de l'axe optique secondaire de la 2^ème lentille <math>\;(\delta)\;</math> associé au foyer secondaire objet de cette même lentille soit <math>\;\alpha' \simeq \tan(\alpha') = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_2F_{o,\, 2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss"> On rappelle que l'on travaille dans les conditions de Gauss c.-à-d. que <math>\;\alpha' \ll 1\;</math> de même <math>\;\alpha \ll 1</math>.</ref> soit encore <math>\;\alpha' \simeq \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{f_{i,\, 2}}\;</math> expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>or <math>\;F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}\;</math> est vu de <math>\;O_1\;</math> sous le même angle non algébrisé <math>\;\alpha\;</math> que <math>\;A_oB_o\;</math> soit <math>\;\alpha \simeq \tan(\alpha) = \dfrac{|\overline{A_oB_o}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \dfrac{|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}\;</math><ref name="conditions de Gauss" /> ou, avec <math>\;|\overline{A_oB_o}| = \rho\;</math> d'une part, d'autre part <math>\;|\overline{O_1F_o}| = \dfrac{6}{5}\;a\;</math> déterminé à la question sur la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire]] et <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = |\overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\, 2}}|</math> <math>= |a - 3\;a|\;</math> soit <math>\;|\overline{O_1F_{o,\,2}}| = 2\;a</math>, on en déduit <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = |\overline{A_oB_o}|\;\dfrac{|\overline{O_1F_{o,\,2}}|}{|\overline{O_1F_o}|} = \rho\; \dfrac{2\;a}{\dfrac{6}{5}\;a}\;</math> soit finalement <math>\;|\overline{F_{o,\,2}\varphi_{o,\,2}}| = \dfrac{5}{3}\;\rho</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>avec <math>\;f_{i,\,2} = 3\;a</math>, on déduit le rayon angulaire cherché de l'image à l'infini <math>\;\alpha' = \dfrac{\dfrac{5}{3}\;\rho}{3\;a}\;</math><ref name="égalité dans conditions de Gauss" /> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>.</div>}} ==== Calcul de la puissance de l'oculaire ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Évaluer la puissance de l'oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> puis la calculer en dioptries si <math>\;a = 2\;cm</math>. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>De l'expression du rayon angulaire de l'image à l'infini par l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> trouvée précédemment <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a}</math>, on en déduit celle de la puissance de cet oculaire <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{\alpha'}{\rho}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9\; a}\;</math> <br>ou numériquement, avec <math>\;a = 2\;cm</math>, <math>\;\mathcal{P} = \dfrac{5}{9 \times 2\; 10^{-2}}\;</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>et finalement <math>\;\mathcal{P} \simeq 27,78\;\delta</math>.</div>}} ==== Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte <math>\;d = 25\;cm</math>, serait vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha_0</math>, observé à travers l'oculaire, il est vu sous le rayon angulaire <math>\;\alpha'</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>évaluer le grossissement de l'oculaire <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0}\;</math> en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>calculer sa valeur numérique. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'angle non algébrisé <math>\;\alpha_0\;</math> sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant <math>\;\alpha_0 = \dfrac{\rho}{d}\;</math> et l'angle non algébrisé <math>\;\alpha'\;</math> sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> étant <math>\;\alpha' = \dfrac{5}{9}\;\dfrac{\rho}{a} = \mathcal{P}\; \rho</math>, on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl <ref name="Plössl" /> <math>\;G = \dfrac{\alpha'}{\alpha_0} = \dfrac{\mathcal{P}\; \rho}{\dfrac{\rho}{d}}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;G = \mathcal{P}\; d\;</math> <br> ou numériquement <math>\;G = 27,78 \times 0,24\;</math> donnant au final <math>\;G \simeq 6,94</math>.</div>}} == Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand == === Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique est un cas particulier de « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Retour_sur_les_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB.2C_exemple_des_lentilles_sphériques.2C_cas_particulier_des_précédentes_:_les_lentilles_minces|système dioptrique centré]] » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal <math>\;\Delta</math>, obtenue par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique<ref> Si les deux étaient plans nécessairement tous deux <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta</math>, on définirait une lame à faces parallèles.</ref>, de même espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 1{{er}} dioptre <math>\;\mathcal{D}_e</math>, dit dioptre d'entrée, est de sommet <math>\;S_e</math>, de centre <math>\;C_e</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} = \overline{S_eC_e} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_e\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_e\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_e} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_e\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_e}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique d'indice <math>\;n_o\;</math> (jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle"> Usuellement la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Exemple_de_systèmes_dioptriques_.C2.AB_centrés_.C2.BB_:_les_lentilles_sphériques|lentille sphérique]] est plongée dans l'air, l'espace optique d'entrée du 1{{er}} dioptre est alors d'indice <math>\;n_o \simeq 1</math> et l'espace optique de sortie du 2^ème dioptre d'indice <math>\;n_i \simeq 1</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>nous considérons, dans un premier temps, que la lentille sphérique sépare deux milieux différents de l'air c.-à-d. <math>\;n_o \neq 1\;</math> et <math>\;n_i \neq 1\;</math> avant de revenir au cas où les deux milieux sont l'air.</ref>) et l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le 2^ème dioptre <math>\;\mathcal{D}_s</math>, dit dioptre de sortie, est de sommet <math>\;S_s</math>, de centre <math>\;C_s</math>, de rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} = \overline{S_sC_s} \neq 0\;</math><ref> Si le dioptre est sphérique, le centre <math>\;C_s\;</math> reste à distance finie de <math>\;S_s\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure algébrisé <math>\;\overline{R_s} \neq \pm\infty\;</math> (c.-à-d. fini positif ou négatif),<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>si le dioptre est plan, le centre <math>\;C_s\;</math> est le point à l'infini de <math>\;\Delta\;</math> et le rayon de courbure <math>\;\vert \overline{R_s}\vert = \infty\;</math> (c.-à-d. infini).</ref>, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice <math>\;n\;</math> et l'espace optique d'indice <math>\;n_i\;</math> (jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique<ref name="lentille non usuelle" />) ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>nous admettrons les relations de conjugaison approchée de Descartes d'un dioptre sphérique établies dans l'exercice intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_conditions_de_Gauss#Stigmatisme_et_aplanétisme_approchés_d.27un_dioptre_sphérique_sous_conditions_de_Gauss|stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss]] » du chapitre 13 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir, en supposant que le dioptre sphérique est de sommet <math>\;S\;</math> séparant un milieu d'indice <math>\;n_o\;</math> à gauche de <math>\;S\;</math> et un milieu d'indice <math>\;n_i\;</math> à droite de <math>\;S</math>, le rayon de courbure algébrisé étant <math>\;\overline{R} = \overline{SC}\;</math> où <math>\;C\;</math> est le centre de courbure : * la 1^ère relation de conjugaison (approchée) <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{SA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{SA_o}} = V\;</math> avec <math>\;V\;</math> une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon <div style="text-align: center;"><math>\;V = \dfrac{-(n_o - n_i)}{\overline{R}}\;</math> <math>\big[</math>dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec <math>\;V = 0\big]</math> ;</div> * la 2^ème relation de conjugaison (approchée) <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{SA_i}}{\overline{SA_o}}\;</math> [encore applicable dans le cas d'un dioptre plan]. ==== Vergence d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Une lentille sphérique étant « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Cas_particulier_de_lentilles_sphériques_:_les_lentilles_minces|mince]] » si « son épaisseur '''e = S_eS_s''' est très petite »<ref> Plus précisément si <math>\;e \ll R_e</math>, si <math>\;e \ll R_s\;</math> et si <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> [comme <math>\;\overline{R_e} - \overline{R_s} = \overline{S_eC_e} - \overline{S_sC_s} = \overline{S_eS_s} + \overline{S_sC_e} - \overline{S_sC_s} =</math> <math>e + \overline{C_sC_e}</math>, <math>\;e \ll |\overline{R_e} - \overline{R_s}|\;</math> est équivalent à <math>\;|\overline{C_sC_e}|\;</math> non petit].</ref> c.-à-d. si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » <math>\;S_e \simeq S_s</math>, le point commun définissant le centre optique <math>\;O\;</math> de la lentille sphérique mince, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison (approchée) de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice <math>\;n_o\;</math> de l'espace image réelle d'indice <math>\;n_i</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>puis retrouver les relations de conjugaison (approchée) de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et réécrire l'expression de sa vergence. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Considérant une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant le point objet <math>\;A_o\;</math> et le point image <math>\;A_i\;</math> selon <math>\;A_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de position de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{S_eA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{S_eA_o}} = V_e\;\text{ avec }\;V_e = \dfrac{-(n_o - n)}{\overline{R}_e}\\ \dfrac{n_i}{\overline{S_sA_i}} - \dfrac{n}{\overline{S_sA_1}} = V_s\;\text{ avec }\;V_s = \dfrac{-(n - n_i)}{\overline{R}_s}\end{array}\right\rbrace\;</math> dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse"> Une lentille sphérique est dite « épaisse » quand elle n'est pas modélisable en lentille sphérique « mince ».</ref>, difficulté engendrée par <math>\;S_e \neq S_s</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, les relations de conjugaison de position de Descartes se réécrivant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n}{\overline{OA_1}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e\\ \dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n}{\overline{OA_1}} = V_s\end{array}\right\rbrace\;</math> permettent une élimination très facile de l'image intermédiaire <math>\;A_1\;</math> en faisant la somme de ces deux équations donnant <math>\;\dfrac{n_i}{\overline{OA_i}} - \dfrac{n_o}{\overline{OA_o}} = V_e + V_s\;</math> dans laquelle <math>\;V_e + V_s\;</math> définit la vergence <math>\;V\;</math> de la lentille sphérique mince soit <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;\dfrac{n_i}{p_i} - \dfrac{n_o}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <math>\;V = \dfrac{(n_i - n)}{\overline{R}_s} - \dfrac{(n_o - n)}{\overline{R}_e}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>considérant encore une lentille sphérique ''a priori'' non mince conjuguant l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> et l'image correspondante <math>\;A_iB_i\;</math> selon <math>\;A_oB_o\;\stackrel{\mathcal{D}_e}{\longrightarrow}\;A_1B_1\;\stackrel{\mathcal{D}_s}{\longrightarrow}\;A_iB_i\;</math> dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme de Gauss, on peut écrire les relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes appliquées à chaque dioptre selon les deux équations suivantes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} G_{t,\,e}(A_o) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\\ G_{t,\,s}(A_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\end{array}\right\rbrace</math>, le grandissement transverse de l'objet <math>\;A_oB_o\;</math> par la lentille sphérique « épaisse »<ref name="lentille sphérique épaisse" /> se définissant par <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> et pouvant aisément se réécrire <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} \times \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;</math> ou <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,s}(A_1)\; G_{t,\,e}(A_o)</math>, nous en déduisons <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_sA_1}}\; \dfrac{n_o}{n}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_eA_o}}\;</math> soit encore <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{S_sA_i}}{\overline{S_eA_o}}\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}}\;</math> dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>dans le cas d'une lentille sphérique mince, avec <math>\;S_e \simeq S_s \simeq O\;</math> point commun définissant le centre optique de la lentille mince, le dernier facteur de l'expression approchée de Descartes de grandissement transverse de l'objet par la lentille sphérique mince valant <math>\;\dfrac{\overline{S_eA_1}}{\overline{S_sA_1}} = \dfrac{\overline{OA_1}}{\overline{OA_1}} = 1</math>, on en déduit <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{\overline{OA_i}}{\overline{OA_o}}\;</math> soit <div style="text-align: center;">la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{n_o}{n_i}\;\dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air on a <math>\;n_o = n_i \simeq 1\;</math> d'où : <div style="text-align: center;">la 1^ère relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>, <br><math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref> Pour que cette relation caractérise une lentille sphérique mince il faut que <math>\;\overline{R_e} \neq \overline{R_s}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en effet si les deux surfaces dioptriques sphériques sont parallèles c.-à-d. si la distance les séparant parallèlement à l'axe optique principal est une constante quel que soit l'endroit où elle est mesurée, le système dioptrique centré est afocal et n'est donc pas une lentille sphérique mince, il s'agit d'une lame que l'on pourrait appelée « lame à faces sphériques parallèles » (appellation personnelle).</ref> étant sa vergence et <br> la 2^ème relation de conjugaison (approchée) de Descartes d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air s'écrit <br><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} p_o = \overline{OA_o} \\ p_i = \overline{OA_i} \end{array} \right\rbrace</math>.</div>}} ==== Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice <math>\;n\;</math> du milieu constituant la lentille et celui-ci étant ''a priori'' plus ou moins dispersif<ref> Plus précisément l'indice est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide <math>\;n_{\text{rouge}} < n_{\text{violet}}\;</math> car <math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} > \lambda_{0,\, \text{violet}}</math>, sa variation peut être modélisée par la formule empirique de Cauchy <math>\;n = A + \dfrac{B}{\lambda_0^2}\;</math> où <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> sont des constantes caractéristiques du milieu, la première sans dimension et la seconde homogène à une surface.<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)''', mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.</ref>, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, parallèle à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux images dont la localisation dépend de la couleur (voir ci-dessous), défauts appelés [[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]] de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons : [[File:Lens6a-fr.svg|thumb|Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille augmente quand la longueur d'onde diminue]] * en « aberration chromatique longitudinale » <math>\;\overline{A_L}\;</math> définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu <math>\;F_{i,\,F}\;</math> du foyer principal image rouge <math>\;F_{i,\,C}\;</math> <math>\big\{</math>on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur <math>\;\Delta</math>, par un segment de couleurs étalées <math>\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;</math><ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement longitudinal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> (attention l'étalement se fait aussi transversalement comme nous l'indiquons dans le paragraphe ci-dessous).</ref>, * en « aberration chromatique transversale » <math>\;A_T\;</math> définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux images de chaque couleur, le faisceau incident, parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche <math>\big\{</math>il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux images du faisceau incident de lumière blanche parallèle à <math>\;\Delta</math>, par exemple dans le plan focal image rouge (respectivement bleu ou autre)<ref> C.-à-d. centré sur le foyer principal image de couleur rouge (respectivement bleu ou autre).</ref>, la focalisation est ponctuelle pour le rouge (respectivement bleu ou autre) mais remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur<ref> Dans le plan focal rouge (respectivement bleu ou autre), la couleur ayant le plus grand rayon et définissant le rayon de la tache est alors la couleur bleu (respectivement rouge ou ?) comme on l'observe sur la figure ci-jointe.</ref>{{,}}<ref> Attention l'étalement n'est pas uniquement transversal comme nous le voyons sur la figure jointe.</ref><math>\big\}\;</math><ref> Ce défaut s'observe aussi à partir d'un objet ponctuel <math>\;A_o\;</math> fixé sur l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> de la lentille sphérique mince et émettant de la lumière blanche, absence d'image ponctuelle blanche sur <math>\;\Delta\;</math> mais étalement de <math>\;A_i\;</math> sur <math>\;\Delta\;</math> en un segment <math>\;[A_{i,\,F}A_{i,\,C}]\;</math> et simultanément observation de taches lumineuses dans chaque plan transverse centré sur chaque image <math>\;A_{i,\, \text{coul. fixée}}</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>l'aberration transversale est aussi une conséquence du fait que le grandissement transverse dépend implicitement de l'indice du milieu constituant la lentille, en effet la 1^ère relation de conjugaison de Descartes s'écrivant <math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p_i = \dfrac{1}{V + \dfrac{1}{p_o}} = \dfrac{p_o}{V\; p_o + 1}\;</math> on en déduit l'expression du grandissement transverse par 2^ème relation de conjugaison de Descartes <math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o} = \dfrac{1}{V\; p_o + 1}\;</math> qui dépend effectivement de <math>\;n\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;V</math>.</ref>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe<ref> '''Ernst Karl Abbe (1840 - 1905)''' physicien et industriel allemand à qui on doit des perfectionnements pour obtenir une meilleure qualité d'image, il est essentiellement connu pour la condition d'aplanétisme des systèmes centrés appelée [[w:Aplanétisme#Expression mathématique de l'aplanétisme|condition des sinus d'Abbe]].</ref>) de ce dernier <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) »<ref name="constringence"> On remarque que plus le milieu est dispersif, plus sa constringence (ou nombre d'Abbe) est faible, un milieu non dispersif ayant une constringence infinie ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>par exemple, on peut classer les verres en deux catégories * les « <u>crown</u> » (à base de silicate de potassium et de calcium) à faible indice et à nombre d'Abbe élevé donc peu dispersif <math>\;\big(n_D \simeq 1,52\;</math> et <math>\;50 \lesssim \nu_D \lesssim 80</math>, exemple de crown utilisé pour les télescopes <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,525\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,550</math>) et * les « <u>flint</u> » (à base de silicate de potassium et de plomb) à haut indice et à nombre d'Abbe faible donc très dispersif <math>\;\big(1,50 \lesssim n_D \lesssim 2,00\;</math> et <math>\;\nu_D \lesssim 50</math>, exemple de flint <math>\;n_{\text{rouge}} = 1,608\;</math> et <math>\;n_{\text{violet}} = 1,660</math>).</ref>, on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée <math>\;R_e = 20\;cm\;</math> et de sortie <math>\;R_s = 80\;cm</math>, de diamètre d'ouverture<ref> C.-à-d. le diamètre de la partie utile de la lentille pour être dans les conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme.</ref> <math>\;D = 6\; cm\;</math> et d'indice suivant la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math>. ===== Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement # la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille, # la vergence moyenne<ref name="définition moyenne"> C.-à-d. correspondant à la couleur jaune « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) ».</ref> ainsi que la distance focale image moyenne<ref name="définition moyenne"/> de la lentille. {{Solution|contenu = # <u>Constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince</u> : compte-tenu de la définition <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}</math>, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} a = 1,657\\ b = 8,3\; 10^{-3}\; \mu m^2\end{array}\right\rbrace</math> : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <math>\;n_D = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_D = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^2}\;</math> ou <math>\;n_D \simeq 1,68090\;</math> puis <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_F = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,F}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^2}\;</math> ou <math>\;n_F \simeq 1,69213\;</math> et enfin <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène), <math>\;n_C = a + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,C}^2}\;</math> soit numériquement <math>\;n_F = 1,657 + \dfrac{8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^2}\;</math> ou <math>\;n_C \simeq 1,67627</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit littéralement la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> donnant numériquement <math>\;\nu_D \simeq \dfrac{1,68090 - 1}{1,69213 - 1,67627} \simeq 42,93\;</math> soit <math>\;\nu_D \simeq 43</math> ; la valeur de la constringence étant <math>\;\lesssim 50</math>, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> # <u>Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe</u> : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe<ref name="définition concavité d'un dioptre"> En fait les faces d'entrée et de sortie ne sont définies qu'à partir du moment où la lentille sphérique est insérée dans un montage, ceci définissant le sens de propagation de la lumière ; avant insertion le caractère convexe (ou concave) d'un dioptre est défini « de l'air vers le milieu constituant la lentille », « convexe » si le centre de courbure est du côté du milieu et « concave » s'il est du côté de l'air d'où un dioptre qualifié de « convexe » avant insertion de la lentille dans un montage définit une « face convexe » s'il est à l'« entrée » de la lentille et une « face concave » s'il est à sa « sortie ».</ref>, <math>\;C_e\;</math> étant à droite de <math>\;S_e \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_e} = R_e = 20\;cm\;</math> et le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave<ref name="définition concavité d'un dioptre" />, <math>\;C_s\;</math> étant à gauche de <math>\;S_s \simeq O</math>, d'où <math>\;\overline{R_s} = -R_s = -80\;cm</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on en déduit la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe par <math>\;V_D = (n_D - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;V_D = \left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;V_D = (1,68090 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,2556</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> <br>soit <math>\;V_D \simeq 4,256\;\delta</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D}\;</math> ou encore <div style="text-align: center;">par <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{\left( a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2} \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)}\;</math> <br>donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} \simeq \dfrac{1}{4,2556} \simeq 0,23498\;</math> en <math>\;m\;</math> <br>soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 235,0\;mm</math>.</div>}} ===== Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne<ref> On considérera que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,C} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{|f_{i,\,F} - f_{i,\,D}|}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> sont <math>\;\ll 1\;</math> c.-à-d. des infiniment petits de même ordre 1 et on établira le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|développement limité à l'ordre 1]] de ce qu'on cherche.</ref>, puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe. {{Solution|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe étant définie selon <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}}\;</math> s'évalue à partir des distances focales images bleu <math>\;f_{i,\,F}\;</math> et rouge <math>\;f_{i,\,C}\;</math> par <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,C} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 + \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} = f_{i,\,D} + \left( f_{i,\,F} - f_{i,\, D} \right) = f_{i,\, D} \left( 1 - \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}} \right) \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, soit encore <math>\;\overline{A_L} \simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon_C + \varepsilon_F)</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il reste à expliciter <math>\;\varepsilon_C + \varepsilon_F\;</math> en fonction, entre autres, de la constringence <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> du milieu constituant la lentille, constringence que l'on peut réécrire <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{(n_F - 1) - (n_C - 1)}\;</math> ou, en multipliant haut et bas par <math>\;\left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right)\;</math> dans le but de faire apparaître les vergences des différentes couleurs au numérateur et dénominateur, <math>\;\nu_D = \dfrac{V_D}{V_F - V_C}\;</math> puis, avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, on obtient <math>\;\nu_D = \dfrac{\dfrac{1}{f_{i,\,D}}}{\dfrac{1}{f_{i,\,F}} - \dfrac{1}{f_{i,\,C}}} = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 - \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}} \simeq 1 + \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math> dont on déduit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{1}{1 - \varepsilon_F} \simeq 1 + \varepsilon_F\\ \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}} \simeq \dfrac{1}{1 + \varepsilon_C} \simeq 1 - \varepsilon_C\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On a utilisé le développement limité à l'ordre 1 de <math>\;(1 + \varepsilon )^n \simeq 1 + n\; \varepsilon,\;\text{si}\;n \in \mathbb{Q}\;</math> appliqué dans le cas <math>\;n = -1\;</math> voir [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|les DL à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]].</ref> et par suite <math>\;\nu_D = \dfrac{1}{\dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}} - \dfrac{f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}} \simeq \dfrac{1}{(1 + \varepsilon_F) - (1 - \varepsilon_C)} = \dfrac{1}{\varepsilon_F + \varepsilon_C}\;</math> soit <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{\nu_D}\;</math><ref> Soit numériquement <math>\;\varepsilon_F + \varepsilon_C \simeq \dfrac{1}{43} \simeq 2\;10^{-2}\;</math> établissant que <math>\;\varepsilon_F\;</math> et <math>\;\varepsilon_C\;</math> étant chacun strictement inférieur à <math>\;2\;10^{-2}\;</math> peuvent être raisonnablement considérés comme des infiniment petits d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>le report dans l'expression précédemment trouvée de l'aberration chromatique longitudinale nous conduit à <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> ou, <br>numériquement <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{235,0}{42,93} \simeq 5,4740\;</math> en <math>\;mm\;</math> <br>soit finalement <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : vérifions s'il est réellement licite de considérer <math>\;\dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_C\;</math> et <math>\;\dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} = \varepsilon_F\;</math> comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image : * couleur rouge de vergence <math>\;V_C = (n_C - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,67627 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,22669</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,226\;\delta\;</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,22669} \simeq 0,236592\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 236,6\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 236,6 - 235,0\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,C} - f_{i,\,D} \simeq 1,6\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{1,6}{235,0} \simeq 0,68\,\%\;</math><ref> Donc pouvant être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près.</ref>, * couleur bleu de vergence <math>\;V_F = (n_F - 1) \left( \dfrac{1}{\overline{R_e}} - \dfrac{1}{\overline{R_s}} \right) \simeq (1,69213 - 1) \left( \dfrac{1}{0,200} - \dfrac{1}{-0,800} \right) \simeq 4,32581</math> en <math>\;m^{-1}\;</math> soit <math>\;V_C \simeq 4,326\;\delta</math> et de distance focale image <math>\;f_{i,\,C} = \dfrac{1}{V_C} \simeq \dfrac{1}{4,32581} \simeq 0,2311706\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} \simeq 231,1\;mm\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 235,0 - 231,1\;</math> en <math>\;mm\;</math> soit <math>\;f_{i,\,D} - f_{i,\,F} \simeq 3,9\;mm\;</math> et par suite <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}} \simeq \dfrac{3,9}{235,0} \simeq 1,66\,\%\;</math><ref> N'étant pas rigoureusement un infiniment petit d'ordre 1 si on travaille à <math>\;1\,\%\;</math> près, mais étant néanmoins petit de même ordre de grandeur car <math>\;\dfrac{\varepsilon_F}{\varepsilon_C} \simeq</math> <math>\dfrac{1,66}{0,68} \simeq 2,5\;</math> d'où l'hypothèse simplificatrice de les supposer tous deux comme des infiniment petits de même ordre 1.</ref> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>Remarque :</span> bien que <math>\;\varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}\;</math> étant <math>\;\nless 1\,\%\;</math> et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre 1 en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu <math>\;\overline{A_L} = f_{i,\,C} - f_{i,\,F} \simeq 236,6 - 231,1 \simeq</math> <math>5,5\;mm</math>.}} ===== Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie ===== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe, * d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture * puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture<ref> Pour cette expression nous supposerons <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D} \ll 1\;</math> c.-à-d. que <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, même si ce n'est pas tout à fait exact en travaillant à <math>\;1\,\%\;</math> près, l'erreur commise en faisant cette hypothèse pouvant être négligée.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et terminer en faisant l'application numérique ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comparer les deux aberrations chromatiques et commenter. {{Solution|contenu = [[File:Aberration chromatique transversale.jpg|thumb|Construction pour définir l'aberration chromatique transversale d'une lentille sphérique mince de diamètre d'ouverture D]] <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'aberration chromatique transversale étant définie par <math>\;A_T = HB' = HB''\;</math><ref name="définition des points"> Voir la définition des points sur la figure ci-contre.</ref>, on détermine <math>\;HB'\;</math> et <math>\;HB''\;</math> en utilisant l'homothétie des triangles <math>\;OBF_{i,\,C}\;</math><ref name="définition des points" /> et <math>\;HB'F_{i,\,C}\;</math> d'une part et celle des triangles <math>\;OBF_{i,\,F}\;</math> et <math>\;HB''F_{i,\,F}\;</math> d'autre part, soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille <math>\;OB = \dfrac{D}{2}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{HF_{i,\,C}}}{HB'} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,C}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{HF_{i,\,C}} = 2\;f_{i,\,C}\;\dfrac{A_T}{D}</math>, * <math>\;\dfrac{\overline{F_{i,\,F}H}}{HB''} = \dfrac{\overline{OF_{i,\,F}}}{\dfrac{D}{2}}\;</math> dont on déduit <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} = 2\;f_{i,\,F}\;\dfrac{A_T}{D}</math> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>et enfin, en faisant la somme des deux expressions <math>\;\overline{HF_{i,\,C}}\;</math> et <math>\;\overline{F_{i,\,F}H}\;</math> pour obtenir <math>\;\overline{F_{i,\,F}H} + \overline{HF_{i,\,C}} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{A_L}\;</math> on en déduit finalement <math>\;\overline{A_L} =</math> <math>2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})\;\dfrac{A_T}{D}\;</math> d'où une 1^ère expression de l'aberration chromatique transversale <div style="text-align: center;"><math>\;A_T = \overline{A_L}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On sait, d'après la question précédente, que <math>\;\overline{A_L} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;</math> d'où, par report dans l'expression précédente de <math>\;A_T</math>, on obtient <math>\;A_T \simeq</math> <math>\dfrac{f_{i,\,D}}{\nu_D}\;\dfrac{D}{2\;(f_{i,\,C} + f_{i,\,F})}\;</math> ou encore <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel le facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> étant de l'ordre de <math>\;10^{-2}\;</math> est un infiniment petit d'ordre 1, ceci montrant que <math>\;A_T\;</math> est un infiniment petit d'ordre au moins 1<ref> C'est un infiniment petit d'ordre 1 si le 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> est non petit mais si ce dernier était un infiniment petit d'ordre 1 (ou même 2) l'aberration chromatique transversale serait un infiniment petit d'ordre 2 (ou même 3) donc d'ordre au moins un sans autre information.</ref> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>comme cela est vu dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chapitre 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour obtenir le D.L. à l'ordre 1 du produit <math>\;A_T \simeq \dfrac{1}{2\;\nu_D}\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> sachant que le 1{{er}} facteur <math>\;\dfrac{1}{2\;\nu_D}\;</math> est considéré comme un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}}\;</math> dans lequel <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 + \varepsilon_C \right)\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D} \left( 1 - \varepsilon_F \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\varepsilon_C = \dfrac{f_{i,\,C} - f_{i,\, D}}{f_{i,\,D}}\\ \varepsilon_F = \dfrac{f_{i,\,D} - f_{i,\, F}}{f_{i,\,D}}\end{array}\right\rbrace\;</math> sont des infiniment petits de même ordre 1, d'où les D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} f_{i,\,C} \simeq f_{i,\, D}\\f_{i,\,F} \simeq f_{i,\, D}\end{array} \right\rbrace\;</math> et par suite le D.L. à l'ordre zéro du 2^ème facteur de l'aberration chromatique transversale <math>\;\dfrac{f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C} + f_{i,\,F}} \simeq \dfrac{f_{i,\,D}\;D}{2\; f_{i,\,D}}</math> <math>= \dfrac{D}{2}\;</math> ; finalement la 2^ème expression cherchée de <div style="text-align: center;">l'aberration chromatique transversale est <math>\;A_T \simeq \dfrac{D}{4\;\nu_D}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Numériquement on obtient <math>\;A_T \simeq \dfrac{6}{4 \times 42,93} \simeq 3,494\,10^{-2}\;</math> en <math>\;cm\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;A_T \simeq 0,35\;mm</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>si on compare l'aberration chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} \simeq 5,5\;mm\;</math> à l'aberration chromatique transversale <math>\;A_T \simeq 0,35\;mm\;</math> qui est approximativement quinze fois plus petite, on en conclut que l'aberration chromatique de la lentille pour un point objet situé sur l'axe optique principal<ref> En fait nous ne l'avons établi que pour le point objet à l'infini de l'axe optique principal.</ref> est essentiellement longitudinale.}} === Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille mince et vergence de cette dernière, achromat mince === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les deux lentilles sphériques minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques <math>\;O_1\;</math> et <math>\;O_2\;</math> sont confondus, leur position commune étant notée <math>\;O</math> ; notant <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> les vergences respectives de lentilles <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2</math>, on se propose de déterminer * à quel système dioptrique le doublet de lentilles minces <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> accolées est équivalent puis, * dans le cas où il serait équivalent à une lentille mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince<ref> C.-à-d. un système dioptrique équivalent à une lentille mince achromatique.</ref> de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée mais d'indice judicieusement choisi. ==== Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles minces accolées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles minces accolées puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soient <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal <math>\;\Delta</math>, de centre optique commun <math>\;O_1 \simeq O_2\;</math> noté <math>\;O</math>, de vergences respectives <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2</math>, on vérifie aisément que le point <math>\;O\;</math> est un point double du doublet de lentilles accolées, c.-à-d. <math>\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;O\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;O\;</math> car <math>\;O \simeq O_1\;</math> est un point double de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;O \simeq O_2\;</math> un point double de <math>\;\mathcal{L}_2</math> d'où le choix de <math>\;O\;</math> comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentille minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet : <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_o\;</math> un point objet de <math>\;\Delta</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1 \in \Delta\;</math> le point conjugué par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_i \in \Delta\;</math> le point image par le doublet de lentilles minces accolées, d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 1^ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_1} - \dfrac{1}{p_o} = V_1\\ \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_1} = V_2\end{array}\right\rbrace\;</math> et éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations soit <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2\;</math> définissant la 1^ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>soient <math>\;A_oB_o\;</math> un objet linéique transverse de pied <math>\;A_o\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_o = \overline{OA_o}</math>, <math>\;A_1B_1\;</math> l'image conjuguée par <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de pied <math>\;A_1\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_1 = \overline{OA_1}\;</math> et <math>\;A_iB_i\;</math> l'image par le doublet de lentilles minces accolées, de pied <math>\;A_i\;</math> d'abscisse de Descartes <math>\;p_i = \overline{OA_i}\;</math> c.-à-d. <math>\;A_oB_o\; \stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_1B_1\; \stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_iB_i</math>, nous pouvons appliquer successivement la 2^ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> puis à la lentille <math>\;\mathcal{L}_2</math>, nous obtenons <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_1}{p_o}\\ G_{t,\,2}(A_1)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}} = \dfrac{p_i}{p_1} \end{array}\right\rbrace</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse <math>\;A_oB_o\;</math> par le doublet selon <math>\;G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}}\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_1B_1}}{\overline{A_oB_o}}\;\dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_1B_1}}\;</math> soit finalement <math>\;G_t(A_o) =</math> <math>G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1)</math>, nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit <math>\;G_t(A_o) = G_{t,\,1}(A_o)\;G_{t,\,2}(A_1) = \dfrac{p_1}{p_o}\;\dfrac{p_1}{p_o}\;</math> ou <div style="text-align: center;"><math>\;G_t(A_o) = \dfrac{p_i}{p_o}\;</math> définissant la 2^ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles minces accolées.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que tous les points objets <math>\;A_o\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des celles-ci sont opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles minces accolées. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = 0\; \Leftrightarrow\; p_i = p_o \\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overline{OA_i} = \overline{OA_o}\\ \overline{A_iB_i} = \overline{A_oB_o}\end{array}\right\rbrace</math>, la 1^ère relation établissant que tous les points <math>\;A_o \in \Delta\;</math> sont des points doubles du doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées<ref> Contrairement au point <math>\;O\;</math> pour lequel la conjugaison par le doublet est rigoureuse (en effet il y a conjugaison rigoureuse du centre optique <math>\;O_1 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et du centre optique <math>\;O_2 \simeq O\;</math> par <math>\;\mathcal{L}_2\big)</math>, celle de tous les autres points nécessitant d'obéir aux conditions de stigmatisme approché de Gauss, la conjugaison est approché.</ref> et la 2^ème que l'image <math>\;A_iB_i\;</math> se superpose point par point à l'objet <math>\;A_oB_o\;</math><ref> L'aplanétisme de chaque lentille nécessitant que les conditions d'aplanétisme approchée de Gauss de chaque lentille soient réalisées pour l'objet linéique transverse, il doit en être de même pour qu'il y ait superposition point par point de l'objet et de son image par le doublet.</ref> ; <div style="text-align: center;">en conclusion, le doublet de lentilles minces accolées de vergences opposées est équivalent à une <u>lame d'air à faces parallèles</u><ref> En effet on a établi dans la solution à la question sur le [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_réflexion,_réfraction,_lois_de_Descartes#Stigmatisme_approché_de_la_lame_et_distance_séparant_le_point_image_du_point_objet_associé|stigmatisme approché d'une lame à faces parallèles]] de l'exercice intitulé « Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé » de la série d'exercices du chapitre 11 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la longueur algébrique joignant l'objet <math>\;A_o\;</math> à son image <math>\;A_i\;</math> par la lame à faces parallèles constituée d'un milieu d'indice <math>\;n\;</math> et d'épaisseur <math>\;e\;</math> plongé dans l'air est <math>\;\overline{A_oA_i} = e \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)\;</math> donnant <math>\;\overline{A_oA_i} \simeq 0\;\forall\; e\;</math> pour une lame d'air à faces parallèles.</ref>.</div>}} ==== Équivalence du doublet de lentilles minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Vérifier que le doublet de lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont le centre optique est le point <math>\;O\;</math> dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>établir la vergence de la lentille mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles. {{Solution| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles minces accolées de vergences non opposées étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1}{p_i} - \dfrac{1}{p_o} = V_1 + V_2 \neq 0\\ G_t(A_o)\;\stackrel{\text{déf}}{\; =\;}\; \dfrac{\overline{A_iB_i}}{\overline{A_oB_o}} = \dfrac{p_i}{p_o}\end{array}\right\rbrace\;</math> établissent <div style="text-align: center;">l'équivalence du doublet à une <u>lentille mince de même axe optique principal '''Δ''', de centre optique '''O'''</u> et <br>dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit <br><math>\;V = V_1 + V_2</math>.</div>}} ==== Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de réaliser un objectif achromatique mince<ref> Encore appelé « achromat mince ».</ref>, de vergence <math>\;V = 4,25\;\delta</math>, en accolant deux lentilles : * l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,1}\;</math> et <math>\;R_{s,\,1} = \infty\;</math> en verre « crown »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 1} = 52\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,1}</math> <math>= 1,516\;</math> pour la radiation jaune, * l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés <math>\;R_{e,\,2} = \infty\;</math><ref> De façon à ce que les faces en contact aient le même rayon de courbure infini.</ref> et <math>\;R_{s,\,2}\;</math> en verre « flint »<ref name="constringence" /> de constringence <math>\;\nu_{D,\, 2} = 43\;</math> et d'indice <math>\;n_{D,\,2} = 1,681\;</math> pour la radiation jaune ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span> en utilisant la vergence d'une lentille mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille <math>\;V = (1 - n) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés"> Avec <math>\;\overline{R_e} = \overline{OC_e}\;</math> et <math>\;\overline{R_s} = \overline{OC_s}\;</math> les rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de la lentille mince.</ref> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>en utilisant </span>la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices"> On rappelle la signification des indices relatifs aux trois couleurs de référence : <br><math>\;\succ\;</math> couleur jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} = 0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium), <br><math>\;\succ\;</math> couleur bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène), <br><math>\;\succ\;</math> couleur rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} = 0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène).</ref>, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b"> Voir la solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_constringence_du_milieu_et_de_la_vergence_moyenne_de_la_lentille_sphérique_mince_biconvexe_précédemment_définie|constringence du milieu ...]] où on a établi <math>\;\nu_D = \dfrac{a - 1 + \dfrac{b}{\lambda_{0,\,D}^2}}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} = \dfrac{n_D - 1}{b \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où l'expression de <math>\;b</math>.</ref>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer une 1^ère expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles minces accolées en fonction des vergences <math>\;V_1\;</math> et <math>\;V_2\;</math> de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation <math>\;(\mathfrak{1})\big]</math>, puis une 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\succ</math> déterminer la condition pour que le doublet de lentilles accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref> La 2^ème expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref>, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle <math>\;\big[</math>relation <math>\;(\mathfrak{2})\big]</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires <math>\;\left\lbrace (\mathfrak{1})\, ;\, (\mathfrak{2}) \right\rbrace\;</math> aux deux inconnues <math>\;[ V_1(\lambda_{0,\,D})\, ;\, V_2(\lambda_{0,\,D})]\;</math> puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire littéralement et numériquement : * les distances focales images de chaque lentille pour la radiation jaune, * les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>D'après la solution de la question précédente, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles minces accolées sont liées à celle du doublet par <math>\;V_i + V_2 = V</math>, l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{1})\quad V_1(\lambda_{0,\,D}) + V_2(\lambda_{0,\,D}) = V</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la vergence du doublet s'explicitant en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; \overline{R_{e,\,1}} = R_{e,\, 1}\; \text{ et }\; R_{s,\,1} = \infty\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; R_{e,\,2} = \infty\; \text{ et }\; \overline{R_{s,\,2}} = R_{s,\,2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> L'algébrisation d'un rayon de courbure infini n'ayant aucune signification dans la mesure où un point à l'infini sur l'axe optique principal peut être interprété comme réel ou virtuel.</ref> ainsi que des indices des milieux composant chaque lentille <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \text{pour }\mathcal{L}_1\;\; n_1 = a_1 + \dfrac{b_1}{\lambda_0^2}\\ \text{pour }\mathcal{L}_2\;\; n_2 = a_2 + \dfrac{b_2}{\lambda_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit <math>\; \left( 1 - n_1 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,1}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,1}}} \right) + \left( 1 - n_2 \right) \left( \dfrac{1}{\overline{R_{s,\,2}}} - \dfrac{1}{\overline{R_{e,\,2}}} \right) = V\;</math> ou <math>\;\dfrac{n_1 - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_2 - 1}{R_{s,\,2}}</math> <math>= V</math>, d'où l'expression écrite pour la radiation jaune <div style="text-align: center;"><math>\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour que le doublet de lentilles minces accolées soit achromatique s'écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> avec <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_0) =</math> <math>\dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} - \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0)\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}}\;</math> et <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{dn_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_1}{\lambda_0^3}\\ \dfrac{dn_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -2\;\dfrac{b_2}{\lambda_0^3}\end{array}\right\rbrace\;</math> soit encore <math>\;-2\;\dfrac{b_1}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{b_2}{\lambda_{0,\,D}^3}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> dans laquelle <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} b_1 = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ b_2 = \dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-2\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{e,\,1}} + 2\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;\dfrac{1}{R_{s,\,2}} = 0\;</math> ou, après simplification évidente, <math>\;\dfrac{1}{\nu_{D,\,1}}\;\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}</math> <math>= \dfrac{1}{\nu_{D,\,2}}\;\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}}\;</math> soit, en reconnaissant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}} = V_1(\lambda_{0,\,D})\\ -\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{R_{s,\,2}} = V_2(\lambda_{0,\,D})\end{array}\right\rbrace</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet selon la relation <div style="text-align: center;"><math>\;(\mathfrak{2})\quad \dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} = -\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Résolution du système d'équations linéaires</u> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r} V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& V\quad (\mathfrak{1})\\ \nu_{D,\,2}\; V_1(\lambda_{0,\,D}) &+& \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) &=& 0\quad (\mathfrak{2}')\end{array}\right\rbrace</math> : on détermine * <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;\nu_{D,\,1}\;(\mathfrak{1}) - (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{52 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq 24,56\;\delta\;</math> et * <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> par C.L. <math>\;-\nu_{D,\,2}\;(\mathfrak{1}) + (\mathfrak{2}')\;</math> donnant la solution <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V}{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}\;</math> soit numériquement <math>\;V_2(\lambda_{0,\,D}) = -\dfrac{43 \times 4,25}{52 - 43}</math> <math>\simeq -20,31\;\delta</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune</u> : * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;f_{i,\,1,\,D} = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\, D})} = \dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq \dfrac{1}{24,56} \simeq 0,04072\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,1,\,D} \simeq 40,7\;mm\;</math> et * pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;f_{i,\,2,\,D} = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\, D})} = -\dfrac{\nu_{D,\,1} - \nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,2}\;V}\;</math> donnant numériquement <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq \dfrac{1}{-20,31} \simeq -0,04924\;</math> en <math>\;m\;</math> ou <math>\;f_{i,\,2,\,D} \simeq -49,2\;mm</math>. <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée (ou de sortie) de chaque lentille</u> : * pour la lentille plan convexe <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> on a <math>\;V_1(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{R_{e,\,1}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{e,\,1} = \dfrac{n_{D,\,1} - 1}{V_1(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{e,\,1} \simeq \dfrac{1,516 - 1}{24,56}</math> <math>\simeq 0,0211\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{e,\,1} \simeq 21,1\;mm\;</math> et * pour la lentille plan concave <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> on a <math>\;V_2(\lambda_{0,\, D}) = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}\;</math> dont on déduit <math>\;R_{s,\,2} = \dfrac{1 - n_{D,\,2}}{V_2(\lambda_{0,\, D})}\;</math> donnant numériquement <math>\;R_{s,\,2} \simeq \dfrac{1 - 1,681}{-20,31}</math> <math>\simeq 0,0335\;</math> en <math>\;m\;</math> soit <math>\;R_{s,\,2} \simeq 33,5\;mm</math>.}} === Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet === <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On considère un doublet de lentilles minces non accolées constitué * d'une première lentille mince convergente <math>\;\mathcal{L}_1</math>, de centre optique <math>\;O_1</math>, d'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_1 > 0\;</math> puis * d'une deuxième lentille mince divergente ou convergente <math>\;\mathcal{L}_2</math>, de centre optique <math>\;O_2</math>, de même axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et de vergence <math>\;V_2 > \;\text{ou}\;< 0</math>, séparée de la précédente de la distance <math>\;e = O_1O_2</math> ; <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on se propose dans un premier temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c.-à-d. de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un deuxième temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet en supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet puis, en admettant <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles simultanément convergentes ou simultanément divergentes si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition n'est pas réalisable.</ref> <math>\;\big(</math>resp. <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math><ref> Pour des lentilles simultanément divergentes cette condition est toujours réalisée, autrement dit un doublet de lentilles minces divergentes non accolées est nécessairement divergent.</ref><math>\big)\;</math> ou <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\;\succ\;</math>le caractère convergent <math>\;\big(</math>resp. divergent<math>\big)\;</math> du doublet de lentilles de natures différentes si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;</math> <math>\big(</math>resp. <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\big)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose dans un deuxième temps </span>pour en déduire la formule de Gullstrand<ref> '''Allvar Gullstrand (1862 - 1930)''' ophtalmologue suédois, prix Nobel de physiologie ou médecine en <math>\;1911\;</math> pour son travail sur les dioptries de l'œil.</ref> précisant la vergence du doublet, et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small>on se propose </span>dans un troisième temps de déterminer l'écartement <math>\;e\;</math> pour que le doublet soit achromatique<ref> C.-à-d. soit un doublet de lentilles minces accolées ou non (ici les lentilles sont non accolées) dépourvu d'[[w:Aberration chromatique#Cause de l'aberration chromatique|aberrations chromatiques]].</ref> dans chaque hypothèse suivante * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion"> On rappelle que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence (ou le nombre d'Abbe) de ce dernier <math>\;\nu_D = \dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math> dans laquelle les indices <math>\;_C</math>, <math>\;_D\;</math> et <math>\;_F\;</math> représentent respectivement les couleurs « rouge <math>\;\lambda_{0,\, C} =</math> <math>0,6563\; \mu m\;</math> (raie <math>\;C\;</math> de l'hydrogène) », « jaune <math>\;\lambda_{0,\, D} =</math> <math>0,5893\; \mu m\;</math> (raie <math>\;D\;</math> du sodium) » et « bleu <math>\;\lambda_{0,\, F} = 0,4861\; \mu m\;</math> (raie <math>\;F\;</math> de l'hydrogène) ».</ref>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. ==== Condition pour que le doublet de lentilles minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Préciser à quelle condition liant les distances focales images des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet est-il focal puis <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>positionner algébriquement les foyers principaux objet <math>\;F_o\;</math> et image <math>\;F_i\;</math> du doublet. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Nature_focale_de_l.27oculaire_et_position_des_foyers_principaux_objet_et_image|nature focale de l'oculaire de Plössl et position de ses foyers principaux]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition pour qu'un doublet de lentilles minces soit « <u>afocal</u> » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée (notée <math>\;?\big)\;</math> obéisse à <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;?\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1} = ?\\ ? = F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <math>\;F_{i,\,1} = F_{o,\,2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;e = \overline{O_1O_2} = \overline{O_1F_{i,\,1}} + \cancel{\overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}}} + \overline{F_{o,\,2}O_2}\;</math><ref> La distance séparant les deux lentilles étant non algébrisée est encore la distance algébrisée dans la mesure où celle-ci est positive.</ref> soit finalement <div style="text-align: center;"> le doublet de lentilles minces non accolées est <u>afocal</u> ssi <math>\;e = f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> En effet <math>\;\overline{F_{o,\,2}O_2} = -\overline{O_2F_{o,\,2}} = -f_{o,\,2} = f_{i,\,2}</math>.</ref>. <br> A contrario <u>le doublet de lentilles minces non accolées est focal</u> ssi <math>\;e \neq f_{i,\,1} + f_{i,\,2}\;</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal image peut être écrite selon <math>\;A_{o,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i\;</math> c.-à-d. que le foyer principal image du doublet focal <math>\;F_i\;</math> est l'image par <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> du foyer principal image <math>\;F_{i,\,1}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> ou <math>\;F_{i,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_i</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_i\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> avec <math>\;\sigma_{o,\,2} = \overline{F_{o,\,2}F_{i,\,1}} =</math> <math>\overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1F_{o,\,2}} = \overline{O_1F_{i,\,1}} - \overline{O_1O_2} - \overline{O_2F_{o,\,2}} = f_{i,\, 1} - e + f_{i,\,2}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{o,\,2} = f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e\;</math> et <math>\;\sigma_{i,\, 2} = \overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{\sigma_{o,\, 2}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{i,\, 2} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{i,\,2}F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 2^ème lentille <math>\;\overline{O_2F_i} = \overline{O_2F_{i,\,2}} + \overline{F_{i,\,2}F_i} = f_{i,\,2} + \dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; [e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2}) + f_{i,\,2}]}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles minces non accolées</u> : <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>la définition du foyer principal objet peut être écrite selon <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;A_{i,\,\infty}\;</math><ref> On procède en partant de l'image par le doublet focal de lentilles non accolées et en cherchant l'antécédent par la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> …</ref> c.-à-d. que le foyer principal objet du doublet focal <math>\;F_o\;</math> est l'antécédent par <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> du foyer principal objet <math>\;F_{o,\,2}\;</math> de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> ou <math>\;F_o\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;F_{o,\,2}</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>pour déterminer la position de <math>\;F_o\;</math> il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position de Newton<ref name="choix de Newton" /> de la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> avec <math>\;\sigma_{i,\,1} = \overline{F_{i,\,1}F_{o,\,2}} =</math> <math> \overline{O_1F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_{o,\,2}} - \overline{O_1F_{i,\,1}} = e - f_{i,\, 2} - f_{i,\,1}\;</math><ref name="distances focales" /> soit <math>\; \sigma_{i,\,1} = e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})\;</math> et <math>\;\sigma_{o,\, 1} = \overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{\sigma_{i,\, 1}}\;</math> se réécrit <math>\;\sigma_{o,\, 1} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> soit <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{F_{o,\,1}F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> ou,</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>en repérage de Descartes relativement à la 1^ère lentille <math>\;\overline{O_1F_o} = \overline{O_1F_{o,\,1}} + \overline{F_{o,\,1}F_o} = -f_{i,\,1} + \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> donnant, après réduction au même dénominateur, <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; [ -(f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e) + f_{i\,1}]}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> soit finalement <div style="text-align: center;"><math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math>.</div>}} ==== Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles minces non accolées dans le cas où il est focal ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>En supposant l'applicabilité des relations de conjugaison approchée de position et de grandissement transverse de Newton au doublet, déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de ce dernier puis la valeur absolue de sa vergence <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|}\;</math> et enfin <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en admettant le caractère convergent [respectivement divergent] du doublet si <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>respectivement <math>\;e \left\lbrace \begin{array}{c}> f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\< f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array}\right.\Bigg]</math>, établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> en fonction de <math>\;e</math>, <math>\;f_{i,\,1}\;</math> et <math>\;f_{i,\, 2}</math>. {{Solution | contenu = <div style="text-align: center;">Voir aussi solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_de_la_distance_focale_.28image.29_de_l.27oculaire|détermination de la distance focale (image) de l'oculaire de Plössl]].</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image <math>\;|f_i|\;</math> de du doublet focal en utilisant la 1^ère relation de conjugaison de Newton <math>\;\sigma_i\;\sigma_o =</math> <math>-f_i^2\;</math> avec <math>\;\sigma_o = \overline{F_oA_o}\;</math> et <math>\;\sigma_i = \overline{F_iA_i}</math>, relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, il faut choisir des points conjugués particuliers et les plus faciles à obtenir sont ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal soit <div style="text-align: center;"><math>\;F_{o,\,1}\;\stackrel{\mathcal{L}_1}{\longrightarrow}\;A_{i,\,1,\,\infty} = A_{o,\,2,\,\infty}\;\stackrel{\mathcal{L}_2}{\longrightarrow}\;F_{i,\,2}\;</math> établissant que le couple <math>\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;</math> est conjugué par le doublet focal ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour ce couple on a <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1}) = \overline{F_oF_{o,\,1}} = -\overline{F_{o,\,1}F_o} = -\dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et <math>\;\sigma_i(F_{i,\,2}) = \overline{F_iF_{i,\,2}} = -\overline{F_{i,\,2}F_i} = -\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> d'où <math>\;\sigma_o(F_{o,\,1})\; \sigma_i(F_{i,\,2}) = \dfrac{f_{i,\, 1}^2}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;\dfrac{f_{i,\, 2}^2}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> se réécrivant <math>\;- \left[ \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \right]^2 = -f_i^2\;</math> soit <math>\;|f_i| = \Bigg\vert \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e} \Bigg\vert\;</math> ou, en inversant, l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal <div style="text-align: center;"> <math>\;|V| = \dfrac{1}{|f_i|} = \Bigg\vert \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}} \Bigg\vert</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour satisfaire à la condition de convergence (ou de divergence) du doublet focal à savoir * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)"> Rappelant la condition de convergence (ou divergence) donnée à la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Caractère_convergent_de_l.27oculaire_déterminé_par_construction|caractère convergent de l'oculaire de Plössl]] de l'exercice précédent sur l'oculaire de Plössl, à savoir : <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>en considérant un rayon incident parallèle à l'axe optique principal <math>\;\Delta\;</math> et traçant le cheminement de ce rayon à travers le doublet, * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, le doublet est convergent et * si ce rayon incident en étant au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> émerge de la face de sortie du doublet au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant ou au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, le doublet est divergent ; <br><div style="text-align: center;">ci-dessous la démonstration de l'équivalence des conditions de convergence (ou divergence) rappelées ci-dessus <br>avec celles proposées dans cette question, les justifications, pour être bien comprises, nécessitant d'ajouter des schémas ;</div> <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant convergente, si <math>\;e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant et, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, correspondant effectivement à un doublet divergent ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> étant toujours convergente, si <math>\;e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}</math>, cela signifie que <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;F_{o,\,2}\;</math> c.-à-d. que le rayon incident <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> émergeant de <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en passant par <math>\;F_{i,\,1}\;</math> coupe le plan focal objet de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> en <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> entraînant * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est convergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} > 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> croissant dans le sens de propagation, et par suite, comme <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est nécessairement en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet divergent, * dans la mesure où <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> est divergente (et donc <math>\;f_{i,\,1}\;f_{i,\, 2} < 0\big)</math>, un axe optique secondaire <math>\;\delta\;</math> associé à <math>\;\varphi_{o,\,2}\;</math> décroissant dans le sens de propagation, et par suite, si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est en deçà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessous de <math>\;\Delta\;</math> en s'en éloignant, et si <math>\;F_{i,\,1}\;</math> est au-delà de <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> une émergence de cette dernière au-dessus de <math>\;\Delta\;</math> en s'en rapprochant, correspondant effectivement à un doublet convergent.</ref> le doublet est convergent c.-à-d. <math>\;V > 0\;</math> ou <math>\;f_i > 0\;</math> et * si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}e > f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} > 0\\ e < f_{i,\,1} + f_{i,\, 2}\;\text{ avec }\; f_{i,\,1}\;f_{i,\,2} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="doublet de lentilles minces convergent (divergent)" /> le doublet est divergent c.-à-d. <math>\;V < 0\;</math> ou <math>\;f_i < 0</math>, <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il est nécessaire d'avoir l'expression de distance focale (image) suivante <math>\;f_i = \dfrac{f_{i,\, 1}\; f_{i,\,2}}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}\;</math> et celle de vergence <div style="text-align: center;"> <math>\;V = \dfrac{1}{f_i} = \dfrac{1}{f_{i,\,1}} + \dfrac{1}{f_{i,\,2}} - \dfrac{e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}\;</math> connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».</div>}} ==== Condition sur la distance séparant les deux lentilles du doublet focal de lentilles minces non accolées pour que ce dernier soit achromatique ==== <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles minces non accolées si sa vergence <math>\;V = \dfrac{1}{f_i}\;</math> est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant<ref> Voir la définition des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Définition_du_repérage_de_Descartes_des_points_objet_et_image_de_l.27oculaire|distances focales objet et image]] d'un doublet de lentilles minces non accolées et celle des [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Détermination_des_points_principaux_objet_Ho_et_image_Hi_de_l.27oculaire|points principaux]] dans l'exercice sur l'oculaire de Plössl ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on constate que la distance focale image d'un doublet de lentilles minces non accolées <math>\;f_i = \overline{H_iF_i}\;</math> est définie en utilisant deux points images dépendant ''a priori'' de la longueur d'onde dans le vide et que l'indépendance de <math>\;f_i\;</math> relativement à cette dernière n'assure pas l'indépendance de chaque point image <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> car <math>\;f_i\;</math> se réécrivant <math>\;f_i = \overline{O_2F_i} - \overline{O_2H_i}</math>, l'indépendance signifie que <math>\;F_i\;</math> et <math>\;H_i\;</math> varient de la même façon ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>admettre que l'indépendance de la vergence par rapport à la longueur d'onde assure l'achromatisme du doublet c'est sous-entendre que, sous cette condition, les points principaux en sont indépendants et par suite les foyers principaux aussi (nous ne soulèverons pas ce point par la suite).</ref>, avec la vergence d'une lentille mince d'indice <math>\;n(\lambda_0)\;</math> s'écrivant <math>\;[1 - n(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_s} - \dfrac{1}{\overline{R}_e} \right)\;</math><ref name="définition des rayons de courbure algébrisés" /> (voir solution de la question intitulée [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Vergence_d.27une_lentille_sphérique_mince|vergence d'une lentille mince]]), déterminer la condition pour que le doublet de lentilles non accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> est nulle pour <math>\;\lambda_0 = \lambda_{0,\,D}\;</math><ref name="condition d'achromatisme"> L'expression de la vergence <math>\;V\;</math> du doublet de lentilles non accolées dépendant implicitement de la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> par l'intermédiaire des indices des milieux constituant chaque lentille on fait un [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l.27ordre_1_d.27une_fonction_d.27une_variable|D.L. à l'ordre 1]] de son expression au voisinage de <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> et on trouve <math>\;V(\lambda_0) \simeq</math> <math>V(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\, (\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la nullité de <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;</math> entraîne alors que la vergence reste constante à l'ordre 1 en <math>\;(\lambda_0 - \lambda_{0,\,D})</math>.</ref> <math>\;\Bigg[</math>on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu <math>\;n = a + \dfrac{b}{\lambda_0^2}\;</math> avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu <math>\;\nu_D =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{n_F - n_C}\;</math><ref name="signification des indices" />, laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante <math>\;b\;</math> de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence <math>\;\nu_D</math>, de l'indice <math>\;n_D\;</math> pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, <math>\;b =</math> <math>\dfrac{n_D - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /><math>\Bigg]\;</math> (on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales images pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles). <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Étudier chaque cas proposé : * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math>, * <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = 12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" />. {{Solution | contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La condition d'achromatisme du doublet focal de vergence <math>\;V(\lambda_0) = V_1(\lambda_0) + V_2(\lambda_0) - e\;V_1(\lambda_0)\;V_2(\lambda_0)\;</math> s'obtenant en écrivant <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})</math> <math>= 0\;</math><ref> Où <math>\;\lambda_{0,\,D}\;</math> est la longueur d'onde dans le vide de la radiation jaune.</ref>{{,}}<ref name="condition d'achromatisme" />, on explicite <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) - e \left[ \dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) \right]\;</math> avec * <math>\;V_1(\lambda_0) = [1 - n_1(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_1}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_1}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_1 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,1} - 1}{\nu_{D,\,1} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,1} - 1)}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,1}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,1}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>,</div> * <math>\;V_2(\lambda_0) = [1 - n_2(\lambda_0)] \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0}) = -\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> où <math>\;\dfrac{d n_2}{d \lambda_0}(\lambda_0) = -\dfrac{2\;b_2}{\lambda_0^3}\;</math> dans laquelle <math>\;b_2 =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,2} - 1}{\nu_{D,\,2} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math><ref name="expression de b" /> d'où <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{2\;(n_{D,\,2} - 1)}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,2}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,2}} \right)\;</math> donnant finalement <div style="text-align: center;"> <math>\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{-2\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}\; \lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition <math>\;\dfrac{dV}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) = 0\;</math> nous conduisant à <math>\;e = \dfrac{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D}) + \dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}{\dfrac{dV_1}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_0) + V_1(\lambda_0)\;\dfrac{dV_2}{d \lambda_0}(\lambda_{0,\,D})}\;</math><ref> Dans la mesure où le dénominateur n'est pas nul.</ref>, on y reporte les expressions précédentes, ce qui donne, après simplification par <math>\;\dfrac{-2}{\lambda_{0,\,D}^3 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, la condition d'achromatisme <math>\;e = \dfrac{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}} + \dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}{\dfrac{V_1(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1}}\;V_2(\lambda_{0,\,D}) + V_1(\lambda_{0,\,D})\;\dfrac{V_2(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,2}}}\;</math> laquelle peut être réécrite, en multipliant haut et bas par <math>\;\nu_{D,\,1}\;\nu_{D,\,2}\;</math> selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})}</math> ;</div> <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par <math>\;V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\;</math> selon <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} + \dfrac{\nu_{D,\,1}}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}\;\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) =</math> <math>\dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})}\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})}</math>, la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles minces non accolées selon <div style="text-align: center;"><math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D})}{\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2}}</math>.</div> # <u>1{{er}} exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> en verre « crown » de constringence <math>\;\nu_{D,\,1} = 56\;</math><ref name="quantification de la dispersion" />{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> divergente en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_{D,\,2} = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> et de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} = -12,5\;\delta</math> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e =</math> <math>\dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} = \dfrac{40 \times 6,25 + 56 \times (-12,5)}{6,25 \times (-12,5) \times (56 + 40)} =</math> <math>0,06\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{6,25} =</math> <math>0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{-12,5} = -0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(8,\, 3,\, -4)\;</math><ref name="notation d'un doublet"> On rappelle la façon de nommer un doublet de deux lentilles minces non accolées par un triplet de nombres entiers non nuls <math>\;(m,\, n,\, p)\;</math> avec <math>\;(m\;,\;p) \in \mathbb{Z}^2\;</math> et <math>\;n\; \in \mathbb{N}\;</math> de signification, après choix d'une unité commune <math>\;a</math>, est <math>\;f_{i,\,1} = m\;a</math>, <math>\;e = \overline{O_1O_2} = n\;a\;</math> et <math>\;f_{i,\,2} = p\;a</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 2\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 6\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = -8\;cm</math>.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 - 12,5 - 0,06 \times 6,25 \times (-12,5) \simeq -1,5625\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq -64,0\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet divergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur selon, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k = \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k} \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on déduit <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> avec <math>\;n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> et dont on tire <math>\;a_k - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> d'où <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_{D,\,k}\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math> : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,012642\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,012642 \times 6,25 \simeq 6,3290\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,800\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,1} - 1}{n_{D,\,1} - 1} = 1 - \dfrac{1}{56 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{56 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,994785\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,994785 \times 6,25 \simeq 6,2174\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,084\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{F,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times (-12,5) \simeq -12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq</math> <math>-7,8609\;cm\;</math> et * <math>\;\dfrac{n_{C,\,2} - 1}{n_{D,\,2} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times (-12,5) \simeq -12,4087\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2\,,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,2}} \simeq</math> <math>-8,0589\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3290 + (-12,7212) - 0,06 \times 6,3290 \times (-12,7212) \simeq -1,5615\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2174 + (-12,4087) - 0,06 \times 6,2174 \times (-12,4087) \simeq -1,5623\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq -1,56\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{-8 \times (6 - 16)}{6 - [16 + (-8)]} \simeq -40\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{-7,8609 \times (6 - 15,800)}{6 - [15,800 + (-7,8609)]} \simeq -39,73\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{-8,0589 \times (6 - 16,084)}{6 - [16,084 + (-8,0589)]} \simeq -40,13\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq -40,13 - (-39,73)\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq -4\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq -640\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq -4\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref> ;</div> # <u>2^ème exemple</u> <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,1} = 6,25\;\delta\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> convergente aussi de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_{D,\,2} =</math> <math>12,5\;\delta</math>, toutes deux en verre « flint » de constringence <math>\;\nu_D = 40\;</math><ref name="quantification de la dispersion"/>{{,}}<ref name="constringence" /> : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles minces étant <math>\;e = \dfrac{\nu_{D,\,2}\;V_1(\lambda_{0,\,D}) + \nu_{D,\,1}\;V_2(\lambda_{0,\,D})}{V_1(\lambda_{0,\,D})\;V_2(\lambda_{0,\,D})\; (\nu_{D,\,1} + \nu_{D,\,2})} =</math> <math>\dfrac{40 \times 6,25 + 40 \times 12,5}{6,25 \times 12,5 \times (40 + 40)} = 0,12\;m\;</math> avec les distances focales images des deux lentilles composantes pour la radiation jaune <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_1(\lambda_{0,\,D})} =</math> <math>\dfrac{1}{6,25} = 0,16\;m\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = \dfrac{1}{V_2(\lambda_{0,\,D})} = \dfrac{1}{12,5} = 0,08\;m</math>, <div style="text-align: center;">le doublet achromatique de lentilles minces est du type <math>\;(4,\, 3,\, 2)\;</math><ref name="notation d'un doublet" />{{,}}<ref> Dans cet exemple l'unité commune est <math>\;a = 4\;cm\;</math> donnant effectivement <math>\;f_{i,\,1}(\lambda_{0,\,D}) = 16\;cm</math>, <math>\;e = 12\;cm\;</math> et <math>\;f_{i,\,2}(\lambda_{0,\,D}) = 8\;cm</math>.</ref> connu sous le nom d'oculaire d'Huygens<ref> '''Christian Huygens (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref>{{,}}<ref> Le doublet est alors de vergence pour la radiation jaune <math>\;V_D = V_{D,\,1} + V_{D,\,2} - e\;V_{D,\,1}\;V_{D,\,2}\;</math> donnant numériquement <math>\;V_D =</math> <math>6,25 + 12,5 - 0,12 \times 6,25 \times 12,5 \simeq 9,375\;\delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,D} = \dfrac{1}{V_D} \simeq 10,67\;cm\;</math> c.-à-d. un doublet convergent ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>on peut vérifier que la vergence pour les deux autres couleurs de référence est sensiblement la même et pour cela il faut déterminer la vergence des lentilles individuelles pour chaque couleur sachant que les deux lentilles sont de même constringence <math>\;\nu_D\;</math> soit, pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_k</math>, <math>\;V_{F,\,k} = (1 - n_{F,\,k}) \left( \dfrac{1}{\overline{R}_{s,\,k}} - \dfrac{1}{\overline{R}_{e,\,k}} \right) =</math> <math>\dfrac{1 - n_{F,\,k}}{1 - n_{D,\,k}}\;V_{D,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}\;</math> avec <math>\;n_k = a_k + \dfrac{b_k}{\lambda_0^2}\;</math> dans laquelle <math>\;b_k =</math> <math>\dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} n_{F,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\\ n_{D,\,k} - 1 = a_k - 1 + \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\end{array}\right\rbrace\;</math> ou encore, en éliminant <math>\;a_k - 1</math>, <math>\;n_{F,\,k} - 1 =</math> <math>n_{D,\,k} - 1 - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{n_{D,\,k} - 1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> dont on tire pour évaluer <math>\;V_{F,\,k} = \dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} =</math> <math>1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,F}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}\;</math> ainsi que, pour évaluer <math>\;V_{C,\,k} = \dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;V_{D,\,k}</math>, <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,D}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)} + \dfrac{1}{\nu_D\; \lambda_{0,\,C}^2 \left( \dfrac{1}{\lambda_{0,\,F}^2} - \dfrac{1}{\lambda_{0,\,C}^2} \right)}</math>, les deux rapports <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> et <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1}\;</math> étant indépendants de la lentille puisque <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> sont de même constringence : * <math>\;\dfrac{n_{F,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,4861)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>1,017699\;</math> dont on tire <math>\;V_{F,\,1} \simeq 1,017699 \times 6,25 \simeq 6,3606\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,1}} \simeq 15,7218\;cm</math>, et <math>\;V_{F,\,2} \simeq 1,017699 \times 12,5 \simeq 12,7212\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur bleu <math>\;_F\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,F} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 7,8609\;cm</math>, * <math>\;\dfrac{n_{C,\,k} - 1}{n_{D,\,k} - 1} = 1 - \dfrac{1}{40 \times (0,5893)^2 \times \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} + \dfrac{1}{40 \times (0,6563)^2 \left[ \dfrac{1}{(0,4861)^2} - \dfrac{1}{(0,6563)^2} \right]} \simeq</math> <math>0,992699\;</math> dont on tire <math>\;V_{C,\,1} \simeq 0,992699 \times 6,25 \simeq 6,2044\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_1\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,1,\,C} = \dfrac{1}{V_{C,\,1}} \simeq 16,1177\;cm</math>, et <math>\;V_{C,\,2} \simeq 0,992699 \times 12,5 \simeq 12,4088\;\delta\;</math> pour la lentille <math>\;\mathcal{L}_2\;</math> et la couleur rouge <math>\;_C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;f_{i,\,2,\,C} = \dfrac{1}{V_{F,\,2}} \simeq 8,0588\;cm</math> ; * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation bleu <math>\;V_F = V_{F,\,1} + V_{F,\,2} - e\;V_{F,\,1}\;V_{F,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_F \simeq</math> <math>6,3606 + 12,7212 - 0,12 \times 6,3606 \times 12,7212 \simeq 9,3721\;\delta\!\!</math>, * on en déduit la vergence du doublet pour la radiation rouge <math>\;V_C = V_{C,\,1} + V_{C,\,2} - e\;V_{C,\,1}\;V_{C,\,2}\;</math> soit numériquement <math>\;V_C \simeq</math> <math>6,2044 + 12,4087 - 0,12 \times 6,2044 \times 12,4087 \simeq 9,3745\;\delta\!\!</math>. <div style="text-align: center;">En conclusion la vergence du doublet reste approximativement constante évaluée à <math>\;V \simeq 9,36\;\delta</math>.</div> <span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>Le caractère achromatique du doublet devant assurer que ses foyers principaux objet et image <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> ne dépendent pas de la couleur (ce qui n'est pas une conséquence de la constance de la vergence c.-à-d. encore de la constance de la distance focale image car cette dernière est définie relativement au point principal image du doublet, lequel dépend ''a priori'' de la couleur), la position de <math>\;F_o\;</math> et <math>\;F_i\;</math> d'un doublet ayant été déterminée précédemment lors de la recherche de la [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Condition_pour_que_le_doublet_de_lentilles_minces_non_accolées_soit_focal_et_détermination_des_positions_des_foyers_principaux_objet_et_image|condition pour que le doublet soit focal]] et ayant donné <math>\;\overline{O_2F_i} = \dfrac{f_{i,\, 2}\; (e - f_{i,\,1})}{e - (f_{i,\,1} + f_{i,\,2})}\;</math> et <math>\;\overline{O_1F_o} = \dfrac{f_{i,\, 1}\; (e - f_{i,\,2})}{f_{i,\,1} + f_{i,\,2} - e}</math> ; vérifions la propriété de constance sur le foyer principal image <math>\;F_i</math> : * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,D}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,D}\; (e - f_{i,\,1,\,D})}{e - (f_{i,\,1,\,D} + f_{i,\,2,\,D})} = \dfrac{8 \times (12 - 16)}{12 - [16 + 8]} \simeq 2,667\;cm</math>, * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,F}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,F}\; (e - f_{i,\,1,\,F})}{e - (f_{i,\,1,\,F} + f_{i,\,2,\,F})} = \dfrac{7,8609 \times (12 - 15,7218)}{12 - [15,7218 + 7,8609]} \simeq 2,526\;cm\;</math> et * <math>\;\overline{O_2F_{i,\,C}} = \dfrac{f_{i,\, 2,\,C}\; (e - f_{i,\,1,\,C})}{e - (f_{i,\,1,\,C} + f_{i,\,2,\,C})} = \dfrac{8,0588 \times (12 - 16,1177)}{12 - [16,1177 + 8,0588]} \simeq 2,725\;cm</math>, * soit une aberration chromatique longitudinale du doublet <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} = \overline{O_2F_{i,\,C}} - \overline{O_2F_{i,\,F}} \simeq 2,725 - 2,526\;</math> en <math>\;cm\;</math> ou <math>\;\overline{A_L} \simeq 2\;mm\;</math> certes non nulle mais de valeur absolue faible par rapport à celle de la distance focale image <math>\;f_{i,\,D} \simeq 107\;mm</math> ; <div style="text-align: center;">en conclusion la constance de la vergence relativement aux couleurs de référence et le maintien d'une légère aberration <br>chromatique longitudinale <math>\;\overline{A_L} = \overline{F_{i,\,F}F_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> entraîne un léger déplacement du point principal image avec les<br>couleurs de référence de même valeur que <math>\;\overline{A_L}\;</math> soit <math>\;\overline{H_{i,\,F}H_{i,\,C}} \simeq 2\;mm\;</math> (on observerait de même un léger déplacement <br>du foyer principal objet ainsi que du point principal objet pour assurer la constance de la distance focale objet).</div></ref>.</div>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Optique géométrique : conditions de Gauss/]] | suivant = [[../Optique géométrique : l'œil/]] }} io6y73xc2munj7wsyueo9hjegfx3rvd 0 73562 881559 881547 2022-08-23T13:25:35Z JackPotte 2411 typo wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = histoire | département = histoire ancienne | niveau = 14 | titre = Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ? | 1 = {{C|Iliade et Odyssée : histoire d'un texte|2}} | 2 = {{C|Le monde d'Homère et la question de son historicité|3}} | fiche1 = {{F|Iliade et Odyssée : Histoire d'un texte|0}} | quiz1 = {{Qu|Le monde homérique|0}} | autres projets = oui | w = Homère }} rynibpt9q9st6pdn61u1wtv6hn9d3as 881560 881559 2022-08-23T13:25:45Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?]] : typo wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = histoire | département = histoire ancienne | niveau = 14 | titre = Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ? | 1 = {{C|Iliade et Odyssée : histoire d'un texte|2}} | 2 = {{C|Le monde d'Homère et la question de son historicité|3}} | fiche1 = {{F|Iliade et Odyssée : Histoire d'un texte|0}} | quiz1 = {{Qu|Le monde homérique|0}} | autres projets = oui | w = Homère }} rynibpt9q9st6pdn61u1wtv6hn9d3as 0 73563 881566 756198 2022-08-23T13:25:46Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?/Objectifs]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?/Objectifs]] : typo wikitext text/x-wiki Dans cette leçon nous nous poserons la question de l'historicité de l'oeuvre homérique. Comment l'oeuvre a-t-elle été construite ? Reflète-t-elle une réalité historique ? Est-elle héritière d'une tradition orale ? Dans cette leçon seront donc abordés les thèmes de la civilisation mycénienne ainsi que celle du monde archaïque. {{AutoCat}} 21z8bo3aigc1y6hzw9te2udble3g7ah 0 73564 881557 773347 2022-08-23T13:25:17Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?/Iliade et Odyssée: histoire d'un texte]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?/Iliade et Odyssée : histoire d'un texte]] : typo wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = histoire | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le monde d'Homère et la question de son historicité/]] }} ==Présentation des épopées homériques.== L'Iliade et l'Odyssée sont toutes deux des '''[[w:épopée|épopées]]''' (poèmes à l'origine chantés) grecques qui parlent de l'expédition des Grecs à '''[[w:Troie|Troie]]''' (côte Turc actuellement). Iliade relate une partie de la guerre de Troie et en particulier l'épisode de la colère d'Achile. En effet, ce dernier a été privé de sa captive (Briséis) par Agamemnon (grand guerrier grec) et refuse de se battre. L'Odyssée quant à elle, parle du retour d'Ulysse (autre important guerrier grec) à Ithaque. Rappelons que la guerre de Troie démarre sur un enlèvement: celui d'Hélène par Paris. ==Qui est Homère ? La "question homérique".== On ne sait rien sur Homère. Les Grecs antiques le présentaient comme un '''[[w:aède|aède]]''' : poète itinérant qui parcourait le monde grec pour réciter des poèmes en s'accompagnant d'une lyre. Ils étaient invités lors des fêtes aristocrates pour divertir. Notons que les aèdes existaient dès l'époque mycénienne. On ne sait pas d'où vient Homère. Cette obscurité fait douter de son existence. Au XVIIE siècle après J-C, certaines théories émergent en affirmant que ces œuvres sont une compilation tardive de plusieurs poèmes. Mais c'est faux ! Ce sont les linguistes qui nous permettent de l'affirmer: l'écriture date bien du VIIIe siècle av. J-C. Il semblerait que l'Iliade a d'abord été composée puis vient l'Odyssée. Il est probable qu'elles aient été composées par un ou deux aèdes au VIIIe siècle avant J-C. ==Iliade et Odyssée héritières d'une tradition orale très ancienne. == Des observations linguistiques ont montré des '''traces de construction orale''' (les techniques pour mieux mémoriser les textes). Par contre le thème de la guerre de Troie remonte probablement à l'époque mycénienne (cf: chapitre 2) et fut transmis oralement années après années pour être finalement écrit. Homère est donc bien un aède qui a choisi de raconter un épisode la guerre de Troie puis un autre (Colère d'Achille puis retour d'Ulysse). Il y avait d'autres épopées qui racontait d'autres '''[[w:cycle troyen|"cycle troyen"]]''': les origines, la chute de Troie, le Retour d'Agamemnon, etc. Les épopées d'Homère ont été très vite retransmises à l'écrit. Des questions restent donc en suspens comme le fait de savoir si c'est lui-même ou quelqu'un d'autre qui composa ces œuvres? {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Le monde d'Homère et la question de son historicité/]] }} 104usjusbmgfupchxzo6631udtd79d1 0 73566 881564 761648 2022-08-23T13:25:46Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?/Le monde d'Homère et la question de son historicité]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?/Le monde d'Homère et la question de son historicité]] : typo wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = histoire | numéro = 2 | niveau = 14 | précédent = [[../Iliade et Odyssée: histoire d'un texte/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} Ici, nous nous demanderons si Homère reflète la réalité du monde mycénien. == Éléments commun au monde mycénien et au monde archaïque== ==Éléments qui s'opposent à l'identification entre monde mycénien et monde homérique== ===''Oikos'' homérique et palais mycénien=== ===La peinture de la vie politique dans le monde homérique=== ==Un tableau composite amalgamant des éléments de différentes époques== ===Des éléments matériels d'époque mycénienne transmis par tradition orale=== ===Des éléments propres au VIIIème siècle=== {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../Iliade et Odyssée: histoire d'un texte/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} 0i5u62fbyqwy7kj62dy1m5l013hoilb 0 73567 881568 756199 2022-08-23T13:25:47Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?/Référents]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?/Référents]] : typo wikitext text/x-wiki * [[Utilisateur:Annkamen|Annkamen]] {{AutoCat}} ttmad88qyric1w1g3m6k8xh12xsrajt 1 73910 881570 761742 2022-08-23T13:25:47Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Discussion:Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?]] vers [[Discussion:Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?]] : typo wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=histoire|avancement=1}} pvo72n4uj3o59j56iw6bonc9luwz8re 0 76958 881575 822081 2022-08-23T19:30:06Z Anne Bauval 6580 /* Introduction */ +def équivalente : action libre et transitive de E sur \cal E wikitext text/x-wiki {{Chapitre | numéro = 1 | idfaculté = mathématiques | niveau = 15 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Applications affines/]] | page_liée = Exercices/Sous-espaces affines }} ==Introduction== Dans cette partie, <math>E</math> est un <math>k</math>-[[espace vectoriel]]. {{Définition|contenu={{Wikipédia|Espace affine}} Un '''espace affine de direction <math>E</math>''', et de dimension <math>\dim(E)</math>, est un ensemble non vide <math>\mathcal E</math> muni d'une application :<math>\mathcal E\times\mathcal E\to E,\;(A,B)\mapsto\overrightarrow{AB}</math> vérifiant les deux propriétés suivantes : *<math>\forall(A,B,C)\in\mathcal E^3\quad\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}</math> ([[w:Relation de Chasles|relation de Chasles]]) ; *pour tout point <math>A\in\mathcal E</math>, l'application <math>\mathcal E\to E,\;B\mapsto\overrightarrow{AB}</math> est [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|bijective]]. }} Pour tout point <math>A\in\mathcal E</math> et tout vecteur <math>v\in E</math>, l'unique point <math>B\in\mathcal E</math> tel que <math>v=\overrightarrow{AB}</math> est appelé le '''translaté de <math>A</math> par <math>v</math>''' et noté <math>B=A+v</math>. {{Proposition|titre=Proposition 1|contenu=Pour tout point <math>A\in\mathcal E</math> et tous vecteurs <math>u,v\in E</math>, :<math>A+(u+v)=(A+u)+v</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu=Soient <math>B=A+u</math> et <math>C=B+v</math>. Alors <math>u+v=\overrightarrow{AC}</math> (d'après la relation de Chasles) donc <math>C=A+(u+v)</math>. }} {{Proposition|titre=Proposition 2|contenu=Pour tous points <math>A,B\in\mathcal E</math> : *<math>\overrightarrow{AB}=\vec0\Leftrightarrow A=B</math> ; *<math>\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= *D'abord, <math>A=B\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\vec0</math> (d'après la relation de Chasles dans le cas <math>A=B</math>). On en déduit que réciproquement, si <math>\overrightarrow{AB}=\vec0</math> alors <math>B=A+\overrightarrow{AB}=A+\vec0=A+\overrightarrow{AA}=A</math>. *À nouveau d'après la relation de Chasles, <math>\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec0</math>. }} {{Théorème|contenu= *L'application <math>\mathcal E\times E\to\mathcal E,\;(A,v)\mapsto A+v</math> est une [[Théorie des groupes/Action de groupe|action (à droite) libre et transitive du groupe]] <math>(E,+)</math> sur l'ensemble <math>\mathcal E</math>. *Réciproquement, pour une telle action, l'application <math>\mathcal E\times\mathcal E\to E</math> qui, à tout couple de points <math>(A,B)\in\mathcal E\times\mathcal E</math> associe l'unique vecteur <math>v</math> tel que <math>B=A+v</math>, vérifie les deux propriétés de la définition ci-dessus. }} {{Démonstration déroulante|contenu= * **D'après le premier point de la proposition 2, <math>\overrightarrow{AA}=\vec0</math>, autrement dit <math>A+\vec0=A</math>. Joint à la proposition 1, ceci assure que l'application <math>(A,v)\mapsto A+v</math> est bien une action. **Elle est libre et transitive puisque pour tout <math>(A,B)\in\mathcal E\times\mathcal E</math>, il existe un unique vecteur <math>v\in E</math> tel que <math>A+v=B</math> (le vecteur <math>v=\overrightarrow{AB}</math>, d'après la définition ci-dessus de <math>A+v</math>). *Réciproquement, soit <math>\mathcal E\times E\to\mathcal E,\;(A,v)\mapsto A+v</math> une action libre et transitive, ou même seulement une application vérifiant la proposition 1 et la propriété : <math>\forall(A,B)\in\mathcal E\times\mathcal E\quad\exists!v\in E\quad A+v=B</math> (on ne suppose donc pas que <math>\forall A\in\mathcal E\quad A+\vec0=A</math> car cette hypothèse va s'avérer redondante). **Pour tous points <math>A,B\in\mathcal E</math>, notons <math>\overrightarrow{AB}</math> l'unique vecteur <math>v\in E</math> tel que <math>A+v=B</math>. Alors <math>\forall (A,B)\in\mathcal E\times\mathcal E\quad\forall v\in E\quad\overrightarrow{AB}=v\Leftrightarrow B=A+v</math> donc l'application <math>\mathcal E\to E,\;B\mapsto\overrightarrow{AB}</math> est bien bijective (second point de la définition ci-dessus). **Soient maintenant <math>A,B,C\in \mathcal E</math>, posons <math>u=\overrightarrow{AB}</math> et <math>v=\overrightarrow{BC}</math>, alors par hypothèse, <math>A+(u+v)=(A+u)+v=B+v=C</math> donc <math>\overrightarrow{AC}=u+v</math>, ce qui prouve le premier point de la définition ci-dessus. }} ==Repères cartésiens et affines== Soit <math>\mathcal E</math> un espace affine de direction <math>E</math> et de dimension finie <math>n</math>. {{Définition|contenu={{Wikipédia|Coordonnées cartésiennes}}{{Wikipédia|Repère affine}} *Un '''repère cartésien''' de <math>\mathcal E</math> est la donnée d'un point <math>O\in\mathcal E</math> et d'une base <math>(e_1,\dots,e_n)</math> de <math>E</math>. Les '''coordonnées (cartésiennes)''' d'un point <math>M\in\mathcal E</math> dans un tel repère sont les <math>n</math> scalaires <math>x_1,\dots,x_n</math> tels que <math>\overrightarrow{OM}=\sum_{i=1}^nx_ie_i</math>. *On dit que <math>k+1</math> points <math>A_0,\dots,A_k\in\mathcal E</math> sont '''affinement indépendants''' si les <math>k</math> vecteurs <math>\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_k}</math> sont linéairement indépendants. *Un '''repère affine''' de <math>\mathcal E</math> est la donnée de <math>n+1</math> points affinement indépendants. }} <math>(A_0,\dots,A_n)</math> est donc un repère affine si et seulement si <math>(A_0,(\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_n}))</math> est un repère cartésien. {{Proposition|contenu=Si <math>A_0,\dots,A_k\in\mathcal E</math> sont affinement indépendants alors <math>A_{\sigma(0)},\dots,A_{\sigma(k)}</math> le sont aussi, pour n'importe quelle [[Théorie des groupes/Groupes symétriques finis|permutation <math>\sigma\in S(\{0,\dots,k\})</math>]]. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Puisque la proposition est immédiate pour les permutations qui fixent <math>0</math>, il suffit de la prouver dans le cas où, par exemple, <math>\sigma</math> est la transposition qui échange <math>0</math> et <math>k</math>. Supposons que <math>\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_k}</math> sont linéairement indépendants et que <math>\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i\overrightarrow{A_kA_i}=\vec0</math>, et montrons que tous les <math>\lambda_i</math> sont nuls. Par hypothèse, <math>\vec0=-\left(\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i\right)\overrightarrow{A_0A_k}+\sum_{i=1}^{k-1}\lambda_i\overrightarrow{A_0A_i}</math> donc <math>\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i=\lambda_1=\dots=\lambda_{k-1}=0</math>, ce qui implique bien <math>\lambda_0=\lambda_1=\dots=\lambda_{k-1}=0</math>. }} ==Sous-espaces affines== Soit <math>\mathcal E</math> un espace affine de direction <math>E</math>. {{Définition|contenu={{Wikipédia|Sous-espace affine}} Un '''sous-espace affine''' de <math>\mathcal E</math> est une partie de <math>\mathcal E</math> de la forme :<math>\mathcal E'=A+E':=\{A+v\mid v\in E'\}</math>, où <math>A</math> est un point de <math>\mathcal E</math> et <math>E'</math> est un sous-espace vectoriel de <math>E</math>. }} <math>\mathcal E'</math> constitue alors, par restriction, un espace affine de direction <math>E'</math>. {{Définition|contenu={{Wikipédia|Parallélisme (géométrie)|Parallélisme}} Soient <math>\mathcal F</math> et <math>\mathcal G</math> deux sous-espaces affines de <math>\mathcal E</math>, de directions respectives <math>F</math> et <math>G</math>. On dit que : *<math>\mathcal F</math> et <math>\mathcal G</math> sont '''parallèles''' si <math>F=G</math> ; *<math>\mathcal F</math> est faiblement parallèle à <math>\mathcal G</math> si <math>F\subset G</math>. }} {{Proposition|contenu= Soit <math>(\mathcal F_i)_{i\in I}</math> une famille de sous-espaces affines de <math>\mathcal E</math>. Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction <math>\cap_{i\in I}F_i</math>, où les <math>F_i</math> sont les directions des <math>\mathcal F_i</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Si cette intersection <math>\mathcal F</math> est non vide, soit <math>A\in\mathcal F</math>. Alors, <math>\mathcal F=\cap_{i\in I}\mathcal F_i=\cap_{i\in I}(A+F_i)=A+\cap_{i\in I}F_i</math>, et <math>\cap_{i\in I}F_i</math> est un sous-espace vectoriel de <math>E</math>. }} {{Définition|contenu=Soit <math>X</math> une partie non vide de <math>\mathcal E</math>. Le '''sous-espace affine engendré''' par <math>X</math> est l'intersection des sous-espaces affines de <math>\mathcal E</math> contenant <math>X</math>. On le note <math>\operatorname{Aff}(X)</math>. }} D'après la proposition précédente, on a donc : {{Proposition|contenu= Soit <math>X</math> une partie non vide de <math>\mathcal E</math>. <math>\operatorname{Aff}(X)</math> est le plus petit sous-espace affine de <math>\mathcal E</math> contenant <math>X</math>. }} {{Proposition|contenu= Soient <math>A_0\in X\subset\mathcal E</math> et <math>H=\operatorname{Vect}(\{\overrightarrow{A_0B}\mid B\in X\})=\operatorname{Vect}(\{\overrightarrow{AB}\mid A,B\in X\})</math>. Alors, <math>\operatorname{Aff}(X)=A_0+H</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>\operatorname{Aff}(X)\supset A_0+H</math> car la direction de <math>\operatorname{Aff}(X)</math> contient nécessairement tous les vecteurs <math>\overrightarrow{A_0B}</math> tels que <math>B\in X</math>, donc contient le sous-espace vectoriel <math>H</math> qu'ils engendrent. <math>\operatorname{Aff}(X)\subset A_0+H</math> car pour tout <math>B\in X</math>, <math>B=A_0+\overrightarrow{A_0B}\in A_0+H</math>. }} {{Proposition|contenu= Soient <math>\mathcal F=A+F</math> et <math>\mathcal G=B+G</math> deux sous-espaces affines de <math>\mathcal E</math>. La direction du sous-espace affine <math>\operatorname{Aff}(\mathcal F\cup\mathcal G)</math> est égale à : :<math>F+G+\operatorname{Vect}(\overrightarrow{AB})=\begin{cases}F+G&\text{si }\mathcal F\cap\mathcal G\ne\varnothing~;\\(F+G)\oplus\operatorname{Vect}(\overrightarrow{AB})&\text{si }\mathcal F\cap\mathcal G=\varnothing.\end{cases}</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= D'après la proposition précédente, cette direction est égale à :<math>H:=\operatorname{Vect}(\{\overrightarrow{AM}\mid M\in\mathcal F\cup\mathcal G\})=\operatorname{Vect}(F\cup(\{\overrightarrow{AB}\}+G))=F+G+\operatorname{Vect}(\overrightarrow{AB})</math>. De plus, <math>\overrightarrow{AB}\in F+G</math> si et seulement s'il existe un point <math>C</math> tel que <math>\overrightarrow{AC}\in F</math> et <math>\overrightarrow{CB}\in G</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>C\in\mathcal F\cap\mathcal G</math>, donc :<math>H=\begin{cases}F+G&\text{si }\mathcal F\cap\mathcal G\ne\varnothing~;\\(F+G)\oplus\operatorname{Vect}(\overrightarrow{AB})&\text{si }\mathcal F\cap\mathcal G=\varnothing.\end{cases}</math> }} {{Définition|contenu= Soient <math>\mathcal F</math> et <math>\mathcal G</math> deux sous-espaces affines de <math>\mathcal E</math>, de directions respectives <math>F</math> et <math>G</math>. On dit que <math>\mathcal F</math> et <math>\mathcal G</math> sont '''supplémentaires dans <math>\mathcal E</math>''' si <math>E=F\oplus G</math>. }} {{Proposition|contenu= <math>\mathcal F</math> et <math>\mathcal G</math> sont supplémentaires dans <math>\mathcal E</math> si et seulement si <math>\operatorname{Aff}(\mathcal F\cup\mathcal G)=\mathcal E</math> et <math>\mathcal F\cap\mathcal G</math> contient un unique point. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Si <math>\mathcal F\cap\mathcal G=\{C\}</math> et <math>\operatorname{Aff}(\mathcal F\cup\mathcal G)=\mathcal E</math> alors <math>E=F+G</math> (d'après la proposition précédente) et <math>F\cap G=\{0\}</math> (car <math>\forall u\in F\cap G\quad C+u\in\mathcal F\cap\mathcal G=\{C\}</math> donc <math>u=\overrightarrow{CC}=\vec0</math>). Réciproquement, si <math>E=F\oplus G</math> alors <math>\mathcal F\cap\mathcal G\ne\varnothing</math> et <math>\operatorname{Aff}(\mathcal F\cup\mathcal G)=\mathcal E</math> (d'après la proposition précédente) et <math>\mathcal F\cap\mathcal G</math> contient un unique point (car <math>\forall C,D\in\mathcal F\cap\mathcal G\quad\overrightarrow{CD}\in F\cap G=\{\vec0\}</math>). }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Applications affines/]] }} ms7jkj3kww465xsswc33sec5c6aoooh 0 76960 881581 880721 2022-08-24T08:13:13Z Anne Bauval 6580 /* Exercice 1-9 */ +1 : définitions équivalentes de "être un sous-espace affine" wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | chapitre = [[../../Espaces affines/]] | niveau = 15 | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Applications affines/]] }} ==Exercice 1-1== On note <math>M_{a,b}=\begin{pmatrix}1+2a-b&0\\2-a-b&a-b\end{pmatrix}</math> et <math>\mathcal F=\{M_{a,b}\mid (a,b)\in k^2\}</math>. Montrer que <math>\mathcal F</math> est un sous-espace affine de <math>\mathrm M_2(k)</math>. {{Solution|contenu= <math>M_{a,b}=M_{0,0}+aP+bQ</math> avec <math>P=\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}</math> et <math>Q=\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-1\end{pmatrix}</math>, donc <math>\mathcal F=M_{0,0}+\operatorname{Vect}(P,Q)</math>. }} ==Exercice 1-2== Soient <math>A</math> un ensemble non vide, <math>a</math> un élément de <math>A</math>, et <math>b</math> un scalaire. Montrer que l'ensemble <math>\mathcal F:=\{f:A\to k\mid f(a)=b\}</math> est un sous-espace affine de l'espace affine <math>\mathcal E=k^A</math> des fonctions de <math>A</math> dans <math>k</math>. {{Solution|contenu= Notons <math>E=k^A</math> la direction de l'espace affine <math>\mathcal E</math>. Soit <math>f_0\in\mathcal F</math> (par exemple <math>f_0=</math> l'application constante <math>A\to k,\;x\mapsto b</math>) et soit <math>F:=\{g\in E\mid g(a)=0\}</math> (sous-espace vectoriel de <math>E</math>, comme noyau de la forme linéaire <math>E\to k,\;g\mapsto g(a)</math>). Alors, <math>\mathcal F=f_0+F</math>. }} Montrer que l'ensemble <math>\mathcal G:=\{f:\R\to\R\mid\forall x\in\R\quad f(x+1)=f(x)+1\}</math> est un sous-espace affine de <math>\R^\R</math>. En déterminer un point et la direction. {{Solution|contenu= L'application <math>\mathrm{id}_\R:\R\to\R,\;x\mapsto x</math> appartient à <math>\mathcal G</math>, et l'ensemble <math>G:=\{f-\mathrm{id}_\R\mid f\in\mathcal G\}</math> est l'ensemble des fonctions <math>1</math>-périodiques. C'est un sous-espace vectoriel de <math>\R^\R</math> (comme noyau de l'application linéaire de <math>\R^\R</math> dans lui-même qui, à toute fonction <math>g</math>, associe la fonction différence entre <math>g</math> et sa translatée de <math>1</math>) donc <math>\mathcal G</math> est un sous-espace affine de <math>\R^\R</math>, de direction <math>G</math>. }} ==Exercice 1-3== Soit <math>\mathcal E</math> un espace affine réel de dimension <math>3</math>, muni d’un repère cartésien <math>(O,u,v,w)</math>. Soient : *les points <math>A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\quad B\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad C\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}</math> ; *les droites <math>d_1\begin{cases}x&=3-\lambda\\y&=1+2\lambda\\z&=-1+\lambda\end{cases},\;\lambda\in\R,\quad d_2\begin{cases}x&=1+3\mu\\y&=-2\mu\\z&=3+5\mu\end{cases},\;\mu\in\R</math> ; *les plans <math>(P_1)\begin{cases}x&=1-2\lambda+3\mu\\y&=-2+\lambda+\mu\\z&=4-\lambda-2\mu\end{cases},\;\lambda,\mu\in\R,\quad(P_2)\;2x-y+3z-1=0,\quad(P_3)\;x+2z-4=0</math>. #Donner une équation cartésienne de <math>(P_1)</math>. #Déterminer une représentation paramétrique de <math>(P_2)\cap(P_3)</math>. #Donner une équation cartésienne du plan contenant <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math>. #Déterminer l'intersection <math>d_1\cap P_2</math>. #Donner une équation cartésienne du plan contenant <math>d_1</math> et parallèle à <math>d_2</math>. #Déterminer <math>P_1\cap P_2\cap P_3</math>. #Déterminer l'intersection de <math>P_2</math> avec la droite <math>(AB)</math>. #Donner une représentation paramétrique de la droite passant par <math>A</math>, parallèle à <math>P_2</math> et coupant <math>d_1</math>. #Donner une équation cartésienne du plan passant par <math>C</math> et contenant <math>d_1</math>. {{Solution|contenu= #<math>\begin{cases}x&=1-2\lambda+3\mu\\y&=-2+\lambda+\mu\\z&=4-\lambda-2\mu\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=1-2\lambda+3\mu\\y&=-2+4-z-2\mu+\mu\\\lambda&=4-z-2\mu\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=1-2\lambda+3\mu\\\mu&=2-y-z\\\lambda&=4-z-2(2-y-z)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=1-2(2y+z)+3(2-y-z)\\\mu&=2-y-z\\\lambda&=2y+z\end{cases}</math><br>donc une équation cartésienne de <math>(P_1)</math> est <math>x+7y+5z-7=0</math>. #<math>\begin{cases}2x-y+3z-1&=0\\x+2z-4&=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y&=7-z\\x&=4-2z\end{cases}</math> donc une représentation paramétrique de la droite <math>(P_2)\cap(P_3)</math> est : <math>\begin{cases}x&=4-2t\\y&=7-t\\z&=t\end{cases},\;t\in\R</math>. #<math>\det(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CM})=\begin{vmatrix}1&2&x\\1&-2&y-1\\5&4&z+2\end{vmatrix}=14x+6(y-1)-4(z+2)=2(7x+3y-2z-7)</math> donc une équation cartésienne du plan <math>(ABC)</math> est : <math>7x+3y-2z-7=0</math>. #<math>2(3-\lambda)-(1+2\lambda)+3(-1+\lambda)-1=0\Leftrightarrow\lambda=1\Leftrightarrow</math> donc le point de l'intersection <math>d_1\cap P_2</math> a pour coordonnées <math>\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}</math>. #<math>\begin{cases}x&=3-\lambda+3\mu\\y&=1+2\lambda-2\mu\\z&=-1+\lambda+5\mu\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=3-\lambda+3\mu\\y&=1+2(z+1-5\mu)-2\mu\\\lambda&=z+1-5\mu\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=3-\lambda+3\mu\\y&=3+2z-12\mu\\\lambda&=z+1-5\mu\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=3-\lambda+3\mu\\\mu&=\frac{3+2z-y}{12}\\\lambda&=z+1-5\frac{3+2z-y}{12}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x&=3-\frac{-3+2z+5y}{12}+\frac{3+2z-y}4\\\mu&=\frac{3+2z-y}{12}\\\lambda&=\frac{-3+2z+5y}{12}\end{cases}</math><br>donc une équation cartésienne du plan contenant <math>d_1</math> et parallèle à <math>d_2</math> est <math>3x+2y-z-12=0</math>. #Utilisons les questions 1 et 2. <math>(4-2t)+7(7-t)+5t-7=0\Leftrightarrow t=\frac{23}2</math> donc le point de <math>P_1\cap P_2\cap P_3</math> est <math>\begin{pmatrix}-19\\-\dfrac92\\\dfrac{23}2\end{pmatrix}</math>. #Une représentation paramétrique de la droite <math>(AB)</math> est : <math>\begin{cases}x&=1+t\\y&=2-3t\\z&=3-t\end{cases}</math>.<br><math>2(1+t)-(2-3t)+3(3-t)-1=0\Leftrightarrow t=-4</math> donc le point d'intersection de <math>P_2</math> avec <math>(AB)</math> est <math>\begin{pmatrix}-3\\14\\7\end{pmatrix}</math>. #Cherchons d'abord le point <math>M(\lambda)</math> de <math>d_1</math> tel que <math>\overrightarrow{AM(\lambda)}</math> soit parallèle à <math>P_2</math>.<br><math>2(3-\lambda-1)-(1+2\lambda-2)+3(-1+\lambda-3)=0\Leftrightarrow\lambda=-7\Leftrightarrow M(\lambda)=\begin{pmatrix}10\\-13\\-8\end{pmatrix}</math>.<br>Une représentation paramétrique de la droite <math>(AM(\lambda))</math> est <math>\begin{cases}x&=1+9t\\y&=2-15t\\z&=3-11t\end{cases},\;t\in\R</math>. #Un plan d'équation <math>ax+by+cz+d=0</math> contient <math>C</math> si et seulement si <math>b-2c+d=0</math>, et contient <math>d_1</math> si et seulement si <math>\forall\lambda\in\R\quad0=a(3-\lambda)+b(1+2\lambda)+c(-1+\lambda)+d=(3a+b-c+d)+\lambda(-a+2b+c)</math>.<br><math>\begin{cases}b-2c+d&=0\\3a+b-c+d&=0\\-a+2b+c&=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}d&=-b+2c\\3(2b+c)+b-c+(-b+2c)&=0\\a&=2b+c\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}d&=-4b\\c&=-\dfrac{3b}2\\a&=\dfrac b2\end{cases}</math>.<br>Le plan passant par <math>C</math> et contenant <math>d_1</math> a donc pour équation cartésienne : <math>x+2y-3z-8=0</math>. }} ==Exercice 1-4== #Montrer que dans <math>k^2</math>, deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point. #Que se passe-t-il dans <math>k^3</math> ? {{Solution|contenu= #Dans <math>k^2</math>, deux droites affines non parallèles sont supplémentaires donc (cf. cours) se coupent en un unique point. #Dans <math>k^3</math>, une troisième possibilité est que les deux droites soient non coplanaires. Exemple : <math>\mathcal D=\{(x,0,0)\mid x\in k\}</math> et <math>\mathcal D'=\{(0,y,1)\mid y\in k\}</math>. }} ==Exercice 1-5== {{Wikipédia|Parallélogramme}} Un parallélogramme est un [[w:Quadrilatère|quadrilatère]] <math>(A,B,C,D)</math> tel que <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}</math>. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes. #<math>(A,B,C,D)</math> est un parallélogramme ; #<math>(A,D,C,B)</math> est un parallélogramme ; #les diagonales <math>[A,C]</math> et <math>[B,D]</math> se coupent en leurs milieux. {{Solution|contenu= <math>1\Rightarrow2</math> : si <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}</math> alors <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}</math>. <math>2\Rightarrow3</math> : si <math>\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}</math> alors, en notant <math>I</math> le milieu de <math>[A,C]</math> : <math>\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{ID}</math> donc <math>I</math> est aussi le milieu de <math>[B,D]</math>. <math>3\Rightarrow1</math> : si <math>[A,C]</math> et <math>[B,D]</math> ont même milieu <math>I</math> alors <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}</math>. Autre méthode : <math>1\Leftrightarrow2</math> : <math>1\Rightarrow2</math> comme ci-dessus donc réciproquement, si <math>(A',B',C',D')=(A,D,C,B)</math> est un parallélogramme alors <math>(A',D',C',B')=(A,B,C,D)</math> aussi. <math>1\Leftrightarrow3</math> : soit <math>s</math> la [[../../Applications affines#Exemples|symétrie]] par rapport au milieu de <math>[A,C]</math>. Alors, <math>\overrightarrow{s(B)C}=\overrightarrow{s(B)s(A)}=-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}</math>, donc <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow D=s(B)</math>. }} ==Exercice 1-6== Soient <math>\cal E</math> un espace affine, <math>\cal F</math> un sous-espace affine de <math>\cal E</math>, et <math>\cal H</math> un hyperplan affine. Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée : *<math>\overrightarrow F\subset\overrightarrow H</math> ; *<math>\cal F\cap\cal H</math> est un sous-espace affine de dimension <math>\dim({\cal F})-1</math>. {{Solution|contenu= Si <math>\overrightarrow F\not\subset\overrightarrow H</math>, alors <math>\overrightarrow F+\overrightarrow H=\overrightarrow E</math>. Soient alors <math>A\in\cal F</math> et <math>B\in\cal H</math>. Il y a une identité vectorielle <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow f+\overrightarrow h</math> et donc <math>A+\overrightarrow f\in{\cal F}\cap\cal H</math>. L'espace <math>{\cal F}\cap\cal H</math> est alors <math>A+\overrightarrow F\cap\overrightarrow H</math> et sa dimension est : :<math>\dim(\overrightarrow F\cap\overrightarrow H)=\dim\overrightarrow F+\dim\overrightarrow H-\dim\overrightarrow E=\dim({\cal F})-1.</math> }} ==Exercice 1-7== Soit <math>\cal E</math> un espace affine de dimension <math>n</math>, d'espace vectoriel directeur <math>\overrightarrow E</math>. #Soit <math>\phi</math> une application affine non constante de <math>\cal E</math> dans <math>\R</math>. Montrer que <math>\phi</math> est surjective. Montrer que <math>\phi^{-1}(\{0\})</math> est un hyperplan affine de <math>\cal E</math>. Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de <math>\cal E</math> est de cette forme. # ##Dans <math>\overrightarrow E</math>, montrer que pour <math>1\le d\le n</math>, tout sous-espace vectoriel de dimension <math>n-d</math> est intersection de <math>d</math> hyperplans vectoriels. ##En déduire que tout sous-espace affine de <math>\cal E</math> de dimension <math>n-d</math> est de la forme <math>\cap_{i=1}^d\phi_i^{-1}(\{0\})</math> pour <math>(\phi_i)_{i=1,\dots,d}</math> une famille d'applications affines <math>{\cal E}\to\R</math>, c'est-à-dire est intersection de <math>d</math> hyperplans affines. ##Montrer que dans ce cas, l'application affine produit <math>\times_i\phi_i: {\cal E}\to \R^d</math> est surjective. #Réciproquement, montrer que si <math>\phi_1,\dots,\phi_d</math> sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection <math>\bigcap_{i=1,\dots,d}\phi_i^{-1}(\{0\})</math> est un sous-espace affine de dimension <math>n-d</math> (on pourra procéder par récurrence sur <math>d</math>, et utiliser l'exercice précédent). {{Solution|contenu= Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux points tels que <math>\phi(A)\ne\phi(B)</math>. Alors, pour tout <math>\lambda\in\R</math>, on trouve <math>\phi(\lambda A+ (1-\lambda) B)= \lambda \phi(A)+ (1-\lambda)\phi(B)</math>, ce qui est une paramétrisation de <math>\R</math>. Donc <math>\phi</math> est surjective. Soit <math>\overrightarrow H</math> le noyau de l'application linéaire associée à <math>\phi</math>. C'est un hyperplan de <math>\overrightarrow E</math>. L'ensemble <math>\phi^{-1}(\{0\})</math> est un sous-espace affine dirigé par <math>\overrightarrow H</math>. Tout hyperplan affine <math>\cal H</math> admet un hyperplan directeur <math>\overrightarrow H</math>. On choisit une forme linéaire <math>\overrightarrow\phi</math> qui admette <math>\overrightarrow H</math> pour noyau. Soit alors <math>O</math> un point de <math>\cal H</math>, tout point <math>A</math> de <math>\cal E</math> s'écrit de manière unique <math>A=O+\overrightarrow{OA}</math>, et l'on définit l'application affine : <math>\phi(A)=\overrightarrow{\phi}(\overrightarrow{OA}),</math> dont on vérifie facilement qu'elle répond au problème. Dans un espace vectoriel <math>\overrightarrow E</math> de dimension <math>n</math>, tout sous-espace vectoriel <math>\overrightarrow F</math> de dimension <math>n-d</math> est intersection des noyaux de <math>d</math> formes linéaires. Elles peuvent être obtenues par exemple de la façon suivante : on fixe un supplémentaire <math>\overrightarrow G</math> de <math>\overrightarrow F</math> dans <math>\overrightarrow E</math>, on choisit une base <math>(e_1,\dots e_{n-d},e_{n-d+1},\dots e_n)</math> de <math>\overrightarrow E</math> adaptée à cette décomposition ; on considère la base duale associée, et la famille de formes linéaires <math>(e^*_{n-d+1},\dots e^*_n)</math> convient. Soit <math>\cal F</math> un sous-espace affine de <math>\cal E</math> de dimension <math>n-d</math>. Sa direction <math>\overrightarrow F</math> est <math>\cap\overrightarrow{H_i}</math> d'après ce qui précède, avec <math>\overrightarrow{H_i}=\overrightarrow{\phi_i}^{-1}(\{0\})</math>. On conclut comme précédemment en prenant <math>O\in\cal F</math>. L'application produit des <math>\phi_i</math> est bien une application affine. Son image est un sous-espace affine de <math>\R^d</math>. Le noyau de l'application linéaire associée est <math>\overrightarrow F</math>. Par dimension, on obtient la surjectivité de l'application linéaire associée, donc de l'application affine. Pour la réciproque, on procède par exemple par récurrence : le cas <math>d=1</math> est traité ; supposons que l'assertion est vraie pour un certain <math>d</math>. Soient <math>d+1</math> fonctions affines telles que l'application produit soit surjective (sur <math>\R^{d+1}</math>). Alors l'application produit sur les <math>d</math> premières est aussi surjective (sur <math>\R^d</math>). On note <math>\cal F</math> le sous-espace affine <math>\bigcap_{i=1,\dots,d}\phi_i^{-1}(\{0\})</math> ; il est de dimension <math>n-d</math> par hypothèse de récurrence. Sa direction <math>\overrightarrow F</math> n'est pas incluse dans <math>\overrightarrow H_{d+1}</math> (car sinon le noyau de <math>\times_{i=1,\dots,d+1} \overrightarrow\phi_i</math> contiendrait <math>\overrightarrow F</math>, serait donc de dimension au moins <math>n-d</math>, et le rang de l'application serait au plus <math>d</math>). On conclut avec l'exercice précédent. }} ==Exercice 1-8== Soient <math>\cal E</math> un espace affine de dimension <math>n</math> et <math>{\cal H}_0,\dots,{\cal H}_n</math> <math>n+1</math> hyperplans affines tels que l'intersection <math>\cap_{i=0}^n\overrightarrow H_i</math> des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons <math>\phi_i</math> des fonctions affines telles que <math>\phi_i^{-1}(\{0\})={\cal H}_i</math>. #Montrer que l'application linéaire produit <math>\times_{i=0}^n\overrightarrow{\phi}_i:\overrightarrow E\to\R^{n+1}</math> est injective. En déduire que la famille <math>(\overrightarrow{\phi_i})_{i=0,\dots,n}</math> engendre l'espace des formes linéaires sur <math>\overrightarrow E</math> (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de <math>\operatorname{im}\left(\times_{i=0}^n \overrightarrow{\phi}_i\right)</math> dans <math>\R^{n+1}</math> muni du produit scalaire canonique). # #*Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille <math>(\overrightarrow{\phi_i})_{i=1,\dots,n}</math> est une base. #*Montrer que l'intersection <math>\cap_{i=1}^n{\cal H}_i</math> est réduite à un point <math>O</math> (on pourra utiliser l'exercice précédent). #Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : ##<math>\cap_{i=0}^n{\cal H}_i\ne\varnothing</math> ; ##la famille de fonctions affines <math>(\phi_i)_{i=0,\dots,n}</math> est liée ; ##pour tout repère affine <math>(A_0,\dots,A_n)</math>, la matrice <math>\left(\begin{array} {ccc} \phi_0(A_0) &\dots &\phi_n(A_0) \\ \vdots & &\vdots \\ \phi_0(A_n) &\dots & \phi_n(A_n) \\ \end{array}\right)</math> n'est pas inversible. {{Solution|contenu= #L'application linéaire produit <math>\times_{i=0}^n\overrightarrow{\phi}_i</math> est injective de <math>\overrightarrow E</math> dans <math>\R^{n+1}</math>, donc de rang <math>n</math>. Toute relation de colinéarité <math>\sum_i\alpha_i\overrightarrow{\phi}_i</math> s'identifie au vecteur des coefficients <math>\alpha_i</math>, et induit pour tout <math>x</math> la relation d'orthogonalité : <math>\langle(\alpha_i)_i,(\overrightarrow{\phi}_i(x))_i\rangle</math>. L'espace de ces relations de colinéarité est donc de dimension 1, en tant qu'orthogonal d'un sous-espace de dimension <math>n</math> dans un espace de dimension <math>n+1</math>. On en déduit que l'espace engendré par les <math>\phi_i</math> a pour dimension <math>n+1-1=n</math>, et donc la conclusion. # #*De toute famille génératrice on peut extraire une sous-famille génératrice minimale ; cela justifie l'hypothèse. #*Le second point est un cas particulier de la dernière question de l'exercice précédent. # #*<math>(1)\Rightarrow (2)</math> : on suppose donc <math>O\in{\cal H}_0</math>, et l'on se donne une expression <math>\overrightarrow{\phi}_0=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overrightarrow{\phi_i}</math>. Alors pour tout point <math>M</math>, <math>\phi_0(M)=\phi_0(O)+\overrightarrow{\phi}_0(\overrightarrow{OM})=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overrightarrow{\phi}_i(\overrightarrow{OM})=\sum_{i=1}^n\alpha_i\phi_i(M)</math>, ce qui montre que la famille <math>(\phi_i)_i</math> est liée. #*<math>(2)\Rightarrow(1)</math> : il n'y a pas de dépendance linéaire non triviale dans <math>(\overrightarrow{\phi}_i)_{i=1,\dots,n}</math> ; il n'y en a donc a fortiori pas dans <math>(\phi_i)_{i=1,\dots,n}</math>. On peut donc supposer qu'on a une relation de la forme <math>\phi_0-\sum_{i=1}^n\alpha_i\phi_i=0</math>. Le point <math>O</math> est alors clairement dans <math>{\cal H}_0</math>. #*<math>(2)\Leftrightarrow(3)</math> est clair : une relation de dépendance linéaire entre les <math>\phi_i</math> fournit une relation de dépendance linéaire entre les colonnes de la matrice et réciproquement (car on a un repère). }} ==Exercice 1-9== Soit <math>\cal E</math> un espace affine de dimension <math>n</math>. Soit <math>{\cal D}_0,\dots,{\cal D}_{n-1}</math> des droites toutes parallèles (<math>\overrightarrow u</math> un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) : #pour <math>1\le d\le n</math>, tout <math>d</math>-uplet de ces droites engendre un sous-espace de <math>\cal E</math> de dimension <math>d</math> ; #le sous-espace affine engendré par <math>{\cal D}_0,\dots,{\cal D}_{n-1}</math> est <math>\cal E</math> tout entier. #pour tout choix de <math>0\le k\le n-1</math>, pour toute donnée de points <math>A_i\in{\cal D}_i</math> (<math>0\le i\le n-1</math>), en posant <math>A_n=A_k+\overrightarrow u</math>, <math>(A_0,\dots,A_n)</math> est un repère affine de <math>\cal E</math>. {{Solution|contenu= <math>(1)\Rightarrow (2)</math> est évident. <math>(2)\Rightarrow (3)</math>. Le sous-espace affine engendré par ces droites est aussi le sous-espace affine engendré par les points ainsi donnés : une inclusion est évidente, l'autre provient facilement du paramétrage <math>{\cal D}_i=A_i+\R\overrightarrow u</math>. Le <math>(n+1)</math>-uplet de points <math>(A_0,\dots,A_n)</math> engendre <math>\cal E</math> ; c'est donc un repère affine. <math>(3)\Rightarrow (1)</math>. La donnée d'un <math>d</math>-uplet de droites revient à extraire une famille de <math>d+1</math> points d'un repère affine ; ces <math>d+1</math> points engendrent donc un espace affine de dimension <math>d</math>. }} ==Exercice 1-10== Soient <math>\cal E</math> un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel <math>E</math>, <math>\cal F</math> une partie de <math>\cal E</math>, et <math>F</math> un s.e.v. de <math>E</math>. a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) : :i) <math>{\cal F}\ne\varnothing</math> et <math>\forall P\in{\cal F}\quad P+F=\cal F</math> ; :ii) <math>\cal F</math> est un sous-espace affine de <math>\cal E</math> de direction <math>F</math> (c'est-à-dire — rappel — <math>\exists P\in{\cal F}\quad P+F=\cal F</math>) ; :iii) <math>\exists P\in{\cal F}\quad F=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}</math> ; :iv) <math>{\cal F}\ne\varnothing</math> et <math>\forall P\in{\cal F}\quad F=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}</math> ; :v) <math>F=\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in{\cal F}\}</math>. b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée <math>\cal F</math> de <math>\cal E</math> est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de <math>\cal E</math> est un sous-espace affine. c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que <math>\cal F</math> soit un sous-espace affine. {{Solution|contenu= a) *<math>i\Rightarrow ii</math> : immédiat. *<math>ii\Rightarrow iii</math> : si <math>P+F=\cal F</math> alors <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in P+F\}=\{\overrightarrow{P,P+x}\mid x\in F\}=\{x\mid x\in F\}=F</math>. *<math>iii\Rightarrow iv</math> : supposons que <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=F</math>. Alors cet ensemble est non vide (contenant au moins le vecteur nul) donc <math>\cal F</math> est non vide. Soit <math>R\in\cal F</math> (quelconque donc non nécessairement égal à <math>P</math>), alors <math>\overrightarrow{PR}\in F</math> donc <math>\{\overrightarrow{RQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\overrightarrow{RP}+\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=F-\overrightarrow{PR}=F</math> (car <math>F</math> est un s.e.v.). *<math>iv\Rightarrow i</math> : pour tout <math>P</math>, si <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=F</math> alors <math>P+F= \{P+\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\{Q\mid Q\in{\cal F}\}={\cal F}</math>. *<math>\Leftrightarrow</math> : d'après la boucle d'implications ci-dessus, (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents. *<math>iv\Rightarrow v</math> : si <math>\mathcal{F}\neq\varnothing</math> et <math>\forall P\in{\cal F},F=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}</math> alors <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in{\cal F}\}=\cup_{P\in{\cal F}}\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\cup_{P\in{\cal F}}F=F</math>. b) *<math>iii\Rightarrow ii</math> donc pour prouver que <math>\cal F</math> ''est'' un s.e.a. de <math>\cal E</math>, il suffit de choisir un point <math>P</math> de <math>\cal F</math> et de montrer que <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}</math> est un s.e.v. de <math>E</math>. *<math>ii\Rightarrow iv</math> donc pour prouver que <math>\cal F</math> ''n'est pas'' un s.e.a. de <math>\cal E</math>, il suffit (si <math>{\cal F}\ne\varnothing</math>) de choisir un point <math>P</math> de <math>\cal F</math> et de montrer que <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}</math> n'est pas un s.e.v. de <math>E</math>. *Soit <math>A\in\cal E</math>, posons <math>{\cal F}=\{A\}</math> et prouvons que <math>\cal F</math> est un s.e.a. de <math>\cal E</math> : <math>A\in\cal F</math> et <math>\{\overrightarrow{AQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\{\overrightarrow{AA}\}=\{0\}</math> est un s.e.v. de <math>E</math>. c) Il suffit de prendre pour <math>\cal F</math> une demi-droite affine et pour <math>F</math> la droite vectorielle associée, par exemple <math>{\cal F}=\R_+</math> dans <math>{\cal E}=\R</math> vérifie (v) puisque <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in{\cal F}\}=\{q-p\mid p,q\in\R_+\}=\R</math> est un s.e.v. de <math>E=\R</math>, et pourtant ne vérifie pas (iv) puisque pour <math>P=0</math> on a <math>P\in\cal F</math> et l'ensemble <math>\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in{\cal F}\}=\{q-0\mid p\in\R_+\}=\R_+</math> n'est pas un s.e.v. de <math>\R</math>. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Applications affines/]] }} 3w5mul3i9qscp4n2ri68n3dtz75mjga 104 79173 881573 881098 2022-08-23T18:23:51Z EclairEnZ 50317 /* demonstrationem mirabilem sane detexi */ wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | titre = Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible/Dernier Problème | idfaculté = Mathématiques }} (3/4) == Dernier Problème == <blockquote>''« L’énigme, c’est la puissance infinie du connu, c’est ce qui pousse le connu vers son infini, vers sa soif de connaissance, […] c’est un lieu de future adéquation. » [...]'' <span style="color:blue">''« L’imagination ouvre sur la création et sur l’éthique. »''</span> [[w:Cynthia_Fleury|Cynthia Fleury]], ''Métaphysique de l’imagination''.</blockquote> Au fil des siècles et de leurs découvertes, les mathématiciens sont devenus de plus en plus sûrs d'eux, parfois imbus de leur savoir. Cet orgueil du métier (que nous avons tous, et qui est humain), ainsi qu'une rationalité à œillères, prennent parfois le pas sur l'imagination créatrice, la brident. Pour reprendre les mots de [[w:Jacques_Roubaud|Jacques Roubaud]], ''« Les suiveurs des suiveurs [... ] ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements.'' » L’analyse rigoureuse de la deuxième ''OBSERVATIO'' de Fermat (question VIII de l’''Arithmetica'' de 1670), l’étude de ses travaux, de sa correspondance, de sa vie, de sa psychologie surtout, est un sujet de méditations indéfectible. Son Grand Œuvre consiste essentiellement en : – quarante-sept observations notées ‘’OBSERVATIO D.P.  F.‘’, – une observation notée ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT‘’ (la fameuse note). Ces 48 observations qui tiendraient en quelques pages ont été ajoutées par son fils Clément-Samuel à l'édition de l’''Arithmetica'' de 1621, pour composer l’''Arithmetica'' de 1670. Voilà un ''nouveau'' livre qui a énormément contribué à la connaissance, un livre dont le “prologue”, par Diophante, est bien plus long que le texte de Fermat. Au fil du temps cette observation du XVII^e siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés : le “théorème” y étant parfaitement énoncé ils s'en sont contenté. Jamais ils n'auraient imaginé que l'explication de Fermat était sous leurs yeux ! Il faut reconnaître que puisque qu'on savait Fermat très avare de démonstrations, il était bien difficile d'imaginer que pour son plus ''gros t''héorème, il nous aurait mâché le travail... La note en latin elle-même fut souvent mal retranscrite, on en connaît une dont le premier mot a été transformé en ''Cubem'' : ''« Que nous dormions ! »'' On n'a pas encore vu une traduction de ''Cubum autem in duos cubos'' par ''« mais je dors les deux coudes sur la table »'' mais un élève bien peu doué ou alors très blagueur aurait bien pu la faire... Voici à nouveau la traduction exacte, Fermat la destine au chercheur sérieux et honnête. Nous verrons plus loin qu'une seconde interprétation de cette note énigmatique, évidente après le décodage effectué par Roland Franquart en 2008, est possible. L'évidence de cette seconde interprétation est encore accentuée quand on a sous les yeux une version de l'''Arithmetica'' très particulière (voir ''infra'') que nous découvrîmes en 2017 au terme de laborieuses recherches sur internet. Nous verrons aussi que les deux interprétations ont chacune une utilité.<br> <span style="color:blue">« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément dévoilé (ou mis à nu, mis à découvert) l’explication (ou la démonstration) étonnante (ou admirable, merveilleuse). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »</span> En termes modernes :<br>''« x, y, z étant des entiers positifs, ''x{{exp|n}} + y{{exp|n}} = z{{exp|n}}'' est impossible pour toute valeur de ''n (nombre entier)'' supérieure à 2. »'' * La traduction que l'on rencontre usuellement comporte deux erreurs majeures dans la partie la plus cruciale du texte. – Première erreur : « J'en ai <span style="color:red">trouvé</span> une démonstration vraiment merveilleuse. » Fermat a écrit ''detexi'' et non ''inveni'' (du verbe ''invenio :'' trouver, découvrir).<br> – Deuxième erreur : Puisque Fermat a placé l'adverbe ''sane'' (“vraiment”, “assurément”) devant le verbe ''detexi'' (‘’j’ai mis à nu‘’, ‘’j'ai dévoilé‘’, ‘’j'ai mis à découvert‘’), c'est donc au verbe que l'adverbe se rapporte : ''« J'en ai <span style="color:blue">réellement dévoilé</span> une démonstration admirable. »'' Les mathématiciens qui ont mal traduit la note auraient voulu faire de cette conjecture une plaisanterie qu'ils ne s'y seraient pas pris autrement. En traduisant : ''“J'en ai <u>découvert</u> une démonstration vraiment merveilleuse que la marge est trop étroite pour contenir”'', ils ont fait de Fermat, par un magnifique [[w:acte manqué|acte manqué]], et définitivement, un vantard, un amateur qui prétend une chose vraie sans pouvoir la prouver. Et par cette fausse traduction ils ont encore accentué l'aspect mystérieux de cette o''bservation'', empêchant qu'on puisse sérieusement l'étudier. == ''demonstrationem mirabilem sane detexi'' == <blockquote>''« S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon Ludivine Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. »'' Emmanuel Bury</blockquote> [[Fichier:Capitole Toulouse - Salle des Illustres - Fermat et sa muse - Théophile Barrau 1898.jpg|vignette|Fermat et sa muse. Toulouse, Capitole.]]''« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. »''<br> Emmanuel Bury, ''in'' Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIV^e-XVII^e siècles), Ed. DROZ. Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E. N. S. Ulm [compte-rendu]. Citations autorisées par les auteurs et l'éditeur. La langue latine est rigoureuse et concise, mais elle n'est pas figée comme la langue française, déroger aux règles précises autorise « ''l’ellipse énigmatique ou le cryptage »'' (Ludivine Goupillaud). Par exemple on inversait parfois l'ordre de certains mots, ou bien contrairement à la norme on attribuait à un mot particulier la première place dans la phrase (ou inversement la dernière). C'était une pratique courante chez les Latins qui pouvaient ainsi souligner l'importance d'un mot, marquer une opposition, sous-entendre quelque chose, etc. Examinons de près cette phrase, ''[Cuius rei]'' ''demonstrationem mirabilem sane detexi,'' formulée d’une façon très singulière.''<br />'' 1. Rappelons que ''detexi'' peut aussi se traduire par ‘’j’ai mis à découvert’’, qu’on peut facilement confondre avec ‘’j’ai découvert’’ ou ‘’j’ai trouvé’’ ('''''inveni''''' en latin). Nous sommes quant à nous certain que '''Fermat avait anticipé que le verbe qu'il choisit prêterait facilement à équivoque''', surtout dans le contexte général de l'observation, qui fait penser à une galéjade, voire une fanfaronnade pour ses détracteurs.<br> 2. L’ordre des mots.<br> – ‘’''[Cuius rei] mirabilem demonstrationem sane detexi''’’, aurait été une phrase correcte :<br /> « [Ce dont] j’ai réellement mis à nu l'explication admirable. »<br /> – ''‘’[Cuius rei] sane mirabilem demonstrationem detexi’’'' aurait aussi été phrase correcte :''<br />'' « [Ce dont] j'ai mis à nu l'explication réellement admirable. »<br /> Fermat n’utilise aucune de ces formulations, il place l'adjectif (accusatif) “admirable” entre “démonstration” et “réellement” (''sane''), et écrit : * <span style="color:blue">''«[Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi. »''</span> Si ''sane'' et ''detexi'' sont dans le bon ordre (adverbe devant le verbe), ''demonstrationem mirabilem'' ne sont pas dans l’ordre habituel, puisque l'adjectif se place normalement devant le nom. Comme dans la fameuse lettre à Carcavi, Fermat formule d’une façon originale. Ainsi, ''sane'' (réellement), peut s'adresser non seulement à ''detexi'' (j'ai mis à nu) mais aussi à ''mirabilem''. Dans une ‘’''Observatio''‘’ déjà surprenante où il utilise le prétexte du manque de place, c'est encoure une curiosité. Nous en mentionnerons bien d'autres. La traduction littérale pour le lecteur attentif sera donc : * <span style="color:blue">« J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante. »</span> Puis, ''en tenant compte'' de cette première version, et en considérant le décryptage de Roland Franquart : *<span style="color:blue"> « J'en ai vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante. »</span> <u>Les 2 versions sont valides</u>. Notons en outre que les mots ‘’texte’’ et ‘’tissu’’ (et ‘’enlacement’’) ont la même racine latine, ''textŭs.'' ''« La concision, en plus de ses vertus stylistiques, joue un rôle de stimulant, en particulier dans les échanges épistolaires. En taisant délibérément ses conclusions, en ne révélant que les linéaments de sa pensée, Fermat crée une émulation par l’ellipse […]. »'' Ludivine Goupillaud, ''Tous vos gens à latin.'' ''Le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) […]. »''<br> Emmanuel Bury. ''Tous vos gens à latin''. Nous prétendons que Fermat savait que sa phrase, qu'on traduirait de la façon qui nous arrangerait le plus, fourvoierait les ''“suiveurs des suiveurs”'' qui ne verraient en lui qu’un fanfaron ou un étourdi (au choix). C'est le même genre de subterfuge qu'il utilisa en évoquant la fameuse fausse conjecture. On est artiste ou on ne ne l'est pas. ''« Les philosophes des sciences portent une attention particulière au langage : ils développent l’idée que l’expérience de Sens commun, exprimée dans le langage courant, doit servir de base au discours scientifique théorique : en effet, la valeur de vérité des énoncés du langage courant est supérieure (dans sa reconnaissance) à celle des énoncés du langage scientifique. » (Marie-Anne PAVEAU).'' Les astuces de Fermat sont remarquables. Merci à Roland Franquart qui découvrit les premiers indices, les plus importants, et qui ayant appris que cette énigme me passionnait m’en informa en 2009. Je reprends ici les plus symboliques (notés RF), parfois en les modifiant quelque peu (j'espère ne pas trop trahir sa pensée), et j'y ajoute ceux trouvés par moi-même (CM) et d'autres auteurs. == L'étroitesse des marges == Garder pour soi ses propres démonstrations était d’un usage courant à l’époque de Fermat, combien n’a-t-on pas retrouvé de ces démonstrations seulement après le décès de leurs auteurs ? Peut-on croire que c’est seulement par manque de temps, et encore moins par manque de place dans les marges, qu’il a jalousement gardé pour lui ses ‘’merveilleuses’’ démonstrations ? Envisageons un instant qu'il ait réussi à écrire ses 48 observations dans les marges. Il aurait alors fallu que les plus longues d’entre elles soient divisées en plusieurs parties et réparties sur des pages qui n'auraient pas eu de rapport direct. Où en aurait été l'intérêt ? L’observation VII par exemple contient 697 mots répartis sur 24 paragraphes.<br> 1) Comme nous l’avons vu c'est de toute évidence à l'intention du lecteur qu'ont été écrites ces 48 '''OBSERV'''ations.<br> 2) Elles constituent à elles seules la plus formidable contribution aux mathématiques du XVII^e siècle.<br> 3) Un génie tellement soucieux « de faire accomplir [ainsi] à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues », se serait-il contenté de nous livrer son Grand Œuvre d’une manière aussi fruste, aussi vulgaire ?<br> Ce qui semble le plus vraisemblable est que :<br> – Ces 48 observations formulées d’une manière très élégante, très élaborée, ont été écrites soit sur des feuilles volantes assemblées ensuite entre elles, soit sur un livret.<br> – Fermat a ensuite inséré des repères numérotés (avec peut-être quelques indications) ‘’en marge’’ des textes de son Diophante auxquels les différentes observations se réfèrent, afin de permettre à Samuel de ne commettre aucune erreur dans l’insertion de ces observations, aux endroits appropriés d’une nouvelle ''Arithmetica'' servant de support.<br> – Il es probable qu’au cours de son étude du Diophante puis de travaux ultérieurs, Fermat ait écrit quelques notes plus ou moins brèves dans les marges, Samuel n’aurait alors même pas eu à faire un pieux mensonge, quand il rapporte que son père insérait des notes dans les marges. Samuel dans notre thèse est donc “dans le secret des dieux” (''i.e.'' Fermat a transmis à son fils toutes les consignes nécessaires). Il ne conserve pas le Diophante après l'avoir récupéré chez l'imprimeur <span style="color:blue">alors que toutes les remarques étaient censées s'y trouver.</span> Où est donc passée cette ''Arithmetica ?'' Voici ce qu'écrit Samuel de Fermat dans la préface de l’édition de 1670 : « ''Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros''. » (''« Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. »).'' La précision “''surtout dans les quatre derniers livres”'' semble parfaitement justifiée puisque ce sont dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Or c'est justement parmi elles qu'on trouve les plus longues<ref>Paul Tannery : {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre de|nom1=Fermat|lien auteur1=|titre=Œuvres de Fermat - I - partie 2|sous-titre=|lien titre=|volume=|tome=|passage=|lieu=Paris|éditeur=Gauthier-Villars (p. 290-358)|lien éditeur=|année=1891|numéro d'édition=|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://fr.wikisource.org/wiki/%C5%92uvres_de_Fermat_-_I_-_Partie_2|consulté le=}}</ref>, qui n’auraient pu tenir dans une marge. Dans les Livres I et II au contraire, les trois premières observations sont très courtes et y auraient tout à fait trouvé place. En outre le style est aussi parfait que dans ses lettres, sont-ce là les manières d'écrire un pense-bête ? Nous n'avons connaissance d'aucun mathématicien qui se serait interrogé sur cette étrange disparition d'un livre aussi important. Pourquoi ? Notre avis est qu'aucun n'a eu la moindre velléité de chercher à comprendre. Ni de chercher le moindre argument en faveur d'une preuve détenue par Fermat. Ni de sortir du troupeau. Samuel sait évidemment que si les 48 observations avaient été écrites dans les marges, l'ouvrage aurait alors acquis une <span style="color:blue">valeur historique</span> (et marchande) considérable. Cette disparition n'a pourtant éveillé la curiosité d'aucun commentateur. Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel et écrit : ''« […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. »'' Si Fermat a donné, sur un livret ou sur papier libre, des instructions précises à son fils dans la manière de consigner ''dans trois versions différentes de l'Arithmetica'' cette note si importante à ses yeux, alors ces consignes justifient parfaitement la disparition de l'ouvrage, que Samuel, très prudent, s'est vu contraint de détruire pour que le plan de son père se réalise pleinement. Nous ne voyons pas d'autre explication à la disparition de l'ouvrage. Il nous semble évident aussi que Fermat avait demandé à Samuel de ne faire connaître qu'après sa mort les 48 observations. Pierre et Samuel, voila un bien noble binôme qui a bien mérité sa particule : Pierre, homme de cœur, intègre, à la fois humble, ambitieux et audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt extrêmement occupé. Samuel, humaniste lui aussi, passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en somme, digne héritier de son père. On n'a retrouvé dans la bibliothèque de Fermat que quelques très rares ouvrages dont une ''Arithmetica'' de Diophante. On pouvait s'attendre à ce que ce ne soit pas un exemplaire de l’''Arithemica'' semblable à celui qui avait inspiré Fermat et ne comportant pas les 48 observations, ç'aurait été un indice trop flagrant que Fermat père et fils auraient laissé à la postérité. Ne voulant rien négliger j'ai fait appel aux bons offices de Madame Marielle Mouranche, Conservateur des bibliothèques, responsable du livre ancien à l'Université de Toulouse, qui m'a confirmé que l’''Arithmetica'' retrouvée n'est pas une édition de 1621, mais une autre éditée à Bâle en 1575 [https://ccfr.bnf.fr/portailccfr/ark:/06871/0014959683] et commentée par cinq personnes, dont Fermat. Cette ''Arithmetica'' plus ancienne a-t-elle pu aider notre homme à mieux déchiffrer l'édition de 1621, fautive ? Je ne sais. == Le style des Observations == * (CM, Jean Rousseau, '''Laurent Hua''' [https://www.letudiant.fr/educpros/personnalites/hua-laurent-884.html], Albert Violant I Holz). Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (leur élégance aussi), montre clairement qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur. En outre, '''quel besoin aurait-il eu de s'expliquer à lui-même''' qu'il a réellement dévoilé une explication admirable ? Quel besoin aussi aurait-il eu de répéter ''sans cesse, uniquement à son intention'', qu'il manquait de place – le plus souvent – ou de temps ? * Pourtant l’historien Jean Itard écrivait : « réservées à son seul usage. » De même après la découverte de Wiles en 1994, Winfried Scharlau veut nous le faire croire. Un autre argument est avancé : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes ». Il est saisissant de voir comment les mathématiciens qui n'ont pu suivre ses traces ont pu s'ingénier à utiliser des mauvais arguments pour rabaisser encore plus un génie qui les aura autant défiés. Certaines légendes urbaines ont la vie dure, surtout quand ''« des considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique. »'' ([[w:Christophe_Breuil|Christophe Breuil]]). * (Paul Tannery). C'est seulement cette note énigmatique qui a un titre écrit en toutes lettres : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT, les 47 autres sont abrégés en OBSERVATIO D.P. F. . Fermat nous suggère-t-il ici d’observer de très près, ''dans tous les moindres détails,'' son plus grand défi ? Alexandre Grothendieck : ''« Et il y a aussi la vérité d'une situation particulière, unique. Ainsi, dans telle situation, nous percevons de façon sûre qu'un interlocuteur est de mauvaise foi, qu'il est dans un état de mensonge (alors qu'il peut fort bien être persuadé lui-même qu'il est de la meilleure foi du monde…) ; ou au contraire, nous percevons que ce qu'il dit est vrai, que c'est dit dans des dispositions de vérité (alors même que le contexte pourrait peut-être avoir toutes les apparences du contraire). La même chose peut avoir lieu en lisant un texte écrit, par exemple tel passage d'un livre. Ou nous pouvons avoir la perception d'un état de vérité ou d'un état de mensonge en nous-mêmes. De telles perceptions, qui ne sont perçues au champ conscient que dans des dispositions de silence intérieur, d'écoute, nous apportent une connaissance véritable, elles nous disent la v é r i t é d'une chose, d'une situation.'' »<ref>Un merveilleux texte de Alexandre Grothendieck, [https://1lib.fr/book/3434292/addd21?regionChanged=&redirect=179400318 NOTES pour LA CLEF DES SONGES (pdf), p. N39]</ref>. Il est bien difficile de croire que les 3 différences d'écriture du même mot crucial ''detexi'' (“j'ai dévoilé”), sur la même observation et dans 3 versions différentes de l'édition de 1670, si elles avaient été des accidents, auraient échappé à son fils Samuel, qui œuvra avec tant d'assiduité à faire connaître l'œuvre de son père. De même pour le point exagérément surchargé '''qui suit ce même mot ''detexi''''' dans les 3 versions. Doit-on aussi prendre pour d'incroyables coïncidences toutes les curiosités que l'on découvre, rien que dans cette observation (on en compte 9) quand on l'analyse en profondeur ? Je suis toujours aussi sidéré, amusé aussi, de voir comment au fil des décennies, puis des siècles, certains grands mathématiciens, têtes pleines d'une logique algébrique mais faisant fi de toute logique abstraite, générale, ont réussi à tisser eux-mêmes les mailles du filet qui les a enfermés, coupés du simple bon sens. Quand on découvert et étudié les nombreux indices, évidents aux yeux de l'humble observateur attentif et sans préjugé, qu'a laissé Fermat, la meilleure conclusion qu'on puisse en donner est : c'est tout simplement sublime. Il est difficile de juger ces intellectuels, dont les pensées et propos relèvent à la fois d'un profond sentiment d'infériorité vis à vis de Fermat et d'une méconnaissance totale de cet homme, et de l'âme humaine en général, on ne peut que s'ébahir de leur aveuglement. Voyant comment une si longue, si tenace, légende urbaine a pu s'élaborer, on en tire un enseignement profond : l'étude de la pensée de groupe, l'observation des rivalités entre grands hommes, nous enrichissent dans notre connaissance de la psychologie humaine : ''comment un imaginaire collectif peut complètement se pervertir.'' == Le triangle arithmétique == ''« Les intellectuels résolvent les problèmes, les génies les évitent. »'' Albert Einstein. <br><br>Pierre de Fermat était tout sauf un suiveur, il n’est pas étonnant qu'il fût un aussi grand passionné. Loin de Paris et isolé, il a eu surtout des contacts épistolaires avec d'autres mathématiciens et il était fondé, dans sa solitude intellectuelle, à apprécier les recherches les plus ardues. Ses correspondants rechignèrent de plus en plus à répondre à ses lettres, et finalement tous ont renoncé. Il avait eu connaissance du triangle arithmétique, ''au moins'' par les travaux, qu’il connaissait, de François Viète mort en 1603. D'ailleurs ce triangle était déjà connu au onzième siècle du mathématicien persan Al-Karaji et de bien d’autres plus tard, jusqu’à Tartaglia et Marin Mersenne. Fermat s’est forcément intéressé aux propriétés étonnantes de ce triangle. Rappelons qu’il a travaillé sur les carrés magiques et qu'il est allé jusqu'à réaliser un rectangle magique de plus de 400 cases. Il semble logique qu’il n’ait jamais souhaité mentionner ce triangle à personne (jusqu’à ce que Pascal écrive sur le sujet), s’il s’en est servi pour trouver une preuve à son théorème général, ce que le décodage effectué par Roland Franquart en 2009 semble confirmer. Pascal écrit son ''Traité sur le [[w:Triangle_de_Pascal|Triangle arithmétique]]'' ''en 1654.'' Ayant eu connaissance de cette publication Fermat lui écrit le '''29 Août 1654''' :     ''« Nos coups fourrés continuent toujours et <span style="color:blue">je suis aussi bien que vous dans l'admiration que nos pensées s'ajustent si exactement qu'il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du </span>[[w:Triangle_de_Pascal|Triangle arithmétique]] <span style="color:blue">et de son application en sont une preuve authentique</span> : et si mon calcul ne me trompe, votre douzième conséquence courrait la poste de Paris à Toloze, pendant que ma proposition des nombres figurés, qui en effet est la même allait de Toloze à Paris. Je n’ai garde de faillir tandis que je rencontrerai de cette sorte, et je suis persuadé que le vrai moyen pour s’empêcher de faillir est celui de concourir avec vous. Mais si j’en disais davantage, la chose tiendrait du compliment, et nous avons banni cet ennemi des conversations douces et aisées. Ce serait maintenant à mon tour à vous débiter quelqu’une de mes inventions numériques ; mais la fin du Parlement augmente mes occupations, et j’ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répit juste et quasi nécessaire.'' ''Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les autres n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent se doit faire en 17, 5 et 5 ; de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui 17 hazards égaux lorsque chacun des deux autres n'en a que 5.'' ''Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique avec toute franchise.  [...] »'' Les commentateurs des Œuvres de Pascal ont écrit : ''« Ce n'est pas, on le voit, par défi, suivant la coutume du temps, que Fermat propose ces problèmes à Pascal ; c'est parce qu'il cherche à se faire de Pascal un collaborateur.'' ''»'' ''Autre lettre à Pascal du 25 Juillet 1660 :'' « ''Des que j'ay su que nous sommes plus proches l'un de l'autre que nous n'étions auparavant, je n'ai pu résister à un dessein d'amitié dont j'ai prié Monsieur de Carcavy d'être le médiateur: en un mot je prétends vous embrasser, et converser quelques jours avec vous ; mais parce que ma santé n'est guère plus forte que la vôtre, j'ose espérer qu'en cette considération vous me ferez la grâce de la moitié du chemin, et que vous m'obligerez de me marquer un lieu entre Clermont et Toulouse, où je ne manquerai pas de me rendre vers la fin de Septembre ou le commencement d'Octobre. Si vous ne prenez pas ce parti, vous courez hasard de me voir chez vous, et d'y avoir deux malades en même. J'attends de vos nouvelles avec impatience, et suis de tout mon cœur, tout à vous... »'' == En avant-goût, quelques citations de Fermat == Extraites de ses 48 OBServations. * « J’estime qu’on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui soit plus beau ou plus général. Je n’ai ni le temps ni la place d’en mettre la démonstration sur cette marge. » * « « Bien plus, il y a une proposition très belle et tout à fait générale que j’ai été le premier à découvrir […]. Je ne puis en donner ici la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. » * « […] Je vais donner la démonstration de ce théorème que j’ai découvert ; je ne l’ai pas trouvée au reste sans une pénible et laborieuse méditation ; mais ce genre de démonstration conduira à des progrès merveilleux dans la science des nombres. » * « J'ai trouvé un très grand nombre de théorèmes extrêmement beaux. » * « Je suis l'homme le plus paresseux du monde. » == Trois versions différentes de l’''Arithmetica'' : premiers codages == [[Fichier:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|right|upright=1|<big>'''L’''Arithmetica''''' '''annotée et publiée par Samuel de Fermat en 1670.'''</big>]] Il existe au moins trois versions différentes de lʼ''Arithmetica'' de 1670, où la célèbre note énonçant le théorème se présente sous trois aspects différents. C’est grâce à Roland Franquart (je vous recommande vivement la visite de [http://franquart.fr/ son site], où il explique en détail toutes ses découvertes) qui en 2009 me fit part de ses travaux à partir de l’''Observation'' présente sur l’''Arithmetica'' de la Bibliothèque de Lyon, que ma passion pour cette énigme, dont le traitement qu’on en avait fait m'avait très choqué, en fut encore accrue. En juin 2017, j'ai passé de longues heures à chercher une bizarrerie qui aurait pu figurer dans une autre version de l'édition de 1670, de préférence sur le mot (''detexi'') où Roland Franquart avait déjà trouvé (entre autres choses) la bizarrerie du '''''t''''' surchargé (image en haut de page et version ''B'' ci-dessous). Je me disais que si Fermat avait voulu mettre toutes les chances de son côté pour que seuls ses suiveurs trouvent son explication, il n'aurait rien risqué à utiliser ce stratagème une seconde fois. Mais honnêtement, je ne pensais absolument pas pouvoir trouver une troisième version, différente, et encore moins une deuxième bizarrerie sur le même mot, c'aurait été trop beau. Si je me suis à ce point obstiné c'est que je caressais un fol espoir : trouver un « argument massue ». Et finalement je la trouvai, cette deuxième grosse bizarrerie, sur l'exemplaire de l'Université de Rome (detex'''''ṡ'''''). Je n'en crus pas mes yeux, cette découverte était si inattendue qu'elle me laissa sidéré, et le coup de massue c'est moi qui l'ai reçu. Pendant longtemps je restai dans cet état, ne sachant quoi en penser. Personnellement trop impliqué, il m'était difficile de réfléchir sereinement à la nouvelle situation. Cette bizarrerie supplémentaire, ça “paraissait trop‘’, c'était “trop gros‘’, même venant du très facétieux Pierre de Fermat. Mais je n'avais pas assez considéré qu'il travaillait à une époque sans internet. Je mis presque deux ans à trouver la solution, pourtant d'une clarté aveuglante. Une fois sur le site, taper en haut le N° de page 141, puis agrandir l’image (signe + en bas à droite). <br> '''Version A'''. [https://ia800400.us.archive.org/27/items/bub_gb_6QIYIizG_v8C/bub_gb_6QIYIizG_v8C.pdf Université de Rome]. [[Fichier:Detexs, Université de Rome, le i est transformé en s.jpg|thumb|left|512px|alt=Arithmetica de l'Université de Rome|Arithmetica de l'Université de Rome]] <br /><br /> [[Fichier:Le i tordu seul sur detexi Fermat.jpg|alt=Un caractère étrange dans le detexi de la a note de Fermat, à Rome|néant|vignette|374x374px| → Le ''i'' est remplacé par le graphème ''ṡ'' avec son point en chef]] <br /><br /><br /> (CM) : On observe que l’élément précédant le point final, étrangement n’est ni un ''i'' , ni un ''s'', mais ce caractère étrange, ''ṡ'', qui ''a priori'' est incongru dans ce texte latin. La lettre “s” diacritée d’un point suscrit (ou “point en chef” ) est un graphème du latin étendu, autrefois utilisé dans l’alphabet irlandais. Une diacritique est souvent utilisée pour distinguer un mot d'un autre mot, homonyme. Pourquoi Fermat, philologue, a-t-il transformé le mot ''detexi'' (“j’ai mis au jour”) en '''''detexṡ''''' ? Ce mot étant inconnu de la langue latine, examinons le dernier caractère, ''ṡ''. Il est formé d'un “''i'' ” deux fois bosselé (tordu), inclus dans le “''ṡ''”. Les deux caractères “''i''” et “''s''” sont confondus, le graphème peut alors se décomposer en ''i + s,'' ce qui nous donne → ''is''. Le mot inconnu '''''detexṡ''''' devient le mot ''detexis,'' du verbe ''detexo'' cette fois, et non plus ''detego''. Or ''detexo'' signifie “tisser complètement”, et conjugué ici au présent de l’indicatif, à la 2^ème personne du singulier, '''“<u>tu tisses complètement</u>”''' (ou « tu représentes complètement », « tu achèves un tissu »), ce qui rejoint et confirme le décryptage alphanumérique effectué par Roland Franquart en 2008 d'après l'édition présente à Lyon (version B). * Voir [https://www.dicolatin.com/Latin/Table/0/DETEXO--IS--ERE--TEXUI--TEXTUM--tr/index.html ''detexis''] sur Dicolatin en haut à gauche. Du verbe ''detexo'' : '''tu tisses complètement''', tu tresses, tu arranges en tresses. Fermat a fait preuve ici de beaucoup d'ingéniosité. Avait-il noté que “''detexis”'' est aussi l'anagramme d existe ? (Merci à Jean-Paul Blanc qui me signala cette curiosité). Connaissant la sagacité du personnage j'en suis certain. Pourtant la trouvaille qui m'a le plus réjoui n'est pas la découverte de cette très curieuse version de l’''Arithmetica'', car bien que j'ai passé énormément de temps à la chercher, j'ai surtout eu beaucoup de chance, elle aurait pu ne pas être présente sur internet, et finalement le décodage de cette anomalie n'en fut pas tropdifficile, surtout avec les données dont je disposais déjà grâce à Roland Franquart. Non, là où j'ai été le plus heureux, c'est quand j'ai fait [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%E2%80%99%C3%A9nigme_de_Fermat_pass%C3%A9e_au_crible#Premier_maillon,_les_nombres_de_Fermat cette découverte] relative aux “nombres de Fermat”. Quand on suit les traces de Fermat on devient de plus en plus audacieux pour s'aventurer de l'autre côté du miroir, là où personne n'est encore allé. Il en a fallu du temps, de la disponibilité intellectuelle, des méditations, ainsi qu'une certaine aptitude à la [[w:sérendipité|sérendipité]] pour que, après de multiples relectures de la lettre à Carcavi et la connaissant par cœur, je la relise une dernière fois ''comme en pensant à autre chose'', et soudainement la ruse de Fermat m'apparut dans toute sa splendeur. Il m'avait d'abord fallu oser imaginer que son astuce pouvait être d'une habileté diabolique, puis peser chaque mot de la proposition adressée à Carcavi. Il y a quelque chose de très réjouissant en ce que nous les humbles avons souvent une vie bien plus apaisée, donc une vision des choses plus saine et plus fine que les personnalités très en vue soumises à toutes sortes de contraintes professionnelles. * À la lecture d'un long et chaleureux courriel que m'envoya Catherine Goldstein en janvier 2022 je compris pourquoi elle ne pouvait s'autoriser à donner son avis sur la preuve de Fermat, une reconnaissance officielle de la validité de la preuve de Fermat non seulement provoquerait un remue-ménage chez des milliers d'amateurs et des dommages collatéraux très chronophages et fort gênants, mais surtout elle ne voulait en aucune manière être à l'origine d'une polémique qui serait dommageable pour tous. Et pour tout vous dire je terminais ma réponse à son message par ces mots : ''« Accepte je te prie ma reconnaissance éternelle ».'' Sans ses encouragements en effet lors de mon dernier “séjour” de quelques années sur Wikipédia, sans ses messages de soutien, sans cette complicité qui nous lie — notre passion pour Pierre de Fermat — je n'aurais pas eu la motivation nécessaire pour réaliser une étude aussi approfondie, qui m'a procuré tant de joies et tant de belles émotions, et que je livre maintenant à votre sagacité et à votre critique. Elle est en quelque sorte offerte en « libre service », si Untel pourra passer outre, un autre pourra s'en inspirer et même, pourquoi pas, la faire totalement sienne. J'en serais ravi !<br>P.-S. : « ''Veux-tu connaître ce qui est utile ? Sache être ignoré »,'' lit-on à la fin de l'épitaphe de Fermat.<br>P.-S.2 : Fermat, là-haut, doit sourire en pensant à tous ses admirateurs. Quant à ses contempteurs, j'ignore ce qu'il peut bien en penser{{Clin}}. Je vous donne ma parole que ce qui suit est vrai. Un responsable de l’[[w:Agence_France-Presse|Agence France-Presse]] s’était étonné en 2009 qu’aucun des journalistes scientifiques auxquels on avait soumis la preuve de Fermat n’ait souhaité donner suite. Est-ce que vous êtes étonné(e), vous ? Si non, peut-être avez-vous compris que ce monde n’aurait pu être fait meilleur qu’il l’a été... La formidable innovation qu’a produit Wikiversité (entre autres choses) est qu’en utilisant les outils de Wikipedia, elle fournit aux chercheurs indépendants le meilleur support de travail qu'ils puissent jamais trouver, permettant à un public de plus en plus large d’accéder à des travaux inédits et introuvables ailleurs. Si ce modeste essai pouvait encourager de jeunes chercheurs à comprendre combien le panurgisme contrarie le discernement et l'initiative personnelle, il aurait atteint pleinement son but.<br> La principale caractéristique de cette énigme possède une anagramme étonnante et bienvenue : ''la légende urbaine'' <span style="color:blue">rendue inégalable.</span><br> Il semble que logiquement tout s'enchaîne au mieux pour que cette longue épopée jamais ne prenne fin. Pouvait-on mieux remercier le grand homme qu'en lui consacrant cette étude ? Merci, Monsieur de Fermat. '''Version B.''' [https://archive.org/stream/bub_gb_ijB2wMyhl3AC#page/n167/mode/2up Bibliothèque de Lyon]. Revenons à ce ‘’''detexi''‘’ qui figure aussi sur la toute première image de cet article.[[Fichier:Bibliothèque de Lyon, la note de Fermat où le "t" et le point sont surchargés.jpg|thumb|left|400px|alt=Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon]] <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> <br /> (Roland Franqquart) : La surcharge sur le '''''t''''' suggère que ''cette lettre pourrait avoir une grosse importance pour la suite.'' En outre je pense comme R. Franquart que ce '''''t''''' a un rapport avec les deux derniers mots de l'observation de Fermat, ''non capere'''''<u>t</u>''' (n'eût pas contenu ce '''''t''''' dans le triangle de Pascal – explication sur son site). La surcharge a aussi le gros avantage de forcer l’attention sur le mot ''detexi'' : “j’ai mis à nu” (ou “j’ai dévoilé”). Le point qui suit le mot est grossi lui aussi sur les 3 versions, comme pour rappeler l'importance du mot. En outre, le '''''t''''' initie '''''t'''exi'', signifiant "j'ai caché". Le décryptage de Roland Franquart révèle une deuxième lecture '': « [… ] ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication étonnante. Le manque'' (la petitesse) ''de la bordure'' (du bord, <u>de la limite</u>, du cadre, de la marge) ''ne la contiendrait pas. »'' Ces codages et décodages peuvent paraître au béotien ''tirés par les cheveux,'' mais souvenons-nous que Fermat adore jouer avec ses correspondants et avec les mots (ne parlons pas des nombres ...). À l'instar d'autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il est un fervent lecteur), il est expérimenté en matière de cryptage et s'est s'appliqué à laisser un maximum d'indices en les disséminant un peu partout (cf. ''infra''). Dans ces deux premières versions, il «trafique» donc '''deux''' lettres dans le même mot. A-t-il envisagé qu'après sa mort, un mathématicien en possession d'une édition ''“detex<big>'''ṡ'''</big>'''.'''”'' en soit désorienté et écrive à un collègue pour lui faire part de cette curiosité ? Si ce collègue, souhaitant vérifier ''de visu'' l’information avait alors, par chance, consulté une édition ''de '''<u>t</u>''' exi'''.''''', ces deux personnes se seraient interrogées et mises à la tâche confiantes et assidues. Une telle rencontre semble ne s'est sûrement jamais produite. Quant à nous nous avons maintenant le choix entre deux nouvelles interprétations, que nous pouvons d'ailleurs utiliser ensemble :''<br>'' <span style="color:blue">''« ce dont tu tisses complètement la démonstration admirable (''car'') j'en ai réellement dévoilé, entièrement tissé, l’explication tout à fait étonnante. »''</span> * La grossière surcharge sur le '''''t''''' figure sur plusieurs des exemplaires de l'''Arithmetica'' que nous avons trouvés et ces surcharges y sont identiques. Il a donc fallu que l'imprimeur réalise spécialement un nouveau caractère mobile d'imprimerie. Notons par ailleurs que si ce “''t''” avait souffert dans un premier temps d'un manque d'encre et n'avait pas été parfaitement visible, on l'aurait rendu clairement lisible '''''sans le surcharger aussi grossièrement.''''' '''Version''' C. [http://dx.doi.org/10.3931/e-rara-9423 Bibliothèque de Zurich]. [[Fichier:Le Diophante de 1670 à Zurich. La note de Fermat où tout est correct.jpg|thumb|left|500px|caption|Arithmetica de la Bibliothèque de Zurich : la note est correctement écrite]] <br><br><br /><br /><br /><br /> <br />Sur cette version le mot est correctement écrit, seul le point final est surchargé. La preuve « assurément dévoilée » par Pierre de Fermat, si elle est très courte, est d’une difficulté formidable. Le décryptage effectué par R.F. montre que Fermat s’est élégamment servi des propriétés du ''triangle arithmétique'' “de Pascal”. Les codages effectués dans le texte latin, avant d’être cassés, '''recouvrent, cachent, dissimulent''' (verbe latin ''tego, is, ere, '''texi''', tectum''), un début d'explication. == Codages communs aux trois versions == ''C^{V<span style="color:red">bum</span>} a<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>em in duos cubos, a<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>em quadratoquadra<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m in duos quadratoquadratos<br>'' ''& generaliter nullam in infini<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m vltra quadra<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m potestatem in duos eiusdem''<br> ''nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane de<big>'''t'''</big>ex<big>'''ṡ'''</big> _•<br> ''Hanc marginis exiguitas non caperet.'' J'ai regroupé ci-dessus les 2 anomalies sur le mot ''detexi,'' qui figurent dans 2 éditions différentes de l'Arithmetica de 1670, et reporté le point surchargé qui suit “''detexi”''. (R F) : Dans le premier mot de l’''Observation'', C^Vbum'' (cubum, ''nombre cubique), l'exposant, comme c'est le cas de tout premier mot de paragraphe de la page 61, aurait dû être écrit entièrement en lettres capitales. En répétant cette transgression dans les 47 autres observations, Fermat évite de rendre l'anomalie trop flagrante. Or la lettre latine '''''u''''', quant elle est écrite en capitale d'imprimerie, devient'' '''V'''. ''L'orthographe correcte est donc ''C^VBVM. ''La minuscule ''^u'' est une intruse qui permet qu'il y ait 21 “'''u'''”, et établit ainsi une «coïncidence» (u, 21^e lettre de l’alphabet) et surtout, <span style="color:blue">''elle suggère que cette lettre “'''u'''” pourrait se révéler très importante pour la suite — tout comme la lettre “'''t'''” de la version B.''</span> En outre dans le texte de Fermat il y a 21 '''''u,''''' et seulement 19 '''''t''''' ; or, '''''t''''' est la 20^e lettre de l’alphabet. Je cite Roland Franquart qui note avec pertinence : « “'''''v'''ltra”'' et “''di'''''u'''''idere”''  n’existent pas dans le Dictionnaire, mais “''ultra”'' et “''dividere''.” Cela fait toujours 21 '''''u''''' en minuscules italiques. Ainsi Fermat montre que les lettres '''''u''''' et '''''v''''' peuvent se remplacer mutuellement dans n’importe quel mot de l’ARITHMETICA, sauf dans le premier mot ; '''l’^EXPOSANT'''. » Revenons à ces 19 '''''t''''' : il manque un '''''t''''' par rapport à '''''t''''' <u>20^e lettre de l’alphabet</u>. R. Franquart nous montre que ce ''manque'' est à mettre en relation avec les deux derniers mots qui terminent la note : * « ''non capere''<u>t</u> ''» = ne pas contenir '''t''''' (dans le triangle arithmétique) : * cette lettre '''''t''''', qui est précisément celle qu'il a surchargée dans le mot de'''''t'''''exi ; * cette lettre '''''t''''', dont l'importance est encore accrue par le point qui suit le mot de'''''t'''''exi ''<u>dans les trois versions de l'Arithmetica</u>.'' Allez visiter le site [http://franquart.fr/ franquart.fr], tout y est remarquablement expliqué. En outre on trouve dans la note 2 couples de lettres accolées ''<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>'' dans l'ordre, et plus loin 3 couples ''<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>'' dans l'ordre. Grâce à l'une de ses découvertes et comme le demande Fermat'','' Roland Franquart [http://franquart.fr/Revelation_DTF.html a effectué] <span style="color:blue">''le tissage le plus simple qu'on puisse trouver''</span> avec les lettres ‘’''<span style="color:blue">'''u'''</span>''’’ et ‘’''<span style="color:red">'''t'''</span>'' ‘’ dans le triangle “de Pascal”. Ma découverte personnelle de “detexis” (« ''tu tisses complètement »)'' rejoint la sienne, Fermat a parsemé sa note d'indices qui se renforcent les uns les autres. Remarquons que ce [[w:Triangle_de_Pascal|Triangle arithmétique]] révèle dans l’ordre '''les coefficients du binôme (x+y)ⁿ'''. Or : {{Cadre|épaisseur bordure=2px|style bordure=points|couleur bordure=#0F0|Les seuls termes « indépendants » de ce binôme sont justement les puissances xⁿ et yⁿ.|2}} Les codages en latin de Pierre de Fermat paraissent excessivement complexes, mais il n’avait guère le choix s'il voulait coder son explication en lignes 1/2. Il a aussi eu de la chance, comme il convient aux audacieux : le couple ''<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>'' est aussi le pronom personnel ‘’tu’’ déjà présent dans la traduction exacte du latin vers le français de “''detexis”'' : ''« Tu tisses complètement. »'' Fermat a remarqué qu'en formulant son observation d'une certaine façon il peut utiliser 21 ''u'' (21^e lettre de l’alphabet), et 19 ''t'' (20^e lettre) : ce '''''t''''' manquant, c'est exactement ce qui lui convient. Ce cryptage qu’il réussit a mettre en place, quand on l'a lu, relu, relu encore et bien assimilé, on le trouve d'une logique imparable. Il a su profiter des circonstances, les exploiter pleinement, révélant ainsi les tout premiers indices. En 2009, je me posais souvent cette question : a-t-il surtout bénéficié d’une chance inouïe ou était-il doté d’une intelligence vraiment hors normes ? Aujourd’hui en 2021 la deuxième option a toute ma faveur – la chance, il l'a saisie au vol. On ne peut que s'émerveiller devant l'harmonie d'un édifice aussi stable où tous les éléments s'enchâssent si parfaitement les uns dans les autres. C’est du grand art. Citons Georges Soubeille dans ''Pierre de Fermat, un génie européen,'' ''« [il] fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. ».'' On est époustouflé devant son exploit magistral, mais peut-être sommes-nous nous aussi un peu trop timoré, d'ailleurs nous ignorons tout ce dont il était capable. La stratégie qu’il met en place pour livrer son ultime challenge non seulement est un défi à l’imagination mais confine à une énigme policière que Sherlock Holmes (ou plutôt Sir Arthur Conan Doyle, l'auteur de ses aventures) aurait fort appréciée. Mener l'enquête jusqu'à son terme c'est vivre une aventure philosophique à laquelle en enquêtant on trouve tout le charme d'une poésie. Et peut-être un peu l'attrait d'une expérience spirituelle. Le ''« Livre entier »'' qui devait repousser d’une façon étonnante, d'après Fermat, les bornes de la ''« Science des nombres »'', nous manque-t-il vraiment ? Les 48 ''observations'' n'ont-elles pas aidé les mathématiciens à repousser les bornes de la science des nombres ''« au-delà des limites anciennement connues » ?'' Jamais on n’aura vu un livre entier consacré à la science des nombres dont le prologue par Diophante, long de 340 pages, est plus long que le livre lui-même : une quinzaine de pages par Fermat. [[w:Edgar_Allan_Poe|Edgar Allan Poe]] (1809-1849), poète et fameux nouvelliste précurseur du roman à énigmes dit ‘’policier’’, qui fut traduit par Charles Baudelaire, s’il avait eu connaissance en son temps des découvertes faites par Roland Franquart, se serait réjoui d’avoir à mener une enquête cette fois bien réelle. Poe et Fermat ont d'ailleurs bien des points communs, si Poe en son temps était beaucoup plus reconnu en France que chez lui aux Etats-Unis, Fermat était davantage reconnu outre-Manche. Tous deux sont des logiciens lucides, visionnaires, hommes de rupture. Poe et Fermat construisent l'énigme en fonction de l’''effet'' produit, leurs énigmes sont des « sujets » à analyser. Ces créateurs sont un peu comme des « psychanalystes manipulateurs », mais alors qu'en abordant une nouvelle de Poe on sait tout de suite qu'on suivra l'enquête avec lui, Fermat innove, il ne nous avertit pas toujours que ce sera à nous de mener l'enquête : dans un premier temps en osant croire à une trame cachée, pour ensuite la mettre à jour. Une telle mise en abyme est loin d'être tout de suite perçue. Quand Poe manipule ouvertement les lacunes sociales et les symboles pour parvenir à son objectif, Fermat avec un art consommé, insensiblement manipule les lecteurs prévenus contre lui (ainsi que tous les autres), tout dans ses écrits en témoigne. Il se sert habilement de la défiance de ses détracteurs pour les prendre à leur propre jeu, se faisant parfois l’avocat du diable. On pourra faire de lui un vantard invétéré. Au cours des siècles, certains savants ont douté que Fermat avait une preuve. Avec la découverte d’[[w:Andrew_Wiles|Andrew Wiles]] en 1994 – une preuve d’une complexité énorme – ils purent encore moins l’imaginer après avoir douté pendant plus de trois siècles. D’autres, plus fins et circonspects, ont écrit qu'on ne peut rien dire à ce sujet. C'est le cas par exemple à notre époque de [[w:Jacques_Roubaud|Jacques Roubaud]], de [[w:Catherine_Goldstein|Catherine Goldstein]], experte des travaux de Pierre de Fermat, et de bien d'autres mathématiciens. Les codages de Fermat découverts par Roland Franquart sont tellement manifestes qu’on se dit : « Ce ne peuvent être des coïncidences, c'est juste un exploit magistral. » Dans le seul libellé de son observation <u>on trouve déjà 9 curiosités.</u> Après un nouveau décodage on en trouve 4 autres littéralement stupéfiantes. Ensuite dans sa correspondance on en trouve encore de nouvelles. On connaît le rôle du psychanalyste, il ne révèle pas à la personne (nommée à juste titre l’analysant) allongée sur le divan, quelques-unes des pensées inconscientes qu’il aurait pu découvrir chez lui au fil des séances. Il ne lui révèle que rarement les mécanismes en jeu. Il s’agit au contraire de laisser dire à l'analysant tout ce qui lui passe par la tête. De temps en temps il pourra lui dire quelques mots pour ouvrir une piste, donner un indice, mais jamais il ne lui dira une chose importante qui n'est pas encore consciente chez lui grâce au filtre protecteur et indispensable de l'inconscient : ce serait trop difficile à accepter. Ce sera à l'analysant lui-même de le découvrir. Le psychanalyste est avant tout un psychologue, un ''honnête homme'', fin, intelligent, empathique, et surtout qui a déjà fait un travail sur lui-même, une analyse. Fermat n’était pas psychanalyste, il était avant tout un grand mathématicien, intrépide, et surtout l’''honnête homme'' par excellence. Il n’avait pas de patients, seulement des correspondants pas très patients. Très peu de ses lecteurs, comme Mersenne, Pascal, Frénicle, surent l’entendre. Il a agi avec les mathématiciens de son époque et ceux qui les suivraient à la manière d’un psychanalyste persévérant et sagace, qui aurait eu affaire à des cohortes de patients venus là sans même vraiment croire à la psychanalyse. Connaissant leur manque de confiance et surtout leurs lacunes, sans aucunement leur mâcher le travail, il devait leur fournir d'innombrables indices (souvent cachés), espérant qu’un jour un de ces mathématiciens sorte de son apathie, “s'allonge sur le divan” et puisse entendre quelques mots-clefs. Déjà en 1637 quand Fermat fait parvenir à Marin Mersenne sa méthode de recherche des ''maxima et'' ''minima'', il ne prend pas le temps tout d'abord d'exposer les arguments qu'il utilise. Ce n'est qu'à la demande de Mersenne qu'il les fournira, bien volontiers cependant. Avec cette découverte, le premier coup de génie que l'on connaît de Fermat, on prend déjà conscience de la formidable intuition dont il était capable. Maryvonne Spiesser, mathématicienne, historienne, maître de conférences honoraire, précise à propos de cette méthode : <span style="color:blue">''« Il faut lire le texte de Fermat en “oubliant” nos mathématiques actuelles, notamment l'idée de limite [...]. »''</span> J'adhère complètement à cette idée. Mieux, cette conception est à mon sens le seul moyen d'accès (<span style="color:blue">''en “oubliant” nos mathématiques actuelles)''</span> à une compréhension complète de la preuve de Fermat. Je sais aussi qu'il y faut confiance et persévérance, ''humilité'' et audace hors normes, Pythagore n'est pas loin. Et si vous pensiez qu'un axiome pourrait vous gêner, alors cherchez à côté, la petite voie. Se libérer de tout préjugé, de toute arrogance. <blockquote>''« <span style="color:blue">La qualité essentielle d’une démonstration est de forcer à croire, de sorte que ceux qui ne sentent pas cette force, ne sentent pas la demonstration même, c’est à dire, qu’ils ne l’entendent pas. […] » </span>'' Pierre de Fermat</blockquote> Était-il facile pour les mathématiciens qui sont venus après lui, s'habituant de plus en plus à lire des calculs complexes, d’imaginer, même à la vue de deux étranges anomalies dans 2 des 3 éditions de l'''Arithmetica'', qu'il faille cherche (dans la note elle-même !) des indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Au dix-septième siècle, les mathématiciens professionnels étant rares, les ouvrages mathématiques avaient un public restreint et il était difficile de trouver un éditeur acceptant de s’engager. Il est donc probable que Samuel a été contraint de publier l’''Arithmetica'' à compte d’auteur, possiblement en une cinquantaine d’exemplaires, en tous cas guère plus d’une centaine d’après nos sources. Une option beaucoup plus économique, plus simple et rapide, aurait été de publier un opuscule contenant les 48 observations de son père auxquelles ce dernier aurait ajouté de très courtes démonstrations, très condensées, voire très elliptiques. Mais sont-ce là les manières de ce pédagogue ? Jamais jusqu’à sa mort le magicien des nombres n’a mâché le travail de quiconque, aurait-il été digne – surtout après qu’il ait été lâché par tous – de leur livrer ''toutes'' ses découvertes ? L’insertion des 48 observations aux endroits appropriés de l’''Arithmetica'' laissera facilement penser au lecteur non averti que Fermat avait écrit de ''très longues'' observations dans les marges. La question : « ''Pourquoi Samuel n'a-t-il pas conservé l’exemplaire d’une valeur désormais inestimable que possédait son père ? »'' trouve ici sa réponse. Citons Fermat à propos de son “OBSERVATIO D.P. F. n° XVIII” ([[w:Théorème des nombres polygonaux de Fermat|théorème des nombres polygonaux de Fermat]]) : ''« Je ne puis ici donner la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. »''. Comme pour tous ses autres théorèmes (sauf un) qui plus tard furent tous démontrés, il ne livre pas sa démonstration à Digby. Il faudra attendre 175 ans pour en avoir la preuve complète par Cauchy en 1813, après que Lagrange en eût démontré une partie. Fermat écrit à Mersenne qu’''en aucun cas il ne recherche la gloire.'' De son vivant en effet cette recherche de gloire, alors qu'il excelle dans la magistrature, aurait été très préjudiciable à sa carrière. C'est l'époque troublée de Richelieu, de Mazarin, des mousquetaires du Roy, l'époque aussi des tensions entre catholiques et protestants, or sa charge de magistrat lui imposait de rester très discret. Notre thèse est qu’il était parfaitement conscient que les mathématiciens qui viendraient après lui, n’ayant aucune idée de la façon dont il s’y était pris pour prouver son théorème, seraient nombreux à ‘’botter en touche’’ (« Il n’a pas pu trouver, c’est impossible, ou alors il s’est trompé [à nouveau, comme pour sa fausse conjecture...] »). Ici encore on retrouve l’esprit facétieux de Fermat, non il ne souhaite pas la gloire de son vivant, mais puisque tous les autres mathématiciens, l'un après l'autre, l’ont lâché, il ne lui reste qu’une solution, faire en sorte que ses plus puissants défis deviennent célèbres ''afin qu’on les étudie, pour que la science progresse.'' La gloire oui, mais seulement après la mort. Vers 1800 on pouvait vérifier le grand théorème pour les valeurs de ''n'' égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat restant à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, développant la théorie des nombres complexes idéaux, qui allait devenir un outil très important de l’algèbre. Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100 et profite de l'occasion pour parler du théorème de Fermat comme d’« une simple curiosité ». C’est une nouvelle grande avancée qui, même très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Le pli est pris, et on abandonne définitivement la recherche arithmétique pure pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour une nouvelle mathématique. Désormais on va donc se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, ces nombres complexes idéaux, qui vont aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout, ''on doute encore plus que Fermat ait pu démontrer son théorème.'' Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisent de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontrent le théorème pour des cas particuliers, personne ne songera à examiner de près l'observation originale. On n'aurait jamais pensé que seule une traduction exacte pouvait indiquer de quelle façon aborder le problème. Il paraît donc logique que ce soit un amateur (Roland Franquart), qui soit allé voir directement à la source pour étudier la note écrite en latin et mettre en évidence tous les codages de Fermat. Les mathématiciens ont manqué de confiance, d'humilité et d'audace à la fois. Connaissant l'esprit facétieux de Fermat ils ne se sont pourtant pas interrogés sur la raison qu'il avait pu avoir – lui un Français, qui s'adresse quand même d'abord à des Français – de rédiger son observation la plus importante en latin. Comme nous l'avons déjà noté ils étaient si obnubilés par le théorème en lui même – bluffés aussi par une formulation bravache – qu'ils n'ont jamais pensé à s'adresser à un latiniste professionnel afin de pouvoir disposer d'une traduction rigoureuse. Ni même à se fier à la traduction officielle d'Émile Brassinne, exacte à un terme près. Il est vrai que cette traduction fut relativement tardive (1853), longtemps après la parution de l’''Arithmetica'', et déjà Kummer était passé par là. Depuis que l’''Arithmetica'' de 1670 a été éditée, on ne peut douter que des mathématiciens (français, anglais, allemands…) aient lu l’o''bservation'' dans l’une des deux versions ‘’arrangées’’ (''detex<big>'''ṡ'''</big>'''''<u>.</u>''' ou ''de'''<u>t</u>'''exi'''<u>.</u>'''''). Mais est-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations, d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie, qu'il faille chercher d'autres anomalies ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies. Ensuite, alors que les scientifiques utilisaient de moins en moins le latin et qu'ils démontraient le théorème pour des cas particuliers, on ne songea pas davantage à faire traduire correctement la note, puisque Fermat « a dû se tromper » à moins qu'il se fiche de nous tout simplement, et de toute façon il ne disposait pas des bons outils puisqu'il n'avait que les siens... . Fermat espérait-il qu'un jour, un lecteur ait sous les yeux les deux éditions de l’''Arithmetica'' de 1670 ‘’trafiquées‘’ et se pose quelques questions ? En tout cas avec trois versions différentes de l’''Arithmetica'' il donnait à sa stratégie une chance d’aboutir pour ceux qui n'auraient pas pensé à la piste du triangle arithmétique (ou pas réussi à l'exploiter). Une seule édition ‘’trafiquée‘’ a suffi à Roland Franquart pour mettre à jour le cryptage, je lui suis reconnaissant d'avoir en 2009 rendues publiques ses découvertes. Quand Fermat écrit qu’il a ''assurément'' ''dévoilé'' une démonstration étonnante (ou admirable), on aurait pu penser que cette démonstration était inhabituelle. Si la présence de codages est évidente, son explication sibylline est loin d’être entièrement accessible à des mathématiciens du vingt-et-unième siècle – quand ils veulent bien y réfléchir sans ''a priori''. ''A contrario'', se conformer à la pensée dominante est confortable, qui évite de se prononcer et de se sentir à l’écart de la caste. Les observations que Samuel de Fermat a insérées dans le Diophante sont rédigées dans un style irréprochable et les deux bizarreries sur le même mot dans 2 des 3 versions de l'''Arithmetica'' sont à l'évidence volontaires, mais les se fondent avant tout sur des calculs explicitement rapportés, et généralement sur des faits précis. En outre ils sont très rarement latinistes. En 1995, dans son ouvrage ''Un théorème de Fermat et ses lecteurs'', Catherine Goldstein se montre bien plus fine que les contempteurs : ''« Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. »'' (page 120 du livre, note 7). Par ses progrès technologiques et son manque de foi, l'Humanité est devenue de plus en plus orgueilleuse, elle se croit auto-suffisante. Le corollaire le plus pervers de cet orgueil est le pessimisme (individuel et sociétal) qui à son tour nourrit l'orgueil. Ce pessimisme nous éloigne des idées les plus simples, les seules réellement efficaces. Et les orgueilleux pessimistes font florès. Avez-vous remarqué aussi combien, depuis la découverte de Wiles, même les amateurs aiment se rassurer sur internet en le citant pour se dire que, finalement, ils n'ont rien manqué ? == De quelle façon Fermat a-t-il pensé à crypter sa note ? == Nous pouvons maintenant tenter de répondre à cette question. On notera que dans la première partie il reprend les cas n=3 et n=4 avec lesquels il avait déjà défié ses correspondants respectivement 12 et 4 fois, et dont on sait qu’il les a démontrés, même s’il nous a fourni la démonstration du seul cas n=4, et encore, ''seulement en filigrane,'' dans l'unique théorème qu’il a complètement explicité. Pour énoncer son théorème il aurait donc pu se passer de cette première partie de l’énoncé : « ''Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini »'', et ne garder que ce qui concerne le théorème lui-même : ''« Aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux puissances du même nom, [ce dont j’ai assurément dévoilé l'explication admirable]. »'' Il aurait pu aussi se passer de la coquetterie qu’il utilise dans des formulations voisines pour d’autres observations : ''« La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »'' Mais seule la formulation complète autorise le cryptage. Voici comment on peut voir les choses, en adoptant la thèse que la preuve est basée sur l’exploitation du ‘’triangle de Pascal’’. Dans la première ligne, en commençant par écrire "mais que ce soit un cube" (''C^Vbum a<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>em'') il trouve un premier couple de lettres ''<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>''. Ensuite il peut facilement insérer un deuxième ''<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>'', puis un premier ''<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>'' : « ''in duos cubos, a<span style="color:blue">'''u'''</span><span style="color:red">'''t'''</span>em quadratoquadra<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m in duos quadratoquadratos'' ''& generaliter'' ''[...]''. Cette formulation lui permet aussi de livrer l’indice ''« C^Vbum ».'' Puis en introduisant d'abord la notion d’infini : ''« & <u>generaliter nullam in infini<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m</u> vltra quadra<span style="color:red">'''t'''</span><span style="color:blue">'''u'''</span>m potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere »'' il peut placer deux autres <span style="color:red">'''''t'''''</span><span style="color:blue">'''''u'''''</span> (reportez-vous au site de Roland Franquart, au milieu de sa [http://franquart.fr/Revelation_DTF.html cette page] où l’on voit qu’en entrelaçant les '''''t''''' et les '''''u''''' on mettra à jour un tissage qu'on pourra exploiter dans le triangle de Pascal. Même si Fermat a vraiment tout fait pour réaliser ce fabuleux codage, on ne peut s'empêcher de penser : ''« Il a quand-même eu une chance extraordinaire, pour que'' tout “colle” aussi parfaitement. » Oui en effet, mais ''la chance sourit aux audacieux.'' Oui mais quand même... Oui mais voilà, Fermat était ''très'' audacieux. En ce 27 juillet 2022, je me dis que si Roland Franquart ne s'était pas intéressé à Fermat et à cette note en particulier, la preuve n'aurait certainement jamais été retrouvée. Fermat a eu encore une fois beaucoup de chance. Quant à moi j'ai eu le privilège insigne, de rencontrer Roland Franquart d'abord, ensuite Catherine Goldstein sur Wikipédia. Poursuivre et compléter l'étude de R. Franquart a été une aventure formidable, c'est une des meilleures choses qui me soient arrivées. Vous faire ressentir mon bonheur est chose impossible, je ne peux non plus vous partager ce qui m'a fait autant m'intéresser à Pierre de Fermat, je ne peux que vous dire que ma vie m'avait exactement préparé à m'intéresser de très très près, dès 1998 je crois, à cette énigme formidable. == Fermat et la publication == S'il a fait connaître par courrier quelques uns de ses courts traités manuscrits, la plupart consacrés à la géométrie, il n'a jamais rien publié sous son nom. Fin 1652, une épidémie de peste sévit dans le Sud-Est de la France. Comme beaucoup il est atteint mais il en réchappe. Si Fermat est parfaitement conscient de sa valeur, de l'avis de ceux qui le connaissent il est fort modeste. Quand il meurt le 12 janvier 1665 on grave dans le marbre de sa tombe une épitaphe se terminant par ''« Vis scire quiddam quod juvet ? nesciri ama. »'' ('''''« Veux-tu savoir ce qui est utile ? Sache être ignoré »)'''''. En 1659 il tente ''apparemment'' de faire publier ses travaux en sollicitant la contribution active de Carcavi et de Pascal, à leur charge de tout mettre en ordre dans ses écrits et de trouver un éditeur. Il leur précise que l’ouvrage ne devra pas porter pas son nom : 9 août, 1654 très certainement (1659 d'après une autre source). Lettre de M. FERMAT<br> ''À M. DE CARCAVI'' Monsieur, ''J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de M. Pascal ; car j'estime infiniment son génie et je le crois très capable de venir à bout de tout ce qu’il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre m'est si chère et si considérable, que je crois ne devoir point faire difficulté d'en faire quelque usage en l'impression de mes Traités. Si cela ne vous choquait point, vous pourriez tous deux procurer cette impression, de laquelle je consens que vous soyez les maîtres ; vous pourriez éclaircir, ou augmenter, ce qui semble trop concis, & me décharger d'un soin que mes occupations m'empêchent de prendre. Je désire même que cet Ouvrage paraisse sans mon nom, vous remettant, à cela près, le choix de toutes les désignations qui pourront marquer le nom de l'auteur, que vous qualifierez votre ami. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde partie, qui contiendra mes inventions pour les nombres. C'est un travail qui n'est encore qu'une idée, & que je n'aurais pas le loisir de coucher au long sur le papier mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes principes et mes premières démonstrations, de quoi je vous réponds à l'avance qu'il tirera des choses non seulement nouvelles & jusqu'ici inconnues, mais encore surprenantes. Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et s'achever dans peu de temps, et cependant on pourra mettre au jour la première partie, que vous avez en votre pouvoir. Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée sur la grande estime que je fais de son génie, de son savoir & de son esprit, je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions numériques. Adieu, je suis, Monsieur, votre…'' Cette lettre cavalière interroge. A-t-il réellement pensé que Pascal accepterait de s'atteler à la mise en forme de toutes ses découvertes sur la théorie des nombres, travail qui lui aurait pris beaucoup de temps et d'énergie ? Ou bien, n'a-t-il jamais eu l'intention de faire publier toutes ses démonstrations ? À ses yeux ses découvertes ne furent pas appréciées à leur juste valeur et le « ''livre important »'' qu'il disait vouloir consacrer à l'arithmétique ne sera jamais publié, du moins sous la forme que le public aurait souhaité. Sa contribution à la théorie des nombres sera connue par sa correspondance et surtout par ses 48 fameuses o''bservations'' où il aura mis toute son application, et que Samuel, chargé par son père d'en assurer la publication ''après sa mort'' (c'est notre thèse) insérera dans l'''Arithmetica'' de Diophante. Est-ce après avoir découvert la preuve de son grand théorème, et trouvé le moyen de coder son explication, qu'il eut l'idée de consigner toutes ces observations sans démonstration ? == Balises == '''Historique des principales étapes de cette recherche''' – 1998 (environ). Une amie étudiante en mathématiques me conseille la lecture de l’ouvrage de vulgarisation de Simon Singh sur le grand théorème. Moi qui adore les grandes énigmes je suis servi ! Au fil des années je relis des passages du livre, j’y médite régulièrement avec la forte intuition, la quasi-certitude même, que Fermat avait bien sa preuve. Car je ne le vois ni comme un menteur, ni comme un distrait, ni comme un pur vantard mais comme l’immense génie qu’il est, encensé en outre par Blaise Pascal. Jamais je n’aurais pensé recevoir un jour (2009) un message d’un wikipédien me montrant que Fermat avait encodé sa note en latin. <br> – 2009. Je lis la fiche Wikipédia consacrée au théorème et découvre stupéfait combien elle est à charge. C’est à cette même époque que Roland Franquart me contacte.<br> – 2009 ou 2010. En faisant une recherche internet avec les mots-clés ‘’Fermat’’ ‘’latin médiéval’’, je découvre l’existence du très bel article de Ludivine Goupillaud ''“Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat”''. Avec R.F. nous commençons à travailler sur un site dédié où une doctorante nous a rejoints.<br> – En 2013 j’édite sur la fiche Wikipédia du théorème (37% environ du texte total). Surtout, j’essaie de travailler à rendre l’«article» un minimum objectif, sans autre résultat que de constater que les ''« suiveurs de suiveurs »'' continueront toujours de se suivre les uns les autres. Mes premières réflexions et analyses historiographiques datent de cette époque.<br> – 2017. Création sur Wordpress de mon site personnel.<br> – 2017. Après des heures et des heures passées sur le net à chercher, quasiment sans espoir mais pourtant avec obstination, une troisième version de l’''Arithmetica'' où aurait figuré un troisième mode d’écriture du mot ‘’detexi’’, je découvre stupéfait sur l'édition de l'Université de Rome cette écriture étrange du mot : “'''detexṡ'''”. Je suis assommé par cette découverte et trop concerné personnellement j’ai ''du mal à y croire'' (« quelle mouche a piqué Fermat avec cette énorme anomalie, incongrue et très visible ? »). Sur le moment j'occulte le fait qu’à son époque sans internet, Fermat ne pouvait imaginer pas que quelqu’un pourrait trouver plus tard 3 éditions différentes ''relativement facilement.'' Je suis tellement sidéré, aveuglé même par cette découverte, qu’il s’écoule 18 mois avant que je lui donne tout son sens (février 2019). J’avais d’abord imaginé qu’il avait choisi d’écrire ‘’detexis’’ parce que c’était l’anagramme « d existe » (= ma preuve existe bel et bien) mais je n'étais pas satisfait. Ce n’est qu’au bout de ces 18 mois qu’enfin ! j'ai pensé au latin, en décomposant le graphème '''''ṡ''''' en un '''''s''''' et en un '''''i''''' on trouve '''''detexis''''', qui se traduit littéralement par '''''« tu tisses complètement »'''''. Ce qui rejoint et conforte une découverte qu’avait faite R. Franquart à partir d’un indice figurant dans une autre version de l’''Arithmetica'' (celle de Lyon) qui lui avait fait trouver ces mots après un savant décryptage : '''''« j’ai complètement tissé »'''''.<br> – 2019, janvier. Connaissant très mal l’espace ‘’Recherches’’ j'écris les premiers mots de cette étude… sur ma ''Page Utilisateur''.<br> – 2019, décembre. Ma plus jolie trouvaille à mon sens (il m'a quand même fallu 10 ans) est d'avoir trouvé à propos des ''Nombres de la forme 2^2ⁿ+1'' qu’une lecture «'' très subtile et très ingénieuse »'' de la formulation de la ''«question»'' révèle le magistral coup de bluff de Fermat : il savait pertinemment que sa conjecture était fausse, mais en formulant sa « ''question négative »'' d'une façon ambigüe il bernera ses contempteurs les plus acharnés de la meilleure des manières : ils se persuaderont que Fermat s'était trompé avec cette fausse conjecture, et donc qu'il devait aussi s'être trompé en prétendant avoir trouvé une preuve à son Grand théorème. Ma petite trouvaille porte je crois un coup sévère à leur plus puissant argument.<br> – 2021, août. L’étude est terminée, j’y reviens de temps à autre pour quelques relectures ou brefs ajouts. * 4/4 : [[Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible/La légende urbaine]] == Références == <references responsive /> [[Catégorie:Recherches de la faculté philosophie]] [[Catégorie:Recherches de la faculté mathématiques]] [[Catégorie:Travail de recherche « Histoire des sciences »]] t0w6fh2erb0znml7uodcacx5a5k1n5v 4 80043 881556 881550 2022-08-23T13:09:24Z JackPotte 2411 Révocation des modifications de [[Special:Contributions/200.113.196.45|200.113.196.45]] ([[User talk:200.113.196.45|discussion]]) vers la dernière version créée par [[User:Crochet.david|Crochet.david]] wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/En-tête}}</noinclude> == Dibor dit :il y a 10ans j'avais la moitié de l'âge que j'aurais dans 10ans. == Quel est l'âge de dibor :Bonsoir à vous aussi... Attention, les demandes de ce type ne se font pas sur cette page, mais sur la page de discussion du chapitre correspondant (ou alors, prenez contact avec un des référents de la leçon ; cf. liste en page d'accueil de cette leçon). --[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] ([[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|discuter]]) 4 mars 2022 à 19:21 (UTC) :Dibor a 30 ans , ce qui fait 40 ans dans 10 ans , 40 ans ans qui est la moitié de 20 , l'âge qu'il avait il y a 10 ans [[Utilisateur:Steph ak|Steph ak]] ([[Discussion utilisateur:Steph ak|discuter]]) 11 mai 2022 à 23:51 (UTC) == Recherche des livres biologique == Recherche des livres biologique == Liste de capitales de l'Europe de l'est == Il y a pas de liste de seulement les capitales de l'Europe de l'est. {{non signé|2A04:CEC0:1101:A93E:0:4C:F38C:D601}} :Peut-être parce qu'il n'y a pas de définition unique des pays constituant l' « Europe de l'Est ». [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 11 août 2022 à 16:23 (UTC) 3tllojhtaaza0n117jvz3xf352ixyew 4 80727 881555 881378 2022-08-23T12:14:14Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2022-08-21T23:24:54Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul|5000}} résultat{{PLURAL:5000||s}} au maximum {{PLURAL:5000|est|sont}} disponible{{PLURAL:5000||s}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! 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[[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,22,0 AdvancedContribs,42,0 AncreTitres,27,1 Barre de luxe,44,2 CoinsArrondis,91,0 DeluxeHistory,113,3 EditZeroth,2,0 FastRevert,30,3 FlecheHaut,47,2 HotCats,88,2 JavascriptHeadings,17,1 LeftPaneSwitch,2,1 LiveRC,26,0 OngletGoogle,23,2 OngletPurge,97,7 OptimizedSuivi,16,0 Popups,36,0 RenommageCategorie,26,2 ResizeGalleries,78,1 RestaurationDeluxe,45,1 ResumeDeluxe,107,1 RevertDiff,25,1 SisterProjects,25,0 Smart patrol,4,2 ZoomOnThumb,28,1 monBrouillon,37,3 recentchangesbox,9,0 searchFocus,16,0 searchbox,27,1 social-networks,10,2 --> jtnk3g1sff5gn7h01zhw02c8exe0btm 0 80796 881558 2022-08-23T13:25:17Z JackPotte 2411 JackPotte a déplacé la page [[Le monde homérique: produit de l'imagination ou réalité historique ?/Iliade et Odyssée: histoire d'un texte]] vers [[Le monde homérique : produit de l'imagination ou réalité historique ?/Iliade et Odyssée : histoire d'un texte]] : typo wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Le 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