Orgue/Histoire

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  | idfaculté = musique
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  | suivant   = [[../Introduction/]]
  | niveau    = novice
}}{{ébauche musique}}Des premières machines à vent au grand orgue symphonique du XX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle, il ne fait aucun doute que cet instrument connaît une longue évolution. Du jamais vu dans l'histoire de l'organologie ! Pourtant, dès le XVI&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle, toutes les connaissances étaient déjà présentes.

== Premiers instruments  ==
[[File:Schéma Hydraule.gif|droite|374px|Schéma d'un orgue hydraulique à deux pompes.]]
Au III&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle à Alexandrie, en Égypte, Ktesibios&lt;ref&gt;{{Ouvrage|langue=|auteur1=|nom1=Michels, Ulrich.|nom2=Gribenski, Jean, (1944- ...).,|nom3=Léothaud, Gilles,|titre=Guide illustré de la musique|tome=I|passage=179|lieu=|éditeur=A. Fayard|date=1988-1990|pages totales=284|isbn=2-213-02189-9|isbn2=978-2-213-02189-8|isbn3=2-213-02373-5|oclc=490157037|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/490157037|consulté le=2020-11-11}}&lt;/ref&gt; (ou [[w:Ctésibios|Ctésibios]]) invente un instrument, l''''hydraule''' présentant une pression stable apportant un vent important à des tuyaux à [[w:Anche|anches]] très bruyants. Il semblerait que certains de ces instruments aient été munis d'un mécanisme permettant un fonctionnement automatique, mais aucune source ne le prouve. 

Les modèles romains possédaient trois rangées de tuyaux actionnées par des registres et et des touches. Deux pompes amenaient l'air. Pour équilibrer la pression, le niveau d'eau baissait dans la cuve intérieure (donc augmentait dans la cuve extérieure) puis remontait créant ainsi une pression d'air constante.

L'instrument étant très fort et puissant, il était employé dans les amphithéâtres et pouvait couvrir le bruit de la foule&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Pierre Rochas|auteur2=Michel Colin|titre=Le Petit Dictionnaire de L'orgue illustré|passage=7|lieu=Arles|éditeur=Harmonia Mundi|collection=Passerelles : voyage au cœur de la musique|date=1997|pages totales=49|isbn=|lire en ligne=https://www.worldcat.org/title/petit-dictionnaire-de-lorgue-illustre/oclc/799486928&amp;referer=brief_results}}&lt;/ref&gt;. Il aurait également existé un instrument plus discret conçu selon le même principe, utilisant des tuyaux flutés. Il aurait été employé dans les banquets.

Au VIII&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt;-IX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle, l'empereur byzantin Constantin V offre un orgue hydraulique à Pépin le Bref et Charlemagne&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Ouvrage|langue=|auteur1=|nom1=Michels, Ulrich.|nom2=Gribenski, Jean, (1944- ...).,|nom3=Léothaud, Gilles,|titre=Guide illustré de la musique|tome=I|passage=59|lieu=|éditeur=A. Fayard|date=1988-1990|pages totales=284|isbn=2-213-02189-9|isbn2=978-2-213-02189-8|isbn3=2-213-02373-5|oclc=490157037|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/490157037|consulté le=2020-11-11}}&lt;/ref&gt; sous le nom d''''organum'''&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; (à noter que le terme organum s'applique également à une forme primitive de polyphonie vocale durant le Moyen Âge).

== Du petit vers le grand orgue ==
[[Fichier:Portativ.jpg|gauche|360px|Reconstitution d'un orgue portatif.]]

=== L'orgue portatif ===
Les premiers orgues d'église étaient à Aix-la-Chapelle (812), Strasbourg (IX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; s.) et Winchester (X&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; s.)&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;. Mais il faut attendre le XII&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; s. pour voir les premiers orgues portatifs utilisés pour la liturgie. Il peut être porté, le clavier à la main droite et le soufflet à la main gauche, mais grandit rapidement et nécessite une personne pour actionner les soufflets. Il est donc possible d'utiliser le clavier à deux mains. Sa fonction principale est d'accompagner le chant.

Nota Bene : Il n'était pas autoriser d'utiliser un instrument sur le plain-chant, seul l'orgue et le serpent (ancêtre du tuba) parvinrent.

=== L'orgue positif ===
À force de grandir, il n'était plus possible de laisser l'instrument sur une table et devint vite plus lourd, dans un meuble et fixe au lieu. Pour des questions d'acoustique et de préservation, il sera le plus souvent installé sur une petite tribune. Soutenant toujours le chant, l'ajout de registrations et l'augmentation de l'amplitude du clavier permettra le début de premières œuvres purement instrumentales. Il apparaît au XII&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; s. et verra son apogée au XV&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt;s. Il est souvent munis d'un clavier et rarement d'un pédalier d'une octave au moins. Il contient quelques registrations plutôt à bouche et sera utilisé dans la [[Musique Baroque|musique baroque]] comme basse continue avec le clavecin.


=== Le grand-orgue ===
En parallèle se développe sur les tribunes des Instruments démesurés avec des tuyaux jouant une octave voir deux en dessous (16' et 32'), et d'autre jouant les harmonique de sa fondamentale (8'). C'est le début de la fourniture (ou le plein-jeu) pouvant atteindre 10 voir 50 tuyaux pour une touche. Ces instruments demande une quantité d'air importante et requiert plusieurs soufflets donc plusieurs souffleurs.
[[Fichier:Syntagma musicum025.gif|vignette|354px|Claviers de l'orgue d'Alberstadt selon Praetorius]]
Anecdote: Les souffleurs étaient souvent des sans-abris et alcooliques trouvés sur la voie publique. Ainsi, plusieurs &quot;cadavres&quot; de bouteille on été retrouvé au niveau des soufflets dans les très vieux orgues.

Les claviers modernes n'existaient pas. Ceux-ci ressemblaient a des palettes larges actionnées soit par les poing ou par les pieds. Ce système est proche des carillons.

Peux après, le positif et le grand-orgue occupe la même tribune et les claviers sont réunis pour être joué que par un seul organiste. Les différents plans sonores se précisent et encore aujourd'hui ces dénominations sont restés.


== L'orgue baroque ==
Au XVII&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; s., les facteurs commença à décorer richement les buffets et à multiplier les jeux spéciaux tels que le cornet V, le chalumeau, etc. Des spécificités et des caractéristiques liées à des régions vont apparaître.

En Allemagne du Nord, Arp Schnitger (1648-1719) amène l'orgue du nord à son apogée (Norddeutsche Orgelschule), de même avec Gottfried Silbermann (1683-1753)&lt;ref&gt;{{Ouvrage|langue=|auteur1=|nom1=Honegger, Marc.|titre=Dictionnaire de la musique : tome 2, Les Hommes et leurs œuvres.|passage=1042|lieu=|éditeur=Bordas|date=1979|pages totales=|isbn=2-04-010721-5|isbn2=2-04-010726-6|isbn3=978-2-04-010726-0|oclc=8206111|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/8206111|consulté le=2020-11-11}}&lt;/ref&gt; en Allemagne du centre. L'école de l'Allemagne méridionale s'inspire de l'orgue italien mais on distingue trois familles, les Gabler, les Riepp et les Holzhey&lt;ref&gt;{{Lien web|langue=Anglais|format=pdf|auteur1=Michael Barone|titre=Historic Organs of Southern Germany &amp; Northern Switzerland|url=https://pipedreams.publicradio.org/events/tours/germany_2006/eurotour2006.pdf|site=pipedreams.publicradio.org|date=28 avril 2006|consulté le=|page=1}}&lt;/ref&gt;. À savoir que l'école du nord et centrale sont associés à la fois protestante tandis que l'école méridionale est resté catholique.

En France, nous pouvons citer François-Henri Clicquot (1732-1790).

Bien sûr, chaque école ont leurs différences et chacune sera étudiée ultérieurement.

== L'orgue romantique et symphonique ==
{{Bas de page
  | idfaculté = musique
  | précédent = [[../|Sommaire]]
  | suivant   = [[../Introduction/]]
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    <title>Wikiversité:La salle café/juin 2026</title>
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== Actualités techniques n° 2026-23 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience]] mène une expérience pour montrer la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|listes de lecture]], qui est encore en développement, aux lecteurs non connectés sur mobile afin de tester si elle encourage la création de compte à un rythme plus élevé que le bouton watchstar. L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|expérience]] a été lancée le 18 mai sur les wikis en allemand, espagnol, italien, portugais, polonais, néerlandais, turc et ourdou, et elle durera un mois.
* L'équipe Wikimedia Apps a publié la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] du flux d'accueil repensé pour l'application Android Beta. Le nouveau flux d'accueil comprend un onglet « Communauté » actualisé et un onglet « Pour vous » personnalisé contenant des recommandations de lecture mises à jour quotidiennement. La refonte fait partie d'un effort plus large visant à améliorer la découverte de contenu et à créer des expériences d'apprentissage plus engageantes dans les applications Wikipédia.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les images pouvaient ne pas se charger pour certaines modifications suggérées sur [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], laissant la vignette bloquée dans un état de chargement, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W23&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 1 juin 2026 à 21:08 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30613639 --&gt;

== De nouveau au sujet des problèmes techniques de la salle café ==

Bonjour. Je découvre que les problèmes technique que je rencontre dans l'usage du système conversationnelle qui permet de répondre à un sujet en cliquant sur &quot; répondre&quot; et en profitant d'un éditeur visuel fonctionne parfaitement quand j'utilise mon smartphone, comme je le fais à l'instant.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:43 (UTC)

Par contre, toujours avec mon smartphone, si je lui demande d'afficher la version de la page pour ordinateur, je me retrouve à nouveau obliger d'utiliser le wikicode. Est-ce que cela pourrait aider à identifier le problème qui reste non résolut ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 8 juin 2026 à 11:46 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-24 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Wikimedia Entreprise a relevé les limites d’utilisation gratuite de ses API. La limite mensuelle de requêtes pour l’API « à la demande » (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;On-demand&lt;/i&gt;) est passée de {{formatnum:5000}} à {{formatnum:50000}} requêtes, tandis que celle de l’API des instantanés (&lt;i lang=&quot;en&quot;&gt;Snapshot&lt;/i&gt;) est passée de 15 à 30 requêtes par mois. De plus, les instantanés de contenus structurés sont désormais accessibles aux comptes gratuits. Ces changements élargissent l’accès aux données de Wikimedia Entreprise pour les développeurs et développeuses, les chercheurs et chercheuses et les organisations qui utilisent les contenus Wikimédia. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api]

'''Actualités pour la contribution'''
* La [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|nouvelle version du Fil d’exploration]], désormais appelé « Fil d’accueil », est en cours de déploiement auprès de 50 % des utilisateurs de l’application Wikipédia pour Android. Le fil d’accueil aide le lectorat à découvrir du contenu pertinent grâce à deux nouveaux onglets : « Communauté » et « Pour vous ». L’onglet « Communauté » propose un flux défilant de contenus sélectionnés et d’actualités provenant de l’ensemble de la communauté et du mouvement Wikimédia, tandis que l’onglet « Pour vous » offre une expérience en plein écran et par glissement qui présente des contenus adaptés aux centres d’intérêt de l’utilisateur ou utilisatrice. Cette refonte s’inscrit dans le cadre d’un travail en cours visant à améliorer la découverte et à enrichir l’expérience d’apprentissage au sein de l’application Wikipédia.
* Le jeu-questionnaire quotidien [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/&quot;Which came first?&quot; Game|Qu’est-ce qui est arrivé en premier ?]] est désormais disponible dans la version bêta de l’application Wikipédia pour iOS en anglais, allemand, français, portugais, russe, espagnol, arabe, chinois et turc. Le jeu s’appuie sur des événements historiques tirés de la rubrique « Éphéméride » de Wikipédia et met les lecteurs au défi de deviner lequel des deux événements s’est produit en premier. Le jeu avait déjà été lancé sur Android. Les communautés souhaitant rendre le jeu disponible dans leur langue peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|consulter les instructions et les conditions requises]].
* [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Les sous-références]], une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki permettant aux contributeurs de réutiliser des références avec des détails différents, va commencer à être déployée sur les wikis Wikimédia après une phase pilote réussie. Le déploiement débutera le 8 juin pour la plupart des [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|wikis du groupe 1]] et Wikipédia en français, puis d'autres éditions linguistiques de Wikipédia bénéficieront de cette fonctionnalité au cours des prochains mois. Les communautés sont invitées à se préparer en vérifiant s’il existe des [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-cite&amp;language=en&amp;action_source=search&amp;filter=%21translated&amp;optional=1&amp;action=translate messages non traduits de l’extension Cite] dans leur langue et en passant en revue toute utilisation de l’outil [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Infobulles des références]], qui pourraient nécessiter des [[:phab:T416304#11668731|mises à jour]] pour prendre en charge la nouvelle fonctionnalité. Les wikis utilisant les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|aperçus de référence]] n’ont aucune action à entreprendre. Les communautés peuvent également créer la [[Special:TrackingCategories|catégorie de suivi]] ''cite-tracking-category-ref-details'' en tant que catégorie cachée à l’aide de &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__HIDDENCAT__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; (ou d’un modèle dédié), et la relier à l’élément Wikidata correspondant [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662]
* L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|expérience d'Aperçus de page]] sur le Web mobile a pris fin. L'équipe a décidé de ne pas déployer cette fonctionnalité après que les résultats ont montré qu'elle n'avait pas d'impact statistiquement significatif sur la fidélisation des lecteurs, l'amélioration de la fidélisation étant le principal indicateur de réussite. Les « Aperçus de page », déjà disponibles sur ordinateur et dans les applications, affichent une vignette, le premier paragraphe et un lien vers l'article complet lorsque les lecteurs cliquent sur un lien bleu. L'expérience a testé cette fonctionnalité sur le Web mobile sur six versions de Wikipédia.
* La [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|bibliothèque d'icônes de l'interface utilisateur]] sera [[phab:T399175|mise à jour dans le courant de cette semaine ou la semaine prochaine]]. La plupart des quelque 300 icônes ont été légèrement peaufinées et une trentaine de nouvelles icônes ont été ajoutées. Ces modifications améliorent les icônes afin de les rendre plus cohérentes et plus compréhensibles, et d'offrir un meilleur équilibre visuel lorsqu'elles sont utilisées en groupe.
* L'interface [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Sélecteur universel de langue]] (ULS) de MediaWiki, qui aide les utilisateurs à sélectionner du contenu dans d'autres langues, a été mise à jour. La nouvelle version améliore la rapidité et l'accessibilité, et les utilisateurs des projets Wikimédia peuvent désormais épingler des langues pour changer de langue plus rapidement. Le déploiement sur les sites Wikimédia se fera progressivement au cours des prochaines semaines. Vous pouvez la tester dès maintenant en tant que fonctionnalité bêta en sélectionnant [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|les fonctionnalités bêta]] dans les préférences de votre profil et partager vos commentaires sur [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|la page du projet]]. 
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:21|la tâche soumise|les {{formatnum:21}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:21||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème du le tableau de bord d'analyse des pages vues sur pageviews.wmcloud.org qui a arrêté de mettre à jour les données graphiques en mai 2026, affectant tous les utilisateurs, a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La signature de la fonction &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été simplifiée. Les développeurs peuvent désormais passer un objet de configuration à la place d'une liste de paramètres positionnels lors de la création de liens vers des portlets. L'ancienne signature de la fonction reste prise en charge à des fins de compatibilité ascendante. Par exemple, au lieu de : &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, utilisez &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les responsables de la maintenance des scripts sont invités à passer en revue les utilisations existantes de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;addPortletLink()&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et à les mettre à jour si nécessaire. Cette modification sera disponible sur tous les wikis à partir du 11 juin. Merci à Gerges, bénévole de la communauté, d'avoir apporté cette amélioration. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945]
* '''Discussion sur la liste de souhaits de la communauté''': les [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|changements introduits]] par les équipes Produit et Technologie visent à augmenter le nombre et la complexité des souhaits exaucés, notamment par la dissolution de l'équipe Community Tech. Ils [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mènent actuellement des discussions]] sur une [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|orientation proposée pour la liste de souhaits]] émanant des membres de la communauté. Cela inclut des moyens de structurer le vote annuel, un meilleur suivi des souhaits, la suppression de certains domaines prioritaires et des [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|mises à jour concernant le personnel]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W24&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 8 juin 2026 à 21:30 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30650573 --&gt;

== Gestion des ébauches ==

Bonjour,

Je propose de fusionner les catégories suivantes :
* [[:Catégorie:Pas fini|Leçons pas finies]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 0|Leçons d'avancement 0]]
* [[:Catégorie:Leçons d'avancement 1|Leçons d'avancement 1]]
* [[:Catégorie:Ébauche|Ébauches]] (après avoir retiré les pages qui ne sont pas dans l'espace principal, c'est-à-dire avec préfixe)
* [[:Catégorie:En cours|Leçons en cours]]

L'idée est de lancer une sorte de moteur de recherche interne qui faciliterait et encouragerait la contribution au sein de Wikiversité, et qui s'appuierait donc sur une seule catégorie de recherche d'ébauches à développer.

Qu'en dites-vous ?

Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 14 juin 2026 à 13:32 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-25 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W25&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* L'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|équipe chargée de la croissance du lectorat]] a lancé une fonctionnalité bêta d'[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|exploration des images]] sur la version mobile de toutes les Wikipédias. Cette fonctionnalité affiche un carrousel d'images en haut des articles contenant au moins trois images. Les contributeurs peuvent configurer cette fonctionnalité à l'aide des commandes suivantes : pour masquer une image spécifique sur une page, utilisez soit &lt;code&gt;class=notpageimage&lt;/code&gt; pour l'exclure des aperçus miniatures, soit &lt;code&gt;class=noviewer&lt;/code&gt; pour l'exclure de MediaViewer. Le carrousel peut également être désactivé complètement sur une page à l'aide du mot magique &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Pour faire des retours ou signaler des bugs, rendez-vous sur la [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|page de discussion du projet]]. 
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class=&quot;wikitable&quot;|Wikitables]] peuvent désormais être [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|triées par ordre décroissant]] dès le premier clic en ajoutant &lt;code dir=ltr&gt;data-sort-order=&quot;desc&quot;&lt;/code&gt; à la cellule d'en-tête. Auparavant, par défaut, cliquer une première fois sur l'en-tête d'une colonne entraînait un tri par ordre croissant. Cette nouveauté offre davantage de contrôle et de flexibilité pour les Wikitables, tandis que le comportement par défaut pour les clics suivants reste inchangé. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416]

'''Actualités pour la contribution'''
* La fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Aide à la rédaction d'articles]] est actuellement en phase de test auprès de certains contributeurs qui créent de nouveaux articles sur les Wikipédias en anglais simplifié, en français et en turc. L'expérience débutera bientôt sur les Wikipédias en arabe et en bengali également. [[w:simple:Special:NewArticle|Cette fonctionnalité]] fournit aux contributeurs des conseils élaborés par la communauté afin de les aider à créer des articles conformes aux normes communautaires. Les contributeurs expérimentés peuvent continuer à créer ou à adapter des modèles pour des types d'articles spécifiques qui sont couramment créés par des contributeurs moins expérimentés. Ces modèles guident les contributeurs moins expérimentés dans la création d'articles de haute qualité. Un guide rapide des balises utilisées dans les modèles est disponible sur [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|cette page]]. [[w:fr:Projet:Aide à la rédaction d'articles#Liste de plans d'aide à la rédaction|Des exemples de modèles]] pouvant être adaptés, ainsi que des instructions sur la manière de les adapter, se trouvent dans [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|cette section]] de la page du projet.
* Les wikis qui souhaitent remplacer le bouton « indéfiniment » dans la page Special:Block pour les comptes temporaires (par exemple, les wikis qui bloquent les utilisateurs temporaires uniquement jusqu'à l'expiration de leur compte) pourront le faire en créant [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] avec la durée de blocage souhaitée. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]].

'''Actualités pour la contribution technique'''
* D'ici la fin du mois de juin, une chaîne « user-agent » valide sera requise pour les téléchargements automatisés de sauvegardes depuis le site dumps.wikimedia.org. Les requêtes automatisées fournissant une chaîne « user-agent » générique ou vide seront bloquées. Cette mesure [[phab:T400119|renforce l'application]] de la [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|politique relative à l'agent utilisateur]] en vigueur depuis longtemps. L'accès aux sauvegardes via Wikimedia Cloud Services restera inchangé.
* La mise en place des [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|limites de débit des API]] à l'échelle mondiale est désormais achevée ; ces limites s'appliquent à toutes les API et sont fixées aux niveaux indiqués dans la documentation pour tous les groupes. Les bots fonctionnant sur Toolforge/WMCS ou disposant du droit d'utilisateur « bot » sur n'importe quel wiki restent exemptés. Tous les bots doivent continuer à respecter les bonnes pratiques décrites dans la documentation afin d'éviter d'être soumis à des limites de débit.
* Le [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page wiki du portail API] sera en lecture seule à partir de cette semaine (du 15 au 18 juin). La semaine suivante (du 22 au 25 juin), toutes les URL du wiki du portail API redirigeront vers [[mw:Wikimedia APIs|les API Wikimedia sur mediawiki.org]]. Pour en savoir plus, consultez la [[wikitech:API Portal/Deprecation|page du projet]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]]

'''Rencontres et évènements'''
* Le 17 juin à 18 h (UTC), la WMF organisera une réunion sur Discord consacrée à la revue de code. L'[[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|enquête sur la satisfaction des développeurs]] nous a permis de constater que les bénévoles rencontrent des difficultés avec la revue de code, et nous souhaitons discuter de ces expériences afin de trouver des solutions concrètes. Vous pouvez rejoindre la réunion [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via le serveur Discord de la communauté Wikimedia].
* La [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Conférence Wikimedia d'Amérique latine]] organisera un hackathon régional qui réunira la communauté technique du mouvement Wikimedia, notamment des développeurs, des administrateurs système, des data scientists et des utilisateurs disposant de droits étendus. Les contributeurs techniques intéressés peuvent [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform postuler à une bourse] pour y participer jusqu'au 21 juin à minuit (heure de la Bolivie, UTC-4).
* Inscrivez-vous aux Wikimania Team Challenges pour participer à cet événement exceptionnel. Les défis par équipe se dérouleront en ligne et en présentiel les 21 et 22 juillet, avant la conférence Wikimania. Tout le monde est le bienvenu, quelles que soient ses compétences ou son inscription à Wikimania. Les équipes travailleront sur 10 défis importants visant à soutenir la communauté Wikimedia. Pour plus de détails, rendez-vous sur [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|la page des défis par équipe]] et [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ inscrivez-vous ici]. Les inscriptions se terminent le 20 juin à 23 h UTC. 

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W25&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 15 juin 2026 à 16:48 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30689604 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-26 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W26&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|fonctionnalités de croissance]] sont [[phab:T418115|désormais disponibles sur Wikidata]]. Cette mise à jour permet d'accéder au mentorat ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|s'il est configuré]]), au module Impact, au panneau d'aide et à une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants (sans les suggestions de modifications). Les administrateurs de Wikidata continuent de paramétrer ces fonctionnalités via la configuration communautaire.

'''Actualités pour la contribution'''
* La page spéciale [[{{#special:RangeCalculator}}]] a été créée. Elle permet aux utilisateurs de trouver une plage d'adresses IP sans avoir à recourir à des outils externes. Jusqu'à présent, cet outil n'était accessible qu'aux CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429]
* Les [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sous-références]] sont une nouvelle fonctionnalité de MediaWiki qui permet aux contributeurs de réutiliser des références en modifiant certains détails. Elle sera déployée le 23 juin, sur la plupart des versions de Wikipédia de petite et moyenne taille. La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] répertorie les mesures à prendre sur votre wiki pour faciliter ce déploiement. Consultez le [[:phab:T414094|plan de déploiement]] pour connaître les prochaines étapes. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902]
* À partir de la semaine prochaine, les utilisateurs recevront une notification lorsqu'ils seront bloqués ou débloqués pour l'édition, ou si ce blocage venait à changer. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:32|la tâche soumise|les {{formatnum:32}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:32||s}} la semaine dernière]].

'''Actualités pour la contribution technique'''
* À partir de la semaine prochaine, les filtres anti-abus configurés pour « exiger une vérification par CAPTCHA » s'appliqueront également aux utilisateurs disposant du droit &lt;code&gt;skipcaptcha&lt;/code&gt;, ce qui inclut la plupart des utilisateurs auto-confirmés. Les bots en sont exemptés. Ce changement ne concerne que les modifications qui déclenchent un filtre anti-abus. Le droit &lt;code&gt;skipcaptcha&lt;/code&gt; continuera à exempter les utilisateurs de l'obligation de résoudre des CAPTCHA dans le cadre d'une utilisation normale des wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595]
* La documentation de référence relative à l'[[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|API Lift Wing]] a été déplacée du portail API vers le [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&amp;title=Special%3ARestSandbox bac à sable REST] interactif.
* Le wiki du Portail API est désormais fermé. Pour consulter la documentation relative aux API, rendez-vous sur [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs sur mediawiki.org]]. À compter du 22 juin, toutes les URL du wiki du Portail API (https://api.wikimedia.org/wiki/) redirigeront vers la page de mediawiki.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]]

'''Rencontres et évènements'''
* Participez à une visioconférence le 25 juin à 14 h 30 UTC pour rencontrer les stagiaires actuels de Wikimédia participant au [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] et à [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Les stagiaires présenteront leurs projets et feront une brève démonstration du travail qu'ils ont réalisé jusqu'à présent. Les participants sont invités à [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|partager leurs idées et leurs contacts au sein de leur communauté]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W26&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 23 juin 2026 à 13:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30722494 --&gt;

== RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussion]])&lt;/bdi&gt; 23 juin 2026 à 17:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

== Des vidéos s'il vous plaît je veux Les vidéos 😭😭😭 ==

s'il vous plaît je veux regarder des vidéos 


[[Spécial:Contributions/&amp;#126;2026-36667-76|&amp;#126;2026-36667-76]] ([[Discussion utilisateur:&amp;#126;2026-36667-76|discussion]]) 24 juin 2026 à 22:26 (UTC)

== Intégration du lien vers les contacts juridiques et de sécurité dans le pied de page de votre wiki ==

&lt;section begin=&quot;Message&quot;/&gt;
'''Contacts juridiques et de sécurité'''

Bonjour à toute la communauté, la Fondation Wikimedia a mis à disposition une [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|page unique dédiée aux mentions légales et à la sécurité]], à ajouter en pied de page de votre wiki, afin de garantir l'accès à des informations juridiques exactes. Il s'agit d'une exigence réglementaire. Nous avons déjà mis en place des liens vers les wikis en anglais, allemand, italien, espagnol et d'autres langues de Wikipedia, et nous les déploierons bientôt sur votre wiki. Pour en savoir plus, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|consultez la page du projet]] et n'hésitez pas à laisser vos commentaires dans ce fil de discussion ou sur la [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|page de discussion]].

&lt;section end=&quot;Message&quot;/&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 25 juin 2026 à 13:31 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Sannita (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=30731267 --&gt;</text>
      <sha1>b26gc31r4m67ek78tovt6j3dcqhq0s2</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Cortext</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86372</id>
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      <parentid>983811</parentid>
      <timestamp>2026-06-25T18:45:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Cortext Manager */</comment>
      <origin>983832</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="2537" sha1="th923k9ru7c3bz8vqenhvlq1xo5gq0f" xml:space="preserve">[[Fichier:Cortext logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]]

&lt;div style=&quot;margin: 2em;&quot;&gt;
&lt;inputbox&gt;
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placeholder=Recherche dans les pages Cortext sur Wikiversité
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searchfilter=subpageof:&quot;Cortext&quot;
&lt;/inputbox&gt;
&lt;/div&gt;

La '''plateforme Cortext''' est une infrastructure de recherche spécialisée dans les méthodes computationnelles pour les sciences humaines et sociales. Son but est d'équiper chercheuses et chercheurs avec des instruments d'analyse computationnelle conceptuellement appropriés et ergonomiques, typiquement en appui aux recherches qualitatives, documentaires ou enquêtes de terrain, et notamment pour le traitement de corpus provenant de leurs projets ou de bases de données connexes.

* [https://www.cortext.net/ Site web]
* [https://gitlab.com/cortext/ Chez Gitlab]

== Formations ==

* [[Cortext/Formations/2026-07-08+09 LISIS|2026-07-08+09 LISIS]]
* [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE|2026-04-30 IFIS-UGE]]
* [[Cortext/Formations/2026-04-27_UFBA|2026-04-27 UFBA]]
* [[Cortext/Formations/2026-02-20 CAPES-MEC-BR|2026-02-20 CAPES-MEC-BR]]
* [[Cortext/Formations/2026-02-12 USP|2026-02-12 USP]]
* [[Cortext/Formations/2026-01-20 LISIS|2026-01-20 LISIS]]
* 2025-11-[5-7] [https://istex25-renatis.sciencesconf.org/ ANF Corpus Istex]
* …[https://gitlab.com/cortext/workshops antérieures]

== Cortext Manager ==

* [https://managerv2.cortext.net/ Cortext Manager]
* [https://docs.cortext.net/ Documentation en anglais]

=== Tutoriels ===

* [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]
* [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]]
* [[Cortext/Tutoriels/L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager|L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager]]
* [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]]
* …[https://docs.cortext.net/training-materials/ d'autres, sur le site de documentation]

== Opérations et méthodes éditées ==

* [https://gitlab.com/cortext/cortext-methods/ Groupe « cortext-methods » sur Gitlab]
* [https://gitlab.com/cortext/cortext-libraries/ Groupe « cortext-libraries » sur Gitlab]

[[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]]
[[Catégorie:Cortext (Q121766545)]]</text>
      <sha1>th923k9ru7c3bz8vqenhvlq1xo5gq0f</sha1>
    </revision>
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  <page>
    <title>Géométrie algébrique/Ensembles algébriques affines</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-06-25T17:12:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>D3nsji</username>
        <id>80572</id>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21210" sha1="fm6ft4820jcchn82j9b44s587hpr6li" xml:space="preserve">&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --&gt;
{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
  | précédent  = [[../|Sommaire]]
  | suivant    = [[../??/]]
}}


Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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  | suivant    = [[../??/]]
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Caractérisation de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;/math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Caractérisation de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. On a :
&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(A)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Bas de page
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. On a :
&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(A)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(A)\cong \Gamma(A)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;A/I\cong B&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff B&lt;/math&gt; intègre.
Reste à démontrer la première équivalence.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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}}
&lt;!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --&gt;</text>
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
  | précédent  = [[../|Sommaire]]
  | suivant    = [[../??/]]
}}


Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. On a :
&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(A)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(A)\cong \Gamma(A)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;A/I\cong B&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff B&lt;/math&gt; intègre.
Reste à démontrer la première équivalence.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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}}
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.

&lt;math&gt;[\Leftarrow]&lt;/math&gt;. Raisonnons par contraposée. Supposons que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est réductible s'il existe &lt;math&gt;F, G\subsetneq V&lt;/math&gt; des ensembles algébriques affines tels que &lt;math&gt;V=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)\subsetneq \mathcal{I}(F),\mathcal{I}(G)&lt;/math&gt;. On peut alors considérer &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(F)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g\in\mathcal{I}(G)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais pour tout &lt;math&gt;x\in V&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;x\in F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;g(x)=0&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;(fg)(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;fg\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;f,g\notin \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; n'est pas premier.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.

&lt;math&gt;[\Leftarrow]&lt;/math&gt;. Raisonnons par contraposée. Supposons que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est réductible s'il existe &lt;math&gt;F, G\subsetneq V&lt;/math&gt; des ensembles algébriques affines tels que &lt;math&gt;V=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)\subsetneq \mathcal{I}(F),\mathcal{I}(G)&lt;/math&gt;. On peut alors considérer &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(F)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g\in\mathcal{I}(G)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais pour tout &lt;math&gt;x\in V,&lt;/math&gt; on a &lt;math&gt;x\in F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;g(x)=0&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;(fg)(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;fg\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;f,g\notin \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; n'est pas premier.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.

Ce qui suit est le premier vrai théorème qui lie algèbre et géométrie de cette leçon !
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.

&lt;math&gt;[\Leftarrow]&lt;/math&gt;. Raisonnons par contraposée. Supposons que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est réductible s'il existe &lt;math&gt;F, G\subsetneq V&lt;/math&gt; des ensembles algébriques affines tels que &lt;math&gt;V=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)\subsetneq \mathcal{I}(F),\mathcal{I}(G)&lt;/math&gt;. On peut alors considérer &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(F)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g\in\mathcal{I}(G)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais pour tout &lt;math&gt;x\in V,&lt;/math&gt; on a &lt;math&gt;x\in F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;g(x)=0&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;(fg)(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;fg\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;f,g\notin \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; n'est pas premier.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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}}
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est une topologie qu'il faut appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.

Ce qui suit est le premier vrai théorème qui lie algèbre et géométrie de cette leçon !
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.

&lt;math&gt;[\Leftarrow]&lt;/math&gt;. Raisonnons par contraposée. Supposons que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est réductible s'il existe &lt;math&gt;F, G\subsetneq V&lt;/math&gt; des ensembles algébriques affines tels que &lt;math&gt;V=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)\subsetneq \mathcal{I}(F),\mathcal{I}(G)&lt;/math&gt;. On peut alors considérer &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(F)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g\in\mathcal{I}(G)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais pour tout &lt;math&gt;x\in V,&lt;/math&gt; on a &lt;math&gt;x\in F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;g(x)=0&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;(fg)(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;fg\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;f,g\notin \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; n'est pas premier.}}{{Corollaire|titre=Irréductibilité de l'espace dans le cas infini|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est irréductible.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, on a déjà démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;. Par intégrité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt; est premier. Par le théorème précédent, &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}{{Proposition|contenu=Supposons &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; infini. Soit &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine propre de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Alors si &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k^n\setminus V&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;f=0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;.|titre=Prolongement des identités algébriques}}{{Démonstration déroulante|contenu=Puisque &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k^n\setminus V&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;k^n\setminus V\subset \mathcal{V}(f)\implies k^n\cup V\subset \mathcal{V}(f)\cup V&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;k^n=V\cup \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Mais puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est irréductible. Or &lt;math&gt;V\subsetneq k^n&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;. Mais encore une fois, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f=0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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{{Chapitre
  | idfaculté  = mathématiques
  | niveau     = 18
  | numéro     = 1
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Dans tout ce chapitre, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; désigne un corps commutatif et &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est un entier naturel non-nul. Si &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; est un ensemble, on note &lt;math&gt;\wp(E)&lt;/math&gt; l'ensemble de ses parties. &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; désigne l'anneau des polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées à coefficients dans &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;k[X]&lt;/math&gt;. Pour &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on écrira &lt;math&gt;k[X,Y]&lt;/math&gt;.

= Premier pas =
== Premier objet ==
[[File:V(y^2-x^3-1).png|thumb|&lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt;]]Le premier objet que nous allons étudier afin de comprendre la géométrie algébrique est l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. À un ensemble de polynômes à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; indéterminées, on associe leur lieu d'annulation commun. L'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est donc l'application définie sur &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; à valeurs dans &lt;math&gt;\wp(k^n)&lt;/math&gt; telle que pour toute partie &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\{x\in k^n\mid \forall f\in S, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;S=\{f_1,\dots,f_r\}&lt;/math&gt; est un ensemble fini, on aura tendance à écrire &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; plutôt que &lt;math&gt;\mathcal{V}(\{f_1,\dots,f_r\})&lt;/math&gt;. Par exemple, si &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(Y^2-X^3-1)&lt;/math&gt; est représenté ci-contre. On peut alors se poser la question : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est-elle surjective ? Ou alors injective ? Ou aucun des deux ?

Premièrement, &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est en général pas surjective. Toujours pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt;, on peut considérer &lt;math&gt;E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sin(x)\}&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;E=\mathcal{V}({S})&lt;/math&gt; pour une certaine partie &lt;math&gt;S\subset \mathbb{R}[X,Y]&lt;/math&gt;. On a nécessairement &lt;math&gt;S\neq \varnothing&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\mathcal{V}(\varnothing)=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. Considérons donc &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt;. On peut alors écrire &lt;math&gt;f=\sum_{k=1}^ra_k(Y)X^k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont des polynômes à une indéterminée. En fixant &lt;math&gt;y\in [-1;1]&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f(X,y)\in \mathbb{R}[X]&lt;/math&gt; s'annule une infinité de fois. Ainsi, &lt;math&gt;f(X,y)=0_{\mathbb{R}[X]}&lt;/math&gt; donc tous les &lt;math&gt;a_k&lt;/math&gt; sont nuls. D'où &lt;math&gt;f=0_{\mathbb{R}[X,Y]}&lt;/math&gt; ce qui est absurde car &lt;math&gt;\mathcal{V}(0_{\mathbb{R}[X,Y]})=\mathbb{R}^2\neq E&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; n'est donc pas dans l'image de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, ce qui prouve que &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas surjective.

Pour ce qui est de l'injectivité, toujours dans le même cadre, il est facile de vérifier que &lt;math&gt;\mathcal{V}(X^2)=\mathcal{V}(X)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; n'est pas injective non plus.

Notre but était pourtant de faire un pont entre l'algèbre et la géométrie ! On aurait aimé avoir une bijection. Une première idée est de corestreindre &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. En effet, notre but n'est pas d'étudier toutes les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; mais seulement celles qui sont polynomiales. C'est l'idée du paragraphe ci-dessous. Une deuxième idée serait de quotienter &lt;math&gt;\wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; par la relation d'équivalence &lt;math&gt;S\sim S'\iff \mathcal{V}(S)=\mathcal{V}({S'})&lt;/math&gt;. C'est loin d'être une mauvaise idée, mais on passerait à côté de ce que sont vraiment les classes d'équivalence de &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; et les propriétés algébriques intéressantes derrière.

Enfin, pour terminer cette section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, en voici quelques propriétés.{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Si &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\langle S\rangle&lt;/math&gt; désigne l'idéal engendré par &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, alors il existe une famille finie &lt;math&gt;(f_1,\dots,f_r)&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; telle que : &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap \dots \cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a\in k^n&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\{a\}\in\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;. Considérons alors &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\forall f\in S', f(x)=0&lt;/math&gt;. Cela étant vrai pour tout &lt;math&gt;f\in S'&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;S\subset S'&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;\forall f\in S, f(x)=0&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Soit &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a : &lt;math&gt;S\subset \langle S\rangle&lt;/math&gt;. D'après la propriété ci-dessus, on a donc : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle)\subset  \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. Considérons &lt;math&gt;P\in \langle S\rangle&lt;/math&gt;. Celui-ci s'écrit : &lt;math&gt;P=\sum_{k=1}^rg_kf_k&lt;/math&gt; où les &lt;math&gt;g_k\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et les &lt;math&gt;f_k\in S&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;P(x)=\sum_{k=1}^rg_k(x)f_k(x)=r\times 0=0&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall P\in \langle S\rangle, P(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Cela montre l'inclusion réciproque. Par double-inclusion : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt;. D'après la propriété précédente, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Mais, par noethérianité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;\langle S\rangle=\langle f_1,\dots,f_r\rangle&lt;/math&gt;. Ainsi, toujours en utilisant la propriété ci-dessus, on obtient &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1,\dots,f_r)=\{x\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,r\}, f_i(x)=0\}=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r).&lt;/math&gt; Ainsi, on peut toujours écrire les éléments de &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt; comme intersection finie de la forme &lt;math&gt;\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{(x_1,\dots,x_n)\in k^n\mid \forall i\in \{1,\dots,n\}, x_i-a_i=0\}&lt;/math&gt;. On a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)=\{a\}&lt;/math&gt;. Les singletons sont donc toujours image de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.}}
== Topologie de Zariski ==
Comme dit dans la première section sur l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, on n'étudiera que les parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui sont polynomiales. Cela revient donc à ne s'intéresser qu'aux parties de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; s'écrivant &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;S\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.{{Définition|titre=Ensemble algébrique affine|contenu=Un &lt;b&gt;ensemble algébrique affine&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;.}}On a alors la propriété remarquable suivante.
{{Proposition|contenu=Les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; sont exactement les fermés d'une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Autrement dit : &lt;math&gt;\tau=\{k^n\setminus V\mid V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})\}&lt;/math&gt; est une topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Topologie de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;\varnothing=\mathcal{V}(1_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(0_{k[X_1,\dots,X_n]})&lt;/math&gt;.
* Considérons &lt;math&gt;(S_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; une famille de parties de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. On a, pour tout &lt;math&gt;x\in k^n&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, x\in \mathcal{V}(S_j)\iff \forall j\in J, \forall f\in S_j, f(x)=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;x\in \bigcap_{j\in J}\mathcal{V}(S_j)\iff \forall f\in \bigcup_{j\in J}S_j, f(x)=0\iff x\in \mathcal{V}\left(\bigcup_{j\in J}S_j\right).&lt;/math&gt;
Ainsi, une intersection quelconque d'ensembles algébriques affines est un ensemble algébrique affine.
* Pour démontrer qu'une réunion finie d'ensembles algébriques affines, il suffit de le démontrer pour deux ensembles algébriques affines. Considérons &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;S'\subset k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Nous allons démontrer que &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'une part, &lt;math&gt;\langle S\rangle\langle S'\rangle\subset S, S'&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{V}(S),\mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')\subset \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Réciproquement, Soit &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)&lt;/math&gt;. Supposons alors &lt;math&gt;x\notin \mathcal{V}(\langle S\rangle)&lt;/math&gt;. Alors il existe &lt;math&gt;f\in S&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;f(x)\neq 0&lt;/math&gt;. Mais, puisque &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)&lt;/math&gt;, pour tout &lt;math&gt;g\in S'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(x)g(x)=0\implies g(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Au final, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle\langle S'\rangle)\setminus \mathcal{V}(S)\subset \mathcal{V}(S')\implies \mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup \mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle)\subset \mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')&lt;/math&gt;. Par double-inclusion, on a bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(S)\cup\mathcal{V}(S')=\mathcal{V}(\langle S\rangle \langle S'\rangle).&lt;/math&gt;}}{{Définition|titre=Topologie de Zariski|contenu=La topologie sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; dont les fermés sont exactement les ensembles algébriques affines de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est appelée &lt;b&gt;topologie de Zariski&lt;/b&gt; sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.}}
La topologie de Zariski est très différente des topologies métriques usuelles sur &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\mathbb{C}^n&lt;/math&gt;. Les ouverts y sont beaucoup plus grands et les fermés très petits. La topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique pour &lt;math&gt;k=\mathbb{R}&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;k=\mathbb{C}&lt;/math&gt;. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in \{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Alors tout fermé (resp. ouvert) de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est un fermé (resp. ouvert) de la topologie métrique sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;.|titre=Zariski contre métrique}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Tout d'abord, considérons &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt; pour un certain &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;V=\{x\in k^n\mid f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, on peut considérer la fonction polynômiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, que l'on notera &lt;math&gt;\hat{f}\colon k^n\to k&lt;/math&gt;. On sait que les fonctions polynomiales sont continues pour les topologies usuelles. &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; est donc continue. Or, &lt;math&gt;V=\hat{f}^{-1}(0)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue : c'est donc un fermé au sens métrique.
* Si l'on considère &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski quelconque, &lt;math&gt;V=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap \mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. Mais chaque &lt;math&gt;\mathcal{V}(f_i)&lt;/math&gt; est un fermé métrique. Donc &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un fermé métrique.
* Si &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski, &lt;math&gt;k^n\setminus D\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n\setminus D&lt;/math&gt; est un fermé métrique. D'où &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert métrique.}}Ainsi, la topologie de Zariski est moins fine que la topologie métrique habituelle. En particulier, on a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=On se place dans le cas où &lt;math&gt;k\in\{\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}&lt;/math&gt;. Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est dense dans &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; au sens métrique, alors &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est Zariski-dense.|titre=Densité métrique &lt;math&gt;\implies&lt;/math&gt; Zariski-densité}}{{Démonstration déroulante|contenu=Supposons que &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt; est dense au sens métrique. Alors, si &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; est un fermé métrique de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset F&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;F=k^n&lt;/math&gt;. Soit &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un fermé de Zariski. Alors &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est un  fermé métrique. En outre, si &lt;math&gt;A\subset V&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;V=k^n&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; est Zariski-dense.}}
La topologie de Zariski doit être appréhender avec beaucoup de méfiance : elle est très éloignée de ce que l'on côtoie habituellement. En particulier, elle admet une base naturelle qui permet d'écrire tout ouvert de cette topologie comme réunion '''finie''' d'ouverts de cette base.
{{Définition|titre=Ouvert standard|contenu=Un &lt;b&gt;ouvert standard&lt;/b&gt; de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est une partie &lt;math&gt;D\subset k^n&lt;/math&gt; telle qu'il existe un polynôme &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; vérifiant : &lt;math&gt;D=k^n\setminus \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Dans ce cas, il est clair que &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; est un ouvert de Zariski.}}{{Proposition|contenu=Les ouverts standards de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; forment une base de la topologie de Zariski sur &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Mieux que cela : tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.|titre=Base de Zariski}}{{Démonstration déroulante|contenu=Soit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; un ouvert de Zariski. Alors &lt;math&gt;k^n\setminus U&lt;/math&gt; est un ensemble algébrique affine. Donc il existe un nombre fini de polynômes &lt;math&gt;f_1,\dots,f_r&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;k^n\setminus U=\mathcal{V}(f_1)\cap\dots\cap\mathcal{V}(f_r)&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire et avec les lois de De Morgan : &lt;math&gt;U=(k^n\setminus \mathcal{V}(f_1))\cup\dots\cup(k^n\setminus \mathcal{V}(f_r))&lt;/math&gt;. Ainsi, tout ouvert de Zariski s'écrit comme réunion finie d'ouverts standards.}}

= Idéaux associés =
Maintenant que l'on a parlé de l'application &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;, nous allons considérer son application &quot;duale : &lt;math&gt;\mathcal{I}\colon \wp(k^n)\to \wp(k[X_1,\dots,X_n])&lt;/math&gt; définie par : &lt;math&gt;\forall A\subset k^n,\; \mathcal{I}(A)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in A, f(x)=0\}&lt;/math&gt;. Ainsi, à une partie de l'espace, on associe l'ensemble de tous les polynômes s'annulant sur toute cette partie. Il s'agit bien du procédé inverse de celui que l'on avait utilisé pour la définition de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;. On notera également &lt;math&gt;\Gamma(A)=\{\varphi\colon V\to k\mid \exists f\in k[X_1,\dots,X_n], \forall x\in A, \varphi(x)=f(x)\}&lt;/math&gt; qui est l'ensemble des fonctions régulières de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On a alors la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;. Alors :
* &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.|titre=Nature de &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt;.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Considérons &lt;math&gt;\Phi \colon k[X_1,\dots,X_n]\to k^V&lt;/math&gt; définie pour tout &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; par : &lt;math&gt;\Phi(f)=\hat{f}\mid_V&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\hat{f}&lt;/math&gt; réprésente la fonction polynomiale associée à &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Il s'agit clairement d'un morphisme d'anneaux. En outre, &lt;math&gt;\ker(\Phi)=\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\mathrm{Im}(\Phi)=\Gamma(A)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{I}(A)&lt;/math&gt; est un idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\Gamma(A)&lt;/math&gt; est un sous-anneau de &lt;math&gt;k^V&lt;/math&gt;.}}Voyons à présent quelques propriétés remarquables de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;.
{{Proposition|contenu=* &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante pour l'inclusion.
* Pour tout &lt;math&gt;A\subset k^n&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\overline{A}&lt;/math&gt; désigne l'adhérence de &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; pour la topologie de Zariski. En particulier, pour &lt;math&gt;V\in \mathrm{Im}(\mathcal{V})&lt;/math&gt;, on a bien &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V&lt;/math&gt;.
* Si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Pour tout &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; idéal de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; I \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. L'inclusion réciproque est fausse en général.|titre=Propriétés de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=* Soient &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B\subset k^n&lt;/math&gt;. Supposons que &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. Alors pour tout &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(B)&lt;/math&gt;, on a donc : &lt;math&gt;\forall x\in B, f(x)=0&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;A\subset B&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;\forall x\in A, f(x)=0&lt;/math&gt;. Finalement : &lt;math&gt;x\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, ce qui prouve bien que &lt;math&gt;A\subset B\implies \mathcal{I}(B)\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; est décroissante.
* Soit &lt;math&gt;x\in A&lt;/math&gt;. Alors si je considère &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;, on a nécessairement &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;x\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. On a donc l'inclusion &lt;math&gt;A\subset\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\implies \overline{A}\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Pour la réciproque, supposons qu'il existe un fermé de Zariski &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;A\subset W\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Dans ce cas, on peut écrire &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; pour un certain idéal &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; de l'anneau de polynômes. Mais comme &lt;math&gt;A\subset W&lt;/math&gt;, tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; s'annule sur A i.e. &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(A)&lt;/math&gt;. Par décroissance de &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))\subset\mathcal{V}(I)=W&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))&lt;/math&gt; est le plus petit fermé de Zariski contenant &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. On obtient bien : &lt;math&gt;\mathcal{V}(\mathcal{I}(A))=\overline{A}&lt;/math&gt;.
* On sait que &lt;math&gt;\mathcal{V}\circ\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}=\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est bijective, d'après la propriété ci-dessus. Donc &lt;math&gt;\mathcal{I}\mid_{\mathrm{Im}(\mathcal{V})}&lt;/math&gt; est injective. Autrement dit, si &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; sont deux ensembles algébriques affines : &lt;math&gt; \mathcal{I}(V)=\mathcal{I}(W)\implies V=W&lt;/math&gt;.
* Soit &lt;math&gt;f\in I&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;\mathcal{V}(I)&lt;/math&gt; est exactement le lieu d'annulation commun à tous les polynômes de &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. D'où &lt;math&gt;I\subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))&lt;/math&gt;. On peut vérifier que l'inclusion réciproque est en général fausse. En effet, si l'on se place dans le cas où &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\mathcal{V}(\langle X^2\rangle))=\langle X\rangle&lt;/math&gt;.}}Voyons des calculs plus pratiques. D'une part, &lt;math&gt;\mathcal{I}(\varnothing)=\{f\in k[X_1,\dots,X_n]\mid \forall x\in \varnothing, f(x)=0\}=k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;. Mais qu'en est-il de &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt; ? On a la proposition suivante.
{{Proposition|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.|titre=&lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;}}{{Démonstration déroulante|contenu=On raisonne par récurrence sur &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Initialisation :&lt;/u&gt; (&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt;). Soit &lt;math&gt;f\in k[X]&lt;/math&gt;. Si &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; admet une infinité de racines. Puisque l'autre inclusion est triviale, on a : &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Hérédité :&lt;/u&gt; Supposons la proposition vraie pour un certain &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}^*&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_{n+1}]&lt;/math&gt; non-nul. En permutant les indéterminées s'il le faut, on peut l'écrire sous la forme : &lt;math&gt;f=a_r(X_1,\dots,X_n)X_{n+1}^r+\dots&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;r\geq 1&lt;/math&gt; la plus grande puissance de &lt;math&gt;X_n&lt;/math&gt; avec un coefficient non-nul &lt;math&gt;a_r\neq 0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;. Par hypothèse de récurrence, il existe un &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-uplet &lt;math&gt;(x_1,\dots,x_n)\in k^n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;a_r(x_1,\dots,x_n)\neq 0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n,X_{n+1})&lt;/math&gt; est un polynôme à une indéterminée de degré &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Il admet donc au plus &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; racines. Il n'en possède donc pas une infinité : il ne peut pas s'annuler sur tout &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; qui est infini. Ainsi, on a bien démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^{n+1})=\{0_{k[X_1,\dots,X_{n+1}]}\}&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Conclusion :&lt;/u&gt; Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;.}}
Un autre calcul de &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; faisable est l'idéal associé à un singleton.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n&lt;/math&gt;. Alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.|titre=Idéal d'un singleton}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;, il est clair que &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. Réciproquement, considérons &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(a)&lt;/math&gt;. On peut alors effectuer la division euclidienne successive de &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; par les &lt;math&gt;X_i-a_i&lt;/math&gt; :
&lt;math&gt;f=(X_1-a_1)Q_1+\dots+(X_n-a_n)Q_n+c&lt;/math&gt;. Or &lt;math&gt;f(a)=0\implies c=0&lt;/math&gt;. Donc : &lt;math&gt;f\in \langle X_1-a_1,\dots X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;. Conclusion : &lt;math&gt;\mathcal{I}(\{a\})=\langle X_1-a_1,\dots,X_n-a_n\rangle&lt;/math&gt;.}}
=Petite pause topologique=
C'est le bon moment pour faire un peu de topologie. En effet, on aimerait distinguer deux situations. D'un côté, on a des ensembles algébriques affines qui se décomposent : &lt;math&gt;\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup\mathcal{V}(Y)&lt;/math&gt;. Pourtant, certains ne se décomposent pas de manière non-triviale comme : &lt;math&gt;\mathcal{V}(X+Y)&lt;/math&gt;. C'est ici un concept topologique plus générale qui va nous sauver la mise.
{{Définition|titre=Espace irréductible|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Celui-ci est dit &lt;b&gt;irréductible&lt;/b&gt; si :

&lt;math&gt;\forall F,G&lt;/math&gt; fermés de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;X=F\cup G\implies X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;.}}
En réalité, il existe deux autres définitions équivalentes majeures.
{{Proposition|contenu=Soit &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
* &lt;math&gt;(i)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est irréductible.
* &lt;math&gt;(ii)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall U, V\in \tau\setminus\{\varnothing\}, U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(iii)&lt;/math&gt; Tout ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est dense.|titre=Définitions équivalentes de l'irréductibilité}}{{Démonstration déroulante|contenu=* &lt;math&gt;(i)\implies (ii)&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; deux ouverts non-vides. &lt;math&gt;X\setminus U&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;X\setminus V&lt;/math&gt; sont alors des fermés propres de &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;. Par irréductibilité, &lt;math&gt;(X\setminus U)\cup(X\setminus V)\neq X&lt;/math&gt;. En passant au complémentaire : &lt;math&gt;U\cap V\neq \varnothing&lt;/math&gt;.
* &lt;math&gt;(ii)\implies(iii)&lt;/math&gt;. Supposons que tout couple d'ouverts non-vides de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; possède une intersection non-vide. Soit &lt;math&gt;U\in \tau&lt;/math&gt; non-vide. Considérons &lt;math&gt;x\in X&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; un voisinage de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Celui-ci contient alors un ouvert &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; contenant &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est donc un ouvert non-vide de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;U\cap V\neq\varnothing\implies U\cap W\neq \varnothing&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rencontre tous les voisinages de tous les points de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; est dense dans l'espace topologique.
* &lt;math&gt;(iii)\implies(i)&lt;/math&gt;. Supposons que tout ouvert non-vide soit dense dans &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt;. Considérons alors deux fermés &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; tels que : &lt;math&gt;X=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors, en prenant le complémentaire : &lt;math&gt;(X\setminus F)\cap (X\setminus G)=\varnothing&lt;/math&gt;. Si les deux étaient non-vides, par densité de &lt;math&gt;X\setminus F&lt;/math&gt;, on devrait avoir une intersection non-vide. Donc l'un des deux est vide i.e. &lt;math&gt;X=F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;X=G&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;(X,\tau)&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}La plupart des espaces topologiques sont réductibles. Cette notion d'irréductibilité est plutôt propre à la topologie de Zariski. Ainsi, lorsque nous parlerons d'irréductibilité sans précisions supplémentaires, ce sera dans le cadre de la topologie de Zariski ou de celle induite par la topologie de Zariski.

Ce qui suit est le premier vrai théorème qui lie algèbre et géométrie de cette leçon !
{{Théorème|titre=Caractérisation de l'irréductibilité|contenu=Soit &lt;math&gt;V\subset k^n&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine. On a :
&lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible&lt;math&gt;\iff \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff\Gamma(V)&lt;/math&gt; intègre.}}{{Démonstration déroulante|contenu=La deuxième équivalence est une conséquence d'un fait usuel en théorie des anneaux. En effet, on sait que &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]/\mathcal{I}(V)\cong \Gamma(V)&lt;/math&gt;. Or si &lt;math&gt;\mathbb{A}/I\cong \mathbb{B}&lt;/math&gt;, on a &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; premier&lt;math&gt;\iff \mathbb{B}&lt;/math&gt; intègre.

Reste à démontrer la première équivalence. Pour ce faire, on raisonne par double-implication.

&lt;math&gt;[\Rightarrow]&lt;/math&gt;. Supposons &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; irréductible. Soient &lt;math&gt;f,g\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Alors, pour tout &lt;math&gt;x\in V, f(x)g(x)=0&lt;/math&gt;. Autrement dit, &lt;math&gt;V\subset \mathcal{V}(f)\cup\mathcal{V}(g)&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;V=(V\cap \mathcal{V}(f)) \cup (V\cap \mathcal{V}(g))&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; étant irréductible, sans nuire à la généralité, on a &lt;math&gt;V=V\cap \mathcal{V}(f)\implies V\subset \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur tout &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Cela montre que &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; est premier.

&lt;math&gt;[\Leftarrow]&lt;/math&gt;. Raisonnons par contraposée. Supposons que &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; est réductible s'il existe &lt;math&gt;F, G\subsetneq V&lt;/math&gt; des ensembles algébriques affines tels que &lt;math&gt;V=F\cup G&lt;/math&gt;. On a alors : &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)\subsetneq \mathcal{I}(F),\mathcal{I}(G)&lt;/math&gt;. On peut alors considérer &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(F)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g\in\mathcal{I}(G)\setminus\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais pour tout &lt;math&gt;x\in V,&lt;/math&gt; on a &lt;math&gt;x\in F&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;g(x)=0&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;(fg)(x)=0&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;fg\in \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt;. Mais &lt;math&gt;f,g\notin \mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(V)&lt;/math&gt; n'est pas premier.}}{{Corollaire|titre=Irréductibilité de l'espace dans le cas infini|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, alors &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est irréductible.}}{{Démonstration déroulante|contenu=Si &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, on a déjà démontré que &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;. Par intégrité de &lt;math&gt;k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt; est premier. Par le théorème précédent, &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est donc irréductible.}}{{Proposition|contenu=Supposons &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; infini. Soit &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; un ensemble algébrique affine propre de &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt;. Alors si &lt;math&gt;f\in k[X_1,\dots,X_n]&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k^n\setminus V&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;f=0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;.|titre=Prolongement des identités algébriques}}{{Démonstration déroulante|contenu=Puisque &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; s'annule sur &lt;math&gt;k^n\setminus V&lt;/math&gt;, on a : &lt;math&gt;k^n\setminus V\subset \mathcal{V}(f)\implies k^n\cup V\subset \mathcal{V}(f)\cup V&lt;/math&gt;. D'où : &lt;math&gt;k^n=V\cup \mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Mais puisque &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini, &lt;math&gt;k^n&lt;/math&gt; est irréductible. Or &lt;math&gt;V\subsetneq k^n&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;k^n=\mathcal{V}(f)&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f\in \mathcal{I}(k^n)&lt;/math&gt;. Mais encore une fois, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est infini donc &lt;math&gt;\mathcal{I}(k^n)=\{0_{k[X_1,\dots,X_n]}\}&lt;/math&gt;. Ainsi, &lt;math&gt;f=0_{k[X_1,\dots,X_n]}&lt;/math&gt;.}}{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
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    <title>Migrants, bilinguisme et implication parentale/Présentation de la leçon</title>
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      <text bytes="638" sha1="nb2g5b1w8bwdd5rrv4h5dgw4e517j7c" xml:space="preserve">Les situations de mobilité familiale, qu'elles soient forcées ou non, conduisent à des situations dans lesquelles les familles doivent définir implicitement ou explicitement leurs politiques linguistiques familiales. Les politiques linguistiques familiales font plutôt référence aux politiques et pratiques linguistiques explicites et implicites à la maison (Curdt-Christiansen, 2018), mais nous allons nous référer à des politiques linguistiques familiales qui vont au-delà du contexte domestique, pour décrire des pratiques plus holistiques des familles en défense de leurs langues familiales. 

Lire la suite

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    <title>Discussion utilisateur:D3nsji</title>
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== Bonjour ==

Salut jeune géomètre algébriste, veux tu me partager ton savoir ? [[Utilisateur:Serge Mangue|Serge Mangue]] ([[Discussion utilisateur:Serge Mangue|discuter]]) 25 juin 2026 à 14:42 (UTC)</text>
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      <text bytes="747" sha1="6yq0vtlrv5wsflsmgdvrlgq3v8xbb7l" xml:space="preserve">{{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 24 juin 2026 à 15:01 (UTC)}}

== Bonjour ==

Salut jeune géomètre algébriste, veux tu me partager ton savoir ? [[Utilisateur:Serge Mangue|Serge Mangue]] ([[Discussion utilisateur:Serge Mangue|discuter]]) 25 juin 2026 à 14:42 (UTC)

:Bonjour M. Mangue,
:Je pourrai vous partager mes fiches personnalisées par mail. Cependant, la leçon de géométrie algébrique que je suis en train de rédiger devrait être suffisante pour commencer !
:Bien cordialement,
:D3nsji. [[Spécial:Contributions/&amp;#126;2026-36641-90|&amp;#126;2026-36641-90]] ([[Discussion utilisateur:&amp;#126;2026-36641-90|discussion]]) 25 juin 2026 à 14:50 (UTC)</text>
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== Bonjour ==

Salut jeune géomètre algébriste, veux tu me partager ton savoir ? [[Utilisateur:Serge Mangue|Serge Mangue]] ([[Discussion utilisateur:Serge Mangue|discuter]]) 25 juin 2026 à 14:42 (UTC)</text>
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== Bonjour ==

Salut jeune géomètre algébriste, veux tu me partager ton savoir ? [[Utilisateur:Serge Mangue|Serge Mangue]] ([[Discussion utilisateur:Serge Mangue|discuter]]) 25 juin 2026 à 14:42 (UTC)

:Bonjour Serge Mangue 🥭 !
:Je pourrai vous partager mes fiches personnelles à ce sujet par mail ✉️
:En attendant, la leçon de géométrie algébrique que je rédige en ce moment sur Wikiversité devrait suffire 🍼
:Bien cordialement,
:D3nsji 💿 [[Utilisateur:D3nsji|D3nsji]] ([[Discussion utilisateur:D3nsji|discuter]]) 25 juin 2026 à 15:08 (UTC)</text>
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    <title>Cortext/Tutoriels/L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager</title>
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        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
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      <minor />
      <comment>Solstag a déplacé la page [[Cortext/Tutoriels/Lanalyse de la production scientifique acc]] vers [[Cortext/Tutoriels/L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager]] : titre complet</comment>
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      <text bytes="12581" sha1="a8dslaw5aqetplfqvcnvz5nmo2bc61f" xml:space="preserve">== Objectif ==
Ce tutoriel a pour vocation à guider l’utilisateur à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page.

== Présentation du sujet ==
Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et nos modes d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés.

== 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science ==

==== 0.1. Requête de recherche ====
La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête suivante. Utiliser le module « advanced search » du WOS pour lancer la requête :

TS=(&quot;adapt* to climat* chang*&quot; OR &quot;adapt* climat* chang*&quot; OR &quot;adapt* for climat* chang*&quot; OR &quot;climat* chang* adapt*&quot; OR &quot;adapt* to climat*&quot; OR &quot;adapt* climat*&quot; OR &quot;adapt* for climat*&quot; OR &quot;climat* adapt*&quot;) AND PY =(2001-2024) NOT PY=2025

Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.

==== 0.2. Téléchargement des données ====
L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers .txt téléchargés pour pouvoir les charger dans un projet Cortext manager.

Cliquez ici pour accéder au jeu de données de la formation

==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; wos-cca-2001-2024.zip

* &lt;u&gt;Data parsing&lt;/u&gt; &gt; ''Type of data'' = dataset ; ''Corpus format'' = ISI

== 1. Exploration du corpus ==
Objectifs : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables.

==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ====
[[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Demography&lt;/u&gt; &gt; ''Which variable'' = Countries ; ''Is the variable categorical or numerical?'' = categorial ; ''Number of top entities to consider'' = 30; ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'' = yes

==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ====
[[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]]
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epich Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Author_Affiliations_Enhanced_WOS ; ''Size of hierarchy'' = 20 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of slice'' = 3  ; ''Time slide distribution'' = regular

== 2. Analyses sémantiques ==
Objectifs : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus.

==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ====

* &lt;u&gt;Term Extraction&lt;/u&gt; &gt; ''Textual Fields'' = Abstract - Title ; ''List length'' = 500 ; ''Lexical extraction advanced settings'' = Yes ; ''Sampling'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 3 ; ''Time slice distribution'' = regular

L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre de documents, c’est-à-dire que l’extraction de termes a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. 

==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ====
Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les termes trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les sujets du corpus. Les groupes nominaux ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). 

* Télécharger la liste .tsv présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravaillée

Cliquez ici pour accéder à la ressource de la formation

==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 02-list-terms-cleaned.tsv

* &lt;u&gt;Term Indexer&lt;/u&gt; &gt; ''Textual fields'' = Abstract - Keywords -Title ; ''Terms List'' = 02-list-terms-cleaned.tsv ; ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'' = 500termsclean3period

==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ====
[[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epic Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = ISIterms500termsclean3period , ''Size of the Hierarchy'' = 10 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 6 ; ''time slices distribution'' = regular

==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ====
Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure Distributional. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus en mettant en évidence les mots qui jouent des fonctions similaires dans les textes. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres termes identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires pour en dégager les principaux espaces sémantiques.

[[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Network mapping&lt;/u&gt; &gt; ''First Field'' = 500termsclean3period ; ''Second field'' = 500termsclean3period ; ''Number of nodes'' = 250 ; ''Nodes advanced settings'' = yes ; ''Node weight'' = frequency ; ''Edges'' &gt; ''Edges filtering advances setting'' = yes ; ''Number of top neighbours to consider'' = 8 ; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Community detection algorithm'' = Louvain resolution ; ''Modify the name of the projected cluster'' = 500termsclean3period

==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ====
Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps.
[[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]]
[[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager 

* &lt;u&gt;Epic Epoc&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Size of the hierarchy'' = 9 ; ''Normalization of frequency count'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of time slice'' = 24 ; ''time slices distribution'' = regular

== 3. Analyses hétérogènes ==
Objectifs : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs).

==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ====
La liste de correspondance « pays – continent » a été créé en utilisant des ressources open data externes. Cliquez ici pour télécharger la ressource.

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 03-list-affiliation-continent.tsv

* &lt;u&gt;List Builder&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Countries ; ''Define a custom list of entities'' = yes ; ''List of entities to consider'' = 03-list-affiliation-continent.tsv ; ''Add a dictionary of equivalent strings'' = yes ; ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'' = yes ; ''List indexation advanced settings'' = yes; ''New indexation name (optional)'' = affiliation_continent

==== 3.2. Heatmaps par continent ====
Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur-représentés ou sous-représentés dans les documents des différents continents.

[[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : 
* Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet &gt; &lt;u&gt;Relaunch script&lt;/u&gt; &gt; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'' = yes ; ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Choose the new field that should be used'' = Countries_custum_affiliation_continent ; T''agging/heatmap Specificity Measure'' = chi2_dir ; V''alue of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Modify the name of the projected cluster'' = heatmaps

==== 3.3. Contingency matrix ====
Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettant de repérer les sur-sous-représentations des continents issus des affiliations au sein des 8 clusters sémantiques identifiés.
[[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Contingency matrix&lt;/u&gt; &gt; ''First field'' = Countries_custum_affiliation_continent ; ''Second field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Contingency matrix options'' &gt; ''Evaluate wether deviations are statistically significant'' = yes

== 4. Analyses géographiques ==
Pour un tutoriel pas à pas – se référer au tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|&quot;La visualisation géospatiale avec Cortext Manager&quot;]]. 

Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique.

==== 4.1. Geocoding des addresses des affiliations ====
Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou encore un code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes.


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :
* &lt;u&gt;Geocoding&lt;/u&gt; &gt; ''Select the field which contains addresses'' = Address ; ''Top scale filter'' = County ; ''Geocoding methods'' = Filtering non-geographical information ; ''Advanced settings'' = yes ; ''Confidence threshold'' = 0.4 

==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ====
Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurale ou urbaines)
[[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Geospatial exploration&lt;/u&gt; &gt;''Assign unclassified points to the nearest area'' = 5 ;''Two-pass URA''  = yes ; ''Initial view map'' = Urban and rural areas</text>
      <sha1>a8dslaw5aqetplfqvcnvz5nmo2bc61f</sha1>
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      <id>983817</id>
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      <contributor>
        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
      </contributor>
      <comment>Mise en forme de la requête plus un commentaire</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12723" sha1="l5np6uehoc1ohfahfmctcwpqbylerpz" xml:space="preserve">== Objectif ==
Ce tutoriel a pour vocation à guider l’utilisateur à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page.

== Présentation du sujet ==
Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et nos modes d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés.

== 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science ==

==== 0.1. Requête de recherche ====
La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête suivante. Utiliser le module « advanced search » du WOS pour lancer la requête :&lt;syntaxhighlight lang=&quot;text&quot;&gt;
TS=(&quot;adapt* to climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat* chang*&quot;
    OR &quot;climat* chang* adapt*&quot;
    OR &quot;adapt* to climat*&quot;
    OR &quot;adapt* climat*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat*&quot;
    OR &quot;climat* adapt*&quot;)
AND PY=(2001-2024)
NOT PY=2025
&lt;/syntaxhighlight&gt;Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.&lt;!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --&gt;

==== 0.2. Téléchargement des données ====
L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers .txt téléchargés pour pouvoir les charger dans un projet Cortext manager.

Cliquez ici pour accéder au jeu de données de la formation

==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; wos-cca-2001-2024.zip

* &lt;u&gt;Data parsing&lt;/u&gt; &gt; ''Type of data'' = dataset ; ''Corpus format'' = ISI

== 1. Exploration du corpus ==
Objectifs : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables.

==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ====
[[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Demography&lt;/u&gt; &gt; ''Which variable'' = Countries ; ''Is the variable categorical or numerical?'' = categorial ; ''Number of top entities to consider'' = 30; ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'' = yes

==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ====
[[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]]
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epich Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Author_Affiliations_Enhanced_WOS ; ''Size of hierarchy'' = 20 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of slice'' = 3  ; ''Time slide distribution'' = regular

== 2. Analyses sémantiques ==
Objectifs : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus.

==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ====

* &lt;u&gt;Term Extraction&lt;/u&gt; &gt; ''Textual Fields'' = Abstract - Title ; ''List length'' = 500 ; ''Lexical extraction advanced settings'' = Yes ; ''Sampling'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 3 ; ''Time slice distribution'' = regular

L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre de documents, c’est-à-dire que l’extraction de termes a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. 

==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ====
Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les termes trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les sujets du corpus. Les groupes nominaux ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). 

* Télécharger la liste .tsv présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravaillée

Cliquez ici pour accéder à la ressource de la formation

==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 02-list-terms-cleaned.tsv

* &lt;u&gt;Term Indexer&lt;/u&gt; &gt; ''Textual fields'' = Abstract - Keywords -Title ; ''Terms List'' = 02-list-terms-cleaned.tsv ; ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'' = 500termsclean3period

==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ====
[[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epic Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = ISIterms500termsclean3period , ''Size of the Hierarchy'' = 10 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 6 ; ''time slices distribution'' = regular

==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ====
Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure Distributional. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus en mettant en évidence les mots qui jouent des fonctions similaires dans les textes. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres termes identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires pour en dégager les principaux espaces sémantiques.

[[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Network mapping&lt;/u&gt; &gt; ''First Field'' = 500termsclean3period ; ''Second field'' = 500termsclean3period ; ''Number of nodes'' = 250 ; ''Nodes advanced settings'' = yes ; ''Node weight'' = frequency ; ''Edges'' &gt; ''Edges filtering advances setting'' = yes ; ''Number of top neighbours to consider'' = 8 ; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Community detection algorithm'' = Louvain resolution ; ''Modify the name of the projected cluster'' = 500termsclean3period

==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ====
Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps.
[[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]]
[[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager 

* &lt;u&gt;Epic Epoc&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Size of the hierarchy'' = 9 ; ''Normalization of frequency count'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of time slice'' = 24 ; ''time slices distribution'' = regular

== 3. Analyses hétérogènes ==
Objectifs : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs).

==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ====
La liste de correspondance « pays – continent » a été créé en utilisant des ressources open data externes. Cliquez ici pour télécharger la ressource.

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 03-list-affiliation-continent.tsv

* &lt;u&gt;List Builder&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Countries ; ''Define a custom list of entities'' = yes ; ''List of entities to consider'' = 03-list-affiliation-continent.tsv ; ''Add a dictionary of equivalent strings'' = yes ; ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'' = yes ; ''List indexation advanced settings'' = yes; ''New indexation name (optional)'' = affiliation_continent

==== 3.2. Heatmaps par continent ====
Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur-représentés ou sous-représentés dans les documents des différents continents.

[[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : 
* Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet &gt; &lt;u&gt;Relaunch script&lt;/u&gt; &gt; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'' = yes ; ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Choose the new field that should be used'' = Countries_custum_affiliation_continent ; T''agging/heatmap Specificity Measure'' = chi2_dir ; V''alue of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Modify the name of the projected cluster'' = heatmaps

==== 3.3. Contingency matrix ====
Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettant de repérer les sur-sous-représentations des continents issus des affiliations au sein des 8 clusters sémantiques identifiés.
[[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Contingency matrix&lt;/u&gt; &gt; ''First field'' = Countries_custum_affiliation_continent ; ''Second field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Contingency matrix options'' &gt; ''Evaluate wether deviations are statistically significant'' = yes

== 4. Analyses géographiques ==
Pour un tutoriel pas à pas – se référer au tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|&quot;La visualisation géospatiale avec Cortext Manager&quot;]]. 

Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique.

==== 4.1. Geocoding des addresses des affiliations ====
Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou encore un code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes.


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :
* &lt;u&gt;Geocoding&lt;/u&gt; &gt; ''Select the field which contains addresses'' = Address ; ''Top scale filter'' = County ; ''Geocoding methods'' = Filtering non-geographical information ; ''Advanced settings'' = yes ; ''Confidence threshold'' = 0.4 

==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ====
Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurale ou urbaines)
[[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Geospatial exploration&lt;/u&gt; &gt;''Assign unclassified points to the nearest area'' = 5 ;''Two-pass URA''  = yes ; ''Initial view map'' = Urban and rural areas</text>
      <sha1>l5np6uehoc1ohfahfmctcwpqbylerpz</sha1>
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      <id>983818</id>
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      <timestamp>2026-06-25T12:22:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
      </contributor>
      <comment>Mise en forme des paramètres, pour les premières opérations</comment>
      <origin>983818</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="12900" sha1="05xpanieyirendlwyqlmo24va2lrtxu" xml:space="preserve">== Objectif ==
Ce tutoriel a pour vocation à guider l’utilisateur à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page.

== Présentation du sujet ==
Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et nos modes d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés.

== 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science ==

==== 0.1. Requête de recherche ====
La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête suivante. Utiliser le module « advanced search » du WOS pour lancer la requête :&lt;syntaxhighlight lang=&quot;text&quot;&gt;
TS=(&quot;adapt* to climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat* chang*&quot;
    OR &quot;climat* chang* adapt*&quot;
    OR &quot;adapt* to climat*&quot;
    OR &quot;adapt* climat*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat*&quot;
    OR &quot;climat* adapt*&quot;)
AND PY=(2001-2024)
NOT PY=2025
&lt;/syntaxhighlight&gt;Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.&lt;!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --&gt;

==== 0.2. Téléchargement des données ====
L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers &lt;code&gt;.txt&lt;/code&gt; téléchargés pour pouvoir les charger dans un projet Cortext manager.

Cliquez ici pour accéder au jeu de données de la formation

==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt;:
** &lt;code&gt;wos-cca-2001-2024.zip&lt;/code&gt;

* &lt;u&gt;Data parsing&lt;/u&gt;:
** ''Type of data'': &lt;code&gt;dataset&lt;/code&gt;
** ''Corpus format'': &lt;code&gt;ISI&lt;/code&gt;

== 1. Exploration du corpus ==
Objectifs : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables.

==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ====
[[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Demography&lt;/u&gt;:
** ''Which variable'': &lt;code&gt;Countries&lt;/code&gt;
** ''Is the variable categorical or numerical?'': &lt;code&gt;categorial&lt;/code&gt;
** ''Number of top entities to consider'': &lt;code&gt;30&lt;/code&gt;
** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;

==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ====
[[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]]
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epich Epoch&lt;/u&gt;:
** ''Field'': &lt;code&gt;Author_Affiliations_Enhanced_WOS&lt;/code&gt;
** ''Size of hierarchy'': &lt;code&gt;20&lt;/code&gt;
** ''Normalization of frequency count'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
** ''Dynamics'':
*** ''Number of slice'': &lt;code&gt;3&lt;/code&gt;
*** ''Time slide distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

== 2. Analyses sémantiques ==
Objectifs : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus.

==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ====

* &lt;u&gt;Term Extraction&lt;/u&gt; &gt; ''Textual Fields'' = Abstract - Title ; ''List length'' = 500 ; ''Lexical extraction advanced settings'' = Yes ; ''Sampling'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 3 ; ''Time slice distribution'' = regular

L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre de documents, c’est-à-dire que l’extraction de termes a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. 

==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ====
Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les termes trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les sujets du corpus. Les groupes nominaux ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). 

* Télécharger la liste .tsv présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravaillée

Cliquez ici pour accéder à la ressource de la formation

==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 02-list-terms-cleaned.tsv

* &lt;u&gt;Term Indexer&lt;/u&gt; &gt; ''Textual fields'' = Abstract - Keywords -Title ; ''Terms List'' = 02-list-terms-cleaned.tsv ; ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'' = 500termsclean3period

==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ====
[[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epic Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = ISIterms500termsclean3period , ''Size of the Hierarchy'' = 10 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 6 ; ''time slices distribution'' = regular

==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ====
Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure Distributional. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus en mettant en évidence les mots qui jouent des fonctions similaires dans les textes. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres termes identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires pour en dégager les principaux espaces sémantiques.

[[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Network mapping&lt;/u&gt; &gt; ''First Field'' = 500termsclean3period ; ''Second field'' = 500termsclean3period ; ''Number of nodes'' = 250 ; ''Nodes advanced settings'' = yes ; ''Node weight'' = frequency ; ''Edges'' &gt; ''Edges filtering advances setting'' = yes ; ''Number of top neighbours to consider'' = 8 ; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Community detection algorithm'' = Louvain resolution ; ''Modify the name of the projected cluster'' = 500termsclean3period

==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ====
Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps.
[[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]]
[[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager 

* &lt;u&gt;Epic Epoc&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Size of the hierarchy'' = 9 ; ''Normalization of frequency count'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of time slice'' = 24 ; ''time slices distribution'' = regular

== 3. Analyses hétérogènes ==
Objectifs : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs).

==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ====
La liste de correspondance « pays – continent » a été créé en utilisant des ressources open data externes. Cliquez ici pour télécharger la ressource.

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 03-list-affiliation-continent.tsv

* &lt;u&gt;List Builder&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Countries ; ''Define a custom list of entities'' = yes ; ''List of entities to consider'' = 03-list-affiliation-continent.tsv ; ''Add a dictionary of equivalent strings'' = yes ; ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'' = yes ; ''List indexation advanced settings'' = yes; ''New indexation name (optional)'' = affiliation_continent

==== 3.2. Heatmaps par continent ====
Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur-représentés ou sous-représentés dans les documents des différents continents.

[[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : 
* Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet &gt; &lt;u&gt;Relaunch script&lt;/u&gt; &gt; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'' = yes ; ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Choose the new field that should be used'' = Countries_custum_affiliation_continent ; T''agging/heatmap Specificity Measure'' = chi2_dir ; V''alue of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Modify the name of the projected cluster'' = heatmaps

==== 3.3. Contingency matrix ====
Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettant de repérer les sur-sous-représentations des continents issus des affiliations au sein des 8 clusters sémantiques identifiés.
[[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Contingency matrix&lt;/u&gt; &gt; ''First field'' = Countries_custum_affiliation_continent ; ''Second field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Contingency matrix options'' &gt; ''Evaluate wether deviations are statistically significant'' = yes

== 4. Analyses géographiques ==
Pour un tutoriel pas à pas – se référer au tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|&quot;La visualisation géospatiale avec Cortext Manager&quot;]]. 

Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique.

==== 4.1. Geocoding des addresses des affiliations ====
Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou encore un code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes.


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :
* &lt;u&gt;Geocoding&lt;/u&gt; &gt; ''Select the field which contains addresses'' = Address ; ''Top scale filter'' = County ; ''Geocoding methods'' = Filtering non-geographical information ; ''Advanced settings'' = yes ; ''Confidence threshold'' = 0.4 

==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ====
Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurale ou urbaines)
[[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Geospatial exploration&lt;/u&gt; &gt;''Assign unclassified points to the nearest area'' = 5 ;''Two-pass URA''  = yes ; ''Initial view map'' = Urban and rural areas</text>
      <sha1>05xpanieyirendlwyqlmo24va2lrtxu</sha1>
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      <timestamp>2026-06-25T12:27:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
      </contributor>
      <comment>/* 2. Analyses sémantiques */ Mise en forme des paramètres</comment>
      <origin>983819</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13084" sha1="s5x3l4a1a1xgpk5gjf8iu749gox3etp" xml:space="preserve">== Objectif ==
Ce tutoriel a pour vocation à guider l’utilisateur à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page.

== Présentation du sujet ==
Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et nos modes d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés.

== 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science ==

==== 0.1. Requête de recherche ====
La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête suivante. Utiliser le module « advanced search » du WOS pour lancer la requête :&lt;syntaxhighlight lang=&quot;text&quot;&gt;
TS=(&quot;adapt* to climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat* chang*&quot;
    OR &quot;climat* chang* adapt*&quot;
    OR &quot;adapt* to climat*&quot;
    OR &quot;adapt* climat*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat*&quot;
    OR &quot;climat* adapt*&quot;)
AND PY=(2001-2024)
NOT PY=2025
&lt;/syntaxhighlight&gt;Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.&lt;!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --&gt;

==== 0.2. Téléchargement des données ====
L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers &lt;code&gt;.txt&lt;/code&gt; téléchargés pour pouvoir les charger dans un projet Cortext manager.

Cliquez ici pour accéder au jeu de données de la formation

==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt;:
** &lt;code&gt;wos-cca-2001-2024.zip&lt;/code&gt;

* &lt;u&gt;Data parsing&lt;/u&gt;:
** ''Type of data'': &lt;code&gt;dataset&lt;/code&gt;
** ''Corpus format'': &lt;code&gt;ISI&lt;/code&gt;

== 1. Exploration du corpus ==
Objectifs : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables.

==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ====
[[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Demography&lt;/u&gt;:
** ''Which variable'': &lt;code&gt;Countries&lt;/code&gt;
** ''Is the variable categorical or numerical?'': &lt;code&gt;categorial&lt;/code&gt;
** ''Number of top entities to consider'': &lt;code&gt;30&lt;/code&gt;
** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;

==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ====
[[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]]
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epich Epoch&lt;/u&gt;:
** ''Field'': &lt;code&gt;Author_Affiliations_Enhanced_WOS&lt;/code&gt;
** ''Size of hierarchy'': &lt;code&gt;20&lt;/code&gt;
** ''Normalization of frequency count'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
** ''Dynamics'':
*** ''Number of slice'': &lt;code&gt;3&lt;/code&gt;
*** ''Time slide distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

== 2. Analyses sémantiques ==
Objectifs : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus.

==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ====

* &lt;u&gt;Term Extraction:&lt;/u&gt;
** ''Textual Fields'': &lt;code&gt;Abstract&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Title&lt;/code&gt;
** ''List length'': &lt;code&gt;500&lt;/code&gt;
** ''Lexical extraction advanced settings'': &lt;code&gt;Yes&lt;/code&gt;
** ''Sampling'': &lt;code&gt;no&lt;/code&gt;
** ''Dynamics:''
*** ''Number of time slice'': &lt;code&gt;3&lt;/code&gt;
*** ''Time slice distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre de documents, c’est-à-dire que l’extraction de termes a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. 

==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ====
Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les termes trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les sujets du corpus. Les groupes nominaux ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). 

* Télécharger la liste &lt;code&gt;.tsv&lt;/code&gt; présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler.

Cliquez ici pour accéder à la ressource de la formation

==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt;: &lt;code&gt;02-list-terms-cleaned.tsv&lt;/code&gt;

* &lt;u&gt;Term Indexer&lt;/u&gt;:
** ''Textual fields'': &lt;code&gt;Abstract&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Keywords&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Title&lt;/code&gt;
** ''Terms List'' = &lt;code&gt;02-list-terms-cleaned.tsv&lt;/code&gt;
** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': &lt;code&gt;500termsclean3period&lt;/code&gt;

==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ====
[[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epic Epoch&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = ISIterms500termsclean3period , ''Size of the Hierarchy'' = 10 ; ''Normalization of frequency count'' = yes ; ''Dynamics'' &gt; ; ''Number of time slice'' = 6 ; ''time slices distribution'' = regular

==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ====
Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure Distributional. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus en mettant en évidence les mots qui jouent des fonctions similaires dans les textes. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres termes identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires pour en dégager les principaux espaces sémantiques.

[[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Network mapping&lt;/u&gt; &gt; ''First Field'' = 500termsclean3period ; ''Second field'' = 500termsclean3period ; ''Number of nodes'' = 250 ; ''Nodes advanced settings'' = yes ; ''Node weight'' = frequency ; ''Edges'' &gt; ''Edges filtering advances setting'' = yes ; ''Number of top neighbours to consider'' = 8 ; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Community detection algorithm'' = Louvain resolution ; ''Modify the name of the projected cluster'' = 500termsclean3period

==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ====
Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps.
[[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]]
[[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager 

* &lt;u&gt;Epic Epoc&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Size of the hierarchy'' = 9 ; ''Normalization of frequency count'' = no ; ''Dynamics'' &gt; ''Number of time slice'' = 24 ; ''time slices distribution'' = regular

== 3. Analyses hétérogènes ==
Objectifs : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs).

==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ====
La liste de correspondance « pays – continent » a été créé en utilisant des ressources open data externes. Cliquez ici pour télécharger la ressource.

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 03-list-affiliation-continent.tsv

* &lt;u&gt;List Builder&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Countries ; ''Define a custom list of entities'' = yes ; ''List of entities to consider'' = 03-list-affiliation-continent.tsv ; ''Add a dictionary of equivalent strings'' = yes ; ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'' = yes ; ''List indexation advanced settings'' = yes; ''New indexation name (optional)'' = affiliation_continent

==== 3.2. Heatmaps par continent ====
Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur-représentés ou sous-représentés dans les documents des différents continents.

[[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : 
* Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet &gt; &lt;u&gt;Relaunch script&lt;/u&gt; &gt; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'' = yes ; ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Choose the new field that should be used'' = Countries_custum_affiliation_continent ; T''agging/heatmap Specificity Measure'' = chi2_dir ; V''alue of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Modify the name of the projected cluster'' = heatmaps

==== 3.3. Contingency matrix ====
Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettant de repérer les sur-sous-représentations des continents issus des affiliations au sein des 8 clusters sémantiques identifiés.
[[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Contingency matrix&lt;/u&gt; &gt; ''First field'' = Countries_custum_affiliation_continent ; ''Second field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Contingency matrix options'' &gt; ''Evaluate wether deviations are statistically significant'' = yes

== 4. Analyses géographiques ==
Pour un tutoriel pas à pas – se référer au tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|&quot;La visualisation géospatiale avec Cortext Manager&quot;]]. 

Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique.

==== 4.1. Geocoding des addresses des affiliations ====
Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou encore un code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes.


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :
* &lt;u&gt;Geocoding&lt;/u&gt; &gt; ''Select the field which contains addresses'' = Address ; ''Top scale filter'' = County ; ''Geocoding methods'' = Filtering non-geographical information ; ''Advanced settings'' = yes ; ''Confidence threshold'' = 0.4 

==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ====
Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurale ou urbaines)
[[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Geospatial exploration&lt;/u&gt; &gt;''Assign unclassified points to the nearest area'' = 5 ;''Two-pass URA''  = yes ; ''Initial view map'' = Urban and rural areas</text>
      <sha1>s5x3l4a1a1xgpk5gjf8iu749gox3etp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>983820</id>
      <parentid>983819</parentid>
      <timestamp>2026-06-25T12:35:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Solstag</username>
        <id>13856</id>
      </contributor>
      <comment>/* 2. Analyses sémantiques */ mise en forme des paramètres</comment>
      <origin>983820</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="13345" sha1="mpr0fh56hb9wxh76amsd8h3v6zblwo5" xml:space="preserve">== Objectif ==
Ce tutoriel a pour vocation à guider l’utilisateur à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page.

== Présentation du sujet ==
Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et nos modes d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés.

== 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science ==

==== 0.1. Requête de recherche ====
La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête suivante. Utiliser le module « advanced search » du WOS pour lancer la requête :&lt;syntaxhighlight lang=&quot;text&quot;&gt;
TS=(&quot;adapt* to climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* climat* chang*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat* chang*&quot;
    OR &quot;climat* chang* adapt*&quot;
    OR &quot;adapt* to climat*&quot;
    OR &quot;adapt* climat*&quot;
    OR &quot;adapt* for climat*&quot;
    OR &quot;climat* adapt*&quot;)
AND PY=(2001-2024)
NOT PY=2025
&lt;/syntaxhighlight&gt;Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.&lt;!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --&gt;

==== 0.2. Téléchargement des données ====
L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers &lt;code&gt;.txt&lt;/code&gt; téléchargés pour pouvoir les charger dans un projet Cortext manager.

Cliquez ici pour accéder au jeu de données de la formation

==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt;:
** &lt;code&gt;wos-cca-2001-2024.zip&lt;/code&gt;

* &lt;u&gt;Data parsing&lt;/u&gt;:
** ''Type of data'': &lt;code&gt;dataset&lt;/code&gt;
** ''Corpus format'': &lt;code&gt;ISI&lt;/code&gt;

== 1. Exploration du corpus ==
Objectifs : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables.

==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ====
[[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Demography&lt;/u&gt;:
** ''Which variable'': &lt;code&gt;Countries&lt;/code&gt;
** ''Is the variable categorical or numerical?'': &lt;code&gt;categorial&lt;/code&gt;
** ''Number of top entities to consider'': &lt;code&gt;30&lt;/code&gt;
** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;

==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ====
[[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]]
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epich Epoch&lt;/u&gt;:
** ''Field'': &lt;code&gt;Author_Affiliations_Enhanced_WOS&lt;/code&gt;
** ''Size of hierarchy'': &lt;code&gt;20&lt;/code&gt;
** ''Normalization of frequency count'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
** ''Dynamics'':
*** ''Number of slice'': &lt;code&gt;3&lt;/code&gt;
*** ''Time slide distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

== 2. Analyses sémantiques ==
Objectifs : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus.

==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ====

* &lt;u&gt;Term Extraction:&lt;/u&gt;
** ''Textual Fields'': &lt;code&gt;Abstract&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Title&lt;/code&gt;
** ''List length'': &lt;code&gt;500&lt;/code&gt;
** ''Lexical extraction advanced settings'': &lt;code&gt;Yes&lt;/code&gt;
** ''Sampling'': &lt;code&gt;no&lt;/code&gt;
** ''Dynamics:''
*** ''Number of time slice'': &lt;code&gt;3&lt;/code&gt;
*** ''Time slice distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre de documents, c’est-à-dire que l’extraction de termes a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. 

==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ====
Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les termes trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les sujets du corpus. Les groupes nominaux ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). 

* Télécharger la liste &lt;code&gt;.tsv&lt;/code&gt; présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler.

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==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ====
Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt;: &lt;code&gt;02-list-terms-cleaned.tsv&lt;/code&gt;

* &lt;u&gt;Term Indexer&lt;/u&gt;:
** ''Textual fields'': &lt;code&gt;Abstract&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Keywords&lt;/code&gt;, &lt;code&gt;Title&lt;/code&gt;
** ''Terms List'' = &lt;code&gt;02-list-terms-cleaned.tsv&lt;/code&gt;
** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': &lt;code&gt;500termsclean3period&lt;/code&gt;

==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ====
[[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Epic Epoch&lt;/u&gt;:
** ''Field'': &lt;code&gt;ISIterms500termsclean3period&lt;/code&gt;
** ''Size of the Hierarchy'': &lt;code&gt;10&lt;/code&gt;
** ''Normalization of frequency count'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
** ''Dynamics'':
*** ''Number of time slice'': &lt;code&gt;6&lt;/code&gt;
*** ''time slices distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ====
Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure Distributional. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus en mettant en évidence les mots qui jouent des fonctions similaires dans les textes. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres termes identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires pour en dégager les principaux espaces sémantiques.

[[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Network mapping&lt;/u&gt;:
** ''First Field'': &lt;code&gt;500termsclean3period&lt;/code&gt;
** ''Second field'': &lt;code&gt;500termsclean3period&lt;/code&gt;
** ''Number of nodes'': &lt;code&gt;250&lt;/code&gt;
** ''Nodes advanced settings'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
** ''Node weight'': &lt;code&gt;frequency&lt;/code&gt;
** ''Edges:''
*** ''Edges filtering advances setting'': &lt;code&gt;yes&lt;/code&gt;
*** ''Number of top neighbours to consider'': &lt;code&gt;8&lt;/code&gt;
** ''Network analysis and layout''
*** ''Community detection algorithm'': &lt;code&gt;Louvain resolution&lt;/code&gt;
*** ''Modify the name of the projected cluster'': &lt;code&gt;500termsclean3period&lt;/code&gt;

==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ====
Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps.
[[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]]
[[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]]

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager 

* &lt;u&gt;Epic Epoch:&lt;/u&gt;
** ''Field'': &lt;code&gt;projection_cluster_500termsclean3period&lt;/code&gt;
** ''Size of the hierarchy'': &lt;code&gt;9&lt;/code&gt;
** ''Normalization of frequency count'': &lt;code&gt;no&lt;/code&gt;
** ''Dynamics:''
*** ''Number of time slice'': &lt;code&gt;24&lt;/code&gt;
*** ''time slices distribution'': &lt;code&gt;regular&lt;/code&gt;

== 3. Analyses hétérogènes ==
Objectifs : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs).

==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ====
La liste de correspondance « pays – continent » a été créé en utilisant des ressources open data externes. Cliquez ici pour télécharger la ressource.

Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Upload file&lt;/u&gt; &gt; 03-list-affiliation-continent.tsv

* &lt;u&gt;List Builder&lt;/u&gt; &gt; ''Field'' = Countries ; ''Define a custom list of entities'' = yes ; ''List of entities to consider'' = 03-list-affiliation-continent.tsv ; ''Add a dictionary of equivalent strings'' = yes ; ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'' = yes ; ''List indexation advanced settings'' = yes; ''New indexation name (optional)'' = affiliation_continent

==== 3.2. Heatmaps par continent ====
Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur-représentés ou sous-représentés dans les documents des différents continents.

[[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : 
* Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet &gt; &lt;u&gt;Relaunch script&lt;/u&gt; &gt; ''Network analysis and layout'' &gt; ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'' = yes ; ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Choose the new field that should be used'' = Countries_custum_affiliation_continent ; T''agging/heatmap Specificity Measure'' = chi2_dir ; V''alue of the field you wish to plot the heatmap of'' = #exhaustive ; ''Modify the name of the projected cluster'' = heatmaps

==== 3.3. Contingency matrix ====
Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettant de repérer les sur-sous-représentations des continents issus des affiliations au sein des 8 clusters sémantiques identifiés.
[[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Contingency matrix&lt;/u&gt; &gt; ''First field'' = Countries_custum_affiliation_continent ; ''Second field'' = projection_cluster_500termsclean3period ; ''Contingency matrix options'' &gt; ''Evaluate wether deviations are statistically significant'' = yes

== 4. Analyses géographiques ==
Pour un tutoriel pas à pas – se référer au tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|&quot;La visualisation géospatiale avec Cortext Manager&quot;]]. 

Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique.

==== 4.1. Geocoding des addresses des affiliations ====
Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou encore un code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes.


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :
* &lt;u&gt;Geocoding&lt;/u&gt; &gt; ''Select the field which contains addresses'' = Address ; ''Top scale filter'' = County ; ''Geocoding methods'' = Filtering non-geographical information ; ''Advanced settings'' = yes ; ''Confidence threshold'' = 0.4 

==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ====
Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurale ou urbaines)
[[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]]


Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager :

* &lt;u&gt;Geospatial exploration&lt;/u&gt; &gt;''Assign unclassified points to the nearest area'' = 5 ;''Two-pass URA''  = yes ; ''Initial view map'' = Urban and rural areas</text>
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Avant d'étudier les personnages un par un, il faut comprendre une particularité de la manière dont Zola les conçoit. Dans ''Germinal'', les personnages ne sont pas d'abord des individus singuliers et imprévisibles, comme on peut en trouver chez d'autres romanciers : ce sont avant tout des représentants, c'est-à-dire des figures choisies pour incarner un groupe social, un métier, une condition. Le critique Philippe Hamon a montré que le personnel des ''Rougon-Macquart'' forme un véritable système, où chaque figure se définit moins par sa psychologie propre que par sa place dans un réseau d'oppositions&lt;ref&gt;Philippe Hamon, ''Le Personnel du roman. Le système des personnages dans les « Rougon-Macquart » d'Émile Zola'', Droz, 1983 ; voir aussi Colette Becker, ''La Fabrique de « Germinal »'', SEDES, 1986, sur les personnages conçus comme des « fonctions ».&lt;/ref&gt;. Comme l'écrit Colette Becker, beaucoup de personnages de Zola sont « très nettement déterminés par l'hérédité et le milieu » et fonctionnent, à l'intérieur de la construction romanesque, comme des « fonctions ».

Cette logique explique le choix de Zola de regrouper ses personnages en familles. Une famille permet en effet de montrer une condition sociale dans toute son épaisseur : les conditions de logement, l'alimentation, l'hygiène, l'éducation, les rapports entre générations. Le dossier préparatoire le dit clairement : Zola voulait « toute une famille à opposer à la famille de [s]es actionnaires »&lt;ref&gt;Note de l'Ébauche citée par Elliott M. Grant, ''Zola's « Germinal ». A Critical and Historical Study'', Leicester University Press, 1962, p. 205-206.&lt;/ref&gt;. C'est pourquoi l'on peut décrire le personnel du roman comme une fresque en familles types : trois familles de mineurs (les Maheu, les Levaque, les Pierron) et trois familles de bourgeois (les Grégoire, les Hennebeau, les Deneulin), encadrées par les deux héros (Étienne et Catherine) et complétées par une série de figures secondaires. Chaque famille incarne une variante d'une même condition, et c'est de leur confrontation que naît le sens du roman.

== Notes ==
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Étienne Lantier est le héros et le fil conducteur du roman : c'est par ses yeux que le lecteur découvre la mine, et c'est son parcours qui donne au récit sa cohérence. Jeune ouvrier d'une vingtaine d'années, il est né à Plassans en 1846, fils de Gervaise Macquart (l'héroïne de ''L'Assommoir'') et d'Auguste Lantier. Il appartient donc à la branche des Macquart, marquée par une lourde hérédité alcoolique. Ancien machineur, c'est-à-dire mécanicien sur les chemins de fer, il a été renvoyé pour avoir giflé un chef, et c'est sans travail qu'il arrive à Montsou.

Ce qui fait l'intérêt d'Étienne, c'est qu'il évolue au cours du roman : il n'est pas un personnage figé mais un personnage en formation. Au début, c'est une figure assez effacée, un ouvrier comme les autres ; mais, comme le note la critique, deux traits le distinguent peu à peu de ses camarades&lt;ref&gt;Jacques Vassevière, ''Germinal, Émile Zola'', Nathan, coll. « Balises », 1989 ; voir aussi Henriette Psichari, ''Anatomie d'un chef-d'œuvre. Germinal'', Mercure de France, 1964, chapitre « L'éducation d'un militant ».&lt;/ref&gt;. D'une part, une instruction plus large que celle des mineurs, qui nourrit son ambition et fait de lui ce que Zola appelle un « demi-monsieur », un « demi-savant, plein de trous, plein d'affirmation et de doute ». D'autre part, une chasteté qui le tient à l'écart des plaisirs ordinaires du coron (la boisson et les filles) et le rapproche de la figure solitaire de Souvarine. Hébergé chez les Maheu, devenu bon haveur, lecteur de brochures socialistes, Étienne devient le chef du coron, puis le meneur de la grève. Son idéologie est celle du collectivisme autoritaire, inspiré de Jules Guesde. À la fin du roman, après avoir tué Chaval et perdu Catherine au fond de la mine, il quitte Montsou pour Paris, où il poursuivra la lutte. Un détail de sa genèse mérite d'être signalé : dans l'arbre généalogique des ''Rougon-Macquart'', Étienne était promis à un destin d'assassin par hérédité ; Zola a atténué cette « folie homicide » dans ''Germinal'' (elle n'éclate qu'une fois, dans le meurtre de Chaval), réservant sa version aboutie à un autre frère, Jacques Lantier, héros de ''La Bête humaine''.

== Notes ==
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À côté de l'intrigue politique court une intrigue amoureuse, dont l'héroïne est Catherine Maheu. Âgée de quinze ans, herscheuse comme tant de filles du coron, elle est décrite comme résignée et anémique : le travail précoce et la misère ont retardé sa croissance et l'ont marquée physiquement. Fille aînée des Maheu encore au foyer, elle est partagée entre deux hommes, et c'est ce déchirement qui constitue son drame.

Le roman met en effet en place un triangle amoureux entre Catherine, Étienne et Chaval. Étienne et Catherine éprouvent l'un pour l'autre une attirance immédiate, mais qui ne pourra jamais se réaliser avant la toute fin. Car c'est Chaval, mineur célibataire et brutal originaire du Pas-de-Calais, qui prend possession de la jeune fille, d'abord symboliquement en l'embrassant devant Étienne, puis physiquement. Catherine cède à Chaval « avec cette soumission héréditaire qui, dès l'enfance, culbutait en plein vent les filles de sa race », mais c'est à Étienne qu'elle pense&lt;ref&gt;Jacques Vassevière, ''Germinal, Émile Zola'', Nathan, 1989, analyse des « situations triangulaires ».&lt;/ref&gt;. La critique a remarqué que ce triangle se double d'un second, parallèle, entre les trois enfants précoces (Jeanlin, qui s'est approprié Lydie, et Bébert, qui en est écarté), comme si Zola répétait à un autre niveau la même structure de rivalité. L'intrigue amoureuse et l'intrigue politique se rejoignent au dénouement : c'est seulement au fond de la mine inondée, après qu'Étienne a tué Chaval, que les deux jeunes gens connaissent enfin leur « nuit de noces », avant que Catherine ne meure d'épuisement.

== Notes ==
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