Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 5068 984308 967714 2026-07-07T11:08:59Z Crochet.david.bot 1005 corrections en provenance de « Check Wikipedia » 984308 wikitext text/x-wiki {{Entête de fiche | idfaculté = socio-anthropologie | nom = l'audit de marché }} == Étude de marché == === Données chiffrées générales sur les vente d’un produit === ==== Qu'est-ce qu'un marché ==== ;Quels est le produit ou le service ? Définir clairement le produit Exemple : Le marche de dépôt bancaire = compte de chèque postaux ou compte d'épargne ? Le marché de transport de voyageur entre Paris et Bordeaux pour {{Abréviation|S.N.C.F.|Société Nationale des Chemins de Fer}} = Ceux qui prennent le train ou ceux qui prennent aussi l'avion et la voiture. ;Choix d'unité de mesure : * Unité physique : Tonnes de blés, kilowatts d'électricité. * Définition spécifique : Parc (déjà acheté) exemple des réfrigérateurs installés * Ventes : Exemple Les réfrigérateurs à vendre ;Critères de segmentation des ventes : Les critères pour procéder à l'analyse : * Critères géographiques : Les ventes par zones région, pays * Critères liées aux caractéristiques du produit : Pour le marché de voiture, cylindrée, prix et nombre de place * Critères liées aux caractéristiques des acheteurs : les utilisateurs familiaux et professionnels, vente aux constructeurs et pour les particuliers * Critères liées à la nature de l'achat : Pour le marché de télévision, les premiers postes au foyer, les remplacements, et le deuxième poste * Critères liées aux producteurs et aux marques: Part de marché par producteurs et/ou marques de produit. ;Le marché réel et potentiel * réel : Le volume de vente effective * potentiel : estimation de volume max que pourraient atteindre les volumes de ventes. === Définition large du marché === ==== La clientèle finale ==== Celui qui exerce une influence directe sur les ventes d’un produit: Consommateur, utilisateurs, usagers. ==== Les acheteurs ==== Les acheteurs peuvent être différent des utilisateurs, exemple des mamans qui achètent des couches pour leurs enfants. Les utilisateurs sont les enfants tandis que les acheteurs sont les mères. ==== Les prescripteurs ==== Pour certain produit ou service, il y a une influence déterminante sur la consommation et l'achat du produit, ou encore sur le choix de la marque, de certains tiers qui jouent le rôle de prescripteurs ou de conseil.<br /> Les pédiatres et les puéricultrices, ont une influence sur les mères. Les vétérinaires, les architectes et les docteurs ont aussi une influence sur leurs clients. ==== Les distributeurs ==== Entre les producteurs et les consommateurs se trouvent un système de distribution compose de divers agents: Courtiers grossiste, centrales d'achat, détaillants etc. Ils exercent un grande influence sur les consommateurs : soit par le choix qu’ils font eux-mêmes des produits qu’ils vendront, soit par la présentation et la promotion de ces produits, soit mêmes par le rôle de conseils qu’ils jouent parfois auprès des acheteurs. (Exemple : pharmaciens, opticiens, épiciers pour les vins fins). ==== Les producteurs concurrents ==== Le comportement de nos concurrents influence nos ventes. Par leur politique de gamme offerte, par le prix pratiques, la communication et la distribution ==== Le macro-environnement ==== C'est l'influence de la société dans laquelle nous vivons. L'environnement technologiques : Le développement des sciences et des techniques, et la facilite croissantes de consommateurs à le pratiquer, incite les entreprises à pratiquer une politique d`innovation. L'environnement institutionnel : C’est l’ensemble des institutions publiques, des lois et des règlements qui peuvent agir sur l'entreprise. Les taxes, le marché commun : Office de blé, le permis de conduire en sont des exemples. L'environnement démographique, économique et social : Les nombres de naissance, le niveau d'instruction, influence la vente des couches culottes ou la consommation des services loisirs. L'environnement culturel : Ensemble de traditions, de souvenirs collectifs, de connaissances communes, de croyances, de valeurs etc. La culture française est plutôt orientée vers l'hédonisme avec un désiré profond de la sécurité, de plus existe le libéralisme des mœurs accompagne par un culte de la jeunesse. == Principales catégories d'information descriptive == Recueillir des informations pertinents sur les différents publics constitutifs de ce marché : === Les caractéristiques externes d’un public === * Leur nombre * Leur répartition géographique * Leur répartition en fonction de : ** Leur sexe ** L'âge * Le niveau d'instruction * Le niveau de revenu * L'activité professionnelle * Le secteur d'activité de l'entreprise client * Le statut juridique de l'entreprise client === Les comportements effectifs === ==== Comportements de consommation et d’utilisation ==== * Qui consomme ou utilise: Père, mère, enfants * Où consomme-t-on : À la maison, au bureau, en voyage. * Quand consomme-t-on : À quelles période de l'année, jours et heures ou occasion, avec quelle fréquence. * Que consomme-t-on : marques, modèles, présentations, quantités consommées à chaque occasion. * Comment (habitude d’emploi) * Combien consomme-t-on : par exemple sous forme de répartition entre consommateur gros, moyen et petit. ==== Habitudes et processus d'achat ==== * Qui achète * Qui prescrit * Qui influence * Où achète-t-on * Quand achète-t-on : Moments et fréquence * Comment achète-t-on : Existence et durée de la période d'exploration et d'information ( ⇒ achat impulsif ou réfléchi), type d'information recherché au cours de cette période, source d'information (Visite des magasins, recherche de documents). Si c’est l'entreprise qui achète qui participe à la décision de l'achat. ==== Comportements de concurrents ==== * S'informer en permanence des stratégies et des méthodes mercatiques des concurrents : * Quels produit ou service proposent–t-ils * Leurs tarifs et leurs conditions de ventes * Le circuit de distribution utilisé * L'importance et l'organisation de leur force de vente * Leurs budgets de communication et comment l'utilise t-ils. === Les comportements mentaux === ==== Besoins, motivations, désirs, attentes ==== Besoins de prestiges, d'affirmation de soi, de sécurité, de confort, d'économie etc. Cela peut constituer des critères de choix pour des voitures. ==== Notoriété et image des produits et des marques ==== La notoriété : Le pourcentage de personnes qui connaissent cet objet. Trois degrés existent : Notoriété spontanée, notoriété Top Of Mind, Notoriété assistée. L'image : L'ensemble des connaissances (le prix, la consommation en essence, sa vitesse de pointe), des croyances (Qualités et défauts du produit robuste et maniabilité), des opinions et des évocations (Belle ou laide, distingue ou vulgaire, originale ou banale, moderne ou vieux jeu) qui sont associé a cet objet par un individu ou un public déterminé. ==== Attitudes Globales ==== Le degré d`adéquation de l'image que l'individu se fait de l’objet considère avec ses propres besoins, motivations et attentes. Il se défini par des degrés : Favorable, Indiffèrent, Défavorable. == Les principales techniques d'études descriptive du marché == === Les études documentaires (analyses des données secondaires) === ==== Principes ==== INSEE, L'institut National de Démographie, Syndicat National, Le centre national de commerce extérieur. L'évolution des ventes d’un produit, par région, par client, sur les prix pratiques, sur les sommes dépensées en publicité, en promotion des ventes, fichier de clientèle. ==== Avantages et inconvénients de ce type de données ==== Il est moins couteux, disponible rapidement, et donne une vue sur le passe. Mais il ne donne pas toujours les renseignements recherche, surtout ceux sur : les caractéristiques et les comportements des consommateurs, des distributeurs etc.<br /> Or des fois il est possible d’utiliser certains données comme approximation de l'autre : Par exemple, Les données sur la consommation peuvent être utilisées pour faire l'approximation sur les revenus.<br /> Autre inconvénients est de savoir la qualité des données. === Les études qualitative ou études en profondeur === ==== Les entretiens libres ==== On laisse parler librement l'interview sur un certain sujet, le rôle du psychologue consiste à relancer la conversation.<br /> Cette technique est couteuse et d’emploi difficile.<br /> Exige des enquêteurs très qualifié et donne de bonne résultat que si l'interview est longue.<br /> Elle ne convient pas à tous les sujets. ==== Les réunions de groupes ==== On réuni 6 a 12 personnes autour d'une table et on les laisse parler autour d’un sujet déterminé.<br /> Le psychologue doit faire éviter le groupe de dévier du sujet.<br /> L'inconvénient est de faire ressortir des opinions peu sincères.<br /> La réunion de groupe est couteuse et dune interprétation difficile.<br /> L'intérêt et la validité de l'information dépend plus de la qualité du praticien que de la technique utilisée. ==== Les techniques projectifs ==== On fait parler la personne sur un sujet extérieur à elle sur lequel elle projette ses propres idées et sa propre personnalité.<br /> Les tests d'association : C’est un jeu dans lequel l'intervieweur doit associer à diverses marques, diverses personnalités (les personnalités doivent être très typées. Ou bien il faut associer des adjectifs à des marques (Matching Test).<br /> Les tests d'expression : On demande au sujet de compléter des phrases inachevées.<br /> Les Thematic Aperception Tests (T.A.T.) : On fait apporter des précisions par le sujet sur une situation données. Pour cela on donne des photos représentant des situations (l'homme qui est impatient, l'homme qui attend, etc.) Ses techniques qualitatives permettent d'analyser en profondeur les comportements mentaux d’un public. Mais ce sont des techniques complexes, leurs couts sont élevées, ne peuvent être effectué sur un petit nombre d'individu. Ils permettent de constituer des hypothèses qui doivent être vérifié par des enquêtes par sondages. === Les enquêtes par sondages === Elles sont réalisées d'une manière ponctuelle dans le temps, à l'aide d’un questionnaire. ==== Principes de sondages, et problème d'échantillonnage ==== Le recensement compte la totalité d'une population.<br /> Une enquête par sondage permet d'obtenir une connaissance approchée des caractéristiques de la population étudiée auprès d’un échantillon. ;La procédure d'échantillonnage : Définition de l'unité de sondage, est-ce les individus ou la famille ou les entreprises industrielles et commerciales, ou les communes. Taille de l'échantillon, la précision des estimations est plus liée à la taille absolue d’un échantillon (1000 personnes) qu'au rapport entre taille et population totale (1000 sur 50.000.000) (appelée aussi taux de sondage).<br /> La précision des estimations varie proportionnellement à la racine carrée des estimations elle-même.<br /> La procédure de sélection de l'échantillon et la procédure de recueil de l'information vont influencer la validité des estimations tirées du sondage. ;Procédures de sélection de l'échantillon : * Les échantillons aléatoires : Tirage au sort * Les échantillons par quotas : l'échantillon étudié devra avoir sensiblement la même composition que la population totale, par rapport à certain critère de base : le sexe, l'âge, la catégorie socioprofessionnelle, la région et la catégorie de ville habitée. * La méthode des itinéraires : Elle consiste à reproduire les conditions d’un tirage au sort en fixant aux enquêteurs des règles strictes de sélection. Ex : Faire l'enquête à tous les numéros pairs d’un immeuble. * Les échantillons arbitraires : Tous les choix sont arbitraires en vue de procéder à une enquête exploratoire. Dans tous les cas préciser la méthode et la taille de l'échantillon pour mesurer la validité statistique. ==== La rédaction du questionnaire ==== Petit texte expliquant l’objet de l'enquête<br /> Questionnaire court et question simple<br /> L'ordre des questions influencera les réponses<br /> Les règles relatives à la longueur et à la structure du questionnaire: * Le questionnaire est court alors moins de refus, plus de précision aux réponses, moins de fatigue * La motivation de la personne pour la question joue un rôle important. * L'ordre des questions influencent les réponses. Commencer par des questions faciles, Regrouper les questions par thèmes, les thèmes doivent suivre un ordre logique. Les principales catégories de question : * Les questions ouvertes : Liberté de la longueur de la réponse * Les questions fermées : Existe très peu de réponses possibles * Les questions préformées : Le nombre de réponse possible n’est pas limite, mais avec un choix limité de réponses, mais ne donne pas la liberté d'exprimer sa propre opinion, et suggère des réponses. * Les échelles d'attitude : mesure la direction et l'intensité des attitudes, envers un produit, d'une marque d’un comportement. Les principales embuches : * Ne pas poser les questions directement. Décomposez les questions en plusieurs questions compréhensibles. * Ne pas employer les mots comme : Souvent, parfois, récemment, habituellement. * Ne pas poser deux questions, en une seule question. * Ne pas demander des questions trop précises. Les questions sur les comportements futurs et hypothétiques comportent des risques. * Ne pas poser des questions brutales. Cela incite à mentir. * Ne pas poser des questions qui orientent la réponse. Mode d'administration des questionnaires : * Enquêtes postales ou en ligne * Enquête par téléphone * Les enquêtes face à face * Les enquêtes par observation {{Bas de page | idfaculté = socio-anthropologie | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = }} [[Catégorie:Commerce]] r44lepi71f5lwvof5m0f6dec7uxpvud 0 44260 984305 970070 2026-07-07T11:07:58Z Crochet.david 317 . 984305 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = langues | numéro = 3 | précédent = [[../Autres graphies/]] | suivant = [[../|Sommaire]] | niveau = 2 }} == Comment écrire ? == * En 1903, Felix Fabart dit Ech’ Tahon écrivait : ::{{lang|pcd|'''''L’meilleure orthougraphe à imployi, ch’étoit chelle qui, tout en amenant l’prounonciation à nous tayons, s’rapprouchoit l’puss’ du français d’à ch’l’heure, et j’ai laissii d’côté l’magnière baroque d’cheuss’ qui mettent des k bancroches, à tout bout d’champ, des apoustrophes n’en veux-tu, n’en v’lo, et qui habillent ches mouts picards comme os habille ches caromaros du mardi-gros.'''''}} ::<small>La meilleure orthographe à employer, c’était celle qui, tout en amenant la prononciation de nos ancêtres, se rapprochait le plus du français d'aujourd'hui, et j’ai laissé de côté la manière baroque de ceux qui mettent des k brancals, à tout bout de champ, des apostrophes en veux-tu en voilà, et qui habillent les mots picard comme on habille les caromaros du mardi-gras.</small> == Écriture phonétique == * exemple d'écriture phonétique par Edouard PARIS = {| class="wikitable" ! Edouard PARIS !! graphie Feller-Carton !! français |- |'''''{{lang|pcd|é pi kan l' pleuv al é kyeut, ék ché rivièr iz on débordè, ké ch' vin ô souflè pi k' il é vnu s' abat édsu l' mouézon lô, a n' é pouin kyeut, pach k' al étoué bâti su dé l' pièr.}}''''' | {{lang|pcd|et pi quant l'pleuve al est kieue, éq chés rivières is ont débordé, qué ch'vint o souflé pi qu’il est vnu s'abate édsu l'mouézon lo, a n'est pouin kieu, pacheque al étoué batie su deul pière.}} | et puis quand la pluie est tombée, que les rivières ont débordé, que le vent a soufflé et qu’il est venu abattre sur cette maison là, elle n’est pas tombée, parce qu'elle était bâtie sur de la pierre. |- |} On passe de l'écriture phonétique (transcription directe des sons) à l'écriture Feller-Carton en ajoutant des couches idéographiques telles que le s du pluriel, le e du féminin, des lettres muettes pour se rapprocher de la graphie du français, etc ...: :::: ché rivièr → chés rivières avec s pour marquer le pluriel et e muet pour se rapprocher du français :::: pour se rapprocher du français: ch' vin → ch'vint ; kan → quant ; pièr → pière ; k' il é vnu → qu’il est vnu ... == Picard de la région de Tournai == Dans la région de Tournai, on remarque des écritures comme ieau, eon, ... i.e. on ajoute souvent un ''e'' * ''n' séchu dins l' vint'', Pierre Delancre, poèmes in patois picard, illustratieons d'Gérard Delancre, maison de la culture de Tournai (1980) :::ch'garchéon, in cotréon, à l'maséon, ... :::l'iéau, :::in héome qui parléot bin :::kéom' les qu'véaux d'béos * ''Lés ceux d'ichi'', Béatrice Bouret, dessins par Gordon War, éd. Culture Tournai , maison de la culture de Tournai (2006) {| class="wikitable" ! Béatrice Bouret, ''Lés ceux d'ichi'', page 36 !! français |- |'''''{{lang|pcd|Tout keompte fait, in cache souvint tèrtous bin leon ç'qui s'trouèfe à côté <br /> Je m'dis qu'la vie elle a alfeos dés momints bizarres et même pus' que cha. <br /> Dins l'feond, si in busie bin, i suffit seul'mint d'compter pou quéquin. J'sus seûr que ch'est là que l'bonheur i ést. <br /> Pour mi, ch'n'éteot foque in sourire à in plombier nommé Désir.}}''''' |Tout compte fait, on cherche souvent tous bien loin ce qui se trouve à côté. <br /> Je me dis que la vie a parfois des moments bizarres et même plus que cela. <br /> Dans le fond, si on travaille bien, il suffit seulement de compter pour quelqu'un. Je suis sûr que c'est là que le bonheur est. <br /> Pour moi, ce n'était qu'un sourire à un plombier nommé Désir. |} * à suivre ... {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Autres graphies/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} gojt32nyxc9qf9hcp5txc5s1abjndma 0 56906 984306 951305 2026-07-07T11:08:37Z Crochet.david.bot 1005 sur les détections lettre B 984306 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = français | niveau = 4 | numéro = 7 | précédent = [[../Le crabe et la grue/]] | suivant = [[../Le lapin timide et pas malin/]] }} __TOC__ {{Clr}} == Écoute == [[File:Jataka, Le boeuf jaloux du cochon.ogg|Jataka, Le bœuf jaloux du cochon]] == Lecture == <br/> <div style="text-align: center;"> {{Encadre | couleur = {{Idfaculté/couleur/français}} | fond = {{Idfaculté/pastel/français}} | épaisseur = 5px | contenu = <br/> <gallery mode="packed" widths="300" heights="300"> Image:Conte de Jataka, Le boeuf jaloux.jpg|Le bœuf jaloux du cochon qu'on engraisse à ne rien faire. Image:Contes de Jataka, Le boeuf jaloux du cochon - 2.jpg|Le cochon rôti servi au festin de noces. </gallery> }} </div> <br /> {{Encart | couleur = jaune | symbole = texte | cadre = oui | contenu = Il était une fois un bœuf nommé Gros Rouge. Il avait un jeune frère nommé Petit Rouge. Ces deux frères faisaient tous les travaux de charroyage dans une grande ferme. Il arriva qu'un jour le fermier décida de marier sa fille unique. Sa femme donna des ordres pour engraisser le porc pour le festin du mariage. Petit Rouge ne manqua pas de remarquer que le Cochon avait des mets de choix et dit à son frère :<br /> « Comment se fait-il que toi et moi nous n'ayons que de la paille et de l'herbe à manger alors que c’est nous qui faisons tout le travail difficile dans cette ferme ? À à ce paresseux de cochon qui ne fait rien on donne des mets de choix. »<br /> Son frère lui répondit :<br /> " Petit Rouge mon petit frère, Point ne le jalouse. Ce petit Cochon mange la nourriture de la mort ! On l'engraisse pour le repas de noces. Mange ta paille et ton herbe, contente-toi de cela et tu vivras longtemps. » Peu de temps après le cochon engraissé fut tué et mis à cuire pour le repas de noces.<br /> Et Gros Rouge dit à Petit Rouge : « Tu vois ce qui arrive au Cochon après tous ces festins ? »<br /> « Oui, tu avais raison », lui répondit son frère, « nous nous pourrons continuer à manger la nôtre pendant des années alors que pauvre petit Cochon est mort de la sienne. Sa nourriture était excellente du temps de son vivant, mais elle n'a pas duré longtemps.» }} == Questionnaire de lecture == {{Encart | couleur = jaune | largeur = large | symbole = question | contenu = # Gros Rouge et Petit Rouge sont des _____________. # Gros Rouge est le frère ____________ et Petit Rouge est le ________________ . # Ils sont attelés pour tirer les lourds chariots de la _____________ . # Les invités du mariage de la _________________ du fermier sont invités à un __________________ . # Petit Rouge n'aime pas le cochon parce qu’il est __________________. # Petit Rouge est _______________ du cochon parce qu’il a des repas de luxe. # Gros Rouge lui explique que le cochon sera tué et mangé pour le _____________________ . # Il lui dit qu’il faut se ____________________ de ses repas de ______________ et d'______________. # Après la fête, Petit Rouge comprend que son frère avait ______________. # Il préfère vivre ______________ . }} == Réponses == {{solution | couleur = jaune | contenu =Voici les dix phrases complétées : # Gros Rouge et Petit Rouge sont des '''bœufs'''. # Gros Rouge est le frère '''ainé''' et Petit Rouge est le '''benjamin'''. # Ils sont attelés pour tirer les lourds chariots de la '''ferme'''. # Les invités du mariage de la fille du fermier sont invités à un '''festin'''. # Petit Rouge n'aime pas le cochon parce qu’il est '''paresseux'''. # Petit Rouge est '''jaloux''' du cochon parce qu’il a des repas de luxe. # Gros Rouge lui explique que le cochon sera tué et mangé pour le '''repas de noces'''. # Il lui dit qu’il faut se '''contenter''' de ses repas de '''paille''' et d''''herbe'''. # Après la fête, Petit Rouge comprend que son frère avait '''raison'''. # Il préfère vivre '''longtemps'''. Combien de réponses justes ?}} == Regarde et écoute l'histoire == === [http://raconte-moi.abuledu.org/w/4078-le_boeuf_jaloux_du_cochon Raconte-moi l'histoire du bœuf jaloux du cochon] === {{Bas de page | idfaculté = français | précédent = [[../Le crabe et la grue/]] | suivant = [[../Le lapin timide et pas malin/]] }} 4mrsqt72hfebvcdd3gz6g40z6obuv3j 0 56908 984307 951306 2026-07-07T11:08:47Z Crochet.david.bot 1005 sur les détections lettre B 984307 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = français | niveau = 4 | numéro = 9 | précédent = [[../Le lapin timide et pas malin/]] | suivant = [[../Face d'ange/]] }} __TOC__ {{Clr}} == Écoute == [[Fichier:Jataka, Fort comme un boeuf.ogg|Jataka, Fort comme un bœuf]] == Lecture == <br/> {{centrer| {{Encadre | couleur = {{Idfaculté/couleur/français}} | fond = {{Idfaculté/pastel/français}} | épaisseur = 5px | contenu = <br/> <gallery widths="300" heights="300" mode="packed" > Image:Conte de Jataka, Fort comme un boeuf - 1.jpg|Le bœuf reçoit des coups de fouet et refuse d'avancer. Image:Jataka,_Fort_comme_un_boeuf_-_2.jpg|Le bœuf reçoit une couronne de fleurs et accepte de tirer le convoi. </gallery> }} }} <br /> {{Encart | couleur = jaune | symbole = texte | cadre = oui | contenu = Il était une fois, il y a très longtemps de cela, un homme qui possédait un bœuf d'une force extraordinaire. Ce propriétaire était tellement fier de son bœuf qu’il se vantait de sa force auprès de tous les gens qu’il rencontrait.<br /> Un jour, ce propriétaire alla dans un village et déclara :<br /> J'offrirai un prix de mille pièces d’argent si mon bœuf n'arrive pas à tirer un convoi de cent wagons.<br /> Tout le monde se mit à rire : Ah bon ? Amène-nous ton Bœuf, et nous verrons bien s'il est capable de déplacer un convoi de cent wagons.<br /> L'homme amena donc son Bœuf dans le village. Toute une foule vint assister au spectacle. Le convoi de cent wagons était prêt et le Bœuf fut attelé au premier wagon. Alors le propriétaire fouetta son bœuf en criant : Debout, minable ! Avance, bon-à-rien !<br /> Mais le Bœuf n'avait jamais été traité de la sorte et resta immobile. Ni les coups ni les insultes ne purent le faire bouger.<br /> À la fin le pauvre homme dut verser le prix promis et rentra tristement chez lui. Il se jeta sur son lit en pleurant :<br /> Mais pourquoi ce Bœuf m'a-t-il fait ça ? Il a bien souvent tiré sans peine des charges bien plus lourdes. Mais pourquoi m'a-t-il humilié de la sorte devant tous ces gens ?<br /> Il finit par se relever et repartit travailler. Le soir, quand il alla nourrir le Bœuf, celui-ci se tourna vers lui :<br /> Pourquoi m'avez-vous fouetté ce matin ? Vous ne m'aviez jamais fouetté. Pourquoi m'avez-vous traité de minable et de bon-à-rien ? Vous ne m'aviez jamais insulté !<br /> Alors l'homme lui répondit : Je vous promets que je ne vous traiterai plus jamais de la sorte. Je regrette de vous avoir fouetté et insulté. Je ne recommencerai plus jamais. Pardonnez-moi.<br /> C'est bon. Demain, je vous promets que j'irai au village tirer les cent wagons. Vous avez toujours été un bon maître jusqu'à présent. Demain, vous regagnerez ce que vous avez perdu. Le lendemain le propriétaire nourrit bien son Bœuf et lui mit une couronne de fleurs autour du collier. Quand ils arrivèrent au village, les gens se moquèrent de lui : Vous êtes revenus pour perdre encore plus d’argent ?<br /> Aujourd'hui je paierai un prix de deux mille pièces d’argent si mon Bœuf n’est pas assez fort pour tirer les cent wagons ! répondit le propriétaire.<br /> Une deuxième fois, on mit les wagons en convoi et le Bœuf fut attelé au premier. Une foule de spectateurs vint assister à la scène. Le propriétaire dit à son Bœuf : Bon Bœuf, montre-leur comme tu es fort. Brave bête ! Et il lui flatta le cou et les flancs.<br /> Immédiatement, le Bœuf tira de toutes ses forces. Les wagons se mirent en route et suivirent jusqu'à ce que le dernier ait atteint la place où avait été le premier.<br /> La foule se mit à hurler et remboursa le prix que l'homme avait perdu : Votre Bœuf est bien le plus fort qu'on ait jamais vu !<br /> Alors le Bœuf et l'homme rentrèrent chez eux, heureux. }} === Questionnaire de lecture === {{Encart | couleur = jaune | largeur = large | symbole = question | contenu = # Le bœuf a une force _________________ # L'homme se _____________ partout d’avoir un bœuf exceptionnel. # Il lance un ______________ aux villageois. # Il promet une récompense de __________ pièces d’argent si son bœuf ne réussit pas à tirer un convoi de _________ wagons. # Il perd son pari car le bœuf reste ______________ . # Le bœuf lui dit qu’il n'aime pas être _____________ et ________________ . # Son maitre lui demande ____________ . # Le lendemain, l'homme promet une récompense de _________________ pièces d’argent si son bœuf ne réussit pas à tirer le convoi. # Les villageois se ______________ de lui. # Le bœuf réussit à ________________ tout le convoi de cent wagons. }} === Réponses === {{solution | couleur = jaune | contenu =Voici les dix phrases complétées # Le bœuf a une force '''extraordinaire''' # L'homme se '''vante''' partout d’avoir un bœuf exceptionnel. # Il lance un '''défi''' aux villageois. # Il promet une récompense de '''mille''' pièces d’argent si son bœuf ne réussit pas à tirer un convoi de '''cent''' wagons. # Il perd son pari car le bœuf reste '''immobile'''. # Le bœuf lui dit qu’il n'aime pas être '''insulté''' et '''fouetté'''. # Son maitre lui demande '''pardon'''. # Le lendemain, l'homme promet une récompense de '''deux mille''' pièces d’argent si son bœuf ne réussit pas à tirer le convoi. # Les villageois se '''moquent''' de lui. # Le bœuf réussit à '''tirer''' tout le convoi de cent wagons. Combien de réponses justes ?}} == Regarde et écoute l'histoire == === [http://raconte-moi.abuledu.org/w/4225-fort_comme_un_boeuf Raconte-moi l'histoire de Fort comme un bœuf] === {{Bas de page | idfaculté = français | précédent = [[../Le lapin timide et pas malin/]] | suivant = [[../Face d'ange/]] }} pzlt2amq2c2yr4kx98z5hmn0dfcqyiq 104 81841 984287 978175 2026-07-07T06:27:58Z Psychoslave 2753 /* Index des entrées */ 984287 wikitext text/x-wiki Chaque entrée de cette partie regroupe les paradigmes flexionnels nominaux intitulées selon les alternances morphologiques qu'elles concernent. Lorsqu’il s’agit d’un suffixe épicène, le titre se limite donc à un unique suffixe. Le plus souvent le titre est cependant trinomial, avec ambigu, équivoque et isonèphe donnés séparés par une virgule. Un même préfixe peut apparaître dans plusieurs intitulés. Entre parenthèses classiques est parfois donné la prononciation correspondante, que ce soit par simple aide à la clarification ou nécessité de distinction lexicologique. Des chevrons sont utilisés dans quelque cas pour signaler un texte à interpréter méta-descriptivement&nbsp;: ''<code>⟨exemple⟩</code>''. Dans les cas ou différentes alternatives sont groupées, elles sont simplement indiquées par la conjonction de coordination disjonctive ''ou''. Lorsque les ressources à disposition l'ont permis, la liste des termes concernés est fourni. Le corpus considéré retient 135&nbsp;587 lemmes tirés du Wiktionnaire. Pour l'essentiel, cela ne prend pas en compte les gentilés. En revanche dans le cas où des glottophonymes<ref group="N">Néologisme pour désigner le nom commun servant à désigner une personne qui parle une langue, et qui est donc de fait membre de la communauté linguistique correspondante, sans pour autant impliquer l'appartenance de cette personne à une quelconque communauté ethnique qui emploie cette langue. Si un glottonyme désigne une langue et sa communauté linguistique (par exemple ''le finnois''), un glottophone sera le locutaire d'une langue (par exemple ''une finnoise'') et un glottophonyme désignera le nom commun qui qualifie une personne apte à parler la langue (c'est le cas de ''finnoise'', qui désigne métonomiquement ''une'' ''finnophone''). Tous les termes utilisant le suffixe -phone au sens de locutaire d'une langue sont des glottophonymes.</ref> sont listés, par convention ils sont marqués avec une majuscule. Au passage il peut être noté que souvent se confondent en un même terme les notions d'appartenance à une ethnie, à un territoire de lieu de naissance, à un territoire de résidence, à un peuple, et à une communauté linguistique. Ces termes pourront donner lieu à des ancrages distincts selon la sémantique recherchée, avec les suffixes -aire pour préciser l'appartenance à une ethnie, -ense/-isque pour la qualité de résidence dans un territoire, et -(o)phone pour l'aptitude linguistique. Dans la mesure du possible, les éventuels cas particuliers de désignations haplogestes sont explicités. Par '''''haplogeste''''' il faut comprendre un nom qui n'a généralement d'emploi que dans un seul geste là où l'usage en fourni généralement deux. À comparrer au terme ''<code>haplographie</code>''&nbsp;'': réduction accidentelle à une unique lettre notée là où elle est ordinairement doublée''. C'est en particulier un cas fréquent des termes biotiques. De même pour les cas irréguliers, les recoupements et autres spécificités font généralement l'objet d'une indication dédiée. Quelques remarques sur les sémantiques cohésives et les étymologies connues sont parfois données. L'intérêt principal de chaque section est cependant de fournir des informations sur la proposition faite pour la série d'ostentatoires, et s'il y a lieu pour la forme isonèphe. Parfois même quand la forme isonèphe n'a pas lieu d'être pour cause d'épicénie, une forme virtuelle est tout de même indiquée pour expliquer la logique sous-jacente conduisant aux propositions ostentatoires. ===== Index des entrées ===== {{Colonnes|nombre=6| * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨désignatifs biotiques aux phylophénies hétérolexicales⟩|⟨phylophénies hétérolexicales⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩|⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin augere⟩|⟨issu du latin ''augere''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment auteure ou auteuse ou authoresse ou authoresse ou authrice ou autrice ou femme-auteur, auteur ou autheur, autaire ou auteurice</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin ăvus⟩|⟨issu du latin ''ăvus''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin caput⟩|⟨issu du latin ''caput''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin magister⟩|⟨issu du latin ''magister''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin pār⟩|⟨issu du latin ''pār''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin testimonium⟩|⟨issu du latin ''testimonium''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment témoigne ou témoignesse ou témouine, témoin</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩|⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes de classes ontologiques⟩|⟨classes ontologiques⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes liés au soin médical⟩|⟨termes liés au soin médical⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨verbe⟩-⟨nom⟩|''⟨verbe⟩-⟨nom⟩'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a |''-a'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -∅ |''-a, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -e |''-a, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-able|''-able'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aible|''-aible'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ac|''-ac'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ace|''-ace'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ache|''-ache'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acre|''-acre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acte|''-acte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ade|''-ade'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adie|''-adie'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adre|''-adre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aestra, -aestro|''-aestra, -aestro, -aestrey'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-age|''-age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agesse, -age|''-agesse, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agie, -age|''-agie, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agne, -agnon|''-agne, -agnon, -igne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agole, -acou|''-agole, -acou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aï|''-aï'' (/aj/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aille|''-aille'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide, -aid|''-aide, -aid)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide|''-aide'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïe, -aï|''-aïe'' (/ɑ.i/ ou /aj/)'', -aï'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aige|''-aige'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aime|''-aime'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ain|''-ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -aim|''-aine, -aim'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -ain|''-aine, -ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine|''-aine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque, -aïc|''-aïque, -aïc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque|''-aïque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-air|''-air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire, -air|''-aire, -air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire|''-aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -aire|''-airesse, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -ayeur|''-airesse, -ayeur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aise, ais|''-aise, -ais'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aite, -ait|''-aite, -ait'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-akresse, -aker|''-akresse, -aker'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-al|''-al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala|''-ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala, -al|''-ala, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alate, -ala|''-alate, -ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aldesse, -aut|''-aldesse, -aut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale, al|''-ale, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale|''-ale'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âle|''-âle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alesse, -al|''-alesse, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alica, -al|''-alica, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle, -al|''-alle, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle|''-alle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alme|''-alme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am|''-am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ama|''-ama'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame|''-ame'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -am|''-ame, -am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -om|-ame, -om]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am ou -an ou -ane ou -anne, -am ou -an|''-am'' ou ''-an'' ou ''-ane'' ou ''-anne'', ''-am'' ou ''-an'', ''-æme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an (/ɑ̃/)|-an (/ɑ̃/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an|-an (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ance|''-ance'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anche, -anc|''-anche, -anc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ancre|''-ancre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande|''-ande'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -an|''-ande, -an'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -and|-ande, -and]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -ant|-ande, -ant]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-andre|-andre]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane|''-ane'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane, -an (/an/)|''-ane, -an'' (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane, -an (/ɑ̃/)|''-ane, -an'' (/ɑ̃/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anne|''-anne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anne, -an (/an/)|''-anne, -an'' (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ant|''-ant'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante|''-ante'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante, -ant, -änte|''-ante, -ant'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -o|''-a, -o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ape|''-ape'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aphe|''-aphe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-appe|''-appe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-apre|''-apre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âpresse, -âpre|''-âpresse, -âpre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aque|''-aque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ar|''-ar'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arce|''-arce'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ard|''-ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arde, -ard, -âtre|''-arde, -ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arde|''-arde'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-are|''-are'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -aire|''-aresse, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -e|''-aresse, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -eur|''-aresse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arme|''-arme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arpe|''-arpe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arque|''-arque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arquesse, -arque|''-arquesse, -arque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arse|''-arse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-as (/a/)|''-as'' (/a/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-as (/ɑ/)|''-as'' (/ɑ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-as (/as/)|''-as'' (/as/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-as (/ɑs/)|''-as'' (/ɑs/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-as-|''-as-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aste|''-aste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-asse, -ard|''-asse, -ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-asse, -assot|''-asse, -assot'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ate, -at|''-ate, -at'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ate |''-ate'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-athe |''-athe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-atre |''-atre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âtre |''-âtre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âtresse, -âtre|''-âtresse, -âtre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-atrice, -∅|''-atrice, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-atte |''-atte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-atte, -at |''-atte, -at'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-auche|''-auche'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aude, -o|''-aude, -o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aude ou -eaude ou -oune, -aud ou -eau ou -o|''-aude'' ou ''-eaude'' ou ''-oune, -aud'' ou ''-eau'' ou ''-o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aude ou -ote, -aud ou -o ou -ot|''-aude'' ou ''-ote, -aud'' ou ''-o'' ou ''-ot'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aume|''-aume'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aur|''-aur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aure|''-aure'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-autre|''-autre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-auve|''-auve'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ave|''-ave'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -us|''-a, -us'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-awase, -aou|''-awa'' ou ''-awase, -aou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aye|''-aye'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aye ou -aie, -ay|''-aye'' ou ''-aie'', -ay'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ayse, -ays|''-ayse, -ays'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aze |''-aze'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-dame-, -dom- ou -homme- ou -sieur-|''-dame-'', ''-dom-'' ou ''-homme-'' ou ''-sieur-'', ''-estre-'' ou ''-personne-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -∅|''-e, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -ard|''-e, -ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -on|''-e, -on'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -eau|''-e, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -et|''-e, -et'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-e, -ier|''-e, -ier'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-é |''-é'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eal (/il/)|''-eal'' (/il/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eau |''-eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eaute, -eau|''-eaute, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-êchesse, -êque|''-êchesse, -êque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ecte |''-ecte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ecte, -ect|''-ecte, -ect'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ée, -é|''-ée, -é'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-éesse, -ieu|''-éesse, -ieu'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eeve (/iv/)|''-eeve'' (/iv/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-effe ou -èfe ou -effesse ou -eftaine, -ef, -ève|''-effe'' ou ''-èfe'' ou ''-effesse'' ou ''-eftaine, -ef, -ève'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ègue, -eg|''-ègue, -eg'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eige |''-eige'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eika ou -eikesse, -eik|''-eika'' ou ''-eikesse'', -eik'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eille, -eil|''-eille, -eil'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ein|''-ein'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eine|''-eine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-roi, -reine|''-eine, -oi'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eintre |''-eintre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-èle |''-èle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle |''-elle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle, -aud|''-elle, -aud'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle, -e|''-elle, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle, -eau|''-elle, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle, -el|''-elle, -el'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-elle, -ou|''-elle, -ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ema, -em|''-ema, -em'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-embre |''-embre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-em (/ɛm/)|''-em'' (/ɛm/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ende |''-ende'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ende, -end|''-ende, -end'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-end |''-end'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-endre|''-endre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ène|''-ène'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ent|''-ent'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ente|''-ente'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ente, -ent|''-ente, -ent'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-équesse, -ec|''-équesse, -ec'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-er (/e/)|''-er'' (/e/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-er (/ɛʁ/)|''-er'' (/ɛʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-er (/œʁ/)|''-er'' (/œʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erc |''-erc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erce |''-erce'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ère|''-ère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ère, -er|''-ère, -er'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erge|''-erge'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ergesse, -erc |''-ergesse, -erc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erne |''-erne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse|''-eresse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -∅|''-eresse, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -e|''-eresse, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -er|''-eresse, -er'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-éresse, -erc|''-éresse, -erc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -eron|''-eresse, -eron'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eresse, -eur|''-eresse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-er (/œʁ/)|''-er'' (/œʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erte |''-erte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erte, -ert|''-erte, -ert'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erve|''-erve'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erve, -erf|''-erve, -erf'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-erve, -ervier|''-erve, -ervier'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-èse|''-èse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eset, -ess|''-eset, -ess'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esque|''-esque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse|''-esse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ess |''-ess'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ess, -∅|''-ess, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ess, -er|''-ess, -er'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -ard|''-esse, -ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -ateur|''-esse, -ateur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -e|''-esse, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -é|''-esse, é'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -ès|''-esse, -ès'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -∅ |''-esse, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -eur|''-esse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-esse, -eus|''-esse, -eus'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-estresse, -êteur|''-estresse, -êteur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-estresse, -être|''-estresse, -être'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-et|''-et'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ète |''-ète'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ête |''-ête'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ètre |''-ètre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-étride, -ète|''-étride, -ète'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette|''-ette'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -∅|''-ette, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -e|''-ette, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -eau|''-ette, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -et|''-ette, -et, -este'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -etin|''-ette, -etin'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -enet|''-ette, -enet'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -euil|''-ette, -euil'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -ey|''-ette, -ey'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -ier|''-ette, -ier'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -ot, -iche ou -ouse ou -ouze|''-ette, -ot, -iche'' ou ''-ouse'' ou ''-ouze'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ette, -y|''-ette, -y'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-eu|''-eu'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en 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des genres grammaticaux en français/-resse, -eur|''-resse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-resse, -i|''-resse, -i'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-reuss-, -reuf-|''-reuss-, -reuf- -deuf-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -aire|''-rice, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -ère|''-rice, -ère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -eur|''-rice, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/rice ou ride, e|''-rice'' ou ''-ride, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-taine, -∅|''-taine, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/t⟨base⟩alk, ⟨base⟩al|''t⟨base⟩alk, ⟨base⟩al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -tère|''-trice, -tère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -teur|''-trice, -teur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -tore|''-trice, -tore'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-u (/u/)|''-u (/u/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-u (/y/)|''-u (/y/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uche|''-uche'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uche, -oquet|''-uche, -oquet'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uchesse, -uc|''-uchesse, -uc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ue |''-ue'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ue, -u|''-ue, -u -ustre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uge |''-uge'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uie, -ui|''-uie, -ui'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uistre|''-uistre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uite|''-uite'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uive, -uif |''-uive, -uif'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uivesse, -uif |''-uivesse, -uif'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ule |''-ule'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ule, -ul|''-ule, -ul'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ulle, -ul|''-ulle, -ul'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ul (/yl/)|''-ul'' (/yl/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-une, -un|''-une, -un'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-unk (/œnk/)|''-unk'' (/œnk/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-upe |''-upe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urquesse, -urc|''-urquesse, -urc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ure, -ur|''-ure, -ur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ure (/yʁ/)|''-ure'' (/yʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ur (/yʁ/)|''-ur'' (/yʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urge|''-urge'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urite|''-urite'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urvi, -uru|''-urvi, -uru'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-us |''-us (/ys/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-us (/y/) |''-us (/y/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use |''-use'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use, -us|''-use, -us'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use, -ut|''-use, -ut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uste |''-uste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ute |''-ute'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ute, -ut, -utisque/-üs|''-ute, -ut]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ut |''-ut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uve |''-uve'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uyère, -uyer|''-uyère, -uyer'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uyère|''-uyère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-whip- |''-whip-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yathe |''-yathe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yenne|''-yenne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yenne, -yen|''-yenne'', -yen]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yne|''-yne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ynia, -arine|''-ynia, -arine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yphe |''-yphe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yrie (/i.ʁi/)|''-yrie'' (/i.ʁi/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yrie (/i.ʁi.je/)|''-yrie'' (/i.ʁi.je/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yste |''-yste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yte|''-yte'']] }}<noinclude> ===== Notes ===== <references group="N" /> ===== Références ===== <references /> </noinclude> __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ 18umkxgc19etyro2dhxq8pa26s45gsx 984289 984287 2026-07-07T06:30:36Z Psychoslave 2753 /* Index des entrées */ 984289 wikitext text/x-wiki Chaque entrée de cette partie regroupe les paradigmes flexionnels nominaux intitulées selon les alternances morphologiques qu'elles concernent. Lorsqu’il s’agit d’un suffixe épicène, le titre se limite donc à un unique suffixe. Le plus souvent le titre est cependant trinomial, avec ambigu, équivoque et isonèphe donnés séparés par une virgule. Un même préfixe peut apparaître dans plusieurs intitulés. Entre parenthèses classiques est parfois donné la prononciation correspondante, que ce soit par simple aide à la clarification ou nécessité de distinction lexicologique. Des chevrons sont utilisés dans quelque cas pour signaler un texte à interpréter méta-descriptivement&nbsp;: ''<code>⟨exemple⟩</code>''. Dans les cas ou différentes alternatives sont groupées, elles sont simplement indiquées par la conjonction de coordination disjonctive ''ou''. Lorsque les ressources à disposition l'ont permis, la liste des termes concernés est fourni. Le corpus considéré retient 135&nbsp;587 lemmes tirés du Wiktionnaire. Pour l'essentiel, cela ne prend pas en compte les gentilés. En revanche dans le cas où des glottophonymes<ref group="N">Néologisme pour désigner le nom commun servant à désigner une personne qui parle une langue, et qui est donc de fait membre de la communauté linguistique correspondante, sans pour autant impliquer l'appartenance de cette personne à une quelconque communauté ethnique qui emploie cette langue. Si un glottonyme désigne une langue et sa communauté linguistique (par exemple ''le finnois''), un glottophone sera le locutaire d'une langue (par exemple ''une finnoise'') et un glottophonyme désignera le nom commun qui qualifie une personne apte à parler la langue (c'est le cas de ''finnoise'', qui désigne métonomiquement ''une'' ''finnophone''). Tous les termes utilisant le suffixe -phone au sens de locutaire d'une langue sont des glottophonymes.</ref> sont listés, par convention ils sont marqués avec une majuscule. Au passage il peut être noté que souvent se confondent en un même terme les notions d'appartenance à une ethnie, à un territoire de lieu de naissance, à un territoire de résidence, à un peuple, et à une communauté linguistique. Ces termes pourront donner lieu à des ancrages distincts selon la sémantique recherchée, avec les suffixes -aire pour préciser l'appartenance à une ethnie, -ense/-isque pour la qualité de résidence dans un territoire, et -(o)phone pour l'aptitude linguistique. Dans la mesure du possible, les éventuels cas particuliers de désignations haplogestes sont explicités. Par '''''haplogeste''''' il faut comprendre un nom qui n'a généralement d'emploi que dans un seul geste là où l'usage en fourni généralement deux. À comparrer au terme ''<code>haplographie</code>''&nbsp;'': réduction accidentelle à une unique lettre notée là où elle est ordinairement doublée''. C'est en particulier un cas fréquent des termes biotiques. De même pour les cas irréguliers, les recoupements et autres spécificités font généralement l'objet d'une indication dédiée. Quelques remarques sur les sémantiques cohésives et les étymologies connues sont parfois données. L'intérêt principal de chaque section est cependant de fournir des informations sur la proposition faite pour la série d'ostentatoires, et s'il y a lieu pour la forme isonèphe. Parfois même quand la forme isonèphe n'a pas lieu d'être pour cause d'épicénie, une forme virtuelle est tout de même indiquée pour expliquer la logique sous-jacente conduisant aux propositions ostentatoires. ===== Index des entrées ===== {{Colonnes|nombre=6| * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨désignatifs biotiques aux phylophénies hétérolexicales⟩|⟨phylophénies hétérolexicales⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩|⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin augere⟩|⟨issu du latin ''augere''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment auteure ou auteuse ou authoresse ou authoresse ou authrice ou autrice ou femme-auteur, auteur ou autheur, autaire ou auteurice</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin ăvus⟩|⟨issu du latin ''ăvus''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin caput⟩|⟨issu du latin ''caput''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin magister⟩|⟨issu du latin ''magister''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin pār⟩|⟨issu du latin ''pār''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin testimonium⟩|⟨issu du latin ''testimonium''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment témoigne ou témoignesse ou témouine, témoin</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩|⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes de classes ontologiques⟩|⟨classes ontologiques⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes liés au soin médical⟩|⟨termes liés au soin médical⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨verbe⟩-⟨nom⟩|''⟨verbe⟩-⟨nom⟩'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a |''-a'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -∅ |''-a, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -e |''-a, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-able|''-able'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aible|''-aible'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ac|''-ac'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ace|''-ace'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ache|''-ache'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acre|''-acre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acte|''-acte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ade|''-ade'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adie|''-adie'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adre|''-adre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aestra, -aestro|''-aestra, -aestro, -aestrey'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-age|''-age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agesse, -age|''-agesse, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agie, -age|''-agie, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agne, -agnon|''-agne, -agnon, -igne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agole, -acou|''-agole, -acou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aï|''-aï'' (/aj/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aille|''-aille'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide, -aid|''-aide, -aid)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide|''-aide'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïe, -aï|''-aïe'' (/ɑ.i/ ou /aj/)'', -aï'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aige|''-aige'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aime|''-aime'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ain|''-ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -aim|''-aine, -aim'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -ain|''-aine, -ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine|''-aine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque, -aïc|''-aïque, -aïc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque|''-aïque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-air|''-air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire, -air|''-aire, -air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire|''-aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -aire|''-airesse, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -ayeur|''-airesse, -ayeur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aise, ais|''-aise, -ais'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aite, -ait|''-aite, -ait'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-akresse, -aker|''-akresse, -aker'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-al|''-al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala|''-ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala, -al|''-ala, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alate, -ala|''-alate, -ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aldesse, -aut|''-aldesse, -aut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale, al|''-ale, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale|''-ale'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âle|''-âle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alesse, -al|''-alesse, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alica, -al|''-alica, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle, -al|''-alle, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle|''-alle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alme|''-alme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am|''-am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ama|''-ama'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame|''-ame'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -am|''-ame, -am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -om|-ame, -om]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am ou -an ou -ane ou -anne, -am ou -an|''-am'' ou ''-an'' ou ''-ane'' ou ''-anne'', ''-am'' ou ''-an'', ''-æme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an (/ɑ̃/)|-an (/ɑ̃/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an|-an (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ance|''-ance'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anche, -anc|''-anche, -anc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ancre|''-ancre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande|''-ande'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -an|''-ande, -an'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -and|-ande, -and]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande, -ant|-ande, -ant]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-andre|-andre]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane|''-ane'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane, -an (/an/)|''-ane, -an'' (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ane, -an (/ɑ̃/)|''-ane, -an'' (/ɑ̃/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anne|''-anne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anne, -an (/an/)|''-anne, -an'' (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ant|''-ant'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante|''-ante'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante, -ant, -änte|''-ante, -ant'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -o|''-a, -o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ape|''-ape'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aphe|''-aphe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-appe|''-appe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-apre|''-apre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âpresse, -âpre|''-âpresse, -âpre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aque|''-aque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ar|''-ar'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arce|''-arce'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ard|''-ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arde, -ard, -âtre|''-arde, -ard'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arde|''-arde'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-are|''-are'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -aire|''-aresse, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -e|''-aresse, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aresse, -eur|''-aresse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arme|''-arme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arpe|''-arpe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arque|''-arque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-arquesse, -arque|''-arquesse, -arque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en 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grammaticaux en français/-otte, -e|''-otte, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-otte, -eau|''-otte, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-otte, -o|''-otte, -o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-otte, -ot|''-otte, -ot'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ou |''-ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouche |''-ouche'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oucque ou -ouque, -ouc |''-oucquesse'' ou ''-ouquesse, -ouc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oue |''-oue'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouine |''-ouine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouine, -ouin|''-ouine, -ouin'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oue, -ou|''-oue, -ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oune|''-oune'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oune, -o|''-oune, -o'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oune, -ou|''-oune, -ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oupe|''-oupe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oure|''-oure'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oure, -our|''-oure, -our'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ourelle, -eau|''-ourelle, -eau'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ourelle, -ou|''-ourelle, -ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouse, -ou|''-ouse, -ou -asse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouse |''-ouse'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouse, -oux|''-ouse, -oux -ose'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oute, ou|''-oute, -ou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oute |''-oute'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oute, -out (/u/), -outarque|''-oute, -out (/u/), -outarque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oute-, -out (/ut/), -outie|''-oute-, -out (/ut/), -outie'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oute, -out (/ut/), -outiste -ou -outille ou -oude|''-oute'', ''-out'' (/ut/), ''-outiste'' -ou -''outille'' ou ''-oude'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-out (/ut/)|''-out'' (/ut/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-outre |''-outre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouve|''-ouve'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ouve, -oup|''-ouve, -oup'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ownesse, own|''-ownesse, -own'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-oyette, -o|''-oyette, -o -iste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-pathe |''-pathe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-pe|''-pe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-pied |''-pied'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-queuse, -queux|''-queuse, -queux'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-raresse, -eur|''-raresse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ratesse, -eur|''-ratesse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rathe |''-rathe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-resse, -er|''-resse, -er'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-resse, -eur|''-resse, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-resse, -i|''-resse, -i'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-reuss-, -reuf-|''-reuss-, -reuf- -deuf-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -aire|''-rice, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -ère|''-rice, -ère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-rice, -eur|''-rice, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/rice ou ride, e|''-rice'' ou ''-ride, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-taine, -∅|''-taine, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/t⟨base⟩alk, ⟨base⟩al|''t⟨base⟩alk, ⟨base⟩al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -tère|''-trice, -tère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -teur|''-trice, -teur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-trice, -tore|''-trice, -tore'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-u (/u/)|''-u (/u/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-u (/y/)|''-u (/y/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uche|''-uche'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uche, -oquet|''-uche, -oquet'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uchesse, -uc|''-uchesse, -uc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ue |''-ue'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ue, -u|''-ue, -u -ustre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uge |''-uge'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uie, -ui|''-uie, -ui'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uistre|''-uistre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uite|''-uite'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uive, -uif |''-uive, -uif'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uivesse, -uif |''-uivesse, -uif'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ule |''-ule'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ule, -ul|''-ule, -ul'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ulle, -ul|''-ulle, -ul'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ul (/yl/)|''-ul'' (/yl/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-une, -un|''-une, -un'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-unk (/œnk/)|''-unk'' (/œnk/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-upe |''-upe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urquesse, -urc|''-urquesse, -urc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ure, -ur|''-ure, -ur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ure (/yʁ/)|''-ure'' (/yʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ur (/yʁ/)|''-ur'' (/yʁ/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urge|''-urge'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urite|''-urite'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-urvi, -uru|''-urvi, -uru'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-us |''-us (/ys/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-us (/y/) |''-us (/y/)'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use |''-use'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use, -us|''-use, -us'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-use, -ut|''-use, -ut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uste |''-uste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ute |''-ute'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ute, -u|''-ute, -u]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ute, -ut, -utisque/-üs|''-ute, -ut]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ut |''-ut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uve |''-uve'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uyère, -uyer|''-uyère, -uyer'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-uyère|''-uyère'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-whip- |''-whip-'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yathe |''-yathe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yenne|''-yenne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yenne, -yen|''-yenne'', -yen]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yne|''-yne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ynia, -arine|''-ynia, -arine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yphe |''-yphe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yrie (/i.ʁi/)|''-yrie'' (/i.ʁi/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yrie (/i.ʁi.je/)|''-yrie'' (/i.ʁi.je/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yste |''-yste'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-yte|''-yte'']] }}<noinclude> ===== Notes ===== <references group="N" /> ===== Références ===== <references /> </noinclude> __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ oycv5qh3br0n26jjubcrjn942j0k1zb 984291 984289 2026-07-07T06:35:35Z Psychoslave 2753 /* Index des entrées */ 984291 wikitext text/x-wiki Chaque entrée de cette partie regroupe les paradigmes flexionnels nominaux intitulées selon les alternances morphologiques qu'elles concernent. Lorsqu’il s’agit d’un suffixe épicène, le titre se limite donc à un unique suffixe. Le plus souvent le titre est cependant trinomial, avec ambigu, équivoque et isonèphe donnés séparés par une virgule. Un même préfixe peut apparaître dans plusieurs intitulés. Entre parenthèses classiques est parfois donné la prononciation correspondante, que ce soit par simple aide à la clarification ou nécessité de distinction lexicologique. Des chevrons sont utilisés dans quelque cas pour signaler un texte à interpréter méta-descriptivement&nbsp;: ''<code>⟨exemple⟩</code>''. Dans les cas ou différentes alternatives sont groupées, elles sont simplement indiquées par la conjonction de coordination disjonctive ''ou''. Lorsque les ressources à disposition l'ont permis, la liste des termes concernés est fourni. Le corpus considéré retient 135&nbsp;587 lemmes tirés du Wiktionnaire. Pour l'essentiel, cela ne prend pas en compte les gentilés. En revanche dans le cas où des glottophonymes<ref group="N">Néologisme pour désigner le nom commun servant à désigner une personne qui parle une langue, et qui est donc de fait membre de la communauté linguistique correspondante, sans pour autant impliquer l'appartenance de cette personne à une quelconque communauté ethnique qui emploie cette langue. Si un glottonyme désigne une langue et sa communauté linguistique (par exemple ''le finnois''), un glottophone sera le locutaire d'une langue (par exemple ''une finnoise'') et un glottophonyme désignera le nom commun qui qualifie une personne apte à parler la langue (c'est le cas de ''finnoise'', qui désigne métonomiquement ''une'' ''finnophone''). Tous les termes utilisant le suffixe -phone au sens de locutaire d'une langue sont des glottophonymes.</ref> sont listés, par convention ils sont marqués avec une majuscule. Au passage il peut être noté que souvent se confondent en un même terme les notions d'appartenance à une ethnie, à un territoire de lieu de naissance, à un territoire de résidence, à un peuple, et à une communauté linguistique. Ces termes pourront donner lieu à des ancrages distincts selon la sémantique recherchée, avec les suffixes -aire pour préciser l'appartenance à une ethnie, -ense/-isque pour la qualité de résidence dans un territoire, et -(o)phone pour l'aptitude linguistique. Dans la mesure du possible, les éventuels cas particuliers de désignations haplogestes sont explicités. Par '''''haplogeste''''' il faut comprendre un nom qui n'a généralement d'emploi que dans un seul geste là où l'usage en fourni généralement deux. À comparrer au terme ''<code>haplographie</code>''&nbsp;'': réduction accidentelle à une unique lettre notée là où elle est ordinairement doublée''. C'est en particulier un cas fréquent des termes biotiques. De même pour les cas irréguliers, les recoupements et autres spécificités font généralement l'objet d'une indication dédiée. Quelques remarques sur les sémantiques cohésives et les étymologies connues sont parfois données. L'intérêt principal de chaque section est cependant de fournir des informations sur la proposition faite pour la série d'ostentatoires, et s'il y a lieu pour la forme isonèphe. Parfois même quand la forme isonèphe n'a pas lieu d'être pour cause d'épicénie, une forme virtuelle est tout de même indiquée pour expliquer la logique sous-jacente conduisant aux propositions ostentatoires. ===== Index des entrées ===== {{Colonnes|nombre=6| * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨désignatifs biotiques aux phylophénies hétérolexicales⟩|⟨phylophénies hétérolexicales⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩|⟨issu du vieil anglais ''mann''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin augere⟩|⟨issu du latin ''augere''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment auteure ou auteuse ou authoresse ou authoresse ou authrice ou autrice ou femme-auteur, auteur ou autheur, autaire ou auteurice</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin ăvus⟩|⟨issu du latin ''ăvus''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin caput⟩|⟨issu du latin ''caput''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin magister⟩|⟨issu du latin ''magister''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin pār⟩|⟨issu du latin ''pār''⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du latin testimonium⟩|⟨issu du latin ''testimonium''⟩]]<ref group="N">À savoir notamment témoigne ou témoignesse ou témouine, témoin</ref> * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩|⟨issu du proto-indo-européen *h₃reǵ-⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes de classes ontologiques⟩|⟨classes ontologiques⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨termes liés au soin médical⟩|⟨termes liés au soin médical⟩]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨verbe⟩-⟨nom⟩|''⟨verbe⟩-⟨nom⟩'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a |''-a'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -∅ |''-a, -∅'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-a, -e |''-a, -e'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-able|''-able'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aible|''-aible'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ac|''-ac'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ace|''-ace'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ache|''-ache'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acre|''-acre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-acte|''-acte'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ade|''-ade'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adie|''-adie'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-adre|''-adre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aestra, -aestro|''-aestra, -aestro, -aestrey'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-age|''-age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agesse, -age|''-agesse, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agie, -age|''-agie, -age'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agne, -agnon|''-agne, -agnon, -igne'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-agole, -acou|''-agole, -acou'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aï|''-aï'' (/aj/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aille|''-aille'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide, -aid|''-aide, -aid)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aide|''-aide'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïe, -aï|''-aïe'' (/ɑ.i/ ou /aj/)'', -aï'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aige|''-aige'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aime|''-aime'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ain|''-ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -aim|''-aine, -aim'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine, -ain|''-aine, -ain'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aine|''-aine'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque, -aïc|''-aïque, -aïc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aïque|''-aïque'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-air|''-air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire, -air|''-aire, -air'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aire|''-aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -aire|''-airesse, -aire'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-airesse, -ayeur|''-airesse, -ayeur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aise, ais|''-aise, -ais'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aite, -ait|''-aite, -ait'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-akresse, -aker|''-akresse, -aker'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-al|''-al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala|''-ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ala, -al|''-ala, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alate, -ala|''-alate, -ala'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-aldesse, -aut|''-aldesse, -aut'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale, al|''-ale, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ale|''-ale'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-âle|''-âle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alesse, -al|''-alesse, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alica, -al|''-alica, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle, -al|''-alle, -al'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alle|''-alle'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-alme|''-alme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am|''-am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ama|''-ama'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame|''-ame'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -am|''-ame, -am'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ame, -om|-ame, -om]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-am ou -an ou -ane ou -anne, -am ou -an|''-am'' ou ''-an'' ou ''-ane'' ou ''-anne'', ''-am'' ou ''-an'', ''-æme'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an (/ɑ̃/)|-an (/ɑ̃/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-an|-an (/an/)]] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ance|''-ance'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-anche, -anc|''-anche, -anc'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ancre|''-ancre'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ande|''-ande'']] * 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[[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ière, -eur|''-ière, -eur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ier |''-ier'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ieuse, -ieur|''-ieuse, -ieur'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ieuse, -ieux|''-ieuse, -ieux'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ifa, -if|''-ifa, -if ⟨divers⟩'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ife |''-ife'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ifesse, -ife, -ib ou -ibe ou -ive|''-ifesse, -ife, -ib'' ou ''-ibe'' ou ''-ive'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-iffe |''-iffe'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-iff |''-iff'']] * [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-iffonne, -iffe|''-iffonne, -iffe'']] * [[Recherche:Sur 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/> ===== Références ===== <references /> </noinclude> __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ jh38mdtjzkr7o4ajg2mv67dc873dg31 0 82502 984273 984107 2026-07-06T12:55:09Z Alain.fabo 73895 suppression des diverses hypothèses après l'historique 984273 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Nous pouvons essayer de condenser une partie des résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" <u>Dans la suite considèrera que les puissance premières impaires</u> : <math>~ n \in \mathbb{P}, n> 2</math> et <math>(x,y)</math> <u>copremiers de parité différente</u> ==== Rappels historiques ==== Ce travail a déjà été fait par d'autres, les plus célèbres étant [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf Tannery], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 Itard] et [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html Rashed]. Aujourd'hui encore, Fermat continue d'intriguer les historiens des sciences, comme par exemple [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf Goldstein] Mais consulter tous ces remarquables travaux historiques ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. * lettre pour Domini de Sainte-Croix de 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussit à prouver son impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie, qu'il détaillera pour prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Et qui implique lieu au cas <math> n=4</math> . Les deux cas, s'il se ressemble par leur forme, sont à la base sont complètement indépendants. * lettre à Frénicle en avril 1640 : il se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Aritliniétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends uelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que,silongue pour ce regard et j'ose dire sans vanitéje pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvcrois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * lettre à Mersenne de mai 1640 : il veut vérifier si Frénicle "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * lettre à Mersenne de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé<math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * lettre à Frénicle d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * lettre à Frénicle d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème : <math>\forall a,~ n| (a^{n-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * lettre à Mersenne en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement sur les puissances, qu'il a cherché à réduire leur complexité en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]] ==== La preuve de Fermat ? ==== Ceci est une hypothèse == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? Rappelons que son niveau de connaissance en arithmétique fut celui d'un lycéen d'aujourd'hui en fin de Terminale "Maths Expertes" (oubliée la technique de la "descente" hors programme, pourtant contribution majeure de Fermat au raisonnement par récurrence<ref>Un bon exemple est la descente pour prouver qu'il n'y a pas de solutions non triviales à <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3 ,~ x^2+y^2=3z^2</math> </ref>). Mais point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Mais il ne les dévoilait pas dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 58ax6qdf3wo6o7shulguahzvvabjhc6 984274 984273 2026-07-06T12:58:24Z Alain.fabo 73895 /* La preuve de Fermat ? */ 984274 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Nous pouvons essayer de condenser une partie des résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" <u>Dans la suite considèrera que les puissance premières impaires</u> : <math>~ n \in \mathbb{P}, n> 2</math> et <math>(x,y)</math> <u>copremiers de parité différente</u> ==== Rappels historiques ==== Ce travail a déjà été fait par d'autres, les plus célèbres étant [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf Tannery], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 Itard] et [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html Rashed]. Aujourd'hui encore, Fermat continue d'intriguer les historiens des sciences, comme par exemple [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf Goldstein] Mais consulter tous ces remarquables travaux historiques ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. * lettre pour Domini de Sainte-Croix de 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussit à prouver son impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie, qu'il détaillera pour prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Et qui implique lieu au cas <math> n=4</math> . Les deux cas, s'il se ressemble par leur forme, sont à la base sont complètement indépendants. * lettre à Frénicle en avril 1640 : il se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Aritliniétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends uelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que,silongue pour ce regard et j'ose dire sans vanitéje pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvcrois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * lettre à Mersenne de mai 1640 : il veut vérifier si Frénicle "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * lettre à Mersenne de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé<math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * lettre à Frénicle d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * lettre à Frénicle d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème : <math>\forall a,~ n| (a^{n-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * lettre à Mersenne en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement sur les puissances, qu'il a cherché à réduire leur complexité en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]] ==== La preuve de Fermat ? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Or par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on a vu au tout début que dans la relation <math>c^2=a^2+b^2</math>, 3 et 5 divisent forcément le produit <math>abc</math> Certes c'est une preuve farfelue car identifier sur <math>w</math> n'est pas possible. Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée est séduisante. On peut même penser qu'il existe un certain <math>w</math> qui fasse l'affaire. Fermat serait-il tombé dans cette affaire si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez explicative du contexte: - ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , le cas <math>n =3</math> restant à part. En effet, avec la formule des carrés, les facteurs premiers sont annoncés en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre démonstration. En l’occurrence celle par descente infinie, dont l'inventeur est Fermat. Et c'est plutôt là qu'est l'exploit! - c'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". Qu'avec du recul Fermat a pu se dire que finalement c'était faux. Ou que c'est suffisamment trivial pour qu'il n'ait besoin de le "vendre" à ses lecteurs. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver. C'est Dirichlet et Legendre qui vont en venir à bout en 1825. Ensuite, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or c'était la fierté de Fermat. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à Wallis, Digby, ou Carcavi, il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres ne comptent pas. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? Rappelons que son niveau de connaissance en arithmétique fut celui d'un lycéen d'aujourd'hui en fin de Terminale "Maths Expertes" (oubliée la technique de la "descente" hors programme, pourtant contribution majeure de Fermat au raisonnement par récurrence<ref>Un bon exemple est la descente pour prouver qu'il n'y a pas de solutions non triviales à <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3 ,~ x^2+y^2=3z^2</math> </ref>). Mais point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Mais il ne les dévoilait pas dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ctb87c21qd1p4ko3aejaagmyw5003vu 984275 984274 2026-07-06T13:37:39Z Alain.fabo 73895 /* La preuve de Fermat */ 984275 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" <u>Dans la suite considèrera que les puissance premières impaires</u> : <math>~ n \in \mathbb{P}, n> 2</math> et <math>(x,y)</math> <u>copremiers de parité différente</u> ==== Rappels historiques ==== Ce travail a déjà été fait par des spécialites, les plus célèbres étant [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf Tannery], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 Itard] et [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html Rashed]. Aujourd'hui encore, Fermat continue d'intriguer les historiens des sciences, comme par exemple [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf Goldstein] Mais consulter tous ces remarquables travaux historiques ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. * lettre pour Domini de Sainte-Croix de 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussit à prouver son impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie, qu'il détaillera pour prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Et qui implique lieu au cas <math> n=4</math> . Les deux cas, s'il se ressemble par leur forme, sont à la base sont complètement indépendants. * lettre à Frénicle en avril 1640 : il se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Aritliniétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends uelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que,silongue pour ce regard et j'ose dire sans vanitéje pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvcrois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * lettre à Mersenne de mai 1640 : il veut vérifier si Frénicle "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * lettre à Mersenne de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé<math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * lettre à Frénicle d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * lettre à Frénicle d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème : <math>\forall a,~ n| (a^{n-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * lettre à Mersenne en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement sur les puissances, qu'il a cherché à réduire leur complexité en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]] ==== La preuve de Fermat ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Or par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>c^2=a^2+b^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>abc</math> Certes c'est une preuve farfelue car identifier sur <math>w</math> n'est pas valable. Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée est séduisante. On peut même penser qu'il existe un certain <math>w</math> qui fonctionne. Et peut-être Fermat savait-il encore des choses que je n'ai pas encore trouvées. Serait-il passée par cette voie si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique aux cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math>. En effet, pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence celle par descente infinie, que Fermat a inventée pour le cas <math>n =4</math>. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". Qu'avec du recul Fermat a pu se dire que finalement c'était faux. Ou sinon, s'il ne voyait pas d'erreur, que c'était suffisamment trivial pour ne pas en parler à ses correspondants. Que ça n'était pas prioritaire. Rappelons que son bébé, c'est la descente infinie. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à Wallis, Digby, ou Carcavi, il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Mais jamais il ne fera mention de son Grand théorème. Peut-être simplement parce qu'il qu'il n'a pas eu besoin d'essayer la descente. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 6qknjc45uys5vixr77tuvlpu13gi7xi 984276 984275 2026-07-06T13:50:12Z Alain.fabo 73895 /* Remerciements */ 984276 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" <u>Dans la suite considèrera que les puissance premières impaires</u> : <math>~ n \in \mathbb{P}, n> 2</math> et <math>(x,y)</math> <u>copremiers de parité différente</u> ==== Rappels historiques ==== Ce travail a déjà été fait par des spécialites, les plus célèbres étant [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf Tannery], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 Itard] et [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html Rashed]. Aujourd'hui encore, Fermat continue d'intriguer les historiens des sciences, comme par exemple [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf Goldstein] Mais consulter tous ces remarquables travaux historiques ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. * lettre pour Domini de Sainte-Croix de 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussit à prouver son impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie, qu'il détaillera pour prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Et qui implique lieu au cas <math> n=4</math> . Les deux cas, s'il se ressemble par leur forme, sont à la base sont complètement indépendants. * lettre à Frénicle en avril 1640 : il se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Aritliniétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends uelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que,silongue pour ce regard et j'ose dire sans vanitéje pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvcrois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * lettre à Mersenne de mai 1640 : il veut vérifier si Frénicle "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * lettre à Mersenne de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé<math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * lettre à Frénicle d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * lettre à Frénicle d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème : <math>\forall a,~ n| (a^{n-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * lettre à Mersenne en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement sur les puissances, qu'il a cherché à réduire leur complexité en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]] ==== La preuve de Fermat ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Or par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>c^2=a^2+b^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>abc</math> Certes c'est une preuve farfelue car identifier sur <math>w</math> n'est pas valable. Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée est séduisante. On peut même penser qu'il existe un certain <math>w</math> qui fonctionne. Et peut-être Fermat savait-il encore des choses que je n'ai pas encore trouvées. Serait-il passée par cette voie si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique aux cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math>. En effet, pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence celle par descente infinie, que Fermat a inventée pour le cas <math>n =4</math>. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". Qu'avec du recul Fermat a pu se dire que finalement c'était faux. Ou sinon, s'il ne voyait pas d'erreur, que c'était suffisamment trivial pour ne pas en parler à ses correspondants. Que ça n'était pas prioritaire. Rappelons que son bébé, c'est la descente infinie. On le voit bien dans sa correspondance. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à Wallis, Digby, ou Carcavi, il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Mais jamais il ne fera mention de son Grand théorème. Peut-être simplement parce qu'il qu'il n'a pas eu besoin d'essayer la descente. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie. == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> q39ly9acpzyjr5fpwrrhe9kqxy8lqds 984279 984276 2026-07-06T16:00:26Z Alain.fabo 73895 /* Le grand théorème de Fermat */ 984279 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf ''Tannery''], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 ''Itard''] , [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html ''Rashed''] et [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf ''Goldstein''] . Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussira à prouver l’impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie. il ne laisse aucun écrit. Il détaillera par écrit cette méthode novatrice un seule fois, afin de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Ce qui implique de facto le cas <math> n=4</math> . Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frénicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si Frénicle "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frénicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frénicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème : <math>\forall a,~ n| (a^{n-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement aux puissances, qu'il a cherché à réduire leur degré en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]] ==== La preuve de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant, (c'est là que c'est un peu fort de café), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne ? Et si Fermat était passée par cette voie si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>n</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car Fermat était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> fa07gmv4axg343704ha21mnh94ixgfw 984280 984279 2026-07-06T16:07:14Z Alain.fabo 73895 /* Le grand théorème de Fermat */ coquilles et style 984280 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> On rappelle la [http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton formule du binôme] : <math>(x+y)^n=\sum_{i+j=n} \dfrac{n!}{i!j!} x^{i} y^{j}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}</math>. == '''Résumé''' == Cet article présente, pour <math>n</math> <u>un entier positif impair</u>, la remarquable forme <math> \bold{(x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2} </math>. Son <u>existence</u> se déduit du regroupement symétrique des termes du binôme en <math>(x+y)^n=x\cdot a+y\cdot b </math>. Après avoir établi les expressions algébriques des coefficients <math> (a,b,c,d)</math>, nous étudions quelques propriétés dans <math>\Z</math>. D'abord, avec <math>(x,y)</math> 2 entiers copremiers de parité différente, nous montrons que <math>(a,b) </math> et <math>(c,d) </math> sont premiers entre eux. Ensuite nous montrons qu'il y a <u>unicité</u> des <math> (c,d)</math> pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>. Enfin, si l'<u>exposant n est premier</u>, alors les <u>facteurs premiers</u> de <math> (a,b)</math> sont congrus à <math> 1[2n]</math> , et ceux de <math> (c,d)</math> à '''<math> \pm 1[2n]</math>'''. En dernier lieu nous faisons un bref passage par l'<u>exposant n pair</u>, où nous trouvons que pour <math>x+y=p</math> <u>premier</u>, la forme<math> (x+y) ^n =x\cdot c^2+y\cdot d^2 </math> existe seulement pour <math> x=1 </math> ou <math> y=1 </math>. Une fois ces résultats établis, nous en donnons quelques applications. Nous sommes alors rapidement amenés à une réflexion historique sur ''Pierre de Fermat,'' avec l'idée qu'il aurait pu découvrir ces formules, et s'en inspirer notamment pour son dernier Grand Théorème. == '''Introduction''' == Au départ nous avons cherché comment la puissance d'un nombre pouvait toujours être exprimée en une somme de 2 nombres premiers entre eux. En partant du binôme <math> (x+y) ^n </math>, avec '''n impair''', nous avons étudié le regroupement symétrique des différents termes. Avec '''<math> (x,y)</math>''' copremiers de parité différente, nous aboutissons alors sur 2 expressions telles que <math> (x+y) ^n=a+b, a \wedge b=1 </math> . Ces expressions utilisent les mêmes fonctions <math>f_n(x,y)</math> suivantes : {{définition|contenu= <math> \begin{array}{ll} n=2m+1 \\ &f_n(x,y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \\ &&=\displaystyle \underbrace{x^m}_\text{k=0}+\underbrace{ny^m}_\text{k=m}+ \sum_{k=1}^{m-1} {n \choose 2k} x^{m-k} y^k \end{array} </math>}}'''Exemple''': <math>\quad \begin{array}{lll} f_3(x,y)=x+3y \\ f_5(x,y)=x^2+5y^2 +10xy\\ f_7(x,y)=x^3+7y^3+21x^2y+35xy^2 \\ f_9(x,y)=x^4+9y^4+36x^3y+126x^2y^2+84xy^3 \\ \end{array} </math> == '''Propriétés algébriques''' == Tout comme la formule du binôme, ces propositions s'appliquent dans tout anneau commutatif === '''(x+y)ⁿ=x.a+y.b''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n=xf_n(x^2,y^2)-yf_n(y^2,x^2) \quad \quad(1) </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : <math> (x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1} </math> soit <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k} </math> En posant <math> k'=m-k </math> <math> (x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k'=0}^{m}{n \choose n-2k'} y^{2m-2k'}x^{2k'} </math> D'où la formule par symétrie du coefficient binomial.|titre=Démonstration}} === '''(x+y)ⁿ=x.c²+y.d² - formule des carrés''' === {{Proposition|contenu=<math> (x-y) ^n =xf_n(x,y)^2-yf_n(y,x)^2 \quad \quad(2): \text{formule des carrés} </math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration|contenu=On a précédemment établi : <math> (x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2) </math> En prenant <math>-y</math> : <math> (x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> En multipliant les deux dernières expressions : <math> (x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> D'où la formule en substituant <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}}'''Exemples''' <math>\begin{array}{l} (x-y)^3=x(x+3y)^2-y(y+3x)^2\\ (x+y)^3=x(x-3y)^2+y(y-3x)^2\\ \\ (x-y)^5=x(x^2+10xy+5y^2)^2-y(y^2+10xy+5x^2)^2\\ (x+y)^5=x(x^2-10xy+5y^2)^2+y(y^2-10xy+5x^2)^2 \end{array}</math> === '''xⁿ+yⁿ''' === {{Propriété|titre=Propriétés|contenu=<math>\quad \begin{array}{rll} (x+y)^n+(x-y)^n&=2xf_n(x^2,y^2)&\quad(3)\\ \\ \dfrac{x^n+y^n}{x+y}&= \dfrac{f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right)}{2^{n-1} } &\quad(3bis)\\ \\ f_n(x^2,y^2)&=\displaystyle \sum _{i+j=n-1}(x+y)^i(y-x)^j&\quad(4) \\ \end{array} </math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=(3) : conséquence directe de (1) (3bis) : Par changement de variable <math>(x+y,x-y)=(u,v) </math> soit <math>(x,y)=((u+v)/2, (u-v)/2)</math> Ensuite la définition donne la propriété <math>f_n(a/2,b/2)=f_n(a,b)/2^m</math> Soit ici avec des carrés <math>f_n((a/2)^2,(b/2)^2)=f_n(a^2,b^2)/2^{2m}</math> (4) : En identifiant avec l'identité remarquable <math>u^n+v^n=(u+v)\displaystyle \sum_{i+j=n-1} u^i (-v)^j</math>|titre=Démonstration}} == '''Propriétés dans ℤ''' == On supposera dans la suite <math>(u,v) \in \mathbb{Z}</math> copremiers === '''(u+v)ⁿ=u.c²+v.d²''' === La formule des carrés (2) permet d'écrire n'importe quelle puissance impaire comme combinaison linéaire de 2 carrés copremiers '''Exemples:''' <math>\begin{array}{lll} 17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2&=5\times (31)^2 &+ 12\times (3)^2\\ 17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2&=5\times (5\cdot29)^2 &+ 12\times (331)^2\\ 17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2&=5\times (6929)^2&+ 12\times (3767)^2\\ 17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 &=5\times (31\cdot4481)^2&+ 12\times (3^2 \cdot 19 \cdot 251)^2 \\ ... \end{array}</math> Nous montrerons la coprimalité dans le prochain chapitre === Parité et 2-valuation === {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> de parité différente <math> \Rightarrow f_n(u,v)</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente: Par définition <math>f_n(u,v)=u^m +nv^m+uvP(u,v)</math> . n étant impair, alors <math>f_n(u,v)</math> est impair|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs ou de parité différente, alors <math> \dfrac{u^n+v^n}{u+v}</math> impair|titre=Corrolaire}}{{Démonstration déroulante|contenu=si <math>(u,v)</math> de parité différente, on a un quotient de 2 impairs si <math>(u,v)</math> impairs,<math> (u,v)=(a+b,a-b)</math> avec <math>(a,b)</math> de parité différente. Or (3) donne <math>\dfrac{u^n+v^n}{2a}=f_n(a^2,b^2)</math>, qui est impair d'après la proposition précédente|titre=Démonstration}} {{Proposition|contenu=<math> (u, v)</math> impairs<math> \Rightarrow f_n(u^2,v^2)=2^{n-1}\times a</math>, <math>a</math> impair|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|contenu=Pour <math>(u,v)</math> impairs, on peut toujours changer de variable: <math>(u,v)=(x+y,x-y) </math> avec <math>(x,y)</math> de parité différente. D'après (4bis), <math>f_n\left(u^2,v^2\right) =f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) =2^{n-1} \displaystyle \sum _{i+j=n-1}x^i (-y)^j</math> Or <math>\sum_{i+j=n-1} x^i (-y)^j =x^{n-1}-y^{n-1}+xyP(x,y)</math> est impair avec <math>(x,y)</math> de parité différente Ce qui implique que <math> f_n(u^2,v^2)</math> a nécessairement une 2-valuation de <math>n-1</math>|titre=Démonstration}} === '''Coprimalité''' === Nous considérerons dans la suite <math>(u,v) </math> copremiers <u>de parité différente</u>{{Proposition|contenu=<math> (u,v)</math> copremiers de parité différente <math> \Rightarrow\begin{cases} f_n(u,v) \wedge f_n(v,u)=1 &(5) \\ n\nmid u \Rightarrow u \wedge f_n(u,v)=1 &(6)\\ \end{cases} </math>|titre=Propositions}}{{Démonstration déroulante|contenu=On a déjà établie que si <math>u,v </math> de parités différentes alors <math>f(v,u) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(u,v) \equiv f(v,u) \equiv 0 ~[p] </math> . La forme (2) implique <math>u \equiv v ~[p] </math> En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: <math>f(u,v) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} u^{m-k} v^{k} \equiv u^m (\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k}) \equiv u^m (2^{m-1})~[p] </math> Par conséquent <math>f(u,v) \equiv 0 \Rightarrow u \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>v </math>. Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(u,v) </math> et <math>f(v,u) </math> divise aussi <math>u </math> et <math>v </math>.|titre=Démonstration (5)}}{{Démonstration déroulante|contenu='''(6):''' <math>f(u,v)=nv^m +uP(u,v) </math>, <math>P </math> un polynôme . Avec <math> u \wedge nv^m =1 </math>, alors <math> u \wedge f(u,v)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>u</math>|titre=Démonstration (6)}}{{Attention|<math>f_n(u,v)</math> et <math>f_n(u^2,v^2)</math> ne sont pas forcément premiers entre eux! <math> \begin{array}{ll} f_{11}(29,18)&= 6117463571&= 23 \times 109 \times 2440153\\ f_{11}(29^2,18^2)&=42623439661994533 &= 23 \times 67 \times 27659597444513 \end{array} </math>}} === '''Puissance n première''' === Ici on considérera <math>n</math> <u>premier impair</u> ==== n-valuation ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente. <math> \Rightarrow \begin{cases} n\nmid u \Rightarrow n\nmid f_n(u,v) \\ n\mid u \Rightarrow v_n(f_n(u,v))=1 &(7) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}'''Exemples''': <math>\begin{array}{l} (u,v)= ({\color{green}7^3} \times {\color{red}5^3},22) \\ f_{3} (u,v)=23\times 1867 \\ f_{\color{red}5} (u,v)= {\color{red}5^1} \times 18979 \times 19471 \\ f_{\color{green}7} (u,v)= {\color{green}7^1}\times643\times743\times839\times28393\\ f_{11} (u,v)=43 \times1847 \times 977923 \times 1918245063019 \end{array}</math>{{Démonstration déroulante|contenu='''(7):''' Lorsque <math>n</math> est premier, <math>n</math> divise tous les coefficients binomiaux. Si <math>n \ge 5</math> , on peut écrire <math>\frac{f(nu,v)}{n}=v^m +nuP(u,v) </math>, <math>P </math> polynôme.|titre=Démonstration}} ==== Facteurs premiers modulo 2n ==== {{Proposition|contenu=<math> n</math> premier impair, <math>(u,v)</math> copremiers de parité différente, <math>n\nmid u</math> <math> \begin{cases} f_n(u,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(8) \\ f_n(u^2,v)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\pm1 [2n]&(9) \\ f_n(u^2,v^2)&=\prod p_i^{v_i} \Rightarrow p_i\equiv\ 1 [2n] &(10) \end{cases} </math>|titre=Proposition}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (10)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=When $x^n+y^n=(x+y)Q_n$ then $Q_n$ only has prime factors $p=1 \mod n$?|url=https://math.stackexchange.com/questions/3730148/when-xnyn-xyq-n-then-q-n-only-has-prime-factors-p-1-mod-n|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-08}}</ref> : "''When xn+yn=(x+y)Qn then Qn only has prime factors p=1modn"'' En résumé, d'après (3bis) : <math>2^{n-1}\dfrac{x^n+y^n}{x+y}=f_n\left((x+y)^2,(x-y)^2\right) </math> Soit <math>p \neq n</math> un diviseur premier impair de <math>\dfrac{x^n+y^n}{x+y}</math> <math>x^n+y^n \equiv 0[p]</math> donne <math>\left(xy^{-1}\right)^n+1 \equiv 0[p]</math>, soit <math>\left(xy^{-1}\right)^{2n} \equiv 1[p]</math> D'après le petit théorème de Fermat <math>\left(xy^{-1}\right)^{p-1} \equiv 1[p]</math> Donc <math>p-1\mid 2n</math> et <math>p \equiv 1 [2n]</math>}}{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (8)|contenu=cf<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Numbers with prime factors $p\equiv \pm1\pmod n$ for $n$ prime|url=https://math.stackexchange.com/questions/5023950/numbers-with-prime-factors-p-equiv-pm1-pmod-n-for-n-prime|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-01-20}}</ref> : "''Numbers with prime factors p≡±1(mod n) for n prime''" L'idée est d'utiliser la relation sous la forme: <math> (\sqrt{x}-\sqrt{y}) ^n =\sqrt{x}f_n(x,y)-\sqrt{y}f_n(y,x) </math> et de travailler dans <math>\mathbb{Z/n^2 Z}</math>}} ==== Exemples ==== <math>f_n(u,v)\equiv \pm 1 [2n]</math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>\pm 1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 , 11 ) &=1301 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 , 11 ) &=181\times239 &\equiv-1\times1 &[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 , 11 ) &=47820079 &\equiv1&[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 , 11 ) &=8969\times177269 &\equiv-1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 , 11 ) &=151\times386989747169 &\equiv-1\times-1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 , 11 ) &=5278223\times12238317893 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 , 11 ) &=233\times521\times1309699\times14932891583 &\equiv1\times-1\times1\times-1 &[ 58 ] \\ ... \end{array}</math> <math>f_n(u^2,v)\equiv 1[2n]</math> : Le nombre de facteurs en <math>-1[2n]</math> est pair. <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ) &=5861 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ) &=507809 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ) &=89\times6029\times7129 &\equiv1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ) &=883\times2341\times160627 &\equiv-1\times1\times-1 &[ 26 ] \\ f_{ 17 }( 6 ^2, 11 ) &=67\times187067\times199591969 &\equiv-1\times-1\times1 &[ 34 ] \\ f_{ 19}( 6 ^2, 11 ) &=229\times683\times1901\times2963\times246469 &\equiv1\times-1\times1\times-1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23}( 6 ^2, 11 )&=367 \times 4457595074737380607 &\equiv-1\times-1 &[ 46 ] \\ f_{ 29}( 6 ^2, 11 )&=1069838719517673460520580221 &\equiv1&[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> <math>f_n(u^2,v^2)\equiv 1[2n] </math> : Les facteurs premiers tous congrus à <math>1[2n]</math> <math>\begin{array}{lll} f_{ 5 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 118061 &\equiv1&[ 10 ] \\ f_{ 7 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 34188379 &\equiv1&[ 14 ] \\ f_{ 11 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 23\times89\times2377\times586961 &\equiv1\times1\times1\times1 &[ 22 ] \\ f_{ 13 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 30187\times27342279823 &\equiv1\times1 &[ 26 ] \\ f_{ 19 }( 6 ^2, 11 ^2) &= 2129\times3079\times3039225397425209 &\equiv1\times1\times1 &[ 38 ] \\ f_{ 23 }( 6 ^2, 11 ^2) &=1663964075070633572800332299&\equiv1&[ 46 ] \\ f_{ 29 }( 6 ^2, 11 ^2) &=59\times11250493\times60508154689065340703592763&\equiv1\times1\times1 &[ 58 ] \\ ... \end{array} </math> === Unicité === ==== '''Forme (u+v)ⁿ=u.a+v.b''' ==== Nous allons étudier s'il y a d'autres décompositions possibles <math>(u+v)^n=u.a+v.b </math> , avec <math>(u,v) </math> premiers entre eux de parité différente, et <math> (a,b)</math> n'ayant que des facteurs premiers en '''<math>1[2n] </math>'''. Nous considérons aussi le cas <math>n|u</math> où <math>v_n(a)=2</math>. L'exemple '''<math>z=7^5 </math>''' suivant nous montre que oui. L'informatique en trouve 114, dont voici une partie: {{Exemple déroulant|contenu=<math> \begin{array}{lll} 7^5&= 1 \times( 61 )&+ 6 \times( 2791)\\ &= 1 \times( 241 )&+ 6 \times( 11\times251)\\ &...\\ &= 1 \times( 6481 )&+ 6 \times( 1721)\\ &= 3 \times( 31\times71 )&+ 4 \times( 2551)\\ & =\color{blue}1\times (6841) &+\color{blue}6\times(11\times151)\\ &= 3\times(2441) &+ 4\times(2371)\\ &= 1\times(11\times11\times61) &+ 6\times(1571)\\ &...\\ &= 1\times(8161) &+ 6\times(11\times131)\\ &= 3\times(11\times251) &+ 4\times(2131)\\ & =\color{red} 3\times(2801) &+ \color{red} 4\times(11\times191)\\ &= 1\times (8521) &+ 6\times(1381)\\ &\color{green} = 5\times(5\times11\times31) &+ \color{green}2\times(41\times101)\\ &= 1\times(8641) &+ 6\times(1361)\\ &... \\ &= 5 \times( 5\times401 )&+ 2 \times( 3391)\\ &= 5 \times( 5\times521 )&+ 2 \times( 31\times61)\\ &... \\ &=1 \times (16741) &+ 6 \times( 11) \end{array} </math>|titre=Exemple des 114 occurrences pour <math>7^5</math>}} Dans ce dédale, la première formules du wiki atteint "uniquement" : <math>\begin{array}{lll} 7^5&=\color{blue}1\times (6841)&+\color{blue} 6 \times( 11 \times 151)\\ &=\color{red}3 \times (2801)&+ \color{red}4\times (11 \times 191)\\ &=\color{green}5 \times (5\times 11\times 31)&+\color{green}2\times (41\times 101) \\ \end{array} </math> Pourtant l'exemple montre l'existence de beaucoup d'autres formes en <math>\color{blue} 1a+6b,~ \color{red}~3a+4b </math>, <math>\color{green}5a+2b</math> '''Question''': Existe-t-il des formules permettant de les atteindre? '''Remarque''': Ici la formules des carrés ne compte pas, puisqu'elle donne des '''<math>-1[2n] </math>'''. <math>\begin{array}{ll} 7^5&=1 \times (11^2)^2&+ 6\times (19)^2\\ &=3 \times (31\times19)^2&+ 4\times (59)^2\\ &=5 \times (5\times 11)^2&+2\times (29)^2 \\ \end{array} </math> Mais attention, sur d'autres nombres, il peut arriver qu'elle donne aussi des '''<math>1[2n] </math>'''.Par exemple: <math>\begin{array}{ll} 9^5&=1 \times (241)^2&+ 8\times (11)^2\\ 15^5&=7 \times (191)^2&+ 8\times (251)^2\\\\ \end{array} </math> ==== '''pⁿ=(u+v)ⁿ=u.c²+v.d² avec p premier''' ==== Dans ce cas, nous allons pouvoir donner une proposition très intéressante. En effet, les puissances de nombres premiers ont une unique forme en carré. L'existence est donnée par la formule des carrés. Et elle est unique {{Proposition|contenu=Soit <math>p</math> un nombre premier impair. Alors pour tout couple <math>(u,v)</math> d'entiers strictement positifs tels que <math>p=u+v</math> et pour tout entier impair <math>n</math> il existe un unique couple <math>(c,d)</math> d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que <math>p^n=uc^2+vd^2</math>}}{{Démonstration déroulante|contenu=Une première preuve utilisant la théorie des nombres ici sur mathstackexchange: <ref>{{Lien web|langue=en|titre=uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|url=https://math.stackexchange.com/questions/5088470/uniqueness-of-pn-abn-a-cdot-u2b-cdot-v2-p-n-odd-primes|site=Mathematics Stack Exchange|consulté le=2025-08-15}}</ref> Une autre beaucoup plus accessible de Jandri sur ilemaths: Soit p premier et (a,b) entiers positifs tels que <math> p=a+b</math> . On suppose <math>p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2</math> avec <math>u,v</math> premiers entre eux ainsi que <math>x,y</math>. En combinant les égalités on obtient <math>p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2)</math> donc <math>p^n</math> divise <math>(uy-vx)(uy+vx)</math>. On montre assez facilement que <math>p</math> ne peut pas diviser simultanément <math>uy-vx</math> et <math>uy+vx</math> et on en déduit que <math>p^n</math> divise <math>uy-\varepsilon vx</math> avec <math>\varepsilon=\pm1</math>. Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de <math>p^n</math> : <math>p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2</math>. On en déduit <math>uy=\varepsilon vx</math> puis <math>u=x</math> et <math>v=y</math>}}'''Exemples''': les premières formes (à gauche) sont données par la formule des carrés. Celles supplémentaires à droite trouvées par l'informatique <math>\begin{align} 3^3&= 1 \cdot 5 ^2 &+& 2 \cdot 1 ^2 \\ 5^3&= 1 \cdot 11 ^2 &+& 4 \cdot 1 ^2\\ &= 3 \cdot 3 ^2 &+& 2 \cdot 7 ^2\\ \\ 15^3&= 1 \cdot 41 ^2&+ &14 \cdot 11 ^2 \\ &=7 \cdot 17 ^2&+& 8 \cdot 13 ^2 \\ &={\color{red}11} \cdot 1^2 &+& {\color{red}4} \cdot 29 ^2 &= {\color{red}11 }\cdot 17 ^2 + {\color{red}4} \cdot 7^2 \\ &= {\color{green}13} \cdot 7 ^2&+& {\color{green}2} \cdot 37 ^2 &= {\color{green}13}\cdot 1^2+ {\color{green}2}\cdot 41^2 \end{align}</math> == '''Remarques sur l'exposant pair''' == L'idée est de rechercher des formes <math>z^{2m}=(u+v)^{2m}= u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> avec <math>(c,d)</math> copremiers. Pour tous <math>z</math> et <math>m</math> , l'informatique sort systématiquement une solution du type <math>z^{2m}= c^2+(z-1)\cdot d^2 </math>, soit <math>u=1 \text{ ou } v=1</math> Pour les <u>nombres premiers</u>, c'est la <u>seule et unique</u> forme: <math>\begin{align} 7 ^ 2 &= ( 5 )^2& +& 6 \cdot ( 2 )^2 \\ 7 ^ 4& = ( 1 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times2\times5 )^2 \\ 7 ^ 6 &= ( 5\times47 )^2 &+& 6 \cdot ( 2\times3\times17 )^2 \\ 7 ^ 8 &= ( 2399 )^2& +& 6 \cdot ( 2\times2\times2\times5 )^2 \end{align}</math> Pour les nombres composés, on observe des doublons comme: <math>\begin{align} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= ( 11 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 &= ( 11\times11\times19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times17\times59 )^2 \\ & = ( 11\times839 )^2 &+& 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 &= ( 113 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times13 )^2 \\ & = ( 223 )^2& +& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{align}</math> Et parfois apparaissent d'autres cas que <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>, avec éventuellement des doublons <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= 17 \cdot ( 5 )^2 &+& 4 \cdot ( 2 )^2 \\ 33 ^ 2 &= 31 \cdot ( 1 )^2 &+& 2 \cdot ( 23 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 21 ^ 6 &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+& 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ 33 ^ 6& = 17 \cdot ( 5\times7\times13 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2243 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 7\times449 )^2 &+ &2 \cdot ( 5\times23\times193 )^2 \end{array}</math> Comme le cas des puissances impaires, l'idée est de chercher une formule en partant du binôme. On arrive alors à une forme <math>(x+y)^{2m} = A^2+xy\cdot B^2</math> {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>n=2m</math>, <math> \quad (x-y)^n = A^2-xy\cdot B^2=\left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}\right)^2 -xy \cdot \left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{m-1-k}y^{k}\right)^2 </math>}} {{Démonstration déroulante|contenu= On procède comme pour le cas impair. Sauf qu'ici il n'y a plus la symétrie avec les <math>f_n(x,y) </math> et <math>f_n(y,x) </math> <math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k-1}y^{2k+1}</math> <math>(x-y)^n = \left(\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} (x^ 2)^{m-k} (y^2)^{k} \right) -xy\left(\sum_{k=0}^{m-1}{n \choose 2k+1} (x^2)^{m-k-1}(y^2)^{k}\right)</math> donc <math>(x-y)^n = A(x^2,y^2)-xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Par conséquent <math>(x+y)^n = A(x^2,y^2)+xy\cdot B(x^2,y^2)</math> Comme pour le cas impair en multipliant, <math>(x^2-y^2)^n = A^2-x^2y^2\cdot B^2</math> Puis on substitue <math>(x,y)</math> à <math>(x^2,y^2)</math>}} '''Exemples''': <math>\begin{array}{lll} (x+y)^2&= \left(x-y\right)^2 &+&xy\cdot \left(2\right)^2 \\ (x+y)^4&= \left(x^2-6xy+y^2\right)^2&+&xy\cdot\left(4x-4y\right)^2\\ (x+y)^6&= \left(x^3-15x^2y+15xy^2-y^3\right)^2 &+&xy\cdot\left(6x^2-20xy+6y^2 \right)^2 \end{array}</math> Si on cherche <math>(u+v)^{2m}= u\cdot v^2+b\cdot d ^2</math>, alors la formule ne va être applicable que pour les cas <math>u=1 \text{ ou } v=1</math>. Et pour <math>m</math> impair elle offre peu d'intérêt puisqu'on retombe sur un des cas impair donné par la formule des carrés. En effet: <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 6& = ( 3\times3\times5\times11 )^2 &+ 16 \cdot ( 2\times13\times47 )^2\\ =289^3&= 225 \cdot ( 3\times11 )^2 &+ 64 \cdot ( 13\times47 )^2 \end{array} </math> <math>\begin{array}{ll} 23 ^ 6 &= ( 3\times3\times7\times59 )^2 &+ 22 \cdot ( 2\times5\times13\times19 )^2 \\ =529 ^ 3 &= 441 \cdot ( 3\times59 )^2 &+ 88 \cdot ( 5\times13\times19 )^2 \end{array}</math> Le seul intérêt ici est donc l'étude des puissances paires <math>n=2^k</math> '''Exemples:''' <math>\begin{array}{ll} 17 ^ 2 = 1 \cdot ( 3\times5 )^2 &+& 16 \cdot ( 2 )^2\\ 17 ^ 4 = 1 \cdot ( 7\times23 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times3\times5 )^2 \\ 17 ^ 8 = 1 \cdot ( 79\times401 )^2 &+& 16 \cdot ( 2\times2\times2\times3\times5\times7\times23 )^2 \end{array}</math> On peut toutefois donner ici la preuve de l'observation que nous avons faites sur les nombres premiers: {{Proposition|épaisseur=1px|contenu=<math>p</math> premier impair et <math>(u,v)</math> 2 entiers positifs tels que <math>p=u+v</math> Alors la forme <math>p^{2m}=(u+v)^{2m}=u\cdot c^2+v\cdot d^2</math> , <math>(c,d)</math> copremiers, n'existe que pour <math>u=1</math> ou <math>v=1</math>. De plus, elle est unique.}} {{Démonstration déroulante|contenu= La preuve d'unicité pour le cas impair s'applique aussi au cas pair. Avec <math>p=a+b</math>. Pour montrer l'inexistence pour <math>a\neq1 \text{ et } b\neq1</math>, une preuve magnifique de Jandri par descente : on montre que s'il existe <math>(u,v)</math> tel que <math>p^{2n}=au^2+bv^2</math>alors il existe <math>(u',v')</math> tel que <math>p^{2n-2}=au'^2+bv'^2</math>. Jusqu'à <math>n=0</math> et ainsi conclure que <math>a=1 \text{ ou } b=1</math> Le passage de <math>2n</math> à <math>2n-2</math> se fait en deux étapes. On peut supposer que <math>p \nmid u</math> (sinon c'est fait). <math>a+b \equiv 0 \pmod p</math>, donc <math>u^2\equiv v^2\pmod p</math> d'où <math>v=\varepsilon u+pw</math>. Ce qui donne <math>p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2</math>. On en déduit <math>p \mid u+2\varepsilon bw </math>, d'où <math>u+2\varepsilon bw=pt</math> En reportant dans l'égalité que l'on réécrit comme <math>p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2</math> <math>p^{2n-1}=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2 = p^2t^2 -2\varepsilon pbwt +pbw^2</math> En simplifiant par <math>p</math> puis en utilisant <math>p=a+b</math>, on obtient <math>p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2</math> }} {{Proposition|titre=Corollaire pour les carrés|contenu= Soit <math>p</math> un premier impair. Alors <math>\exists ! (c,d) \in \N ^2, c \wedge d=1</math> tels que <math>p^2=c^2+(p-1)d^2</math> En l'occurrence <math>p^2=(p-2)^2+2^2(p-1)</math> |épaisseur=1px}} '''Exemples''': On observe des doublons sur des nombres composés. Avec parfois l'existence d'autres formes, ou aucune autre pour 35 <math>\begin{array}{ll} 21 ^ 2 &= ( 19 )^2 &+& 20 \cdot ( 2 )^2 \\ &= \color{red}( 11 )^2&+& \color{red}20 \cdot ( 2\times2 )^2\\ & = 17 \cdot ( 5 )^2&+&4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 33 ^ 2&= ( 31 )^2&+&32 \cdot ( 2 )^2 \\ &=\color{red}( 17 )^2&+&\color{red}32 \cdot ( 5 )^2 \\ &= 17 \cdot ( 7 )^2&+&16 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ &= 31 \cdot ( 1 )^2&+&2 \cdot ( 23 )^2 \\ \\ 35 ^ 2&= ( 3\times11 )^2 &+& 34 \cdot ( 2 )^2\\ & = \color{red}( 1 )^2 &+&\color{red} 34 \cdot ( 2\times3 )^2 \end{array}</math> {{Attention| La réciproque est fausse }} 39 a une unique forme sur <math>(1,38)</math>, mais une autre sur <math>(25,14)</math>, ce qui "trahit" sa non-primalité. <math>\begin{array}{ll} 39 ^ 2=(3\cdot 13)^2 &= ( 37 )^2 &+& 38 \cdot ( 2 )^2\\ & = 25 \cdot ( 5 )^2 &+& 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \end{array}</math> Par contre, 87 est le plus petit nombre composé à n'avoir qu'une seule forme en <math>a\cdot u^2+b\cdot v^2</math>. Puis ensuite 93 <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 2 = (3\cdot 29)^2&= ( 5\times17 )^2 &+& 86 \cdot ( 2 )^2\\ 93 ^ 2 =(3\cdot 31)^2&=( 7\times13 )^2 &+& 92 \cdot ( 2 )^2 \end{array}</math> Cependant ils "trahissent" leur non-primalité sur les cubes où il existe 2 forme sur un même couple <math>(a,b)</math> <math>\begin{array}{ll} 87 ^ 3 &= 85 \cdot ( 79 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times23 )^2\\ &= 85 \cdot ( 17 )^2& +& 2 \cdot ( 563 )^2 \\ 93 ^ 3& = 91 \cdot ( 5\times17 )^2 &+& 2 \cdot ( 271 )^2\\ &= 91 \cdot ( 37 )^2 &+& 2 \cdot ( 11\times53 )^2 \end{array}</math> == '''Remarques sur le trinôme''' == on rappelle ici la [[w:Formule_du_trinôme_de_Newton|formule du trinôme]] <math>(x+y+z)^n=\sum_{i+j+k=n} \dfrac{n!}{i!j!k!} x^{i} y^{j}z^{k}</math> On peut en effet se demander ce qu'il se passe sur le trinôme. * Déjà l’existence de triplets <math>(a,b,c)</math> tels que <math>(x+y+z)^n=x.a^2+y.b^2+z.c^2</math> avec les facteurs premiers de <math>(a, b, c)</math> en <math>\pm1[2n]</math> ? Et bien oui, il en existe. Mais pas tout le temps . A priori il n'apparaît aucun schéma simple. Ne serait-ce que sur le nombre de solutions. On donne quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 19^5=(1+7+11)^5 &= 1\times911^2&+ 7\times251^2 &+11\times331^2\\ 25^5 =(7+5+13)^5&= 7\times701^ 2&+ 5\times571^2&+ 13\times601^2\\ 9^7 = (3+5+1)^7&= 3 \times 449 ^2&+ 5 \times 911^2&+ 1 \times 13 ^4 \end{array} </math> * Ensuite, l’existence de formes <math>x^n+y^n+z^n=(x+y+z)f_n(x,y,z)</math> avec les facteurs premiers de <math>f_n(x,y,z)</math> en <math>1 [2n]</math> Oui. Quelques exemples ici : <math>\begin{array}{lll} 8^3+11^3+14^3=(8+11+14)\times 139\\ 8^5+11^5+14^5=(8+11+14)\times 22171\\ 8^7+11^7+14^7=(8+11+14)\times 3848419 \end{array} </math> Mais cela s'arrête pour la puissance 11. Donc a priori pas de formule générale == '''Conclusion''' == Afin de généraliser à "toutes les puissances", nous pouvons condenser les résultats trouvés dans la proposition suivante : Soit <math>p</math> <u>un premier impair</u> et <math>n</math> un <u>entier positif</u>. Alors il existe 2 <u>uniques</u> entiers positifs <math>(c, d)</math> premiers entre eux tels que <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math>. De plus, si l'exposant <math>n</math> est premier impair, les facteurs premiers de <math>(u, v)</math> sont <u>congrus</u> à <math> \pm 1[2n]</math>. L'existence est assurée par les relations <math>p=1^2+(p-1)1^2</math> et <math>(au^2+bv^2)(ax^2+bu^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy \mp vx)^2 </math> , où ici <math>(a,b)=(1,p-1)</math>. Mais on peut s'étonner de l'<u>unicité</u> qui perdure sur les puissances, constituant une sorte de "''ligne de crête''" remarquable si on fait le parallèle avec le théorème des 2 carrés. En effet, si pour les premiers <math>p\equiv 1 [4]</math> il existe 2 <u>uniques</u> <math>(a,b)</math> tels que <math>p = a^2+b^2</math>, alors il se crée une ramification lorsqu'on passe aux puissances, les <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ayant exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Une autre remarque concerne l'accessibilité de cette ligne de crête. Car si on choisit un premier <math>p\equiv 1 [4]</math>, il n'existe pas de formule pour trouver directement les <math>(a,b)</math>, mais des algorithmes. Le chemin <math>p^n = c^2+(p-1)\cdot d^2 </math> est directement accessible, avec des formules explicites pour les <math>(c,d)</math>. Enfin, sur la congruence des facteurs premiers à <math> \pm 1[2n]</math>, nous ne ferons qu'admirer la beauté de cette étrangeté mathématique. == '''Applications''' == === Points rationnels des coniques du type ax²-by²=a-b === Soient les coniques du type <math>a x^2 - b y^2= a - b </math> En réécrivant <math>\dfrac{a }{a - b} x^2 - \dfrac{b}{a - b} y^2= 1 </math>. Alors d'un point <math>(1,1)</math> solution , on en déduit une infinité d'autre par mise à la puissance <math>n </math> et l'utilisation de la formule des carrés : <math>\frac{a}{(a- b)} \left(\frac{f_n(a,b)}{(a-b)^m}\right)^2-\frac{b}{(a- b)}\left(\frac{f_n(b,a)}{(a-b)^m}\right)^2) =1^n=1 </math> Un exemple ici : On remarque que les points apparaissent en "tournant" [[Fichier:2x²+5y²=7 scatter.png|Construction de points rationnels par application des <math>f_n(x,y)</math> à partir de (1;1)|cadre|centré]] [[Fichier:2x²+5y²=7 tangente.png|centré|cadre|Les points reliés reforment une ellipse semblable de demi grand axe 1 ]] === Équation de Bachet-Mordell === Pour rappel, ce sont les équations en nombre entier du type <math>y^2=x^3 + k, k \in \mathbb{Z}</math> (un bon résumé ici [http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm http://villeminen posant.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Bachet.htm] , qui référence d'autres excellents sites). Ici nous travaillons pour <math>k<0</math> (''équation de Bachet'') Nous donnons 3 paramétrisations de solutions: pour <math>k=(3n^2 + 1)_n </math> , <math>k=(3n^2 -1)_n </math> et <math>k=\left((n-1)(n-4)^2\right)_n </math> On part de l'identité remarquable : {{Encadre|contenu=<math> (a+b)^3=a(a-3b)^ 2+b(b-3a)^2 </math>|épaisseur=1px}} 2 possibilités: 1) On pose <math>(a,b)=(1,x-1)</math>, et on obtient cette magnifique formule du partage d'un cube: {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{clclcr} x^3&=&(3x-4)^2&+&(x-1)(x-4)^2 &\quad(E3)\\ x^3&=&y^2&+&-k \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Voici les solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math><math>\begin{array}{rrr} (E3):&(x,y,k)= ( 1 , 1 , 0 ), {\color{red}( 2 , 2 , -4 )}, {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, ( 4 , 8 , 0 ), {\color{red}( 5 , 11 , -4 )}, ( 6 , 14 , -20 ), ( 7 , 17 , -54 ), ( 8 , 20 , -112 ), ( 9 , 23 , -200 ),~... \end{array}</math> On remarque ici que ce "partage" du cube donne les solutions aux cubiques qu'a étudié Fermat, à savoir <math>\color{green}y^2=x^3 -2</math> et <math>\color{red}y^2=x^3 -4</math>. Est-ce un hasard ou avait-il découvert ces formules? Même si cela ne dit pas que ce sont les seules solutions, ce qu'il dit avoir démontré. 2) On change <math>b\rightarrow b^2 </math>, ce qui donne <math>(a+b^2)^3=a(a-3b^2)^ 2+\left(b(b^2-3a)\right)^2 </math> On a un premier carré. On y est presque en simplifiant le carré de gauche en posant <math>(a-3b^2)^ 2=1 </math>, soit <math>a=3b^2 + 1 </math> ou <math>a=3b^2 - 1 </math> {{Encadre|contenu=<math> \begin{array}{lclclcl} a=3b^2+1\Rightarrow&(4b^2+1)^3&=&(3b^2+1)&+&\left(b(8b^2+3)\right)^2&\quad(E1)\\ a=3b-1\Rightarrow&(4b^2-1)^3&=&(3b^2-1)&+&\left(b(8b^2-3)\right)^2&\quad(E2)\\ &x^3&=&-k&+&y^2 \end{array}</math>|épaisseur=1px}} Ce qui donne comme solutions pour <math>b=1,2,3,4,5,...</math> <math>\begin{array}{llrrrrr} (E1):&(x,y,k)= \color{red}( 5 , 11 , -4 ), &( 17 , 70 , -13 ), &( 37 , 225 , -28 ), &( 65 , 524 , -49 ), &( 101 , 1015 , -76),~ ... \\ (E2):&(x,y,k) = {\color{green}( 3 , 5 , -2 )}, &( 15 , 58 , -11 ), &( 35 , 207 , -26 ), &( 63 , 500 , -47 ), &( 99 , 985 , -74 ),~... \end{array}</math> ===[[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Le grand théorème de Fermat]] === <math> n>2\Rightarrow z^n \neq x^n+y^n</math> : "''il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré''" ==== Rappels historiques ==== Des investigations historiques déjà été faites par de nombreux spécialistes, comme [https://www.numdam.org/article/BSMA_1883_2_7_1_116_1.pdf ''Tannery''], [https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1950_num_3_1_2767 ''Itard''] , [https://dokumen.pub/histoire-de-lanalyse-diophantienne-classique-dabu-kamil-a-fermat-3110336855-9783110336856-9783110337884.html ''Rashed''] et [https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/STPFermat-GOLDSTEIN.pdf ''Goldstein''] . Mais consulter tous ces remarquables travaux ne suffit pas. Il faut aller relire quelques pages de la [[iarchive:oeuvresdefermat942ferm|correspondance de Fermat]], ne serait que pour s’imprégner de son style si courtois, précis et honnête. On peut retenir les jalons suivants: * Lettre à ''Domini de Sainte-Croix'' en 1936 ou 1937 : Fermat le met "au défi" de trouver des nombres tels que <math> z^3 = x^3+y^3</math> et <math> z^4 = x^4+y^4</math>. Fermat a donc déjà les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math> de son théorème. Le cas <math> n=3</math> prend probablement sa source à la question <math> a^3+b^3 = c^3+d^3</math> du Diophante. Celle-ci amène naturellement à la question de diviser un cube. Fermat réussira à prouver l’impossibilité grâce à sa nouvelle technique de descente infinie. il ne laissera aucun écrit. Il ne détaillera par écrit sa méthode qu'une seule fois, au moment de prouver qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir une aire carrée. Ce qui implique de facto le cas <math> n=4</math> . Ainsi, les cas <math> n=3</math> et <math> n=4</math>, s'ils se ressemblent par la forme, sont a priori complètement indépendants. Le grand théorème <math> z^n \neq x^n+y^n</math> n'arrive donc pas d'un seul bloc. * Lettre à ''Frénicle'' en avril 1640 : Fermat se plaint des innombrables divisions pour trouver les facteurs premiers<ref>''"Pour Monsieur de Frénicle, ses inventions en Arithmétique me ravissent et je vous déclare ingénument que j'admire ce génie qui, sans aide d'Algèbre, pousse si avant dans la connoissance des nombres entiers, et ce que j'y trouve de plus excellent consiste en la vitesse de ses opérations, de quoi font foi les nombres aliquotaires qu'il manie avec tant d'aisance. S'il vouloit m'obliger de me mettre dans quelqu'une de ses routes, je lui en aurois très grande obligation et ne ferois jamais difficulté de l'avouer, car les voies ordinaires me lassent et, lorsque j'entreprends quelqu'une de ces questions,il me semble que je vois devant moi Magnum maris œquor arandum à cause de ces fréquentes divisions qu'il faut faire pour trouver les nombres premiers. Ce n'est pas que mon analyse soit défectueuse, mais elle est lente et que, si longue pour ce regard et j'ose dire sans vanité je pouvois l'accompagner de cette facilité, je trouvois de fort belles choses. Je voudrois avoir mérité par mes services la faveur que je lui demande et ne désespère pas même de la payer par quelques inventions qui peut-être seront nouvelles à Monsieur Frenicle."''</ref> * Lettre à ''Mersenne'' de mai 1640 : il veut vérifier si ''Frénicle'' "ne procède point par tables" en le mettant au défit des 2 problèmes précédents. Il veut signifier qu'il en a trouvé une véritable démonstration mathématique, que ça n'est pas une conjecture déduite de tables de calcul. * Lettre à ''Mersenne'' de juin 1640 : il annonce que <math>2^n-1</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref>Pour les <math>2^n -1</math>, Fermat dit avoir trouvé <math>2^{37}-1=137438953471 = 223\times616318177</math> en essayant les premiers 1[74], soit 149 puis 223 .</ref> * Lettre à ''Frénicle'' d'aout 1640 : il annonce que <math>\dfrac{2^n+1}{3}</math> n'a que des facteurs premiers en <math>1[2n]</math><ref name=":2">''"Soit le nombre progressif augmenté de l'unité 8193, duquel l'exposant est 13 nombre premier. Je dis que, si vous divisez 8193 par 3, le quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité le double de 13 exposant susdit, ou un multiple dudit double de 13, etc, à l'infini."''</ref> * Lettre à ''Frénicle'' d'octobre 1640 : il a élargi <math>2^n</math> à <math>a^n</math>, et annonce son "petit" théorème pour <math>p</math> premier : <math>\forall a,~ p| (a^{p-1}-1)</math>[https://arxiv.org/abs/2502.11165] * Lettre à ''Mersenne'' en décembre 1640 : il annonce son [[w:Théorème_des_deux_carrés_de_Fermat|théorème des 2 carrés]] : <math>p</math> premier et congrus à <math>1[4]</math> est unique somme de 2 carrés. Mais aussi il étend aux <u>puissances</u> en précisant que <math>(p^{2k-1}, p^{2k})</math> ont exactement <math>k</math> décompositions différentes en somme de 2 carrés. Il est donc quasi certain que Fermat a continué son travail d'élargissement aux puissances, qu'il a cherché à réduire leur degré en faisant apparaître des carrés, sachant qu'il maîtrisait les techniques d'élimination dans les systèmes d'équations [[s:Œuvres_de_Fermat/I/Méthode_d’élimination|quadratiques]]. Bref, qu'il a découvert la formule des carrés. ==== La preuve de Fermat? ==== Je propose ici une hypothèse pour essayer de résoudre non pas la preuve du théorème, mais le mystère autour de cette preuve. Voici donc comment Pierre de Fermat aurait pu avoir l'intuition de son théorème, cet éclair "merveilleux" qui semble avoir surgi et dont on ressent la puissance lorsqu'on lit la note du Diophante. Considérons un entier <math>w</math> quelconque tel que <math>w < x</math> et <math>w < y</math> et <math>n</math> un premier supérieur ou égal à 5 Dans <math>z^n=x^n+y^n</math>, Substituons <math>(w+x',w+y',w+z')</math> à <math>(x,y,z)</math>. Cela donne: <math>(w+z')^n=(w+x')^n+(w+y')^n</math> Avec la formule des carrés, cela devient: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot a^2+x'\cdot b^2+ w\cdot c^2+y'\cdot d^2</math> avec <math>(a,b,c,d,e,f)</math> des entiers ne contenant que des facteurs premiers congrus à <math>\pm1 [2n]</math>, qu'on peut réduire en: <math>w\cdot e^2+z'\cdot f^2 = w\cdot(a^2+c^2)+x'\cdot b^2 + y'\cdot d^2</math> Ainsi tous les <math>(a,b,c,d,e,f)</math> ont des facteurs premiers supérieurs à <math>2n-1</math>, par conséquent '''strictement''' '''supérieurs à 3 et à 5'''. Maintenant, (c'est là que c'est un peu fort de café), par <u>identification sur</u> <math>w</math>, on a <math>e^2=a^2+c^2</math> . D'où une contradiction! Car on sait que dans les triplets pythagoriciens <math>r^2=s^2+t^2</math>, '''3 et 5 divisent forcément le produit''' <math>rst</math> Certes c'est une affirmation hasardeuse. Car de quel droit identifier sur <math>w</math> ? Mais sachant que ça fonctionne pour n'importe quel <math>w</math>, l'idée n'est-elle pas séduisante? Peut-on construire un système d'équations? Existe-t-il un certain <math>w</math> qui fonctionne ? Et si Fermat était passée par cette voie si tentante? Voici pourquoi Je trouve cette hypothèse assez intéressante du point de vue historique : - Si ça "fonctionne" pour <math>n \ge 5</math> , cela ne s'applique pas aux cas <math>n =4</math> car il faut que <math>n</math> soit premier impair. Et pour le cas <math>n =3</math> , la formule des carrés engendre des facteurs premiers en <math>\pm1 [6]</math>. Or c'est le cas de tous les nombres premiers supérieurs à 3. Donc 5 n'y est pas exclu. Il faut donc une autre technique. En l’occurrence la nouvelle descente infinie inventée par Fermat lui-même! Les cas <math>n =3</math> et <math>n =4</math> restent particuliers. C'étaient les premiers prouvées par Fermat, et il ne se font pas englobés. Chronologiquement, ça se tient. - C'est suffisamment expéditif pour qu'on puisse trouver cela "merveilleux". - Avec du recul, Fermat a pu se dire que finalement ça ne marcherait pas. C'est l'hypothèse de l'historien ''Jean Itard,'' afin de justifier que Fermat ne citera plus jamais le cas général à ses correspondants. J'en doute car Fermat était honnête homme. Il n'aurait pas laissé la remarque dans le Diophante. Alors n'était-ce juste simplement pas important? Rappelons que le bébé de Fermat, c'est la descente infinie. On le voit bien dans ses lettres. C'était l'invention de sa vie! Dans ses dernières lettres à ''Wallis'', ''Digby'', ou ''Carcavi'', il n'énoncera quasiment plus que les résultats qu'il aura démontrés par descente. Les autres sont presque laissé au second plan. - La descente infinie est très compliquée pour <math>n = 5</math>. Fermat n'a pas pu y arriver, Dirichlet et Legendre en venant à bout en 1825. Pire, la technique devient inopérante pour les exposants supérieurs. Or on sait que Fermat a toujours été suffisamment honnête pour avouer à ses correspondants qu'il n'arrivait pas (encore) à démontrer un résultat. Or Jamais il ne fera mention d'un essai pour des puissances supérieures. Non. Ici avec la formule des carrés, il n'y a pas besoin de descente infinie! == '''Postface''' == Ce travail a été motivé par ces polémiques autour du [[w:Dernier_théorème_de_Fermat|Grand théorème de Fermat]], ravivées par la démonstration de Wiles en 1994. Fermat avait donc dit vrai<ref>il existe des suites des couples <math>(n^{19}+6, ~(n+1)^{19}+6)_{n \in \mathbb{N}}</math> dont on pourrait aisément conjecturer la coprimalité ... poutant, très tardivement, un premier contrexemple apparaît, ici pour <math>n=1578270389554680057141787800241971645032008710129107338825798 </math> cf "[https://www.ilemaths.net/sujet-premiers-entre-eux-888188.html premiers entre eux?"]</ref><ref>La suite de Perrin <math>(P_n)</math> est un autre exemple de fausse conjecture : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Perrin#Utilisation_comme_test_de_primalit%C3%A9 . La conjecture est "si ''n'' divise <math>P_n</math> alors ''n'' est un nombre premier". le premier contre-exemple n'a été trouvé qu'en 1982 pour <math>n=271441=521^2</math> . Le nombre <math>P_{271441}</math> a 33150 chiffres!!</ref>! Faisons un bref rappel ici. Fermat lit Diophante. Ce chapitre où il y est question de partager un nombre carré en une somme de 2 carrés<ref name=":1">{{Lien web|titre=arithmetica Livre 2 Question 9 et 10|url=http://schemath.com/arithmetica_livre2._q9et10.html|site=schemath.com|consulté le=2024-07-15}}</ref>. C'est à dire reconstituer un triangle rectangle alors qu'on en connait que son hypoténuse. Géométriquement, les sommets de ces triangles sont sur le cercle de diamètre l'hypoténuse. Mais ici c'est d'arithmétique qu'il s'agit. Diophante donne une méthode pour trouver deux fractions, mesures des deux côtés<ref><math>h</math> l’hypoténuse et <math>c</math> un côté. L'astuce revient à poser <math>h^2=c^2+(h-\alpha c)^2</math> afin que les <math>h^2</math> disparaissent. Ici <math>\alpha \in \mathbb{Q}</math> un paramètre. Ce qui donne après développement <math>c=\dfrac{2\alpha}{1+\alpha ^2}h</math> . Et l'autre côté <math>\dfrac{\alpha^2-1}{1+\alpha^2}h</math> . Ici il faut <math>\alpha > 1</math> pour rester avec des valeurs "positives" et donner un sens géométrique. Notons la transformation inverse <math>\alpha \rightarrow \alpha^{-1}</math> qui donne les mêmes valeurs (au signe près)! Rien qu'en prenant <math>\alpha \in \mathbb{N}</math>, on obtient une infinité de solutions.</ref>. A cette lecture, on s'imagine Fermat qui bouillonne et s'arrête un temps. Il a une idée. On imagine sa fulgurance, vu la la clarté et la brillance de son annotation. Il écrit, en latin, ces mots célèbres : ''"aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom''". Fermat en avait-il une preuve? Était-elle arithmétique<ref>La méthode de Diophante pour les cubes tombe rapidement dans une impasse. En posant <math>h^3=c^3+(h-\alpha c)^3 </math>, on arrive à <math>(1-\alpha^3)c^2+3h\alpha ^2c-3\alpha h^2=0</math> . Soit un polynôme du second degré en <math>c</math> avec <math>\Delta _c=3h^2\alpha (4-\alpha ^3)</math> . Avec <math>\alpha \in \mathbb{Q}, \alpha = \dfrac{p}{q}</math>, on arrive à <math>\Delta _c=\dfrac{h^2}{q^4}3p(4q^3-p ^3)</math> . Or l'équation diophantienne <math>3p(4q^3-p ^3)=d^2</math> est impossible à résoudre directement. Et justement! On sait qu'il n'y en a pas de solutions grâce au théorème de Fermat!</ref> ou géométrique? En existe-t-il une démonstration plus simple que celle de Wiles? Cette prétendue "''marge trop petite''" est-elle vraiment la bonne traduction, comme le démentent certains latinistes<ref>{{Lien web|titre=Dernier Théorème de Fermat, révélation de son idée.|url=http://franquart.fr/Revelation_DTF.html|site=franquart.fr|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Bien avant ces querelles légitimes, une question plus fondamentale s'impose immédiatement à n'importe qui revisite le théorème : comment un homme pourrait-il recevoir une vérité si vaste, si générale, sans sa démonstration<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états — Wikiversité|url=https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:L%27%C3%A9nigme_de_Fermat,_le_sublime_dans_tous_ses_%C3%A9tats|site=fr.wikiversity.org|consulté le=2024-07-15}}</ref>? Difficile à croire, même si nous savons qu'en mathématiques, il n'est pas rare que l'intuition devance la preuve<ref>lire le magnifique ouvrage de Cédric Villani {{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Théorème vivant|titre ouvrage=Wikipédia|date=2021-08-23|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9or%C3%A8me_vivant&oldid=185750389|consulté le=2024-07-16}}</ref>. Cependant il y a toujours un terreau préparatoire à toute découverte. Un long travail préliminaire, qui peut durer des années. Une maîtrise d'outils novateurs, à la portée aussi générale que la découverte qui s'en suivra. D'où cette question : quelles pouvaient être les connaissances de Fermat englobant "''toutes les puissances''"<ref name=":0">Fermat est en en fait "tombé" sur un cas particulier. En effet, les arithméticiens ont beaucoup avancé depuis 1994. Désormais, le théorème de Fermat, "<math>x^p+y^p=z^p</math> ''sans solution pour'' <math>p>2</math> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math>", n'est plus qu'un tout petit cas particulier d'une conjecture beaucoup plus vaste,"(''Tidjman et Zagier'') : <math>x^p+y^q=z^r</math>''sans solution pour'' <math>(p,q,r)</math> ''<u>tous supérieur à 2</u> et <math>(x,y,z) \in \mathbb{N}^3</math> premiers entre eux.".'' cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_abc#Triplets_(a,_b,_c) . Fermat n'a pas conjecturé qu'''<u>aucune puissance supérieure au carré ne peut être partégée en 2 puissances quelconques supérieure au carré</u>''. Ce qui nous montre bien qu'il évoluait dans un cadre de pensée particulier.</ref>? . On rappelle qu'il n'y avait point de calculatrice. On factorisait à la main. On décomposait de tête. Pour arriver à ses nombreux résultats, Fermat a dû développer des techniques de calcul prodigieuses. Lui qui se disait le plus paresseux des hommes. Mais il les dévoilait peu dans ses correspondances. Doué d'une acuité sans pareil, il fut un génie en son temps. Ici nous avons essayé de reprendre Fermat "au mot". Que signifie "''partager une puissance''"? Tout comme il aurait pu le faire, nous sommes parti du binôme. La première contrainte étant que le partage doit donner systématiquement, pour n'importe quelle puissance, une somme de deux nombres toujours premiers entre eux. Nous avons cherché d'éventuels regroupements des termes du binôme qui auraient cette propriété. Et effectivement, dans le cas n impair, nous en avons trouvé. De fil en aiguille, nous avons découvert une autre propriété encore plus étonnante concernant leur décomposition en facteurs premiers. Ces généralités auraient pu être connues de Fermat. == '''Remerciements''' == Merci aux équipes du forum [https://www.ilemaths.net/forum.php www.ilemaths.net] (notamment elhor_abdelali et jandri pour les démonstrations) Merci à [https://math.stackexchange.com math.stackexchange.com] (notamment ScratchingTheSurface , Thomas Andrews et Mastrem pour les démonstrations) Merci à Yohann C. pour son aide et ses relectures Merci à la distribution Linux [https://www.mageia.org/fr/ Mageia] , toujours là depuis toutes ces années. Et le bureau [https://xfce.org/ XFCE] Merci au site [https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers dcode.fr] pour la décomposition de grands nombres Merci à Wikiversité ----<!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 06wjc2vuny70rts3ac7whgkg6cik7po 104 83994 984286 984241 2026-07-07T06:21:47Z Psychoslave 2753 984286 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''aiglonne'' et ''aiglon'', ''amphitryonne'' et ''amphitryon'', ''Anglo-Saxonne'' et ''Anglo-Saxon'', ''automédone'' et ''automédon'', ''bonne'' et ''bon'', ''Bonne'' et ''Bon'', ''baronne'' ou ''barone'' et ''baron'', ''barytonne'' ou ''barytone'', et ''baryton'', ''bessonne'' et ''besson'', ''bichonne'' et ''bichon'', ''bisonne'' et ''bison'', ''bouffonne'' et ''bouffon'', ''bougeonne'' et ''bougeon'', ''brabançonne'' et ''brabançon'', ''bretonne'' et ''breton'', ''brutionne'' et ''brution'', ''bucheronne'' et ''bucheron'', ''bûcheronne'' et ''bûcheron'', ''bufflonne'' ou ''bufflone'' et ''bufflon'', ''canetonne'' et ''caneton'', ''Carpionne'' et ''Carpion'', ''cavillonne'' et ''cavillon'', ''chalonne'' et ''chalon''<ref group="N">Au sens de personne qui parle la langue éponyme.</ref>, ''championne'' et ''champion'', ''chaponne'' et ''chapon'', ''chaperonne'' et ''chaperon'', ''charronne'' et ''charron'', ''chatonne'' et ''chaton'', ''clergeonne'' et ''clergeon'', ''cochonne'' et ''cochon'', ''coïonne'' et ''coïon'', ''compagnonne'' et ''compagnon'', ''couillonne'' et ''couillon'', ''cupidonne'' et ''cupidon'', ''daronne'' et ''daron'', ''démonne'' et ''démon'', ''dindonne'' et ''dindon'', ''doublonne'' et ''doublon'', ''dragonne'' et ''dragon'', ''échansonne'' et ''échanson'', ''Écromagnonne'' et ''Écromagnon'', ''Egryonne'' et ''Egryon'', ''Éguenignonne'' et ''Éguenignon'', ''Émeringeonne'' et ''Émeringeon'', ''enfançonne'' et ''enfançon'', ''esclavonne''<ref>{{Article|prénom1=Ellen|nom1=Delvallée|titre=Poétiques de la filiation. Clément Marot et ses maîtres : Jean Marot, Jean Lemaire et Guillaume Cretin|éditeur=Université Grenoble Alpes ; Rutgers university (N.J.)|date=2017-06|lire en ligne=https://theses.hal.science/tel-01692632|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Frano|nom1=Vrančić|prénom2=Patrick|nom2=Levačić|titre=Morlaquisme et Morlaques dans la littérature française|périodique=Acta Philologica|numéro=58 (2022)|date=2022-08-19|issn=0065-1524|doi=10.7311/ACTA.58.2022.14|lire en ligne=https://acta.wn.uw.edu.pl/resources/html/article/details?id=231247|consulté le=2026-07-07|pages=161–172}}</ref> et ''esclavon'', ''espionne'' et ''espion'', ''Estonne'' et ''Eston'', ''estronne'' et ''estron'', ''faonne'' et ''faon'', ''fanfaronne'' et ''fanfaron'', ''fauconne'' et ''faucon'', ''félonne'' et ''félon'', ''ferronne'' et ''ferron'', ''fistonne'' et ''fiston'', ''flexatonne'' et ''flexaton'', ''flicaillonne'' et ''flicaillon'', ''forgeronne'' et ''forgeron'', ''franc-maçonne'' et ''franc-maçon'', ''frayonne'' et ''frayon'', ''friponne'' et ''fripon'', ''frisonne'' et ''frison'', ''gonne'' et ''gon'', ''garçonne'' et ''garçon'', ''gasconne'' et ''gascon'', ''gâtionne'' et ''gâtion'', ''gitonne'' et ''giton'', ''gloutonne'' et ''glouton'', ''godichonne'' et ''godichon'', ''gorillonne'' et ''gorillon'', ''greluchonne'' et ''greluchon'', ''griffonne'' et ''griffon'', ''grimpionne'' et ''grimpion'', ''grisonne'' et ''grison'', ''grognonne'' et ''grognon'', ''harpagonne'' et ''harpagon'', ''hérissonne'' et ''hérisson'', ''histrionne'' et ''histrion'', ''jetonne'' et ''jeton'', ''juglonne'' et ''juglon'', ''keuponne'' et ''keupon'', ''Klingonne'' et ''Klingon'', ''laideronne'' et ''laideron'', ''larronne'' et ''larron'', ''levronne'' et ''levron'', ''lionne'' et ''lion'', ''Lionne'' et ''Lion'', ''logonne'' et ''logon'', ''louchonne'' et ''louchon'', ''luronne'' et ''luron'', ''monne'' et ''mon'', ''maçonne'' et ''maçon'', ''mahonne'' et ''mahon'', ''maigrichonne'' et ''maigrichon'', ''maisonne'' et ''maison'', ''maquignonne'' et ''maquignon'', ''marmitonne'' et ''marmiton'', ''matonne'' et ''maton'', ''mellonne'' et ''mellon'', ''mérionne'' et ''mérion'', ''michetonne'' et ''micheton'', ''mignonne'' et ''mignon'', ''ministrillonne'' et ''ministrillon'', ''mironne'' et ''miron'', ''mistonne'' et ''miston'', ''mollassonne'' et ''mollasson'', ''mormonne'' et ''mormon'', ''moucheronne'' et ''moucheron'', ''mousseronne'' et ''mousseron'', ''muletonne'' et ''muleton'', ''myrmidonne'' et ''myrmidon'', ''nonne'' et ''non'', ''napoléonne'' et ''napoléon'', ''nazillonne'' et ''nazillon'', ''négrillonne'' et ''négrillon'', ''nourrissonne'' et ''nourrisson'', ''nutonne'' et ''nuton'', ''octavonne'' et ''octavon'', ''oisonne'' et ''oison'', ''ostéonne'' et ''ostéon'', ''oursonne'' et ''ourson'', ''oxycodonne'' et ''oxycodon'', ''oxytonne'' et ''oxyton'', ''ponne'' et ''pon'', ''paonne'' et ''paon'', ''pagnonne'' et ''pagnon'', ''papillonne'' et ''papillon'', ''paragonne'' et ''paragon'', ''Patagonne'' et ''Patagon'', ''patronne'' et ''patron'', ''péonne'' et ''péon'', ''pédonne'' et ''pédon'', ''pharaonne'' et ''pharaon'', ''pionne'' et ''pion'', ''piétonne'' et ''piéton'', ''pigeonne'' et ''pigeon'', ''pinsonne'' et ''pinson'', ''poêlonne'' et ''poêlon'', ''polissonne'' et ''polisson'', ''poltronne'' et ''poltron'', ''pomonne'' et ''pomon'', ''pomponne'' et ''pompon'', ''prionne'' et ''prion'', ''puceronne'' et ''puceron'', ''pygmalionne'' et ''pygmalion'', ''pythonne'' et ''python'', ''quarteronne'' et ''quarteron'', ''quinonne'' et ''quinon'', ''quinteronne'' et ''quinteron'', ''ronne'' et ''ron'', ''ratonne'' et ''raton'', ''rayonne'' et ''rayon'', ''ronchonne'' et ''ronchon'', ''sonne'' et ''son'', ''sarionne'' et ''sarion'', ''saumonne'' et ''saumon'', ''sauvageonne'' et ''sauvageon'', ''scorpionne'' et ''scorpion'', ''soûlonne'' et ''soûlon'', ''tonne'' et ''ton'', ''tamponne'' et ''tampon'', ''tardonne'' et ''tardon'', ''tardillonne'' et ''tardillon'', ''terceronne'' et ''terceron'', ''teutonne'' et ''teuton'', ''Teutonne'' et ''Teuton'', ''tocsonne'' et ''tocson'', ''trigonne'' et ''trigon'', ''trublionne'' et ''trublion'', ''vaironne'' et ''vairon'', ''vice-championne'' et ''vice-champion'', ''vignonne'' et ''vignon'', ''vigneronne'' et ''vigneron'', ''violonne'' et ''violon'', ''zirconne'' et ''zircon''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== La majorité des alternances phonétiques suffixales entre /ɔn/ et /ɔ̃/ se graphient -onne et -on. Aussi cette section débute par l’analyse des cas moins fréquent où l’ambigu se graphie -one. Évidemment, tous les termes ambigus en -onne<ref>Qui comprend au moins ''aiglonne, amphitryonne, Anglo-Saxonne, année-personne, baronne, barretonne, Berrichonne, bessonne, bichonne, biconsonne, bisonne, bobonne, bœuvonne, bombonne, bonbonne, bonne, bouffonne, bougeonne, brabançonne, Brabançonne, Brayonne, bretonne, brute-bonne, brutionne, bucheronne, bûcheronne, bufflonne, canetonne, carassonne, cavillonne, chaconne, championne, chaperonne, chaponne, charronne, chatonne, clergeonne, cochonne, coïonne, colonne, compagnonne, consonne, couillonne, courbadonne, couronne, coursonne, cretonne, daronne, demi-colonne, demi-couronne, dindonne, divonne, donne, doublonne, dragonne, échansonne, enfançonne, esclavonne, espionne, Estonne, fanfaronne, faonne, faubonne, fauconne, félonne, ferronne, fistonne, flicaillonne, floretonne, forgeronne, franche-maçonne, franc-maçonne, frayonne, friponne, frisonne, frisonne, garconne, garçonne, gasconne, gasconne, gasconne, gâtionne, gigatonne, gitonne, gloutonne, godichonne, gonne, gonne, gorillonne, Grande-Bretonne, greluchonne, greluchonne, griffonne, grimpionne, grise-bonne, grisonne, grognonne, guitaronne, harpagonne, hérissonne, histrionne, jetonne, kilotonne, Klingonne, laideronne, larronne, levronne, lionçonne, lionne, Lionne, louchonne, louchonne, louise-bonne, luronne, maçonne, madonne, mahonne, maigrichonne, maisonne, maldonne, maquignonne, marmitonne, matonne, mégatonne, michetonne, mignonne, ministrillonne, mistonne, mollassonne, moucheronne, mousseronne, muletonne, narbonne, nazillonne, négrillonne, nonne, nonne, nourrissonne, nutonne, octavonne, oisonne, olonne, oursonne, pagnonne, paonne, papillonne, paronne, patronne, pédonne, personne, petite-olonne, pharaonne, piétonne, pigeonne, pinsonne, pionne, poêlonne, polissonne, poltronne, ponne, ponne, pseudo-colonne, puceronne, pygmalionne, quarteronne, quinteronne, ratonne, rayonne, ronchonne, rosconne, saumonne, sauvageonne, scorpionne, semi-consonne, semiconsonne, sorbonne, soûlonne, tamponne, tamponne, terceronne, teutonne, Teutonne, tocsonne, tonne, toute-bonne, trublionne, vaironne, vice-championne, vigneronne, Wallonne.''</ref> et en -one<ref>Qui comprend au moins ''3-hydroxyflavone, acanthicone, acétone, acotylédone, adrénostérone, aldostérone, aleurone, allomone, amazone, Amazone, amidone, androne, androstadiénone, androstènedione, androstérone, anémone, annone, anone, anthraflavone, Antigone, anti-hormone, argémone, asarone, atlantone, aurone, automédone, auximone, barytone, belladone, bélopérone, benzisothiazolinone, benzopinacone, bétaméthasone, bêtaméthasone, bignone, biozone, bizone, brachistochrone, brachystochrone, bretone, brione, bryone, bufflone, buffone, bufone, caféone, calandrone, calone, camphrone, caprone, carvone, cascarillone, cathinone, ceftriaxone, cétone, chacone, chalone, chélone, chronozone, civétone, civettone, clubione, codlémone, corticostérone, cortisone, coumarone, crapone, crassifolone, crémone, crotone, cryptone, cupidone, cypérone, damascénone, demi-amazone, démone, désoxycorticostérone, diazone, dicétone, dicotylédone, didone, dihydrocodéinone, dihydrohydroxycodéinone, dihydro-oxycodéinone, dihydrotestostérone, diméthylcétone, diphénadione, ecdysone, écozone, ectohormone, élédone, élone, entérogastrone, épimone, érione, érythrone, estonophone, estrone, éthérone, eupione, eurozone, extratone, famoxadone, flavone, fluoroquinolone, frambinone, friendzone, gallacétophénone, germacrone, gérygone, glucosazone, gorgone, halazone, hérissone, histone, hormone, hottone, houstone, hydrochinone, hydrocodone, hydrocortisone, hydroquinone, iodacétone, ionone, irone, isanémone, isoflavone, isogone, jasione, juglone, kairomone, kestrosphendone, keupone, lactone, laone, lapachone, leptospermone, Lettone, lutrone, lyrone, madone, Madone, margarone, matrone, mécone, mélipone, ménadione, ménaquinone, ménatétrénone, menthone, méphédrone, métacétone, métadone, méténolone, méthadone, métoquinone, mirone, mistone, mone, monocotylédone, mormone, muscone, mycolactone, myrmidone, naloxone, napoléone, nassone, néfazodone, négrone, népétalactone, neurohormone, none, œstrone, oléone, orgone, osazone, pagnone, palynozone, parathormone, Patagone, pélargone, péone, peptone, pharaone, phénazone, phénylbutazone, phéromone, phérormone, phylloquinone, phytohormone, phytoménadione, phytonadione, pione, pione, pipéritone, plastoquinone, pleione, pléione, polycaprolactone, pomone, prednisone, prégnénolone, progestérone, pucerone, pyrazolone, pythone, quinolone, quinone, rispéridone, schiavone, scorpione, stéarone, strigolactone, subérone, succinone, sydnone, synomone, tagètone, tanacétone, tautochrone, testostérone, tétragone, textostérone, thuyone, tréphone, umbelliférone, unone, verbénone, vétivénone, vignone, vignone, xanthone, xénohormone, zircone, zone.''</ref> n'ont pas d'équivalant équivoque en -on<ref>Ce qui comprend au moins ''abaknon, abandon, abaton, abat-son, abbéton, abioseston, ablépharon, abon, abougnon, abougnon, abron, abutilon, accoinçon, accon, accordéon, acératothérion, acon, açon, acquit-à-caution, acrobaticon, acrochordon, acromion, acron, acrothymion, actinéon, actinon, add-on, adon, adynaton, adyton, æon, aérostathonion, Aerosteon, afferon, affile-crayon, affion, agon, agrion, agryon, aide-maçon, aigledon, aiglon, aiglon, aiguillon, aiguise-crayon, aigu-macron, aileron, aisson, aklanon, alcaron, alchéron, alcyon, aleiron, alérion, aléron, alganon, aliboron, alichon, aliptérion, allaiteron, allanto-chorion, allantochorion, alluchon, Alocodon, alysson, amandon, ambon, amidon, amidosulfuron, ammodendron, ammon, amomon, amphictyon, amphiprion, amphitryon, amplicon, analogon, anatron, anclon, ancon, ançon, ancyloblépharon, andouillon, andrapodon, andropogon, anglo-saxon, Anglo-Saxon, angon, angulon, ânichon, anion, ankyloblépharon, anomalon, anomalon, ânon, ânon, anternon, anthestérion, anticodon, antiélectron, antihypéron, antilepton, antimaçon, antimuon, antineutron, antinucléon, antipatron, antiphoton, antipoison, antiproton, antipuceron, antitauon, aouteron, apanon, apeiron, aphronatron, aphrosélénon, apion, aplon, apogon, apollon, aporon, apothécion, appareillon, apron, aquathlon, aquilon, araignon, aramon, arcançon, arcanson, archentéron, archéobélodon, archétypon, archidémon, archiéchanson, archimignon, arçon, ardélion, ardillon, argemon, argenton, argon, argon, arion, arion, aristophanéion, armon, arpion, arpon, arrière-son, artémon, artezon, artimon, artison, arton, asaroton, ascalaphon, asclépiion, asion, asnon, astérion, asyndéton, attolon, attonewton, attrape-couillon, attrape-minon, auberon, aubiton, Aublysodon, auburon, Aubusson, auqueton, aureillon, aurion, autoballon, automédon, auton, autopédon, autruchon, avançon, aveneron, averon, avillon, avion, aviron, avocaillon, avocasson, avorton, avrelon, avrillon, avron, axion, azimsulfuron, babichon, babion, bachasson, bachon, bachon, backgammon, bacon, badigeon, badillon, badminton, bagnon, bâillon, balafon, balançon, balaon, balcon, baleinon, baléron, baleston, balestron, ballon, balluchon, balon, baluchon, bandicon, bandonéon, bangon, banlon, banneton, banon, baracon, baragnon, baralipton, barathon, baraton, baratton, barberon, barbichon, barbillon, barbillon, barbion, barbiton, barbon, barboton, barbouillon, barcalon, barillon, bariton, barlon, baron, baron, barreton, baryon, baryton, bas-berrichon, bas-breton, basilicon, basion, bas-saxon, basson, bastidon, bastion, bataillon, bateau-dragon, bathostadion, bâton, baveron, baylon, beauceron, bécasson, bec-de-canon, bec-de-faucon, bec-de-héron, bec-de-pigeon, bêchelon, bêcheton, bêchon, bécon, becquillon, bedochon, bedon, bellon, bélon, bembidion, bénaton, béni-non-non, benoîton, benoîton, béquillon, bergeron, bérichon, béron, berrichon, berrichon, berthon, beson, besson, bestion, bêtatron, bethcoron, betlion, béton, béton, beuglon, bévatron, bexon, biathlon, biberon, biberon, bibion, bichon, bidochon, bidon, bidoyon, bieusson, biffeton, bifton, biganon, bignolon, bignon, bijon, billion, billon, binion, binochon, binon, bion, biophoton, bioseston, biosson, biquaternion, birbaillon, bison, bitton, blageon, blancheton, blanchon, blason, bletton, blouson, bobéchon, bocon, bocson, bogon, bohémillon, boiron, boisselon, boitillon, boîtillon, boiton, bolon, bombalon, bombardon, bombon, bon, Bon, bonbon, bon, bon, bondillon, bondon, bonichon, bontalon, bonzillon, boquillon, borolon, boson, bosson, boston, botanicon, bothrion, bottillon, botton, bouaron, bouchon, bouchon, boucon, boudrillon, boudrion, bouffon, bouffron, bougeon, bougeron, bougillon, bougon, bougon, bouillon, bouiron, boujaron, boujarron, boujon, boulejon, bouleutérion, bouleuticon, bouligon, boulon, boulongeon, bouqueton, bourbillon, bourbon, bourbon, bourdillon, bourdon, bourdon, bourdon, bourdon, bourdon, bourgeon, bourgeron, bourgnon, bourguignon, bourguignon, bourre-cochon, bourrichon, bourrillon, bourrillon, bourron, bourseron, boursillon, bourson, boustrophédon, bouteillon, bouteillon, boutéon, bouthéon, bouton, bouton-pression, bouveron, bouvillon, bouvron, bovillon, boxon, brabançon, bracaillon, bracalyon, bracon, bracon, bradillon, bradyon, branchellion, branchillon, brandillon, brandon, brayon, bredzon, brehon, bresson, breton, breton, breton, breton, bricheton, brichton, bridoison, bridon, brignon, brimborion, brindillon, brion, briquaillon, briqueton, brise-béton, brise-négociation, brise-raison, Briton, brocheton, bronton, brouillon, brouillon, broyon, bruchon, brugnon, brule-maison, brûle-maison, brûlon, brution, brution, bryon, bryton, bubon, bubon, bucheron, bûcheron, buchetron, buffleton, bufflon, buisson, bunion, buron, buson, butomon, buton, buton, button, cabanon, cabasson, cabézon, cabezon, cabochon, cabouron, cabrillon, cabrion, cabron, cacheron, cache-tampon, cacheton, cacodémon, cafignon, cafornion, cafuron, cageron, caillon, caïon, cairon, caisson, cajon, caladion, calamédon, caleçon-combinaison, caleçon, calisson, callistemon, calon, calqueron, calutron, calybion, camaron, cambion, cambion, cambrillon, cambrion, caméléon, camion, camion, camptulicon, canasson, cancalon, caneton, canichon, canillon, cannelon, canon, canon, canon, cañon, canson, cantimaron, canton, canyon, caparaçon, caperon, capion, capiston, capiton, cap-mouton, capon, capon, capron, câpron, captagon, capuchon, caquelon, caquillon, carafon, caraquon, carasson, carbon, carbophénothion, carbouillon, carcinotron, cardon, carillon, carmillon, caron, carpillon, carqueron, carraquon, carrillon, carron, carron, carron, carteron, carton, cartoon, caryon, casseron, cassion, casson, cassoton, castagnon, castillon, cathion, catholicon, catimaron, cation, catodon, caton, caton, caton, caulédon, cavaillon, caveçon, caveron, cavesson, cavillon, cayon, cébrion, ceinturon, céladon, centillion, centinewton, centon, centurion, céphalon, cératopogon, céraunion, céraunochryson, céraunoscopion, cerdon, céréléon, cerf-cochon, céron, céron, céseron, chablon, chabrillon, chaetodon, chainon, chaînon, chalazion, chaldron, chalon, chalon, chalon, chalon, chamæleon, chamæléon, chambon, chaméléon, chamélon, chamelon, chameron, champignon, champion, chaperon, chapeton, chapon, charançon, charbon, charbouillon, chargeon, chargeon, charleston, charme-houblon, charnon, charreton, charron, charton, chaseron, chasseron, châtaignon, chatillon, chatiron, chaton, chaton, châtron, chatterton, chatton, chaudron, chauffe-biberon, chausson, chavasson, chefaillon, cheffaillon, chélason, chenanson, chenillon, chênon, cheron, chétodon, chétron, cheval-jupon, chevalon, chevillon, chevreton, chèvreton, chevron, chibron, chichon, chicon, chiffon, chignon, chilon, chinon, chipiron, chiron, chiron, chiton, chlorfénizon, chlorfenson, chlorofénizon, chloroxuron, chlorsulfuron, chlortoluron, chonchon, chon, chon, chon, choon, chorion, choron, chouchillon, chouetton, choupisson, chronon, chuton, chylomicron, cigalon, cimarron, Cionodon, circoncellion, ciron, cirque-construction, cirquinçon, cirquinson, cistron, citragon, citron, citron, clafouchon, clairon, clairon, clapoton, claqueson, claxon, clayon, clergeon, clérodendron, clérotérion, clicheton, clinton, clisson, clocheton, clon, cobayon, cocalon, cochon, Cochon, cocon, cocon, codon, cœur-de-pigeon, cognon, coïon, coitron, colcannon, colimaçon, colin-tampon, collignon, collodion, côlon, colon, colon, colophon, colson, combipantalon, comédon, compagnon, concédon, condominion, con, con, contrebasson, contre-basson, contre-bourgeon, contre-chevron, contre-don, contre-espion, contre-fanon, contre-panneton, contre-poinçon, contrepoinçon, contre-poison, contrepoison, contre-sanglon, contre-son, copion, copon, coq-héron, coqueluchon, coqueron, coquillon, coraillon, corbillon, cordasson, cordon, corgnolon, corindon, corindon, corneillon, cornichon, cornichon, cornillon, cornillon, cornion, coron, coron, corpon, corseron, corton, corton, cosson, cosson, coteaux-du-layon, cothon, cotillon, coton, cotson, cotteron, cotylédon, cougourdon, couillon, couillon, coulon, coupe-boulon, coupe-bourgeon, coupe-gazon, coupeillon, coupe-jambon, couperon, coupillon, coupion, coupon, courbaton, courçon, courgeron, courson, court-bouillon, court-bouton, courton, cousson, Cousteron, couston, couston, couton, coûton, coutrillon, couyon, coyon, crabillon, crabron, craillon, craion, cramignon, crampillon, crampon, crangon, cranson, craon, cratérion, craton, cravichon, crayon, crémaillon, crénon, crépon, cresson, creton, créton, crichon, crinminchon, crinodendron, crinon, crocheton, crochon, croisillon, Cro-Magnon, cron, cron, croquaillon, croque-lardon, croqueton, crosseron, crossillon, crossminton, crostillon, crotchon, croton, crottillon, crotton, crougnon, croupeton, croupion, croupon, croustillon, crouton, croûton, cruchon, cryoplancton, cryotron, cubaton, cuberdon, cuceron, cuchon, cuilleron, culaignon, culeron, culeton, culleron, cupidon, curaillon, curanchon, cureton, curion, curon, currillon, cusson, cyberjeton, cycéon, cyclathlon, cyclotron, cycluron, cygnon, Cylon, cymation, cymbalion, cynorhodon, cynorrhodon, cyon, cyprinodon, cystidion, dactylion, daemon, dæmon, daïkon, daikon, daillon, dalapon, dalon, dalton, danse-o-thon, danzon, darbon, dardillon, dardillon, daron, décanewton, décathlon, décatriathlon, décillion, décinewton, décurion, Deinodon, deltacron, demi-bastion, demi-canton, demi-million, demi-napoléon, demion, demi-ton, démon, démon, dendron, derbon, déséthyl-terbuméton, desserron, détentillon, deutéron, deuton, devon, diablon, diacaryon, diachylon, diapason, diarrhodon, diatessaron, diaton, diazinon, dicaryon, dichlofenthion, dichon, dictérion, dicton, diéthion, diéthon, diflubenzuron, digeon, digon, diluvion, diméfuron, dimétrodon, dimorphodon, dindon, diodon, dioxathion, diprotodon, disulfoton, ditaxion, dithianon, diton, diuron, dodécathlon, dogon, Dogon, dolichocôlon, dominion, Dominion, don, don, donjon, donjon, doradon, dormilon, doron, doron, double-canon, doublezon, doublon, doublon, douceron, douillon, douillon, doupion, doux-ballon, dracontion, drageon, dragon, Dragon, Dralon, drogon, dromelon, dromon, drugeon, duathlon, ducaton, duchon, dudgeon, dugon, duodécillion, duppion, durigon, durillon, durion, durmenton, duron, dyon, eauburon, ébalaçon, ébauchon, écaillon, échaillon, échalion, échalon, échalon, échanson, échantillon, échaudillon, échelon, échillon, échinon, écoinçon, écoinson, écourgeon, écoutillon, écouvillon, écrémillon, écrivaillon, écrivasson, ectropion, éculon, écusson, edit-a-thon, éditathon, édredon, égoton, éguillon, eigon, élaphébolion, élatérion, électro-béton, électrobéton, électron, élektron, Elektron, éléocotésion, éléodendron, élevon, élodicon, embryon, émenon, émérillon, émerillon, émerillon, emerillon, émoticon, empannon, empanon, emperon, emplecton, encharron, enchiridion, encolpion, endochorion, endothion, endymion, enfançon, entéroglucagon, enton, entravon, entre-modillon, entropion, éon, éophyton, éperon, éphippion, épichorion, épimanikion, épimorion, épinicion, épion, épipédon, épiploon, épisémon, épitendon, épitrakêlion, epsilon, épulon, équignon, ergeron, erigeron, érigeron, érigéron, érysimon, E-salon, escabelon, escablon, escadron, escafignon, escaladon, escarasson, escarton, eschillon, esclavon, escoffion, escourgeon, escourgeon, esmerillon, espadon, espion, esponton, estagnon, estavillon, Eston, estragon, estramaçon, estron, esturgeon, étairion, étalon, étalon, étançon, état-nation, État-nation, étavillon, éteinson, éthéphon, éthidimuron, éthion, éthon, eton, eton, étoupillon, étranglion, étranguillon, étrésillon, étron, étymon, euchologion, eudémon, exaleiptron, exanewton, exciton, exétron, exochorion, exon, ex-patron, factoton, fanfaron, fanion, fanon, fanton, faon, farillon, fauchon, faucillon, faucon, faumon, faux-bourdon, favelon, fedon, félon, femtonewton, fenestron, fénitrothion, fénizon, fenson, fenthion, fenton, fénuron, fermion, ferron, ferron, feston, feuilleton, fiatolon, ficheron, fierton, fillon, filon, fion, fion, fion, fion, fisse-larron, fisson, fiston, flabellon, flacon, flambillon, flaperon, flattecon, flazasulfuron, flegmon, fléton, fleuron, flexaton, flicaillon, flion, flocon, flonflon, flotteron, flufénoxuron, fluométuron, fluxon, fogon, fon, foramsulfuron, forchlorfénuron, forchlorfenuron, forgeron, formillon, formothion, forneron, foron, fougon, foulon, fourchon, fourgon, fourgon, fourmi-lion, fourmilion, fourmillon, fourrebuisson, foutimasson, fragon, Francillon, franc-maçon, frangeon, fransquillon, Fransquillon, frayon, fredon, fredon, frégaton, frelon, fréon, Fréon, frésillon, frétillon, frinson, frion, fripon, frison, frison, frisson, friton, fromageon, frometon, fromton, fron-fron, fronton, frotton, fulmi-coton, fulmicoton, fumeron, fumeteron, fumignon, fureton, furon, futon, gabion, gaburon, gaillet-gratteron, galeton, galichon, galion, gallon, galon, galuchon, gambison, gambon, gamélion, gamelon, gammon, ganachon, ganglion, ganson, gaon, gaperon, gâperon, garbon, garçon, garde-étalon, gardon, gardon, garron, gascon, gascon, gascon, gâtion, gaton, gavaron, gavion, gavon, gazon, geison, gémellion, genéton, genisson, génisson, géranion, gerbillon, gerlon, germon, gérontoxon, géropogon, gibbon, giganewton, gigon, gillon, gingeon, gipon, gippon, girafon, giraumon, giravion, giron, giton, giton, glacillon, glaçon, glageon, glaiteron, gliron, glouteron, glouton, gluon, glutathion, glyptodon, gnochon, gnomon, gnon, gobe-mouton, gobisson, godichon, godon, Godon, godron, goémon, goëmon, gonfalon, gonfanon, gon, gonichon, gonion, goon, gorgeon, gorgoton, gorillon, goron, goton, goudron, goujon, goujon, goupillon, grabon, graillon, graisseron, graisson, gramon, grand-cordon, grand-parangon, grangeon, graphon, grapillon, grapillon, grappillon, gratairon, grateron, graton, gratte-menton, gratteron, gratton, gravalon, grave-macron, gravillon, gravinchon, gravisson, graviton, greffon, grêlon, greluchon, grémillon, grenouillon, grésillon, greubon, griffon, griffon, griffton, grifton, grignon, grillon, grillon, grimpillon, grimpion, grison, grison, grison, griveton, grognon, groinson, groison, gros-canon, grugeon, grumillon, grunion, gruon, guéderon, guédron, guenillon, guerdon, guéridon, guerluchon, guêtron, guetton, gueuleton, guichon, guidon, guignon, guillon, guimoisseron, guimoisson, guingasson, guipon, guiron, guiton, gusathion, gusignon, gymnétron, hacheron, hachon, hackathon, hackaton, hadron, hagwon, haillon, hakwon, halcyon, halon, hameçon, hamon, hanneton, hannon, haqueton, harmoniphon, harpagon, harpion, harpiprion, harpon, haubergeon, haubergeron, haut-berrichon, haveron, hayon, hécatombeion, hécatombéon, hectathlon, hectonewton, hédysaron, hégémon, helcydrion, héléoplancton, hélicon, héliodon, hélion, hélitron, helminthochorton, helminthocorton, hélostadion, henson, heptaméron, heptathlon, herbon, hérisson, héron, hérôon, héroon, hersillon, hétérocaryon, heuguenon, hexodon, hiéromnémon, hiligaynon, hilon, himation, hippalectryon, hipparion, histrion, hiveurnon, holon, homocaryon, hoqueton, horion, horison, horizon, hortillon, houblon, houillon, houperon, houspillon, housson, houx-frelon, huchon, huéron, huon, huron, Huron, hybon, hydraméthylnon, hydravion, hydréléon, hydrion, hydroarion, hydro-aviation, hydro-avion, hydroavion, hydron, hyménion, hyodon, hypalon, hypecoon, hypéricon, hypérodon, hypéron, hypéron, hyperoodon, hypéroodon, hyperthyrion, hyperthyron, hyphessobrycon, hypochilion, hypomochlion, hypopion, hypopyon, hypothécion, hypotrachélion, hysson, hystéron-protéron, iatrion, ichneumon, icosathlon, Ifon, ignitron, iguanodon, iléon, ilion, imidithion, inflaton, info-ballon, infoballon, infra-son, infrason, inion, instanton, interféron, intron, iodosulfuron, ion, ippon, iragnon, ischion, isochlorthion, isodomon, isoproturon, isotron, izon, jaglion, jaguarion, jalon, jamblon, jambon, japon, jardon, jargon, jargon, jarron, jaseron, jason, jasperon, jeton, Jomon, jordanon, jouaillon, juglon, juivaillon, jupon, jurançon, juron, juron, juspatron, kakemphaton, kalimaphion, kamilavkion, kaon, kénotron, kérion, kersanton, keupon, kévatron, killon, kilodalton, kilonewton, klackson, klacson, klakson, klaxon, klérotèrion, klingon, Klingon, klystron, kondakion, konichon, kontakion, koukoulion, koyukon, kraton, krytron, kymographion, labyrinthodon, laceron, laconicon, lagon, laicteron, laiteron, laiton, laiton, laitron, lamburon, lamperon, lampion, lampion, lampon, lampon, lamprillon, lamproyon, lanceron, lançon, lanfaron, langon, lanion, lanternon, lapinon, laqueton, larderon, lardon, larron, larron, larton, lasseron, latton, lavagnon, laveton, lavignon, layon, layon, layon, lébéton, lechon, lédon, lentillon, léontodon, léopon, lépidodendron, lepton, lepton, lepton, lepton, Lestrygon, letton, lévadon, lève-gazon, levron, liceron, ligron, limaçon, limon, limon, limon, linnéon, linon, linuron, Lion, lion, Liopleurodon, liriodendron, liron, liseron, liston, lithopédion, litron, livernon, livon, livon, lochon, logion, logon, lolicon, longeron, lophiodon, Lophorhothon, lorgnon, loseron, losson, louchon, louchon, loufton, loupion, loupion, loutron, loutron, lucarnon, lucumon, ludion, lumignon, luncheon, luon, lupon, luron, luxon, lycaon, lycodon, lycoperdon, lycopersicon, macaron, maceron, machaon, mâchoiron, machon-gorgeon, mâchon, mâchuron, maclon, maçon, mâcon, macron, macron, macusson, madison, Madison, magdaléon, magnétron, magnon, mahogon, mahon, mahon, maigrichon, mailleton, maillon, maimactérion, maimon, mainguion, malacon, malathion, malon, mâlon, mamelon, mammon, mancheron, mancheron, manchon, mandilion, mandylion, maneton, manichordion, manicordion, manillon, manoillon, manon, manteion, maon, maquignon, maragon, marathon, marayon, maréosiphon, mareton, margaignon, margainon, margason, margon, mari-garçon, marmiton, marmotton, marmouton, marneron, marnon, marochon, marron, marron, marron, marron, martagon, marteau-pilon, martin-bâton, Martin-bâton, mascaron, masturbathon, matacon, matévon, maton, maton, matrimonion, matton, maugiron, mecton, médaillon, méga-camion, mégacôlon, mégalodon, méganewton, mégaron, mégason, mellon, mellotron, mélodéon, mélodicon, mélodion, melon, melton, membron, menon, menton, menton, menuchon, méon, merdaillon, mérion, merlon, merluchon, mérodon, merolon, mescal-button, mésocôlon, meson, méson, mésophryon, mésoplodon, mésorrhinion, mésotron, mesuron, métageitnion, méthabenzthiazuron, méthidathion, métobromuron, métochion, méton, métoxuron, metsulfuron, metton, métulon, meuleton, meulon, meuron, mézéréon, miasson, micheton, microballon, micro-béton, microdon, microdon, micromicron, micronewton, micron, microsillon, microsporon, microtron, microzooplancton, mignon, millasson, mille-canton, millicron, millimicron, millinewton, million, ministrillon, minon, miochon, mion, mion, mirlicoton, mirliton, mirmidon, mirmillon, miron, mironton, miroton, miston, miton, miton, mitron, moçon, modillon, modzon, moellon, moëllon, mognon, moignon, moilleron, moilon, moinillon, moinson, moisson, mollasson, molleton, molusson, momichon, mômichon, momon, monbadon, moneron, mon, monneron, monolinuron, montfaucon, monuron, MOOCathon, moombahton, moraillon, moraton, morgon, morillon, morion, morion, morion, mormon, mormon, moron, morphon, morphothion, morpion, morron, mortier-pilon, mortillon, morton, mosquillon, moton, motton, moucheron, moucheron, mouchillon, mouchon, mouchon, mouchon, mouetton, mouflon, mougeon, mouillon, moulon, mounikion, mounon, mouron, mourron, mourvaison, mousqueton, moussaillon, mousseron, moussillon, moustachon, moutardon, mouton, mouveron, moyen-breton, mucron, muleton, mulion, mulon, multison, multiton, muon, muron, mûron, muséon, musmon, mygalon, mylodon, myrméléon, myrmidon, myrmidon, myron, myroxylon, nanonewton, napoléon, napperon, nasion, nason, natron, naveton, nazillon, néburon, nécromanteion, necton, négaton, négrillon, nekton, némalion, néo-béton, néo-breton, néon, néon, néophron, néphélion, néphron, nérion, neuston, neutron, newton, nez-de-cochon, niangon, nichon, nicosulfuron, niochon, Nippon, nison, niton, noblaillon, noblion, noctilion, noiron, nomocanon, nonillion, non, nonon, norflurazon, notaricon, nothotaxon, nourrisson, noyon, nucléon, nuitasson, nuton, nychthéméron, nylon, obélion, obrégon, obron, octavon, octillion, octonion, oddéron, odéon, odoration, œilleton, œrlikon, oganesson, ognon, ogrillon, oignon, oiseau-papillon, oisillon, oison, oléodiazinon, oléomalathion, oléoparathion, oléophosfinon, ombon, omicron, omophron, ondulon, onglon, onomasticon, onopordon, opéron, ophiopogon, ophryon, opilion, orcanson, orchestrion, ordon, oreillon, organon, orgéon, orillon, orion, orlon, ornichon, orphéon, orphéon, orphéoréon, orthosiphon, oscabrion, ôson, ostéon, ostéopédion, ostracon, ostrakon, otocyon, oton, otton, ouaouaron, ourdidon, ourlon, ourson, oxadiazon, oxéléon, oxocation, oxycation, oxycodon, oxymoron, oxyton, pachon, Pachon, packson, pacson, pagnon, pagodon, paignion, paillasson, paillon, pairon, paisson, pajeon, palançon, palémon, paleron, palisson, palon, pandion, paneton, panharmonicon, pan-mélodicon, panneton, pannon, panouillon, panphlegmon, pantagruélion, pantaléon, pantalon, panthéon, Panthéon, paon, papeton, papier-avion, papillon, papion, paqson, paragon, paranatellon, parangon, Paranthodon, Pararhabdodon, paratendon, parathion, paratriathlon, parcon, pardon, pare-ballon, pare-excitation, parergon, parmaison, paroxyton, parthénon, parton, passe-Cicéron, passe-cordon, passe-échantillon, passe-fillon, pastisson, paston, patachon, patacon, patagon, Patagon, pâtisson, paton, pâton, patron, paturon, pâturon, paveton, pavillon, pavion, paxon, pébron, pêche-véron, péchon, pédalion, pédon, pegon, pégon, peignon, peladon, pélardon, pelisson, pelleron, pelletron, pellion, pellisson, pelon, pelon, peloton, pemphredon, penaillon, pencycuron, pendillon, pendrillon, pennon, penon, penstemon, pentachlorxylon, péon, péon, peon, péplon, pépon, perce-bourdon, perceptron, percheron, perdrigon, péréion, péricaryon, péridion, périgynion, périphyton, péristachyon, péristéthion, péritendon, périthécion, perlon, perron, perruchon, peson, pétanewton, petit-canon, petit-parangon, petit-torchon, peton, pétron, phaéton, phaëton, phailonion, phanotron, phapitréron, pharaon, pharaon, pharillon, phenkapton, phéon, philédon, philodendron, phlegmon, phlogiston, phonon, phormion, phosphamidon, photomaton, photon, phusion, phytoédaphon, phyton, phytoplancton, phytotron, picadon, picaillon, picasson, picchion, pichon, pichon, picodon, piconewton, picon, picon, picton, pied-de-griffon, pied-de-lion, pied-de-mouton, pied-de-mouton, pied-de-pigeon, pié-de-lion, piéton, pigamon, pigeon, Pigeon, pignon, pignon, pignon, pignon, pilon, pinçon, pinson, pintadon, pinton, piochon, pion, pion, pipon, pipotron, piqueron, piqueton, pique-véron, piridion, piron, pison, pissélæon, piston, piton, pitron, pivoton, plancher-champignon, planchon, plançon, plancton, planton, planton, plaron, plasmon, plastron, platiron, platon, platycodon, platystémon, playon, plekton, pléon, plérion, pleyon, plion, pliotron, plisson, ploadostadion, plongeon, plonplon, plon, ployon, pluton, pochetron, pochon, pochon, pochon, pochtron, podétion, podion, podostémon, poêlon, poétaillon, pognon, pogostémon, poiçon, poinçon, poinçon, poirillon, poison, poissillon, poisson-ballon, poisson-hérisson, poisson-lion, poisson-million, poisson-papillon, poisson, poisson, poisson-scorpion, poivron, Pokémon, polacron, polariton, polaron, polisson, polmon, polochon, poltron, poméron, pomon, pompion, pompoléon, pompon, pont-breton, ponton, pont-siphon, porillon, porion, porion, porion, porneïon, porphyrion, porte-aiguillon, porte-avion, porte-charbon, porte-coton, porte-crayon, portecrayon, porte-éperon, porte-fanion, porte-guidon, porte-lorgnon, porte-manchon, porte-mousqueton, porte-pompon, porte-savon, portillon, portrion, poséidéon, positon, positron, posson, postillon, potamogéton, potamoplancton, poteauthon, potimarron, potiron, poudrion, pougeon, pougnon, pouhon, poulamon, poulichon, poulpeton, poumon, poupeton, poupon, pousse-crampon, précaton, précon, pré-embryon, préembryon, prégaton, pré-gazon, préon, presse-citron, prinçaillon, princillon, principion, prion, prion, procillon, pro-embryon, proembryon, programmathon, promène-couillon, pron, proparoxyton, propylon, prosulfuron, protagon, protège-mamelon, protocérébron, proton, psaltérion, psellion, pseudo-cotylédon, pseudo-isodomon, pseudopléon, pseudoscorpion, ptéranodon, ptérion, ptérygion, puceron, pulsocon, puron, pyanepsion, pycnogonon, pyélon, pygmalion, pyramidion, pyridion, python, python, quadrathlon, quadriathlon, quadrillion, quadruplon, quanton, quart-bouillon, quarteron, quarteron, quaternion, quatrillion, quennon, quenouillon, quercitron, quernon, queron, queue-de-lion, queue-de-paon, quignon, quignon, quillion, quillon, quinion, quinon, quinquercion, quinquinquagintillion, quinson, quinteron, quintilion, quintillion, quinton, quiquajon, raclon, racoon, radéon, radon, ragoton, raidillon, raie-papillon, raieton, raïon, raiton, rajeton, rallonge-bouton, rameron, rampon, randon, ranguillon, raqueton, ras-le-bonbon, rason, ratacon, rataillon, ratichon, ratillon, raton, raton, ravanastron, rayon, rayon, rayon, razon, rebléchon, reblochon, rebrochon, recoupon, regagnon, regaton, reggaeton, reggéon, rejeton, renon, reparon, réparton, reparton, repépion, réplicon, repolon, reponchon, requin-citron, requinteron, restaillon, retiron, rétrotransposon, réveillon, revenant-bon, rhagion, rhinarion, rhinocéron, rhizonychion, rhododendron, rhyton, riblon, rigaudon, rigodon, rillon, rimsulfuron, rince-cochon, ripaton, ripon, risson, ritton, rizon, robinson, Robinson, rocher-champignon, rodéon, rogaton, rognon, roidillon, rolon, roman-feuilleton, ronchon, rondon, ronflonflon, ronflon, ron, ron-ron, ronron, roson, rouffion, rougeon, rougeon, rougeon, rougeon, rougeon, rougeron, rougillon, roulon, roupillon, roupion, rouston, royon, ruclon, ruclon, ruisson, rumbullion, sabayon, sablon, saburon, safranon, sagon, saint-émilion, saint-samson, saleron, salignon, salomon, salon, saloon, salsaton, sambayon, sambron, samogon, sandron, sang-de-dragon, sanglichon, sanglochon, sanglon, sanguignon, sansetsukon, sans-façon, santon, santon, santoron, sarasson, sarcodon, sarion, saron, sarrasson, saton, satyrion, saucisson, saumon, sauneron, sauroposéidon, saut-de-mouton, saute-bouchon, saute-mouton, sautillon, sauton, sauvageon, sauvignon, savignon, savon, saxion, saxon, sayon, sayon, scabellon, scason, scavisson, scazon, sceau-de-salomon, schiste-carton, science-fiction, scion, scirophorion, scordion, scorpion, scrapathon, scyllion, scytosiphon, secbuméton, sécheron, séchion, séchon, sédénion, sédon, seillon, sélectron, sémantron, semi-apollon, semi-diaton, sémillon, semi-marathon, sémion, senbon, seneçon, séneçon, sèneçon, sénion, sent-bon, senti-bon, sépion, septénion, septentrion, septillion, septon, sérapéon, sérapion, serbillon, sergeon, sermon, serpenton, serpillon, serron, serron, servion, séton, sevivon, sextillion, shallon, shannon, sharon, sibon, sidaction, sidéroxylon, siduron, sieston, sifflasson, sillon, simili-poisson, sindon, singe-lion, singleton, sinton, sion, siphon, siricon, sison, sisyrinchion, skeleton, skiathlon, skyrmion, slavon, sliammon, smilodon, soixton, soliton, son, son, son, sorédion, soron, sotolon, souaton, souchon, soucrillon, soufflon, soulon, soûlon, soupçon, sourdon, sous-bourgeon, sous-chevron, sous-échantillon, soyon, spadon, sparagon, sparaillon, sparton, sphaleron, sphénodon, sphinx-bourdon, spidron, sponton, stadion, stagnon, stégodon, stellion, stéphanion, stéréon, stéthidion, stéthion, stetson, stikharion, stilton, stock-tampon, stoichéion, stoïchéion, stolon, stolon, strapasson, straton, strophion, suçon, sucrillon, sucrion, suiton, sulfosulfuron, superchampion, superéon, super-typhon, supertyphon, supion, surdon, surgeon, surjeton, suron, surpantalon, symblépharon, symposion, synchrocyclotron, synchrophasotron, synchrotron, syngaméon, syntaxon, synthon, syphon, syzygion, tabagnon, tabellion, tablon, taburon, tâcheron, tachiron, tachon, tachyon, tacon, tacon, tacon, tacon, tafon, taignon, taille-crayon, taillon, taisson, talochon, talon, tamplon, tampon, tangon, tantiron, taon, tapecon, tapion, tapon, taquon, tardillon, tardon, tardyon, tarleton, tarpon, tartempion, tartuffon, tatignon, taudion, tauon, taupe-grillon, taurillon, tavaillon, tavillon, tavon, taxon, tayon, tayon, tchékhon, tébuthiuron, téflon, téflubenzuron, télamon, téléthon, telon, telson, templion, tenaillon, tendon, tendron, ténébrion, ténébrion, tennis-ballon, tenon, téranewton, terbuméton, terceron, ternion, terrasson, terson, tesson, tesson, teston, teston, téteron, téton, tétradifon, tétraneutron, tétraodon, tétrodon, Teuton, thanon, thargélion, theatron, théatron, théoricon, thermosiphon, thiazafluron, thiodéméton, thiométon, thompson, thon, thoréon, thoron, thymion, thyratron, thyréodon, tibéron, tiburon, ticketon, tickson, ticson, tierceron, tierçon, tigeron, tiglon, tignon, tigon, tigrillon, tigron, tigron, timon, tinion, tion, tire-bouchon, tirebouchon, tire-bouton, tire-comédon, tirelardon, tison, titon, tocson, toiton, tollenon, tomadon, tonarion, tonton, ton, ton, torchon, tordion, toron, tortillon, torton, toton, toton, toupillon, touradon, touraillon, tourbillon, tourdion, tourillon, tourion, touristoton, touron, tourton, tout-communication, toxicodendron, toxodon, trade-union, tragopogon, traillon, traîne-bâton, traîne-buisson, trait-d’union, translocon, transmon, transposon, trapillon, trapon, trappillon, trappon, travon, trayon, trédécillion, treillon, trémaillon, trémillon, trémion, trésillon, triadiméfon, trianon, triasulfuron, triathlon, tribâton, tribéton, tribon, trichion, trichlorfon, trichophyton, tricon, triflumuron, trigon, trilithon, trillion, trinion, trinquebasson, triodon, triple-canon, triplon, triplon, tripoton, triptérygion, trisagion, triton, triton, triton, triton, trognon, trogon, trombidion, tromblon, trompe-couillon, trompillon, tronçon, Troodon, tropaion, trouffion, troufignon, troufion, trouzillion, trublion, Trublion, trudgeon, trugon, truiton, trygon, trypodendron, turion, turluchon, turluron, turron, tursion, tycoon, tymbon, tympanon, typhon, typon, udon, ultra-marathon, ultramarathon, ultra-son, ultrason, ultra-triathlon, umbon, undécillion, unisson, upsilon, urson, vagon, vairon, vaisseron, valeton, vallon, vamidothion, vangeron, vanillon, varleton, varon, varron, vason, vellon, vendangeon, vendangeron, vengeron, ventillon, venturon, verdagon, verderon, verdillon, verdon, verduron, vergeon, vergeron, vérillon, vermillon, véron, verrillon, vertillon, vesceron, vésigon, vespertilion, vessigon, veston, vétathlon, vibrion, vice-champion, vide-maison, vidicon, vieux-breton, vigeon, vigintillion, vigneron, vignon, vingeon, violon, virazon, vireton, virion, viron, vison, voraçon, vracton, vrillon, Vulcanodon, wagnon, wagon-salon, wagon, wallon, walon, wawaron, webtoon, wison, woccon, wonton, won, workation, Xenoposeidon, xilocordéon, xoanon, xylharmonicon, xylocordéon, xylon, xylon, yakafokon, yoctonewton, Yon, yôon, yōon, yottanewton, youtron, zabuton, zambajon, zapon, zébrion, zébron, zeptonewton, zettanewton, zircon, zirkon, zodarion, zooplancton, zwitterion, zyclon, zyklon, zython.''</ref> et vice-versa, la majorité de ces termes ne désignant de toute façon pas des individus. Pour le cas où il s’applique strictement à une personne humaine, ce paradigme flexionnel comprend notamment l’alternance entre ''péone'' et ''péon''. Ce couple partage le même étymon que ''pionne'' et ''pion'', à savoir le latin <code>''pedo/pedonis''</code> : ''fantassin'', apparenté à ''peón'' en espagnol, ''pedone'' en italien, ''peão'' en portugais et ''pawn'' en anglais, le tout pouvant être rattaché au latin ''<code>pes</code>'' : ''pied''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=pion|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-01-01|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=pion&oldid=31261630|consulté le=2023-03-17}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=pedo|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-04|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=pedo&oldid=31683742|consulté le=2023-03-17}}</ref>. Voir la [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/noms communs/motivations#-ied|section décrivant -ied]] pour plus d’informations sur les autres rapprochement étymologiques qui en découle. La mythologie pour sa part fournie la désignation des divino-humanoïdes ''démone'' et ''démon'' que supplémente ''démonesse'', qui via le latin ''<code>daemon</code>'' : ''esprit, génie, démon,'' proviennent du grec ancien <code>''daímôn/δαίμων''</code> : ''divinité, génie'', lui-même de ''<code>daíomai/δαίομαι</code>'' : ''partager, donner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=démon|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-09|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=d%C3%A9mon&oldid=31731637|consulté le=2023-03-17}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=δαίμων|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-12-21|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B4%CE%B1%CE%AF%CE%BC%CF%89%CE%BD&oldid=30079630|consulté le=2023-03-17}}</ref>. Ce dernier par ailleurs, après suffixation substantivique de <code>''-mos,-μος''</code>, donne ''<code>dêmos/δῆμος</code>'' : ''peuple''. Il peut donc être remarqué au passage que la locution génie du peuple est quelque peu pléonasmique, . Hors des sentiers humanoïdes, tout en restant dans le giron du biotique, se trouve par exemple l’alternance entre ''buflone'' ou ''bufflonne'' et ''buflon''. En basculant vers les cas les plus fréquent d’alternance entre -onne et -on, allant de aiglonne à Wallonne, en passant par championne et marmitonne, se dresse le constat que tous repose sur une terminaison dérivant du latin ''<code>-o</code>'', au génitif rendu par <code>''-onis''</code>, désignant des êtres vivants, parfois des choses ou des animaux ; qui a pris une valeur augmentative en bas latin<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-on|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-02-26|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-on&oldid=31614280|consulté le=2023-03-17}}</ref>. En français, une valeur diminutive prévaut, surtout pour les petits des animaux et fourni souvent des désignatifs personnels pour des bases à valeur péjorative, comme dans ''couillonne'' ou ''pochetron''. Ici c'est ''-oine'' qui est proposé comme isonèphe, suffixe qui peut par ailleurs être être trouvé dans le terme épicène Assiniboine. La proximité morphologique à ''-onne'' est évidente et suffit à justifier cette proposition, mais il peut être noté que parmi les flexions du grec ancien de ''<code>daíomai/δαίομαι</code>'' se trouve <code>''daimónoin''/δαιμόνοιν</code>. Alternativement il est envisageable d'employer -age pour l'isonèphe en s'appuyant sur la métonymie de la pratique d'une activité pour la personne qui l'exerce, par exemple ''tabellionne'' et ''tabellion'' font tout deux tabellionage<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=leveto|titre=Les agents et intermédiaires|url=https://vousvoyezletopo.home.blog/2020/11/30/les-agents-et-intermediaires/|site=Vous voyez le topo|date=2020-11-29|consulté le=2025-04-27}}</ref>. ====== Notes ====== <references group="N"/> ====== Références ====== <references /> k3ovvx9hby300gssvnhimpywubgw9k0 984309 984286 2026-07-07T11:19:28Z Psychoslave 2753 984309 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''aiglonne'' et ''aiglon'', ''amphitryonne'' et ''amphitryon'', ''Anglo-Saxonne'' et ''Anglo-Saxon'', ''automédone'' et ''automédon'', ''bonne'' et ''bon'', ''Bonne'' et ''Bon'', ''baronne'' ou ''barone'' et ''baron'', ''barytonne'' ou ''barytone'', et ''baryton'', ''bessonne'' et ''besson'', ''bichonne'' et ''bichon'', ''bisonne'' et ''bison'', ''bouffonne'' et ''bouffon'', ''bougeonne'' et ''bougeon'', ''brabançonne'' et ''brabançon'', ''bretonne'' et ''breton'', ''brutionne'' et ''brution'', ''bucheronne'' et ''bucheron'', ''bûcheronne'' et ''bûcheron'', ''bufflonne'' ou ''bufflone'' et ''bufflon'', ''canetonne'' et ''caneton'', ''Carpionne'' et ''Carpion'', ''cavillonne'' et ''cavillon'', ''chalonne'' et ''chalon''<ref group="N">Au sens de personne qui parle la langue éponyme.</ref>, ''championne'' et ''champion'', ''chaponne'' et ''chapon'', ''chaperonne'' et ''chaperon'', ''charronne'' et ''charron'', ''chatonne'' et ''chaton'', ''clergeonne'' et ''clergeon'', ''cochonne'' et ''cochon'', ''coïonne'' et ''coïon'', ''compagnonne'' et ''compagnon'', ''couillonne'' et ''couillon'', ''cupidonne'' et ''cupidon'', ''daronne'' et ''daron'', ''démonne'' et ''démon'', ''dindonne'' et ''dindon'', ''doublonne'' et ''doublon'', ''dragonne''<ref group="N">L'usage retient également ''une dracène'' à comparer à ''draconienne''.</ref> et ''dragon'', ''échansonne'' et ''échanson'', ''Écromagnonne'' et ''Écromagnon'', ''Egryonne'' et ''Egryon'', ''Éguenignonne'' et ''Éguenignon'', ''Émeringeonne'' et ''Émeringeon'', ''enfançonne'' et ''enfançon'', ''esclavonne''<ref>{{Article|prénom1=Ellen|nom1=Delvallée|titre=Poétiques de la filiation. Clément Marot et ses maîtres : Jean Marot, Jean Lemaire et Guillaume Cretin|éditeur=Université Grenoble Alpes ; Rutgers university (N.J.)|date=2017-06|lire en ligne=https://theses.hal.science/tel-01692632|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Article|prénom1=Frano|nom1=Vrančić|prénom2=Patrick|nom2=Levačić|titre=Morlaquisme et Morlaques dans la littérature française|périodique=Acta Philologica|numéro=58 (2022)|date=2022-08-19|issn=0065-1524|doi=10.7311/ACTA.58.2022.14|lire en ligne=https://acta.wn.uw.edu.pl/resources/html/article/details?id=231247|consulté le=2026-07-07|pages=161–172}}</ref> et ''esclavon'', ''espionne'' et ''espion'', ''Estonne'' et ''Eston'', ''estronne'' et ''estron'', ''faonne'' et ''faon'', ''fanfaronne'' et ''fanfaron'', ''fauconne'' et ''faucon'', ''félonne'' et ''félon'', ''ferronne'' et ''ferron'', ''fistonne'' et ''fiston'', ''flexatonne'' et ''flexaton'', ''flicaillonne'' et ''flicaillon'', ''forgeronne'' et ''forgeron'', ''franc-maçonne'' et ''franc-maçon'', ''frayonne'' et ''frayon'', ''friponne'' et ''fripon'', ''frisonne'' et ''frison'', ''gonne'' et ''gon'', ''garçonne'' et ''garçon'', ''gasconne'' et ''gascon'', ''gâtionne'' et ''gâtion'', ''gitonne'' et ''giton'', ''gloutonne'' et ''glouton'', ''godichonne'' et ''godichon'', ''gorillonne'' et ''gorillon'', ''greluchonne'' et ''greluchon'', ''griffonne'' et ''griffon'', ''grimpionne'' et ''grimpion'', ''grisonne'' et ''grison'', ''grognonne'' et ''grognon'', ''harpagonne'' et ''harpagon'', ''hérissonne'' et ''hérisson'', ''histrionne'' et ''histrion'', ''jetonne'' et ''jeton'', ''juglonne'' et ''juglon'', ''keuponne'' et ''keupon'', ''Klingonne'' et ''Klingon'', ''laideronne'' et ''laideron'', ''larronne'' et ''larron'', ''levronne'' et ''levron'', ''lionne'' et ''lion'', ''Lionne'' et ''Lion'', ''logonne'' et ''logon'', ''louchonne'' et ''louchon'', ''luronne'' et ''luron'', ''monne'' et ''mon'', ''maçonne'' et ''maçon'', ''mahonne'' et ''mahon'', ''maigrichonne'' et ''maigrichon'', ''maisonne'' et ''maison'', ''maquignonne'' et ''maquignon'', ''marmitonne'' et ''marmiton'', ''matonne'' et ''maton'', ''mellonne'' et ''mellon'', ''mérionne'' et ''mérion'', ''michetonne'' et ''micheton'', ''mignonne'' et ''mignon'', ''ministrillonne'' et ''ministrillon'', ''mironne'' et ''miron'', ''mistonne'' et ''miston'', ''mollassonne'' et ''mollasson'', ''mormonne'' et ''mormon'', ''moucheronne'' et ''moucheron'', ''mousseronne'' et ''mousseron'', ''muletonne'' et ''muleton'', ''myrmidonne'' et ''myrmidon'', ''nonne'' et ''non'', ''napoléonne'' et ''napoléon'', ''nazillonne'' et ''nazillon'', ''négrillonne'' et ''négrillon'', ''nourrissonne'' et ''nourrisson'', ''nutonne'' et ''nuton'', ''octavonne'' et ''octavon'', ''oisonne'' et ''oison'', ''ostéonne'' et ''ostéon'', ''oursonne'' et ''ourson'', ''oxycodonne'' et ''oxycodon'', ''oxytonne'' et ''oxyton'', ''ponne'' et ''pon'', ''paonne'' et ''paon'', ''pagnonne'' et ''pagnon'', ''papillonne'' et ''papillon'', ''paragonne'' et ''paragon'', ''Patagonne'' et ''Patagon'', ''patronne'' et ''patron'', ''péonne'' et ''péon'', ''pédonne'' et ''pédon'', ''pharaonne'' et ''pharaon'', ''pionne'' et ''pion'', ''piétonne'' et ''piéton'', ''pigeonne'' et ''pigeon'', ''pinsonne'' et ''pinson'', ''poêlonne'' et ''poêlon'', ''polissonne'' et ''polisson'', ''poltronne'' et ''poltron'', ''pomonne'' et ''pomon'', ''pomponne'' et ''pompon'', ''prionne'' et ''prion'', ''puceronne'' et ''puceron'', ''pygmalionne'' et ''pygmalion'', ''pythonne'' et ''python'', ''quarteronne'' et ''quarteron'', ''quinonne'' et ''quinon'', ''quinteronne'' et ''quinteron'', ''ronne'' et ''ron'', ''ratonne'' et ''raton'', ''rayonne'' et ''rayon'', ''ronchonne'' et ''ronchon'', ''sonne'' et ''son'', ''sarionne'' et ''sarion'', ''saumonne'' et ''saumon'', ''sauvageonne'' et ''sauvageon'', ''scorpionne'' et ''scorpion'', ''soûlonne'' et ''soûlon'', ''tonne'' et ''ton'', ''tamponne'' et ''tampon'', ''tardonne'' et ''tardon'', ''tardillonne'' et ''tardillon'', ''terceronne'' et ''terceron'', ''teutonne'' et ''teuton'', ''Teutonne'' et ''Teuton'', ''tocsonne'' et ''tocson'', ''trigonne'' et ''trigon'', ''trublionne'' et ''trublion'', ''vaironne'' et ''vairon'', ''vice-championne'' et ''vice-champion'', ''vignonne'' et ''vignon'', ''vigneronne'' et ''vigneron'', ''violonne'' et ''violon'', ''zirconne'' et ''zircon''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== La majorité des alternances phonétiques suffixales entre /ɔn/ et /ɔ̃/ se graphient -onne et -on. Aussi cette section débute par l’analyse des cas moins fréquent où l’ambigu se graphie -one. Évidemment, tous les termes ambigus en -onne<ref>Qui comprend au moins ''aiglonne, amphitryonne, Anglo-Saxonne, année-personne, baronne, barretonne, Berrichonne, bessonne, bichonne, biconsonne, bisonne, bobonne, bœuvonne, bombonne, bonbonne, bonne, bouffonne, bougeonne, brabançonne, Brabançonne, Brayonne, bretonne, brute-bonne, brutionne, bucheronne, bûcheronne, bufflonne, canetonne, carassonne, cavillonne, chaconne, championne, chaperonne, chaponne, charronne, chatonne, clergeonne, cochonne, coïonne, colonne, compagnonne, consonne, couillonne, courbadonne, couronne, coursonne, cretonne, daronne, demi-colonne, demi-couronne, dindonne, divonne, donne, doublonne, dragonne, échansonne, enfançonne, esclavonne, espionne, Estonne, fanfaronne, faonne, faubonne, fauconne, félonne, ferronne, fistonne, flicaillonne, floretonne, forgeronne, franche-maçonne, franc-maçonne, frayonne, friponne, frisonne, frisonne, garconne, garçonne, gasconne, gasconne, gasconne, gâtionne, gigatonne, gitonne, gloutonne, godichonne, gonne, gonne, gorillonne, Grande-Bretonne, greluchonne, greluchonne, griffonne, grimpionne, grise-bonne, grisonne, grognonne, guitaronne, harpagonne, hérissonne, histrionne, jetonne, kilotonne, Klingonne, laideronne, larronne, levronne, lionçonne, lionne, Lionne, louchonne, louchonne, louise-bonne, luronne, maçonne, madonne, mahonne, maigrichonne, maisonne, maldonne, maquignonne, marmitonne, matonne, mégatonne, michetonne, mignonne, ministrillonne, mistonne, mollassonne, moucheronne, mousseronne, muletonne, narbonne, nazillonne, négrillonne, nonne, nonne, nourrissonne, nutonne, octavonne, oisonne, olonne, oursonne, pagnonne, paonne, papillonne, paronne, patronne, pédonne, personne, petite-olonne, pharaonne, piétonne, pigeonne, pinsonne, pionne, poêlonne, polissonne, poltronne, ponne, ponne, pseudo-colonne, puceronne, pygmalionne, quarteronne, quinteronne, ratonne, rayonne, ronchonne, rosconne, saumonne, sauvageonne, scorpionne, semi-consonne, semiconsonne, sorbonne, soûlonne, tamponne, tamponne, terceronne, teutonne, Teutonne, tocsonne, tonne, toute-bonne, trublionne, vaironne, vice-championne, vigneronne, Wallonne.''</ref> et en -one<ref>Qui comprend au moins ''3-hydroxyflavone, acanthicone, acétone, acotylédone, adrénostérone, aldostérone, aleurone, allomone, amazone, Amazone, amidone, androne, androstadiénone, androstènedione, androstérone, anémone, annone, anone, anthraflavone, Antigone, anti-hormone, argémone, asarone, atlantone, aurone, automédone, auximone, barytone, belladone, bélopérone, benzisothiazolinone, benzopinacone, bétaméthasone, bêtaméthasone, bignone, biozone, bizone, brachistochrone, brachystochrone, bretone, brione, bryone, bufflone, buffone, bufone, caféone, calandrone, calone, camphrone, caprone, carvone, cascarillone, cathinone, ceftriaxone, cétone, chacone, chalone, chélone, chronozone, civétone, civettone, clubione, codlémone, corticostérone, cortisone, coumarone, crapone, crassifolone, crémone, crotone, cryptone, cupidone, cypérone, damascénone, demi-amazone, démone, désoxycorticostérone, diazone, dicétone, dicotylédone, didone, dihydrocodéinone, dihydrohydroxycodéinone, dihydro-oxycodéinone, dihydrotestostérone, diméthylcétone, diphénadione, ecdysone, écozone, ectohormone, élédone, élone, entérogastrone, épimone, érione, érythrone, estonophone, estrone, éthérone, eupione, eurozone, extratone, famoxadone, flavone, fluoroquinolone, frambinone, friendzone, gallacétophénone, germacrone, gérygone, glucosazone, gorgone, halazone, hérissone, histone, hormone, hottone, houstone, hydrochinone, hydrocodone, hydrocortisone, hydroquinone, iodacétone, ionone, irone, isanémone, isoflavone, isogone, jasione, juglone, kairomone, kestrosphendone, keupone, lactone, laone, lapachone, leptospermone, Lettone, lutrone, lyrone, madone, Madone, margarone, matrone, mécone, mélipone, ménadione, ménaquinone, ménatétrénone, menthone, méphédrone, métacétone, métadone, méténolone, méthadone, métoquinone, mirone, mistone, mone, monocotylédone, mormone, muscone, mycolactone, myrmidone, naloxone, napoléone, nassone, néfazodone, négrone, népétalactone, neurohormone, none, œstrone, oléone, orgone, osazone, pagnone, palynozone, parathormone, Patagone, pélargone, péone, peptone, pharaone, phénazone, phénylbutazone, phéromone, phérormone, phylloquinone, phytohormone, phytoménadione, phytonadione, pione, pione, pipéritone, plastoquinone, pleione, pléione, polycaprolactone, pomone, prednisone, prégnénolone, progestérone, pucerone, pyrazolone, pythone, quinolone, quinone, rispéridone, schiavone, scorpione, stéarone, strigolactone, subérone, succinone, sydnone, synomone, tagètone, tanacétone, tautochrone, testostérone, tétragone, textostérone, thuyone, tréphone, umbelliférone, unone, verbénone, vétivénone, vignone, vignone, xanthone, xénohormone, zircone, zone.''</ref> n'ont pas d'équivalant équivoque en -on<ref>Ce qui comprend au moins ''abaknon, abandon, abaton, abat-son, abbéton, abioseston, ablépharon, abon, abougnon, abougnon, abron, abutilon, accoinçon, accon, accordéon, acératothérion, acon, açon, acquit-à-caution, acrobaticon, acrochordon, acromion, acron, acrothymion, actinéon, actinon, add-on, adon, adynaton, adyton, æon, aérostathonion, Aerosteon, afferon, affile-crayon, affion, agon, agrion, agryon, aide-maçon, aigledon, aiglon, aiglon, aiguillon, aiguise-crayon, aigu-macron, aileron, aisson, aklanon, alcaron, alchéron, alcyon, aleiron, alérion, aléron, alganon, aliboron, alichon, aliptérion, allaiteron, allanto-chorion, allantochorion, alluchon, Alocodon, alysson, amandon, ambon, amidon, amidosulfuron, ammodendron, ammon, amomon, amphictyon, amphiprion, amphitryon, amplicon, analogon, anatron, anclon, ancon, ançon, ancyloblépharon, andouillon, andrapodon, andropogon, anglo-saxon, Anglo-Saxon, angon, angulon, ânichon, anion, ankyloblépharon, anomalon, anomalon, ânon, ânon, anternon, anthestérion, anticodon, antiélectron, antihypéron, antilepton, antimaçon, antimuon, antineutron, antinucléon, antipatron, antiphoton, antipoison, antiproton, antipuceron, antitauon, aouteron, apanon, apeiron, aphronatron, aphrosélénon, apion, aplon, apogon, apollon, aporon, apothécion, appareillon, apron, aquathlon, aquilon, araignon, aramon, arcançon, arcanson, archentéron, archéobélodon, archétypon, archidémon, archiéchanson, archimignon, arçon, ardélion, ardillon, argemon, argenton, argon, argon, arion, arion, aristophanéion, armon, arpion, arpon, arrière-son, artémon, artezon, artimon, artison, arton, asaroton, ascalaphon, asclépiion, asion, asnon, astérion, asyndéton, attolon, attonewton, attrape-couillon, attrape-minon, auberon, aubiton, Aublysodon, auburon, Aubusson, auqueton, aureillon, aurion, autoballon, automédon, auton, autopédon, autruchon, avançon, aveneron, averon, avillon, avion, aviron, avocaillon, avocasson, avorton, avrelon, avrillon, avron, axion, azimsulfuron, babichon, babion, bachasson, bachon, bachon, backgammon, bacon, badigeon, badillon, badminton, bagnon, bâillon, balafon, balançon, balaon, balcon, baleinon, baléron, baleston, balestron, ballon, balluchon, balon, baluchon, bandicon, bandonéon, bangon, banlon, banneton, banon, baracon, baragnon, baralipton, barathon, baraton, baratton, barberon, barbichon, barbillon, barbillon, barbion, barbiton, barbon, barboton, barbouillon, barcalon, barillon, bariton, barlon, baron, baron, barreton, baryon, baryton, bas-berrichon, bas-breton, basilicon, basion, bas-saxon, basson, bastidon, bastion, bataillon, bateau-dragon, bathostadion, bâton, baveron, baylon, beauceron, bécasson, bec-de-canon, bec-de-faucon, bec-de-héron, bec-de-pigeon, bêchelon, bêcheton, bêchon, bécon, becquillon, bedochon, bedon, bellon, bélon, bembidion, bénaton, béni-non-non, benoîton, benoîton, béquillon, bergeron, bérichon, béron, berrichon, berrichon, berthon, beson, besson, bestion, bêtatron, bethcoron, betlion, béton, béton, beuglon, bévatron, bexon, biathlon, biberon, biberon, bibion, bichon, bidochon, bidon, bidoyon, bieusson, biffeton, bifton, biganon, bignolon, bignon, bijon, billion, billon, binion, binochon, binon, bion, biophoton, bioseston, biosson, biquaternion, birbaillon, bison, bitton, blageon, blancheton, blanchon, blason, bletton, blouson, bobéchon, bocon, bocson, bogon, bohémillon, boiron, boisselon, boitillon, boîtillon, boiton, bolon, bombalon, bombardon, bombon, bon, Bon, bonbon, bon, bon, bondillon, bondon, bonichon, bontalon, bonzillon, boquillon, borolon, boson, bosson, boston, botanicon, bothrion, bottillon, botton, bouaron, bouchon, bouchon, boucon, boudrillon, boudrion, bouffon, bouffron, bougeon, bougeron, bougillon, bougon, bougon, bouillon, bouiron, boujaron, boujarron, boujon, boulejon, bouleutérion, bouleuticon, bouligon, boulon, boulongeon, bouqueton, bourbillon, bourbon, bourbon, bourdillon, bourdon, bourdon, bourdon, bourdon, bourdon, bourgeon, bourgeron, bourgnon, bourguignon, bourguignon, bourre-cochon, bourrichon, bourrillon, bourrillon, bourron, bourseron, boursillon, bourson, boustrophédon, bouteillon, bouteillon, boutéon, bouthéon, bouton, bouton-pression, bouveron, bouvillon, bouvron, bovillon, boxon, brabançon, bracaillon, bracalyon, bracon, bracon, bradillon, bradyon, branchellion, branchillon, brandillon, brandon, brayon, bredzon, brehon, bresson, breton, breton, breton, breton, bricheton, brichton, bridoison, bridon, brignon, brimborion, brindillon, brion, briquaillon, briqueton, brise-béton, brise-négociation, brise-raison, Briton, brocheton, bronton, brouillon, brouillon, broyon, bruchon, brugnon, brule-maison, brûle-maison, brûlon, brution, brution, bryon, bryton, bubon, bubon, bucheron, bûcheron, buchetron, buffleton, bufflon, buisson, bunion, buron, buson, butomon, buton, buton, button, cabanon, cabasson, cabézon, cabezon, cabochon, cabouron, cabrillon, cabrion, cabron, cacheron, cache-tampon, cacheton, cacodémon, cafignon, cafornion, cafuron, cageron, caillon, caïon, cairon, caisson, cajon, caladion, calamédon, caleçon-combinaison, caleçon, calisson, callistemon, calon, calqueron, calutron, calybion, camaron, cambion, cambion, cambrillon, cambrion, caméléon, camion, camion, camptulicon, canasson, cancalon, caneton, canichon, canillon, cannelon, canon, canon, canon, cañon, canson, cantimaron, canton, canyon, caparaçon, caperon, capion, capiston, capiton, cap-mouton, capon, capon, capron, câpron, captagon, capuchon, caquelon, caquillon, carafon, caraquon, carasson, carbon, carbophénothion, carbouillon, carcinotron, cardon, carillon, carmillon, caron, carpillon, carqueron, carraquon, carrillon, carron, carron, carron, carteron, carton, cartoon, caryon, casseron, cassion, casson, cassoton, castagnon, castillon, cathion, catholicon, catimaron, cation, catodon, caton, caton, caton, caulédon, cavaillon, caveçon, caveron, cavesson, cavillon, cayon, cébrion, ceinturon, céladon, centillion, centinewton, centon, centurion, céphalon, cératopogon, céraunion, céraunochryson, céraunoscopion, cerdon, céréléon, cerf-cochon, céron, céron, céseron, chablon, chabrillon, chaetodon, chainon, chaînon, chalazion, chaldron, chalon, chalon, chalon, chalon, chamæleon, chamæléon, chambon, chaméléon, chamélon, chamelon, chameron, champignon, champion, chaperon, chapeton, chapon, charançon, charbon, charbouillon, chargeon, chargeon, charleston, charme-houblon, charnon, charreton, charron, charton, chaseron, chasseron, châtaignon, chatillon, chatiron, chaton, chaton, châtron, chatterton, chatton, chaudron, chauffe-biberon, chausson, chavasson, chefaillon, cheffaillon, chélason, chenanson, chenillon, chênon, cheron, chétodon, chétron, cheval-jupon, chevalon, chevillon, chevreton, chèvreton, chevron, chibron, chichon, chicon, chiffon, chignon, chilon, chinon, chipiron, chiron, chiron, chiton, chlorfénizon, chlorfenson, chlorofénizon, chloroxuron, chlorsulfuron, chlortoluron, chonchon, chon, chon, chon, choon, chorion, choron, chouchillon, chouetton, choupisson, chronon, chuton, chylomicron, cigalon, cimarron, Cionodon, circoncellion, ciron, cirque-construction, cirquinçon, cirquinson, cistron, citragon, citron, citron, clafouchon, clairon, clairon, clapoton, claqueson, claxon, clayon, clergeon, clérodendron, clérotérion, clicheton, clinton, clisson, clocheton, clon, cobayon, cocalon, cochon, Cochon, cocon, cocon, codon, cœur-de-pigeon, cognon, coïon, coitron, colcannon, colimaçon, colin-tampon, collignon, collodion, côlon, colon, colon, colophon, colson, combipantalon, comédon, compagnon, concédon, condominion, con, con, contrebasson, contre-basson, contre-bourgeon, contre-chevron, contre-don, contre-espion, contre-fanon, contre-panneton, contre-poinçon, contrepoinçon, contre-poison, contrepoison, contre-sanglon, contre-son, copion, copon, coq-héron, coqueluchon, coqueron, coquillon, coraillon, corbillon, cordasson, cordon, corgnolon, corindon, corindon, corneillon, cornichon, cornichon, cornillon, cornillon, cornion, coron, coron, corpon, corseron, corton, corton, cosson, cosson, coteaux-du-layon, cothon, cotillon, coton, cotson, cotteron, cotylédon, cougourdon, couillon, couillon, coulon, coupe-boulon, coupe-bourgeon, coupe-gazon, coupeillon, coupe-jambon, couperon, coupillon, coupion, coupon, courbaton, courçon, courgeron, courson, court-bouillon, court-bouton, courton, cousson, Cousteron, couston, couston, couton, coûton, coutrillon, couyon, coyon, crabillon, crabron, craillon, craion, cramignon, crampillon, crampon, crangon, cranson, craon, cratérion, craton, cravichon, crayon, crémaillon, crénon, crépon, cresson, creton, créton, crichon, crinminchon, crinodendron, crinon, crocheton, crochon, croisillon, Cro-Magnon, cron, cron, croquaillon, croque-lardon, croqueton, crosseron, crossillon, crossminton, crostillon, crotchon, croton, crottillon, crotton, crougnon, croupeton, croupion, croupon, croustillon, crouton, croûton, cruchon, cryoplancton, cryotron, cubaton, cuberdon, cuceron, cuchon, cuilleron, culaignon, culeron, culeton, culleron, cupidon, curaillon, curanchon, cureton, curion, curon, currillon, cusson, cyberjeton, cycéon, cyclathlon, cyclotron, cycluron, cygnon, Cylon, cymation, cymbalion, cynorhodon, cynorrhodon, cyon, cyprinodon, cystidion, dactylion, daemon, dæmon, daïkon, daikon, daillon, dalapon, dalon, dalton, danse-o-thon, danzon, darbon, dardillon, dardillon, daron, décanewton, décathlon, décatriathlon, décillion, décinewton, décurion, Deinodon, deltacron, demi-bastion, demi-canton, demi-million, demi-napoléon, demion, demi-ton, démon, démon, dendron, derbon, déséthyl-terbuméton, desserron, détentillon, deutéron, deuton, devon, diablon, diacaryon, diachylon, diapason, diarrhodon, diatessaron, diaton, diazinon, dicaryon, dichlofenthion, dichon, dictérion, dicton, diéthion, diéthon, diflubenzuron, digeon, digon, diluvion, diméfuron, dimétrodon, dimorphodon, dindon, diodon, dioxathion, diprotodon, disulfoton, ditaxion, dithianon, diton, diuron, dodécathlon, dogon, Dogon, dolichocôlon, dominion, Dominion, don, don, donjon, donjon, doradon, dormilon, doron, doron, double-canon, doublezon, doublon, doublon, douceron, douillon, douillon, doupion, doux-ballon, dracontion, drageon, dragon, Dragon, Dralon, drogon, dromelon, dromon, drugeon, duathlon, ducaton, duchon, dudgeon, dugon, duodécillion, duppion, durigon, durillon, durion, durmenton, duron, dyon, eauburon, ébalaçon, ébauchon, écaillon, échaillon, échalion, échalon, échalon, échanson, échantillon, échaudillon, échelon, échillon, échinon, écoinçon, écoinson, écourgeon, écoutillon, écouvillon, écrémillon, écrivaillon, écrivasson, ectropion, éculon, écusson, edit-a-thon, éditathon, édredon, égoton, éguillon, eigon, élaphébolion, élatérion, électro-béton, électrobéton, électron, élektron, Elektron, éléocotésion, éléodendron, élevon, élodicon, embryon, émenon, émérillon, émerillon, émerillon, emerillon, émoticon, empannon, empanon, emperon, emplecton, encharron, enchiridion, encolpion, endochorion, endothion, endymion, enfançon, entéroglucagon, enton, entravon, entre-modillon, entropion, éon, éophyton, éperon, éphippion, épichorion, épimanikion, épimorion, épinicion, épion, épipédon, épiploon, épisémon, épitendon, épitrakêlion, epsilon, épulon, équignon, ergeron, erigeron, érigeron, érigéron, érysimon, E-salon, escabelon, escablon, escadron, escafignon, escaladon, escarasson, escarton, eschillon, esclavon, escoffion, escourgeon, escourgeon, esmerillon, espadon, espion, esponton, estagnon, estavillon, Eston, estragon, estramaçon, estron, esturgeon, étairion, étalon, étalon, étançon, état-nation, État-nation, étavillon, éteinson, éthéphon, éthidimuron, éthion, éthon, eton, eton, étoupillon, étranglion, étranguillon, étrésillon, étron, étymon, euchologion, eudémon, exaleiptron, exanewton, exciton, exétron, exochorion, exon, ex-patron, factoton, fanfaron, fanion, fanon, fanton, faon, farillon, fauchon, faucillon, faucon, faumon, faux-bourdon, favelon, fedon, félon, femtonewton, fenestron, fénitrothion, fénizon, fenson, fenthion, fenton, fénuron, fermion, ferron, ferron, feston, feuilleton, fiatolon, ficheron, fierton, fillon, filon, fion, fion, fion, fion, fisse-larron, fisson, fiston, flabellon, flacon, flambillon, flaperon, flattecon, flazasulfuron, flegmon, fléton, fleuron, flexaton, flicaillon, flion, flocon, flonflon, flotteron, flufénoxuron, fluométuron, fluxon, fogon, fon, foramsulfuron, forchlorfénuron, forchlorfenuron, forgeron, formillon, formothion, forneron, foron, fougon, foulon, fourchon, fourgon, fourgon, fourmi-lion, fourmilion, fourmillon, fourrebuisson, foutimasson, fragon, Francillon, franc-maçon, frangeon, fransquillon, Fransquillon, frayon, fredon, fredon, frégaton, frelon, fréon, Fréon, frésillon, frétillon, frinson, frion, fripon, frison, frison, frisson, friton, fromageon, frometon, fromton, fron-fron, fronton, frotton, fulmi-coton, fulmicoton, fumeron, fumeteron, fumignon, fureton, furon, futon, gabion, gaburon, gaillet-gratteron, galeton, galichon, galion, gallon, galon, galuchon, gambison, gambon, gamélion, gamelon, gammon, ganachon, ganglion, ganson, gaon, gaperon, gâperon, garbon, garçon, garde-étalon, gardon, gardon, garron, gascon, gascon, gascon, gâtion, gaton, gavaron, gavion, gavon, gazon, geison, gémellion, genéton, genisson, génisson, géranion, gerbillon, gerlon, germon, gérontoxon, géropogon, gibbon, giganewton, gigon, gillon, gingeon, gipon, gippon, girafon, giraumon, giravion, giron, giton, giton, glacillon, glaçon, glageon, glaiteron, gliron, glouteron, glouton, gluon, glutathion, glyptodon, gnochon, gnomon, gnon, gobe-mouton, gobisson, godichon, godon, Godon, godron, goémon, goëmon, gonfalon, gonfanon, gon, gonichon, gonion, goon, gorgeon, gorgoton, gorillon, goron, goton, goudron, goujon, goujon, goupillon, grabon, graillon, graisseron, graisson, gramon, grand-cordon, grand-parangon, grangeon, graphon, grapillon, grapillon, grappillon, gratairon, grateron, graton, gratte-menton, gratteron, gratton, gravalon, grave-macron, gravillon, gravinchon, gravisson, graviton, greffon, grêlon, greluchon, grémillon, grenouillon, grésillon, greubon, griffon, griffon, griffton, grifton, grignon, grillon, grillon, grimpillon, grimpion, grison, grison, grison, griveton, grognon, groinson, groison, gros-canon, grugeon, grumillon, grunion, gruon, guéderon, guédron, guenillon, guerdon, guéridon, guerluchon, guêtron, guetton, gueuleton, guichon, guidon, guignon, guillon, guimoisseron, guimoisson, guingasson, guipon, guiron, guiton, gusathion, gusignon, gymnétron, hacheron, hachon, hackathon, hackaton, hadron, hagwon, haillon, hakwon, halcyon, halon, hameçon, hamon, hanneton, hannon, haqueton, harmoniphon, harpagon, harpion, harpiprion, harpon, haubergeon, haubergeron, haut-berrichon, haveron, hayon, hécatombeion, hécatombéon, hectathlon, hectonewton, hédysaron, hégémon, helcydrion, héléoplancton, hélicon, héliodon, hélion, hélitron, helminthochorton, helminthocorton, hélostadion, henson, heptaméron, heptathlon, herbon, hérisson, héron, hérôon, héroon, hersillon, hétérocaryon, heuguenon, hexodon, hiéromnémon, hiligaynon, hilon, himation, hippalectryon, hipparion, histrion, hiveurnon, holon, homocaryon, hoqueton, horion, horison, horizon, hortillon, houblon, houillon, houperon, houspillon, housson, houx-frelon, huchon, huéron, huon, huron, Huron, hybon, hydraméthylnon, hydravion, hydréléon, hydrion, hydroarion, hydro-aviation, hydro-avion, hydroavion, hydron, hyménion, hyodon, hypalon, hypecoon, hypéricon, hypérodon, hypéron, hypéron, hyperoodon, hypéroodon, hyperthyrion, hyperthyron, hyphessobrycon, hypochilion, hypomochlion, hypopion, hypopyon, hypothécion, hypotrachélion, hysson, hystéron-protéron, iatrion, ichneumon, icosathlon, Ifon, ignitron, iguanodon, iléon, ilion, imidithion, inflaton, info-ballon, infoballon, infra-son, infrason, inion, instanton, interféron, intron, iodosulfuron, ion, ippon, iragnon, ischion, isochlorthion, isodomon, isoproturon, isotron, izon, jaglion, jaguarion, jalon, jamblon, jambon, japon, jardon, jargon, jargon, jarron, jaseron, jason, jasperon, jeton, Jomon, jordanon, jouaillon, juglon, juivaillon, jupon, jurançon, juron, juron, juspatron, kakemphaton, kalimaphion, kamilavkion, kaon, kénotron, kérion, kersanton, keupon, kévatron, killon, kilodalton, kilonewton, klackson, klacson, klakson, klaxon, klérotèrion, klingon, Klingon, klystron, kondakion, konichon, kontakion, koukoulion, koyukon, kraton, krytron, kymographion, labyrinthodon, laceron, laconicon, lagon, laicteron, laiteron, laiton, laiton, laitron, lamburon, lamperon, lampion, lampion, lampon, lampon, lamprillon, lamproyon, lanceron, lançon, lanfaron, langon, lanion, lanternon, lapinon, laqueton, larderon, lardon, larron, larron, larton, lasseron, latton, lavagnon, laveton, lavignon, layon, layon, layon, lébéton, lechon, lédon, lentillon, léontodon, léopon, lépidodendron, lepton, lepton, lepton, lepton, Lestrygon, letton, lévadon, lève-gazon, levron, liceron, ligron, limaçon, limon, limon, limon, linnéon, linon, linuron, Lion, lion, Liopleurodon, liriodendron, liron, liseron, liston, lithopédion, litron, livernon, livon, livon, lochon, logion, logon, lolicon, longeron, lophiodon, Lophorhothon, lorgnon, loseron, losson, louchon, louchon, loufton, loupion, loupion, loutron, loutron, lucarnon, lucumon, ludion, lumignon, luncheon, luon, lupon, luron, luxon, lycaon, lycodon, lycoperdon, lycopersicon, macaron, maceron, machaon, mâchoiron, machon-gorgeon, mâchon, mâchuron, maclon, maçon, mâcon, macron, macron, macusson, madison, Madison, magdaléon, magnétron, magnon, mahogon, mahon, mahon, maigrichon, mailleton, maillon, maimactérion, maimon, mainguion, malacon, malathion, malon, mâlon, mamelon, mammon, mancheron, mancheron, manchon, mandilion, mandylion, maneton, manichordion, manicordion, manillon, manoillon, manon, manteion, maon, maquignon, maragon, marathon, marayon, maréosiphon, mareton, margaignon, margainon, margason, margon, mari-garçon, marmiton, marmotton, marmouton, marneron, marnon, marochon, marron, marron, marron, marron, martagon, marteau-pilon, martin-bâton, Martin-bâton, mascaron, masturbathon, matacon, matévon, maton, maton, matrimonion, matton, maugiron, mecton, médaillon, méga-camion, mégacôlon, mégalodon, méganewton, mégaron, mégason, mellon, mellotron, mélodéon, mélodicon, mélodion, melon, melton, membron, menon, menton, menton, menuchon, méon, merdaillon, mérion, merlon, merluchon, mérodon, merolon, mescal-button, mésocôlon, meson, méson, mésophryon, mésoplodon, mésorrhinion, mésotron, mesuron, métageitnion, méthabenzthiazuron, méthidathion, métobromuron, métochion, méton, métoxuron, metsulfuron, metton, métulon, meuleton, meulon, meuron, mézéréon, miasson, micheton, microballon, micro-béton, microdon, microdon, micromicron, micronewton, micron, microsillon, microsporon, microtron, microzooplancton, mignon, millasson, mille-canton, millicron, millimicron, millinewton, million, ministrillon, minon, miochon, mion, mion, mirlicoton, mirliton, mirmidon, mirmillon, miron, mironton, miroton, miston, miton, miton, mitron, moçon, modillon, modzon, moellon, moëllon, mognon, moignon, moilleron, moilon, moinillon, moinson, moisson, mollasson, molleton, molusson, momichon, mômichon, momon, monbadon, moneron, mon, monneron, monolinuron, montfaucon, monuron, MOOCathon, moombahton, moraillon, moraton, morgon, morillon, morion, morion, morion, mormon, mormon, moron, morphon, morphothion, morpion, morron, mortier-pilon, mortillon, morton, mosquillon, moton, motton, moucheron, moucheron, mouchillon, mouchon, mouchon, mouchon, mouetton, mouflon, mougeon, mouillon, moulon, mounikion, mounon, mouron, mourron, mourvaison, mousqueton, moussaillon, mousseron, moussillon, moustachon, moutardon, mouton, mouveron, moyen-breton, mucron, muleton, mulion, mulon, multison, multiton, muon, muron, mûron, muséon, musmon, mygalon, mylodon, myrméléon, myrmidon, myrmidon, myron, myroxylon, nanonewton, napoléon, napperon, nasion, nason, natron, naveton, nazillon, néburon, nécromanteion, necton, négaton, négrillon, nekton, némalion, néo-béton, néo-breton, néon, néon, néophron, néphélion, néphron, nérion, neuston, neutron, newton, nez-de-cochon, niangon, nichon, nicosulfuron, niochon, Nippon, nison, niton, noblaillon, noblion, noctilion, noiron, nomocanon, nonillion, non, nonon, norflurazon, notaricon, nothotaxon, nourrisson, noyon, nucléon, nuitasson, nuton, nychthéméron, nylon, obélion, obrégon, obron, octavon, octillion, octonion, oddéron, odéon, odoration, œilleton, œrlikon, oganesson, ognon, ogrillon, oignon, oiseau-papillon, oisillon, oison, oléodiazinon, oléomalathion, oléoparathion, oléophosfinon, ombon, omicron, omophron, ondulon, onglon, onomasticon, onopordon, opéron, ophiopogon, ophryon, opilion, orcanson, orchestrion, ordon, oreillon, organon, orgéon, orillon, orion, orlon, ornichon, orphéon, orphéon, orphéoréon, orthosiphon, oscabrion, ôson, ostéon, ostéopédion, ostracon, ostrakon, otocyon, oton, otton, ouaouaron, ourdidon, ourlon, ourson, oxadiazon, oxéléon, oxocation, oxycation, oxycodon, oxymoron, oxyton, pachon, Pachon, packson, pacson, pagnon, pagodon, paignion, paillasson, paillon, pairon, paisson, pajeon, palançon, palémon, paleron, palisson, palon, pandion, paneton, panharmonicon, pan-mélodicon, panneton, pannon, panouillon, panphlegmon, pantagruélion, pantaléon, pantalon, panthéon, Panthéon, paon, papeton, papier-avion, papillon, papion, paqson, paragon, paranatellon, parangon, Paranthodon, Pararhabdodon, paratendon, parathion, paratriathlon, parcon, pardon, pare-ballon, pare-excitation, parergon, parmaison, paroxyton, parthénon, parton, passe-Cicéron, passe-cordon, passe-échantillon, passe-fillon, pastisson, paston, patachon, patacon, patagon, Patagon, pâtisson, paton, pâton, patron, paturon, pâturon, paveton, pavillon, pavion, paxon, pébron, pêche-véron, péchon, pédalion, pédon, pegon, pégon, peignon, peladon, pélardon, pelisson, pelleron, pelletron, pellion, pellisson, pelon, pelon, peloton, pemphredon, penaillon, pencycuron, pendillon, pendrillon, pennon, penon, penstemon, pentachlorxylon, péon, péon, peon, péplon, pépon, perce-bourdon, perceptron, percheron, perdrigon, péréion, péricaryon, péridion, périgynion, périphyton, péristachyon, péristéthion, péritendon, périthécion, perlon, perron, perruchon, peson, pétanewton, petit-canon, petit-parangon, petit-torchon, peton, pétron, phaéton, phaëton, phailonion, phanotron, phapitréron, pharaon, pharaon, pharillon, phenkapton, phéon, philédon, philodendron, phlegmon, phlogiston, phonon, phormion, phosphamidon, photomaton, photon, phusion, phytoédaphon, phyton, phytoplancton, phytotron, picadon, picaillon, picasson, picchion, pichon, pichon, picodon, piconewton, picon, picon, picton, pied-de-griffon, pied-de-lion, pied-de-mouton, pied-de-mouton, pied-de-pigeon, pié-de-lion, piéton, pigamon, pigeon, Pigeon, pignon, pignon, pignon, pignon, pilon, pinçon, pinson, pintadon, pinton, piochon, pion, pion, pipon, pipotron, piqueron, piqueton, pique-véron, piridion, piron, pison, pissélæon, piston, piton, pitron, pivoton, plancher-champignon, planchon, plançon, plancton, planton, planton, plaron, plasmon, plastron, platiron, platon, platycodon, platystémon, playon, plekton, pléon, plérion, pleyon, plion, pliotron, plisson, ploadostadion, plongeon, plonplon, plon, ployon, pluton, pochetron, pochon, pochon, pochon, pochtron, podétion, podion, podostémon, poêlon, poétaillon, pognon, pogostémon, poiçon, poinçon, poinçon, poirillon, poison, poissillon, poisson-ballon, poisson-hérisson, poisson-lion, poisson-million, poisson-papillon, poisson, poisson, poisson-scorpion, poivron, Pokémon, polacron, polariton, polaron, polisson, polmon, polochon, poltron, poméron, pomon, pompion, pompoléon, pompon, pont-breton, ponton, pont-siphon, porillon, porion, porion, porion, porneïon, porphyrion, porte-aiguillon, porte-avion, porte-charbon, porte-coton, porte-crayon, portecrayon, porte-éperon, porte-fanion, porte-guidon, porte-lorgnon, porte-manchon, porte-mousqueton, porte-pompon, porte-savon, portillon, portrion, poséidéon, positon, positron, posson, postillon, potamogéton, potamoplancton, poteauthon, potimarron, potiron, poudrion, pougeon, pougnon, pouhon, poulamon, poulichon, poulpeton, poumon, poupeton, poupon, pousse-crampon, précaton, précon, pré-embryon, préembryon, prégaton, pré-gazon, préon, presse-citron, prinçaillon, princillon, principion, prion, prion, procillon, pro-embryon, proembryon, programmathon, promène-couillon, pron, proparoxyton, propylon, prosulfuron, protagon, protège-mamelon, protocérébron, proton, psaltérion, psellion, pseudo-cotylédon, pseudo-isodomon, pseudopléon, pseudoscorpion, ptéranodon, ptérion, ptérygion, puceron, pulsocon, puron, pyanepsion, pycnogonon, pyélon, pygmalion, pyramidion, pyridion, python, python, quadrathlon, quadriathlon, quadrillion, quadruplon, quanton, quart-bouillon, quarteron, quarteron, quaternion, quatrillion, quennon, quenouillon, quercitron, quernon, queron, queue-de-lion, queue-de-paon, quignon, quignon, quillion, quillon, quinion, quinon, quinquercion, quinquinquagintillion, quinson, quinteron, quintilion, quintillion, quinton, quiquajon, raclon, racoon, radéon, radon, ragoton, raidillon, raie-papillon, raieton, raïon, raiton, rajeton, rallonge-bouton, rameron, rampon, randon, ranguillon, raqueton, ras-le-bonbon, rason, ratacon, rataillon, ratichon, ratillon, raton, raton, ravanastron, rayon, rayon, rayon, razon, rebléchon, reblochon, rebrochon, recoupon, regagnon, regaton, reggaeton, reggéon, rejeton, renon, reparon, réparton, reparton, repépion, réplicon, repolon, reponchon, requin-citron, requinteron, restaillon, retiron, rétrotransposon, réveillon, revenant-bon, rhagion, rhinarion, rhinocéron, rhizonychion, rhododendron, rhyton, riblon, rigaudon, rigodon, rillon, rimsulfuron, rince-cochon, ripaton, ripon, risson, ritton, rizon, robinson, Robinson, rocher-champignon, rodéon, rogaton, rognon, roidillon, rolon, roman-feuilleton, ronchon, rondon, ronflonflon, ronflon, ron, ron-ron, ronron, roson, rouffion, rougeon, rougeon, rougeon, rougeon, rougeon, rougeron, rougillon, roulon, roupillon, roupion, rouston, royon, ruclon, ruclon, ruisson, rumbullion, sabayon, sablon, saburon, safranon, sagon, saint-émilion, saint-samson, saleron, salignon, salomon, salon, saloon, salsaton, sambayon, sambron, samogon, sandron, sang-de-dragon, sanglichon, sanglochon, sanglon, sanguignon, sansetsukon, sans-façon, santon, santon, santoron, sarasson, sarcodon, sarion, saron, sarrasson, saton, satyrion, saucisson, saumon, sauneron, sauroposéidon, saut-de-mouton, saute-bouchon, saute-mouton, sautillon, sauton, sauvageon, sauvignon, savignon, savon, saxion, saxon, sayon, sayon, scabellon, scason, scavisson, scazon, sceau-de-salomon, schiste-carton, science-fiction, scion, scirophorion, scordion, scorpion, scrapathon, scyllion, scytosiphon, secbuméton, sécheron, séchion, séchon, sédénion, sédon, seillon, sélectron, sémantron, semi-apollon, semi-diaton, sémillon, semi-marathon, sémion, senbon, seneçon, séneçon, sèneçon, sénion, sent-bon, senti-bon, sépion, septénion, septentrion, septillion, septon, sérapéon, sérapion, serbillon, sergeon, sermon, serpenton, serpillon, serron, serron, servion, séton, sevivon, sextillion, shallon, shannon, sharon, sibon, sidaction, sidéroxylon, siduron, sieston, sifflasson, sillon, simili-poisson, sindon, singe-lion, singleton, sinton, sion, siphon, siricon, sison, sisyrinchion, skeleton, skiathlon, skyrmion, slavon, sliammon, smilodon, soixton, soliton, son, son, son, sorédion, soron, sotolon, souaton, souchon, soucrillon, soufflon, soulon, soûlon, soupçon, sourdon, sous-bourgeon, sous-chevron, sous-échantillon, soyon, spadon, sparagon, sparaillon, sparton, sphaleron, sphénodon, sphinx-bourdon, spidron, sponton, stadion, stagnon, stégodon, stellion, stéphanion, stéréon, stéthidion, stéthion, stetson, stikharion, stilton, stock-tampon, stoichéion, stoïchéion, stolon, stolon, strapasson, straton, strophion, suçon, sucrillon, sucrion, suiton, sulfosulfuron, superchampion, superéon, super-typhon, supertyphon, supion, surdon, surgeon, surjeton, suron, surpantalon, symblépharon, symposion, synchrocyclotron, synchrophasotron, synchrotron, syngaméon, syntaxon, synthon, syphon, syzygion, tabagnon, tabellion, tablon, taburon, tâcheron, tachiron, tachon, tachyon, tacon, tacon, tacon, tacon, tafon, taignon, taille-crayon, taillon, taisson, talochon, talon, tamplon, tampon, tangon, tantiron, taon, tapecon, tapion, tapon, taquon, tardillon, tardon, tardyon, tarleton, tarpon, tartempion, tartuffon, tatignon, taudion, tauon, taupe-grillon, taurillon, tavaillon, tavillon, tavon, taxon, tayon, tayon, tchékhon, tébuthiuron, téflon, téflubenzuron, télamon, téléthon, telon, telson, templion, tenaillon, tendon, tendron, ténébrion, ténébrion, tennis-ballon, tenon, téranewton, terbuméton, terceron, ternion, terrasson, terson, tesson, tesson, teston, teston, téteron, téton, tétradifon, tétraneutron, tétraodon, tétrodon, Teuton, thanon, thargélion, theatron, théatron, théoricon, thermosiphon, thiazafluron, thiodéméton, thiométon, thompson, thon, thoréon, thoron, thymion, thyratron, thyréodon, tibéron, tiburon, ticketon, tickson, ticson, tierceron, tierçon, tigeron, tiglon, tignon, tigon, tigrillon, tigron, tigron, timon, tinion, tion, tire-bouchon, tirebouchon, tire-bouton, tire-comédon, tirelardon, tison, titon, tocson, toiton, tollenon, tomadon, tonarion, tonton, ton, ton, torchon, tordion, toron, tortillon, torton, toton, toton, toupillon, touradon, touraillon, tourbillon, tourdion, tourillon, tourion, touristoton, touron, tourton, tout-communication, toxicodendron, toxodon, trade-union, tragopogon, traillon, traîne-bâton, traîne-buisson, trait-d’union, translocon, transmon, transposon, trapillon, trapon, trappillon, trappon, travon, trayon, trédécillion, treillon, trémaillon, trémillon, trémion, trésillon, triadiméfon, trianon, triasulfuron, triathlon, tribâton, tribéton, tribon, trichion, trichlorfon, trichophyton, tricon, triflumuron, trigon, trilithon, trillion, trinion, trinquebasson, triodon, triple-canon, triplon, triplon, tripoton, triptérygion, trisagion, triton, triton, triton, triton, trognon, trogon, trombidion, tromblon, trompe-couillon, trompillon, tronçon, Troodon, tropaion, trouffion, troufignon, troufion, trouzillion, trublion, Trublion, trudgeon, trugon, truiton, trygon, trypodendron, turion, turluchon, turluron, turron, tursion, tycoon, tymbon, tympanon, typhon, typon, udon, ultra-marathon, ultramarathon, ultra-son, ultrason, ultra-triathlon, umbon, undécillion, unisson, upsilon, urson, vagon, vairon, vaisseron, valeton, vallon, vamidothion, vangeron, vanillon, varleton, varon, varron, vason, vellon, vendangeon, vendangeron, vengeron, ventillon, venturon, verdagon, verderon, verdillon, verdon, verduron, vergeon, vergeron, vérillon, vermillon, véron, verrillon, vertillon, vesceron, vésigon, vespertilion, vessigon, veston, vétathlon, vibrion, vice-champion, vide-maison, vidicon, vieux-breton, vigeon, vigintillion, vigneron, vignon, vingeon, violon, virazon, vireton, virion, viron, vison, voraçon, vracton, vrillon, Vulcanodon, wagnon, wagon-salon, wagon, wallon, walon, wawaron, webtoon, wison, woccon, wonton, won, workation, Xenoposeidon, xilocordéon, xoanon, xylharmonicon, xylocordéon, xylon, xylon, yakafokon, yoctonewton, Yon, yôon, yōon, yottanewton, youtron, zabuton, zambajon, zapon, zébrion, zébron, zeptonewton, zettanewton, zircon, zirkon, zodarion, zooplancton, zwitterion, zyclon, zyklon, zython.''</ref> et vice-versa, la majorité de ces termes ne désignant de toute façon pas des individus. Pour le cas où il s’applique strictement à une personne humaine, ce paradigme flexionnel comprend notamment l’alternance entre ''péone'' et ''péon''. Ce couple partage le même étymon que ''pionne'' et ''pion'', à savoir le latin <code>''pedo/pedonis''</code> : ''fantassin'', apparenté à ''peón'' en espagnol, ''pedone'' en italien, ''peão'' en portugais et ''pawn'' en anglais, le tout pouvant être rattaché au latin ''<code>pes</code>'' : ''pied''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=pion|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-01-01|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=pion&oldid=31261630|consulté le=2023-03-17}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=pedo|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-04|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=pedo&oldid=31683742|consulté le=2023-03-17}}</ref>. Voir la [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/noms communs/motivations#-ied|section décrivant -ied]] pour plus d’informations sur les autres rapprochement étymologiques qui en découle. La mythologie pour sa part fournie la désignation des divino-humanoïdes ''démone'' et ''démon'' que supplémente ''démonesse'', qui via le latin ''<code>daemon</code>'' : ''esprit, génie, démon,'' proviennent du grec ancien <code>''daímôn/δαίμων''</code> : ''divinité, génie'', lui-même de ''<code>daíomai/δαίομαι</code>'' : ''partager, donner''<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=démon|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-03-09|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=d%C3%A9mon&oldid=31731637|consulté le=2023-03-17}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=δαίμων|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2021-12-21|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=%CE%B4%CE%B1%CE%AF%CE%BC%CF%89%CE%BD&oldid=30079630|consulté le=2023-03-17}}</ref>. Ce dernier par ailleurs, après suffixation substantivique de <code>''-mos,-μος''</code>, donne ''<code>dêmos/δῆμος</code>'' : ''peuple''. Il peut donc être remarqué au passage que la locution génie du peuple est quelque peu pléonasmique, . Hors des sentiers humanoïdes, tout en restant dans le giron du biotique, se trouve par exemple l’alternance entre ''buflone'' ou ''bufflonne'' et ''buflon''. En basculant vers les cas les plus fréquent d’alternance entre -onne et -on, allant de aiglonne à Wallonne, en passant par championne et marmitonne, se dresse le constat que tous repose sur une terminaison dérivant du latin ''<code>-o</code>'', au génitif rendu par <code>''-onis''</code>, désignant des êtres vivants, parfois des choses ou des animaux ; qui a pris une valeur augmentative en bas latin<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=-on|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-02-26|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=-on&oldid=31614280|consulté le=2023-03-17}}</ref>. En français, une valeur diminutive prévaut, surtout pour les petits des animaux et fourni souvent des désignatifs personnels pour des bases à valeur péjorative, comme dans ''couillonne'' ou ''pochetron''. Ici c'est ''-oine'' qui est proposé comme isonèphe, suffixe qui peut par ailleurs être être trouvé dans le terme épicène Assiniboine. La proximité morphologique à ''-onne'' est évidente et suffit à justifier cette proposition, mais il peut être noté que parmi les flexions du grec ancien de ''<code>daíomai/δαίομαι</code>'' se trouve <code>''daimónoin''/δαιμόνοιν</code>. Alternativement il est envisageable d'employer -age pour l'isonèphe en s'appuyant sur la métonymie de la pratique d'une activité pour la personne qui l'exerce, par exemple ''tabellionne'' et ''tabellion'' font tout deux tabellionage<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=leveto|titre=Les agents et intermédiaires|url=https://vousvoyezletopo.home.blog/2020/11/30/les-agents-et-intermediaires/|site=Vous voyez le topo|date=2020-11-29|consulté le=2025-04-27}}</ref>. ====== Notes ====== <references group="N"/> ====== Références ====== <references /> m2ydjrxjdq2h3cg1hz7cusshv43y74l 104 84638 984281 984245 2026-07-07T02:45:01Z Psychoslave 2753 984281 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''anti-civilisation'', ''anticivilisation'', ''antrustion'', ''bêtasson'', ''bodycon'', ''carpion'', ''casse-bonbon'', ''colon''<ref>{{Lien web|titre=Mineur de Fond - Une colon devient monitrice|url=https://mineurdefond.fr/fr--103-1713-445-0|site=mineurdefond.fr|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Maria Mouton|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-04-22|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Maria_Mouton&oldid=235458996|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=Un Palestinien avoue le meurtre d'une colon israélienne mais nie avoir été son amant|périodique=Libération|lire en ligne=https://www.liberation.fr/planete/2017/08/03/un-palestinien-avoue-le-meurtre-d-une-colon-israelienne-mais-nie-avoir-ete-son-amant_1587969/|consulté le=2026-07-07}}</ref>'', cucendron'', ''ducon'', ''faisant-fonction'', ''faux-jeton'', ''isocolon'', ''laideron'', ''Lion'', ''monogalon'', ''multifonction'', ''orpington'', ''pique-meuron'', ''Poisson'', ''remington'', ''Scorpion'', ''souillon'', ''sous-consommation''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== La terminaison phonétique /ɔ̃/ peut être employée de manière épicène et graphiée ''-on'', par exemple dans ''anticivilisation'' où le qualificatif désigne la personne à qui est imputé ce trait, dans ''Poisson'' et ''Scorpion'' où le signe astrologique est donné pour désigner la personne supposé née dans l’une des périodes calendaires correspondantes, ou encore dans ''souillon'' en tant que suffixe déverbal. C’est donc plus par la possibilité de rapprochement à un autre terme synchronique dont type lexical n’admet pas de flexion, que dans l’étymologie diachronique que s’explique cette différence de traitement épicénique. ====== Défectivités ====== ''Un barbon'' désigne un androphène d’un âge avancé, par emprunt à l’italien ''barbone'' : ''qui a la barbe longue'', lui-même de barba : ''barbe'', sans que d’équivalence gynotypante évidente lui soit assignable. ''Un buffleton'', petit de la bufflesse et du bulffle, possiblement avant qu'il ne devienne jeune bufflonne ou bufflon voir bufflette ou buffletin. ''Un colon,'' ne connaît pas de variation morphologique vers l'ambigu comme ''colonne'' ou ''colone'', mais le terme ''femme colon'' est lui cependant courant. m8yjgadblq0w4hj7o5snpgozry7sg17 984282 984281 2026-07-07T03:09:08Z Psychoslave 2753 984282 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''anti-civilisation'', ''anticivilisation'', ''antrustion'', ''bêtasson'', ''bodycon'', ''carpion'', ''casse-bonbon'', ''colon''<ref>{{Lien web|titre=Mineur de Fond - Une colon devient monitrice|url=https://mineurdefond.fr/fr--103-1713-445-0|site=mineurdefond.fr|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Maria Mouton|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-04-22|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Maria_Mouton&oldid=235458996|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=Un Palestinien avoue le meurtre d'une colon israélienne mais nie avoir été son amant|périodique=Libération|lire en ligne=https://www.liberation.fr/planete/2017/08/03/un-palestinien-avoue-le-meurtre-d-une-colon-israelienne-mais-nie-avoir-ete-son-amant_1587969/|consulté le=2026-07-07}}</ref>'', cucendron'', ''ducon'', ''faisant-fonction'', ''faux-jeton'', ''isocolon'', ''laideron'', ''Lion'', ''monogalon'', ''multifonction'', ''orpington'', ''pique-meuron'', ''Poisson'', ''remington'', ''Scorpion'', ''souillon'', ''sous-consommation''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== La terminaison phonétique /ɔ̃/ peut être employée de manière épicène et graphiée ''-on'', par exemple dans ''anticivilisation'' où le qualificatif désigne la personne à qui est imputé ce trait, dans ''Poisson'' et ''Scorpion'' où le signe astrologique est donné pour désigner la personne supposé née dans l’une des périodes calendaires correspondantes, ou encore dans ''souillon'' en tant que suffixe déverbal. C’est donc plus par la possibilité de rapprochement à un autre terme synchronique dont type lexical n’admet pas de flexion, que dans l’étymologie diachronique que s’explique cette différence de traitement épicénique. ====== Défectivités ====== ''Un barbon'' désigne un androphène d’un âge avancé, par emprunt à l’italien ''barbone'' : ''qui a la barbe longue'', lui-même de barba : ''barbe'', sans que d’équivalence gynotypante évidente lui soit assignable. ''Un buffleton'', petit de la bufflesse et du bulffle, possiblement avant qu'il ne devienne jeune bufflonne ou bufflon voir bufflette ou buffletin. ====== Biotiques haplogestes ====== * un croton, plante ou arbre. ====== Références ====== 397726hyzmdugkmz6trgfmkz0osll03 984283 984282 2026-07-07T03:09:20Z Psychoslave 2753 984283 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''anti-civilisation'', ''anticivilisation'', ''antrustion'', ''bêtasson'', ''bodycon'', ''carpion'', ''casse-bonbon'', ''colon''<ref>{{Lien web|titre=Mineur de Fond - Une colon devient monitrice|url=https://mineurdefond.fr/fr--103-1713-445-0|site=mineurdefond.fr|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Maria Mouton|titre ouvrage=Wikipédia|date=2026-04-22|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Maria_Mouton&oldid=235458996|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|titre=Un Palestinien avoue le meurtre d'une colon israélienne mais nie avoir été son amant|périodique=Libération|lire en ligne=https://www.liberation.fr/planete/2017/08/03/un-palestinien-avoue-le-meurtre-d-une-colon-israelienne-mais-nie-avoir-ete-son-amant_1587969/|consulté le=2026-07-07}}</ref>'', cucendron'', ''ducon'', ''faisant-fonction'', ''faux-jeton'', ''isocolon'', ''laideron'', ''Lion'', ''monogalon'', ''multifonction'', ''orpington'', ''pique-meuron'', ''Poisson'', ''remington'', ''Scorpion'', ''souillon'', ''sous-consommation''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== La terminaison phonétique /ɔ̃/ peut être employée de manière épicène et graphiée ''-on'', par exemple dans ''anticivilisation'' où le qualificatif désigne la personne à qui est imputé ce trait, dans ''Poisson'' et ''Scorpion'' où le signe astrologique est donné pour désigner la personne supposé née dans l’une des périodes calendaires correspondantes, ou encore dans ''souillon'' en tant que suffixe déverbal. C’est donc plus par la possibilité de rapprochement à un autre terme synchronique dont type lexical n’admet pas de flexion, que dans l’étymologie diachronique que s’explique cette différence de traitement épicénique. ====== Défectivités ====== ''Un barbon'' désigne un androphène d’un âge avancé, par emprunt à l’italien ''barbone'' : ''qui a la barbe longue'', lui-même de barba : ''barbe'', sans que d’équivalence gynotypante évidente lui soit assignable. ''Un buffleton'', petit de la bufflesse et du bulffle, possiblement avant qu'il ne devienne jeune bufflonne ou bufflon voir bufflette ou buffletin. ====== Biotiques haplogestes ====== * ''un croton'', plante ou arbre. ====== Références ====== 8nc4wij5pte9z7cf9z8bgqv5wuk2suv 104 84650 984294 954368 2026-07-07T07:01:21Z Psychoslave 2753 984294 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Si historiquement nounou, diminutif caressant de nourrice, a été employé exculisivement au genre ambigu, il est désormais également employé à l’équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Masculin|prénom1=Par La Rédac'|titre=Nounou au masculin, la nouvelle tendance ?|url=https://www.masculin.com/lifestyle/14162-homme-nounou/|site=Masculin.com|date=2018-03-15|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=nounou|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-05-07|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=nounou&oldid=30436930|consulté le=2023-04-23}}</ref>. Cet usage est cohérent avec l’emploi du suffixe ''-ice'' pour des termes de genre équivoque comme ''aruspice'' et sa variante ''haruspice'', ''extispice'', ''olympionice'' ou ''patrice'' et des termes épicènes comme ''antipolice, castice, complice, déditice, novice, poturice'' et ''statice''. Par ailleurs un peu plus d'une vingtaine d'autres de désignatifs biotiques en ''-ou'' sont employés de façon épicène, bien que certains connaissent également des alterances en -oue ou -oute : akou, anglo-fou, belou, bestiou, bêtassou, cagou, casse-cou, choubidou, choubidou, chou, fonbou, gaou, glandouillou, grippe-sou, Lébou, maine-anjou, marabou, relou, ripou, sans-le-sou, voyou, youkou. ====== Défectivités ====== À noter que ''goudou'' lorsque le terme est employé pour désigner une lesbienne est strictement ambigu. La présicison sémantique importe dans la mesure où ''Goudou'' peut être employé à l’équivoque en guise de gentilé<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Martine|nom1=Balard|titre chapitre=Chapitre III. Le travail forcé|titre ouvrage=Dahomey 1930 : mission catholique et culte vodoun : L'œuvre de Francis Aupiais (1877-1945), missionnaire et ethnographe|éditeur=Presses universitaires de Perpignan|collection=Études|date=2017-12-15|isbn=978-2-35412-312-3|lire en ligne=http://books.openedition.org/pupvd/3804|consulté le=2023-04-22|passage=241–260}}</ref> . Sont également strictement ambigu : * ''chahbanou'', ''chabanou'', ou ''shabanou'' qui désigne une impératrice d’Iran, ou l’épouse du chah ; * les mots composés qui suffixe un terme strictement ambigu avec -garou : chauve-souris-garou, hyène-garou, louve-garou, panthère-garou, renarde-garou, vache-garou ; * ''maminou'' et ''mamou'' ou ''manou'' appellation affectueuse pour une grand-mère, pendant de ''papinou'' et ''papou''<ref>{{Lien web|titre=Quels surnoms donner aux grands-parents ?|url=https://www.wemoms.fr/questions/surnom-grand-parents|site=www.wemoms.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref> ; * matoutou, nom vernaculaire employé en Guyane pour nommer différentes espèces d’aviculaires, araignées de type mygale ; * niafou, terme injurieux désignant une Jeune femme noire à la mode, dont l’apparence est jugée comme relevant d’une volonté exagérée de séduire ; * pougaou, nom vernaculaire de l'anguille d'eau douce, dans le sud de la France ; * renouée-bambou, plante du genre des renouées, rudérale, à tige creuse, coriace, à port dressé, subspontanée en Europe. ====== Références ====== gtmhigr5753nvelqw9c21gkz7yvdgue 984296 984294 2026-07-07T07:12:46Z Psychoslave 2753 /* Défectivités */ 984296 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Si historiquement nounou, diminutif caressant de nourrice, a été employé exculisivement au genre ambigu, il est désormais également employé à l’équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Masculin|prénom1=Par La Rédac'|titre=Nounou au masculin, la nouvelle tendance ?|url=https://www.masculin.com/lifestyle/14162-homme-nounou/|site=Masculin.com|date=2018-03-15|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=nounou|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-05-07|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=nounou&oldid=30436930|consulté le=2023-04-23}}</ref>. Cet usage est cohérent avec l’emploi du suffixe ''-ice'' pour des termes de genre équivoque comme ''aruspice'' et sa variante ''haruspice'', ''extispice'', ''olympionice'' ou ''patrice'' et des termes épicènes comme ''antipolice, castice, complice, déditice, novice, poturice'' et ''statice''. Par ailleurs un peu plus d'une vingtaine d'autres de désignatifs biotiques en ''-ou'' sont employés de façon épicène, bien que certains connaissent également des alterances en -oue ou -oute : akou, anglo-fou, belou, bestiou, bêtassou, cagou, casse-cou, choubidou, choubidou, chou, fonbou, gaou, glandouillou, grippe-sou, Lébou, maine-anjou, marabou, relou, ripou, sans-le-sou, voyou, youkou. ====== Défectivités ====== ''Un bitou'', désignation soldatesque argotique semble sans emploi équivalent à l'ambigu, auquel cas ''bitoune'' formerait un potentiel candidat probant. ''Une'' ''goudou'' lorsque le terme est employé pour désigner une lesbienne est strictement ambigu. La présicison sémantique importe dans la mesure où ''Goudou'' peut être employé à l’équivoque en guise de gentilé<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Martine|nom1=Balard|titre chapitre=Chapitre III. Le travail forcé|titre ouvrage=Dahomey 1930 : mission catholique et culte vodoun : L'œuvre de Francis Aupiais (1877-1945), missionnaire et ethnographe|éditeur=Presses universitaires de Perpignan|collection=Études|date=2017-12-15|isbn=978-2-35412-312-3|lire en ligne=http://books.openedition.org/pupvd/3804|consulté le=2023-04-22|passage=241–260}}</ref> . Sont également strictement ambigu : * ''chahbanou'', ''chabanou'', ou ''shabanou'' qui désigne une impératrice d’Iran, ou l’épouse du chah ; * les mots composés qui suffixe un terme strictement ambigu avec -garou : chauve-souris-garou, hyène-garou, louve-garou, panthère-garou, renarde-garou, vache-garou ; * ''maminou'' et ''mamou'' ou ''manou'' appellation affectueuse pour une grand-mère, pendant de ''papinou'' et ''papou''<ref>{{Lien web|titre=Quels surnoms donner aux grands-parents ?|url=https://www.wemoms.fr/questions/surnom-grand-parents|site=www.wemoms.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref> ; * matoutou, nom vernaculaire employé en Guyane pour nommer différentes espèces d’aviculaires, araignées de type mygale ; * niafou, terme injurieux désignant une Jeune femme noire à la mode, dont l’apparence est jugée comme relevant d’une volonté exagérée de séduire ; * pougaou, nom vernaculaire de l'anguille d'eau douce, dans le sud de la France ; * renouée-bambou, plante du genre des renouées, rudérale, à tige creuse, coriace, à port dressé, subspontanée en Europe. ====== Références ====== 3c7rzenlb0i4fnpfgvhh09p641l2xpr 984297 984296 2026-07-07T07:17:58Z Psychoslave 2753 /* Défectivités */ 984297 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Si historiquement nounou, diminutif caressant de nourrice, a été employé exculisivement au genre ambigu, il est désormais également employé à l’équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Masculin|prénom1=Par La Rédac'|titre=Nounou au masculin, la nouvelle tendance ?|url=https://www.masculin.com/lifestyle/14162-homme-nounou/|site=Masculin.com|date=2018-03-15|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=nounou|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-05-07|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=nounou&oldid=30436930|consulté le=2023-04-23}}</ref>. Cet usage est cohérent avec l’emploi du suffixe ''-ice'' pour des termes de genre équivoque comme ''aruspice'' et sa variante ''haruspice'', ''extispice'', ''olympionice'' ou ''patrice'' et des termes épicènes comme ''antipolice, castice, complice, déditice, novice, poturice'' et ''statice''. Par ailleurs un peu plus d'une vingtaine d'autres de désignatifs biotiques en ''-ou'' sont employés de façon épicène, bien que certains connaissent également des alterances en -oue ou -oute : akou, anglo-fou, belou, bestiou, bêtassou, cagou, casse-cou, choubidou, choubidou, chou, fonbou, gaou, glandouillou, grippe-sou, Lébou, maine-anjou, marabou, relou, ripou, sans-le-sou, voyou, youkou. ====== Défectivités ====== ''Un bitou'', désignation soldatesque argotique semble sans emploi équivalent à l'ambigu, auquel cas ''bitoune'' formerait un potentiel candidat probant. ''Un cagou'', personne mesquine, ou assurant la chefferie des mendiants de la cour des miracles à Paris au Moyen-Âge, ou encore opérant quelque truanderie, et qui semble sans emploi équivalent à l'ambigu. ''Une'' ''goudou'' lorsque le terme est employé pour désigner une lesbienne est strictement ambigu. La présicison sémantique importe dans la mesure où ''Goudou'' peut être employé à l’équivoque en guise de gentilé<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Martine|nom1=Balard|titre chapitre=Chapitre III. Le travail forcé|titre ouvrage=Dahomey 1930 : mission catholique et culte vodoun : L'œuvre de Francis Aupiais (1877-1945), missionnaire et ethnographe|éditeur=Presses universitaires de Perpignan|collection=Études|date=2017-12-15|isbn=978-2-35412-312-3|lire en ligne=http://books.openedition.org/pupvd/3804|consulté le=2023-04-22|passage=241–260}}</ref> . Sont également strictement ambigu : * ''chahbanou'', ''chabanou'', ou ''shabanou'' qui désigne une impératrice d’Iran, ou l’épouse du chah ; * les mots composés qui suffixe un terme strictement ambigu avec -garou : chauve-souris-garou, hyène-garou, louve-garou, panthère-garou, renarde-garou, vache-garou ; * ''maminou'' et ''mamou'' ou ''manou'' appellation affectueuse pour une grand-mère, pendant de ''papinou'' et ''papou''<ref>{{Lien web|titre=Quels surnoms donner aux grands-parents ?|url=https://www.wemoms.fr/questions/surnom-grand-parents|site=www.wemoms.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref> ; * matoutou, nom vernaculaire employé en Guyane pour nommer différentes espèces d’aviculaires, araignées de type mygale ; * niafou, terme injurieux désignant une Jeune femme noire à la mode, dont l’apparence est jugée comme relevant d’une volonté exagérée de séduire ; * pougaou, nom vernaculaire de l'anguille d'eau douce, dans le sud de la France ; * renouée-bambou, plante du genre des renouées, rudérale, à tige creuse, coriace, à port dressé, subspontanée en Europe. ====== Références ====== 4w76ao1f9o6fv75dkhsdni2uquunqjp 984299 984297 2026-07-07T07:29:22Z Psychoslave 2753 /* Défectivités */ 984299 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Si historiquement nounou, diminutif caressant de nourrice, a été employé exculisivement au genre ambigu, il est désormais également employé à l’équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Masculin|prénom1=Par La Rédac'|titre=Nounou au masculin, la nouvelle tendance ?|url=https://www.masculin.com/lifestyle/14162-homme-nounou/|site=Masculin.com|date=2018-03-15|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=nounou|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-05-07|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=nounou&oldid=30436930|consulté le=2023-04-23}}</ref>. Cet usage est cohérent avec l’emploi du suffixe ''-ice'' pour des termes de genre équivoque comme ''aruspice'' et sa variante ''haruspice'', ''extispice'', ''olympionice'' ou ''patrice'' et des termes épicènes comme ''antipolice, castice, complice, déditice, novice, poturice'' et ''statice''. Par ailleurs un peu plus d'une vingtaine d'autres de désignatifs biotiques en ''-ou'' sont employés de façon épicène, bien que certains connaissent également des alterances en -oue ou -oute : akou, anglo-fou, belou, bestiou, bêtassou, cagou, casse-cou, choubidou, choubidou, chou, fonbou, gaou, glandouillou, grippe-sou, Lébou, maine-anjou, marabou, relou, ripou, sans-le-sou, voyou, youkou. ====== Défectivités ====== ''Un bitou'', désignation soldatesque argotique semble sans emploi équivalent à l'ambigu, auquel cas ''bitoune'' formerait un potentiel candidat probant. ''Un cagou'', personne mesquine, ou assurant la chefferie des mendiants de la cour des miracles à Paris au Moyen-Âge, ou encore opérant quelque truanderie, et qui semble sans emploi équivalent à l'ambigu. ''Un crachou'', individu peu fréquentalbe, semble sans équivalent en emploi à l'ambigu. ''Une'' ''goudou'' lorsque le terme est employé pour désigner une lesbienne est strictement ambigu. La présicison sémantique importe dans la mesure où ''Goudou'' peut être employé à l’équivoque en guise de gentilé<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Martine|nom1=Balard|titre chapitre=Chapitre III. Le travail forcé|titre ouvrage=Dahomey 1930 : mission catholique et culte vodoun : L'œuvre de Francis Aupiais (1877-1945), missionnaire et ethnographe|éditeur=Presses universitaires de Perpignan|collection=Études|date=2017-12-15|isbn=978-2-35412-312-3|lire en ligne=http://books.openedition.org/pupvd/3804|consulté le=2023-04-22|passage=241–260}}</ref> . Sont également strictement ambigu : * ''chahbanou'', ''chabanou'', ou ''shabanou'' qui désigne une impératrice d’Iran, ou l’épouse du chah ; * les mots composés qui suffixe un terme strictement ambigu avec -garou : chauve-souris-garou, hyène-garou, louve-garou, panthère-garou, renarde-garou, vache-garou ; * ''maminou'' et ''mamou'' ou ''manou'' appellation affectueuse pour une grand-mère, pendant de ''papinou'' et ''papou''<ref>{{Lien web|titre=Quels surnoms donner aux grands-parents ?|url=https://www.wemoms.fr/questions/surnom-grand-parents|site=www.wemoms.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref> ; * matoutou, nom vernaculaire employé en Guyane pour nommer différentes espèces d’aviculaires, araignées de type mygale ; * niafou, terme injurieux désignant une Jeune femme noire à la mode, dont l’apparence est jugée comme relevant d’une volonté exagérée de séduire ; * pougaou, nom vernaculaire de l'anguille d'eau douce, dans le sud de la France ; * renouée-bambou, plante du genre des renouées, rudérale, à tige creuse, coriace, à port dressé, subspontanée en Europe. ====== Références ====== 1esld05uvfj6zi4e5ikqz5vnafht713 984304 984299 2026-07-07T11:07:12Z Psychoslave 2753 984304 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Si historiquement nounou, diminutif caressant de nourrice, a été employé exculisivement au genre ambigu, il est désormais également employé à l’équivoque<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=Masculin|prénom1=Par La Rédac'|titre=Nounou au masculin, la nouvelle tendance ?|url=https://www.masculin.com/lifestyle/14162-homme-nounou/|site=Masculin.com|date=2018-03-15|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=nounou|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-05-07|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=nounou&oldid=30436930|consulté le=2023-04-23}}</ref>. Cet usage est cohérent avec l’emploi du suffixe ''-ice'' pour des termes de genre équivoque comme ''aruspice'' et sa variante ''haruspice'', ''extispice'', ''olympionice'' ou ''patrice'' et des termes épicènes comme ''antipolice, castice, complice, déditice, novice, poturice'' et ''statice''. Par ailleurs un peu plus d'une vingtaine d'autres de désignatifs biotiques en ''-ou'' sont employés de façon épicène, bien que certains connaissent également des alterances en -oue ou -oute : akou, anglo-fou, belou, bestiou, bêtassou, cagou, casse-cou, choubidou, choubidou, chou, fonbou, gaou, glandouillou, grippe-sou, Lébou, maine-anjou, marabou, relou, ripou, sans-le-sou, voyou, youkou. ====== Défectivités ====== ''Un bitou'', désignation soldatesque argotique semble sans emploi équivalent à l'ambigu, auquel cas ''bitoune'' formerait un potentiel candidat probant. ''Un cagou'', personne mesquine, ou assurant la chefferie des mendiants de la cour des miracles à Paris au Moyen-Âge, ou encore opérant quelque truanderie, et qui semble sans emploi équivalent à l'ambigu. ''Un crachou'', individu peu fréquentalbe, semble sans équivalent en emploi à l'ambigu. Un frisou, terme péjoratif pour désigner une personne supposée d'origine allemande, semble sans équivalent en emploi à l'ambigu. ''Une'' ''goudou'' lorsque le terme est employé pour désigner une lesbienne est strictement ambigu. La présicison sémantique importe dans la mesure où ''Goudou'' peut être employé à l’équivoque en guise de gentilé<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|prénom1=Martine|nom1=Balard|titre chapitre=Chapitre III. Le travail forcé|titre ouvrage=Dahomey 1930 : mission catholique et culte vodoun : L'œuvre de Francis Aupiais (1877-1945), missionnaire et ethnographe|éditeur=Presses universitaires de Perpignan|collection=Études|date=2017-12-15|isbn=978-2-35412-312-3|lire en ligne=http://books.openedition.org/pupvd/3804|consulté le=2023-04-22|passage=241–260}}</ref> . Sont également strictement ambigu : * ''chahbanou'', ''chabanou'', ou ''shabanou'' qui désigne une impératrice d’Iran, ou l’épouse du chah ; * les mots composés qui suffixe un terme strictement ambigu avec -garou : chauve-souris-garou, hyène-garou, louve-garou, panthère-garou, renarde-garou, vache-garou ; * ''maminou'' et ''mamou'' ou ''manou'' appellation affectueuse pour une grand-mère, pendant de ''papinou'' et ''papou''<ref>{{Lien web|titre=Quels surnoms donner aux grands-parents ?|url=https://www.wemoms.fr/questions/surnom-grand-parents|site=www.wemoms.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref> ; * matoutou, nom vernaculaire employé en Guyane pour nommer différentes espèces d’aviculaires, araignées de type mygale ; * niafou, terme injurieux désignant une Jeune femme noire à la mode, dont l’apparence est jugée comme relevant d’une volonté exagérée de séduire ; * pougaou, nom vernaculaire de l'anguille d'eau douce, dans le sud de la France ; * renouée-bambou, plante du genre des renouées, rudérale, à tige creuse, coriace, à port dressé, subspontanée en Europe. ====== Biotiques haplogeste ====== * un farou, mammifère&nbsp;; ====== Références ====== jcmc34u0k7ivonn4q9qsx1r1v21oo60 104 84652 984295 945654 2026-07-07T07:04:49Z Psychoslave 2753 984295 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré, cette alternance concerne notamment ''Aïnoue et Aïnou, bidoue''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Suite d'un départ|url=https://forum-rats.1fr1.net/t95657-suite-d-un-depart|site=forum-rats.1fr1.net|consulté le=2026-07-07}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=bonjour il y des mamans de ..... - Mamans et futures mamans de Belgique - FORUM Grossesse &amp; bébé|url=https://forum.doctissimo.fr/grossesse-bebe/mamans-belgique/bonjour-mamans-sujet_25213_1.htm|consulté le=2026-07-07}}</ref> ''et bidou, Hindoue et Hindou, Mandchoue et Mandchou, ripoue et ripou, Télougoue et Télougou''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Vue le sens des termes, il suffira pour l'isonèphe de retenir ''-ouäne'' pour les éthnies, et ''-ouïste'' pour les personnes pratiquant une activité ou un culte. Pour les genres ostentatoires, il suffit de s’insipirer des propositions déjà faites par ailleurs pour ''-ane'' et ''-iste'', en retenant simplement ''-úne'' et et ''-úste'' plutôt que ''-ouûne'' et ''-ouûste''. À noter qu’une bachoue ou un bachou ou encore un bachon, pour lequel les variantes sont interchangeables et servent toutes comme désignatif objectuel. ====== Références ====== <references /> awesq6b4kl44plgz9ip4ygzbu8olw14 104 84659 984310 948232 2026-07-07T11:32:58Z Psychoslave 2753 984310 wikitext text/x-wiki Comme indiqué dans la section dédiée aux termes épiècens en -oute, le suffixe ''-ou'' est majoritairement employé pour former des diminutifs unigenres. C’est donc sans étonnement que la plupart d’entre eux se retrouvent généralement documenté dans les dictionnaires comme strictement équivoques, y compris ''canaillou, coquinou, glandouillou, lapinou, mamaillou, minou, pichou''. Cependant pour ces termes des alternances en -oute sont parfois de fait employés : ''canailloute<ref>{{Lien web|titre=Vêtements pour fille en taille 1 mois - jusqu'à 90% de remise (2) - La Malle Aux Canailles|url=https://lamalleauxcanailles.fr/37-bebe-fille-taille-1-mois?p=2|site=lamalleauxcanailles.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref>, coquinoute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les surnoms les plus originaux de nos bout’choux !|url=https://www.magicmaman.com/,les-surnoms-les-plus-originaux-de-nos-bout-choux,2094,1223942.asp|site=Magicmaman.com|consulté le=2023-04-22}}</ref>, glandouilloute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=10 novembre - Crëvecoeur - Page 2|url=https://white.forumactif.org/t261p25-10-novembre-crvecoeur|site=white.forumactif.org|consulté le=2023-04-23}}</ref>, lapinoute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=baton de réglisse pour qu'il se fasse les dents|url=https://forum.doctissimo.fr/animaux/hamsters-lapins/baton-reglisse-fasse-sujet_8805_1.htm|site=forum.doctissimo.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Lien web|titre=les males angoras de mon élevage|url=http://lapinsangorasrhonalpins.wifeo.com/males.php|site=lapinsangorasrhonalpins.wifeo.com|consulté le=2023-04-23}}</ref>, mamailloute<ref>{{Lien web|titre=[Forum] Paramètres POST récupérés en UNICODE mais ça dépend des fois ? - EDI, CMS, Outils, Scripts et API PHP|url=https://www.developpez.net/forums/d1608593/php/edi-cms-outils-scripts-api/forum-parametres-post-recuperes-unicode-ca-depend/|site=www.developpez.net|consulté le=2023-04-23}}</ref>, minoute<ref>{{Ouvrage|prénom1=1897-|nom1=Internet Archive|titre=Les aventures de Télémaque|éditeur=Paris] : Gallimard|date=1966|lire en ligne=http://archive.org/details/lesaventuresdete0000arag|consulté le=2023-04-23}}</ref>, pichoute''<ref>{{Lien web|titre=Origine du substantif "chioune" (Page 1) – Pratiques argotiques et familières – forum abclf|url=https://www.languefrancaise.net/forum/viewtopic.php?id=7974|site=www.languefrancaise.net|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Ivan|nom1=Robarts - University of Toronto|titre="Enfant", "Garçon", "Fille" dans les langues romanes, étudiés particulièrement dans les dialectes Gallo-Romans et Italiens, essai de lexicologie comparée|éditeur=Lund, Lindstedt|date=1919|lire en ligne=http://archive.org/details/enfantgaronfil00pauluoft|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Pierre|nom1=Internet Archive|titre=Dictionnaire des expressions quebecoises|éditeur=[Montreal] : Bibliotheque quebecoise|date=2009|isbn=978-2-89406-299-9|lire en ligne=http://archive.org/details/dictionnairedese0000desr|consulté le=2023-04-23}}</ref>. En revanche les dictionnaires documentent généralement ''chouchoute, choute, filoute, louloute'' et son aphérèse ''loute,'' ainsi que ''voyoute'', en alterance de chouchou, chou, filou, loulou, voyou<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=chouchou - Définitions, synonymes, conjugaison, exemples {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/definition/chouchou|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Larousse|prénom1=Éditions|titre=Définitions : chou - Dictionnaire de français Larousse|url=https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/chou/15723|site=www.larousse.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=loulou - Définitions, synonymes, conjugaison, exemples {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/definition/loulou|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=loute|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-18|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=loute&oldid=31189822|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=voyoute|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-04-02|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=voyoute&oldid=31999589|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|titre=FILOU : Définition de FILOU|url=https://www.cnrtl.fr/definition/filou|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref>. Le -t- épenthétique est courant en français, même en dehors des alternances suffixales de genre, comme en atteste le cas de filouter, construit sur le même modèle que clou, clouter et froufrou, froufrouter<ref>{{Lien web|titre=FILOUTER : Étymologie de FILOUTER|url=https://www.cnrtl.fr/etymologie/filouter|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref>. ====== Références ====== 0svpu7rrezvpcicizxf8ak3v27ww597 984311 984310 2026-07-07T11:33:54Z Psychoslave 2753 984311 wikitext text/x-wiki ====== Réflexions paradigmatiques ====== Comme indiqué dans la section dédiée aux termes épicènes en ''-oute'', le suffixe ''-ou'' est majoritairement employé pour former des diminutifs unigenres. C’est donc sans étonnement que la plupart d’entre eux se retrouvent généralement documenté dans les dictionnaires comme strictement équivoques, y compris ''canaillou, coquinou, glandouillou, lapinou, mamaillou, minou, pichou''. Cependant pour ces termes des alternances en -oute sont parfois de fait employés : ''canailloute<ref>{{Lien web|titre=Vêtements pour fille en taille 1 mois - jusqu'à 90% de remise (2) - La Malle Aux Canailles|url=https://lamalleauxcanailles.fr/37-bebe-fille-taille-1-mois?p=2|site=lamalleauxcanailles.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref>, coquinoute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les surnoms les plus originaux de nos bout’choux !|url=https://www.magicmaman.com/,les-surnoms-les-plus-originaux-de-nos-bout-choux,2094,1223942.asp|site=Magicmaman.com|consulté le=2023-04-22}}</ref>, glandouilloute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=10 novembre - Crëvecoeur - Page 2|url=https://white.forumactif.org/t261p25-10-novembre-crvecoeur|site=white.forumactif.org|consulté le=2023-04-23}}</ref>, lapinoute<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=baton de réglisse pour qu'il se fasse les dents|url=https://forum.doctissimo.fr/animaux/hamsters-lapins/baton-reglisse-fasse-sujet_8805_1.htm|site=forum.doctissimo.fr|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Lien web|titre=les males angoras de mon élevage|url=http://lapinsangorasrhonalpins.wifeo.com/males.php|site=lapinsangorasrhonalpins.wifeo.com|consulté le=2023-04-23}}</ref>, mamailloute<ref>{{Lien web|titre=[Forum] Paramètres POST récupérés en UNICODE mais ça dépend des fois ? - EDI, CMS, Outils, Scripts et API PHP|url=https://www.developpez.net/forums/d1608593/php/edi-cms-outils-scripts-api/forum-parametres-post-recuperes-unicode-ca-depend/|site=www.developpez.net|consulté le=2023-04-23}}</ref>, minoute<ref>{{Ouvrage|prénom1=1897-|nom1=Internet Archive|titre=Les aventures de Télémaque|éditeur=Paris] : Gallimard|date=1966|lire en ligne=http://archive.org/details/lesaventuresdete0000arag|consulté le=2023-04-23}}</ref>, pichoute''<ref>{{Lien web|titre=Origine du substantif "chioune" (Page 1) – Pratiques argotiques et familières – forum abclf|url=https://www.languefrancaise.net/forum/viewtopic.php?id=7974|site=www.languefrancaise.net|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Ivan|nom1=Robarts - University of Toronto|titre="Enfant", "Garçon", "Fille" dans les langues romanes, étudiés particulièrement dans les dialectes Gallo-Romans et Italiens, essai de lexicologie comparée|éditeur=Lund, Lindstedt|date=1919|lire en ligne=http://archive.org/details/enfantgaronfil00pauluoft|consulté le=2023-04-23}}</ref><ref>{{Ouvrage|prénom1=Pierre|nom1=Internet Archive|titre=Dictionnaire des expressions quebecoises|éditeur=[Montreal] : Bibliotheque quebecoise|date=2009|isbn=978-2-89406-299-9|lire en ligne=http://archive.org/details/dictionnairedese0000desr|consulté le=2023-04-23}}</ref>. En revanche les dictionnaires documentent généralement ''chouchoute, choute, filoute, louloute'' et son aphérèse ''loute,'' ainsi que ''voyoute'', en alterance de chouchou, chou, filou, loulou, voyou<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=chouchou - Définitions, synonymes, conjugaison, exemples {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/definition/chouchou|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Larousse|prénom1=Éditions|titre=Définitions : chou - Dictionnaire de français Larousse|url=https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/chou/15723|site=www.larousse.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=loulou - Définitions, synonymes, conjugaison, exemples {{!}} Dico en ligne Le Robert|url=https://dictionnaire.lerobert.com/definition/loulou|site=dictionnaire.lerobert.com|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=loute|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2022-12-18|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=loute&oldid=31189822|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=voyoute|titre ouvrage=Wiktionnaire|date=2023-04-02|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/w/index.php?title=voyoute&oldid=31999589|consulté le=2023-04-24}}</ref><ref>{{Lien web|titre=FILOU : Définition de FILOU|url=https://www.cnrtl.fr/definition/filou|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref>. Le -t- épenthétique est courant en français, même en dehors des alternances suffixales de genre, comme en atteste le cas de filouter, construit sur le même modèle que clou, clouter et froufrou, froufrouter<ref>{{Lien web|titre=FILOUTER : Étymologie de FILOUTER|url=https://www.cnrtl.fr/etymologie/filouter|site=www.cnrtl.fr|consulté le=2023-04-24}}</ref>. ====== Références ====== opf9wfxpohehzseqzr2rkyto6tvsklk 104 85046 984285 950982 2026-07-07T06:00:31Z Psychoslave 2753 984285 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré l'épicénie concerne ''jeune'' et son dérivé ''djeune''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Le terme jeune vient du moyen et de l’ancien français où il prend les formes ''juefne, juene, joene'', issus du latin populaire supposé rendu en ''jovene'' comme altération du latin ''juvenis'' ou ''iuvenis'' de même sens''<ref>{{Chapitre-B|langue=en|titre chapitre=iuvenis|titre ouvrage=Wiktionary, the free dictionary|date=2025-01-02|lire en ligne=https://en.wiktionary.org/wiki/iuvenis#Descendants|consulté le=2025-01-08}}</ref>'', à comparer à ''jouvence''. D'où une série ostentatoire en ''jouvẽne, jouvìne, jouvāne, jouvǫne, jouvúne,'' ou pour maintenir un forme monosyllabique ''juẽnve, juìņve, jouāņve, jǫņve, júņve''. ====== Défectivité ====== ''Une méqueune'', personne gynotypée employée aux travaux d’une ferme. ===== Notes ===== <references group="N" /> ====== Références ====== <references /> 91o0gi7j8b1ux74cjmsecd5tqco1xuv 4 86052 984277 984220 2026-07-06T13:57:08Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-28 */ nouvelle section 984277 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|07}}{{Clr}}</noinclude> == Un RAW bien frais pour juillet == {| style="width:100%;" | valign="top" align="center" style="border:1px gray solid; padding:1em;" | {| align="center" |- | style="text-align: center;" | <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:4.5em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em;text-align:center; color: #fff; font-style:italic;">Regards sur l’actualité du mouvement Wikimédia.</div> <div style="text-align: center;">{{#ifeq:{{FULLPAGENAME}}|Wikipédia:RAW/Rédaction}}</div> </div><br /> <hr /> <div style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|<span style="color:darkslategray;">Le numéro de juillet 2026 est sorti.</span>]]</div> <hr /><br /> |- style="text-align: center;" | <span style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman;"> '''❖ Au menu de ce numéro ❖'''</span> |- style="font-size:10pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <div style="text-align:center; column-count:1; column-width:28em; vertical-align:top;"> '''L'Édito'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Édito|Fêtons notre mouvement !]] '''Échos francophones'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Résidence|Un nouveau vigneron dans la résidence]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Logo_WP25|Wikipédia en français aux couleurs des 25 ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#DAF|Wikipédia dans le ''Dictionnaire de l'Académie française'']]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Millésime_Wiktionnaire|Quelles sont les nouvelles entrées en français sur le Wiktionnaire ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ADS|Relance de l'Article de la semaine]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#sans_pagEs|Le projet des sans pagEs fête ses dix ans]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#contributions_rémunérées|Faut-il faire évoluer les règles sur les contributions rémunérées ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#wikification|Le mois de la wikification fait son retour pour une septième édition]] '''Ailleurs dans le mouvement'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Txikipedia|Txikipedia franchit le cap des 10 000 articles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Concours_santé_2026|Un concours sur la santé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Commons_et_IA|Commons se penche sur l'IA]] '''Nouveautés techniques et outils'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#VIZWP|VIZWP : un outil pour visualiser les lacunes dans les sujets climatiques sur Wikipédia, mais pas que…]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#AI_Source_Verification|Examiner la vérifiabilité grâce à l'IA ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Icônes|Les icônes de l'interface ont changé]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Sous-références|Ça y est, les sous-références sont là]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#ConvoCompass|ConvoCompass, pour moins d'attaques personnelles]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LSV-Tools|LSV-Tools : faciliter la gestion des anecdotes « Le saviez-vous ? »]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#LegendAndDot|Semi-automatiser l'ajout de ponctuation dans les légendes d'images]] '''Du côté de la recherche'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#COMSAV|COMSAV : la contribution à Wikipédia fait-elle d'un ensemble d'individus un ensemble de pairs ?]]</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#JourneyMap|Où commence la contribution et où s'arrête-t-elle ?]] '''Le POV'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Le_POV|Guide survie pour la Wikimania 2026]] par Trizek '''L'Atelier'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Atelier|Le point sur la diversité de genre dans les articles]] par PAC2 '''L'Analyse'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'Analyse|Larry Sanger is back... and fired!]] par Madelgarius, Trizek et Jules* '''L'interview'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#L'interview|Pronoia : de Byzance aux réseaux sociaux, un œil sur Wikipédia et le monde]] par Antimuonium '''Le wik’hit-parade'''</br> [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05#Wikit|Articles les plus vus en juin 2026]] par Ælfgar </div> |- | style="font-family:Times New Roman; text-align:center; font-size:90%;" | [[w:fr:Wikipédia:RAW/2026-07-05|Lire tout le numéro]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding:0.5em; font-family:Times New Roman;text-align:center; font-size:100%;" | Venez rédiger le prochain numéro, y parler de ce qui se fait dans votre communauté : [[w:fr:Discussion_Wikipédia:RAW/Rédaction|Salle de rédaction]].</br>Les anciens numéros sont retrouvables [[w:fr:Modèle:Palette RAW|ici]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[w:fr:Wikipédia:RAW/Inscription|Abonnez-vous !]] [[Utilisateur:L&#39;embellie|L&#39;embellie]] ([[Discussion utilisateur:L&#39;embellie|discuter]]) 4 juillet 2026 à 23:57 (UTC)</div> == Actualités techniques n° 2026-28 == <section begin="technews-2026-W28"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:34|la tâche soumise|les {{formatnum:34}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:34||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, les résultats de la barre de recherche sur Wikidata étaient en anglais au lieu d’utiliser la bonne langue de repli pour les utilisateurs de variantes de langues. Ce problème a maintenant été corrigé : les suggestions de recherche suivront désormais correctement la chaîne des langues de repli. [https://phabricator.wikimedia.org/T429769] '''Actualités pour la contribution technique''' * En préparation de la [[m:Special:MyLanguage/Event:Celebrate Women|campagne Célébrons les femmes]] prévues pour mars 2027, l’[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Advancement/Community Growth/Content Enablement|équipe Activation du contenu]] de Wikimedia Foundation a lancé un sondage composé de 22 questions pour mieux comprendre les contributions techniques des personnes s’identifiant comme femmes sur les projets Wikimedia. Répondre au sondage prend environ 15 à 20 minutes ; il restera ouvert jusqu’au 20 juillet 2026. Les [[m:Special:MyLanguage/Celebrate Women/Technical contributions survey|questions]] sont aussi sur wiki pour les regarder auparavant. * L’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|extension Partitions]] prend désormais en charge le rendu de partition musicales comme images SVG, en plus du format PNG. Cela répond à [[:phab:T49578|une vieille demande]] et résout des problèmes anciens de qualité de l’image. Les deux formats sont désormais fournis aux clients web : PNG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>src</nowiki></code></bdi> et SVG dans l’attribut <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>srcset</nowiki></code></bdi>. * Le nouvel analyseur syntaxique [[wikitech:Parsoid|Parsoid]] continue [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser_Unification/Updates|d’être déployé sur d’autres wikis]], ce qui rend plus facile l’introduction de nouvelles fonctionnalités de lecture et de modification. Il a été activé sur Wikipédia en français, amenant la couverture totale à 78,9 % des pages vues de Wikipédia. Le déploiement sur Wikipédia en anglais sur ordinateur va progresser cette semaine. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.10|MediaWiki]] '''En détails''' * La [[diffblog:2026/06/29/wikimedia-hackathon-2026-building-collaborating-and-shaping-the-future-together/|publication sur le blog récapitulant]] le Hackathon Wikimedia 2026 est désormais en ligne. Il met en avant les projets, séances et activités sociales de l’évènement de cette année et présente les premières grandes lignes du Hackathon Wikimedia 2027. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W28"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 6 juillet 2026 à 13:57 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30773578 --> 9sl5bqea5sygqd0iukjm1ikyf0im7sg 0 87142 984303 983923 2026-07-07T10:25:07Z GE26 80561 /* Aperçu du programme */ 984303 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation pour le Laboratoire Interdisciplinaire Sciences Innovations Sociétés (LISIS - UMR UGE, CNRS, INRAE) et amis. La formation aura lieu sur une journée et demie : le 8 juillet matin (9h30→12h30) et après midi (14h→17h), avec une pause déjeuner de 12h30 à 14h ; puis le 9 juillet matin ou après midi, à convenance. Local: LISIS, salle Seine, 1er étage du bâtiment Camus à côté du RER A Noisy-Champs. '''Inscriptions:''' Le lien pour les inscriptions circule par mail. === Aperçu du programme === * '''8 juillet matin :''' ** Introduction ** Cour « analyses socio-sémantiques » ** Introduction à l'outil Cortext Manager * '''8 juillet après-midi :''' ** Présentation détaillée d'un cas d'usage : l'analyse d'un corpus sur l'adaptation au changement climatique * '''9 juillet matin ou après midi, à convenance :''' ** Mise en pratique autour de vos questions et-ou données accompagnée par l'équipe de la plateforme Cortext == 8 juillet — Matin (9h30→12h30) == === Partie I : Introduction à la plateforme Cortext === Nous nous permettons une brève introduction pour présenter la mission, l'historique, le fonctionnement et les opportunités de collaboration avec la plateforme ! === Partie II : Cours « analyses socio-sémantiques » === Nous aimons beaucoup mettre les mains dans le cambouis, mais si nous voulons bricoler quelque chose qui fonctionne il vaut mieux connaître les principes du moteur ­— qu'il soit à combustion ou électrique — avant de s'y mettre. ''Ci-dessous le programme détaillé du cours.'' ==== Dimensions d'analyse ==== Construire une question dans son rapport avec les réponses qui permettent les données, qu'elles soient disponibles ou à produire, passe par la considération des partenaires avec lesquels nous allons au bal. * Sociale, sémantique, temporelle, territoriale, d'échelle… ==== Statistiques descriptives ==== Compter, compter, compter. * Volumétriques, comparatives, longitudinales (''Demography'', ''Epic-epoch'') ==== Matrice et graphiques ==== Les matrices, ces réseaux timides. * Statistiques de co-occurrence * Déviations (''Contingency matrix'') ou contrastes (''Profiling'') ==== Réseau ==== Les réseaux sont partout dans le social comme dans l'épistémique. * Réseaux homogène et hétérogène (co-word analysis × social network analysis) * Cooccurrence (''Network mapping'') ou ocurrence ([''Domain''-]''topic modeling'') * Construction des liens de cooccurrence (chi-2, syntagmatique-direct/paradigmatique-indirect etc) * Détection de communautés (''Network mapping'', [''Domain-'']''topic modeling'') * Réseaux de communautés (''Domain-topic modeling'') ==== Entités ==== Nous aurions pu les appeler « acteurs ». * Para-textuelles, métadonnées * Extraites du texte ** Traitement du langage naturel (TAL) ** Spécificité des mots (mesures chi-2, pigeonhole ; par modélisation [domaine-]thématique) ** Reconnaissance d'entités nommées * Nature des entités ** Thématique : mots-clés, catégories, phrases nominales ** Organisationnelles : institutions, auteurs ** Temporelles (''Epic epoch'', ''Demography'', ''Network mapping'', ''sashimi'') ** Toponymiques : adresses, noms de lieux (Geocoding) ** Autres (verbes, adjectifs) ==== Données ==== Et oui, on ne peut rien faire sans. * Sources ** Bibliographique (métadonnées) ** Archives de documents (texte intégral) ** Presse et médias ** Entretiens et sondages ** Traces d'interactions, jeux * Possibilités ** Par rapport aux entités et relations disponibles ** Croisements de différentes sources * Lecture contextualisé et retour au texte ** ''Corpus explorer'', ''Concordancer'', ''Domain-topic map'' * Enrichissement assisté ** Édition d'un dictionnaire (''Terms/List Indexer)'' ** Annotation avec tableur-classeur interactif (''Domain-topic model'') ** Annotation avec d'autres [[wikipedia:Computer-assisted_qualitative_data_analysis_software|CAQDAS]] === Partie III : Introduction à l'outil Cortext Manager === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' Prise en main de l'outil avec un projet vide, téléversement de données et lancement d'une chaîne d'analyse simple. == 8 juillet — Après-midi (14h→17h) == === Cas d'usage : Adaptation au changement climatique === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager|L'analyse quantitative de la production scientifique sur l'adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024 avec Cortext Manager]]'' Nous présenterons le cas d'une analyse assez complète employant les idées discutées dans le cours et l'outil Cortext Manager. ==== Données utilisées ==== * Web of Science, format WOS-RIS (“ISI”) ==== Analyses présentées et discussion des résultats ==== * Préparation du corpus # Téléversement du jeu de données # Importation des données (format WOS “ISI”) * Exploration du corpus # ''Corpus explorer'': observer les données # ''Demography'': Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs # ''Epic Epoch'': Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps * Analyses sémantiques # ''Terms extraction:'' Extraction des groupes nominaux les plus pertinents des titres et résumés # ''Corpus Term Indexer:'' Indexation des titres, résumés et mots-clés par la liste des groupes nominaux extraits ajustée # ''Epic Epoch'': Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps # ''Network Mapping'': Paysage sémantique du corpus - réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits # ''Epic Epoch'': Evolution du nombre de documents projetés dans chaque cluster sémantique entre 2001 et 2024 * ''Concordancer, e.g. pour chercher des phrases ou cooccurrences mises en évidence par Network Mapping'' * Analyses hétérogènes # ''Network mapping'': Heatmap du réseau sémantique - spécialisation des continents (affiliations des auteurs) # ''Contingency matrix'': Sur/Sous-représentation des continents (affiliations d'auteurs) par clusters sémantiques * Analyses géographiques # ''Geocoding:'' Attribuer des coordonnées géographiques aux adresses des affiliations des auteurs # ''Geospatial exploration'': Identification des lieux de recherche - projection des adresses des affiliations dans les zones rurales/urbaines # ''Geospatial networks'': Réseaux de collaborations entre principales zones rurales/urbaines * ''Domain-topic modeling'' puis enchaînement sur les années ou élément organisationnel ou territorial === Atelier pratique === Si le temps le permet, les participants travaillent en paires. Chaque paire crée un nouveau projet et suit le tutoriel pour reproduire en tout ou en partie le cas d'usage présenté. == 9 juillet — Matin ou après midi, à convenance == === Mise en pratique === Accompagner le travail des participants sur leurs questions ou données. A défaut, les participants pourront retravailler le cas d'usage présenté la veille. ==== Conclusion et retour des participants ==== Nous discuterons ensemble l’avancement et les difficultés rencontrés pour faciliter des futurs échanges entre les participants et pour un meilleur suivi de la part de la plateforme après la formation. 1u40gyyzn3mn3pib6h9yip9l2ba9wub 0 87184 984278 984001 2026-07-06T14:24:26Z GE26 80561 /* 0.1. Requête de recherche */ 984278 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == ==== 0.1. Requête de recherche ==== La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight>Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.<!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --><!-- Si avec le tag DT. On avait fait la requête de manière itérative. L'avantage de laisser comme cela c'est qu'on peut montrer la diversité des documents accessibbles dans le WOS --> ==== 0.2. Téléchargement des données ==== L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' ==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ==== Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. ==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ==== [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ==== [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. ==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ==== * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. ==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ==== Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' ==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ==== Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'' = <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> ==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ==== [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> ==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ==== Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> ==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ==== Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). ==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ==== La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> ==== 3.2. Heatmaps par continent ==== Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> ==== 3.3. Contingency matrix ==== Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. ==== 4.1. Geocoding des adresses des affiliations ==== Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'' = <code>Address</code> ** ''Top scale filter'' = <code>County</code> ** ''Geocoding methods'' = <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'' = <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'' = <code>0.4</code> ==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ==== Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'' = <code>5</code> ** ''Two-pass URA'' = <code>yes</code> ** ''Initial view map'' = <code>Urban and rural areas</code> ikq9tampe0qe0s4jl6546vz489jlxas 984300 984278 2026-07-07T09:14:00Z Solstag 13856 /* 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés */ = → : 984300 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == ==== 0.1. Requête de recherche ==== La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight>Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.<!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --><!-- Si avec le tag DT. On avait fait la requête de manière itérative. L'avantage de laisser comme cela c'est qu'on peut montrer la diversité des documents accessibbles dans le WOS --> ==== 0.2. Téléchargement des données ==== L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' ==== 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager ==== Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. ==== 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs ==== [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps ==== [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. ==== 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés ==== * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. ==== 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits ==== Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' ==== 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés ==== Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'': <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> ==== 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps ==== [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> ==== 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits ==== Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> ==== 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 ==== Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). ==== 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. ==== La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> ==== 3.2. Heatmaps par continent ==== Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> ==== 3.3. Contingency matrix ==== Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. ==== 4.1. Geocoding des adresses des affiliations ==== Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'': <code>Address</code> ** ''Top scale filter'': <code>County</code> ** ''Geocoding methods'': <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'': <code>0.4</code> ==== 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines ==== Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'': <code>5</code> ** ''Two-pass URA'': <code>yes</code> ** ''Initial view map'': <code>Urban and rural areas</code> aqipb6slk9i25uv1k1mcfr7jkt4t7bc 984301 984300 2026-07-07T09:31:55Z Solstag 13856 /* 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs */ niveau des titres, exemple de questions pour lecture 984301 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == === 0.1. Requête de recherche === La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight>Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.<!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --><!-- Si avec le tag DT. On avait fait la requête de manière itérative. L'avantage de laisser comme cela c'est qu'on peut montrer la diversité des documents accessibbles dans le WOS --> === 0.2. Téléchargement des données === L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' === 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. === 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs === [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== Lecture ==== * Qu'est-ce qu'on peut dire des volumes du corpus ? * Quel est le pays le plus présent? * Comment évolue la participation des différents pays ? === 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps === [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. === 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés === L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> === 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits === Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' === 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'': <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> === 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps === [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> === 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits === Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> === 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 === Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). === 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. === La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> === 3.2. Heatmaps par continent === Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> === 3.3. Contingency matrix === Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. === 4.1. Geocoding des adresses des affiliations === Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'': <code>Address</code> ** ''Top scale filter'': <code>County</code> ** ''Geocoding methods'': <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'': <code>0.4</code> === 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines === Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'': <code>5</code> ** ''Two-pass URA'': <code>yes</code> ** ''Initial view map'': <code>Urban and rural areas</code> hhf0dzupr586g6pf3vn208lhxei4c27 984302 984301 2026-07-07T09:32:41Z Solstag 13856 /* 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs */ 984302 wikitext text/x-wiki == Objectif == Ce tutoriel a pour vocation à guider à l’utilisation de certains scripts de Cortext manager. Ces scripts permettent de découvrir l’évolution, l’organisation et les thématiques abordées dans la littérature scientifique sur l’adaptation au changement climatique entre 2001 et 2024, à partir d’un jeu de données constitué dans le Web of Science. Il décrit les étapes et les paramètres utilisés pour aboutir aux visualisations présentées dans cette page. == Présentation du sujet == Les répercussions du changement climatique sur nos modes de vie et d'organisation constituent un défi majeur du XXIe siècle. Les mesures d'atténuation/mitigation et d'adaptation sont deux axes clés de la recherche et de la réflexion dans l'élaboration des politiques publiques. Les aspects « atténuation » ont été très étudiés (ils regroupent toutes les actions visant à atténuer l'ampleur du réchauffement mondial d'origine humaine par la réduction des émissions de gaz à effet de serre ou la capture et séquestration du dioxyde de carbone de l'atmosphère). Les aspects « adaptation » (qui consistent à limiter les répercussions attendues du changement climatique sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux naturels et les écosystèmes) ont été moins explorés. == 0. Collecte du jeu de données dans le Web of Science == === 0.1. Requête de recherche === La littérature scientifique a été collectée sur le Web of Science avec la requête ci-dessous. Utiliser le module « Advanced Search - Query Builder » du WOS pour lancer la requête.<syntaxhighlight lang="text"> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) NOT PY=2025 </syntaxhighlight>Un filtre supplémentaire a été appliqué pour ne retenir que les documents de type : Article, Proceeding paper, Book chapter et Data paper.<!-- Ce filtre supplémentaire ne peut pas intégrer la requête ? --><!-- Si avec le tag DT. On avait fait la requête de manière itérative. L'avantage de laisser comme cela c'est qu'on peut montrer la diversité des documents accessibbles dans le WOS --> === 0.2. Téléchargement des données === L’ensemble des données est à télécharger au format « Plain text » avec l’option « Full Record and Cited References ». Zipper l’ensemble des fichiers <code>.txt</code> téléchargés pour pouvoir les importer dans un projet Cortext manager. ''Jeu de données de la formation : wos-cca-2001-2024.zip'' === 0.3. Téléchargement du jeu de données et transformation en base de données Cortext manager === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: ** <code>wos-cca-2001-2024.zip</code> * <u>Data parsing</u>: ** ''Type of data'': <code>dataset</code> ** ''Corpus format'': <code>ISI</code> == 1. Exploration du corpus == Objectif : Observer l'évolution du corpus dans le temps selon différentes variables. === 1.1. Evolution du nombre de documents entre 2001 et 2024 par pays d'affiliation des auteurs === [[Fichier:01 01-evolution-pays Cortext tutorial ACC.jpg|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Demography</u>: ** ''Which variable'': <code>Countries</code> ** ''Is the variable categorical or numerical?'': <code>categorial</code> ** ''Number of top entities to consider'': <code>30</code> ** ''Include the cumulated count of all the remaining less frequent entities'': <code>yes</code> ==== Discussion ==== * Qu'est-ce qu'on peut dire des volumes du corpus ? * Quel est le pays le plus présent? * Comment évolue la participation des différents pays ? === 1.2. Evolution du top 20 des institutions (affiliations des auteurs) sur 3 périodes de temps === [[Fichier:01 02-top20-evolution-ror-institutions Cortext tutorial ACC.png|centré|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epich Epoch</u>: ** ''Field'': <code>Author_Affiliations_Enhanced_WOS</code> ** ''Size of hierarchy'': <code>20</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of slice'': <code>3</code> *** ''Time slide distribution'': <code>regular</code> == 2. Analyses sémantiques == Objectif : Identifier les thématiques de recherche sous-jacentes dans le corpus. === 2.1. Extraire les groupes nominaux formés au plus de 3 mots les plus pertinents des titres et des résumés === L’extraction lexicale est effectuée en scindant le corpus en 3 périodes homogènes en termes de nombre d'années, c’est-à-dire que l’extraction de groupes nominaux a été effectuée sur les 3 périodes en les isolant l’une de l’autre. Ce choix a été effectué dans l’objectif de pouvoir mieux capter d’éventuelles évolutions du vocabulaire. * <u>Term Extraction:</u> ** ''Textual Fields'': <code>Abstract</code>, <code>Title</code> ** ''List length'': <code>500</code> ** ''Lexical extraction advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Sampling'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>3</code> *** ''Time slice distribution'': <code>regular</code> === 2.2. Télécharger et affiner la liste des groupes nominaux extraits === Il s’agit de travailler la liste de groupes nominaux extraits pour améliorer la précision des analyses. Les groupes nominaux trop génériques ou correspondant à la requête (ex : « research design» ; « climate change ») et ceux correspondant à des traitements de données (ex : « focus groupe ») et à des lieux géographiques ont été exclus pour pouvoir se focaliser sur les groupes nominaux les plus pertinents d'un point de vue sémantique. Les groupes nominaux équivalents ou ayant un sens proche ont été regroupés (ex : « sea-level rise » et « sea level rise »). * Télécharger la liste <code>.tsv</code> présente dans l'entrée du script Term Extraction, l'ouvrir avec Google Sheet ou Libre Office ou Calc Liber Office pour la retravailler. ''Ressource utilisée pour la formation : 02-list-terms-cleaned.tsv'' === 2.3. Ré-indexer le corpus avec la liste des groupes nominaux retravaillés === Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> * <u>Corpus Term Indexer</u>: ** ''Textual fields'': <code>Abstract</code>, <code>Keywords</code>, <code>Title</code> ** ''Terms List'': <code>02-list-terms-cleaned.tsv</code> ** ''Optionnaly you can name the new indexation that will be generated'': <code>500termsclean3period</code> === 2.4. Evolution du top 10 des groupes nominaux extraits par 6 périodes de temps === [[Fichier:02 01-evolution-top10terms-6periods Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Epic Epoch</u>: ** ''Field'': <code>ISIterms500termsclean3period</code> ** ''Size of the Hierarchy'': <code>10</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>yes</code> ** ''Dynamics'': *** ''Number of time slice'': <code>6</code> *** ''Time slices distribution'': <code>regular</code> === 2.5. Réseau de co-occurrence des principaux groupes nominaux extraits === Le réseau de co-occurrence des groupes nominaux est réalisé avec la mesure "''Distributional"''. Cette mesure est très performante pour extraire les structures sous-jacentes du corpus. Le calcul de la similarité entre les nœuds repose sur la comparaison de l'ensemble de leur profil de cooccurrence avec les autres groupes nominaux identifiés. Le réseau permet ainsi d’observer ceux qui ont des environnements similaires, jouant des fonctions similaires dans les textes, pour en dégager les principaux espaces sémantiques. [[Fichier:02 02-semantic-landscape Cortext tutorial ACC.png|900x900px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Network mapping</u>: ** ''First Field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Second field'': <code>500termsclean3period</code> ** ''Number of nodes'': <code>250</code> ** ''Nodes advanced settings'': <code>yes</code> *** ''Node weight'': <code>frequency</code> ** ''Edges:'' *** ''Edges filtering advances setting'': <code>yes</code> *** ''Number of top neighbours to consider'': <code>8</code> ** ''Network analysis and layout'' *** ''Community detection algorithm'': <code>Louvain resolution</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>500termsclean3period</code> === 2.6. Evolution de l'importance des thématiques de recherche entre 2001 et 2024 === Observer l’évolution du nombre de documents projetés dans les clusters sémantiques au cours du temps. [[Fichier:02 03-evol-semantic-clusters-2001-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|700x700px]] [[Fichier:02 04-evol-semantic-clusters-zoom-2009-2024 Cortext tutorial ACC.png|centré|650x650px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager * <u>Epic Epoch:</u> ** ''Field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Size of the hierarchy'': <code>9</code> ** ''Normalization of frequency count'': <code>no</code> ** ''Dynamics:'' *** ''Number of time slice'': <code>24</code> == 3. Analyses hétérogènes == Objectif : Observer les spécialisations thématiques des continents (affiliations des auteurs). === 3.1. Indexer les pays (affiliations) pour y associer dans la base de données Cortext leur continent. === La liste des pays présents dans le corpus peut être obtenue par le script ''"List builder"''. Une ressource a ensuite été créée listant les pays du corpus et leur continent correspondant - en utilisant des dictionnaires externes en libre accès. ''Ressource utilisée pour la formation : 03-list-affiliation-continent.tsv'' Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Upload file</u>: <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> * <u>Corpus List Indexer</u>: ** ''Field'': Countries ** ''Define a custom list of entities'': <code>yes</code> *** ''List of entities to consider'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''Add a dictionary of equivalent strings'': <code>yes</code> *** ''Enter a filename with dictionaries of equivalent forms'': <code>03-list-affiliation-continent.tsv</code> ** ''List indexation advanced settings'': <code>yes</code> *** ''New indexation name (optional)'': <code>affiliation_continent</code> === 3.2. Heatmaps par continent === Les sous-corpus de documents qui contiennent au moins une affiliation d’un auteur provenant du continent ciblé sont projetés sur le réseau sémantique pour comparaison. Ces cartes permettent d’évaluer la localisation des documents présentant la variable d’intérêt au sein du réseau sémantique (dispersés ou concentrés) et mettent en évidence les groupes nominaux du réseau sur/sous-représentés dans les documents des différents continents. [[Fichier:03 01-Heatmaps-per-continent-on-cca-Scientific literature on climate change adaptation.png|centré|800x800px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : Reprendre l’entrée Network mapping du réseau sémantique (2.5) dans le dashboard du projet. * <u>Network mapping</u> (via <u>Relaunch script)</u>: ** ''Network analysis and layout'': *** ''Add information from a 3rd variable to tag clusters or produce a heatmap'': <code>yes</code> *** ''Choose the new field that should be used'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> *** ''Tagging/heatmap Specificity Measure'': <code>chi2_dir</code> *** Heatmap: <code>yes</code> *** ''Value of the field you wish to plot the heatmap of'': <code>#exhaustive</code> *** ''Modify the name of the projected cluster'': <code>heatmaps</code> === 3.3. Contingency matrix === Les tests de Chi2 et exacts de Fisher permettent de repérer les sur/sous-représentations des continents (issus des affiliations) au sein des 9 clusters sémantiques identifiés. [[Fichier:03 08-continents-specializations-on-cca Cortext tutorial ACC.png|centré|600x600px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Contingency matrix</u>: ** ''First field'': <code>Countries_custom_affiliation_continent</code> ** ''Second field'': <code>projection_cluster_500termsclean3period</code> ** ''Contingency matrix options'': *** ''Evaluate wether deviations are statistically significant'': <code>yes</code> == 4. Analyses géographiques == Pour un tutoriel pas à pas – se référer à la page [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|"La visualisation géospatiale avec Cortext Manager"]]. Objectif : Observer où se déroulent les recherches sur l'adaptation au changement climatique. === 4.1. Geocoding des adresses des affiliations === Homogénéiser l’information géographique présente sous forme textuelle hétérogène (adresse, toponyme ou code postal) pour la rendre traitable. Création des coordonnées géographiques (longitude ; latitude) et des informations (ville, région, pays) homogénéisées correspondantes. Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geocoding:</u> ** ''Select the field which contains addresses'': <code>Address</code> ** ''Top scale filter'': <code>County</code> ** ''Geocoding methods'': <code>Filtering non-geographical information</code> ** ''Advanced settings'': <code>Yes</code> *** ''Confidence threshold'': <code>0.4</code> === 4.2. Intensité de recherche des zones rurales et urbaines === Projeter et agréger les coordonnées géocodées dans des fonds de carte contenant des zones délimitées (unités géographiques statistiques telles que des villes ; des régions/pays ou des aires rurales ou urbaines). [[Fichier:04 01-map-author-affiliations-on-cca Cortext tutorial ACC.jpg|centré|500x500px]] Scripts et paramètres à utiliser dans Cortext manager : * <u>Geospatial exploration:</u> ** ''Assign unclassified points to the nearest area'': <code>5</code> ** ''Two-pass URA'': <code>yes</code> ** ''Initial view map'': <code>Urban and rural areas</code> 5ag2mki206d5xx7auiwg959zg38ug67 14 87225 984284 2026-07-07T04:41:02Z PandaMystique 80252 Page créée avec « [[Catégorie:Philosophie]] » 984284 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Philosophie]] 71krigdq3od9db1z1wu9ssoaqg3a7e6 104 87226 984288 2026-07-07T06:28:47Z Psychoslave 2753 Page créée avec « Dans le corpus considéré concerne ''mirone'' et ''miro''. » 984288 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''mirone'' et ''miro''. qssrbragvyeizjpnhwp9d5k7n1x5ghr 104 87227 984290 2026-07-07T06:31:03Z Psychoslave 2753 Page créée avec « Dans le corpus considéré concerne ''zébute'' et ''zébu''. » 984290 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''zébute'' et ''zébu''. qz7vd9vj1qg0muxlfssghsmx1xrcm6r 104 87228 984292 2026-07-07T06:36:11Z Psychoslave 2753 Page créée avec « Dans le corpus considéré concerne ''éterle'' et ''éterlou''. » 984292 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''éterle'' et ''éterlou''. s0xju7f6s1id0kwmio54wvb1ybv7hzh 984293 984292 2026-07-07T06:52:06Z Psychoslave 2753 984293 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''éterle'' et ''éterlou''. <blockquote>La plupart des bases sur lesquels peuvent se trouver des termes avec ces deux suffixes ne relèvent pas de ce paradigme ''ake'' et ''akou'', ''amade'' et ''amadou'', ''bache'' et ''bachou'', ''barde'' et ''bardou'', ''bêtasse'' et ''bêtassou''<ref group="N">Sachant que ''bêtasse'' alterne plutôt avec ''bêta'', et le diminutif caressant ''bêtassou'' aurait plutôt alors une alternance comme ''bêtassoune confer'' ''bêtassounette'' et ''bêtassounet''.</ref>, ''bie'' et ''biou'', ''bide'' et ''bidou'', ''bigne'' et ''bignou'', ''bile'' et ''bilou'', ''bise'' et ''bisou'', ''bite'' et ''bitou'', ''bonite'' et ''bonitou'', ''boule'' et ''boulou'', ''bourge'' et ''bourgou'', ''braille'' et ''braillou'', ''braye'' et ''brayou'', ''brie'' et ''briou'', ''ce'' et ''cou'', ''cache'' et ''cachou'', ''cage'' et ''cagou'', ''cagade'' et ''cagadou'', ''caille'' et ''caillou'', ''cale'' et ''calou'', ''câline'' et ''câlinou'', ''canaille'' et ''canaillou'', ''capie'' et ''capiou'', ''chaille'' et ''chaillou'', ''chalande'' et ''chalandou'', ''chine'' et ''chinou'', ''cigale'' et ''cigalou'', ''coquine'' et ''coquinou'', ''coude'' et ''coudou'', ''crache'' et ''crachou'', ''escalade'' et ''escaladou'', ''fare'' et ''farou'', ''ferrade'' et ''ferradou'', ''fesse'' et ''fessou'', ''file'' et ''filou'', ''frise'' et ''frisou'', ''gable'' et ''gablou'', ''gare'' et ''garou'', ''gargouille'' et ''gargouillou'', ''gaze'' et ''gazou'', ''glandouille'' et ''glandouillou'', ''goure'' et ''gourou'', ''graille'' et ''graillou'', ''grise'' et ''grisou'', ''inde'' et ''indou'', ''kake'' et ''kakou'', ''lapine'' et ''lapinou'', ''lice'' et ''licou'', ''limbe'' et ''limbou'', ''lise'' et ''lisou'', ''macle'' et ''maclou'', ''mante'' et ''mantou'', ''marle'' et ''marlou'', ''masse'' et ''massou'', ''mate'' et ''matou'', ''mine'' et ''minou'', ''mode'' et ''modou'', ''more'' et ''morou'', ''mouchache'' et ''mouchachou'', ''nande'' et ''nandou'', ''note'' et ''notou'', ''noune'' et ''nounou'', ''pe'' et ''pou'', ''paillasse'' et ''paillassou'', ''pape'' et ''papou'', ''pare'' et ''parou'', ''petite'' et ''petitou'', ''pie'' et ''piou'', ''piche'' et ''pichou'', ''pige'' et ''pigou'', ''pile'' et ''pilou'', ''pisse'' et ''pissou'', ''piste'' et ''pistou'', ''pite'' et ''pitou'', ''riche'' et ''richou'', ''ripe'' et ''ripou'', ''rombe'' et ''rombou'', ''sage'' et ''sagou'', ''shape'' et ''shapou'', ''touille'' et ''touillou'', ''tourte'' et ''tourtou'', ''tripe'' et ''tripou'', ''vaude'' et ''vaudou'', ''verre'' et ''verrou'', ''veuze'' et ''veuzou'', ''voye'' et ''voyou''. </blockquote> ====== Notes ====== <references group="N" /> iztafe695wb79qy35fespserqbewzy2 984298 984293 2026-07-07T07:26:07Z Psychoslave 2753 984298 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''éterle'' et ''éterlou''. <blockquote>La plupart des bases sur lesquels peuvent se trouver des termes avec ces deux suffixes ne relèvent pas de ce paradigme ''ake'' et ''akou'', ''amade'' et ''amadou'', ''bache'' et ''bachou'', ''barde'' et ''bardou'', ''bêtasse'' et ''bêtassou''<ref group="N">Sachant que ''bêtasse'' alterne plutôt avec ''bêta'', et le diminutif caressant ''bêtassou'' aurait plutôt alors une alternance comme ''bêtassoune confer'' ''bêtassounette'' et ''bêtassounet''.</ref>, ''bie'' et ''biou'', ''bide'' et ''bidou'', ''bigne'' et ''bignou'', ''bile'' et ''bilou'', ''bise'' et ''bisou'', ''bite'' et ''bitou'', ''bonite'' et ''bonitou'', ''boule'' et ''boulou'', ''bourge'' et ''bourgou'', ''braille'' et ''braillou'', ''braye'' et ''brayou'', ''brie'' et ''briou'', ''ce'' et ''cou'', ''cache'' et ''cachou'', ''cage'' et ''cagou'', ''cagade'' et ''cagadou'', ''caille'' et ''caillou'', ''cale'' et ''calou'', ''câline'' et ''câlinou'', ''canaille'' et ''canaillou''<ref group="N">Le terme ''canaillou'' alterne parfois avec ''canailloute''.</ref>, ''capie'' et ''capiou'', ''chaille'' et ''chaillou'', ''chalande'' et ''chalandou'', ''chine'' et ''chinou'', ''cigale'' et ''cigalou'', ''coquine'' et ''coquinou'', ''coude'' et ''coudou'', ''crache'' et ''crachou'', ''escalade'' et ''escaladou'', ''fare'' et ''farou'', ''ferrade'' et ''ferradou'', ''fesse'' et ''fessou'', ''file'' et ''filou'', ''frise'' et ''frisou'', ''gable'' et ''gablou'', ''gare'' et ''garou'', ''gargouille'' et ''gargouillou'', ''gaze'' et ''gazou'', ''glandouille'' et ''glandouillou'', ''goure'' et ''gourou'', ''graille'' et ''graillou'', ''grise'' et ''grisou'', ''inde'' et ''indou'', ''kake'' et ''kakou'', ''lapine'' et ''lapinou'', ''lice'' et ''licou'', ''limbe'' et ''limbou'', ''lise'' et ''lisou'', ''macle'' et ''maclou'', ''mante'' et ''mantou'', ''marle'' et ''marlou'', ''masse'' et ''massou'', ''mate'' et ''matou'', ''mine'' et ''minou'', ''mode'' et ''modou'', ''more'' et ''morou'', ''mouchache'' et ''mouchachou'', ''nande'' et ''nandou'', ''note'' et ''notou'', ''noune'' et ''nounou'', ''pe'' et ''pou'', ''paillasse'' et ''paillassou'', ''pape'' et ''papou'', ''pare'' et ''parou'', ''petite'' et ''petitou'', ''pie'' et ''piou'', ''piche'' et ''pichou'', ''pige'' et ''pigou'', ''pile'' et ''pilou'', ''pisse'' et ''pissou'', ''piste'' et ''pistou'', ''pite'' et ''pitou'', ''riche'' et ''richou'', ''ripe'' et ''ripou'', ''rombe'' et ''rombou'', ''sage'' et ''sagou'', ''shape'' et ''shapou'', ''touille'' et ''touillou'', ''tourte'' et ''tourtou'', ''tripe'' et ''tripou'', ''vaude'' et ''vaudou'', ''verre'' et ''verrou'', ''veuze'' et ''veuzou'', ''voye'' et ''voyou''. </blockquote> ====== Notes ====== <references group="N" /> 40ivxn5cllnqkfxsl82wsde0m5e0fc5